(GASIOROWICZ_ S.D.) Física Quântica

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·~ I, "hell Gasiorowicz
I It, ,,}' Mlnnrsou:
)
•tsica
I ruduzldo por
Qudntica
Antonio Luciano Leite Videira
Prl)f~J\()' Associado dll 0 .."11"0"'"'1,,
d.. FUlco do POfllijic:ll1 Un;.oe,sid"J.o
Cowllco do Rio de Janeiro
GU;\NABARA
0015
flu/ice
I 0.1 Llmites da Fisico C/{USII:". 1
Radiao;iio de corpo negro: as leis de Wien e de Rayleigh-Jeans; a fannula de
I'lanck. 0 eJeito foroeletrico. 0 cfeito Compton. Dirra~iio de eJetron~. 0 alomO de
Bchr: os posrulados: consequencias experirnentais: 0 Princlpio de Corresponden-
eln. 0 problema onda-partfcula.
2 "'",·(iIC.' de Ouda (' (IS Relaroes de Incerteza, 25
o pacote de ondas Gnussiano: n propagaciio de pncotcs; a velocidadc dc gru-
PI': a rel3,,::10de De Broglie. As rela<;6es de inccrtcza: medida da posi~o de 11m ele-
Iron: II experiencia de duas fendas: a "realidade " da~ 6,bitas no ,itomo de Bohr; :t
rdll,.no de incerteza energia-tempo: as utiliza¢C~ das rcla¢cs em estimativas nu-
mt!'iC3\.
l I Eqllafoi() de Onda dr Srhrodlnger, 41
A equacdo cia particula livre. A interpretacao probabilistica. A conservacac de
l1uw. Valores esperados. 0 operudor momenro, A realidade dos valores espera-
dos, A e(ju(\~ao de uma panlculo em urn potencial.
4 Alllu!un.(>"$ ~ Autovalores, 53
A equa~o de autovalores da energia. A partfcula em uma caixa: autorun~es c
autovalores; ortogonalidade de aUlofun~Oes: 0 postulado de expansao e a interpre-
tlll;8o dos cocficientes de expansao, Paridade. Autofuncees do memento. estados
Nio-nonnaJiziveis: degenerescencia e aurofuncoes sirnultdneas.
S PO/~"C"iQisUnklimenslonuls, 70
o potencial degrau; coeflcicntes tic retJexiio e de trunsmissao. 0 POl;Ode po-
tencial e estados ligado«, A barreira de potencial: tunelamento: emlssao fria; tunc-
lumento atraves de pelicufus finus: decaimenro alfa. Modelos unidimensionais de
moleculas e 0 potencial flJ~ao.deha. 0 modele de Kronig- Penney. 0 oscllador
harmonicQ.
•• I I vtutur« I11'",/ .I" /lit', 11",,,, 0",/11/"",,,,, "1,1
I'''I''''''I~'~'' \. I' ",(11<'1111'\111e~IlIl""'I\'. UII.•IUII'" ",111"'1,.,,11 ~,III'illl III~ II.
11'1I('~ l'II~IlIC":III)CII,(jl)"" Ilcrrl1illllllll~: C\)'t'JlI~I~III: .1'·IWI1I"t·hll"lo 1" ,'"\IIIIIII'~
"-""II)IcIO~tl.: ,'h~(lI'\lhVcilique comutarn. A" (CIUt;I)<:~de IIIC,·tlc/., C) 1111111,"I,I~""'II
oJ" Teuriu QlIIimicll.
7 Mh'ldu.f d.. Operadores em Meclinica Quantico. Jl9
o problema do oseilador harmonico: levaruamcnto e abaixamento de opcrado-
res; auio-estados e autovalcres, A interprela~10 do ftlllo;<lo de onda como amplitude
de probabiJidade. 0 desenvolvimento temporal de urn sistema em termos de opera-
dores; as dcscricoes de Schrodinger e de Heisenberg.
8 Sistemas de N Parttculas, 132
A eqllll~ de Schrodingcr pan) sistemas de N particulas. Conservaeao de mo-
mente: Sl!para~ii.odo movimenro do centro de massa: massa reduzlda. Pnl1fculas
idclliicWl; simetria por troca de paruculas idcnticas. 0 Princlpio de Pauli. F~rmiolls
e bosons em uma calxa: a energia de Fermi.
9 A E'quar;tio de Schrodillger t!m Trss Dim~lIstit's. 145
Sepnro~oo do movimenro do centro de massa; invariancia por rotllyOes: a sepa-
I~O do momemo angular. A eqlla~o radial. A energia de Fermi para a caixa
tridimensional.
10 MomettlQ AttgU!tlf. 157
A expressao de L'; merodo aJgebrico de resolver 0 problema de autovalores de
L, e de Lt; operadores de levantumento C de abaixamento; fun¢es de LeSCI1dre..
II A Eqlla{:a() Radial, 169
Compertamerue nn origem; cornportarnento pam r grande. A l)lU1fellla livre;
funyOes de Bessel esferlcas: ondas e~ferica.~incldentes e emergenres: deslocamen-
tos de fasc, 0 poco quadrado: cstados ligados: pocos peofundos: estrutum de C8- l
rnadas; solucoes do continuo.
12 0 Atamo de lJidrogettio, 184
Simplifica~iio da equa~~o radial, Ntlmcros qulinlicos; degenerescencia, PUn-
~6es de ondll e rclsyOcs com as "6rbitas".
13 rttscratao de Elerrmu com 0 Campo EletrOItlOlJttJlicQ. 199
EqmlyOcs de MnxweU. Acoplamento de cl6trons com 0 potencial veto r, Equa-
Clio de urn elerron em urn campo magnetico uniforme. 0 efcho Zeeman normal.
Movimento de um eletron em um campo mugnetico untforme; illI~lra<;fio do Princl-
plo de Correspondenctu, QuantiZll~o do tluxo: 0 efoito Bohm-Ahru·(1J10Y.
14 Operadores, MIIIl'i~s e Spill. 2 t6
Re.pl'csenla,ao rnalriciaJ de operadores de oscilador halmonico. Rerrtlsentat,;ao
matricial de operadores de memento angular I. MRlrizes de spin 1/2; cspinnres. A
preccssao do spin em urn campo magnetico; rcssonsncia pnrumugncticu,
IS A Atii{;iio tie MOfllellll/S AlIglllarC!$, 232
A Rdi,ao de dois spins 1/2; autofuncoes sioglelo e tripleto. Adi91lode momenta
angular de spin e de orbitll. 0 Principia de Excluslio e estados de memento angular.
, I", ,of IIU,I'II(,14 , 1,,,1t """,1"11',., ,1" 1"'''1''', 24J
1"r • III',·Hh) dc' t"tlcigia (1\" ,ll ilue.ru u,dttllL ,'et)l til ~IUNIlCI1UI'hH~C~<\de se
"I "' If""I1,kll~"nlldn ,I.,,, portUfba~"c~. 0 efeho SIiU'k: llUNCIII:llIllo: des-
"I hn'.11 1'.11" II c,tndll IIImlamenlUJ: 11l0mCIlIOS dc dipole clclnco~; deslo-
"' I, "·Mund.I,,,1Icm. FI'cilll Stllr!.: linenr para estados » - 2.
I II ,"'''dr 1I1d""}/,:,,/<I R,'"I. 2.';7
t I'''' \",., 'ch,lIvIMica" da 1I1l1~Sll, Acoplamcntu ~pin-Orbila. 0 efelro Zeeman
1 III ,I" IIItna~;oo hipcrfina.
II II A 111" J,' ttett«, 269
"11,11111.1 apro~.nt"l;ao. Dcslocumento de primeira ordem devido i1 rrpulsa.o ~-I!.
II I" 1""I1I)~ CMII\!Obcxcitados, Energia de trocu. 0 Principia Variacionnl de Ritz.
~II~I hll1l/l1ltfio.
" I I vuutura dos A,n""". 28S
II 1'lHlC'pio Variacional e n~ cqua!;Oes de Hartree. A Tabela PcnOdica. Dis-
" '" 'ItI.lhUlliv3 dM ccnseqnencias da estrutura de camadas de :i.tomos.
'II ,\IIIIt:"IIIIl~, 297
11'IU:u;iio de Schrodinger aproximada; movlmento clclr6nico, vibrucional e 1'0-
I" '"fllIl. A moJ~eullllll': fun~o de onda variacional renuuiva: spins de nucleos e
, ,pe"lll)': calores especfficos de molecules.
II l:',wfIIfllro Molet'lIlllr, 311
\ motecula fl •. Orbitais moleculares. I.igac6cs, Descrlcdo qualitallvlI de ulgu-
ttI.I' mol~culBS~imple\: orbitnis hibridos.
~2,\ H",liu~iio do.\ AIDfIIDS. 3U
Teena dill> pcnllrbultoes dependentes do tempo. As IOtern90es etetromugneti-
CI': dc~eril;iio scmlcuissica: 0 eR"[I~O de Inscs: u Regm de 0111'0,Cdlculo lie ele-
lII<!tllO de rnatriz: rcgrns de selecao: [I taxa de Imnsicao lP-IS, O~efeitos do spin.
2,1 Ttip/nl\ S ..It'dt",,,,/t1i em TTllnfi("kf RIIlI/IIIII 1M. 347
Vidll-medja e "<filUm de hnhu: ll'argamenlll por 001;":;0: de~locamcnlo Doppler.
Efeito Mossbaucr. Ab~arl;:io e ~mls~o inciu1Id:I\. Ola,cr.
:!4 A Teoriu das O,/Is6,.s. 360
Se~.jo de cheque de colisdo: 0 teorema OIlCO: sc,<)c., de cboque inelr.sliea~.
F.spalh:lII1cnlo por um di~o preto. Esp<llhatlll!nlO n baixus energias: evpalharnento
ressonante de poco qundrado: f6rmliia do alcunce efetivo. Dc:pcndencia do spin no
c~palhumcnlo neutron-proton. A "pI'Oldma~jo de Born. Bsp;llhamento de pnrtlculas
idenlic.". P.spalhnmenlo coerente C as condi~()e. de Bragg.
2S A A".flJf(DO d~ Radill(oo 110 MlIIrrio. 390
o efeito rotoeliilrfco: derendencia angular: dependenci« dn energia. Espalha-
mento Compton, Anlipunicul~~ e prodw.au de pares.
26 A.r Purticulas 1:.11'",'lIIor('$, 11.1 suus S;"'~Irl/II. 403
Elclrons e pOsitrons: 0 pu~llrUnio e os -.eu, modo, de decaimento, coruu8"~O
de carll'" Barion) •• anlilxirion, e mt!~ons. Con'>Crva~ao do ,prn ISOIOPICO, 0 pro-
blema do decaimento e da prodUf,;uo do ".: [lrudll~;jo assoclnda: 0 numero quantico
estranheza: regnl.' de ,ele~o. Slrnctria unitnriu: " dcscobena Ill) n . I) modele de
quark Nao-c.onservlll;iio da pandade no decarmemo K: tC~le~ gerais. U ,hlema
K -A
'l'I'n .. , I !\J1f C '1"\
I I 1111111.11" II Ht'"UVI\II"I. ~110
~ II 1""1, 'I"" ,I,' f'llIIv.1lcn"", ol-fn
I ,\ .\I''''~IIII.I~.I'' ,I.: Wenl/cll{,.lIl1c,~·lhlll""1n, 40W
4 V"I;".M,'d,.I\. Lurgu."" de I onha\ c i(C\Wl1JiIll:I,I\. ol-f7
~ ., ' ....'n,. de Yuknwa, 4S6
AI" "d,( ,"
A A lntcgrnl de Fourier e Fuolto.:~ Delta, 461
a Operadores. 467
CmU/tII,I4!S Fislcus, 477
[ndic« A/ft,bt'lka, 478
Fisica Quiintica•
1
Os Limites da Fisica Classica
o tinal do seculo XfX e 0 comeco do seculo XX testemunharam urna crise
III' Fisica. Ulna serie de resultados experimentais veio exigir conceitos total-
mente incompatlvcis COin a Ffsica Classica, e 0 desenvolvimento desses concei-
hh. numa interacao fascinante de conjecruras radicals e de experiencias brilhan-
h· v, Ievou, Iinalmcrue, a Teorio QU{lIuiC(l. I 0 nosso objetivo, neste capitulo, e
.lc-crcver os antecedentes dessa crise e. armados da compreensao do que se
dc\ ia fazer. expor os nossos conccitos de tal maneira que. embora nao histori ..
\."nenle correta, tornara a transicjio para a Teoria Quantica menos rnisteriosa
rurru 0 leiter. Os novos conceitos, as propriedades corpusculares (,/0 mdlaciio,
rI\ nropriedcdes QllclulttlQri(l$ tin materia e a quamizaciio de quantidades flsicas
emcrginlo dos fenornenos discutidos abaixo.
,\. Radiacao de corpo negro
Quando se aquece urn corpo. observa-se que ele irradia, Em equitfbric, a Iuz
cnufida cobre redo 0 espectro de frequencias fl. com uma distribuicao espectral
que depende tanto da fre.quencia QU, cquivalentemente, do comprimento de onda
.rn tuz. A. como da temperatura. Pode-se definir uma quantidade E( A. TJ. a erni-
I.\nciu especrral. como a energia ernitida no comprimento da onda >.t. por unidade
de area e por unidade de tempo, A invesrigacao teorica no campo da radia~ao
h'-I mica teve inicio em 1859. com 0 trabalho de Kirchhoff, 0 qual mostrou que,
1',lI,\ urn dado A. a ra7,30 da emitancia espectral, E. para a absortancia. A. defi-
nill., como a fra~ao da radiac;aoincidente, de comprimento de onda x.1 que 6
1111\,11 vida pelo corpo, e a rnesrna para todos os corpos. Kirchhoff considerou
dll." placus paralelas emissoras e absorventes, e mostrou, a partir da condi~ao
,It, C(llIilihrio de que a energia emitida era igual a energia absorvida (para cada X),
qUt' .,' I"/OeS E/A deveriam ser as mcsmas para ambas as placas. Logo a seguir,
r-l.. oh ...crvou que. pant urn corpo negro, definido como uma superficie que ab-
...,11 "f l(ltailncntc toda a radiaciio que incide sabre- ele. de modo que A s- I, a
hllll.,',Ill/Y~, 'I) e uma fun<;aouniversal.
1',llil ...c podcr esiudar csta func;ao. c necessaria obter a rnelhor fonte posst-
\ \·1 d(" I"llia(,'fio de corpo negro. Urna soILl~5.opnitica para este problema con-
'~h' "'111 cnnvidernr n rndia~aoemergenie de um pequeno orificio numa cavidadc
"1",'\1\1,1 a rcmpcrutura T. Considerando-se as imperfeicoes na superficie do in-
!t III H 1,10'1111('1["IUlIl' ,,'I~e n \k\e,w'''~'lmcnlo \1.1 rC()IlI' QuantICO. 1'(Iodeser cneOllll'l'ldO em M, J",n·
1,u I ti,I' j mi. f','IIIII/I)f""I/1,mll'/'( 1.1(JII/IIII1/111 <\ti,(IUltll, f. Mt.'Gr:,w.lliII. New Y'lfk, 19M,
2 FiSICA aUANTICA
rerior da cavidade, e: clare que qualquer radiacao incidente sobre 0 oriflcio nao
(era oportunidade de.ernergir novarnenre. Portanto. a superffcie apresentada pelo
orificio e quase que "totalmeme absorvente" e, em conseqiiencia, a radia~50
que dele provern e, efetivarnente, "radiacao de corpo negro", Desde que 0 orifl-
cio seja suficientemente pequeno, esta radia~aosera a mesma que aquela que
incide sobre as paredes da cavidade. Torna-sc, pois. necessario entcnder a dis-
tribui~ao de radiar;ao dentro de uma cavidade cujas paredes cstao a temperatura
T.
Kirchhoff demonstrou que a segunda lei da Termodinamica exige que a ra-
diar;ao na cavidade seja isotropica. iSIO e. que 0 tluxo seja independente cia dire-
'tao; que ela seja hornogenea, isto e, a mesma em todos os pontes: e que cia seia
a mesma em todas as cavidades a mesma temperatura - tudo isto para cada
comprimento de onda.! Por meio de argumentos geornetricos simples. pode-se
mostrar que a emitancia espectral esta relacionada it. densidade de cnergia II( >-.. T)
dentro da cavidade. A relacao c
U(JI T) = _4 E_!,(A...:,_T__,)
, (
(\fer ~i('~~ 'I.)
A densidade de energia e a quantidade de interesse te6rico e uma nova com-
preensiio sobre ela adveio, em 1894, do trabalho de Wien. 0 qual. novamente
empregando argumentos muito gerais," mostrou que a densidade de energia tinha
que ser da forma
U()I, T) = )1-' [()IT)
comfainda urna fun~ao desconhecida de uma unica variavel, Se. como e conve-
niente, trata-se, em vez disso, com a densidade de energia como fun~a() da fre-
quencia, ut v; T), decorre de
u(v, T) = u()I, T) I ~)I I= ...;.u(>-. T)
, av v
que a lei de Wien fica
As implicacoes desta lei, que foi confirmada experimentalmente (Fig. 1.1). 550
duplas:
I. Dada a disrribuicao espectral da radiacao de COl'pO negro a uma temperatura.
a distribuic;ao em qualquer outra temperatura pede ser encontrada com 0 au-
xllio das expressoes dad as acima.
t£S:lt essuero ~ discutido em munos textos de Fiska Modern a e Fi!>icll E.slalbticu, Rcfcrcncia ...podem
scr encomradas no tun deste capitulo,
twie.n consicerou uma cavidade csrcrica petfeitamente refletora, contnlil'iJI)-"(' Iwlmhall(,unenle, Are·
di$uibui~!o da enersja em fu~ cit ). rem que ser C3u~ad:1 peto dt~IQC.1I11el"h I'lC\I'ph'. 1MH'llc,,~()
Vcjl 0 Capitulo V, em I:', K, Riehtmyer. e. H. KCOI\:lIxl.e J. N (\IC}I~(" I,W, •.If11I1.", roo \t".lom
Ph)'stes. MeGraw·HiII, New York. 1969.
(1·1)
(1·2)
(1·3)
(1·4)
..
(II. IIMIII'. IIA IltoIC:A CI Ah~,II;A
•• T· 14.9-"
". T· 1646-K
o. T. 1259'K
IT
~., I I Velific[l~ilOexperimental da Eq. (J·2) na forma u (>... nrr" • fun~aouniversal de
\< .1 ju~iioft.fl - ou. equivalenternente, a fun~ao g(x) - rem urn maximo
1',11 ,I algum valor de .r > O. 0 comprirnento de ooda A..-z. no qual a densidade
lit" cnergia. e portanto a emitancia espectral atinge seu valor m6ximo. tem a
h.nl\i\
b
}.",..= -
T
unde b e uma constante universal.
(1·5)
Wien utilizou um cerro modele (sern ncnhum interesse, a nito ser para 0
hl,,,,dadol') para predizcr a seguintc forma para g(vlT):
(1·6)
c , de modo nOI~vel. esta forma. conrendo dois parametres 'liusl~veis. 'liusla·se
muito bern aos dados de alta freqfiencia (baixo comprimento de ooda). A f6r.
mula. entretanto. nao concorda com algumas oocoes muiro gerais da Fisica
Chissica. Rayleigh. em 1900. derivou 0 resultado
8n'
11(" T) = -;;- kT (1.7)
onde ~ e a constante de Boltzmann. k = 1.38 x 10-" erg/grau e c" a velocidade
da luz. (. = 3.00 X 10"tem/s. Os ingredientes que entrararn na dcriva~ao foram:
(I) a lei classica do equiparticao d. energia. de acordo com a qual a energia
olcdia por grau de liberdade de um sistema dinamico en) equilfbrio 6, ncste con-
4 FiSICA QUANTICA
o 10.000 20.000 30.000 _0.000 SO.OOO
Comprimento de onda em J.._
", cemertmeore de onda em J..-,.,
20.000 40.000 60.000
Fig. 1.2 (a) DjSll'ibui~i'io da potencia irradiadu por urn corpo negro em varias tcmperatu-
ras. (b) Comparacao dos dados a J6000 K com as f6rmulas de Planck e de Rayleigh-Jeans.
ICXIO,' kT. e (2) 0 catculo do mimero de modos (iSIO •• graus de liberdade) da
radiacao eletromagnetica no intervale (v. II + tip). confinada em lima cavidade.?
A lei de Rayleigh-Jeans (1-7) {Jeans deu uma contribuicao minima para a sua
derivacao) nao concords com a experiencia em alras Irequeucias. onde Iunciona
a formula de wien. embora cia sc ajustc it curva experimental em baixas Ire-
queucias (Fig. 1.2). A lei de Rayleigh-Jeans nao pode. por consideracoes gerais.
estar correta, jli que ela prediz que a densidade de energia 100ai(integrada sobre
todas as treqiiencias) e inti nita!
Em 1900. Max Planck. POl' luna engenhosa interpolacflo entre a fOl'lnulH de
altas freq(iencias de wlen e a lei de baixas Ireqiiencias de Rayleigh-Jeans, cncon-
trou a seguinte expressiio:
u(v, T) (I·S)
on de h. (I (-OIlSI{uU<, de Planet: e urn parametro ajust;_\vel. cujo valor nurnerico
foi constatado como" = 6.63 x 10'" erg.s. ESI. lei aproxima-se da forma de
·A lei da equiparti~io prooi.l. que: a energia par grau de Hberdadc e 4"'2, 1'111'1.'tun c..dlll,dOf - c cs
modes do campo eklrOtn~n6lico do ~il;ldc,)res "llrmi'lI'lIC(l~!'iml)lt\ - lIl1I,'cl'mnhuj~r")de: J. 7'/1<la
energia ctneecae iguiliada por uma contribui~iio idcnticil de energrn 1l"ll-ut.1ul 01)111\11).1.1~Nec:ellSill"f(:mc). s deste resuuado. ouun vel. c: () deri\'{,n~Il1M 11(1('!IJlIIIIIII 'l I) IIlIlI!t'I~1 ,!t, 1lI00Jns e
4 tn!lt,J. flluhil,licados PI)( 2. j:i ~IUConlilt .. clClr"maltneli~l'" tlllll .....' I~jU I I" II ~I,,·IIIII'.... 1 ,'~c,lutll.r('S
h{u'mi,nicc)<l bidilllc" ..il\nl\i!, ~,
,~, !" I
0:. ItMIII I, IIA IIWGA l.:t A:'~II(;A.
I "II II '" ~IUU,ulll I' • (I, \' 'l.'lluJ' vc n
,,(,-,T)
(1-9)
• l'I'clll\'ncin e nita. ou. Innis precisamente. quando h v .. I.. T. Se reescre-
IUlli ,hllll1u!a como 0 produto do ruimero de modos toblemos isto de (1..7).
II hU..IIII.I tlt'""tlacJc de energia por kTJ e um ouiro fator que pede ser interpre-
I •• , 11I1hl !I L·l1l.:rt;ill In~diflpor grnu de liberdade
(1-10)
.111111" que a lei classica da equiparticao da energia se attera sempre que as
11111"tlI1CIl" nao forem pequenas quando comparadas com k1'/Ir. ESI3 atteracso
11,1"'1 "t: e'luiparti~lio mosrra que os rnodos tern uma energia media, que depende
II u.r hcqiiencia. e que os modos de, alta frequencia tern uma energia media
hlllllt, pequcnn. Este corte efetivo remove a dificuldade da r6rmuln de densidade
III «.I\'cigh-Jc:ans: a energia total em uma cavidade de volume unitario deixa de
., InhOI'II. Temos
8.. ,1,' f~ x>=-'[' dx--
h'c' • t' - 1
(1-11)
t\ Inlcgnil pode SCI" calcntada" e 0 resultado e a exprcssao de Stefan-Boltzmann
II.lIa I.' energia lotal de rndiacfio por unidade de volume
U(T) = aT' (1-12)
onde a =.7.56 x~ erg/crWgrau", derivada muiro antes, excetc pela cons-
t.mte numeriee em frente, com base em raciocinios lermodinAmicos, Um afasta-
.1C
\5
6 FISICA QUANTICA
men to da lei de equiparticao nao era inteiramente inesperado: urna de suas coo-
sequencias era a lei de Dulong-Petit dos calores especfficcs, de acordo com a
qual 0 produto do peso atornico (ou molecular) pete calor especifico e constante
para todos os solidos. Entretanto, desde 1872. que foram observados afastamen-
tos das previsoes de Dulong-Petit," os quais indicavam que 0 calor especifico
decrescia a temperaturas mais baixas."
o sucesso sem resrricces de sua formula conduziu Planck. a procurar por
sua origem e apos dois meses ele descobriu que podia deriva-la, supondo que a
energia associada a cada urn dos modos do campo eletrcmagnetico nao variava
continuamente (com valor rnedio k7). mas era urn multiple inteiro de urn Quan-
tum minimo de energia 8. Nessas circunstancias, u m calculo de energia media
associada a cada modo, usando a distribuicao de probabitidades de Boltzmann
em urn sistema de equilibrio a temperatura T,
(1-13)
conduziu a
E= L:EP(E)
II
t: nS e-rtt/kT
"-0= •L ~_t/l1'
.~O
d •
-& -L: ,-••
dx ",-0
•L:r=
"-0 Tid/iT
r= I= s 1 - ~-1; :-f./t.T
I:= rOt'!' _ 1 (1-14)
(sto concorda com a Eq. (1-10), desde que facamos a identificaciio
I: = h. (1.15)
e "aO mudemos 0 mirnero de modes.
fOe ecordc com a lei da equiparti-;:io. um ccniueto de,V osclledores (e um.", rede de .il(la'n()$ com ron;a,s
el~lticas entre eles pOOe ser esstm cncarada) lera cncrgill JNkT. (I fal(lr 3 vh'llio do Iato lie q\IC os
oscitadorcs em urn s6lido s$o lridimensiollais, en, vet de bidirl,c:nsiOl'tus, como no ease do campo de
rad~ao em uma cavidade. 0 calor cspocilico de um mol e obuuo, llifCICrl(illudo'!le COt'll respeno a T c:
sondo-se N _ N•• I) nuMero de Avogadro. de: modo que C.. JNJ; IN. c.IlIJe It 8.28 x 101
erWgmu.
4ClllorC1c-~pcc{fioo, ,erio dnCuhdos mlJllo bre ...emente nil ('1I11Ilul.. 'H
OS UMJTES DA FislCA CLASSICA 7
11.llIck argumentou que, por alguroa razio desconheeida, os ulomos das p8redes
,I.. c.widade emitiam r"ddi~ao em "quanta" de energia nhv(n - 1.2.3 ... oJ. mas
11111'. per uma questiio de consistencia, como foi estabelecido por Einstein alguns
Uk" mais tarde, a radiafao elelronulgnitica Sf comportava C0l110S~consistisse
,I. 11111(1cOltrilO til quanta de energia, de energiD IIv,'
A cnergia transportada por quantum e extremamente pequcna. Para tuz no
illh.·rvalo otico. CO(o, digamos, ~ = 6000 A,
c 6,63 X 10'-" X 3,00 X 10'0
h. - h - - "'"3.3 X 10-" erg~ 6 X 10-'
.III "Indo que 0 mimero de quanta de luz deste comprimento de onda. emitido por
1111111 rome de 100 watts, digamos, e
100 X 10'N = ~ 3 X lot° quanta/5
3,3 X 10 "
c om urn mimerc lao elevado de quanta presente, talvez nao sejo scrpreendente
"IIC nfio experimentemos diretamente a natureza corpuscular da luz; veremos
'Ilif. em escala macroscopica, nio sao esperados quaisquer desvios da Otica
, I.",ico. Apesar disso, a interpretacac de Planck de sun f6rmula altera radical-
In('lIle n nossa compreensdo da radiacao.
II. 0 cfeito fotoeletrico
Apesnr do sucesso da formula de Planck, dificilrnente sem obrigatoria, a
11.11111 dcla, a conclusso da natureza quantica da radiaclio. Uma importante con-
IIlhlli~itn para n sua aceita!yiio proveio do trabalho de Albert Einstein, 0 qual, em
I·HI~. utilizou 0 conceito da natureza quantica da luz para explicar algumas pro-
luirdadcs pcculiures dos metais, quando estes sao irmdindos com luz visfvcl e
nluuvioleta.
o cfcito fOloelctrico foi descoberto em 1887 por Hertz, 0 qual, encuanto
",I.lva cnvolvido em suas famosas experiencias com ondas eletrornagneticas,
Ilr,c,'uhriu que 0 comprimcnto da centelha induzida no circuito secundario era
It dU/itJo quando os terminals do intervale de cenrelha cram protegidos da luz
ulh .•violetn proveniente da centelha no circuito primario. As suas observacces
,.II.II',tm muito interesse e, em experiencias subsequentes, ficaram estabelecidos
It \('Ruinlcs> fatos:
"I,lell' de metal polido, ao serem irradiadas, ernitem el~lrons:l' etas 030 erni-
h7111tcn-, PO:-.ilivos,
I) I.'h) d:" placu:o,ernitirern ou nao eletrons depende do ccmprimento de onda
11.1 111/. I~nl gernl. huvera urn limiar que varia de metal para metal: apenas luz
rrun ulna I'rC(I,'icncia nlaiol' que uma dada frequencin produzinl uma corrente
Ijlll)cl~I' lea.
"' ... 1\ IIfIIl! 11,lIla II t'~llIelli'll' J', ,lC)l.lc C\II, ....uescure C1Uulcl\lel'ndmero 1111011'0de (l'lIllI'" 0, ccnsequenre-
,,"111. j~I.'r.iPl'l\c)l"'OIll!l' o'o"'"lt'I'I!'o'I1'11_CI'M1l/1 U.I.2. I, .,.
'"I ." f •• j .1•• t'lf .. I"~llu p,I, IIIt'ill ~k'UlIll~fIle••h"'" d('ll'/m
r
8 F1SICA aUANTICA
3. A intensidade da corrente, quando esia existe, e proporcional it intensidade
da fonte luminosa.
4. A energia dos fotoelerrons independe da intensidade da fonte de luz , mas
varia linearmente com a frcqtiencia da tuz incidente.
Embora a existencia do efeito fotoeleirico possa ser compreendida demro
do quadro da teoria eletrornagnetica classica, ja que se conhecia a exisrencia de
eletrons em metals e podia-se imagina-los acelerados por absorcao de radiacao, a
dependencia da freqiiencia nao e compreensivel denrro desse quadro. A energia
transportada por uma onda eletrornagnetica e proporcional a intcnsidade da
fonte, "ada tendo a ver com a frequencia. Adernais, uma explicacao ckissica do
efeito, a qual teria que envolver a concentracao da energia depositada em fotoe-
letrons individuals. acarretaria urn atraso temporal entre a chegada da radiac;ao e
2,' I-
2.2 I-
2,0 I-
1,8 -
1,6 -
E 1.4 -
g
i 1,2 I-
1,0 I-
G,S -
o.e -
G.4 -
0,2 -
_1_ V v. = 57 x l(ru s-'
o4'~0---:!50!:--60 10 80 90 100 110 120
Fig. 1.3 Dados do efeuo fotoeletrico. mosrrando tim gnlfico de potencial rcturdador. ne-
cessario pard deter 0 fluxo clctronico de um metal (ll(io) OU.cquivajcntemcmc, u enet Jtlll
cindtica dos etetrons. em run~o da fl'equencia du lut incidenre. A irn:limu;fic)1Ia rctlt e 1,/1'
II .Ip I 11'111111,,111!I\., t'''~I,'que 'CUll I1laH .. n IIH;duJOI 'Ille u illlclIsi.,ladc
~11 1".llld,Hk • .i.HUlU' tonun obscrvadcv quabqucr utrnsos tempo-
h. III. nel' rwnluun U1,II01 dv que 10 \I!,>. mcsrnc COin ruui3~lio inclderue de
I "I, ullllln h."\II,
I ill II III ~,11l,\,tleldU ,I radiacno CORtOconsistindo de urna col~ao de quanta
I ,,,II "I urn Ie I' en frequencia da luz. A absorcao de um unico quantum
nu , I. 11l'11 um proces-,o que pode levar menos tempo que: 0 limite: supe-
, II, ,pn,lIln .uunn - aumenta a energia do eletron da quamidadebv. Pane
II ."" .1,'\(.' 'tl gJl,la para scparar 0 eletron do metal, Poder ..se-ia esperar
I. 111I.uHltJacJc, \V (chamada a /t"'foO frabalhQ), variasse de metal para
III" 1,'1,1nao deveria depender cia energia do eletron. 0 resiante esta dis-
II ,1"11111 a cncrgin cineticu do eletron, de modo que. com base ncsre quadro,
I ,. 11"(.':1 veguinte I'elacao entre a velocidade t- do eletron e a frcqilencia da
I,
(1·16)
• \111\'1, () efelto limiar e a rela~ao linear entre a energia cinetica do eletron e
I ,,, '1Ih'II,-'IO' c:,tao contidos nesta formula. A proporcionalidade entre a corrente
I IlIh'U\ldudc do fonte rambem pode ser entendida em termos destes quanta de
III ,IIIde totons. como vieram a ser charnados: uma fonte luminosa mais intensa
'"Ih 111.11' (6ton~ e estes: por sua vez. podem liberar mais eletrons.
\hlh~all efetuou culdadosas experiencias e estabeleceu • exatidAo da f6r·
IIlul.. ,fl' Einstein (Fig. 1.3). 0 que as experieocias de ~1illik3ne as anteriores
I tn' .u.un foi que. por VC2es.a IU2se comporta COmOuma cole~50 de particulas
I '1"(' evvus "particulas" podem atuar individualmente, de modo que c posslvet
1111 uannr a e'(i!)lencia de um unico 1'6100e pcrguntar quais s50 as suas proprieda ..
•1, ~ t )111 subproduto dCS))RS experiencias consisuu na obteneae de informacoes
I\tllt' U"i metals. Descobriu-se que w era da ordern de diversos eleiron-volts
" .'V 1.6 X 10·" erg). e que isto poderia ser correlacionado a ourras proprie-
.J.III,', dos metals.
I'. 0 ct'cito Compton
O chamado efcito Compton e a experiencia que torneceu a evidencia rnais
\11I1.'1~1 da muureza corpuscular da radiacfio. Compton descobriu que a radia<;ao
,h' urn dado comprimenro de onda (na regiao de raios X)~,cnviadu atruves de uma
tolhu de metal. era espalhada de modo inconsistente com a reoria etasstca da
hll..Ji;'l\,UO. De acordo com a reoria classica. 0 mecanisme do efeito c a re..radia~ao
.1., lUI por eletrons postos em oscilacoes forcadas pel. radi.~.o incident e e is-
,It leva a previsno da intensidade observada em urn ingulo 8. que varia com
II • cos' 8). e nao depende do cornprimento de onda da radi~40 incidenlc.
C urnpton descobriu que a rndia,ao espalhada at raves de urn certo angulo consisle, '
II" tealidade. de duas compOnenles: uma. cujo comprimento de onda e igual ao da
"Illi:u;ao intidente. e Outra, com comprimento de onda deslocado en"!rela~iio ao
\ ""1primento de ollda incidenle de urna quantidade que depend. do Angulo (Fig.
104). Compton foi c"paz de explicar a componente "modilicada", Irdlando a
1.1(liH'.;ao incidenlc como unl feixe de f6tons de energia 11'1', cnda 1'6ton sendo
("pulhado elasticamcnlC POI' 'JIll l.lnico eletron, Em uma colis-no elastica. tanto 0
IIIOlncnlo t:Olno H cncrgirl devenl-se conservar e, primeiralTlcntc, devemos atri·
tl
10 flS1CA aUANIiCA
L- ~~
Fig. 1.4 0 espectro da radia~ao espalhada POI'carbone. rnosnundo It linha inalterad a em
0.7078 A a esqucrda, e a linha deslocada em 0.1314 A it direitu. A primeiru e 0 compri-
mento de onda da radia~ao pomaria.
buir urn memento ao f6ton. Par analogia com a cinernatica relativistica de pnrtf-
culas. argurnentamos que
(1·17)
o argumento C que. da relacao relativistica entre encrgia e memento
E = [(1110<')' + (pr)']'" (H8)
onde 1110 e a rnassa de repouso da particula , decorre que a velocidadc correspon-
dente a esse momento e
v=dE='p!""= pc'
<lp E (mo'c' + p'C')'12 (H9)
Para urn toron, isto e sempre igual a (' c. portanto. (I IH{lSS(l de reponso do foton
len. que ser nula. Logo. a relacao (1-18) fica
E = pc (1·20)
a qual fornece (1-17). quando 5ubstilUIITIOS £ =Ihv. Pode-se tarnbem derivar
(1-20), ccnsiderando-se a energia e 0 memento de uma onda eletrornagnetica.
mas 0 argumento de analogi a c mais Simples.
Considerernos, a seguir. urn r610n de memento initial p, incidindo sobre unl
eletron em repouso. Apos a colisflo. 0 momentO do ioton e p' e 0 eletron recua
com memento P. A conse rva~ao de momenro d. (Fig. 1.5)
p = p' + p (1.21)
11:, IIMIII S OA IISICA CI A$~ICA
I'"
III _1\ ,1\.tU de cncigia fornece
h. + mt' = h.' + (m'<' + P'r)'"
,I 'II' .1 rnit\\tt til' repouso do eletron. Portamo,
III',' I plr = (h. - h.' + mr)'
= (hv - hv')' + 2mc"(hv - hv') + tn'C'
1',1, 111111,1 lado, (1.22) pode ser reescrita sob a forma
P't'S (h. - h.')' + 2(".) (hv') (I - cos 8)
lllhic tJ e 0 angulo de espalhamento do f6ton. Assim,
"...'(1 - cos 8) = me' (v - .')
ou, equivalenremenre.
It
}.' - }.= (1 - cos 9)
OJ(
II
(1-22)
(1-23)
(1-24)
(1-25)
A, mcdidas do componente modiricada concordam muito bern COrn" previsao
.,cimH. A linha inaherada e presumivelrnentc devida ao espalhamcnto pclo atorno
COin urn redo: se subsrituirmos III pela massa do aLOmO, 0 deslocamento do com-
nruncntc de onda sen1 muito pequeno, ja que a massa clo aromo C varies milha-
F6<on
espaJhldo
F610n
Incidente
Fig. 1.5 Cinem61ica do efeito Compton.
12 flSICA OUAN IIGA
res de VCLC\ muior do que u de urn clctron. A qU.lIlIld.ull,ltlu" tl'II1thnh=n,ao de
cornprimcmo. sendo chamuda de comprimento de ond •• de Compton do eletron.
e ecu valor c
h
:;: 2.4 X 10-" em
su:
(1.26)
TambCm se efetuaram medidas de recuo do eletron e estas eSlllo de acordo com
a teoria. Alem disso, por meio de experiencias d. coincidencia com boa resolu-
~io temporal. determinou-se que 0 foton ernergente e 0 eletron em recuo apare-
cern simultaneamente. Esta fora de duvida a justeza da inrerpretacao da colisao
como sendo do lipO "bola de bilhar ", ou seja, do comportarnento corpuscular do
f610n. Como a radi.~o tambern possui propriedades ondulaterins e exibe inter-
ferencia e difrds;tio. poderiamos esperar algumas diticuldades conceituais. Elas
existem e n6s RS discutiremos no final deste capitulo.
O. J)ij'rll~iio de etetrons
Em 1923. De Broglie. guiado pel. analogi a do principio de Fermar em Otica
e do Princfpio de M'nima A~ao em Mecanica. foi levado a sugerir que a natureza
dual onda-partfcula da radia~ao deveria ter sua contrapartida em uma natureza
dual partfcula-onda da maulri a. Desse modo. as partfculas deveriam apresentar,
sob certas eireunsuincias. propriedades ondulal6rias. e De Broalie sugeriu a se-
guinte expres~Ao para 0 eomprimento de onda associada a panicula"
h
).=-
p (1·27)
onde II e a constante de Planck e p e 0 memento da partlcu la. 0 trabalho de De
Broglie atraiu IInsnde alen~iio. e rnuita genie sugeriu que ..... verilica~iio pode-
ria ser oblida. observando-se a difra~ao de etetrons.'! A ob)crva~iio experimen-
tal deste efeito ocorreu em experiencias de Davisson e Germer. que descobriram
'que. no espnlhamcnio de eletrons por uma superffcie cristalina, havia espalha-
mente preferencial no longo de certas direcoes.
A Fig. 1.6 e lima representacfio simplilicada do que acontece. No espalha-
memo de ondns por uma cstrutura peri6dica. haverti umu diferenca de fase en-
tre as ondas provenienies de "pianos" adjacentes de espalhamento. dada por
(2,"/)") 211 sen fl. Haverd interferencia construtiva sempre que esra diferenca de
rase for igual 8 2 mI. onde n e urn inteiro, iSIO ~. quando
2a sen 0
).= -
n
(1-28)
A figura de interferencia, observada no espajbamente de doiron, por Davisson e
Germer. podia ser relacionada a f6rmula acima. desde que se flzesse a assoeia-
~ao (1-27). Esta Yerifica~aoconstlrul urn passo dcci'-I\o no desenvolvimento da
Mecanica OnduI816ria.
"0 Ct.p{IU'O 1 cont~m uma dlscussio de paeoees de (looa. 1'0\ ",lIho 11rcllL(1o de De 8roctie wl'lc
como umrC$ul\ldomuiloplau,h'el.
uA hisillria da "trinell~lo (fa co!1.ieerl,lr.lde De OrQIJlC p\Kk: ~(" CIM:unltllda em Jnmmer, Tltt COI/typ,
(llalOtvtlopm,,,, or QIUJtllll1fl "1~-Irtl"lr.\'.
•
, ,,
•
•
••• I." K(!I"II'1!,cnln~lio esqeernatica da geornetria do e.spalha.mentode ererrons.
1)c,dc enl:lo. as experiencias de difra~ao de parliculas tern sido efetuadas
IItn 'l'I\C\ moleculares de hidrogenio e helio, com neucrons lentos. A difrat;ao
.1 1Il'1l1ron'!.c particularmente util no estudo da estrutura cristalina. Para se ter
Utll,1uJl'ill aproximada do lipo de energias necessariasnas experiencias de difra-
\ III ob-ervamos que os espacamentos crisralinos saO da ordem de Angstroms.
\ \ lll1,tanle de grade 08 expenencia de Davisson-Germer. on qual foi uufizado
""llIl'l. t.:1'U(I ,;;;2.15 ,\. Ponanto. A e da ordem de 10-« em. de modo que p .;:;;hlA
II.~x 10 If g.con/s. Logo. para elelrons. a energia cin6lica ~ p'/2m, = (6,6 x
III "1'/(2 x 0.9 x 10-,,) '" 2.5 x 10-1<>erg e. para neutrons. a euergia cinetica e
I"/~"'" _ (lII,Jm,J X (energia do eletron) '" (1/1840) x 2,5 x 10-" erg .. 1,3 x
IH I' erg. Em rermos da unidade mais ccnvenicnte eletron-voh. estas energias
1101". unroximndamcntc 160eV e 0,08 e V. respectivamente. .
Eln escala mncroscopica. os aspectos ondulatorios das partlculas estao alent
dll IIQ$sa habilidade de observa-las. Urna gotfcula de 0,1 rnrn de tamanho,
tlc,I ...xundo-se a 10 CfYl/S. tera urn comprtmento de onda cit' De 8roglie igual a X. ==-
h,t. x 10 "'/4 X 10-' '" 1.6 x 10-" em. Como a "tamanho" de um proton e
ccrca de 10 II em. ~ clare que nao exisre maneira aJguma pela qual as proprieda-
tic, cnculatcrias de lim objeto, cujas dimensoes sejam significalivamente maio-
1('1 que 10-" em. possum ser obscrvadas. Quante as prcpriedades corpusculares
d" rudiucao. e a pequenez de II que determina as propriedades classicas, no
vcntido de que o~ u.)peCIOSduais rornam-se aparentes somente quando 0 produto
do memento pelo comprimento e da ordem de h. Veremos que 0 formaJismo da
t..lecanica Quanlica descreve muito bern a situa~ao.
E, 0 alomo de Bohr
Experiencias eteruadas em 1908 per Geiger e Marsden sobre 0 espalha-
memo de particulas a atravcs de laminas f'inas mostraram espalhamentos expres-
sivos em grundcs angulus. totalrnente inconsistentes COll1 0 (IUe se poderia espe-
('£II" COin base no modelo de Thomson do atomo. de acordo COin 0 qual os eie-
I
I
I
14 FislCA QUAHTICA
trons esiao imersos em uma distribui~ao continua de carga positiva. Rutherford
propos urn novo modele, que levava em consideruciio os dados experimentais:
(ada a carga positiva e essencialmente roda a massa do 310mo esiariam concen-
tradas em uma regiac pequena , quando comparada com as dimensoes do atomo,
isto e, no micleo do atomo. Os etetrons, atraidos para 0 nucleo por uma forca
I/r:!, rnover-se-iam em orbitas planetarias ao seu red or. Embora 0 modelo expli-
casse quantitativamente 0 espaJhamento de particulas It. ele enfrentava duas di-
ficuldades insuperaveis, Como 0 modele implicava que os eletrons efetuassem
um movimento periodico, ele nao podia explicar os especiros de radiacao dos
atomos, os quais nac possui'am a estrurura harmonica esperada (cf. uma corda
vibrante), mas tinham, em vez ·disso. a seguinte estrutura
(1.29)
onde III e II, cram inteiros. Tarnbemlhe faltava um mecanisme para a estabilizacao
dos atornos: urn eletron em uma 6rbita circular ou eluica esta-se acelerando con-
tinuamente e. de acordo com a reoria eletrornagnetica. deveria estar irradiante.
A perda constante de energia deveria. dentro de urn tempo rnuito curto (da
ordem de 10-'05). levar ao colapso do alomO. com os eletrons mergulhando no
ruicleo.
Apenas dois anos ap6s este modelo IeI' sido propostc. Niels Bohr. em 1913.
PI'OPOSuma serie de postulados. os quais. rompendo categoricamente com a teo-
ria classica, explicavam a estrutura espectral e evitavam 0 problema da estabili-
dade. Bohr prop6s que:
J. Os eletrons se deslocam em orbiras selecionadas pela exigencia de que 0 rno-
mente angular seja urn multiple imeiro de ",2.". isto e. para orbitas circulares
de raio f. a velocidade v do eletron tern que ser dada pOI'
fllvr s
/lit
2,.
(HO)
e que, alem disso. os eletrons nessas orbitas na~ irradiam. apesar de sua
aceleracao. Dizia-se que eles estavarn em estados estacionarios.
2. Os eletrons podem efetuar transicoes descontinuas de uma orbita permitida
para outra e a variacao de- energia. E - E'. aparecera como radiacao de Ire-
quencia
v=
E - E'
It (1·31 )
Urn atorno pode absorver radiacao por meio da lrdnsi~ao dos seus etcrrons
para uma 6rbila de energia mais alta.
,;
As consequencias destes postulados sao deduzidas multo facilmente para
atomos-de ..um..eletron como 0 hidrogenio. 0 helio uma vel. ionizado. e assim pOI'
diante, desde que tratemos com orbitas circulares.!" Sc a carga nuclear e 7 (f c II
!.SAo se permlnrem 6rbit:ls elflieas. ~u'1;e omn eSlnllUI'fi rnuito m.,ilIllC,l. 111.1(1~('111dt~\ 111111,1fin (~1'11111I1.\
12.
OS UMIlES OAIiSlCA CLAssICA 15
" II ~ • e '7C: 0 raio da 6rbita e r, entao (omando a Massa nuclear como
('"II.ib.tl'l~amo5 a f~a Coulombiana com a ro~a centrffuga
r' , (1-32)-=-
1IIIIIIILUIu com (1·30), conduz a
(1-33)
1 n'''',=---4rutm (1-34)
1,1 i I
(1-35)
rrl" Jl<"lulado (2)_ leva imediatamente II forma g.ra1 (1-29) (Fig. 1.7).
"II ~de caleular estas quantidades. de modo a eeter uma ideia da sua
"I. ttl.ul4.lcLa.inlroduziremos uma nota~io que sera rnuito util. Em pri-
1",,",lt. e II/2Tr. em Ve2 de h. 0 que aparece na maioria das rormulas de
tM. I ()ui'nlica. Definirnos. pois,
h,. = - = 1,0545 X 10" erg.s _
2 ..
(1-36)
Itl I,,~,"h'l"irnplcs as expressoes de energia, empregarernos a rrequencia angu-
I I • Iitl vel de II, onde
(1-37)
"" (I II) flcn
E - E'",=---
h
(1-38)
I ,.1 I1I1("nlc.O quantum de radia~ao transporta energia
E = "'" (1-39)
",\ I mente ,",rodul.ir 0 "comprimerno de onda reduzido"
h c,,=-=-
2.. Co)
(1-40)
(1-41)
-13,6ev
16 FislCA QUANTICA
1=0 I-I 1=2
f • 0 f---_:__.::.---'---''-------'c..::...-'------
fis:, 1.7 E.spectro do ~itomo de hidrogenio derivado do modele atomico de 'Bohr. A cxis-
tencia dos mimercs quanticos I emerge de urna discussao de 6rbitas elftlcas. AS linh:-I"
ligandc os nlveis de energia representam as tr3n.si~6c-salomic;8S dominantes.
-0.85 eV
-1.51 eV
-3,4 eV
.............
A condiyao de quanriz ..,ac;aodo rnomemo angular" de 130hr fica
mvr = llfi (II = 1,2. 3, ... )
E tambem multo conveniente introduzir a "constame de estnuura flna' udimcn ..
sional
a qua] aproximarernos por 1/137 .. Em termos destas quantidades, encontrumnv a...
expressoes muiro mais simples
l
II
e'"'=-=~( 137.0388
r= n'" "
7.(r lilt
(1.42)
(1·'13)
(I. II)
c 1/
OS lIMITtS DA FlSICA ClASSlCA
(Za)'E=-~mr-.-
n°
(1-45)
\ C que 0 raio, que tem dimensao de comprimento. estd escrito em termos
Ir. 0 comprimento de ooda reduzido de Compton. e que a energia esta
th. till termos de ",ct, Em todos os calculos atomicos. expressaremos nossos
IIInln.. em rerrnos de 1I1e:2, IJlllu:. A/nrc2 e nrc para energia, comprimento.
I c momento. respectivamente. 0 momento angulnr aparecera sempre
• 11111lliplode h.
( illculemos. u seguir. algumas das quantidades que decorrem da teoria de
• • (',,'cu'amos
IN~t~O,Sl x ro- ev
~ 0.51 MeV
"- :::: 3.9 x 10-11 emnJ(
Ii
-!:::! 1.3 x IQ--'!' snu'- (1-40)
"'11 roio da orbi.a mais baixa (II e I) de Bohr e
137" 0,53 •
(1.= --- = - A
Z me Z (1.47)
eilla CIICl'giH de ligac;uo do etctron na orbita mais baixa de Bohr. ou sejn. a
It 1"1., l1~cc"llria para coloca-lo em urn esrado com £ = 0 tcorrespondendo a II
I,
F. = lINe' (Za)' = 13.6Z'tV (1·48)
" un l'lH cvcmplo, uma transiciio do estado II 1 para 0 e)lado" = 2 no
I h_.~. IIU"/ I, corresponde a uma variacao de energia de 13.6 (I - 1/..) ev =
I" r\ \ trequencia da radia~ao emitida pode ser cnleulada. convertendo-se
i It, "~" 1'1101'. porcm c mais conveniente desenvolver iste na forma
'"
IRe',,'(1 -!) 30' I
- = ---- rod/s
2ft 8 1.3 x 10-"
~ 1,5 x 10" md/s
c 16.- ~>-=2 .. -=
w 3at me
~ 1200 A
'I'" III I fin 11111.,'11,11'1.1
17
I ~
18 FISICA auANTICA
o sucesso da ieoria de Bohr com illomos hidrogcnoides deu grande Impeto ,I
que se efetuasse pcsquisa adicionat sobre 0 "alOmO de Bohr". Apesar de alguns
sucessos extraordinarios. conseguidos por Bohr" e ouiros. estava clare que it
teoria era provisoria, ja que. por um lado, ela "ada dizia sobre quando cs ele-
trons efetuariam os seus saltos. e. POl'ourro lado, a regra de quantizaciio 56 dizia
respeiro a sistemas pcri6dicos: umu proposi~ao mais geral. de Sommerfeld e
Wilson.
!Pdq~JI"
""'.".fe(blKlo(1·49)
ondc p C 0 momen to associado a coord enada q, ern nada ajudava no tratamenlO
de problemas que na.oestivessem associados aos nfveis atomicos do hidrogenio,
Da teoria de Bohr decorreu:
I. 0 principio de correspondsncio, 0 qual afirma. cssenciajmeme. que os resul-
tados da Fisica Classica devern esiar contidos como cases lirnites de resulta-
dos quaniicos. 0 limite deve ser alcancado. quando os "ruimeros qufinticos"
sao grandes. como por exemplo. para II grande no aiomo de Bohr. Uma vez
construfda uma teoria consistcntc dos tenomenos quanticos. eta aurornarica-
mente continha a Flsica Classica COmO limite. mas 0 principle foi muito util,
servindo de guia para conjecturas teoricas. Assim. foi esse principio que
levou He-isenbe-rgao ponto de onde ele pOde efetuar seu salto gigantesco para
a Mccanica Quanuca. Pard ilustrar COmo 0 principio de correspondencia C
satisfeito pelo modelo atornico de Bohr. considere a frequencia da radia~iio
emitida, quando urn eletron da urn "pulo" da orbita com numero quantico IJ
+ l para a Ol'bila com n11mero quantico If. quando II e muito grande. Este e
11111 born dominio para se perguntar pelo limite classico, ja que 0 memento
angular 11ft e. de-faro. muiro maier do que II. Ctassicamenre. seria de se espe-
rar que urn eletron, movendo-se em uma orbits circular com velocidadc r,
radiasse com a me sma frequencia de seu movimenro. iSIOe.
v Za' Zamc
n 2~11'!1i
(Z",)'mc' _1_
G (1·50))If'l =
2Kr
POI' ourro lado, a frequencia da rndia~fio associada a transicao e. segundo a
Sq. (1·31).
W 1/11(2 [1v = - = - .__ (Za)' --
211'" 27f'1i 2 II' (11 +1 I)' ] (1·51)
que tende para Vet quando If» I. Note que esre resultado e expressivo.ja que c
apenas a Ircqudncia associsda a uma iransicao " + 1_'11, que corresponde :"
freqiiencia classica fundamental. A radiayao associada <10pulo IJ + 2 ~ 11 nno
possui contrapartida classics. mcsmo no limite de II grande. Veremos, no
UVejtl S. R01.cnUlI (ed.). Niels Bohr, North Holland Publhhin". Ant"tcrdlltll. ,';1\1
US IIMIII S OA flSICA CLASSICA
.11111" " '111\', 1'.\1., "olhit~,., circularcs". rule existent tran'i~oc~" .. 2 ~", 'I., 1111\•• ()Ullllilca.'~
1" 11111,"\UO dtl memento angular valia. tambem. em outras situacees. A
••,lh,I,.IU.1 t)rbil:t\ cliticas forneceu um quadro rnais complete do espec-
lit IIIIIIIU\ hldu.gcn6idc\ c foi diretamente observada nas experiencias de
III I (ll'lI.u.:hl• em 1922.
t I' I" "hl('1II1I onda-partfcula
" filII ,1\' que II rndia~ao exibe tanto propriedadcs ondulat6rias como cor-
,I Ut ~1I...cila umn profunda dificuldade conceitual, como pode set visto das
fhth .. l t In"ldcl'a~6cs:
IIU"'HI dl\cus\iio do efeiio fotoeletrico, em particular a correla~ao do rnl-
til III ~h' clerrons cmiddos corn a intensidade da radia~ao, sugere forte mente
III •• 1 uucn-idndc da radia~ao eletrcmagnetica e proporcional no mimero de
',_h"h t'Ulllido, pela fontc. Consideremos um Gedankenexperiment, 11no qual
, II '\!It' ~I".~Udifratada por urn sistema de duas fendas. lmagincmos que a
11I11'1l'lllllldctit, rente seia reduzida ao ponte ondc, em rnedin, alinja 0 anteparo
u,n , .. Iun por hera. Note-se que temos que tratar com r6tons inteiros: como 0
, lit' ('(Hnpton e tambern 0 efeito fotoeletrico mosiram, n50 ~ posslvel
f "'-" um foton ern partes de freqiiencia (lie encrgia Menor que "6). 0 de-
l ,,1I11U de intensldade da radia~ao incidente nao deveria atetar a figum clas-
1 •• k dlfra~iio, ja que, na realidade, estamcs apenas estieando a eseala de
I 111,14111.:, qual ocorre 8 transmissao da fonte para a placa fOlognUica de um
ii' Iflltr numero de f6tons, FOlons que atingcm a placa, separados por uma
hlll.t lluralnente nHo podem estar correlacionados e podemos, portanto, con-
lilt 1.11 evte processo como sendo de um foton de cada VCL. Cada urn dos
1IfI'I"', como qualquer oetra partlcula. presumivelmerue atravessara uma au
..till., tcnda. Como podemos incorporar a aparelhagem do nosso Gedanke-
"' 'P"11111C'H urn pequeno monitor que nos diga se 0 f6ton airavessou a Ienda
I Uti U fenda "2", podemos separar os futons em duns classes, associadas
.1, dUll' I'cndRs, Para a primcira classe, poderiamos tcr fechado a fenda 2, ja
'Illt' n r610n IlHO n aCl'flVeSSOU,enquanto que para a segunda classe, pooerfa-
1111", ter iechado a fenda I. Poderiarnos, pois. cspcrar que a figure sobre a
• h"llil fotogmlica fosse a rnesma, caso repetlssemos a expericncia com uma
.It, t,,·lllI.ts fechadas par rnetade do tempo e a outra fechada pela octra metade
dll h'lIlpo. Todavia, isro MO pode ser assim, pois a segundo. experiencia nao
III'nece uma figura de interferencia, Existe aqui, portanto. uma inconsisten-
", r . ,I qual t de vida II suposicao de que a presen~a do monitor, que nos diz
'Iliul d.i' duas fendas 0 foton atravessou, nao afela a nossa experieneia,
I., tl.I'I~Oc~ pocI.tm ocorru para Orbitu dfticas (nio consrderacbs aqu.'). ,~ado liJO COMlilcfltt
If'! n rnlll.:jpo de COfTt1~lnci ••
It ... "\\\ll'It(b .110 dJfo(:lltido$ tm qualqucr tuto de Fisica Modt'fna (\'eja Rdc.rfndu no tim des:te
'"t lIulul
r, • .I.III1.N'('llt(lmrlll 6 um(, e.pui~ncia que pode ser imaginooa, au scPo que f con,IIte-nle com as lei_
".,t ...dd.,~ dll F(\lca, IYlCSmoque nio seja lec-nicamtlllt factf ...el. Auitn, a m~didlll eta .eeletil~J() da
,"'hIIWIt" til' IIUI'CI11CI0do Sol t um Gedankenexperimenl. enquanl0 que. rnef.llda du desl~amcnto
"'I'I,IN \1•• 1111",!oJI", obllervada de-lima nave espacial. desJocando-sc com llma velocldade dU85 VCl.CS
111'tril" II Ill' lIu. nllo (07 ~entido, Vcremos, no Capftulo 2, quio cuidado50 &0deve sel' em Insi$lir c'rQ
; I!tI"d~,~1I1 tom all Id'l da FfdC1l, no estabekcer urn CecJankelltll:perimenl,
19
20 FlslCA auANTICA
Quando discutirmos 0 principio de ;ncerte:a de Heisenberg; veremos que a
a~o do monitor destroi a figura de interferencia, de modo que deixa de exis-
tir inconsistencia. Por ora. basta salientar que. quando nao existe monitor.
cada foton arua como uma onda, nao fazendo sentido algum perguntar qual
das duas fendas 0 foton atravessou. Presurnivelmente. podemos ainda falar de
intensidade media de radiacao em cada fenda. devendo isto significar que. no
caso de fotons individuals, podemos faJar apenas da probabilidade dele atra-
vessar uma ou outra fenda.
2. A no~aode probabilidade deve ser novarnente invocada ao se tentar ernender
a passagem de radiacao polarizada atraves de urn analisador. Como e hem
conhecido, um feixe de radiacao de intcnsidade I I) sera atenuado para 1(I CO;:.:'
cr, onde exe o angulo entre 0 eixo do polarizador eo do analisador. Em rermo v
de fotons individuals, que sao indivisiveis. uma tal atenaacac so pode ser
explicada se afinnarmos que um dado f6ton ou atravcssara 0 sistema ou sera
por ele bJoqueado, com urna probabilidade de transmissao deterrninada pela
construcao da aparelhagem, ou seja, pelo "ngulo a.
3. Do mesmo modo, considerernos a radiacao provenienie de urna estrela dis-
tante a qual e fonte de urna onda esferica de excitacao de campo eletrornagne-
tico, expandindo-se com velocidade c. Em termos de fotons individuals. nao
faz sentido pensar em cada foton como distribuido rarefeitamente sobre urna
esfera de raio CI (onde leo tempo transcorrido dcsde a emissao do foton). ja
que 0 colapso desse f6ton em urn unico ponro sobre a chapa fotografica ou
sobre a retina do olho violaria 0 born senso. se estivesse "realmente" ocor-
rendo, Podemos, contudo, interpretar a distribuicac esferica como nos ferne-
cendo a probabilidade de encontrar urn (olon em um dado angulo solido.
4. Per vezes, e passive! interpretar uma dada experieocia tanto em linguagem
corpuscular como em ondulatoria. mas. nesse case. um aspecto nao-classicc
insinua ..se em outra parte. Dicke e Winke!" propuseram 0 seguinie Gedanken-
experiment (Fig. 1.8). Consideremos urna gaiola de passarinhos cilindrica.
com as bases regularmente espacadas por intervalos dados por
R
4 = 2r--
N
onde Reo raio do cilindro e N C 0 numere de barras. Considcrernos a radia-
~ao emitida por uma fonte colocada sobre 0 eixo do cilindro.As bases atuam
como uma rede de difra~'o. Se 0 feixe emerge em um angulo H com a dire,ao
original, temos intensidade maxima quando 0 angulo e 0 cornprimento de
onda estao relacionados por
asen8= 1/). (n :: I) 2, 3, .. .)
ou seja,
~~r.A
2,.R sen 8 -~ j"" ~
).= (1·~2)Nil
UlR. U, I)jc:kc: Ie J. P. Winke.lntrl}(/Uf"/km It) Qunllfllrn .~'f'(·}f(llIIll.Alld,,,,n WC"\lcr. KClldu'i. M!I"'\.
1960.
OS LlMITES DA flSICA CLASSICA,,
I,
'SI
21
he •• Ho\\Cda "caiola" de Dicke-Wittke, mostrando barras igualmcnte eSp3'radas. e as
Ihl.,II"\ geomltrieas a elas relacionadas. c j~
['~
••"ll.lIno\. rambem. interpretar 0 pico de inrensidade supondo que as partfcu-
1 ,,,<,,em sido espalhadas. de um §ngulo 8, pelas barras da gaiola, 0 mo-
tI, IIh' cfilnliferido para a gaiola e p sen 8, de modo que 0 momento angular
t I .n,I\.lrtdo parn a gaiola e
L = pRsen8
IIHt11l1lu,emao, a associacao de De Broglie, p - 2fr"/)', obtcmos
2~fiN"
L e . R sen 8 = Nnli .J. (I·H)2.. R sen 8 J'" ._ ~,-:» ~;(!'--fJ _ (o.() ....."..:::...:.:::t .....
, ",' o momento angular esta quantizado! 0 fator N esta associado 30 faro
I. Illlr .• ",,,ioln cern a mesma aparencia, quando girada de urn anguJo 21T/N.
Pltht IIl.".i claro mais tarde.
(1·53)
I III II"~. reve inCcioa moderna leona da ~1ecanic.a Quiintica. com 0 traba-
.1. II. '''·lIher8. Oorn. Jordan. ScbtOdinger e Dirac. Esta reoria foroece uma
'I II , ,I~ reconciliar todos os conceitos conflitantes. ao pre90 de nos fazer
1111,11111 muhu coisa do racicclnio classico. Uma das ategrias de ser esru-
"I II, I j'I\,: ,I consiste na condicao de se apreciar 8 beleza desta teoria e OS
11111111IIIIU' aVUI1t:;o!'lque ela nos permite fazer em nossa compreensilo das pro-t. ,Lht, ,1.1 I1IU1CI'111,
I t'1I1\'t'lI H:hu;1ii.l(I-I) entre a densidade de energia em urna cavidade e a
"" 111\III t'''PI'l'ltllt. ISU,Il(·,flIIO. Para isso. olhe para a figurn. 0 elemento de
hH'h 1IIIIhh'!ldu e d:r ..lu por (IV ,.1 II,. sen 0 tlO tic!>. onde r e u dislancia ::l
iII
I
22 FiSICA QUANTlCA
f)
I
I
I
I
I
I
I
I
/ lilT
I
I
/
I
I
9/
I
origem (no orificio de area ciA). {J e 0 angulo com a vertical e <b 6 0 an!,,'Ulo
azimutal em torno do eixo perpendicular ao orificio. A energia contida no ele-
mento de volume e dll multiplicado pela densidade de energia. A radiacao e
isotropica. de modo que 0 que emerge e dado pelo angulo solido tfA cos 11/4 iTt'!
multiplicado pela energia. Este valor deve ser integrado sobre os angulos (J e r.b e.
se se deseja 0 fluxo de radiacao no tempo 61. sobre dr. de 0 ate ('6; - a distan-
cia da qual a radiacfio escapara no intervalo de tempo dado. I
2. Usc \1·1) e (1,2) para obter uma formula para a taxa total de radiacao POI'
unidade de area de urn corpo negro. Suponha que 0 Sol irradie como urn corpo
negro. Sao-the dados 0 raio do Sol. R0 = 7 x 10'· em. a distancia media do Sol 11
Terra. (/0 = 1.5 X lOISem e a constance solar. a quamidadc de cnergia que
inc ide sobre a Terra. quando 0 Sol esta a pino, 1.4 x I(YIergsfcm-s. Use esras
informacoes para estimar a temperatura superficial do Sol.
3. Dada a Eq. (1·9), calcule a densidadc de cncrgia em urn intervalo 'de
comprimemo de onda dl\. Use a Sua cxprcssao para calcular 0 valor l\ ;;; AII!(u"
para 0 qual essa densidadc c maxima. Mestre que ANltI<X e da forma bIT. calcule b
e use a sua cstimativa da temperatura superficial do Sol para calcular Al.llfl..l'para
a r.ldia~ao solar. (Sugestiio. Para calcular b. voce necessitara da solucao .\' da
equacao (5 - x) = 5e-.:r. Resolva csta cqua~10 graficamente ou por urn metodo
de aproximacoes sucessivas, no qual voce comeca por escreverr = 5 - E, con,
e «I.)
4. Quanta energia solar e- irradiada no intervale de comprimentos de onda
4.000 A - 7.000 A ? Use 0 T estimado no Problema I. Faca um grafico (I"
densidade de energia em papel quadriculado para obter 0 resultado numerico.
5. Existe evidencia experimental de- que. o Universe contenha radiacao de
corpo negro. correspondendo a ulna temperatura de equilfbrio de 3(1K. Calcule a
energia de urn Ioton, cujo comprimento de onda seja AU!(J:;t'. correspondente a esi«
temperatura. .
6. Luz ulrravioleta de comprirnento de onda 3.500 A incide sobrc uma su-
perflcie de potassic. A energia maxima do fotoeletron e de 1,6 e v . Qual C H
fun,ao trabalho do potassic
7 ° A energia maxima de fotocletrons do aluminio e de 2.3 eV para radiucno
de 2.000 A e de 0.90 eV para ruc.Jia~:aode 3.130 A. USC CSIC''>,Illdos para cnlcul. n
OS LlMITES DA FISICA ClASSICA
111(" de Planck e a run~;io trabalho do aJuminio.
I 111 h,ton de 100 Mev colide com um proton que cliota em repoeso. Qual e
,II energiD mu.xima po~.sfvcl para 0 f6ron?
I '" (oton de 100 keY colide com urn eletron em repouso, sendo espa-
'»cr' Qtntl e a sua energia apOs a colisao? Qual e a energla cinetica em
, IfIUl up6.., a colisfio e qual e a sua di~ao de recuo?
I In etetron Com energia de 100 MeV colide com urn f610n de cornpri-
I onda de 3 x 10' " (correspondentc a radia~iio de corpo negro univer-
..&1t' a pcrda Ilulxi rna de energia sofrida pelo eletron?
11m rcixc de raios X e espalhado por eletrons em repouso. Qual c •
d'I" ruios X, se 0 ccmprimcnro de onda dos raios X espatnados de 600.
I"" uu cixo do feixe, c de 0,035 .A.?
'lin nncteo de nitrogenio (massa =- J4 x massa do proton) emite um
C' rnergia 6,2 t\1eV. Se 0 mlcleo eSh~inicialmente ern repouso. qual e a
'NI,I de recuo em eV?
()uIII ~ 0 comprimento de onda de De Broglie de (a) um eletron de I eV,
r',uun de 10 MeV, (c) urn eletron de 100 MeV? tcuidadot use a lormula
1.... I'lh.~ lIa cnergia). (d) urn neutron terrnico? (definido como urn neutron
'I'" cineuca ~ igual a JS, T/2. com T - 300'KI.
c onvidere um cristal Com cspacamento intcrplanar de 3.~ A, Que ordem......... ,.1 lie energia~ seriam necessarias para (al elelrlln~. (I\l miclcos de hcJio
I I( ma~~n do proton). de modo a se observarem au! 3 maximos de
I•• '""l lo.·!
\ menor )epara~ao que pode ser resolvidu pur u m nlicro~copio e da
I. )H.HUJC7.3 do comprimento de onda utilizadc. Quai» serium as cnergias
I,,,,,, nccc,;uria. para resolver separacoes de (a) 150 A, (b) 5 A. em urn
'1llIn elctrenico?
I~ \,. ,c ",pOe que em urn estado estacionario do AIOmo de hidrogenio 0
II , '~IU'III em lima orbua circular com um nurnero intciro de ccmprimento
till I Il'ld~1I1":o.Crcproduzir os resultados da teoria de Bohr. Dcscnvolva isto.
I 1)1It."·'H': medii' a distancia entre pianos adjacenlcs de urn cristul. Se raios
I I H'UI'IUllCnro de onda igual a 0.5 A sao detecrados em urn ungulo de S°,
, -,t· t,"llulfunlenlo? Em que angulo OCOITera 0 segundo l'nl1xinlo"!
I" I ",,' iI\ regras de quantizacao de Bohr para calcular os nlveis de energia
III" 1II,ItlUIharmonico. para 0 qual a energia e p'/'bu + luw'trl/2. ou seja, a
",., I{,,"rinja'se a 6rbilas circulares. Qual C 0 analogo da f6rmula de
•• \In,uc: que 0 principio de correspondencia e satisfeito para todos os
.1" numero quantico n, empregado oa quanljza~ao do memento angular.
I" I , ••, fcgra~ de quantiza~ao de Bohr pard calcular 0) estados de ener-
urn 1'"ll'nl'ial dado por
V(r) = v. (: Y
'"lIllp tlllUldc. Esboce a forma do potencial e mostre que 0:, valores da
II ,III ,hull., Il,lIUxilHuoarnCntc por E. ~ e"I,
It '1""hlll!. la, islO C, a cnergia irradiada pOr uma cnrgtt ttcclel'ada f. e
I hllt",j, !IU"'lIh', !lela 14.~nlllllil
2 e'fJ _ a'! CI·g/ ...
\ ('
23
24 ,fSICA OUANTICA
onde {I e a aceleracao. Em uma 6rbita circular, a = v'lr. Calcule a potencia
irradiada par um eletrcn em uma 6rbila de Bohr. caracterizada pelo mirnero
quantico If. Quando" e muito grande, is~o deveria concordat com urn resultado
quantico adequado, de acordo com 0 Princfpio de Correspondencia.
21. Pode-se delinir a constanre de desinlegra~o de um eletron em uma or-
bita como a poteneia irradiada. P. dividida pcla energia emitida no decaimento.
Use a expressao da teoria de Bohr para a energia irradiada e a expressao deP do
problema 20 para calcular 0 valor de "correspondencia" da constante de desin-
tegra~ao. quando 0 elelron r.~ uma lransi~1ioda 6rt>ila n para a Orbila n - I.
Qual e 0 valor da constante de desinleara~ao. quando n - 21 (lsto nao concor-
dara exatamente com 0 verdadeiro resullado da teoria qulintica. _;a que 0 Principio
de Correspondencia MO vale'" para tais valores. lao pequenos, do mimero quan-
tico). Qual c a constante de desinlegra~iio. quando a lransi~ao e de uma 6rt>ila II
para uma 6rbila n - m't Qual e a vida media - (constante de desintegrac;ao)-'?
~ A energia elusita de um rotor plano e dada por
E - L'/21
onde Leo memento angular e To momento de inercia. Aplique as regras de
quantiza~ao de Bohr para obier os nlveis de energia do rotor. Supondo que. para
a radin~ao associada a tran.si~Oe~de estados IJ I para estados n". valha a c.ondi~ao
de Bohr pard a rroquencia. mostre que (aJ 0 Principio de Corrcspondencia e va-
lido. e que (b) essa condi~ao implica que apcnas devem OCOrTer cransi~oes com
Ill, = ~ I.
23. As molecules, por votes. componam-se como 1'010r_s.Se espectros ro-
tacionais sfio caracterizados por rndia~Oo de comprimento de onda da ordem de
10' A. e se isro e usndo para estimnr disuincias interatcrnicas em urna molecula
como H,. que especie de scpura96es (em A) se Obltm?
F. K. RICHTMYER. E. H. KENNARD. and J. N. COOI'ER.llllrodliclion 10 Modem
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0$ primeiros cinco li.,ros dc:Sta hua cobrt.m, com "ari~, de nilo"cle de eruase. os prif'l('i~
pai$ 16picos de um cutSO padrio de Fisic:a ~"odema de modo que tados eles devem ser
(onsu](ados em um tra.uunenlO n10 dcmlbi.adamcntc te6ric:o do as.5Unto. 0 livro de \\ltch
mann fornece uma inlrodu~aonAocony-enc~naJda Teori. Quintica. enfatizando todo~ 0'
pootos importan1C:5. c:obrindo uma eX1ensa gama de aplic:.a~Oes quatitativas e propOl'eJU
nando uma nova penpc.<:1iva ao kitor que: ji POSSUI.algum conhecimento do assunto, A,
F,,"mon ut:turrs nio podcm ser cataclcrizadas de qualquer modo simples. Ela_, '\;\0 bl1
lhantes c dcvem kl' lid ...., POI' lodo'll os c~lud"nles de ,r.k!u.t\.tO c p6-s-gradua(Ao. 0, rt"
fes..."O().f'r'jjli $3~m dl ..\O c lecm·nlJ\ h"'~'finlc.
",It "II'S de Onda e as Relacoes de
I II, rr ('t.a
" MI vuuicu Quantica fornece-nos a cornpreensao de todos os fenomenos
IIlhlll~ 1111 Capitulo l , sendo indispensavel na descricao de atomos, molecu-
IIIIi II II~ Illomicos e de seus aglomerados. lniciaremos 0 estudo da Mecanica
IIlh II 1I1111vesda equacao de Schrodinger e da interpretacao apropriada de
11111\IH'~. I Nao existe maneira alguma de derivar essa equacao, a partir da
II ( 11I~~ica.ja que ela se encontra fora do domini a dessa Fisica. Ela pode
_ ~~'I sugcrida, que foi 0 que Schrodinger fez, seguindo os criterios de De
1IIIIIh A411i desenvolvemos a motivacao de modo urn pouco diferente , ten-
I 111111VI'I cornc e que se poderia tentar reconciliar as propriedades ondulatorias
"""I~I'lIlarcs dos eletrons,
I 1IIIIcii conceber configuracoes de partfculas que, de alguma rnaneira, sirnu-
"' 1llIlIport'amento ondulat6rio, e e por isso que as experiencias de difracao de
II ~II'" \' tic Young levaram 11 aceitacao unanirne da teoria ondulatoria da luz.
111111111111lado, e possivel imaginar configuracoes extrernarnente localizadas de
Itlltlll~ (II estampido do trovao e um exemplo de uma superposicao de ondas que
IlIlIIhl/('1I1 a LIm efeito localizado no tempo). Tais "pacotes de ondas" localiza-
1111!,tllkm ser conseguidos pela superposieao, de maneira especial, de ondas de
Illfl 1I'II1es trequencias, de modo que elas interfiram destrutivamente, de uma
111111111quase cornpleta, fora de uma certa regiao espacial. 0 ferrarnental tecnico
1""11 I'l)lIseguir isto envolve integrais de Fourier, e 0 Apendice A fornece um
II ~IIII1I1ItOleitor ja familiarizado com as series de Fourier e que nao faca questao
lit I illOI maternatico. .
('omo um exemplo, consideremos a funcao definida por
f(x) == t.dk g(k) eib; (2·1)
~ plII'le real de/ex) e dada por !!'..dk gtk] cos kx . que e uma superposicao linear
III' ondas de comprimento de onda A = 27T/k, ja que, para urn dado k, a onda se
11'1"oduz quando x muda para x + 27T/k. Escolhamos
(2.2)
'11111 desenvolvimento diferente pode ser encontrado em R. P. Feynrnan, R. B. Leighton e M. Sands,
1/". Frynman Lectures on Physics, Vol. III, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1964.
26 IlmVA UUAN II(:A
A integral pode ser calculada: com k' = k /\1" 10I1H)~
I(x) =J: dk g(k) i(k-'," ,ik"
onde, na Ultima passagem, completamos um quadrado perfeito. Justifica-se p(lI
k' - (ix/2ex) ,,;, q e continuar a manter a integral ao longo do eixo real.' Usando
~
-
co 2 1TL dk,~' = ~ (2·3)
obtemos
j(x) = ~~ i~',-("'4«1 (2·4)
o fator eikoX e conhecido como um "fator de fase", ji que ~ikoXl2 = 1. Logo, 0
modulo quadrado def(x) e
1T 2If(x) 12 = - e-X n«
ex
(2·5)
Esta fun~ao apresenta um pico, que pode ser muito pronunciado quando se esco-
Ihe ex pequeno. Ela representa uma funyao localizada em x = 0, com uma largura
da ordem de 2V2i, ja que, quando x = ± "1/2(1,a fun~ao cai a lIe de seu valor
maximo. A largura, no espaco dos r, esta relacionada com a largura no espaco
dos k, 0 quadrado de g(k) sendo uma fun~ao com maximo em ko, com largura
2/V'fci Tem-se aqui a seguinte reciprocidade: uma fun~ao fortemente localizada
em x e larga em k e vice-ver.sa, de modo que 0 produto das duas "larguras" e
2 > /-t:.k bx I'J > /- • 2v 2ex = 4
v 2ex
(2-6)
o valor da constante numerica nao interessa; 0 que importa e que ela e indepen-
dente de iex. Isto e uma propriedade geral de fun~6es que sao transformadas de
Fourier umas das outras (Fig. 2.1), e pode ser representada pela formula
t:.x 6k ~ 0(1) (2-7)
20 leitor familiarizado com a leoria das variaveis complexas nao (era problema em se convencer disso.
PACOTES DE ONDA E AS RELACOES DE INCERTEZA 27
_ ~ _.. sao as "Iarguras" das duas distribuicoes, e 0(1) quer dizer que isto
--:~ que pode depender das funcoes com que estamos 'tratando, mas
_"""':;;:ativamente menor do que 1. E impossivel fazer Ax e 6k pequenos,
-.:... ;:roprieoade geraJ de pacotes de onda, mas que, como veremos em
,..,._ ~gumas profundas implicacoes em Mecanica Quantica.
:=.~ 2-1), consideramos uma funyaofl'x), constituida por uma superposi-
-==---_....:"' de ondas simples eikr. Como e que urn tal pacote de ondas se
--~_" ;;0 tempo? A resposta depende de como cada uma das ondas se pro-
g(k)
k
a 0 a- 2 '2
(a}
[tx)
(b)
I: :.1 Relacao entre pacote de ondas e sua transformada de Fourier.
___ Em geraJ, usaremos para a onda plana (assim chamada porque varia espa-
ziente apenas em x, mas nao em y ou z) a forma
(2-8)
.~ w = 2rrv e a freqiiencia angular. A quantidade k esta relacionada com 0
-:primento de onda por k = 27T/t.., de modo que podemos escrever a onda
-~1a sob outra forma
28 FfslCA QUANTICA
e2ri[(%/>,)-vtj
Se estamos considerando a propagacao de uma onda de luz no vacuo, existe uma
relacao simples entre v e 1/>..,a saber, v == cl>.., de modo que a onda plana fica
Tomando a superposicao, com amplitude g(k) destas ondas planas, obtemos, no
instante t, .
I(x, t) = f.;dk g(k) eik(z-ct) = I(x - ct) (2-10)
que tern a mesma forma com que cornecamos, exceto que, em vez de estar loca-
lizada em x == 0, esta agora localizada em x - ct == O. Portanto, urn pacote de
ondas de luz propaga-se sem distorciio a velocidade c, a velocidade da luz. En-
tretanto, estamos interessados em ondas que, se supoe, descrevam partfculas, e
nao podemos, assim,exigir que w == kc. De fato, em geral, w sera funcao de k,
de modo que
I(x,t) = f.dk g(k) eik:t-u.:(k)t (2-11)
Por ora, nao sabemos qual seja a forma de «[k), mas tentaremos deterrnina-la a
partir da exigencia de quef(x, t) se assemelhe a uma particula classica em movi-
mento livre.
Consideremos urn pacote de ondas fortemente localizado no espaco k, em
tome do valor ko, 0 que corresponderia a uma escolha do tipo (2-2), com a
grande. E verdade que isto nfio representa 'uma f(x) fortemente localizada no
espaco x, mas 0 nosso calculo sera mais facil e, afinaJ, estarnos ainda tentando
fazer suposicoes inteligentes. Como a integral da Eq. (2-10 esta centrada a volta
de k == ko, expandimos c4.k) em torno de ko e consideramos que c4.k) nfio 6 uma
funcao variando rapidamente com k. Assim, escrevemos
(dw) 1 .(d2w)w(k) ~ w(ko) + (k - ko) ---;tk k. + 2 (k - ko)- ak2 k. (2-12)
Usando a forma (2-2) e escrevendo k - ko == k', obtemos
f r •• " .! 2 .'{ II(x,t) = eik.% e-;.,(k.H dk' e-a.k e-t(k /2)[(t.-.,/dk )J.t e,k %-(dw/dk)J.t (2-13)
Exceto pelo fator de fase em frente da expressao, as coordenadas x e t aparecem
sob uma forma que sugere fortemente que a velocidade de propagacao do pa-
cote, a velocidade de grupo, 63
31sl0 esta certamente de aeordo com 0 que encontramos no caso especial da propagacao da luz, onde w
= kc, 0 argurnento, usado de maneira mais geral, depende do faro que 0 pico do pacote tendera a estar
onde a Casekx - td passa por um ~o em fun9lio de k, isto e, onde x - (~) t == O.
PACOTES DE ONDA E AS RELACOES DE INCERTEZA 29
(2-14)
Logo, definindo
(2-16)
(2-15)
temos
Esta e justarnente a integral que levou a (2-4), de modo que, substituindo x por x
- I'J ea por a + ;/3(, obtemos
(
'IT" )1/2I(x,t) = eill:.x-",(k,lt] --.- e-!(x-Vgt)'/4(a+iPtl]
ex + i(3J
e 0 quadrado do modulo desta funcao e
II(x J)" 2 = ( 'IT"2 )1/2 e-[Q(x-vgtl'/Z(a'+P't')], aZ + (3ZtZ
" Isto representa urn pacote de ondas. cujo maximo esta se deslocando com velo-
. cidade I'g. mas que nao tern uma largura definida: a quantidade que era igual a a
em t = 0 fica agora a + (fflt2Ja). ou seja , 0 pacote estd se alargando . Como a
largura e proporcional a
(2-17)
l
a taxa de alargamento sera pequena se a for grande, isto e, se inicialmente 0
pacote for espacialmente grande.
o resultado rnais irnportante e -que, se (2-11) deve representar uma particula .
de rnomento p e energia cinetica p2J2m, devemos exigir que
dw P
Vg =-.- =-
dk m (2-18)
Se, alem disso, fizerrnos a associacao
E = fiw (2-19)
sugerida pela relacao quantica para a radiacao, de modo que
p2
w= -
2mk
(2-20)
,3~ FislCA QUANTICA
por consistencia, deveremos fazer a associacao
27r Pk= -=-
X Ji
(2-21)
Este resultado foi primeiramente derivado por De Broglie, de modo analogo. Em
termos de p, a expressao (2-11) pode ser reescrita na forma
1 f 'ifl(x,t) = V27rh dp cpCp) e,(vx-Et)/h (2-22)
o pacote de ondas I/J (x, t) e uma solucao geral da equacao diferencial parcial
. (}.f;(x,t) 1 ftli -- = --=, dp cp(p) E ei(p:t-Etl/h
at y27rh
- 1 fdP cp(p) L ei(px-Btl/h
y27r'h 2m
!!!._ a2if;(x,t)
2m ax2 (2-23)
desde que, como ja fizemos antes, descrevamos 0 movimento da "partfcula " em
uma regiao sem potencial, na quai E = p2/2m. E esta equacao, e a sua generaIi-
zacao para 0 caso de uma particula deslocando-se em urn potencial, que repre-
sentam a importante abstracao dos argumentos esbocados acima. Deve-se enfa-
tizar que a equacao representa uma conjectura: com base na Fisica Classica, nao
haviajustificativa algurna para a substituicao de w por E/Ii, nem para a substitui-
9ao do nurnero de onda k por pIli.
Ternos, ainda, que enfrentar a dificuldade do espaIhamento dos pacotes de
onda. Se considerarmos urn pacote Gaussiano (2-17), veremos que nao importa
quao grande seja a, pois chegara 0 momento em que 0 aIargamento sera aprecia-
vel. Isto esta emcontradicao com a experiencia, que mostra muito claramente
que os rnicleos, por exemplo, que sao muito pequenos, nao se aIteraram durante
urn periodo de 3 x 109 anos (1020 s). Veremos, no Capitulo 3, que as nocoes de'
probabilidade, insinuadas no Capitulo 1, desempenham aqui 0 seu papel, e 0
alargamento refere-se, na realidade, a uma probabilidade crescente de que a par- '
ticula esteja afastada de onde se encontrava em t = O.
Uma das observacoes qualitativas mais importantes que efetuarnos em
nos sa discussao sobre pacotes de onda e a relacao entre as larguras no espaco
dos x e dos k,
I1k I1x ;:::;1 (2-24)
Multiplicando isto por Ii e usando Ilk = p,obtemos as Relacoes de lncerteza de
Heisenberg
(2-25)
Como a largura representa uma regiao, na qual e provavel que a particula se
PACOTES DE ONDA E AS RELACOES DE INCERTEZA 31
encontre no espaco dos x ou no espaco dos momentos, a Eq. (2-25) afirma que,
· se tentarmos construir urn pacote de ondas altamente localizado no espaco dos
· x, e impossivel associar a esse pacote urn momento bern definido, contraria-
mente ao que se admite como sendo verdade em Fisica Classica, Pela mesma
razao, urn pacote de ondas caracterizado por urn momento definido dentro de
limites estreitos tern que ser muito largo espacialmente. Esta lirnitacao e imposta
a descricao classica, que insiste em ser capaz de especificar tanto a posicao
como 0 momento. Em Ffsica Quantica, a posicao e 0 momento, assim como 0
comportamento corpuscular e os aspectos ondulatorios de urn sistema, consti-
tuem propriedades complementares do sistema, nao adrnitindo a teo ria a possibi-
lidade de uma experiencia na qual ambos possam ser determinados simultanea-
mente. A pequenez de Ii garante que as nocoes usuais da Fisica Classica falha-
rao apenas em sistemas rnicroscopicos. Assim, por exernplo, uma particula de
poeira com massa de 10-4 g, deslocando-se a velocidade de 104 cm/s, com uma
incerteza no produto de uma parte em urn milhao , implica em D.p ~ 10-6 e;
portanto, Ax ~ 10-21 em, 0 que e 10-7 vezes menor que 0 raio de urn proton! E
diferente no caso de urn eletron em uma orbita de Bohr: tomando Sp ~ P ~
· mcaln, vern Ax - lin/mea, que e da ordem de grandeza dos raios das orbitas,
A seguir, discutiremos alguns Gedankenexperiments, nos quais mostrare-
mos detalhadamente como a dualidade partfcula-onda conspira no sentido de
proibir qualquer violacao da relacao (2-25). .
(a) Medida da posiciio de urn eletron. Consideremos 0 dispositivo experi-
mental da Fig. 2.2, cuja finalidade e medir a posicao de urn eletron. Os eletrons
estao agrupados em urn feixe de momenta bern definido Px e movendo-se ao
longo da direcao dos x positivos. 0 microscopic (Iente + anteparo) sera utilizado
para ver-se onde se encontra localizado 0 eletron, observando-se a luz que e
espalhada por ele. Iluminamos ao longo do eixo negativo dos x; urn determinado
· eletron espalhara urn determinado foton e este recuara atraves do microscopic.
o poder de resolucao do microscopic, isto e, a precisao com que 0 eletron pode
ser localizado, e conhecido da Otica:
A
tsx r-: --
sen <P
(2-26)
onde A e 0 comprimento de onda da luz.
Poderia parecer que, fazendo-se A suficientemente pequeno e sen <p grande,
fosse possivel fazer Ax tao pequeno quanta se desejasse. Isto, como mostrare-
mos a seguir, so pode ser feito as custas de se perder inforrnacao sobre a com-
ponente x do momenta do eletron. 0 que a Teoria Quantica nos afirma e que 0
que fica registrado no anteparo por tras da lente sao os fotons que ai chegaram,
por terem sido espalhados pelos eletrons. A direcao do foton, apos 0 espalha-
mento, fica indeterminada dentro do angulo subtendido pelo diafragma. Por-
tanto, a incerteza no momento de recuo do eletron e dada por
hv
. I::.PJ: "-' 2 - sen <p
c
(2-27)
} Logo
hv A
I::.p" I::.x "-' 2 - sen <p -- "-' 47rn
c sene
(2-2g)
32 FfslCA QUANTICA
-----,--------- Anteparo
I \
I \
I \
I \
I \
I \
I \
/ \
Lente
\
\
\
\
\
\
\
\
\
I
/
I
I
/
¢I
/
/
'EM/ron --------~ ~Foron
Fig. 2.2 Desenho esquernatico do microscopic de Heisenberg para a medida da posicao de
eletrons,
Podemos evitar esta dificuldade? Afinal, a direcao do fotonesta correlacionada
ao seu momento, de modo que, se pudessemos, de algurna forma, medir 0 recuo
do anteparo, poderfamos especificar melhor 0 momento do foton (e, conseqiien-
temente, 0 do eletron). lsso e verdade, mas uma vez incluido 0 microscopic
como fazendo parte do sistema "observado ", temos que nos preocupar com a
sua localizacao, pois 0 seu momenta tem que ser especificado. Acontece que 0
microscopic, ele proprio, tem que obedecer a relacao de incerteza, de modo que,
se 0 seu momento tem que ser especificado, a sua posicao ficara menos deterrni-
nada. 0 dispositivo "classico" final de observacao sempre se defrontara com a
indetermi nacao.
(b) A experiencia de duas fendas. No Capitulo 1, sugerimos que a figura de
interferencia, observada na passagem de urn eletrorr' atraves de duas fendas, era
logicamente incompatfvel com a nossa capacidade de saber por qual das duas
fendas 0 eletron passou, ja que um tal conhecimento implicaria que a· figura
constasse de uma superposicao de eletrons provenientes de uma ou de outra das
duas fendas. Isto, contudo, nao pode gerar uma figura de interferencia, Podemos
empregar a relacao de incerteza para mostrar que um "monitor", que identifica
as fendas de passagem, destruira a figura de interferencia. Consideremos as fen-
das separadas pela distancia a, e seja d a distancia das fendas ao anteparo. A'
condicao para que se tenha interferencia construtiva e
A
sen 0 = 11 -
'a
(2-29)
de modo que a distancia entre rnaxirnos adjacentes sobre 0 anteparo e dada p~r d
sen On + 1 - d sen On = d sla. Consideremos, a seguir, um monitor que determina
a posicao de um eletron, logo arras do anteparo que contem as fendas, com uma
precisao de Ay < a/2, ou seja, que nos diz por quai das fendas 0 eletron passou
<Na realidade, discutimos fotons, mas a dificuldade e a mesma para os eletrons, os quais tambem sao
difratados,
PACOTES DE ONDA E AS RELACOES DE INCERTEZA 33
(Fig. 2.3). Ao fazer isso, 0 monitor tern que ceder ao eletron urn certo momento
ao longo da direcao y, com imprecisao dada por
t::.PlI 2 h 2>--> --=-pap a (2-31)
2h
t::.PIl> - a
(2-30)
Logo
Fonte oe
~
1
"
1
Sistema de
monitoria II
Ld-~ z
Anteparo
de detec~ao
Anteparo
dasfendas
Fig. 2.3 A experiencia de duas fendas com monitor.
Uma tal incerteza introduz uma indeterminacao na posicao do eletron sobre 0
anteparo de pelo menos 2 'Ad/a. Isto, contudo, e maior do que 0 espacarnento
entre os maximos, de modo que concluimos que urn monitor em operacao apa-
gara a figura de interferencia, nao existindo, pois, qualquer contradicao logica.
Reciprocamente, e claro que poderiamos argurnentar que, por uma questao de
consistencia logica, devia-se ter
(2-32)
(c) A "realidade" das orbitas no atomo de Bohr. Como se observou no
Capitulo 1, 0 modele atomico de Bohr trata com orbitas, cujos raios sao dados
por RlI = fm2/Cd1lC. Portanto, uma experiencia projetada para medir os contornos
de uma dada 6rbita deve ser tal que uma medida da posicao do eletron no atomo
seja feita com uma precisao de
2hn
t::.x «Rn - R,,_l ~ --
amc (2-33)
34 FfslCA QUANTICA
Isto implica em uma transferencia nao controlavel de momenta ~ 0) elerron de
t:.p »mca/2n. 0 que, por sua vez, implica em uma incerteza aa ~-~ do ele-
tron de
t:.E ~ pt:.p »mea. ae = 1 ~a!
m n 2n 2 I:'! (2-34)
. que e muito maior do que a energia de ligacao do elerron aa u....._"'l~_ Logo, uma
tal medida, muito provavelmente, irnpelira 0 eletron pam fora ca oro!ta. de ma-
neira que um tal delineamento da orbita sera impossivel.
(d) A relaciio de incerteza energia-tempo . Se tornarmos 2. ;e~ao 2-25) e a
. escrevermos sob a forma
poderemos interpretar 0 primeiro fator como uma medida da iccerreza da energia
do sistema e 0 segundo fator, /lx/v. como uma medida de~' a :z..:er:eza em sua'
localizacao no tempo. Isto sugere a relacao de incerteza energra-reczpo
(2·35)
Essa relacao tarnbern poderia ser deduzida, a partir da forma co ;ta:o.e de onda
(2-22), ja que E e t comparecem na mesma relacao reciproca q"_f';- ex. sendo,
tarnbern, sugerida pela Teoria da Relatividade, pois 0 espaco e 0 :e::I1f>O.assim
como 0 momenta e a energia, estao intimamente ligados um ao ~tro:' Na reali-
dade, em Mecanica Quantica nao-relativfstica, 0 espaco e 0 :eGlPO desempe-
nham um papel um pouco diferente e, assim, enquanto seremcs .:a:-"'GZeS de deri-
var (2-25) a partir do formalismo quantico, isso nao sera possi'. "': no que diz
respeito a (2-35). Apesar disso, a relacao de incerteza energia-tempo faz parte da
estrutura qualitativa da Mecanica Quantica tanto quanto a relacao :-25).
Apesar de suas contribuicoes fundamentais para 0 desea- c.; izaento da Me-
canica Quantica, Einstein se sentiu pouco a vontade acerca das 50 a, ~licac;:6es
e, no Congresso de Solvay de 1930,6 ele sugeriu um Ge~-e;-e~--c::;nent que,
aparentemente, evitava as limitacoes sugeridas por (2-35). Ei;;sLci;;. scgeriu que
uma caixa, contendo radiacao, possuisse um obturador con~" por um relo-
gio dentro dela. 0 mecanismo do obturador poderia ser arrazjado ':e tal maneira
que um orificio ficasse aberto durante um intervalo de ;:e=pc a..~~·iamente
pequeno, !::.t. A energia do foton, escapando da caixa. poderia 5e"; -ie:erminada
muito precisamente, pesando-se a mesma antes e depois da a...."'>::';:::_~ do obtura-
dor.
A refutacao de Bohr com relacao a esse argumento coastinzi t.~ bela ilus-
tracao da exigencia de que um Gedankenexperiment tern <;'Jf' X' s::5ei~ as leis
da Fisica. Levando em consideracao 0 dispositive indicado za 'i' ~ :.~. Bohr
levantou os seguintes pontos:
'Tanto (ct, r) como (Elc, p) sao quadrivetores que se transformam por tranSf~ :.e ~..r;:z..
'Veja 0 belo ensaio de Niels Bohr" Discussion with Einstein on Epistemologica, ?:-x- =-Atomic
Physics". contido em Atomic Physics and Human Knowledge. John Wiley & Sees .?S!
PACOTES DE ONDA E AS RELACOES DE INCERTEZA 35
I. Uma pesagern implica em uma leitura de urn ponteiro em uma escala com
precisao Ax, 0 que, por sua vez, implica em uma incerteza no momento da
caixa de 6p ~ hi Ax.
2. Se se pretende detectar uma variacao I:Jm na massa, a pesagem tern que levar
urn tempo T, suficientemente longo para que 0 impulso devido it variacao da
massa, a saber, gT I:Jm (g = aceleracao da gravidade), seja muito maior que
6p:
gT tlm »nl tlx (2-36)
3. 0 Principio de Equivalencia? (0 qual esta firmemente estabelecido) implica
que uma variacao na posicao vertical Ax, em urn campo gravitacional, implica
em uma variacao na marcha do relogio, dada por
(2-37)
Logo
sr g n-»---
T c2 gT tlm
ou seja,
tlmc2 sr = tlE sr » n (2-38)
o que mostra que a relacao de incerteza energia-tempo se rnantern.
As relacoes de incerteza podem ser utilizadas para se efetuarem estimativas
nurnericas aproximadas na Ffsica rnicroscopica. Vamos ilustrar isto por meio
de diversos exemplos, 0 primeiro dos quais e 0 atomo de hidrogenio. Se afirma-
mos que a posicao do eletron dentro do atomo e desconhecida, e se rea sua
coordenada radial, decorre
r > n (2-39)
o que nos permite expressar a energia em termos de r:
E = L _ e2
2m r
2mr2 r (2-40)
o valor minimo da ene~gia e obtidode
'0 Principio de Equivalencia e discutido na Secao 2 dos Topicos Especiais, no final deste livro. Neste
contexto, e divertido observar que este princfpio foi formulado por Einstein!
36 ·FISICA QUANTICA
Fig. 2.4 Desenho quase realistico da experiencia de Einstein, ;:h-U;:0S2 pa.-::. zaostrar vio-
layiio da relacao tJ.E !It > h. Reimpresso do livro de Xiels ~. _-t;~.fc Physics and
Human Know/edge, John Wiley (1958), com permissao da :\0;.-";; :i~ Publishing
Company, Amsterdam.
ou seja,
fl,2 fI,
r=-=
.me2 mea.
e 0 valor correspondente de E e
E= (2-42)
38
Problemas
FlslCA QUANTICA
1. Considere u m paeote de ondas definido por (2-1), COl7l ~ -, dado por
g(k) = 0
=N
= 0
k <-K
-K < k
K<k
<K
(a) Determine a forma/ex) .
. (b) Determine 0 valor de N para 0 qual
.: dxlf(x)12 = 1
(c) Como e que isto se relaeiona com a eseolha de N para a qual
f"" 1dklg(k)12 = -+eo 211'
(d) Mostre que uma definicao