Resistência dos Materiais

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Mecânica Estrutural e Resistência dos Materiais 
 
1. INTRODUÇÃO 
1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS 
Com o intuito de entendermos como funciona a geomecânica dos materiais 
geológicos é importante, primeiramente, partirmos para os conceitos 
fundamentais. A Geologia procura interpretar a história de desenvolvimento do 
planeta Terra, desde a sua formação, desenvolvimento até os fenômenos 
atuais. É um campo de atuação muito amplo, podendo descobrir a localização 
de recursos naturais, fontes de energia e até desastres naturais, dentre outros 
fenômenos. No entanto, é na utilização de matérias primas e na sua 
contribuição no cotidiano de uma sociedade que observam-se melhorias na 
qualidade de vida das pessoas e a importância da geologia. Toma-se como 
exemplo os imóveis construídos, que são constituídos de uma gama de 
constituintes minerais. O concreto é preparado com brita (rocha quebrada), 
areia e cimento (mistura de calcário, argila e gispsita). Os tijolos são 
confeccionados por argilas. A argamassa é uma mistura de cimento, areia e de 
Óxido de Cálcio (popularmente conhecido como cal). A instalação elétrica 
utiliza fios e cabos produzidos a partir de cobre e alumínio. É de suma 
importância considerar as características, propriedades e comportamento 
reológico dos materiais geológicos, principalmente em projetos para instalação 
e desenvolvimento de empreendimentos, tais como projetos de mineração, 
escavação de túneis, obras de contenção de encostas, etc. O objetivo de 
estudar a disciplina mecânica estruturale resistência dos materiais é entender o 
comportamento dos sólidos sob esforços e os efeitos das forças no 
comportamento interno dos sólidos. 
 
1.2. CLASSE DE SOLICITAÇÕES 
Existem cinco tipos de esforços mecânicos na resistência dos materiais: 
1) Tração ou Força 
2) Compressão 
3) Flexão 
4) Torção 
5) Cisalhamento 
 
 
 
 
 
 
Aplicando as classes de solicitações para a geologia tem-se o 
comportamento mecânico das rochas, que pode ser dúctil ou frágil, conforme 
esquema a seguir: 
 
Figura 1.Blocodiagrama com a esquematização do comportamento mecânico das rochas. 
 
Alguns agentes atuantes no comportamento mecânico das rochas são: 
 
1.2.1. Tração ou Força 
É o agente responsável pelos movimentos das rochas submetendo-as as 
solicitações diversas. Caso a solicitação seja tangencial ocorre o cisalhamento, 
que pode ser dividido em componente normal e componente de cisalhamento. 
A intensidade da força ou tração depende da área da superfície por onde é 
distribuída. A força é uma grandeza vetorial. 
 
1.2.1.1. Stress em um ponto 
É definido pela razão limite da força pela área quando a área da face se 
aproxima de zero. As forças atuantes em cada uma das faces de um cubo de 
referência, por exemplo, pode ser resolvida em 3 componentes ortogonais, 
uma normal e duas paralelas à face. Se a magnitude de cada uma das três 
componentes for dividida pela área da face do cubo obteremos a magnitude 
das três componentes do stress.Então, em decorrência disso a distribuição de 
forças sobre cada face tende a se uniformizar, as forças nas faces opostas se 
Comportamento 
mecânico das 
rochas
Dúctil
Deformação 
plástica -
Dobras
Frágil
Deformação 
frágil -
Falhas
aproximam em direção e magnitude e são capazes de exercer um torque 
resultante sobre o cubo que tendem a se anular. 
 
1.3. COMPRESSÃO 
Esforços tectônicos de compressão geram estruturas geológicas que 
podem ser representadas por dobras, falhas, fraturas, xistosidade e 
acamamento nas rochas sedimentares. 
 
1.3.1. Deformação 
Se referem as variações na forma e/ou volume. Essas deformações podem 
ser plásticas, elásticas ou de rúpteis e envolvem tanto os conceitos de flexão, 
quanto de torção e cisalhamento. Refletem o resultado do dinamismo interno 
terrestre através de deformações nas rochas originadas por tensões 
associadas às variações de temperatura, profundidade, pressão. A tensão é a 
força exercida por unidade de área. Existem alguns tipos de tensão: 
Compressão, Distensão e Cisalhamento, conforme Figura 2. 
 
 
Figura 2. Comportamento deformacional das rochas. Fonte:http://metam.com.sapo.pt 
 
O resultado das tensões de compressão é a redução do volume da 
rocha em direção paralela à atuação das forças e o seu alongamento na 
direção perpendicular e podem provocar falha inversa no caso de rochas com 
comportamento frágil, mas para o caso de comportamento dúctil formam-se 
dobras, conforme ilustrado na figura 2. 
No caso das tensões de distensão o resultado é o estiramento do corpo 
rochoso em direção paralela a atuação das forças para corpos rochosos com 
comportamento dúctil, e também pode provocar falhamento normal em rochas 
frágeis. 
As tensões de cisalhamento causam a deformação no corpo rochoso 
devido a movimentos paralelos em sentidos opostos e podem causar falha de 
desligamento/transformantes para rochas com comportamento frágil e 
cisalhamento para rochas dúcteis. 
 
1.3.1.1. Dobras 
Uma das feições estruturais mais evidentes do regime dúctil são as 
dobras geológicas, a escala varia desde a microscópica até quilométrica. 
 
Figura 1- Fotomicrografias de amostras evidenciando dobras em escala milimétrica. Fonte: 
Relatório de Mapeamento Geológico da Região de Pocinhas - Tunas do Paraná/PR 
 
 
Figura 4. Dobra em escala métrica. Fonte: www.neotectonica.ufpr.br 
1.4. Falhas 
São rupturas e deslocamentos ao longo de um plano rochoso e pelo qual 
as paredes opostas se movem uma relação às outras. Ocorrem tanto em 
escala milimétrica quanto quilométrica. As falhas refletem o comportamento 
frágil das rochas. Os tipos de falhas podem ser baseados no movimento 
aparente, conforme figura a seguir. 
 
 
Figura 5 - Tipos de falhas. Fonte: http://espacociencias.com.pt 
 
 
1.5. TENSÃO DE ESTIRAMENTO OU RUPTURA 
 
 
 
1.5.1. Deformação de estiramento 
Se um objeto está sujeito a ação de uma força que tende a alongá-lo ou 
comprimi-lo ocorre alteração da forma original. A variação relativa do 
comprimento de um segmento de barra, por exemplo, chama-se deformação 
específica, conforme figura 6. 
 
 
Figura 6. Esquematização de deformação de estiramento. 
Fonte:https://slideplayer.com.br/slide/4049117 
 
 
Tensão de estiramento ou de ruptura 
Deformação de 
estiramento 
Módulo de Young Módulo de 
cisalhamento 
 
1.5.2. Módulo de Young 
É a razão entre a tensão normal e a deformação para um sólido. O 
módulo de Young ou também chamado de módulo de elasticidade é um 
parâmetro mecânico que proporciona uma medida da rigidez de um material 
sólido. 
 
 
 
1.5.3. Módulo de cisalhamento 
É a razão entre a tensão de cisalhamento e a deformação de 
cisalhamento. Diz respeito a ruptura das estruturas. 
 
 
 
 
 
 
1.6. COMPORTAMENTO REOLÓGICO DOS MATERIAIS GEOLÓGICOS 
 
A reologia estuda o comportamento físico das rochas e solos mediante a 
aplicação de forças e tensões.As propriedades mecânicas dos materiais 
geológicos representam aspectos das forças e dos movimentos que os corpos 
experimentam. As rochas e os solos possuem propriedades plásticas e 
elásticas concomitantes, que podem ser medidas através de ensaios 
laboratoriais. 
 
1.7. ENSAIOS PARA CARACTERIZAÇÃO MECÂNICA DAS ROCHAS 
 
A seguir serão discutidos alguns ensaios bastante utilizados para 
caracterização mecânica das rochas. 
 
1.7.1. Ensaio de compressão triaxial 
O ensaio de compressão triaxial é um dos mais utilizados para 
determinar propriedades mecânicas das rochas para um grande intervalo de 
tensão e temperatura. 
Um esquema típico de um ensaio triaxial está representado na figura 7a. 
A amostra é envolvida por uma membrana flexível e selada no capsuperior e 
inferior. A membrana flexível permite que a amostra se deforme radialmente e 
que a poropressão gerada na amostra devido ao carregamento radial esteja 
separado da tensão aplicada fora da amostra. O conjuntocomposto de 
amostra, membrana, caps, extensômetro radial e axial são colocados em 
pedestal. O vaso de pressão desce e é circulado óleo até que o vaso e as 
linhas estejam completamente preenchidos , a tensão confinante é aplicada 
axissimetricamente e na vertical no cap superior. Posteriormente uma força 
axial 𝐹𝑎 é aplicada na vertical , no capsuperior pelo pistão, conforme figura 7b. 
 
 
Figura 7. a) Representação esquemática do ensaio triaxial. b) Representação 
esquemática das tensões e forças atuantes no ensaio triaxial. 
Fonte: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/ 
 
Durante o ensaio triaxial é realizada a aquisição dos dados de tensão 
desviadora e confinante, deformação axial e radial. De posse desses dados 
calcula-se Módulo de Poisson, módulo de deformabilidade e módulo de 
deformabilidade no descarregamento, que corresponde ao módulo de 
elasticidade para cada tensão confinante. 
Aplicação de tensões 
e forças 
a) b) 
1.7.2. Ensaio de compressão Uniaxial 
É um dos testes mais realizados devido a simplicidade para determinar 
parâmetros de rocha. Consiste basicamente em montar um conjunto de 
amostra cap superior e inferior e extensômetro lateral e axial, então um 
conjunto é colocado no pedestal, aproxima-se a célula de carga até encostar-
se ao cap superior, conforme figura 8a. Então, aplica-se uma carga uniaxial a 
uma carga constante de carregamento ou deformação, conforme figura 8b. 
Durante o ensaio uniaxial é realizada a aquisição ao longo do tempo da tensão 
axial, deformação axial e radial. Com estes dados calcula-se o Poisson e o 
módulo de deformabilidade. 
 
 
Figura 8. a) Representação esquemática do ensaio uniaxial. b) Representação 
esquemática da força atuante no ensaio uniaxial. Fonte: 
https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/31864/31864_6.PDF 
 
 
2. VÍNCULOS ESTRUTURAIS 
2.1 INTRODUÇÃO 
 Denominamos vínculos ou apoio os elementos mecânicos que impedem 
os movimentos de uma estrutura.Nas estruturas planas, podemos classificá-los 
em 3 tipos. 
 
Aplicação de carga 
uniaxial 
a) b) 
2.1.1 Vínculo Simples ou Móvel 
Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção 
normal ao plano de apoio, fornecendo-nos desta forma, uma única reação 
(normal ao plano de apoio).Representação Simbólica: 
 
 
 
2.1.2 Vínculo Duplo ou Fixo 
 Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas 
direções, na direção normal e na direção paralela ao plano de apoio, podendo 
desta forma nos fornecer, desde que solicitado, duas reações, sendo uma para 
cada plano citado. Representação Simbólica: 
 
 
 
2.1.3 Engastamento 
 Este tipo de vínculo impede a translação em qualquer direção, 
impedindo também a rotação do mesmo, através de um contramomento, que 
bloqueia a ação do momento de solicitação. 
 
 
𝑅𝑥 – impede o movimento de translação na direção x; 
𝑅𝑦 – impede o movimento de translação na direção y; 
𝑀 – impede a rotação. 
 
2.2 ESTRUTURA 
 Denomina-se estrutura o conjunto de elementos mecânicos, composto 
com a finalidade de receber e transmitir esforços. 
 
2.2.1 Estrutura Hipoestática 
 Estes tipos de estruturas são instáveis quanto à estaticidade.A sua 
classificação como hipoestáticas é devido ao fato de o número de equações de 
estática ser superior ao número de incógnitas. 
 
2.2.2 Estruturas Isostáticas 
 A estrutura é classificada como isostática quando o número de reações 
a serem determinadas coincide com o número de equações de estática. 
 
2.2.3 Estruturas Hiperestáticas 
 A estrutura é classificada como hiperestática, quando as equações da 
estática são insuficientes para determinar as reações nos apoios.Para tornar 
possível a solução destas estruturas, devemos suplementar as equações da 
estática com as equações do deslocamento. 
 
3. EQUILÍBRIO DE FORÇAS E MOMENTOS 
Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio, é necessário que 
sejam satisfeitas as condições a seguir: 
 
Resultante de Forças 
 A resultante do sistema de forças será nula. 
 
Resultante dos Momentos 
 A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do 
plano de forças será nula. 
 
3.1. EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA 
 Baseados nas condições vistas anteriormente, concluímos que para 
forças coplanares 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
e 
∑ 𝑀 = 0. 
 
 
 
3.2 FORÇA AXIAL OU NORMAL F 
 É definida como força axial ou normal a carga que atua, na direção do 
eixo longitudinal da peça. A denominação normal ocorre, em virtude de ser 
perpendicular, à secção transversal, conforme figura abaixo. 
 
 
 
3.3 TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
A ação da força axial atuante, em um objeto estrutural, originará nesta 
tração ou compressão. 
 
 
Tração num objeto estrutural 
 O objeto estrutural estará tracionada quando a força axial aplicada 
estiver atuando com o sentido dirigido para o seu exterior, conforme ilustrado 
na figura abaixo. 
 
 
Compressão num objeto estrutural 
 Oobjeto estrutural estará comprimido, quando a força axial aplicada 
estiver atuando com o sentido dirigido para o interior, conforme ilustrado abixo. 
 
 
Ligação ou Nó 
 Denominação nó todo ponto de interligação dos elementos de 
construção componentes de uma estrutura. 
 
3.4.TRAÇÃO E COMPRESSÃO EM RELAÇÃO AO NÓ (OU LIGAÇÃO) 
Objeto estruturaltracionado 
 Sempre que um objeto estrutural estiver sendo tracionado, o nó estará 
sendo “puxado”. 
 
 
 
Objeto estruturalcomprimido 
 Sempre que um objeto estrutural estiver sendo comprimido, o nó estará 
sendo “empurrado”. 
 
 
 
 
3.5 COMPOSIÇÃO DE FORÇAS 
 Consiste na determinação da resultante de um sistema, podendo ser 
resolvida gráfica ou analiticamente. 
 Exemplo 1: 
 
 
 Exemplo 2: 
 
 
 
3.6 DECOMPOSIÇÃO DE FORÇA EM COMPONENTES ORTOGONAIS 
 Consiste na determinação das componentes projetadas da resultante de 
um sistema sobre os eixos de referência, podendo ser resolvida gráfica ou 
analiticamente. 
 
𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝛼 = 𝐹 sin 𝛽 
𝐹𝑦 = 𝐹 cos 𝛽 = 𝐹 sin 𝛼 
 
 
3.7 CONHECIDOS𝐹𝑥e𝐹𝑦, DETERMINAR𝛼 e 𝛽 
 
tan 𝛼 =
𝐹𝑦
𝐹𝑥
; sin 𝛼 =
𝐹𝑦
𝐹
; cos 𝛼 =
𝐹𝑥
𝐹
 
tan 𝛽 =
𝐹𝑥
𝐹𝑦
; sin 𝛽 =
𝐹𝑥
𝐹
; cos 𝛽 =
𝐹𝑦
𝐹
 
 
 
 
 
3.8 DETERMINAÇÃO ANALÍTICA DA RESULTANTE DE DUAS FORÇAS QUE 
FORMAM ENTRE SI ÂNGULO𝛼 
 
 
 Através do Δ ODA, aplica-se o Teorema de Pitágoras, resultando: 
I) 𝐹2 = (𝐹2 + 𝑥)
2 + 𝑦2 
Onde: 
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑥 
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑦 
Pelo Δ CDA tem-se; 
𝐹1
2 = 𝑥2 + 𝑦2 
Portanto: 
II) 𝑦2 = 𝐹1
2 − 𝑥2 
no mesmo Δ CDA, conclui-se que: 
III) 𝑥 = 𝐹1 cos 𝛼 
Substituindo a eq. II na eq. I tem-se: 
𝐹2 = 𝐹2
2 + 2𝐹2𝑥 + 𝑥
2 + 𝐹1
2 − 𝑥2 
Substituindo a eq. III na anterior tem-se: 
𝐹2 = 𝐹1
2 + 𝐹2
2 + 2𝐹1𝐹2 cos 𝛼 
𝐹 = √𝐹1
2 + 𝐹2
2 + 2𝐹1𝐹2 cos 𝛼 
Para 𝛼 = 0 
Quando 𝛼 = 0 → cos 𝛼 = 1, portanto 
𝐹2 = 𝐹1
2 + 𝐹2
2 + 2𝐹1𝐹2 
𝐹2 = (𝐹1 + 𝐹2)
2 
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 
Quando 𝛼 = 90° → cos 𝛼 = 0, portanto: 
 
𝐹2 = 𝐹1
2 + 𝐹2
2 
𝐹 = √𝐹1
2 + 𝐹2
2 
Quando 𝛼 = 180° → cos 𝛼 = −1, portanto: 
 
 
 
𝐹2 = 𝐹1
2 + 𝐹2
2 − 2𝐹1𝐹2 
𝐹2 = (𝐹1 − 𝐹2)
2 ou (𝐹2 + 𝐹1)
2 
|𝐹| = |𝐹1 − 𝐹2| ou |𝐹2 − 𝐹1| 
 
3.9 MOMENTO DE UMA FORÇA 
 Define-se como momento de uma força em relação a um ponto qualquer 
de referência, como sendo o produto entre a intensidade de carga aplicada e a 
respectiva distância em relação ao ponto.É importante observar que a direção 
da força e a distância estarão defasadas 90°.Na figura a seguir, o momento da 
força 𝐹 em relação ao ponto 𝐴 será obtido através do produto 𝐹 . 𝑐, da mesma 
forma que o produto da carga 𝑃 em relação a 𝐴 será obtido através de 
𝑃 . 𝑏.Convencionaremos positivo o momento que obedecer ao sentido horário. 
 
 
3.9.1 Teorema de Varignon 
 O momento da resultante de duas forças concorrentes em um ponto 𝐸 
qualquer do seu plano em relação a um ponto 𝐴 de referência, é igual à soma 
algébrica dos momentos das componentesda força resultante em relação a 
este ponto. 
 
 
Para o caso da figura temos: 
𝑅𝑑 = 𝐻𝑏 + 𝑉𝑐 
Exemplo: 
Determinar as reações nos apoios do objeto estrutural carregada 
conforme mostra a figura a seguir: 
 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝐵 = 0 
𝑅𝐵(𝑎 + 𝑏) = 𝑃 . 𝑎 𝑅𝐴(𝑎 + 𝑏) = 𝑃 . 𝑏 
𝑅𝐵 =
𝑃𝑎
(𝑎 + 𝑏)
 𝑅𝐴 =
𝑃𝑏
(𝑎 + 𝑏)
 
 
 
4. CARGA DISTRIBUÍDA 
 Anteriormente foi estudado somente a ação de cargas concentradas, isto 
é, cargas que atuam em um determinado ponto, ou região com área 
desprezível. Neste capítulo, estudaremos a ação das cargas distribuídas, 
cargas que atuam ao longo de uma parte de um objeto estrutural qualquer 
conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
Genericamente, o caso de uma carga qualquer distribuída, como mostra a 
figura abaixo: 
 
onde 𝑞 é a intensidade de carga no ponto correspondente. 
 
Adotamos para o estudo, o infinitésimo de carga 𝑑𝑞 que é determinado 
pelo produto 𝑞𝑑𝑥. 
𝑑𝑄 = 𝑞𝑑𝑥 
 
A superfície da figura é composta por infinitos 𝑞𝑑𝑥, que corresponde às 
forças elementares das áreas elementares correspondentes. O somatório 
dessas cargas elementares expressará a resultante 𝑄, determinada pela área 
total 𝑂𝑚𝑛𝐴 da figura. 
 
4.1.LINHA DE AÇÃO DA RESULTANTE 
 O momento de um infinitésimo de área em relação ao ponto 𝑂 será 
expresso através do produto 𝑥𝑑𝑄, que podemos escrever 𝑞𝑥𝑑𝑥.O somatório de 
todos os momentos em relação ao ponto 𝑂 será expresso por: 
∫ 𝑞𝑥𝑑𝑥
𝐴
𝑂
 
 Denominamos 𝑋𝐺, a abscissa que fixa o ponto de aplicação da 
concentrada 𝑄 em relação ao ponto 𝑂. Podemos escrever que: 
𝑄𝑋𝐺 = ∫ 𝑞𝑥𝑑𝑥
𝐴
𝑂
 
𝑋𝐺 =
∫ 𝑞𝑥𝑑𝑥
𝐴
𝑂
𝑄
 
 De onde conclui-se que a resultante 𝑄 atuará sempre no centro de 
gravidade da superfície que representa a carga distribuída. Através desta 
superfície de carga, fica determinada a resultante e o ponto de aplicação da 
carga distribuída. 
Exemplo: 
 Determinar as reações nos apoios do objeto estrutural solicitado pela 
ação da carga distribuída, conforme a figura dada. 
 
 A resultante da carga distribuída de intensidade 𝑞 e comprimento 𝑙 será 
𝑞𝑙, e atuará no ponto 𝑙 2⁄ em relação a 𝐴 ou 𝐵. Teremos então: 
 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝐵 = 0 
𝑅𝐵𝑙 = 𝑞𝑙 .
𝑙
2
 𝑅𝐴𝑙 = 𝑞𝑙 .
𝑙
2
 
𝑅𝐵 = 𝑞
𝑙
2
 𝑅𝐴 = 𝑞
𝑙
2
 
 
5. TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
5.1 FORÇA NORMAL OU AXIAL F 
 Define-se como força normal ou axial aquela que atua 
perpendicularmente (normal) sobre a área da secção transversal de um objeto 
estrutural qualquer, conforme ilustrado na figura abaixo. 
 
 
5.2.TRAÇÃO E COMPRESSÃO 
 Podemos afirmar que um objeto estrutural está submetido a esforço de 
tração ou compressão, quando uma carga normal F atuar sobre a área da 
secção transversal do objeto, na direção do eixo longitudinal.Quando a carga 
atuar com sentido dirigido para o exterior do objeto (“puxado”), ele estará 
tracionado. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior do objeto 
material, ele estará comprimido (“empurrado”). 
 
 
 
5.3.TENSÃO NORMAL σ 
 A carga normal F, que atua em um objeto material, origina neste, uma 
tensão normal que é determinada através da relação entre a intensidade da 
carga aplicada, e a área transversal. 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
onde: 𝜎 – tensão normal [Pa]; 
 𝐹 – força normal ou axial [N]; 
 𝐴 – área da secção transversal [𝑚2]. 
Unidade de Tensão no SI (Sistema Internacional) 
 A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N 
atuando sobre uma superfície de 1m2. 
 
 Como a unidade pascal é infinitesimal, utiliza-se com frequência, os seus 
múltiplos: 
𝑀𝑃𝑎(𝑚𝑒𝑔𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙) 𝑘𝑃𝑎(𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙) 
𝑀𝑃𝑎 = 10
6𝑃𝑎 𝑘𝑃𝑎 = 10
3𝑃𝑎 
 
A unidade 𝑀𝑃𝑎(mega pascal), corresponde à aplicação de 10
6𝑁 (um 
milhão de newtons) na superfície de um metro quadrado (𝑚2). Como 𝑚2 =
106𝑚𝑚2, conclui-se que: 
𝑀𝑃𝑎 = 𝑁 𝑚𝑚
2⁄ 
𝑀𝑃𝑎 corresponde à carga de 1𝑁 atuando sobre a superfície de 1𝑚𝑚
2. 
 
5.4 LEI DE HOOKE 
 Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no 
ano de 1678 constatou que uma série de materiais, quando submetidos à ação 
de carga normal, sofre variação na sua dimensão linear, bem como área da 
secção transversal inicial.Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou 
alongamento, constatando que: 
• Quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial de 
um objeto material, maior o alongamento, e que, quanto maior a 
área da secção transversal e a rigidez do material medido através 
do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando 
daí a equação: 
∆𝑙 =
𝐹 ∙ 𝑙
𝐴 . 𝐸
 
 Como 𝜎 =
𝐹
𝐴
, podemos escrever a Lei de Hooke: ∆𝑙 =
𝜎∙𝑙
𝐸
 
onde: ∆𝑙 – alongamento do material [m] 
 𝜎 – tensão normal [Pa]; 
 𝐹 – carga normal [N]; 
 𝐴 – área da secção transversal do material [𝑚2]; 
 𝐸 – módulo de elasticidade do material [Pa]; 
 𝑙 – comprimento inicial do material [m]. 
 
 O alongamento será positivo, quando a carga aplicada tracionar o 
material, e será negativo quando a carga aplicada comprimir o material.É 
importante observar que a carga se distribui por toda a área da secção 
transversal do material. 
 
 𝑙𝑓 = 𝑙 + ∆𝑙 𝑙𝑓 = 𝑙 − ∆𝑙 
onde: 𝑙𝑓 – comprimento final do material [m]; 
 𝑙 – comprimento inicial do material [m]; 
 ∆𝑙 – alongamento [m]. 
 A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformação 
longitudinal (𝜀) e a deformação transversal (𝜀𝑡) 
 
Deformação Longitudinal (𝜺) 
 Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento 
(u.c) de um material submetido à ação de carga axial. 
 Sendo definida através das relações: 
 
𝜀 =
∆𝑙
𝑙
=
𝜎
𝐸
 
 
Deformação transversal (𝜺𝒕) 
 Determina-se através do produto entre a deformação unitária (𝜀) e o 
coeficiente de Poisson (ʋ) 
 
𝜀𝑡 = −ʋ𝜀 
 
Como 𝜀 =
∆𝑙
𝑙
=
𝜎
𝐸
, podemos escrever: 𝜀𝑡 =
ʋ𝜎
𝐸
 ou 𝜀𝑡 = −ʋ
∆𝑙
𝑙
 
 
 
 
onde: 
 𝜀𝑡 – deformação transversal adimensional; 
 𝜎 – tensão normal atuante [Pa]; 
 𝐸 – módulo de elasticidade do material [Pa]; 
 𝜀 – deformação longitudinal adimensional; 
 ʋ–coeficiente de Poisson adimensional; 
 ∆𝑙 – alongamento [m]; 
 𝑙 – comprimento inicial [m]; 
 
5.5 MATERIAL FRÁGIL 
 O material é classificado como frágil, quando submetido a ensaio de 
tração, não apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica 
para o rompimento. 
Ex.: concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, cristal, acrílico, baquelite, etc. 
Diagrama tensão deformação do material frágil 
 
Ponto O – Início de ensaio carga nula 
Ponto A – limite máximo de resistência, ponto de ruptura do material. 
 
5.6.COEFICIENTE DE SEGURANÇA K 
 O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos 
elementos estruturais de qualquer tipo, visando assegurar o equilíbrio entre a 
qualidade deum determinado cálculo/dimensionamento e seu custo.O calculista 
poderá obter o coeficiente em normas ou determina-lo em função das 
circunstâncias apresentadas.Os esforços são classificados em 3 tipos: 
 
5.6.1 Carga Estática 
 A carga estática é aplicada na peça e permanece constante; como 
exemplo tem-se: 
- Um parafuso prendendo uma luminária. 
- Uma corrente suportando um lustre. 
 
 
5.6.2 Carga Intermitente 
 Neste caso, a carga é aplicada gradativamente no , fazendo com que o 
seu esforço atinja o máximo, utilizando para isso um determinado intervalo de 
tempo. Ao atingir o ponto máximo, a carga é retirada gradativamente no 
mesmo intervalo de tempo utilizado para se atingir o máximo, fazendo com que 
a tensão atuante volte a zero. E assim sucessivamente. 
Ex. o dente de uma engrenagem. 
 
 
5.6.3 Carga Alternada 
 Neste tipo de solicitação, a carga aplicada na peça varia de máximo 
positivo para máximo negativo ou vice-versa, constituindo-se na pior situação 
para o material. 
 
Ex. eixos, molas,amortecedores, etc. 
Obs. Para cisalhamento substituir 𝜎 por 𝜏 
 Para determinar o coeficiente de segurança em função das 
circunstâncias apresentadas, deverá ser utilizada a expressão a seguir: 
𝑘 = 𝑥 . 𝑦 . 𝑧 . 𝑤 
Valores para 𝑥 (fator de tipo de material) 
𝑥 = 2 para materiais comuns 
𝑥 = 1,5 para aços de qualidade e aço liga 
Valores para 𝑦 (fator do tipo de solicitação) 
𝑦 = 1 para carga constante 
𝑦 = 2 para carga intermitente 
𝑦 = 3 para carga alternada 
Valores para 𝑧 (fator do tipo de carga) 
𝑧 = 1 para carga gradual 
𝑧 = 1,5 para choques leves 
𝑧 = 2 para choques bruscos 
Valores para 𝑤 (que prevê possíveis falhas de fabricação) 
𝑤 = 1 a 1,5 para aço 
𝑤 = 1,5a 2 para ferro fundido 
 Para carga estática, normalmente utiliza-se 2 ≤ 𝑘 ≤ 3 aplicado a𝜎𝑟 
(tensão de ruptura o material) para o material frágil. Para o caso de cargas 
intermitentes ou alternadas, o valor de 𝑘 cresce como nos mostra a equação 
para sua obtenção. 
 
5.7.TENSÃO ADMISSÍVEL𝝈 ou 𝝈𝒂𝒅𝒎 
 A tensão admissível é a ideal de trabalho para o material nas 
circunstâncias apresentadas. A tensão admissível é determinada através da 
relação 𝜎𝑟 (tensão de ruptura) coeficiente de segurança para materiais frágeis. 
𝜎 =
𝜎𝑟
𝑘
 
5.8 PESO PRÓPRIO 
 Em projeto é necessário levar em conta, no dimensionamento dos 
elementos de construção, o peso próprio do material, que será determinado 
através do produto entre o peso específico do material e o volume do objeto, 
conforme mostra o estudo a seguir: 
 
0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑙 
𝑃𝑝 = 𝛾𝐴𝑦 
Na secção AA: 
𝑦 = 0 → 𝑃𝑝 = 0 
Na secção BB: 
𝑦 = 𝑙 → 𝑃𝑝𝑚á𝑥 
𝑃𝑝𝑚á𝑥 = 𝛾 . 𝐴 . 𝑙 
onde: 
𝑃𝑝 – peso próprio do elemento dimensional [N]; 
A – área da secção transversal do material [𝑚2]; 
𝛾 – peso específico do material [𝑁 𝑚3⁄ ]; 
𝑙 – comprimento do material [m]. 
 
Exemplo: 
A barra circular representada na figura. É de aço, possui 𝑑 = 20 𝑚𝑚 e 
comprimento 𝑙 = 0,8𝑚. Encontra-se à ação de uma carga de 7,2 𝑘𝑁. Pede-se 
determinar para a barra: 
a) Tensão normal atuante (𝜎) 
b) O alongamento (∆𝑙) 
c) A deformação longitudinal (𝜀) 
d) A deformação transversal (𝜀𝑡) 
 
𝐸𝑎ç𝑜 = 210 𝐺𝑃𝑎 (módulo de elasticidade do aço) 
ʋ𝑎ç𝑜 = 0,3 (coeficiente de Poisson) 
 
Solução: 
a) Tensão normal atuante: 
𝜎 =
𝐹
𝐴
=
4𝐹
𝜋𝑑2
 
𝜎 =
4 × 7200
𝜋(20 × 103𝑚)2
=
4𝐹
𝜋 × 202 × 10−6𝑚2
 
𝜎 =
4 × 7200
𝜋202
× 106
𝑁
𝑚2
 
𝜎 ≅ 22,9𝑀𝑃𝑎 
b) Alongamento (∆𝑙): 
∆𝑙 =
𝜎 × 𝑙
𝐸𝑎ç𝑜
=
22,9 × 106𝑃𝑎 × 0,8𝑚
210 × 109𝑃𝑎
 
∆𝑙 =
22,9 × 0,8
210
× 10−3𝑚 
∆𝑙 = 0,087 × 10−3𝑚 ou ∆𝑙 = 0,087𝑚𝑚 ou ∆𝑙 = 87 𝜇𝑚 
c) A deformação longitudinal (𝜀): 
𝜀 =
∆𝑙
𝑙
=
87 𝜇𝑚
0,8 𝑚
 
𝜀 ≅ 109 𝜇 
d) A deformação transversal (𝜀𝑡): 
𝜀𝑡 = −ʋ𝑎ç𝑜 ∙ 𝜀 
𝜀𝑡 = −0,3 × 109 
𝜀𝑡 ≅ −33𝜇 
 
6. CISALHAMENTO PURO 
6.1 DEFINIÇÃO 
 Um elemento estrutural submete-se a esforço de cisalhamento, quando 
sofre a ação de uma força cortante. Além de provocar cisalhamento, a força 
cortante dá origem a um momento fletor, que por ser de baixíssima 
intensidade, será desprezado nesta seção. 
 
 
 
6.2 FORÇA CORTANTE 𝑄 
 Denomina-se força cortante, a carga que atua tangencialmente sobre a 
área de secção transversal de um material qualquer, conforme ilustrado abaixo. 
 
 
6.3 TENSÃO DE CISALHAMENTO 
 A ação de carga sobre a área da secção transversal de um material 
causa nesta uma tensão de cisalhamento, que é definida através da relação 
entre a intensidade da carga aplicada e a área da secção transversal do 
material sujeito a cisalhamento. 
𝜏 =
𝑄
𝐴𝑐𝑖𝑠
 
 Para o caso de mais de um elemento estar submetido a cisalhamento, 
utiliza-se o somatório das áreas transversais para o dimensionamento. Se os 
elementos possuírem a mesma área de secção transversal, basta multiplicar a 
área de secção transversal pelo número de elementos (𝑛). 
Tem-se então: 
𝜏 =
𝑄
𝑛 . 𝐴𝑐𝑖𝑠
 
onde: 
𝜏 – tensão de cisalhamento [Pa]; 
𝑄 – carga cortante [N]; 
𝐴𝑐𝑖𝑠 – área da secção transversal do material [𝑚
2]; 
𝑛 – número de elementos submetidos a cisalhamento [adimensional]. 
 Se as áreas das secções transversais forem desiguais, o esforço atuante 
em cada elemento será proporcional a sua área de secção transversal. 
 
6.4 DEFORMAÇÃO DO CISALHAMENTO 
 Supondo-se o caso da secção transversal retangular da figura a seguir, 
observa-se que: 
• Ao receber a ação da carga cortante, o ponto 𝐶 desloca-se para a 
posição 𝐶′, e o ponto 𝐷 para a posição 𝐷′, gerando um ângulo 
denominado distorção. 
• A distorção é medida em radianos (portanto adimensional), 
através da relação entre a tensão de cisalhamento atuante e o 
módulo de elasticidade do material. 
𝛾 =
𝜏
𝐺
 
 
 
onde: 
𝛾 – distorção [rad]; 
𝜏 – tensão de cisalhamento atuante [Pa]; 
𝐺 – módulo de elasticidade transversal do material [Pa]. 
 
6.5 TENSÃO NORMAL (𝜎) E TENSÃO DE CISALHAMENTO (𝜏) 
 A tensão normal atua na direção do eixo longitudinal domaterial, ou seja, 
perpendicular à secção transversal, enquanto que a tensão de cisalhamento é 
tangencial à secção transversal do material, conforme ilustrado na figura 
abaixo. 
 
 
6.6 PRESSÃO DE CONTATO𝜎𝑑 
 No dimensionamento de juntas, sejas elas de qualquer tipo, torna-se 
necessária a verificação da pressão de contato entre o elemento e a parede na 
junta em análise. Por exemplo, a figura abaixo mostra dois materiais que estão 
unidos por um rebite. 
 
 
 A carga 𝑄 atuando na junta, tende a cisalhar a secção 𝐴𝐴 (figura 
anterior). 
 Ao mesmo tempo, cria um esforço de compressão entre o elemento 
(rebite) e a parede do furo (região 𝐴𝐵 ou 𝐴𝐶). A pressão de contato, que pode 
acarretar esmagamento do elemento e da parede do furo, é definida através da 
relação entre a carga de compressão atuante e a área da secção longitudinal 
do elemento, que é projetada na parede do furo. 
Tem-se então que: 
 
Região de contato𝐴𝐵 e 𝐴𝐶. 
 
6.6.1 Pressão de contato (Esmagamento) 
 
 
𝜎𝑑 =
𝑄
𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗
=
𝑄
𝑑𝑡
 
Quando houver mais de um elemento (rebite) utiliza-se: 
𝜎𝑑 =
𝑄
𝑛 . 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑗
=
𝑄
𝑛𝑑𝑡
 
onde: 
𝜎𝑑 – pressão de contato [Pa]; 
𝑄 – Carga cortante aplicada na junta [N]; 
𝑛 – número de elementos [adimensional]; 
𝑡 – espessura da chapa [m]. 
 
7. FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
7.1 CONVENÇÃO DE SINAIS 
7.1.1 Força cortante 𝑸 
 A força cortante será positiva, quando provocar no objeto momento fletor 
positivo. 
 
 
Objetos Estruturais Horizontais 
 Convenciona-se a cortante como positiva, aquela que atua à esquerda 
da secção transversal estudada, de baixo para cima. 
Objetos Estruturais Verticais 
 Convenciona-se cortante positiva, aquela que atua à esquerda da 
secção estudada, com o sentido dirigido da esquerda para direita. 
 
7.1.2 Momento Fletor 𝑴 
Momento Positivo 
 O momento fletor é considerado positivo, quando as cargas cortantes 
atuantes no objeto material tracionam as suas fibras inferiores. 
 
 
Momento Negativo 
 O momento fletor é considerado negativo, quando as forças cortantes 
atuantes no objeto material comprimirem as suas fibras inferiores. 
 
 
 
O momento fletor é definido através da integral da cortante que atua na 
secção transversal estudada.Portanto, tem-se que: 
𝑀 = ∫ 𝑄𝑑𝑥 𝑄 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
 
Para facilitar a orientação, convenciona-se o momento horário à 
esquerda da secção transversal estudada, como positivo. 
 
 
7.2 FORÇA CORTANTE𝑄 
 Obtém-se a força cortante atuante em uma determinada secção 
transversal de um objeto material, através da resultante das forças cortantes à 
esquerda da secção transversal estudada. 
Exemplos: 
 
Secção 𝐴𝐴 𝑄 = 𝑅𝐴 
Secção 𝐵𝐵 𝑄 = 𝑅𝐴 − 𝑃1 
Secção 𝐶𝐶 𝑄 = 𝑅𝐴 − 𝑃1 − 𝑃2 
 
7.3 MOMENTO FLETOR 𝑀 
 O momento fletor atuante em uma determinada secção transversal de 
um objeto material, obtém-se através da resultante dos momentos atuantesà 
esquerda da secção estudada. 
 
 
Secção 𝐴𝐴 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑋 
Secção 𝐵𝐵 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑋 − 𝑃1(𝑥 − 𝑎) 
Secção 𝐶𝐶 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑋 − 𝑃1(𝑥 − 𝑎) − 𝑃2[𝑥 − (𝑎 + 𝑏)] 
Exemplo: Determinar as expressões de 𝑄 e 𝑀 e construir os respectivos 
diagramas no materialbiapoiado, solicitado pela ação da carga concentrada P, 
conforme mostra a figura. 
 
Solução: 
a) Determinam-se as reações nos apoios através da ∑ 𝑀 = 0 e, em relação 
a dois pontos do material. Os pontos considerados ideias para o caso 
são 𝐴 e 𝐵. 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 ∑ 𝑀𝐵 = 0 
𝑅𝐵 . (𝑎 + 𝑏) = 𝑃𝐴 𝑅𝐴 . (𝑎 + 𝑏) = 𝑃 . 𝑏 
𝑅𝐵 =
𝑃𝐴
𝑎 + 𝑏
 𝑅𝐴 =
𝑃 . 𝑏
𝑎 + 𝑏
 
 
b) Expressões de 𝑄 e 𝑀 
 
0 < 𝑥 < 𝑎 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑏 
𝑄 = 𝑅𝐴 𝑄 = 𝑅𝐴 − 𝑃 = −𝑅𝐵 
𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑥 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑥 − 𝑃(𝑥 − 𝑎) 
𝑥 = 0 → 𝑀 = 0 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑀 = 0 
𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑎 
 
c) Construção dos diagramas 
𝐶1 – Diagrama Cortante (𝑄) 
Com origem na linha zero da 𝑄, traça-se o segmento de reta vertical que 
representa 𝑅𝐴. No trecho 0 < 𝑥 < 𝑎 a 𝑄 = 𝑅𝐴 portanto uma constante, 
representada pelo segmento de reta paralelo, à linha zero. No ponto de 
aplicação da carga P, traça-se o segmento de reta vertical que corresponde à 
intensidade da carga P. Como 𝑃 = 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵, conclui-se que o valor da 𝑄 que 
ultrapassa a linha zero é −𝑅𝐵 que corresponde a 𝑄 que atua no trecho 𝑎 < 𝑥 <
𝑎 + 𝑏; portanto novamente tem-se uma paralela à linha zero. 
 Ao atingir o apoio 𝐵, a 𝑄 = −𝑅𝐵 como reação é positiva, traça-se o 
segmento de reta que sobe e zera o gráfico. Portanto, o gráfico sai da linha 
zero e retorna à linha zero. 
 
𝐶2 – Diagrama do Momento (𝑀) 
 Com origem na linha zero do 𝑀, traça-se o segmento de reta que une o 
momento zero em 𝑥 = 0 até 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑎 em 𝑥 = 𝑎. Observa-se que a equação 
do Momento no trecho é do 10 grau, portanto, tem como gráfico, um segmento 
de reta. Analogamente ao trecho 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑏 utiliza-se um outro segmento 
de reta unindo os pontos 𝑥 = 𝑎 → 𝑀 = 𝑅𝐴 . 𝑎 até 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑀 = 0. 
 
8. FLEXÃO, TORÇÃO E FLAMBAGEM 
8.1 FLEXÃO 
8.1.1 Introdução 
 O esforço de flexão configura-se em um objeto material, quando este 
sofre a ação de cargas cortantes, que venham a originar momento fletor 
significativo, como ilustrado abaixo. 
 
 
8.1.2 Flexão Pura 
 Quando a peça submetida à flexão, apresenta somente momento fletor 
nas diferentes secções transversais, e não possui força cortante atuante nestas 
secções, a flexão é denominada pura.No intervalo compreendido entre 𝐶 e 𝐷, a 
cortante é nula e o momento fletor atuante é constante. Neste intervalo, existe 
somente a tensão normal, pois a tensão de cisalhamento é nula, portanto o 
valor da força cortante é zero, conforme ilustrado na figura abaixo. 
 
8.1.3 Flexão simples 
 A flexão é denominada simples, quando as secções transversais de um 
objeto material estiverem submetidas à ação de força cortante e momento fletor 
simultaneamente. Exemplos: intervalos 𝐴𝐶 e 𝐷𝐵 da figura anterior. Neste caso, 
atua tensão normal e tensão tangencial. 
 
8.1.4 Tensão Normal na Flexão 
 Suponha que a figura representada a seguir seja um objeto estrutural 
com secção transversal 𝐴 qualquer e comprimento 𝑙, que encontra-se 
submetido à flexão pela ação de cargas cortantes representadas. 
 
 
 
 As fibras inferiores do material encontram-se tracionadas, enquanto as 
fibras superiores estão comprimidas.A tensão normal atuante máxima, também 
denominada tensão de flexão, é determinada em relação à fibra mais distante 
da secção transversal, através da relação entre o produto do momento fletor 
atuante e a distância entre a linha neutra e a fibra, e o momento de inércia 
baricêntrico da secção. 
 Tem-se, então: 
𝜎𝑐 =
𝑀𝑎
𝐽
 𝜎𝑡 =
𝑀𝑏
𝐽
 
onde:𝜎𝑐 – tensão máxima nas fibras tracionadas. Como se convenciona o 
momento fletor nas fibras comprimidas negativo, 𝜎𝑐 será sempre < 0 
(negativo). 
 𝜎𝑡 – tensão máxima nas fibras tracionadas. Como, por convenção, o 
momento fletor é positivo nas fibras tracionadas, 𝜎𝑡 será sempre > 0 (positivo). 
 
8.1.5 Dimensionamento na Flexão 
 Para o dimensionamento de materiais submetidos a esforços de flexão, 
utiliza-se a tensão admissível, que será a tensão atuante máxima na fibra mais 
afastada, não importando se a fibra estiver tracionada ou comprimida. 
Tem-se, então, que: 
𝜎𝑥 =
𝑀 . 𝑦𝑚𝑎𝑥
𝐽𝑥
 
Como o módulo de resistência é dado por: 
𝑊𝑥 =
𝐽𝑥
𝑦𝑚𝑎𝑥
 
Logo: 
𝜎𝑥 =
𝑀
𝑊𝑥
 
 
 Para dimensionar-se um material, utiliza-se 𝜎 = 𝜎𝑥.Quando a carga 
aplicada for normal ao eixo 𝑦, tem-se que: 
𝜎𝑦 =
𝑀𝑥𝑚𝑎𝑥
𝐽𝑦
 
𝑊𝑦 =
𝐽𝑦
𝑥𝑚𝑎𝑥
 
 Portanto: 
𝜎𝑦 =
𝑀
𝑥𝑚𝑎𝑥
 
 
 Para dimensionar o material, utiliza-se: 𝜎 = 𝜎𝑦 
onde: 
𝜎𝑥 e 𝜎𝑦 – tensão normal atuante na fibra mais afastada [Pa]; 
𝜎 – tensão admissível [Pa; 𝑁 𝑚𝑚2⁄ ]; 
𝑀 – momento fletor [Nm; Nmm]; 
𝑊𝑥 e 𝑊𝑦 – módulo de resistência da secção transversal [𝑚
3; 𝑚𝑚3]; 
 
8.1.6 Tensão de Cisalhamento na Flexão 
 A força cortante que atua na secção transversal do material provoca 
neste uma tensão de cisalhamento, que é determinada através da fórmula de 
Zhuravski. 
 
𝜏 =
𝑄
𝑏
∫ 𝑦𝑑𝐴
ℎ 2⁄
0
 
Como: 
𝑀𝑒 = ∫ 𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
Portanto: 
𝜏 =
𝑄𝑀𝑒
𝑏𝐽
 
onde: 
𝜏 – tensão de cisalhamento [Pa;𝑁 𝑚𝑚2⁄ ]; 
𝑄 – força cortante atuante na secção [N]; 
𝑀𝑒 – momento estático da parte hachurada da secção (acima de y) [𝑚
3; 𝑚𝑚3]; 
𝑏 – largura da secção [m; mm]; 
𝐽 – momento de inércia da secção transversal [𝑚4; 𝑚𝑚4]. 
 
 Na prática, geralmente, atenção é nula na fibra mais distante, sendo 
máxima na linha neutra. 
 
8.1.7 Deformação na Flexão 
 Nos estudos práticos de flexão, é evidente que as fibras da parte 
tracionada alongam-se e as fibras da parte comprimida encurtam-se. Ao aplicar 
as cargas na peça, as secções transversais 𝑐𝑔 e 𝑑𝑓 giram em torno do eixo 𝑦, 
perpendicular ao plano de flexão. As fibras longitudinais do lado côncavo 
contraem-se e as do lado convexo alongam-se. A origem dos eixos de 
referência 𝑥 e 𝑦 está contida na superfície neutra. 
 
 Para obter o ∆ 𝑑𝑏𝑒, traça-se uma paralela à secção 𝑐𝑔. O lado 𝑑𝑒 do 
triângulo 𝑏𝑑𝑒 representa o alongamento da fibra localizada a uma distância 𝑦 
da superfície neutra (𝑆𝑁).A semelhança entre os triângulos 𝑜𝑎𝑏 e 𝑏𝑑𝑒 fornece a 
deformação da fibra longitudinal.Escreve-se, então: 𝜀𝑥 =
𝑑𝑒
𝑎𝑏
=
𝑦
𝑟
 
 
 
O alongamento longitudinal das fibras na parte tracionada é acompanhado por 
uma contração lateral, e a contração das fibras da parte comprimida é 
acompanhada por uma distensão lateral. A deformação que ocorre na secção 
transversal é determinada por: 
𝜀𝑧 = −ʋ . 𝜀𝑥 
onde: 
𝜀𝑧 – deformação transversal 
ʋ - coeficiente de Poisson 
𝜀𝑥 – deformação longitudinal 
𝜀𝑧 = −ʋ . 𝜀𝑥 = −ʋ
𝑦
𝑟
 
onde: 
𝑦 – distância da fibra estudada à superfície neutra [mm]; 
𝑟 – raio da curvatura do eixo do material [mm]; 
 
 Pode-se perceber que o raio de curvatura 𝑅 da secção transversal é 
maior que 𝑟, proporcional ao coeficiente de Poisson. 
𝑟 = 𝑅 . ʋ 
 Através da lei de Hooke, encontra-se a tensão longitudinal das fibras. 
𝜎𝑥 = 𝐸 . 𝑒𝑥 𝜎𝑥 = 𝐸
𝑦
𝑟
 
 
 
Considera-se agora um infinitésimo de área 𝑑𝐴, que dista 𝑦 do eixo 𝑧 
 (LN).A tensão que atua em 𝑑𝐴 é 𝑠𝑥, portanto a força que atua em 𝑑𝐴: 
𝐹 = ∫
𝐸𝑦
𝑟
𝑑𝐴
𝐴
=
𝐸
𝑟
∫ 𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
 Como resultante das forças distribuídas na secção transversal é igual a 
zero, pois o sistema de cargas pode ser substituído por um conjugado, tem-se 
então que: 
𝐹 =
𝐸
𝑟
∫ 𝑦𝑑𝐴
𝐴
= 0 
 O momento estático 𝑦𝑑𝐴 = 0 em relação à linha neutra, então conclui-se 
que a linha neutra passa pelo 𝐶𝐺 da secção.O momento estático de 𝑑𝐴 em 
relação à linha neutra é dado por: 
𝐸𝑦
𝑟
= 𝑑𝐴𝑦 
 Integrando a expressão para a superfície, encontra-seque: 
𝑀 = ∫
𝐸
𝑟
𝑦2𝑑𝐴 
 Como a linha neutra considerada no estudo da secção transversal é 𝑧, 
conclui-se que 𝐽𝑧 = 𝑦
2𝑑𝐴; portanto: 
𝑀 =
𝐸
𝑟
𝐽𝑧 
 Sabe-se que: 𝐸 =
𝜎𝑥 .𝑟 
𝑦
 
Portanto, substituindo 𝐸 na equação de 𝑀, tem-se que: 
𝑀 =
𝜎𝑥 .𝑟 
𝑦𝑟
𝐽𝑧 𝜎𝑥 =
𝑀 .𝑦
𝐽𝑧
 
Obs.: Como, para determinar as características geométricas das superfícies 
planas trabalhamos com eixos 𝑥 e 𝑦 na secção transversal, o 𝐽𝑧é nestes casos 
𝐽𝑥. 
 
𝜎 =
𝑀 . 𝑦
𝐽𝑧
 
Exemplo: Dimensionar o material biapoiado abaixo que deverá suportar o 
carregamento representado na figura. Utilizar 𝜎𝑚𝑎𝑑 = 10 𝑀𝑃𝑎 e ℎ ≅ 3𝑏. 
 
 
Solução: 
 Como as cargas são simétricas aos apoios, conclui-se que 
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 1750𝑁 
a) Expressões de 𝑄 e 𝑀 
 
0 < 𝑥 < 1 
𝑄 = −1000 𝑁 
𝑀 = −1000𝑥 
𝑥 = 0 → 𝑀 = 0 
𝑥 = 1 → 𝑀 = −1000 𝑁𝑚 
1 < 𝑥 < 2 
𝑄 = 𝑅𝐴 − 1000 = 750𝑁 
𝑀 = −1000𝑥 + 𝑅𝐴(𝑥 − 1) 
𝑥 = 2 → 𝑀 = −250𝑁𝑚 
 Como o carregamento é simétrico, conclui-se que: 
𝑥 = 3 → 𝑀 = −1000𝑁𝑚 
𝑥 = 4 → 𝑀 = 0 
 
b) Dimensionamento do material 
𝜎 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑊𝑥
 
 O módulo de resistência da secção transversal retangular é: 
𝑊𝑥 =
𝑏ℎ2
6
 
𝜎 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑊𝑥
=
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑏ℎ2
6
=
6𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑏ℎ2
 
Como a secção transversal domaterial deverá ter ℎ ≅ 3𝑏, tem-se que: 
𝜎 =
6𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑏(3𝑏)2
=
6𝑀𝑚𝑎𝑥
𝑏 . 9𝑏2
=
6𝑀𝑚𝑎𝑥
9𝑏3
 
 
de onde: 
𝑏 = √
6𝑀𝑚𝑎𝑥
9𝜎
3
= √
6 × 1000𝑁𝑚
9 × 10 × 106
𝑁
𝑚2
3
 
 
𝑏 = √
6 × 1000
9 × 10
3
× 10−2𝑚 
𝑏 ≅ 4 × 10−2𝑚 → 𝑏 = 4𝑐𝑚 ou 𝑏 = 40𝑚𝑚 
 
Como ℎ = 3𝑏, conclui-se que ℎ = 3 × 30 = 120𝑚𝑚. 
 
8.2 TORÇÃO 
8.2.1 Introdução 
 Um objeto material submete-se a esforço de torção, quando atua um 
torque em uma das suas extremidades e um contratorque na extremidade 
oposta, conforme ilustrado na figura abaixo. 
 
 
8.2.2 Momento Torçor ou Torque 
 O torque atuante no material representado na figura é definido através 
do produto entre a intensidade da carga aplicada e a distância entre o ponto de 
aplicação da carga e o centro da secção transversal (pólo). 
 Tem-se portanto: 
𝑀𝑇 = 2𝐹 . 𝑆 
onde: 
𝑀𝑇 – Momento torçor ou torque [Nm]; 
𝐹 – Carga aplicada [N]; 
𝑆 – Distância entre o ponto de aplicação da carga e o pólo [m]. 
 Para exemplificarnas transmissões mecânica construídas por polias, 
engrenagens, rodas de atrito, correntes, etc., o torque é determinado através 
de: 
𝑀𝑇 = 𝐹𝑇 . 𝑟 
onde: 
𝑀𝑇 – Torque [Nm]; 
𝐹𝑇 – Força tangencial [N]; 
𝑟 – raio do material [m]. 
 
 
8.2.3 Tensão de Cisalhamento na Torção (𝝉) 
 A tensão de cisalhamento atuante na secção transversal de um material 
é definido através da expressão: 
𝜏 =
𝑀𝑇 . 𝜌
𝐽𝑝
 
para 𝜌 = 0 → 𝜏 = 0 
para 𝜌 = 𝑟 → 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑇 .𝜌
𝐽𝑝
 (I) 
 A tensão aumenta à medida que o ponto estudado afasta-se do centro e 
aproxima-se da periferia. A tensão máxima na secção ocorrerá na distância 
máxima entre o centro e a periferia, ou seja, quando 𝜌 = 𝑟.Pela definição de 
módulo de resistência polar, sabe-se que: 
𝑊𝑝 =
𝐽𝑝
𝑟
 (II) 
 Substituindo (II) em (I), tem-se que: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑇
𝑊𝑝
 
onde: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 – tensão máxima de cisalhamento na torção [Pa]; 
𝑀𝑇–momentotorçor ou torque [Nm; Nmm]; 
𝐽𝑝–momento polar de inércia [m
4; mm4]; 
𝑟–raio da secção transversal [m; mm]; 
𝑊𝑝–módulo de resistência polar da secção transversal [m
3; mm3] 
 
 
8.2.4 Distorção (𝜸) 
 O torque atuante no material provoca na secção transversal deste, o 
deslocamento do ponto 𝐴 da periferia para uma posição 𝐴′.Na longitude do 
eixo, origina-se uma deformação de cisalhamento que denomina-se distorção 
𝛾, que é determinada em radianos, através da tensão de cisalhamento atuante 
e o módulo de elasticidade transversal do material. 
𝛾 =
𝜏
𝐺
 
onde: 
𝛾 – distorção [rad]; 
𝜏 – tensão atuante [Pa]; 
𝐺 – módulo de elasticidade transversal do material [Pa]. 
 
 
8.2.5 Ângulo de Torção (𝜽) 
 O deslocamento do ponto 𝐴 para uma posição 𝐴′, descrito na distorção, 
gera, na secção transversal da peça, um ângulo de torção (𝜃) que é definido 
através da fórmula. 
𝜃 =
𝑀𝑇 . 𝑙
𝐽𝑝 . 𝐺
 
onde: 
𝜃 – ângulo de torção [radianos]; 
𝑀𝑇 - momento torçor ou torque [Nm; Nmm]; 
𝑙 – comprimento do objeto material [m; mm]; 
𝐽𝑝 –momento polar de inércia [m
4; mm4]; 
𝐺 – módulo de elasticidade transversal do material [Pa]. 
 
Exemplo: 
 Um material feito de aço possui diâmetro 𝑑 = 30𝑚𝑚, gira com uma 
velocidade angular 𝜔 = 20𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ , movida por uma força tangencial 𝐹𝑇 =
18𝑘𝑁. 
Determinar para o movimento: 
a) Rotação (n) 
b) Frequência (f) 
c) Velocidade periférica (𝑣𝑝) 
d) Torque (𝑀𝑡) 
 
Solução: 
a) Rotação (n) 
𝑛 =
30𝜔
𝜋
→ 𝑛 =
30 × 20𝜋
𝜋
→ 𝑛 = 600𝑟𝑝𝑚 
b) Frequência (f) 
𝑓 =
𝑛
60
=
600
60
→ 𝑓 = 10𝐻𝑧 
c) Velocidade periférica (𝑣𝑝) 
𝑣𝑝 = 𝜔 . 𝑟 = 20𝜋 × 0,015 = 0,3𝜋 𝑚 𝑠⁄ ≅ 0,94 𝑚 𝑠⁄ 
d) Torque (𝑀𝑡) 
𝑀𝑇 = 𝐹𝑇 . 𝑟 = 18000𝑁 × 0,015𝑚 → 𝑀𝑇 = 270𝑁𝑚 
 
8.3 FLAMBAGEM 
8.3.1 Introdução 
 Ao sofrer a ação de uma carga axial de compressão, um objeto 
estrutural pode perder a sua estabilidade, sem que o material tenha atingido o 
seu limite de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de 
menor momento de inércia de sua secção transversal. 
 
8.3.2 Carga Crítica 
 Denomina-se carga crítica, a carga axial que faz com que um objeto 
estrutural venha a perder estabilidade, demonstrada pelo seu encurvamento na 
direção do eixo longitudinal, como ilustrado abaixo. 
 
 
8.3.2.1 Carga Crítica de Euler 
 Através do estudo do suíço Leonard Euler (1707-1783), determinou-se a 
fórmula da carga crítica nas estruturas carregadas axialmente. 
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐽
𝑙𝑓
2 
onde: 
𝑃𝑐𝑟–carga crítica [N; kN]; 
𝐸–módulo de elasticidade do material [Mpa; GPa]; 
𝐽 – momento de inércia da secção transversal [m4; cm4] 
𝑙𝑓 – comprimento livre de flambagem [m; mm] 
𝜋 – constante trigonométrica 3,1415... 
 
8.3.3 Comprimento Livre de Flambagem 
 Em função do tipo de fixação de suas extremidades, um objeto estrutural 
apresenta diferentes comprimentos livres de flambagem. 
 
Engastada e livre 𝑙𝑓 = 2𝑙 
Biarticulada 𝑙𝑓 = 𝑙 
Articulada e engastada 𝑙𝑓 = 0,7𝑙 
Biengastada𝑙𝑓 = 0,5𝑙 
 
8.3.4 Índice de Esbeltez (𝝀) 
 É definido através da relação entre o comprimento de flambagem (𝑙𝑓) e o 
raio de giração mínimo da secção transversal do objeto estrutural em análise. 
𝜆 =
𝑙𝑓
𝑖𝑚𝑖𝑛
 
onde 
𝜆 – índice de esbeltez [adimensional]; 
𝑙𝑓 – comprimento livre de flambagem [m; mm]; 
𝑖𝑚𝑖𝑛 – raio de giração mínimo [m]. 
 
8.3.5 Tensão Crítica (𝝈𝒄𝒓) 
 A tensão crítica deverá ser menor ou igual à tensão de 
proporcionalidade do material. Desta forma, observa-se que o material deverá 
estar sempre na região de formação elástica, pois o limite de proporcionalidade 
constitui-se no limite máximo para validade da lei de Hooke.Define-se a tensão 
crítica através da relação entre a carga crítica e a área de secção transversal 
do objeto estrutural analisado.Tem-se então: 
𝜎𝑐𝑟 =
𝑃𝑐𝑟
𝐴
=
𝜋2𝐸𝐽
𝑙𝑓
2 . 𝐴
 
Como 𝑙𝑓
2 = 𝜆2 . 𝑖𝑚𝑖𝑛
2 escreve-se que 
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐽
 𝐴 .𝜆2.𝑖𝑚𝑖𝑛
2 mas, 𝑖𝑚𝑖𝑛
2 =
𝐽
𝐴
 
Portanto: 
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸𝐽
 𝐴 
𝐽
𝐴
𝜆2
 
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2. 𝐸
𝜆2
 
onde: 
𝜎𝑐𝑟 – tensão crítica [MPa]; 
𝐸 – módulo de elasticidade do material [Mpa; GPa]; 
𝜆 – índice de esbeltez [adimensional]; 
𝜋 – constante trigonométrica 3,1415... 
 
Exemplo: 
 Determinar 𝜆 para um material feito de aço, visando ao domínio da 
fórmula de Euler. 
𝜎𝑝 = 190𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑎ç𝑜 = 210 𝐺𝑃𝑎 
Solução: 
 Para determinar o domínio, a tensão de proporcionalidade torna-se 
crítica. Tem-se, então, que: 
𝜎𝑝 = 𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2𝐸
𝜆2
 
𝜆 = √
𝜋2 . 𝐸
𝜎𝑝
 
𝜆 = √
𝜋2 × 210 × 109
190 × 106
= √
𝜋2 × 21 × 104
190
 
𝜆 = 102√
𝜋2 × 21
190
→ 𝜆 =≅ 105 
Conclui-se que:para aço de baixo carbono, a fórmula de Euler é válida para 
 𝜆 > 105. 
 
9. ANÁLISE DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
9.1. INTRODUÇÃO 
A análise de tensões e deformações é fundamental para o entendimento 
de problemas relacionados a resistência de estruturas mecânicas/geológicas. 
Tal resistência é compreendida através da determinação das tensões que 
surgem quando um material está sujeito a carregamentos externos e internos. 
 
 
9.2. ESTADO DE TENSÃO 
9.2.1.Estado triplo de tensão 
O estado triplo de tensão é caracterizado pela forma tridimensional das 
tensões na qual um material está submetido (Bela et al., 1999). 
 
 
 
Figura 1: Estado triplo de tensões. 
 
9.2.2. Estado plano de tensão 
 Neste caso, desconsidera-se as componentes de tensão relativas ao 
eixo z, mostradas na Figura 1, resultando no estado plano representado na 
Figura 2. 
 
 
Figura 2: Estado plano de tensões. 
 
9.2.3. Transformações de tensão 
As tensões são variantes com a orientação do sistema de coordenadas 
adotado, o que indica, que se um elemento estrutural é rotacionado de um 
ângulo qualquer as tensões são transformadas, como indicado na Figura 3. 
 
 
Figura 3: Transformação de tensões. 
 
Desta forma, as transformações são obtidas a partir do produto entre o 
tensor das tensões e a matriz dos cossenos diretores, ou de forma mais 
simples, através das decomposições geométricas, mostradas na Figura 4. 
 
Figura 4: Plano oblíquo - determinação das transformações de tensão 
Sendo assim, as tensões transformadas para um plano qualquer são 
dadas por: 
 
cos2 sin 2
2 2
x y x y
xy
   
   
+ −
= + + (1) 
sin 2 cos2
2
x y
xy
 
   
−
= − + (2) 
 
Derivando a Eq. (1) em relação ao ângulo θ e igualando a zero, tem-se: 
 
2
tan 2
xy
p
x y


 
=
−
 (3) 
A Eq. (3) define dois valores para o ângulo 2𝑞, correspondentes a 
mínima e máxima tensões normais. Estas tensões são chamadas de tensões 
principais, e a correspondente direção é chamada de direção principal. O 
ângulo entre as direções principais é 𝑞 = 90°. 
Similarmente, derivando a Eq. (2) em relação ao ângulo 𝑞 e igualando a 
zero, tem-se: 
 
tan 2
2
x y
C
xy
 


 −
= −  
 
 (4) 
 
A Eq. (4) define dois valores para o ângulo 2𝑞, correspondentes a 
mínima e máxima tensões de cisalhamento. 
De forma resumida, tem-se para as tensões principais 
 
( )
2
2
1 2
,
2 2
x y x y
xy
   
  
+ − 
=  + 
 
 (5) 
 
No caso da tensão de cisalhamento máxima, tem-se: 
 
( )
2
2
2
x y
MAX xy
 
 
− 
= + 
 
 (6) 
 
9.2.4. Ciclo de Mohr 
O ciclo de Mohr é um método gráfico para visualizar o estado de tensão 
a qual um material está submetido. As tensões normais são plotadas sobre o 
eixo das abscissas e as tensões cisalhantes sobre o eixo das ordenadas. 
Quanto a convenção de sinais, tanto para as tensões normais quanto para as 
tensões de cisalhamento está mostrada na Figura 3. 
 
Figura 5: Ciclo de Mohr 
 
Convenção de sinais 
Neste caso, consideramos separadamente cada face do elemento usado 
na definição dos componentes de tensão. Vemos na figura abaixo que, quando 
a tensão de cisalhamento em uma certa fase tende a rodar o elemento no 
sentido horário, o ponto que corresponde a essa face no círculo de Mohr estará 
situado acima do eixo 𝜎. Quando a tensão de cisalhamento em uma certa face 
tende a rodar o elemento no sentido anti-horário, o ponto que corresponde a 
essa face fica localizado abaixo do eixo 𝜎. Já para as tensões normais, 
mantém-se a convenção usual, em que a tensão de tração é positiva, sendo 
marcada para a direita, e a tensão de compressão é considerada negativa e 
marcada para a esquerda. 
 
 
 
Exercícios 
1-Utilizando o estado plano de tensão abaixo, para 𝜎𝑥 = 75𝑀𝑃𝑎, determine (a) 
as tensões principais; (b) a tensão de cisalhamento máxima; (c) o ângulo 
principal e (d) o diagrama de Mohr. 
 
2– Para que valores de 𝜎𝑥, a tensão de cisalhamento máxima, no estado plano 
de tensão indicado na questão anterior, é igual ou menor que 50 MPa? 
 
 
 
 
9.3. CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA 
Os elementos estruturais e seus componentes são projetados de modo 
que o material que os compõem, não venha falhar pela ação dos 
carregamentos esperados. Sendo assim, existem critérios que foram propostos 
para prever a falha estrutural de vários tipos de materiais sujeitos a muitas 
combinações de cargas. 
 
9.3.1. Critérios de Ruptura para Materiais Frágeis em Estado Plano de 
Tensões 
Os materiais frágeis se caracterizam pelo fato de apresentarem uma 
ruptura brusca no ensaio de tração, sem que ocorra escoamento anterior ao 
instante de ruptura. Quando um elemento estrutural, composto de material 
frágil, está em estado uniaxial de tensão de tração, o valor da tensão que 
provoca sua ruptura é igual à tensão última σU do material, determinada em um 
ensaio de tração. Isso se dá porque o elemento estrutural e o corpo de prova 
estão submetidos ao mesmo estado de tensões. Por outro lado, quando o 
elemento estrutural ou componente de máquina se encontrar em estado plano 
de tensões, é conveniente determinar-se inicialmente as tensões principais 𝜎1e 
𝜎2 em um certo ponto, e usar um dos critérios indicados a seguir, para garantir-
se que o elemento ou componente não irá romper sob efeito do carregamento 
esperado. 
 
9.3.2. Critério da Máxima Tensão Normal ou Critério de Coulomb 
De acordo com este critério, um componente estrutural se rompe quando 
a máxima tensão normal atuante atinge o valor da tensão última 𝜎𝑈, obtida por 
meio de um ensaio de tração em corpo de prova do mesmo material. Assim, o 
componente estrutural se encontrará em situação de segurança enquanto os 
valores absolutos das tensões principais 𝜎1e 𝜎2 forem ambos menores que 𝜎𝑈: 
 
1
2
U
U (7) 
 
O critério da máxima tensão normal pode ser expresso graficamente 
como indica a Figura 9. Marcando os valores de 𝜎1e 𝜎2, localizamos um ponto 
que, se estiver dentro da área do quadrado indicada, indicará que o elemento 
estrutural tem segurança. Se o ponto estiver fora dessa área, o elemento 
estrutural irá romper-se. 
 
Figura 9: Representação de Coulomb. 
 
O critério da máxima tensão normal é conhecido também como critério 
de Coulomb, devido ao físico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-
1806). Esse critério tem uma deficiência séria, uma vez, que se baseia na 
hipótese de que a tensão última do material é a mesma na tração e na 
compressão. Esse fato raramente ocorre, devido à presença de vazios no 
material, tais como falhas e fissuras, que debilitam o material tracionado, 
embora não tenham influência apreciável no material sujeito a compressão. Por 
outro lado, esse critério não leva em conta outros efeitos nos mecanismos de 
ruptura do material, a não ser aqueles da tensão normal. 
 
9.3.3. Critério da Máxima Deformação Específica ou Critério de Saint-
Venant 
Foi muito usado durante o século dezenove. De acordo com esse 
critério, um componente estrutural se encontra com segurança enquanto o 
valor máximo da deformação específica no componente não exceder o valor 𝜀𝑈 
da deformação específica de ruptura de um corpo de prova submetido a ensaio 
de tração. Mas, a deformação específica é máxima ao longo de um dos eixos 
principais de tensão, e a deformação é elástica e o material é homogêneo e 
isotrópico. Logo chamando de 𝜀𝑎 e 𝜀𝑏 os valores das deformações específicas 
ao longo dos eixos principais no plano de tensão escrevemos 
 
Ub
Ua




 (8) 
 
Fazendo uso da Lei de Hooke generalizada, vamos exprimir essas 
relações em função das tensões principais 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 e da tensão última 𝜎𝑈, do 
material estudado. Deduz-se que, de acordo com o critério da máxima 
deformação específica, o componente estrutural se encontra em situação de 
segurança sempre que o ponto marcadocom as coordenadas 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 cair 
dentro da área indicada na Fig. 9. Na figura, ʋ indica o coeficiente de Poisson 
para o material. 
 
Figura 9 
 
9.3.4. Critério de Mohr 
Critério sugerido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, pode ser usado 
para prever os efeitos de um certo estado de tensões plano em um material 
frágil, quando alguns resultados de vários tipos de ensaios podem ser obtidos 
para esse material.Vamos considerar inicialmente que foram feitos ensaios de 
tração e de compressão em um certo material, e que se determinaram os 
valores 𝜎𝑈𝑇 e 𝜎𝑈𝐶 da tensão última para tração e compressão. O estado de 
tensões que corresponde à ruptura do corpo de prova no ensaio de tração 
pode ser representado em um diagrama de círculo de Mohr pelo círculo que 
intercepta o eixo horizontal em O e em 𝜎𝑈𝑇 (Fig. 10a). Do mesmo modo, o 
estado de tensões que corresponde à ruptura no ensaio de compressão pode 
ser representado pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em 𝜎𝑈𝐶 
Fica claro que um estado de tensões representado por um círculo inteiramente 
contido em qualquer dos dois círculos é um estado de tensões seguro. Desse 
modo, quando as duas tensões principais são positivas, o estado de tensões é 
seguro enquanto 𝜎𝑎 < 𝜎𝑈𝑇e 𝜎𝑏 e 𝜎𝑏 < 𝜎𝑈𝑇; quando as duas tensões principais 
são negativas, o estado de tensões é seguro para |𝜎𝑎| < |𝜎𝑈𝑐| e |𝜎𝑏| < |𝜎𝑈𝑐|. 
Marcando o ponto de coordenadas 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 (Fig. 10b), vamos verificar que o 
estado de tensões é seguro se o ponto marcado cair em alguma das áreas 
quadradas da figura. 
 
Figura 10 
 
Para a análise dos casos em que 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 têm sinais contrários, vamos 
considerar que a tensão última para cisalhamento no material, 𝜏𝑈, foi 
determinada em um teste de torção. Desenhamos o círculo de centro em O, 
que representa o estado de tensões do corpo de prova no ensaio, no instante 
de ruptura (Fig. 11a). Qualquer estado de tensões representado por um círculo 
que esteja inteiramente contido no círculo obtido é um estado de tensões 
seguro para o material. O critério de Mohr é uma extensão lógica dessa 
observação: de acordo com ele, um estado de tensões é seguro se for 
representado por um círculo localizado inteiramente dentro da área limitada 
pela envoltória dos círculos que correspondem aos dados de ensaios. 
Podemos agora obter as partes restantes do diagrama de tensões principais, 
desenhando vários círculos tangentes à envoltória, para determinarmos os 
valores correspondentes de 𝜎𝑎e 𝜎𝑏, que serão marcados na Fig. 11b. 
 
Figura 11 
 
Diagramas mais exatos podem ser obtidos se for possível a 
determinação de mais resultados de ensaios, correspondentes a vários estados 
de tensões. Se, por outro lado, os únicos dados disponíveis forem as tensões 
últimas 𝜎𝑈𝑇e 𝜎𝑈𝐶, a envoltória da Fig. 11a é substituída pelas tangentes AB e 
A'B' aos círculos que são relativos à ruptura a tração e à ruptura a compressão 
(Fig. 12a). Os triângulos semelhantes desenhados nessa figura mostram que a 
abscissa C de um círculo tangente a AB e A'B' varia linearmente com o seu raio 
R. Como 𝜎𝑎 = 𝑂𝐶 + 𝑅 e 𝜎𝑏 = 𝑂𝐶 − 𝑅, vemos que 𝜎𝑎e 𝜎𝑏 têm variação linear. 
Assim, a área sombreada que corresponde a esse critério de Mohr simplificado 
é limitada por duas linhas retas no segundo e quarto quadrantes (Fig. 12b). 
 
Figura 12 
 
Devemos observar que para determinarmos se um componente 
estrutural é seguro ou não para certo carregamento, precisamos calcular o 
estado de tensões em todos os pontos críticos do componente, quer dizer em 
todos os pontos em que possam ocorrer concentração de tensões. Em alguns 
casos, esse cálculo pode ser efetuado por meio dos fatores de concentração 
de tensões. Em muitos outros casos, no entanto, devemos lançar mão da teoria 
da elasticidade para calcularmos o estado de tensões nos pontos 
críticos.Cuidados especiais devem ser tomados quando se detecta fissuras 
macroscópicas em componentes estruturais. É certo que o corpo de prova 
usado no ensaio de determinação da tensão última deve ter algum tipo de 
imperfeição (como cavidades, fendas e fissuras microscópicas), do mesmo 
modo que o componente estrutural em estudo, mas certamente está isento de 
falhas macroscópicas. Quando uma fissura ou trinca é detectada em um 
elemento estrutural, é necessário determinar-se se a fissura vai se propagar 
sob o esforço atuante, levando o elemento à ruptura, ou se vai se manter 
estável. Isso exige uma análise envolvendo a energia associada ao 
crescimento da fissura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografias: 
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Federal do Pará. Instituto de Geociências. 
Hibbeler, R. C. 1995. Engineering Mechanics: Statics and Dynamics, 7th ed. 
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Münch, D., Martin, M. C. ,Freitas,L. Relatório de Mapeamento Geológico da 
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2017. 
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