EBOOK - Resistência dos Materiais Aplicada

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educacional 
gente criando o futuro 
Presidente do Conse lho de Administ ração Janguiê Diniz 
Direto r-presidente Jânyo Diniz 
Diretoria Executiva de Ensino Adria no Azevedo 
Diretoria Executiva de Serviços Corporativos Joaldo Diniz 
Diretoria d e Ensino a Distância Enzo Moreira 
Autoria Leonardo Vin icius Paixão Dac io lo 
Projeto Gráfico e Capa DP Content 
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Análise de Qual idade, Edição de Texto, Design lnstruc iona l, 
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1 
ASSISTA 
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado. 
1 
CITANDO 
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado. 
1 
CONTEXTUALIZANDO 
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato; 
demonstra-se a situação histórica do assunto. 
1 
CURIOSIDADE 
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado. 
1 
DICA 
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado. 
1 
EXEMPLIFICANDO 
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto. 
1 
EXPLICANDO 
Expllcaçao, eluc1daçao sobre uma palavra ou expressao específica da 
área de conhecimento trabalhada. 
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Unidade 1 - Barras sujeitas à torção pura 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12 
Análise do comportamento de barras de seção circular sujeitas à torção pura ........... 13 
Ângulo de torção em barras de seção circulares ......................... ............................ 19 
Elementos estaticamente indeterminados submetidos a momento torçor ...... ..... 21 
Dimensionamento de barras de seção arbitrárias sujeitas à torção ......................... 23 
Tubos de paredes finas submetidos à torção ................................................ ............. 28 
Analogia de membrana ...................................................................... .. .......................... 32 
Sintetizando ........................................................................................................................... 39 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 40 
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Unidade 2 - Deflexão em vigas 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 42 
Deflexão de vigas: linha elástica ...................................................................................... 43 
Equações diferenciais da curva de deflexão ......... ........................ ... ......................... 46 
Método da integração da linha elástica .................. .................................................... 51 
Vigas estaticamente indeterminadas ............................................................................... 57 
Método da integração ....................... .......................................... ............ ... .. .. ....... .. ...... 60 
Método da superposição de efeitos ........... ............. ..... ......................... ...................... 64 
Sintetizando ........................................................................................................................... 68 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 69 
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Unidade 3 - Flexão e flambagem 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 71 
Flexão oblíqua e composta ................................................................................................ 72 
Flexão nas estruturas ................... .............. .... ............ .................. .......... .. .. ........... ......... 72 
Flexão oblíqua ................................ ...... ............ ............ ..... ......................... ..... .. ............... 76 
Flexão normal composta .............. .. .. .. ........................ .............. .... .. .... .. .. ......... ......... ...... 79 
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas ............................................. 81 
Fórmula de Euler .................................................... ............ .... .. ............ .......... .. .. .. ............ 86 
Sintetizando ........................................................................................................................... 92 
Referências bibliográficas ................................................................................................. 93 
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Unidade 4 - Transformação da tensão e deformação 
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 95 
Análise dos estados planos de tensão e deformação ................................................... 96 
Círculo de Mohr ............................................................................. .......... ... .. .. ............... 103 
Estado plano de deformações ...................... .. ........... .. ............................ .. .. .. .. .. .......... 106 
Dimensionamento de peças sujeitas a carregamento alternado ............................. 109 
Análise de elementos sujeitos a carregamentos combinados .... .......... ...... .. ........ 111 
Aplicação dos teoremas de energia de deformação .............................. .................... 114 
Métodos de energia para diferentes esforços internos ............ .. .. .. ....... .. .. ............ 117 
Sintetizando ......................................................................................................................... 122 
Referências bibliográficas ............................................................................................... 123 
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A compreensão do comportamento mecânico das estruturas é uma eta-
pa fundamental no desenvolvimento técnico e profissional do engenheiro. Ao 
projetarmos as estruturas, estamos dando forma e concretizando os sonhos e 
necessidades de alguém. 
Por isso, precisamos projetar de forma responsável e sustentável, usando 
o conhecimento das técnicas e comportamentos físicos envolvidos nos proble-
mas que nos forem apresentados durante o projeto. 
Este material foi desenvolvido para possibilitar seu contato com os princi-
pais tópicos de mecânica dos sólidos, a fim de, também, instigá-lo a se aprofun-
dar nessa ciência, fundamental para a concretização das estruturas. 
Durante seus estudos, você será apresentado a diferentes comportamen-
tos dos elementos das estruturas, decorrentes das distintas formas de solicita-
ção estrutural, vinculações, mecanismos de instabilização e falha. Também iráconhecer as principais hipóteses simplificadoras, teoremas e equacionamen-
tos associados à análise estrutural. 
Com os conhecimentos adquiridos, será possível identif icar as solicitações 
e esforços empregados nos elementos, o que se constitui como uma primeira 
etapa de dimensionamento para qualquer sistema estrutural. Adiante, a partir 
do estudo em disciplinas específicas de dimensionamento de sistemas estrutu-
rais, será possível correlacionar as solicitações com as propriedades resisten-
tes dos elementos de seu sistema. 
Bons estudos! 
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O professor Leonardo Vinícius Pai-
xão Daciolo é mestre em engenharia 
civil, na área de concentração de es-
truturas e geotecnia, pela Universidade 
Federal de São Carlos - UFSCar (2020), 
é engenheiro civil com ênfase em siste-
mas construtivos, também pela UFSCar 
(2017) e técnico em edificações pelo 
Centro Paula Souza - CEETEPS (2012). 
É professor de engenharia civil no ensi-
no superior e realiza atividades de pes-
quisa, ensino e extensão. 
Currículo Lattes: 
http://lattes.cnpq.br/6917885391614752 
Dedico este trabalho à minha família, aos amigos e aos professores que me 
acompanharam e possibilitaram esta concretização. 
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UNIDADE 
~ 
~ 
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Objetivos da unidade 
• Compreender o comportamento mecânico de elementos estruturais sujeitos a 
esforços torcionais; 
e Identificar deslocamentos, rotações, empenamentos de seções decorrentes 
de momento torçor; 
• Quantificaras tensões cisalhantes máximas e ângulos de torção desses 
elementos. 
Tópicos de estudo 
Análise do comportamento de 
barras de seção circular sujeitas 
à torção pura 
Ângulo de torção em barras de 
seção circulares 
Elementos estaticamente inde-
terminados submetidos a mo-
mento torçor 
• Dimensionamento de barras 
de seção arbitrárias sujeitas à 
torção 
Tubos de paredes finas subme-
tidos à torção 
Analogia de membrana 
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O .. Análise do comportamento de barras de seção circular 
sujeitas à torção pura 
Nesta unidade, vamos compreender melhor um novo tipo de solicita-
ção estrutural: o momento torçor, também denominado torque. O torque 
está presente em diferentes aplicações cotidianas, seja no manuseio de 
uma chave de fenda, no funcionamento de um eixo de transmissão, em 
esforços em elementos configurados em grelha, no mastro de embarca-
ções e em muitos outros casos em que forças de torção surgem tentando 
rotacionar os elementos. 
Na Figura 1 temos um exemplo ilustrativo do comportamento de bar-
ras circulares submetidas à torção. Na Figura 1a, podemos observar uma 
mulher exercitando os músculos com uma barra de torção flexível (equipa-
mento fisioterapêutico). Inicialmente, este elemento cilíndrico está em re-
pouso e, após a incidência de torção (Figura 1b), podemos visualizar uma 
rotação nas arestas de seu entorno: 
Figura 1. Barra elástica circular submetida à torção. Fonte: Shutterstock. Acesso em 24/9/2020. (Adaptado). 
Alguns questionamentos surgem após esta observação: como quantificar 
este esforço torçor? Qual a rotação que a barra irá sofrer? Ela irá se romper? 
Como sua seção ficará deformada? Como este comportamento é considerado 
nas estruturas? Vamos estudar todos estes aspectos, iniciando pela base: de 
onde vem este momento torçor. 
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Uma força irá originar um momento torçor quando tender a deformar a 
seção transversal no próprio plano da seção, ou seja, perpendicularmente 
ao seu eixo. Em uma definição mais formal, podemos dizer que um momen-
to torçor é originário da soma de todos os momentos que atuam no plano 
YZ (perpendicular ao eixo do elemento), de forma que sua resultante ten-
de a rotacionar a seção transversal em torno do seu eixo, conforme pode 
ser visualizado na Figura 2a. As tensões que ocorrem na seção transversal, 
decorrentes dos esforços de torção, são tensões cisalhantes, cuja atuação 
pode ocasionar tensões de tração e compressão ao longo do elemento, po-
dendo levá-lo a ruptura (Figura 2b): 
a) z b) 
T "\. 45° Trinca 
Oo'--() 
Figura 2. Esforças de tarçãa: (a) atuação da mamenta tarçar; (b) ruptura par tarçãa. Fonte: GERE, 2003, p. 143-159; 
FEC. Acessa em: 2/8/2020. (Adaptada). 
Para prosseguir com as análises deste tipo de esforço, precisamos padronizar 
nossas convenções de sinais. Um corpo cuja seção tende a rotacionar no sent ido 
horário apresenta um torque negativo, enquanto um corpo cuja seção tende a rota-
cionar no sentido anti-horário, apresenta torque positivo. 
Podemos aplicar uma regra prática para a identificação desta convenção: a regra 
da mão direta. Esta regra é aplicada esticando o polegar na direção do eixo da seção 
e orientando os demais dedos na direção de rotação causada pela aplicação das for-
ças do sistema. Quando este alinhamento dos dedos resultar em um polegar saindo 
da seção, teremos a situação de momento torçor positivo, enquanto uma resultante 
na qual o polegar tenda a entrar na seção indicará um momento negativo. Pratique 
esta regra com a Figura 2a e perceba que otoqueserá negativo para a estrutura em 
questão, enquanto na Figura 2bteremos uma situação de torque positivo. 
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Agora, vamos analisar o comportamento de barras circulares sujeitas a este 
esforço por apresentarem algumas propriedades geométricas especiais, mot ivo 
pelo qual são amplamente utilizadas. Para desenvolver a formulação de torção 
em barras circulares, tomemos, inicialmente, uma barra de comprimento L, ilus-
trada na Figura 3: 
T' 
Figura 3. Barra de seçâo circular submetida à torçâo. Fonte: BEER et ai., 2015, p. 152. 
Quando aplicamos um momento torçor de intensidade T nesta barra, su rgi-
rá um esforço interno para equilibrá-lo T'. Internamente, tomando-se um ele-
mento na seção transversal, podemos identificar a força atuante neste ponto 
(dF), que atua a uma distância p do centro da seção transversal, de forma que: 
Jp dF= T (1) 
Expressa o equilíbrio entre o momento torçor aplicado e os esforços internos. 
Esta força, infinitesimal, atua em uma área infinitesimal (dA), ocasionando 
uma tensão de cisalhamento. Podemos, então, realizar uma mudança de variá-
vel em nossa integral, obtendo: 
Jp (r dA) = T (2) 
Como as tensões de cisalhamento não ocorrem somente em 
um plano (Figura 4a), ao aplicarmos o momento 
torçor, visualizamos uma tendência ao desli-
zamento, que ocorrem em planos longitu-
dinais e transversais. No caso de barras 
circulares, as seções transversais planas 
permanecerão planas e indeformadas após a 
ação do momento torçor (Figura 4b). 
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Considerando uma barra de seção circular e comprimento L (Figura 4c), 
podemos observar uma rotação da barra após a aplicação do momento tor-
çor (Figura 4d), cujo ângulo é definido como cf:,. Este ângulo é deno-
minado ângulo de torção e, para pequenos valores de rotação, 
pode ser considerado diretamente e linearmente 
proporcional ao momento torçor aplicado. Aro-
tação das seções da barra ocorre em diferen-
tes ângulos ao longo do eixo da barra, contu-
do sem deformar sua seção, uma vez que as 
barras são axissimétricas. O máximo ângulo de 
rotação acontece na excentricidade da barra. 
A) 
~ 1 . . . . . .. . . . . . . 
. . .. 1 ", 
···7-· · -!.. ~: ··-=---. 
Centro da barra •• •• •• • •••••• 
T 
Figura 4. Barra circular submetida à torção: (a) atuação da tensão cisalhante; (b) rotação das seções transversais; (e) 
elemento antes daaplicação da tarçar; (d) ângulo de tarçâa. Fonte: BEER et ai., 2015, p. 155-156. (Adaptado). 
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EXPLICANDO 
Uma geometria axissimétrica ocorre quando o elemento pode ser obtido 
por meio de uma seção transversal que contém um eixo de revolução, 
ou seja, ele se tornará sim étrico em relação ao eixo em qualquer corte 
longitudinal que o contenha. Para estes elementos, podemos trabalhar 
geometricamente em coordenadas cilíndricas, o que geralmente simplifi-
ca as formulações. 
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b) 
Secção transversal 
z • 
1 
1 
1 
1 
Eixo de revolução : 
~ 
1 
Ponto (r, z, 9) 
l 
Figura S. Elemento axissimétrica: (a) seção de revolução; (b) coordenadas cilmdricas. Fonte: RODRIGUES, 2009, p. 2. 
(Adaptada). 
Em uma barra circular, as deformações de cisalhamento variam linear-
mente através da distância radial r, sendo nula a deformação no eixo da 
barra e máxima na superfície externa (GERE, 2003, p. 139). Para tensões 
de cisalhamento abaixo da tensão de escoamento do material da barra, o 
material encontra-se na fase elástica. Nesta fase, as tensões são proporcio-
nais às deformações elásticas e o material retorna a sua configuração inicial 
cessada a aplicação das cargas. Neste regime, podemos utilizar o módulo 
de elasticidade transversal do material (G) para relacionar a tensão de ci-
salhamento desenvolvida com as deformações angulares de cisalhamen-
to (y). A determinação da tensão de cisalhamento média desenvolvida na 
seção transversal pode ser feita pela expressão: 
r = !E... (3) 
j 
Sendo p a distância do ponto da seção transversal ao centro da . 
seção (Figura 6a). A tensão de cisalhamento máxima irá 
se desenvolver na maior distância da seção transver-
sal, com relação ao seu centro, que ocorre na borda 
do elemento (raio máximo). Para tubos circulares (se-
ções circulares vazadas), as distribuições de tensão con -
tinuam semelhantes às seções cheias, ressalvando a inexistência de ten -
sões na parte onde não existe material e as tensões não nulas, já no in ício 
do trecho contínuo (Figura 6b). 
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a) b) 
p r, p 
Figura 6. Distribuiçâo das tensões na seção transversal circular: (a) seção sólida; (b) seção tubular. Fonte: BEER et ai., 
2015, p. 160. (Adaptado). 
A tensão de cisalhamento é inversamente proporcional ao momento polar 
de inércia U), que pode ser entendido como uma resistência geométrica à 
rotação. Repare que esta grandeza é diferente da grandeza momento de inér-
cia, que se relaciona a uma resistência à flexão. O momento polar de inércia 
para uma seção circular (cheia) de raio r pode ser determinado por: 
1 J = 2 nr4 (4) 
Para seções circulares vazadas, cujo raio externo é R e o interno é r, a ex-
pressão do momento polar de inércia é: 
J - n(R4 - r4) (5) - 512 
O momento polar de inércia()) fornece uma indicação da resistência ao giro 
da seção transversal. Este é um momento de segunda ordem (integral de área) 
obtido em coordenadas polares, ou seja, na distância radial (p) de um ponto da 
seção a um ponto de referência (O): 
Jo = lp2dA (6) 
Geralmente escolhemos a origem como o centroide (momento est ático 
de uma área). A depender da geometria da seção transversal de uma es-
trutura, teremos diferentes expressões de determinação do seu momento 
polar de inércia. 
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• 
Ângulo de torção em barras de seção circulares 
Além de determinar a distribuição de tensões (e, consequentemente, de de-
formações) na seção transversal, podemos determinar o ângulo de torção ao 
qual o elemento foi submetido (Figura 4d). Definimos como razão de torção (8) 
a relação entre o ângulo de torção e a distância da seção em relação ao víncu lo 
estrutural (x), ao longo do eixo da barra. Esta relação nos permite obter o ângu lo 
de torção por unidade de comprimento (em radianos): 
8 - d<f> - T(x) (7) 
- dx - G(x)j(x) 
Considerando o comprimento total da barra L, na situação gera l, o ângulo 
de torção total da barra (<t>) é definido como: 
Jl T(x) <t> = G(x)j(x) dx (8) o 
Usualmente, quando utilizamos um material homogêneo, de seção geomé-
trica constante e solicitação constante (por trechos), os termos variáveis saem 
do integrando, de forma que podemos multiplicar a razão de torção para obter 
o ângulo de torção total da barra(</>), em radianos: 
e= .li... (9) 
Gj 
ASSISTA 
Você pode visualizar os parâmetros que foram apresenta-
dos, por meio do vídeo (legendado) Understanding torsion, 
do canal The Efficient Engineer. No vídeo, também é 
possível ver as premissas e propriedades de axissimetria 
de barras circulares. 
A convenção de sinais do ângulo de torção segue a regra da mão di reita, 
anteriormente mencionada, em que rotações horárias possuem convenção ne-
gativa, enquanto rotações anti -horárias possuem convenção positiva. 
O termo GJ é definido como rigidez de torção da barra. Observe que, quanto 
maior esta relação, menor será o ângulo de torção que o elemento apresenta-
rá. Em determinadas aplicações, é interessante, também, determinar o torque 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
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necessário para produzir uma unidade de rotação do elemento. Neste cenário, 
definimos a relação (GJ)IL como a rigidez de torção linear da barra (k
7
), conside-
rada uma constante para a análise estrutural nestas aplicações. 
Caso o eixo seja constituído por uma associação de barras, ou ainda, possua 
a presença de torques múltiplos, podemos aplicar as equações anteriores (mu-
nindo-nos da convenção de sinais) em cada trecho de torque constante. Para 
situações em que o torque ou a seção varia, faz-se necessária a integração das 
respectivas funções de esforços e geometria. 
As determinações de tensão cisalhante e ângulo de torção consideram as 
premissas do princípio de Saint-Venant, em que desprezamos deformações 
localizadas que podem ocorrer em decorrência da aplicação dos momentos 
fletores. O princípio de Saint-Venant é amplamente utilizado em mecânica 
das estruturas, sobretudo por possibilitar uma simplificação de análise, ao de-
sassociar efeitos locais de efeitos gerais. 
O princípio afirma que a tensão e a deformação produzidas em 
um corpo em pontos suficientemente distantes da região de apli-
cação da carga externa serão as mesmas que as produzidas por 
qualquer outro carregamento externo aplicado que tenha ames-
ma resultante estaticamente equivalente e que seja aplicado ao 
corpo dentro da mesma região (sic} (HIBBELER, 2019, p. 106). 
Observamos que as determinações de tensão, deformação e torção dependem 
de características geométricas da seção (como o momento polar de inércia), da mag-
nitude dos esforços e das características constitutivas do material (módulos de elas-
ticidade e níveis de tensões). Quando não se dispuser de resultados de ensaios e 
informações específicas acerca do módulo de elasticidade transversal, usualmente 
se utiliza a relação entre os módulos obtidas da teoria da elasticidade: 
E 
G = 2(1 + u) (1 O) 
Em que E é o módulo de elasticidade linear eu é o coeficiente de Poisson 
do material. 
Dessa forma, o dimensionamento usual dos elementos perpassa, inicialmente, a 
escolha dos materiais estruturas (sistema construtivo), a identificação das ações e o 
dimensionamento geométrico das seções, sendo esta última a principal variável de 
alteração nos projetos. 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
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Exemplo 1 
Determinar a máxima tensão cisalhante que ocorre em uma barra de seção 
circular de diâmetro 50 mm, submetida a um momento torçor de 2,6 kN.m. A 
barra possui comprimento de 1 me módulo de elasticidade transversal de 80 
GP a. Determine também o ângulo de torção atuante na barra.Resolução 1 
Inicialmente, procede-se com a determinação do momento polar de inércia 
(equação (4)), adequando as unidades das variáveis (para metros, neste caso): 
4 
1 1 (0,050) 
J=-m4 =-rr -- =614·10·7 m4 2 2 2 ' 
( 11) 
Determinado o valor de}, podemos utiliza r a equação (3) para obter a ten-
são de cisalhamento máxima na seção, que ocorre quando a distância do ponto 
coincide com o raio da seção: 
= Tr = 2' 6 . 0,025 105863 kP = 105 9 MP (12) 
r J 6, 14 . 70-1 a ' a 
O ângulo de torção pode ser determinado por meio da equação (9): 
TL 2,6 · 1 
,1-. ------,----~ = 0,0529 rad = 3,03º (13) .,, = GJ = (80 · 106)(6,14 · 10·7) 
• 
Elementos estaticamente indeterminados submetidos a 
momento torçor 
Em muitas situações da engenharia, podemos observar a ocorrência de 
barras submetidas a momento torçor, mas vinculadas em suas extremidades. 
Quando a aplicação das equações de equilíbrio (translacional e rotacional) não 
são suficientes para a determinação dos esforços do elemento, estamos em 
uma situação de indeterminação estática: o número de incógnitas do problema 
é superior ao número de equações básicas de resolução. Nestes casos, deve-
mos utilizar os conhecimentos adquiridos para a utilização de equações adi-
cionais, de forma que este sistema matemático se torne passível de resolução. 
Equações que podem ser utilizadas nestes casos são de compatibilidade: 
relações físicas que delimitam ou especificam as condições do problema em 
questão. Caso o eixo possua extremidades (pontos A e B) simultaneamente 
engastadas, este vínculo estrutural restringirá os deslocamentos nestas extre-
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midades, onde podemos constatar que os ângulos de rotação serão nulos. Ma-
tematicamente, escrevemos as seguintes equações de compat ibilidade para o 
problema em questão: 
A) B) 
Figura 7. Barra de seção circular estaticamente indeterminada: (a) faces engastadas; (b) esquema de corpo livre; (e) 
análise de esforços internos. Fonte: HIBBELER, 2019, p. 191. (Adaptado). 
Como elucida Hibbeler (2019), o próximo passo para a resolução destas 
indeterminações é a utilização de uma relação entre carga-deslocamento, ou 
seja, uma equação que permita relacionar as indeterminações das equações de 
equilíbrio com as equações de compatibilidade, tal qual a equação (9). 
Exemplo 2 
Considere a barra estaticamente indeterminada da Figura 7, com diâmetro 
de 50 mm. A barra possui comprimento de 3 m e 2 m, respectivamente aos 
trechos AC e CB. O momento torçor possui intensidade de 300 N.m e o mó-
dulo de elasticidade transversal do material é 70 GPa. Determine as reações 
nas extremidades. 
Resolução 2 
Inicialmente, construímos um diagrama de corpo livre semelhante ao da 
Figura 7b. Aplicando a equação de equilíbrio de momentos (com a convenção 
de sinais), obtemos: 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
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Agora utilizaremos a equação (14) para relacionar o tor-
que com o deslocamento. Observe que o ângulo de rotação 
total (nulo) é obtido pela soma das rotações nos trechos 
AC e CB. Quando analisamos o diagrama de corpo livre, 
também verificamos que os esforços internos no ponto C 
giram em sentidos contrários (para que a resultante seja nula): 
TA LAC TB LCB 
cf>AIB = cf>Ac + cf:ice ➔ 0 = ---w--0 (16) 
TB LCB 2T 
➔ TA LAC - TB LCB =o ➔ TA= -L-= _ B 
AC 3 
Substituindo na equação anterior, podemos resolver o sistema: 
2T 300 -_a - T
8 
=O ➔ T
8 
= 180 N.m (17) 
3 
300 - ~ - 180 =O ➔ ~= 120 N.m (18) 
• 
Dimensionamento de barras de seção arbitrárias sujei-
tas à torção 
Até o momento, analisamos o comportamento de barras circu lares sub-
metidas a esforços de torção, mas o que acontece quando temos uma se-
ção não circular? Marquises, lajes submetidas em balanço, grelhas sujeitas 
a carregamentos verticais e algumas estruturas metálicas (como outdoors 
sujeitos a esforços oriundos do vento) são alguns dos muitos exemplos de 
ocorrência de momento torçor em seções usualmente não circulares (se-
ções retangulares, seções metálicas 1, T, C, U). 
Observamos que por sua axissimetria, as seções transversais ci rculares 
permaneciam planas mesmo após a aplicação da solicitação estrutural. 
Agora, vamos analisar o que acontece em barras de seção não circular. 
Observe a Figura 8a, em que uma barra prismática é submetida a um mo-
mento torçor. Como a seção transversal não é simétr ica em relação ao seu 
eixo (axissimétrica), a aplicação do torque fará com que aconteça uma alte-
ração na geometria da seção do elemento estrutural causado pela to rção, 
de forma que esta barra tenderá a abaular ou entortar (Figura 8b). Neste 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 23 09/12/2020 17,50 49 
caso, as expressões anteriores não podem ser utilizadas para a determi-
nação do comportamento mecânico do elemento estrutura. Então, como 
poderemos proceder? 
Não deformado 
Figura 8. Distribuição das tensões na seção transversal circular: (a) seção sólida; (b) seção tubular. Fonte: HIBBELER, 
2019, p. 197. 
Como ilustram Beer et ai. (2015), convido você a realizar este experi-
mento: em uma borracha retangular, desenhe pequenos quadrados ao 
longo das faces, arestas e quinas do elemento. Agora, submeta esta bor-
racha a uma torção e observe como as deformações nestes quadrados se 
darão. É possível verificar que os vértices das faces exteriores tendem a 
permanecer inalteradas, assim como as arestas longitudinais da borracha. 
Se não ocorreu deformação, podemos concluir que não ocorreram ten-
sões nestes pontos. Diferentemente de quadrados desenhados ao longo 
do corpo da borracha, que apresentam distorção em seu comportamento, 
indicando que tensões cisalhantes originárias do momento torçor estão 
atuando nestes elementos. 
A análise da teoria da elasticidade para elementos de seção não 
circular é complexa e foge ao escopo da proposta dessa 
unidade. É possível utilizar alguns resultados conhecidos 
para identificarmos a máxima tensão cisalhante que ocor-
re em algumas seções típicas (Quadro 1). 
• 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
SER_ENGCIV _RMA_UN!Dl.indd 24 09/12/2020 17,50,51 
QUADRO 1. EXPRESSÕES PARA A DETERMINAÇÃO DA MÁXIMA TENSÃO 
CISALHANTE E ÂNGULO DE TORÇÃO PARA SEÇÕES PARTICULARES. 
~ 
Forma da seção tranversal 
Quadrada 
Triângulo equilátero 
Elipse 
Fonte: HIBBELER, 2019, p. 198. 
4,81 T 
a' 
20 r 
a' 
0 
1, 10 n 
a'G 
46 n 
a'G 
(a'+ li')Tl 
rra'b'G 
Repare que a máxima tensão cisalhante oriunda do torque ocorre em um 
elemento da borda da seção transversal, e não nos vértices da seção. No 
Quadro 1, também podemos determinar o ângulo de torção para diferentes 
seções de barras não circulares. 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 25 09/12/2020 17,50,52 
Estendendo os resultados obtidos, podemos constatar que a seção mais efi-
ciente é a circular, pois a distribuição de tensões e os valores máximos de tensão 
cisalhante são os menores quando comparados a outras geometrias; além disso, 
também apresentam os menores ângulos de torção (HIBBELER, 2019). 
Apesar de não serem as seções mais eficientes, as seções retangulares tam-
bém são altamente empregadas na engenharia civil, por questões de modula-
ção e construção, principalmente na construção deformas para a concretagem 
destes elementos (pilares e vigas, por exemplo). 
Timoshenko e Goodier (1970) analisaram seções retangula res uniformes 
submetidas ao momento torçor puro, obtendo os resultados que serão exi-
bidos. Sendo Lo comprimento de uma barra prismática de seção retangular, 
de lados a e b, respectivamente correspondentes à maior e menor dimensão 
do elemento, podemos determinar a máxima tensão cisalhante que ocorre na 
linha de centro da face maior da barra (dentro do regime elástico), por meio da 
equação (19). Utilizandoa equação (20) também é possível determinar o ângulo 
de torção nestas barras: 
T 
r _ = -- (19) 
max c
1 
ab2 
TL cf> =-- (20) 
e ab3 G 
2 
Repare que as equações (19) e (20) dependem das variáveis c
1 
e c
2
, que 
são coeficientes de torção obtidos em função da forma dos elementos, con-
forme Tabela 1: 
TABELA 1. COEFICIENTES DE TORÇÃO PARA BARRAS RETANGULARES 
~ 
0,208 0,1406 
0,219 0,1661 
0,231 0,1958 
0,246 0,229 
0,258 0,249 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJLindd 26 09/12/2020 17,50,52 
0,267 0,263 
0,282 0,281 
0,291 0,291 
( 1 - 0,630 ~ ) ( 1 -0.630 n 
---- ----3 3 
0,333 0,333 
Fonte: BEE R et ai., 2015, p. 207. (Adaptada). 
Exemplo 3 
A seção transversal de uma viga retangular de concreto possui dimensões 
de 40 cm por 20 cm. Sabendo que o módulo de elasticidade transversal é 10 
GPa, o torque aplicado é 100 kN.m e o comprimento é de 5 m, determine a 
máxima tensão cisalhante atuante na seção e o ângulo de torção ao qual ela 
está submetida. Caso a seção duplicasse sua altura, quais seriam os novos 
valores de tensão cisalhante e ângulo de torção atuantes na estrutura? Dica: 
10 GPa = 1000 kN/cm 2• 
Resolução 3 
Como a seção transversal é retangular, precisamos determinar os coef icien-
tes de torção (Tabela 1 ). Utilizando a razão da maior dimensão pela menor di-
mensão da seção, obtemos: 
.2... = 40 = 2 (21) 
b 20 
Pela Tabela 1, obtemos os coeficientes c
1 
= 0,246 e c
2 
= 0,229. A partir destes 
coeficientes, a determinação da tensão máxima de cisalhamento pode ser rea-
lizada pela equação 19, enquanto o ângulo de torção pela equação (20): 
r _ = _ T_ = 100 · 100 kN 
max C
1 
ab2 0,246 · 40 · 202 = 2' 54 = cm2 = 25A MPa (22) 
</> TL = __ l_0_0_· _l0_0_·_5_00 __ = 0,068 rad = 3,91º (23) 
= c
2 
ab3 G 0,229 · 40 · 203 · 1000 
Considerando uma viga com o dobro de altura, a razão entre as dimensões será 
de ~ = ~~ = 4. Para este valor, os coeficientes de torção serão c1 = 0,282, c2 = 0,281. 
Desta forma, os novos esforços serão: 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 27 09/12/2020 17,50,53 
T 700 · 700 kN 
rmáx = -c1_a_b_2 = 0,282. 80. 202 = 1, 11 cm2 = 11, 1 MPa (24) 
<p = TL = __ t_O_O_· _70_0_·_5_00 __ = 0,028 rad = 1,59º (25) 
c
2 
ab3 G 0,287 • 80 • 203 • 7000 
Tubos de paredes finas submetidos à torção 
Vamos abordar um caso particular 
de seções fechadas submetidas ao mo-
mento torçor: tubos de paredes finas. 
Elementos compostos por tubos com 
paredes de pequena espessura costu-
mam compor estruturas leves, uma vez 
que o tubo é vazado (não possui mate-
rial internamente) e o material do ele-
• 
mento é executado de forma que a seção transversal seja fina. Estes tubos cons-
tituem elementos de fuselagem de avião e algumas estruturas metálicas, por 
exemplo, em que a eficiência do elemento deve ser associada ao seu baixo peso. 
Do ponto de vista de análise estrutural, quando lidamos com tubos de pa-
redes finas, podemos simplificar a distribuição de tensões ao longo da seção 
transversal, de forma que a baixa espessura faz com que a tensão de cisalha-
mento média seja mais representativa do que as distribuições de cisalhamento 
pontuais, uma vez que se confundem. 
Tomemos como exemplo um elemento de uma seção tubular delgada (pa-
redes finas), sujeito ao momento torçor. Como o elemento está em equilíbrio, 
podemos afirmar que a resultante das forças cisalhantes que atuam sobre ele é 
nula. As forças cisalhantes são obtidas pelo produto da tensão de cisalhamento 
pela área de atuação. Por sua vez, a área de atuação é um retângulo de altura 
correspondente à espessura em cada face, de comprimento (não nulo) corres-
pondente ao trecho seccionado L\x e área resultante deste produto (Figura 9a). 
Realizando o equilíbrio do elemento, podemos escrever: 
FA = FB (26) 
[A (tAL\x) = [B (tBL\x) (27) 
[A tA = [B tB (28) 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
SER_ENGCIV _RMA_UN!Dl.indd 28 09/12/2020 17,50,55 
A) 
() 
Figura 9. Determinação das tensões em seções delgadas fechadas: (a) elemento em equilíbrio; (b) momento torçor; (e) 
área média. Fonte: HIBBELER, 2019, p. 200. (Adaptado). 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 29 09/12/2020 17,50,55 
Isso nos informa que o produto da tensão cisalhante média pela respectiva 
espessura da face é a mesma para quaisquer que sejam as faces escolhidas, 
uma vez que as faces A e B foram arbitrárias. Neste sentido, podemos afirmar 
que este produto é constante ao longo da seção transversal. Este resultado 
importante recebe a denominação de fluxo de cisalhamento. 
O termo fluxo é usado como analogia direta à vazão de água em 
canais retangulares de largura te profundidade constante. Repare 
que, nesta analogia, a vazão q nos canais permanece a mesma, 
independente do ponto analisado. O que se alte-
ra nessa interpretação hidráulica é a velocida-
de, que depende da largura do ponto ana-
lisado. Com estas premissas, podemos, 
então, estender as observações e afirmar 
que o fluxo de cisalhamento nestas seções 
delgadas é constante e resultado do produto 
da tensão cisalhante média pela espessura da 
seção transversal. 
q = [méd t (29) 
Repare que, pelo resultado anterior, a maior tensão de cisalhamento 
deve ocorrer na região de menor espessura da seção transversal, para 
que o valor do fluxo de cisalhamento se mantenha constante. Para deter-
minarmos a relação entre o fluxo de cisalhamento e o torque aplicado na 
seção, podemos considerar um pequeno elemento da seção transversal, 
que possuirá espessura te comprimento ds. A área deste elemento é nu-
mericamente igual ao produto t ds, resultando em uma parcela infinitesi-
mal de força igual a: 
dF = rméd dA = rméd (t ds) = q ds (30) 
q = dF (31) 
ds 
Neste sentido, interpretamos o flu xo de cisa lhament o como a taxa de 
variação da força ci sa lhante por unidade de comprimento ao longo da se-
ção transversal. Este diferencial de força causará um diferencial de mo-
mento torçor dT em relação a um ponto O (Figura 9b), cujo braço de ala -
vanca (distância perpendicular) denominaremos p: 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 30 09/12/2020 17,50,55 
dT = p dF = p (q ds) (32) 
dT pq (33) 
ds 
T = <j p q ds (34) 
Repare que, em nossa equação, a integração deve ser realizada em torno 
da seção transversal, configurando uma integral de linha. Como o fluxo de cisa-
lhamento é constante na seção, podemos retirá-lo do integrando da equação, 
resultando em: 
T = q <f, p ds = rméd t<jp ds (35) 
O integrando restante pode ser simplificado considerando a área dope-
queno triângulo formado pelo eixo do elemento infin itesimal apresentado 
na Figura 9b (onde a resultante dF é aplicada). Ao se percorrer toda a seção 
transversal, podemos determinar o momento torçor pela expressão: 
T = r méd t <j p ds = rméd t (2Améj (36) 
T 
rméd = ~ (37) 
med 
Na expressão anterior, Amédé correspondente à área média obtida pela linha 
de centro da seção transversal (Figura 9c). Dessa forma, na determinação de 
tensões cisalhantes decorrentes de momento torçor aplicado a t ubos delga-
dos, devemos, inicialmente, determinar a geometria correspondente ao con-
torno da linha central da espessura do tubo, para, posteriormente, determinar 
sua magnitude por meio da equação X. O ângulo de torção pode ser determina-
do por meio de métodos de energia, cuja expressão será apresentada a título 
de curiosidade, constituindo-se equivalente a: 
(38) 
Exemplo 4 
Considere uma seção quadrada tubular, de aresta 100 mm, cuja espessura 
é 10 mm. A barra possui comprimento de 200 cm e está sujeita a uma tensão 
de cisalhamento máxima de 20 MPa. Determine o momento torçor atuante e o 
ângulo de torção desta barra, considerando G = 50 GP a. 
Resolução 4 
Observe que a barra em questão pode ser compreendida como um ele-
mento tubular delgado. Desta maneira, podemos utilizar aequação (37) para 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 31 09/12/2020 17,50,56 
determinar o torque atuante. Para tanto, precisamos determinar, inicialmente, 
a área média obtida pela linha de centro da seção tubular. Como temos uma se-
ção quadrada de lado 100 mm e a espessura é de 10 mm, a linha de centro dista 
5 mm de cada borda da seção. A área média resultante tem formato quadrado, 
de lado 100 - (2 · 5) = 90 mm (39), resultando em: 
Améd = 0,090 · 0,090 = 0,0081 m2 (40) 
T T 
rméd= 2 A ➔20·103= 2·0,01·0,0081 ➔ T=3,24kN.m (41) 
t méd 
Para a determinação do ângulo de torção, devemos de-
terminar a integral de linha em relação à linha de centro. 
Como nossa espessura é constante, podemos ret irá-la do 
integrando, resultando em uma integral de linha entorno das 
arestas do quadrado: 
p.1.. ds = .1..p ds =-1-( Í
9dx + Í 9dx +Í 9dx +Í 9dx) = - 1- '4. 90 (42) 
t t 10 Jo Jo Jo Jo 10 
ff ds = -lõ-4 · 90 = 36 (adimensional) (43) 
cj) = 4G ~ mé,)2 f f ds 4 . 50 . 37;;. ·(i,oo81)2 · 36 = 0,0178 rad = 1,02º (4 4) 
Dessa forma, aplicando a teoria de tubos delgados, concluímos que o 
torque atuante na seção é de 3,24 kN.m, correspondendo a um ângulo de 
torção de 1,02ª. 
Analogia de membrana 
Até o momento, discutimos sobre aná li ses de elementos 
circulares e não circulares de geometria parti-
cular e tubulares delgados submetidos aos 
esforços torcionais. Mas no seu cotidiano, 
certamente você j á deve ter se depara-
do com seções estruturais abertas como 
em elementos de estruturas metálicas, tais 
quais ilustradas na Figura 10: 
•• 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 32 09/12/2020 17,50,56 
Figura 10. Exemplos de diferentes seções transversais de perfis metálicos. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/9/2020. 
A geometria desta tipologia estrutural visa potencializar características geomé-
tricas das seções transversais, visando menor consumo de material para a constru-
ção destes perfis. É comum a ocorrência de diferentes perfis estruturais, como C, T, L 
e 1, que são perfis abertos. O que pode acontecer com o comportamento de seções 
com essas características? 
O momento torçor, apesar de geralmente se constituir de solicitações secundá-
rias nos elementos estruturais, pode se tornar em esforços predominantes, além 
de se combinar com outras solicitações (principalmente flexão), ocasionando falhas 
por mecanismos de rupturas especiais. Em seções finas de paredes abertas, pode-
mos visualizar fenômenos de instabilidade por flambagem lateral por torção (FLT) 
e flambagem lateral da alma (FLA), decorrentes da associação a outras solicitações 
com o momento torçor. O torque submetido fará com que suas seções girem em 
torno do próprio eixo (Figura 11), provocando empenamento e instabilização: 
y 
X I 
Figura 11. Perfis metálicos I submetidos à torção. Fonte: LIMA, [s. d.]. (Adaptado). 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
SER_ENGCIV _RMA_UN!Dl.indd 33 09/12/2020 17,5U6 
A determinação do fluxo de cisalhamento para estes elementos setor-
na mais complexa, especialmente quando consideramos a seção t ransver-
sal como resultado da associação de diferentes retângulos. 
No caso mais geral da torção, as seções não-circulares, abertas e fe-
chadas, não se mantêm planas mediante aplicação do esforço torçor, por 
conta de a tensão cisalhante ser t angent e aos pontos da seção transver-
sal. A depender das condições de simetria e de equil íbrio do elemento, 
por vezes, podemos tirar algumas conclusões particulares, como apresen-
tadas anteriormente. Contudo, quando consideramos os demais casos, a 
teorização do comportamento físico-mecânico se torna complexa, muitas 
vezes sendo realizadas analogias para seu entendimento. 
As analogias entre fenômenos físicos são correlações realizadas entre 
modelos numéricos que possuem a mesma forma, mesmo que possuam 
grandezas físicas diferentes. A analogia hidrodinâmica de fluxo, realizada 
no estudo de tubos delgados, é um exemplo desta correlação. 
Uma alternativa para abordar estes problemas, consiste na analogia 
de membrana, que estabelece correlações entre a d istribuição de ten-
sões cisalhante s de um elemento submetido à torção e o com-
portamento de uma membrana elást ica, 
de mesma forma da seção transversal, 
submetida à pressão constante (Fi-
gura 12a). Por serem mais simples, 
as equações da membrana podem 
ser utilizadas para resolver o proble-
ma da torção em uma seção de forma-
to arbitrário aberta ou fechada. 
CURIOSIDADE 
A teoria da analogia de membrana foi proposta por Prandtl, em 1903. 
Segundo esta teoria, foi possível realizar uma analogia entre as 
equações diferenciais que regem os probl emas de torção uniforme 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 34 
e uma membrana elástica linear que sofre pressão uniforme. Desta 
forma, é possível determinar o comportamento da peça submetida 
à torção a partir dos resultados de experimentos e observações 
com o comportamento da membrana, o qual é mais simples de ser 
analisado. 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
09/12/2020 17,51 16 
A) Forma da ST 
Contorno da ST 
B) 
Curvas de nível 
C) 
Retangular Circular 
Membrana sob 
pressão 
Cortes transversais 
Delgada fechada 
Deformada cortes 
transversais 
...... ,: 
---.. ..... ..... ,' 
Tensões tangenciais 
Delgada aberta 
Figura 12. Analogia de membrana (momento torçor): (a) ensaio com membrana elástica; (b) resultados comparativos 
entre a membrana e a distribuição de tensões cisalhantes; (e) comportamento da membrana para diferentes seções. 
Fonte: NETO; COSTA. 2016. (Adaptado). 
A equação diferencial da deformação elástica da membrana possui ames-
ma forma que a função de distribuição de tensões da seção t ransversal (Figu-
ra 12b). Considerando p como a pressão uniforme aplicada à membrana, F as 
torças tangenciais que atuam sobre o contorno da membrana, G o módulo de 
elasticidade transversal do material da barra e e a razão de torção (ângulo de 
torção da peça por unidade de comprimento), podemos definir a rotação por 
unidade de comprimento em função da relação entre a pressão na membrana 
e as tensões superficiais nesta membrana por meio da equação (45): 
..E....2Ge (45) 
F 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 35 09/12/2020 17,51 17 
Como retrata Timoshenko (1957, p. 272), satisfeitas as condições de correla-
ção entre os modelos (Figura 12c), podemos validar três relações entre o com-
portamento da membrana e a distribuição de tensões do elemento: 
• A tangente da curva de nível em qualquer ponto se relaciona diretamente à 
direção da tensão cisalhante correspondente ao mesmo ponto da seção trans-
versal (Figura 12b); 
• A inclinação máxima em qualquer ponto da membrana corresponde à ten-
são de cisalhamento do mesmo ponto na seção transversal (Figura 12b); 
• O momento torçor aplicado sobre a seção é numericamente igual ao dobro 
do volume compreendido entre a superfície deformada da membrana e o plano 
de seu contorno. 
A declividade (inclinação) da membrana, em cada ponto, associada à tensão 
de cisalhamento, devido à torção, pode ser obtida pela relação: 
au 
r = an (46) 
Enquanto o volume da membrana associado ao torque (momento de tor-
ção) é relacionado por meio de: 
T = 2 Vmembrana (47) 
Por meio da analogia da membrana, seções abertas de paredes finas podem ser 
entendidas como associação de elementos retangulares (eventualmente alguns do-
brados), que podem estar submetidos à concentração de tensões em seus cantos (Fi-
gura 14). Com as devidas adequações, esta analogia também é amplamente utilizada 
para seções tubulares e celulares, muito comuns em fuselagem de veículos, aviões, se-
ções de pontes e outros elementos estruturais mais complexos, submetidos à torção: 
lt· 7J o 
(1ft íl 
Figura 13. Analogia de membrana aplicada em seções delgadas abertas. Fonte: BEER et ai., 2015, p. 208. 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAISAPLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 36 09/12/2020 17,51 18 
Um caso especial da analogia de membrana acontece quando consideramos se-
ções retangulares abertas de paredes finas, ou associações destes elementos. Para 
que um elemento retangular seja considerado delgado, sua largura deve ser muito 
superior à espessura, sendo usual o emprego de dez vezes de razão de diferença. 
Nestes casos, podemos simplificar as expressões com resultados conhecidos. Con-
siderando o regime elástico linear, solicitação de torção pura e seção transversal 
constituída por associação de elementos retangulares delgados, a máxima tensão 
de cisalhamento atuante na seção é dada por: 
T (48) 
Conforme salienta Neto e Costa (2016), sendo Wt o módulo elástico resis-
tente à torção do material. Este parâmetro pode ser determinado para o caso 
de associação de n elementos delgados retangulares como: 
1 "'n Wt=-L b.t.2 (49) 
3 /a/ 1 1 
Neste caso, o ângulo de torção pode ser obtido de forma semelhante, como 
a equação (9): 
(50) 
Contudo precisamos considerar um momento polar de inércia total da se-
ção de n elementos retangulares de parede fina: 
Exemplos 
Considere um perfil estrutural W 150 x 13,0, com 5 m de comprimento. Em uma 
lista de propriedades de perfis, você poderá consultar que se trata de um perfil estilo 
1, com duas mesas (placas horizontais), largura 100 mm e espessura 4,9 mm, e uma 
alma (chapa vertical) de espessura 4,3 mm com largura 138 mm. Considerando um 
momento torçor de 100 N.m e um módulo de elasticidade transversal de 77 GPa, de-
termine a máxima tensão cisalhante atuante na seção transversal. 
Resolução 5 
Repare que a seção transversal pode ser ana lisada por uma associação de 
retângulos delgados, sendo possível utilizar as equações (48) e (49) para a de-
terminação das variáveis de interesse. 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 37 09/12/2020 17,51 18 
Considerando os elementos retangulares delgados, podemos determinar o 
módulo elástico resistente à torção através da contribuição individual de cada 
elemento (equação (49)): 
1 Iº 1 I3 W = - b. t2 = - b. t 2 = 1. (100 • 4,92 • 2 + 138 • 4,32) 2451,21 mm3 (52) 
t 3 1=1 1 1 3 1= 1 1 1 3 
Wt = 2451,21 mm3 = 2,45 • 10·6 m3 (53) 
A máxima tensão cisalhante na seção transversal pode ser determinada pela 
equação (48), considerando o módulo elástico resistente à torção equivalente: 
T 100 
Tmáx = W = 2,45 . 10 .6 = 40,8 MPa (54) 
t 
RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 38 09/12/2020 17,51 19 
Sintetizando • 
Nesta unidade, você pôde conhecer os principais aspectos relacionados a ele-
mentos de barra sujeitos à torção. Analisamos, inicialmente, barras de seção circu-
lares, onde as propriedades de axissimetria conferiram uma particularidade nas 
deformações de sua seção transversal, possibilitando um equacionamento direto 
deste problema (para níveis de tensão em regime elástico). 
Para barras de seção não circular, observamos que o comportamento de em-
penamento da seção dificulta a definição da distribuição de tensão cisalhante. 
Neste cenário, foram apresentadas formulações para casos particulares, sobretu-
do, para seções retangulares. 
Uma tipologia específica de seções fechadas delgadas (paredes finas) possibi-
litou a formulação simplificada da tensão cisalhante máxima, utilizando uma ana-
logia de fluxo cisalhante. Tratando-se de analogias, vimos também que o emprego 
da analogia de membrana possibilita a simplificação da determinação dos parâ-
metros mecânicos para diferentes seções transversais. 
Dessa forma, percebemos que o estudo da torção em análise estrutural é am-
plo e não se esgota apenas nos tópicos anteriores, ficando um convite ao aprofun-
damento destes conhecimentos nesta ciência de resistência dos materiais. 
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1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 39 09/12/2020 17,51 19 
Referências bibliográficas • 
BEER, F. P. et ai. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015. 
GERE,J. M. Mecânica dos materiais. 1. ed. São Paulo: Thomson, 2003. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2019. 
LIMA, L. R. O. Torção. [s. d.]. 66 f. Notas de aula do programa de pós-gradua-
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Rio de Janeiro - UERJ, Rio de Janeiro, [s. d]. Disponível em: <http://www.labciv. 
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NETO, E. S. A.; COSTA, H. B. Tensões tangenciais na torção uniforme. 2016. 
20 f. Notas de aula - Escola Politécnica da USP, Universidade de São Paulo -
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RODRIGUES, C. Y. C. Análise de estruturas axissimétricas: aplicação a reser-
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TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Madrid: Espasa-Ca lpe, 1957. 
TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Theory of elasticity. 3. ed . Nova York: Mc-
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1 SER_ENGCIV _RMA_UNIJJl.indd 40 09/12/2020 17,51 19 
UNIDADE 
ser 
educacional 
SER_ENGCIV _RMA_UNID2.indd 41 09/12/2020 17,38,ü! 1 
Objetivos da unidade 
• Compreender o comportamento mecânico de vigas estruturais submet idas a 
esforços de flexão; 
e Identificar os deslocamentos, a rotação e a equação da linha elástica para 
diferentes carregamentos e vinculações; 
• Solucionar problemas de indeterminações decorrentes de redundâncias de 
vinculações, utilizando informações de deslocamentos e rotações da viga. 
Tópicos de estudo 
• Deflexão em vigas: linha elástica 
Equações diferenciais da curva 
de deflexão 
Método da integração da linha 
elástica 
Vigas estaticamente 
indeterminadas 
Método da integração 
Método da superposição de 
efeitos 
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RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
09/12/2020 17,38 01 
O Deflexão de vigas: linha elástica •• 
Nesta unidade nos aprofundaremos em deflexões de vigas. Como sabe-
mos, vigas são elementos estruturais muito presentes em estruturas (Figura 
1). Em geral, esses elementos apresentam uma dimensão preponderante às 
demais, sendo muitas vezes simplificados por elementos lineares no projeto 
de análises estruturais. Quanto ao carregamento, é predominante o esforço de 
flexão oriundo principalmente dos carregamentos perpendiculares ao eixo do 
elemento. É justamente nesse cenário que daremos início aos nossos estudos. 
EXEMPLIFICANDO 
Vigas são elementos estruturais lineares (em que uma dimensão é pre-
ponderante às demais), sujeitas a carregamentos perpendiculares ao seu 
eixo, característicos de esforços de flexão. De acordo com o seu sistema 
de vinculação, podemos ter diferentes classificações de vigas, como as 
apoiadas, biapoiadas, engastadas, etc. 
Figura 1. Vigas de uma estrutura de ponte. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 01/09/2020. 
A resistência dos materiais estuda a relação entre as tensões e deforma-
ções atuantes nos elementos, sobretudo para fins estruturais. Dessa forma, o 
projeto de vigas deverá prever uma configuração de materiais, vinculações e 
geometria que possa resistir às ações impostas aos elementos durante a vida 
útil do sistema estrutural. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
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Contudo, além dos limites de ruptura (limite de colapso) e escoamento (limi-
te último de projeto), a estrutura também deve ser compatível com o desem-
penho esperado durante as conduçõesde uso (limites de serviço), sobretudo 
quando às deformações são iniciadas. 
A natureza dos corpos flexíveis é de se deformarem a partir das tensões 
por eles sofridas. Um dos parâmetros que governam a magnitude dessa de-
formação é o módulo de elasticidade do material (E), que configura uma ca-
racterística intrínseca ao tipo de material empregado ao elemento estrutural. 
Usualmente, o valor desse módulo corresponde à inclinação (taxa de variação) 
do trecho linear de uma curva tensão-deformação (Figura 2), geralmente re-
sultado de um ensaio de tração/compressão feito nos elementos estruturais. 
" 
Liga de aço temperada 
recosida (A709) 
Aço de baixa liga 
de alta resistência 
(A992) 
Aço carbono 
(A36) 
Ferro puro 
'----------------- [ 
Figura 2. Exemplo de curvas tensão-deformação. Fonte: BEER et ai., 2011, p. 76. 
Além das condições dos materiais, a geometria do elemento frente ao tipo 
de carregamento também influencia na magnitude dos deslocamentos, que 
podem resultar nas deformações atuantes. Imagine uma viga de concreto (ma-
ciça), como retratada na Figura 3. Caso um mesmo carregamento seja aplicado 
em uma viga de seção transversal 20 x 40 cm e 20 x 80 cm (de mesmo compri -
mento), qual viga você espera que se deforme/desloque mais? 
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Figura 3. Vigas de concreto são presentes em muitas estruturas usuais. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 15/09/2020. 
Intuitivamente, você deve ter imaginado a viga que se deformaria mais rápi-
do seria a de 20 x 40 cm, e, se o fez, está correto(a), pois a primeira viga possui 
um menor momento de inércia comparada à segunda. O momento de inércia 
é uma característica geométrica da seção transversal de um elemento estru-
tural, relacionada à "dificuldade" de se alterar a movimentação/deformação/ 
deslocamento de um corpo, neste caso, o deslocamento oriundo da flexão. 
O estudo das deformações em estruturas é essencial, uma vez que as aná-
lises e os projetos estruturais demandam conhecimento das magnitudes de 
tensões e deformações para que possamos atender a níveis normativos acei-
táveis na construção dessas estruturas. Por exemplo, em projetos de máqui-
nas e equipamentos mecânicos, grandes deflexões podem causar vibrações ou 
danificar o funcionamento desses objetos. Já em construções, como pontes e 
edificações, as condições de servicibilidade podem inviabilizar ou causardes-
conforto aos usuários. 
EXPLICANDO 
O estado limite de serviço (em inglês, serviceability limit state criterion) 
são condições limites que uma estrutura deve atender, permanecendo 
funcional e garantindo seu desempenho em condições de solicitações 
usuais (rotineiras), livre de desconfortos, problemas estruturais, interfe-
rências em outros subsistemas e problemas de utilização aos usuários. 
Dessa forma, desvendaremos os conceitos, os procedimentos de cálculo e 
o comportamento da deflexão dos elementos de vigas. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
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Equações diferenciais da curva de deflexão 
Iniciaremos nossa discussão de-
finindo o conceito de deflexão, que 
usualmente é simbolizada pela letra 
v ou y, e representa o deslocamento 
vertical (direção y) de um ponto do 
eixo da viga decorrente dos esforços 
internos ao qual ela está sujeita. 
Considere, então, uma viga engas-
tada em balanço, sujeita a um carre-
gamento pontual vertical em sua ex-
tremidade livre, conforme ilustrado na 
Figura 4. É intuitivo e razoável supor 1~-------~ 
que cada ponto da viga apresentará 
valores diferentes de deslocamento 
vertical. Além disso, repare que além 
do ponto transladar, a viga também 
apresenta uma rotação (deslocamento angular). 
Vamos compreender como isso ocorre. 
Está centrada, no eixo da viga, uma reta ima-
ginária (ilustrando um plano), que denomina-
mos superfície neutra. A superfície neutra 
se refere à posição inicial do eixo da se-
ção transversal e longitudinal antes da 
aplicação de carregamentos (Figura 5). 
Nesta unidade, analisaremos apenas a po-
sição dessa superfície no sentido longitudinal. 
•• 
Consideremos que essa linha longitudinal representa o comportamento médio 
da seção, de forma que a deformação dessa linha represente a deformação do 
elemento estrutural. Por esse motivo, chamamos essa linha de linha elásti-
ca, ou seja, o lugar geométrico que descreve a posição dos pontos das seções 
transversais ao longo do elemento estrutural. Assim, através da linha elástica 
poderemos determinar o deslocamento vertical e a rotação da viga. 
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o 
• 
r B 
A t::::::::::::::::::::::::::::...---X 
.. 1(-----L------
B 
P, = ao 
X 
Figura 4. Deflexão e curvatura em vigas em balanço. Fonte: BE ER et ai., 2011, p. 550. 
o 
Seção vertical, 
longitudinal 
(plano de • simetria) I \ I \ Seção transversal y I \ 
p I \ p-y 
I 
\,~ 
Linha neutra 
I y 
I 
' A I 
K y 
A' -- 0 
B' 
o 
Figura 5. Deflexão da viga. Fonte: BE ER e colaboradores, 2011, p. 234. 
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A deformação da viga pode ser medida pela curvatura da linha elástica. Ini-
cialmente, a linha que era reta sofrerá uma deformação e tenderá a apresentar 
uma geometria circular, tornando-se um arco de circunferência. A curvatura é uma 
medida geométrica que pode ser medida pelo inverso do raio de curvatura, sim-
bolizado pela letra grega p. No regime elástico linear, as deformações são dire-
tamente proporcionais às tensões aplicadas, de modo que, utilizando o módulo 
elasticidade do material (f) e o momento de inércia da seção(/), podemos relacio-
nar a curvatura com os esforços internos (momento fletor) e as propriedades do 
material. O produto f/ representa a rigidez à flexão do material, uma vez que está 
relacionado à tendência à restrição de fletir do elemento estrutural. 
M(x) 
p E/ 
(1) 
ASSISTA 
Imagine que você está dirigindo um carro ao longo do 
contorno da curva em questão. O raio de uma ci rcunfe-
rência resultante que o veículo traçaria, caso o volante 
fosse travado, é definido (informalmente) por raio de cur-
vatura; a curvatura, por sua vez, é o inverso desse raio. 
Por outro lado, a curvatura, por ser uma propriedade geométrica de uma 
curva, pode ser também descrita algebricamente. Para isso, utilizaremos o cál-
culo diferencial e integral através da relação: 
d2y 
dx2 (2) 
p 
Essa expressão fornece com precisão o valor da curvatura de uma curva. 
Agora podemos simplif icá-la, uma vez que, nas aplicações de engenharia, as 
deformações tendem a ser controladas em pequena magnitude, de forma que 
a derivada da deformação vertical em relação à posição 1x apresente um mó-
dulo muito pequeno. Além disso, esse valor ao quadrado é desprezível frente à 
unidade, o que torna a equação algébrica da curvatura simplif icada: 
..!.._ = d2y (3) 
p dx2 
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Dessa forma, relacionando a expressão da curvatura referente aos esforços 
internos com a expressão algébrica diferencial, obtemos a equação diferencial 
da linha elástica (y): 
d2y M(x) 
--=--
dx2 E/ 
(4) 
A resolução dessa equação diferencial de segunda ordem retorna à f unção 
y(x) referente à configuração dos deslocamentos verticais da linha neutra após 
a aplicação do carregamento, ou seja, a equação da linha elástica. Em muitas 
aplicações, o produto E/ é constante, uma vez que os parâmetros o são. Assim, 
quando esses parâmetros variarem ao longo do eixo , deve-se proceder com a 
integração da expressão como um todo. 
A primeira integração dessa equação diferencial resulta na rotação (giro) da 
linha elástica em cada ponto ao longo da estrutura, uma vez que representa a 
inclinação ou a taxa de variação do deslocamentovertical: 
dy 
- = 8(x) (5) 
dx 
Da mesma forma, caso prosseguíssemos com as derivações 
em relação à x na equação diferencial de segunda ordem da 
linha elástica, você recordaria que a primeira derivada do mo-
mento fletor é o esforço cortante, enquanto a segunda derivada 
é o carregamento. Dessa forma, considerando a rigidez à flexão constante no 
elemento, poderemos sintetizar as equações diferenciais da linha elástica, por 
meio das seguintes expressões: 
Deflexão = y(x) 
dy = 8(x) 
dx 
d2y M(x) 
dx2 E/ 
d3y V(x) 
dx3 E/ 
d4y = _ q(x) 
dx4 E/ 
(6) 
(7) 
(8) 
(9) 
(10) 
Para a análise das deflexões, também é necessário estipular algumas con-
venções de sinais, exibidas na Figura 6. 
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o +w 
+V +V 
Convenção de sinal positiva 
e v 
Linha elástica 
d8 
dvI 
+v 
•I dx ~ X +x 
V 
G Linha elástica 
d8 
i dv +v x--------------------t 
~ dx -MI•- +x 
Figura 6. Convenções de sinais. Fonte: HIBBELER, 2018, p. 507. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
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Método da integração da linha elástica 
A partir do desenvolvimento das 
equações 6 a 1 O, a obtenção da linha 
elástica pode ser resolvida por su-
cessivas integrações dessas relações. 
Recordando os conceitos de cálculo, 
você deve se lembrar que, sempre que 
prosseguimos com uma integração, é 
necessário adicionar uma constante 
de integração, uma vez que existe uma 
família de funções cuja derivada resul-
ta no integrando do nosso problema. 
Mas, se existe uma família de equa-
ções, como identificar a resolução 
para nossa estrutura? Como calcular o 
valor dessa(s) constante(s)? 
•• 
É justamente nesse aspecto que utilizaremos nossos conhecimentos físi-
cos acerca de nosso problema mecânico, utilizando suas particularidades, ou 
melhor, suas condições de contorno. No caso da deflexão de vigas, as condi-
ções de contorno relacionam-se aos pontos particulares, dos quais sabemos 
determinados valores/propriedades de funções. É comum prosseguirmos com 
a equação 8, que necessita apenas de duas integrações sucessivas para deter-
minar a linha elástica, cuja condição de contorno é definida a partir do tipo de 
vinculação da estrutura. 
Por exemplo, recordando nossa viga engastada, podemos expressar que, 
no ponto de engastamento, seu deslocamento vertical é nulo, da mesma forma 
que sua rotação é nula. Assim, as condições de contorno para o caso isostático 
de vigas, resumem-se aos seguintes cenários: 
• Viga engastada: restrição de deslocamento vertical e rotação no engaste; 
• Viga (bi)apoiada: restrição de deslocamento vertical nos apoios. 
Agora, aplicaremos esses conceitos na obtenção da linha elástica de uma 
viga engastada, sujeita a um carregamento pontual em sua extremidade, como 
representada na Figura 7. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
SER_EN GCIV _RMA_ UNID2.indd 51 09/12/2020 17:38:45 
p 
L 
A B 
Figura 7. Viga engastada com carregamento ponrual. 
Considerando as equações de equilíbrio que governam esta estrutura, temos que: 
'i.Fx = O➔HA = O (11) 
í..F =O➔V = P y A 
í..MA =O➔M = PL 
(12) 
(13) 
Realizando um corte nessa estrutura e analisando os esforços internos pelo 
método das equações, verificamos que a equação do esforço momento fletor 
é equivalente a: 
M(x) = Px - PL (14) 
Dessa forma, uma vez obtida a expressão do momento fletor, podemos de-
terminar a equação da linha elástica aplicando o método da integração: 
d2y M(x) 
dx2 E/ 
(15) 
Considerando E/ constante, podemos prosseguir com as sucessivas integra-
ções, obtendo: 
- = 8(x) = --- dx = - Px - Pldx = - - - Plx + e dy JPx - PL 1 J 1 [Px2 ] 
dx E/ E/ E/ 2 
1 
(16) 
y(x)=J-1-(Px2 -P/x+c )dx =-1-[Px1 - Plx2 + cx + c ] 
E/ 2 1 E/ 6 2 r· 2 
(17) 
Sendo c1 e c2 constantes de integração, sua definição é possibilitada através 
da aplicação das condições de contorno da estrutura em questão. Tratando-se 
de engaste, podemos equacionar: 
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1 [p-02 ] 
8(x=O)=O ➔ - ---PL ·O+c =O ➔ C =O 
E/ 2 1 1 
(18) 
1 [P·03 P-02 ] y(x= O) =O ➔- ----- +O ·O+ e = O ➔ c =O 
EI 6 2 2 2 
(19) 
Desta forma, a equação da linha elástica para essa estrutura, será: 
1 [Px
3 
PLx
2
] p [ ] 
y(x) = E/ 6 --2- = 6EI X3 - 3Lx2 (20) 
Repare que o deslocamento máximo dessa viga ocorrerá na extremidade livre, 
correspondente a uma distância x = L do engaste. Caso a carga aplicada fosse de 
10 kN, o comprimento da viga de 6 metros e a rigidez E/fosse de 30000 kN.m2, pode-
ríamos determinar o valor específico da deflexão máxima, sendo igual a: 
y(x}= 
10 
[63 -3·6·62]=0,024m (21) 
6·30000 
Realizemos outro exemplo: consideremos agora uma viga biapoiada sub-
metida a um momento uniforme em seu comprimento (Figura 8). Assim, va-
mos determinar a equação da linha elástica para esta estrutura. 
M 
L 
A 8 
Figura 8. Viga biapoiada sujeita a um momento fletar. 
Considerando as equações de equilíbrio, temos que: 
M M 
H = O· V = - - · V = -
A'A L ' ª L (22) 
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O momento fletor interno, obtido a partir do método das equações para a 
análise da seção, é dado por: 
Mx 
M(x)=- -
L 
(23) 
Aplicando o método da integração e realizando duas integrações sucessi-
vas, obtemos: 
dy = 8(x) = _1 [- Mx2 + e] 
dx E/ 2L 1 
(24) 
7 [ Mx
3 
] y(x)=- ---+cx+c 
E/ 6L 1 2 
(25) 
Repare que as constantes de integração podem ser obtidas com as condi-
ções de contorno de vínculos do primeiro/segundo gênero (apoios): 
Y(x = O) = O ➔ -
1
- [- M · 
01 
+ e · O + e ] = O ➔ e = O 
E/ 6L i 2 2 
(26) 
7 [ M· L3 ] ML 
Y(x = L) = O ➔ - ---+ e · L + O =O ➔ e = -
E/ 6L 1 1 6 
(27) 
:.y(x) = ;, [- ~t + :L x ]=- 6~L [x1 + L2x] (28) 
Podemos estimar o deslocamento vertical no meio da viga substituindo os 
valores das ações e propriedades da estrutura. Por exemplo, sendo a rigidez à 
flexão 30000 kN.m 2, o momento aplicado no valor de 700 kN.m e o comprimento 
da viga de 6 m, a deflexão no centro da viga será: 
700 
y(x) =-----[33 + 62 • 3] = 0,0125m 
6 · 30000 · 6 
(29) 
É conveniente deixarmos em evi-
dência a constante 1/EI, uma vez que 
este parâmetro é fixo para materiais 
homogêneos e isotrópicos. Além dis-
so, existem soluções fechadas e tabe-
ladas para diferentes configurações de 
carregamento, que podem ser utiliza-
das diretamente (observando sempre 
a convenção de sinais), tal qual apre-
sentada na Tabela 1. 
SER_ENGCIV _RMA_UNID2.indd 54 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
09/12/2020 17,38,49 
0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 
.... .... .... 
J l l > g;, 
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA. 
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RES ISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA . 
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•• 
Vigas estaticamente indeterminadas 
Caro estudante, nesta seção vamos nos aprofundar no conhecimento do 
comportamento das vigas estaticamente indeterminadas. Você já reparou na 
estrutura das pontes? Em alguns sistemas construtivos, como o apresentado 
na Figura 9, em todo o corpo da ponte percebemos o tabuleiro (plataforma) 
apoiado sobre vigas de grandes comprimentos. 
Figura 9. Vigas de uma estrutura de ponte. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 18/09/2020. 
Decorrente de sua extensão, as vigas necessitam de diferentes apoios para 
controlar sua deformação e aumentar a rigidez global da estrutura. Você se 
recorda dos esforços de flexão em que as vigas estão sujeitas? Convido você a 
fazer este pequeno experimento com uma régua: segure uma régua em ambas 
as extremidades, posicionando-a na direção horizontal. Peça para outra pes-
soa suavemente aplicar uma força perpendicular ao plano da régua e observe 
a deformaçãoresultante. Agora repita o mesmo processo, mas segurando a 
régua alguns centímetros antes do final da extremidade. Prossiga com esse 
experimento, variando a distância de apoio e o material da régua. O que você 
observou nesse experimento? 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA -
SER_ENGCIV _RMA_UNID2.indd 57 09/12/2020 17:39:31 
Certamente, ficou fácil visualizar que, quanto menor a distância dos apoios, 
menor a deformação da régua. Esse é um dos princípios que utilizamos para 
controlar a deformação em vigas de grande extensão. Seja em pontes, na es-
trutura de edificações, sistemas de cobertura ou maquinário industr ial, pode-
mos observar a presença de vigas com múltiplos apoios. O controle das defor-
mações é fundamental para assegurar o desempenho estrutural (evitando a 
ruptura) e as condições de utilização do sistema (conhecidas como limites de 
serviço ou servicibilidade). 
Definimos um elemento estaticamente indeterminado quando sua confi-
guração estrutural apresenta mais incógnitas do que equações de equilíbrio 
estático, tornando o sistema de equações associado impossível de resolução, 
o que é o caso apresentado na Figura 10. Em nossa estrutura exemplo, a viga 
sob o tabuleiro é contínua e possui múltiplos apoios, configurando vinculações 
do primeiro (eventualmente segundo) gênero, superiores às equações de equi-
líbrio estático no plano: 
í..F = o 
X 
í..F = o 
y 
'i..M
0 
=O 
(30) 
(31) 
(32) 
Nesse cenário, devemos prover equações adicionais para determinarmos 
a solução desse sistema. Uma alternativa é a utilização de equações de com-
patibilidade e condições de contorno que descrevam a particularidade mecâ-
nica do nosso problema, como a determinação dos deslocamentos em pontos 
estratégicos do elemento estrutural. Isto acontece porque mesmo que tenha-
mos uma variedade de carregamentos e solicitações no elemento estrutural, 
devemos ter a compatibilidade física de seus deslocamentos, uma vez que o 
elemento permanece íntegro e contínuo em sua deformação (nos regimes de 
análise antes da tensão de escoamento). Condições de contorno típicas são 
as restrições de deslocamento (translação ou rotação) em 
vinculações, como indicadas na Tabela 2. 
Além das equações de compatibilidade, faz-se necessá-
rio o uso de relações de carga/deslocamento, que são 
equações que relacionam as forças (tensões) aos des-
locamentos (deformações), interligando todo repertó-
rio de relações físico-matemáticas. 
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Quando o elemento estrutural possui mais reações de apoio que o neces-
sário para mantê-lo em equilíbrio, dizemos que as reações sobressalentes são 
redundâncias do equilíbrio mecânico. Além disso, denominamos graus de li-
berdade o número de incógnitas que não podem ser determinadas com as 
equações de equilíbrio estático, ou seja, a diferença entre o número total de 
incógnitas (reações) e o número de equações de equilíbrio disponíveis. Para 
o caso de análise no plano, em uma situação de viga biengastada, temos seis 
incógnitas a serem definidas (correspondente às vinculações dos engastes), 
enquanto temos três equações disponíveis (conforme equações 29 a 31). Para 
esse exemplo, teremos três graus de liberdade, representados na Tabela 2. 
TABELA 2. TIPOS DE VÍNCULOS ESTRUTURAIS 
~ 
- ========;;;;;, Simbologia Graus de liberdade Reações 
Fonte: BENTO, 2003, n.p. 
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A resolução dos problemas de vigas estaticamente indeterminadas pode 
ser determinada através de diferentes métodos de determinação das equa-
ções de compatibilidade, baseados na determinação das expressões de defor-
mação do eixo da viga. 
•• 
Método da integração 
O primeiro método que estudaremos para solucionar problemas de inde-
terminação estática é o método da integração. Recordando que a curvatura 
da linha de deformação vertical da viga (linha elástica) pode ser relacionada 
algebricamente com a função momento fletor (esforço interno) da viga, pode-
mos obter a equação da linha elástica por sucessivas integrações. A equação 32 
ilustra essa relação, considerando uma rigidez à flexão (E/) constante: 
d2y = M(x) 
dx2 E/ 
(33) 
A curvatura é a entidade física que representa a taxa de variação da rotação 
(deslocamento angular) da linha elástica, de forma que: 
dy J M(x) -= -~ (3~ 
dx E/ 
Por sua vez, a rotação representa a taxa de variação do deslocamento vertical: 
dy = 8(x) 
dx 
y= J 8(x)dx+c 
(35) 
(36) 
O método da integração, como o próprio nome sugere, é aplicado me-
diante a determinação da função do momento fletor, integrando sucessiva-
mente e determinando as con stantes de integração em relação às cond ições 
de contorno (sobretudo de vinculações) da estrutura. Dessa forma, pode-
mos relacionar essas novas equações às equações de equilíbrio estático, 
resolvendo as indeterminações. 
Para visualizar melhor o método, consideremos uma viga engastada e 
simplesmente apoiada, de comprimento L, que está sujeita à ação de um 
momento puro MO (Figura 10). Observe que, para esse problema, t emos um 
grau de liberdade. 
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MO 
A 8 
Figura 10. Viga engastada indeterminada cam momento aplicado. 
Considerando as equações de equilíbrio, temos que: 
'i..Fx =O ➔ HA = O (37) 
í..Fy = O ➔ VA = - VR (38) 
'I.M8 =O ➔ MA+ M0 - Vi= O ➔ MA= Vi - M0 (39) 
Como estamos diante de uma viga estaticamente indeterminada, não con-
seguimos determinar diretamente as reações de apoio. Assim, empregaremos 
o método da integração para providenciar mais equações para a análise. Para 
tanto, devemos analisar a função momento fletor, que pode ser obtida através 
do diagrama de corpo livre: 
'I.M5 =O ➔ M + MA - VAx =O ➔ M = VAx - MA 
d2y M(x) d2y VAX - MA 
-- =-- ➔ --= 
dx2 E/ dx2 E/ 
(40) 
(41) 
Considerando constante o termo E/ e prosseguindo com a primeira integra-
ção, obteremos a função de inclinação da linha elástica: 
dy 5vx-M - = 8(x) = A A dx 
dx E/ 
(42) 
dy = 8(x) =J-1 [ VA x2 - M x + e ] 
dx E/ 2 A 1 
(43) 
y(x) = f ;, [ ~A X2 -MAX+ c1] dx (44) 
1 [ V M ] Y(x) = - ....L x3 - --2 x2 + e x + e 
E/ 6 2 1 2 
(45) 
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As incógnitas referentes às constantes de integração podem ser determ ina-
das quando utilizamos condições de contorno adequadas. Repare que no pon-
to A, onde x vale O, temos restrição de rotação e deslocamento vertical. Dessa 
observação, podemos retornar às equações 42 e 44, determinando: 
B(x = O) = O ➔ - 1- [~ 02 - M · O + e ] = O ➔ e = O 
E/ 2 A 1 1 
(46) 
1 [ V M ] y(x = O) =O ➔ - ....:i 03 -....! 02 + O ·O+ c
2 
➔ e = O 
E/ 6 2 2 
(47) 
Dessa forma, a equação da linha elástica resume-se à equação 47: 
1 [ VA MA ] y(x) = - - 01--x 
E/ 6 2 
2 (48) 
A equação da linha elástica contém as variáveis de reação as quais necessi-
tamos determinar no problema da viga. Contudo, utilizá-la diretamente intro-
duziria a variável de deslocamento vertical y(x). Para contornar esse problema, 
utilizaremos mais uma condição de contorno, no caso, o deslocamento vertical 
do apoio B, que é nulo, para a distância igual ao comprimento do vão. 
1 [V M ] V M y(x = L) = O ➔ - ....:i L 3 - ....! L2 = O ➔ ....:i L3 - ....! L2 = O 
E/ 6 2 6 2 
(49) 
Substituindo a equação 48 pela equação 38, podemos determinar a reação 
vertical no ponto A: 
VA L3_(Vi-MJ L2=0 ➔ V = 3Mo 
6 2 A 2L 
(50) 
Retornando na equação 38, agora podemos determinar a reação de momen-
to no engastamento, bem como a reação vertical no apoio B pela equação 37. 
(
3M0 ) M0 
M =V L-M ➔ M = -- L-M ➔ M = -
A A o A 2L o A 2 
3M
0 V =-V ➔ V=---
A B B 2L 
(51) 
(52) 
Dessa forma, a equação da linha elástica pode ser determinada substituin-
do as reações de apoio na expressão