DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES NOS SOLOS 25052021

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Distribuição de Pressões 
nos Solos
ECV112- Mecânica dos Solos
Teófilo Otoni MG 
2021
Professor: Iágo Prado Cardoso
Discentes
ECV112- Mecânica dos Solos
Diego Gabriel Santos Barroso
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri - UFVJM 
Instituto de Ciência, Engenharia e Tecnologia - ICET
Estudante de Engenharia Civil 
diego.barroso@ufvjm.edu.br
Marcela Margarida Soares Amaral
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri - UFVJM 
Instituto de Ciência, Engenharia e Tecnologia - ICET
Estudante de Engenharia Civil 
marcela.soares@ufvjm.edu.br
Rônio Pacheco da Silva 
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri - UFVJM 
Instituto de Ciência, Engenharia e Tecnologia - ICET
Estudante de Engenharia Civil 
ronio.pacheco@ufvjm.edu.br
Teófilo Otoni 2021
➢ Distribuição de tensões devido ao peso próprio do solo.
➢ Distribuição de tensões induzidas pelo carregamento.
ECV112- Mecânica dos Solos
Tópicos
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Conceito de tensões em um meio particulado → Os solos são
constituídos por partículas e as forças são transmitidas de
partícula a partícula e suportadas pela água dos vazios.
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Introdução
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4
Transmissão de esforços entre as partículas
Partículas granulares → transmissão de forças
através do contato direto grão a grão;
Partículas de argila → pode ocorrer através da
água adsorvida.
A transmissão se dá por áreas muito
reduzidas. Ao longo de um plano horizontal no
solo tem-se esforços decompostos em
componentes normais e tangenciais.
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Introdução
Q
P
F N
T
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5
Conceito de tensão normal:
σ =෍
N
Área
Conceito de tensão tangencial:
τ =෍
T
Área
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Conceito de tensão total em um meio contínuo
Q
P
✓ Tensões de contato (>700 Mpa) >>>>>> tensões totais assim definidas 
(<1 Mpa) → áreas de contato muito pequenas (< 1% da área total).
F
N
T
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6
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Distribuição de tensões devido ao peso próprio 
do solo
7
➢ Caso geral: Terreno inclinado
Semiespaço infinito, solo homogêneo acima do NA, elemento de
solo de espessura unitária.
Por equilíbrio:
෍FH = 0 −→ Ee = Ed
෍FV = 0 −→ W = R
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Tensões devido ao peso próprio do solo
w
R
z1z1
Z
Ee Ed
Z
b0= b.cos i
b
w
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8
W= peso do elemento unitário de solo
W = b0. Z. l. γ = b. cos i . z. γ
σv = tensão atuante na base do elemento de solo
σv = 
R
b
= γ. z. cos i
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Tensões devido ao peso próprio do solo
Z
b0= b.cos i
b
w
γ
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9
➢ Caso particular – terreno horizontal e plano, com constância
horizontal nas camadas e ausência de cargas externas –
tensões geostáticas → tensões cisalhantes nos planos
horizontal e vertical são nulas.
Solo estratificado → camadas uniformes de espessuras z1, z2,...,
com pesos específicos γ1, γ2, ...
σ = γ1 . z1 + γ2 . z2 +⋯+ γn . zn
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10
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Exemplo de cálculo
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Areia Fofa
Pedregulho
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 20 40 60 80 100 120
σv ( kPa)
m
𝜎𝑣
𝛾 = 16 kN.𝑚−3
𝛾 = 21 kN.𝑚−3
11
➢ Pressão neutra – u ou u𝑤
Pressão na água dos vazios dos solos → corresponde a carga
piezométrica da lei de Bernoulli.
u = γw . zw
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12
➢ Tensões efetivas – σ’
Tensão transmitida pelos contatos entre as partículas → tensão
efetiva (σ’)
Pressão na água dos poros → pressão neutra ( uw)
Pressão no ar dos poros ( ua)
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Para um elemento de solo tem-se a seguinte condição de
equilíbrio:
σ. A = σ′. Ac + uw. Aw + ua. Aa
Para solo saturado:
σ. A = σ′. Ac + uw. Aw
Como 𝐴𝑐 <<<<<< A impossível mensuração → σ
′definido pelo
Princípio das tensões efetivas
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➢ Princípio das tensões efetivas
A tensão efetiva (solos saturados) pode ser expressa por:
σ′ = σ − u
Todos os efeitos mensuráveis das variações de tensões
(deformações e resistência ao cisalhamento) são devido as
variações na tensão efetiva – associados ao deslocamento das
partículas de solo.
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h1
Piezômetro
h2 h2
Areia Areia Areia
Esferas de 
chumbo
1 2 3
16
Cálculo de tensão efetiva
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h z
h
z
z
N.A N.A N.A
1- 2- 3-
A B C
σ = γsat. z+ γw. (h − z)
u = γw. h
σ′ = z. (γsat − γw)
σ′ = γsub. z
σ = γsat. z
u = γw. h
σ′ = z. (γsat − γw)
σ′ = γsub. z
σ = γsat. h+ γ . (z − h)
u = γw. h
σ′ = h. (γsat − γw) + γ(z − h)
σ′ = γsub. h + γ(z − h)
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Exemplo de cálculo
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Areia Fofa
Pedregulho
𝜎𝑣 ( kPa)
m
𝜎𝑣γn = 19 kN.m
−3
γn = 21 kN.m
−3
Argila mole
γn = 16 kN.m
−3
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
0 50 100 150 200
u
𝜎′
𝜎
𝜎, 𝜎‘, u (kPa)
18
Relação entre tensões efetivas
horizontal (σ′H) e vertical (σ′V )
No caso geostático as tensões horizontais
associadas às tensões verticais são definidas
em função do coeficiente de empuxo em
repouso (K0 )
K0 =
σ′H
σ′V
O valor de 𝐾0 varia entre 0,3 e 3 dependendo
do tipo de solo, história de tensões,
plasticidade,...
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Tipo de Solo 𝐾0
Areia fofa 0,50
Areia densa 0,40
Argila de baixa 
plasticidade
0,50
Argila muito plástica 0,65
Argila pré-adensada >1
Solos compactados >1
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Valores típicos
19
Distribuição das poropressões
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Solo saturado
Solo saturado Franja capilar
Distribuição 
hidrostática de 
pressões na água
Solo não saturado
NA
+
-
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Distribuição de tensões induzidas pelo 
carregamento
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Distribuição de tensões no solos
❑ A determinação das tensões devido as cargas externas, bem
como a sua distribuição no subsolo é de enorme importância
para a avaliação da deformação e também para definir a
capacidade de carga dos terrenos onde vão ser instaladas as
obras.
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Distribuição de tensões no solos
❑ Os acréscimos de tensão em uma
determinada profundidade não se limitam a
projeção da área carregada.
❑ Nas laterais da área carregada também
ocorrem aumentos de tensão, que se somam
às anteriores devidas ao peso próprio.
❑ Como a área de atuação aumenta, o valor
das tensões verticais diminui com a
profundidade.
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Bulbos de tensões
❑ Isóbaras são curvas e
superfícies de tensões obtidas
pela ligação de pontos de
mesma tensão.
❑ O conjunto das isóbaras são
conhecidos como bulbos de
tensões.
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24
❑ Nos bulbos de tensões, a uma
certa profundidade as tensões
transmitidas ao solo são tão
baixas que podem ser
desconsideradas.
❑ Na prática essa profundidade é
considerada igual ao dobro do
valor do maior lado da sapata.
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Bulbos de tensões
25
Teoria da Elasticidade 
❑ As pressões estimadas, geradas por cargas aplicadas à
superfície de um solo geralmente são baseadas de acordo
com a Teoria da Elasticidade. Ou seja:
➢ Considerar o solo como um material homogêneo, tendo as mesmas
propriedades em todos os pontos;
➢ Ser isotrópicos, ter as mesmas propriedades em todas as direções;
➢ Obedecer a Lei de Hooke (tensões proporcionais às deformações).
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26
Teoria da Elasticidade 
❑ Entretanto, algumas aplicações da Teoria da Elasticidade para 
solos são questionáveis,uma vez que:
➢ Foge da realidade da maioria dos solos características homogêneas, 
além de apresentar relação tensão-deformação, variável com a 
profundidade. 
➢ Para que o comportamento linear e elástico seja válido, os acréscimos 
de tensões devem ser muito pequeno, de forma que o estado de tensão 
seja muito distante do estado de ruptura. 
➢ O solo é, em muitos casos, anisotrópico pela natureza e arranjo de suas 
partículas.
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A equação desenvolvida por Boussinesq permite determinar os
acréscimos de tensões verticais devido a uma carga pontual
aplicada na superfície, admitindo o módulo da constante de
elasticidade constante (E = Cte).
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Solução de Boussinesq - Carga concentrada (pontual)
28
❑ Análise pelo ângulo:
σz =
3.P
2π.z²
x cos5 θ
❑ Ou podemos calcular a partir da fórmula 
σz =
P
z²
xNB
Onde, NB =
3
2π
x
1
1+
r
z
2 ൗ
5
2
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❑ Para pontos de análises exatamente a baixo da linha de 
pressão podemos utilizar a expressão:
σz =
0,48 P
z²
0
20
40
60
80
100
120
02468101214161820
T
e
n
s
õ
e
s
 (
k
P
a
)
Profundidade (m)
σz=(0,48 𝑃)/𝑧²
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30
❑ Acréscimo de tensão horizontal radial:
σr =
P
2πz2
x [3 cos3 θ sen2θ − 1 − 2v x
cosθ
1 + cosθ
]
❑ Acréscimo de tensão transversal: 
σr = − 1 − 2v
P
2πz2
x [cos3 θ x
cosθ
1 + cosθ
]
❑ Tensão cisalhante:
σr =
3P
2πz2
x [cos4 θ senθ]
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31
➢ Exemplo 1: Encontrar os acréscimos de tensão no ponto A e B. 
Solução: Para o ponto A temos:
σz =
0,48 P
z²
=>σz =
0,48 x 10
4²
=>σz = 0,3 tf.m
−2
Para o ponto B : tgθ =
Co
Ca
=
3
4
logo θ = 36,87°
σzb=
3.10 tf
2π.42m
x cos5 36,87° σzb= 0,098
tf
m2
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32
Método de cálculo
❑ Determina os acréscimos de tensão ao longo de uma faixa de
comprimento infinito e largura constante devido a um
carregamento uniforme.
σz =
P
π
(sen2αcos2β +2α)
Para o eixo das cargas temos: 
σz =
P
π
(sen2α +2α)
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Solução de Carothers - Carga distribuída ao longo de 
uma faixa
33
➢ Exemplo 2: Determinar o acréscimo de tensão vertical (σz ),
devido a um carregamento em um ponto situado a 3 m abaixo do
centro da fundação.
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Método de cálculo
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Nesse caso temos que :β = 0 
Usaremos então :σz =
P
π
(sen2α +2α); 
Assim temos que: tgα =
Co
Ca
=
1
3
logo α = 18,47°
Então, 2α = 36,86° = 0,643 rad ; e que sen2α = 0,600
rad
Aplicando a fórmula: 
σz =
P
π
(sen2α +2α)=σz =
2,5
π
(0,600 +0,643) =
0,989tf.m−2
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Método de cálculo
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Solução de Osterberg – Carga distribuída de aterro
Solução gráfica para σz sob a faixa de carregamento:
➢ Por sobreposição:
σz = σ0 ⋅ Iσlado esquerdo + Iσlado direito
➢ Em caso de aterro:
σ0 = γaterro ⋅ espessura do aterro
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36
Solução gráfica
Para pontos fora da projeção da faixa de
carregamento usa-se a Solução de
Carothers – Terzaghi
∆σz
𝐻
ba
A
Z
∆σ
∆σ = carga unitária
∆σz= ∆σ ⋅ I1
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37
❑Obtida a partir da integração da solução de Boussinesq,
permite o cálculo do acréscimo de tensão vertical que passa
pelo centro de uma placa circular uniformemente carregada.
σz = σ0 ⋅ 1 −
1
1 +
R
z
2
3
2
R
z
𝝈𝑽
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Solução de Love - Carga uniforme sobre superfície
circular
Solução gráfica
𝑍
𝐵 Z
B
X
B
Tensão Vertical na cota z: σz = nz ⋅ σ0
Tensão Horizontal: σr = nr ⋅ σ0
Máxima tensão de cisalhamento agindo radialmente no plano da figura : τ = s ⋅ σ0
X
B
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39
❑A partir da integração da equação de Boussinesq, é um método
para o cálculo das tensões provocadas no interior do semiespaço
infinito de superfície horizontal por carregamento uniformemente
distribuído numa área retangular.
Relação:
m =
a
z
n =
b
z
σ0 =
Q
a ⋅ b
x
y
σ0
z
𝑎
𝑏
𝑧
𝑎 > 𝑏
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40
Solução de Newmark - Carga uniforme sobre
superfície retangular
Solução gráfica
Entrada m e n:
σz = σ0 ⋅ Iσ
Iσ = Acréscimo de
tensão
𝜎0a
P
bZ
m =
a
z
n =
b
zσz = σ0 ⋅ Iσ
0
0
Iσ
𝑛
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41
❑Esta é uma solução que tem por base a equação de Love e o
Princípio da Superposição dos Efeitos.
❑Quando aplicada uma carga uniformemente distribuída sobre a
superfície, a tensão gerada a uma dada profundidade é igual ao
somatório dos efeitos dos carregamentos em áreas parciais.
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42
Solução de Newmark - Carga uniforme sobre
qualquer superfície
Para a construção do ábaco são traçados 10 círculos concêntricos cujo o
acréscimo de carga a um ponto do centro dos círculos situado a uma
profundidade Z corresponde a 10%, 20%, 30%... Da carga total aplicada.
Assim, cada um dos anéis apresenta Iσ = 0,1.
Equação de Love:
σz = σ0 ⋅ 1 −
1
1 +
R
z
2
3
2
→ Iσ =
σz
σ0
= 1 −
1
1 +
R
z
2
3/2
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43
Método dos quadradinhos – Ábaco circular de
Newmark
Ábaco circular de
Newmark
Temos que Iσ = f ⋅ (R/z) ,
assim, para traçar os círculos
usa se a tabela ao lado.
R/z R para z = 10 m
0,0 0,00 0,00
0,1 0,27 2,70
0,2 0,40 4,00
0,3 0,52 5,20
0,4 0,64 6,40
0,5 0,77 7,70
0,6 0,91 9,10
0,7 1,11 11,10
0,8 1,39 13,90
0,9 1,91 19,10
1,0 α α
𝐈𝛔
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44
Ábaco circular de Newmark
O ábaco é divido em 20 setores de áreas
iguais, originando trapézios circulares cuja a
unidade de influência é Iσ = 0,005.
𝐴 𝐵
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒
𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0,005
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45
Uso do ábaco de Newmark
❑Desenha-se a planta da área carregada na mesma escala de
construção do ábaco (AB = Z), sendo este centrado no ponto
onde deseja-se determinar o acréscimo de tensões;
❑Conta-se o número de “quadradinhos” n abrangidos pela área de
carregamento (os “quadradinhos” que ocuparem parcialmente
devem ser contabilizados de maneira fracionada);
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46
Uso do ábaco de Newmark
❑ O acréscimo de tensão vertical é dado por:
σz = σ0 ⋅ n ⋅ Iσ sendo Iσ = 0,005
❑ Esse procedimento deve ser feito para
cada profundidade que se deseja conhecer
as tensões, devido a modificação de escala
do desenho.
𝐴 𝐵
Valor de
influência = 0,005
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47
Simplificações práticas com base na aplicação do
Princípio de Saint-Venant
❑Para área retangular carregada, para cotas z > 3 b, a influência
pode ser considerada igual a de uma carga pontual aplicada no
centro da gravidade;
❑A simplificação acima também é válida quando o raio vetor R da
equação de Boussinesq é maior 5x vezes o lado menor b da
superfície retangular;
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48
Simplificações práticas com base na aplicação do
Princípio de Saint-Venant
❑Para uma superfície retangular de lado maior > que 10x o lado
menor, pode-se aplicar soluções para carga em faixa.
Exemplo: Formulação de Carothers – Terzaghi.
ECV112- Mecânica dos Solos
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49
Considerações finais
ECV112- Mecânica dos Solos
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50
➢ Distribuição de tensões devido ao peso próprio do solo.
➢ Distribuição de tensões induzidas pelo carregamento.
Q1. ECV112- Mecânica dos Solos 51
Com relação à distribuição de pressões no solo, analise as afirmativas a seguir. 
I. Ao se aplicar uma carga em uma área bem definida na superfície de um terreno, os 
acréscimos de tensão em uma certa profundidade se limitam à projeção da área 
carregada. 
II. Pode-seempregar a Teoria da Elasticidade para a estimativa das tensões atuantes
no interior da massa de solo, em virtude de carregamentos na superfície.
III.A solução de Boussinesq avalia a pressão vertical no interior de um solo elástico, 
isotrópico e não homogêneo, carregado na sua superfície por uma carga 
uniformemente distribuída. Assinale:
A. se somente as afirmativas I e II estiverem corretas.
B. se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
C. se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
D. se somente a afirmativa II estiver correta.
E. se somente a afirmativa I estiver correta.
Ano: 2014 Banca: FGV Órgão:
COMPESA. Prova: FGV – 2014 –
COMPESA – Analista de Saneamento –
Engenheiro Civil
Q2. ECV112- Mecânica dos Solos 52
Na mecânica dos solos, há estudo do perfil de pressões aplicadas conforme a
profundidade analisada. No que diz respeito às pressões do solo, assinale a alternativa
correta.
•A.A tensão efetiva, para solos saturados, pode ser expressa pela diferença entre a
tensão total e a tensão neutra
•B.A tensão total no solo, para solos insaturados, pode ser expressa pela diferença
entre a tensão neutra e a tensão efetiva
•C.A tensão efetiva, para solos saturados, pode ser expressa pela soma entre a tensão
total e a tensão neutra
•D.A tensão efetiva, para solos insaturados, pode ser expressa pela soma entre a
tensão total e a tensão neutra
•E.Não existe pressão neutra em solos saturados QUESTÃO 855784 - MECÂNICA DOS SOLOS
Concurso: Polícia Técnico- Científica –
PR(POLITEC PR/PR) 2017/ Cargo: Perito Criminal
– Área 5/ Banca: Instituto Brasileiro de Formação
e Capacitação (IBFC). Nível: Superior.
Q3. ECV112- Mecânica dos Solos 53
29. A Teoria da Elasticidade (TE) é utilizada para 
avaliar a distribuição de tensões no solo, como no 
exemplo da Figura abaixo. No dimensionamento 
pela Teoria da elasticidade considera-se:
(A) o efeito do tempo 
(B) fenômenos como creep ou fluência 
(C)o solo como isotrópico 
(D)o acréscimo de tensões somente no eixo de 
aplicação da carga 
(E) a relaxação de tensões
Processo Seletivo Público- EDITAL 
No 1 TRANSPETRO/PSP RH 2018.1 
DE 08/02/2018 Petrobras Transportes 
S,A Transpetro. Engenheiro Júnior –
Geotécnica
Cesgranrio
Exemplo
ECV112- Mecânica dos Solos
Teófilo Otoni 2021
54
26%
17
9
1,0 m
4,0 m
Exemplo
ECV112- Mecânica dos Solos
Teófilo Otoni 2021
1º Identificamos as camadas
2º Analisamos as camadas
3º Efetuamos o cálculo para a primeira camada:
γsat=
Wsat
Vt
, W=
Ww
Ws
γsat=γd.(W+1)
h=w, γs = γd
γsat=17. 0,26 + 1 = 21,42 kN. m
−3
σ = 21,42.1 = 21,42 kN. m−2
u = 10 .−1 = −10 kN. m−2
σ′ = 21,42 − −10 = 31,42 kN. m−2
4º Cálculo da segunda camada
γsub=γsat − γw
γsat=γsub + γw = 19 kN. m
−3
σ = 19.4 = 76 kN. m−2
u = 10 . 4 = 40 kN. m−2
σ′ = 76 − 31,42 = 44,58 kN. m−2
55
26%
17
9
1,0 m
4,0 m
Referências
ECV112- Mecânica dos Solos
Teófilo Otoni 2021
56
❑ BARATA, F.E. Propriedades Mecânicas dos Solos. Rio de Janeiro: 
Livros técnicos e científicos,1984. 
❑ OBRAS de terra. Cap 7.1 : Tensões nos Solos devido ao peso 
próprio. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=AJpXT-r-
2Yw&t=2s. Acesso em: 19 de mai. 2021.
❑ PINTO, Carlos de Sousa. Curso básico de mecânica dos solos. 3ª 
ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2006.
❑ REBELLO, Yopanan Conrado Pereira. Fundações: guia prático de 
projeto, execução e dimensionamento. São Paulo: Zigurate Editora, 
2008.
Referências
ECV112- Mecânica dos Solos
Teófilo Otoni 2021
57
Q1. Disponível em: https://www.qconcursos.com/questoes-de-
concursos/questoes/ac1cc41c-c6. 20 de mai. 2021.
Q2. Disponível em: https://questoes.grancursosonline.com.br/questoes-
de-concursos/filtro_avancado?disciplinas[]=39&id=855784. 20 de mai. 
2021.
Q3. Disponível em: 
https://www.cesgranrio.org.br/pdf/transpetro0118/PROVA%2024%20-
%20ENGENHEIRO(A)%20J%C3%9ANIOR%20-
%20GEOT%C3%89CNICA.pdf. Acesso em: 20 de mai. 2021.
Obrigado(a)!
ECV112- Mecânica dos Solos
Teófilo Otoni 2021
58