CalculoI-Unificado-lista1-pre-calculo

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Cálculo I � IM � UFRJ
Lista 1: Pré-Cálculo
Prof. Marco Cabral
Versão 10.03.2018
Para o Aluno
O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chama-
remos de pré-cálculo. Quanto antes foram revistos e dominados melhor. Recomendamos que o aluno,
além de fazer esta lista, estude e revise estes tópicos utilizando livros do ensino médio ou Cálculo e a
Internet.
Outro ponto importante é aprender a ESCREVER Matemática. No ensino médio a ênfase é em
fazer contas. Na Universidade é em saber os CONCEITOS e TEOREMAS e saber escrever sobre eles.
Note em Matemática a importância da precisão na linguagem: para todo, existe algum, implica, se,
e somente se, etc. Na linguagem usual se diz �todo� querendo dizer �quase todo� ou muitos. Em
Matemática isto é imperdoável. Não confunda implicação (se isso então aquilo) com equivalência (se, e
somente se). Se diz para todo, existe pelo menos um, com probabilidade maior que 80% (seria um �quase
todo�), etc. Assim acostume-se a dissertar sobre os tópicos, a saber explicar seu raciocínio. NUNCA a
resposta a uma questão deve ser composto somente de números: tem que aparecer o raciocínio escrito e
bem redigido. Experimente ir no quadro e explicar a resolução para algum colega. Na resposta escrita
nas avaliações a ausência de texto explicativo resulta em receber zero no item.
Recomendamos o uso de softwares: (a) para visualização de grá�cos (uma sugestão é fooplot, que
é um site que plota grá�cos sem precisar instalar programa). (b) CAS (computer algebra system) que
faz manipulações algébricas (sugerimos maxima, que tem versão para Linux e Windows).
Tópicos do Pré-Cálculo
1. Aritmética e Álgebra.
(a) Propriedades de potências de mesma base e de raízes. Potências fracionárias e negativas.
(b) Racionalizar expressões algébricas envolvendo raízes.
(c) Divisão de polinômios. Notação utilizada para o conjunto de polinômios de uma variável
com coe�cientes em R é R[x], em duas variáveis com coe�cientes em Q é Q[x, y] (tipo
3xy − 4x2 + 3x4y2/4).
(d) Teorema de D'Alambert: Se a é raiz de um polinômio, então ele é divisível por x− a.
(e) Signi�cado de somatórios, como por exemplo
3∑
i=1
(i2−5i) = (12−5·1)+(22−5·2)+(32−5·3).
(f) Produtos notáveis: (a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2 e (a+ b)(a− b) = a2 − b2.
2. Funções.
(a) Domínio, imagem e contradomínio de função. Notação utilizada para o conjunto de funções
de A em B é F(A;B), por exemplo a função log pertence a F((0, ∞); R).
(b) Funções de�nidas por palavras, por grá�cos, por tabelas e por fórmulas explícitas. Função
de�nida por partes.
(c) Composição de funções.
(d) Função injetiva, sobrejetiva, crescente/decrescente.
(e) Grá�cos de funções. Translação de grá�co de funções (horizontal e vertical).
(f) Quando uma curva no plano é o grá�co de uma função? Teste da reta vertical. Dado o
grá�co de uma função, quando (e onde) ela possui inversa? Teste da reta horizontal.
(g) Função par/impar: de�nição e simetrias no grá�co.
1
(h) Função inversa e seu grá�co, obtido por re�exão em torno da reta y = x. Exemplos impor-
tantes: arcsen, arctan, log x e
√
x (não é verdade que arsen x é igual a
1
senx
!).
(i) Sinal de funções racionais, função da forma f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q são polinômios. Técnica:
Quadro de sinais.
(j) Máximo e mínimo de função do segundo grau em intervalos fechados (pode estar nos extre-
mos). Completar quadrado para isso.
(k) Funções logaritmo e exponencial. Propriedades básicas (soma/produto). Grá�co da expo-
nencial e do log (vide item função inversa acima) usando que uma inversa da outra. De-
terminar do grá�co o domínio e a imagem do log e da exponencial. Observação: loge = ln.
Em cálculo log = ln, embora para alguns autores log = log10. Ao longo do Cálculo será
explicado porque utilizamos e como base do logaritmo.
(l) Funções Trigonométricas. Trigonometria do ângulo agudo. Domínio e imagem do seno,
cosseno e tangente. Ângulo medido em radianos (em Cálculo esta é a unidade conve-
niente). Comprimento do arco de círculo. Determinar quadrante de ângulo no círculo
trigonométrico. Saber determinar sinal e/ou valor de seno, cosseno e tangente de ângulo
qualquer. Saber localizar no círculo trigonométrico seno, cosseno, tangente. Proprieda-
des básicas: sen(−x) = − senx, cos(−x) = cosx. sen(a ± b) = . . ., cos(a ± b) = . . . etc.
sen2(x) + cos2(x) = 1.
(m) Função Módulo. De�nição: |x| =
{
x, x ≥ 0,
−x, x < 0.
Grá�co do módulo de uma função, como por exemplo, grá�co de y = |(x− 1)(x− 2)|.
3. Geometria Analítica no Plano Básica.
(a) Equação da reta no plano: signi�cado geométrico do coe�ciente angular (incluindo como
determinar que 2 retas são perpendiculares entre si pelo coe�ciente angular), saber calcular
equação da reta que passa em dois pontos no plano, e que passa em um ponto com certo
coe�ciente angular
(b) Saber calcular interseção entre: duas retas (= resolver sistema linear); reta e equação do 2o
grau; duas equações do 2o grau.
(c) Equação do círculo no plano.
(d) Distância entre dois pontos no plano e Pitágoras. Função módulo e distância.
(e) Dada equação geral do segundo grau em 2 variáveis, determinar centro do círculo e raio;
semi-eixos das elipses. Técnica: completar quadrado.
Exercícios
• Aritmética e Álgebra.
1. Determine k e m se 27 · 322 = 3−k e 25 · 5
2m+1
5−3
= 5−2.
2. Escreva 27 4
√
413915 na forma 2x3y.
3. Determine p, q inteiros tais que
811/4
9−1/2
× 3
−3
30
=
p
q
.
4. Escreva expressão equivalente a
3
√
x+ 1
1 +
√
x
sem raiz no denominador (racionalize).
5. Determine o quociente e o resto da divisão de x4 − 3x2 + x+ 1 por x2 − 1.
6. (Veri�que o Teorema de D'Alambert.) Veri�que que −2 é raiz de x3 + 4x2 − 11x − 30.
Aplique o teorema de D'Alambert para dividir o polinômio e obter TODAS raizes.
2
7. Determine o valor de
5∑
i=2
(2i+ 1).
8. Calcule (a+ b)2 − (a− b)2.
9. Prove (Teorema de D'Alambert) que se a é raíz do polinômio p então existe um polinômio
q tal que p(x) = (x− a)q(x). Siga o roteiro abaixo:
(a) Divida o polinômio p pelo polinômio (x − a). Pelo algoritmo da divisão de polinômios
existem polinômios q e r tais que p(x) = q(x)(x− a) + r(x).
(b) Como o dividendo (x − a) tem grau 1, r tem grau 0, ou seja, é uma constante. Assim
r(x) = C.
(c) Use o fato que a é raíz para concluir que C = 0, obtendo o resultado.
• Funções.
1. Determine imagem da função g(x) = (3− x)2 − 5.
2. Determine o domínio da função g(x) =
log(1− x)
1−
√
x+ 2
.
3. Dado x ∈ R, de�na f(x) como o maior inteiro menor que x. Determine: f(π) e f(−π).
Esta função é injetiva? É sobrejetiva? Qual sua imagem?
4. Esboce o grá�co de:
(a) f(x) =
{
x2, se x < 1,
4− 3x, se x ≥ 1.
(b) f(x) =
{
−
√
9− x2; |x| ≤ 3
|x| − 3; |x| > 3.
(c) f(x) =
{√
x− 1; x ≥ 1;
log(x) + 1; x < 1.
5. Se f(x) = 3x− 1 e g(x) = 5x2 − 4, determine: g(f(x)) e f(g(x)).
6. Determine o maior intervalo contendo −10 onde f(x) = (x+1)2+1 é injetiva. Esta função
é sobrejetiva?
7. Determine, caso seja possível, TODOS intervalos onde é crescente:
(a) f(x) = 9− x2. (b) f(x) = 6− 2x. (c) f(x) = log(x)− 4.
(d) f(x) = 3x− 7. (e) f(x) = sen(x)− 4. (f) f(x) = e−x.
8. Baseado no grá�co de f(x) = x2, esboce o grá�co de g(x) = (x+ 2)2 − 3.
9. Esboce os grá�cos de f(x) =
1
x
e f(x) =
1
x2
. Elas são funções par ou impar?
10. Esboce o grá�co de f(x) =
√
x e, fazendo translações, de g(x) = 3 +
√
x+ 4.
11. Determine intervalos do eixo x onde a curva abaixo pode representar o grá�co de uma função
y = f(x).
2
x
y
12. Considere o grá�co de g da �gura abaixo.
(a) Determine intervalos onde g é injetiva.
(b) Nestes intervalos pode-se de�na uma função inversa g−1. Determine o domínio de g−1
associado a estes intervalos.
2
g(x)
−1 2 x
y
3
13. Esboce o grá�co de f(x) = x3 e f(x) = x4 (são semelhantes ao de x e x2 respectivamente).
Baseado nestes grá�cos, esboce o grá�co das inversas 3
√
x, 4
√
x (re�exão em torno da reta
y = x).
14. Baseado no grá�co de f(x) = ex, esboce o grá�co da sua inversa log x (re�exão em torno
da reta y = x).
15. Faça o estudo de sinaldo numerador e denominador para determinar os valores de x que
satisfazem as desigualdades: (a)
3− x2
x2 − 1
≥ 0; (b) x
3 − 1
x(x2 − 4)
≤ 0.
16. Determine intervalos onde é positiva e onde é negativa cada função abaixo.
(a) f(x) =
x2 + 5x+ 6
1− x2
. (b) g(x) =
x(x+ 2)
1− x2
.
17. Determine o máximo e mínimo de f(x) = (x− 1)2 +2 nos intervalos: (a) [0, 3]. (b) [2, 3].
18. Determine a ∈ R se log10(1003a · 10) = 9.
19. Determine o valor de: (a) e0. (b) log 0. (c) ln 1. (d) ln e. (e) eln 3. (f) ln(e5).
20. Determine o valor de: (a) sen(3π/2). (b) cos(3π). (c) tan(3π/4). (d) cos(5π/4).
21. Expresse log5 30 utilizando ln.
22. Determine em qual quadrante do círculo trigonométrico �ca o ângulo (em radianos):
(a) 32π/3. (b) 13π/4. (c) −21π/5.
23. Determine o sinal de seno e cosseno de β = π − 1 e θ = 1 + 3π/2.
24. Sabendo que senβ = −2/3, determine valores possíveis para cosβ.
25. Sabendo que tan γ = −5 e que cos γ > 0, determine sen γ.
26. Determine em termos de sen a e cos a (utilizando fórmulas de sen(a+ b) e cos(a+ b)):
(a) cos(3a) e (b) sen(−4a).
27. Aplique a de�nição do módulo para esboçar o o grá�co de:
(a)
cosx
| cos(x)|
; (b)
√
|x|.
28. Partindo de grá�co de funções simples (±x2,
√
x, log(x)), utilizando translações verticais
e/ou horizontais e/ou re�exões, esboce o grá�co de:
(a) y = 1 +
√
x (b) y = log(x− 1) + 2; (c) y = |(x+ 1)(x+ 2)|.
29. Determine as raízes de 3x2 − 5x+ 2 completando o quadrado.
30. Um erro comum é achar que
√
x2 é igual a x para todo x ∈ R.
(a) Porque isso não é verdade?
(b) Determine
√
x2 utilizando a função módulo.
(c) Determine uma expressão para (
√
x)2. Ela é válida para todo x?
31. Veri�que se
√
x4 + x2 = x
√
x2 + 1 para todo x ∈ R.
32. Veri�que se é verdade que para todo x ∈ R:
(a)
x2 − 4
x+ 2
= x− 2. (b) x
3 + x
x2 + 1
= x. (c)
x3 + x
x
= x2 + 1.
33. ConsidereM2(R) o conjunto das matrizes quadradas 2× 2 com entradas em R e a função
determinante que associa a cada M2(R) um elemento de R. Determine se esta função é
injetiva e qual sua imagem. Escreva o símbolo de um conjunto a que pertence esta função.
34. Considere a função que associa a cada p ∈ Z[x] o elemento p(1) + p(0) de Z . Determine se
esta função é injetiva e qual sua imagem. Escreva o símbolo de um conjunto a que pertence
esta função.
35. Determine TODOS valores de x tais que:
(a) tan(3x) > 0. (b) cos(10x+ 1) < 0.
36. Determine um intervalo para x onde:
(a) sen(x2 + x) > 0. (b) log(4− x2) < 0.
4
37. Determine o domínio e a imagem de:
(a) log(x2 + 3x+ 4). (b) log(x2 + x− 2). (c) tan(5x+ 2).
(d) sen(3x− x2 + 4). (e) log(tan(5x+ 1)).
• Geometria Analítica no Plano Básica.
1. Ordene as retas de acordo com seu coe�ciente angular:
3y − 2x+ 4 = 0, 3x+ 2y = 4, 5x+ 3y = 0.
2. Determine a equação da reta que passa em (1, 2):
(a) e em (−2, 3). (b) com coe�ciente angular 2. (c) perpendicular à reta 3y + 2x = 1.
3. Determine a interseção (todos os pontos) entre o grá�co de y = x2 + x − 2 e o grá�co de:
(a) 2y − x+ 1 = 0. (b) y + x2 − x = 0.
4. Determine a distância entre os pontos do plano (−2, 1) e (4,−1).
5. Determine todo a, x ∈ R tal que: (a) |a+ 2| = 4. (b) |x− 2| < |x+ 1|.
6. Determine a equação do círculo com centro em (−3, 5) ∈ R2 e raio 7.
7. Determine se é círculo ou elipse. Caso seja círculo qual o centro e raio, caso elipse o tamanho
dos semi-eixos: (a) 2x2 + 16x+ 6 + 2y2 = 0. (b) 6x2 − 32x+ 4 + y2 + 4y = 0.
5
Respostas dos Exercícios
• Aritmética e Álgebra.
1. k = −25, m = −4.
2. x = 13/2, y = 21/2.
3. p = 1, q = 3.
4.
−3x+ 2
√
x+ 1
1− x
, obtida multiplicando numerador e denominador por 1−
√
x.
Com maxima: expand((3*sqrt(x)+1)*(1-sqrt(x)));
5. Quociente: x2 − 2, resto: x− 1. Com maxima: divide(x^4 - 3*x^2 +x + 1, x^2-1);
6. Raizes: −2,−5, 3. Como −2 é raiz, divida polinômio por (x − (−2)) = x + 2. Obtenha polinômio
do 2o grau e determine suas raizes.
7. 32. Com maxima: sum(2*i+1, i, 2, 5);
8. 4ab.
• Funções.
1. [−5,∞) pois g(x) ≥ −5 para todo x (note que (3− x)2 é sempre não-negativo).
2. Resposta: os intervalos [−2, −1) e (−1, 1). Como existe logaritmo somente de números positivos,
1−x deve ser positivo, ou seja, 1−x > 0, logo 1 > x. Por outro lado, x+2 ≥ 0, logo x ≥ −2. Além
disso o denominador não pode se anular: 1−
√
x+ 2 6= 0, o que implica x 6= −1. Assim 1 > x > −1
ou −1 > x ≥ −2.
3. f(π) = 3 e f(−π) = −4. Não é injetiva pois f(π) = f(3, 5). Não é sobrejetiva pois a imagem é
somente os inteiros: Imagem de f : Z.
4.
1−1 x
y
(a) f(x) =
{
x2, se x < 1,
4− 3x, se x ≥ 1.
x
y
−3 3
−3
(b) f(x) =
{
−
√
9− x2; |x| ≤ 3
|x| − 3; |x| > 3.
x
y
1
1
(c) f(x) =
{√
x− 1; x ≥ 1;
log(x) + 1; x < 1.
5. g(f(x)) = 45x2 − 30x+ 1 e f(g(x)) = 15x2 − 13.
Com maxima: f(x) := 3*x-1; g(x) := 5*x^2-4;expand(f(g(x)));
6. (−∞, −1), pois a função é decrescente (e portanto injetiva) para x < −1. Basta ver que seu vértice
é em x = −1. Não é sobrejetiva pois sua imagem é somente o intervalo (1, ∞).
7. (a) (−∞, 0). (b) Sempre decrescente. (c) (0, ∞). (d) (−∞, ∞) = R. (e) Em (−π/2, π/2) é
crescente. De forma geral em (2kπ − π/2, 2kπ + π/2) para todo k ∈ Z. (f) Sempre decrescente.
8. Basta transladar em 3 unidades verticalmente �para baixo� e 2 unidades para �esquerda�. Veja
grá�cos utilizando algum software (como o fooplot). Experimente modi�car o 2 e 3 para ver efeito
no programa.
6
9. Faça um tabela de valores e veri�que o que ocorre quando x �ca próximo de 0 (por exemplo
1/100, 1/103, 1/105 e −1/100, −1/103, −1/105,−1/1000) e também muito grande em módulo
� �próximo� de ±∞ (por exemplo 102, 103, 105 e −102, −103, −105). Depois (somente após tentar
pela tabela) veja os grá�cos utilizando algum software (como o fooplot). A função 1/x é impar e
1/x2 é par. Veja que são similares 1/x3, 1/x4, . . ..
10. Partindo do grá�co de x2, re�ita o grá�co na reta y = x para obter grá�co de
√
x. Depois faça
translações para obter o grá�co de g(x) = 3 +
√
x+ 4. Veja os grá�cos de y = x2, y =
√
x e y = x
utilizando algum software (como o fooplot) para ver a re�exão.
11. (−∞, 0) ou (2, ∞). Note que no intervalo (0, 2) para cada x existem 3 valores distintos para y.
Assim, para x ∈ (0, 2) não podemos de�nir uma função y = f(x).
12. (a) (−∞, −1), (−1, 2) e (2, ∞). (b) Pelo grá�co pode-se ver que a imagem destes intervalos são,
respectivamente, os intervalos: (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Logo domínios possíveis para g−1 (não
será a mesma função!): (−∞, 2), (0, 2) e (0, ∞). Comprove a existência de mais de uma inversa
observando que existem três possibilidades para g−1(1): aproximadamente −2, 1 e 3 pelo grá�co.
13. Faça um tabela de valores positivos e negativos. Depois (somente após tentar pela tabela) veja os
grá�cos com algum software (como o fooplot). Obtenha inversas por re�exão. Veja os grá�cos de
y = x3, y = x1/3 = 3
√
x e y = x utilizando algum software (como o fooplot) para ver a re�exão.
14. Veri�que com algum software (como o fooplot) plotando y = exp(x) = ex, y = log(x) e y = x.
15. (a) Análise de dois termos quadráticos. Será positiva em [−
√
3,−1) e em (1,
√
3]. (b) O termo
x3 − 1 possui a raiz 1. Pelo Teorema D'Alembert pode ser fatorado por x − 1. Fazendo divisão
de polinômios obtemos que x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1). Calculando Delta, vemos que o segundo
polinômio possui 2 raízes complexas. Como a > 0, o termo x2 + x + 1 ≥ 0. Fazendo quadro de
sinais com x− 1, x e x2− 4 (podemos ignorar o termo sempre positivo x2+x+1) obtemos que será
negativa em (−2, 0) e [1, 2).
16. (a) Positiva nos intervalos (−3, −2) e (−1, 1). Negativa em x < −3 ou −2 < x < −1 ou x > 1.
(b) Positiva nos intervalos (−2, −1) e (0, 1). Negativa em x < −2 ou −1 < x < 0 ou x > 1. Com
maxima: load("solve_rat_ineq"); solve_rat_ineq((x*(x+2))/(1-x^2)<0);
17. O vértice da parábola tem coordenada x = 1. (a) Mínimo em x = 1, com f(1) = 2, máximo em
x = 3 com f(3) = 6 (veja que f(0) = 3 < f(3) = 6). (b) Comparando valor de f nos extremos (o
vértice não pertence ao intervalo): Mínimo em x = 2, f(2) = 3, máximo em x = 3, f(3) = 6.
18. a = 4/3.
19. (a) e0 = 1. (b) log 0 nãoexiste. Mas quando x se aproxima de 0 pela direita (isto é x > 0), log x se
aproxima de −∞. Veja grá�co de log próximo do 0. (c) ln 1 = 0. (d) ln e = 1.
(e) eln 3 = 3. (f) ln(e5) = 5.
20. (a) sen(3π/2) = −1. (b) cos(3π) = −1. (c) tan(3π/4) = −1. (d) cos(5π/4) = −
√
2/2.
21. Por propriedade do logaritmo, log5 30 =
ln 30
ln 5
.
22. (a) 2o quadrante pois 32π/3 = 2π/3 + 5 · 2π e 2π/3 está no 2o quadrante. (b) 3o quadrante pois
13π/4 = π + π/4 + 2π. (c) 4o quadrante −21π/5 = −2 · 2π − π/5.
23. Como β está no 2o quadrante e θ no 4o, senβ > 0, cosβ < 0, sen θ < 0, cos θ > 0.
24. cosβ = −
√
5/3 ou cosβ =
√
5/3. No maxima: solve(x^2 + (-2/3)^2=1);.
25. sen γ = −5/
√
26. Dica: utilizar 1 + tan2 x = sec2 x = 1/ cos2 x.
26. (a) cos(3a) = cos3 a− 3 cos a sin2 a e (b) sen(−4a) = 4 cos a sin3 a− 4 cos3 a sin a.
No maxima: trigexpand(cos(3*a)).
27. (a) a função alterna entre 1, quando cos(x) > 0, e −1, quando cos(x) < 0. Nos pontos onde
cos(x) = 0 ela não está de�nida.
x
y
f(x) =
cos(x)
| cos(x)|
− 5π2 −
3π
2
−π2
π
2
3π
2
5π
2
y = 1
y = −1
7
(b)
x
y
f(x) =
√
|x|
28. (a) Translação vertical de uma unidade do grá�co de
√
x.
x
y
(a) y = 1 +
√
x
1
(b) translação horizontal do log por uma unidade seguido por translação vertical de duas unidades
(faça duas �guras antes de obter a resposta abaixo).
x
y
(c) y = log(x− 1) + 2
1 2
2
(c) Raízes do polinômio: −1,−2. Esboce o grá�co da parábola (x + 1)(x + 2) e depois re�ita em
torno do eixo x (efeito do módulo).
x
y
−2 −1
(e) y = |(x+ 1)(x+ 2)|
29. Completando o quadrado obtemos 3(x−5/6)2 = 1/12. Logo x−5/6 = ±1/6. Assim x = 5/6±1/6.
Logo x = 1 ou x = 2/3.
30. (a) Para x < 0 isso não vale. Por exemplo para x = −2:
√
(−2)2 =
√
4 = 2 6= −2. (b)
√
x2 = x
para x > 0 e
√
x2 = −x para x < 0. Assim
√
x2 = |x| em todos os casos. (c) Note que
√
x somente
tem sentido para x ≥ 0. E neste caso (
√
x)2 = x para x ≥ 0.
31. Errado. O correto é
√
x4 + x2 = |x|
√
x2 + 1 pois
√
x2 = |x|. Para x > 0 é correto, mas para x < 0
não (veri�que!).
32. (a) Expressão correta para x 6= −2 pois senão obtemos divisão por zero. É análogo a x/x = 1 para
x 6= 0. Para x = 0 a expressão x/x não está de�nida por envolver divisão por zero. Neste sentido
x/x = 1 quando está de�nida. (b) Neste caso não temos divisão por zero no denominador e de fato
a expressão é verdadeira para todo x ∈ R. Se considerarmos os complexos ela não está de�nida para
x = ±i. (c) Verdadeira somente para x 6= 0.
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33. Ela não é injetiva pois duas matrizes distintas podem ter o mesmo determinante. Crie um exemplo.
Sua imagem é o R basta considerar a matriz com todos elementos nulos exceto na diagonal, com 1
e k ∈ R qualquer. Esta matriz terá determinante k. A função determinante pertence ao conjunto
F(M2(R); R), que associa a cada matriz (um elemento deM2(R)) um número real.
34. Não é injetiva pois p(x) = x e q(x) = 1−x possuem a mesma imagem e são diferentes. Sua imagem
é Z pois pode-se considerar p(x) = kx, com k ∈ Z e a função levará em k ∈ Z qualquer. Esta função
pertence ao conjunto F(Z[x]; Z).
35. (a) tan y > 0 se y ∈ (kπ, kπ + π/2) para k ∈ Z. Assim queremos que kπ < 3x < kπ + π/2 ou
kπ/3 < x < kπ/3 + π/6 para algum k ∈ Z.
(b) Para o cosseno 2kπ + π/2 < 10x + 1 < 2kπ + 3π/2. Logo kπ/5 + π/20 − 1/10 < x < kπ/5 +
3π/20− 1/10.
36. Como está pedindo um intervalo, não vamos gerar todos. (a) Esboce o grá�co do argumento do seno
x2 + x. É parábola que passa em 0 e −1. Como sen y > 0 se 0 < y < π/2, podemos resolver 0 <
x2+x < π/2. Vendo o grá�co vemos que x > 0 e no máximo devemos ter x2+x = π/2. Resolvendo
esta equação e considerando somente a solução positiva obtemos que 0 < x < (
√
2π + 1− 1)/2.
(b) Como o log é negativo para o argumento menor que 1 obtemos 0 < 4−x2 < 1. Assim 0 < 4−x2
e 3 − x2 < 0. A solução (esboce os grá�cos!!!! Cuidado com INEQUAÇÃO do 2o grau!) da 1a é
x ∈ (−2, 2) e da 2a é x >
√
3 ou x < −
√
3. Assim x ∈ (
√
3, 2) ou x ∈ (−2, −
√
3).
37. (a) Domínio é obtido resolvendo x2+3x+4 > 0. Como possui raízes complexas e concavidade para
cima, concluímos que domínio é x ∈ R. Para imagem note que esta parábola possui um mínimo
(complete quadrado) para x = −3/2. Assim o argumento de log varia de 7/4 até in�nito e a imagem
é (log(7/4), ∞).
(b) Raízes do polinômio são 1 e −2, concavidade para cima. Assim domínio é x > 1 ou x < −2.
Aqui o argumento varia de 0 a in�nito. Logo imagem é R.
(c) A única restrição é que 5x + 2 6= kπ + π/2. Assim o domínio é x 6= kπ/5 + π/10 − 2/5. Como
todos valore entre −π/2 e π/2 serão percorridos, a imagem é R.
(d) Domínio é R pois seno não possui restrição nos argumentos. Como a parábola vai percorrer
todos valores negativos (concavidade para baixo), vai percorrer por exemplo [−π, 0], a imagem será
[−1, 1].
(e) Para log estar de�nido precisamos que tan(5x+1) > 0. Assim kπ < 5x+1 < kπ+ π/2, ou seja,
o domínio é kπ/5−1/5 < x < kπ/5+π/10−1 para algum k ∈ Z. Como tan assumirá todos valores
positivos, a imagem será R.
• Geometria Analítica Básica.
1. Maior coe�ciente para menor: 3y − 2x+ 4 = 0 (2/3), 3x+ 2y = 4 (−3/2) e 5x+ 3y = 0 (−5/3).
2. (a) y = 7/3− x/3. (b) y = 2x. (c) y = (3x+ 1)/2.
3. (a) x = 1, y = 0 e x = −3/2, y = −5/4. (b) x = −1, y = −2 e x = 1, y = 0. No maxima:
algsys([y=x^2 + x-2, x^2 + y -x=0], [x,y]);.
4. 2
√
10.
5. (a) R: a = −6 ou a = 2. Dica: distância de a até −2 deve ser 4.
(b) R: x > 1/2.
Dica 1: Separe em casos: se x − 2 > 0 . . . e se x − 2 < 0. Em cada um destes casos existem 2
subcasos: x+ 1 > 0 ou x+ 1 < 0. Alguns destes casos não tem solução alguma.
Dica 2: Em termos de distância, x deve estar mais perto de 2 do que de −1. Faça uma �gura.
6. (x+ 3)2 + (y − 5)2 = 49.
7. (a) Completando o quadrado obtemos (x+4)2+y2 = 13: círculo com centro em (−4, 0) e raio
√
13.
(b) Completando o quadrado obtemos a elipse transladada 6(x−8/3)2+(y+2)2 = 128/3. Dividindo
por 128/3 obtemos os semi-eixos a = 8/3 e b =
√
128/3 pois
(
x− 8/3
a
)2
+
(
y + 2
b
)2
= 1.
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