[Resolvido] Exercício - Teorema do divergente

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Renato da Silva Viana
Questão
Considere o campo F(x, y, z) = (2x+ ln(zy3)) i+(3y+ exz2) j+sin(x2y+ z)k. O fluxo exterior
de F, através da superfície do sólido delim1itado pelo paraboloide 3z = 4− x2− y2 e pelo cone
z =
√
x2 + y2, é de, aproximadamente,
Resolução
Divergente do campo F:
divF =
∂(2x+ ln(zy3))
∂x
+
∂(3y + exz
2
)
∂y
+
∂(sin(x2y + z))
∂z
= 2 + 3 + cos(x2y + z)
= 5 + cos(x2y + z)
A superfície entre o paraboloide e o cone pode ser separada em duas partes, sendo a primeira
parte, S1, a superfície do paraboloide acima do plano z = 1 e a segunda parte, S2, a superfície
do cone abaixo do plano z = 1, pois
3z = 4− x2 − y2
3z = 4− z2 ⇒ z = 1
O sólido E delimitado pelas superfícies é tal que E = {(x, y, z) ∈ R3 | −1 ≤ x < 1, −
√
1− x2 ≤
y ≤
√
1− x2 e
√
x2 + y2 ≤ z ≤ 4−x2−y2
3
}.
Pelo teorema do divergente, o fluxo do campo F na superfície S do sólido E é igual a integral
tripla a seguir: ∫∫
S
F · dS =
∫∫∫
E
divF dV
=
∫ 1
−1
∫ √1−x2
−
√
1−x2
∫ 4−x2−y2
3
√
x2+y2
5 + cos(x2y + z) dz dy dx
Integrando, obtém-se: ∫∫
S
F · dS ≈ 8,83436
Bons estudos!
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