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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Unidade III
7 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E SUAS CARACTERÍSTICAS 
7.1 Ondas eletromagnéticas
7.1.1 Introdução e descoberta
A existência das ondas eletromagnéticas foi prevista há aproximadamente 150 anos por um 
importante físico escocês chamado James Clerk Maxwell. Em seu trabalho intitulado Teoria Dinâmica do 
Campo Eletromagnético (MAXWELL, 1865), de 1865, Maxwell apresentou 20 equações matemáticas que 
se tornariam a base do eletromagnetismo clássico. As equações descreviam de modo quantitativo muitas 
das ideias propostas anteriormente por Michael Faraday, como o conceito de linhas de força, campos 
elétricos e magnéticos, entre outras. Além disso, propunha a existência das até então desconhecidas 
ondas eletromagnéticas.
 Algumas décadas depois, em 1887, Heinrich Hertz, um físico alemão, seria o primeiro a comprovar 
na prática a existência de tais ondas. Hertz produziu em seu laboratório os primeiros receptores e 
transmissores de ondas de rádio. Mostrou que elas possuíam características necessárias para serem 
consideradas ondas eletromagnéticas, como a velocidade de propagação, caráter transversal etc. 
(NUSSENZVEIG, 1997). 
Figura 56 – Da esquerda para a direita, os retratos de James Maxwell e Heinrich Hertz
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Unidade III
Atualmente, mais de um século após sua descoberta, as ondas são amplamente utilizadas em nossa 
tecnologia, sendo fundamentais para a forma como vivemos. Ondas são utilizadas para a comunicação 
via celular, transferência de dados via internet, no rádio e na televisão, entre outras aplicações. A luz 
visível, os raios X e até mesmo as radiações emitidas por outros astros e estrelas, mais distantes do nosso 
planeta, são também outros tipos de ondas eletromagnéticas.
Figura 57 – Dispositivos eletrônicos presentes no dia a dia e que fazem uso de ondas eletromagnéticas
O objeto do estudo são as ondas eletromagnéticas. É importante que, ao final, você seja capaz de 
compreender o que são, como são produzidas e quais as suas características, além de que tenha certa 
intuição de como podem ser aplicadas em tecnologia. 
7.1.2 O problema da folha e da pedra no lago
Para compreendermos como as ondas eletromagnéticas são formadas e o que são exatamente, 
considere o seguinte experimento mental, aparentemente sem qualquer conexão com nossos estudos. 
Imagine uma folha flutuando sobre a superfície de uma lagoa em um dia sem vento. A superfície do lago 
se encontra totalmente estática, como um espelho d’água. Agora, imagine que uma pedra relativamente 
pequena cai próxima a folha, conforme esquematizado na figura a seguir. Poderíamos nos indagar se 
a folha, no instante em que a pedra toca a superfície da água, já sente a sua queda. Naturalmente a 
resposta seria negativa, visto que, primeiro, perturbações na superfície do lago seriam produzidas e se 
propagariam em todas as direções. Somente quando as perturbações, denominadas ondas, alcançassem 
a folha é que esta sentiria os efeitos da queda da pedra.
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Ondas se deslocando 
na lagoa
Folha flutuando
Pedra que caiu 
na lagoa
Lagoa
Figura 58 – Esquema mostrando um lago estático com uma folha flutuando. A partir do momento que uma pedra cai, esta perturba 
a superfície formando ondas. A folha somente sofre os efeitos da queda da pedra quando as ondas a alcançam. Antes disso, ela se 
comporta como se nada tivesse ocorrido
O problema da pedra e da folha no lago pode ser usado como analogia no nosso estudo. Considere 
agora um problema fictício, de cunho didático. Uma partícula carregada positivamente, muito distante 
de qualquer outro portador de carga, permanece totalmente estática e isolada no Universo (similar à 
folha). Imagine, mesmo que impossível, que outro portador de carga de sinal contrário fosse criado 
próximo à primeira partícula (como a pedra que cai no lago). Como as partículas possuem cargas de 
sinais diferentes, uma força de atração seria verificada. Nesse ponto é possível levantar uma relevante 
questão: “O primeiro portador de carga sente a força de atração instantaneamente após a criação da 
segunda partícula?”. 
Antes de solucionarmos essa questão é necessário compreendermos como os portadores de carga 
sentem a presença de outros. A interação entre eles é mediada pelos seus campos eletromagnéticos. 
Assim, somente quando as partículas são imersas nos campos das outras é que ocorre a interação. A fim 
de visualizarmos esse processo, observe como são as linhas de campo elétrico produzidas por partículas 
estáticas e carregadas. 
Figura 59 – Esquema mostrando a direção das linhas de campo de portadores de cargas de sinal positivo e negativo. Note que 
as cargas positivas se comportam como fonte de linhas de campo enquanto as cargas negativas se comportam como 
sorvedouros. As linhas de campo não permanecem paradas, mas saem constantemente das cargas positivas e entram 
constantemente nas cargas negativas
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Unidade III
As linhas de campo indicam a direção da força que uma carga teste positiva sofreria ao ser colocada 
próximo às partículas. Perceba que as linhas sempre apontam na direção radial, pois repelem ou atraem 
outros portadores de carga pelo caminho mais rápido possível. As cargas positivas são ditas fontes 
enquanto as negativas são denominadas sorvedouros. Isso porque as linhas de campo devem ser 
imaginadas como estruturas dinâmicas. Os portadores de carga positiva emitem continuamente suas 
linhas de campo para que se dispersem no espaço. Já as cargas negativas funcionam como sorvedouros, 
ou seja, atraindo todas as linhas de campo. 
Para o exemplo fictício discutido anteriormente, verificaríamos então a propagação das linhas de 
campo conforme o esquema a seguir. Quanto maior o tempo após a criação da segunda partícula, 
maior seria o alcance do campo dessa carga. O campo se propagaria em todas as direções (como as 
ondas produzidas pela pedra na lagoa) e poderíamos identificar o alcance máximo para cada instante 
de tempo, sendo esta região limite denominada frente de onda. 
I.
II.
∆T3
∆T2
∆T1
Figura 60 – Esquema mostrando a propagação do campo elétrico de uma carga puntiforme. Inicialmente, após um intervalo 
de tempo Dt1, o alcance das linhas de campo ocorre na circunferência menor. Conforme o tempo passa, as linhas de campo se 
propagam, de modo que o alcance do campo também aumenta com o tempo. Note que as circunferências representam as 
frentes de onda que transmitem informação pelo espaço. Somente quando a frente de onda do portador de carga II 
alcança a partícula I é que estas irão apresentar repulsão
Este exemplo apresenta conceitos básicos de como partículas carregadas interagem e fornece uma 
visão elementar do significado de uma onda elétrica, mas é baseado em uma situação impossível. Sendo 
assim, passemos a focar nossos estudos em casos mais reais.
7.1.3 Linhas de campo de portadores de carga em movimento
Considere novamente o exemplo de duas cargas de sinais opostos. A carga negativa se mantém 
parada e presa em sua posição inicial enquanto a carga positiva parte em movimento até que 
rapidamente atinge uma velocidade constante. O movimento se dá na direção perpendicular a 
aquela que une as partículas, conforme esquematizado a seguir. Considere que ambas as partículas 
estavam previamente imersas nos campos das outras, antes do início do movimento. Vamos analisar 
o comportamento das linhas de campo da partícula em movimento.
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Partícula 
presa/fixa
ν
Figura 61 – Esquemamostrando a configuração de cargas analisada. A partícula carregada positivamente se desloca 
na direção perpendicular à direção que a une a partícula carregada negativamente. A partícula de sinal negativo 
permanece fixa ou presa em sua posição original
Primeiramente, é importante perceber que no espaço, isolado de tudo, seria impossível discernir se 
uma partícula se desloca com velocidade constante ou se nós é que nos deslocamos com velocidade 
constante em relação à partícula. Assim, seria natural esperar que as linhas de campo nestes dois casos, 
estática e em movimento uniforme, fossem similares. De fato, na prática, isso é verificado e as linhas 
de campo sempre apontam na direção radial. É possível interpretar esse resultado como uma inércia 
adquirida pelo campo. As linhas se deslocam juntamente com a partícula carregada que a gerou quando 
em movimento uniforme. Uma analogia possível é a de quando observamos insetos que viajam dentro 
de um carro. Mesmo quando voam, eles mantêm a velocidade do carro e se deslocam junto com ele. 
O comportamento descrito anteriormente, no entanto, não é válido para partículas aceleradas. 
Quando uma partícula carregada acelera as linhas de campo que haviam sido emitidas anteriormente, 
não aceleram junto com a partícula que a gerou. Consequentemente, elas acabam por apontar em uma 
direção em que a partícula não ocupa mais, conforme esquematizado na sequência. 
Figura 62 – Esquema mostrando as linhas de campo elétrico de uma carga que inicialmente estava parada e acelera 
rapidamente a uma velocidade constante. Na posição inicial, indicada pela cor azul, as linhas de campo eram radiais e 
apontavam para a partícula da cor azul, que representa a posição inicial da partícula. Em preto é indicada a partícula já 
em movimento uniforme. Esta também apresenta linhas de campo na direção radial. Note que as posições das partículas 
antes e depois do movimento acelerado não coincidem, pois quando a partícula acelera, está se deslocando em relação 
às linhas de campo da partícula estática. As linhas em vermelho são formadas durante a aceleração da partícula e são 
denominadas ondas, pois se propagam pelo espaço infinito, mantendo sua forma
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Após o término da aceleração a partícula se desloca em relação às linhas de campo emitidas 
anteriormente, a partir de sua posição estática. As novas linhas de campo readquirem o comportamento 
radial (já em movimento uniforme novamente). Verifica-se que as linhas de campo de antes e depois 
da aceleração não apontam para a mesma posição e não se ligam diretamente por extensão. Como 
estas são sempre contínuas, ao ligarmos as linhas, verificamos uma curva que não aponta na direção 
radial. O formato da curva traz informações referentes à intensidade, direção e sentido da aceleração 
da partícula. A região curva das linhas de campo é o que denominamos radiação eletromagnética. A 
radiação eletromagnética se propaga pelo espaço de modo similar à onda produzida no lago, sendo 
uma perturbação no formato natural das linhas de campo. A radiação é gerada pelo movimento 
acelerado de partículas carregadas.
 Saiba mais
Para melhor visualização da propagação da radiação no espaço, 
conforme exemplificado anteriormente, acesse o endereço eletrônico a 
seguir. Uma excelente animação mostra o fenômeno.
ELECTROMAGNETIC field of an accelerated charge. [s.d.]. Disponível em: 
<http://www.tapir.caltech.edu/~teviet/Waves/empulse.html>. Acesso em: 
19 jul. 2017.
A radiação eletromagnética possui características muito importantes, que serão discutidas na 
sequência, mas antes perceba que a forma da radiação depende do movimento da partícula. Para uma 
partícula que executa movimento harmônico simples, o movimento se inicia de modo acelerado e a partir 
da metade do percurso começa a desacelerar. Como consequência, uma onda é formada, apresentando 
o seguinte formato:
Figura 63 – Para uma partícula carregada em movimento harmônico simples, ou seja, que sobe 
e desce ciclicamente, a onda gerada apresenta formato senoidal
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Devido à forma da radiação se repetir ao longo do espaço, esta é denominada onda eletromagnética. 
O campo gerado, embora variável e com um comportamento senoidal, apresenta, neste caso, sempre 
a mesma polaridade (sinal), pois a partícula que a criou tem sinal positivo. Surge então a seguinte 
pergunta: 
• Como poderíamos criar uma onda que alterne a polaridade? 
Com características como as que verificamos nas linhas de transmissão em nosso dia a dia. 
7.1.4 Dipolo elétrico oscilante
Uma possível configuração que permite a obtenção de ondas de comportamento senoidal e que 
alternam sua polaridade é a de um dipolo elétrico. Um dipolo nada mais é do que uma configuração em 
que temos um portador de carga positivo e um negativo, fixos em suas posições e separados por uma 
pequena distância. 
Figura 64 – Linhas de campo formadas por um dipolo elétrico 
Nesta configuração, as linhas de campo são tais como as apresentadas na figura anterior. Se uma 
partícula carregada positivamente for abandonada a partir do repouso próxima ao dipolo, esta se 
deslocará ao encontro da partícula negativa, independentemente da posição inicial. Note ainda que 
para posições equidistantes das duas partículas, ou seja, em qualquer ponto de sua mediatriz, o campo 
elétrico sempre apontará na mesma direção que une as partículas, conforme esquematizado a seguir. O 
campo resultante é indicado na figura a seguir pelo vetor E. 
+Q
-Q
a
a
r
P
E2 E1
E
r
d a
Figura 65 – Esquema mostrando que o campo elétrico resultante na direção horizontal é nulo em qualquer 
ponto equidistante das partículas que compõem o dipolo elétrico
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Suponha agora que as partículas do dipolo elétrico trocassem de posição no instante t = 0. 
Verificaríamos a formação de um pulso de onda tal qual o representado abaixo. Inicialmente o campo 
resultante apontava para baixo, mas após a troca de posição o campo passa a apontar para cima. 
Perceba que as linhas de campo geradas pela configuração anterior continuam a se propagar pelo 
espaço. As intensidades do campo elétrico do dipolo diminuem com a distância, sendo possível mostrar 
que caem com um fator 1/r3 (onde r é a distância em relação à mediatriz). 
E
Tempo
Frente de onda 
Instante de inversão 
de posição
Figura 66 – Esquema mostrando a onda gerada por um dipolo elétrico que inverte de posição. Note que o campo 
apontava inicialmente para baixo, pois a partícula carregada positivamente permanecia em cima e a negativa, 
em baixo. Devido à inversão, a polaridade do campo também se inverte
Ou seja, uma mudança de polaridade no campo elétrico ocorre devido à troca de posição entre 
as partículas. Se executássemos uma contínua rotação das partículas em relação ao eixo horizontal, 
observaríamos então formação da seguinte onda:
E
Tempo
Figura 67 – Esquema mostrando a onda gerada por um dipolo elétrico oscilante, que inverte 
de posição continuamente devido a um movimento de rotação
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Que é do tipo senoidal, com alternância de polaridade ao longo do tempo. A utilização dessa 
configuração será discutida posteriormente. Neste ponto você já deve entender como as ondas elétricas 
são formadas, pelo movimento oscilatório de um dipolo elétrico. Mesmo assim seria possível levantar 
as seguintes questões: 
• Os campos elétricos não diminuem com a distância? 
• Como as ondas continuam a se propagar ao infinito? 
 Saiba mais
Para melhor visualização da formação de uma onda por um dipolo 
elétrico oscilante, acesse o endereçoeletrônico na sequência. Uma 
excelente animação mostra como as ondas são formadas.
ELECTROMAGNETIC waves. [s.d.]. Disponível em: <http://www.tapir.
caltech.edu/~teviet/Waves/emwave.html>. Acesso em: 19 jul. 2017.
7.1.5 Propagação de ondas
Em 1831, Michael Faraday demonstrou o fenômeno de indução magnética. Assim, desde esse período 
já era um fato conhecido que uma variação do campo magnético com o tempo produziria um campo 
elétrico induzido, que se propagaria pelo espaço. Por exemplo, ao movimentarmos um ímã próximo 
a uma espira, uma corrente elétrica é verificada. Isso porque a variação do campo magnético do ímã 
produz um campo elétrico induzido na espira, que promove o movimento dos portadores de carga.
 

E d l
t
Mag∫ = −
∂
∂
.
Φ
Figura 68 – Aparato utilizado por Michael Faraday para demonstrar o fenômeno de indução magnética. Ao lado, 
a Lei Faraday na forma integral. Segundo a Lei de Faraday, a intensidade do campo elétrico induzido 
é proporcional à variação do fluxo magnético do sistema
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De modo similar, Maxwell apresentou em seu trabalho de 1865 o fenômeno que chamamos de 
indução elétrica. Uma variação do campo elétrico com o tempo também produziria um campo magnético 
induzido que se propagaria pelo espaço. A intensidade do campo magnético induzido é proporcional à 
variação do campo elétrico com o tempo, conforme a Lei de Ampère-Maxwell. 
Ele
0 0 0B.dl .I . . t
∂Φ= µ + µ ε
∂∫
 

Onde B é a intensidade do campo magnético induzido, m0 é a permeabilidade magnética do vácuo, e0 
é a permissividade elétrica do vácuo e ΦEle é o fluxo de campo elétrico. A equação relaciona a intensidade 
do campo magnético induzido com a corrente elétrica e a taxa de variação do campo elétrico. Assim, 
quanto maior a variação do campo elétrico com o tempo, mais intenso é o campo magnético induzido. 
De modo similar, quanto mais intensa for uma corrente elétrica, maior será a intensidade do campo 
magnético associado. 
Com a versão ampliada da Lei de Ampère, proposta por Maxwell, as ondas eletromagnéticas 
automaticamente passaram a se tornar possíveis teoricamente. Analisemos o caso da onda formada 
pelo dipolo oscilante para exemplificar essa afirmação. Conforme foi mostrada, devido à oscilação do 
dipolo elétrico, uma variação do campo elétrico com o tempo ocorre continuamente (figura 67). Essa 
variação do campo elétrico promove, segundo a Lei de Maxwell, a formação de um campo magnético 
induzido. A intensidade do campo magnético induzido, no entanto, também muda com o tempo. 
Lembrando que a Lei de Faraday mostra que uma variação do campo magnético promove a criação de 
um campo elétrico induzido, temos então a produção de outro campo elétrico, desacoplado em relação 
à carga que a gerou. Com isso, os campos induzidos, elétricos e magnéticos, se propagam pelo espaço 
se autossustentando. A intensidade desses campos depende do movimento da partícula que os gerou e, 
no caso do dipolo oscilante, apresenta a seguinte forma:
z
y B
V
E
x
Figura 69 – Onda eletromagnética plana. Note que o campo elétrico e magnético são 
perpendiculares e estão em fase. Quando o campo elétrico é máximo, o magnético também 
é máximo. Quando o campo elétrico é nulo, o magnético também é nulo
Ou seja, a propagação das ondas ocorre de modo desacoplado em relação à partícula em movimento 
que as gerou, mas apresenta informações referentes ao movimento realizado no momento de sua 
criação. A propagação se dá por meio da interação entre os campos elétricos e magnéticos de cargas 
aceleradas, cujas linhas de campo são deformadas devido ao movimento.
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Embora ligeiramente diferentes, os dínamos utilizam o mesmo conceito para promover a geração 
de correntes alternadas. Um campo magnético variável produz um campo elétrico induzido que 
consequentemente gera um campo magnético desacoplado, propagando a onda por um condutor.
7.2 Características das ondas eletromagnéticas 
As equações de Maxwell permitem inferir que existem duas classes de ondas eletromagnéticas 
possíveis, as esféricas e as planas. As ondas esféricas seriam aquelas nas quais as frentes de ondas se 
deslocam em todas as direções no espaço tridimensional, enquanto as ondas planas se deslocam apenas 
em um plano bidimensional.
B
E
v
Ondas esféricas Ondas planas
Figura 70 – Ondas eletromagnéticas de simetrias esféricas (à esquerda) e planas (à direita). Note que a simetria é determinada 
pela frente de onda. No caso da onda plana, a frente de onda se desloca linearmente como planos que se deslocam
Será descrita apenas a formulação matemática das ondas planas, embora muitos dos conceitos sejam 
aplicáveis às esféricas também. Essa escolha é tomada para simplificar as formulações matemáticas e 
devido às importantes aplicações das ondas eletromagnéticas planas. 
7.2.1 Descrição matemática
Como foi visto, as ondas se propagam pelo espaço devido à repetição recorrente de diversos pulsos. A 
distância entre pulsos consecutivos é denominada comprimento de onda e se relaciona com a frequência 
de oscilação conforme a equação a seguir:
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x
λ
ν λ ν
λ
= ⇒ =.f f
E0
Figura 71 – Campo elétrico oscilante de comportamento senoidal. O comprimento de onda é dado pela distância entre dois pulsos 
consecutivos. Note que quanto maior o comprimento de onda menor será a frequência dos pulsos para ondas de mesma velocidade
Onde v é a velocidade de propagação, f é a frequência e λ é o comprimento de onda. Note que quanto 
maior o comprimento de onda, menor será a frequência para ondas de mesma velocidade de propagação.
Se a fonte que emite a onda apresentar um movimento harmônico, os pulsos gerados também 
se repetirão ao longo do tempo. O tempo entre cada pulso consecutivo será denominado período 
de oscilação. 
E0
T
Tempo
Figura 72 – Campo elétrico oscilante. O período de oscilação é dado pelo intervalo de tempo 
no qual os pulsos repetem o comportamento
Note que na figura 71 o eixo horizontal denota que as ondas se propagam repetidamente ao longo 
do espaço. Já no gráfico da figura 72 é mostrado que os pulsos se repetem ao longo do tempo. Portanto, 
as ondas se propagam pelo espaço conforme exemplo esquematizado a seguir. Note que a onda inteira 
se desloca ao longo do tempo na direção horizontal.
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E0
t0 t1 t2 t3 t4
V
X
Figura 73 – Esquema mostrando como a onda se desloca ao longo do tempo. Note que a onda é constantemente 
deslocada para direita conforme o tempo passa. A sua forma, no entanto, permanece preservada
De modo geral, a expressão para o campo elétrico será dada pela expressão 
0E E .f(x,t)u=
 
Onde E0 é a amplitude da onda (valor máximo), f(x,t) é uma função oscilatória e u é o versor na 
direção do campo elétrico.
Para processos gerados por oscilações harmônicas simples, a função oscilatória será do tipo senoidal, 
de modo que a expressão anterior resulta em:
0E E .sen(k.x w.t )u= − + ϕ
 
Onde k e w são denominados número de onda e pulsação, respectivamente. Estas grandezas são 
definidas pelas equações a seguir:
2 2
k w=
T
π π=
λ
Para interpretar os seus significados físicos, note que:
• As funções do tipo senoidais completam um ciclo depois de percorrerem 2π radianos.
• Se λ = 1.5 m e x = 3 m, teremos que k.x = 4π. Ou seja, estaremos calculando a intensidade do 
campo elétrico depois de percorrido dois ciclos da função seno.
• Do mesmo modo, se T = 2s e t = 5s, teremos que w.t = 5π. Assim, a intensidade da onda, no ponto 
x escolhido, é calculada após a passagem de dois pulsos e meio.
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Portanto, k e w indicam as coordenadas espaciais e temporais que serão consideradas nos cálculos 
da intensidade da onda. O termo ϕ é denominado fase da onda e determina a posição inicial da onda. 
Geometricamente falando, ela desloca a onda para a direita ou para a esquerda.
7.2.2 Relação entre os campos elétricos e magnéticos
Neste tópico serão mostradas relações de recorrência importantes para a descrição das ondas 
eletromagnéticas. As deduções apresentadas aqui têm caráter apenas informativo, visto que envolvem 
conceitos além deste livro. 
Em meados de 1880, alguns trabalhos, como o de Heavside, Gibbs e Hertz, propuseram modificações 
às equações de Maxwell. Utilizando determinadas relações do cálculo vetorial, notadamente o Teorema 
de Stokes e Teorema da Divergência, compilaram o conjunto de 20 equações propostas por Maxwell em 
um conjunto de apenas quatro. Com isso, as equações modificadas passaram a ser chamadas Leis de 
Maxwell na forma diferencial.
Tabela 1 - Leis de Maxwell na forma integral e diferencial
Equação Forma integral Forma diferencial
Gauss elétrica
int
o
Q
E.n.dA =
ε∫
 

0
.E
ρ∇ =
ε
 
Gauss magnética B.n.dA 0=∫
 

.B 0∇ =
 
Lei de Faraday MagE.dl
t
∂Φ
= −
∂∫
 

B
xE
t
∂∇ = −
∂

 
Lei de Ampère-Maxwell Ele0 0 0B.dl .I . . t
∂Φ= µ + µ ε
∂∫
 

0 0 0
E
xB .j . .
t
∂∇ = µ + µ ε
∂
  
 Saiba mais
Para uma análise inicial completa das Leis de Maxwell, consulte a 
referência: 
NUSSENZVEIG, H. M. Física básica 3: eletromagnetismo. São Paulo: 
Edgard Blucher, 1997.
As equações na forma diferencial permitem a descrição matemática simplificada de diversas 
características das ondas. Para tanto, é importante compreender o significado matemático do rotacional 
de uma função vetorial, sendo definido para o campo elétrico por:
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
X y Z
i j k
xE det x y z
E E E
∂ ∂ ∂∇ = ∂ ∂ ∂
  
 
y yZ x z xE EE E E ExE .i+ .j+ .k
y z z x x y
∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = − − −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
    
Substituindo o rotacional do campo elétrico na Lei de Faraday na forma diferencial, teremos:
y yZ x z xE EE E E E B .i+ .j+ .k
y z z x x y t
∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − = −     ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   

  
A equação diferencial anterior mostra uma relação entre o campo elétrico e o campo magnético da 
onda. Assim, a resolução desta permitiria a determinação da expressão para o campo magnético também. 
Supondo uma onda plana, cujo campo elétrico é dado pela equação:
0E E .sen(k.x w.t )j= − + ϕ
 
Teremos:
y
x z
E
E E 0
z
∂
= = =
∂
Pois o campo elétrico possui apenas o componente na direção do versor j. Note que a derivada 
parcial em relação à z também se anula, pois o campo elétrico depende apenas da posição na direção x. 
A expressão utilizada para o campo elétrico foi mostrada no item anterior. Neste caso só se supôs, sem 
perda de generalidade, a propagação da onda na direção x com campo elétrico na direção y.
Eliminando os termos nulos na expressão, obtemos uma versão simplificada da equação 
diferencial, conforme:
yE B .k
x t
∂ ∂= −
∂ ∂


A equação anterior pode ser resolvida então. Primeiramente, efetuamos o cálculo da derivada parcial 
do campo elétrico:
y
0
E
 E .k.cos(k.x-w.t+ ).k
x
∂
= ϕ
∂

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Unidade III
Substituindo o resultado da derivada na expressão obtida pela Lei de Faraday, teremos:
0
B
 E .k.cos(k.x-w.t+ ).k
t
∂ϕ = −
∂


Agora se prossegue o cálculo realizando a integral em relação ao tempo nos dois lados da equação:
0
B
 E .k.cos(k.x-w.t+ ).k.dt .dt
t
∂ϕ = −
∂∫ ∫


A solução da integral do lado esquerdo da equação é feita pelo método de substituição e a do lado 
direito é trivial. Como resultado obtém-se:
0
k
 -E . .sen(k.x-w.t+ ).k B
w
ϕ = −
 
Remanejando a expressão anterior se mostra por fim que:
0
k
 B E . .sen(k.x-w.t+ ).k
w
= ϕ
 
ou
0 0 0
k
 B B .sen(k.x-w.t+ ).k onde B E .
w
= ϕ =
 
A solução da equação diferencial permite inferir que:
• O campo magnético tem intensidade proporcional ao campo elétrico. Quando o campo elétrico 
for máximo, o campo magnético também será. Quando o campo elétrico for nulo, o magnético 
também será. O campo elétrico e o magnético oscilam em fase.
• Lembrando que um produto vetorial sempre resulta em um vetor perpendicular aos 
dois vetores que foram multiplicados, pode-se afirmar que o campo magnético será 
sempre perpendicular ao campo elétrico e à direção de propagação da onda. As ondas 
eletromagnéticas são ondas transversais e não necessitam de um meio de propagação, se 
deslocando inclusive no vácuo. A direção do vetor campo magnético deverá satisfazer o 
produto vetorial a seguir:
0
1
 S .ExB=
µ
  
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Onde S é o vetor de Poynting, que aponta sempre na direção de propagação da onda.
• As amplitudes de oscilação dos campos elétricos e magnéticos são relacionadas pela 
expressão a seguir:
0 0
k
 B E .
w
=
Onde se pode mostrar que a razão w/k é dada pela velocidade de propagação da onda, sendo para 
o vácuo por:
8
0 0
w 1
 c 3.10 m / s
k .
= = =
µ ε
Que é exatamente a velocidade da luz, denominada aqui pela letra c.
 Observação
Historicamente, a comprovação de que a luz possuía velocidade idêntica 
a de ondas eletromagnéticas foi uma importante conquista, unindo de 
modo definitivo a Óptica ao Eletromagnetismo.
7.2.3 Ondas progressivas, regressivas e estacionárias
Nos itens anteriores foram mostradas diversas características dos campos elétricos e magnéticos. 
A descrição matemática, no entanto, se limitou a ondas progressivas (no sentido positivo) que se 
propagavam no eixo x. Será abordado como seriam então as expressões matemáticas para ondas que se 
propagam em outras direções, de modo progressivo ou regressivo. 
A direção de propagação de uma onda é sempre indicada pelo argumento da função seno. A variável 
espacial que multiplica o número de onda k indica a direção de propagação.
0
0
0
E E .sen(k.x w.t )j Propagação no eixo x
E E .sen(k.z w.t )j Propagação no eixo z
E E .sen(k.y w.t )i Propagação no eixo y
= − + ϕ →
= − + ϕ →
= − + + ϕ →
 
 
 
No entanto, o sentido de propagação deve ser analisado por meio de um ponto de fase constante. 
Poderíamos tomar um ponto fixo em uma onda e analisar seu deslocamento.
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Unidade III
E t0
t1 t2
t3
t4 xDireção de propagação
Ponto de fase constante
Figura 74 – Esquema mostrando como a onda se desloca ao longo do tempo. Note que o ponto de fase constante 
se desloca no sentido de propagação. O valor da função oscilatória permanece constante ao longo do tempo
Para um ponto de fase constante, o valor da função seno deve sempre retornar o mesmo valor, 
ou seja, deve ser constante (pois ele sempre está na mesma altura). Logo, para uma onda cujo campo 
elétrico é dado por:
0E E .sen(k.x w.t )j= − + ϕ
 
Teremos:
k.x w.t constante− =
Para melhor compreensão da última expressão é aconselhável ao estudante que revise o significado 
do número de onda e da pulsação, discutidos em itens anteriores.
O sentido de propagação da onda pode ser estudado ao aplicarmos a derivada temporal nos dois 
lados da equação anterior. 
dx dt d(constante)
k. w.
dt dt dt
k.v w.1 0
k.v w
w
v c
k
− =
− =
=
= =
Que mostra que a velocidade desta onda é dada pela velocidade da luz, no sentido positivo. Caso 
tivéssemos uma onda cujo campo elétrico é dado por:
0E E .sen(k.x w.t )j= + + ϕ
 
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
realizando o mesmo procedimento, teríamos:
k.x w.t constante+ =
Ao derivar a expressão em relação ao tempo, encontraríamos:
dx dt d(constante)
k. w.
dt dt dt
k.v w.1 0
k.v w
w
v c
k
+ =
+ =
= −
= − = −
A velocidade da onda neste caso também seria c, mas no sentido negativo. Assim, pode-se estabelecer 
uma regra para determinação do sentido de propagação da onda. Se os termos kx e wt do argumento 
da função seno possuírem mesmos sinais, a onda será regressiva. Se os sinais forem diferentes, a onda 
será progressiva.
Para fixar os diversos conceitos e relações matemáticas, serão apresentados alguns exemplos.
Exemplo 1
 Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com campo elétrico associado dado pela expressão 
mostrada a seguir. Todas as unidades são dadas no Sistema Internacional. 
4E 80.sen(6,2.10 .y w.t)k= +
 
Sendo assim, determine:
a) a direção e o sentido de propagação da onda;
b) o comprimento de onda, o período de oscilação e a frequência;
c) a direção e sentido do vetor campo magnético;
d) a expressão do campo magnético.
Resolução:
a) Conforme foi visto, a direção de propagação sempre é indicada pelo argumento da função oscilatória 
(seno ou cosseno). No caso do vetor campo elétrico do exercício, a variável espacial é a y. Sendo assim, 
pode-se afirmar que a onda se desloca no eixo j. Para determinar o sentido, devemos analisar a regra de 
sinais dos argumentos da função seno. Como os dois termos apresentam sinal positivo, pode-se afirmar 
que a onda é retrógrada. Logo, a direção e o sentido são indicados por -j. 
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Unidade III
b) Para determinação das grandezas deste item, devemos identificar na expressão anterior o 
número de onda k e a pulsação w. Note que o número de onda é sempre o valor que é multiplicado 
à variável espacial do argumento da função seno. Já a pulsação é sempre a constante multiplicada à 
variável temporal do argumento. Sendo assim:
4 1k 6,2.10 m−=
Lembrando que k é definido por:
2
k
π=
λ
Podemos substituir seu valor de modo a obter o comprimento de onda.
4
4
4
2
6,2.10
2
6,2.10
1.10 m−
π=
λ
πλ =
λ =
A pulsação pode ser obtida a partir do número de onda também visto que:
w
c
k
=
ou seja:
4 8
w k.c
w 6,2.10 .3.10
w 186000rad / s
−
=
=
=
De posse do valor da pulsação, o período é calculado facilmente utilizando a expressão a seguir:
5
2
w
T
2
T
w
2
T
186000
T 3,378.10 s−
π=
π=
π=
=
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Por fim, a frequência é calculada, sendo o valor recíproco do período de oscilação:
5
1
f
T
1
f
3,378.10
f 29602Hz
−
=
=
=
c) A direção e o sentido do campo magnético devem respeitar a regra dada pelo produto 
vetorial a seguir:
0
1
 S .ExB=
µ
  
Substituindo apenas os versores, que indicam as direções e sentidos dos vetores de Poynting e 
campo elétrico, teremos:
 -j kxB=
  
Lembrando a propriedade cíclica do produto vetorial:
 i jxk
 j kxi
 k ixj
=
=
=
  
  
 
Teremos então que o campo magnético se propaga na direção e sentido dados por -i. Perceba que 
se o sentido de B fosse positivo, o produto escalar de k com i retornaria o valor de j. Como o lado 
esquerdo deve ser correspondente ao lado direito da equação, devemos então inverter o sentido do 
campo magnético. 
Para simplificar a determinação da direção e sentido do campo magnético utilizando a relação 
anterior, realize o seguinte procedimento. Inicialmente, identifique a direção i, j ou k. Em seguida, para 
determinação do sentido, prossiga com as regras de sinais. Em caso de dúvida, procure sempre transmitir 
os cálculos para o papel de modo a executar o maior número possível de passagens matemáticas.
d) Para determinação da expressão do vetor campo magnético devemos notar que os campos 
elétricos e magnéticos oscilam em fase, ou seja, que o argumento da função seno será idêntico ao do 
campo elétrico. Portanto, basta que calculemos a amplitude de oscilação do campo magnético, sendo 
dado pela relação:
0
0
E
 B
c
=
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Unidade III
Substituindo a amplitude o campo elétrico e a velocidade da luz na expressão:
0 8
7
0
80
B
3.10
B 2,66.10 T−
=
=
que permite então apresentar a expressão fechada para o vetor campo magnético:
7 4 B 2,66.10 .sen(6,2.10 .y 186000.t)i T−= − +

Note que o sinal de negativo na frente da amplitude é devido à direção e sentido do campo 
magnético ser –i.
Exemplo 2
 Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com campo elétrico associado dado pela expressão: 
6E 120.sen(k.z 6.10 .t)i= − −
 
Todas as unidades são dadas no Sistema Internacional. Sendo assim, determine:
a) a direção e o sentido de propagação da onda;
b) o comprimento de onda, o período de oscilação e a frequência;
c) a direção e sentido do vetor campo magnético;
d) a expressão do campo magnético.
Resolução
a) Neste caso, a onda se desloca na direção do eixo z e, portanto, é indicada pelo versor k. Como os 
argumentos da função seno apresentam sinais contrários, pode-se afirmar que a onda é progressiva. 
Portanto, a direção e o sentido de propagação são dados por k. 
b) O número de onda não é fornecido neste exemplo, mas a pulsação sim. Lembrando que:
w
c
k
=
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Podemos calcular o valor do número de onda ao substituirmos as informações fornecidas.
6
8
1
w
k
c
6.10
k
3.10
k 0,02m−
=
=
=
Que nos leva então ao cálculo do período de oscilação e do comprimento de onda conforme as 
expressões:
6
6
2 2
k w
T
2 2
 T
k w
2 2
 T
0,02 6.10
314,16m T 1,05.10 s−
π π= =
λ
π πλ = =
π πλ = =
λ = =
Por fim a frequência de oscilação é calculada pelo inverso do período, resultando em:
6
5
1
f
T
1
f
1,05.10
f 9,55.10 Hz
−
=
=
=
c) A direção e o sentido do campo magnético deve respeitar a regra dada pelo produto vetorial 
a seguir:
0
1
 S .ExB=
µ
  
Substituindo apenas os versores, que indicam as direções e sentidos dos vetores de Poynting e 
campo elétrico, teremos:
 k ixB= −
  
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Unidade III
Lembrando a propriedade cíclica do produto vetorial:
i jxk
j kxi
k ixj
=
=
=
  
  
 
Teremos que o campo magnético se propaga na direção j. Se realizarmos o produto vetorial de 
-i por j obteremos o vetor k negativo, que é diferente do que encontramos no lado esquerdo da 
equação. Logo, pode-se afirmar que o sentido do campo magnético é oposto, sendo a direção e 
o sentido representados por -j.
d) A amplitude do campo magnético é calculada pela expressão:
0
0
0 8
7
0
E
B
c
120
B
3.10
B 4.10 T−
=
=
=
Que leva a equação do vetor campo magnético mostrada a seguir:
7 6 B 4.10 .sen(0,02.z 6.10 .t)j T−= − −

Exemplo 3
Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com campo magnético dado por: 
6 4B 1.10 .sen( k.y 12.10 .t)i−= − +
 
Todas as unidades são dadas no Sistema Internacional. Sendo assim, determine:
a) a direção e o sentido de propagação da onda;
b) o comprimento de onda, o período de oscilação e a frequência;
c) a direção e sentido do vetor campo elétrico;
d) a expressão do campo elétrico e magnético.
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Resolução:
a) Neste caso, a onda se desloca na direção do eixo y, sendo indicada pelo versor j. Como os 
argumentos da função seno apresentam sinais contrários, pode-se afirmar que a onda é progressiva.Portanto, a direção e o sentido de propagação são dados por j. 
b) O número de onda não é fornecido neste exemplo, mas a pulsação sim. Lembrando que:
w
c
k
=
Podemos calcular o valor do número de onda ao substituirmos as informações fornecidas.
4
8
4 1
w
k
c
12.10
k
3.10
k 4.10 m− −
=
=
=
Isso nos leva então ao cálculo do período de oscilação e do comprimento de onda conforme as expressões:
4 4
5
2 2
k w
T
2 2
 T
k w
2 2
 T
4.10 12.10
15708m T 5,24.10 s
−
−
π π= =
λ
π πλ = =
π πλ = =
λ = =
Por fim, a frequência de oscilação é calculada pelo inverso do período, resultando em:
5
1
f
T
1
f
5,24.10
f 19098,6Hz
−
=
=
=
c) A direção e o sentido do campo elétrico devem respeitar a regra dada pelo produto vetorial a seguir:
0
1
 S .ExB=
µ
  
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Unidade III
Substituindo apenas os versores, que indicam as direções e sentidos dos vetores de Poynting e 
campo elétrico, teremos:
j Exi=
  
Pode-se concluir que a direção do vetor campo elétrico é a do versor k. Se realizarmos o produto 
vetorial de k por i obteremos como solução o versor j, que é exatamente o valor encontrado no lado 
esquerdo da equação. Assim, a direção e o sentido do vetor campo elétrico são dados por +k.
d) A amplitude do campo elétrico é obtida pela expressão:
0
0
0 0
8 6
0
E
B
c
E c.B
E 3.10 .1.10 300 N/C−
=
=
= =
Assim, os vetores campo elétrico e magnético são dados por:
4 4
6 4 4
E 300.sen( 4.10 .y 12.10 .t)k T
B 1.10 .sen( 4.10 .y 12.10 .t)i T
−
− −
= − +
= − +


Exemplo 4
Uma onda eletromagnética se propaga no vácuo com campo magnético dado por: 
6B 4.10 .sen(0,01.x w.t)k−= − +
 
Todas as unidades são dadas no Sistema Internacional. Sendo assim, determine:
a) a direção e o sentido de propagação da onda;
b) o comprimento de onda, o período de oscilação e a frequência;
c) a direção e sentido do vetor campo elétrico;
d) a expressão do campo elétrico e magnético.
Resolução:
a) Neste caso, a onda se desloca na direção do eixo x, sendo indicada pelo versor i. Como os 
argumentos da função seno apresentam sinais opostos, pode-se afirmar que a onda é regressiva. 
Portanto, a direção e o sentido de propagação são dados por -i. 
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b) A pulsação é calculada a partir do número de onda em acordo com:
8
6
k.c w
w 0,01.3.10
w 3.10 rad/s
=
=
=
Que permite o cálculo do período de oscilação e do comprimento de onda conforme:
6
6
2 2
k w
T
2 2
 T
k w
2 2
 T
0,01 3.10
628,3 m T 2,1.10 s−
π π= =
λ
π πλ = =
π πλ = =
λ = =
Por fim, a frequência de oscilação é calculada pelo inverso do período, resultando em:
6
5
1
f
T
1
f
2,1.10
f 4,77.10 Hz
−
=
=
=
c) A direção e o sentido do campo elétrico devem respeitar a regra dada pelo produto vetorial 
a seguir:
0
1
 S .ExB=
µ
  
Substituindo apenas os versores, que indicam as direções e sentidos dos vetores de Poynting e 
campo elétrico, teremos:
 -i Ex( k)= −
  
Pode-se concluir que a direção do vetor campo elétrico é a do versor j. Se realizarmos o produto 
vetorial de j por –k, obteremos como solução o versor -i, que é exatamente o valor encontrado no lado 
esquerdo da equação. Assim, a direção e o sentido do vetor campo elétrico são dados por +j.
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Unidade III
d) A amplitude do campo elétrico é obtida pela expressão:
0
0
0 0
8 6
0
E
B
c
E c.B
E 3.10 .4.10 1200 N/C−
=
=
= =
Assim, os vetores campo elétrico e magnético são dados por:
6
6 6
E 1200.sen(0,01.y 3.10 .t)j T
B 4.10 .sen(0,01.y 3.10 .t)k T−
= +
= − +


8 TEORIA CORPUSCULAR DA LUZ E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA
8.1 Teoria corpuscular da luz e aplicações 
A existência das ondas eletromagnéticas era um fato já conhecido no início do século XX. Era sabido 
que os portadores de carga irradiavam (emitiam radiação) quando acelerados. No mesmo período, no 
entanto, uma revolução ocorria na Física. Em 1897, J. J. Thompson, um físico britânico, havia descoberto 
a existência dos elétrons, partículas menores do que o próprio átomo e carregadas eletricamente 
(THOMSON, 1897). A descoberta modificou a forma como enxergávamos o mundo, permitindo, por 
exemplo, a descrição de diversos fenômenos relacionados à eletricidade. Thompson propôs um novo 
modelo atômico baseado na existência do elétron, que foi ampliado em pouco tempo, em 1911. Ernest 
Rutherford, um cientista britânico, mostraria que os átomos eram compostos também por núcleos 
massivos. Esses núcleos foram estudados continuamente por ele e outros cientistas, e se mostrou que 
eram compostos por prótons e nêutrons (HEILBRON, 2003). Os elétrons permaneceriam em volta do 
núcleo formando a região denominada eletrosfera. 
Figura 75 – Esquema mostrando o átomo idealizado por Rutherford. Um núcleo massivo ocupa o centro 
do átomo (em azul) e os elétrons (em vermelho) se mantêm ao redor, formando a eletrosfera
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
A natureza da eletrosfera inicialmente era desconhecida. Não se sabia se os elétrons permaneceriam 
estáticos ou em movimento, embora fosse pouco intuitivo que ficassem parados. A dúvida decorria 
do fato que para descrever qualquer tipo de movimento curvilíneo ao redor dos núcleos, os elétrons 
apresentariam uma determinada aceleração e, logo, deveriam irradiar. Todo experimento realizado até 
então não conseguia detectar qualquer tipo de radiação associada. 
Velocidade 
tangencial constante
Aceleração
Figura 76 – Esquema mostrando que para que um objeto descreva uma trajetória curvilínea, 
é necessário que aja uma aceleração centrípeta atuando
Essa questão só foi resolvida teoricamente em 1913, após o trabalho de Niels Bohr. Na solução, 
Bohr utilizou aspectos de uma teoria relativamente nova na Física para o período, a Mecânica 
Quântica. Será apresentada, de modo sucinto, a explicação a essa questão fundamental e suas 
consequências tecnológicas.
8.1.1 Dualidade partícula-onda
Para explicar a proposta de Bohr, devemos voltar um pouco no tempo e verificar algumas das evidências 
experimentais conhecidas no período. Em 1805, Thomas Young, um físico britânico, demonstrou que 
a luz se comportava como uma onda (SANTOS, 2002). Quando feixes de luz eram incididos sobre duas 
fendas próximas, franjas de difração eram formadas, conforme a figura a seguir.
P
θ
x
Figura 77 – Esquema do experimento de fenda dupla realizada por Thomas Young
Embora a luz apresentasse comportamento tal qual a de uma onda, a matéria apresentava 
comportamento corpuscular. Isso era verificado nos tubos de raios catódicos (onde Thompson descobriu 
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Unidade III
os elétrons), nas emissões de partículas por materiais radiativos e em experimentos como o de Millikan 
ou de Stern-Gerlach (EISBERG; RESNICK, 1979). O átomo e as demais partículas que o compõem eram 
vistos como entidades corpusculares.
Comportamento ondulatório
Comportamento corpuscular
Figura 78 – Ilustração do comportamento contínuo de uma onda e discreto/corpuscular
 Saiba mais
Para saber mais sobre os experimentos de Millikan e Stern-Gerlach, acesse:
SANTOS, C. A. dos. Experimento da gota de óleo de Millikan. 2002. 
Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/historia/millikan.html>. Acesso em: 
19 jul. 2017.
Essa aparente contradição começou a ser solucionada em aproximadamente 1877, quando Ludwig 
Boltzmann sugeriu pela primeira vez que os níveis de energia de uma molécula poderiam ser discretos 
(EISBERG; RESNICK,1979). Sua ideia decorria de resultados matemáticos obtidos no estudo de gases, 
quando aplicada à Mecânica Estatística. A ideia, apesar de ser considerada correta atualmente, não foi 
utilizada de imediato pela Física. Somente em 1900 ela voltou a ser mencionada, quando Max Planck 
formulou o que seria o passo fundamental para o advento da Mecânica Quântica (EISBERG; RESNICK, 
1979). Planck analisava o problema da radiação emitida por um corpo negro, devido aos efeitos térmicos. 
Note que o aumento da temperatura causa uma maior agitação das partículas, promovendo a emissão 
de radiação. Em seu estudo, Planck verificou que os resultados experimentais não concordavam com os 
cálculos realizados utilizando a Teoria Eletromagnética. Para elevadas temperaturas, os cálculos previam 
emissões no ultravioleta com intensidades absurdas.
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
In
te
ns
id
ad
e
Comprimento de onda (nm)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
3000 K
4000 K
5000 K
(5000 K)
Previsto pela teoriaExperimentais
Figura 79 – Valores experimentais e calculados pela Teoria Eletromagnética Clássica para as intensidades de radiação emitidas por um 
corpo negro. Repare a divergência na intensidade na região do ultravioleta em temperaturas próximas a 5000 K
Para solucionar essa inconsistência, Planck formulou, relutantemente, o que chamamos de hipótese 
de quantização de energia. Segundo esta, apenas determinados valores discretos de energia podem ser 
emitidos. Os valores permitidos são múltiplos da frequência da radiação multiplicada a uma constante, 
denominada hoje como constante de Planck. Os demais valores são denominados proibidos. Apesar 
de parecer absurda, a discretização de energia resultava em cálculos teóricos que estavam em plena 
correspondência com os resultados experimentais. 
x
y
Discretos
Valores proibidos
Contínuo
E = h.v
E = Energia
h = Constante de Planck
ν = frequência
Figura 80 – Ilustração mostrando a diferença entre uma distribuição discreta 
e contínua de valores. Na parte inferior é mostrada a equação proposta por Planck
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Unidade III
Figura 81 – Retrato de Max Planck, laureado pelo prêmio Nobel de Física de 1918
Um importante trabalho de Einstein de 1905, sobre o efeito fotoelétrico, rapidamente reforçaria 
a hipótese de discretização de energia formulada por Planck. No efeito fotoelétrico, um metal ejeta 
elétrons quando a luz incide sobre sua superfície (EISBERG; RESNICK, 1979). O interessante no fenômeno 
é que, segundo a Física Clássica, a emissão de elétrons deveria ocorrer para qualquer frequência, desde 
que a luz permanecesse tempo suficiente focalizando-a. Era suposto que nessa situação a energia seria 
armazenada pelo elétron até que em determinado instante fosse suficiente para arrancá-lo do átomo. 
Quanto maior a intensidade de luz, mais rápido ocorreria a quebra de ligação. O que se verifica na 
prática, no entanto, é que a ejeção de elétrons só ocorre para determinadas frequências. Para explicar 
esse comportamento, Einstein mostrou que a luz é transmitida por meio de pequenos pacotes de 
onda, denominados fótons. Os fótons transportariam energia em acordo com a relação proposta por 
Planck, com valores discretos e proporcionais à frequência da onda. Cada fóton carregaria consigo uma 
quantidade de energia denominada “quanta de energia”. Quando aumentamos a intensidade de uma 
onda, simplesmente aumentamos o número de fótons emitidos e, logo, a energia total transmitida é 
maior. O efeito fotoelétrico só ocorreria para frequências superiores a um certo valor, pois, caso contrário, 
os quantas de energia não seriam suficientes para quebrar a ligação do elétron com o átomo. Acima de 
determinado valor existiria uma probabilidade associada à ocorrência do fenômeno. Por seu trabalho, 
Einstein recebeu o prêmio Nobel de 1921.
Figura 82 – Ilustração esquemática do efeito fotoelétrico. Luz incide sobre a superfície 
de um metal e, dependendo da frequência da luz, uma determinável quantidade de elétrons é ejetada
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
É interessante notar que a luz se comporta como partícula no caso do efeito fotoelétrico, mas como 
uma onda no experimento de fenda dupla. A este comportamento ora partícula, ora onda, denominamos 
dualidade partícula-onda. 
O embasamento teórico para o comportamento dual da luz e da matéria adveio por volta da década 
de 1920, quando De Broglie e posteriormente Schroedinger e Heisenberg consolidaram as bases teóricas 
do que hoje compõe a Mecânica Quântica (EISBERG; RESNICK, 1979). 
 Observação
Após o desenvolvimento da Mecânica Quântica, esta se subdividiu 
em diversas áreas, como a Física Nuclear, a Física do Estado Sólido, a 
Eletrodinâmica Quântica, entre outras.
8.1.2 Absorção e emissão de radiação
Como foi discutido, a luz se comporta ora como partícula e ora como onda. Esse comportamento 
dual, no entanto, também é apresentado pela matéria. Quando analisamos fenômenos em pequena 
escala, ou seja, em ordens de grandeza próximas ao tamanho do átomo, esses fenômenos se tornam 
mais pronunciáveis. Bohr aplicou a dualidade da partícula-onda e a hipótese de quantização de energia 
para o átomo de hidrogênio. Com isso, mostrou que a eletrosfera, na verdade, é constituída por uma 
estrutura de camadas de níveis de energia. Cada elemento químico possui determinados níveis de 
energia permitidos e os demais valores são proibidos. Os elétrons ocupariam essas camadas de energia 
sem produzir qualquer radiação, não podendo ser visualizadas nesse caso como partículas, mas sim 
como partículas-onda. 
M M
+ +
L L
K K
Núcleo Núcleo
Energia
Elétron excitado Energia
Estado fundamental
Figura 83 – Ilustração esquemática do efeito fotoelétrico. Luz incide sobre a superfície 
de um metal e, dependendo da frequência da luz, uma determinável quantidade de elétrons é ejetada
Bohr ainda aplicou seu modelo para elucidar o fenômeno de absorção e emissão de radiação. Se 
radiação com determinada energia for incidida sobre um átomo, uma probabilidade existirá para que essa 
seja absorvida. A probabilidade será máxima quando a energia da radiação for exatamente aquela entre 
dois níveis de energia do átomo. Se a radiação apresentar valores que não se encaixam nesta condição, 
a probabilidade de ocorrer absorção será quase nula. Na figura a seguir é apresentado o comportamento 
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Unidade III
do coeficiente de absorção mássico para um átomo. Note que para determinadas energias existe uma 
probabilidade máxima de absorção e que após esse valor a probabilidade diminui exponencialmente. 
Pr
ob
ab
ili
da
de
 d
e 
ab
so
rç
ão
Energia
EiL E
i
K
Figura 84 – Comportamento do coeficiente de absorção mássico. Note que a probabilidade de absorção 
aumenta para determinados valores de energia e rapidamente cai após esses valores
A emissão de radiação também é visualizada de modo semelhante. Se um elétron realizar uma 
transição para um nível de energia mais baixo, o que ocorrerá será a emissão de um fóton com energia 
dada pela diferença entre os níveis. Note que um fóton é uma partícula onda e pode ser visualizada 
como uma partícula corpuscular, ou como uma onda, conforme visto nos itens anteriores. A figura 83 
esquematiza as energias envolvidas no processo de absorção e emissão pela eletrosfera de um átomo. 
A frequência da onda emitida será dada pela fórmula de Planck, onde E é a energia do fóton, h é a 
constante de Planck e f é a frequência da radiação:
E = h.f
Atualmente, sabe-se que não só a eletrosfera apresenta uma estrutura de níveis de energia, mas 
também as ligações moleculares,os núcleos e os sólidos iônicos. Qualquer transição de níveis de energia 
nesses casos acaba por produzir a emissão de fótons. Mas isso nos leva à seguinte questão:
• Denominamos radiação eletromagnética a todas essas ondas sem qualquer distinção?
8.1.3 Espectro eletromagnético
Naturalmente, podemos classificar as ondas eletromagnéticas de acordo com sua 
frequência/comprimento de onda, visto que elas estão intimamente ligadas à sua energia. 
O termo espectro eletromagnético é utilizado para a classificação citada.
 Observação
Note que a frequência se relaciona ao comprimento de onda, conforme:
c
f =
λ
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10-6 nm
10-5 nm
10-4 nm
10-3 nm
103 nm 1 µm
1 mm
10 mm
10 cm
100 cm
10 m
100 m
1000 m
10 km
100 km
1 Mm
100 Mm
10 Mm
1 cm
1 m
1 km
10 µm
100 µm
1000 µm
10-2 nm
10-1 nm
Raios X
Ultravioleta
Luz visível Luz visível ~400 nm - ~700 nm
Infravermelho
próximo e 
distante
Micro-ondas
Audio
UHF
VHF
HF
MF
LF
Rádio
Raios gama
1 Å
1 nm
10 nm
100 nm
UVIS EUV - 55.8 -118 nm
UVIS EUV - 110 -190 nm
nm = nanômetro, Å = ångström, µm = micrômetro, mm = milímetro,
cm = centímetro, m = metro, km = quilômetro, Mn = megametro
Violeta
Anil
Azul
Verde
Amarelo
Laranja
Vermelho
Figura 85 – Espectro eletromagnético e os respectivos comprimentos de onda associados
As ondas de rádio são as aquelas cujos comprimentos de onda são os maiores possíveis, podendo 
alcançar quilômetros. São especialmente importantes para áreas das telecomunicações e Astronomia 
em geral. Na ordem de poucos centímetros localizam-se as micro-ondas, utilizadas em fornos especiais e 
também na Astronomia. Entre aproximadamente 1 mm a 750 nm encontra-se a radiação infravermelho, 
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Unidade III
utilizada em muitas áreas, como fisioterapia, caracterização de materiais e transmissão de informação. 
Um pouco mais abaixo, entre 380 nm a 780 nm, temos o espectro visível, ou seja, aquele que nossos 
olhos conseguem diferenciar. É interessante notar que o Sol emite seu pico de radiação nesta faixa e, por 
isso, devido à seleção natural, enxergamos nesta região de frequências. Quanto mais próximo às cores 
do vermelho, mais energéticos são os raios.
Por fim, abaixo do espectro visível, temos a radiação ionizante, composta dos raios ultravioleta, raios 
X e raios gama. São ondas que transportam grande quantidade de energia e, consequentemente, podem 
prejudicar nossa saúde, promovendo mutações nas células.
 Observação
Embora com frequências e comprimentos de onda diferentes, as 
radiações eletromagnéticas possuem a mesma velocidade de propagação, 
sendo c = 3.108 m/s.
8.1.4 Exemplos de aplicação
Diversas aplicações tecnológicas utilizam as ondas eletromagnéticas. Serão apresentadas, de modo 
sucinto, algumas destas aplicações, correlacionando a teoria estudada com a prática.
Os fornos micro-ondas são dispositivos usados para aquecer materiais isolantes, como alimentos ou 
materiais cerâmicos. O aquecimento utilizando as micro-ondas ocorre devido à interação da radiação 
com os dipolos elétricos presentes no material. Os dipolos elétricos interagem com a radiação, sempre 
tentando se alinhar com a direção do campo. Devido à mudança de polaridade da radiação, os dipolos 
acabam por rotacionar rapidamente, visto a alta frequência das micro-ondas. As moléculas do material, 
que colidem o tempo todo, acabam por dispersar essa energia rotacional na forma de movimento, ou 
seja, aquecendo o material.
+
-
F
F
E
Molécula de água
O
-
+H H
Figura 86 – Molécula de água e esquema indicando a direção de seu momento de dipolo. Ao lado, uma ilustração 
das forças a que um dipolo elétrico é submetido em um campo elétrico unidirecional
 
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
 Observação
Note que as moléculas de água, presentes nos alimentos, são polarizadas 
(possuem um polo positivo e um negativo devido à sua forma molecular, 
constituindo um dipolo elétrico).
Materiais metálicos não devem ser aquecidos por este método porque a interação com a radiação 
produz correntes elétricas dentro do material. As correntes tornam o próprio metal um elemento 
aquecedor e, dependendo do tamanho do metal, o calor pode ser tão intenso que acaba por produzir 
faíscas, explosões ou outros efeitos prejudiciais.
Foi mostrado que um movimento de rotação de um dipolo elétrico cria uma onda eletromagnética. 
A amplitude do campo elétrico, no entanto, acompanha o giro do dipolo. 
Figura 87 – Campo elétrico de uma onda polarizada circularmente. Note que a amplitude 
da onda gira ao redor da direção de propagação
Com isso, temos a formação de uma onda dita polarizada circularmente, ou seja, cuja intensidade 
máxima gira ao longo do tempo. O campo elétrico, nesse caso, é expresso matematicamente pela 
superposição de duas ondas perpendiculares, como a expressão a seguir:
0 0E E .sen(k.x w.t )j E .sen(k.x w.t )k= − + ϕ + − + ϕ
  
Note que o campo elétrico possui componentes nas duas direções perpendiculares à direção de 
propagação da onda.
A luz do Sol é composta de ondas eletromagnéticas emitidas em todas as direções com campos 
oscilando em diversas direções. A superposição dessas inúmeras ondas polarizadas resulta no que 
chamamos de luz não polarizada.
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Unidade III
Polarizadores são elementos ópticos que absorvem a luz com polarização em apenas uma dada 
direção. Assim, quando a luz natural atravessa esses elementos, a intensidade da luz cai muito, devido 
à absorção de parte da luz. Esses elementos são utilizados em uma ampla gama de aplicações, como 
óculos escuros, películas de vidro, televisores etc. 
Figura 88 – Esquema de funcionamento de um filtro polarizador. Luz polarizada 
circularmente incide sobre o polarizador e um dos componentes é absorvido. 
Como resultado, somente uma onda polarizada linearmente atravessa o filtro
O processo pelo qual visualizamos um objeto é relativamente complexo. Inicialmente, a luz 
emitida por uma fonte qualquer incide sobre o objeto. A luz interage com a matéria e parte da 
radiação é absorvida, parte é espalhada e parte é refletida. As ondas refletidas atingem então 
nossos olhos e o cérebro interpreta a informação. Se as ondas que atingem nossos olhos estiverem 
dentro do espectro visível, nosso cérebro interpretará a frequência e a associará ao que chamamos 
de cores. Quanto maior a frequência, mais próxima do vermelho ela será. No entanto, é importante 
notar que a onda refletida pelo objeto, e, logo, a cor visualizada depende do espectro de absorção 
do material. Por exemplo, uma planta nos parece verde porque a luz do Sol, não polarizada e 
composta por todas as frequências, é absorvida pelo material, e somente a radiação na frequência 
associada ao verde é refletida. 
 Observação
Além dos exemplos citados anteriormente, podemos destacar outras 
aplicações como lasers, comunicação sem fio, televisão, fibras ópticas, 
dentre outras inúmeras que fazem uso das ondas eletromagnéticas.
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
8.2 Transferência de energia
Neste tópico, descreveremos como determinar a energia transportada pela radiação eletromagnética.
Anteriormente, foi mostrado que a luz é composta por pequenos pacotes de onda, denominados 
fótons. A energia de cada fóton é dada pela equação E = h.f. Assim, poderíamos imaginar que se 
determinássemos a quantidade de fótons transmitidos, automaticamente poderíamos calcular a energia 
total. Na prática, no entanto, nem sempre é possível detectar exatamente este número. Em elétrica 
e eletrônica, por exemplo,desejamos interagir o mínimo possível com o sistema durante o processo 
de medição, para que haja menor dissipação de energia. A seguir, um método alternativo, além da 
contagem de fótons, será apresentado. As deduções das equações, entretanto, não serão apresentadas, 
visto que um curso completo de Eletromagnetismo Clássico é um pré-requisito neste caso. 
 Saiba mais
Para aqueles que desejarem se aprofundar na Teoria Eletromagnética, 
consultar a série de livros, em português, de:
MACHADO, K. D. Teoria do Eletromagnetismo. Ponta Grossa: UEPG, 
2006. v. 1-3.
8.2.1 Vetor de Poynting
A intensidade de uma onda eletromagnética é diretamente proporcional ao número de fótons 
incidentes, e, logo, a energia total transmitida deve ser correlacionada à amplitude da onda. O primeiro 
cientista a apresentar de modo consistente um método para o cálculo da energia por meio das intensidades 
das ondas foi o físico britânico John Henry Poynting. Ele mostrou, por meio de considerações teóricas 
sobre conservação de energia, que a densidade direcional de energia que atravessa uma superfície é 
dada por:
0
1
S .ExB=
µ
  
Onde S é o que denominamos de vetor de Poynting.
O módulo do vetor de Poynting retorna a potência transmitida por unidade de área em um dado 
instante de tempo. A direção do vetor de Poynting aponta sempre para a mesma direção de propagação 
da onda. A unidade de medida no sistema internacional é o W/m2. 
No caso de ondas planas, cuja direção de propagação é única, teremos campos elétricos e magnéticos 
tais como:
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Unidade III
0
0
E E .sen(k.x w.t )j
B B .sen(k.x w.t )k
= − + ϕ
= − + ϕ
 
 
E logo, sabendo que E e B são sempre perpendiculares, o produto vetorial retorna o valor:
2
0 0
0
1
S .E .B .sen (kx wt )i= − + ϕ
µ
 
Substituindo a relação entre a amplitude do campo elétrico e campo magnético, obtemos alternativas 
para a solução do produto:
0
0
2 2
0
0
2 2
0
0
E
B
c
1
S .E .sen (kx wt )i
.c
 ou
c
S .B .sen (kx wt )i
=
= − + ϕ
µ
= − + ϕ
µ
 
 
A expressão anterior permite o cálculo da potência média e máxima transmitida por unidade de 
área, dadas pelas expressões a seguir:
2 2
Max 0 Max 0
0 0
2 2
Médio 0 Médio 0
0 0
1 c
S .E ou S .B
.c
1 c
S .E ou S .B
2. .c 2.
= =
µ µ
= =
µ µ
O vetor de Poynting médio é também denominado comumente de intensidade da onda.
Note que o vetor de Poynting pode ser calculado tanto pela amplitude do campo elétrico quanto 
pela amplitude do campo magnético. A potência total transmitida através de uma superfície será 
dada por:
P S .A=
caso o campo apresente direção de propagação normal em toda a extensão da área da superfície.
Aplique as expressões apresentadas nos exemplos e exercícios a seguir. Considere na resolução desses 
exercícios µ0 =4π.10
-7 N/A2.
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Exemplo 1
Uma onda de rádio VHF de comprimento de onda de 1,5 m e campo elétrico de amplitude de 
100 N/C se propaga pelo vácuo. Considere que no instante inicial a amplitude do campo elétrico 
na origem é nula. Calcule:
a) o campo magnético associado;
b) a expressão do vetor de Poynting ao longo do tempo;
c) a potência máxima transmitida por unidade de área;
d) a potência média transmitida por unidade de área.
Resolução:
a) A partir do comprimento de onda, podemos calcular o número de onda para a radiação 
eletromagnética.
1
2
k
2
k
1,5
k 4,188 m−
π=
λ
π=
=
A partir do número de onda, a pulsação é calculada, lembrando sua relação com o número de onda 
e a velocidade da luz.
8
9
w
c
k
w k.c
w 4,188.3.10
w 1,26.10 rad/s
=
=
=
=
De posse do número de onda e da pulsação, expressamos o campo elétrico conforme a expressão a 
seguir. Note que como nenhuma direção foi informada pelo exemplo, devemos escolher uma direção 
arbitrária para o campo elétrico e para direção de propagação.
9E 100.sen(4,188.x 1,26.10 .t)j N / C= −
 
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Unidade III
 Observação
As direções x, y e z são abstrações matemáticas e na prática não existem. 
Sendo assim, podemos definir arbitrariamente as direções envolvidas nos 
campos, desde que mantidas as relações de perpendicularidade.
O campo magnético é, por fim, calculado através do campo elétrico, onde a amplitude do vetor 
campo magnético é dado por:
0
0
0 8
7
0
E
B
c
100
B
3.10
B 3,33.10 T−
=
=
=
E a direção em acordo com a relação do vetor de Poynting:
0
1
S .ExB
i jxB
=
µ
=
  
  
Lembrando o comportamento cíclico do produto vetorial temos que a direção do vetor campo 
magnético é a do eixo z, dada por k. O sentido é positivo pois j x k resulta em i positivo, em acordo com 
o lado esquerdo da equação anterior.
Assim, o campo magnético é expresso por:
7 9B 3,33.10 .sen(4,188.x 1,26.10 .t)k T−= −
 
 Lembrete
No item 7.2.3 foi mostrado em detalhes como determinar a direção e o 
sentido do vetor campo magnético.
b) O vetor de Poynting em sua forma explícita pode ser calculado conforme:
0
2 2
0
0
1
S .ExB
1
S .E .sen (kx wt )i
.c
=
µ
= − + ϕ
µ
  
 
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/2
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7
COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Substituindo as informações já conhecidas:
2 2 9
7 8
2 9 2
1
S .100 .sen (4,188.x 1,26.10 t)i
4 .10 .3.10
S 26,53.sen (4,188.x 1,26.10 t)i W/m 
−= −π
= −
 
 
que retorna o valor do vetor de Poynting para qualquer instante de tempo.
c) A potência máxima transmitida por unidade de área é calculada pela equação:
2
Max 0
0
2
Max 7 8
2
Max
1
S .E
.c
1
S .100
4. .10 .3.10
S 26,53 W/m
−
=
µ
=
π
=
d) A potência média transmitida por unidade de área é, por fim, calculada segundo:
2
Média 0 Max
0
2
Média
1 1
S .E .S
2. .c 2
1
S .26,53 13,26 W / m
2
= =
µ
= =
Exemplo 2
Radiação com comprimento de onda de 200 nm e campo elétrico de amplitude de 50 N/C se 
propaga pelo vácuo. Calcule:
a) o campo magnético associado;
b) a expressão do vetor de Poynting;
c) a potência máxima transmitida por unidade de área;
d) a potência média transmitida por unidade de área.
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7
Unidade III
Resolução:
a) A partir do comprimento de onda podemos calcular o número de onda para a radiação eletromagnética.
9
7 1
2
k
2
k
200.10
k 3,14.10 m
−
−
π=
λ
π=
=
 Observação
A unidade de medida nm significa nanômetros e é equivalente a 10-9 m.
A partir do número de onda, a pulsação é calculada, lembrando sua relação com o número de onda 
e a velocidade da luz.
7 8
15
w
c
k
w k.c
w 3,14.10 .3.10
w 9,42.10 rad/s
=
=
=
=
De posse do número de onda e da pulsação, expressamos o campo elétrico conforme a expressão a 
seguir. Note que como nenhuma direção foi informada pelo exercício, devemos escolher uma direção 
arbitrária para o campo elétrico e para direção de propagação.
7 15E 50.sen(3,14.10 .x 9,42.10 .t)j N / C= −
 
O campo magnético é, por fim, calculado através do campo elétrico, onde a amplitude do vetor 
campo magnético é dada por:
0
0
0 8
7
0
E
B
c
50
B
3.10
B 1,66.10 T−
=
=
=
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
E a direção em acordo com a relação do vetor de Poynting:
0
1
S .ExB
i jxB
=
µ
=
  
  
Lembrando o comportamento cíclico do produto vetorial temos que a direção do vetor campo 
magnético é a do eixo z, dada por k. O sentido é positivo porque j x k resulta em i positivo, em acordo 
com o lado esquerdo da equação anterior.
Assim, o campo magnético é expresso por:
7 7 15B 1,66.10 .sen(3,14.10 .x 9,42.10 .t)k T−= − 
b) O vetor de Poynting em sua forma explícita pode ser calculado conforme:
0
2 2
0
0
1
S .ExB
1
S .E .sen (kx wt )i
.c
=
µ
= − + ϕ
µ
  
 
Substituindo as informações já conhecidas:
2 2 7 15
7 8
2 7 15 2
1
S .50 .sen (3,14.10 .x 9,42.10 t)i
4 .10 .3.10
S 6,63.sen (3,14.10 .x 9,42.10 t)i W/m
 
−= −π
= −
 
 
que retorna o valor do vetor de Poynting para qualquer instante de tempo.
c) A potência máxima transmitida por unidade de área é calculada pela equação:
2
Max 0
0
2
Max 7 8
2
Max
1
S .E
.c
1
S .50
4. .10 .3.10
S 6,63 W/m
−
=
µ
=
π
=
que é exatamente a amplitude do vetor de Poynting do item anterior.
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Unidade III
d) A potência média transmitida por unidade de área é, por fim, calculada segundo:
2
Média 0 Max
0
2
Média
1 1
S .E .S
2. .c 2
1
S .6,63 3,315 W / m
2
= =
µ
= =
Exemplo 3
 Luz monocromática com comprimento de onda de 1 mm se propaga pelo vácuo e transmite uma 
potência média por unidade de área de 10 W/m2. Baseado nessas informações, determine as expressões 
dos campos elétricos e magnéticos. Considere que a onda se propaga na direção x de modo progressivo 
e que o campo elétrico oscila na direção k positiva. 
Resolução:
A partir da equação para determinação da potência média transmitida por unidade de área 
determinamos a amplitude do campo elétrico.
2
Média 0
0
2
07 8
2
0
0
1
S .E
2. .c
1
10 .E
2.4 .10 .3.10
E 7539,8
E 7539,8 86,83 N/C
−
=
µ
=
π
=
= =
O número de onda e a pulsação são determinados através do comprimento de onda:
1 8
2 w
k c
k
2
k k.c w
0,001
k 6283,18 m 3.10 .6283,18 w
 
−
π= =
λ
π= → =
= =
12w 1,885.10 rad / s=
A determinação das grandezas anteriores permite que expressemos o vetor campo elétrico conforme:
12E 86,83.sen(6283,18.x 1,885.10 .t)k N / C= −
 
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
Por meio da relação entre as amplitudes dos campos elétrico e magnético:
0 8
7
0
86,83
B
3.10
B 2,89.10 T−
=
=
A direção do campo magnético é determinada através da definição do vetor de Poynting. A direção 
do campo magnético é a direção de j e o sentido é o negativo, visto que k x j resulta em –i, sendo 
diferente do lado esquerdo da equação.
0
1
S .ExB
i kxB
=
µ
=
  
  
Os cálculos realizados permitem expressar o campo magnético conforme:
7 12B 2,89.10 .sen(6283,18.x 1,885.10 .t)j T−= − −
 
Exemplo 4
Um laser de Ne-He produz um feixe de luz monocromático com comprimento de onda de 
632,8 nm. Sabendo que a intensidade transmitida pelo feixe é de 236,94 W/m2, calcule a potência 
do laser. Determine também a energia transmitida a um anteparo devido a exposição por 4 
segundos. O feixe apresenta abertura circular com 2 cm de diâmetro.
Resolução:
Como o feixe do laser é coerente, ele possui baixa divergência e podemos considerar que a onda 
eletromagnética produzida é do tipo plana. A intensidade transmitida é dada pelo vetor de Poynting 
médio. A área de exposição no anteparo é dada por:
2
2
4 2
A .r
A .0,01
A 3,14.10 m−
= π
= π
=
Ou seja, a potência transmitida é de:
4
P I.A
P 236,94.3,14.10
P 0,0744 W 74,4 mW
−
=
=
= =
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Unidade III
 Observação
A expressão P = I.A só pode ser utilizada nesse caso porque o feixe 
criado pelo laser incide perpendicularmente na superfície do anteparo. 
Lembre-se que para que a equação seja válida, as ondas devem sempre 
se propagar perpendicularmente à superfície de análise.
Isso significa que após 4 segundos de exposição a energia transmitida é de:
E
P
t
E
0,0744
4
E 0,297J
∆=
∆
∆=
∆ =
Exemplo 5
 Segundo o manual de instruções de um sistema de abertura de garagem, a unidade transmissora 
(controle remoto) emite um sinal de potência de 300 mW. A unidade receptora recebe o sinal e responde 
se a onda de rádio possuir a frequência correta e tiver uma amplitude de sinal superior a 0,25 V/m. 
Baseado nessas informações, qual seria o alcance máximo de seu controle?
Resolução:
Nesta situação a onda emitida pelo controle remoto se propaga em todas as direções e é uma onda 
do tipo esférica. A frente de onda se desloca promovendo a expansão de uma casca esférica, cujo centro 
está sob o controle. A direção de propagação da onda é perpendicular em todos os pontos da superfície 
da casca esférica e, logo, a expressão P = I.A continua válida. Lembrando que:
2
Médio 0
0
1
I S .E
2. .c
= =
µ
A expressão anterior pode ser manipulada de modo a obtermos:
2
0
0
2
0
0
2
7 8
P I.A
1
P .E .A
2. .c
1
P .E .A
2. .c
1
0,3 .0,25 .A
2.4 .10 .3.10
3619,11 A
−
=
=
µ
=
µ
=
π
=
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COMPLEMENTOS DE FÍSICA
2
0
0
2
0
0
2
7 8
P I.A
1
P .E .A
2. .c
1
P .E .A
2. .c
1
0,3 .0,25 .A
2.4 .10 .3.10
3619,11 A
−
=
=
µ
=
µ
=
π
=
Note que a amplitude da onda deve ser no mínimo 0,25 V/m.
Por fim, a área de uma casca esférica é dada por:
2A 4 R= π
Ao substituirmos essa expressão encontramos a distância de funcionamento do controle, dada por:
2
2
3619,11 4 R
288 R
R 16,97 m
= π
=
=
 Resumo
Nesta unidade, nossos estudos concentraram-se na descrição e na 
aplicação das ondas eletromagnéticas. Foi discutido como as ondas 
eletromagnéticas são formadas. Foi mostrado que as linhas de campo 
elétrico de partículas carregadas estáticas ou em movimento uniforme 
sempre apontam na direção radial. Para partículas em movimento acelerado, 
esse comportamento não é verificado e ocorre uma perturbação na forma 
das linhas de campo. A região em que as linhas de campo apresentam 
comportamento irregular é denominada radiação. Caso a fonte emissora 
apresente movimento periódico, a radiação se repetirá ao longo do tempo, 
gerando o que chamamos de ondas eletromagnéticas. As ondas são 
resultados de campos elétricos e magnéticos induzidos pelo movimento 
acelerado e periódico, se propagando pelo espaço infinito. 
O comportamento das ondas eletromagnéticas foi descrito 
matematicamente. Foi mostrado que os campos se propagam em 
direções perpendiculares entre si e perpendicular em relação à direção de 
propagação da onda. Os campos elétricos e magnéticos oscilam em fase e 
têm intensidades proporcionais. As expressões dos vetores campo elétrico e 
campo magnético são dadas de maneira genérica por:
0
0
E E .sen(k.x w.t )j
B B .sen(k.x w.t )k
= − + ϕ
= − + ϕ
 
 
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Unidade III
onde E0 e B0 são as amplitudes de oscilação e k e w são o número de onda 
e a pulsação respectivamente. As amplitudes dos campos se correlacionam 
de acordo com:
0
0
E
 B
c
=
em que c é a velocidade da luz, definida por:
8
0 0
w 1
 c 3.10 m / s
k .
= = =
µ ε
O número de onda e a pulsação são grandezas diretamente ligadas ao 
comprimento da onda e ao período de oscilação:
2 2
k w
T
π π= =
λ
Foi exposto como estas expressões são aplicadas em exercícios e 
problemas genéricos.
A Teoria Corpuscular da Luz foi introduzida, mostrando que a luz se 
comporta ora como partícula e ora como onda. De fato, a luz é atualmente 
vista como composta de fótons, que são pequenos pacotes de onda que 
transportam determinada quantidade de energia. A energia transportada 
depende de sua frequência e quanto maior, mais energético ele é. Ondas 
de maior frequência, ou seja, mais energéticas, são denominadas radiação 
ionizante e são deletérios para o homem. As ondas de rádio, por outro 
lado, possuem baixa frequência, sendo amplamente utilizadas