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CORRELAÇÃO Luiz Eduardo Borges da Silva e Giscard F. S. Veloso UNIFEI Itajubá, Brazil Outubro - 2013 Introdução • A Correlação é uma operação semelhante a Convolução. • A diferença entre a Convolução e Correlação é que no primeiro caso o sinal a ser convoluído deve ser invertido e na Correlação isso não acontece, porém o algoritmo de cálculo é o mesmo • O objetivo da Correlação é determinar o grau de semelhança entre dois sinais. • Por exemplo a Correlação pode determinar se um dado sinal se encontra imerso em outro poluído com ruído e outras freqüências. • Reforçando: o objetivo é a determinar o grau de semelhança e não recriar o sinal Introdução - Cont. • A Correlação de um sinal com outro é denominada CORREAÇÃO CRUZADA (Cross-Correlation) • A Correlação de um sinal com ele mesmo é denominado AUTOCORRELAÇÃO (Auto-Correlation) • Ver livro: – Digital Signal Processing, Emmanuel C. Ifeachor, pag. 242 em diante. Notas sobre Correlação Cruzada • A amplitude de cada resultado obtido da CORRELAÇÃO CRUZADA (Cross-Correlation) é a medida de quanto o sinal recebido se assemelha ao sinal original na localização dada. • Isto significa que um pico irá ocorrer no resultado da Correlação Cruzada para cada sinal original presente no sinal recebido. • Em outras palavras o valor da Correlação Cruzada é maximizado quando o sinal original se alinha com as características do sinal recebido. • Valores negativos do sinal original também aparecerão como picos positivos no resultado da Correlação Cruzada. • O resultado da Correlação Cruzada tenta detectar a presença do sinal original e não recriar ele. Don't let the mathematical similarity between convolution and correlation fool you!!! They represent very different DSP procedures. Convolution is the relationship between a system's input signal, output signal, and impulse response. Correlation is a way to detect a known waveform in a noisy background. The similar mathematics is only a convenient coincidence. Aplicações de Correlação • Processamento de imagens onde várias imagens são comparadas. • Sistemas de Radar e Sonar para a determinação da posição e identificação dos objetos a distância. • Detecção e identificação de sinais imersos em ruído. • Engenharia de controle para observação do efeito das entradas nas saídas. • Identificação e códigos binários na técnica de modulação “Pulse Code Modulation”. • Cálculo da Potência Média em formas de ondas. • Climatologia. • Conceito de Correlação Comparando duas sequências de dados x(n) e t(n) Considere a possibilidade de que as sequencias possam possuir comprimentos diferentes Essencialmente se deseja saber se as duas se parecem e em que momento; mesmo havendo diferença de fase entre elas Exemplo de aplicação de Correlação - Radar Máquina de Correlação Máquina de Correlação K=0 Máquina de Correlação K=10 Máquina de Correlação K=20 Máquina de Correlação K=30 Máquina de Correlação K=40 Máquina de Correlação K=50 Máquina de Correlação K=53 Máquina de Correlação K=63 Fórmula da Correlação Cruzada 1 0 2112 )()()( N n knxnxkr Fórmula da Auto Correlação 1 0 1111 )()()( N n knxnxkr Conceito da Correlação Comparando duas sequências de dados Considere comparar duas sequências de dados: Como gerar um resultado que indique semelhança ou diferença entre as sequências? 128247314 545623124 2 1 x x Comparando duas sequências de dados 128247314 545623124 2 1 x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Conceito da Correlação - cont. Conceito da Correlação - cont. Uma solução seria: multiplicar amostras ponto a ponto e somar os produtos 45)()( =nxnx 21 Como interpretar este resultado? 5840128213216 128247314 545623124 2 1 x x Conceito da Correlação - cont. Interpretação da soma de produtos 121082421464 654121732 2 1 x x Comparando duas sequencias diretamente proporcionais Conceito da Correlação - cont. multiplicar as amostras ponto a ponto e somar os produtos 72503228298188 121082421464 654121732 2 1 x x 290)()( =nxnx 21 Conceito da Correlação - cont. Interpretação da soma de produtos 2015111196431 2015111196431 2 1 x x Comparando duas sequencias com tendência oposta Conceito da Correlação - cont. multiplicar as amostras ponto a ponto e somar os produtos 40022512112181361691 2015111196431 2015111196431 2 1 x x 1010)()( =nxnx 21 Conceito da Correlação - cont. Interpretação da soma de produtos 1510512413 516842173113 2 1 x x Comparando duas sequencias aleatórias Conceito da Correlação - cont. multiplicar as amostras ponto a ponto e somar os produtos 5808020211412119 1510512413 516842173113 2 1 x x 2)()( =nxnx 21 Conceito da Correlação - cont. Interpretação da soma de produtos Resultado das comparações Primeira Sequencia → Sequencia Proporcional → Sequencia Oposta → Sequencia Aleatória → 45)()( =nxnx 21 290)()( =nxnx 21 1010)()( =nxnx 21 2)()( =nxnx 21 Conceito da Correlação - cont. Interpretação da soma de produtos Para sequencias SEMELHANTES, como as proporcionais, tem-se que: • As amostras correspondentes tendem a ter o mesmo sinal e a soma será sempre crescente • A soma dos produtos será positiva • O módulo da soma dos produtos é um valor relativamente grande Conceito da Correlação - cont. Interpretação da soma de produtos Para sequencias SEMELHANTES PORÉM OPOSTAS, tem-se que: • As amostras correspondentes tendem a ter sinais opostos e a soma será sempre negativa • A soma dos produtos será negativa • O módulo da soma dos produtos é um valor relativamente grande Conceito da Correlação - cont. Interpretação da soma de produtos Para sequencias INDEPENDENTES, como as aleatórias, tem-se que: • A probabilidade dos sinais, entre as amostras, serem iguais ou opostos é a mesma fazendo a soma se cancelar • A soma dos produtos tende a zero • O sinal pode ser negativo ou positivo Conceito da Correlação - cont. Interpretação da soma de produtos A operação de multiplicar amostra por amostra e somar o resultado é denominada de CORRELAÇÃO e pode ser usada para comparar dois sinais. Coeficiente de Correlação Normalização da Soma de Produtos A Soma de Produtos pode sofrer influência dos seguintes fatores: Amplitude das Amostras Valor Médio do Sinal (offset) Tamanho da Amostra Uma forma de facilitar a comparação entre sinais muito diferentes é normalização Deseja-se obter um Coeficiente de Correlação que sempre estará sempre entre +1 e -1 Correlaçãodesignifica faseAntiCorrelaçãodesignifica Correlaçãodesignifica %0 %100 %100 0 1 1 Coeficiente de Correlação - cont. Para se obter um Coeficiente de Correlação igual a 1 será considerado a correlação de um sinal com ele mesmo. Coeficiente de Correlação - cont. 1N 0=n 2 1 1N 0=n 11 nx=nxnx=r ][ 1= C nx =r 1N 0=n 1 2 Deseja-se obter uma constante C que divida cada amostra de x 1 (n) tal que r seja igual a 1, logo: Executando as manipulações necessárias, vem: Coeficiente de Correlação - cont. ou 1N 0=n 2 2 1 C nx =1 1N 0=n 2 12 nxC 1 =1 1N 0=n 2 1 nx=C finalmente Executandoas manipulações necessárias, vem: Coeficiente de Correlação - cont. Para sinais diferentes como x1 e x2 1N 0=n 11 1N 0=n 1 C nx C nx = C nx =r 2 1N 0=n 2 2 1 1 C nx C nx =r Como: Coeficiente de Correlação - cont. Vem: 1N 0=n 2 11 nx=C 1N 0=n 2 22 nx=Ce 1N 0=n 21 21 1N 0=n 2 2 1 1 nxnx CC 1 = C nx C nx =r Substituindo as expressões encontradas, vem: Coeficiente de Correlação - cont. ou finalmente 1N 0=n 2 2 1N 0=n 2 1 1N 0=n 21 nxnx nxnx =r )()( )()( 1N 0=n 2 2 1N 0=n 2 1 1N 0=n 21 nxnx nxnx =r )()( )()( Exemplo-1 Comparando duas sequências iguais 545623124 545623124 2 1 x x 136=nxnx 8 0=n 21 11,66=nx=C=C 8 0=n 2 121 1= 11,6611,66 136 =r Exemplo-2 Comparando duas sequências iguais e opostas 545623124 545623124 2 1 x x 136=nxnx 8 0=n 21 11,66=nx=C=C 8 0=n 2 121 1= 11,6611,66 136 =r Exemplo-3 Do exemplo anterior → somando 8 em x1 e 6 em x2 12111283742 13123261171012 2 1 x x Exemplo-3 Do exemplo anterior → somando 8 em x1 e 6 em x2 12111283742 13123261171012 2 1 x x 288=nxnx 8 0=n 21 27,86=nx=C 8 0=n 2 11 51,0=20,3027,86 288 =r 20,30=nx=C 8 0=n 2 22 Exemplo-3 Com a adição do “offset” (8 em x1 e 6 em x2 ) o resultado sofreu variação significativa. Deveria dar -1 e deu 0,51. Isto foi devido as médias serem diferentes. As sequencias continuam sendo opostas somente possuem médias diferentes!!! Coeficiente de Correlação (compensado) Subtraindo as médias dos sinais 1N 0=n 2 1N 0=n 1 1N 0=n 21 xnxxnx xnxxnx =r 2 2 2 1 21 )()( )()( Na expressão final para o Coeficiente de Correlação é necessário subtrair as médias Exemplo-4 44,81x 56,52x médias dos sinais Do exemplo anterior → somando 8 em x1 e 6 em x2 12111283742 13123261171012 2 1 x x 1 0 1 N i ixN x Exemplo-4 cont. 1 59,1159,11 22,134 ==r 22,13421 1N 0=n 21 xnxxnx 59,11)( 21 =xnx=C 8 0=n 11 59,11)( 22 =xnx=C 8 0=n 22 coeficientes de normalização Exercícios propostos 1) Calcular a Correlação entre as sequencias abaixo: x1 = [ -3 11 -3 7 -21 -4 -8 -16 5] x2 = [3 1 4 2 1 -5 -10 5 -1] t10π2sin=x1 t10π2cos=x2 2) Calcular a Correlação entre as sequencias abaixo (com 100 amostras) Exercícios propostos - cont. 3) Calcular a Correlação entre as sequencias abaixo (com número de amostras livre) t15π22sin+t10π2sin=x1 t10π2sin=x2 Em uma forma mais geral Comparando duas sequências de dados Considere a possibilidade de que as sequencias possam possuir comprimentos diferentes O resultado irá depender essencialmente da diferença de fase entre uma sequencia e a outra. Fórmula da Correlação Cruzada 1 0 2112 )()()( N n knxnxkr Fórmula da Auto Correlação 1 0 1111 )()()( N n knxnxkr Para tornar o resultado da Correlação Cruzada mais independente da diferença de fase entre os sinais envolvidos na comparação. Lembrando que valor obtido denominado: COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO irá variar entre -1 e +1. 1 0 221112 )()( 1 )( N n xknxxnx N kr Inicialmente subtrai-se a média de cada amostra e divide-se o valor da Correlação Cruzada pelo número de elementos N Este procedimento é efetuado para cada deslocamento “k” de uma das sequencias em relação a outra 2 1 1 0 2 22 1 0 2 11 )( 1 )( 1 N n N n xnx N xnx N Ou Coeficiente de normalização: 2 1 1 0 2 22 1 0 2 11 )()( 1 N n N n xnxxnx N A expressão final normalizada para o Coeficiente de Correlação: 2 1 1 0 2 22 21 0 11 12 12 )()( )( )( N n N n xnxxnx kr k O Coeficiente de Correlação Cruzada 12(k) estará sempre entre +1 e -1 Correlaçãodesignifica faseAntiCorrelaçãodesignifica Correlaçãodesignifica %0 %100 %100 0 1 1 000022222)( 075,05,1615151590)( 000011111)( 025,05,0255530)( 876543210 4 3 2 1 nx nx nx nx n | | | | | | | | | Exemplo: Dado os sinais determinar o Coeficiente de Correlação ______________________________________________________ As sequencias (1 e 3, 2 e 4) são iguais com amplitudes diferentes Exemplo Os valores calculados para r12(k) e r34(k) sem extração da média: r12(k)=18 e r34(k)=108 Exemplo – cont. Os valores calculados para r12(k) e r34(k) extraindo a média: média x1 = 2,3055 média x2 = 0,5555 média x3 = 6,9166 média x4 = 1,1111 r12(k)=6,4722 e r34(k)=38,8333 Os valores dos Coeficientes de Correlação normalizados são: Os valores calculados para 12(1) e 34(1) são: 12(1)=0,6825 e 34(1)=0,6825 * Importante: Este resultado mostra que os sinais podem ser comparados independentemente dos valores absolutos dos dados 2 1 1 0 2 21 0 )()( )( )( N n jj N n ii ij ij xnxxnx kr k Nota: quando um sinal tiver uma característica aleatória, a Correlação dele com ele mesmo, isto é, a Auto-Correlação, irá produzir um valor de pico quando o atraso for zero e, com o aumento do atraso, o valor irá diminuir até apresentar uma flutuação entorno de zero. Relação entre Correlação e Energia Com alguma modificação pode ser apresentada como: Com x1(t) v(t) tensão e x2(t) i(t) corrente: 1 0 2112 )()( 1 )( N n knxnx N kr dttxtx T r T T 0 2112 )()( 1 lim)( Dada a expressão da Correlação: EnergiaWdttitv T r T 012 )()( 1 )( 1 0 2 11 )( 1 )0( N n xdeEnergiaWnx N r Da mesma forma: Energia total contida no sinal x(n) Nota: - No MatLab o coeficiente de correlação é calculado através do comando “ corrcoef ” Aplicações de Correlação*: - Detecção e Estimação de sinais periódicos imersos em ruídos. - Detecção e Implementação e Matched Filter - Determinação da Resposta ao Impulso de Sistemas Elétricos. * Digital Signal Processing, Emmanuel C. Ifeachor página 258 FIM
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