FIS403Texto11_LeiFaraday

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Paulo Waki Página 1 06/06/2018 
 
 
 
 
 OOOBBBJJJEEETTTIIIVVVOOOSSS::: 
Ao final desta aula espera-se que os alunos sejam capazes de: 
(a) Descrever a lei de Lenz. 
(b) Definir força eletromotriz induzida. 
(c) Enunciar e utilizar a lei de Faraday no cálculo da força eletromotriz induzida. 
 
 
 LLLEEEIIITTTUUURRRAAA RRREEECCCOOOMMMEEENNNDDDAAADDDAAA::: 
Para uma melhor compreensão deste assunto, o aluno deverá ler o(s) seguinte(s) livro(s): 
(a) CHAVES, A., Física vol.2 – Eletromagnetismo, 1a Ed., Reichmann & Affonso Editores, Rio 
de Janeiro (2001); Cap. 17, Páginas 36 a 45. 
(b) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J., Eletromagnetismo, 4a Ed., Livros Técnicos e 
Científicos, Rio de Janeiro (1997); Cap. 32, Páginas 207 a 216. 
(c) HALLIDAY, D. e RESNICK, R., Física vol.3, 4a Ed., Livros Técnicos e Científicos Editora, 
Rio de Janeiro (1993); Cap. 35, Página 219 a 244. 
 
 
 BBBRRREEEVVVEEE RRREEESSSUUUMMMOOO DDDAAA TTTEEEOOORRRIIIAAA::: 
1) LEI DE LENZ 
Os fenômenos eletromagnéticos estudados até o presente momento envolveram o estudo de 
campos em situações estáticas, com distribuições de cargas invariáveis no tempo e correntes 
estacionárias, isto é, correntes com valores constantes ao longo do tempo. Os campos assim 
gerados eram também invariantes no tempo, sendo denominados campos eletrostáticos e 
magnetostáticos. 
A partir desta aula pretende-se estudar a influência do tempo no comportamento desses 
campos. A lei de Lenz estabelece uma primeira propriedade associada a essas variações. 
 
 
 
afastamento 
B 
B induzido 
Ao se afastar um imã de uma espira condutora, consegue-
se provocar o aparecimento de uma corrente que circula 
em sentido a gerar um campo de indução magnética 
Binduzido cujo sentido é o mesmo do campo gerado pelo imã 
que se afasta. 
No caso ilustrado na figura ao lado, como se afasta o pólo 
norte da espira, a corrente irá circular de forma a gerar um 
campo induzido para a esquerda. Se fosse o pólo sul, o 
campo induzido estaria para a direita. 
N 
aproximação 
B 
B induzido 
Ao se aproximar um imã de uma espira condutora, 
consegue-se provocar o aparecimento de uma corrente 
que circula em sentido a gerar um campo de indução 
magnética Binduzido cujo sentido é o contrário do campo 
gerado pelo imã que se aproxima. 
No caso ilustrado na figura ao lado, como se aproxima o 
pólo norte da espira, a corrente irá circular de forma a gerar 
um campo induzido para a direita. Se fosse o pólo sul, o 
campo induzido estaria para a esquerda. 
N 
FFFIIISSS444000333 ––– FFFÍÍÍSSSIIICCCAAA GGGEEERRRAAALLL IIIIIIIII 
Texto 11: Lei de Faraday 
Prof. Paulo Waki – Universidade Federal de Itajubá 
 
Paulo Waki Página 2 06/06/2018 
A essência da Lei de Lenz é que ao se aproximar ou afastar um imã de uma espira, provoca-se 
alteração na intensidade do campo magnético que atravessa essa espira, fazendo com que 
circule uma corrente elétrica na mesma. O sentido dessa corrente se dá sempre de forma a 
atenuar a alteração do campo que provocou o seu aparecimento. Em outras palavras, a 
circulação da corrente se dá no sentido de gerar um campo Binduzido cujo sentido é contrário à 
variação do campo B original que gerou todo o fenômeno. 
2) LEI DE FARADAY 
A circulação de corrente na espira significa que ao longo dela se estabeleceu uma diferença de 
potencial, responsável pelo aparecimento da corrente. Essa diferença de potencial ao longo da 
espira é chamada força eletromotriz. No caso força eletromotriz induzida (fem), pois o seu 
aparecimento é induzido pelo movimento do imã. Faraday estabeleceu a relação entre essa 
fem e o fluxo do campo de indução magnética B através da espira. 
t
fem B

  onde   dSntrB
S
B ˆ,   

 
A questão passa a ser de quantas maneiras se pode alterar o valor do fluxo do campo B. A 
resposta é que se pode alterar o fluxo de B de três formas: 
(a) B sofre variação se o campo  trB ,

 variar com o tempo. 
(b) B sofre variação se a área S da espira variar com o tempo. 
(c) B sofre variação se o ângulo  entre  trB ,

 e a normal nˆ variar com o tempo. 
    cos,ˆ, trBntrB   
3) CAMPO ELÉTRICO INDUZIDO 
Sendo a força eletromotriz induzida uma diferença de potencial induzida ao longo da espira, 
isso significa que haverá um campo elétrico induzido atuando ao longo da espira, acelerando 
os elétrons da corrente elétrica. 
  ldtrEfem
l
   ,    tldtrE
B
l 
 
 , 
Considerando que a forma e o tamanho da espira permaneçam inalterados durante o processo 
e que o ângulo  também seja imutável, a única possibilidade que restaria para a variar o fluxo 
seria com a variação de  trB , com o tempo. 
    









SS
B dSn
t
trBdSntrB
tt
ˆ,ˆ,

 
    

Sl
dSn
t
trBldtrE ˆ,,

 
Pelo Teorema de Stokes:     
Sl
dSntrEldtrE ˆ,, 

 
Donde, se tem:     

SS
dSn
t
trBdSntrE ˆ,ˆ,

 
Obtendo-se, finalmente:    t
trBtrE

 ,,

 (Lei de Faraday na forma diferencial) 
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EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS RRREEESSSOOOLLLVVVIIIDDDOOOSSS::: 
1) Um fio condutor retilíneo muito longo é percorrido por uma corrente  tsenII 0 , de modo 
que o campo de indução magnética na região é:    

 ˆ
2
, 00 tsen
r
ItrB 

. Determine a fem 
induzida numa espira retangular situada próxima ao fio, conforme é mostrado na figura 
abaixo. 
Solução: 
 
   


ad
d
b
B dzdyy
tsenI
0
00 1
2


   tsen
d
adbI
B 
 



  ln
2
00 
Finalmente: 
t
fem B

     tsen
td
adbIfem 








  ln
2
00 
 t
d
adbIfem 

 cosln
2
00 



  
 
2) Na situação ilustrada na figura abaixo, o condutor PQ move-se com velocidade uniforme 
 xvv ˆ mantendo contato com um condutor em forma de U. Se na região existe um 
campo de indução magnética uniforme  zBB ˆ , determine a fem induzida no circuito em 
questão. 
Solução 1: 
 
 
d 
a 
b I 
x 
y 
z Na situação mostrada na figura ao lado, onde a espira 
está no plano yz, a distância r será y e a direçãoˆ 
coincidirá com xˆ , que será também a direção da 
normal ao plano da espira. A lei de Faraday coloca: 
t
fem B

  
onde      
S
B dSxxtseny
I ˆˆ
2
00 

 
 
S
B dydzy
tsenI 1
2
00 

 
z 
x 
y 
l 
P 
Q 
v B 
x a 
A figura ao lado mostra uma espira retangular 
onde um dos lados é o condutor PQ. O fluxo do 
campo de indução B será: 
    
S
B dSzzB ˆˆ 
 axBlB  
t
xBl
t
fem B



  
Portanto: Blvfem  
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Solução 2: 
Este problema admite uma segunda forma de resolução que pode ser bastante útil em muitos 
casos futuros. Nesta segunda forma de abordagem, ao invés de se pensar na lei de Faraday, 
deve-se imaginar que o condutor PQ possui em seu interior um conjunto deportadores de 
cargas que ficam sob a ação do campo magnético quando o condutor se move. 
A força magnética sobre estes portadores é: qvBBvqFm 

 
Essa mesma força pode ser suposta como sendo gerada por um campo elétrico equivE

 que 
atuaria provocando o mesmo tipo de movimento dos p[ortadores de cargas. 
mequivelet FEqF

  BvqEq equiv
   BvEequiv
  
A fem induzida no condutor será:   ldBvldEfem equiv    
Como o campo B

 atua somente no trecho PQ: BvldlvBfemQ
P
  
 
3) Na figura abaixo é mostrada uma espira quadrada de lado a gira com velocidade angular  
entre os pólos de de dois eletroimãs (que geram um campo de indução B uniforme). 
Determine a fem induzida na espira. 
Solução: 
 
Como o campo B

 é uniforme, tem-se:  cosBSB  
A força eletromotriz induzida será: 
t
BSsen
t
Bl
t
fem B





  cos 
Finalmente: senBSfem  
Essa força eletromotriz calculada corresponde à situação que é encontrada numa usina de 
geração de energia elétrica. 
 
 
 
X X 
z 
x 
y 
B 
x x+a 
y 
y+b 
 
4) Uma espira retangular de lados a e b e resistência R 
encontra-se no plano xy de uma região onde existe um 
campo magnético    zeBrB t ˆ.0  

 (ver figura ao lado). 
Calcule: 
(a) A fem induzida pelo campo magnético na espira. 
(b) A corrente induzida que circula na espira. 
 
1 
2 
3 
4 
N S 
B 
n 

x 
Muito embora a área da espira e o campo magnético 
sejam constantes no tempo, o fluxo do campo 
magnético irá variar ao longo do tempo devido à 
variação da orientação da espira no interior do 
campo. 
 
SS
B dSBdSnB  cosˆ

 
onde  é o ângulo entre a normal nˆ e o campo B

. 
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Solução: 
(a) A fem induzida é calculada a partir da Lei de Faraday: 
dt
d
fem B
 
Onde:      
xy
t
S
B dxdyzzeBdSntrB ˆˆˆ,
.
0
 

  

ax
x
by
y
t
B dxdyeB
.
0
 
Portanto: tB abeB
.
0
  
Finalmente: tB eabB
t
fem .0
 

  teabBfem .0
  
(b) A corrente induzida que circula na espira é calculada a partir da lei de Ohm: indIRfem . 
Portanto: 
R
femI ind   R
eabBI
t
ind
.
0
  
O sentido de circulação da corrente deve ser tal que o campo indB

 esteja no mesmo sentido 
que o campo original, pois o campo original    zeBrB t ˆ.0  

diminui com o tempo, 
reduzindo, consequentemente, o fluxo de B

 através da espira. Para manter o fluxo inalterado, 
o indB

 deve ser no mesmo sentido do B

 original. Portanto, a corrente deve circular no sentido 
horário. 
5) Uma espira retangular condutora, de lados a e b, que se encontra no plano xy com o lado a 
paralelo ao eixo y, afasta-se com velocidade constante xvv ˆ de um fio condutor muito fino 
e muito longo, conduzindo uma corrente constante I. O fio condutor coincide com o eixo y e 
o sentido da corrente é +y. Determine, nessas condições, a força eletromotriz induzida na 
espira. 
Solução: 
 
 


ax
x
b
B dydxx
I
0
0 1
2
      xaxIbB lnln2
0 

 
Finalmente: 
t
fem B

   


 


dt
dx
xdt
dx
ax
Ibfem 11
2
0


 
 axx
Iabvfem




2
0
 
 
 
 
x 
a 
b I 
z 
x 
y Na situação mostrada na figura ao lado, onde a espira 
está no plano xy, a distância r será x e a direçãoˆ 
coincidirá com zˆ , que será também a direção da 
normal ao plano da espira. A lei de Faraday coloca: 
t
fem B

  
onde o campo do fio infinito é: 
    z
x
ItrB ˆ
2
, 0 


 
     
S
B dSzzx
I ˆˆ
2
0

 
x+a 
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EEEXXXEEERRRCCCÍÍÍCCCIIIOOOSSS PPPRRROOOPPPOOOSSSTTTOOOSSS::: 
1) Uma espira retangular condutora, de lados a e b, que se encontra no plano xy com o lado a 
paralelo ao eixo y, afasta-se com velocidade constante xvv ˆ de um fio condutor muito 
fino e muito longo, conduzindo uma corrente constante I. O fio condutor coincide com o eixo 
y e o sentido da corrente é +y. Determine, nessas condições, a força eletromotriz induzida 
na espira. 
Resp.:  bxx
Iabvfem




2
0 onde x é a distância da espira ao fio. 
2) Um solenóide cilíndrico contendo 200 espiras tem comprimento de 20 cm e diâmetro de 3,0 
cm. Um anel com diâmetro de 2,0 cm está situado no centro do solenóide, posicionado de 
forma coaxial com o mesmo. A corrente no solenóide em um dado intervalo de tempo tem o 
comportamento temporal   ttI 0,20,3  (A). Calcule: (a) o fluxo do campo magnético no 
anel em t = 1,5 s; (b) a fem induzida no anel. (c) Se o anel estivesse a girar em torno do seu 
diâmetro, com velocidade angular  = 200 rad/s, como ficaria a fem neste caso? 
Resp.: (a)  WbB 610.4,2  ; (b)  Vfem 710.9,7  ; 
 (c)   tttfem 200cos10.0,8200sin10.6,110.4,2 754   
 
Resp.:  ayyfem 
1610.26,1 onde y é a distância da espira ao cilindro. 
O sentido da corrente será o anti-horário. 
 
r2 
r1 
z 
a 
b 
v 
l 
r 
y 
3) Uma casca cilíndrica muito comprida (infinita), de raio interno 
r1 = 1,2 cm e externo r2 = 4,8 cm, é percorrida por uma corrente 
de densidade   z
r
rj ˆ
'
10.2,3'
6


 onde r’ é a distância radial em 
relação ao eixo do cilindro. Determine a força eletromotriz 
induzida sobre uma espira retangular condutora, de lados a = 2,0 
cm e b = 3,0 cm, que se encontra no plano yz com o lado a 
paralelo ao eixo y, e que se aproxima com velocidade constante 
 smyv /ˆ5,1 da casca cilíndrica. A fem induzida deverá ficar 
em função da distância y da espira ao eixo da casca cilíndrica e 
indique o sentido de circulação da corrente induzida na espira 
(se é horário ou anti-horário).