PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, FLUIDOS E PRESSÃO, LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON

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Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
PPRROOBBLLEEMMAASS RREESSOOLLVVIIDDOOSS EE PPRROOPPOOSSTTOOSS 
 
((22001111)) 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS (CAP.2) ................................................. 4 
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E PRESSÃO ( CAP.2 E CAP.3) .................... 10 
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................ 13 
1.4 PROBLEMAS PROPOSTOS – LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON (CAP.2) ............................................. 20 
1.5 PROBLEMAS RESOLVIDOS – MANOMETRÍA. (CAP.3)....................................................................... 23 
1.6 PROBLEMAS PROPOSTOS - CONCEITOS DE PRESSÃO (CAP3) ..................................................... 28 
1.7 PROBLEMAS RESOLVIDOS - CINEMÁTICA DOS FLUIDOS (CAP4) ...................................................... 32 
1.8 PROBLEMAS PROPOSTOS – CINEMÁTICA (CAP.4)........................................................................... 42 
1.9 PROBLEMAS RESOLVIDOS – CONSERVAÇÃO DA MASSA (CAP.5)...................................................... 44 
1.10 PROBLEMAS RESOLVIDOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO (CAP.5) .............................................. 50 
1.11 PROBLEMAS PROPOSTOS – QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................... 60 
1.12 PROBLEMAS RESOLVIDOS – ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.6 E CAP.7) ......................... 63 
1.13 PROBLEMAS PROPOSTOS - PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES (CAP.7) ....................................... 79 
1.14 PROBLEMAS PROPOSTOS - ESCOAMENTO VISCOSO EM DUTOS (CAP.7 E CAP.8).......................... 82 
1.15 PROBLEMAS RESOLVIDOS - ANÁLISE DIMENSIONAL (CAP.9) ........................................................ 84 
1.16 PROBLEMAS ADICIONAIS ............................................................................................................ 87 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDOOSS FFLLUUIIDDOOSS 
 
 CCAAPP 22 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-4 
1.1 PROBLEMAS RESOLVIDOS - Propriedades dos Fluidos (Cap.2) 
 
[ 1 ] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 
 
[ 2 ] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso específico 
e densidade do óleo. 
 
[ 3 ] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. 
 
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no 
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) 
 
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85 kg/dm3. Determinar a 
sua viscosidade cinemática. 
 
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m− em termos da altura de coluna de água de 
massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica 
ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ . 
 
[ 7 ] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade 
máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região 
de mais profundidade do lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. 
 
[ 8 ] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. 
 
[ 9 ] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manométrica. A pressão atmosférica local é de 
101,0 kPa. 
 
[ 10 ] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão 
atmosférica local é igual a 100 kPa. 
 
[ 11 ] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão 
absoluta em kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do 
mercúrio igual a 13,6. 
 
[ 12 ] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 escoando 
num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 m/s, determine o 
valor do número de Reynolds. 
[ 13 ] Em um reservatório contendo glicerina, com massa=1200 kg e volume=0,952 m³. Determine: a) peso da glicerina; 
b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. 
[ 14 ] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou 
incompressível? c) subsônico ou supersônico? 
 
[ 15 ] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe 
um manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-5 
 
Solução dos Problemas - Propriedades dos Fluidos 
 
[1] Determine o peso de um reservatório de óleo que possui uma massa de 825 kg. 
 
kNN
s
m
kgxw
mgw
093,8ou 25,809381,9825
2
==
=
 
 
[2] Se o reservatório do exemplo anterior tem um volume de 0,917 m3 determine a massa específica, peso 
específico e densidade do óleo. 
 
Massa específica 
33
90067,899
917,0
825
m
kg
m
kg
V
m
≅===ρ 
Peso específico 
323
8,882581,967,899
m
N
s
m
x
m
kg
g === ργ 
Também poderia ser determinada como 
33
8,8825
917,0
25,8093
m
N
m
N
V
w
===γ 
densidade 
)4()4( 22 caOH
fluido
caOH
fluidod
oo
γ
γ
ρ
ρ
== 
90,089967,0
1000
67,899
)4(2
≅===
caOH
fluidod
o
ρ
ρ 
 
 
[3] Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa específica e a densidade do fluido. 
 
Peso específico 
3
34,7833
6
100047
m
Nx
V
W
===γ 
Massa específica 
3
51,798
81,9
34,7833
m
kg
g
===
γρ 
mm
xs
s
mkg
mm
Ns
s
m
m
N
g 3
2
2
3
2
2
3
.
.
====
γρ 
 
Densidade 80,0
1000
51,798
0
2 40
===
CaH
óleod
ρ
ρ 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-6 
 
[ 4 ] Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa específica e o peso do 
ar contido no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Admita que a temperatura do ar no 
tanque é 210C e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. A constante do gás para o ar é R=287 (J/kg K) 
 
A pressão absoluta é Pabs=Pman+Patm=340kPa + 101,3kPa= 441,3 kPa. 
A temperatura absoluta é Tabs(K) =T(oC) + 273= 21+273=294 K 
 
A massa específica pode ser determinada com a lei dos gases perfeitos 
 
3
23,5
294287
10003,441
m
kg
x
x
RT
P
===ρ 
 
As unidades são: 
( ) 32
2
..
..
m
kg
xKmmN
KkgN
Kx
kgK
Nm
m
N
RT
P ==






==ρ 
 
O peso de ar contido no tanque é igual a 
 
NxxxgW 22,11038,281,923,5 2 ==∀= −ρ 
 
Conferindo as unidades: 
( ) N
s
mkg
m
s
m
m
kg
gW ==



=∀=
2
3
23
.ρ 
 
[ 5 ] Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa específica de 0,85kg/dm3. Determinar a 
sua viscosidade cinemática. 
 
s
m
x
kg
ms
s
kgm
x
kg
msN
x
m
kg
m
Ns
x 2
6
2
66
3
2
3
1088,5
..
1088,5
..
1088,5
850
105
−−−
−
=

====
ρ
µν 
 
[ 6 ] Determinar a altura representativa de uma pressão de 500 2K N m−em termos da altura de coluna de água de 
massa específica ρ = −1000 3kg m , e em termos de altura de coluna de Mercúrio com massa específica 
ρ = × −13 6 103 3. kg m . Utilizando p gh= ρ . 
Solução 
Em termos de coluna de água: água de 95.50
81.91000
10500 3
m
g
p
h =
×
×
==
ρ
 
 
Em termos de coluna de mercúrio com ρ = × −13 6 103 3. kg m . 
mercúrio de 75.3
81.9106.13
10500
3
3
mh =
××
×
= 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-7 
[7] A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 100C e profundidade máxima do 
lago de 40m. Se a pressão baromêtrica local é igual a 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do 
lago. Considere a densidade do mercúrio igual a 13,54. 
A pressão da água, em qualquer profundidade h, é dada pela equação: 
 
ghpp ρ+= 0 
 
Onde po é a pressão na superfície do lago que representa a pressão atmosférica local (patm). 
Como patm foi dada em coluna de mercúrio devemos 
kPa
m
kg
xghpatm 43,79m
N
79430,79 x0,598m
s
m
 x9,81100054,13
223
==== ρ 
 
Desta forma para o fundo do rio (h=40m) para água a 100C a qual corresponde uma massa especifica de 1000kg/m3 podemos 
determinar a pressão absoluta como. 
 
kPakPakPaxxkPaghpp 4724,39243,794081,9100043,79atm ≈+=+=+= ρ 
 
[8] Expresse a pressão relativa de 155kPa como uma pressão absoluta. A pressão atmosférica local é de 98,0 kPa. 
 
kPakPakPapPp man 2530,98155atmabs =+=+= 
 
[9] Expresse uma pressão absoluta de 225,0 kPa como uma pressão manomêtrica. A pressão atmosférica local é de 101,0 kPa. 
 
kPakPakPappPman 0,1240,1010,225atmabs =−=−= 
 
[10] Um vacuômetro indica uma pressão de 70 kPa. Determinar a pressão absoluta considerando que a pressão atmosférica local é 
igual a 100 kPa. 
kPakPakPappp vac 3070100atmabs =−=−= 
 
[11] Um manômetro instalado numa tubulação de água indica uma pressão de 2,0 kgf/cm2. Determinar a pressão absoluta em 
kgf/cm2, Pa, mH20 e mm Hg. Considere a pressão atmosférica igual a 1,0 kgf/cm2 e a densidade do mercúrio igual a 13,6. 
atmabs pPp man+= 
em kgf/cm2 
2abs
321
cm
kgf
p =+= 
Sabemos que 1 kgf =9,81N, desta forma e que 1cm2 = (1/100)2m2. Desta forma. 
• Pressão em Pascal. 
kPaxx
m
kgf
N
x
cm
kgf
p 3,29410081,90,3
100
1
81,90,3 2
2
2
2abs
=== 
• Coluna de água 
água de coluna de 30
81.91000
103,294 3
02
m
g
p
h
H
=
×
×
==
ρ
 
 
• Coluna de mercúrio considerando d=13,6. 
mercúrio coluna de 2,2
81,910006,13
103,294 3
m
xg
p
h
Hg
=
×
×
==
ρ
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-8 
[12] Um fluido newtoniano apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N.s/m2 e densidade igual a 0,91 
escoando num tubo de 25mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do escoamento é de 2,6 
m/s, determine o valor do número de Reynolds. 
 
O número de Reynolds é definido como 
 
µ
ρ
ν
VDVD
== ou Re 
 
a massa específica do fluido é determina em função da densidade 
 
330
910100091,0
2 m
kg
m
kg
xd H === ρρ 
 
156
38,0
910025,06,2
Re ≅==
xxVD
µ
ρ 
 
Conferindo as unidades 
 
( ) aladimension-1
...
Re
22
3
2
3
2
3 =










====
s
m
mkg
s
m
kg
m
s
m
sN
m
x
m
kg
xmx
s
m
m
Ns
m
kg
xmx
s
m
VD
µ
ρ 
 
• O valor de um parâmetro adimensional não depende do sistema de unidade utilizado desde que todas as 
variáveis utilizadas forem expressas num sistema de unidades consistente. 
 
 
[13] Em um reservatório contendo glicerina, temos: massa = 1200 kg e volume = 0,952 m³. Determine: a) peso da 
glicerina; b) massa específica da glicerina; c) peso específico da glicerina; d) densidade da glicerina. 
a) W = F = m.a = mg W = 1200 kg x 9,81 m/s2 ≅ 11,77 kN 
 
b) ρ = m / V ρ = 1200 kg / 0,952 m³ ≅ 1261 kg / m³ 
 
c) γ = ρ g 3
23
/37,1281,91261 mkN
s
m
x
m
kg
≅=γ 
d) d = ρfluido / ρágua a 4ºC 26,1
1000
1261
3
3
==
m
kg
m
kg
d 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-9 
 
[14] Um avião voa a 10700 m de altura, a velocidade de 850 km/h, onde a temperatura chega a -55ºC. Dados: KAR = 
1,4 e RAR = 287 [J/(kg.K)] , determine: 
a) a velocidade do som; b) número de Mach; fluido compressível ou incompressível? c) subsônico ou supersônico? 
 
(a) TxRxKc = ( ) [ ]Kx
Kxkg
J
xc 273552874,1 +−

= c ≅ 296 m/s 
 
b) M = V / c 
s
m
s
m
s
m
s
h
x
km
m
x
h
km
M
296
236
296
3600
1
1
1000
850
≅= 
M ≅ 0,8 [admensional] 
 
M > 0,3 � Fluido Compressível 
 
c) M ≅ 0,8 M < 1 � Subsônico 
 
 
 
 
[15] Determine a massa específica do ar que se encontra num reservatório com temperatura de 50°C, no qual existe um 
manômetro indicando uma pressão de 370 kPa. 
).( PerfeitoGásEq
TxR
p
=ρ 
absAR
manatmabs
TxR
pp
TxR
p +
==ρ 
( )
( )
3
2
2
2
5,08
323
.
287
.
471330
27350287
370000101330
m
kg
Kx
Kxkg
s
mkg
sm
kg
Kx
Kxkg
J
PaPa
=⇒=
+
+
= ρρ 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-10 
1.2 PROBLEMAS PROPOSTOS - Propriedades dos Fluidos e Pressão ( Cap.2 e Cap.3) 
 
1. Um reservatório graduado contém 50ml de um líquido que pesa 6N. Determine o peso especifico, a massa especifica e a 
densidade deste líquido. 
 
2. Determine a viscosidade cinemática do ar a 20 0C sabendo que nestas condições a viscosidade dinâmica é igual a 1,85x10-4 
Poise e a massa especifica igual a 1,208 kg/m3. 
 
3. A tabela abaixo mostra a variação da massa especifica da água (kg/m3) em função da temperatura na faixa entre 20 a 600C. 
Utilize estes dados para construir uma equação empírica do tipo: ρ=c1 + c2T + c3T2 que forneça a massa especifica da água 
nesta faixa de temperatura. Comparar os valores fornecidos pela equação com os da tabela. Qual o valor da massa especifica 
da água quando a temperatura é igual a 42,10C. 
 
ρ (kg/m3) 998,2 997,1 995,7 994,1 992,2 990,2 988,1 
T (0C) 20 25 30 35 40 45 50 
 
4. A Equação de Shuterland é utilizada para determinação da viscosidade dinâmica dos gases é dada por: 
 
 
ST
CT
+
=
2/3
µ 
As constantes para a Eq. Sutherland adequada para o ar a pressão atmosférica padrão são C=1,458x10-6 kg/(msK1/2) e S=110,4K. 
Utilize estes valores para estimar a viscosidade dinâmica do ar a 100C e a 900C. Compare os valores com os tabelados em textos 
de mecânica dos fluidos 
 
5. A Eq. Empírica para determinação da viscosidade cinemática para líquidos é conhecida como Eq. de Andrade e dada por: 


=
T
B
D expµ 
Determine as constantes D e B da Eq. de Andrade para água para as temperaturas de 0,20,40,60, 80 e 1000C. Determine a 
viscosidade dinâmica para 500C e compare com valores dados em tabelas. Método: Rescreva a equação na forma: 
D
T
B ln
1
ln +=µ 
Grafique em função de lnµ em função de 1/T. Os valores de D e B podem ser determinados a partir da inclinação e do ponto de 
intercessão desta curva. Obs. Se você tem acesso a um programa de ajuste de curvas não linear poderá encontrar as constantes a 
partir da Eq. original. 
 
6. Determine a massa específica, volume específico, o peso específico e a densidade de um óleo que pesa 33kN contido num 
reservatório de 3.5m3 Obs: considere g=9.81 m/s2 e o peso especifico da água igual a 9806N/m3. (d=0,96) 
 
7. Um tanque de ar comprimido contém 6,0 kg de ar a 800C. A pressão relativa do tanque é igual a 300kPa. Determine o volume 
do tanque. (V=1,52m3) 
 
8. Determine a altura de pressão estática de uma coluna de água e de uma coluna de mercúrio para uma pressão de 10kgf/cm2. 
Considere a massa especifica da água igual a 1000kgf/m3 e o peso específico do mercúrio é igual a 13600kgf/m3. Qual a 
densidade do mercúrio. (d=13,6) 
 
9. A densidade da água salgada é igual a 1,2. Determinar a altura equivalente de pressão estática de uma coluna de água 
salgada considerando uma pressão de 10kgf/cm2. (h=83,3 mca) 
 
10. Para uma pressão de 10kgf/cm2. qual será a altura de coluna de óleo e qual a sua densidade.O óleo tem um pesos específico 
igual a 850kgf/m3. 
 
11. Para um líquido que tem um peso específico igual a 8338,5N/m3 determinar qual a coluna representativa de pressão quando 
se tem uma pressão de 981kPa. (h=117,65m) 
 
12. Determinar o peso específico, o volume específico e a densidade do mercúrio: a) na lua b) na terra. Considere a massa 
especifica do mercúrio igual a 13600 kg/m3. A aceleração da gravidade na terra é igual a 9,81 m/s2. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-11 
13. A pressão manométrica de um tanque é medida, indicando uma altura de 55 cm de coluna de fluido com d=0,85. A pressão 
atmosférica local é igual a 96k Pa. Determinar a pressão absoluta dentro do tanque. 
 
14. Mergulha-se numa cuba contendo mercúrio um tubo de vidro aberto numa extremidade tal como se 
mostra na figura. Considere d=13,6 e a pressão atmosférica igual à pressão atmosférica normal 
(101,33kPa) com g=9,81m/s2. Determine nestas circunstancias a altura de coluna de mercúrio. 
(h=760mmHg) 
 
 
15. Um vacuômetro tipo Bourdon, indica uma pressão de 5.8psi (lbf/pol2) quando conectado a uma reservatório num local onde a 
pressão atmosférica é igual a 14.5Psi. Determinar a pressão absoluta no reservatório. 
 
16. Um manômetro tipo Bourdon indica que a pressão num tanque é igual a 5,31 bar quando a pressão atmosférica local é igual a 
760mmHg. Qual será a leitura do manômetro quando a pressão atmosférica local for igual a 773mm de Hg. 
 
17. Um manômetro de Bourdon instalado na tubulação de alimentação de uma bomba indica que a pressão negativa é igual a 
40kPa. Qual é a pressão absoluta correspondente se a pressão atmosférica local é igual a 100kPa. 
 
 
18. Admitindo que a pressão atmosférica local é igual a 101kPa, determine as alturas das colunas de fluido em barômetros que 
contém os seguintes fluidos: a) mercúrio b) água c)álcool etílico. Calcule as alturas levando em conta a pressão de vapor 
destes fluidos e compare com seus respectivos desconsiderando a pressão de vapor dos fluidos. 
 
19. Um tanque fechado contem ar comprimido e um óleo que 
apresenta uma densidade igual a 0,9. O manômetro em U 
conectado ao tanque utiliza mercúrio com densidade igual a 13,6. 
Se h1=914mm h2=152mm h3=229mm, determine a leitura no 
manômetro localizado no topo do tanque. (Resposta: 
Pmam=21,1kPa) 
 
 
20. Determine o número de Reynolds numa tubulação de aço galvanizado novo de 300mm de diâmetro interno na qual escoa 
água a uma temperatura de 350C com uma vazão de 60m3/h. Especifique se o escoamento é laminar ou turbulento. Determine 
a perda de carga para a tubulação considerando um comprimento total de 50metros. 
 
21. Determinar a massa especifica do ar num local onde a temperatura é igual a 500C e leitura do barômetro indica uma pressão 
igual a 100kPa. (Obs: Considere o ar como um gás ideal) (ρ=1,07kg/m3) 
 
22. Um tanque de ar comprimido apresenta um volume igual a 2,38x10-2m3. Determine a massa especifica e o peso do ar contido 
no tanque quando a pressão relativa do ar no tanque for igual a 340kPa. Considere que a temperatura do ar no tanque é de 
210C e que a pressão atmosférica é igual a 101,30kPa. (5,23kg/m3, 1,22N). 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEXXEEMMPPLLOOSS 
 
LLEEII DDAA VVIISSCCOOSSIIDDAADDEE 
 
 ((CCAAPP 22)) 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-13 
1.3 PROBLEMAS RESOLVIDOS – Lei da Viscosidade de Newton (Cap.2) 
 
[1] Duas grandes superfícies planas mantêm uma distância h entre elas esta escoando um determinado fluido. 
 
• Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. 
• Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com 
a tensão de cisalhamento no centro das placas ? 
• Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? 
• Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[2] Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de 
cisalhamento em y=0 e em y= -100mm. Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[3] Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25 mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica 
de 850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5 m2/s. Uma placa muito fina de 0,4 m2 de área move-se a uma velocidade 
de 0,15m/s eqüidistante entre ambas superfícies. Considere um perfil linear de velocidade. Determinar (a) O gradiente de 
velocidade (b) A tensão de cisalhamento sobre a placa fina (c) força necessária para puxar a placa. 
 
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. A 
separação das placas é igual a 0,3m. Considere um perfil de velocidade linear. A viscosidade do líquido é de 0,65 Centipoise A 
densidade relativa é igual a 0,88 Determinar: 
• ( a ) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) - A viscosidade cinemática do líquido 
• ( b ) A tensão de cisalhamento na placa superior e na placa inferior em (Pa) 
• ( c ) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
 
 
 
 
(1) (2) (3) 
dy
duµτ =
y 
x 
 y 
V=2,5m/s 
h=100mm 
0 
U=0,3m/s 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-14 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é 
dada pela equação 
 



 

−=
2
1
2
3
h
yV
u 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e 
h=5mm determinar: 
a) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
b) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = 
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é de 200mm e o 
diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320 mm. O espaço entre o embolo e o cilindro esta cheio de óleo com 
viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na descida considerando um perfil linear de velocidade 
(dv/dy=u/y). 
 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de 
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente 
de velocidades é dado por: 
 




=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2max
ππ
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-15 
Solução – Problema 1 
 
[1] Duas grandes superfícies planas mantém uma distância H. O espaço entre elas esta preenchido com um fluido. 
 
(a) Se o fluido for considerado não-viscoso (ideal) qual será a tensão de cisalhamento na parede da placa superior ?. 
(b) Se o perfil de velocidade for uniforme (1). Qual será a magnitude da tensão de cisalhamento na parede inferior comparada com 
a tensão de cisalhamento no centro das placas ? 
(c) Se o perfilde velocidade for uma reta inclinada (2). Onde a tensão de cisalhamento será maior ? 
(d) Se o perfil de velocidade for parabólico (3): Onde a tensão de cisalhamento será menor ?. 
 
 
 
 
(a) Num fluido ideal a viscosidade do fluido é nula (µ=0) e portanto a tensão τ=0. 
 
(b) Num perfil uniforme de velocidade du/dy=0 e, portanto a magnitude da tensão de cisalhamento é nula em toda a seção (τ=0). 
 
 
(c) Se o perfil de velocidade for uma reta inclinada o perfil de velocidade será do tipo u=k1 + k2y . Desta forma o termo du/dy=k2 = 
constante, portanto, a tensão de cisalhamento será igual em todos os pontos da seção (τ=cte). 
 
(d) Se o perfil de cisalhamento for parabólico, por exemplo, do tipo: 
 
 u=k1 + k2y2 , desta forma o termo du/dy=k2 y , 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento vai aumentando linearmente. 
 
 Para y=0 (centro do canal) τ=0. 
 
 Para y=ymax (paredes) τ=τmax. 
 
 Desta forma a tensão de cisalhamento será zero no centro e máxima nas paredes. (τ=ky) 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-16 
Solução – Problema 2 
 
Considerando um perfil parabólico de velocidade V(y)= a + by2 determinar 
(a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento em y=0 e em 
y= -100mm. 
Considere um fluido com viscosidade dinâmica igual a 8.0x10-3 kg/ms. 
 
 
Para y=0; V=Vmax=2,5m/s 
 
como 2byaV += achamos que a=2,5m/s 
 
Para y=-100 mm V=0 com 2byaV += achamos 
 
( )
2
22
2505,2
250
1,0
5,20
yV
y
aV
b
−=
−=
−
=
−
=
 
O gradiente de velocidade é dada por: y
dy
du
500−= 
Tensão de cisalhamento em y=0 : 
0 x500x08,0x10 3- ===
dy
duµτ 
Tensão de cisalhamento em y=-0,1m 
2
 3- 4,00)x500x(-0,18,0x10
m
N
dy
du
−=== µτ 
 
Solução – Problema 3 
 
Duas superfícies grandes planas estão separadas por um espaço de 25mm. Entre elas encontra-se óleo de massa específica de 
850 kg/m3 e viscosidade cinemática igual a 7,615x10-5m2/s. Determinar a força necessária para puxar uma placa muito fina de 
0,4m2 de área a uma velocidade de 0,15m/s que se move eqüidistante entre ambas as superfícies. Considere um perfil linear de 
velocidade (dv/dy=u/y). 
21 FFF += 
2
2
5
3
N.s/m06473,010615,7850 === −
s
m
x
m
kgρνµ 
 
1
1 y
u
A
dy
du
AAF µµτ ≡== 
2
2 y
u
AF µ≡ como y1=y2 temos que F1=F2. 
 
 
N
m
s
m
x
m
sN
xmx
y
u
AF 62,0
0125,0
15,0
.
06473,04,022
2
2 ==

= µ 
 
 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-17 
Solução – Problema 4 
 
[4] Uma placa infinita move-se sobre uma Segunda placa, havendo entre 
elas uma camada de líquido, como mostrado na figura. Para uma pequena 
largura da camada d, supomos uma distribuição linear de velocidade no 
líquido. A viscosidade do líquido é de 0,65 centipoise A densidade relativa 
é igual a 0,88 Determinar: 
 (a) A viscosidade absoluta em Pa s e em (kg/ms) 
(b) A viscosidade cinemática do líquido 
(c) A tensão de cisalhamento na placa superior (Pa) 
(d) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
(e) Indique o sentido de cada tensão de cisalhamento calculado em c e d. 
 
Hipóteses: 
• Distribuição linear da velocidade 
• Escoamento em regime permanente 
• Viscosidade constante 
 
 
(a) 1 cP = Pa s /1000 
 
 s 105,6
1000
 
)65,0( 4 Pax
cP
sPa
cP −==µ 
 
 1 cP = Pa s /1000 
 
 
)/(105,6
1000 
)/(
)65,0( 4 mskgx
cP
mskg
cP −==µ 
 
(b) A viscosidade dinâmica 
 
s
m
x
m
kg
x
ms
kg
x 2
3
3
4
1039,7
100088,0
105,6
−
−
===
ρ
µν 
 
O perfil de velocidade é representado por a equação de uma reta: 
 
bmyyu +=)( 
 
Para y=0 u=0 e por tanto b=0 (intercepto no eixo de coord.) 
 
Para y=d u=U e por tanto m= U/d 
 
Desta forma o perfil de velocidade é dado como: 
 
y
d
U
yu 

=)( 
 
O gradiente é dado por: 
 
ctes
x
d
U
dy
du
====
−11000
3,0
10003,0
 
 
 
 
 
(c) A tensão de cisalhamento na placa inferior em (Pa) 
 
 
Pa
m
N
sms
kg
x
d
U
dy
du
y
yx 65,065,0
1
1000105,6
2
4
0
==

==
= −
=
µµτ 
 
• A placa superior é uma superfície y (negativa), portanto τyx atua no 
sentido negativo (-) dos x 
 
 
 
• A placa inferior é uma superfície y (positiva), portanto τyx atua no 
sentido positivo dos x 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
PUCRS C-18 
Solução – Problema 5 
 
[5] A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano num canal formado por duas placas paralelas e largas é 
dada pela equação 
 



 

−=
2
1
2
3
h
yV
u 
 
onde V é a velocidade média. O fluido apresenta uma viscosidade dinâmica igual a 1,92 N.s/m2. Considerando que V=0,6m/s e 
h=5mm determinar: 
c) Tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
d) Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal. 
 
Utilizando a lei universal 
 
τ µ=
du
dy
 
 
A distribuição da velocidade é unidimensional e em regime permanente já que u=u(y). Para determinar a tensão de cisalhamento 
devemos determinar o gradiente de velocidade du/dy. Derivando a equação da distribuição da velocidade temos, 
 
y
h
V
h
yV
dy
du
22
3
20
2
3 −=

 

−= 
 
a) A tensão de cisalhamento na parede inferior do canal é dada para y=-h, 
 
Paou
m
N
m
x
s
m
xx
m
Ns
h
V
h
h
V
hy 691 691005,0
1
6,0392,1
3
)(
3
222
=





==−−=
−=
µµτ 
 
esta tensão cria um arrasto na parede. Como a distribuição de velocidade é simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior 
apresenta o mesmo valor, e sentido da tensão na parede inferior. 
 
Tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal é dada para y=0 ou du/dy. 
 
Desta forma a tensão de cisalhamento neste plano é nula. τplano médio=0. 
 
O gradiente de velocidade e portanto a tensão de cisalhamento varia linearmente com y. Neste caso a tensão de cisalhamento varia 
de 0 no plano central a 691Pa nas paredes. 
 
Anexo C: Problemas Resolvidos e Propostos 
 
Jorge A. Villar Alé C-19 
Solução – Problema 6 
 
[ 6 ] O perfil de velocidade do escoamento de um óleo numa superfície sólida é dada por: ( ) .2 2yyU = 
Onde ( )yU é o perfil de velocidade em m/s e y o afastamento da superfície em (m). O óleo apresenta viscosidade absoluta de 
2x10-3Pa.s Determinar a tensão de cisalhamento a 20cm da superfície sólida. 
 
Como o perfil de velocidade é dado por ( ) .2 2yyU = Desta forma ( ) .4y
dy
ydU
= 
A tensão de cisalhamento é dada por: 
y
u
∂
∂= µτ 
2
3 0016,0)2,0(4102
)(
m
N
xxx
dy
ydU
===
−µτ 
 
Solução – Problema 7 
 
[ 7 ] Um embolo de 100kg se move por gravidade no interior de um cilindro vertical. O diâmetro do êmbolo é 
de 200mm e o diâmetro do cilindro de 200,1mm. A altura do embolo é de 320mm. O espaço entre o embolo e 
o cilindro esta cheio de óleo com viscosidade dinâmica igual a 8,5 N.s/m2. Determinar a velocidade na 
descida considerando um perfil linear de velocidade (du/dy=u/y). 
 
y
u
DL
dy
du
AAF µπµτ === 
 ( )
s
cm
s
m
xxx
xx
DL
Fy
u 87,20287,0
5,832,02,0
00005,098,9100
====
πµπ
 
 
Solução – Problema 8 
 
[ 8 ] Ar a 200C escoa sobre uma placa plana apresentando um perfil de 
velocidade senoidal tal como mostrado na figura. Determine a tensão de 
cisalhamento para y=3,5mm. Considere a massa especifica do ar igual a 
1,23 kg/m3 e viscosidade dinâmica igual a 1,8x10-5 (Pa s). Ob. O gradiente 
de velocidades é dado por: 
 




=
b
y
b
U
dy
du
2
cos
2max
ππ
 
Obs. Apresente a dedução de unidades no sistema internacional do 
resultado. 
 
 
Pa
sxPax
xx
x
x
x
x
b
U
dy
du
dy
du
mmy
mmy
0257,0 
068,1428.108,1 
707106,01000
0,72
0,9 
0,72
5,3
cos
2
5
max
5,3
5,3
=
=



 

=



 



==
=
−
=
=
πµ
ππµµτ
µτ