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INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS
DE POTÊNCIA
O objetivo deste capítulo é apresentar informações gerais relativas à estrutura e à forma
de funcionamento de um sistema elétrico de potência.
As diversas palavras-chave apresentadas ao longo do capítulo são introduzidas com
a finalidade de caracterizar a estrutura e a concepção de um SEP. Uma abordagem mais
profunda sobre cada assunto específico pode ser estudado commais detalhes em referên-
cias que fogem do escopo desta obra.
1.1 INTRODUÇÃO
Os sistemas elétricos de potência são constituídos por diferentes tipos de componentes, os
quais, conectados e funcionando adequadamente, permitem aoperação visando o atendi-
mento dos seus consumidores. Trata-se de estrutura bastante complexa que além de ser
operada em tempo real, precisa ser planejada a fim de atender àexpansão natural do mer-
cado de energia elétrica.
Os sistemas elétricos de potência apresentam as características básicas:
• são compostos de equipamentos que funcionam em corrente alternada (CA) e que
operam essencialmente em tensão e freqüência constantes;
• para o adequado funcionamento, dependem do comando, controle e proteção reali-
zados por meio de dispositivos com essa finalidade;
• usam essencialmente máquinas síncronas para geração de eletricidade, as quais,
por meio de suas turbinas permitem a conversão de energia, originária de fontes
primárias (fóssil, nuclear, hidráulica, biomassa, eólica), em energia mecânica.
• possibilitam a transmissão de blocos de energia a consumidores espalhados nas
mais diversas áreas, considerando longas distâncias. Esteprocedimento só é pos-
3
4 1. INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
sível graças a um sistema de transmissão, compreendendo subsistemas operando
em diferentes níveis de tensão.
A energia elétrica é gerada em usinas e transmitida aos consumidores por meio da
rede de transmissão associada. Ao sistema de transmissão estão associados sistemas de
subtransmissão.
É uma prática comum se dividir a rede elétrica relativa ao transporte de energia nos
seguites subsistemas:
• sistema de transmissão;
• sistema de subtransmissão;
• sistema de distribuição.
O sistemadito de transmissãointerconecta todos os grandes centros de geração e
aos principais centros de carga. Forma a parte por onde circula grandes blocos de potência
e opera com os níveis de tensão mais elevados. Tipicamente, com tensões maiores ou
iguais a 230 kV.
As tensões de geração encontram-se na faixa entre 11 a 20 kV. Esse nível de tensão
é transformado por meio de transformadores elevadores a níveis que possibilitam a trans-
missão de um grande bloco de potência. Ao chegar nas chamadassubestações do sistema,
a energia deve ser retransmitida. Porém, podendo agora ser em outro nível de tensão. Por-
tanto, tanto ao nível do sistema de geração, quanto das subestações rebaixadoras, devem
existir transformadores, adequadamente projetados, a fim de permitir o fluxo de energia
desde a geração até os centros de consumo.
O sistema de subtransmissãopermite a transmissão de potência em blocos mais
reduzidos, a partir das subestações de transmissão, para assubestações de distribuição.
Grandes cargas industriais podem ser supridas diretamentepor um sistema de subtrans-
missão. Em alguns sistemas, não há uma dinstinção clara entre sistemas de transmissão e
de subtransmissão, sendo ambos um só.
O sistema de distribuiçãorepresenta o estágio final envolvendo a transferência de
energia para os consumidores individuais. A tensão primária de distribuição (a deno-
minada alta tensão do sistema de distribuição) é compreendida na faixa entre 1 e 34,5
kV. Pequenos consumidores industriais são atendidos por alimentadores primários que se
encontram nessa faixa de tensão. Os alimentadores de distribuição secundários suprem
consumidores residenciais e comerciais em faixas que podemvariar de 110 a 240 V, em
valores padronizados pelo órgão regulador do setor elétrico.
1.2. O CONTROLE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 5
Pequenas centrais geradoras podem ser conectadas diretamente ao sistema de sub-
transmissão ou ao sistema de distribuição. A tendência é quese tenha mais e mais a in-
serção de pequenas fontes de energia ao sistema de distribuição (a gás, a óleo, biomassa,
solar, entre outras) - a denominada geração distribuída. Para o caso brasileiro, embora
essa diversificação seja benéfica, não eliminará a forte dependência de geração hidráulica
existente.
Portanto, o sistema elétrico, como um todo, consiste de múltiplas fontes de geração
que são utilizadas para atender aos centros de carga, processo esse que é feito por com-
plexos sistemas de transmissão. Do exposto, para manter esse complexo sistema operando
adequadamente, com padrões de qualidade e de segurança mínimos, é necessário monitorá-
lo e controlá-lo permanentemente.
1.2 O CONTROLE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
A energia geralmente não é consumida diretamente na forma elétrica. Ela é antes con-
vertida em outro tipo, tal como calor, luz, energia mecânica, entre outros. A vantagem
da forma elétrica é que pode ser transmitida e controlada comelevado grau de eficiên-
cia e confiabilidade. Conseqüentemente, um sistema elétrico adequadamente operado e
controlado deve atender a alguns requisitos fundamentais:
1. O sistema deve ser capaz de suprir continuamente as variações de carga, tanto sob
o ponto de vista de potência ativa quanto de reativa. Diferenetemente de outras for-
mas de energia, a elétrica não pode ser armazenada em grandesquantidades. Então,
uma reserva "girante" deve ser prevista e controlada permanentemente.
2. O sistema deve suprir energia com um baixo custo e com um mínimo impacto
ecológico.
3. A qualidade da energia suprida deve atender alguns critérios mínimos com relação
aos seguintes fatores:
• freqüência constante;
• tensão constante ou parâmetro próximo; e
• confiabilidade.
6 1. INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
Vários níveis de controle são verificados a fim de atender aos requisitos enumerados
anteriormente. Por exemplo, deve se ter controladores atuando em elementos individuais.
Em uma estação geradora, ações dessa natureza consistem de controle primário sobre o
sistema de regulação de velocidade (turbina do gerador) e sobre o sistema de excitação
(regulação de tensão). O controle sobre a turbina é responsável pela regulação de ve-
locidade e pela energia suprida. Isto é feito atuando-se em mecanismos associados a
dispositivos que controlam pressões, temperaturas, fluxosde combustível, de água. A
função do sistema de excitação é a de regulação da tensão terminal do gerador e da potên-
cia reativa de saída. Os MWs (potência ativa) de saída de cadagerador são determinados
pelo controle do sistema de geração.
O controle primário do sistema de geração busca o balanço total da potência ge-
rada a fim de atender às cargas e perdas do sistema. Esta ação deve ser efetuada visando
manter-se a freqüência do sistema aproximadamente constante, bem como os intercâm-
bios programados nas interligações.
Os controles do sistema de transmissão incluem dispositivos para o controle de
potência e de tensão, tais como compensadores estáticos de reativo (CERs), compen-
sadores síncronos, capacitores e reatores chaveados, transformadores com comutadores
de tap automático, controles de elos de corrente contínua, entre outros. Esses equipamen-
tos devem ser modelados convenientemente de modo a atender aos requisitos relacionados
a estudos específicos.
Os objetivos das ações de cotrole dependem do ponto de operação do sistema
elétrico de potência. Sob condições normais, o objetivo do controle é manter os sistema
operando o mais eficientemente possível, com valores de tensão e freqüência próximos
aos nominais. Por outro lado, quando condições anormais sãoverificadas, novos obje-
tivos devem ser buscados visando restabelecer o sistema às suas condições normais de
operação, o mais rápido possível.
A maioria das grandes falhas em um sistema raramente é resultado de um sim-
ples distúrbio catastrófico,causando colapso em um sistemaaparentemente seguro. Tais
falhas, em geral, resultam de uma combinação de circunstâncias que estressam a rede
elétrica muito além de sua capacidade. Distúrbios naturaisseveros (tempestades), fun-
cionamento inadequado de equipamentos, falha humana, projeto inadequado, contribuem
para enfraquecer o sistema elétrico e eventualmente levá-lo a uma situação de colapso.
1.2.1 Principais Equipamentos de um Sistema Elétrico de Potência
Os dispositivos de controle atuam sobre equipamentos, muito deles, responsáveis pela
geração ou pela transmissão de grandes blocos de energia. Podem ser mencionados alguns
como
1.2. O CONTROLE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 7
• geradores;
• linhas de transmissão;
• transformadores de potência;
• capacitores em derivação (shunt) e em série;
• reatores em derivação;
• sistemas de transmissão CA flexíveis -flexible AC transmission systems(FACTS);
• compensadores síncronos.
Não seria possível operar o sistema sem os equipamentos de proteção, de redução
de medidas para instrumentos, de manobra e de proteção, taiscomo:
• tranformadores de potencial (TPs), divisores capacitivos de potencial (DCPs);
• transformadores de corrente;
• chaves, seccionadoras, disjuntores;
• relés de proteção, filtros;
• pára-raios.
1.2.2 A estrutura Organizacional de um SEP
No modelo antigo, as empresas de energia elétrica apresentavam uma estrutura verti-
calizada, englobando, na maioria dos casos, os segmentos degeração, transmissão, dis-
tribuição e comercialização juntas. Nesse caso, as empresas recebiam uma concessão para
o fornecimento de energia a uma determinada região do país e atendiam essa demanda
8 1. INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
utilizando a energia gerada no seu próprio sistema, ou adquirida de empresas vizinhas
através de contratos. Em alguns sistemas, tais contratos defornecimento de energia entre
empresas não diretamente conectadas eletricamente podiamexistir, exigindo a transfe-
rência de energia através do sistema de transmissão de uma terceira empresa (wheeling).
O modelo era fortemente regulamentado, não existindo a possibilidade de uma empresa
comercializar energia diretamente aos consumidores fora de sua área de concessão. As-
sim, sob o ponto de vista econômico, o sistema operava como ummonopólio regulado.
Em geral, existia algum mecanismo coordenador da operação do sistema interligado, o
qual orientava as diversas empresas em relação ao melhor aproveitamento dos recursos
energéticos e à manutenção de um adequado nível de confiabilidade do sistema elétrico.
As principais características desse modelo são:
• Geração, transmissão, distribuição e comercialização integradas (bundled) em uma
mesma empresa;
• A cada empresa associa-se uma área de concessão onde todos os consumidores são
cativos (monopólio);
• A troca de energia entre empresas é realizada somente através de contratos bilaterais
de médio ou longo prazo;
• O custo final da energia inclui todos os custos diretos e indiretos da empresa verti-
calizada.
Em função da necessidade de otimização de recursos, de operar o sistema com
níveis mais elevados de carregamento, da introdução de diversos novos participantes, foi
necessário se repensar e a estrutura tradicional de um SEP. Um novo modelo passou a
existir, concebido a partir de desregulamentação específica para o setor elétrico. Nessa
nova estrutura, ocorre a separação do transporte (transmissão e distribuição) da produção
(geração) e da comercialização. Além disso, é introduzida acompetição nos segmentos
de geração e comercialização, bem como verifica-se a preservação da transmissão e dis-
tribuição como monopólios naturais. Porém, com livre acesso a esses segmentos por parte
de geradores e comercializadores. A separação dos segmentos de geração e transmissão
suscitou dúvidas no início dos estudos de reestruturação dosetor elétrico. Como seria
possível operar de forma confiável um sistema elétrico no qual os geradores seriam pro-
gramados de acordo com transações comerciais (compra e venda de blocos de energia)
entre empresas geradoras e comercializadoras e utilizariam os sistemas de transmissão
operados por outras empresas? A resposta a essa questão vem da observação de que,
embora geração e transmissão sejam processos fisicamente inseparáveis, é possível esta-
belecer uma separação comercial ou financeira entre essas atividades. Desta forma, as
1.2. O CONTROLE DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 9
transações comerciais celebradas entre agentes comerciais do sistema nem sempre se re-
alizam fisicamente. A decisão sobre o efetivo despacho de geração, em geral, é atribuída
a uma entidade independente, cujo objetivo é operar o sistema de forma confiável, inde-
pendentemente dos interesses comerciais existentes. Um acerto de contas pós-operação é
realizado para compensar eventuais desvios em relação aos contratos de compra e venda
de energia.
Além da separação entre produção e transporte, a nova estrutura apresenta, tam-
bém, a possibilidade de separar os serviços necessários para o bom funcionamento do sis-
tema elétrico, porém não diretamente associados à produçãode energia, daqueles direta-
mente associados à produção de energia elétrica. Tais serviços são denominadosServiços
Ancilares. Como exemplo disso, podemos mencionar o controle de tensãoe fluxo de
reativos, reserva operativa, controle automático da geração etc. Nessa nova estrutura de
setor elétrico, as empresas de transmissão e de distribuição são obrigadas a permitir o
livre acesso aos seus sistemas, mediante a cobrança de um serviço de uso de suas redes
(pedágio), possibilitando a realização de negócios entre quaisquer empresas de geração,
consumidores livres e comercializadoras de energia, desdeque as restrições de operação
assim o permitam. A operação do sistema é delegada a umOperador Independente do
Sistema(OIS), o qual se constitui em uma empresa sem interesse financeiro no negócio
de energia. No caso brasileiro esse órgão é o Operador Nacional do Sistema Elétrico
(ONS). O escopo de atuação do OIS, suas atribuições e responsabilidades, variam de um
país para outro ou mesmo dentro de um mesmo país. O OIS poderá ou não ser o pro-
prietário dos sistemas de transmissão. O OIS poderá ou não operar o órgão responsável
pelo mercado de energia elétrica. Em alguns casos, a operação desse mercado é dele-
gada a uma outra entidade denominadaBolsa de Energia(BE). Em muitos casos, o OIS
é o responsável direto pelo provimento dos serviços ancilares; em outros casos, o OIS
coordena um mercado de serviços ancilares aberto a outras empresas. Novos atores que
surgem nesse novo cenário são osComercializadores de Energia(CE), os quais são em-
presas que servem como intermediários de negócios entre geradoras e consumidores, e
os Provedores de Serviços Ancilares (PSA). Finalmente, para controlar e fiscalizar o fun-
cionamento do mercado de energia e o funcionamento do sistema elétrico, é necessária a
existência de uma Agência Reguladora (AR), órgão governamental responsável pela veri-
ficação do cumprimento do marco regulatório do setor elétrico, pelo controle e supervisão
do funcionamento do mercado de energia e a defesa dos direitos dos consumidores. No
Brasil, essa função é exercida pela Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL).
A compreensão de como a energia elétrica flui no sistema, desde os centros de
geração, passando pelos sistemas de transmissão, até o consumidor, é um assunto que
depende de estudos envolvendo tanto aspectos estáticos, quanto dinâmicos. Neste sentido,
a avaliação do fluxo de carga no sistema, de preferência de forma ótima, deve ser avaliada,
considerando a segurança dinâmica e parâmetros que possam demonstrar a qualidade do
fornecimento da energia elétrica.
2
MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
2.1 INTRODUÇÃO
Os estudos de aspectos estáticos e dinâmicos de sistemas elétricos de potência dependem
da natureza e grau de detalhamento que se deseja avaliar. Deste modo, modelos apropri-
ados de equipamentos devem ser utilizadosa fim de se obter a precisão esperada.
Modelos estáticos e dinâmicos são diferentes. Entretanto,alguns modelos estáti-
cos são comuns a estudos estáticos e dinâmicos. Além disso, qualquer estudo dinâmico
requer a determinação de um ponto de operação. Em função disto os aspectos estáticos
são inicialmente estudados. Com esta finalidade, é necessário se definir os modelos dos
principais equipamentos.
O interesse aqui está voltado para estudos de fluxo de carga nos sistemas elétricos
de potência. É suficiente considerar a rede elétrica como de natureza trifásica e equi-
librada. Com esta característica, a representação de cada equipamento por um circuito
monofásico equivalente é apropriada por várias razões: simplificação de cálculos, rep-
resentação satisfatória para estudos de regime permanente, utilização de representação
fasorial etc.
Os principais equipamentos para estudos estáticos ao nívelde regime permanente
estável são: as linhas de transmissão, os transformadores,os dispositivos FACTS, as car-
gas e os geradores. Os geradores impactam mais estudos dinâmicos, sendo a sua mode-
lagem tratada no tópico relativo a estabilidade de sistemasde potência.
2.2 LINHA DE TRANSMISSÃO
Neste livro, a finalidade é voltada para estudos estáticos e dinâmicos em baixas freqüên-
cias. Com tais características, a linha de transmissão é representada por um circuito es-
tático e passivo, invariante com a freqüência, cujo modelo depende do comprimento da
linha.
A linha de transmissão é modelada conhecendo-se os seus parâmetros elétricos por
11
12 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
fase e o seu comprimento. É usual dividi-la em curta (até cerca de 80km), média (entre 80
e 200km) e longa (acima de 200km). A representação é feito por um circuito monofásico
equivalente, por fase. Supõe-se que a linha opere em regime permanente, a uma freqüên-
cia, que no Brasil é igual a 60Hz. A linha tem quatro parâmetros característicos: uma
condutância,G; uma resistência,R; uma reatância,X = ωL, sendoL a indutância da linha;
e uma susceptância,Y = ωC, ondeC é a capacitância da linha. O primeiro dos parâmet-
ros é desprezível para a faixa usual de freqüência dos estudos em regime permanente e de
análise de estabilidade em baixas freqüências. Assim, considerar-se-áG = 0 para fins de
modelagem.
As linhas curtas são representadas por um circuito no qual a resistência equivalente
dos condutores,R, é conectada em série com a reatância indutiva,X. A Figura 2.1 mostra
um circuito equivalente para essa situação.
Figura 2.1 Modelo de linha curta
Na Figura 2.1,Ii é a corrente na entrada da linha,Io é a corrente na saída,Vi é a
tensão na entrada eVo é a tensão na saída. Nesse caso,Ii = Io. As linhas médias são
representadas por um circuitoπ-equivalente, contendo além da resistência série,R, e da
reatância indutiva série,X, mais a susceptância capacitiva,Y, a qual é ligada de uma fase
para a referência. A susceptância é dividida em duas partes,sendo a metade alocada em
cada terminal da linha. A Figura 2.2 exibe o circuito equivalente.
O modelo de linha longa considera a abordagem por parâmetrosdistribuídos. O
seu modelo é semelhante ao de uma linha média. No entanto, ao invés de se ter uma
impedância série, formada pela composição série da resistênciaRcom a reatânciaX, tem-
se simplesmente uma impedância definida comoZe e uma susceptânciaYe, cujos cálculos
são efetuados conforme as expressões a seguir.
Ze = Zcsenh(γ l) (2.1)
2.2. LINHA DE TRANSMISSÃO 13
Figura 2.2 Modelo de linha média
ondel é o comprimento da linha e as constantesZc e γ são definidas como:
Zc =
√
L
C
(1− j R
2ω l
) (2.2)
γ =
√
(R+ jωL) jωC = jω
√
LC(1− j R
2ωL
) (2.3)
Nas expressões (2.2) e (2.3),j
∆
=
√
−1, ω = 2π f e f é a freqüência industrial.
Dessas equações, caso as perdas não são consideradas,Zc é uma resistência eγ é um
número puramente imaginário. Nessas condições, a impedânciaZc é denominada impedân-
cia de surto eZc =
√
L
C.
A potência transmitida pela linha quando essa é terminada por sua impedância de
surto é conhecida comocarga naturaloucarga da impedância de surto- surge impedance
load (SIL), dada por:
SIL=
V2N
Zc
, em W, (2.4)
ondeVN é a tensão nominal da linha.
CasoVN seja a tensão fase-neutro, a equação (2.4) fornecerá a potência de uma
única fase. SeVN é uma tensão fase-fase (tensão de linha), a potência será trifásica.
O elemento em derivação (shunt) do modelo de uma linha longa é representado pelo
termo:
14 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Ye
2
=
1
Zc
cosh(γ l)−1
senh(γ l)
(2.5)
A Figura 2.3 mostra o circuito equivalente para a linha longa.
Figura 2.3 Modelo de linha média
EXEMPLO 2.1
Uma linha que opera com freqüência industrial igual a 60Hze com tensão nominal
de linha igual a 500kV apresenta os seguintes parâmetros:L = 8,84×10−4 H/km, C =
13,12nF/kmeR= 0,0222Ω/km. Calcule a impedância de surto, bem como o SIL dessa
linha.
SOLUÇÃO
A impedância de surto e o SIL não dependem do comprimento da linha. Assim,
Zc =
√
8,84×10−4
13,12×10−9 = 259,6 Ω
Considerando que a tensão nominal da linha é igual a 500kV (tensão fase-fase),
então a potência deSILserá
SIL=
5002×106
259,6
= 963,1 MW
EXEMPLO 2.2 Considere que a linha no Exemplo 2.2 tenha 350km de compri-
mento. Suponha que uma tensão fase-neutro igual a 288,67kV seja aplicada ao terminal
2.2. LINHA DE TRANSMISSÃO 15
de entrada da linha. Calcule a tensão fase-neutro e de linha no terminal de saída da linha,
considerando:
a) um modelo de linha média;
b) um modelo de linha longa.
SOLUÇÃO
a) O módulo da tensão na entrada da linha é igual a 288,67kV. Considere a fase da
tensão na entrada da linha como a referência angular. Assim,faz-seVi = 288,67∠0o kV.
Inicialmente, é necessário calcular os parâmetros do circuito equivalente, conforme Figura
2.3.
A reatância total da linha éX = 2πL× l = 0,333×350= 116,35Ω. Por sua vez, a
susceptância total da linha éY = 2πC× l = 4,95×10−6×350= 0,0017S. A resistência
total da linha éR= 0,0222×350= 7,77Ω.
Por conveniência, deve-se converter a susceptância capacitivaY em reatância capac-
itiva para que seja calculada a corrente que circula por esseelemento do circuito equiv-
alente. Lembrar queXCap = 1/Y. Porém, na forma de impedânciaZCap = 1jY =
− j
Y . A
correnteIo, emkA, no circuito equivalente da Figura 2.3 é:
Io =
288,67∠0o
7,77+ j115,35− j(2/0,0017) = 0,2781∠89,6
o.
A tensão nos terminais de saída da linha é:
Vo = − j(2/0,0017)×0,2781∠89,6o = 321,1∠−0,4o kV.
Portanto, a intensidade da tensão fase-fase no terminal de saída da linha é
Vo = 321,1×
√
3 = 556,1 kV.
Esse resultado está coerente, porque a linha é longa e está descarregada. Portanto,
há uma elevada parcela de potência reativa gerada pela linha, fazendo com que a tensão
fique acima da nominal no terminal de saída, quando o terminalde entrada é alimentado
com tensão nominal.
b) Considerar-se-á agora a situação em que a linha é modeladapor circuito equiva-
lente para linha longa. O procedimento de cálculo a ser realizado é semelhante ao apre-
sentado no item a). É necessário calcular os parâmetrosZe e Ye. Os parâmetros são os
seguintes paraω = 2π60= 377rad/s:
16 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
γ =
√
(0,0222+ j377×8,84×10−4) j377×13,12×10−9 = j0,0013
Zc =
√
(0,0222+ j377×8,84×10−4)
j377×13,12×10−9 = 259,7− j1135,8 Ω.
Então
Ze = Zcsenh(γ l) = (259,7− j1135,8)×senh( j0,0013×350) = 7,25+ j112,77Ω.
Cálculo semelhante pode ser feito paraYe/2, resultando em
Ye/2 = 1,01×10−6+ j8,80×10−4 S.
Assim, a corrente e a tensão no terminal de saída são:
Io =
V i
Ze+2/Ye
= 0,282∠89,5o kA
Vo = (2/Ye)× Io = (1,3− j1135,8)×0,282∠89,5o = 320,5∠−0,4o kV
A magnitude da tensão fase-fase nesse caso é
Vo = 320,5×
√
3 = 555,1 kV.
Observa-se, deste modo, que embora a linha seja longa, a utilização de um modelo
a parâmetros concentrado para realização dos cálculos geradesvios pouco significativos
em relação aos resultados em que se considerou modelo a parâmetros distribuídos. Evi-
dentemente, para comprimentos superiores, os resultados poderão ser bastante diferentes.2.3. DISTRIBUIÇÃO DOS FLUXOS DE POTÊNCIA EM UMA LINHA 17
2.3 DISTRIBUIÇÃO DOS FLUXOS DE POTÊNCIA EM UMA
LINHA
Para ilustrar como ocorre a distribuição do fluxo de carga em uma linha de transmissão,
considere o modelo de linha a parãmetros concentrados mostrado na Figura 2.4. Neste
modelo, a impedância série da linha éZkm = Rkm+ jXkm, ondeRkm é a resistência eXkm
é a reatância série;Ysh é a admitância resultante em cada terminal da linha, enquanto Y
é a susceptância total.Ikm é por convenção a corrente que sai da barrak para a barram,
ao passo queImk é a corrente que sai da barram para a barrak. Essa convenção para o
sentido da corrente, bem como para fluxo de potência será adotada ao longo de todo o
texto.
Supõe-se aqui que as tensões nas barrask e m são conhecidas para que seja pos-
sível calcular os fluxos de potência. Mais adiante, mostrar-se-á como obter essas tensões
mediante formulação e solução do problema de fluxo de carga.
Figura 2.4 Distribuição de fluxo de potência em uma linha de transmissão
EXEMPLO 2.3 Considere o diagrama unifilar mostrado na Figura 2.5 como rep-
resentativa de um sistema elétrico equivalente formado pelas barrask e m, as quais são
interligadas por meio de uma linha de transmissão. Ambas as barras são caracterizadas
como de 230kV de tensão nominal.
18 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Figura 2.5 Linha interligando as barrask em
Considerando que as tensões nas duas barras sejam conhecidas, determinar os fluxos
de potência ativo e reativo na interligação e no circuito equivalente. Suponha que a linha
seja representada por seu modeloπ-equivalente, para linha média, cujos parâmetros em
pu são os seguintes:R = 0,017, X = 0,1224,Y = 0,22. O valor deY corresponde à
susceptância total da linha. Ou seja,Y = ωC, ondeC é a capacitância da linha. Nesse
sistema, as tensões nas duas barras são:Vk = 1,022∠23,3o eVm = 1,037∠11,8o.
Solução
As correntes nas duas extremidades da linha são, portanto,Ikm e Imk. Elas serão
calculadas como segue.
Ikm =
1,022∠23,3o−1,037∠11,8o
0,017+ j0,1224
+1,022∠23,3o( j
0,22
2
) = 1,6897∠33,39o pu.
A Figura 2.6 mostra o procedimento executado no Matlab para ocálculo da correnteIkm.
Os demais cálculos podem ser obtidos de modo semelhante.
Imk =
1,037∠11,8o−1,022∠23,3o
0,017+ j0,1224
+1,037∠11,8o( j
0,22
2
) = 1,6424∠−154,20o pu.
O fluxo de potência dek parame demparak é calculado como apresentado abaixo.
Skm = VkI
∗
km = 1,022∠23,3
o×1,6897∠−33,39o = 1,7002− j0,3025pu.
2.3. DISTRIBUIÇÃO DOS FLUXOS DE POTÊNCIA EM UMA LINHA 19
Figura 2.6 Procedimento de cálculo executado no Matlab
Smk = VmI
∗
mk = 1,037∠11,8
o×1,6424∠154,20o = −1,6526+ j0,4121pu.
Dos resultados anteriores, é possível fazer a seguinte análise. Da barrak, na tensão
de 1,022 pu (ou, considerando uma base de 230 kV, 1,022×230≈ 235 kV), 1,70 pu de
potência ativa é enviado para a barram. Considerando que a base de potência é igual a
100 MVA, resulta no envio de 170 MW. Em relação à potência reativa, ocorre absorção de
aproximadamente 0,303 pu. Isto corresponde a absorção de 30,3 MVar de potência reativa
na barrak. Com relação à barram, a sua tensão é igual a 1,037 pu (ou 1,037×230= 238,5
kV). Nessa condição, a barra absorve 1,65 pu ou 165 MW. Verifica-se, portanto, que
houve perda ativa de 5 MW na interligação. Quanto à potência reativa, a barra gera 0,41
pu. Desse modo, 41 MVar é gerado e enviado para a linha.
20 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
A potência reativa que é gerada pela linha em cada extremidade, corresponde à
potência que é liberada pelos capacitores da linha em suas extremidades. Assim, no lado
da barrak, a potência reativa gerada éQshk = |Vk|2× Y2 = 1,0222×
0,22
2 = 0,1149 pu.
Ou seja, nesse lado da linha, é gerado 11,5 MVar. Do lado da barra m, a potência reativa
gerada éQsh= |Vm|2× Y2 = 1,0372×
0,22
2 = 0,1183pu. Portanto, é gerado 11,8 MVar.
A distribuição dos fluxos resultantes é mostrada na Figura 2.7 (a seta normal indica
o sentido do fluxo de potência ativa, enquanto a seta com um traço inclinado indica fluxo
de potência reativa).
Figura 2.7 Distribuição final de fluxos
Com relação ao balanço de potência de reativo nas extremidades da linha, são con-
statadas as seguintes observações:
• Se a barram recebe 30,3 MVar e ocorre geração de 11,5 MVar devido ao capacitor
da linha nessa extremidade, então, 18,8 MVar são provenientes da linha e que há
excesso de potência reativa sendo gerado na barram.
2.3. DISTRIBUIÇÃO DOS FLUXOS DE POTÊNCIA EM UMA LINHA 21
• Na barram, há geração de 41,0 MVar e mais 11,8 MVar por parte do capacitor da
linha. Isto implica dizer que 52,8 MVar estão sendo liberados para a outra extremi-
dade da linha.
• A perda reativa na linha (consumo da reatância indutiva da linha) seráQperda =
52,8−18,8 = 34 MVar.
EXERCÍCIO
Considere que a um dos terminais de uma linha de transmissão CA é conectado
um gerador síncrono, cuja magnitude da tensão gerada é iguala 10 kV. A linha de
transmissão pode ser representada por seu circuitoπ-equivalente, cujos parâmetros são:
r = 0,02 Ω/km, c = 100nF/kme l = 0,1 mH/km. A freqüência do sistema é igual a 60
Hz. A partir dessas informações e considerando base de tensão igual a 10 kV, de potência
igual a 100 MVA, e comprimento da linha igual a 100 km, calcule, em pu:
a) para a condição do outro terminal da linha à vazio,
a.1) a corrente que é fornecida pelo gerador e a tensão nos terminais da linha;
a.2) as potências ativa e reativa que são geradas pelo gerador;
a.3) as perdas ativa e reativa na linha.
b) para a condição de carga igual a 10 MW e 3 MVar indutivo conectada ao outro
terminal,
b.1) a corrente que é fornecida pelo gerador e a tensão na carga;
b.2) as potências ativa e reativa que são geradas pelo gerador;
b.3) as perdas ativa e reativa na linha.
Respostas
a.1)I ≈ j0,0038 pu eVo ≈ 1,008 pu.
a.2) A potência aparente fornecida ou absorvida pelo gerador é exclusivamente
reativaS= − j0,0038 pu.
a.3) A perda reativa na linha seráQL = |I1|2×X = 0,00192×3,77= 1,36×10−5
pu, que é um resultado desprezível frente à potência absorvida pelo gerador.
A resolução do item b) pode ser feita de modo semelhante. Mas,neste caso,
considera-se a carga conectada aos terminais da linha, ao invés da linha à vazio.
22 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Suponha que a carga possa ser representada por uma impedância constante, consti-
tuída pela composição série de um resistorRc e de uma reatânciaXc. Ou sejaZ = Rc+ jXc.
Considere que essa impedância seja calculada considerando-se o valor de tensão nominal
da linha. Logo, sendo a tensão nominal igual a 1 pu, a potênciada carga, em pu, será
S= 10100 + j
3
100 = 0,1+ j0,03 pu. Isto significa queS= 1,0× I
∗
L = 0,1+ j0,03 pu. A
corrente nominal nesse caso seráIL = 10,1+ j0,03 = 0,9991− j0,03 pu. Então a impedância
da carga seráZ = Vo
IL
= 0,1+ j0,03 pu.
2.4. TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA 23
2.4 TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA
Os transformadores de potência possibilitam a utilização de diversos níveis de tensão em
um sistema elétrico. Do ponto de vista de eficiência e de transferência de potência, a ten-
são de transmissão deve ser elevada, porém não é usual se gerar ou consumir energia nesse
mesmo nível de tensão. Em sistemas elétricos modernos, desde a geração até os centros
de consumo, a tensão pode passar por até uns cinco estágios detransformação. Conse-
qüentemente, a quantidade em MVA nominal de todos os transformadores no sistema é
cerca de cinco vezes a potência nominal de todos os geradores.
Além de permitir a transformação de tensões, os transformadores são freqüente-
mente usados para controle de tensão e de fluxo de potência reativa. Portanto, pratica-
mente todos os transformadores utilizados nos sistemas de transmissão e na entrada dos
alimentadores de sistemas de distribuição apresentam taps.
A variação de taps permite compensar variações de tensões nosistema. Dois tipos
de componentes para variação de taps são encontrados: o que permite a variação sem
carga (off-load) e o sob carga (under-load tap changing) (ULTC), ouon-load tap chang-ing (OLTC), ou simplesmenteload tap changing(LTC). Para alteração na relação do
primeiro tipo, é necessário que o transformador seja desenergizado. São usados quando a
relação de taps precisa ser alterada somente após longos períodos. Por exemplo, quando
houver crescimento em tempos mais espaçados da carga (período de longo termo), ex-
pansão da demanda ou variações sazonais. O LTC é utilizado quando há necessidade de
alterações freqüentes na relação de transformação. Por exemplo, para acompanhar as mu-
danças diárias de carga. Os taps normalmente permitem uma variação de na relação de
transformação.
Os transformadores podem ser unidades trifásicas ou três unidades monofásicas
constituindo um banco trifásico. A última opção é preferidapara sistemas em extra-alta
tensão e sistemas de distribuição. Quando a relação de transformação é pequena (por
exemplo 500 kV para 230 kV), a melhor opção é utilizar autotransformadores. Com-
parado ao transformador de dois enrolamentos convencional, o autotransformador apre-
senta menor custo, maior eficiência, e melhor regulação.
Em sistemas interligados, algumas vezes torna-se necessário efetuar conexões que
formam circuitos em malhas em um ou mais subsistemas. A fim de controlar o fluxo
de potência ativa e prevenir sobrecarga em algumas linhas, são introduzidos os chama-
dos transformadores defasadores. Em certos casos, além da transformação de fase, é
necessário realizar também transformação do módulo de tensão, via uso de taps.
24 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
2.4.1 Modelo do Transformador
O modelo do transformador de potência depende da presença ounão de taps. O modelo
convencional é composto de um transformador ideal e de uma impedância série. A relação
de transformação de tensão no transformador ideal, em pu, é 1: a, ondea é o tap em pu.
A impedância série é formada pela reatância do transformador, em geral, desprezando-se
as resistências dos enrolamentos. Ou seja,ZT = jXT . A Figura 2.8 ilustra a inserção
desses elementos em um diagrama unifilar, substituindo-se,por conveniência,ZT , por
uma admitânciaykm, ficticiamente ligada entre as barrasp e m. Por essa convenção,
supõe-se que o transfomador possua tap, em pu, somente do lado da barram, embora
fisicamente ele possa ter tap em ambos os lados.
O tapa pode ser um número real ou complexo, dependendo do tipo de transfor-
mador. Na situação na qual se diz que as tensõesVk e Vm estão em fase, diz-se que a
"relação de tap está em fase". Quandoa é um número complexo, o transformador, além
da transformação das magnitudes da tensão, como no caso em fase, proporciona também
a transformação da fase. Na dedução que se segue, considerar-se-á somente a situação na
qual a constantea representa uma grandeza real.
Figura 2.8 Modelo do transformador com tap
A dedução das equações do transformador com tap é baseada nasequações do trans-
formador ideal e no cálculo das correntes que fluem no equipamento. O objetivo é se de-
terminar um circuito elétrico equivalente semelhante ao que foi apresentado para o caso
da linha de transmissão CA. isto é possível se for possível calcular as constantesA B e
C do circuito elétrico mostrado na Figura 2.10. O circuito forma um quadripolo, no qual
2.4. TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA 25
pode-se imaginar o terminal de entrada como do lado da barrak e o terminal de saída
como do lado da barram.
Figura 2.9 Transformador equivalente com tap
No circuito da Figura 2.10 as relações entre as correntes de entrada e as tensões de
saída são dadas pelas expressões a seguir.
Ikm = (A+B)Vk−BVm (2.6)
Imk = −BVk +(A+C)Vm (2.7)
Deve-se calcular os parâmetros do circuito em função dos parâmetros do transfor-
mador.
Considere o transformador ideal entre as barras (nós)k em. Algumas relações para
esse elemento são as seguintes:
Conservação da potênciaa potência de entrada é igual à potência de saída. Em pu,
isto significa que a potência no nók é a mesma no nóp, a menos do sinal, isto é,
Skm+Smk = 0;
Relação de transformação de tensãoa relação de tensão, em pu, entre o nóp e o nók
éV p = aVk.
26 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Do princípio de conservação da potência no transformador ideal, pode-se tirar a
seguinte relação:
Skm+Smk = 0 ⇒ VkI∗km+V pI
∗
mk = 0 (2.8)
De (2.8) e considerando quea é uma grandeza real, tem-se que
I km = −aImk (2.9)
A correnteImk pode ser calculada, considerando-se a diferença de potencial entre os
pontosm e p. Ou seja,
Imk = (Vm−aVk)ykm (2.10)
De (2.9), observa-se que
Ikm = −aImk = −a(Vm−aVk)ykm (2.11)
Logo, encontra-se diretamente queA = aykm. Em seguida, calcula-seB a partir de
(2.6). Ou seja,A+B= a(aykm). Deduz-se então queB= a(a−1)ykm. Da equação (2.10),
sabe-se queA+C = 1. Logo,C = (1−a)ykm.
Em relação à natureza física dos parâmetrosA, B eC sã feitas as seguintes obser-
vações:
a < 1 o elementoB é uma impedância indutiva eC é capacitiva;
a > 1 o elementoB é uma impedância capacitiva eC é indutiva;
a = 1 B=C= 0, indicando que o modelo é representado simplesmente por uma impedân-
cia indutiva, ou situação de tap nominal.
EXEMPLO 2.3
Considere que o diagrama unifilar de um transformador com tapem fase seja o
mesmo indicado na Figura 2.8. Os valores nominais de tensão do lado das barrask e
m são 13,8kV e 230kV, respectivamente (tensões equivalentes a 1 pu em cada lado do
transformador). Na condição nominal, a reatância do transformador é igual a 0,1 pu.
2.4. TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA 27
Determinar um modelo equivalente do transformador, em pu, para a condição de tap em
fase, no quala = 1,10 pu.
Solução:
A admitância nominal do transformador éykm =
1
jXt
= − jXt = − j10 pu.
Os parâmetros do modelo equivalente são:A = aykm = 1,1× (− j10) = − j11 pu,
B seráB = a(a−1)ykm= 1,1(1,1−1)×(− j10) =− j1,1 pu. Por fim,C = (1−a)ykm=
(1−1,1)× (− j10) = j1,0 pu.
Observa-se que do lado do tap, sendo este ajustado para valormaior que o nominal,
a admitância é capacitiva, conforme previsto anteriormente. Ao contrário, no lado oposto,
a admitância é indutiva.
EXEMPLO 2.4
Considere que seja aplicada uma tensão de 13kV no lado de baixa tensão do trans-
formador descrito no exemplo 2.3. Calcule a tensão no lado dealta tensão, emkV, bem
como as correntes nos enrolamentos de baixa e alta tensão, emA. Sabe-se o transformador
tem tap apenas do lado de alta tensão (lado da barra m na Figura2.8 e está operando a
vazio.
Solução
A magnitude da tensão aplicada ao lado de baixa tensão (barrak) é Vk =
13
13,8 =
0,942 pu. De acordo com o circuito elétrico da Figura 2.10, a tensão nabarram pode
ser calculada utilizando-se a regra do divisor de potencial, bem conhecida em circuitos
elétricos. Ou seja:
Vm =
1
C
1
A +
1
C
×Vk =
1
j1
1
− j10 +
1
j1
×0,942= 1,036 pu
Então, em kV, a tensão no lado de alta tensão é igual a 238,3kV. A corrente no
enrolamento de alta tensão é nula, pois o transformador estáa vazio. No lado de baixa
tensão, de acordo com o circuito equivalente do transformador, tem-se:
Ikm = BVk +CVm = −2,2×10−16 ≈ 0
Também no enrolamento de baixa tensão, a corrente é nula. Este resultado era
esperado, justificado pelo fato de que não há carga no lado de alta tensão.
28 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
O transformador com tap é útil nas situações nas quais podem ocorrer conflito de
base de tensão, quando se deseja transformar o circuito em uma representação de uma
determinada base. Para ilustrar esse fato, considere o exemplo que subseqüente.
EXEMPLO 2.5
A Figura 2.10 mostra a conexão de dois circuitos fictícios queoperam em paralelo,
conectados entre as barras 1 e 2. Calcule o circuito equivalente em pu desses circuitos,
entre as barras 1 e 2, sabendo-se que a base de potência é iguala 100 MVA e as bases de
tensão, no lado de alta e de baixa são iguais a 230kV e 13,8kV, respectivamente. Ambas
as linhas de transmissão são representadas por um modelo de linha curta, em queR= 0
e X = 0,1 pu, na base fornecida. Cada transformador tem potência nominal igual a 200
MVA e reatância igual a 10%. No entanto, suas relações de transformação de tensão são
13 kV/230kV,para T1, e 13,8 kV/230kV, para T2.
Figura 2.10 Interligações em paralelo - situação onde ocorre conflito debase
Solução
Em função dos dados das linhas, a base de tensão no lado de baixa é definida em
13,8kV. Ao se refletir essa base, utilizando-se a relação de transformação do transfor-
mador T2, a base no lado de alta será 230 kV. Agora, refletindo-se a base tendo a relação
de T1, no lado de alta, ter-se-ía uma base de 13,8× 23013 = 244,15 6= 230 kV. Assim
ocorre o que se denominaconflito de base, porque uma base no lado de baixa tensão leva
a duas bases distintas no lado de alta tensão. Para corrigir esse problema, os dois trans-
2.4. TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA 29
formadores devem ser ajustados para uma mesma relação de transformação. Isto pode ser
obtido, por exemplo, supondo-se que o transformador T1 possui tap no lado de baixa. Ex-
plorando esse fato, ajusta-se então esse tap fictício para a tensão 13,8 kV, igual à tensão
base do lado de baixa.
O tap do transformador T1 deve ser ajustado paraa = 13/13,8 = 0,942 pu.
As reatâncias de cada transformador devem ser convertidas para a base 100MVA.
Logo, na nova base,XT = 0,1× 100200 = 0,05 pu. Isto significa dizer que a admitância é
ykm = − j20 pu. Os parâmetros do circuitoπ-equivalente para o transformador T1 são:
A = 0,942× (− j20) = − j18,84 pu; B = 0,942(0,942− 1)× (− j20) = j1,029 pu; e
C = (1−0,942)× (− j20) = − j1,093 pu.
O transformador T2 opera com tap nominal. Assim, para esse transformador, existe
apenas o ramo série do circuitoπ-equivalente. Esse ramo tem admitância igual à− j20 pu.
O circuito elétrico equivalente para as interligações em paralelo é mostrado na
Figura 2.11. Os dados dos elementos passivos de circuito foram convertidos para impedân-
cia.
Figura 2.11 Circuito elétrico equivalente das interligações em paralelo
No exemplo a seguir, uma aplicação na qual uma linha está conectada a um trans-
formador, que por sua vez supre uma carga.
EXEMPLO 2.6
A Figura 2.12 mostra o a conexão de uma carga a um gerador, o qual está conectado
30 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
à extremidade de uma linha de transmissão. Essa linha conecta-se ao lado de baixa tensão
de um transformador, cujo lado de alta supre a carga. O transformador apresenta tap
no lado de baixa, estando esse ajustado em +1kV acima do valor da tensão nominal do
enrolamento. O transformador tem potência nominal igual à 50 MVA, reatância igual
à 5% e relação de transformação 10kV/100 kV. A linha de transmissão apresenta os
seguintes parâmetros: tensão nominal de 10kV, R= 0,05 Ω, X = 0,1 Ω e carregamento
de 4MVar. A carga é composta por uma parcela ativa de 10MW e outra reativa de 3
MVar. Adote base de potência de 100MVAe de tensão igual a 10kV no lado de baixa do
transformador. Considerando que a carga está funcionando sob tensão de 97kV, calcule:
• a potência ativa e reativa que é entregue na barra 1 (fornecimento do gerador);
• a tensão, emkV, e a corrente que flui do gerador, emA, para a barra 1.
Figura 2.12 Linha e transformador atendendo a uma carga
Solução
Inicialmente, deve-se montar o circuito elétrico equivalente referente ao sistema
elétrico.
Sendo a base de potência do sistema 100MVAe de tensão 10kV no lado de baixa, a
reatância do transformador é alterada na nova base paraXT = 0,05× 10050 = 0,1 pu. Como
o transformador está operando com tap fora do nominal, torna-se necessário calcular os
parâmetros levando-se em conta esse tap. O valor ajustado corresponde aa = 11/10=
2.4. TRANSFORMADOR DE POTÊNCIA 31
1,1 pu. Então os parâmetros são:ykm = − j10 pu, A = 1,1(− j10) = − j11 pu; B =
− j1,21 pu; C = j1,1 pu (esse valor deC deve ser atribuído à admitância que fica do lado
do tap no circuito).
A base de impedância no lado da linha de transmissão éZB = 10
2
100 = 1 Ω. Então
R= 0,05/1 = 0,05 pu; X = 0,1/1 = 0,1 pu. Por meio do carregamento da linha,Qsh,
que corresponde à potência reativa gerada pela linha, através dos capacitores, calcula-se
a admitânciashunt, Y. Sabe-se que, em pu,Qsh = YVk, ondeVk é a magnitude da tensão
na extremidade da linha. Supõe-se que essa tensão seja igualà nominal da linha. Logo,
em pu,Qsh = Y. Então,Y = Qsh = 4/100= 0,04 pu.
A magnitude da tensão na carga éV3 = 97/100= 0,97 pu. Adotando-se a barra 3
como a referência de fase, faz-seV3 = 0,97∠0o. A potência da carga, em pu, éS= 0,1+
j0,03. Então a corrente que circula pela carga éI3 = S
∗
V∗3
= 0,1− j0,030,97 = 0,1076∠−16,7o.
As demais correntes e quedas de tensão no circuito devem ser calculadas a fim
de se determinar a tensãoV1 do gerador. Realizando-se esse procedimento no circuito
elétrico (as admitâncias são indicadas no circuito poradm e todos os dados estão em
pu) mostrado na Figura 2.13, encontram-se os seguintes valores: I3 = 0,0958∠15,8o,
que corresponde a uma corrente em módulo igual a 553,3A. A potência calculada é
S1 = 0,1004− j0,0265pu, a qual corresponde aP1 = 10,04 MW e Q1 = −2,65 MVar.
Portanto, o gerador gera potência ativa para atender a perdaativa e a parte ativa da carga.
No entanto, precisa absorver potência reativa, apesar da carga ser indutiva.
Figura 2.13 Circuito elétrico equivalente ddo sistema formado por linha, transformador e carga
O módulo da correnteI1 é igual à 0,0927A. A perda ativa na linha éR|I1|2 =
32 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
0,05×0,09272 ≈ 0,0004pu. O valor dessa perda somada à parte ativa da carga é igual a
0,1004 pu, que é exatamente igual à potência gerada.
2.5. DISPOSITIVOS FACTS 33
2.5 DISPOSITIVOS FACTS
A complexidade do planejamento e operação de um sistema de potência se deve, em
grande parte, a problemas relacionados com a rede de transmissão. As linhas de trans-
missão estão sujeitas a limites térmicos ou de estabilidade, que restringem o nível de
potência que pode ser transmitido com segurança. Por conseqüência, podem surgir alguns
problemas relacionados como: pontos de operação não econômicos, baixa capacidade de
carregamento, necessidade de redespacho da geração, de capacidade extra de geração ou
ainda de importação de energia elétrica.
A compensação de potência reativa em sistemas elétricos de potência é necessária
para manter, dentro de padrões aceitáveis, o fluxo de reativono sistema bem como os
níveis de tensão nos barramentos. Um equipamento importante no sistema de transmis-
são é o compensador síncrono. Utilizado desde 1930, este equipamento é uma máquina
síncrona que gira sem torque de uma turbina ou carga mecânica. Controlando a sua cor-
rente de excitação, ele poderá gerar (superexcitado) ou absorver (subexcitado) potência
reativa. É também uma excelente fonte para amortecimento deoscilações durante tran-
sitórios (curto-circuito). Pode gerar até duas vezes a potência reativa durante transitórios.
Porém, tendo em vista a expansão das redes a nível de sistemasinterligados, tornou-se
necessário o desenvolvimento de meios para controlar diretamente os fluxos de potência
em determinadas linhas. O controle dos fluxos pode direcioná-los para regiões que pos-
suam capacidade ociosa de carregamento, aliviando, assim,as regiões com restrição de
transmissão.
Os sistemas com fluxos de potência controláveis, ouFlexible AC Transmission Sys-
tems (FACTS), proporcionam a concepção de vários novos dispositivos para o controle
dos fluxos nas redes de energia elétrica. Tais dispositivos permitem:
• aumentar a capacidade de transmissão de potência das redes;
• controlar o fluxo de potência em interligações específicas.
Pode-se dizer que o fluxo de potência em uma rede de transmissão está limitado por
uma combinação dos seguintes fatores principais, entre outros:
• estabilidade;
• fluxos paralelos ou fluxos em malha;
• limites de tensão;
• limites térmicos de linhas ou equipamentos.
34 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Dispositivos FACTS são aplicáveis, de forma mais direta, àsrestrições de trans-
missão de potência relacionadas com problemas de estabilidade. Os fluxos de malha
são aqueles que se formam entre dois sistemas interconectados por uma malha fechada,
mesmo que cada sistema seja capaz de suprirsua própria carga. Fluxos paralelos, por sua
vez, são aqueles que, mesmo fazendo parte da transmissão normal de potência entre duas
companhias, afetam regiões não desejáveis do sistema interconectado. Fluxos de malha
ou fluxos paralelos afetam principalmente a operação em regime permanente. Os efeitos
podem ser observados no perfil de tensões, nas perdas de transmissão ou na redução da
região segura de operação. Apesar do tempo de resposta dos controladores não ser cru-
cial, dispositivos eletrônicos são justificáveis nestes casos quando ajustes freqüentes são
necessários. O controle de tensão é normalmente feito por uma combinação de ajustes na
potência reativa de geradores, compensadores em derivaçãofixos ou controláveis mecani-
camente e transformadores de tensão, também controláveis mecanicamente.
Dispositivos baseados em componentes eletrônicos irão permitir um controle mais
rápido das tensões no caso da ocorrência de transitórios. Oslimites térmicos são lim-
ites físicos inerentes aos equipamentos dos sistemas de transmissão. Normalmente os
sistemas de potência operam muito abaixo dos seus limites térmicos por questões de se-
gurança no caso de contingências. Os dispositivos FACTS irão afetar a operação do sis-
tema, usualmente em resposta a perturbações críticas, permitindo uma melhor utilização
da sua capacidade térmica. Mesmo quando a questão dos limites não é crítica, o caminho
seguido pelos fluxos de potência tem um impacto importante naoperação de um sistema,
tanto em regime permanente como em condições pós-falta. Entre os fatores que podem
ser afetados estão o custo de operação, o controle de reativos e de tensão. Controladores
baseados em eletrônica de potência ampliam os meios de controle das rotas de transmis-
são, principalmente por permitirem um controle contínuo e operações freqüentes.
Os dispositivos FACTS são concebidos de acordo com a necessidade do tipo de
controle requerido. A seguir são mencionadas as principaisconcepções características de
um sistema de energia elétrica.
Inicialmente, considere uma interligação, que pode ser umalinha de transmissão
curta, sem perda ativa (R=0), conforme mostrado na Figura 2.1 vista anteriormente. A
correnteIi entre o terminal de entradai e o terminal de saídao da linha éI i =
V i−Vo
jX .
Por sua vez, a potência fluindo do terminali para o o éSio = V i I
∗
i = Pio + jQio. Então
Sio = V i
V
∗
i −V
∗
o
− jX = j
V iV
∗
i −V iV
∗
o
X
=
j|V i |2−|V i||Vo|∠(90o+θi −θo)
X
(2.12)
ondeθi e θo são os ângulos deV i eVo, respectivamente.
A expressão (2.12) pode ser rearranjada da seguinte forma:
2.5. DISPOSITIVOS FACTS 35
Sio =
j|V i |2
X
− |V i ||Vo|∠(90
o+δ )
X
=
j|V i |2
X
− |V i ||Vo|
X
[−sen(δ )+ jcos(δ )] (2.13)
ondeδ = θi −θo é denominada abertura angular da interligação. Este ânguloé positivo,
caso a potência ativa flua do terminali para o o e negativo em caso contrário.
De (2.13), conclui-se que o fluxo de potência ativa dei para o éPio =
|V i ||Vo|
X sen(δ ),
ao passo que o fluxo de potência reativa éQio =
|V i |2
X −
|V i ||Vo|
X cos(δ ). A respeito do con-
trole da potência ativa e reativa, observa-se o seguinte:
• a potência ativa máxima da interligação é|V i ||V0|X , ocorrendo quandoδ = 90
o. Esta
característica é conhecida como capacidade máxima de transmissão. Na prática,
esta restrição não deve ser alcançada, porque é um limite de estabilidade (limite de
estabilidade estática), o qual é superado se houver qualquer incremento diferencial
de potência ativa na interligação.
• O fluxo ativo muda de sentido, caso seja alterado o sinal da abertura angularδ .
Diz-se então que a potência ativa é sensível à variação angular.
• A potência reativa na interligação é pouco sensível à variação da abertura angular.
Entretanto, é bastante sensível à variação de tensão.
Em função das observações anteriores, os dispositivos FACTS podem ser conce-
bidos visando explorar as variáveis que influenciam no controle da potência ativa e da
reativa, ou de ambas simultaneamente.
2.5.1 Compensador Ideal em Derivação
A Figura 2.14 mostra um modelo ideal de um compensador em derivação conectado ao
ponto médio de uma linha de transmissão CA, sem perda ativa. Neste caso, a tensão
na fonteVS é conectada a fim de controlar o fluxo de potência na linha. Paraefeito de
simplificação, supõe-se que as tensõesVS e VR (carga) tenham a mesma amplitudeV e
estejam defasadas por um ânguloδ .
A Figura 2.15 mostra o diagrama fasorial para a situação de operação na qual a
tensão da fonteVM apresenta a mesma amplitude que as tensões nas extremidadesda
linha. Neste caso, a potência transmitida da fonte para a carga é
PS =
2V2
XL
sen(δ/2) (2.14)
36 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Figura 2.14 Compensador em derivação ideal
Se nenhuma compensação estiver presente, a potência ativa transmitida será:
PS =
V2
XL
sen(δ ) (2.15)
Comparando (2.14) e (2.15), observa-se que a compensação reativa aumenta a ca-
pacidade de transmissão de potência ativa da linha.
Da Figura 2.15 é possível concluir que, como a corrente de compensaçãoIM está em
quadratura com a tensãoVM, não existe potência ativa fluindo através do compensador.
Ou seja, apenas potência reativa flui pela fonteVM.
2.5.2 Compensador Série Ideal
A Figura 2.16 mostra um modelo ideal de um compensador série,representado por uma
fonteVC conectada ao ponto médio de uma linha de transmissão CA curta.
A corrente que circula pela linha é
I =
VS−VR−VC
jXL
(2.16)
2.5. DISPOSITIVOS FACTS 37
Figura 2.15 Diagrama fasorial considerando-se o compensador ideal em derivação
Se a tensãoVC estiver em quadratura com a corrente, o compensador série não irá
fornecer ou absorver potência ativa. Ou seja, a potência nosterminais da fonte será apenas
reativa. Neste caso, a fonte funciona como se fosse uma reatância (capacitiva ou indutiva).
O fluxo de potência ativa pela linha será:
PS =
V2
(1−s)XL
sen(δ ) (2.17)
onde|s| < 1 é a taxa de compensação série da linha.
A Figura 2.17 mostra o diagrama fasorial para o compensador série ideal, assumindo-
se que a corrente no compensador seja capacitiva (avançada em relação à tensão). Então,
a fonte funciona como se fosse um capacitor
Outros dispositivos FACTS poderiam ser concebidos utilizando as duas abordagens
anteriores. Um deles é o compensador de ângulo de fase. Este compensador tem como
função controlar a diferença entre os ângulos de fase entre dois sistemas CA, podendo
atuar assim diretamente sobre o fluxo de potência ativa trocado entre esses dois sistemas.
Isto significa que esse compensador pode ter que fornecer ou absorver potência ativa,
bem como potência reativa. Esta é uma característica importante para ser considerada na
38 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Figura 2.16 Compensador série ideal
síntese de um compensador de ângulo de fase.
Esse compensador pode ser dividido em dois grupos:
Defasador (pahse-shifter)baseado em tiristores;
(Unified power flow controller) UPFC também conhecido como controlador universal
de fluxo de potência, o UPFC é baseado em chaves semicondutoras autocomutadas.
O UPFC é melhor representado considerando-se a conexão simultânea de duas
fontes de tensão controladas: uma em série e a outra em derivação. Uma das principais
vantagens dessa topologia é que as duas fontes podem operar separadamente como dois
compensadores de potência reativa distintos (um em série e ooutro em derivação) e com-
pensando ainda potência ativa. Um caso interessante acontece quando uma quantidade de
potência ativa consumida/fornecida por uma das fontes é igual à potência fornecida/consumida
pela outra. Esta característica é especialmente relevantese existir um caminho comum
para que essas potências possam ser trocadas.
2.5.3 Síntese de Compensadores em Derivação usando Tiristores
A Figura 2.18(a) mostra a topologia básica de um reator controlado a tiristor (RCT), o
qual, através do controle dos ângulos de disparo dos tiristores, produz uma reatância in-
2.5. DISPOSITIVOS FACTS 39
Figura 2.17 Diagrama fasorial considerando-se o compensadorsérie ideal
dutiva equivalente, continuamente variável. O RCT é a base do compensador de potência
reativa estático convencional (SVC -Static Var Compensator). Devido ao controle de fase
usado para chavear os tiristores, são geradas correntes harmônicas de baixa ordem pelo
RCT. Transformadores ligados em delta-estrela, bem como a conexão de filtros passivos
são então necessários para reduzir estes harmônicos a níveis aceitáveis.
A Figura 2.18(b) mostra o capacitor chaveado a tiristor (CCT). Neste circuito, os
tiristores são disparados apenas quando uma condição de chaveamento com tensão zero é
alcançada para a chave semicondutora (ZVS -zero voltage switching). Portanto, devido à
sua característica de chaveamento, os tiristores mostrados na figura podem apenas conec-
tar ou desconectar o banco de capacitores ao sistema de potência. Conseqüentemente, o
controle da potência reativa gerada pelo banco chaveado é feito de forma descontínua.
Outra característica importante é que, como o chaveamento éfeito em uma fre-
qüência muito baixa, os harmônicos não são geralmente um problema sério nestes com-
pensadores. O uso de um dos compensadores mostrados na Figura 2.18 possibilita, assim,
apenas um tipo de compensação capacitiva ou indutiva. Entretanto, na maioria das apli-
cações, é desejável ter a possibilidade de ambas características de compensação. O com-
pensador estático de potência reativa foi projetado então para operar nestas condições.
Em geral este compensador é usado como controlador estáticode tensão.
40 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Figura 2.18 dispositivos FACTS baseados em tiristores: (a) RCT, (b) CCT
A Figura 2.19a mostra o diagrama unifilar equivalente de um compensador estático
de reativos (uma fase), enquanto a Figura 2.19b mostra a sua característica de operação.
No circuito correspondente, um reator controlado a tiristor é conectado em paralelo com
um banco capacitivo, que pode ser fixo ou chaveado a tiristor.A capacitânciaC do com-
pensador estático é calculada de maneira a gerar a máxima potência reativa que o compen-
sador deve fornecer para o sistema. Quando este compensadortem a função de controlar
a tensão é chamado de SVC (Static Voltage Controler).
O circuito mostrado na Figura 2.19a não mostra os filtros passivos, normalmente
necessários a fim de reduzir o efeito dos harmônicos de corrente gerados pelo chavea-
mento dos tiristores. A Figura 2.19b mostra a característica de operação tensão/corrente
nos terminais do compensador estático. Quando a tensão terminal diminui a capacidade
de corrente do compensador também é reduzida proporcionalmente.
2.5. DISPOSITIVOS FACTS 41
Figura 2.19 Diagrama unifilar de dispositivos FACTS baseados em RCT e CCT
2.5.4 Síntese de Compensadores série usando Tiristores
A Figura 2.20 mostra o diagrama do capacitor série chaveado atiristor. Neste sistema,
para conectar os capacitores em série com a linha, os tiristores são mantidos cortados. Se
os tiristores conectados em paralelo com os capacitores sãodisparados, estes capacitores
são curto-circuitados. O disparo dos tiristores, como no caso do capacitor em derivação
chaveado a tiristor, deve ser feito, idealmente, com tensãonula sobre as chaves semicon-
dutoras (ZVS -Zero Voltage Switching). Este sistema de compensação tem a vantagem
de ser muito simples, entretanto não permite um controle contínuo da reatância série.
Observe-se que, se a conexão e desconexão dos bancos capacitivos for feita de maneira
esporádica, possivelmente não ocorrerão problemas devidos aos harmônicos de chavea-
mento. Entretanto, dependendo da freqüência em que os tiristores são chaveados, tensões
subharmônicas (harmônicos com freqüência menor que a da rede) podem ser geradas.
42 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
Figura 2.20 Capacitor série chaveado a tiristor: módulos discretos
A Figura 2.21 mostra o diagrama de um capacitor série controlado a tiristor (TCSC
- Thyristor Controlled Series Capacitor). Neste compensador, o valor equivalente do
capacitor série pode ser controlado continuamente atravésdo controle dos ângulos de dis-
paro dos tiristores. À primeira vista, este circuito é semelhante ao compensador estático
convencional em derivação, com a diferença que, aqui, ele é conectado em série com a
linha. Como no caso anterior, a operação de chaveamento dos tiristores gera harmônicos
de baixa ordem. Entretanto, o capacitor série associado coma impedância da linha de
transmissão tem se mostrado suficiente para filtrar estes harmônicos.
Um exemplo de aplicação ocorre no Brasil, no qual se tem um conjunto instalado
na subestação de Imperatriz e outro na subestação de Serra daMesa. Esses dispositivos
são fundamentais para a interligação dos sistemas elétricos Norte-Sul do país. Em princí-
pio, sua função é a de amortecer possíveis oscilações de baixa freqüência entre os dois
sistemas. Entretanto, nada impede de também serem usados para o controle do fluxo de
potência.
2.6. CARGAS 43
Figura 2.21 Capacitor série controlado a tiristor (TCSC): módulo de controle contínuo
2.6 CARGAS
A carga em um SEP pode ser representada de diversas maneiras,dependendo do tipo de
estudo que se deseje. A forma mais comum é a modelagem por um polinômio, função
da magnitude da tensão onde está conectada a carga, constituindo uma composição por
impedância constante,Z, corrente constante,I , e potência constante,P. Em função dos
símbolos, é comum se designar esse modelo polinomial como ZIP. O modelo polinomial
tem a seguinte estrutura para as potências ativa,P, e reativa,Q, da carga:
P(V) = Po
[
a+bV+cV2
]
(2.18)
Q(V) = Qo
[
d+eV+ fV2
]
(2.19)
ondePo eQo são os valores da carga em condições nominais de tensão;V é a magnitude da
tensão na barra; e os coeficientes dos polinômios são parcelas da carga tais quea+b+c=
1 ed+e+ f = 1.
Os coeficientesa e d são parcelas de potência constante;b e e são parcelas de
corrente constante; ec e f são parcelas de impedância constante.
44 2. MODELAGEM DE EQUIPAMENTOS
EXEMPLO 2.7
Estabeleça os polinômios que representam uma carga em pu, a qual absorve 40MW
e 20MVar. A composição da carga é a descrita como segue.potência ativa: 30% deZ
constante e 20 % de potência constante;potência reativa: 100 % deZ constante. Utilize
base igual a 100MVA.
SOLUÇÃO
As cargas, em pu, apresentam os seguintes valores em condições nominais:Po =
40/100= 0,4 pu e Qo = 20/100= 0,2 pu. Então, a composição de potência absorvida
pela carga varia com a tensão de acordo com as expressões.
P(V) = 0,4
[
0,2+0,5V +0,3V2
]
Q(V) = 0,2V2
Essa tipo de representação de carga é importante para se entender o procedimento
para levantamento das equações do problema de fluxo de carga -que será visto mais
adiante - e que consiste inicialmente em se determinar as tensões no sistema como um
todo.
Em geral, cargas puramente reativas ou capacitivas são consideradas como 100%Z
constante. Um exemplo de carga dessa natureza são reatores ecapacitores.
EXEMPLO 2.8
Um banco trifásico de capacitores, ligação shunt, de 50MVA, com tensão nominal
de 230kV é conectado a uma barra cuja tensão nominal também é 230kV. Determinar a
potência e a reatância por fase do banco, em pu. Considere base de 100MVA.
SOLUÇÃO
Tratando-se de capacitor ou reator a potência ativa é nula. Além disso, a composição
da parte reativa da carga desses elementos pode ser considerada como 100%Z constante.
A potência reativaQCo em pu éQCo = 50/100= 0,5 pu. Portanto,QC(V) = 0,5V2.
Sabe-se que, em pu, a reatância do banco, por fase éXC = V
2
QC
. Desse modo,V
2
QC
=
1/0,5 = 2 pu. Então,XC = 2 pu. A impedância seráZC = − j2 pu.
Outras composições para a carga, como parcela devido a motores de indução, são
consideradas. Porém, esse conteúdo não será tratado aqui, havendo excelente material
sobre o assunto em referências específicas.
3
MATRIZES DE REDE
3.1 INTRODUÇÃO
Em muitos problemas em sistemas elétricos de potência é usual se lidar com cálculo en-
volvendo matrizes de ordem elevada. É importante saber comolidar com o problema a fim
de se explorar comeficiência tanto a armazenagem de dados quanto dos procedimentos
de cálculo propriamente dito.
Felizmente, é possível se explorar eficientemente as topologias do sistema e a partir
de algoritmos bem estruturados se formular os problemas de interesse.
Uma matriz importante em análise de redes é a que permite relacionar tensões
nodais (tensões de barra) a injeções de corrente. O interesse aqui é o cálculo dos estados
do sistema em regime permanente ou em baixas freqüências. Diante dessas caracterís-
ticas, é suficiente considerar a rede de interligação como caracterizada por parâmetros
constantes.
Em se tratando de operação em regime senoidal permanente, a rede pode ser con-
siderada como composta de impedâncias à freqüência industrial, fontes independentes
de corrente e de potência. Levando-se em conta as impedâncias, é possível montar uma
matriz de admitância nodal para a rede como um todo.
O objetivo desse capítulo é fornecer as informações, ilustradas com exemplos, de
como montar a matriz de admitância de rede.
3.2 MATRIZ DE ADMITÂNCIA DE BARRA
Ao invés de se utilizar o termomatriz de admitância nodal, como empregado em circuitos
elétricos, é usual se adotar o termomatriz de admitância de barra, ou simplesmentematriz
Ybus. Esta última nomenclatura é preferida no jargão de sistemasde potência.
Com a finalidade de formulação do problema, considere o circuito elétrico mostrado
na Figura??. As setas em cada barra indicam injeção de corrente ou, o que éequivalente,
a inserção de uma fonte de corrente independente. No circuito, cada elemento de inter-
45
46 3. MATRIZES DE REDE
coneçãozi j é uma impedância conectando a barrai à barra j . Impedâncias do tipozi
são impedânciasshuntsconectadas da barra à referência (terra). A cada barra está associ-
ada uma tensão nodal (ou simplesmente tensão de barra)V i , i = 1, . . . ,NB, ondeNB é o
número de barras do sistema.
Figura 3.1 Circuito elétrico com três barras
Para o circuito da figura, as equações de balanço de corrente,de acordo com a lei
de Kirchhoff de corrente, são as sequintes:
I1 =
V1−V2
z12
+
V1
z1
+
V1−V3
z13
(3.1)
I2 =
V2−V1
z12
+
V2
z2
+
V2−V3
z23
(3.2)
I3 =
V3−V1
z31
+
V3
z3
+
V3−V2
z23
(3.3)
Rearranjando as equações (3.1) a (3.3), encontra-se o seguinte resultado:
I1 = Y11V1+Y12V2+Y13V3 (3.4)
I2 = Y21V1+Y22V2+Y23V3 (3.5)
I3 = Y31V1+Y32V2+Y33V3 (3.6)
Comparando o conjunto de equações (3.1) a (3.3) e (3.4) a (3.6), cada elemento do
3.2. MATRIZ DE ADMITÂNCIA DE BARRA 47
tipoYi j , i, j = 1, . . . ,NB, comNB= 3, é calculado da seguinte forma no cirduito da Figura
??:
Y11 =
1
z12
+
1
z1
+
1
z13
= y12+y1+y13
Y22 =
1
z12
+
1
z2
+
1
z23
= y12+y2+y23
Y33 =
1
z31
+
1
z3
+
1
z32
= y31+y3+y32
Y12 = −
1
z12
= −y12 Y13 = −
1
z13
= −y13 Y23 = −
1
z23
= −y23
Diante do exposto, é possível colocar o conjunto de equaçõesde (3.4) a (3.6) na
forma matricial
I = YbV (3.7)
ondeI = [I1 I2 . . . INB]T ; o sobrescritoT designa a transposta de uma matriz ou vetor;
V = [V1 V2 . . . VNB]T ; eYb é a matriz Ybus, cujos elementos(i, j), de uma forma geral,
são definidos da seguinte forma:
Yi j =









L
∑
k=1
yik +
NB
∑
k=1
yk se i= j
−yi j se i 6= j
(3.8)
ondeyik é a admitância de interconexão entre a barrai e a k ; yk é a admitância da barra
i que está ligada ao terra;L é o número de ligações na rede.
Os termos dos somatórios definidos em (3.8) aplicam-se somente para as conexões
da barrai com a barrak e para as conexões da referida barra para o terra. Não havendo
conexão com a barrai , a admitânciayik ou yk é nula.
Observe-se que a notação para elemento da matriz Ybus é em letra maíuscula (por
exemplo,Yi j ), enquanto para admitância de interconexão é minúscula (por exemplo,yi j ).
Esta convenção será adotado ao longo do texto.
EXEMPLO 3.1
48 3. MATRIZES DE REDE
Um sistema elétrico é formado pela conexão de três barras. A barra 1 é ligada à
barra 2 por meio de um transformador com tap no lado da barra2 , ajustado em 1,1
pu. A reatância do transformador é igual a 0,1 pu. Uma segundaligação existe entre a
barra 2 e a 3 , por meio de uma linha de transmissão média cujos valores em pu são:
R= 0,05 pu, X = 0,10 pu e admitânciashunttotal igual a 0,2 pu. Calcule a matriz Ybus
desse sistema.
SOLUÇÃO
As admitâncias do circuito equivalente do transformador são: A = 1,1(− j10) =
− j11 pu; B = 1,1(1,1−1)(− j10) = − j1,1 pu; eC = (1−1,1)(− j10) = j1 pu.
A Figura 3.1 mostra o circuito elétrico equivalente, com os elementos de cicuitos
dados em forma de admitâncias.
Figura 3.2 Circuito elétrico equivalente para rede elétrica de três barras
Utilizando-se a expressão (3.8) para cálculo dos elementosda Ybus, encontra-se a
seguinte matriz:
Yb =


− j12,1 j11 0
j11 4− j17,9 −4+ j8
0 −4+ j8 4− j7,9


Observe-se que a matriz Ybus é complexa, podendo ser desmembrada da seguinte
forma: Yb = G+ jB, sendoG = real(Yb) eB = imag(Yb).
3.3. MATRIZ DE IMPEDÂNCIA DE BARRA 49
A separação em parte real e imaginária é necessário para a formulação do problema
de fluxo de carga, no qual são utilizadas apenas equações com grandezas reais.
A matriz Ybus, para redes de grande porte, é esparsa. Isto é, apresenta poucos
elementos não-nulos comparados ao número total de elementos nulos.
3.3 MATRIZ DE IMPEDÂNCIA DE BARRA
Em problemas de análise de curto-circuito, o interesse é sobre a distribuição das correntes
pós-falta imediatamente após uma falta. Este tipo de problema pode ser formulado como
inserindo-se uma fonte de tensão na barra sob falta, e considerando as demais com injeção
nula de corrente. Então é possível aproveitar as informações relativas sobre a matriz Ybus
para montar um sistema de equações, no qual se tem interesse em determinar as tensões
de barra. A partir dessas tensões, calcula-se a distribuição de correntes pelos elementos
de circuito.
Aqui, abordar-se-á somente cálculos envolvendo a seqüência positiva da rede. Con-
seqüentemente, para a análise de falta, é possível se determinar as correntes devido a uma
falta trifásica em um determinado barramento. No entanto, desde que a modelagem seja
feita adequadamente, por exemplo, levando em conta a influência de impedâncias mútuas,
a metodologia pode ser aplicada para outros tipos de falta.
A relação entre tensões de barra e corrente é calculada como segue.
V = Y−1b I (3.9)
Em (3.9), a inversa deve ser realizada implicitamente em caso de sistemas de grande
porte. Isto evita uso desnecessário de memória, uma vez que ainversa deYb é uma matriz
normalmente cheia.
Define-se a matriz inversa em (3.9) comoZb = Y−1b , a qual é conhecida também
como matriz de impedância de barra ou matriz Zbus. Estas designações são pelo fato da
matriz ser compostas por elementos que dependem de impedâncias de interconexões, ao
passo que a matriz Ybus é formada a partir de admitâncias.
EXEMPLO 3.2
No exemplo 3.1, calcule a matriz de impedância de barra associada ao sistema e a
corrente que flui da barra2 para 3 , quando uma corrente de 3 pu é injetada somente na
barra 1 .
50 3. MATRIZES DE REDE
SOLUÇÃO
A matriz Zbus é a inversa da Ybus. Assim
Zb = Y
−1
b =


0,0104− j4,0288 0,0115− j4,5226 −0,0115− j4,5683
0,0115− j4,5226 0,0126− j4,9749 −0,0126− j5,0251
−0,0115− j4,5683 −0,0126− j5,0251 0,0126− j4,9749


As tensões nos barramentos devido à injeção de uma corrente de 3 pu na barra 1 são
calculadas da seguinte forma:


V1
V2
V3

 =


0,0104− j4,0288 0,0115− j4,5226 −0,0115− j4,5683
0,0115− j4,5226 0,0126− j4,9749 −0,0126− j5,0251
−0,0115− j4,5683 −0,0126− j5,0251 0,0126− j4,9749




1
0
0


O resultado encontrado éV1 = 0,0104− j4,0288pu; V2 = 0,0115− j4,5226pu;
e V3 = −0,0115− j4,5683 pu. Então a corrente fluindo nessas condições da barra2
para 3 é
I23=
(0,0115− j4,5226)− (−0,0115− j4,5683)
0,05+ j0,1
+ j0,1(0,0115− j4,5226) = 0,9091pu
No capítulo seguinte será utilizada a abordagem da matriz Ybus para aplicação ao
problema de fluxo de carga em regime permanente.