Aula 9 Campo Magnético

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Campo Magnético - Aula 9
1 de março de 2021
Resumo
Força e campo magnético; part́ıcula carregada e campo magnético.
1 Campo magnético e força magnética
Relembre que no estudo de eletricidade as interações entre as cargas elétricas
foram descritas em função de campos elétricos, pois ao redor de uma carga
sempre há um campo elétrico. Além do campo elétrico, a região do espaço ao
redor de qualquer carga em movimento também contém um campo magnético.
Existe também um campo magnético ao redor de um imã permanente.
O campo magnético é representado pelo śımbolo B⃗
A direção do campo magnético B⃗ em qualquer lugar é a direção em que
aponta a agulha de uma bússola. Da mesma forma que um campo elétrico,
o campo magnético é representado por meio de linhas de campo magnéticas.
Na Figura 1 são apresentas as linhas de campo magnético ao redor de um
imã em forma de barra. Pode-se ver que as linhas de campo começam no
norte magnético do imã e terminam no sul magnético.
Um campo magnético B⃗ é definido para qualquer ponto no espaço em
função da força magnética F⃗B que o campo exerce sobre uma part́ıcula car-
regada movendo-se com velocidade v⃗, denominada de part́ıcula teste:
1
Figura 1: Imã e respectivas linhas de campo magnético ao redor do mesmo.
F⃗B = q(v⃗ × B⃗) (1)
Esta equação significa que:
� a magnitude da força magnética FB exercida sobre uma part́ıcula car-
regada é proporcional à carga q e à velocidade v da part́ıcula;
� quando uma part́ıcula carregada se move paralela ao vetor campo
magnético, a força magnética exercida sobre a part́ıcula é zero;
� quando o vetor velocidade da part́ıcula faz algum ângulo θ ≠ 0 com o
campo magnético, a força magnética atua em uma direção perpendicu-
lar ao plano formado por v⃗ e B⃗;
� a força magnética exercida sobre uma carga positiva possui sentido
inverso à força magnética exercida sobre uma carga negativa movendo-
se no mesmo sentido da carga positiva;
� a magnitude da força magnética exercida sobre uma part́ıcula em mo-
vimento é proporcional ao sin θ, em que θ é o ângulo que o vetor velo-
cidade da part́ıcula faz com a direção de B⃗.
Na Equação 1 aparece o produto vetorial entre o vetor velocidade v⃗ e
o vetor campo magnético B⃗. Pela definição de produto vetorial, a direção da
força magnética é perpendicular a ambos os vetores. Veja Figura 2.
2
Figura 2: A força magnética é perpendicular aos vetores velocidade e campo
magnético.
Para se encontrar a direção e o sentido da força magnética,
usa-se a regra da mão direita. Coloca-se a palma da mão no
sentido do vetor v⃗. Fecha-se a mão no sentido de B⃗ e a força
magnética estará no sentido do dedo polegar estendido, caso
a carga seja positiva, e no sentido contrário, caso a carga seja
negativa. Veja Figura 3.
Figura 3: Regra da mão direita para determinar a direção do vetor força
magnética.
3
O módulo da força magnética sobre uma part́ıcula carregada é dado por:
FB = ∣q∣vB sin θ (2)
em que θ é o menor ângulo entre v⃗ e B⃗.
Da Equação 2 podemos ver que FB é máximo quando v⃗ é perpendicular
a B⃗ (sin 90o = 1) e mı́nimo (F = 0) se θ = 0 ou 180o (sin 0o = sin 180o = 0).
Também pode-se ver da Equação 2 que as unidades de campo magnético
no S.I. são N/C.m/s. A estas unidades foi dado o nome de tesla (T).
1T = 1 NC ⋅m/s
Como C/s = A, então:
1T = 1 NA⋅m
Uma outra medida de campo magnético foi denominada de gauss (G):
1 T = 104 G
2 Part́ıcula carregada em um campo magné-
tico uniforme
Vimos que a força magnética sobre uma part́ıcula carregada que se move em
um campo magnético é perpendicular à velocidade da part́ıcula e, por isso,
o trabalho realizado pela força magnética sobre a part́ıcula é zero.
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Considere uma part́ıcula carregada positivamente movendo-se em um
campo magnético uniforme em uma trajetória perpendicular ao campo, ou
seja, o vetor velocidade da part́ıcula é perpendicular ao vetor campo magné-
tico. Se o sentido do vetor campo magnético é no sentido negativo do eixo-z
(entrando no papel) e o sentido do vetor velocidade da part́ıcula é o sentido
positivo do eixo-x, embora a velocidade da part́ıcula mude de direção devido
a força magnética, esta velocidade continuará perpendicular à força, então,
a trajetória da part́ıcula é circular. (veja Figura 4). Na figura pode-se ver
que a part́ıcula se move em um ćırculo perpendicular ao campo magnético.
Figura 4:
Como pode ser visto na figura, para uma carga positiva, a rotação é no
sentido contrário ao dos ponteiros de uma relógio. Se a carga fosse negativa,
a rotação seria ao contrário, ou seja, no sentido do movimento dos ponteiros.
Como a part́ıcula está sob a ação de uma força resultante (neste caso, a
força centŕıpeta), então:
∑F = FB =ma
Como a trajetória é circular, então:
5
FB = qvB =m
v2
r
Podemos, então, encontrar o raio da trajetória circular, ou seja:
r = mv
qB
(3)
A Equação 3 mostra que o raio do movimento é proporcional ao momento
linear da part́ıcula (mv) e inversamente proporcional aos módulos da carga
q e do campo magnético B.
Podemos também encontrar a velocidade angular da part́ıcula, ou seja:
ω = v
r
= qB
m
(4)
O peŕıodo de rotação da part́ıcula Γ é igual ao caminho percorrido (com-
primento de uma circunferência) dividido pela velocidade escalar da part́ıcula,
ou seja:
Γ = 2πr
v
= 2π
ω
= 2πm
qB
(5)
Este resultado mostra que a velocidade angular (ω) da part́ıcula e o
peŕıodo (Γ) do movimento circular não dependem nem da velocidade escalar,
nem do raio da órbita do movimento.
————————
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3 Lista de Exerćıcios
1. Um próton é projetado em um campo magnético que é direcionado
ao longo do eixo-x positivo. Encontre a direção da força magnética
exercida no próton para cada uma das seguintes direções da velocidade
do próton: (a) direção positiva do eixo-y ; (b) direção negativa do eixo-
y, (c) direção positiva do eixo-x.
2. Encontre a direção do campo magnético atuando sobre uma part́ıcula
carregada positivamente movendo-se nas várias situações mostradas na
Figura 5, se a direção da força magnética atuando sobre ela estiver
conforme indicado.
Figura 5: Relativa ao Exerćıcio 2.
3. Um próton move-se em uma trajetória circular de raio r = 14 cm em um
campo magnético uniforme de magnitude B = 0,35 T e perpendicular
à velocidade do próton. Encontre a velocidade escalar do próton.
4. Se, no Problema 2 fosse um elétron em vez de um próton, qual seria a
velocidade e o raio da trajetória do mesmo?
5. Em um experimento projetado para medir a magnitude de um campo
magnético uniforme, elétrons são acelerados a partir do repouso através
de uma diferença de potencial ∆V = 350 V e então entram em um
campo magnético uniforme que é perpendicular ao vetor velocidade
dos elétrons. Os elétrons viajam ao longo de uma trajetória circular
por causa da força magnética exercida sobre eles. O raio do percurso é
igual a 7,5 cm. (a) Qual a magnitude do campo magnético? (b) qual
a velocidade angular dos elétrons?
6. Um próton é lançado com uma velocidade de 5,02 × 106 m/s em uma
direção que faz um ângulo de 60,0o com a direção positiva do eixo-x,
direção essa na qual se encontra um campo magnético de magnitude
igual a 0,180 T . Qual a magnitude da (a) força magnética sobre o
próton? (b) aceleração do próton?
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7. Um elétron é acelerado a partir do repouso de um potencial Vi =
−2400 V até uma potencial Vf = 0 V e, então, entra em um campo
magnético uniforme de magnitude B = 1,70 T . (a) Qual o máximo
valor da força magnética que pode ser exercida sobre o elétron? (b)
Qual o mı́nimo valor da força magnética que pode ser exercida sobre o
elétron?
8. Um próton se move em uma direção perpendicular a um campo magné-
tico uniforme B com velocidade v = 1,00× 107 m/s e experimenta uma
aceleração a = 2,00 × 1013 m/s2 na direção positivado eixo-x quando
seu vetor velocidade está na direção positiva do eixo-z. Determine a
magnitude e a direção do campo magnético.
9. Um próton (q = +e, m =mp) e um deutério (q = +e, m = 2mp) são acele-
rados a partir do repouso por meio de uma diferença de potencial igual
a ∆V . As duas part́ıculas entram em um campo magnético uniforme
B com velocidade perpendicular ao campo. O próton se move em uma
trajetória circular de raio igual a rp. Encontre o raio rd da órbita do
deutério em função do raio rp da órbita do próton.
10. Um elétron colide elasticamente com um segundo elétron inicialmente
em repouso. Após a colisão, os respectivos raios de suas trajetórias são
r1 = 1,00 cm e r2 = 2,40 cm. As trajetórias são perpendiculares a um
campo magnético uniforme cujo valor é B = 0,0440 T . Determine a
energia inicial (em keV ) do elétron incidente.
11. Um próton de raios cósmicos no espaço interestelar tem uma energia
igual a10,0 MeV e executa uma órbita circular com um raio igual ao
da órbita de Mercúrio ao redor do Sol (5,80×1010 m). Qual é o campo
magnético nessa região do espaço?
4 Respostas aos exerćıcios
1. —–
2. —–
3. v = 4,7 × 106 m/s;
4. —–
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5. (a) B = 8,4 × 10−4 T ;
(b) ω = 1,5 × 108 rad/s;
6. (a) F = 1,25 × 10−13 N ;
(b) a = 7,50 × 1013 m/s2;
7. (a) Fmax = 7,91 × 10−12 N ; (b) Fmin = 0 N ;
8. B = −(2,09 × 10−2ĵ) T ;
9. rd =
√
2rp;
10. K = 115 keV ;
11. B = 7,88 × 10−12 T ;
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