Dissertação_ANA CLAUDIA CARVALHO SOUSA

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MNPEF
Mestrado Nacional
Profissional em
Ensino de Física
Universidade Federal do Tocantins
Dissertação de Mestrado
Desenvolvimento de sistemas
educativos de detecção, telemetria e
navegação por ondas ultrassônicas e
eletromagnéticas.
Autor:
Ana Claúdia Carvalho Sousa
Dissertação de Mestrado apresentada
ao Programa de Pós-Graduação da
Universidade Federal do Tocantins no
Curso de Mestrado Profissional de En-
sino de Física (MNPEF), como parte
dos requisitos necessários à obtenção
do título de Mestre em Ensino de Fí-
sica.
Orientador:
Prof. Dr. Nilo Maurício SOTOMAYOR Choque
Co-orientadora:
Profa. Dra. Érica Cupertino GOMES
14 de dezembro de 2020
2
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal do Tocantins
S725d Sousa, Ana Claúdia Carvalho .
Desenvolvimento de sistemas educativos de detecção, telemetria
e navegação por ondas ultrassônicas e eletromagnéticas.. / Ana
Claúdia Carvalho Sousa. – Araguaína, TO, 2020.
104 f.
Dissertação (Mestrado Profissional) - Universidade Federal do
Tocantins – Câmpus Universitário de Araguaína - Curso de Pós-
Graduação (Mestrado) Profissional Nacional em Ensino de Física,
2020.
Orientador: Nilo Maurício SOTOMAYOR Choque
Coorientador: Érica Cupertino GOMES
1. Teoria de Aprendizagem de Ausubel. 2. Física Ondulatória. 3.
Sistema de detecção, telemetria e navegação por ondas ultrassônicas
e eletromagnéticas. 4. Produto educacional. I. Título
CDD 530
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3
Agradecimentos
À UFT / Polo de Araguaína e a Sociedade Brasileira de Física (SBF) pelo
programa Mestrado Nacional Profissional em Ensino de Física (MNPEF);
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiço-
amento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financia-
mento 001.
Ao orientador professor Dr. Nilo Maurício Sotomayor Choque.
A Co-orientadora Prof a. Dra. Érica Cupertino Gomes.
Ao Instituto Nacional de Eletrônica Orgânica (INEO/MCT/CNPQ) pelo
suporte financeiro, à Professora Dra. Liliana Yolanda Ancalla Dávila, Coorde-
nadora do Laboratório de Pesquisa em Materiais para Aplicação em Dispositivos
Eletrônicos (LABMADE) junto ao INEO;
Ao LABMADE pelo espaço físico concedido, suporte tecnológico fundamen-
tal em meu trabalho, e principalmente a todos que colaboram com seu funcio-
namento, em especial a Denisia, sempre disposta a contribuir para a realização
dos trabalhos experimentais.
Aos meus familiares, aos colegas que fiz durante essa trajetória em especial:
Aldeires de Sousa Alves, Charlene Rose Reis Silva, Michael Monteiro Matos,
Chaleilson Miranda Azevedo, Geordany Melo Correa Coelho e Gilvan de Sousa
Nascimento.
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Resumo
A presente dissertação detalha a concepção, construção e teste do produto
educacional integrado constituído de sistema experimental, de baixa potência,
de detecção, telemetria e navegação por ondas ultrassônicas e eletromagnéti-
cas juntamente com uma apostila que apresenta os fundamentos básicos dos
fenômenos físicos envolvidos com a construção, funcionamento e aplicação dos
dispositivos fabricados. O experimento é constituído por dois subsistemas in-
dependentes: o primeiro é de detecção e telemetria de objetos empregando-se
ondas de pressão de ar com frequência ultrassônica. O sistema é uma aproxi-
mação, em pequena escala, de um SONAR (Sound navegation and ranging). O
segundo experimento móvel de detecção que emprega ondas eletromagnéticas
na faixa de frequências de rádio. Este é uma aproximação em pequena escala
do princípio do RADAR (Radio detection and ranging). A construção dos dois
foi possível devido ao avanço da microeletrônica, que disponibiliza atualmente,
módulos eletrônicos, em um único circuito impresso e com padrão de forma
compatível, sistemas de emissão e recepção de ondas ultrassônicas e eletromag-
néticas. Foi empregada a Plataforma de Prototipagem Eletrônica, de acesso
aberto, Arduino para a automação e controle dos dois subsistemas experimen-
tais. Para o tratamento dos dados digitais e elaboração de visualização gráfica
da telemetria e detecção foi empregado o Ambiente de Desenvolvimento Inte-
grado, também de acesso aberto, Processing. A apostila que descreve os funda-
mentos físicos dos fenômenos envolvidos com o sistema experimental construído
é uma compilação em formato pdf das aulas de aplicação do produto as quais
possuem animações e applets relacionados com os princípios básicos das ondas
mecânicas e eletromagnéticas. Apresenta-se o conjunto como uma inovação das
tecnologias da informação e comunicação concretizada em equipamentos didáti-
cos para auxiliar às aulas experimentais de física no nível médio e na graduação.
Como aporte teórico fizemos uma revisão da Teoria da Aprendizagem Signifi-
cativa de David Ausubel, além, de trazer um reflexão sobre a importância da
experimentação nas aulas de física.
Palavras-chave: Sonar. Radar. Fenômenos Ondulatórios. Arduino. Apren-
dizagem Significativa. Ensino de Física.
5
Abstract
This dissertation details the design, construction and testing of the integra-
ted educational product consisting of an experimental, low-power, wave detec-
tion, telemetry and navigation system ultrasonic and electromagnetic devices
together with a booklet that presents the basic fundamentals physical pheno-
mena involved in the construction, operation and application of manufactured
devices. The experiment consists of two independent subsystems: the first is ob-
ject detection and telemetry using air pressure waves with ultrasonic frequency.
O The system is a small-scale approach to SONAR (Sound navigation and ran-
ging). The second mobile detection experiment that uses electromagnetic waves
in the radio frequency range. This is a small-scale approach to the principle of
RADAR (Radio detection and ranging). The construction of both was possi-
ble due to the advance of microelectronics, which currently provides, electronic
modules, in a single printed circuit and with compatible pattern, emission and
reception systems ultrasonic and electromagnetic waves. The Open Access Elec-
tronic Prototyping Platform was used, Arduino for the automation and control
of the two experimental subsystems. For the processing of digital data and
development of graphical visualization of telemetry and detection, the Deve-
lopment Environment was employed Integrated, also open access, Processing.
The handout that describes the physical fundamentals of the phenomena invol-
ved with the constructed experimental system is a pdf compilation of product
application classes which have animations and applets related to the basic prin-
ciples of mechanical and electromagnetic waves. The whole is presented as an
innovation in information and communication technologies achieved in didactic
equipment to assist experimental physics classes at high school and undergra-
duate level. As a theoretical contribution, we reviewed David Ausubel’s Theory
of Meaningful Learning, in addition to bringing a reflection on the importance
of experimentation in physics classes.
Keywords: Sonar. Radar. Wave phenomena. Arduino. Meaningful Lear-
ning. Physics teaching.
6
Sumário
Agradecimentos 4
Resumo 5
Abstract 6
Introdução 9
1 Fundamentação Metodológica 13
1.1 A Teoria de Aprendizagem de Ausubel . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação contribuindo
na compreensão de fenômenos físicos . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Atividades experimentais no ensino de Física e as atividades de
demonstração/observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Ondas Mecânicas 19
2.1 O conceito de onda . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19
2.2 Natureza de vibração das ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Tipos de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Descrição matemática da propagação . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 Parâmetros matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Equação diferencial do movimento ondulatório . . . . . . . . . . 31
2.6 Características das ondas: Reflexão, Refração, Difração, Interfe-
rência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.1 Reflexão de uma onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6.2 Refração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6.3 Difração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.4 Interferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Ondas Sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Ondas Eletromagnéticas 43
3.1 Equações de Maxwell e ondas eletromagnéticas . . . . . . . . . 43
3.2 Ondas eletromagnéticas planas e a velocidade da luz . . . . . . . 46
3.3 Ondas eletromagnéticas senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7
4 Concepção dos sistemas de detecção e telemetria e navegação 54
4.1 Fundamento do Sonar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.1 Concepção histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.2 Princípio de funcionamento do sonar . . . . . . . . . . . 57
4.2 Fundamento do Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.1 Concepção histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2.2 Princípio de funcionamento do radar . . . . . . . . . . . 62
5 Aquisição de Dados 68
5.1 Sistema de telemetria, detecção e navegação . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Componentes físicos do protótipo . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Sistema de detecção e navegação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.1 Radar Doppler HB 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6 Aplicação do Produto 85
6.1 A Unidade Escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 A turma e organização do conteúdo . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Sequência didática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Considerações finais 96
Referências Bibliográficas 99
A Valores dos dispositivos empregados na construção do Sonar 106
B Valores dos dispositivos empregados na construção do Radar 108
8
Introdução
De forma muito geral, a Física é uma ciência que trata do estudo da origem
e da composição fundamental de tudo o que existe juntamente com as suas
interações, empregando esse conhecimento para a descrição da mecânica e a
fenomenologia de sistemas complexos e macroscópicos.
Base desse estudo é o método científico, com destaque para a experimenta-
ção, como uma parte muito importante do processo. A experimentação refere-se
à reprodução de determinado fenômeno físico em condições controladas em um
laboratório para facilitar a aquisição da dados das variáveis envolvidas.
A experimentação desempenha muitos papéis na ciência. Um dos mais im-
portantes é testar teorias e fornecer a base para o conhecimento científico. Do
ponto de vista da educação a experimentação no ensino de ciências desempenha
um papel crucial na motivação dos alunos e na consolidação dos conhecimentos
apreendidos nas aulas teóricas.
Particularmente, no ensino de física a experimentação é parte importante
do processo de ensino aprendizagem mas sempre houve uma grande dificuldade
para o ensino fundamental, médio e de graduação de contar com laboratórios
didáticos equipados e adequados. Entretanto, atualmente o acelerado desenvol-
vimento tecnológico tem colocado a disposição de educadores e alunos diversos
sistemas de hardware e software de acesso aberto assim como sistemas e mó-
dulos eletrônicos além de plataformas de prototipagem eletrônicas e ambientes
de desenvolvimento integrado. Esse conjunto de avanços tecnológicos são fre-
quentemente denominadas de tecnologias de comunicação e da informação e
são ferramentas que permitem o desenvolvimento de diversos tipos de experi-
mentos didáticos com aquisição automática de dados assim como simuladores,
animações e applets computacionais. Todo a custos muito acessíveis.
Em decorrência dos avanços tecnológicos tornou-se necessário organizar e
planejar a atividade de ensino de modo a permitir a interação de conhecimentos
novos e daqueles já estabelecidos.
Com essa visão a educação deve estar voltada para o participação plena dos
indivíduos a fim de desenvolver novas competências. A Base Nacional Comum
Curricular (BNCC) propõe que que o ensino abarque as Tecnologias Digitais de
Informação e Comunicação (TDICs) em virtude de estar cada vez mais presente
9
na vida de todos.
Nessa direção, o Ensino de Física deve levar em conta os eixos que tratam
do conhecimento científico e o tecnológico como resultado de uma construção
humana, inseridos em um processo histórico e social [4]. O saber escolar deve
levar em conta a necessidade de se aprender a viver no mundo globalizado. A Lei
de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), de acordo com o artigo 15
que estabelece as diretrizes e bases da educação nacional, direciona que a prática
educacional abarque uma “compreensão dos fundamentos científico-tecnológico
dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática, no ensino de cada
disciplina” [6].
Evidencia-se que a aquisição de tecnologias em sala de aula tem a vantagem
de enriquecer as experiências de aprendizagem no âmbito do ensino de Física,
propiciando alternativas para o aluno compreender e relacionar os resultados
obtidos e conceitos vinculados à fundamentação teórica do experimento e, as-
sim trazer a física para o mundo real, como forma de articular as leis com o
cotidiano. A experimentação sempre fez parte do ser humano na busca por no-
vos conhecimentos, no ensino não é diferente, como reforça os PCNs-Parâmetros
curriculares Nacionais:
A abordagem da ciência por meio de experimentos didáticos
tem uma grande importância na aprendizagem dos estudantes, pois
é na prática, motivados por sua curiosidade, que os alunos buscam
novas descobertas, questionam sobre diversos assuntos, e o mais im-
portante, proporciona uma aprendizagem mais significativa. Tendo
em vista que nos experimentos os conhecimentos prévios dos alunos,
sendo levados em consideração, podem auxiliá-los bastante para a
apreensão de novos conhecimentos. E isso sendo feito de forma
prática, algo que atrai geralmente os alunos. (BRASIL, 2000).
É conhecido que as escolas públicas do Brasil, em sua grande maioria, são
carentes de laboratórios para o Ensino de Física. Esse número ainda é menor
em relação ao uso de simuladores computacionais ou tecnologias. O motivo
vem de vários fatores, dentre eles: falta de recursos, formação docente, tempo
para organizar uma atividade com simuladores o que demanda vários testes,
sequências didáticas disponíveis, etc.
Para estimular o enriquecimento dos laboratórios de física e visando de re-
lacionar os conceitos dos fenômenos ondulatórios, foi elaborado um produto
educacional usando as TDICs, mais precisamente simuladores computacionais,
o Ambiente de Desenvolvimento Integrado Processing, e a plataforma de pro-
totipagem eletrônica de acesso aberto Arduino.
Com isso, foram construídos dois sistemas tecnológicos com materiais de
baixo custo, usando a prototipagem eletrônica e os módulos sensoriais compa-
10
tíveis além de sofwares gratuitos Arduino e Processing, para a construção de
sistemas semelhantes ao Sonar (Telemetria e Navegação por ondas ultrassôni-
cas), e o Radar (Telemetria e Dectecção por ondas de rádio), para aplicações
de baixa potência com propósito educativo.
Foi levado em conta o estudo dos fenômenos ondulatórios por estar presente
em cada momento de nossas vidas como na fala, no bombeamento do sangue, nos
elementos da natureza, etc, ou seja, sem elas não existiria vida na terra. Pois,
tudo o que existe pode estar vibrando inclusive os campos elétricos, magnéticos
e gravitacionais, sendoindispensável o conhecimento de suas leis básicas. A
grande dificuldade em ensinar o formalismo destes conceitos e dos alunos em
compreender é quanto a suas aplicações e visualização no cotidiano.
Logo, hoje é possível construir aproximações desses sistemas, o Radar e
Sonar, por meio do emprego de módulos eletrônicos, plataformas de prototipa-
gem eletrônica e códigos para automação e controle destes sistemas, com fins
didáticos. O que até um certo tempo era impossível, por se tratar de disposi-
tivos inacessíveis ao público tanto em relação ao preço quanto a tamanho dos
módulos.
O Sonar é um instrumento que consegue emite ondas de pressão de ar, e de-
tectar objetos que refletem essas ondas usando um sensor específico. As ondas
de pressão de ar são ultrassônicas (alta frequência), e são as mesmas utilizadas
para visualizar um bebê na ultrassonografia, no aparelho de instrumentação
médica emite ondas de pressão de ar através de um dispositivo eletrônico e elas
são refletidas pelo corpo do bebê e detectadas por um arranjo de sensores os
quais convertem os sinais de pressão em sinais elétricos através de um conver-
sor analógico-digital de algum microcontrolador transformando finalmente esses
sinais em uma imagem através de um processo de aquisição de dados.
Já o Radar é um dispositivo que emite ondas eletromagnéticas na faixa de
frequências de rádio do espectro eletromagnético. Ele permite detectar objetos
diversos no seu raio de ação e aferir suas distâncias. Esses sistemas são aplicados
no tráfego aéreo para verificar distâncias, meteorologia, percurso entre cidades
e em vias públicas para controlar a velocidade dos veículos.
A estratégia de ensino para a aplicação do produto foi a experimentação
didática com modelagem e simulações computacionais com suporte da aprendi-
zagem significativa de David Paul Ausubel. O direcionamento das atividades de
experimentação foi a de demonstração/observação, ou seja, possibilitar a ilus-
tração de alguns aspectos dos fenômenos físicos abordados, tornando de forma
perceptíveis e com possibilidade de propiciar aos estudantes a elaboração de
representações concretas referenciadas.
Este trabalho está dividido em sete capítulos. Inicialmente será explanada
a fundamentação teórica destacando a Aprendizagem Significativa de Ausubel
11
com apontamentos da estratégia de ensino com base nas Tecnologias Digitais
da Informação e Comunicação, atividades experimentais no ensino de Física e
as atividades de demonstração/observação.
Em seguida será realizada uma breve descrição dos principais fundamentos
das ondas mecânicas, e no terceiro capítulo uma abordagem semelhante em
relação às ondas eletromagnéticas.
No quarto capítulo, terá a explicação sobre a concepção dos sistemas de
detecção e telemetria e navegação, com a concepção histórica do radar e do
sonar, assim como o princípio de funcionamento de ambos.
No quinto serão tratados conceitos fundamentais sobre a aquisição de da-
dos, automação e controle de sistemas eletrônicos. Além da apresentação dos
módulos HC-SR04 e HB-100 utilizados no desenvolvimento dos sistemas.
Depois as considerações teóricas usadas para desenvolver o produto, uma
descrição da aplicação e o relato da experiência da implementação em sala de
aula das plataformas de prototipagem eletrônicas.
Finalmente, as considerações possibilitando a retomada dos objetivos e do
problema da pesquisa, tendo em vista os resultados obtidos. A partir do resgate
reflexivo, do conhecimento da realidade e das publicações relativas à temática
abordada, surgem encaminhamentos que viabilizam o uso da experimentação
no Ensino da Física.
12
Capítulo 1
Fundamentação Metodológica
1.1 A Teoria de Aprendizagem de Ausubel
David Ausubel, autor da Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS) , nos
conduz a repensar sobre o processo de aprender e ensinar. Representante do
cognitivismo defende que para ocorrer uma Aprendizagem Significativa (AS)
as novas ideias, quando relevantes, devem relacionar-se com os conhecimentos
prévios, subsunçor, já existentes na estrutura cognitiva do aprendiz.
Essa estrutura é considerada um conjunto de informações, ideias, e concei-
tos, existentes de forma hierárquica. Nela se ancora as novas ideias que são
internalizadas e apreendidas. A ação não é feita de forma arbitrária- mecânica,
mas de forma lógica, as informações são ancoradas em estruturas já existentes.
Os subsunçores são as informações já existentes na estrutura cognitiva cons-
truida ao longo da vida com as aprendizagens. Eles servem como base para os
novos conhecimentos ou para tornar um conhecimento mais estável e rico, ou
ainda servir de ideia-âncora de outros conceitos facilitando assim novas apren-
dizagens.
A construção de um subsunçor, segundo Moreira (2012, pág.10), pode acon-
tecer pelos processos de “inferência, abstração, discriminação, descobrimento,
representação, envolvidos em sucessivos encontros do sujeito com instãncias de
objetos, eventos, conceitos”. Isto é, os primeiros subsunçores manifestam-se com
a interação com o meio, quando atribuímos significados aos objetos construídos
socialmente ao longo do tempo. Por meio de aquisição de novos conhecimentos
alguns subsunçores surgem e outros ficam mais estáveis e ricos, dependendo da
frenquência em que ele é explorado.
A clareza , a estabilidade cognitiva, a abrangência, a diferenci-
ação de um subsunçor variam ao longo do tempo, ou melhor, das
aprendizagens significativas do sujeito. Trata-se de um conheci-
mento dinâmico, não estático, que pode evoluir e, inclusive involuir.
([28], 2012, pág. 4).
13
Para ocorrer uma AS, Ausubel especifica duas condições imprescindíveis, a
elaboração de materiais potencialmente significativos, como também uma pre-
disposição do aluno em aprender. O material deve seguir uma ordem psicológica
de aprendizagem, começando pelos conceitos gerais e a seguir os específicos. Eles
podem ajudar na construção de novos subsunçores caso a aluno não possua na
sua estrutura cognitiva.
[...] o aluno pode querer dar significado aos novos conhecimen-
tos e não ter conhecimento prévios adequados, ou material didático
não ter significado lógico, e aí voltamos a primeira condiçao: o
material dever ser potencialmente significativo. ([28],2012,pág.9)
É interessante que o professor, ao utilizar os materiais potencialmente signi-
ficativos sempre busque rever os organizadores prévios dos alunos, reforçando os
conhecimentos relevantes para um novo conceito que deseja ensinar. Os orga-
nizadores prévios são recursos intrucionais com duas vertentes: os expositivos-
aqueles conceitos que os alunos não conhecem, mas é preciso para entender um
novo saber, e os comparativos aquilo que já é familiar podendo ser apresentados
aos subsunçores de imediato ao conceito.
[...] os organizadores prévios podem ser usados para suprir
a deficiência de subsunçores ou para mostrar a relacionalidade e
a discriminalidade entre novos conhecimentos e conhecimentos já
existentes, ou seja, subsunçores. ([28], 2012,pág 11)
A vantagem de um ensino potencialmente significativo e de uma aprendi-
zagem significativa é que as informações são relacionadas com os saberes exis-
tistentes na estrutura cognitiva, e uma vez aprendido um conceito é mais facíl
reaprender ou relembrá-lo. Diferentemente da aprendizagem mecânica que o
aluno decora e depois esquece como se nunca estivesse estudado aquele con-
ceito.
Como verificar a aprendizagem do aluno? Pela as manifestações individuais
diante daquele conceito externalizado, como um diálogo. Para Moreira (2012),
só há ensino se tiver aprendizagem.
Outra estratégia didática é a utilização de mapas conceituais e atividades
colaborativas. A segunda funciona com formação de pequenos grupos de alunos
em eles possam construir o conhecimento de forma interativa, e o papel do
professor nesse processo é de mediação.
O retorno da informação ou do processo- feedback, dos alunos, segundo Mo-
reira [28], deve ser avaliado por meio da captação do significado, pela capacidade
de transferência,ao explorar situações não conhecidas. O docente pode propor
situações novas, sempre buscando evidências do processo, incentivando o aluno
a explicar, justificar e relacionar suas respostas.
14
1.2 Tecnologias Digitais da Informação e Co-
municação contribuindo na compreensão de
fenômenos físicos
Embora existam trabalhos sobre as vantagens de utilizar as TDICs, segundo
Haag [8], as dificuldades e/ou limitações que os professores encontram impedem
a utilização das mesmas. As tecnologias no Ensino de Física tiveram pouco
avanço se comparado com os países de primeiro mundo. Essa defasagem, [8], se
deve a três fatores:
i) somente nos últimos anos microcomputadores estão sendo in-
troduzidos nas escolas, ii) até recentemente os sistemas de aquisição
de dados disponíveis requeriam interfaces externas ao computador,
importadas e caras (só muito recentemente surgiram ofertas nacio-
nais), iii) o desconhecimento por parte da maioria dos professores
da possibilidade de confecção de sistemas de aquisição automática
de baixo custo e fácil desenvolvimento. ([8], pág 70, 2005)
Com essa defasagem é necessário inserir cada vez mais as tecnologias em
experimentação no Ensino de Física como os de aquisição automática de dados
no laboratório didático de Física, e aumentar o número de pesquisas em meto-
dologia com uso das TDICs. O professor deve se inteirar das novas tecnológicas
buscando novos conhecimentos em cursos de capacitação ou em estudos dirigi-
dos. Os motivos para inserir aquisição automatizada de dados em laboratórios
didáticos, conforme Haag [8] é de:
i)Enriquecer as experiências de aprendizagem propiciando ou-
tras alternativas para o aluno compreender e relacionar os resulta-
dos obtidos e os conceitos vinculados à fundamentação teórica do
experimento e, assim, trazer a Física escondida entre os números e
fórmulas para o “número real”. ii) Alfabetização científica. iii) Per-
mitir que aluno manipule os sensores, que faça medidas manuais,
para observar o efeito de variações de grandezas físicas sobre sen-
sores, que trabalhe com sistemas de detecção, que explore software
para, somente então, operar sistemas automáticos de aquisição de
dados. (pág 70, 2005)
Uma possível saída para esta problemática é a possibilidade de desenvolver
experimentações a baixo custo com sensores e microcontroladores de fácil acesso
com conversores digitais e analógicos como o Arduino. Experimentos de baixo
custo não são, exatamente, uma novidade, alguns professores têm utilizam pela
15
facilidade de montagem e exemplificação de fenômenos físicos em ambientes
desprovidos de um laboratório didático.
Os microcontroladores eletrônicos tornam-se uma opção interessante na cri-
ação de dispositivos de baixo custo, pois possuem capacidade de medições com
precisão adequada e com grande versatilidade de aplicações. Porém sua utiliza-
ção possui uma forte resistência devido a necessidade de conhecimentos prévios
de eletrônica básica e de programação, o que por si só restringe o público-alvo
e seu viés de divulgação científica.
Neste cenário, a plataforma Arduino pode ser uma opção extremamente
barata e de fácil programação, não exigindo muito conhecimento prévio em
programação e eletrônica. Além disso, esta plataforma é de acesso livre, sendo
seus códigos amplamente compartilhado pelos seus diversos usuários na internet.
A maior vantagem do Arduino em relação a outras platafor-
mas de desenvolvimento de microcontroladores é a sua facilidade
de utilização, o que permite que pessoas que não sejam de áreas téc-
nicas possam aprender o básico e criar seus próprios projetos em
um período relativamente curto. Artistas, em especial, parecem
considerá-lo a maneira ideal para criar obras de arte interativas ra-
pidamente, sem a necessidade de um conhecimento especializado
em eletrônica. Há uma imensa comunidade de pessoas usando Ar-
duino e compartilhando seus códigos e diagramas de circuito para
que outros os copiem e modifiquem. ([9],2011,p.24 [9] )
Dentre as linguagens disponíveis o Processing foi escolhido por apresentar
grande similaridade com a linguagem utilizada para a programação Arduino.
O Processing é um software usado como um caderno de desenho virtual sendo
possível a produção de objetos gráficos em 2D e 3D, animações, interações etc.
O canal utilizado para a comunicação entre o Arduino e o Processing é
a conexão serial estabelecida através de uma interface USB (abreviatura de
Universal Serial Bus, em português, porta serial universal) entre o computador
e a placa Arduino. No Arduino a comunicação é estabelecida com a biblioteca
serial que já está inclusa em sua IDE-Ambiente de Desenvolvimento Integrado.
Com a comunicação serial estabelecida entre o Arduino e o Processing, é
possível apresentar medidas de forma gráfica e em tempo real na tela do com-
putador.
A partir dessa estrutura, é possível criar os objetos educacionais de baixo
custo, a fim de contribuir para o desenvolvimento de uma metodologia alterna-
tiva para o Ensino de Física em nossas escolas.
16
1.3 Atividades experimentais no ensino de Fí-
sica e as atividades de demonstração/ob-
servação
Os experimentos didáticos no Ensino de Física são cruciais para o enten-
dimento de certos conceitos físicos. Podem ser usados em laboratórios ou em
sala de aula. Na prática os alunos conseguem buscar novos conhecimentos, o
que gera uma motivação em aprender, pois os conceitos estão sendo vivenciados
durante a atividade. Isso se justifica, pois
As atividades experimentais permitem aos alunos o contato
com o objeto concreto, tirando-os da zona de equilíbrio e colocando-
os em zona de conflito, construindo mais conhecimentos e posteri-
ormente retornando a zona de equilíbrio. ([5], 2018,p.2).
O uso da experimentação conforme aponta a BNCC- Base Nacional Comum
Curricular, deve abordar temas da vivencia do aluno, da escola e do cotidiano de
todos. No intuito de a experimentação proporcionar a Aprendizagem Significa-
tiva os experimentos não devem ser realizados de qualquer jeito. Logo, existem
vários tipos de experimentação, ou seja, o grau de direcionamento das atividades
propostas podendo ser de [7]: demonstração, verificação e investigação.
Na atividade de demonstração os experimentos têm o objetivo de ilustrar
algum fenômeno físico e elaborar representações concretas. Essas atividades
têm dois procedimentos metodológicos distintos, a saber, o de demonstrações
fechadas e demonstrações/observação abertas.
No primeiro procedimento o professor realiza a atividade sem intervenção dos
alunos, ao contrário do segundo, no qual há uma maior abertura de discussões
entre os alunos e o professor sobre a atividade executada, com possiblidade de
exploração mais profunda do tema abordado.
A compreensão de um fenômeno através de uma demonstração
pode permitir aos alunos compreender o funcionamento de outros
equipamentos e generalizar o comportamento dos sistemas observa-
dos para outras situações em que estes mesmos fenômenos estejam
presentes. ([7], pág 181, 2003)
E ainda de acordo com Araújo ([7], pág. 181, 2003) “o uso de atividade de
demonstração também é defendida no processo de formação docente para uma
prática mais eficiente”. A utilização de computadores pode auxiliar nas ativi-
dades de demonstrações, destacando a possibilidade de facilitar a compreensão
dos fenômenos físicos estudados com ajuda de softwares.
A atividade de verificação, segundo Araújo (2003), são experimentos que
buscam a validade de alguma lei física, ou os limites de validade. Essa ati-
vidade é usada na interpretação de dados e parâmetros observados durante o
17
comportamento de diferentes sistemas físicos, e ainda a verificação de acordo
com Araujo ([7], pág. 183, 2003) “serve para motivar os alunos, as atividades
de verificação podem contribuir para tornar o ensino mais realista, no sentido
de evitar erros conceituais observados em livros-textos”.
A atividade de investigação consiste em buscar informações causais para
alcançar um novo patamar de aprendizagemdos conceitos abordados, o que
leva um maior tempo de estudo por parte dos estudantes, uma vez que as
etapas de execução, análise e conclusões demandam grande envolvimento.
Por fim, Araújo [7] aponta dois aspectos fundamentais para a eficiência desta
estratégia:
a) Capacidade de estimular a participação ativa dos estudan-
tes, despertando sua curiosidade e interesse, favorecendo um efetivo
envolvimento com sua aprendizagem. b) Tendência em propiciar a
construção de um ambiente motivador, agradável, estimulante e
rico em situações novas e desafiadoras que, quando bem emprega-
das, aumentam a probabilidade de que sejam elaborados conheci-
mentos e sejam desenvolvidas habilidades, atitudes e competências
relacionadas ao fazer e entender a Ciência. ([7], pág 190,2003)
Além disso a experimentação deve estar bem organizada para que os alunos
entendam quais os objetivos a serem alcançados, para fazer sentido a eles.
18
Capítulo 2
Ondas Mecânicas
O movimento ondulatório está presente em cada momento de nossas vidas
como, por exemplo, a fala, o bombeamento do sangue, os elementos da natu-
reza como tremores sísmicos, ondulações em um lago etc. Sem os fenômenos
ondulatórios não existiria vida na Terra, pois, tudo o que existe estar vibrando
inclusive os campos elétricos, magnéticos e gravitacionais, moléculas, átomos,
partículas subatômicas, partículas elementares, os próprios campos quânticos,
sendo indispensável o conhecimento de suas leis básicas.
Na Física Clássica são definidas ondas mecânicas e ondas eletromagnéticas.
As primeiras são perturbações que se propagam em meios materiais e as eletro-
magnéticas são, de um ponto de vista genérico, de campos quânticos que podem
se propagar no vácuo.
2.1 O conceito de onda
Para se entender o conceito de onda é necessário analisar a seguinte situ-
ação. Considere-se uma corda tensionada (meio material), bem longa (figura
2.1). Fixa-se uma de suas extremidades. Um pessoa sacode bruscamente a
corda para cima, em seguida, para baixo, provocando nesse ponto uma pertur-
bação. Ela é provocada em uma das extremidades da corda, e percorre até a
outra extremidade sem que nenhum ponto da corda tenha sofrido deslocamento
lateral, que se propaga ao longo da corda recebe o nome de onda, neste caso
transversal.
Isso ocorre porque se trata de um meio elástico, isto é, um meio que, sofre
uma modificação, tende a retornar à sua posição inicial. A pessoa ao sacudir a
extremidade que está segurando, provoca uma modificação na corda. Mas como
este tente a retornar à sua posição inicial, a perturbação se afasta do ponto onde
foi originada.
No exemplo, a perturbação denomina-se pulso e o movimento do pulso
constitui uma onda.
19
a)
b)
c)
Figura 2.1: (a) A corda presa em uma de suas extremidade, foi tencionada. (b)
A corda é movimentada para cima e para baixo originando um pulso que se
desloca de forma horizontal. (c) A propagação de um pulso ao longo da corda.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Logo, denomina-se onda uma perturbação que gera o transporte de energia
sem o transporte da matéria.
Voltando ao exemplo anterior, a fonte do movimento é a mão da pessoa e
o meio que a onda se propaga é a corda. Quando é feito o movimento para
cima e para baixo, numa direção perpendicular à de propagação da onda, as
matérias se movimentam indicando que ela recebeu energia da onda, mas ela
não acompanha a propagação da onda, mostrando que não há transporte de
matéria.
Considere-se este outro exemplo, deixa-se cair uma pedrinha sobre a superfí-
cie de um lago com água parada (figura 2.2), o movimento produzido se propaga
sob forma de uma onda circular, com centro no ponto perturbado.
Figura 2.2: Quando a pedra cai sob a superfície de um lago provoca um movi-
mento de forma circular.
Fonte: [10]
20
Ao coloca-se uma rolha na superfície da água observa-se que ela flutua
quando passa a perturbação, o curioso é que ela não será transportada pela
onda. Verifica-se que a rolha se movimenta para cima e para baixo e, ao mesmo
tempo, sofre um pequeno deslocamento para a frente e para trás, revelando que
ela recebeu energia da onda (figura 2.3).
P
P
P
Figura 2.3: Na figura acima, a rolha que flutua na superfície da água é atingida
por um trem de ondas. Pode-se observar que ela vibra tanto transversalmente
como longitudinalmente.
Fonte: Adaptada [11]
Nota-se que uma onda é definida como uma perturbação capaz de transpor-
tar energia, no entanto a matéria permanece no mesmo lugar. Algumas ondas
precisam de um meio material para se propagar é o caso, por exemplo, de uma
corda tensionda. Já outras conseguem se propagar no vácuo, como a luz.
2.2 Natureza de vibração das ondas
Quando à sua natureza, as ondas se classificam em mecânicas e eletromag-
néticas.
As ondas mecânicas são aquelas cuja dinâmica é descrita pelas Leis de New-
ton e precisam de um meio material para se propagar, como a água, o ar ou
rochas. São originadas pela deformação de uma região de um meio elástico, não
se propagam no vácuo.
21
Um exemplo muito importante de ondas dessa natureza são as ondas so-
noras que se propagam no ar, líquidos e sólidos.
Ondas eletromagnéticas são perturbações de campos elétricos e magnéti-
cos originadas por cargas elétricas ou correntes elétricas oscilantes. Elas não
necessitam obrigatoriamente de um meio para se propagarem. Todas elas se
propagam no vácuo com a mesma velocidade, c = 299792458 m/s[56].
As ondas eletromagnéticas são transversais e as ondas mecânicas podem ser
transversais, longitudinais ou mistas. Vamos entender melhor quanto a direção
de propagação das ondas.
2.3 Tipos de ondas
Por definição uma onda transversal é aquela em que a perturbação do
meio é perpendicular à direção de propagação da onda. Como, por exemplo,
ondas em uma mola (figura 2.4), ou ondas em uma corda tensionada, no violão.
Quando movimentada para cima e para baixo, uma onda se propagará ao longo
da mola horizontalmente, de forma que a direção de propagação da onda é
perpendicular à direção de vibração.
Ondas que se propagam numa corda e ondas eletromagnéticas são exemplos
de ondas transversais.
Direção de
vibração
Propagação
Figura 2.4: Ondas transversais são aquelas que a direção de vibração é vertical
e a de propagação é horizontal, ou seja, perpendicular.
Fonte: Adaptado [12]
Uma onda longitudinal, por definição, é aquela em que a direção da per-
turbação é a mesma na qual se efetua a propagação da onda. Considerando
uma mola (figura2.5) fazendo o movimento de ida e volta, a direção de vibra-
ção coincide com a direção de propagação. Um exemplo clássico de propagação
longitudinal é o som.
Nota-se que os pontos do meio oscilam na mesma direção de propagação
da onda, se comprimindo (compressão) e depois espalhando (rarefação). Para
22
Direção de
vibração
Direção de propagação
Compressão Rarefação
Figura 2.5: Aqui temos um exemplo de ondas longitudinais em que a direção
de propagação coincide com a direção de vibração. O transporte da energia se
dá por compressão e rarefação ao longo da mola.
Fonte:Adaptada [13]
entender a propagação das ondas é preciso estabelecer parâmetros matemáticos
para descrever qualquer tipo de onda, então é necessário aprofundar o conheci-
mento sobre a descrição da propagação de uma onda transversal, pois, a partir
dela pode-se escrever qualquer tipo de onda, seja ela mecânica ou eletromagné-
tica.
2.4 Descrição matemática da propagação
Para descrever perfeitamente uma onda em uma corda precisamos de uma
função que forneça a forma da onda. Necessitamos de uma descrição mais
detalhada de posição e movimentos de partículas individuais do meio em função
do tempo durante a propagação da onda.
Será realizado o estudo das ondas no caso mais simples, as que propagam
apenas em uma direção. É o caso das ondas transversais em uma corda.
Considere-se uma função y = f(x), representada de forma gráfica pela curva
sólida (figura 2.6).
Agora, é realizada a substituição x por x− a, obtém-se a função
y = f(x− a) (2.1)
Evidentemente, a forma da curvanão foi mudada, os mesmos valores de y
ocorrem para os valores de x acrescido pela quantidade a.
De forma, quando a for positivo, a curva se desloca para a direita de uma
quantidade a.
Agora, é realizada a substituição de x por x+ a, e obtém-se a função
y = f(x+ a) (2.2)
23
y
x
aa
y=f(x-a)y=f(x)y=f(x+a)
aa
Figura 2.6: Translação da função sem distorção.
Fonte: Adaptado [14], pág 261, 2015.
Isso quer dizer, quando for f(x+ a) a curva se deslocará para a esquerda de
a unidades de comprimento.
A distância a, figura (2.6), é o deslocamento da onda sob o eixo x. Então,
pode-se associar a equação da velocidade do Movimento Retilíneo Uniforme
(MRU), que diz
v = ∆s∆t (2.3)
Logo, sabendo que o deslocamento ∆s, nesse caso, é a, com tempo t, então
v = a
t
(2.4)
a = vt (2.5)
Obtém-se a função da curva que move para a direita com velocidade v cha-
mada velocidade de fase, da seguinte forma
y = f(x− vt) (2.6)
De forma análoga, quando a curva se move para a esquerda com velocidade
v, obtém-se a função
y = f(x+ vt). (2.7)
Logo, a função depende de duas variáveis x e t, formando a expressão ma-
temática,
y = f(x± vt) (2.8)
24
A descrição que se propaga sem deformação ao longo do eixo x, denomina-se
de movimento ondulatório, figura (2.7).
x x x
y y y
v v vv
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y= f(x-vt) y= f(x+vt)
(a) (b) (c )
Figura 2.7: Propagação de uma onda sem distorção (a) para a direita e (b) para
a esquerda (c) As ondas que se propagam em direções opostas produzem efeitos
aditivos onde elas interferam.
Fonte: Adaptado [14], pág 262, 2015.
Isso significa que é necessária uma relação da forma y = f(x, t), onde y é o
deslocamento transversal de um elemento da corda e f como a função do tempo
t e da posição x do elemento na corda. Toda forma senoidal de onda pode ser
descrita tomando f como a função seno ou uma função cosseno, ambas fornecem
a mesma forma para a onda. Neste tópico usa-se a função seno.
Pode-se agora descrever a mais importante das ondas, que é a onda harmô-
nica, a partir dela pode-se descrever qualquer tipo de onda. O movimento
harmônico simples é um tipo de movimento periódico oscilatório.
Para descrever a equação da onda, vamos tomar uma onda transversal que
se propaga no eixo x do referencial considerado e no sentido desse eixo, com
velocidade de módulo v (figura 2.8).
O padrão espacial se desloca no espaço em relação ao tempo, a figura 2.8
mostra a onda no instante de tempo (t = 0) e num instante genérica (t 6= 0).
As ondas harmônicas em qualquer instante de tempo são representadas pela
função harmônica (seno ou cosseno).
Assim, para t = 0, escreve-se
y(x, 0) = A sen bx (2.9)
Em que A é a amplitude da onda, e b uma constante que pode-se deter-
minar. O padrão da onda repete-se periodicamente ao longo do eixo x.
O período espacial é, por definição, o comprimento de onda (λ), temos
25
0
A
-A
y
x
Figura 2.8: Descreve uma onda transversal que se propaga no eixo x com velo-
cidade v com tempo t = 0 e t 6= 0.
Fonte: Adaptado [15], pág 63, 2010.
y(x+ λ, 0) = y(x, 0) (2.10)
então,
y(x+ λ, 0) = A sen [b(x+ λ)] (2.11)
Comparando-se as equações 2.9 e 2.11, temos:
A sen[b(x+ λ)] = A sen bx (2.12)
sen [b(x+ λ)] = sen bx (2.13)
usando-se a identidade trigonométrica, tem-se:
sen(x+ 2π) = senx (2.14)
Pode-se concluir de 2.13 e 2.14, que,
bλ = 2π (2.15)
b = 2π
λ
(2.16)
Será especificada essa informação com uma constante k que chamada de
número de onda, de forma que b = k. Por isso, a expressão 2.9 pode ser
escrita em t = 0 como
26
y(x, 0) = A sen kx (2.17)
Por outro lado, tomando os pontos x′ e x, figura 2.8, de modo que
x− x′ = vt (2.18)
x
′ = x− vt (2.19)
A distância percorrida pela onda durante o intervalo de tempo t, temos
y(x, t) = y(x′ , 0) (2.20)
y(x, t) = y(x− vt, 0) (2.21)
Com isso, comparando com a equação 2.9
y(x− vt, 0) = A sen [b(x− vt)] (2.22)
Asen[b(x− vt)] = Asen bx (2.23)
Como b = k podemos escrever, a equação 2.23, como
A sen[k(x− vt)] = A sen kx (2.24)
Empregando-se a identidade trigonométrica, temos
sen(x+ 2π) = sen x (2.25)
Comparando 2.24 com 2.25
kvt = 2π (2.26)
kv = 2π
t
(2.27)
A frequência angular (ω) é definida como o número de oscilações da onda.
kv = ω (2.28)
v = ω
k
(2.29)
então, usando v = ω/k, temos
27
y(x, t) = A sen [b(x− vt)] (2.30)
= A sen (bx− bvt) (2.31)
= A sen (kx− kvt) (2.32)
y(x, t) = A sen (kx− ωt) (2.33)
Esta equação, 2.33, representa uma situação em que y = 0 para x = 0 e
t = 0. A equação geral da onda que se propaga sobre o eixo x no mesmo
sentido que aquela considerada positiva para esse eixo é
y(x, t) = A sen(k x − ω t + φ). (2.34)
De forma, que φ é chamado de fase inicial. Repetindo a demostração acima
substituindo v por −v obtemos a equação de onda que se propaga em sentido
contrário àquele considerado positivo para o eixo x
y(x, t) = A sen(k x + ω t + φ). (2.35)
As equações gerais 2.34 e 2.35 valem também para as ondas longitudinais.
2.4.1 Parâmetros matemáticos
Agora será analisada o significado de cada variável da equação de uma onda
senoidal se propagando no sentido positivo de um eixo x, o que é de forma
análoga para o sentido contrário. Quando a onda passa por elementos sucessivos
da corda os elementos oscilam paralelamente ao eixo y. Em certo instante t o
deslocamento y do elemento da corda situado na posição x é dado por
y = f(x, t) = Asen(kx− ωt) (2.36)
Como esta equação está descrita em termos da posição x, ela pode ser usada
para calcular os deslocamentos de todos os elementos da corda em função do
tempo. Assim, pode nos dizer qual é a forma da onda em qualquer instante de
tempo e como esta forma varia quando a onda se move ao longo da corda.
Os nomes das grandezas, equação 2.36, são definidos por:
• y(x, t) - a onda unidimensional é função de duas variáveis. Sig-
nifica o deslocamento da onda no sentido vertical.
• A - Amplitude
28
• kx− ωt - Fase da onda
• k - Número de onda
• x- Coordenada espacial
• ω - Frequência ângular
• t- Coordenada temporal
A amplitude A de uma onda é o módulo do deslocamento máximo dos
elementos a partir da posição de equilíbrio quando a corda passa por eles. Como
é um módulo, é sempre um grandeza positiva.
A fase da onda é o argumento kx− ωt do seno da equação 2.36. Quando
a onda passa por um elemento da corda em uma certa posição x a fase varia
linearmente com o tempo t.
Isso significa que o seno também varia, oscilando de +1 e −1. O valor
extremo positivo (+1) corresponde à passagem pelo elemento de pico da onda,
nessse instante, o valor de y na posição x é A. O valor extremo negativo (−1)
corresponde à passagem pelo elemento de um vale da onda, nesse instante, o
valor de y na posição x é −A. Assim, a função seno e a varição com o tempo da
fase da onda correspondem à oscilação de um elemento da corda, e a amplitude
da onda determina os extremos do deslocamento do elemento.
O comprimento de onda λ de uma onda é a distância (paralela à direção
de propagação da onda) entre repetições do padrão de forma da onda. Um
comprimento de onda típico, está indicado na figura2.8, que é um instantâneo
da onda em t = 0. Nesse instante, a equação fornece a seguinte forma da
equação 2.17.
Uma função seno começa a se repetir quando o seu ângulo (ou argumento)
aumenta de 2π rad, assim devemos ter kλ = 2π, ou
k = 2π
λ
(2.37)
O parâmetro k é chamado de número de onda; sua unidade no SI é o
radiano por metro, ou m−1.
Define-se o período T de oscilação de uma onda como o tempo que um
elemento da corda leva para realizar uma oscilação completa.
Esta equação é satisfeita apenas se ωT = 2π , ou
ω = 2π
T
(2.38)
O parâmetro ω é chamado de frequência angular da onda; sua unidade
no SI é o radiano por segundo.
29
A frequência f de uma onda é definida como 1/T e está realacionada à
frequência angular ω através da equação
f = 1
T
= ω2π (2.39)
De mesmo modo que a frequência do oscilador harmônico simples, a frequên-
cia f é o número de oscilações por unidade de tempo; nesse caso, o número de
oscilações realizadas por umelemento da corda. O f é medida em hertz ou seus
múltiplos, como, por exemplo, o quilohertz.
O valor de φ pode ser escolhido de tal forma que a função forneça outro
deslocamento e inclinação em x = 0 para t = 0.
E v velocidade da onda, que podemos definir. Considere o deslocamento
deve permanecer constante:
kx− ωt = constante (2.40)
Observe que, embora este argumento seja constante, tanto x quanto t estão
variando. Na verdade, quando t aumenta x deve aumentar também, para que o
argumento permaneça constante. Isso confirma o fato de que a forma de onda
se move no sentido positivo de x.
Para determinar a velocidade v da onda deriva-se a equação 2.40, em relação
ao tempo, obtemos:
k
dx
dt
− ω = 0 (2.41)
ou
dx
dt
= v = ω
k
(2.42)
Usando a equação (k = 2π/λ), (v = ω/k) e (ω = 2π/T ) pode-se escrever a
velocidade da onda da forma
λ = 2π
k
= ω T
k
= ωT
ω/v
= ω T v
ω
= v T (2.43)
Sabendo da equação 2.39, pode-se concluir que a velocidade pode ser calcu-
lada como relacionando a velocidade e a fequência.
v = λ
T
= λ f (2.44)
A equação v = λ/T indica que a velocidade da onda é igual a um compri-
mento de onda por período; a onda se desloca de uma distância igual a um
compirmento de onda em um período de oscilação.
O módulo da velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda
é dado pela expressão:
30
v =
√
τ
µ
(2.45)
em que τ representa o módulo das forças de tensão aplicadas à corda e µ, a
densidade linear, isto é, o cociente da massa da corda pelo seu comprimento.
Contudo, o módulo da velocidade de propagação muda porque é função das
propriedades físicas do meio e como f = v/λ, o comprimento de onda também
muda. Por isso, podemos caracterizar uma onda que passa de um meio para
outro apenas pela sua frequência.
Concluindo, pode-se expressar uma onda de forma arbitrária, dada por
y(x, t) = f(kx± ωt) (2.46)
onde f representa qualquer função, sendo a função seno apenas uma das
possibilidades. Todas as ondas nas quais as variáveis x e t aparecem em uma
combinação da forma kx± ωt são ondas progressivas.
2.5 Equação diferencial do movimento ondula-
tório
Será derivada a equação geral, em um dimensão, de uma onda transversal,
esta equação diferencial parcial de 2o ordem é importante para a descrição
da dinâmica de propagação das ondas. Para isso será aplicada a equação da
segunda lei de Newton a um elemento diferencial de um segmento de corda.
Considere-se uma seção AB do fio, de comprimento dx, que foi deslocado a
uma distância ξ de sua posição de equilíbrio. Em cada extremidade está agindo
uma força tangencial #»T , de módulo T (figura 2.9).
Considerando-se que a amplitude da onda é tão pequena que o elemento
diferencial sofre apenas uma leve inclinação em relação ao eixo x quando a
onda passa por ele. O módulo da força T , que age sobre a extremidade direita
do elemento possui um módulo igual á tensão da corda e aponta ligeiramente
para cima, e outra que age sobre a extremidade esquerda do elemento também
possui módulo igual à tensão, mas aponta ligeiramente para baixo. Devido à
curvatura do elemento a resultante das forças é diferente de zero e produz no
elemento uma aceleração a, para cima.
Para isso, será aplicada a 2a de Newton para encontrar uma equação dife-
rencial da onda. Mas, para isso é necessário encontrar alguns parâmetros como:
força, aceleração e massa.
O módulo da componente vertical da força resultante sobre a seção AB do
fio é
31
x0
y
Figura 2.9: Considere-se uma corda que sofreu uma perturbação transversal e
que se propaga uma onda senoidal, vamos estudar uma seção da corda definida
por AB que recebe uma força tangencial de módulo ~T .
Fonte: Adaptado [16], pág 238, 1972
Fy = T (senα
′ − senα) (2.47)
Os ângulos α′ e α serão pequenos e poderão ser substituídos por suas tan-
gentes (aproximação para ângulos pequenos),
Fy = T (tanα
′ − tanα). (2.48)
Emprega-se derivada parcial porque a tangente de α depende tanto da
posição x como do tempo t. Portanto a equação 2.48 assume uma nova forma:
Fy = T
∂
∂x
(tanα)dx, (2.49)
Fy = T
∂
∂x
∂ξ
∂x
, (2.50)
Fy = T
∂2ξ
∂x2
. (2.51)
A seção possui aceleração de módulo a escrita como derivada parcial, como:
a = ∂
2ξ
∂t2
. (2.52)
Com massa igual a,
32
m = m dx (2.53)
Logo, empregando-se a segunda lei de Newton e comparando com as equa-
ções 2.51, 2.52 e 2.53 , obtém-se:
#»
F = m #»a , (2.54)
T
∂2ξ
∂x2
dx = m dx ∂
2ξ
∂t2
. (2.55)
A equação 2.55 representa a equação da onda numa corda tensionada. A
equação de onda tem como solução qualquer função do tipo y(x − vt), será
estabelecido que b seja o argumento b = x− vt, ou seja, y(b). Para encontrar a
equação geral do movimento ondulatório precisamos derivar y em relação a x.
Empregando-se a a regra da cadeia:
∂y
∂x
= ∂y
∂b
∂b
∂x
, (2.56)
∂y
∂x
= y′ ∂b
∂x
. (2.57)
Derivando , também, y em relação ao tempo t:
∂y
∂t
= ∂y
∂b
∂b
∂t
, (2.58)
∂y
∂t
= y′ ∂b
∂t
. (2.59)
Logo,
∂b
∂x
= ∂(x− vt)
∂x
= 1, (2.60)
∂b
∂t
= ∂(x− vt)
∂t
= −v. (2.61)
Assim, substituindo 2.60 e 2.61, em 2.57 e 2.59 respectivamente, teremos:
∂y
∂x
= y′ , (2.62)
∂y
∂t
= −vy′ . (2.63)
Obtendo-se a derivada de segunda ordem,
∂2y
∂x2
= y′′ , (2.64)
33
∂2y
∂t2
= v2y′′ , (2.65)
Assim, conclui-se relacionando as equações 2.64 e 2.65 que
∂2y
∂t2
= v2y′′ (2.66)
∂2y
∂t2
= v2 ∂
2y
∂x2
(2.67)
∂2y
∂x2
= 1
v2
∂2y
∂t2
(2.68)
Como no início usou-se a variável ξ para expressar o deslocamento em y,
pode-se escrever a função diferencial como:
∂2ξ
∂x2
= 1
v2
∂2ξ
∂t2
. (2.69)
Esta é a equação diferencial geral que governa a propagação de ondas de
todos os tipos.
2.6 Características das ondas: Reflexão, Refra-
ção, Difração, Interferência
Os fenômenos ondulatórios são nada mais nada menos que propriedades
inerentes à qualquer tipo de onda. Dentre as principais propriedades vamos
estudar a: reflexão, refração, difração e interferência.
2.6.1 Reflexão de uma onda
A reflexão da onda acontecerá sempre que ela encontrar um obstáculo.
Quando isso acontecer, a onda incidente sofrerá reflexão, o que dará origem
à onda refletida. Em outras palavras a reflexão ocorre quando uma onda inicial
esbarra em um obstáculo e retorna ao meio original de propagação.
Se considerarmos uma corda não fixa (figura 2.10,a), percebe-se que ela não
irá sofrer a inversão de fase, pois as particulas se movimentam livremente pela
corda.Agora, se a mesma corda estiver fixa e fizemos um movimento provocando
um pulso (figura 2.10,b), esse pulso se propagará pela corda até chegar a ex-
tremidade, verifica-se que o pulso sofrerá uma inversão de fase, pois, a força
exercida sob a extremidade será de sentido contrário.
Considere ondas retas propagando-se em uma superfície em direção a um
anteparo plano (figura 2.11). Toda a energia onda é transportada pela onda
34
Figura 2.10: Quando a corda não for fixa (a), não terá inversão de fase. Note
que a corda fixa (b), quando o pulso chega a extremidade a corda exerce uma
força para cima no suporte, isso se explica pela terceira Lei de Newton (Ação e
Reação) a força de reação de sentido contrário, logo o pulso sofreu uma reflexão
com inversão de fase.
Fonte: [17]
refletida. As frentes de ondas representadas por A estão separadas pela distância
λ, que atinge o anteparo plano, com raio de incidencia i que é perpendicular às
frentes de ondas incidentes A.
Figura 2.11: Note que as ondas retas incide sob o plano e é gerado novas frentes
de ondas com mesma velocidade e comprimento da origem. Outro ponto é que
as ondas não atravessam o meio apenas voltam com a mesma frequência.
Fonte: adaptado [18], pág. 48
Refletem-se e dão origem a novas frentes de ondas A′ , que é separada pelo
mesmo comprimento de onda λ. O raio r é perpendicular às frentes de ondas
refletidas A′ .
O ângulo formado entre o raio incidente e o eixo y, que é o início da fonte
35
de onda secundária, seguindo o Princípio de Huygens, diz que cada ponto da
onda comporta-se como se fosse origem de um movimento ondulatório com as
as mesmas características da ondade origem, é o ângulo de incidência θi. É
entre o eixo y e o raio refletido é θr, ou seja,
θi = θr (2.70)
O ângulo de reflexão r é igual ao ângulo de indência i. A velocidade de
propagação de reflexão e o comprimento de onda (λ) são iguais ao de incidência.
2.6.2 Refração
A refração é o fenômeno que ocorre quando a onda passa de um meio para
outro de características distintas, tendo sua direção desviada, com variação da
sua velocidade e comprimento da onda.
Considere uma onda reta passando de uma região para outra, na qual a
velocidade de propagação seja diferente (figura 2.6.2).
Note que a onda plana forma um ângulo i1 ao tocar a superfície, quando
essa onda muda o meio material ela muda a direção de propagação, passando a
forma do ângulo i2.
Figura 2.12: Refração de ondas na água.
Fonte: adaptado [19], pág. 416.
36
Logo, a velocidade v1 é a da parte mais rasa, e λ1 o comprimento de onda
incidente. A velocidade do segundo meio (v2) tem comprimento λ2 da onda
refletada, e com frequências iguais, pois depende apenas da fonte.
v1 = λ1f (2.71)
v2 = λ2f (2.72)
e de forma que v1 > v2 e λ1 > λ2.
Agora considere, o instante t = 0, a frente de onda PQ no meio 1 (figura
2.13), com velocidade de v1, incide na superfície de separação dos meios, se-
gundo o ângulo i1. O ponto P , pelo princípio de Huygens, torna-se fonte de
ondas secundárias no meio 2, com velocidade v2. No instante t, as ondas origi-
nadas por P estarão em P ′ , tendo percorrido a distância v2t. Nesse instante as
ondas emitidas pela fonte secundária Q atingiram o ponto Q′ da superfície de
separação dos meios, percorrendo a distância v1t. Nesse instante t, a frente de
o refratada faz com que a superfície de separação do ângulo i2.
Figura 2.13: Determinação da relação entre o ângulo de incidência i1 e o ângulo
de refração i2
Fonte: adaptado [19], pág. 416.
No triângulo retângulo PQQ′ :
sen i1 =
v1 t
PQ′
(2.73)
e no triângulo retângulo PQ′P ′ :
37
sen i2 =
v2 t
PQ′
(2.74)
Assim, tem-se 2.73 e 2.74:
sen i1
sen i2
= v1 t
PQ′
PQ
′
v2 t
(2.75)
seni1
seni2
= v1
v2
(2.76)
2.6.3 Difração
A difração trata da capacidade das ondas de contornar obstáculos ou atra-
vessar fendas. Esse fenômeno é explicado pelo princípio de Huygens.
As ondas incidentes - frentes de ondas, atingi um obstáculo e as frentes
de ondas se tornam secundárias e mudam a difração de propagação da onda,
contornando o obstáculo.
Figura 2.14: A figura mostra exemplos de como acontece a difração. Por exem-
plo, em uma antena de rádio quando emite um sinal ondulatório é capaz de
contornar obstáculos para chegar no receptor. Ainda acontece em fendas, e nas
ondas sonoras.
Fonte: [20]
O fenômeno da difração acontece com todos os tipos de ondas, incluindo on-
das sonoras, ondas na água e ondas eletromagnéticas. Assim, a comprovação da
difração da luz foi de vital importância para constatar sua natureza ondulatória.
2.6.4 Interferência
A interferência de ondas é o fenômeno que ocorre em virtude do encon-
tro simultâneo de duas ondas que se propagam no mesmo meio com sentidos
contrários.
Seja, por exemplo, duas ondas que caminham ao longo de uma mesma corda
esticada com a mesma frequência angular ω e o mesmo número de onda angular
k , definidas por:
38
y1(x, t) = A1sen(kx− ωt+ φ) (2.77)
e
y2(x, t) = A2sen(kx− ωt) (2.78)
onde A1 e A2 são amplitudes das ondas y1(x, t) e y2(x, t), respectivamente.
Elas caminham no mesmo sentido com diferença apenas por uma constante φ.
Aplicando o princípio da superposição, a onda y(x, t), se a combinação das duas
ondas ao se encontrar tiver uma amplitude maior que das originais chamamos
de interferência construtiva, se a onda resultante possui uma amplitude menor
que as originais a interferência é destrutiva.
Se fizermos φ = 0, ela se reduz a:
y(x, t) = 2Asen(kx− ωt) (2.79)
Agora para φ = π rad , cos(φ/2) a onda resultante será nula:
y(x, t) = 0 (2.80)
Note que para φ = 0 , a onda resultante possui uma amplitude que é o dobro
da amplitude das ondas originais, ou seja, A∗ = 2A, sendo este o maior valor
possível para a amplitude da onda resultante.
No segundo caso diz que houve uma interferência totalmente destrutiva e a
amplitude da onda resultante possui seu valor mínimo, ou seja, A∗ = 0. Para
que isto ocorra, as ondas originais devem estar exatamente em oposição de fase.
2.7 Ondas Sonoras
As ondas sonoras são ondas longitudinais produzidas pelas vibrações de
corpos materiais. Ao vibrar são transmitidas de molécula a molécula do ar até
chegar ao ouvido humano o som. Esse tipo de onda que necessita de um meio
material para se propagar.
As ondas sonoras apresentam uma frequência não-audível que está entre
menor que 20 hertz (infra-som) ou maior que 20.000 hertz (ultra-som) que ao
atingirem o ouvido de uma pessoa não provocam nenhuma sensação auditiva.
Da mesma forma, existe uma frequência audível e está compreendida aproxi-
madamente entre os limites de 20 e 20.000 Hz, [10].
São utilizadas em equipamentos para detecção através do som, como por
exemplo, o sonar que detecta obstáculos submersos. Os submarinos usam ondas
sonoras para emboscar outros submarinos ouvindo os ruídos produzidos pelo
sistema de propulsão.
39
A velocidade de qualquer onda mecânica depende das propriedades inerciais
do meio (para armazenar energia cinética) como das propriedades elásticas (para
armazenar energia potencial). Veja na figura 2.15 que a velocidade do som muda
conforme a temperatura, o estado físico e o material, perceba que nos sólidos a
velocidade da onda sonora são bem maiores.
Figura 2.15: Velocidade do som em diferentes meios.
Fonte: [27]
Vamos entender como ocorre a propagação de uma onda sonora. Quando
uma onda sonora se propaga no ar a energia potencial está associada à com-
pressão e à expansão de pequenos elementos de volume do ar (figura2.16).
A propriedade que determina o quanto um elemento de um meio muda de
volume quando é submetido a uma pressão (força por unidade de área) é o
módulo de elasticidade volumétrico B, definido como
B = − ∆p∆V/V (2.81)
Aqui ∆V/V é a variação relativa de volume produzida por uma variação de
pressão ∆p que recebe o nome de pascal Pa. De acordo com a equação 2.81,
a unidade de B também é o pascal. Os sinais de ∆p ∆V são sempre opostos.
Quando aumentamos a pressão sobre um elemento, o volume diminui.
A velocidade de qualquer onda sonora pode ser expressa como:
v =
√
B
ρ
(2.82)
A equação representa a velocidade do som em um meio de módulo de elas-
ticidade volumétrica B e massa específica ρ.
Vamos demonstrar a equação 2.82 aplicando diretamente as leis de Newton.
40
Figura 2.16: Um pulso de compressão se propaga da direita para a esquerda em
um tubo longo e cheio de ar. Um elemento de ar de largura ∆x se move em
direção ao pulso com velocidade v.
Fonte: ADAPTADO [23], pág. 152.
Considere-se um pulso isolado de compressão do ar que se propaga da direita
para a esquerda, com velocidade v, em um tubo (figura 2.16). Vamos escolher
um referencial que se move com a mesma velocidade que o pulso. O pulso
permanece estacionário e o ar passa por ele com velocidade v, movendo-se da
esquerda para a direita.
Seja ρ a pressão de ar não perturbado e p+∆p a pressão na região do pulso,
onde ∆p é positivo devido à compressão. Considere um elemento de ar com
espessura ∆x e a seção reta A, movendo-se em direção ao pulso com velocidade
v. Quando esse elemento de ar penetra no pulso a borda dianteira encontra
uma região de maior pressão, que reduz a velocidade do elemento para v+ ∆v,
onde ∆v é o número negativo. Essa redução de velocidade termina quando a
borda traseira de elemento penetra no pulso, o que exige um intervalo de tempo
dado por
∆t = ∆x
v
(2.83)
Aplica-se a segunda lei de Newton ao elemento. Durante o intervalo de
tempo ∆t, a força média exercida sobre a borda traseira do elemento é pA,
dirigida para a direita, e a força média exercida sobre a face dianteira é (p +
∆p)A, dirigida para a esquerda. Assim, o módulo da força resultante média
exercida sobre o elemento duranteo intervalo ∆t é
F = pA− (P + ∆P )A (2.84)
41
F = −∆pA (2.85)
A equação 2.85 é a força resultante, o sinal negativo indica que a força
resultante que age sobre o elemento do ar aponta para a esquerda. O volume
do elemento é A∆x; e assim, com ajuda da equação 2.83, podemos escrever a
massa como
∆m = ρ∆V = ρA∆x = ρAv∆t (2.86)
A aceleração média do elemento durante o intervalo ∆t é
a = ∆v∆t (2.87)
Assim, de acordo com a segunda lei de Newton ( #»F = m #»a ) e as equações
2.86e 2.87, temos:
−∆p A = (ρ Av ∆t)∆v∆t (2.88)
que pode ser escrita na forma
ρ v2 = − ∆p∆v/v (2.89)
O ar que ocupa um volume V (= Av∆t) fora do pulso sofre uma redução de
volume ∆V (= A∆v∆t) ao penetrar no pulso. Assim [24],
∆V
V
= A ∆v∆t
Av∆t =
∆v
v
(2.90)
Substituindo a equação 2.90 na equação 2.89, obtém-se:
pv2 = − ∆p∆v/v = −
∆p
∆V/V = B (2.91)
Explicitando v, obtemos a equação 2.82 para a velocidade do ar para a
direita na figura 2.16, e portanto, a velocidade do pulso para a esquerda [24].
42
Capítulo 3
Ondas Eletromagnéticas
A descoberta das ondas eletromagnéticas revolucionou o estudo de vários
fenômenos. Por isso, diversos dispositivos eletrônicos utilizados atualmente tem
princípios das ondas eletromagnéticas para a conectividade, como por exemplo,
um rádio, televisão, internet, raio X e outras ondas. A importância delas na
nossa vida é indiscutível. Elas estão presentes ao exergar objetos a nossa volta,
ao ligar a TV, ao estourar pipocas no forno de microondas [57].
Por centenas de anos filosofos e cientistas questionaram a natureza da luz.
A disputa sobre a natureza e o comportamento da luz foi finalmente resolvida
com a unificação da eletricidade e magnetismo em uma única teoria, conhecida
como eletromagnetismo, cuja descrição é dada nos trabalhos do físico inglês
James Clerk Maxwell (1831-1879). Maxwell mostrou que todas as proprieda-
des conhecidas da luz poderiam ser explicadas atrevés de quatros equações,
conhecidas como equações de Maxwell.
Neste capitulo, estuda-se as equações de Maxwell como base teórica para
o entendimento das ondas eletromagnéticas. Diferentemente da onda em uma
corda ou do som se propagando em um fluido, as ondas eletromagnéticas não
precisam de um meio material para se propagar.
3.1 Equações de Maxwell e ondas eletromag-
néticas
A natureza da luz está fundamentada nos princípios do eletromagnetismo,
e sintetizado nas quatro equações de J. C. Maxwell, as quais são enunciadas a
seguir,
Lei de Gauss para os campos elétricos
A primeira equação de Maxwell, na sua forma integral, estabelece que : “O
fluxo do campo elétrico ~E através de qualquer superfície fechada S é igual a
43
razão entre a carga elétrica confinada dentro da superfície e a permissividade
do vácuo ε0”([52], pag. 139), isto justifíca a existência de monopólos elétricos e
de cargas positivas e negativas.
‹
S
#»
E.d
#»
A = Q
ε0
. (3.1)
Lei de Gauss para os campos magnéticos
Na sua forma integral, esta lei estabelece que o campo magnético #»B possui
divergência igual a zero, ou seja, que é um campo vetorial solenoidal. É equiva-
lente à afirmação de que os monopólos magnéticos não existem ([52], pag.139).
‹
S
#»
B.d
#»
A = 0. (3.2)
Lei de Faraday
A versão de Maxwell-Faraday da lei de indução de Faraday descreve como
um campo magnético variável no tempo cria (“induz”) um campo elétrico. Na
forma integral, ela afirma que o trabalho por unidade de carga necessária para
mover uma carga em torno de um circuito fechado é igual à taxa de variação
do fluxo magnético através da superfície fechada ([52], pag.140).
˛
∂
∑
#»
E.d
#»
l = − d
dt
‹
∑
#»
B.d
#»
S . (3.3)
Lei de Ampère
A lei de Ampère complementada por Maxwell afirma que os campos mag-
néticos podem ser gerados de duas maneiras: por corrente elétrica (esta era a
“lei de Ampère” original), e pela mudança de campos elétricos (esta é a “adi-
ção de Maxwell”, que foi denominada de corrente de deslocamento). Na forma
integral, o campo magnético induzido em torno de qualquer circuito fechado é
proporcional à corrente elétrica mais a corrente de deslocamento (proporcional
à taxa de variação do fluxo elétrico) através da superfície fechada,
44
˛
∂
∑
#»
B.d
#»
l = µ0
‹
#»
J .d
#»
S + µ0 ε0
d
dt
‹
∑
#»
E.d
#»
S . (3.4)
A força de Lorentz
A força que os campos elétrico e magnético exercem sobre uma carga pontual
q.
#»
F = q #»E + q #»v × #»B. (3.5)
A conclusão das equações nos permite analisar a relação entre o movimento
de cargas e a criação dos campos #»E e #»B [52]. As cargas em repouso cria o
~E estático e não produz #»B. A carga em movimento uniforme produz #»E e #»B
estáticos. A carga em movimento acelerado produz #»E e #»B que variam com o
tempo [52].
Portanto, quando um campo elétrico está variando com o tempo ocorre
uma indução do outro campo na região do espaço adjacente ao campo que
está variando. Somos levados a considerar a possibilidade de ocorrência de
uma perturbação eletromagnética constituída por campos elétricos e magnéticos
variando com o tempo e que pode se propagar de uma região para outra, mesmo
que não exista meio material, e chamá-la de onda eletromagnética é bastante
apropriado.
Essas equações aplicam-se a campos elétricos e magnéticos no vácuo. Quando
um material está presente, é necessário substituir as constantes elétricas ε0
e magnética µ0 pela permissibilidade ε e pela permeabilidade µ do material.
Quando os valores de ε e µ variam de um ponto para outro na região de in-
tegração, então eles devem ser transferidos para os membros das equações 3.1
e 3.4 , respectivamente, e colocados dentro do sinal das respectivas integrais.
O valor de ε na equação 3.4 também deve ser incluído na integral que fornece
dΦE/dt.
De acordo com as equações de Maxwell, uma carga puntiforme em repouso
produz uma campo #»E estático, mas não gera campo #»B, enquanto uma carga
puntiforme que se move com uma velocidade constante produz tanto o campo
#»
E quanto o campo #»B.
45
3.2 Ondas eletromagnéticas planas e a veloci-
dade da luz
Agora pretende-se desenvolver as ideias básicas das ondas eletromagnéticas
e suas relações com os princípios do eletromagnetismo. Nosso procedimento
será postular uma configuração de campo simples que possui comportamento
ondulatório.
Considere-se, um exemplo baseado em [25], pág.415 à 417, uma sistema de
coordenadas xyz (figura3.1) e que o espaço seja dividido em duas regiões por um
plano perpendicular ao eixo 0 x. Em cada ponto à esquerda desse plano existe
um campo elétrico uniforme ~E no sentido do eixo +0y e um campo magnético
uniforme ~B no sentido do eixo +0z.
Supondo-se que o plano da fronteira, denominada frente de onda, se des-
loca da esquerda para a direita ao longo do eixo +0x com uma velocidade
constante c, ainda não conhecida. Logo, #»E e #»B se deslocam da esquerda para
a direita, para regiões previamente desprovidas de campo, com uma velocidade
definida. Essa situação descreve de modo rudimentar uma onda eletromagné-
tica.
Figura 3.1: Uma frente de onda eletromagnética. O plano que representa a
frente de onda se desloca para a direita, no sentido positivo de x com velocidade
c. Os campos elétrico e magnético são uniformes sobre os planos atrás da frente
de onda, porém são nulos em todos os pontos situados na parte dianteira.
Fonte: [25], pág 415
Tal onda, na qual em qualquer instante os campos são uniformes sobre qual-
quer plano perpendicular à direção de propagação, denomina-se onda plana.
Os campos são nulos (figura 3.1) para planos situados do lado direito da frente
de onda e possuem os mesmos valores sobre os planos situados do lado esquerdo
da frente de onda; mais adiante, vamos considerar ondas planas mais complexas.
46
Prentende-se saber se ela é consistente com as leis do eletromagnetismo, ou
seja, com as equações de Maxwell.
Para isso vamos verificar se a equação da onda satisfaz as equações de
Maxwell.
• Lei de Gauss
A lei de Gauss para o campos elétricos e magnéticos, 1a e 2a equação de
Maxwell. Se tomando-se como superfície gaussianauma caixa retangular com
os lados paralelos aos planos xy, xz e yz, como base a figura 3.1. Verifica-se
que no inteiror da caixa, não existe cargas elétricas. O fluxo elétrico total e o
fluxo magnético são iguais a zero, mesmo se parte da caixa estiver na região
#»
E = #»B = #»0 . Se #»E ou #»B tiver ao longo do eixo 0x, paralelos à direçaõ de
propagação, e ainda, se a frente de onda estivesse dentro da caixa, haveria
um fluxo passando pelo lado esquerdo da caixa, mas não pelo lado direito.
Portanto satisfaz as duas primeiras equações de Maxwell, é necessário que o
campo elétrico seja perpendicular à direção de propagação, ou seja, se trata de
uma onda transversal.
Figura 3.2: O campo elétrico é o mesmo na parte de cima e na parte de baixo da
superfície gaussiana, portanto o fluxo elétrico total através da superfície é igual
a zero. O campo magnético é o mesmo nos lados esquerdo e direito da superfície
gaussiana, portanto o fluxo magnético total através da superfície é igual a zero.
Superfície gaussiana para uma onda eletromagnética plana transversal.
Fonte: [25], pág 415
• Lei de Faraday
A terceira lei de Maxwell é a lei de Faraday, equação 3.3. Para a seção de um
plano xy, esse retângulo possui altura a e largura ∆x (figura 3.3). Na instante
indicado, a frente de onda avança parcialmente através do retângulo, e #»E é o
zero ao lado ef . Aplica-se a lei de Faraday, considere-se um vetor área d #»A do
47
Figura 3.3: (a)Aplicação da Lei de Faraday para uma onda plana. (b) No
intervalo de tempo dt, o fluxo magnético através do retângulo no plano xy
cresce por dΦB, que é o fluxo através do retângulo sombreado de área igual a
acdt, ou seja,dΦB = Bacdt. Logo , dΦB/dt = Bac
Fonte: [25], pág 416
retângulo efgh no sentido +0z. Com essa escolha a regra da mão direita exige
que a integral de ~Ed #»l seja feita no sentido anti-horária em torno do retângulo.
Em cada ponto ao longo do lado ef , #»E é igual a zero. Em cada ponto ao
longo dos lados fg e he, #»E é nulo ou perpendicular ao vetor d #»l . Somente o
lado gh contribui para a integral.
Sobre esse lado, #»E possui sentido oposto ao de d #»l , e descobrimos que o lado
esquerdo da equação 3.3 é diferente de zero:
˛
∂
∑
#»
E.d
#»
l = −Ea (3.6)
Para satisfazer a lei de Faraday, equação 3.3, deve haver um componente de
#»
B na direção do eixo 0z (perpendicular a #»B), de modo que nessa região exista
um fluxo magnético ΦB através do retângulo efgh e uma devivada dΦB/dt
diferente de zero.
Durante o intervalo de tempo dt, a frente de onda se desloca para a direita
a uma distância cdt, na figura 3.3, varrendo a área acdt do triângulo efgh.
Durante esse intervalo, o fluxo magnético cresce por dΦB = B(acdt), de modo
que a taxa de variação do fluxo magnético é
dΦB
dt
= Bac (3.7)
Agora, substituimos as equações 3.6e3.7 na lei de Farady, obtemos EaBac,
48
de modo que
E = cB (3.8)
De forma que o módulo do campo elétrico (E) é igual a velocidade da luz
no vácuo c vezes o módulo do campo magnético B.
• Lei de Ampère
Lei de Ampère, equação 3.4.
Considere o nosso retângulo esteja situado no plano xy, novamente exami-
namos a situação no instante em que a frente de onda se deslocou parcialmente
através do retângulo.
Figura 3.4: (a) Aplicação da lei de Ampère para uma onda plana. (b)No in-
tervalo de tempo dt, o fluxo elétrico através do retângulo no plano xz cresce
por um valor dΦE. Esse aumento é igual ao fluxo através da área do retângulo
sombreado acdt, ou seja,dΦE = Eac dt. Portanto, dΦE/dt = Eac
Fonte: [25], pág 416
Considera-se o vetor área d #»A no sentido +0y e, portanto, a regra da mão
direita exige que a integral #»Bd #»l seja feita no sentido anti-horário em torno do
retângulo. O campo #»B é igual a zero em cada ponto ao longo dos lados ef , e
em cada ponto ao longo dos lados fg e he ele é igual a zero ou perpendicular a
d
#»
l . Somente o lado gh, no qual #»B e d #»l são paralelos, contribui para a integral,
e assim obtemos
˛
∂
∑
#»
B.d
#»
l = Ba (3.9)
Portanto, o membro da lei de Ampère, na equação 3.4, é diferente de zero.
Portanto, #»E deve possuir uma componente y de modo que o fluxo elétrico seja
diferente de zero.
49
Em um intervalo de tempo dt, o fluxo elétrico ΦE, através do retângulo
aumentou por dΦE = E(ac dt). Como escolhemos d
#»
A no sentido +Oy, a
variação desse fluxo é positiva, a taxa de variação do campo elétrico é
dΦE
dt
= Eac (3.10)
Subtituindo as equações 3.9e 3.10 na lei de Ampère 3.4, encontra-se Ba =
ε0µ0Eac, logo
B = ε0µ0 c E (3.11)
O módulo do campo elétrico é igual o produto da constante elétrica, cons-
tante magnética, velocidade da luz no vácuo, e módulo do campo magnético.
Pode-se comparar as equações obtidas a partir da lei de Ampère e Faraday,
podemos concluir que a velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo é:
B = ε0µ0cE (3.12)
como E = cB, então
B = ε0µ0ccB (3.13)
1 = ε0µ0c2 (3.14)
1
ε0µ0
= c2 (3.15)
c2 = 1
ε0µ0
(3.16)
c =
√
1
ε0µ0
(3.17)
Substituindo os valores numéricos dessas grandezas, obte-se
c = 1√
(8, 85× 10−12C2/Nm2)(4π × 10−7N/A2)
(3.18)
c = 3, 00× 108m/s (3.19)
A onda que representada é consistente com todas as equações de Maxwell.
Note que o valor exato de c é definido como 299.792.458 m/s. Logo, pode-se
conluir que uma onda eletromagnética é transversal, tanto #»E quando #»B são
perpendiculares à direção de propagação da onda. A razão entre o módulo de
#»
E e o módulo de #»B é constante: E = cB. A onda se desloca no vácuo com uma
50
Figura 3.5: Representação dos campos elétricos e magnéticos em função de x
para uma onda eletromagnética plana senoidal linearmente polarizada.
Fonte: [25], pág 421
velocidade definida e invariável e não necessita de um meio para se propagar.
3.3 Ondas eletromagnéticas senoidais
Uma onda eletromagnética senoidal, [25], pág. 421, linearmente polarizada
se propagando no sentido do eixo +0x. Note que #»E atinge seu valor máximo
quando #»B atinge seu valor máximo, isso também acontece quando atingem o
valor zero. Observe também que, quando #»E no plano de sentido +y, #»B está
no sentido +z, e quando #»E no plano de sentido −y, #»B está no sentido −z.
Note que em todos os planos o produto vetorial #»E × #»B aponta no sentido da
propagação da onda.
Pode-se escrever as funções de onda usando vetores, quer dizer a função da
onda plana eletromagnética senoidal propaga-se no sentido +0x:
#»
E(x, t) = ĵEmáxsen(kx− ωt) (3.20)
#»
B(x, t) = k̂Bmáxsen(kx− ωt) (3.21)
Onde Emáx é o módulo do campo elétrico e Bmáx o módulo do campo mag-
nético. A medida que o tempo passa, a onda se desloca para a direita com
velocidade c.
Agora, supoe-se que os #»E e #»B de uma onda se desloca no sentido negativo
do eixo 0x. Nos pontos para as quais #»E está no sentido positivo de y, #»B está
no sentido negativo de z, e quando #»E está no sentido negativo de y, #»B está
no sentido positivo de z [25], pág. 422. Assim como no caso de uma onda que
51
Figura 3.6: Representação de uma onda harmônica que se propaga ao longo do
eixo x, no sentido negativo.
Fonte: [25], pág 422
se desloca no sentido x, em qualquer ponto, as oscilações dos campos #»E e #»B
dessa onda estão em fase, e o produto vetorial #»E × #»B aponta no sentido da
propagação da onda.
Nesse caso, as funções de onda são:
#»
E(x, t) = ĵEmáxsen(kx+ ωt) (3.22)
#»
B(x, t) = −k̂Bmáxsen(kx+ ωt) (3.23)
A distruição das ondas eletromagnética acontece em intervalo de frequência,
número de oscilações que o seu campo elétrico realiza a cada segundo, cha-
mado espectro eletromagnético, (figura 3.7 ), que podem ser visíveis ou não
visíveis. O olho consegue enxergar numa frequência de 400 nm a 700 nm
Em ordem crescente de frequência, as ondas distribuem-se no espectro ele-
tromagnético, classificando-se em: ondas de rádio, micro-ondas, infravermelho,
luz visível, ultravioleta, raios X e raios gama.
Nesse trabalho será abordado um tipo de espectro de ondas de rádio que
será abordado nos próximos capítulos.
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Figura 3.7: Observe que os espectros da onda eletromagnética