Estudo Dirigido: Sistemas Elétricos

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO 
MARANHÃO – CAMPOS MONTE CASTELO 
 
 
 
 
 
 
 
Adrielle Marques Miranda 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DIRIGIDO 06: SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís, Ma 
2021 
ESTUDO DIRIGIDO REFERENTE A SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
 
 
PROFESSOR: LINDOMAR JACINTO DE SOUZA 
ALUNA: ADRIELLE MARQUES MRANDA 
MÁTRICULA: 20182EE0001 
DISCIPLINA: SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís, Ma 
2021 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO 
2 FLUXO DE CARGA 
2.1 Para que serve e onde é usado? 
2.2 MÉTODOS USADOS PELO NOS NO SIN 
3 MODELGEM 
3.1 Modelos estáticos de Gerador 
4 MATRIZ ADMITÂNCIA DE BARRA 
4.1 Matriz impedância de barra 
5 MODELAGEM DE LINHAS E TRANSFORMADORES 
5.1Linhas de Transmissão 
5.2 Transformadores 
5.3 Transformadores Defasadores 
6 CÁCULO DO FLUXO DE POTÊNCIA EM LTS 
6.1 Método de Gauss-Seidel 
6.2 Método de Newton-Raphson 
7 MÉTODO COMPUTACIONAL 
8 ANÁLISE DOS RESULTADOS 
9 REFERÊNCIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
O Sistema Elétrico de Potência (SEP) é um conjunto de equipamentos com 
função de converter a energia de alguma fonte natural em eletricidade e transportá-la 
aos pontos de consumo, objetivando continuidade, níveis de tensão adequado e 
frequência constantes, tendo como vantagem a possibilidade de transporte por longas 
distâncias com facilidade de convertê-la em outras formas de energia (calor, luz ou 
energia mecânica. 
Um SEP, ilustrado na Figura 1, é composto por três principais setores: geração, 
transmissão e distribuição. A geração é responsável por transformar uma fonte de 
energia natural (cinética, térmica ou potencial) em energia elétrica; a transmissão tem 
por objetivo transportar a energia elétrica gerada para próximo dos pontos de 
consumo, e a distribuição adequa a tensão para níveis definidos e conecta os pontos 
de consumo ao sistema elétrico. 
 
 
Figura 01. 
 
Atualmente o método de transmissão, mas utilizado no mundo é o de Corrente 
Alternada (CA). A padronização CA como método de geração e transmissão teve 
início no século XX; esta padronização surgiu devido a flexibilidade da conversão de 
níveis de tensão CA, visto que, diferentes níveis de tensão são usados para a geração, 
transmissão e distribuição. 
Em 1917 nos Estados Unidos da América os sistemas elétricos ainda 
funcionavam como unidades individuais, ou seja, não havia uma interligação de 
sistemas elétricos. Porém com a inserção de grandes cargas e a necessidade de 
maior confiabilidade na continuidade de fornecimento de energia elétrica conduziu a 
interligações a sistemas vizinhos. Um dos motivos que torna a interligação vantajosa 
é a redução na quantidade de máquinas em reserva de operação, o que supre a 
demanda em picos de carga. Tal economia é proveniente da possibilidade de trabalho 
em conjunto para suprir a demanda de todo o sistema, já que tais necessidades são 
 intermitentes. Porém tais interligações trouxeram novos problemas como o aumento 
 do nível de corrente de curto-circuito no sistema, a necessidade de sincronizar as 
frequências dos sistemas, a manutenção da fase entre todos os geradores e havendo 
uma falha isolada em um dos sistemas poderá afetar diretamente todos os sistemas 
interligados. 
A energia elétrica chegou ao Brasil no final do século XIX, implementada pelo 
imperador Dom Pedro II para substituir o querosene e o gás utilizado na iluminação 
pública. Devido a uma crise no suprimento energético nos estados do Rio de Janeiro 
e São Paulo, em 1957 foi criada a empresa federal Central Elétrica de Furnas, tendo 
entrado em funcionamento em 1963. 
De 1967 a 1990 houve um período de transição, no qual foram criadas 
comissões e departamentos ligados ao Ministério de Minas e Energia (MME), os quais 
tinham como propósito planejar e coordenar o setor. O início dos anos 2000 marca o 
estabelecimento dos valores normativos, trazendo as condições para distribuidores e 
geradores estabelecerem contratos de longo prazo. E para tentar evitar as 
interrupções intempestivas no suprimento de energia elétrica no Brasil o governo 
adotou medidas emergenciais como a criação da Câmara de Gestão da Crise de 
Energia (CGCE), em 2001. 
Um dos órgãos responsáveis por desenvolver soluções tecnológicas para o 
SEP brasileiro é o Centro de Pesquisas de Energia Elétrica (CEPEL), criado em 1974 
sendo vinculado a Eletrobrás. 
Contando com um quadro de profissionais altamente qualificado e unidades 
multidisciplinares, o CEPEL é responsável por diversos laboratórios de teste e 
desenvolvimento de programas para análise de sistemas elétricos de potência como 
o Análise de Redes (ANAREDE), Análise de Faltas Simultâneas (ANAFAS) e o Análise 
de Transitórios Eletromecânicos (ANATEM). 
 
2 FLUXO DE CARGA 
 
O fluxo de potência é o estudo da rede elétrica em condições de regime 
permanente cujo principal objetivo é, a partir de uma dada quantidade específica de 
geração e carga em cada barra do sistema, determinar o estado da rede e a forma 
como ocorre a transferência de potência através de cada equipamento elétrico. O 
estudo do fluxo de potência requer o conhecimento preciso de uma rede em análise, 
uma vez que, obedecendo às Leis de Kirchhoff, as características dos componentes 
da rede terão influência direta na determinação de magnitudes de grandezas elétricas 
como corrente, tensão e potência. Por meio desse estudo, é possível determinar, 
essencialmente, o módulo e ângulo da tensão de cada barra do sistema e as potências 
ativa e reativa que circulam nas linhas de transmissão. Outras grandezas podem ser 
obtidas, tais como: correntes nas linhas; potências a serem geradas e divididas entre 
geradores; perdas nas linhas. Pode-se verificar ainda problemas de tensão, 
sobrecargas etc. É realizado pelas concessionárias através de programas 
computacionais. 
 
2.1 Para que serve e onde é usado? 
 
– Permitir a determinação do estado operativo do sistema elétrico; 
– Verificar se o sistema em análise está ou não operando adequadamente; 
– Indicar o que deve ser feito para corrigir ou prevenir situações inadequadas de 
operação. 
 
2.2 MÉTODOS USADOS PELO NOS NO SIN 
 
Os métodos de cálculo de fluxo de carga para os sistemas de 
transmissão/subtransmissão mais usados são: o método de 
Newton, método desacoplado e o método desacoplado rápido. 
 
3 MODELGEM 
 
Uma vez identificado o modelo da rede utilizado na formulação do fluxo de 
potência, será detalhada brevemente a modelagem estática dos principais 
equipamentos elétricos. Tal modelagem estática é constituída de um equacionamento 
puramente algébrico, já que se considera que a variação do estado do sistema é tão 
lenta que se pode desprezar os efeitos transitórios. 
 
3.1 Modelos estáticos de Gerador 
 
• Modelo de Gerador de Polos Lisos 
 
Os geradores utilizados em usinas térmicas são os geradores de pólos lisos, 
cuja modelagem pode ser simplificada por uma fonte de tensão atrás de uma 
reatância, conforme mostrado na Figura 2. 
 
 
Figura 2. 
 
• Modelo de Injeção de Potência 
 
Para fins de implementação computacional em ferramentas de solução de fluxo 
de potência, é comum que os geradores sejam representados apenas por uma injeção 
de potência, conforme mostrado na Figura 3. 
 
 
Figura 3. 
 
Nessa visão, os geradores podem ser divididos em dois subgrupos: 
 
1. Modelo de Gerador PV 
O modelo de gerador PV consiste em um modelo onde a potência ativa e o 
módulo da tensão terminal são fixados em um valor de referência e o valor da potência 
reativa e do ângulo da tensão são calculados através do fluxo de potência. 
 
𝑃𝐾 = 𝑃𝑟𝑒𝑓 
𝑉𝐾 = 𝑉𝑟𝑒𝑓 
 
2. Modelo de Gerador VT 
O modelo de gerador VT consiste em um modelo onde os valores de módulo e 
ângulo da tensão terminal são fixados em um valorde referência e as potências ativa 
e reativa terminais são calculadas a partir do fluxo de potência. 
 
𝑉𝐾 = 𝑉𝑟𝑒𝑓 
𝑇𝐾 = 𝑇𝑟𝑒𝑓 
 
-Modelo de Transformador de Tap fixo 
O modelo de transformador de tap fixo é o modelo π. O módulo e o ângulo da 
tensão terminal desse modelo são calculados pelo fluxo e os valores de potência 
terminal são calculados através das equações abaixo. 
 
 
Figura 4. 
 
 
 
- Modelo de Linha de Transmissão 
O modelo de linha de transmissão é o modelo π nominal. O módulo e o ângulo 
das tensões terminais desse modelo são calculados pelo fluxo e os valores de 
potência terminal são calculados através das equações abaixo. 
 
 
Figura 5. 
 
 
 
- Modelos de Carga 
• Modelo Potência Constante 
 
O modelo de carga potência constante possui as potências ativa e reativa 
terminais fixas, sendo a tensão terminal calculada pelo fluxo de potência. 
 
 
Figura 6. 
 
 
 
-Modelo de carga ZIP 
 
O modelo ZIP consiste num modelo capaz de representar a carga como uma 
parcela de potência constante, uma parcela de impedância constante e uma parcela 
de corrente constante. 
 
 
Figura 7. 
 
 
 
Onde: 
Pz e Qz são as parcelas que representam a impedância constante em por 
cento; 
Pi e Qi são as parcelas que representam a corrente constante em por cento; 
Pnom e Qnom são a potência ativa e reativa nominal da carga; 
Vk é a tensão terminal da carga. 
 
4 MATRIZ ADMITÂNCIA DE BARRA 
 
Para que se torne viável a solução do fluxo de potência, torna-se necessária 
uma formulação mais apropriada, em termos das admitâncias da rede elétrica em 
análise, propiciando uma forma sistemática para o equacionamento das relações 
tensão-corrente do sistema. Estas equações são escritas na forma matricial. 
Seja na fig. (a) o diagrama unifilar de um sistema composto por 4 barras, cuja 
representação em termos de circuito elétrico equivalente, composto por fontes de 
correntes e admitâncias, é mostrada na fig. (b). 
 
 
 
Figura 8. 
 
No circuito tem-se que: 
 
• 𝑌′𝑠 = admitâncias complexas de cada ramo, com letras minúsculas. 
• 𝑉′𝑆 = fasores das tensões de nós medidas em relação à referência. 
• 𝐼1, … , 𝐼4 = fasores das correntes injetadas em cada nó. 
 
Pelo método de Análise Nodal de Circuitos Elétricos, baseado na Lei de 
Kirchhoff das Correntes (LKC), obtém-se: 
 
 
 
Na forma matricial: 
 
 
 
Ou, 
 
 
 
Com as admitâncias em letras MAÍSCULAS Y correspondentes a composição 
das admitâncias Y da eq., sendo definidas como: 
• cada admitância na diagonal principal 𝒀𝒊𝒊 é chamada de admitância própria 
do nó i e é igual à soma algébrica de todas as admitâncias que incidem no nó i. 
• cada admitância fora da diagonal 𝒀𝒊𝒊 = 𝒀𝒌𝒊 é denominada de admitância 
mútua ou de transferência que liga os nós i e k, entrando com sinal negativo. 
 
A formulação geral para um sistema com N barras na forma compacta é: 
 
 
 
Onde a matriz admitância de barra tem dimensão N x N: 
 
 
 
Dos resultados anteriores pode-se escrever a corrente entrando em um nó K 
como: 
 
 
 
4.1 Matriz impedância de barra 
 
A inversa da matriz [𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎] é chamada de matriz impedância de barra [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎], 
isto é: 
 
 [𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎] = [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎]
−1 
 
Como [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎] é simétrica em relação à diagonal principal, [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎] deve ser 
simétrica da mesma maneira. Além disso: 
• os elementos impedância de [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎] na diagonal principal são chamados de 
impedâncias próprias dos nós; 
• os elementos fora da diagonal são chamados impedâncias de transferência 
dos nós. 
 
Em termos da matriz [𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎] reescreve a eq. como: 
 
 
 
5 MODELAGEM DE LINHAS E TRANSFORMADORES 
 
5.1 Linhas de Transmissão 
 
O modelo equivalente π de uma linha de transmissão, representado na Figura: 
 
 
Figura 9. 
 
A impedância do elemento série é dada por: 
 
 
 
A admitância série é dada por: 
 
 
 
A corrente Ikm é formada por uma componente série e um componente shunt, 
calculada a partir das tensões terminais Ek e Em e dos parâmetros do modelo 
π 
equivalente: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
Analogamente, a corrente Ikm é dada por: 
 
 
 
5.2 Transformadores 
 
A representação geral de transformadores em fase e defasadores, dada na 
Figura, consiste basicamente em uma admitância série ykm e um 
transformador 
ideal com relação de transformação série 1:t. Para o transformador em fase, t 
é um 
número real (t=a) e para o defasador, t é um número complexo (t = aejφ). 
 
 
Figura 10. 
 
Considerando-se o modelo do transformador em fase, a relação entre os 
módulos das tensões nos nós terminais k e p é: 
 
 
 
Como θk = θp tem-se: 
 
 
 
O fato de o transformador ser ideal implica que as potências complexas na 
entrada e na saída são iguais, ou seja, não há dissipação de potência ativa ou 
reativa 
entre os nós k e p, assim: 
 
 
 
A partir das equações e obtém-se: 
 
 
 
As correntes Ikm e Imk estão desfasadas 180° e seus módulos estão na razão 
a=1. O transformador em fase pode ser representado por um circuito 
equivalente π. 
 
 
Figura 11. 
A determinação das admitâncias A, B e C do circuito equivalente é feita 
identificando-se as correntes Ikm e Imk de modelo da Figura 3.2, com as 
correntes 
correspondentes do circuito equivalente. Para o modelo da Figura, tem-se: 
 
 
 
 
Para o modelo π tem-se: 
 
 
 
 
Identificando-se os coeficientes de Ek nas equações obtém-se: 
 
 
 
 
 
As equações permitem a análise do efeito da relação de transformação 1:a 
sobre os módulos das tensões terminais Vk e Vm. Caso a =1, as admitâncias B e C 
são nulas e o circuito equivalente π reduz-se à admitância série ykm. Alterando-se a 
relação de transformação para um valor a ≤ 1, B terá sinal contrário a ykm sendo do 
tipo capacitivo, enquanto C será do tipo indutivo, implicando em uma tendência a 
aumentar Vk e reduzir Vm. Por outro lado, quando a > 1, B será indutivo enquanto a 
C será do tipo capacitivo, havendo uma tendência a diminuir Vk e aumentar Vm. Se 
uma das barras terminais tiver tensão regulada (Pθ ou θV), ou estiver eletricamente 
próxima de uma barra deste tipo, a outra barra terminal sofrerá efeitos das alterações 
na relação 1:a. Nestes casos, quando uma das tensões terminais é rígida, tudo se 
passa como se o transformador se apoiasse em um de seus terminais para elevar ou 
diminuir o módulo da tensão do terminal oposto. 
 
5.3 Transformadores Defasadores 
 
Este tipo de transformadores permite o controle do fluxo de potência ativa do 
ramo qual está inserido. A situação é análoga a de um circuito em corrente contínua, 
no qual se insere uma fonte de tensão em um dos seus ramos. Dependendo da 
polaridade da fonte, a corrente que flui no ramo pode aumentar ou diminuir, 
eventualmente mudando de sinal. Em uma rede de transmissão em corrente alterna, 
o defasador consegue afetar o fluxo de potência ativa introduzindo uma defasagem 
entre os nós k e p. O modelo do defasador puro, aquele que somente afeta a relação 
entre as fases das tensões Ek e Em, sem afetar a relação entre seus módulos, 
está 
mostrado na Figura. 
 
 
Figura 12. 
 
Neste caso tem-se: 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
Substituindo-se obtém-se: 
 
 
 
As correntes Ikm e Imk podem ser escritas em função das tensões terminais, 
da 
mesma forma que para o transformador em fase, resultando: 
 
 
 
 
Observa-se que é impossível a determinação dos parâmetros A, B e C do 
circuito equivalente π neste caso, pois nas equações o coeficiente de Em na equação 
de Ikm difere do coeficiente do Ek na equação de Imk. 
O defasador com t=aejφ afeta não somente o fluxo de potência ativa, mas 
também de potência reativa do ramo onde este inserido. O procedimento seguido na 
obtenção das equações de Ikm e Imk é o mesmo dos casos precedentes. A única 
diferença em relação às equações, é que parao coeficiente de Ek na equação de Ikm 
passa a ser 𝑎2𝑌𝑘𝑚 ao invés de ykm. Uma possibilidade prática e simples de se 
representar aproximadamente um defasador com a≠1 consiste em utilizar um modelo 
constituído de um transformador em fase (t=a) em série com um defasador puro (t =
ejφ). 
 
6 CÁCULO DO FLUXO DE POTÊNCIA EM LTS 
 
Tanto as admitâncias próprias e mútuas de barra, que compõem a matriz 
admitância de barra 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎, como as impedâncias de excitação e de transferência, que 
compõem 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎, podem ser usadas para resolver o problema do fluxo de carga. O 
ponto de partida para obter os dados que devem ser fornecidos ao computador é o 
diagrama unifilar do sistema. São necessários os valores das impedâncias em série e 
das impedâncias em derivação das linhas de transmissão, de tal forma que o 
computador possa determinar todos os elementos de 𝑌𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 ou 𝑍𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎. Outros dados 
essenciais incluem as impedâncias e os valores de potência e tensão nominais de 
transformadores, valores nominais de capacitores em paralelo, e os ajustes de 
derivações de transformadores. 
As condições de funcionamento devem ser sempre escolhidas para cada 
estudo. Em todas as barras, exceto uma, deve ser especificada a potência ativa 
líquida. A potência absorvida por una carga é uma entrada de potência negativa ao 
sistema. Outras entradas de potência são provenientes de geradores, e potencias 
positivas ou negativas podem provir de interligações. Além disso, nessas barras ou a 
potência reativa ou o módulo da tensão deve ser especificado; isto é, em cada barra 
é necessário decidir se é o módulo da tensão ou a potência reativa que deve ser 
mantido constante. A situação usual é especificar a potência reativa nas barras de 
carga e o módulo da tensão nas barras de geração. Nos programas de computadores, 
existem providências de cálculo que fazem a tensão se manter constante em uma 
barra, somente enquanto a geração de potência reativa permanece dentro de limites 
especificados. 
A barra em que o fluxo de potência real não é especificado, chamada barra de 
oscilação, geralmente é uma barra na qual é conectado um gerador. Evidentemente, 
o fluxo líquido de potência para o sistema não pode ser fixado com antecedência em 
cada barra, porque as perdas do sistema não são conhecidas até que o estudo seja 
completado. Os geradores, na barra de oscilação fornecem a diferença entre a 
potência real especificada. Injetada nas outras barras e a potência real total saindo do 
sistema mais as perdas. Tanto o módulo como o ângulo da tensão são especificados 
para a barra de oscilação. As potências reais e reativa nessa barra são determinadas 
pelo computador como parte da solução. 
 
6.1 Método de Gauss-Seidel 
 
As soluções digitais de problemas de fluxo de carga a serem consideradas 
seguem um processo iterativo, atribuindo valores estimados para as tensões de barra 
desconheci das e calculando um novo valor para cada tensão de barra a partir dos 
valores estimados nas outras barras, da potência real especificada e da potência 
reativa especificada ou do módulo de tensão especificada. Então, é obtido um novo 
conjunto de valores para as tensões em cada barra, o qual é utilizado para calcular 
outro conjunto de tensões de barra. Cada cálculo de um novo conjunto de tensões é 
chamado uma iteração. O processo iterativo é repetido até que as mudanças em todas 
as barras sejam menores do que um valor mínimo especificado. 
Considere tensão de uma barra como uma função das potências ativa e reativa 
entregues a uma barra por geradores ou fornecidas à carga ligada à barra, das 
tensões estimadas ou previamente calculadas nas outras barras, e das admitâncias 
próprias e mútuas dos nós. A dedução das equações fundamentais começa com uma 
formulação de nós das equações do sistema. Serão deduzidas as equações para um 
sistema de quatro barras e escritas as equações gerais mais tarde. Designando com 
o número 1 a barra de oscilação, os cálculos começam com a barra 2. Se P2, e Q2 
são as potências ativa e reativa que entram no sistema pela barra 2, 
 
 
 
onde I2 é expressa por 
 
 
e em termos de admitâncias próprias e mútuas dos nós, com os geradores e 
cargas omitidos porque as correntes em cada nó são expressas como na Equação 
acima. 
 
 
 
Resolvendo para V2 
 
 
 
A Equação fornece um valor corrigido para V, baseado nos valores fixados para 
P, quando os valores estimados, originalmente, são substituidos pelas expressões das 
tensões no lado direito da equação. O valor calculado para V2, e o valor estimado 
para V2* não coincidirão. Porém, substituindo o conjugado do valor calculado de V, 
em V2* na Equação (3.4) para calcular outro valor para V2*, essa coincidência poderá 
ser alcançada com um bom grau acurácia após várias iterações e se terá o valor 
corrigido para V2 com as tensões estimadas e sem relação com as potências nas 
outras barras. Entretanto, esse valor não será a solução para V2 para as condições 
especificas do fluxo de carga, pois as tensões que entram no cálculo de V2, são os 
valores estimados de tensão nas outras barras e seus verdadeiros valores ainda não 
são conhecidos. São recomendados dois cálculos sucessivos de V2, (o segundo 
sendo i ao primeiro exceto para a correção de V2* em cada barra antes de se passar 
para a seguinte. 
À medida que a tensão corrigida for encontrada para cada barra, ela será usada 
no cálculo de da tensão corrigida da barra seguinte. O processo é repetido para cada 
barra, consecutivamente, através do sistema (exceto para a barra de oscilação) para 
completar a primeira iteração. Então o processo inteiro é repetido várias vezes até que 
a magnitude da correção na tensão em cada barra seja menor do que uma precisão 
previamente determinada. 
Este processo de resolver equações algébricas lineares é conhecido por 
Método iterativo de de Gauss-Seidel. Se o mesmo conjunto de valores de tensão for 
usado durante uma iteração completa (em vez de substituir imediatamente cada valor 
novo obtido para calcular a tensão próxima barra), o processo será chamado Método 
iterativo de Gauss 
Pode ocorrer convergência em torno de uma solução errônea se as tensões 
originais forem muito diferentes dos valores corretos. Uma convergência errônea é, 
geralmente, evitada se valores originais forem de magnitude razoável e não diferirem 
muito em fase. Qualquer solução indesejável geralmente é detectada com facilidade 
por inspeção dos resultados, pois as tensões do sistema não apresentam, 
normalmente, uma faixa de variação de fase maior do que 45° e a diferença entre 
barras vizinhas é menor do que 10° e, muitas vezes, bem menor do que 10°. 
Para um total de N barras, a tensão calculada em qualquer barra k, onde Pk e 
Qk são dados, é 
 
 
onde n≠k. Os valores para as tensões no lado direito da equação são os mais 
recentemente calculados para as barras correspondentes (ou as tensões estimadas 
se nenhuma iteração tenha sido feita nessa barra particular). 
Experiências com o método de Gauss Seidel na solução de problemas de fluxo 
de carga têm mostrado que um número excessivo de iterações é requerido antes que 
as correções das tensões estejam dentro de uma precisão aceitável se a tensão 
corrigida em uma barra meramente substituir o melhor valor prévio à medida que os 
cálculos prosseguem de barra para barra. O número de interações requeridas fica 
reduzido consideravelmente se as correções na tensão para cada barra forem 
multiplicadas por uma constante que aumenta a quantidade da correção, de modo a 
trazer a tensão para mais perto do valor que se procura. Os multiplicadores que 
realizam essa convergência melhorada são chamados fatores de aceleração. A 
diferença entre a tensão recém calculada e a tensão anterior na barra é multiplicada 
pelo fator de aceleração apropriado para se obter uma correção a ser somada ao valor 
anterior. O fator de aceleraçãopara a componente real da correção pode diferir 
daquele para a componente imaginária. Para qualquer sistema, existem valores 
ótimos para os fatores de aceleração, e uma escolha mal feita desses fatores pode 
resultar em uma convergência menos rápida ou tornar impossível a convergência. 
Costuma ser dado um fator de aceleração igual a 1,6, tanto para a componente real 
como para a imaginaria. Para um sistema em particular pode ser feito um estudo para 
determinar a melhor escolha. 
Numa barra onde é especificado o módulo da tensão em vez da potência 
reativa, as componentes real e imaginária da tensão são obtidas, para cada iteração, 
calculando primeiramente um valor para potência reativa. 
 
 
 
onde n≠k. Fazendo n igual a k: 
 
 
 
onde Im significa “parte imaginária de”. 
A potência reativa Qk é calculada pela para os melhores valores anteriores de 
tensão nas barras, e esse valor de Qk é substituído na Equação para achar um novo 
Vk. As componentes do novo Vk são, então, multiplicadas pela razão do módulo 
constante de Vk especificado pelo módulo de Vk obtido pela Equação. O resultado é 
a tensão complexa corrigida do módulo especificado. 
 
 
6.2 Método de Newton-Raphson 
 
A expansão da série de Taylor para uma função de duas ou mais variáveis é a 
base do método de Newton-Raphson para resolver o problema de fluxo de carga. 
Considerando a equação de uma função de duas variáveis x1 e x2 igual a uma 
constante K1 expressa por 
 
 
 
E uma segunda equação 
 
 
 
onde K1 e K2 são constantes. 
Então, estimam-se as soluções dessas equações como sendo x10 e x20. Os 
índices superiores indicam que esses valores são estimativas iniciais. Designa-se 
x1(0) e x2(0) como os valores a serem somados a x10 e x20 para dar as soluções 
corretas. Então: 
 
 
 
 
expandindo em séries de Taylor: 
 
 
 
onde as derivadas parciais de ordem maior que 1 não foram listadas. O termo 
𝛿𝑓1
𝛿𝑥1
indica que a derivada parcial é calculada para valores de 𝑥1
0 e 𝑥2
0. Os demais são 
calculados de modo semelhante. 
Desprezando as derivadas parciais de ordem superior a 1, é possível 
reescrever as Equações na forma matricial. 
 
 
 
onde a matriz quadrada das derivadas parciais é chamada jacobiano J, ou 
neste caso J0 para indicar que as estimativas iniciais x10 e x20 foram usadas para 
calcular o valor numérico das derivadas parciais. Nota-se que 𝑓1(𝑥1
0, 𝑥2
0) é o valor 
calculado de K1 para os valores estimados de 𝑥1
0 𝑒 𝑥2
0mas este valor calculado de K1 
não é o valor especificado pela Equação (3.9), a menos que os valores estimados 
𝑥1
0 𝑒 𝑥2
0 sejam corretos. Se ΔK10 for designado o valor especificado de K1 menos o 
valor calculado de K1, e for definido o valor K2(0) de maneira semelhante: 
 
 
 
Obtendo a inversa do jacobiano, é possível determinar Δ𝑥1
0, Δ𝑥2
0 . Entretanto, 
uma vez que foi realizado o truncamento da expansão da série, para determinar a 
solução correta, é preciso adotar novas estimativas: 
 
 
 
e repetir o processo até que as correções se tornem tão pequenas que 
satisfaçam uma precisão escolhida. 
Para aplicar o método de Newton-Raphson à solução das equações, pode-se 
escolher a forma polar ou retangular para expressas as tensões de barra e as 
admitâncias de linha. Escolhendo a forma polar e separando a Equação em suas 
componentes real e imaginária: 
 
 
 
Tem-se: 
 
 
 
Então 
 
 
 
E 
 
 
 
Como no método de Gauss-Seidel, a barra de oscilação é omitida da solução 
iterativa para determinar tensões, pois tanto o módulo como o ângulo da tensão na 
barra de oscilação são especificados. Se deixarmos para mais tarde as considerações 
sobre barras com tensão controlada, especificaremos P e Q em todas as barras, 
exceto a barra de oscilação, e estimaremos o módulo e ângulo em todas as barras 
exceto a de oscilação, para a qual o módulo e ângulo da tensão são especificados. 
Os valores constantes especificados P e Q correspondem às constantes K na 
Equação. Os valores estimados de módulo e ângulo da tensão correspondem aos 
valores estimados para x1 e x2 na Equação. Define-se, portanto: 
 
 
 
o jacobiano consiste nas derivadas parciais de P e Q em relação a cada uma 
das variáveis das Equações. Os elementos k0 e Vk0 da matriz coluna correspondem 
a x10 e x20 e são as correções a serem acrescentadas aos valores estimados 
originais de modo a obter novos valores para calcular Pk1 e Qk1. 
Para maior simplicidade, escreve-se a equação matricial para um sistema de 
apenas 3 barras. Se a barra de oscilação for a número 1, os cálculos iniciam na barra 
2, pois o módulo e ângulo da tensão são especificados para a barra de oscilação. Em 
forma matricial: 
 
 
 
Os índices superiores que indicariam o número da iteração estão omitidos na 
Equação porque, naturalmente, mudam em cada iteração. Os elementos do jacobiano 
são obtidos tomando as derivadas parciais das expressões para P e Qk e substituindo 
nelas as tensões adotadas para a primeira iteração ou calculadas na última iteração 
anterior. O jacobiano foi particionado para enfatizar os diferentes tipos gerais de 
derivadas parciais que aparecem em cada matriz. 
 
 
 
onde n≠k e 
 
 
 
No somatório acima n≠ k. o que é evidente pois k desparece da Equação 
quando n=k. Formas gerais similares das derivadas parciais podem ser encontradas 
a partir das Equações, a fim de se calcular os elementos nas outras submatrizes. 
A Equação semelhante que envolvem mais barras sio resolvidas invertendo o 
jacobiano. Os valores encontrados para k, e |Vk| são adicionados aos valores 
anteriores do módulo e ângulo da tensão, de modo a se obter os novos valores para 
e Pk, calc1 e Qk, calc1 e começar a próxima iteração. O processo é repetido até que 
a precisão escolhida seja satisfeita quando aplicada a todos os valores de cada matriz 
coluna. Entretanto, para melhorar as convergências, as estimativas iniciais da atento 
devem ser razoáveis, mas isto normalmente não é problema em sistemas de potência 
As barras de tensão controladas são levadas em consideração facilmente. 
Desde que o módulo da tensão é constante em tais tipos de barra, omitimos no 
jacobiano a coluna de derivadas parciais com relação ao módulo da tensão da barra. 
Nesse momento, no estamos interessados no valor de Q na barra, então omitimos a 
linha das derivadas parciais de Q para a barra de tensão controlada. O valor de Q na 
barra pode ser determinado após a convergência pela Equação. 
Na operação de um sistema de potência, qualquer queda apreciável na tensão 
do primário de um transformador, causada por uma variação na carga, pode tornar 
desejável a mudança da posição da derivação em transformadores providos com 
comutador de derivação, de modo a manter a tensão adequada na carga. Onde um 
transformador com comutador de derivação tenha sido especificado para manter a 
tensão em uma barra dentro de limites de tolerância designados, a tensão é 
examinada antes que a convergência seja completa. Se a tensão não estiver dentro 
dos limites especificados, o programa faz com que o computador realize um novo 
conjunto de iterações com uma variação de um degrau de derivação no comutador de 
derivação. O processo é repetido tantas vezes quantas forem necessárias até que se 
consiga a solução que atenda às condições desejadas. A posição das derivadas é 
listada nos resultados impressos. 
 
7 MÉTODO COMPUTACIONAL 
 
As empresas de energia elétrica usam programas muito elaborados para 
realizar estudos de fluxo de carga. Um programa típico é capaz de atender sistemas 
de mais de 2.000 barras, 3.000 linhas e 500 transformadores. Naturalmente, os 
programas podem ser expandidos para tamanhos maiores desde que a capacidade 
do computador disponível seja suficientemente grande. 
Os dados fornecidos ao computador devem incluir os valores numéricos dados 
nas Tabelas 8.1 e82 e uma indicação dizendo se a barraé de oscilação, controlada 
onde o módulo da tensão é mantido constante pela geração de potência reativa Q. ou 
uma barra com P e Q fixados. Quando os valores não precisam ser mantidos 
constantes, as quantidades dadas nas tabelas são interpretadas como estimativas 
iniciais. Os limites de geração de P e Q geralmente devem ser especificados, como 
também os limites dos quilovolt-amperes de linha. A menos que seja especificado 
diferente, os programas geralmente supõem uma base de 100 MVA. 
O carregamento total de linha em megavars, especificado para cada linha, leva 
em consideração a capacitância em paralelo e é igual a 3 vezes a tensão de linha 
rominal, em quilovolts, vezes a corrente I de carregamento dividido por 103. Isso é 
igual a CnV2 onde V é a tensão nominal entre linhas em quilovolts, e C. é a 
capacitância em farads entre linha e neutro para o comprimento inteiro da linha. O 
programa cria uma representação -nominal da linha, dividindo, de modo igual entre as 
duas extremidades da linha, a capacitância calculada a partir dos valores dados de 
carregamento em megavars. Para uma linha longa, o computador poderia ser 
programado para calcular o equivalente para a capacitância distribuída ao longo da 
linha. 
As Informações que são obtidas nas soluções digitais de fluxo de carga 
constituem uma indicação da grande contribuição que os computadores digitais têm 
dado em favor da capacidade dos engenheiros de sistemas de potência para obter 
informações de operação de sistemas inexistentes ou em planejamento, ou para 
analisar os efeitos de mudanças em sistemas existentes. O estudo que se segue não 
significa uma seleção de todas as informações possíveis de se obter, porém fornece 
uma visão da grande importância dos computadores digitais em sistemas de potência 
A listagem dos resultados fornecidos pelo computador consiste em uma 
quantidade de tabelas. Geralmente, a informação mais importante a ser 
primeiramente considerada é a tabela que lista o número e o nome de cada barra, o 
módulo da tensão da barra em por-unidade e o seu ângulo, a geração e a carga em 
cada barra dadas em megawatts e megavars, o carregamento de linha, e os megavars 
dos capacitores ou reatores na barra. Acompanhando a informação da barra também 
consta o fluxo de potência em megawatts e megawatts a partir de cada barra que é 
conectada a essa através de uma linha de transmissão. 
 
 
 
Figura 13. 
 
8 ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
O estudo de fluxo de carga o sistema descrito no Exemplo 1 tem sua listagem 
de exposta na Figura e foi rodado com o auxílio de um programa atribuído a 
Philadelphia Electrie Company. o qual foi modificado posteriormente. Foram 
necessárias três iterações usando Newton-Raphson. Estudos realizados, de 
dimensões semelhante, usando outros programas, também necessitaram de três 
iterações per Newton-Raphson, porém exigiram 22 iterações por Gauss-Seidel com o 
mesmo índice de precisão. Da Figura podem ser retiradas mais informações do que 
as que estão listadas. Por exemplo. as perdas ativas em qualquer uma das linhas 
pode ser obtida comparando os valores de P e Q nas duas extremidades da linha. A 
Figura a seguir mostra uma parte de tal diagrama para a barra 2. 
 
 
Figura 14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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