Variaveis aleatorias 2

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1 
 
 
ESPERANÇA OU VALOR ESPERADO, [E(X)] 
 
ESPERANÇA OU VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA, [E(X)] 
 
DEFINIÇAO. Seja X uma variável aleatória discreta e f(x) = P[X = x] a função de probabilidade associada 
a X. A esperança de X (ou valor esperado de X) é definia como: 
 
 

=
=
1i
ii )x(fx)X(E ou 

=
XRx
)x(fx)X(E 
 
Observação: O valor esperado é interpretado como a média. 
 
Exemplo 14: Seja: 
ε: De uma caixa que tem 4 produtos bons e 6 defeituosos escolhem-se 3 produtos, um após o outro e sem 
reposição 
X: N° de produtos defeituosos selecionados. 
RX: 0, 1, 2, 3 
 
xi f(xi) 
0 1/30 
1 3/10 
2 1/2 
3 1/6 
 1 
 
Calcule a esperança de X. 
 
Solução 
 
E(X) = 8,1
5
9
)x(fx
4
1i
ii ==
=
 
 
E(X) = 1,8 
 
 
 
Entre os 3 produtos selecionados, espera-se escolher 2 produtos defeituosos. 
 
 
Teorema.- Seja X uma variável aleatória discreta e H(X) uma função da variável aleatória X, então: 


=
=
1i
ii )x(f)x(H)]X(H[E ou 

=
XRx
)x(f)x(H)]X(H[E 
 
Exemplo 15. Seja X uma variável aleatória tal que: 
 
 
 
 
Calcule a esperança de: 
 
 i) H(X) = X2, ii) H(X) = 2X3 + 1 iii) H(X) = 3X – 4 
 
Solução 
 
xi f(xi) xif(xi) 
0 1/30 0 
1 3/10 3/10 
2 1/2 1 
3 1/6 1/2 
 1 9/5 
xi 1 2 3 
f(xi) 0,3 0,5 0,2 
2 
 
i) 1,42,095,043,01)3(f3)2(f2)1(f1)x(fx)X(E 222
3
1i
i
2
i
2 =++=++==
=
 
ii) 2,0)132(5,0)122(3,0)112()x(f)1x2(]1X2[E 233
3
1i
i
3
i
3 +++++=+=+ 
=
 
 = 20,4 
iii) 7,12,0)433(5,0)423(3,0)413()x(f)4x3(]4X3[E
3
1i
ii =−+−+−=−=− 
=
 
 
 
ESPERANÇA OU VALOR ESPERADO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA COMTÍNUA, [E(X)] 
 
DEFINIÇÃO. Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade f(x). A esperança da 
variável aleatória X é definida como: 
 
E(X) = 

−
dx)x(fx ou E(X) = 
 XRx
dx)x(fx 
 
Exemplo 16. Se X é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade, 
 







=
cc0
8/11x2/11
2/1x0x
)x(f 
 
Determine a esperança de X. 
 
Solução 
E(X) = 
 XRx
dx)x(fx = 
8
1
128
121
0
24
1
2
x
3
x
dx)1x(dx)xx(
8/11
2/1
2
2/1
0
38/11
2/1
2/1
0
−+−=




+




=+  
 
 = 
384
331
 = 0,861979 
 
 
Teorema. Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade f(x), e Y= 
H(X) uma função de X. A esperança de Y é dada por: 
 
 E(Y) = E[H(X)] = 

−
dx)x(f)x(H ou E(Y) = E[H(X)] =   XRx
dx)x(f)x(H 
 
Exemplo 17. Considerando o enunciado do exemplo anterior, se Y = 2X + 1, determine a esperança de Y. 
 
Solução 
 
E(Y) = 

+=
XX RxRx
dx)x(f)1x2(dx)x(fy = 
 
 =+++=+++= 
8/11
2/1
2/1
0
2
8/11
2/1
2/1
0
dx)1x2(dx)xx2(dx1)1x2(xdx)1x2( 
3 
 
 
 (
192
523
2
1
4
1
8
11
64
121
0
8
1
8
1
3
2
xx
2
x
x
3
2 8/11
2/1
2
2/1
0
2
3 =−−++−+=++




+= 
 
 
PROPRIEDADES DA ESPERANÇA 
 
1.- E(k) = k; k é uma constante. 
2.- E(X  a) = E(X)  a; a é uma constante. 
3.- E(aX) = a E(X); a é uma constante. 
4.- E(aX  b) = aE(X)  b; a e b são constantes. 
 
 
 
VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA 
 
A variância de uma variável aleatória X mede o grau de dispersão dos seus valores, em torno da esperança 
de X. 
 
DEFINIÇÃO. Seja X uma variável aleatória com valor esperado µX = E(X). A variância de X, denotada 
por V(X) [ou 2X ], é definida como: 
 
2
X ]X[E)X(V −= . 
 
Consequentemente: 
 
- Se X é uma variável aleatória discreta então: 

−=
XRx
2
X )x(f)x()X(V , e, 
- Se X é uma variável aleatória contínua então: 

−=
XRx
2 dx)x(f)x()X(V 
 
Resultado. 2X
2 )X(E)X(V −= 
 
onde: 
- 

=
XRx
22 )x(fx)X(E , se X é uma variável aleatória discreta e, 
- 

=
XRx
22 dx)x(fx]X[E , se X é uma variável aleatória contínua. 
 
Observação. A unidade de medida da variância é o quadrado da unidade de medida da variável X. 
 
 
Exemplo 18. ε: Lanço uma moeda duas vezes e em cada lançamento observo a face superior. 
 X: Número de caras obtidas em dois lançamentos de uma moeda. 
RX: 0, 1, 2 
 
 
 
 
 
 
 
 xi )x(f i 
 0 1/4 
 1 1/2 
 2 1/4 
 1 
4 
 
 
Calcule a variância de X. 
 
Solução 
 
V(X) = 22 )]X(E[)X(E − 
 
 - E(X) = 
=
3
1i
ii )x(fx = 1 
 
 - E(X2) = 
=
3
1i
i
2
i )x(fx = 1,5 
 
V(X) = 22 )]X(E[)X(E − = 1,5 – 1 = 0,5  V(X) = 0,5 
 
 
Exemplo 19. ε: De uma caixa que contém 4 produtos bons e 6 defeituosos, escolhem-se 3 produtos, um 
 após o outro e sem reposição 
 X: Número de produtos defeituosos selecionados. 
 RX: 0, 1, 2, 3 
Calcule a variância de X 
 
Solução 
 
Do exemplo 14 sabe-se que E(X) = 1,8 
 
V(X) = 22 )]X(E[)X(E − 
 
 - E(X2) = 8,3
5
19
)x(fx
4
1i
i
2
i ==
=
 
 
V(X) = 22 )]X(E[)X(E − = 3,8 – (1,8)2 = 0,56 
 
 V(X) = 0,56 
 
 
 
 
Exemplo 20. Se X é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade, 
 







=
cc0
8/11x2/11
2/1x0x
)x(f 
 
Calcule a V(X). 
 
Solução 
 
Do exemplo 16 sabe-se que E[X] = 
384
331
 
 
 xi )x(f i )x(fx ii )x(fx i
2
i 
 0 1/4 0 0 
 1 1/2 1/2 1/2 
 2 1/4 1/2 1 
 1 1 1,5 
 xi )x(f i )x(fx i
2
i 
 0 1/30 0 
 1 3/10 3/10 
 2 1/2 2 
 3 1/6 9/6 
 1 19/5 
5 
 
- 
1536
1291
24
1
1536
1331
0
64
1
3
x
4
x
dx1xxdxx]X[E
8/11
2/1
3
2/1
0
48/11
2/1
2
2/1
0
22 =−+−=




+




=+=  
 
1536
1291
]X[E 2 = 
 
097486707,0
384
331
1536
1291
)X(V
2
=





−= 
 
 
PROPRIEDADES DA VARIÂNCIA 
 
1. V(X) = 0; se X é uma constante 
2. V(X ± a) = V(X); a é uma constante 
3. V(aX) = a2 V(X); a é uma constante 
4. V(aX ± b) = a2 V(X); a e b são constantes 
 
 
Exercício 4. Supor que a demanda diária (X) de um produto é uma variável aleatória com a seguinte função 
de probabilidade, 
 




====
.c.c0
4,3,2,1xc
!x
2
]xX[P)x(f
x
 
 
a) Determinar o valor da constante c. 
b) Determine a demanda esperada do produto e a variância da demanda do produto. 
 
 
 
DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA X 
 
DEFINIÇÃO. Se X é uma v.a. com variância V(X) (ou σX), define-se o desvio padrão de X como sendo: 
 σX = DP(X) = )X(V . 
 
PROPRIEDADES DO DESVIO PADRÃO 
 
1. DP(X) = 0; se X é uma constante 
2. DP(X ± a) = DP(X); a é uma constante 
3. DP(aX) = a DP(X); a é uma constante 
4. DP(aX ± b) = a DP(X); a e b são constantes 
 
Estas propriedades são consequência direta da definição de desvio padrão e das propriedades da variância. 
 
 
Exemplo 21. Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. O quadro a seguir 
dá a distribuição de probabilidades do número de aparelhos vendidos em uma semana. 
 
N° de aparelhos (x) 0 1 2 3 4 5 
f(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 
 
Se o lucro diário por unidade vendida é de R$ 500,00: 
 
a) qual o lucro esperado em uma semana? 
b) Qual o desvio padrão do lucro? 
6 
 
 
Solução 
 
X: número de aparelhos vendidos em uma semana. 
RX: 0, 1, 2, 3, 4, 5. 
 
Y: lucro nas vendas Y = H(X) = 500X 
RY: 0, 500, 1.000, 1.500, 2.000, 2.500 
 
 
a) Y = H(X) = 500X,  E(Y) = E(500X) = 500E(X). 
 
 Calculando E(X) e V(X): 
 
x f(x) x f(x) x2f(x) 
0 0,1 0,0 0,0 
1 0,1 0,1 0,1 
2 0,2 0,4 0,8 
3 0,3 0,9 2,7 
4 0,2 0,8 3,2 
5 0,1 0,5 2,5 
 1 2,7 9,3 
 
- E(X) = 
=
5
0x
)x(fx = 2,7 
 
- 
=
=
5
0x
22 )x(fx)X(E = 9,3 
 
- V(X) = E(X2) – [E(X)]2 = 9,3 – (2,7)2 = 2,01 
 
Logo, 
 
E(Y) = E(500X) = 500E(X) = 500 (2,7) = 1350. 
 
 O lucro esperado é de R$ 1350,00. 
 
 Outra forma de calcular o lucro esperado seria a través do teorema que diz: 
 
 
=
==
5
0x
)x(f)x(H)]X(H[E]Y[E 
 
x f(x) y = H(x) H(x)f(x) 
0 0,1 0 0 
1 0,1 500 50 
2 0,2 1000 200 
3 0,3 1500 450 
4 0,2 2000 400 
5 0,1 2500 250 
 1 1350 
 
 1350)x(f)x(H
5
0x
=
=
, logo,E[Y] = R$1350. 
7 
 
 
b) DP(Y) = DP(500X) = 500 DP(X) = 500 (1,417744688) = 708,87,  DP(Y) = R$708,87 
 
 
 
Exercício 5. Seja X a duração de um instrumento eletrônico (medido em horas). Se X é uma variável 
aleatória contínua com f.d.p. dada por: 
 
 000.10x000.2;
x
k
)x(f
2
= 
 
a) determine o valor de k. 
b) Qual a probabilidade de um instrumento eletrônico falhar antes de 5.000 hs de funcionamento? 
c) Qual a probabilidade de um instrumento eletrônico durar menos de 8.000 hs se sabemos que ainda 
funciona depois das 6.000 hs? 
d) Calcule o tempo esperado (médio) de duração de um instrumento. 
e) Calcule a variância e o desvio padrão do tempo de duração do instrumento. 
 
 
Exercício 6. Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por: 
 
 


 
=
.c.c0
8x0kx
)x(f 
 
a) Determine k. 
b) Calcule E(X), V(X) e Me. 
c) Se definimos a variável Y = H(X) = 10 + 2X, determine: 
c.1) P[Y < 14] 
c.2) A esperança e a variância de Y. 
 
 
Exercício 7. Um galão de combustível para foguetes vai conter certa quantidade (X) de um componente 
particular. Assume-se que X é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade, 
 
 



−
=
.c.c0
9x3
18
x
2
1
)x(f
 
O fabricante terá um lucro real (por galão) no combustível que pode ser expresso pela seguinte função: 
 
 



−

==
.c.cgalãopor.m.u1,0
6x3galãopor.m.u05,0
)X(LL 
 
Determine: 
a) A quantidade média do componente por galão de combustível 
b) Variância da quantidade do componente por galão 
c) A utilidade real esperada do fabricante.