Apostila Pilares

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE 
 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
 Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado II 
Pilares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Yu Je Tak 
2017 
1 
 
Sumário 
 
1 NOÇÕES ............................................................................................................................... 5 
1.1 Introdução ................................................................................................................................. 5 
Para que serve um pilar ? ................................................................................................................ 5 
1.2 Como o pilar se mobiliza para resistir à compressão ........................................................... 6 
1.3 Classificação de Pilar quanto às suas dimensões relativas ........................................................ 6 
1.4 Fórmula básica para ter noção de funcionamento de pilar ....................................................... 6 
 COMPRESSÃO ....................................................................................................................... 7 
Para cada forma de solicitação se atribui nome diferente. ............................................................. 7 
2.1 Carga Centrada .......................................................................................................................... 7 
2.2 Carga Excêntrica ........................................................................................................................ 8 
2.2a. Flexão Composta Reta ou Normal ...................................................................................... 8 
2.2b. Flexão Composta Oblíqua .................................................................................................. 8 
2.3 E o pilar fica sempre comprimido .............................................................................................. 9 
2.4 Um momento pode ser assimilado a uma força excêntrica ? .................................................. 10 
2.4.a Caso de Flexão Composta Reta ou Normal ....................................................................... 10 
2.4.b Caso de Flexão Composta Oblíqua ................................................................................... 10 
 ESTABILIDADE GLOBAL - PÓRTICO ....................................................................... 11 
Estabilidade global - noções ......................................................................................................... 11 
3.1 O meu prédio balança ?........................................................................................................... 11 
‘ 3.2 Estrutura deslocável e indeslocável ................................................................................ 13 
3.3 Como enrijecer uma estrutura? .............................................................................................. 14 
3.3.a Estrutura deslocável nas 2 direções (x, y) ......................................................................... 14 
3.3.b Estrutura indeslocável em y e deslocável em x................................................................ 14 
Pela inclusão de Pilares-Parede na direção de menor inércia da edificação. ............................ 14 
3.3.c Estrutura indeslocável em ambas as direções x e y .......................................................... 15 
3.4 Que são Subestruturas de Contraventamento e Contraventada ? .......................................... 15 
3.4.1 Subestrutura de Contraventamento ................................................................................ 15 
3.4.2 Subestrutura Contraventada ............................................................................................ 16 
3.5 Nós Fixos e Nós Móveis ........................................................................................................... 16 
 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS ................................................................................ 20 
O que é Flambagem de pilar ? ....................................................................................................... 20 
4.1 Conceito de Flambagem .......................................................................................................... 20 
2 
 
O desvio lateral é a flambagem do elemento. ............................................................................... 20 
4.2 Carga Crítica de Flambagem .................................................................................................... 20 
4.3 Estabilidade Elástica ................................................................................................................ 21 
4.4 Linha Elástica ........................................................................................................................... 22 
4.5 Lei de Hooke ............................................................................................................................ 22 
4.6 O comportamento das estruturas ........................................................................................... 22 
Porquê estudar o comportamento não linear das estruturas? ................................................. 22 
Formas de comportamento de materiais ...................................................................................... 23 
4.7 O que é, então, não-linearidade física (ou material) ? ............................................................. 24 
4.8 E o que é não-linearidade Geométrica ? ................................................................................. 25 
4.9 Comprimento de Flambagem .................................................................................................. 26 
4.10 Esbeltez ................................................................................................................................. 27 
4.11 Índice de Esbeltez .................................................................................................................. 29 
4.12 Comprimento Equivalente do Pilar ........................................................................................ 30 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES .................................................................................. 33 
Domínios de Deformações ................................................................................................................ 33 
 CLASSIFICAÇÃO DE PILARES ................................................................................ 36 
6.1 Classificação segundo a Esbeltez ............................................................................................. 36 
6.2 Esbeltez limite - 𝝀𝟏 ................................................................................................................. 36 
6.2.a Valores de 𝜶𝒃 ................................................................................................................... 37 
6.3 Momento mínimo de 1ª. ordem ............................................................................................. 38 
 EXCENTRICIDADES.......................................................................................................... 39 
7.1 Excentricidade de primeira ordem .......................................................................................... 39 
7.1.a. Excentricidade Inicial ....................................................................................................... 39 
7.1.b. Excentricidade Acidental ................................................................................................. 40 
Imperfeições globais e Imperfeições locais ....................................................................................... 41 
7.2 Imperfeição Global .................................................................................................................. 41 
7.3 ImperfeiçãoLocal .................................................................................................................... 41 
7.4 Excentricidade de segunda ordem .......................................................................................... 42 
7.5 Exercícios ............................................................................................................................. 43 
 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA .......... 45 
8.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada .............................................................. 45 
Momento total máximo ................................................................................................................ 45 
8.1.a Ábacos de dimensionamento à Flexão Composta Reta .................................................... 46 
3 
 
8.1.b Leitura do ábaco ............................................................................................................... 47 
8.1.c Escolha de ábacos à Flexão Composta reta deve considerar: ........................................... 48 
8.2 Exercícios ................................................................................................................................. 49 
 DETALHAMENTO DE ARMADURA............................................................................. 56 
Procedimentos .............................................................................................................................. 57 
9.2.c Armadura transversal - (estribos) .................................................................................... 59 
9.3 Ancoragem de barras comprimidas ..................................................................................... 63 
10.1 Pilar Central ou Interno ........................................................................................................ 65 
10.2 Pilar Lateral ou Extremidade ................................................................................................. 65 
10.3 Pilar de Canto ........................................................................................................................ 65 
 EXCENTRICIDADE DE FORMA ................................................................................. 67 
11.1 Excentricidade de Forma ....................................................................................................... 67 
11.2 Momento de ligação no nó pilar-viga .................................................................................... 68 
 SITUAÇÕES DE PROJETO E CÁLCULO .................................................................. 70 
12.1 Situações de Projeto .............................................................................................................. 70 
12.2 Situações de Cálculo .............................................................................................................. 70 
 DETERMINAÇÃO DE CARGA EM PILAR ................................................................ 71 
13.1 Determinação de Cargas para cálculo de um determinado pavimento ................................. 71 
13.2 Exercícios ............................................................................................................................... 73 
 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM RIGIDEZ κ APROXIMADA ............... 96 
 
 
4 
 
Nota 
 
 
Este é um material de apoio às aulas de Estruturas de Concreto Armado II do curso de 
Engenharia Civil no capítulo de dimensionamento de Pilares com ênfase ao projeto de 
estruturas de edifícios. 
 
Menções às publicações utilizadas encontram-se no final do trabalho e a referência aos 
mesmos encontra-se assinalada em parênteses. 
 
 
 
 
5 
 
PILAR 
1 NOÇÕES 
 
 
1.1 Introdução 
 
Para que serve um pilar ? 
 
Pilar é um elemento estrutural vertical cuja função principal é receber cargas de cada 
pavimento de vigas ou lajes conduzindo-as até a fundação. 
 
O conjunto de elementos pilares, vigas e lajes constitui pórticos 
incumbidos de suportar e levar as cargas da edificação inclusive as ações 
horizontais como vento e desaprumo às fundações e também prover a 
estabilidade global da estrutura. 
As cargas no pilar aumentam ao percorrer andares inferiores. Como sua 
dimensão é função básica dessa carga, seu tamanho pode variar ao longo 
do edifício em função da força aplicada, embora, muitas vezes, se opte 
por mantê-lo, por razões construtivas em andares superiores, nesse caso 
diferencia-se a armadura nesses pavimentos devido ao decréscimo de 
carga. 
 
 
 
O dimensionamento de pilar é complexo e trabalhoso devido à 
diversidade de variáveis envolvidas, das quais se destacam: 
 
 - cargas aplicadas 
 - excentricidade das cargas 
 - geometria, dimensões e vínculos nos pavimentos. 
 - esbeltez da seção 
 - distribuição de armadura 
 
 
6 
 
1.2 Como o pilar se mobiliza para resistir à compressão 
 
A seção de um Pilar depende, à princípio, da força de compressão. 
A capacidade resistente do pilar é função dos dois componentes da seção, concreto e aço, 
ambos trabalhando à compressão. 
 
 
 
1.3 Classificação de Pilar quanto às suas dimensões relativas 
Quando a menor dimensão do elemento estrutural for inferior até 5vezes a outra medida da 
seção transversal o chamamos de Pilar. 
Caso contrário, passamos a ter o Pilar-parede. 
 
 
Pilar Pilar- parede 
h ≤ 5 b h > 5b 
 
 
 
 
1.4 Fórmula básica para ter noção de funcionamento de 
pilar 
 
Basicamente numa seção transversal a força N é resistida pelo concreto e armadura 
(colocada para ajudar o concreto). Quanto maior a força N, deve-se colocar mais concreto e 
aço, podendo-se escrever: 
Nd = Ac. σcd + As . σscd 
 
7 
 
 COMPRESSÃO 
 
 
Para cada forma de solicitação se atribui nome diferente. 
 
A Força Normal (cargas verticais) e Momentos Fletores são as solicitações mais usuais, 
iniciais, atuando no pilar e conforme suas intensidades empregam-se as designações: 
 
 - carga centrada; 
 - carga excêntrica. 
 
2.1 Carga Centrada 
 
Compressão simples - quando atua somente carga normal e se a força de compressão 
chegar no pilar no centro de gravidade da seção transversal, diz-se que a solicitação é 
centrada ou axial. 
 
 
 
 N 
 x 
 y 
 
 
 
 
 
8 
 
2.2 Carga Excêntrica 
 
A seção de pilar submetida a carga excêntrica recebe o nome de Flexão composta 
ou Flexo-compressão - quando atuam ambas as ações (carga normal e flexão) 
simultaneamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A flexão-composta pode aparecer de duas formas diferentes, segundo cada direção 
dos eixos principais: 
 
2.2a. Flexão Composta Reta ou Normal 
Quando a carga excêntrica ocorrer em apenas uma direção inclui-se a denominação 
reta ou normal. 
Atribuindo-se então o nome de: 
- compressão excêntrica reta ou normal; 
- flexão composta reta ou normal. 
- flexo-compressão reta ou normal. 
 
 
2.2b. Flexão Composta Oblíqua 
Quando a compressão excêntrica for em duas direções simultaneamente, denomina-se: 
- compressão excêntrica oblíqua; 
- flexão composta oblíqua. 
- flexo-compressão oblíqua. 
 
As diferentes posições de carga atuante relativamente à seção transversal produzem 
tensões variadas: 
9 
 
2.3 E o pilar fica sempre comprimido 
 
Dependendo da intensidade das forças aplicadas N e M, a seção transversal sai de uma 
situação de compressão uniforme, variando para não-uniformidade de tensões e pode até 
alcançar tração em uma das bordas. 
 
 
 
 
 
10 
 
2.4 Um momento pode ser assimilado a uma força 
excêntrica ? 
 
No estudo de pilares é importante o entendimento de que a ação de carga excêntrica pode 
ser sempre representada, substituída, pela da carga aplicada no centro de gravidade da 
peça acrescida de um momento fletor (M = N.e), procedimento que será largamente 
empregado no curso.2.4.a Caso de Flexão Composta Reta ou Normal 
 
 
Exemplo equivalente de representação e desenho 
 
 
2.4.b Caso de Flexão Composta Oblíqua 
 
 
 Mx = N.ex My = N.ey 
 
Exemplo equivalente de representação e desenho 
 
 
11 
 
 ESTABILIDADE GLOBAL - PÓRTICO 
 
Estabilidade global - noções 
 
3.1 O meu prédio balança ? 
 
A estrutura de um edifício formado pelo conjunto de pilares, vigas e lajes é monolítica, ou 
seja todos os elementos estruturais interligados entre eles e olhando o prédio inteiro é 
como se fosse um esqueleto de concreto que chamamos de pórtico. 
Esse pórtico é espacial, onde os pilares são os pés e os pavimentos formado pelas vigas e 
lajes constituem travamentos em todos os níveis para os pilares. 
Quando esse conjunto atender a todos os requisitos estruturais dizemos que a Estrutura 
apresenta Estabilidade Global. 
 
 
 
A estrutura de um edifício funciona como pórtico 
espacial constituída de pilares, vigas e lajes em 
todos os pavimentos. 
 
 
 
Estrutura de edifício - Pórtico espacial 
Um edifício possui Estabilidade global quando a sua concepção estrutural como um todo 
apresentar capacidade resistiva frente aos carregamentos verticais e horizontais. 
Essencialmente, os pilares são os elementos destinados a conferir a estabilidade vertical. 
Porém, em edificações mais altas é necessário incluir outros elementos, mais rígidos, que 
propiciarão essa estabilidade do edifício frente às diversas ações atuantes, entre elas o 
vento. 
12 
 
Todos esses elementos mais rígidos garantirão a indeslocabilidade dos nós dos pilares 
menos rígidos. 
Na análise de estabilidade, a estrutura espacial pode ser convertida em modelo de 
pórticos planos associados, ligados por barras rígidas. Os pórticos são em cada nível 
interligados pelas lajes horizontais . 
As lajes, praticamente, não se deformam axialmente, por isso são admitidas 
incompressíveis, atuando como elementos de rigidez infinita travando os pilares e fazendo 
a ligação dos demais elementos estruturais. Os esforços são distribuídos 
proporcionalmente à rigidez de cada pórtico ou núcleo. 
Na análise dos efeitos decorrentes considera-se o comportamento não-linear da estrutura. 
 
Tomemos como exemplo o desenho da estrutura abaixo com 4 vigas e 4 pilares. O pórtico 
espacial pode ser, simplificadamente, representado como dois pórticos planos associados 
ligados por elementos de rigidez infinita. 
 
Associação de Pórticos Planos para análise de ações horizontais na direção x - Extraído de [9] 
 
 
A seguir mostramos uma outra edificação com 9 pilares e vigamento e como se faria a representação 
do sistema aporticado. 
 
 
 Associação de Pórticos Planos - Extraído de [10] 
13 
 
‘ 3.2 Estrutura deslocável e indeslocável 
1
 
 
Estrutura deslocável é estrutura de pouca rigidez e apresenta grandes deslocamentos. 
 
 Estrutura deslocável 
 
 
 
Estrutura indeslocável é estrutura com elementos para resistir às forças laterais sem 
grandes deslocamentos. 
 
 
 
 
1 Estruturas de nós fixos - os efeitos globais de 2ª ordem são desconsiderados quando pequenos 
(inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas, permite-se considerar apenas 
os efeitos locais de 2ª ordem. 
 
14 
 
3.3 Como enrijecer uma estrutura? 
O enrijecimento de uma estrutura deve ser obtido para as duas direções principais (x, y) 
através uma colocação de maior número de pilares e em edificações altas deve-se lançar 
mão de outros recursos como inclusão de Pilares-parede, núcleos de rigidez. 
A seguir ilustramos algumas situações 
3.3.a Estrutura deslocável nas 2 direções (x, y)
 
 Planta Elevação – dir. x 
 
3.3.b Estrutura indeslocável em y e deslocável em x 
Pela inclusão de Pilares-Parede na direção de menor inércia da edificação. 
 
 
 
 
 
 
 Planta 
 
 
 
 
15 
 
3.3.c Estrutura indeslocável em ambas as direções x e y 
Pela inclusão de núcleo de rigidez e pilares-parede oferecendo maior inércia para ambas as 
direções. 
 
Planta 
 
3.4 Que são Subestruturas de Contraventamento e 
Contraventada ? 
 
 
Os elementos estruturais verticais de edifícios em função de sua rigidez, conforme as 
situações ilustratadas anteriormente, são denominados de Subestruturas (por ser parte da 
estrutura) de Contraventamento e Contraventada. 
 
3.4.1 Subestrutura de Contraventamento 
Conjunto de elementos de grande rigidez capaz de absorver as ações horizontais. 
Os nós dessas estruturas apresentam pequenos deslocamentos horizontais devido à grande 
rigidez, proporcionando a estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade dos 
demais pilares. 
Daí, consideram-se os diversos pavimentos como indeslocáveis horizontalmente. 
Os elementos de contraventamento são constituídos por pilares de grandes dimensões, 
pórticos de grande rigidez, treliças estruturais, núcleos de rigidez, pilares-parede, os 
últimos, bem usuais, comumente são projetados na região da caixa de elevadores ou 
escadas. 
O cálculo de pilares de contraventamento exige a consideração de cada elemento como um 
todo, ou seja, o pilar é dimensionado como um único, desde o nível da fundação até a 
cobertura do edifício. 
 
 
16 
 
Como reconhecer as subestruturas de Contraventamento ? 
 
 Estrutura Indeslocável 
 
3.4.2 Subestrutura Contraventada 
 
Formada pelos Pilares Contraventados que são os pilares de menor rigidez, considerados 
como travados nos níveis das lajes e com a função de apenas resistir às forças verticais e no 
seu dimensionamento permite-se desconsiderar os efeitos globais de 2ª. ordem. 
 
 
3.5 Nós Fixos e Nós Móveis 
 
 Definem-se de forma simplificada no cálculo as estruturas como sendo 
de: 
 
Nós Móveis – quando os deslocamentos horizontais não forem pequenos (deslocamentos 
> 10% dos de 1ª. ordem), no dimensionamento consideram-se os efeitos globais e locais. 
A deformação da estrutura é analisada no conjunto em toda a sua altura. 
 
 
 
 Estrutura de Nós móveis 
17 
 
Nós fixos – quando os deslocamentos horizontais forem pequenos (deslocamentos ≤ 10% 
dos de 1ª. ordem), permite-se desprezar o efeito de 2ª. ordem global. Nesse caso 
consideram-se apenas os efeitos locais de 2ª. ordem nos elementos contraventados. 
 
 
 
 Estrutura de Nós fixos 
 
 
Usualmente busca-se obter uma estruturação de forma a enquadrar os pilares 
contraventados no conceito de nós fixos e admitidos como indeslocáveis, dessa forma os 
pilares isolados por pavimentos são tratados no cálculo, separadamente, como: 
 
- elementos isolados e biarticulados entre pisos para efeito de determinação de seu 
comprimento de flambagem. 
 
- barras comprimidas isoladamente, vinculadas nos extremos aos demais elementos 
estruturais, aplicando-se os esforços segundo a teoria de 1ª. ordem e posteriormente os 
efeitos locais de 2ª. ordem. 
 
 
Deformada do Pilar em elevação ao longo dos pavimentos, de [12] 
 
 
 
18 
 
Como o pilar pode agora ser tratado para efeito de cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
O pilar é tratado no cálculo isoladamente por pavimento, de [11]. 
 
 
 
Resumo 
Nas estruturas de nós fixos, somente o efeito de 2
a 
ordem local deve ser considerado. 
 
 
2ª. Ordem local 
 
 
 
 
 
 
Nas estruturas de nós móveis, os efeitos de 2
a 
ordem local e global devem ser 
considerados separadamente. 
 
 
2ª. Ordem 
global 
 
 
 
 
2ª. Ordem 
local 
 
19 
 
 
20 
 
 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS 
 
O que é Flambagem de pilar ? 
 
4.1 Conceito de FlambagemFlambagem é o fenômeno da perda de estabilidade de um corpo solicitado à compressão, 
antecedido pelo aparecimento de deformações. A ruína do elemento estrutural por flambagem não 
é um problema de resistência de material, mas sim de estabilidade. A perda de estabilidade é que 
provoca o colapso do pilar e é uma ruptura do tipo frágil. 
Em um pilar a deflexão lateral é o efeito decorrente dessa manifestação. 
 
 O desvio lateral é a flambagem do elemento. 
 
4.2 Carga Crítica de Flambagem 
Carga crítica de Flambagem (Euler) é o valor da carga N no instante da perda de equilíbrio. 
 
 
 
 A carga com a qual o Pilar rompe é chamada de carga crítica de 
 Flambagem (Ncr). 
 
21 
 
4.3 Estabilidade Elástica 
 
Definem-se dois estados de equilíbrio: 
 
a) Equilíbrio estável: um sistema, ao sofrer uma pequena perturbação, volta ao seu estado inicial 
de equilíbrio, cessadas as causas dessa perturbação. 
b) Equilíbrio instável – um sistema, ao sofrer uma pequena perturbação, não retorna ao seu estado 
inicial de equilíbrio, cessadas as causas dessa perturbação. 
 
 
O lápis em pé é um modelo de equilíbrio instável, enquanto o outro (de 
ponta cabeça) é estável. 
 
 
 
 
Situações típicas de Equilíbrio 
 
 
Ilustração dos diferentes equilíbrios 
 
22 
 
4.4 Linha Elástica 
 
 
 
 
 
 
O pilar se deforma segundo 
o um raio r e as suas faces 
sofrem deformações 
diferentes de encurtamento 
e alongamento. 
raio (r) é a distância segundo a qual o 
pilar se deforma. 
 
 
4.5 Lei de Hooke 
Lei de Hooke - tensão linearmente proporcional à deformação 
 
 
 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 
E =tg α módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young 
 
 
 
 
4.6 O comportamento das estruturas 
 
Porquê estudar o comportamento não linear das estruturas? 
A natureza é não linear, mas a linearização em uma análise é uma forma de resolver problemas 
complexos transformando-os em projetos viáveis. 
 
23 
 
No passado as teorias no dimensionamento e verificação de segurança em estruturas 
empregaram hipóteses lineares simplistas. Mesmo com essa tremenda simplificação, isso 
permitiu a que chegássemos aos conceitos atuais bem mais elaborados. E com toda certeza 
ainda mais sofisticados amanhã. 
 
No campo das estruturas, a análise linear permite chegarmos a uma aproximação do 
comportamento real das estruturas fazendo-nos compreender seu funcionamento. 
 
O funcionamento de um pilar esbelto ao atingir a instabilidade é de natureza bastante 
complexa e ainda hoje é estudado sob forma de análise aproximada, mas com comportamento 
não linear, o que representa um avanço. 
 
As estruturas quanto ao comportamento podem ser: 
- físico linear ou não linear; 
- elástico ou plástico; 
- geométrico linear ou não linear. 
 
 
Formas de comportamento de materiais 
 
 
 
 
O aço no primeiro trecho é linear 
 
24 
 
 
 
 
 
 
Quando dizemos que uma estrutura não é linear é porque apresenta uma não linearidade 
física no comportamento dos materiais e ou não-linearidade geométrica no das deformações. 
 
4.7 O que é, então, não-linearidade física
2
 (ou material) ? 
 
O material cuja tensão ou esforço não varia linearmente com a deformação ou seja não 
segue a lei de Hooke. O concreto é um material de não-linearidade física no seu 
comportamento. 
 
 
 linear x não-linear 
Materiais como aço e o alumínio grandes deformações antes de atingir a ruptura; outros como o 
vidro, o concreto, rompem sem que o material apresente grandes deformações. 
 
 
 
2 Para um entendimento básico, a teoria linear significa que se multiplicarmos a carga aplicada por 2, os 
deslocamentos (deformações) resultarão também multiplicados por 2. 
 O não-linear quando não se obedece a essa lei. 
25 
 
4.8 E o que é não-linearidade Geométrica ? 
 
A deformação da estrutura não varia linearmente com as forças aplicadas. 
É o que ocorre em barras sujeitas à flambagem. 
Após um certo valor de carregamento, o deslocamento aumenta rapidamente. Os esforços 
(tensões) são afetados pelo estado de deformação da estrutura; Ex: Pilar sujeito a flambagem 
 
Não-linearidade geométrica na deformação da estrutura (efeito de 2ª. ordem) 
 
 
26 
 
 
4.9 Comprimento de Flambagem 
É o comprimento teórico da distância entre os pontos de inflexão da linha elástica (deformada) que 
depende de como o pilar se encontra vinculado no topo e na base. 
 
A determinação de um valor exato de comprimento de flambagem em concreto é complexa, pois 
são diversos os fatores intervenientes: rotação dos apoios, grau de fissuração das seções 
transversais (EI), relação de rigidezes dos elementos envolvidos, carregamentos, etc. 
 
 
 
27 
 
Comprimento de Flambagem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.10 Esbeltez 
o comprimento de flambagem de um pilar em cada direção pode ser diferente em função de 
travamento de vigas e lajes. No exemplo da figura o comprimento de flambagem em y é o dobro do 
em x. 
 
 
 
 
 
 
 
 Comprimentos de Flambagem diferentes nas direções, de [11] 
28 
 
 Convenção 3: 
 
 y 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
(a) (b) (c) 
No exemplo, de cálculo na direção y - assume-se essa figura (b) como a direção de deformação 
(deslocamento) da peça, a medida base é b e a medida altura é h, figura (c). 
 
base é a dimensão da seção transversal perpendicular à direção em que o pilar vai se deslocar 
pelo efeito da deformação. 
 
altura é a dimensão da seção transversal paralela à direção em que o pilar vai se deslocar pelo 
efeito da deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
3 Momento de inércia Iy na direção y corresponde ao momento de inércia Ixx de Resistência dos Materiais 
(momento de inércia em torno do eixo xx). 
 
b (base) 
 h
 (
a
lt
u
ra
) 
Direção de cálculo 
29 
 
4.11 Índice de Esbeltez 
 
 𝜆 = 
𝑙𝑒
𝑖
 onde 
e
 - comprimento de flambagem 
 i - raio de giração 
 𝑖 = √
𝐼
𝐴
 I - momento de inércia 
 A - área da seção transversal da peça 
 
 Seção retangular 
 
 
Seção Circular 
 
 
 
 
30 
 
4.12 Comprimento Equivalente do Pilar 
O comprimento equivalente eq de um pilar, suposto vinculado em ambas as 
extremidades, é o menor dos valores resultantes abaixo: 
 
Elevação – Pavimento Tipo 
 
 
  0 + hv /2 + hv /2 = distância de eixo a eixo 
eq ≤ 0 + h pilar 
 
0 ̶ a distância entre as faces internas dos elementos 
estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar. 
 
h pilar – dimensão do pilar na direção de cálculo. 
eixo ̶ distância entre os eixos dos elementos 
estruturais aos quais o pilar está vinculado. 
 
 
31 
 
Exercício 
Dado o desenho parcial de Forma de um Edifício Comercial e considerando-se os nós indeslocáveis e fixos (e = eq), 
determinar: 
1. O comprimento equivalente do pilar P1 (nas duas direções). 
2. Achar o índice de esbeltez λ nas duas direções. 
 
 
 
Resolução – Lembre-se, a convenção usada é na direção de cálculo 
 
Direção x – V1 20/70 
 
0 = pé direito – hv = 420 – 70 = 350 cm 
 
Comprimento equivalente do Pilar na direção x (em cada direção, o valor de eq pode ser diferente). 
eq ≤ 35 + 350 +35 = 420 
 350 + 30 = 380 daí eq x = 380 cm 
32 
 
Em estruturas reticuladas de Edifícios, de nós considerados indeslocáveis e fixos, obtido o comprimento 
equivalente, determina-seo comprimento de flambagem e = eq (na direção correspondente). 
 Indice de Esbeltez 
 x = 
 
 x = 
 
 x = 43,8 
Direção y – V2 25/50 
 
0 = pé direito – hy = 420 – 50 = 370 cm 
 
Comprimento equivalente do Pilar na direção y 
eq ≤ hv /2 + 0 + hv /2 = distância de eixo a eixo 
 0 + h pilar 

eq ≤ 25 + 370 +25 = 420 
 370 + 80 = 450 daí eq y = 420 cm 
 
Resultando nessa direção valor de eq diferente). 
 
 Indice de Esbeltez 
 y = 
 
 y = 
 
 x = 18,2 
  x = 18,2 (pilar robusto) contra  x = 43,8 (nessa direção o pilar é esbelto). 
 
33 
 
 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÕES 
 
 
Domínios de Deformações 
 
O diagrama dos domínios de deformações representa todas as distribuições possíveis de deformações 
específicas que ocorrem na seção transversal dos elementos estruturais submetidos às solicitações normais 
no estado limite último (ELU) . 
Considera-se atingido o estado limite último quando há o esgotamento da capacidade resistente da seção 
pelas deformações dos materiais aço e concreto, por ruptura do concreto ou por uma deformação excessiva 
da armadura nos seguintes valores: 
- Encurtamento último do Concreto εcu = 3,5‰ na flexão 
 εcu = 2,0‰ na compressão axial 
- Alongamento último do Aço εsu = 10,0‰ 
 
 
Diagrama dos domínios de deformações para fck < 50 MPa 
 
 
 
Os domínios são configurados em função das características de deformações dos materiais: 
 
Reta a - solicitação: tração centrada uniforme 
- deformação representada por uma reta paralela à face da seção, todas as fibras da seção 
 transversal, concreto e armadura, estão com deformação de alongamento igual à máxima 
 de = 10,0‰ . 
34 
 
 - posição da linha neutra: x = - ∞ 
 - ELU: alongamento último do aço, εsu = 10,0‰ 
 A reta a é uma posição particular do domínio 1. 
 
Domínio 1 - solicitação: tração excêntrica (pequena excentricidade) de forma não uniforme, 
seção transversal inteiramente sem compressão. 
- deformação: todas as fibras da seção transversal estão tracionadas e de forma 
variável ao longo da altura. 
 - posição da linha neutra: externa à seção e - ∞ < x = ≤ 0. 
 - ELU: deformação plástica excessiva do aço, εsu = 10,0‰ 
 
Domínio 2 - solicitação: flexão simples ou flexão composta (tração ou compressão com grande 
 excentricidade). 
- deformação: não há ruptura do concreto, e o aço com alongamento máximo εsu = 
10,0‰ 
- posição da linha neutra: interna à seção transversal, parcialmente tracionada e 
comprimida 0 < x < 0,26. 
 - ELU: deformação plástica excessiva do aço εsu = 10,0‰ 
 
Domínio 3 - solicitação: flexão simples ou flexão composta (tração ou compressão com grande 
 excentricidade). 
- deformação: ruptura do concreto e o aço no escoamento. 
- posição da linha neutra: interna à seção transversal, parcialmente tracionada e 
comprimida 0,26 ≤ x ≤ x lim. 
- ELU: ruptura do concreto εcu = 3,5‰ e escoamento do aço de forma que a ruína é 
avisada pelo aparecimento de fissuras devido ao aço escoado. 
 
Domínio 4 - solicitação: flexão simples ou flexão composta (compressão com grande 
excentricidade). 
- deformação: ruptura do concreto εcu = 3,5‰, e o aço sem escoamento. 
- posição da linha neutra: interna à seção transversal, parcialmente tracionada e 
comprimida x lim < x < d 
- ELU: ruptura do concreto comprimido a εcu = 3,5‰ e o aço tracionado sem 
escoamento. 
 
Pode ocorrer o aparecimento eventual de fissuras finas antes da ruptura. A ruptura é 
brusca e sem aviso, ocorre esmagamento do concreto na zona comprimida antes da 
armadura tracionada apresentar abertura de fissuras visíveis. As peças são chamadas 
peças superarmadas e seu uso deve ser evitado na flexão, mas difícil na flexo-
compressão. 
 
Domínio 4a - solicitação: flexão composta com pequena excentricidade. 
- deformação: ruptura do concreto εcu = 3,5‰, e o aço sem escoamento (podem 
aparecer pequenas fissuras não visíveis. 
- posição da linha neutra: interna à seção transversal e posiciona-se entre a 
armadura menos comprimida e a borda tracionada, tendo trecho tracionado 
pequeno e a maior parte comprimida d ≤ x < h 
- ELU: ruptura do concreto comprimido εcu = 3,5‰, ambas as armaduras 
comprimidas. 
 
Domínio 5 - solicitação: flexão composta com pequena excentricidade, a seção inteiramente 
 comprimida. 
35 
 
- deformação: ruptura do concreto εcu = 3,5‰, e armadura comprimida 
- posição da linha neutra: externa à seção transversal h ≤ x = < + ∞ , a reta de 
deformações passa sempre pelo ponto C, distante da borda mais comprimida a 3/7 
da altura total da seção. 
 - ELU: ruptura do concreto com encurtamento 2,0‰ < εcu < 3,5‰ na borda mais 
 comprimida. 
 
Reta b - solicitação: compressão centrada uniforme em toda a seção. 
- deformação: representada por uma reta paralela à face da seção, todas as fibras da 
seção transversais estão com deformação de encurtamento igual à máxima de 
compressão axial εcu = 2,0‰ . 
 - posição da linha neutra: externa à seção x = + ∞ 
 - ELU: ruptura do concreto com εcu . 
 A reta b é uma posição particular do domínio 5. 
 
 
 
36 
 
 CLASSIFICAÇÃO DE PILARES 
 
6.1 Classificação segundo a Esbeltez 
O pilar pode ser classificado em função do índice de esbeltez λ: 
 pilar curto → λ ≤ λ1 
 pilar medianamente esbelto → λ1 < λ ≤ 90 
 pilar esbelto → 90 < λ ≤ 140 
 pilar muito esbelto → 140 < λ ≤ 200 
 
O pilar tem índice de esbeltez limitado a 200. 
Apenas no caso de postes com força normal menor que 0,1 fcd Ac, o índice pode ultrapassar 200. 
 
 
 
6.2 Esbeltez limite - 𝝀𝟏 
Em função de análises teóricas de pilares, verificou-se que a partir de um valor de esbeltez os efeitos de 2ª. 
ordem passam a ser importantes afetando a capacidade resistente do pilar no estado limite último. 
A esbeltez-limite (𝛌𝟏) é que vai definir a grande classificação de pilares no grupo dos curtos e dos esbeltos. 
A expressão adotada pela NBR-6118/14 é: 
Esbeltez limite λ1 =
25+12,5 
𝑒1
ℎ
 
𝛼𝑏 
 e 35 ≤ λ1 ≤ 90 
critério: e1 – excentricidade de 1ª. Ordem (nesse cálculo, não se considera ea) e toma-se no pilar o 
menor valor dentre as 3 posições A, B e C. 
 
Dessa forma: Quando 𝜆 ≤ 𝜆1 Os efeitos locais de 2ª.
 
ordem em elementos isolados, sendo pequenos, 
podem ser desprezados. 
E quando 𝜆 > 𝜆1 os efeitos de 2ª. ordem devem ser computados no cálculo. 
37 
 
6.2.a Valores de 𝜶𝒃 
𝛼𝑏 – é um coeficiente que depende de tipo de apoio e dos momentos fletores. 
a. Para Pilares biapoiados sem carga transversal 
 
𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4.
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 e 0,4 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 
 MA e MB - momentos de 1ª. ordem nos extremos do pilar 
 deve-se adotar para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar apoiado. 
 
MB – recebe sinal positivo se tracionar a mesma face que MA 
 
 
 
 
 
 
MB - recebe sinal negativo, em caso contrário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Para Pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura. 
 
 
𝛼𝑏 = 1,0 
 
 
 
c. Para Pilares em balanço 
+ 
+ 
- 
38 
 
 
𝛼𝑏 = 0,8 + 0,2.
𝑀𝐶
𝑀𝐴
 e 0,85 ≤ 𝛼𝑏 ≤ 1,0 
MA – momento de 1ª. ordem no engaste 
MC – momento de 1ª. ordem no meio do pilar em balanço 
 
 
d. Para Pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo de 
1ª. ordem 
(compara-se com os momentos de extremidades do pilar) 
𝛼𝑏 = 1,0 
 
 
6.3 Momento mínimo de 1ª. ordem 
M𝟏𝒅,𝒎𝒊𝒏 = 𝑵𝒅 . (𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑 . 𝒉) onde h = dimensão na direção de cálculo 
considerada, em cm. 
 
39 
 
 EXCENTRICIDADES 
 
No pilar atuam, basicamente, força normalN e Momento fletor. As ações que provocam momentos são 
de diversas naturezas como: cargas excêntricas, esforços horizontais e vínculações. 
No cálculo, um momento fletor pode ser transposto para excentricidade através da expressão M = N.e. 
7.1 Excentricidade de primeira ordem 
Os esforços calculados a partir da geometria inicial da estrutura, sem deformação, são chamados 
de efeitos de primeira ordem. 
A excentricidade de 1ª. ordem pode ocorrer de duas formas: 
 
7.1.a. Excentricidade Inicial 
Chama-se de excentricidade inicial à carga deslocada em relação ao eixo da seção do pilar ou de 
momento gerado por ações ou pelo efeito de pórtico. 
A excentricidade inicial pode variar ao longo do comprimento do pilar. 
Exemplos: 
 N H e N 
 
 
 
 
 
 
 N 
 
 
 
Carga aplicada deslocada do eixo do pilar Cargas que geram momentos ao longo do pilar 
 
 
40 
 
 
 
 Excentricidade inicial no meio do Pilar 
Em edifícios supostos indeslocáveis e nós fixos, as excentricidades iniciais são provenientes de 
momentos de ligação viga- pilar, devido à ligação monolítica estrutural. 
 A excentricidade no meio do pilar, nesses casos, é determinada pelas expressões abaixo: 
 eiC ≥ 0,6 . eiA + 0,4 eiB 
 0,4. eiA 
 
 
Carregamento Diagrama de momento fletor 
Distribuição de momentos em pórtico – edifício. 
 
 
Conhecidos os esforços de Compressão N e o Momento Fletor M no pilar, determinam-se as 
excentricidades iniciais pela relação abaixo: 
𝑒𝑖,𝑡𝑜𝑝𝑜 = 
𝑀𝑡𝑜𝑝𝑜
𝑁
 𝑒𝑖,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 
𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑁
 
 
 
 
7.1.b. Excentricidade Acidental 
As edificações de concreto são geometricamente imperfeitas executivamente, ocorrendo 
imperfeições de forma e na posição dos eixos das peças (desaprumos) em função dos processos 
construtivos, que devem ser consideradas. 
 
 
41 
 
Imperfeições globais e Imperfeições locais 
As imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada, são 
consideradas de duas formas: imperfeições globais e imperfeições locais. 
 
7.2 Imperfeição Global 
 
 
 
 
7.3 Imperfeição Local 
 
 
 
 
Imperfeições locais são possíveis deficiências construtivas, de efeitos de desaprumo ou da falta de 
retilineidade do eixo do pilar, calculadas através de um ângulo presumível de desalinhamento. 
As imperfeições do tipo, embora não explícitas na norma, são tradicionalmente chamadas de 
excentricidade acidental, o que fazemos referência aqui. 
42 
 
De forma simplificada, em estruturas reticuladas, a NBR 6118/14 permite que o efeito das imperfeições 
geométricas locais nos pilares seja substituído por um valor de excentricidade mínima calculado por: 
M𝟏𝒅,𝒎𝒊𝒏 = 𝑵𝒅 . (𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑 . 𝒉) onde h = dimensão na direção de cálculo 
considerada, em cm 
dai 𝒆 𝒎𝒊𝒏 = (𝟏, 𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟑 . 𝒉) 
Valor esse que deve ser comparado à excentricidade inicial ei, usando-se o maior. 
 
7.4 Excentricidade de segunda ordem 
 
Os esforços calculados a partir da geometria deformada da estrutura, são chamados de efeitos de 
segunda ordem. 
A deformação da estrutura sob ação da força de Compressão N gera um efe i to chamado de 2ª . 
ordem , portanto, segunda ordem são efeitos que ocorrem na estrutura ampliando os momentos 
fletores obtidos do carregamento inicial. 
A excentricidade de 2ª. ordem é chamada de e2 . 
 
 
A parcela e2 é a excentricidade de 2ª. Ordem 
Flambagem é um fenomeno de equilíbrio instável, que provoca a ruptura de uma peça comprimida, antes de 
esgotada a capacidade resistente dos materiais. 
A flambagem é um efeito de 2ª. ordem. 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 Tabela de Aço para CA - diâmetros 
 
 
 
 
7.5 Exercícios 
 
Ex. 1 
Para o Pilar de um Edifício com as medidas indicadas, considerando-se os nós indeslocáveis e fixos 
(apoios biarticulados) e fornecidos os Momentos atuantes na direção x . 
Determinar: 
a. O coeficiente 𝛼𝑏 
b. O momento no meio do pilar 
c. Classificar o pilar quanto à Esbeltez 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
R: a) caso a - 𝛼𝑏 = 0,4 b) MiC = 800 kN.cm c) λ = 83 > λ1= 
25+12,5 
1,6
25
 
0,4 
= 64,5 medianamente 
esbelto 
Ex. 2 
Para o Pilar de um Galpão Industrial com as medidas indicadas, considerando-se Engastado na base 
e Livre (em balanço) no topo. 
 
Determinar: 
a. O coeficiente 𝛼𝑏 
b. O momento máximo do pilar 
c. Classificar o pilar quanto à Esbeltez 
 
R: a) 𝛼𝑏 = 0,92 b) MiA = 5 000 kN.cm c) λ = 55,4 > λ1=( 
25+12,5 
1,67
50
 
0,92 
= 27,6) dai 35 
 medianamente esbelto 
 
45 
 
 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM CURVATURA 
APROXIMADA 
 
 
8.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada 
Define-se Pilar Padrão, um pilar engastado na base e em balanço no topo que serve de modelo teórico para 
o método de cálculo. Um pilar bi-rotulado de comprimento 2é equivalente ao Pilar Padrão de 
comprimento . 
A não linearidade física (comportamento do concreto) é considerada por meio de uma simplificação da 
expressão da curvatura na seção crítica e a não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, 
supondo-se a deformação da barra de forma senoidal. 
 
condições de utilização do Método: 
 
- λ ≤ 90 
- seção constante 
 - armadura simétrica e constante ao longo do eixo do pilar 
 
Momento total máximo 
 
𝑀d,tot = 𝛼𝑏. 𝑀1d,A + 𝑁d ( 
𝑙𝑒
2
 10
.
1
𝑟
 ) ≥ 𝑀1d,A 
 𝑀1d,min 
 onde 𝑒2𝑥𝐶 = 
𝑙𝑒
2
 10
.
1
𝑟
 
 
1
𝑟
=
0,005
( 𝜈+0,5 ).ℎ
 e toma-se 𝜈 ≥ 0,5 
 
 
Critério 
“Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido 
isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali 
concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria 
de 1ª. ordem” (texto da NBR 6118/14, item 15.6). 
 
 
 
 
46 
 
8.1.a Ábacos de dimensionamento à Flexão Composta Reta 
 
O dimensionamento de armadura pode ser efetuado com auxílio de ábacos. No curso empregaremos os de 
autoria de Venturini, W. e outros [13]. 
 
Força normal relativa ν =
𝑁𝑑
𝑏 .ℎ .𝑓𝑐𝑑
 
 
Momento fletor relativo µ = 
𝑀𝑑
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 µ = 
𝑁𝑑 .𝑒
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 µ = ν. 
𝑒
ℎ
 
 
Taxa de armadura relativa 𝜔 = 
𝐴𝑠 .𝑓𝑦𝑑
𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 𝐴𝑠 = 
𝜔.𝐴.𝑓𝑐𝑑
 𝑓𝑦𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/23%20Abacos%20flexao%20normal%20-%20Venturini%20-%20Walter.pdf
47 
 
8.1.b Leitura do ábaco 
 
Pontos característicos (esquerda para direita) 
A – compressão centrada (axial) 
B – momento máximo 
C – flexão simples 
D – tração simples 
AC – flexo-compressão 
CD – flexo-tração 
 
 
 
 
48 
 
8.1.c Escolha de ábacos à Flexão Composta reta deve considerar: 
- Geometria da seção transversal do pilar 
- Tipo de aço (CA-50) 
- Forma de Distribuição da Armadura principal 
- Direção da Excentricidade 
- Relação d’/h 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
8.2 Exercícios 
Ex. 1 
Um pilar engastado na base e livre na extremidade superior nas duas direções é submetido a uma 
carga de Compressão N (valor de serviço) excêntrica conforme a representação dada na direção x. 
Determinar a armadura pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada, conforme a NBR 
6118, item 15.8.3.3.2 
Dados fck = 30 MPa, aço CA-50, d´= 7cm 
 
Resolução 
dir y 𝑙𝑒𝑦 = 2,0 𝑙 = 6,00 m 
dir x 𝑙𝑒𝑥 = 2,0 𝑙 = 6,00 m 
 
A situação desfavorável de cálculo é na direção x (direção de menor inércia e esforço excêntrico). 
 
excentricidade mínima 
 
 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 1,5 + 0,03 ℎ𝑥 = 1,5 +0,03 .35 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 2,55𝑐𝑚 
 
Indice de Esbeltez 
λ1 =
25+12,5 
𝑒1
ℎ
 
𝛼𝑏 
 caso c, pois M1dA = Nd . ei e ei > emim 
𝛼𝑏 = 0,8 + 0,2 .
3
3
= 1,0 
e 35 ≤ λ1 ≤ 90 
 
 
 Seção A A – medid as em cm Elevação 
 
e = 3cm 
 
 
 35 N = 2 100 kN 
 
 
 
  = 3 , 0 0 m A A 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
dir. x e1 x = 3 cm excentricidade de 1ª. ordem, sem contar com a acidental 
λ1𝑥 =
25+12,5 
3
35
 
1
= 26,1 deve-se usar o 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 λ1𝑥 = 35 
λ𝑥 =
3,46 .𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥 
 
λ𝑥 =
3,46 .600
35 
 = 59,3 > λ1𝑥 = 35 há efeito de 2ª. ordem nessa direção 
 
dir. y 𝑒1𝑦 = 0 excentricidade de 1ª. ordem, sem contar com a acidental 
λ1𝑦 =
25+12,5 
0
60
 
1,0
= 25,0 considera-se o mínimo λ1𝑦 = 35 
λ𝑦 =
3,46 .𝑙𝑒𝑦
ℎ𝑦
 λ𝑦 =
3,46 .600
60 
 = 34,6 < λ1𝑦 = 35 
Pilar curto sem efeito de 2ª. ordem nessa direção. 
 
Cálculo pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada 
 
ν =
𝑁𝑑
𝑏ℎ 𝑓𝑐𝑑
 ν =
1,4 .2100
35.60 .
3,0
1,4
 ν = 0,65 atende valor mínimo de 𝜈 = 0,5 
 
Determina-se o Momento total máximo 
 
𝑀d,tot = 𝛼𝑏. 𝑀1d,A + 𝑁d ( 
𝑙𝑒
2
 10
.
1
𝑟
 ) ≥ 𝑀1d,A 
 𝑀1d,min 
dir y 
1
𝑟
=
0,005
( 𝜈+0,5 )ℎ
 
1
𝑟
=
0,005
( 0,65+0,5 )35
 = 0,000124 
 
𝑀d,tot = 1,0. 1,4. 2 100. 3,0 + 1,4. 2100 ( 
6002
 10
. 0,000124) 
 
𝑀d,tot = 8 820 + 13 124 = 21 944 kN.cm ˃ 𝑀1d,A = 8 820 kN.cm 
 
Situação de Flexão Composta Reta 
 
𝜈 = 0,65 
µ = 
𝑀𝑑
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 µ = 
𝑁𝑑 .𝑒
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 µ = ν 
𝑒
ℎ
 µ = 
21 944
35 .35.60 .
3,0
1,4
 
 = 0,14 
51 
 
Usando ábaco de Venturini A-4 d´/h = 0,20 𝜔 = 0,28 
𝜔 = 
𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑
𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 𝐴𝑠 = 
𝜔 𝐴,𝑓𝑐𝑑
 𝑓𝑦𝑑.
 𝐴𝑠 = 
0,28 .35.60 . 
3,0
1,4 
 43,48 
 = 29,0 cm2 
escolhendo-se 1020 𝐴𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡 = 31,4 cm
2 𝜌𝑠 =
31,4
35.60 
 𝜌𝑠 = 1,5 % 
 
 
 
Ex. 2 
Um pilar engastado na base e livre na extremidade superior é submetido a uma carga de 
Compressão Centrada N = 1500 (valor de serviço). 
Determinar a armadura pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada, conforme a NBR 
6118/14, item 15.8.3.3.2 
Dados fck = 30 MPa, aço CA-50, d´= 5cm 
 
 
Resolução 
Comprimento de flambagem do pilar 
dir y 𝑙𝑒𝑦 = 2,0 𝑙 = 6,0 m 
dir x 𝑙𝑒𝑥 = 2,0 𝑙 = 6,0 m 
 
A situação desfavorável de cálculo é na direção x (direção de menor inércia). 
 
excentricidade mínima 
 
 
 Seção A A – medid das em cm Elevação 
 
 
 25 N 
 
 
 
  = 3 , 0 0 m A A 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 1,5 + 0,03 ℎ𝑥 = 1,5 + 0,03 .25 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 2,25𝑐𝑚 
Indice de Esbeltez 
λ1 =
25+12,5 
𝑒1
ℎ
 
𝛼𝑏 
 e 35 ≤ λ1 ≤ 90 
 
dir. x 𝑒1 𝑥 = 0 excentricidade de 1ª. ordem, sem contar com a acidental 
 
λ1𝑥 =
25+12,5 
0
25
 
1
= 25 αb = caso d M1d < M 1d min 
 
λ𝑥 =
3,46 .𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥 
 λ𝑥 =
3,46 .600
25 
 = 83,0 > λ1𝑥 = 35 
Pilar med. esb. há efeito de 2ª. ordem nessa direção 𝑒 2𝑥 
 
dir. y 𝑒1𝑦 = 0 excentricidade de 1ª. ordem, não conta com a acidental 
𝛼𝑏 = 1,0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑 M1d < M 1d min 
λ1𝑦 =
25+12,5 
0
60
 
1,0
= 25,0 considera-se o mínimo λ1𝑦 = 35 
λ𝑦 =
3,46 .𝑙𝑒𝑦
ℎ𝑦
 λ𝑦 =
3,46 .600
60 
 = 34,6 < λ1𝑦 = 35 
Pilar curto 
Cálculo pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada 
 
ν =
𝑁𝑑
𝑏ℎ 𝑓𝑐𝑑
 ν =
1,4 .1500
25.60 .
3,0
1,4
 ν = 0,65 > 0,5 
Determinação do Momento total máximo 
 
𝑀d,tot = 𝛼𝑏. 𝑀1d,A + 𝑁d ( 
𝑙𝑒
2
 10
.
1
𝑟
 ) ≥ 𝑀1d,A 
 𝑀1d,min = 1,4 . 1 500 . 2,25 = 4 725 kN.cm 
dir x 
1
𝑟
=
0,005
( 𝜈+0,5 )ℎ
 
1
𝑟
=
0,005
( 0,65+0,5 )25
 = 0,000174 
 
53 
 
𝑀d,tot = 1,0 . 4 725 + 1,4 . 1 500 ( 
6002
 10
. 0,000174) 
 
𝑀d,tot = 4 725 + 13 154 = 17 879 kN.cm ˃ 𝑀1d,min = 4 725 kN.cm 
 
 
 
 Situação de Flexão Composta Reta 
 
𝜈 = 0,65 
 
µ = 
𝑀𝑑
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 µ = 
𝑁𝑑 .𝑒
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 µ = ν 
𝑒
ℎ
 µ = 
17 879
25 .60.25 .
3,0
1,4
 
 = 0,22 
 
Usando ábaco de Venturini A-4 d´/h = 0,20 𝜔 = 0,60 
 
𝜔 = 
𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑
𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 𝐴𝑠 = 
𝜔 𝐴,𝑓𝑐𝑑
 𝑓𝑦𝑑.
 𝐴𝑠 = 
0,60 .25.60 . 
3,0
1,4 
 43,48 
 = 44,4 cm2 
escolhendo-se 10 Ø 25 𝐴𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡 = 49,1 cm
2 𝜌𝑠 =
49,1
25.60 
 𝜌𝑠 = 3,3 % 
 
54 
 
 
Ábacos de Venturini, W.S. e outros 
 
55 
 
Ex. 3 
Calcular o Pilar de um galpão industrial admitido livre no topo em ambas as direções da edificação 
pela inexistência de travamento devido a vigamento. 
Considerar engastamento na base oferecido pela fundação em ambas as direções. 
O pilar recebe uma carga de compressão excêntrica N e uma força horizontal concentrada H no 
topo conforme esquematizado a seguir. 
Aplicando o Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada conforme a NBR 6118-14, item 
15.8.3.3.2 responder: 
a. Classificação do Pilar quanto à Esbeltez nas duas direções principais 
b. Ocorrerá efeito de 2ª. ordem em alguma direção principal ? 
 
Relativamente à direção desfavorável do pilar frente aos esforços atuantes 
c. Valor do Momento de 1ª. ordem 
d. Valor do Momento de 2ª. ordem 
e. Determinar a Armadura longitudinal. 
f. Elaborar e mostrar em um desenho o detalhamento completo de Armaduras (longitudinal e 
transversal) conforme os critérios e procedimentos normativos. 
 
Utilizar : fck = 35 MPa, aço CA-50, d´=6cm. 
 Seção AA – medidas em cm Elevação 
 
 80 e N =2 185 kN 
 30 e=2cm 
 H = 45,4 kN 
 H A A 
  = 3,00 m 
 
  
 
Resp: λx = 26 λy = 69 M1d = 23 171 kN.cm M2d = 18 170 kN.cm Md,tot = 41 341 kN.cm ν = 0,51 
μ = 0,23 ω = 0,55 As = 75,9 cm2 
 
56 
 
 DETALHAMENTO DE ARMADURA 
 
Detalhamento de Armadura em Pilares 
Cobrimento é a distancia que o concreto superficial deve manter da armadura mais externa 
(estribo) como camada de proteção da armadura. 
O cobrimento mínimo é obtido adotando-se o uso de um valor chamado “cobrimento 
nominal” (cnom), que corresponde a um cobrimento com uma tolerância executiva (Δc). 
Todas as armaduras devem respeitar os cobrimentos nominais da tabela abaixo: 
9.1 Cobrimento da Armadura – pilares e vigas 
∆c = 10mm (tolerância de execução). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cnom = Cmin + ∆c(tolerância de execução) 
 
 
 
 
 Proteção contra a flambagem de barras, extraído de [5]. 
 
 
 
57 
 
9.2 Disposições Construtivas 
As prescrições de detalhamento de armadura levam em conta: 
- função estrutural 
 
- condições adequadas de execução como: lançamento, adensamento do concreto, 
 passagem do vibrador, ocorrência de vazios no elemento estrutural. 
 
Procedimentos 
9.2.a Dimensão Geométrica 
1. Menor dimensão do pilar de projeto 
 
b = 19 cm 
Ac ≥ 360 cm2 
Permite-se reduzir b desde que se majore a carga por um coeficiente adicional ϒn pela expressão 
 ϒn = 1,95 – 0,05.b [cm] 
Ou pela tabela 
 
 
9.2.b Armadura longitudinal - (principal) 
1. Armadura mínima e máxima 
 
As min ≤ As ≤ As max 
 
 As min ≥ 0,15 Nd / fyd* As max = 4%. Ac ( na seção de emendas 8%); 
 0,004 Ac 
Ac - área da seção transversal 
 
 * como há sobreposição de armadura no trecho de emendas (As fica dobrada), 
 a área líquida nas regiões fora das emendas fica sendo As max = 4%. Ac 
 
2. Diâmetro 
 
58 
 
10 mm ≤  ≤ 
1
8
 . 𝑏 b – menor dimensão transversal do pilar 
 
 
 
3. Espaçamento 
 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, 
fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores. 
 Mínimo Máximo 
  
 s ≥ 2 cm s ≤ 2 b 
 1,2 max do agregado 40 cm 
 
 
 
 
 
Distâncias mínimas entre barras longitudinais, de [16] Distâncias máximas entre barras longitudinais, de [16] 
 
 
 
 
 Dimensões dos agregados usados no concreto4 
 
 
 
 
 
4 Em edificações residenciais ou comerciais usa-se, geralmente, concreto com agregados, brita 0 e brita 1. 
 
59 
 
 
 
 
 
9.2.c Armadura transversal - (estribos) 
A armadura transversal (estribos e grampos suplementares) deve ser colocada em toda a altura do pilar e de 
forma obrigatória na região de encontro de vigas e lajes, pois nessa região há também a possibilidade de 
flambagem das barras longitudinais (exceto quando o pilar for travado por vigas de todos os lados). 
 
Função da armadura transversal: 
- Confinar o concreto para uma peça mais resistente e dútil. 
- Impedir a flambagem localizada das barras longitudinais 
- Costurar (combater as tensões transversais) as emendas das barras longitudinais. 
- Absorver os esforços de tração decompostos de mudanças leves de direção da força normal de 
 compressão. 
- Garantir o posicionamento das barras longitudinais durante a execução e concretagem. 
 
1. Diâmetro 
 
t ≥ 5 mm 
 / 4 
 
2. Espaçamento 
 
St ≤ 20 cm 
 b b – menor dimensão transv. do pilar 
 12  para aço CA-50 
 90 000 Фt 2/Ф. f yd (MPa) 
 
 
 
 
 
 
60 
 
3. Proteção contra flambagem5 
 
Conforme a NBR 6118/14; 
“Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura, situadas junto à superfície do 
elemento estrutural, devem ser tomadas precauções para evitá-la. 
 
Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as 
por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20 t do canto, se nesse trecho de comprimento 20 
t não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse 
trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares.” 
Estribos contra a flambagem em barras longitudinais 

   
 
 
 
comprimento comprimento 
de flambagem de flambagem 
 
 
 
Estribos na ação de flambagem de barras, adaptado de [15] 
 
 
 
 
 
5 A flambagem das barras é evitada pelos estribos que impedem a “fuga” da barra de sua posição projetada a cada 
distância st. No entanto, esse travamento só é eficiente para as barras posicionadas junto ao canto do estribo, à medida 
que uma barra se encontre mais afastada do canto perde-se essa eficiência. A distância 20 φt é a considerada como 
eficiente, portanto para barras situadas além dessa medida, imagina-se a necessidade de inserção de outros 
travamentos. 
 
61 
 
 
 
 
 
Alternativa de emprego - estribos alternados ou ganchos suplementares 
 
62 
 
 
Pilar com armadura de espera 
 
 
Emenda de pilar com luva rosqueada 
 
63 
 
9.3 Ancoragem de barras comprimidas 
Obs: A ancoragem de tração é estudada em detalhamento de vigas. 
 
A determinação de comprimento de ancoragem de barras comprimidas segue a mesma expressão da de 
tração. 
b =
. 𝑓𝑦𝑑
4 . 𝑓𝑏𝑑
 
 
0c = b nec ≥0 min onde 0 min ≥ 0,6 b 
 15 
 20 cm 
Barras exclusivamente comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos. 
 
Valores de b reto em situação de boa aderência,  <32 mm 
 
 
 
 
 
Tipos de Ganchos 
 
 Semicircular - 180⁰ Ângulo de 45⁰ (interno) Reto - 90⁰ 
 
 
 
 
 
 
Diâmetro de dobramento de gancho 
 
 
 
64 
 
Diâmetro de dobramento de estribo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algumas denominações utilizadas nas expressões 
são do alfabeto grego. 
 
 
 
Extraido de “Aprendendo com erro dos outros” 
 
65 
 
 CLASSIFICAÇÃO DE PILAR – QUANTO À POSIÇÃO DE 
FORMA 
 
 
O pilar de edifício em função de sua posição na planta de Forma e do tipo de solicitação a que o mesmo está 
submetido classifica-se como: 
 
10.1 Pilar Central ou Interno 
Localizado na planta de Forma na parte interna do desenho, recebe vigas contínuas nas duas 
direções sem interrupção, portanto não há transmissão de momentos do sistema aporticado de 
ligações viga-pilar. 
 
10.2 Pilar Lateral ou Extremidade 
Localizado na lateral da construção, caracteriza-se pela interrupção de uma das vigas na chegada do pilar, 
devido à interrupção, é necessária a consideração de efeito de ligação viga-pilar ocasionando flexão nessa 
direção. 
 
10.3 Pilar de Canto 
Localizado no canto da construção, caracteriza-se pela interrupção de duas vigas na chegada do pilar, essa 
interrupção faz ser necessária a consideração de efeitos de ligação viga-pilar ocasionando flexão nas duas 
direções. 
 
 Planta de Forma – Pavimento Tipo 
 
 Pilar de Canto - P1, P14 
 Pilar Central - P8 
 Pilar Lateral - P2, P3, P7, etc 
 
 
 
 
66 
 
 
 Resumo de Classificação de Pilares feitas até este capítulo: 
 Quanto à Rigidez 
- Pilares de Contraventamento 
- Pilares Contraventados 
 
 
 Quanto à Esbeltez 
- Pilares Curtos 
- Pilares Medianamento Esbeltos 
- Pilares Esbeltos 
- Pilares Muito Esbeltos 
 
 Quanto à Posição de Forma 
 - Pilar Central 
 - Pilar Lateral 
 - Pilar de Canto 
67 
 
 EXCENTRICIDADE DE FORMA 
 
 
11.1 Excentricidade de Forma 
Para atender a arquitetura, usualmente alinha-se face de viga e pilar de um lado. 
Consequentemente no projeto estrutural não há coincidência de eixos de vigas e pilares. 
Nessa situação, os eixos das vigas não passam pelo centro de gravidade da seção do pilar (figura 
abaixo), surgindo as chamadas excentricidades de locação (ou excentricidades de forma) que não 
necessitam ser levadas em conta no projeto. 
 
68 
 
11.2 Momento de ligação no nó pilar-viga 
 
Quando não for efetuado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga 
deve-se considerar momentos fletores nos extremos dos pilares em cada pavimento segundo as 
expressões: 
 
Na parte superior do pilar Na parte inferior do pilar 
𝑀𝑝,𝑠 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 . ( 
𝑟𝑝,𝑠
 𝑟𝑝,𝑖 + 𝑟𝑝,𝑠 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎
); 𝑀𝑝,𝑖 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 . ( 
𝑟𝑝,𝑖
 𝑟𝑝,𝑖 + 𝑟𝑝,𝑠 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎
); 
 
Na viga 
𝑀𝑒𝑥𝑡𝑟 ,𝑣𝑖𝑔𝑎 = 𝑀𝑒𝑛𝑔. ( 
𝑟𝑝,𝑠+ 𝑟𝑝,𝑖 
 𝑟𝑝,𝑖 + 𝑟𝑝,𝑠 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎
) ; 
variáveis definidas anteriormente. 
E diagramado no sistema aporticado dessa forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
O Pilar isolado de um pavimento terá a seguinte representação dos esforços solicitantes: 
 
 
 
 
 
 
 Excentricidade inicial no meio do Pilar 
Em edifícios supostos indeslocáveis e nós fixos, as excentricidades iniciais são provenientes de 
momentos de ligação viga- pilar, devido à ligação monolítica estrutural. 
 
 A excentricidade no meio do pilar, nesses casos, é determinada pelas expressões abaixo: 
 
 eiC ≥ 0,6 . eiA + 0,4 eiB 
 0,4. eiA 
 
70 
 
 SITUAÇÕES DE PROJETO E CÁLCULO 
 
 
Analisando-se os efeitos oriundosdo aporticamento teremos as chamadas Situações de Projeto ao 
acrescentar-se os efeitos de imperfeições geométricas e de 2ª. ordem chegaremos às Situações de Cálculo. 
 
12.1 Situações de Projeto 
– leva-se em conta unicamente a ação dos esforços iniciais (provocada pelos Momentos de ligação do Nó 
Pilar-viga) nas posições Extremidade e Intermediária do Pilar. 
 
12.2 Situações de Cálculo 
– às excentricidades iniciais da situação de Projeto analisam-se os efeitos das imperfeições 
geométricas e de 2ª. Ordem. 
A análise é feita separadamente (ora em uma direção, ora em outra). Acrescentando-se os efeitos 
de 2ª. ordem alternadamente em uma ou outra direção separadamente (efeito exclusivo), quando 
existir. 
Não se consideram as ações acidentais (mínimos) e 2ª. ordem nas 2 direções ao mesmo tempo !!! 
 
71 
 
 DETERMINAÇÃO DE CARGA EM PILAR 
 
 
13.1 Determinação de Cargas para cálculo de um determinado 
pavimento 
 
 
 
 
Determinar a carga de Compressão N para cálculo de Pilar num pavimento i específico 
indicado no desenho de elevação da edificação. 
A laje de cobertura por apresentar desenho de forma diferente terá um valor calculado 
de carga Nc diferente da carga N dos pavimentos-tipo. 
72 
 
 
Exemplo: Seja determinar a carga para cálculo de Pilar no 10º. Pavimento 
de um prédio de 20 pavimentos. 
Calculando a carga N (tipo) = 15 (pp) + 400 = 415 kN 
 Nc = 300 kN, qual a carga de cálculo ? 
 
 
 
Solução: 
Entende-se que estejamos no 10º. Pavimento (já calculado) e desejemos determinar o 
lance seguinte do 10º. para o 11º. andar. Teremos, portanto, 10 pisos + 1 cobertura. 
 
N = 10.N + 1 Nc = 10.415 + 300 = 4 450 kN 
 
 
 
73 
 
13.2 Exercícios 
C1. Do pilar Central P5 de um Edifício Comercial de 20 pavimentos considerado indeslocável e de 
nós fixos, cuja planta de Forma é dada abaixo. 
 Planta de Forma – Pavimento Tipo 
Corte A-A Elevação 
 
 
 
Deseja-se fazer o cálculo do pilar no 13º pavimento (lance do 13º. para o 14º. Pavimento). 
 
Cada um dos pavimentos tipo apresenta carga igual a 250,0 kN (todas as cargas inclusas). O nível de 
cobertura apresenta carga de 170,0 kN. 
 
Dados: fck = 25 MPa, aço CA-50, d´= 5cm, cobrimento c = 3 cm 
Distância  = 4,2 m (piso a piso) 
Dimensões em cm: P5 50/35, vigas: V2 20/80, V5 20/50 
 
Determinar a armadura do pilar P5 e desenhar a armadura escolhida com todas as verificações de 
Disposições Construtivas. Cálculos e procedimentos conforme a NBR 6118/14. 
 
Resolução 
Acima do 13º. pavimento existem 7 pisos (pavimentos) + 1 Cobertura. 
 
Cálculo da carga N no 13º. Pavto 
 
N = 7 . 250,0 + 170,0 = 1920 kN 
 
Comprimento Equivalente do Pilar 
dir y ≤ 𝑙𝑒𝑦 = 𝑙0𝑦 + ℎ𝑦 = (420 ̶ 50) + 35 = 405 𝑙𝑒𝑦 = 405 cm 
74 
 
 𝑙𝑒𝑦 = 𝑙0𝑦 + 
ℎ𝑣𝑠,𝑦
2
+ 
ℎ𝑣𝑖,𝑦
2
 = 370 + 25 + 25 = 420 
 
dir x ≤ 𝑙𝑒𝑥 = 𝑙0𝑥 + ℎ𝑥 = (420 ̶ 80) + 50 = 390 𝑙𝑒𝑥 = 390 cm 
 𝑙𝑒𝑥 = 𝑙0𝑥 + 
ℎ𝑣𝑠,𝑥
2
+ 
ℎ𝑣𝑖,𝑥
2
 = 340 +40 + 40 = 420 
 
Indice de Esbeltez – Pilar Central não apresenta momentos de ligação My = 0, Mx = 0 
λ1 =
25+12,5 
𝑒1
ℎ
 
𝛼𝑏 
 e 35 ≤ λ1 ≤ 90 𝛼𝑏 = 1,0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑 
 
dir. y 𝑒1𝑦 =
0
1 920
 = 0 excentricidade de 1ª. ordem, não considera a acidental 
λ1𝑦 =
25+12,5 
0
35
 
1,0
= 25 considera-se o mínimo λ1𝑦 = 35 
λ𝑦 =
3,46 .𝑙𝑒𝑦
ℎ𝑦
 λ𝑦 =
3,46 .405
35 
 = 40,0 > λ1𝑦 = 35 
Pilar medianamente esbelto apresenta efeito de 2ª. ordem 
 
dir. x 𝑒1 𝑥 = 
0
1 920
 = 0 excentricidade de 1ª. ordem, sem contar com a acidental 
λ1𝑥 =
25+12,5 
0
50
 
1,0
= 25,0 considera-se o mínimo λ1𝑥 = 35 
λ𝑥 =
3,46 .𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥 
 λ𝑥 =
3,46 . 390
50 
 = 27,0 < λ1𝑥 = 35 Pilar curto, não há 𝑒 2𝑥 
 
Excentricidade de 1ª. Ordem - inicial 
 
 𝑒𝑖,𝑦 = 0 
 𝑒𝑖,𝑥 = 0 como visto acima, inexistem Momentos de Ligação no nó Viga-Pilar 
 
Excentricidade mínima 
 
 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑦 = 1,5 + 0,03 ℎ𝑦 = 1,5 + 0,03 .35 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑦 = 2,55𝑐𝑚 
 
 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 1,5 + 0,03 ℎ𝑥 = 1,5 + 0,03 .50 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 3,0 𝑐𝑚 
 
75 
 
Excentricidade de 2ª. ordem 
 
Cálculo pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada 
 
Verificam-se as condições de utilização do processo: 
λ ≤ 90 , seção constante e armadura simétrica e constante ao longo da altura do pilar. 
 
 
ν =
𝑁𝑑
𝑏ℎ 𝑓𝑐𝑑
 ν =
1,4 .1920
35.50 .
2,5
1,4
 ν = 0,86 ˃ 0,5 
 
dir y 
1
𝑟
=
0,005
( 𝜈+0,5 )ℎ
 
1
𝑟
=
0,005
( 0,86+0,5 )35
 = 0,000105 
e2y = 
𝑙𝑒
2
 10
.
1
𝑟
 
𝑒2𝑦𝐶 = 
4052
 10
. 0,000105 = 1,72 cm 
 
Análise de situações - Quadro-resumo (sem escala) 
 
 
 
76 
 
 
 
Situações passíveis de cálculo: caso 3 e caso 4. Aparentemente o caso desfavorável é o caso 3 que poderá ser 
facilmente comprovado fazendo-se o cálculo dos dois casos até chegar na armadura. 
 
 
 
Situação de Cálculo desfavorável – seção intermediária caso 3 - Flexão Composta Reta 
 
𝜈 = 0,86 
 
μy= 
𝑀𝑑
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 μy = 
𝑁𝑑 .𝑒
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
= 
𝜈 .𝑒
ℎ 
 μy =0,86. 
4,27
35 
 = 0,105 
 
Usando ábaco de Venturini A-3 d´/h = 0,15 𝜔 = 0,30 dom. 5 
 
𝜔 = 
𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑
𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 𝐴𝑠 = 
𝜔 𝐴,𝑓𝑐𝑑
 𝑓𝑦𝑑.
 𝐴𝑠 = 
0,30 .35.50 . 
2,5
1,4 
 43,48 
 = 21,6 cm2 
escolhendo-se 12 Ø 16 𝐴𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡 = 12 . 2,01 = 24,12 cm
2 𝜌𝑠 =
24,12
35.50 
 𝜌𝑠 = 1,4 
% 
 
77 
 
Detalhamento da Armadura 
 
 
 
 
  b = 38 Ø = 61 cm 
 
 
 Distância entre faces de barras 
 ( 5 0 – 2(3+0,5) – . 1,6 . 6 )/5 = 6,7 12 2 Ø 16 E 5 c/ 20 
 
 
 
 
 
 
 
 20 Ø t = 1 0 cm 
 
 
eixo a eixo de barras = 8,3 
cm 
78 
 
C2. Dimensionar o pilar Central P5 de um Edifício Comercial de 20 andares considerado indeslocável 
e de nós fixos, cuja planta de Forma é dada abaixo. 
Deseja-se fazer o cálculo do pilar no 10º pavimento (lance do 10º. para o 11º. Pavimento). 
 
Cada um dos pavimentos tipo apresenta carga igual a 200,0 kN (todas as cargas inclusas). O nível de 
cobertura apresenta carga de 150,0 kN. 
 
Dados: fck = 30 MPa, aço CA-50, d´= 5cm, c = 3cm 
Distância  = 3,2 m (piso a piso) 
 
Determinar relativamente ao pilar P5: 
a. A carga N na seção de cálculo. 
b. Determinar os esforços e desenhar o Quadro-resumo de situações de Projeto e de Cálculo. 
c. A armadura principal e desenhar a seção transversal indicando as armaduras escolhidas com todas as 
verificações de Disposições Construtivas. Cálculos e procedimentos conforme a NBR 6118/14. 
 
79 
 
L1. Dimensionar e detalhar o pilar P4 da planta de Forma dada. 
 
 
O P4 é um pilar Lateral – assim denominado quando uma viga (V2) inicia no pilar gerando 
momentos de ligação Pilar- Viga no respectivo nó. 
A viga V4 não transmite momento para o pilar, pois é contínua, não interrompendo no P4. 
Dados: N (carga de compressão no pilar P4) = 1 600 kN; 
 fck = 30 MPa, aço CA-50, d´=5 cm, c = 3 cm 
 
80 
 
4
,2
0
 
1. Determinação do Comprimento Equivalente do pilar 
N = 1600 kN 
 
 
 P = 70,0 kN/m 
 
 
 5,35 
 
 
 Esquema estático de ligação no Nó pilar-viga na direção X 
 
dir x ≤ 𝑙𝑒𝑥 = 𝑙0𝑥 + ℎ𝑥 = 400 + 20 = 420 
 𝑙𝑒𝑥 = 𝑙0𝑥 + 
ℎ𝑣𝑠,𝑥
2
+ 
ℎ𝑣𝑖,𝑥
2
 = 400 +25 + 25 = 450 𝑙𝑒𝑥 = 420 cm 
 
dir y ≤ 𝑙𝑒𝑦 = 𝑙0𝑦 + ℎ𝑦 = 390 + 65 = 455 cm 
 𝑙𝑒𝑦 = 𝑙0𝑦 + 
ℎ𝑣𝑠,𝑦
2
+ 
ℎ𝑣𝑖,𝑦
2
 = 390 +30 + 30= 450 𝑙𝑒𝑦= 450 cm 
 Vão efetivo da viga 
 
 
 
h 
 
 
 
 
 
 t1 0 t2 
 a1 = 10 0 = 515 a2 = 10 
81 
 
 
2. Momentos de ligação no nó pilar-viga 
𝑟𝑝,𝑠 = 𝑟𝑝,𝑖 =
I𝑝
l
2
 𝑟𝑝,𝑠 = 𝑟𝑝,𝑖 =
65.203
12
210
 𝑟𝑝,𝑠 = 𝑟𝑝,𝑖 = 206,3 cm3
 
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 =
I𝑣𝑖𝑔𝑎
 𝑙𝑣
 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 =
20.503
12
535
 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 389,4 cm
3 
𝑀𝑒𝑛𝑔 = −
𝑝.𝑙2
 12
 𝑀𝑒𝑛𝑔 = −
70,0 . 5,352
 12
 𝑀𝑒𝑛𝑔 = − 166,96 kN.m 
 
𝑀𝑝,𝑖 = −𝑀𝑝,𝑠 = 𝑀𝑒𝑛𝑔.
𝑟𝑝,𝑠
 𝑟𝑝,𝑖 + 𝑟𝑝,𝑠 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎
 
−𝑀𝑝,𝑠 = 𝑀𝑝,𝑖 = 166,96.
206,3
 206,3+206,3+389,4
 −𝑀𝑝,𝑠 = 𝑀𝑝,𝑖 = 42,95 kN.m 
 
3. Excentricidade de 1ª. ordem 
 
3.1 Iniciais 
 
dir. x devido às ações externas 
 extremidade 𝑒1,𝑥𝐴 =
M𝑝
N
= 
4295
1600
 𝑒1,𝑥𝐴 = 2,68 𝑐𝑚 
 
 Intermediária 𝑒1,𝑥𝐶 = 0,4 𝑒1,𝑥𝐴 = 0,4 .2,68 𝑒1,𝑥𝐶 = 1,07 𝑐𝑚 
 0,6 eixA +0,4 e1ixB = 0,6 . 2,68 - 0,4 . 2,68 = 0,54 cm 
 
 
dir. y devido às ações externas 
 extremidade - zero 
 Intermediária - zero 
 
 
 
3.2 Excentricidade mínima 
 
 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 1,5 + 0,03 ℎ𝑥 = 1,5 + 0,03 .20 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 2,1𝑐𝑚 
 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑦 = 1,5 + 0,03 ℎ𝑦 = 1,5 + 0,03 .65 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑦 = 3,45𝑐𝑚 
 
4. Indice de Esbeltez 
λ1 =
25+12,5 
𝑒1
ℎ
 
𝛼𝑏 
 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎 𝛼𝑏 = 0,6 + 0,4 .
𝑀𝐵
𝑀𝐴
 
𝛼𝑏 = 0,6 − 0,4 .
2,68
2,68
 = 0,2 < 0,4 𝛼𝑏 = 0,4 
82 
 
 
4.1 dir. x 𝑒1 = 1,07 usamos o menor valor (excentricidade de 1ª. ordem, sem contar com a 
acidental) 
λ1𝑥 =
25+12,5 
1,07
20
 
0,4
= 64,2 
λ𝑥 =
3,46 .𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥
 λ𝑥 =
3,46 .420
20 
 = 72,7 > λ1𝑥 = 64,2 
 Pilar esbelto há efeito de 2ª. ordem, temos 𝑒 2𝑥 
 
4.2 dir. y 𝑒1 = 0 - excentricidade de 1ª. ordem, sem contar com a acidental 
λ1𝑦 =
25+12,5 
0
65
 
1
= 25 daí toma-se o mínimo λ1𝑦 = 35 
λ𝑦 =
3,46 .𝑙𝑒𝑦
ℎ𝑦
 λ𝑦 =
3,46 .450
65 
 = 24 < λ1𝑦 = 35 Pilar curto 
 
5. Excentricidade de 2ª. ordem 
 
Cálculo pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada 
 
Parcela de 2ª. ordem 𝑒2𝑥𝐶 = 
𝑙𝑒
2
 10
.
1
𝑟
 
1
𝑟
=
0,005
( 𝜈+0,5 )ℎ
 com condição 𝜈 ≥ 0,5 
 
ν =
𝑁𝑑
𝑏ℎ 𝑓𝑐𝑑
 ν =
1,4 .1600
20.65 .
3,0
1,4
 ν = 0,80 
 
dir x 
1
𝑟
=
0,005
( 𝜈+0,5 )ℎ
 
1
𝑟
=
0,005
( 0,80+0,5 )20
 0,0001923 
 
𝑒2𝑥𝐶 = 
𝑙𝑒
2
 10
.
1
𝑟
 𝑒2𝑥𝐶 = 
4202
 10
. 0,0001923 𝑒2𝑥𝐶 = 3,39 𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
 
Análise das Situações 
 
 
Situações a serem calculadas: 
Caso 3 Flexão Composta Reta 
Caso 2 Flexão Composta Oblíqua 
 
7. Dimensionamento de Armadura 
 Caso 3 - Flexão Composta Reta 
ν = 0,80 
µ = ν 
𝑒
ℎ
 µ = 
𝑀𝑑
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 µ = 
𝑁𝑑 .𝑒
ℎ .𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 µ =0,80 . 
4,46
20 
 = 0,178 
da tab. A-5 d´/h = 0,25 Venturini 𝜔 = 0,65 
𝜔 = 
𝐴𝑠 𝑓𝑦𝑑
𝐴 .𝑓𝑐𝑑 
 𝐴𝑠 = 
𝜔 𝐴,𝑓𝑐𝑑
 𝑓𝑦𝑑.
 𝐴𝑠 = 
0,65 .20 .65 . 
3,0
1,4 
 43,48 
 = 41,6 cm2 (1025) 
84 
 
Armadura principal 1025 taxa de armadura 𝜌𝑠 =
49,1
20 . 65 
 𝜌𝑠 = 3,8% estribos  6,3c/ 20 
 
Ábacos Venturini, W. 
85 
 
 Ábacos à Flexão Composta Oblíqua - entrada de 3 variáveis (ν, µx e µy) 
 
1. Como escolher o ábaco: 
- Geometria da seção transversal do pilar 
- Tipo de aço (CA-50) 
- Forma de Distribuição da Armadura principal 
- Relação d’/h 
 
2. Com ν se define o quadrante do ábaco . 
Caso o valor não seja oferecido pelo ábaco, interpolar entre os 2 valores mais próximos. 
3. µx , µy nas direções correspondentes, conforme o desenho abaixo. 
A sua seção transversal deve ter a mesma orientação do desenho do ábaco, caso contrário faça os ajustes na 
nomenclatura das direções. 
4. Na leitura de ω, quando cair no meio entre duas curvas, interpolar. 
 
 Convenção de Esforços Solicitantes – Ábacos à Flexão Composta Oblíqua 
 
Caso 2 - Flexão Composta Oblíqua 
ν = 0,80 
µ𝑥 = ν 
𝑒𝑥
ℎ𝑥
 µ𝑥 = 0,80 . 
2,68
20 
 = 0,11 
µ𝑦 = ν 
𝑒𝑦
ℎ𝑦
 µ𝑦 = 0,80 . 
3,45
65 
 = 0,04 
Do ábaco 4B Pinheiro (d´/hy = 0,10 e d´/hx = 0,25) 
armadura em duas faces opostas 𝜔 = 0,38 
 
86 
 
 
L.M. Pinheiro e outros 
87 
 
L2. Dimensionar o pilar Lateral P2 submetido a uma carga de compressão N (total) =980 kN no 
pavimento i representado pela Planta de Forma dada a seguir. 
Usar: fck = 40 MPa, aço CA-50, d´= 5cm 
 
P2 – Comprimento Equivalente 
dir y ≤ 𝑙𝑒𝑦 = 𝑙0𝑦 + ℎ𝑦 = (360 ̶ 50) +20 = 330 𝑙𝑒𝑦 = 330 cm = 𝑙𝑝𝑠𝑦 = 𝑙𝑝𝑖𝑦 
 𝑙𝑒𝑦 = 𝑙0𝑦 + 
ℎ𝑣𝑠,𝑦
2
+ 
ℎ𝑣𝑖,𝑦
2
 = 310 +25 + 25 = 360 
 
dir x ≤ 𝑙𝑒𝑥 = 𝑙0𝑥 + ℎ𝑥 = (360 ̶ 60) + 40 = 340 𝑙𝑒𝑥 = 340 cm = 𝑙𝑝𝑠𝑥 = 𝑙𝑝𝑖𝑥 
 𝑙𝑒𝑥 = 𝑙0𝑥 + 
ℎ𝑣𝑠,𝑥
2
+ 
ℎ𝑣𝑖,𝑥
2
 = 300 +30 + 30 = 360 
 
88 
 
 
Vão efetivo de viga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20/2 = 10 20/2 = 10 
a1 ≤ a1 = 10 a2 ≤ a2 = 10 
 0,3.50 = 15 0,3. 50 = 15 
 
 Vão efetivo da viga V5 (2º. tramo) =a1 + o + a2 
 = 10 + (400 ̶ 20) + 10 = 400 cm 
 
 
Momento de ligação no nó pilar-viga – direção y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑟𝑝,𝑠 = 𝑟𝑝,𝑖 =
I𝑝
l
2
 𝑟𝑝,𝑠 = 𝑟𝑝,𝑖 =
40.203
12
165
 𝑟𝑝,𝑠 = 161,62 cm
3 
𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 =
I𝑣𝑖𝑔𝑎
 𝑙𝑣
 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 =
20.503
12
400
 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎 = 520,83 cm
3 
89 
 
𝑀𝑒𝑛𝑔 = −
𝑝.𝑙2
 12
 𝑀𝑒𝑛𝑔 = −
30,0 .4,02
 12
 𝑀𝑒𝑛𝑔 = − 40,00 kN.m 
Momento no Pilar 
−𝑀𝑝,𝑠 = 𝑀𝑝,𝑖 = 𝑀𝑒𝑛𝑔 .
𝑟𝑝,𝑠
 𝑟𝑝,𝑖 + 𝑟𝑝,𝑠 + 𝑟𝑣𝑖𝑔𝑎
 
−𝑀𝑝,𝑠 = 𝑀𝑝,𝑖 = 40,00.
161,62
 161,62 + 161,62 + 520,83
 −𝑀𝑝,𝑠 = 𝑀𝑝,𝑖 = 7,66 kN.m = 766 kN.cm
 
 
 
Efeitos de 1ª. ordem (Excentricidades de 1ª. ordem) 
 
dir. y devido às ações externas 
 
 extremidade 𝑒1,𝑦𝐴 =
M𝑝𝑠
N
= 
766
980
 𝑒1,𝑦𝐴 = 0,78 𝑐𝑚 
 
 Intermediária 𝑒1,𝑦𝐶 = 0,4 𝑒1,𝑦𝐴 = 0,4 . 0,78 𝑒1,𝑦𝐶 = 0,31 𝑐𝑚 
 = 0,6 𝑒1,𝑦𝐴 + 0,4 𝑒1,𝑦𝐵 = 0,16 
Atenção: Na expressão acima, óbviamente, assim como em qualquer outra, as variáveis devem ser 
compatíveis em termos de unidades. Ou seja, as duas variáveis em valores de serviço ou ambas em valores 
majorados de cálculo. 
 
Indice de Esbeltez 
λ1 =
25+12,5 
𝑒1
ℎ
 
𝛼𝑏 
 35 ≤ λ1 ≤ 90 caso d 𝛼𝑏 = 1,0 
dir. y 𝑒1𝑦𝐶 = 0,31 - excentricidade de 1ª. ordem, sem contar com a acidental 
λ1𝑦 =
25+12,5 
0,31
20
 
1
= 25,2 considera-se o mínimo λ1𝑦 = 35 
λ𝑦 =
3,46 .𝑙𝑒𝑦
ℎ𝑦
 λ𝑦 =
3,46 .330
20 
 = 57,1 ˃ λ1𝑦 = 35 
Pilar medianamente esbelto apresenta efeito de 2ª. ordem na dir. y 
 
dir. x devido às ações externas 
 extremidade - zero 
 Intermediária - zero 
 
 
dir. x 𝑒1 = 0 - excentricidade de 1ª. ordem, sem contar com a acidental 
90 
 
λ1𝑥 =
25+12,5 
0
40
 
1
= 25 considera-se o mínimo λ1𝑥 = 35 
λ𝑥 =
3,46 .𝑙𝑒𝑥
ℎ𝑥 
 λ𝑥 =
3,46 .340
40 
 = 29,4 < λ1𝑥 = 35 
Pilar curto, não há efeito de 2ª. ordem, nessa direção 𝑒 2𝑥 = 0 
 
 
excentricidade mínima 
 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑦 = 1,5 + 0,03 ℎ𝑦 = 1,5 + 0,03 . 20 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑦 = 2,1𝑐𝑚 
 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 1,5 + 0,03 ℎ𝑥 = 1,5 + 0,03 . 40 𝑒𝑚𝑖𝑛,𝑥 = 2,7𝑐𝑚 
 
 
Efeito de 2ª. ordem (Excentricidade de 2ª. ordem) 
 
Cálculo pelo Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada 
 
Verificam-se as condições de utilização do processo: 
λ ≤ 90 , seção constante e armadura simétrica e constante ao longo da altura do pilar. 
 
Parcela de 2ª. ordem 𝑒2𝑦𝐶 = 
𝑙𝑒
2
 10
.
1
𝑟
 
 
ν =
𝑁𝑑
𝑏ℎ 𝑓𝑐𝑑
 ν =
1,4 .980
20.40 .
4,0
1,4
 ν = 0,60 
dir y 
1
𝑟
=
0,005
( 𝜈+0,5 )ℎ
 
1
𝑟
=
0,005
( 0,60+0,5 ).20
 = 0,000227 
 
𝑒2𝑦𝐶 = 
𝑙𝑒