Livro COC Geometria Plana

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Geometria plana 
SISTEMA coe DE ENSINO 
Direção-Geral: Sandro Bonás 
Direção Pedagógica: Zelei C. de Oliveira 
Direção Editorial: Roger Trimer 
Gerência pedagógica: Juliano de Melo Costa 
Gerência Editorial: Osvaldo Govone 
Gerência de Relacionamento: Giovanna Tofano 
Ouvidoria: Regina Gimenes 
Conselho Editorial: 
Juliano de Melo Costa, Osvaldo Govone, 
Sandro Bonás e Zelei C. de Oliveira 
PRODUÇÃO EDITORIAL 
Autoria: Frederico R. F. do Amaral Braga 
Editaria: Clayton Furukawa, José F. Rufato, 
Marina A. Barreto e Paulo S. Ada mi 
Assistente editorial: Luzia H. Fávero F. López 
Assistente administrativo: George R. Baldim 
Projeto gráfico e direção de arte: 
Matheus C. Sisdeli 
Preparação de originais: Marisa A. dos 
Santos e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto 
Iconografia e licenciamento de texto: 
Marcela Pelizaro, Paula de Oliveira 
Quirino e Cristian N. Zaramella 
Diagramação: BFS bureau digital 
Ilustração: BFS bureau digital 
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, 
José S. Lara, Leda G. de Almeida, Maria 
Cecília R. D. B. Ribeiro, Milena C. Lotto 
e Paula G. de Barros Rodrigues 
Capa: LABCOM comunicação total 
Conferência e Fechamento: 
Edgar M. de Oliveira 
coe 
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ClrMmi-ZlD-Ulllrii-lllliiarma" 
~ 
CAPÍTULO 01 A BASE DA GEOMETRIA 9 
1. Introdução 9 
2. Conceitos primitivos, definições e notações 9 
3. Postulados e teoremas 11 
4. Ângulos 12 
5. Ângulos determinados por duas retas com uma transversal 16 
CAPÍTULO 02 TRIÂNGULOS 20 
1. Definição e elementos fundamentais 20 
2. Classificação 20 
3. Estudo dos ângulos 21 
4. Pontos notáveis 23 
5. Triângulos congruentes 27 
CAPÍTULO 03 QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 34 
1. Definição e elementos 34 
2. Classificação dos quadriláteros convexos 34 
3. Propriedades dos paralelogramos 35 
4. Propriedades dos losangos 36 
5. Propriedade do retângulo 38 
6. Conclusão importante 38 
CAPÍTULO 04 ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 40 
1. Circunferência e círculo 40 
2. Ângulo central 44 
3. Ângulo inscrito 44 
4. Propriedade do ângulo inscrito 44 
5. Consequências da propriedade do ângulo inscrito 45 
6. Ângulo de segmento 46 
7. Ângulo de vértice interno 47 
8. Ângulo de vértice externo 47 
CAPÍTULO 05 ESTUDO DOS POLÍGONOS 50 
1. Definições e elementos 50 
2. Posição de um ponto 50 
3. Região poligonal 50 
4. Polígono convexo e polígono côncavo 50 
5. Nomenclatura 51 
6. Número de diagonais de um polígono convexo 51 
7. Ângulos de um polígono convexo 51 
8. Ângulos internos e externos de um polígono regular 54 
CAPÍTULO 06 TEOREMAS DE TALES E 
DA BISSETRIZ INTERNA 57 
1. Definições 57 
2. Teorema de Tales 57 
3. Teorema da bissetriz interna 58 
CAPÍTULO 07 SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 61 
1. Semelhança 61 
2. Casos de semelhança 63 
CAPÍTULO 08 RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 66 
1. Teoremas 66 
2. Tangência 67 
CAPÍTULO 09 RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 71 
1. Triângulos retângulos semelhantes 71 
2. Relações métricas 71 
3. Teorema de Pitágoras 72 
4. Recíproca do teorema de Pitágoras 72 
5. Problemas de tangência 74 
CAPÍTULO 10 SENOS E COSSENOS: TEOREMAS 78 
1. Teorema dos senos 78 
2. Teorema dos cossenos 81 
3. Natureza de um triângulo 82 
CAPÍTULO 11 POLÍGONOS REGULARES: APÓTEMAS 85 
1. Apótema de um polígono regular 
2. Cálculo do apótema dos principais polígonos regulares 
3. Cálculo do raio da circunferência circunscrita 
CAPÍTULO 12 COMPRIMENTO DE 
CIRCUNFERÊNCIAS E ARCOS 
1. Limites do comprimento de uma circunferência 
2. O comprimento da circunferência e o número n 
3. Comprimento de um arco de circunferência 
85 
85 
86 
88 
88 
89 
89 
CAPÍTULO 13 ÁREAS DAS REGIÕES ELEMENTARES 92 
1. Conceitos básicos 92 
2. Cálculo de áreas 93 
3. Divisão de uma região triangular em partes equivalentes 95 
4. Área de um triângulo em função da medida de dois lados e do ângulo 
compreendido 98 
5. Fórmula de Heron 98 
6. Fórmula da área em função do raio da circunferência inscrita 99 
7. Fórmula da área em função do raio da circunferência circunscrita 99 
8. Área de um polígono regular 101 
9. Área de um círculo 101 
10. Área das partes do círculo 101 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Capítulo 01 
Capítulo 02 
Capítulo 03 
Capítulo 04 
Capítulo 05 
Capítulo 06 
Capítulo 07 
Capítulo 08 
Capítulo 09 
Capítulo 10 
Capítulo 11 
Capítulo 12 
Capítulo 13 
GABARITO 
107 
114 
129 
133 
140 
146 
151 
161 
166 
175 
184 
188 
193 
211 
Geometria plana Matemática 
CAPÍTULO 01 • A BASE DA GEOMETRIA 
1. Introdução 
Existem indícios de que os primeiros conheci-
mentos de geometria foram desenvolvidos por 
volta de 2 000 a.e. pelos babilônios, e cerca 
de 1 300 anos a.e. pelos egípcios, na tentativa 
de resolver problemas do cotidiano, como a 
demarcação de terras ou a construção de edi-
fícios. No entanto, foram os gregos, por volta 
de 600 a.e., os primeiros a sistematizarem e 
a organizarem tudo que se conhecia sobre o 
assunto até essa época. 
O principal trabalho dos gregos foi um tratado 
de geometria, chamado Elementos, escrito por 
Euclides, por volta de 300 a.e. 
A preocupação central de Euclides em sua 
obra é a demonstração de propriedades geo-
métricas com o auxílio da lógica. 
Da mesma forma que Euclides, iniciamos este 
livro apresentando, neste capítulo, os conceitos 
primitivos, as definições, os postulados e os 
teoremas, que serão básicos para o desenvolvi-
mento da geometria, aqui chamada euclidiana, 
em homenagem ao seu principal organizador. 
2. Conceitos primitivos, 
definições e notações 
A. Por que nem tudo pode ser 
definido em uma teoria? 
Quando definimos algum elemento em uma 
teoria, geralmente, usamos como ferramenta 
de linguagem outros elementos já definidos 
anteriormente. 
Exemplo 
"Triângulo é a reunião de três segmentos con-
secutivos determinados por três pontos não 
colineares." 
Essa definição só pode ser apresentada após o 
conhecimento dos conceitos de: reunião, seg-
mentos consecutivos e pontos não colineares; 
e esses conceitos só podem ser apresentados 
a partir de outros, e assim por diante. 
Porém, essa sequência de conceitos previa-
mente apresentados não pode ser prolonga-
da indefinidamente. É necessário estabelecer 
9 
um ponto de partida, isto é, alguns conceitos 
devem ser adotados sem definição (conceitos 
primitivos), para que todos os demais possam 
ser apresentados a partir deles. 
São conceitos primitivos na geometria eucli-
diana: 
• Ponto (indicado por letra maiúscula latina) 
Exemplos 
• B 
•A •C 
• Reta (indicada por letra minúscula latina) 
Exemplos 
s 
r 
• Plano (indicado por letra minúscula grega) 
Exemplos 
a 
B. Estar entre: um conceito primitivo 
A noção de estar entre é um conceito primiti-
vo que obedece às seguintes condições: 
1ª) Se P está entre A e B, então A, B e P são 
distintos dois a dois. 
2ª} Se P está entre A e B, então A, B e P são 
colineares (estão na mesma reta). 
3ª) Se P está entre A e B, então A não está en-
tre B e P, e B não está entre A e P. 
4ª) Se A e B são dois pontos distintos, então 
existe um ponto P que está entre A e B . 
••• 
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
Matemática Geometria plana 
Exemplos 
~ e X está entre e e D. 
V 
• F 
~ estáentreEeF. 
C. Definição de segmento de reta 
Dados dois pontos distintos, chamamos de seg-
mento de reta a figura (*) constituída por eles e 
por todos os pontos que estão entre eles. 
Exemplo 
O segmento de reta determinado por A e B é 
representado por AB, dizemos que A e B são 
suas extremidades, e representamos por AB a 
medida de AB. 
AB = {A,B} u {PI P está entre A e B.} 
(*) Para apresentarmos a teoria da geometria 
de modo mais sucinto, admitiremos alguns 
conceitos como conhecidos, como o de figura 
(conjunto de pontos não vazio). 
D. Segmentos congruentes 
Definição - Dois segmentos de reta são cha-
mados congruentes quando tiverem a mesma 
medida, na mesma unidade. 
Exemplo 
Os segmentos de reta AB e CD, da figura, têm 
medida4 cm, portanto são congruentes. 
B 
~ 
4cm 
C D 
Indica-se: AB = CD 
E. Divisão de segmento 
Definição 1 - Se P é um ponto que está entre 
A e B, dizemos que P divide interiormente AB 
~ k PA numa razao = - . 
PB 
A P B 
eoc 10 
Exemplo 
Na figura abaixo AP = 5 cm e PB = 6 cm, então: 
A p B 
- PA 5 
P divide AB na razão k = - = - . 
PB 6 
Observação 
No exemplo acima, o ponto P di-
vide o segmento de reta BA na razão 
k'=PB=~-
PA 5 
Definição 2 - Se A é um ponto entre P e B, ou 
B é um ponto entre A e P, dizemos que o ponto 
d. "d . - ~ k PA P 1v1 e exteriormente AB na razao = - . 
p A B A B p 
ou 
Exemplo 
Na figura abaixo PA = 3 cm e AB = 5 cm, 
então: 
P A B 
3cm Sem 
- PA 3 
P divide AB na razão k =-=-. 
PB 8 
Observação 
PB 
No exemplo acima, o ponto P divide o 
- PB 8 
segmento de reta BA na razão k' = - = - . 
PA 3 
F. Ponto médio de segmento de reta 
Definição - Ponto médio de um segmento de 
reta é o ponto que divide o segmento interior-
mente na razão 1. 
Exemplo 
Na figura AP = PB, então Pé o ponto médio de 
- - PA 
AB, pois P divide AB na razão k = - = 1. 
PB 
A p B 
e ,S' e ,S' e 
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
Geometria plana Matemática 
3. Postulados e teoremas 
A. Por que nem tudo pode ser 
provado em uma teoria? 
A demonstração de uma propriedade é feita 
com base em outras propriedades já demons-
tradas anteriormente. No entanto, as primei-
ras propriedades de uma teoria, porque não 
têm outras para apoiar as suas demonstra-
ções, são simplesmente "aceitas" como ver-
dadeiras. Essas propriedades são chamadas 
de postulados. 
São postulados na geometria euclidiana: 
a. Um ponto de uma reta divide-a em 
duas regiões chamadas semirretas. O 
ponto O é chamado de origem das se-
mirretas, e elas são ditas opostas. 
Exemplo 
A o B 
O ponto O divide a reta AB em duas semir-
retas OA e OB, e O é a origem das semirretas. 
b. Uma reta de um plano divide-o em duas 
regiões chamadas semiplanos. A reta é 
chamada de origem dos semiplanos, e 
eles são ditos opostos. 
Exemplos 
A reta r divide o plano a em dois semiplanos, 
rA e rB, e ré a origem dos semiplanos. 
e. Dois pontos distintos determinam uma 
única reta. 
Exemplo 
Os dois pontos distintos (não coincidentes) A 
e B determinam a reta AB. 
d. Três pontos não colineares determi-
nam um único plano. 
11 
Exemplo 
Os três pontos não colineares (não situados 
em uma mesma reta) A, B e C determinam o 
plano a. 
B. Teorema 
Teoremas são proposições que provamos ser 
verdadeiras a partir de conceitos primitivos, 
de definições, de postulados, ou de outras 
proposições já demonstrados. 
Em um teorema destacam-se três partes: hi-
pótese, tese e demonstração. 
A hipótese é o conjunto de condições que ad-
mitimos como verdadeiras, a tese é o que que-
remos concluir como verdadeiro e a demons-
tração é o raciocínio que usamos para provar 
a tese. 
Exemplo 
Dado um segmento AB e uma razão k, existe 
um único ponto P que divide interiormente AB 
na razão dada. 
Hipótese 
{
P está entre A e B 
PA =k 
PB 
Tese 
{Pé único} 
Demonstração 
Supondo que existe um ponto P' distinto de P, 
entre A e B, que divide AB na razão k, então: 
A p P' B 
k= PA = P'A ⇒ PA+PB = P'A+P'B 
PB P'B PB P'B 
Como PA + PB = AB e P'A + P'B = AB, temos: 
AB AB , 
-=-⇒ PB=P B 
PB P'B 
Assim, P e P' coincidem. 
Logo, Pé único. (c.q.d.) 
••• 
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
Matemática Geometria plana 
C. Teorema recíproco 
Os teoremas geralmente são enunciados na 
forma: 
Se p, então q. 
em que p é a hipótese e q é a tese. 
Simbolicamente, temos: 
Trocando-se a hipótese, temos uma nova pro-
posição: 
que chamamos de teorema recíproco, ou recí-
proca do teorema. 
Exemplo 
"Se A, B e C são três pontos, tais que A está 
- -
entre B e C e B divide AC na razão 2, então AB 
e AC são congruentes." 
A entre B e C} _ _ 
BA ⇒ AB:::AC 
-=2 
BC 
A recíproca do teorema acima é: 
"Se AB e AC são dois segmentos congruentes, 
então A está entre B e C e B divide AC na razão 
2." 
_ _ {A entre B e C 
AB::: AC ⇒ BC 
-=2 
BA 
Observação 
A recíproca do teorema do exemplo 
não é verdadeira; observe a figura. 
A 
B e 
4. Ângulos 
A. Definição 
Ângulo é a união de duas semirretas de mes-
ma origem e não colineares. 
Exemplo 
Na figura, a reunião das semirretas OA e OB é 
chamada de ângulo e indicada por: AÔB ou BÔA. 
o 
O é o vértice do ângulo e OA e OB seus lados. 
B. Medidas de um ângulo 
Para medirmos um arco de uma circunferên-
cia, inicialmente a dividimos em 360 "partes" 
e chamamos de grau(º) a cada "parte" obtida. 
Medir o arco em graus é determinar quantas 
"partes" o arco compreende. 
Exemplo 
A medida do 
arco APB é 82º. 
B 
' _l_ da circunferência é igual 1º. 360 
A medida de um ângulo é a medida do menor 
arco que o ângulo determina em uma circun-
ferência com centro no seu vértice. 
Exemplo 
A medida do AÔB é a medida do arco AB 
AB e AC são dois segmentos congruentes, A assinalado. 
não está entre B e C. 
eoc n 
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
Geometria plana Matemática 
Indica-se: 
m(AÔB) = AÔB = 50º 
Notamos que o ângulo é medido em graus 
porque ele é medido a partir do arco que de-
termina na circunferência com centro no seu 
vértice. 
Observação 
Sendo a a medida de um ângulo, então 
Oº< a< 180º. 
C. Ponto interior de um ângulo 
Definição - Dado um ângulo e um ponto P, di-
zemos que P é um ponto interior ao ângulo 
quando qualquer reta que passa por P inter-
cepta os lados do ângulo em dois pontos dis-
tintos A e B de modo que P seja sempre um 
ponto entre A e B. 
Exemplo 
P é interior ao AÔB. 
D. Setor angular 
Definição - Chamamos de setor angular à reu-
nião dos pontos pertencentes ao ângulo e os 
seus pontos interiores. 
Exemplo 
B 
Setor angular do ângulo AÔB 
E. Classificação dos ângulos 
1. Quanto à posição 
1º) Ângulos consecutivos 
Definição- Dois ângulos são consecutivos quan-
do têm o mesmo vértice e um lado comum. 
13 
Exemplo 
São consecutivos os pares de ângulos: 
AÔB e BÔC; AÔC e AÔB; AÔC e BÔC. 
2º) Ângulos adjacentes 
Definição - Dois ângulos são adjacentes quan-
do são consecutivos e não têm ponto interno 
comum. 
Exemplo 
A 
AÔB e BÔC são adjacentes. 
3º) Ângulos opostos pelo vértice (opv) 
Definição - Dois ângulos são opostos pelo 
vértice quando os lados de um deles são se-
mirretas opostas aos lados do outro. 
Exemplo 
Y<= 
B D 
AÔD e BÔC são opv. 
Observação 
Dois ângulos opostos pelo vértice são 
sempre congruentes (medidas iguais). 
li. Ângulos reto, agudo e obtuso 
1º) Ângulo reto 
Definição - Um ângulo é reto quando sua me-
dida for igual a 90°. 
• •• 
mathe
Sublinhado
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
Matemática Geometria plana 
Exemplo 
A 
o B 
AÔB é um ângulo reto. 
Observação 
~ ~ 
As retas OA e OB do exemplo são di-
tas perpendiculares. 
2º) Ângulo agudo 
Definição - Um ângulo é agudo quando sua 
medida for menor que 90°. 
Exemplo 
AÔB é agudo. 
Observação 
As retas OA e OB do exemplo são 
ditas oblíquas. 
3º) Ângulo obtuso 
Definição - Um ângulo é obtuso quando sua 
medida for maior que 90°. 
Exemplo 
a> 90º 
o B 
AÔB é obtuso. 
Ili. Ângulos complementares e suple-
mentares 
1º) Ângulos complementares 
Definição - Dois ângulos são complementares 
quando a soma de suas medidas for 90°. Dize-
mos que um é o complemento do outro. 
eoc 14 
Exemplo 
B 
50º o,___,__ ___ _ 
A 
e 
40º 
p ~-~----+-----
D 
AÔB e CPD são complementares. 
Observação 
Os ângulos AÔB e BÔC da figura abaixo 
são adjacentes complementares. 
A 
B 
e 
2º) Ângulos suplementares 
Definição - Dois ângulos são suplementares 
quando a soma de suas medidas for 180°. 
Dizemos que um é o suplementodo outro. 
Exemplo 
A 
50º 
o~-~----+-----
B 
e 
p D 
AÔB e CPD são suplementares. 
Observação 
Os ângulos AÔB e BÔC da figura abaixo 
são adjacentes suplementares. 
.. 
A o e 
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
mathe
Realce
Geometria plana Matemática 
F. Bissetriz de um ângulo 
Dados os ângulos AÔB e BÔC, de vértice O 
comum e lado OB, também comum, confor-
me a figura ao lado, a semirreta OC divide o 
ângulo AÔB em duas partes congruentes. Essa 
semirreta é chamada bissetriz do ângulo AÔB. 
Assim: 
Bissetriz de um ângulo é a semirreta que tem 
origem no vértice e o divide em duas partes de 
medidas iguais. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
A 
B 
01. 03. 
Dado o segmento de reta AB, P é um ponto Observe a figura abaixo e responda às questões. 
que divide interiormente o segmento na razão 
7:3. Calcule PA, dado AB = 50 cm. 
Resolução 
A X 
50cm 
X 7 
--= 
50-x 3 
3x = 350-7x 
l0x = 350 
x= 35 cm 
Resposta 
PA = 35 cm 
02. 
P 50-x B 
PA 7 
- -
PB 3 
Dado o segmento de reta AB, P é um ponto 
exterior que divide exteriormente o segmento 
na razão 9:10. Calcule PA, dado AB = 50 cm. 
Resolução 
p A 
X 
X 9 
--= 
x+50 10 
l0x = 9x +450 
x=450 
Resposta 
PA = 450 cm 
B PA 9 
50cm PB 10 
15 
A o F 
a. Qual o par de ângulos complementa-
res? 
b. Qual o par de ângulos congruentes? 
e. Qual o par de semirretas perpendicu-
lares? 
d. Qual semirreta é bissetriz? 
e. Qual é a reta da figura? 
f. Qual o ângulo raso? 
Resolução 
a. AÔB e BÔC ou BÔC e DÔE <=> 20° + 70° = 90° 
ou 70° + 20° = 90° 
b. AÔB::: DÔE 
e. OC ..l OA ou OC ..l OF 
d. OC, bissetriz de AÔF 
e. AF 
f. AÔF 
••• 
mathe
Realce
mathe
Realce
Matemática Geometria plana 
04. 
O suplemento da terça parte de um ângulo ex-
cede o dobro do complemento do mesmo em 
106°40'. Determine o ângulo. 
Resolução 
180° - e = 2 · (90° - 0) + 106°40' 
3 
540° - 0 = 6 · 90° - 6 · 0 + 3 · (106°40') 
6 · 0 - 0 = 540° + 320° - 540° 
5 · 0 = 320° ⇒ 0 = 64 º 
Resposta 
64° 
05. 
Na figura a seguir tem-se: 0B é bissetriz de 
AÔC e OD é bissetriz de CÔE. 
Determine: 
a. a medida de BÔD; 
b. a medida de AÔE. 
o 
Resolução 
A 
0B é bissetriz de AÔC, logo: AÔB = BÔC = 30° 
OD é bissetriz de CÔE, logo: CÔD = DÔE = 45° 
Pela figura: 
BÔD = BÔC + CÔD = 30° + 45° = 75° 
AÔE = AÔB + BÔC + CÔD + DÔE = 
= 30° + 30° + 45° + 45° = 150° 
Resposta 
a. BÔD = 75° 
b. AÔE = 150° 
06. 
OC é bissetriz de um ângulo AÔB. Conhecen-
do a medida de AÔB, determine a medida de 
BÔC, em cada caso. 
a. AÔB = 44° 
b. AÔB = 121° 
e. AÔB = 25°13' 
d. AÔB =45° 
Resolução 
Basta dividir cada medida por 2 
a. 44 : 2 = 22° ⇒ BÔC = 22° 
b. 121 : 2 = 120°60' : 2 = 60°30' ⇒ BÔC = 60°30' 
e. 25°13' : 2 = 24°72'60" : 2 = 12°36'30" ⇒ 
⇒ BÔC = 12°36'30" 
d. 45°: 2 = 44°60' : 2 = 22°30' ⇒ BÔC = 22°30' 
07. 
Observe as figuras abaixo e responda às questões. 
e B e 
a. Quais os pares de ângulos consecutivos? 
b. Quais os pares de ângulos adjacentes? 
Resolução 
a. Ângulos consecutivos: 1 lado comum 
a e B; ye a; ye B; À e 0 
b. Ângulos adjacentes: 1 lado comum e com 
intersecção vazia 
aeB 
5. Ângulos determinados por duas retas com uma transversal 
A. Definição 
Quando uma transversal a duas retas distintas intercepta essas retas em dois pontos distintos, os 
oito ângulos determinados são classificados, conforme a figura a seguir, em: 
eoc 16 
..... 
Geometria plana Matemática 
• ângulos colaterais internos: 3 e 6, 4 e 5; 
• ângulos colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7; 
• ângulos alternos internos: 3 e 5, 4 e 6; 
• ângulos alternos externos: 1 e 7, 2 e 8; 
• ângulos correspondentes: 1 e 5, 2 e 6, 4 e 8, 3 e 7. 
B. Propriedades 
Quando duas retas paralelas distintas são cortadas por uma transversal, temos: 
• Os ângulos correspondentes são 
congruentes; 
• Os ângulos alternos internos são 
congruentes; 
• Os ângulos alternos externos são 
congruentes; 
• Os ângulos colaterais internos são 
suplementares; 
• Os ângulos colaterais externos são 
suplementares. 
C. Teorema 
t 
Duas retas são paralelas distintas se, e somente se, formarem com uma transversal ângulos al-
ternos internos congruentes . 
; EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
t 
01. 
Na figura abaixo, sendo as retas paralelas, cal-
cule x. 
17 
Resolução 
Os ângulos a seguir são alternos internos, as-
sim são congruentes. 
7x-42º = 4x + 17º 
3x = 59° 
59° 
x=-
3 
X= 19°40' 
Resposta 
19°40' 
••• 
Matemática Geometria plana 
02. 
Determine 0: 
Resolução 
----~~4-0_º _____ r//s 
.-. e= 120° 
Resposta 
X= 120° 
Obs. - Existe uma regra prática. Se conside-
rarmos a menor abertura de cada vértice e 
observarmos os ângulos internos às paralelas, 
a soma dos ângulos virados para a direita é a 
mesma dos ângulos virados para a esquerda. 
03. 
Sendo r e s retas paralelas e a+~= 90º, calcule 
x na figura abaixo. 
r 
X 
a 
Resolução 
Prolongando retas, temos: 
', e 
E 
eoc 
s 
s 
18 
Consideremos o ~ABC: 
 = a (OPV) 
A 
C = B (correspondentes) 
 + s + ê = 180° ⇒ a+ s + B = 180° 
A A 
90 + B = 180° ⇒ B = 90° 
Agora, considerando o quadrilátero BDEF: 
Ô=F=90º (ambos suplementos de um 
ângulo reto) 
A 
8=90º 
B + Ô + E+ F = 360° ⇒90° + 90° + Ê + 90° = 360° 
A 
E= x = 360° -270° ⇒ x = 90° 
Resposta 
X= 90° 
04. Calcule x. 
Resolução 
180° -x = 61 º 
Resposta 
X= 119° 
(180° - x) = 61 ° (A.A.I) r-~-~--~~s 
(ângulo raso) 
Obs. - Para aplicarmos a regra prática é preci-
so adaptarmos o desenho. Os ângulos têm de 
estar dentro das paralelas e devemos conside-
rar a menor abertura. 
29° + (180° - x) = 90° 
Resposta 
X= 119° 
os. 
Calcule 0. 
Resolução 
1º Modo: 
20 + 70° = 120° 
0 = 25° 
Observações 
r 
Geometria plana 
{180° - x) (ângulo raso) ----~--s 
2º Modo: 
r//s s 
• Observe dentro das paralelas. 
Matemática 
• Observe as menores aberturas de cada vértice. 
• O somatório de um lado é igual ao do outro 
(A.A.1.) 
20 + 70° = 120° 
0 = 25° 
• As propriedades dos pares de ângulos correspondentes, alternos e colaterais são váli-
das apenas no caso em que as duas retas são paralelas. 
• Se as retas não forem paralelas, as propriedades não são válidas, mas os nomes desses 
pares de ângulos continuam sendo os mesmos. 
19 • •• 
mathe
Realce
mathe
Realce
Matemática Geometria plana 
CAPÍTULO 02 • TRIÂNGULOS 
1. Definição e elementos 
fundamentais 
Definição 
Dados três pontos A, B e C não colineares, o 
triângulo ABC é a reunião dos segmentos AB, 
- -
AC e BC. 
A 
~ABC = AB u AC u BC 
Elementos 
• Vértices: são os pontos A, B e C. 
• Lados: são os segmentos AB, AC e BC. 
• Ângulos internos: são os ângulos ABC, 
AêB e BÂC. 
• Ângulos externos: são os ângulos a, 
P e 0, que são respectivamente, ad-
jacentes e suplementares dos ângu-
los internos do triângulo abaixo. 
a 
eoc 20 
2. Classificação 
A. Quanto aos lados 
1. Triângulo escaleno é o que tem os três 
lados com medidas diferentes. 
A 
AB :;t: AC :;t: BC 
li. Triângulo isósceles é o que tem pelo 
menos dois lados com medidas iguais. 
A 
AB=AC 
Ili. Triângulo equilátero é o que tem os 
três lados com medidas iguais. 
A 
AB =AC= BC 
Geometria plana Matemática 
B. Quanto aos ângulos 
1. Triângulo retângulo é o que tem um 
ângulo reto. O lado oposto ao ângulo 
reto é a hipotenusa e os outros, ca-
tetos. 
A 
Cateto Cateto 
B,__----------~C 
Hipotenusa 
Â=90° 
li. Triângulo acutângulo é que o tem os 
três ângulos agudos. 
A 
Â<90° 
A 
B < 90° 
A 
c < 90º 
Ili. Triângulo obtusângulo é o que tem um 
ângulo obtuso. 
Â>90° 
21 
3. Estudo dos ângulos 
A. Teorema dos ângulos internos 
Em todo triângulo a soma das medidas dos 
três ângulos internos é igual a 180° (teorema 
angular de Tales). 
A 
,._ A A Q 
A+ B + C = 180 
Demonstração 
Traçando a reta r paralela ao lado BC, temos: 
A ---~~----r 
AI 
a::B 
e A alternos internos em paralelas 
B = c 
e como a+ Â + B = 180º 
,,.._ A A Q 
A+ B + C = 180 
Exemplo 
Em um triângulo ABC, 13 é o dobro de ê e  é 
o triplo de ê . Calcule as medidas dosângulos 
/\ /\ /\ 
A, B e C. 
A 
2x C ~~-------~~B 
/\ 
C=x 
/\ 
B=2x 
/\ 
A=3x 
••• 
Matemática Geometria plana 
Resolução 
Pelo teorema angular de Tales: 
,,._ "' "' o 
A+ B + C = 180 
3x + 2x + x = 180° 
6X = 180° ⇒ X = 30° 
Teremos: 
/\ 
A= 3 · 30 = 90° 
A 
B = 2 · 30 = 60° 
ê = 1 · 30° = 30° 
Resposta 
A A A 
A = 90°, B = 60° e C = 30° 
B. Teorema do ângulo externo 
Em todo triângulo, a medida de um ângulo 
externo é igual à soma das medidas dos dois 
ângulos internos não adjacentes a ele. 
B 
a=Â+B 
Demonstração 
 + B+ ê = 1so0 
A 
a+C = 180° 
A 
(1) 
(li) 
e 
Fazendo 1 = li temos: Â + B + ê = a+ ê 
Assim: a= Â+ B 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01. 
A asa delta é um tipo de aeronave composta 
de tubos de alumínio, que proporcionam a 
sua rigidez, e uma vela de tecidos, que fun-
ciona como superfície que sofre forças ae-
rodinâmicas e proporciona a capacidade de 
planar. O nome asa delta vem da semelhança 
eoc 22 
Observação 
Esta propriedade é válida para qual-
quer ângulo externo de um triângulo. Ob-
serve a figura: 
A A 
a=A+B 
B=B+ê 
0=A+C 
e 
C. Teorema dos ângulos externos 
Em todo triângulo, a soma das medidas dos 
ângulos externos é igual a 360°. 
B 
a+ B + y= 360º 
Demonstração 
A A A 
'Y 
A= 180º -a;B = 180º -B e c = 180º -y 
" " " o 
Como A + B + e = 180 , temos: 
( 180° - a) + ( 180° -B) + ( 180° - y) = 180° 
Assim: a+ B + y = 360º 
com a letra grega, que tem formato de triân-
gulo, porém trata-se de um quadrilátero não 
convexo. A seguir há um manual para monta-
gem de uma asa delta. Calcule o ângulo 0 do 
cotovelo de encaixe D. 
Geometria plana Matemática 
Manual de instrução 
~ ©1 .:; do Br1..:;il Resolução 
A 
A Cotovelo de 
---+ . 
encaixe 
B e 
B e 
Resposta 
8 = 120º 
02. 
Shuriken, a lâmina que se atira, usada pelos ninjas, é conhecida como estrela ninja. Ela pode ser chama-
da de Bo Shuriken ou Hira Shuriken, de acordo com o formato e o número de pontas. Está entre as 18 
disciplinas ninjutsu. Shuriken significa "lâmina atrás das mãos" (Shu = mão; Ri = atrás; Ken = lâmina). Se 
considerarmos a figura ao lado uma shuriken, qual é o valor de x? 
3x + 10º 
4. Pontos notáveis 
A. Baricentro 
Definições 
1ª} Mediana de um triângulo é o segmen-
to que une um vértice ao ponto médio 
do lado oposto. 
2ª} Baricentro de um triângulo é o ponto de 
encontro das três medianas do triângulo. 
A 
AMA 1 BM8 e CMc: medianas 
G é o baricentro do MBC. 
23 
Resolução 
Soma dos ângulos externos: 360°, assim: (3x + 
10º) + (Sx - 10º) + 4x = 360° 
Resposta 
X= 30° 
B. Ortocentro 
Definições 
1ª} Altura de um triângulo é o segmento da 
perpendicular traçada de um vértice à 
reta suporte do lado oposto e que tem 
extremidades nesse vértice e no ponto 
de encontro com essa reta suporte. 
2ª} Ortocentro de um triângulo é o ponto 
de encontro das retas suportes das três 
alturas de um triângulo. 
A 
~ acutângulo 
O é o ortocentro do ~ABC. 
••• 
Matemática Geometria plana 
A retângulo 
O é o ortocentro do AABC. 
Observação 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ 
o 
B~L ________ ___.___._ __ ~ c 
HA 
A obtusângulo 
O é o ortocentro do AABC. 
Sendo ABC um triângulo acutângulo ou obtusângulo, o triângulo com vértices nos 
pés das alturas (AHAH 8Hc) é o triângulo ártico do triângulo ABC. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01. 
Sendo G o baricentro do triângulo ABC, deter-
mine o valor de x + y + z. 
B 
Resolução 
10 = 2x 
x=S 
14 = 2z 
z=7 
v= 2 • 6 
v= 12 
A 
X + y + Z = 5 + 7 + 12 = 24 
Resposta 
X+ y + Z = 24 
eoc 
e 
24 
02. 
" Sendo H o ortocentro de um AABC e B HC = 150°, 
" determine A. 
Resolução 
A 
B e 
BHC é externo ao ACHO ⇒ HêD = 60º 
No AAEC, temos: Â+ 90° + 60° = 180° 
Resposta 
~ 
A=30º 
Geometria plana Matemática 
C. lncentro 
Definições 
1!) Bissetriz de um ângulo é a semirreta 
com pontos internos ao ângulo e que 
determina com seus lados dois ângulos 
adjacentes congruentes. 
o 
B 
OC é a bissetriz de AÔB. 
2!) Bissetriz interna de um triângulo é o 
segmento da bissetriz de um ângulo in-
terno que tem extremidades no vértice 
desse ângulo e no ponto de encontro 
com o lado oposto. 
3!) lncentro de um triângulo é o ponto de 
encontro das bissetrizes internas do 
triângulo. 
A 
1 é o incentro do LlABC. 
Observação 
O incentro de um triângulo é o centro da 
circunferência nele inscrita. 
D. Circuncentro 
Definições 
1!) Mediatriz de um segmento de reta é 
a reta perpendicular a esse segmento 
que passa pelo seu ponto médio. 
// 
! 
E] 
M 
Tt 
t é a mediatriz de AB. 
// • B 
25 
2!) Circuncentro de um triângulo é o pon-
to de encontro das três mediatrizes 
dos lados do triângulo. 
Triângulo acutângulo 
O é o circuncentro do LlABC (ponto interno 
MBC). 
Triângulo retângulo 
O é o circuncentro do LlABC (ponto médio da 
hipotenusa BC). 
Triângulo obtusângulo 
O é o circuncentro do MBC (ponto externo 
MBC). 
Observação 
O circuncentro de um triângulo é o centro 
da circunferência nele circunscrita. 
• •• 
Matemática Geometria plana 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01. UFMG 
No triângulo ABC, as seguintes atribuições são 
feitas: 
A i m 
BÂD = CÂD e BM = CM 
1. AH = altura, AM = mediana, m = bissetriz 
li. AD= altura, AM = mediana, m = bissetriz 
- -
Ili. m = mediatriz, AM = mediana, AH = altura 
IV. AD= bissetriz, AH= altura, m = mediatriz 
Pode-se afirmar que: 
a. apenas I e li são verdadeiras. 
b. apenas li e Ili são verdadeiras. 
e. apenas Ili e IV são verdadeiras. 
d. apenas I e IV são verdadeiras. 
e. apenas li e IV são verdadeiras. 
Resolução 
1) AH = altura (V) 
AM = mediana (V) 
m = bissetriz (F) 
li) AD= altura (F) 
AM = mediana (V) 
m = bissetriz (F) 
Ili) m = mediatriz (V) 
AM = mediana (V) 
AH = altura (V) 
IV) AD = bissetriz (V) 
AH = altura (V) 
m = mediatriz (V) 
Resposta 
c 
eoc 26 
02. Mackenzie-SP 
Se um ponto D no plano de um triângulo é 
equidistante dos três lados desse triângulo, 
ele é necessariamente a intersecção das: 
a. alturas. 
b. mediatrizes dos lados. 
e. medianas. 
d. bissetrizes dos ângulos internos. 
e. nenhuma das alternativas anteriores 
são corretas. 
Resolução 
Se D é equidistante dos três lados de um triân-
gulo, então é o centro da circunferência inscrita 
no triângulo; D é o incentro, ponto de encontro 
das bissetrizes internas. 
Resposta 
D 
03. 
Dado o triângulo ABC, retângulo em Â, e sa-
bendo que a altura relativa à hipotenusa for-
ma com a bissetriz do vértice A um ângulo de 
A A 
15º, determine os ângulos B e C, C < B. 
Resolução 
A 
AP é bissetriz, assim PÂC = 45°. Como BÂC 
é 90° e _tiÂP = 15°, temos BÂH = 30°. Desse 
modo, ABC= 60°. Observando o MBC, o ân-
A 
guio ACB = 30°. 
04. 
Dado o triângulo ABC, retângulo em Â, e sa-
bendo que a altura relativa à hipotenusa for-
ma com a mediana do vértice A um ângulo de 
A A A A 
20º, determine os ângulos B e C, C < B. 
Geometria plana Matemática 
Resolução 
H M 
"Todo triângulo retângulo é inscritível em uma semicircunferência de forma que o raio é a media-
na relativa ao ângulo reto." 
/\ 
Observe o MHM, o ângulo AMH = 70° é externo ao MMC que é isósceles. Assim, pelo teorema do 
A A 
ângulo externo, 20 = 70º, 0 = 35º. Como o MBC é retângulo, B = 55º e C = 35º. 
05. 
Dado o triângulo ABC, retângulo em Â, e sabeAndoAqy_e aAmediatriz relativa à hipotenusa forma 
com a mediana um ângulo de 40°, determine B e C, B > C. 
Resolução "Todo triângulo retângulo é inscritível uma se-
---+Altura // Mediatriz micircunferência de forma que o raio é a me-
---+Mediatriz diana relativa ao ângulo reto." 
M 
• Mediatriz: passa pelo ponto médio 
formando 90º. 
5. Triângulos congruentes 
A. Definição 
Dois triângulos ABC e DEF são congruentes se 
for possível estabelecer uma correspondência 
entre seus vértices de modo que seus lados 
sejam dois a dois congruentes e também os 
seus ângulos internos sejam dois a dois con-
gruentes. 
Assim: 
A 
E .._..--,,-------nro F 
BL....U... ______ .......,.CD 
27 
Modo 1: 
Altura! /Mediatriz, assim o problema fica pare-
cido com o anterior. 
Modo 2: 
• ~AMC é isósceles com o ângulo 
/\ 
AMB = 50° e externo ao triângulo AMC. As-
sim, 20 = 50°, 0 = 25°. 
• ~ABC retângulo, então 13 = 65º e ê = 25º. 
AB = DE e  = D 
AC= DF e B= Ê {:::>~ABC= ~DEF 
A A 
BC= EF e C = F 
Observações 
1!!) A correspondência ABC ç=> DEF é cha-
mada de correspondência congruência. 
2!!) É possível estabelecer outras corres-
pondências entre os triângulos ABC e DEF, po-
rém não serão necessariamente correspondên-
cia congruência. 
3!!) Os triângulos ABC e DEF coincidem 
por superposição. 
••• 
Matemática Geometria plana 
Exemplo 
Na figura abaixo, MBC = L'.lAED, então comple-
te: 
A 
B C D E 
a. AB= A d. B = 
b. AC= e. BÂC = 
c. BC= 
A 
f. ACB= 
Resolução 
Como ABC {::::} AED é uma correspondência 
congruência, temos: 
- -
a. AB = AE 
a. AC= AD 
a. BC= ED 
b. B= Ê 
c. BÂC = EÂD 
A A 
d. ACB::::ADE 
B. Casos de congruências 
A definição de triângulos congruentes é por 
demais "exigente", visto que, para concluir-
mos que dois triângulos são congruentes, é 
necessário compararmos as seis medidas bá-
sicas dos triângulos (lados e ângulos). 
Existem situações em que podemos concluir 
a congruência de dois triângulos a partir da 
igualdade de 3 medidas básicas. 
Essas situações são chamadas de casos de 
congruência. 
Verificar se uma situação é caso de congruência 
é descobrir se as medidas conhecidas de dois 
triângulos permitem estabelecer uma corres-
pondência congruência entre os dois triângu-
los. 
12 caso de congruência: LAL 
O primeiro caso de congruência de dois triân-
gulos é a correspondência lado-ângulo-lado, e 
é adotado na geometria euclidiana como um 
postulado. 
Se dois triângulos têm ordenadamente con-
gruentes dois lados e o ângulo compreendido, 
então eles são congruentes. 
eoc 28 
A A' 
AB::::A'B' 
A A LAL --i 
A::::A_' _ ⇒ MBC=LlA'B'C' 
AC::::A'C' 
MBC = LlA'B'C' de:'.:tº BC= B'C' {
B = B' 
A A 
C= C' 
Observação - As marcas nos lados e 
no ângulo dos ~ABC e ~A'B'C' identificam os 
elementos correspondentes congruentes. 
Exemplo de aplicação 
As retas r e s da figura representam duas estra-
das que passam pelas cidades W, X, Y e Z e que 
se cruzam em P. 
A partir de P, num mesmo instante, quatro jo-
vens A, B, C e D partem com destino às cidades 
W, X, Y e Z, respectivamente. 
Os jovens caminham com velocidade constan-
te de modo que: 
VA=V8 eVc=V0 
Em que VA, V81 Vc e V0 são as velocidades dos 
jovens A, B, C e D, respectivamente. 
Provar que, em qualquer instante do percurso, 
antes da chegada, a distância entre os jovens A 
e C é a mesma que a dos jovens B e D. 
s w X r 
y z 
Resolução 
Num instante t após a partida, os jovens A e B 
terão percorrido uma distância d1 e os jovens 
C e D, uma distância d2• 
Geometria plana Matemática 
Assim: 
PA = PB = dl 
I\ I\ 
APC = BPD (o.p.v.) 
CP= DP= d2 
lLAL I ⇒ AAPC = ABPD 
AAPC = ABPD ~ AC= BD 
Logo, a distância dos jovens A e C é a mesma 
que a dos jovens B e D. 
22 caso de congruência: ALA 
O segundo caso de congruência de dois triân-
gulos é a correspondência ângulo-lado-ângulo. 
Se dois triângulos têm ordenadamente 
congruentes um lado e os dois ângulos a ele adja-
centes, então esses triângulos são congruentes. 
- -- ALA B = B' } 
BC::B'C' ⇒ MBC=M'B'C' 
I\ I\ 
C=C' 
{
 = Â' 
AABC::AA'B'C': AB=A'B' 
AC=A'C' 
29 
Demonstração 
Consideremos sob~a semirreta B'A' um pon-
to P tal que PB' = AB. 
A 
AB = PB' 
BC::B'C' 
I\ I\ 
B = B' 
A' 
LAL 
⇒ MBC=APB'C' 
def. /\ /\ 
MBC::APB'C' ⇒ ACB::PC'B' 
I\ I\ 
ACB::A'C'B' 
I\ I\ ⇒ A'C'B' = PC'B' } /\ /\ 
ACB::PC'B' 
Assim, as retas C'A' e C'P coincidem, e isto 
significa que A'= P, ou seja, M'B'C' e APB'C' 
são o mesmo triângulo. 
Logo: MBC;; M 'B'C' 
32 caso de congruência: LLL 
O terceiro caso de congruência de dois triân-
gulos é a correspondência lado-lado-lado. 
Se dois triângulos têm os três 
lados ordenadamente congruentes, 
esses triângulos são congruentes. 
A A' 
AB::A'B' 
AC::A'C' ⇒ AABC=AA'B'C' 
BC= B'C' 
def. /\ /\ {
A= A· 
MBC = AA'B'C' ⇒ B = B' 
I\ I\ 
C:: C' 
••• 
Matemática Geometria plana 
Demonstração 
Tracemos uma semirreta BP no semiplano 
oposto ao determinado por BC e A, de modo 
A A - --
que PBC = A'B'C' e BP= B'A'. 
BP:::B'A' 
A A 
PBC = A 'B'C' 
BC= B'C' 
LAL 
⇒ M'B'C:::APBC 
def. {PC= A 'C' 
M'B'C' = APBC ⇒ 
/\ /\ 
BPC::: B'A'C' 
- -} AB:::A'B' - - " " ___ ⇒ AB:::BP ⇒ PAB:::BPA 
BP: A'B' 
- -} AC:::A'C' - - " " ___ ⇒ AC:::PC ⇒ PAC:::CPA 
PC: A'C' 
/\ /\ 
PAB:::BPA 
/\ /\ 
PAC:::CPA " /\ 
⇒ BAC::: BPC 
/\ /\ /\ 
BAC=PAB+PAC 
/\ /\ /\ 
BPC= BPA+CPA 
/\ /\ } BAC = BPC " " 
⇒ BAC = B'A'C' 
" " BPC::: B'A'C' 
--; AB = A'B' A - 1 A 1 1 LAL 
BAC=B AC ⇒ MBC=AA'B'C' 
AC= A'C' 
eoc 30 
Exemplo de aplicação 
Em uma aula de Educação Física, o professor 
pede que as alunas Ana e Carolina permane-
çam fixas em dois pontos distintos A e C da 
quadra, e que o aluno Paulo, inicialmente no 
ponto médio de AC, se movimente na quadra, 
mantendo a equidistância de A e C. 
Mostre que a trajetória de Paulo é uma reta 
perpendicular a AC. 
Resolução 
Seja P' uma posição de Paulo num instante 
qualquer: 
PA:::PC - - 1 
PP' é comum. ~ AP'PC = AP'PA 
P'A:::P'C 
A A 
Assim, CPP' = APP' = 90° 
A 
Como P'PC é reto, então a trajetória de Paulo 
é uma reta perpendicular a AC. 
42 caso de congruência: LAA0 
O quarto caso de congruência de dois triângulos 
é a correspondência lado-ângulo-ângulo oposto. 
Se dois triângulos têm ordenadamen-
te um lado, um ângulo e o ângulo oposto ao 
lado, então eles são congruentes. 
A A' 
BC:::B'C' 
LAAO 
⇒ MBC= AA'B'C' 
" " A= A' 
A A 
C::: C' 
def. __ 
MBC:::M'B'C'⇒ AB:::A'B' 
AC:::A'C' 
Geometria plana Matemática 
Demonstração 
I\ I\ I\ 
A+B+C= 180° 
Â'+B'+ê' = 180° 
Â=Â' 
I\ I\ 
B=B' 
___ ALA 
I\ I\ 
⇒ C=C' 
s=s t 
BC=B'C' ⇒ MBC::~A'B'C' 
I\ I\ 
C=C' 
Exemplo de aplicação 
A figura abaixo mostra uma gangorra com has-
te rígida de extremidades A e B, apoiada em 
uma mureta vertical num ponto P. Quando as 
extremidades A ou B tocam o chão, formam 
com ele ângulos de medidas iguais. 
B 
A· ___ :.-P =====:::> e:==·===,,--~ 
1 IP' 
Prove que o ponto P está no meio da haste rígida. 
Resolução 
B A 
PP' é comum. 
LAA 
⇒ ~AP'P = ~BP'P A A PP'A=PP'B 
A A 
PAP'=PBP' 
Então, AP = BP, ou seja, P está no meio da has-
te rígida. 
Caso especial de congruência 
O caso especial de congruência de dois triân-
gulos é a correspondência hipotenusa-cateto. 
Se dois triângulos retângulos têm 
ordenadamente congruentes a hipotenusa 
e um cateto, então eles são congruentes. 
31 
caso especial 
AB = A'B' ⇒ MBC = ~A'B'C' 
 = Â' = 90º} 
BC= B'C' 
definição /\ /\ {
e= ê· 
~ABC= ~A'B'C' ⇒ B = B'_ 
AC::A'C' 
Demonstração 
B 
B' 
Sobre a semirreta oposta a AC' , tomemos um 
ponto P de modo que A'P = AC. 
- - } A'P= AC LAL 
PÂ'B' = CÂB ⇒ M'B'P = ~ABC (1) 
A'B'=AB 
Assim, B'P =BC= B'C' 
A A 
Então, ~PB'C' é isósceles e P = C' 
- } A'B' é comum. LAA A A o PA'B'::C'A'B' ⇒ 
I\ I\ 
P:: C' 
⇒ ~A'B'P=M'B'C' (li) 
De I e 11, temos: 
MBC::M'B'C' 
••• 
Matemática Geometria plana 
C. Consequências importantes 
1. Teorema do triângulo isósceles 
Se um triângulo tem dois lados congruentes, 
então os ângulos opostos a estes lados são 
congruentes. 
Sendo ABC um triângulo isósceles com 
AB = AC, temos: 
A 
Hipótese Tese 
/\. /\. 
AB::AC 
Demonstração 
B = C 
Consideremos os triângulos ABC e ACB, isto é, 
associemos a A, B e C, respectivamente, A, C 
e B. 
AB :AC 
BÂC::CÂB 
AC ::AB 
(comum) ⇒ AABC = AACB 
(hip.) t ALA 
t t 
AABC AACB 
definição /1. /1. 
AABC = AACB ⇒ B = C 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
01. 
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). 
a. Todo triângulo isósceles é equilátero. 
b. Todo triângulo equilátero é isósceles. 
c. Um triângulo escaleno pode ser isósceles. 
d. Todo triângulo isósceles é triângulo 
retângulo. 
e. Todo triângulo retângulo é triângulo es-
caleno. 
f. Existetriângulo retângulo e isósceles. 
g. Existe triângulo isósceles obtusângulo. 
h. Todo triângulo acutângulo ou é isósceles 
ou é equilátero. 
eoc 32 
li. Recíproca do teorema do triângulo 
isósceles 
Se um triângulo possui dois ângulos congruen-
tes, então esse triângulo tem dois lados con-
gruentes. 
d •A 1 /1. /1. Sen o ABC um tnangu o com B = C, temos: 
Hipótese 
/\. /\. 
B= C 
Demonstração 
A 
Tese 
AB::AC 
Consideremos os triângulos ABC e ACB, isto é, 
associemos a A, B e C, respectivamente, A, C 
e B. 
/\. /\. 
B = C 
BC =CB 
/\. /\. 
C = B 
t t 
AABC AACB 
(hip.) 1 ALA 
(comum) ⇒ MBC = AACB 
(hip.) 
definição _ _ 
AABC = AACB ⇒ AB = AC 
Resolução 
a. Falso. O triângulo isósceles tem, pelo me-
nos, dois lados iguais e o equilátero três. 
b. Verdadeiro. O triângulo equilátero tem, 
também, dois lados iguais. 
c. Falso. O triângulo escaleno tem os três la-
dos diferentes. 
d. Falso. Há triângulos retângulos que não 
são isósceles. 
e. Falso. Há triângulos retângulos que têm 
dois lados iguais. 
f. Verdadeiro. Consequência da anterior. 
g. Verdadeiro. Há triângulos obtusângulos 
com dois lados iguais. 
h. Falso. Há triângulos acutângulos que não 
são isósceles nem equiláteros. 
mathe
Realce
Geometria plana Matemática 
02. 
Observe a figura, sabendo que as retas supor-
tes aos lados AB e DE são paralelas e que o 
ponto C é o ponto médio de BD. 
Dados: AB = 35 
CE= 22 
AC= 2x-6 
DE= 3y + 5 
B 
A 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
r//s 
1 
1 
1 
s 
E 
D 
Calcule x, y e a razão do perímetro do AABC 
pelo ACDE. 
Resolução 
AABC e ACDE são congruentes pelo critério ALA. 
Pois: 13 = 6 (ângulp alterno interno); BC= CD (C é 
o ponto médio); C = C (oposto pelo vértice). As-
sim, a razão entre os perímetros é 1. 
AC = CE ⇒ 2x - 6 = 22 ⇒ x = 14 
AB = DE ⇒ 35 = 3y + 5 ⇒ y = 10 
Resposta 
X= 14 e y = 10 
33 
03. 
Dado um segmento AB, construimos 
CÂB = DBA com AB = DB, conforme a figu-
ra abaixo. Unindo os pontos C e D obtemos o 
ponto M no segmento AB. 
Mostre que M é ponto médio de AB. 
e 
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A ......_ ___ ____. _____ --r-1 B 
M',, 
' ' 
(construção) 
' ' ' ' ' 
D 
Resolução 
AC::::BD 
CÂB= DBA 
LAA 
(construção) ⇒ ~AMC = ABMD 
AIVIC = BIVID (o.p.v) 
definição 
AAMC = ABMD ⇒ AM = BM 
:. M é ponto médio de AB. 
••• 
Matemática Geometria plana 
CAPÍTULO 03 • QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
1. Definição e elementos 
Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo 
plano todos distintos, sem que existam três 
colineares. Se os segmentos AB, AC, CD e DA 
interceptam-se apenas nas extremidades, a 
reunião desses quatro segmentos é um qua-
drilátero. 
A~--~B B 
A 
D 
e 
ABCD convexo ABCD côncavo D 
Elementos de um quadrilátero convexo ABCD 
• Vértices: são os pontos A, B, C e D. 
• Lados: são os segmentos AB, AC, CD e 
DA. 
• Ângulos internos: são os ângulos DAB, 
ABC, BeD e CDA. 
• Ângulos externos: são os ângulos ad-
jacentes suplementares dos ângulos 
internos. 
2. Classificação dos 
quadriláteros convexos 
A. Trapézio 
Um quadrilátero convexo é um trapézio se, e 
somente se, tiver dois lados paralelos. 
AB = base maior 
CD = base menor 
eoc 34 
Os trapézios podem ser classificados em: 
1. Trapézio isósceles: quando os lados 
não paralelos são congruentes. 
º~--~e. 
AL----------~B 
AB//CD e AD= BC 
A A 
A:::BeD:::C 
li. Trapézio escaleno: quando os lados 
não paralelos não são congruentes. 
D _____ C. 
A'-----------~B 
AB // CD e AD -:t:- BC 
Ili. Trapézio retângulo: quando tem dois 
ângulos internos retos. 
:r ~B 
B. Paralelogramo 
Um quadrilátero convexo é paralelogramo se, e 
somente se, possuir os lados opostos paralelos. 
L 7c 
A B 
AB // CD e AD // BC 
Geometria plana Matemática 
C. Losango 
Um quadrilátero convexo é um losango se, 
e somente se, possuir os quatro lados con-
gruentes. 
D 
A 
B 
AB = BC= CD = DA 
D. Retângulo 
e 
Um quadrilátero convexo é um retângulo se, e 
somente se, possuir os quatro ângulos inter-
nos congruentes. 
A B 
l\ /\ 1\/\ 
A = B = C = D = 90° 
E. Quadrado 
Um quadrilátero convexo é um quadrado se, e 
somente se, possuir os quatro ângulos internos 
congruentes e os quatro lados congruentes. 
º~-~-----~e 
A B 
-- ~ I\ J\I\ 
AB = BC= CD= AD e A= B = C = D= 90° 
3. Propriedades dos paralelogramos 
A. Ângulos opostos congruentes 
1. Em todo paralelogramo, os ângulos 
opostos são congruentes. 
Hipótese: ABCD é paralelogramo. 
l\ /\ /\ /\ 
Tese: A = C e B = D 
35 
º,..........------. ..... e 
L7 
A B 
Demonstração 
- - /\ /\ 
AB//CD ⇒ A+D= 180° 
- - /\ /\ 
AD// BC ⇒ C + D = 180° 
} /\ /\ ⇒ A:C 
/\ /\ 
Analogamente, provamos que B =D. 
li. Todo quadrilátero convexo que 
possui ângulos opostos congruentes é 
paralelogramo. 
l\ /\ /\ /\ 
Hipótese: A =C e B= D 
Tese: ABCD é paralelogramo. 
A 
Demonstração 
º~----~~e 
Â=ê e s=ô ⇒ Â+s=ê+ô} Â+s=180º 
⇒ I\ I\ 
" " " " C+D=180° 
A+ B + C + D = 360° 
 + 13 = 180º ⇒ AD/ /BCI ABCD é 
" " _ _ ⇒ paralelogramo. 
C+ D= 180° ⇒ AB/ /CD 
Ili. Consequência: todo retângulo é 
paralelogramo. 
B. Lados opostos congruentes 
1. Em todo paralelogramo, os lados 
opostos são congruentes. 
Hipótese: ABCD é paralelogramo. 
Tese: AB = CD e BC = AD 
A 
••• 
Matemática Geometria plana 
Demonstrações 
{s=& ABCD é paralelogramo ⇒ " " 
BAC=DCA 
AC é comum.}LAAo definição{- - -
" " AB=CD 
B = D ⇒ ABAC = ADCA ⇒ _ _ 
BÂC=DeA BC=AD 
li. Todo quadrilátero convexo que possui os 
lados opostos congruentes é paralelogramo. 
Hipótese: AB = CD e BC= AD 
Tese: ABCD é paralelogramo. 
A 
Demonstração 
AB=CD 
BC=AD 
AC é comum. 
LLL 
⇒ ABAC = ADCA 
definição{BÂC = DtA 
AABC::: ACDA ⇒ A A 
BCA:::DAC 
Btc = DeA ⇒ AB / /CD} ABCD é 
BêA=DÂC ⇒ Bc//AD ⇒paralelogramo. 
Ili. Consequência: todo losango é 
paralelogramo. 
C. Diagonais cortam-se no meio 
1. Em todo paralelogramo, as diagonais se 
interceptam nos respectivos pontos médios. 
Hipótese: ABCD é paralelogramo. 
----
Tese: AM = CM e BM = DM 
A 
eoc 36 
Demonstração 
ABCD é {AB = CD (1) 
paralelogramo.⇒ _ _ {B$.M = D~M (li) 
AB//CD ⇒ 
e 
I\ I\ 
ABM = CDM (Ili) 
AM=CM 
ALA {- -
(1),(11),(lll)⇒AMCD= AMAB⇒ _e_ 
DM=BM 
li. Todo quadrilátero convexo em que 
as diagonais se interceptam nos respec-
tivos pontos médios é paralelogramo. 
Hipótese: AM = MC e BM = MD 
Tese: ABCD é paralelogramo. 
A 
Demonstração 
º·r::----------,:,,c 
-- } AM:::MC LAL 
ArO!B = crOiD (o.p.v.) ⇒AAMB:::ACBD 
BM:::MD 
AAMB::::ACBD ⇒ AB = CD (1) 
Analogamente para AAMD e ACMB,temos: - -
BC= AD (li) 
(1) e (li) ⇒ ABCD é paralelogramo. 
4. Propriedades dos losangos 
A. Diagonais perpendiculares 
1. Todo losango tem as diagonais 
perpendiculares. 
Hipótese: ABCD é losango. 
- -
Tese: AC .l BD 
A 
Geometria plana Matemática 
Demonstração 
ABCD é ABCD é AM = MC {- -
⇒ ⇒- -
losango. paralelogramo. BM = MD 
_ _ LLL AB::::BC 1 
AM::::MC ⇒MMB::::ACMB 
BM comum 
Assim: ,,.._ ,,.._ 
AMB::::CMB=90º 
Então: AC .l BD 
li. Todo paralelogramo que tem as 
diagonais perpendiculares é losango. 
Hipótese: ABCD é paralelogramo e AC .l BD. 
Tese: ABCD é losango. 
D 
B 
Demonstração 
AM é comum. 
- - LAL - 1 BM::::DM ⇒ MMB=MMD 
A A 
AMB::::AMD 
Analogamente: AAMD = ACMD = ACMB 
Assim: AB =BC= CD= AD 
Então: ABCD é losango. 
B. Diagonais nas bissetrizes 
dos ângulos internos 
1. Todo losango tem as diagonais nas 
bissetrizes dos ângulos internos. 
37 
Hipótese: ABCD é losango. 
{
BÂC = DÂC; BtA = DtA 
Tese: A A A A 
ABD = CBD; ADB = CDB 
D,----t-----=C 
A 
Demonstração 
- - LLL 
AD::::CD ⇒MBC::::ACDA 
AB= BC 1 
AC é comum. 
{
BÂC::::DtA 
AABC = ACDA ⇒ e 
BêA::::DÂC 
(1) 
(11) 
AB =BC ⇒ MBC isósceles ⇒ BÂC = BêA (Ili) 
(1), (11), e (Ili} ⇒ BÂC = DÂC e BêA = DêA 
Analogamente, provamos que: 
A A A A 
ABD = CBD e ADB = CDB 
li. Todo paralelogramo que tem as 
diagonais nas bissetrizes dos ângulos 
internos é losango. 
{
ABCD é paralelogramo e 
A A A A 
Hipótese: BAC = DAC; BCA = DCA; 
A A A A 
ABD = CBD e ADB = CDB 
Tese: ABCD é losango. 
A 
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