Pré calculo - precalculo

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Curso de Pré-Cálculo
Prof. Milton de L Oliveira
13 de maio de 2020
2
Caṕıtulo 1
Conjuntos numéricos
1.1 Representação de conjuntos numéricos
O conjunto dos números naturais são: N = {1, 2, 3, · · · }. O conjunto dos números inteiros são:
Z = {· · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · · }. O conjunto dos números racionais são:
Q = {a
b
| a, b são inteiros, e b 6= 0}.
O conjunto dos números reais é formado pelo conjunto dos números racionais e o conjunto dos
números irracionais sendo este último como o conjunto dos números que são reais mas não são
racionais, como por exemplo, o número
√
2, o número π, o número e, entre outros. Todos os números
reais, podem ser escritos na forma decimal, ou seja, 3/5 = 0, 6, 8/11 = 0, 7272727272 · · · ,
√
3 =
1, 7320508 · · · , π = 3, 14159265 · · · . Para representar os números reais consideramos uma reta horizontal
e marcamos o número real zero, que é a origem, onde os números positivos estão à direita do zero e os
negativos à sua esquerda. Veja figura.
Entre dois números reais existem sempre infinitos números reais.
1.1.1 Ordenação
O conjunto dos números reais é ordenado. Então podemos sempre comparar dois números reais que
não são iguais usando desigualdades, podemos dizer que um é menor ou maior do que o outro.
Śımbolo Definição Leitura
a > b a− b é positivo a é maior que b
a < b a− b é negativo a é menor que b
a ≤ b a− b é negativo ou zero a é menor ou igual a b
a ≥ b a− b é positivo ou zero a é maior ou igual a b
Geometricamente, a > b significa
que a está à direita de b (de modo equivalente, b está à esquerda de a) na reta dos números reais.
Observação 1 (Lei da Tricotomia). Sejam a e b dois números reais quaisquer. Somente uma das
seguintes expressões é satisfeita
a < b a = b a > b
Desigualdades podem ser usadas para descrever intervalos de números reais. Tais como no
exemplo abaixo.
Exemplo 1. Descreva e represente os intervalos de números reais para as desigualdades.
(a)x < 3 (b)− 1 < x ≤ 4.
3
4 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Solução:(a) A desigualdade x < 3 descreve todos os números reais menores que 3. (b) A dupla
desigualdade −1 < x ≤ 4 representa todos os números reais entre −1 e 4, excluindo −1 e incluindo 4.
Como foi mostrado no exemplo acima, desigualdades definem intervalos sobre a reta real. Nós usamos
a notação exemplificada por [2, 5] para descrever um intervalo limitado que representa o conjunto
{x ∈ R| 2 ≤ x ≤ 5}. Além de limitado, esse intervalo é fechado porque contém os extremos 2 e 5.
Existem quatro tipos de intervalos limitados.
Intervalos limitados de números reais
Sejam a e b números reais com a < b.
Notação de Intervalo Tipo de Intervalo Notação da desigualdade
[a, b] Fechado a ≤ x ≤ b
]a, b[ Aberto a < x < b
[a, b[ Fechado à esquerda e aberto à direita a ≤ x < b
]a, b] Aberto à esquerda e fechado à direita a < x ≤ b
Os números a e b são os extremos de cada intervalo.
O
intervalo de números reais determinado pela desigualdade x < 2 pode ser descrito pelo intervalo infinito
]−∞, 2[. Este intervalo é aberto, pois não contém seu extremo 2. O intervalo ]−∞,+∞[ representa
toda a reta R. Os intervalos infinitos podem ser:
Intervalos ilimitados de números reais
Sejam a e b números reais.
Notação de Intervalo Tipo de Intervalo Notação da desigualdade
[a,+∞[ Fechado x ≥ a
]a,+∞[ Aberto x > a
]−∞, b] Fechado x ≤ b
]−∞, b[ Aberto x < b
Cada intervalo tem exatamente um extremo que é a ou b.
Exemplo 2. Converta a notação para a desigualdade ou o contrário. Encontre os extremos e verifique
se o intervalo é limitado, seu tipo e a representação gráfica.
(a) [−4, 5[ (b) ]−∞,−1[ (c) − 3 ≤ x ≤ 4
Solução: (a) O intervalo [−4, 5[ corresponde a −4 ≤ x < 5, é limitado e é do tipo fechado à
esquerda e aberto à direita. Os extremos são −4 e 5. (b) O intervalo ]−∞,−1[ corresponde a x < −1,
não é limitado e é aberto. O extremo é −1. (c) A desigualdade −3 ≤ x ≤ 4 corresponde a um intervalo
fechado e limitado, dado por [−3, 4]. Os extremos são −3 e 4.
1.1.2 Propriedades básicas da álgebra
A álgebra envolve o uso de letras e outros śımbolos para representar números reais. Uma variável
é uma letra ou śımbolo (por exemplo, x,y, α) que representa um número real não espećıfico. Uma
constante é uma letra ou śımbolo (por exemplo, 2,-1, π) que representa um número real espećıfico.
Uma expressão algébrica é a combinação de variáveis e constantes envolvendo adição, subtração,
multiplicação, divisão , potências e ráızes. Apresentamos algumas das propriedades das operações
aritméticas de adição, subtração, multiplicação e divisão, representadas pelos śımbolos +,−,×(ou·)
e ÷(ou/), respectivamente.Adição e multiplicação são operações primárias. Subtração e divisão são
definidas em termos de adição e multiplicação.
Subtração: a− b = a+ (−b)
Divisão: a÷ b = a · 1
b
, b 6= 0.
Nas duas definições, −b é a inversa aditiva ou oposto de b e 1
b
é a inversa multiplicativa ou
rećıproco de b
Propriedades da álgebra
1.1. REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS NUMÉRICOS 5
Sejam u, v e w números reais, variáveis ou expressões algébricas
1. Propriedade comutativa: Adição: u+ v = v + u Multiplicação: uv = vu
2. Propriedade associativa: Adição: (u+ v) + w = u+ (v + w) Multiplicação: (uv)w = u(vw)
3. Propriedade de existência do elemento neutro: Adição: u+ 0 = u Multiplicação: u · 1 = u
4. Propriedade do elemento inverso: Adição: u+ (−u) = 0 Multiplicação: u · 1
u
= 1, u 6= 0
5. Propriedade distributiva: Multiplicação com relação à adição: u(v + w) = uv + uw
(u+ v)w = uw + vw
6. Propriedade da inversa aditiva: Sejam u, v números , variáveis ou expressões algébricas.
Propriedades:
1)−(−u) = u
2)(−u)v = u(−v) = −(uv)
3)(−u)(−v) = uv
4)(−1)v = −u
5)−(u+ v) = (−u) + (−v)
1.1.3 Potenciação com expoentes inteiros
A notação exponencial é usada para simplificar o produto de fatores repetidos. Vejamos:
(−2)(−2)(−2)(−2) = (−2)4 e (3x− 1)(3x− 1) = (3x− 1)2
Notação exponencial Sejam a um número real, uma variável ou expressão algébrica e n um número
inteiro positivo. Então,
an = a · a · · · · a, multiplicação de n fatores
Exemplo 3. Identificação da base
1. Em (−6)2 a base é -6.
2. Em −62 a base é 6.
Propriedades da Potenciação:
Sejam u, v números reais, variáveis ou expressões algébricas e m e n números inteiros. Todas as
bases são consideradas diferentes de zero.
Propriedade
1. umun = um+n
2.
um
un
= um−n
3. u0 = 1
4. u−n =
1
un
5. (uv)m = umvm
6. (um)n = umn
7. (
u
v
)m =
um
vm
6 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1.4 Notação cient́ıfica
Todo número positivo pode ser escrito em notação cient́ıfica como:
c× 10m
onde 1 ≤ c < 10 e m é um inteiro. Esta notação é para simplificar a escrita de números muito grandes
ou números muito pequenos escritos na base 10. Por exemplo, a distância entre a Terra e o Sol é de,
aproximadamente, 149.597.870, 691 km. Em notação cient́ıfica,
149.597.870, 691 ≈ 1, 5× 108km
A massa de uma molécula de oxigênio é de aproximadamente
0, 000000000000000000000053 gramas.
Em notação cient́ıfica,
0, 000000000000000000000053 = 5, 3× 10−23 g.
1.2 Radiciação e Potenciação
Radicais Se b2 = a, então b é a raiz quadrada de a, e denotamos b =
√
a . Por exemplo, 3 e −3 são
ráızes quadradas de 9, pois (−3)2 = 9 e 32 = 9. Do mesmo modo, se a3 = b então a é a ráız cúbica de
b e denotamos por a = 3
√
b. Por exemplo, 3 é a ráız cúbica de 27, já que 33 = 27.
Definição 1 (Ráız n-ésima de um número real). Sejam n um número inteiro maior que 1 e a e b
números reais.
1. Se bn = a, então b é uma ráız n-ésima de a.
2. Se a tem uma ráız n-ésima, então a principal ráız n-ésima de a é aquela com o mesmo sinal de a.
A principal ráız de a é denotada pelo radical n
√
a. O inteiro positivo n é o ı́ndice do radical e a é o
radicando.Todo número real tem exatamente uma ráız n-ésima real quando n é ı́mpar. Por exemplo, 3 é
a única ráız cúbica de 27. Quando n é par, números reais positivos têm duas ráızes n-ésimas reais e
números negativos não têm ráızes n-ésimas reais. Por exemplo, 4
√
16 = ±2 e −16 não tem ráız quarta
real. A principal ráız quarta de 16 é 2. Quando n = 2, então denotamos 2
√
a =
√
a. Se a é um número
real e n é um número inteiro par positivo, suas duas ráızes n-ésimas reais são n
√
a e − n√a.
Propriedades dos radicais
Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas e m e n números positivos inteiros
maiores que 1. Vamos supor que todas as ráızes sejam números reaise todos os denominadores não
sejam nulos.
Propriedades
1. n
√
uv = n
√
u n
√
v
2. n
√
u
v
=
n
√
u
n
√
v
3. m
√
n
√
u = m·n
√
u
4. n
√
um = ( n
√
u)m
1.3. EXERCÍCIOS 7
5. n
√
un =
{
|u| para n par
u para n ı́mpar
Potenciação com expoentes racionais
Definição 2 (expoentes racionais). Seja u um número real, variável ou expressão algébrica e n um
inteiro maior que 1. Então
u1/n = n
√
u.
Se m é um inteiro positivo, m/n está na forma reduzida e todas as ráızes são números reais, então
um/n = (u1/n)m = n
√
um, e um/n = (um)1/n = n
√
um.
A fração m/n precisa estar na forma reduzida, pois, caso contrário, isso pode ocasionar algum
problema de definição. Pois vejam:
u2/3 = ( 3
√
u)2
esta expressão está definida para todo número real u, mas
u4/6 = ( 6
√
u)4
está definida somente para u ≥ 0.
Exemplo 4 (conversão de radicais para potências e vice-versa). Temos que
1.
√
(x+ y)3 = (x+ y)3/2
2. x2/3y1/3 = (x2y)1/3 = 3
√
x2y
3. 3x
5
√
x2 = 3xx2/5 = 3x7/5
4. z−3/2 =
1
z3/2
=
1√
z3
1.3 Exerćıcios
1. Encontre a forma decimal para os números racionais abaixo.
a) −39/7 b) 15/9 c) 16/88 d) 2/9.
2. Nas representações abaixo descreva e mostre graficamente os intervalos de números reais abaixo.
a) x ≤ 2 b) −3 ≤ x ≤ 7 c) (−∞, 5] d) x é maior ou igual a −2 e menor ou igual 3.
3. Use desigualdades para representar os intervalos abaixo.
a) [−2, 3) b) (−∞, 2] c) (3,+∞) d) x está entre −3 e 5.
4. Simplifique as expressões abaixo.
a) x
5y3
x2y7 b)
(3x3)2y3
6y2 c) (
8
x6 )
3 d) ( 5a
2b
a3b2 )(
2b3
3a3b2 )
5. Escreva os números em notação cient́ıfica.
a) −0, 00000000019 b) 18900000000 c) 0, 0000000123 d) 1800100000000000
6. Simplifique as expressões abaixo.
a) a
5/3a1/3
a2/5
b) (x
1/2y3/2
y2/3
)6 c) ( 8x
3
y6 )
2/3 d) 3
√
5a2b
a3b2
8 CAPÍTULO 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Caṕıtulo 2
Polinômios
2.1 Polinômios
Um polinômio em x é qualquer expressão escrita na forma
anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
onde n é um inteiro não negativo e an 6= 0. Os números an, · · · , a1, a0 são números reais chamados de
coeficientes. O grau do polinômio é n e o coeficiente principal é an. Polinômios com um, dois,
três termos são chamados de monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Para adicionar ou
subtrair polinômios, adicionamos ou subtráımos termos semelhantes usando a propriedade distributiva.
Exemplo 5. Some os seguintes polinômios:
1. (3x3 − 3x2 + 3x− 5) + (x3 + 2x2 + 2x+ 2)
2. (4x2 + 2x− 1) + (x3 + 2x+ 3)
Solução: (a) Agrupando os termos semelhantes
(3x3 + x3) + (−3x2 + 2x2) + (3x+ 2x) + (−5 + 2) = 4x3 − x2 + 5x− 3
(b) Agrupando os termos temos
(0x3 + x3) + (4x2 + 0x2) + (2x+ 2x) + (−1 + 3) = x3 + 4x2 + 4x+ 2
Para expandir o produto de dois polinômios, usamos a propriedade distributiva, por exemplo:
(2x+ 3)(3x− 5) = 2x(3x− 5) + 3(3x− 5) = 6x2 − 10x+ 9x− 15 = 6x2 − x− 15
2.2 Produtos Notáveis
Alguns produtos notáveis
1. (u+ v)(u− v) = u2 − v2
2. (u+ v)2 = u2 + 2uv + v2
3. (u− v)2 = u2 − 2uv + v2
4. (u+ v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3
9
10 CAPÍTULO 2. POLINÔMIOS
5. (u− v)3 = u3 − 3u2v + 3uv2 − v3
6. u3 + v3 = (u+ v)(u2 − uv + v2)
7. u3 − v3 = (u− v)(u2 + uv + v2)
2.2.1 Fatoração de polinômios
Quando escrevemos um polinômio como um produto de dois ou mais fatores polinomiais, estamos
fatorando o polinômio. Um polinômio que não pode ser fatorado usando coeficientes inteiros é um
polinômio irredut́ıvel. Um polinômio está completamente fatorado se ele puder ser escrito como um
produto de seus fatores irredut́ıveis. Por exemplo,
2x2 + 7x− 4 = (2x− 1)(x+ 4)
e
x3 + x2 + x+ 1 = (x+ 1)(x2 + 1)
estão fatorados completamente (note que x2 + 1 é irredut́ıvel). Mas
x3 − 9x = x(x2 − 9)
não está fatorado completamente por que x2 − 9 não é irredut́ıvel. Com efeito,
x2 − 9 = (x− 3)(x+ 3)
desse modo,
x3 − 9x = x(x− 3)(x+ 3),
agora ele está completamente fatorado.
Para fatorar um trinômio com coeficiente principal diferente, basta escrever
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
onde x1 e x2 são as ráızes da equação ax
2 + bx+ c = 0, ou olhar os pares de fatores dos coeficientes a
e c como, pelo exemplo, 35x2 − x− 12, os pares de fatores do coeficiente principal é 1 e 35 e também 5
e 7. Os pares de fatores de 12 são 1 e 12, 2 e 6 e também 3 e 4 testando as possibilidades obtemos
35x2 − x− 12 = (5x− 3)(7x+ 4)
Podemos também fatorar por agrupamento tais como,
3x3 + x2 − 6x− 2 = (3x3 + x2)− (6x+ 2) = x2(3x+ 1)− 2(3x+ 1) = (x2 − 2)(3x+ 1)
Definição 3. Se escrevemos uma função p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0 então dizemos que
p é uma função polinomial. Dada uma função polinomial p as ráızes dessa função são os valores de x
tais que p(x) = 0.
Exemplo 6. Encontre as ráızes da função p(x) = x3 − x2 + 6x.
Solução: Temos que
x3 − x2 + 6x = 0
x(x2 − x− 6) = 0
x(x− 3)(x+ 2) = 0
logo as ráızes são x = 0, x = 3 e x = −2.
2.2. PRODUTOS NOTÁVEIS 11
Desse exemplo, vemos que se uma função polinomial f é apresentada na forma fatorada, cada
(x−k) corresponde a uma ráız x = k, se k é um número real, então o par ordenado (k, 0) é um ponto por
onde o gráfico de f passa no eixo-x. Quando o fator é repetido, como na função g(x) = (x−4)3(x+3)2,
dizemos que a função polinomial tem uma ráız repetida. Essa função g tem duas ráızes repetidas. Como
o fator x− 4 em g ocorre 3 vezes, então 4 é uma ráız de multiplicidade 3. De modo análogo, −3 é uma
ráız de multiplicidade 2.
Definição 4. Se p é uma função polinomial de grau n e (x− c)m é um fator de p, mas (x− c)m+1 não
é, então c é uma ráız de multiplicidade m de p.
Observação 2. 1. Se uma função polinomial p tem uma ráız real c de multiplicidade ı́mpar, então
o gráfico de p cruza o eixo-x em (c, 0) e o valor de p muda de sinal em x = c.
2. Se uma função polinomial p tem uma ráız real c de multiplicidade par, então o gráfico de p não
cruza o eixo-x em (c, 0) e o valor de p não muda de sinal em x = c.
Exemplo 7. Verifique o grau e relacione as ráızes da função p(x) = (x + 2)3(x − 1)2. Verifique a
multiplicidade de cada ráız e se o gráfico cruza o eixo-x na ráız analisada.
Solução: O grau de p é 5 e as ráızes são x = −2 e x = 1. O gráfico cruza o eixo-x em x = −2,
pois a multiplicidade é 3 (que é ı́mpar). O gráfico não cruza o eixo-x em x = 1, pois a multiplicidade é
2 (que é par). Observe que os valores de p são positivos para x > 1, como também para −2 < x < 1;
agora, para x < −2 os valores de p são negativos.
Divisão de um polinômio
Ao fatorar um polinômio, descobrimos suas ráızes e as caracteŕısticas de sua representação gráfica.
A divisão de um polinômio ou de um número inteiro, envolve um dividendo dividido por um divisor
para obter um quociente e um resto. Podemos verificar e resumir nosso resultado com uma equação da
forma
(Divisor)(Quociente)+Resto=Dividendo
por exemplo,
(3x+ 2)(x2 + x+ 2) + 3 = 3x3 + 5x2 + 8x+ 7
Teorema 1 (Algoritmo da divisão para polinômios). Seja p(x) e g(x) polinômios de grau p maior ou
igual ao grau de d com d(x) 6= 0. Existem os únicos polinômios q(x) e r(x), os quais chamados de
quociente e resto, tais que
p(x) = d(x)q(x) + r(x)
onde ou r(x) = 0, ou o grau de r é menor que o grau de d.A função p(x) no algoritmo da divisão é o dividendo e d(x) é o divisor. Se r(x) = 0, então dizemos
que d(x) divide exatamente p(x). A equação dada no algoritmo da divisão pode ser escrita na forma
de fração como
p(x)
d(x)
= q(x) +
r(x)
d(x)
Teorema 2 (Teorema do Resto). Se um polinômio p(x) é dividido por x− k então o resto é r = p(k).
As ráızes de funções polinomiais são ráızes racionais ou irracionais. por exemplo,
p(x) = 4x2 − 9 = (2x+ 3)(2x− 3)
e,
q(x) = x2 − 2 = (x−
√
2)(x+
√
2)
temos que −
√
2 e
√
2 são irracionais.
12 CAPÍTULO 2. POLINÔMIOS
Teorema 3 (Teorema das Ráızes racionais). Suponha p uma função polinomial de grau n ≥ 1 da forma
p(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0
com todos os coeficientes como números inteiros e a0 6= 0. Se x = r/s é uma ráız racional de p onde r
e s são primos entre si, então:
1. r é um fator inteiro do termo independente a0; e
2. s é um fator inteiro do coeficiente principal an.
Exemplo 8. Encontre as ráızes racionais de p(x) = x3 − 3x2 + 1.
Solução: Como o coeficiente principal e o termo independente de p são ambos iguais a 1, de acordo
com o teorema das ráızes racionais, as ráızes racionais de p só podem ser 1 ou −1. Podemos verificar
se são ráızes:
p(1) = 13 − 3(1)2 + 1 = −1 6= 0
p(−1) = (−1)3 − 3(−1)2 + 1 = −3 6= 0
logo p não possui ráızes racionais. Se suas ráızes existirem serão todas irracionais.
Exemplo 9. Encontre as ráızes racionais de p(x) = 3x3 + 4x2 − 5x− 2.
Solução: Como coeficiente principal é 3 e o termo independente é −2, pelo teorema das ráızes
racionais, temos vários candidatos para serem essas ráızes.Os candidatos são:
Fatores de − 2
Fatores de 3
:
±1,±2
±1,±3 ;±1,±2,±1/3,±2/3
veja que podemos escrever p na forma:
p(x) = 3x3 + 4x2 − 5x− 2
= (x− 1)(3x2 + 7x+ 2)
= (x− 1)(3x+ 1)(x+ 2)
assim as ráızes racionais de p são 1,−1/3 e−2.
2.3 Exerćıcios
1. Simplifique as expressões abaixo para colocar na forma de polinômios.
a) (2x2 − 4x+ 7) + (4x2 − 3x+ 5) b) (a3 + 2a2 + 4a+ 2) + (4a2 − 3a− 1)
c) (4u− 2)(2u+ 3) d) (1− 2x− x3)x
2. Fatore colocando os fatores dos polinômios em evidência.
a) 3x(x+ 5)− 10(x+ 5) b) 4x3 − 8x
c) 3x3 − 15x d) ab3 − 2ab2 + ab
3. Fatore a soma ou a diferença dos cubos.
a) z3 − 27 b) 27x3 + 64 c) 8− b3 d) 64− x3
4. Fatore completamente os polinômios abaixo.
a) y3 + y b) 2x3 − 16x2 + 14x c) 7z4 + 56z d) z − 27z3
5. Fatore o trinômio.
a) x2 + 5x+ 6 b) 6y2 + 5y + 1 c) 2v2 − 3uv + v2 d) 12a2 + 11a− 15
2.3. EXERCÍCIOS 13
6. Fatore os polinômios em fatores lineares.
a) 4x2 + 8x− 60 b) x3 + 2x2 − x− 2 c) 3x3 − 5x2 + 2x d) x4 + x3 − 9x2 − 9x
7. Encontre as ráızes dos polinômios abaixo.
a) 5x3 − 5x2 − 10x b) x3 − 25x
c) 9x2 − 3x− 2 d) x2 + 2x− 8
8. Divida o polinômio p(x) por d(x) e escreva a função como consequência do algoritmo da divisão.
a) p(x) = x3 − 1 e d(x) = x+ 1 b) x3 + 4x2 + 7x− 9 e d(x) = x+ 3
c) p(x) = x4 − 3x3 + 6x2 − 3x+ 5 e d(x) = x2 + 1 d) x4 − 2x3 + 3x2 − 4x+ 6 e d(x) = x2 + 2x− 1
14 CAPÍTULO 2. POLINÔMIOS
Caṕıtulo 3
Expressões Fracionárias
3.1 Expressões Fracionárias
Um quociente de duas expressões algébricas, além de ser outra expressão algébrica, é uma expressão
fracionária ou uma fração. Se o quociente puder ser escrito como a razão de dois polinômios, então a
expressão fracionária é uma expressão racional, por exemplo,
x2 − 3x+ 1√
x2 + 4
2x3 + 3x− 1
3x2 − 2x2 + 1
Vemos que o primeiro exemplo é uma expressão fracionária e o segundo exemplo é uma expressão
racional. As expressões fracionárias não estão definidas para todos os números reais como os polinômios,
algumas expressões algébricas não são definidas para alguns números reais. O conjunto dos números
reais para os quais uma expressão algébrica é definida é o domı́nio da expressão algébrica.
Exemplo 10. Verifique o domı́nio das expressões algébricas dadas abaixo:
(a) 3x2 − x+ 5 (b)
√
x2 − 1 (c) x+ 1
x− 2
Solução: (a) O domı́nio de 3x2 − x + 5, como de qualquer polinômio, é o conjunto de todos os
números reais. (b) Como a raiz quadrada não está definida para números reais negativos, então devemos
ter que x2 − 1 ≥ 0 o que implica em |x| ≥ 1, isto é, o conjunto de todos os números reais x tais que
x ≤ −1 ou x ≥ 1, ou ]−∞,−1]∪ [1,+∞[. (c) Como não existe divisão por zero, então devemos ter que
x− 2 6= 0, isto é, x 6= 2 então o domı́nio é R− {2}.
Simplificação de expressões racionais
Sejam u, v e z números reais, variáveis ou expressões algébricas. Podemos escrever expressões
racionais na forma mais simples fazendo
uz
vz
=
u
v
contanto que z seja diferente de zero. Isto requer uma fatoração do numerador e denominador em fatores
primos. Quando todos os fatores comuns do numerador e denominador forem removidos, a expressão
racional (ou número racional) estará na forma reduzida.
Exemplo 11. Escreva
x2 − 3x
x2 − 9 na forma reduzida. Verifique o domı́nio.
Solução:
x2 − 3x
x2 − 9 =
x(x− 3)
(x− 3)(x+ 3) =
x
x+ 3
,
15
16 CAPÍTULO 3. EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS
onde x 6= 3 e x 6= −3. O domı́no é R− {−3, 3}.
Duas expressões racionais são equivalentes se elas têm o mesmo domı́nio e os mesmos valores
para todos os números no domı́nio. A forma reduzida de uma expressão racional precisa ter o mesmo
domı́nio que a expressão racional original.
Operações com expressões racionais
Duas frações são iguais,
u
v
=
z
w
se, e somente se, uw = vz. Operações com frações Sejam u, v, w
e z números reais, variáveis ou expressões algébricas. Todos os denominadores são considerados como
diferentes de zero.
1.
u
v
+
w
v
=
u+ w
v
2.
u
v
+
w
z
=
uz + vw
vz
3.
u
v
· w
z
=
uw
vz
4.
u
v
÷ w
z
=
u
v
· z
w
=
uz
vw
Se os denominadores das frações têm fatores comuns, então podemos encontrar o mı́nimo múltiplo
comum desses polinômios. O mı́nimo múltiplo comum é o produto de todos os fatores primos
nos denominadores, onde cada fator está elevado à maior potência encontrada em qualquer um dos
denominadores.
Exemplo 12. Escreva a seguinte expressão como uma fração na forma reduzida.
2
x2 − 2x +
1
x
− 3
x2 − 4
Solução: Os denominadores fatorados são x(x− 2), x e (x− 2)(x+ 2), respectivamente. O menor
denominador comum é x(x− 2)(x+ 2). Assim
2
x2 − 2x +
1
x
− 3
x2 − 4 =
2
x(x− 2) +
1
x
− 3
(x− 2)(x+ 2)
=
2(x+ 2)
x(x− 2)(x+ 2) +
(x− 2)(x+ 2)
x(x− 2)(x+ 2) −
3x
x(x− 2)(x+ 2) =
2(x+ 2) + (x− 2)(x+ 2)− 3x
x(x− 2)(x+ 2)
=
2x+ 4 + x2 − 4− 3x
x(x− 2)(x+ 2) =
x2 − x
x(x− 2)(x+ 2)
=
x(x− 1)
x(x− 2)(x+ 2) =
x− 1
(x− 2)(x+ 2)
onde x 6= 0, x 6= −2 e x 6= 2.
Caṕıtulo 4
Equações e Inequações
4.1 Equações
Uma equação algébrica é uma afirmação de igualdade entre duas expressões algébricas. Vamos utilizar
as seguintes propriedades. Sejam u, v, w e z números reais, variáveis ou expressões algébricas.
1. Reflexiva u = u
2. Simétrica Se u = v então v = u
3. Transitiva Se u = v e v = w então u = w
4. Adição Se u = v e w = z então u+ w = v + z
5. Multiplicação Se u = v e w = z então u · w = v · z
Resolução de equações
Uma solução de uma equação em x é um valor de x para o qual a equação é verdadeira. Resolver
uma equação significa encontrar todos os valores de x para os quais a equação é verdadeira.
Definição 5. Uma equação linear em x é uma equação que pode ser escrita como
ax+ b = 0
onde a e b são números reais com a 6= 0.
A equação 2b − 3 = 0 é linear na variável b. A equação 3u2 − 7 = 0 não é linear na variável
u. Uma equação linear em uma variável tem, exatamente, uma solução. Duas ou mais equações são
equivalentes quando a partir da equação original obtemos as outras equações e todas elas têm a mesma
solução. Por exemplo, 3z − 12 = 0, 3z = 12 e z = 4 são todas equivalentes.
Exemplo 13. Resolva 3(2x− 2) + 2(x− 1) = 4x+ 3.
Solução:
3(2x− 2) + 2(x− 1) = 4x+ 3
6x− 6 + 2x− 2 = 4x+ 3
8x− 8 = 4x+ 3
8x− 4x = 3 + 8
4x= 11⇒ x = 11/4
17
18 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
Exemplo 14. Resolva a equação
3z − 4
25
= 2 +
z
5
Solução: Os denominadores são 1, 5 e 25. O mı́nimo múltiplo comum é 25. Assim
3z − 4
25
= 2 +
z
5
25
(
3z − 4
25
)
= 25
(
2 +
z
5
)
3z − 4 =
(
50 + 25
z
5
)
3z − 4 = 50 + 5z
−2z = 54
z = −27
Exemplo 15. Resolva a equação 3x2 − 2x− 5 = 0.
Solução:Fatorando temos que
3x2 − 2x− 5 = (3x− 5)(x+ 1)
logo conclúımos que
3x− 5 = 0 ou x+ 1 = 0
portanto, as soluções da equação acima são
x = 5/3 e x = −1.
Uma equação quadrática é uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números
reais com a 6= 0.
Note que toda equação quadrática pode sempre ser escrita como (x + b)2 = c o que nos dá com
uma certa facilidade as ráızes dessa equação. Vamos considerar na forma geral a equação quadrática
ax2 + bx+ c = 0
colocando a em evidência nessa equação obtemos
a(x2 +
b
a
x+
c
a
) = 0
analisemos agora o seguinte quadrado (x + p)2 = x2 + 2px + p2, dessa forma, tomando 2p = ba temos
que p = b2a então podemos escrever a expressão
x2 +
b
a
x = (x+
b
2a
)2 − b
2
4a2
substituindo isso na equação original temos
a[(x+
b
2a
)2 − b
2
4a2
+
c
a
] = 0
dáı obtemos
a(x+
b
2a
)2 − ( b
2
4a
− ca
a
) = 0
4.1. EQUAÇÕES 19
ou ainda,
a(x+
b
2a
)2 − ( b
2
4a
− 4ac
4a
) = 0
o que nos dá
a(x+
b
2a
)2 =
b2 − 4ac
4a
ou ainda
(x+
b
2a
)2 =
b2 − 4ac
4a2
logo,
x+
b
2a
= ±
√
b2 − 4ac
4a2
= ±
√
b2 − 4ac
2a
portanto,
x = − b
2a
±
√
b2 − 4ac
2a
essa fórmula é conhecida como a fórmula de Bhaskara, que nos dá as duas ráızes da equação
quadrática ax2 + bx+ c = 0.
Exemplo 16. Resolva a equação 3x2 − 4x− 4 = 0.
Solução: Pela fórmula de Bhaskara temos
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
x =
−(−4)±
√
(−4)2 − 4 · 3 · (−4)
2 · 3
x =
4±
√
16 + 48
6
x =
4±
√
64
6
x =
4± 8
6
dáı
x = 2 e x = −2/3.
Exemplo 17. Resolva a equação |2z − 1| = 6.
Solução: Se |2z − 1| = 6 então devemos ter que
2z − 1 = 6 ou 2z − 1 = −6
z = 7/2 ou z = −5/2.
20 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
4.2 Inequações
Inequações são expressões algébricas que envolvem desigualdades, por exemplo,
x− 2 < 18− 3x
ou
(x− 2) ≤ 3− 2x
resolver inequações em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a inequação é verdadeira.
O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o que chamamos de conjunto solução.
Propriedades das inequações Sejam u, v, w e z números reais, variáveis ou expressões algébricas
e c um número real.
1. Transitiva Se u < v e v < w então u < w.
2. Adição Se u < v então u+ w < v + w. Se u < v e w < z então u+ w < v + z.
3. Multiplicação Se u < v e c > 0 então uc < vc. Se u < v e c < 0 então uc > vc.
essas propriedades continuam válidas se trocamos o śımbolo < por ≤. Há propriedades similares para
> e ≥ . Simbolicamente, temos que
a > b⇒ −a < −b
e
a > b e r < 0⇒ ar < br e a
r
<
b
r
.
Exemplo 18. Resolver a seguinte inequação
3(1− x) + 7x < 33− 4(5− 2x)
Solução: Temos que
3− 3x+ 7x < 33− 20 + 8x
o que nos dá
−3x+ 7x− 8x < 33− 20− 3
o que implica em
−4x < 10
ou
x > −10/4 = −5/2
logo, o conjunto solução dessa inequação é:
S = {x : x > −2, 5} = (−2, 5; +∞)
Exemplo 19. Resolver as inequações
−4 < 2− 3x ≤ 17
Solução: Temos que
−4− 2 < −3x ≤ −2 + 17
−6 < −3x ≤ 15
−5 ≤ x < 2
4.2. INEQUAÇÕES 21
Exemplo 20. Resolver as inequações
x− 1
2
+ 3 < 3x− 4 < 5− (1− 3x)
6
Solução: Temos nesse caso, duas inequações simultâneas
x− 1
2
+ 3 < 3x− 4
e
3x− 4 < 5− (1− 3x)
6
Vamos resolver as duas separadamente: 1a inequação
x− 1
2
+ 3 < 3x− 4
que implica em
x− 1 + 6 < 6x− 8
ou
x− 6x < −8 + 1− 6
que nos dá
−5x < −13
ou
x > 13/5
2a inequação:
3x− 4 < 5− 1− 3x
6
dáı
18x− 24 < 30− (1− 3x)
ou
18x− 3x < 30− 1 + 24
o que implica em
15x < 53
ou
x < 53/15
das duas inequações segue que o conjunto solução é:
S = {x : 13
5
< x <
53
15
}
Exemplo 21. Resolver a inequação
3 + x
3− x ≤ 4.
Solução: 1a hipótese,
3− x > 0 x < 3
3 + x ≤ 4(3− x)
se, e somente se,
3 + x ≤ 12− 4x
22 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
ou
x+ 4x ≤ 12− 3
ou ainda
5x ≤ 9
dáı
x ≤ 9/5
assim x está no intervalo
I1 = (−∞, 9/5] = {x : x ≤ 9/5}
2a hipótese:
3− x < 0 x > 3
temos
3 + x ≥ 4(3− x)
assim
x ≥ 9/5
e como x > 3 e 3 > 9/5 então devemos ter que
I2 = (3,+∞) = {x : x > 3}
logo,
S = I1 ∪ I2
Exemplo 22. Resolver a inequação:
5x− 16
x− 2 < 3
Solução: 1a Hipótese
x− 2 > 0
assim
5x− 16 < 3(x− 2)
dáı
5x− 3x < 16− 6
ou
2x < 10
ou ainda
x < 5
dessa forma temos que x > 2 e x < 5 dáı
I1 = (2, 5) = {x : 2 < x < 5}
2a Hipótese:
x < 2
temos
5x− 16 > 3x− 6
ou seja,
x > 5
como x < 2 chegamos num absurdo I2 é vazio.
4.2. INEQUAÇÕES 23
Uma outra forma de resolver essa desigualdade é fazer o seguinte:
5x− 16
x− 2 − 3 < 0
ou
5x− 16− 3(x− 2)
x− 2 < 0
dáı
5x− 3x− 16 + 6
x− 2 < 0
ou
2x− 10
x− 2 < 0
ou ainda
x− 5
x− 2 < 0
basta analisar na figura 4.1 quando essa expressão é negativa.
2 5
bbbbb b bcbc
+ + - - - + +-
bc bc
bc bc
- - - - - + +
- - + + + +
2 5
2 5
-
-
-
+ +
+
+
+
x− 5
x− 2
x− 5
x− 2
Figura 4.1: Inequação
5x− 16
x− 2 < 3
Exemplo 23. Resolver a inequação:
1
x+ 7
> −1
Solução: 1a Hipótese
x+ 7 > 0 ou x > −7
Neste caso, a desigualdade estará sempre satisfeita.
2a Hipótese
x+ 7 < 0 ou x < −7
Então
1 < −(x+ 7)
o que implica
1 < −x− 7
ou
x < −8
24 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
de x < −7 e x < −8 então
x < −8
Logo,
S = {x : x < −8} ∪ {x : x > −7}
Exemplo 24. Resolver a inequação 3x2 + 5x− 2 ≤ 0.
Solução: Temos que;
3x2 + 5x− 2 = 0
implica em
x1 = −2 e x2 = 1/3
são as ráızes dessa equação. Então podemos escrever
3x2 + 5x− 2 = 3(x+ 2)(x− 1
3
)
dáı, devemos ter
x+ 2 ≥ 0 e x− 1
3
≤ 0
ou
x+ 2 ≤ 0 e x− 1
3
≥ 0
o que nos dá
x ≥ −2 e x ≤ 1
3
ou
x ≤ −2 e x ≥ 1
3
mas essa ultima opção é imposśıvel, segue que
−2 ≤ x ≤ 1
3
.
Analogamente, podeŕıamos deduzir isso da figura 4.2.
bc bc
bc bc
bc bc
bb
b b
b b
-2
-2
-2
+ + + + ++- --
- - - - - - + + +
+ ++ - - - + + +
1/3
1/3
1/3
x+ 2
x− 1/3
(x+ 2)(x− 1/3)
Figura 4.2: Inequação 3x2 + 5x− 2 ≤ 0
Exemplo 25. Resolver a inequação
2
x+ 1
<
5
2x− 1 .
4.2. INEQUAÇÕES 25
Solução: Temos três casos a considerar, 1o caso: x < −1 assim (x+ 1)(2x− 1) > 0 temos
2(2x− 1) < 5(x+ 1)
segue que
4x− 2 < 5x+ 5
dáı
x > −7
logo
−7 < x < −1
2o caso: −1 < x < 12 desse modo (x+ 1)(2x− 1) < 0 temos então
2(2x− 1) > 5(x+ 1)
dáı
x < −7
como −1 < x < 12 e x < −7 são incompat́ıveis, não há solução nesse caso. 3o caso: x > 12 . Novamente,
(x+ 1)(2x− 1) > 0 o que implica x > −7, como x > 12 e 12 > −7 então x > 12 . Portanto, a solução da
inequação será dada por
−7 < x < −1 ou x > 1
2
.
4.2.1 Valor Absoluto
O valor absoluto de um número real r, indicado por |r| é definido como:
|r| =
{
r, se r ≥ 0
−r, se r < 0
Assim, |5| = 5, |0| = 0, | − 3| = −(−3) = 3, também |r| = | − r|. Por exemplo, |2| = | − 2| = 2.
Observação 3. Note que se r > 0 então |y| < r se, e somente se, −r < y < r..
De fato, suponha |y| < r. Agora, se y > 0 então |y| = y o que implica em |y| < r então y < r. Se
y < 0 então |y| = −y se |y| < r então −y < r assim, −r < y e como y < r então −r < y < r. Por outro
lado, suponha −r < y < r, se y > 0 então |y| = y < r, se y < 0 então |y| = −y e como −r < y < r
então −y < r então |y| < r.
Observação 4. Note que se r > 0 então |y| ≥ r se, e somente se, y ≥ r ou y ≤ −r.
De fato, seja A = {y : |y| ≥ r} e B = {y : |y| < r}, temos que A ∩ B = ∅ e A ∪ B = R, pois todo
número real y ∈ R ou satisfaz |y| = r, ou |y| > r ou |y| < r. Seja também C = {y : y ≤ −r ou y ≥ r}
então se um número qualquer y ∈ R então ou ele satisfaz y < −r ou y > r ou y = r ou y = −r ou ainda
|y| < r, portanto, B ∪ C = R. Agora, se y ∈ A então y /∈ B segue que y ∈ C, logo A ⊂ C. Por outro
lado, se y ∈ C então y /∈ B segue que y ∈ A, logo C ⊂A, portanto, A = C.
Exemplo 26. Resolver a equação |5x− 7| = 13.
Solução: Temos que
|5x− 7| = 13⇒ 5x− 7 = 13 ou 5x− 7 = −13
se
|5x− 7| = 5x− 7⇒ 5x− 7 = 13⇒ 5x = 20⇒ x = 4,
se
|5x− 7| = −(5x− 7)⇒ −5x+ 7 = 13⇒ −5x = 6⇒ x = −6/5,
logo, a solução é x = 4 e x = −6/5.
26 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
Exemplo 27. Resolver a equação |2x− 1| = |3− 4x|.
Solução: Por definição,
|2x− 1| = |3− 4x|
se, e somente se,
2x− 1 = 3− 4x ou 2x− 1 = −(3− 4x)
solução: x = 2/3 e x = 1.
Exemplo 28. Resolver a equação |x− 5| = 1− 2x.
Solução: Como o valor absoluto nunca é negativo, devemos ter que 1− 2x ≥ 0, ou seja, x ≤ 1/2.
Assim
x− 5 = 1− 2x ou x− 5 = −(1− 2x)
ou seja,
x = 2 ou x = −4.
Como x = 2 é incompat́ıvel com x ≤ 1/2 então a única solução é x = −4.
Exemplo 29. Resolver a equação |2x− 6| = 6− 2x.
Solução: Como 6− 2x ≥ 0 então 2x− 6 ≤ 0 e assim
|2x− 6| = −(2x− 6)
como |y| = −y ⇒ y ≤ 0 então
|2x− 6| = −(2x− 6)⇒ 2x− 6 ≤ 0⇒ x ≤ 3.
Exemplo 30. A equação |x| = x − 6 não tem solução. De fato, se x ≥ 0 então temos x = x − 6 ou
0 = −6 que é absurdo. Se x < 0 então |x| = −x, dáı: −x = x− 6 ou x = 3. Como devemos ter x < 0
então não faz sentido x = 3. Portanto, a equação acima não tem solução.
Exemplo 31. Descrever o conjunto A dos números reais x tais que
|x− 3| < 2
Solução: Como |y| < r ⇐⇒ −r < y < r, então
|x− 3| < 2 ⇐⇒ −2 < x− 3 < 2,
dáı
−2 + 3 < x < 3 + 2
ou
1 < x < 5
solução A = (1, 5).
Exemplo 32. Descreve o conjunto A = {x : |x− 2| ≥ 1}.
Solução: Temos que
|y| ≥ 1 ⇐⇒ y ≤ −1 ou y ≥ 1
assim
|x− 2| ≥ 1 ⇐⇒ x− 2 ≤ −1 ou x− 2 ≥ 1
ou
x ≤ −1 + 2 ou x ≥ 1 + 2 ⇐⇒ x ≤ 1 ou x ≥ 3
dáı
A = (−∞, 1] ∪ [3,+∞).
4.2. INEQUAÇÕES 27
Exemplo 33. Descrever o conjunto A = {x : |3x+ 7| > 2}.
Solução: Temos
|3x+ 7| > 2 ⇐⇒ 3x+ 7 < −2 ou 3x+ 7 > 2
o que implica em
3x < −9 ou 3x > −5 ⇐⇒ x < −3 ou x > −5/3
logo,
A = (−∞,−3) ∪ (−5/3,+∞).
Exemplo 34. Descrever o conjunto A = {x : x2 − 4 > 0}.
Solução: Temos
x2 − 4 > 0 ⇐⇒ (x− 2)(x+ 2) > 0;
dáı
x+ 2 > 0 e x− 2 > 0 ou x+ 2 < 0 e x− 2 < 0
o que implica em
x > −2 e x > 2 ou x < −2 e x < 2
então
x > 2 ou x < −2
portanto,
A = {x : x < −2} ∪ {x : x > 2} = (−∞,−2) ∪ (2,+∞).
outro modo,
x2 − 4 > 0 ⇐⇒ x2 > 4 ⇐⇒ |x|2 > 4
⇐⇒ |x| > 2 ⇐⇒ x > 2 ou x < −2.
Exemplo 35. Resolver a inequação
6 + x2 < 3x2 ≤ x2 + 50.
Solução: Subtraindo x2 dos três membros, obtemos
6 < 2x2 ≤ 50 ⇐⇒ 3 < x2 ≤ 25
⇐⇒
√
3 < |x| ≤ 5
como |x| >
√
3 ⇐⇒ x >
√
3 ou x < −
√
3 e |x| ≤ 5 ⇐⇒ −5 ≤ x ≤ 5 então a solução procurada é;
S = {x : −5 ≤ x < −
√
3} ∪ {x :
√
3 < x ≤ 5}
Exemplo 36. Resolver a inequação |x− 2| > |x+ 3|.
Solução: Elevando ao quadrado e notando que, para todo a, |a|2 = a2 temos:
|x− 2| > |x+ 3| ⇐⇒ |x− 2|2 > |x+ 3|2 ⇐⇒ (x− 2)2 > (x+ 3)3
assim
x2 − 4x+ 4 > x2 + 6x+ 9
desse modo
−4x+ 4 > 6x+ 9 ⇐⇒ 10x < −5 ⇐⇒ x < −1/2
logo,
S = {x : x < −1/2}.
28 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
Exemplo 37. Resolver a inequação |x+ 3| ≥ 2|x+ 1|.
Solução: Temos
|x+ 3| ≥ 2|x+ 1| ⇐⇒ (x+ 3)2 ≥ 4(x+ 1)2
dáı
x2 + 6x+ 9 ≥ 4x2 + 8x+ 4
o que implica em
3x2 + 2x− 5 ≤ 0 ⇐⇒ 3(x+ 5/3)(x− 1) ≤ 0
segue que
−5/3 ≤ x ≤ 1,
veja a figura 4.3.
b b
b b
b b
- - - -- + + ++ + + + ++
+ + + + +
+ + ++ +
- - - -
- - - -
- - ---- -
+++++ +
-5/3 1
-5/3 1
(x+ 5/3)
(x− 1)
(x+ 5/3)(x− 1)
-5/3 1
Figura 4.3: Inequação |x+ 3| ≥ 2|x+ 1|.
4.3 Exerćıcios
1. Classifique cada uma das afirmações abaixo como verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a) Se x < 2, então x2 < 4. b) Se x2 < 4, então x < 2.
c) x < 2 se, e somente se, x2 < 4. d) Se x < 2, então x ≤ 3.
e) Se x = 3, então x ≤ 3. f) Se |x| > 2, então x > 2.
2. Estude o sinal de cada uma das expressões abaixo.
a)
x− 1
x− 2 b) (2x+ 1) (x− 2) c)
2− 3x
x+ 2
d) x (x− 1) (2x+ 3) e) (2x− 1) (x2 + 1) f) x
(
x2 + 3
)
Nos exerćıcios 3., 4. e 5., resolva as desigualdades indicadas.
3.
a) 2x−1x+1 < 0 b) (2x− 1) (x+ 3) < 0 c) 3x−22−x ≤ 0 d) 2x−1x−3 > 5
e) x2x−3 ≤ 3 f) x (2x− 1) (x+ 1) > 0 g) (4x+ 7)
20
(2x+ 8) < 0 h) x−3x2+1 < 0
4.
a) x2 − 4 > 0 b) x2 − 1 ≤ 0 c) x2 ≤ 4 d) x2 > 1
e) x
2−9
x+1 < 0 f)
x2−4
x2+4 > 0 g) (2x− 1)
(
x2 − 4
)
≤ 0 h) 3x2 ≥ 48
i) x2 < r2 , onde r > 0 é um real dado j) x2 ≥ r2 , onde r > 0 é um real dado
5.
a) x2 − 3x+ 2 < 0 b) x2 − 5x+ 6 ≥ 0 c) 3x2 + x− 2 > 0
d) 4x2 − 4x+ 1 ≤ 0 e) x2 + 3 > 0 f) x2 + x+ 1 > 0
g) x2 + x+ 1 ≤ 0 h) x2 + 5 ≤ 0 i) (x− 2)(x+ 3)(1− x) > 0
j) x2 + 1 < 3x− x2 − 3 k) 3x(x+4)
2
(x−2)2 < 0 l) (x
2 − 4)(x2 − 3x+ 2) ≤ 0
4.3. EXERCÍCIOS 29
6. Resolva as equações.
a) |x| = 2 b) |x+ 1| = 3 c) |2x− 1| = 1 d) |x− 2| = −1
e) |2x+ 3| = 0 f) |x| = 2x+ 1 g) |1− 2x| = |1− 3 (x+ 2)| h)
∣∣∣∣ x1− 5x
∣∣∣∣ = 4
i)
√
(x− 1)2 = 5 j)
√
(2− x)2 = 4 k)
√
(x− 4)2 = −1 l) x =
√
(−4)2
7. Dê o conjunto solução de cada uma das inequações modulares abaixo.
a) |x| ≤ 1 b) |2x− 1| < 3 c) |3x− 1| < −2
d) |3x+ 3| ≤ 1/3 e)
∣∣2x2 − 1∣∣ < 1 f) |x| > 3
g) |x+ 3| ≥ 1 h) |2x− 1| < x i) |x+ 1| < |2x− 1|
j) |x− 2| − |x− 5| > x k) |x− 1|+ |x+ 3| < |4x|
8. Duas desigualdades são ditas equivalentes, se possuem o mesmo conjunto de soluções.
Com base nesta definição, classifique as duplas de desigualdades apresentadas abaixo.
a)
√
x− 1 <
√
2− x e x− 2 < 1− x b) x2 > 1 e 1 + 2
x− 1 > 0
9. Resolva os sistemas de inequações: a)
{
8x− 2 < x− 1
2x2 − x ≤ 1 b)
{
4x2 − 4x− 3 ≤ 0
1
x2
≥ 1
30 CAPÍTULO 4. EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
Caṕıtulo 5
Funções
5.1 Definição de Funções
Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma lei que associa todo elemento de A a um
único elemento em B. E denotamos f : A → B tal que a cada x ∈ A associa um único y ∈ B tal que
f(x) = y. O conjunto A é o domı́nio de f e o conjunto B é o contradomı́nio de f . A imagem de f é
o conjunto
f(A) = {f(x) : x ∈ A}.
Uma função pode também ser vista como uma relação dos elementos do domı́nio com os elementos
da imagem. Se a um elemento de um conjunto A, digamos x ∈ A tivermos associado dois ou mais
elementos distintos do conjunto B então teremos uma relação que não é uma função. O gráfico de uma
função f : A→ B será o conjunto
Graf(f) = {(x, y) ∈ A×B : y = f(x)}
Uma função pode ser definida algebricamente como uma lei (ou regra) em termos das variáveis do
domı́nio. Por exemplo, podemos definir o volume de uma esfera como uma função de seu raio, pela
fórmula
V (r) =
4
3
πr3
Essa fórmula está definida para todo os números reais, mas a função volume não está definida para
valores negativos de r. Se queremos então estudar a função volume então fazemos a restrição de que
r ≥ 0.
Exemplo 38 (1a Lei da Mecânica (Galileu)). ”Os espaços percorridos por um corpo que cai são pro-
porcionais aos quadrados dos tempos gastos para percorrê-los.”Assim
S = gt2/2 ≈ 4, 9t2, (g ≈ 9, 8m/s2)
S é o espaço percorrido (em metros) pelo corpo desde o instante inicial t = 0 até o instante t (em
segundos).
S é uma função de t, t é a variável independente e S é a variável dependente.
Exemplo 39 (Lei dos gases perfeitos (Lei do Boyle e Mariotte)). ”Se um gás é encerrado num certo
vaso e mantido a temperatura constante, então o produto do volume pela pressão é constante.”Ou seja,
pv = c
ou
p = c/v ou ainda v = c/p.
31
32 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
O domı́nio de uma função pode ser o maior conjunto de uma função para o qual a expressão que
define a função faça sentido. Por exemplo, seja
y =
1
x− 3 (5.1)
o seu domı́nio é o conjunto de todos os números reais, exceto x = 3. Mas podeŕıamos considerar a
função dada por
y =
1
x− 3 (5.2)
com domı́nio menor, digamos {x : x > 5}. As duas funções acima embora sejam definidas pela mesma
expressão anaĺıtica, são diferentes, pois seus domı́nios são diferentes. A função (5.2) é uma restrição
da função (5.1) e a função (5.1) é uma extensão da função (5.2). É costume indicar uma função por
x→ f(x).
No gráfico de uma função
Graff = {(x, f(x)) : x ∈ domf}
x é a abscissa e y = f(x) é a ordenada.
Exemplo40. A função y = mx+n é a função afim (ou linear), onde m e n são constantes. O gráfico
dessa função é uma reta de declive m que corta o eixo dos y no ponto de ordenada n.
Em particular, se m = 0, obtemos a reta y = n. Um exemplo concreto de uma função linear é
dado pela fórmula de conversão de temperatura, por exemplo,
C
5
=
F − 32
9
ou
C =
5F − 160
9
C é o grau em Celsius e F é o grau em Farenheit.
Exemplo 41. A função valor absoluto ou modular é definida por f(x) = |x| para todo x real.
f(x) =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Assim, f(3) = 3, f(−4) = −(−4) = 4, f(0) = 0.
Exemplo 42. Encontre o domı́nio de cada função:
1. f(x) =
√
x+ 5
2. g(x) =
√
x
x− 3
3. A(s) =
√
3
4
s2 onde A(s) é a área de um triângulo equilátero com lados de comprimento s.
Solução: (1) A expressão dentro do radical não, pode ser negativa. Assim x+5 ≥ 0 então x ≥ −5.
O domı́nio de f é o intervalo [−5,+∞[. (2) A expressão dentro do radical não pode ser negativa
então x ≥ 0, também o denominador não pode ser zero, logo devemos ter que x 6= 3. O domı́nio
de g é o intervalo [0,+∞[ mas com o número 3 removido, podemos então escrever o domı́nio como
[0, 3[∪]3,+∞[. (3) A expressão algébrica tem como domı́nio o conjunto dos números positivos, mas
como a função representa a área de um triângulo então s não pode ser negativo. Logo, o domı́nio de A
é [0,+∞[.
5.2. FUNÇÕES INJETORAS E SOBREJETORAS 33
Exemplo 43. Encontre a imagem da função f(x) = 3x .
Solução: O gráfico de f não está definido para x = 0, vemos que a imagem é o conjunto de todos
os números reais diferentes de zero. Note que 0 não está na imagem pois se tentamos resolver
3
x
= 0
obtemos
3 = 0.x
o que implica em
3 = 0
um absurdo. E como sabemos que todo número real diferente de zero está na imagem? Basta tomar
qualquer k real e temos a equação
3
x
= k
ou
3 = kx
ou ainda,
x = 3/k.
A imagem de f é ]−∞, 0[∪]0,+∞[.
5.2 Funções Injetoras e Sobrejetoras
Definição 6. Diremos que uma função f : A→ B é injetiva se
f(x) = f(y)⇒ x = y.
Diremos que uma função é sobrejetiva (ou simplesmente sobre) quando para todo y ∈ B existe
pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y. Ou seja, uma função f é sobre quando não falta elemento
no contradomı́nio B de f que não seja correspondido com um elemento de A, em outras palavras,
f(A) = B. Finalmente, diremos que f : A→ B é bijetora (bijeção ou biuńıvoca) quando ela é injetiva
e sobrejetiva.
Exemplo 44. A função f : R→ R definida por f(x) = 3x+ 4 é uma função injetora e sobrejetora. De
fato, mostraremos primeiro que ela é injetora, para isto, vamos supor que f(x) = f(y) dáı
3x+ 4 = 3y + 4 ⇐⇒ 3x = 3y ⇐⇒ x = y
Para mostrar que f é sobre, tome um número real qualquer, por exemplo, r e provemos que existe um
número real s tal que f(s) = r. Ou seja, devemos ter que
3s+ 4 = r ⇐⇒ 3s = r − 4 ⇐⇒ s = r − 4
3
,
logo, tomando s = r−43 encontramos que f(
r−4
3 ) = r o que implica que f é sobre.
Exemplo 45. A função f : R → R definida por f(x) = x3 é uma função injetora e sobrejetora. De
fato, para mostrar que f é injetora, considere f(x) = f(y) de onde obtemos
x3 = y3 ou x3 − y3 = 0 ⇐⇒ (x− y)(x2 + xy + y2) = 0.
Temos então que x = y ou x2 + xy + y2 = 0, mas essa última igualdade não tem soluções reais. Logo,
devemos ter x = y, então f é injetora. Para mostrar a sobrejetividade de f tomamos um número real
qualquer r e provemos que existe um número real s tal que f(s) = r. Basta tomar então s = 3
√
r que
implica em f(s) = f( 3
√
r) = ( 3
√
r)3 = r. Logo, f é bijetora.
34 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
Definição 7. Seja f : A → B uma função e seja X um subconjunto de A, chama-se imagem de X
por f ao conjunto
f(X) = {f(x) : x ∈ X}.
Temos as seguintes propriedades: Propriedades Seja f : A→ B uma função e X,Y ⊂ A. Então
teremos que:
1. f(∅) = ∅.
2. f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ).
3. f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ).
4. X ⊂ Y ⇒ f(X) ⊂ f(Y ).
Exemplo 46. Encontrar a imagem da função f : R→ R dada por f(x) = x2.
Solução: Na função acima o contradomı́nio da função é o conjunto dos números reais, mas a
imagem é o conjunto
f(R) = Imag(f) = {f(x) : x ∈ R}
Note que todo número real x ∈ R sua imagem é um número positivo. Portanto, teremos f(R) =
[0,+∞) = R+ ∪ 0.
Exemplo 47. Denotemos por f : R → R a função dada por f(x) = x2. Encontre dois conjuntos X e
Y para os quais se verifique que
f(X ∩ Y ) 6= f(X) ∩ f(Y ).
Solução: Basta considerar os conjuntos X =]−∞, 0[, Y =]0,+∞[. De fato, temos que X ∩Y = ∅,
por outro lado, f(X) = R+ e f(Y ) = R+, donde f(X) ∩ f(Y ) = R+. Portanto,
f(X ∩ Y ) = ∅ 6= R+ = f(X) ∩ f(Y ).
Exemplo 48. Encontrar o domı́nio e a imagem da função
f(x) =
x2 − 4
x− 2 .
Solução: Como não pode haver divisão por zero, então o domı́nio de f será
Dom(f) = R− {2}.
O cálculo da imagem é feito da seguinte forma,
x2 − 4
x− 2 =
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 = x+ 2
assim, para x 6= 2 temos que f(x) = x+ 2. Como x 6= 2 devemos ter f(x) 6= 4 de onde a imagem de f é
Im(f) = R− {4}.
Exemplo 49. Encontrar o domı́nio e a imagem da função f(x) = |x|+ |x− 2|.
Solução: O domı́nio de f é simplesmente Dom(f) = R já que não há nenhum valor de x que
impeça a definição dessa função. Agora, pela definição da função valor absoluto, temos
f(x) =

x+ (x− 2) = 2x− 2 se x ≥ 0 e x ≥ 2
x− (x− 2) = 2 se x ≥ 0 e x < 2
−x+ (x− 2) = −2 se x < 0 e x ≥ 2 isso é imposśıvel
−x− (x− 2) = −2x+ 2 se x < 0 e x < 2
5.2. FUNÇÕES INJETORAS E SOBREJETORAS 35
logo, devemos ter que
f(x) =

x+ (x− 2) = 2x− 2 se x ≥ 2
x− (x− 2) = 2 se 0 ≤ x < 2
−x− (x− 2) = −2x+ 2 se x < 0
olhando para o gráfico dessa função veremos que Im(f) = [2,+∞[.
5.2.1 Composição de Funções
Definição 8. Sejam f : [a, b] → R e g : [c, d] → R duas funções, tais que Im(g) ⊆ Dom(f). Diremos
que h é a composição das funções f e g se
h : A→ R
x→ h(x) = f(g(x)),
para todo x ∈ A, onde A ⊆ [c, d].
Exemplo 50. Seja f(x) =
√
x− 1 e g(x) = cosx calcular f(g(x)) e g(f(x)).
Solução: A função f está definida para valores maiores que x = 1. Enquanto o cosx ≤ 1. Portanto,
a composição f ◦ g não existe. Por outro lado, a composição g ◦ f existe e é dada por
h = g ◦ f : A→ R
x→ h(x) = cos(
√
x− 1),
onde A = {x ∈ R : x ≥ 1}. Neste exemplo, verificamos duas propriedades importantes da composição
de funções: a primeira é que a composição de funções nem sempre está definida, e a segunda é que ela
não é comutativa.
Exemplo 51. Encontre a composição das funções f(x) = x2 − 3 e g(x) = 2x− 1.
Solução: Note que f e g estão definidas em R. A composição f ◦ g é dada por
f ◦ g : A→ R
x→ f ◦ g(x) = (2x− 1)2 − 3 = 4x2 − 4x− 2
Equanto que a composição g ◦ f é dada por
g ◦ f : A→ R
x→ g ◦ f(x) = 2(x2 − 3)− 1 = 2x2 − 7.
5.2.2 Funções Inversas
Definição 9. Diremos que f : [a, b]→ R é a função inversa à esquerda de g : [c, d]→ R se
f ◦ g = I
Analogamente, diremos que f : [c, d]→ R é a função inversa à direita de g : [c, d]→ R se
g ◦ f = I
onde I é a função identidade, isto é, I(x) = x. Quando f é a inversa à direita ou à esquerda de g então
f é a inversa de g, e a denotamos por f = g−1.
Exemplo 52. Encontrar a função inversa de f : R→ R, f(x) = x2.
36 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
Solução: Para que uma função seja invert́ıvel ela tem de ser injetora e sobrejetora ao mesmo
tempo, ou seja, ela deve ser bijetora. A função f(x) = x2 não é injetora nem sobre, pois, por exemplo,
f(−2) = f(2) = 4 e não há valores de x tais que f(x) = −1. Mas quando fazemos a restrição
f : [0,+∞)→ [0,+∞) ela se torna bijetora, e podemos calcular sua inversa, g tal que
f(g(x)) = (g(x))2 = x⇒ g(x) = √x
Se fizermos a restrição f : (−∞, 0]→ [0,+∞) ela também é bijetora e sua inversa é
g(x) = −√x.
Exemplo 53. Encontrar a inversa de f : R→ R, f(x) = 3x+ 2.
Solução: Note que essa função é bijetora, e portanto, tem uma inversa, seja g essa inversa, devemos
ter que f(g(x))= x, isto é,
f(g(x)) = 3g(x) + 2 = x⇒ g(x) = x− 2
3
,
logo, g(x) =
x− 2
3
é a inversa de f com domı́nio em toda reta R.
5.2.3 Simetrias
Definição 10. Diremos que uma função f é simétrica com relação ao eixo-x (ou eixo das abscis-
sas), se f(x) = f(−x), que é a mesma definição de função par.
Definição 11. Diremos que uma função f é simétrica com relação à origem se f(x) = −f(−x),
que é mesma definição de função ı́mpar.
As funções f(x) = x2 e g(x) = cosx são funções pares ou cujo os gráficos são simétricos em relação
ao eixo-x. Já as funções h(x) = x3 e q(x) = senx são funções ı́mpares e os gráficos delas são simétricos
em relação à origem.
Figura 5.1: A função y = x2 é par
5.3. CONTINUIDADE DE FUNÇÃO 37
Figura 5.2: A função y = x3 é ı́mpar
Figura 5.3: A função y = cos(θ) é par
Figura 5.4: A função y = sen(θ) é ı́mpar
5.3 Continuidade de Função
Uma das mais importantes propriedades de funções é que elas sejam cont́ınuas. Graficamente falando
uma função f diz-se cont́ınua se seu gráfico não apresenta falhas num ponto do domı́nio da função. Há
38 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
descontinuidades de função que são remov́ıveis, essas descontinuidades são tais que podemos redefinir
a função no ponto que apresenta problemas de modo que a continuidade da função é restaurada. Há
descontinuidades que representam um salto da função, num dado ponto, o valor salta de um ponto para
outro, essas são descontinuidades de primeira espécie. E há descontinuidades que a função explode para
um valor infinitamente grande quando nos aproximamos do ponto problemático.E há ainda funções que
tem um valor infinito de descontinuidades dentro de um intervalo limitado. Esses dois últimos casos são
chamados de descontinuidade de segunda espécie. Para se entender melhor o conceito de continuidade
de função deverá se conhecer o conceito de limite de função que será estudado mais na frente ou num
curso de Cálculo Diferencial e Integral I.
Exemplo 54. Todas as funções polinomiais são cont́ınuas.
Exemplo 55. A função f(x) = 1x não é cont́ınua no ponto x = 0. Pois o valor dela explode positiva-
mente ou negativamente quando nos aproximamos do zero. Mas ela é cont́ınua em qualquer valor de x
onde x 6= 0.
Exemplo 56. A função f(x) dada por duas sentenças, por exemplo, f(x) = x quando x > 0 e f(0) = 1
não é cont́ınua no ponto x = 0 e essa descontinuidade dá um salto de 0 até 1, para pontos de x que
chegarem perto do x = 0.
5.3.1 Funções crescentes e decrescentes
Um outro conceito de função que é fácil de entender é o de funções crescentes e funções decrescentes.
Definição 12. Uma função f é crescente num certo intervalo se, para quaisquer dois pontos x1 e x2
nesse intervalo, com x1 < x2 tivermos f(x1) < f(x2). Uma função f é decrescente num certo intervalo
se, para quaisquer dois pontos x1 e x2 nesse intervalo, com x1 < x2 tivermos f(x1) > f(x2).Uma função
f é constante num intervalo se para valores diferentes de x nesse intervalo o valor da função é sempre
o mesmo, isto é, f(x) = c para todo x nesse intervalo, onde c é uma constante.
Exemplo 57. A função f(x) = x2 é decrescente no intervalo ]−∞, 0] e é crescente no intervalo [0,∞].
Já a função f(x) = x é crescente na reta toda e a função f(x) = −x é decrescente na reta toda.
Exemplo 58. A função g(t) = sen t quando definida em toda a reta não é crescente nem decrescente.
Mas se fizermos a restrição de que g(t) esteja definida somente para t ∈ [−π/2, π/2] ela é crescente e
no intervalo [π/2, 3π/2] ela é decrescente.
5.4. EXERCÍCIOS 39
Figura 5.5: A função y = sen(θ) é crescente no intervalo [−π/2, π/2]
5.4 Exerćıcios
1. Para cada uma das funções abaixo, dê o domı́nio de definição e esboce o gráfico.
a) f (x) = 3x b) g (x) = −x c) h (x) = −x+ 1
d) f (x) =
1
3
x+
5
3
e) g (x) = −1
2
x f) h (x) =
{
x se x ≤ 2
3 se x > 2
g) f (x) =
{
2x se x ≤ −1
−x+ 1 se x > −1 h) g (x) = |x− 1| i) h(x) = |x+ 2|
j) f (x) = |x+ 2|+ 1 k) g (x) = x
2 − 1
x+ 1
l) h (x) =
x2 − 2x+ 1
x− 1
m) f (x) =
|x|
x
n) g (x) =
|x− 1|
x− 1 o) h (x) =
|2x+ 1|
2x+ 1
2. Se f (x) = |x− 1|+ |x− 2|, mostre que f (x) =

−2x+ 3 se x ≤ 1
1 se 1 < x < 2
2x− 3 se x ≥ 2
e esboce o gráfico de f .
3. Determine o domı́nio das funções indicadas abaixo.
a) f (x) =
1
x− 1 b) y =
x
x2 − 1 c) g (x) =
2x
x2 + 1
d) y =
x
x+ 2
e) h (x) =
√
x+ 2 f) q (x) =
x+ 1
x2 + x
g) r (x) =
√
x− 1
x+ 1
h) y = 4
√
x
x+ 3
i) g (x) = 3
√
x2 − x j) y =
√
x (2− 3x) k) f (x) =
√
2x− 1
1− 3x l) y =
6
√
x− 3
x+ 2
m) s =
√
t2 − 1 n) y =
√
x
3
√
x− 1 o) y =
√
4− x2 p) y =
√
5− 2x2
q) y =
√
x− 1 +
√
3− x r) y =
√
1−√x s) y = √x−
√
5− 2x t) y =
√
x−√x
4. Utilizando o procedimento indicado no Exerćıcio 2, esboce o gráfico das funções definidas abaixo.
40 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
a) f (x) = |x| − 1 b) g (x) = ||x| − 1| c) h (x) = |x+ 1| − |x| d) y =
∣∣x2 − 1∣∣
5. Mostre que
a) para todo x > 0, x+
1
x
≥ 2 ; b) não existem x e y reais, tais que 1
x
+
1
y
=
1
x+ y
.
6. Uma pequena indústria fabrica termômetros e estima que o lucro semanal, em reais, pela fabricação
e venda de x unidades/semana é de R(x) = −0, 001x2 + 8x− 5000. Qual o lucro da empresa em
uma semama que foram fabricados 1.000 termômetros?
7. Determine o domı́nio da função f(x) =
√
4− |3− 2x||2 + x| .
8. Se x e y são dois números reais quaisquer, mostre que
a) |xy| = |x||y|; b)|x+ y| ≤ |x|+ |y|.
9. Se f(x) = |x3 − 2x2 + 3x− 4|, para x ∈ [−3, 2], encontre um número real k, tal que f(x) ≤ k.
10. Se x ∈ (1, 4), mostre que f(x) = |x+ 2
x
− 5| < 6.
11. Considere a função f definida por f(x) = x2 + 4x+ 5.
(a) Verifique que f(x) = (x+ 2)2 + 1.
(b) Esboce o gráfico de f .
(c) Qual o menor valor de f(x)? Para qual x esse valor é assumido?
12. Verifique que
√
1 + x2 − |x| = 1
|x|+
√
1 + x2
e, então, conclua que à medida que x cresce, o valor
da diferença
√
1 + x2 − |x| aproxima-se de zero.
13. Seja y = f(x) a função dada a partir da equação x2 + y2 = 4, para y ≥ 0.
(a) Determine uma fórmula que defina explicitamente y como função de x.
(b) Determine o domı́nio da função f .
(c) Esboce o gráfico de f .
14. Uma caixa retangular sem tampa, com volume de 2m3, tem uma base quadrada. Expresse a área
S da superf́ıcie da caixa como uma função do comprimento x de um lado de base.
15. À medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Sabendo-se que a temperatura
do solo é de 200C e que a temperatura a 1km de altura é de 100C, expresse a temperatura T , em
0C, como uma variável dependente da altura h, medida em km, supondo que um modelo baseado
em uma função afim seja apropriado. Qual a temperatura a uma altura de 2, 5km?
16. Classifique cada uma das funções abaixo, como função par, ı́mpar ou nem par nem ı́mpar.
a) f(x) = x5 + x b) g(x) = x2 c) h(x) = 2x− x2 d) k(x) = 1− x4.
17. Se f é uma função qualquer, definida em R ou em um intervalo (−a, a), mostre que g(x) =
f(x) + f(−x) é uma função par.
18. Duas funções f : A → B e g : C → D são iguais se A = C e se, para todo elemento
x ∈ A, f(x) = g(x). Com base nessa definição, diga se f = g em cada um dos casos abaixo.
a) f(x) =
√
x
√
x− 1 e g(x) =
√
x2 − x b) f(x) = x2 e g(x) = |x|2
c) f(x) =
x2 − 1
x− 1 e g(x) = x+ 1 d) f(x) = x e g(x) =
√
x2.
5.5. ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS 41
19. Mostre que a função f(x) = ax+ b é crescente, se a > 0, e decrescente, se a < 0.
20. Nos casos abaixo, verifique se Im(f) ⊆ D(g) e, determine a função h(x) = g(f(x)).
a) f(x) = x2 e g(x) =
√
x b) f(x) = x2 + 3 e g(x) =
x+ 1
x+ 2
.
c) f(x) = −√x e g(x) =
√
2− x d) f(x) = x
x+ 1
e g(x) =
x+ 1
x− 1 .
21. Verifique que a função f : R→ R dada por f(x) = 3x+ 5 é bijetora e determine sua inversa.
22. Se f−1 é a inversa da função do exerćıcio anterior, qual a função f ◦ f−1?
23. Considere a função f : [1/2,+∞)→ [b,+∞)definida por f(x) = x2 − x+ 1.
Qual o valor de b para que f seja invert́ıvel?
Qual é essa inversa?
5.5 Algumas Funções Especiais
5.5.1 Função Exponencial e Logaŕıtmica
Definição 13. Sejam a > 0, a 6= 1, a ∈ R. A função exponencial f de base a e expoente real x é
dada por:
f(x) = ax.
ela satisfaz as seguintes propriedades: sejam a > 0, b > 0, e x, y quaisquer então:
1. axay = ax+y
2. (ax)y = axy
3. (ab)x = axbx
4. Se a > 1 e x < y então ax < ay (crescente)
5. Se 0 < a < 1 e x < y então ax > ay (decrescente)
A função exponencial com base e é a função f(x) = ex. O número real e ≈ 2, 718281.
Figura 5.6: A função y = ax com a > 1
42 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
Figura 5.7: A função y = ax, com 0 < a < 1
A função exponencial f(x) = ax, tem como domı́nio o conjunto dos números reais, tem por imagem
o intervalo ]0,+∞[, é cont́ınua, não é simétrica, é limitada inferiormente, mas não superiormente.
Veja que por ser a função exponencial crescente ou decrescente então ela é necessariamente injetora,
desse modo, se tivermos ax = ay então devemos ter x = y. Podemos então resolver diversas equações
exponenciais.
Exemplo 59. Resolva a equação 4x = 0, 25.
Solução: Temos que,
0, 25 =
25
100
= (
5
10
)2 = (
1
2
)2
e como,
4x = (22)x = 22x
temos
22x = 2−2
logo,
2x = −2⇒ x = −1.
ou, mais diretamente,
0, 25 =
1
4
= 4−1
logo,
4x = 4−1 ⇒ x = −1.
Exemplo 60. Resolva a equação 5x
2+2x+1 = 1.
Solução: Temos que
5x
2+2x+1 = 1⇒ 5x2+2x+1 = 50
assim
x2 + 2x+ 1 = 0
ou
(x+ 1)2 = 0⇒ x = −1.
Exemplo 61. Resolva a equação 22x−3 − 32x−1 + 4 = 0.
5.5. ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS 43
Solução: Temos que
22x−3 = 22x−22−1 = 2−1(2x−1)2
assim ficamos com
2−1(2x−1)2 − 32x−1 + 4 = 0
ou
(2x−1)2 − 62x−1 + 8 = 0
chamando 2x−1 = y temos
y2 − 6y + 8 = 0
cujas ráızes são:
y = 2, y = 4
assim ficamos com
2x−1 = 2⇒ x− 1 = 1⇒ x = 2
e
2x−1 = 22 ⇒ x− 1 = 2⇒ x = 3
então x = 2 e x = 3 são as soluções dessa equação.
Definição 14. Sejam a > 0, 6= 1 e β > 0. O único número real γ tal que aγ = β, denomina-se o
logaritmo de β na base a e denotamos por γ = loga β. Assim
γ = loga β ⇐⇒ aγ = β.
Assim, definimos a função logaritmo f(x) = loga x, na base a, cujo domı́nio é o intervalo (0,+∞) e
cuja imagem é o conjunto dos números reais.
Observação 5. O loga β somente está definido para β > 0, a > 0, a 6= 1.
Exemplo 62. Calcule: a) log2 4 b) log2
1
2 .
Solução:
a)
x = log2 4 ⇐⇒ 2x = 4 ⇐⇒ x = 2
logo, log2 4 = 2.
b)
y = log2
1
2
⇐⇒ 2y = 2−1 ⇐⇒ x = −1
logo, log2
1
2 = −1. Como aγ = β ⇐⇒ γ = loga β então
aloga β = β
pois, se chamamos aloga β = x devemos ter que loga β = loga x e, por unicidade, x = β. o logaritmo na
base e é indicado por ln, ln = loge e, temos
y = lnx ⇐⇒ ey = x.
Também temos
eln x = x
logo, a função exponencial f(x) = ex é a função inversa da função logaŕıtmica.
Propriedades: Seja a > 0 a 6= 1, b > 0, b 6= 1, α > 0, β > 0.
1. loga αβ = loga α+ loga β.
44 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
2. loga α
β = β loga α.
3. loga
α
β = loga α− loga β.
4. Mudança de base: loga α =
logb α
logb a
.
5. Se a > 1, α < β então loga α < loga β, (crescente)
6. Se 0 < a < 1, α < β então loga α > loga β, (decrescente.)
Prova da propriedade 1: Seja X = loga α ⇐⇒ α = aX e Y = loga β ⇐⇒ β = aY assim
αβ = aXaY = aX+Y ⇐⇒ X + Y = loga αβ
portanto,
logaα+ loga β = loga(αβ).
Prova da propriedade 2: Temos que Y = loga α
β ⇐⇒ aY = αβ e tomando X = loga α ⇐⇒ aX = α
obtemos
aY = (aX)β = aβX
logo, Y = βX.
Figura 5.8: A função y = lnx
5.5.2 Funções trigonométricas
Considere a figura 5.9 abaixo onde temos um ćırculo de raio r = 1, o ponto B tem coordenadas (x, y),
onde x é o tamanho do segmento OP , y é o tamanho do segmento PB o triângulo retângulo 4OPB
tem ângulo reto no ponto P , e sua hipotenusa é r = 1, correspondente ao segmento OB. Então, por
definição, o cos θ é igual ao cateto adjacente ao ângulo θ dividido pela hipotenusa e o sen θ é o cateto
oposto dividido pela hipotenusa, ou seja,
cos θ = x, sen θ = y.
5.5. ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS 45
s na figura corresponde ao tamanho do segmento AQ. Chamaremos s da tangente de θ, isto é, s = tg θ.
Por semelhança de triângulos, isto é, 4OPB é semelhante ao triângulo 4OAQ, então devemos ter que
s
1
=
y
x
ou seja,
tg θ =
sen θ
cos θ
Figura 5.9: Ćırculo de raio r=1
Observando as figuras 5.11 e 5.10 quando o ângulo θ vai se aproximando de π/2 vemos que o
valor de y = sen θ vai se aproximando de 1 enquanto que o valor de x = cos θ vai se aproximando de 0;
por outro lado, observando as figuras 5.12 e 5.13, vemos que quando diminúımos o valor de θ, ou seja,
quando θ se aproxima de 0 o valor de x = cos θ tende para 1 enquanto o valor de y = sen θ tende para
0. Observamos também que s = tg θ tende para infinito quando θ tende para π/2 enquanto que s = tg θ
tende a 0 quando θ vai a 0.
Figura 5.10: Ćırculo de raio r=1
Então sen θ e cos θ podem ser definidas como as únicas funções que satisfazem:
46 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
Figura 5.11: Ćırculo de raio r=1
Figura 5.12: Ćırculo de raio r=1
Figura 5.13: Ćırculo de raio r=1
1. cos 0 = 1, sen 0 = 0
2. cos(a− b) = cos a cos b+ sen a sen b
5.5. ALGUMAS FUNÇÕES ESPECIAIS 47
3. sen(a− b) = sen a cos b− sen b cos a
4. sen a < a < tg a, para 0 < a < π/2.
O item 4 se justifica pelo seguinte: A área do setor circular OAB que corresponde a Asc = θ/2 é maior
que a área do triângulo 4OAB que corresponde a sen θ
2
e é menor que a área do triângulo 4OAQ que
corresponde a
tg θ
2
. Assim obtemos
sen θ
2
<
θ
2
<
tg θ
2
ou
sen θ < θ < tg θ.
Do item 2 tomando b = a obtemos
cos2 a+ sen2 a = 1
do item 2 tomando a = 0 obtemos
cos(0− b) = cos 0 cos b+ sen 0 sen b = cos b
isto é,
cos(−b) = cos b
por outro lado, do item 3 tomando a = 0 obtemos
sen(0− b) = sen 0 cos b− senb cos 0 = − sen b
isto é,
sen(−b) = − sen b
logo, vemos que a função cos θ é par e a função sen θ é ı́mpar.
Figura 5.14: Função y = cos θ
48 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
Figura 5.15: Função y = sen θ
5.6 Exerćıcios
1. Resolva em R as seguintes equações exponenciais:
(a) 5x = 125 (b) 4x = 0, 25 (c) 8x−9 =
(
1
2
)x+1
(d) 814−3x = 95−x.
2. Sendo U = R, determine o conjunto solução de cada uma das equações:
(a) (2x)
x−1
= 4 (b) 52x
2−3x−2 = 1 (c) 8x
2−x = 4x+1 (d) 27x
2+1 = 95x.
3. Resolver em R as equações exponenciais:
(a) 2x−1 + 2x + 2x+1 − 2x+2 + 2x+3 = 120 (b) 22x−3 − 3.2x−1 + 4 = 0 (c) 4.3|5x−2| − 9|5x−2| = 3.
4. Resolver as inequações em R:
(a) 3x > 13 (b)
(
1
2
)5x−1
> 1024 (c)
(
5
√
25
)x
< 14√125 (d) (π)
x−1
< π3.
5. Aplicando a definição de logaritmo, determine a, tal que loga
(
5 + a2
)
= 2.
6. Em qual base a temos loga 16 = −2?
7. Especifique o domı́nio das funções abaixo:
(a) f(x) = log
√
5− x2 (b) g(x) = log (sinx) (c) x log x− x (d) f(x) = log |x|
(e) y = log
√
2−x
3−x (f) log(x
2 − 1) (g) log(log |x|) (h) g(x) = 1log x .
8. Lembrando que o logaritmo de um número N > 0, numa base b > 0, b 6= 1, é definido por
logbN = r ⇔ br = N. Prove que logbN = logNlog b , onde logN e log b são os logaritmos naturais de
N e b, respectivamente.
9. Se a+ b = 8 e log2(a− b) = m, calcule log2(a2 − b2) em função de m.
10. Sendo log
(
27
10
)
= k, ache log 3.
11. Determine em R a solução das equações abaixo:
(a) xlog x = 100x (b) x2 logx 10 = 10x (c) 4xlog2 x = x3
12. Determine o valor de x na equação log(1000)x − log(0, 1)x = −1.
13. Se log3 2 + log3(x+ 1) = 1 então qual o valor de x?
5.6. EXERCÍCIOS 49
14. Encontre um valor de x ∈ [−π, π] tal que 2 sen2 x+ 3 sen x− 2 = 0.
15. Encontre um valor de x ∈ [−π, π] tal que cos2 x− 3 cosx+ 2 = 0.
16. Uma escada de 10m toca em um muro num ponto a 5m do solo. Determine o ângulo α que a
escada forma com o solo.
17. A área de um triângulo retângulo é de 12dm2. Se um dos catetos é 23 do outro, calcule a medida
da hipotenusa desse triângulo.
18. Prove todas as relações trigonométricas que aparecemna literatura.
50 CAPÍTULO 5. FUNÇÕES
Caṕıtulo 6
Referências
51
52 CAPÍTULO 6. REFERÊNCIAS
Referências Bibliográficas
[1] Demana et al., Pré-Cálculo, Addison Wesley, 2009.
[2] Muñoz Rivera, J. E., Cálculo Diferencial e Integral I, Textos de Graduação, LNCC, Petrópolis, RJ,
2007.
[3] Courant, R. and John, F., Introduction to Calculus and Analysis, vol. 01, Springer, New York,
1965.
[4] E. W. Swokowski, Cálculo com Geometria Geometria Anaĺıtica, vol. 1, MakronBooks, 1994.
[5] G. B. Thomas, Cálculo, vol.1, Addison Wesley.
[6] G. S. Ávilac Cálculo, vol. 1, LTC.
[7] H. L. Guidorizzi, Um Curso de Cálculo, vol. 1, LTC, Rio de Janeiro, 2004.
[8] J. Stewart, Cálculo, vol. 1, CENGAGE Learning.
[9] M. Munem and D. Foulis, Cálculo, vol. 1, Guanabara Dois.
53