Geometria: Estudo de Ângulos

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Ângulos
GEOMETRIA
A Geometria, área de estudo da Matemática, é dividida em: Geometria Plana, Espacial e Analítica.
A Geometria realiza cálculos relacionados com a medida de estruturas planas e tridimensionais    
Geometria é uma palavra de origem grega que significa: “geo”, terra, e “metria”, que vem da palavra “métron” e significa medir. Sendo assim, a Geometria é uma ciência que se dedica a estudar as medidas das formas de figuras planas ou espaciais, bem como sobre a posição relativa das figuras no espaço e suas propriedades.
Os matemáticos que realizam os estudos relacionados com a Geometria são chamados de geômetras. Ao longo da história da Geometria, que se constituiu como ciência organizada na Grécia Antiga, destacaram-se geômetras como Arquimedes, Descartes, Tales de Mileto, Euclides (considerado o pai da Geometria), entre outros. A esses estudiosos, que formularam axiomas, postulados e teorias, podemos atribuir descobertas e criações como:
Descobertas e criações de grandes geômetras:
 
· A área sob o arco de uma parábola (Arquimedes);
· A aproximação do valor numérico do número pi (Arquimedes);
· O volume de superfícies de revolução (Arquimedes);
· Sistema de coordenadas (Descartes);
· A união da geometria com a álgebra, o que resultou na geometria analítica (Descartes);
· O diâmetro que divide o círculo em duas partes iguais (Tales de Mileto);
· Os ângulos opostos pelo vértice são iguais (Tales de Mileto);
· Geometria euclidiana (Euclides).
Como a Geometria é uma área de estudos muito extensa, podemos dividi-la nas seguintes subáreas:
 
Subáreas da Geometria:
 
· Geometria analítica: relaciona a álgebra e a análise matemática com a geometria;
· Geometria plana: também chamada de Geometria Euclidiana, estuda o plano e o espaço baseando-se nos postulados de Euclides;
· Geometria Espacial: realiza o estudo de figuras tridimensionais. Nessa área de estudo, é possível calcular o volume de um sólido geométrico.
Conteúdo de Geometria visto no Ensino Fundamental e Médio:
 
→ Ponto
→ Reta
→ Plano
→ Ângulos
→ Operações com ângulos
→ Posições relativas entre retas
→ Posições relativas entre reta e plano
→ Posições relativas entre plano e plano
→ Triângulos
→ Teorema de Pitágoras
→ Lei dos senos
→ Lei dos cossenos
→ Relações métricas do triângulo
→ Teorema de Tales
→ Quadriláteros
→ Polígonos
→ Poliedros
→ Prismas
→ Pirâmides
→ Circunferência
→ Círculo
→ Cone
→ Cilindro
→ Corpos esféricos
→ Perímetro
→ Áreas de regiões planas
→ Volume
→ Distância
→ Plano cartesiano
Ângulos
O ângulo e seus elementos
Duas semirretas que não estejam contidas na mesma reta, e que tenham a mesma origem, dividem o plano em duas regiões: uma convexa e outra não-convexa.
Cada uma dessas regiões, junto com as semirretas, forma um ângulo. Assim, as duas semirretas determinam dois ângulos:
Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semirretas que o determinam. O vértice é a origem comum dessas semirretas.
O ângulo convexo de vértice O e lados  é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.
Ângulo nulo e ângulo raso
Observe agora dois casos em que as semirretas de mesma origem estão contidas na mesma reta. Nesses casos, formam-se também ângulos.
Ângulo nulo e ângulo de uma volta
·  As semirretas   coincidem. Temos aí o ângulo nulo e o ângulo de uma volta.
Ângulo raso ou ângulo de meia-volta
· As semirretas  não coincidem. Temos aí dois ângulos rasos ou de meia-volta.
Podemos, então, estabelecer que:
Ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas que têm a mesma origem. 
Medida de um ângulo
A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade padrão de medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é º.
Tomando um ângulo raso ou de meia-volta e dividindo-o em 180 partes iguais, determinamos 180 ângulos de mesma medida. Cada um desses ângulos representa um ângulo de 1º grau (1º).
Para medir ângulos, utilizamos um instrumento denominado transferidor. O transferidor já vem graduado com divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos de transferidor: de 180º e de 360º.
O grau compreende os seguintes submúltiplos:
· O minuto corresponde a  do grau. Indica-se um minuto por 1'.
1º=60'
· O segundo corresponde a  do minuto. Indica-se um segundo por 1''.
1'=60''
Logo, podemos concluir que:
1º  =  60'.60 = 3.600''
Quando um ângulo é medido em graus, minutos e segundos, estamos utilizando o sistema sexagesimal.  
Leitura de um ângulo
Observe as seguintes indicações de ângulos e suas respectivas leituras:
15º   (lê-se "15 graus'')
45º50'   (lê-se ''45 graus e 50 minutos'')
30º48'36''   (lê-se ''30 graus, 48 minutos e 36 segundos'')
Observações:
A representação da medida de um ângulo pode ser feita também através de uma letra minúscula ou de um número.
Um ângulo raso ou de meia-volta mede 180º.
O ângulo de uma volta mede 360º.
Ângulos congruentes
Observe os ângulos abaixo:
Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação:
Assim: 
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.Propriedades da Congruência
·  Reflexiva: 
·  Simétrica: 
·  Transitiva: 
Ângulos consecutivos
Observe a figura:
   
Nela identificamos os ângulos AÔC, CÔB e AÔB. Verifique em cada uma das figuras abaixo que:
Os ângulos AÔC  e CÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum: 
Os ângulos AÔC e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum: 
Os ângulos CÔB  e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum: 
Os pares de ângulos AÔC  e CÔB, AÔC  e AÔB, CÔB  e AÔB são denominados ângulos consecutivos.
Assim:
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado comum.    
Ângulos adjacentes
Observe os exemplos de ângulos consecutivos vistos anteriormente e verifique que:
Os ângulos AÔC  e CÔB não possuem pontos internos comuns.
Os ângulos AÔC  e  AÔB possuem pontos internos comuns.
Os ângulos CÔB  e AÔB possuem pontos internos comuns
   
Verifique que os ângulos AÔC  e CÔB são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Por isso eles são denominados ângulos adjacentes.       
Assim:
Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Observação:
Duas retas concorrentes determinam vários ângulos adjacentes. Exemplos:
Bissetriz de um ângulo
Observe a figura abaixo:
   
m (AÔC)  = m (CÔB) = 20º
Verifique que a semirreta   divide o ângulo AÔB em dois ângulos (AÔC e CÔB) congruentes. Nesse caso, a semirreta   é denominada bissetriz do ângulo AÔB.
Assim:
Bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.    
Ângulo agudo, obtuso e reto
Podemos classificar um ângulo em agudo, obtuso ou reto.
· Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo:
· Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo:
 
· Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:
Retas perpendiculares
As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos.
Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos:
Observação:
Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquas. Exemplo:  
Ângulos complementares
Observe os ângulos AÔB  e BÔC na figura abaixo:
Verifique que:
m (AÔB) + m (BÔC) = 90º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e BÔC são complementares. Assim:
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
Observação:
Os ângulos XÔY  e YÔZ  da figura ao lado, além de complementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares.
                                       
Ângulos suplementares
Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo:
As semirretas  formam um ângulo raso. Verifique que:
m (AÔB)  + m (BÔC) = 180º
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são suplementares. Assim:
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
Observação:
Os ângulos XÔY e YÔZ da figura abaixo, além de suplementares, são também adjacentes. Dizemos que esses ângulos são adjacentes suplementares.
 Ângulos opostos pelovértice
Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo:
Verifique que:
Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). Assim:
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.
Na figura abaixo, vamos indicar:
Sabemos que:
X + Y = 180º  (ângulos adjacentes suplementares)
X  + K = 180º (ângulos adjacentes suplementares)
Então:
Logo: y = k
Assim:
m (AÔB) = m (CÔD) AÔB   CÔD
m (AÔD) = m (CÔB) AÔD   CÔB
Daí a propriedade:
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Operações com ângulos
Observe alguns exemplos de operações envolvendo medidas de ângulos.
Adição
· 30º48'  +  45º10'
 
· 43º18'20''  +  25º20'30''
· 10º36'30''  +  23º45'50''
                   
   Simplificando 33º81'80'', obtemos:
           
 Logo, a soma é 34º22'20''.
Subtração
Observe os exemplos:
· 70º25' -  30º15
· 38º45'50''  - 27º32'35''
   
· 90º  -  35º49'46''
 
· 80º48'30''  -  70º58'55''
  Observe que:
  
  Logo, a diferença é 9º 49'35''.
Multiplicação por um número natural
Observe os exemplos:
· 2 . ( 36º 25')
· 4 . ( 15º 12')
· 5 . ( 12º36'40'')
Logo, o produto é 63º3'20''.
Divisão por um número natural
Observe os exemplos:
( 40º 20') : 2
( 45º20' ) : 4
( 50º17'30'' ) : 6
 
Fontes:
Mundo Educação - Geometria
Só Matemática - O ângulo e seus elementos
Só Matemática - Ângulo nulo e ângulo raso
Só Matemática - Medida de um ângulo
Só Matemática - Leitura de um ângulo
Só Matemática - Transformação de unidades
Só Matemática - Operações com medidas de ângulos
Só Matemática - Ângulos congruentes
Só Matemática - Ângulos consecutivos
Só Matemática - Ângulos adjacentes
Só Matemática - Bissetriz de um ângulo
Só Matemática - Ângulo agudo, obtuso e reto
Só Matemática - Ângulos complementares
Só Matemática - Ângulos suplementares
Só Matemática - Ângulos opostos pelo vértice