MATEMÁTICA E FÍSICA APLICADAS À ZOOTECNIA

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MATEMÁTICA E FÍSICA 
APLICADAS À ZOOTECNIA 
PROF. DR. JULIO CESAR AGREIRA PASTORIL
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Camila Adão barbosa 
Camila Cristiane Moreschi
Fernando Sachetti Bomfim
Patrícia Garcia Costa
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Cristiane Alves
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande 
responsabilidade sobre as escolhas que 
fazemos, e essas nos guiarão por toda a vida 
acadêmica e profissional, refletindo diretamente 
em nossa vida pessoal e em nossas relações 
com a sociedade. Hoje em dia, essa sociedade 
é exigente e busca por tecnologia, informação 
e conhecimento advindos de profissionais que 
possuam novas habilidades para liderança e 
sobrevivência no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino a 
Distância, a proporcionar um ensino de qualidade, 
capaz de formar cidadãos integrantes de uma 
sociedade justa, preparados para o mercado de 
trabalho, como planejadores e líderes atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ................................................................................................................................................................4
1. REGRA DE TRÊS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS .......................................................................................................5
1.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES......................................................................................................................................5
1.1.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETAMENTE PROPORCIONAL ...........................................................................5
1.1.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSAMENTE PROPORCIONAL .......................................................................6
1.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA ................................................................................................................................ 7
1.3 EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU ........................................................................................................................... 10
1.4 EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU ............................................................................................................................ 11
1.5 A FÓRMULA DE SRIDHARA (BHASKARA) ........................................................................................................... 12
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................... 15
REGRA DE TRÊS SIMPLES E EQUAÇÕES 
ALGÉBRICAS
 PROF. DR. JULIO CESAR AGREIRA PASTORIL
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA E FÍSICA APLICADAS 
À ZOOTECNIA 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
Você já deve ter ouvido muito por aí um ditado que diz que a matemática é um bicho 
de sete cabeças, não é mesmo? As dificuldades que muitos indivíduos encontram nos caminhos 
percorridos na matemática propiciam que as pessoas sintam receio dos cursos que envolvam 
essa ciência tão exata e presente no nosso cotidiano. Mas será que esse “bicho” tem mesmo sete 
cabeças? Oras, e se tivesse? Nós podemos ser ótimos domadores se soubermos muito bem com 
quem estamos lidando! Acalme-se, pois matemática não é, nem de longe, um bicho de sete 
cabeças. Que alívio poder respirar confiante de que basta apenas se aliar a ela. Neste capítulo, você 
retomar alguns assuntos importantes que já estudou, mas acredito que seja necessário relembrá-
los para avançarmos para outros temas mais complexos.
 Vale lembrar que a matemática requer sempre a transformação da sua linguagem escrita, 
para uma sentença matemática. Mas como podemos lidar com isso? É muito simples! O primeiro 
passo é sempre retirar da própria situação-problema apresentada todos os dados necessários 
para a sua própria resolução. Fantástico, não é mesmo? A matemática dialoga conosco a todo o 
momento.
 Outro fator importante é a interpretação. Isso mesmo! A interpretação não deve 
ficar presa apenas nos livros de língua portuguesa. A interpretação nos acompanha em todos 
os momentos das nossas vidas, ela é imprescindível em todas as disciplinas, então, não seria 
diferente na matemática. Que tal começarmos praticando a nossa capacidade de interpretar? 
Teremos, certamente, bons resultados, por isso, é com imenso prazer que eu, como professor de 
física, trago este material didático de apoio para a disciplina de Matemática e Física aplicada à 
Zootecnia. 
 Para todo efetivo processo de ensino e aprendizagem, o aluno deve possuir um bom 
respaldo teórico, reforçando e alicerçando conceitos básicos para a construção dos conhecimentos 
específicos. A intenção deste material é acompanhar o seu progresso diário, de aula em aula. 
Contamos também com atividades discursivas e objetivas, nas quais você deverá realizar 
os cálculos detalhadamente explicando cada etapa e assim você poder treinar a resolução de 
problemas. 
 A matemática nos possibilita um universo de situações complexas ao mesmo tempo 
em que facilita as nossas vidas com as soluções para elas. Com o intuito de se conceituar em 
matemática, é necessário compreender seu objeto de estudo! Para que tenham sentido os 
significados e os conceitos, ao estudante, é necessário que haja dedicação visando criar vínculos 
com essa área de conhecimento. Fique tranquilo! Não há com que se preocupar. O primeiro 
passo é estar disposto a mergulhar neste oceano de conceitos e buscar compreendê-los um a um, 
identificando a linguagem, os códigos, a manipulação dos símbolos etc. A matemática está na 
vida do ser humano com o intuito de facilitar nosso cotidiano, então, respire fundo e embarque 
nesta busca pelo conhecimento.
 Começaremos com a Regra de três, uma dessas ferramentas que, se utilizada corretamente, 
é capaz de contribuir para com a nossa rotina muito mais do que imaginamos. Depois, passamos 
a conhecer mais sobre as Equações Algébricas, ditas misteriosas, porém, de fácil resolução. São 
equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações  algébricas  como: adição, subtração, 
multiplicação, divisão e radiciação. Finalizaremos com a Fórmula de Bhaskara que é temida por 
uns, mas amada por outros. Ao conhecer a história dessa fórmula, você irá se surpreender... 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1. REGRA DE TRÊS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
1.1 Regra de Três Simples
 
Para compreendermos a definição dessa regra, primeiro devemos nos atentar ao fato de 
que existe a Regra de Três Simples e a Regra de Três Composta. Como o nome já sugere, a regra 
de três simples é assim denominada por envolver apenas duas grandezas e regra de três composta 
envolve três ou mais grandezas, ou seja, existe uma complexidade maior ao resolvê-la. 
 É evidente que o nome “composto” nos assusta um pouco, mas se acalme! Para resolvermos 
com êxito essa etapa, você precisa dominar, primeiramente, as regras simples. A regra de três 
simplesé subdividida em diretamente proporcional e inversamente proporcional. 
1.1.1 Regra de três simples diretamente proporcional
Para definirmos com precisão se a regra aplicada é direta ou inversa, é muito simples, 
basta compreendermos que, se as duas grandezas variam no mesmo sentido, ou seja, quando 
as duas aumentam ou diminuem, podemos considerá-las diretamente proporcionais. O fato de 
aumentarmos um valor, influencia diretamente o outro valor a aumentar também. Podemos 
pensar em um exemplo clássico do nosso cotidiano: quanto mais percorremos uma distância, 
mais tempo estamos gastando na caminhada. Vamos conhecer, agora, o Sr. João Bidu, que nos 
ajudará a compreendermos melhor com alguns exemplos reais. Segue o primeiro exemplo.
Uma loja de produtos agropecuários oferta aos seus clientes a venda de peixinhos 
ornamentais para serem animais de estimação. O Sr. João Bidu, proprietário desse comércio, 
estava com 10 peixinhos em seu aquário, alimentando-os com 40g de ração diariamente. Porém, 
todas as sextas-feiras, o comércio do Sr. Bidu recebe, em média, mais 5 novos peixinhos. Quantos 
gramas de ração serão necessários para alimentar, diariamente, o aquário de peixes após ter 
recebido mais 5 novos peixinhos?
Ao nos depararmos com situações como a citada anteriormente, devemos, primeiramente, 
colher as informações que a situação-problema nos oferece. Nesse caso, sabemos que o Sr. Bidu 
tinha 10 peixes e os alimentavam com 40g de ração, ao somarmos ao aquário mais 5 peixes, a 
ração, obviamente, não será mais suficiente. Então, nesse caso, será necessário aumentar essa 
quantidade, mas qual será o valor exato de ração? 
Nosso cálculo precisa assumir este formato para nos auxiliar no raciocínio:
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Após colhermos as informações, percebemos claramente que temos uma situação que será 
resolvida com a regra de três: quatro valores, sendo um deles ainda desconhecido. Aumentaram-
se os peixes, aumenta-se também a ração (que conhecemos como: aumentando - aumenta), basta 
observar o sentido das setas em azul. Sendo assim, essa é a Regra de Três Simples Diretamente 
Proporcional. Acompanhe o raciocínio: 
O valor de x, nesse caso, simboliza o quanto o senhor João Bidu precisará dispor de ração 
diariamente para os seus peixinhos, ou seja, 60 gramas para alimentar o aquário. 
Ao compreendermos esse raciocínio, estamos preparados para avançarmos um pouco 
mais.
 
1.1.2 Regra de três simples inversamente proporcional
A regra de três simples inversamente proporcional é definida pelo fato de uma das 
grandezas aumentar enquanto a outra grandeza diminui, de forma inversa, uma em relação 
à outra. Melhor definindo, quando o valor de uma das razões cresce, o segundo valor será ao 
contrário. Para identificar as diferenças entre as regras, esteja atento aos dados ofertados pela 
própria situação-problema. Observe: 
Na agropecuária do Sr. Bidu, outros pets também são vendidos para alegrar novos 
lares, especialmente caninos. Mas veja, os 5 cachorros (filhotes de labrador) que estão à venda 
consomem um pacote de ração de 10 kg em 30 dias. Caso cheguem 3 novos filhotes, o consumo 
do pacote de ração de 10 kg dará para quantos dias?
De forma similar ao exemplo anterior, vamos montar um quadro contendo os dados 
fornecidos no problema, como segue:
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Nesse exemplo, temos um caso típico de Regra de Três Inversamente Proporcional. 
Notamos que, ao aumentar o número de filhotes, de 5 para 8, o tempo para o consumo do pacote 
de ração será menor (aumentando-diminui), mas por quê? Porque temos mais filhotes para 
comer. Basta observar o sentido das setas. Então, como desenvolver o cálculo quando se trata 
de uma regra de três inversa? Seguimos o mesmo procedimento da diretamente proporcional, 
porém, com os dados invertidos. Veja, a seguir, o procedimento, que é bastante simples: 
8X= 30.5
8X= 150
X= 150/8
X= 18,75 dias 
 
Não foi tão complexo quanto o nome sugere, concorda? Podemos caminhar, agora, por 
novos conceitos ao dominarmos as regras de três simples. 
1.2 Regra de Três Composta
Como estudantes matemáticos sedentos por conhecimento, não podemos nos contentar 
apenas com o que é simples. Sabemos que nem sempre é possível resolvermos situações-problemas 
com as regras de três simples, então, como bons estudantes desta ciência, precisamos dominar o 
conceito de regra de três composta. 
Até aqui vimos as regras de três que envolvem apenas duas grandezas, porém, precisamos 
falar das situações que podem envolver mais de duas variáveis. Ao aumentarmos ou diminuirmos 
os valores dessas variáveis, o resultado, obviamente, também será alterado: consideramos esse 
cálculo uma regra composta. A regra de três composta é uma forma de descobrirmos os valores 
referentes às grandezas a partir de valores que já existem, mas, para que isso ocorra, o objeto 
necessita estar na mesma unidade de medida. Observe:
Na agropecuária do Sr. Bidu, oito funcionários conseguem vacinar 20 cachorrinhos em 
5 dias. Porém, quatro dos funcionários entraram de férias por 16 dias. Quantos cachorrinhos os 
quatro funcionários restantes conseguirão vacinar nesses 16 dias?
Primeiro, vamos organizar as ideias dadas: 
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Observe que, aumentando o número de funcionários, aumenta-se o número de cachorros 
vacinados, certo? Então, essa relação é a do tipo diretamente proporcional. Aumentando-se o 
número de dias, há também um aumento no número de cachorros vacinados. Sendo assim, 
teremos que: 
Agora, outro exemplo o qual destacamos:
Dois funcionários do Sr. Bidu conseguem, em nove dias, limpar e organizar 2m² de curral. 
Quantos dias serão necessários para que três funcionários limpem 4m² de curral?
 Organizando as informações, temos: 
 Colocam-se as flechas concordantes para as grandezas que analisamos serem diretamente 
proporcionais (seta para baixo) e discordantes para as inversamente proporcionais (seta para 
cima) quando compararmos com a incógnita. Assim, teremos o seguinte desenvolvimento:
 
Agora que já sabemos usar a nosso favor a regra de três, estamos prontos para realizarmos 
muitos cálculos. Então, não se esqueça: 
 ➢ Regra de Três Simples envolve duas grandezas que podem ser direta ou inversamente 
proporcionais. Quando consideradas diretas, a regra envolve as grandezas que variam 
no mesmo sentido. Se forem inversamente proporcionais, uma das grandezas aumenta e 
a outra diminui;
 ➢ Regra de Três Composta é a que envolve três ou mais grandezas, sendo elas tanto grandezas 
direta quanto inversamente proporcionais.
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Agora, vamos abordar um pouco sobre as equações algébricas. Segundo os dicionários, 
a matemática é uma ciência que estuda o que é abstrato, sejam objetos, figuras e números, 
por meio dedutivo através de processos e operações matemáticas. Mas será que a matemática 
é tão abstrata quanto essa definição? Os cálculos matemáticos estão presentes ao nosso redor 
durante toda a nossa rotina diária. Alguns desses cálculos conseguimos realizar mentalmente, 
outros necessitamos transformar objetos em incógnitas para chegarmos ao resultado esperado. 
Chamamos esse tipo de equação de Equações Algébricas. 
Primeiramente, é importante entendermos que a equação é uma expressão que contém 
uma igualdade, ou seja, a igualdade entre duas expressões matemáticas. As equações foram 
elaboradas para nos auxiliarem em soluções para as situações-problemas que apresentam um 
número desconhecido. 
As expressões algébricas são as operações matemáticas aplicadas a números conhecidos, 
ou não,por meio de operações. A esses números desconhecidos é atribuída uma incógnita, por 
exemplo, o x ou y, para a realização de operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação 
e divisão. Na sua experiência de estudante desta disciplina, você já deve ter se deparado com 
exemplos como estes a seguir:
 
15x2 + 10y + 2ab ou 2x + 3y
Essas expressões possuem letras representando números e números multiplicando 
ou somando outros números. Se o resultado dessa expressão obtiver uma igualdade em sua 
composição, podemos considerá-la uma equação. Observe os exemplos: 
A igualdade nos permite encontrar os resultados que esperamos para a equação, ou seja, 
é ela que faz essa relação entre a operação matemática aplicada com o seu número. Se tivermos a 
equação x – 15 = 9, qual é o valor atribuído ao x? 
Primeiramente, é necessário identificarmos o seguinte raciocínio: o valor de x é um 
número que sendo subtraído por 15, obtemos o resultado 9. Temos em nossas mãos as informações 
ofertadas pela própria equação. Façamos o seguinte: 
Tudo caminha muito bem até aqui, não é mesmo? A partir desse prévio conhecimento, 
podemos avançar um pouco mais em nossos estudos.
 
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1.3 Equação de Primeiro Grau
 
As equações são classificadas quanto ao grau que possuem. Esse grau tem relação com 
a quantidade de incógnitas que a equação possui. As equações de primeiro grau são resoluções 
acessíveis e ligeiramente eficientes. Uma equação de primeiro grau possui o maior expoente de 
suas incógnitas com o valor “1”. Aqui, o grau é responsável por determinar quantas soluções a 
equação possui. Sendo assim, uma equação de primeiro grau apresenta apenas um resultado 
possível para a incógnita. 
Desenvolver esse raciocínio é muito fácil, primeiramente, é necessário que façamos o 
isolamento da incógnita para descobrirmos o seu valor numérico. Ao isolarmos a incógnita e 
separá-la dos outros termos restantes, estamos fazendo um deslocamento importante no processo 
matemático para descobrirmos os valores em questão. Ao mudarmos o termo de uma posição 
para outra em que se encontra após o sinal, é imprescindível a mudança, também, do sinal da 
operação matemática, ou seja, se estava dividindo, passará a multiplicar (e assim por diante). 
A linguagem matemática deve sempre ser observada para a transformarmos em uma 
sentença matemática. Observe:
Então, qual seria o desafio matemático aqui? Descobrir algo desconhecido: esse é o 
objetivo do estudo das equações
Um ciclo da produção de tilápia leva em média 6 meses e João Bidu, o nosso amigo 
piscicultor, está ansioso para o início das vendas. As terras que Sr. Bidu usa para a piscicultura 
são arrendadas, trata-se de um pesqueiro desativado. Como mora na cidade e as terras são um 
pouco afastadas, Sr. Bidu precisou contratar um caseiro para estar mais presente diariamente. 
Sendo assim, arrendamento, gastos com funcionário e energia elétrica são alguns dos gastos 
fixos da produção das tilápias de que ele não vai poder abrir mão. João Bidu usou sua expertise 
matemática para encontrar uma equação de primeiro grau que descrevesse o custo da produção 
(c) em função da quantidade (em quilos) de tilápia (x).
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1.4 Equação de Segundo Grau 
Para tratarmos de equação de segundo grau, precisamos reconhecer que ela possuirá uma 
estrutura como a expressa a seguir: 
ax² + bx + c = 0, onde a ≠ 0
 
Essa equação também é conhecida como equação quadrática. Como aprendemos, a 
incógnita está expressa pela letra x, e os coeficientes da equação são representados pelas letras a, 
b e c, os números reais. Vale lembrar que apenas o coeficiente a é considerado diferente de zero 
e que, se os coeficientes não forem nulos, essa equação é considerada uma equação completa. 
Exemplos:
1. 2x²+8x+5=0 3. 3x²+2x+3=0
2. 4x²+9x+7=0 4. 5x²+4x+6=0
 
Mas como identificar uma equação incompleta? Vamos lá! Se, na equação, os coeficientes 
b e/ou c forem iguais a zero, consideramos essa equação incompleta. Exemplos:
1. 4x²+2x=0 3. 4x²=0
2. 3x²+9=0 4. 3x²+12=0
Como podemos imaginar, as equações não serão sempre iguais, algumas poderão 
apresentar até dois resultados, nesse caso, encontramos as raízes da equação. Para resolvermos 
uma equação de segundo grau, seja ela completa ou incompleta, usaremos a Fórmula de Bhaskara:
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1.5 A Fórmula de Sridhara (Bhaskara)
A fórmula de Bhaskara é a fórmula geral para resolver as equações de segundo grau, 
porém essa fórmula não foi descoberta pelo professor, astrólogo, astrônomo e matemático 
Bhaskara Akaria. Curioso, não é mesmo? Por mais incrível que pareça, essa fórmula foi descoberta 
pelo matemático hindu Sridhara, há mais de um século antes das publicações de Bhaskara, que 
reconheceu o trabalho fundamental do pioneiro Sridhara, mas trouxe ao mundo matemático a 
importante função de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da 
extração de raízes quadradas dos membros da própria equação.
 Antes de darmos início aos nossos exemplos, quero chamar atenção para um ponto 
importante dentro dessa fórmula. Vamos relembrar como ela é?
Tendo nota que:
Δ= b²-4ac é o discriminante da equação. Deve-se considerar três pontos importantes: 
(1.º) Se Δ < 0 NÃO há solução real. Isso porque não existe raiz quadrada real de número 
negativo;
(2.º) Se Δ = 0, há duas soluções iguais: 
(3.º) Se Δ > 0, há duas soluções reais e diferentes, sendo x’ e x’’: 
Após esse contexto muito interessante, podemos prosseguir com nossos exemplos para 
compreendermos melhor a resolução de equações de segundo grau. Temos: 
x² - 5x + 6= 0
 
Em que:
1. Identificamos os coeficientes: a=1, b=-5 e c=6 
2. Escrevemos o discriminante: ∆= b2 −4ac.
3. Calculamos ∆: 
∆= (-5)² - 4.(1).(6)
∆=25 – (24)
∆=1
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4. Substituímos os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula de Bhaskara: 
Perceberam que a Fórmula de Bhaskara é nada mais é do que um método para encontrar 
as raízes reais de uma equação do segundo grau (função do segundo grau) fazendo uso apenas 
de seus coeficientes?
Para auxiliar no entendimento desta unidade e sobre as Equações Algébricas, 
visite o site https://www.somatematica.com.br/algebra.php. Em seguida, acesse 
https://geniodamatematica.com.br/formula-de-bhaskara/, o qual oferece uma 
boa parte da história de Bhaskara. Somando essas leituras aos conhecimentos 
aqui adquiridos, terá um aprendizado enriquecedor.
O administrador público e advogado francês, François Viète, disse em umas das 
suas célebres frases que a “Matemática não é apenas números, e sim envolve 
letras e toda a capacidade que o ser humano conseguir expressar”. Refletindo 
sobre essa frase, já acordamos que a equação de segundo grau é justamente 
essa definição: de representar por letras (do início do alfabeto) os coeficientes 
da equação do 2.º grau. Então, cabe ao ser humano se capacitar para conseguir 
resolvê-las.
https://www.somatematica.com.br/algebra.php
https://geniodamatematica.com.br/formula-de-bhaskara/
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Parece estranho, mas a Figura 1 representa as 
inúmeras tentativas de solucionar uma equação de 
segundo grau. Segundo o Museu Britânico, essas 
tábuas babilônicas são feitas de argila e nelas se 
encontram alguns problemas que consistem em 
determinar dois números conhecendo a soma e o 
produto dele ou, simplesmente, encontrar os lados de 
um retângulo conhecendo o perímetro e aárea. Mas 
pergunta-se: os babilônios já tinham fórmulas para 
resolver esses problemas? A resposta é não! O que eles tinham eram “receitinhas” 
desenvolvidas por eles, que se parecem muito com as fórmulas mágicas que 
temos hoje.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, vimos que a matemática nem sempre é um bicho de sete cabeças. Somos 
aptos a resolver problemas, afinal, eles estão aí no nosso cotidiano. Ao estudar proporção, 
relacionamos as grandezas que podem ser diretamente proporcionais, ou seja, o aumento de 
uma implica o aumento da outra e, em outros casos, isso pode acontecer de forma inversa: o 
aumento de uma implica a redução da outra. Também vimos que podemos, sim, resolver grande 
parte dos problemas relacionados às grandezas proporcionais utilizando regra de três simples 
ou composta.  A fórmula de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do 
segundo grau, propõe uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro 
grau. O que acontece é que há extração de raízes quadradas de ambos os membros dela. Obter 
conhecimentos matemáticos exige dedicação e aplicabilidade. A teoria se soma à prática e nos 
traz as soluções esperadas.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................. 18
1. SISTEMAS DE EQUAÇÃO LINEAR ......................................................................................................................... 19
1.1 SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO LINEAR ..............................................................................................................20
1.2 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ........................................................................................................ 21
1.2.1 SPD – SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO – POSSUI UMA ÚNICA SOLUÇÃO ...............................................21
1.2.2 SPI – SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO - POSSUI INFINITAS SOLUÇÕES ..................................... 21
1.2.3 SI – SISTEMA IMPOSSÍVEL - NÃO POSSUI SOLUÇÃO ...................................................................................22
1.3 ADIÇÃO E SUBSTITUIÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ........................................................................................22
1.3.1 MÉTODO DE ADIÇÃO ..........................................................................................................................................22
1.3.2 MÉTODO DE SUBSTITUIÇÃO .............................................................................................................................23
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES
 PROF. DR. JULIO CESAR AGREIRA PASTORIL
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA E FÍSICA APLICADAS 
À ZOOTECNIA 
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1.4 RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ..............................................................................................................23
1.4.1 REGRA DE CRAMER ...........................................................................................................................................23
1.4.2 ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES .................................................................................................25
1.5 REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ ...................................................................................................................28
1.6 ELEMENTOS DE UMA MATRIZ ...........................................................................................................................29
1.7 TIPOS DE MATRIZES ............................................................................................................................................29
1.7.1 MATRIZ LINHA .....................................................................................................................................................29
1.7.2 MATRIZ COLUNA .................................................................................................................................................29
1.7.3 MATRIZ NULA .....................................................................................................................................................29
1.7.4 MATRIZ QUADRADA ...........................................................................................................................................30
1.7.5 MATRIZ IDENTIDADE .........................................................................................................................................30
1.7.6 MATRIZ INVERSA ...............................................................................................................................................30
1.7.7 MATRIZ TRANSPOSTA .......................................................................................................................................30
1.7.8 MATRIZ OPOSTA ................................................................................................................................................ 31
1.7.9 IGUALDADE DE MATRIZES ................................................................................................................................ 31
1.8 OPERAÇÃO ENTRE MATRIZES ............................................................................................................................. 31
1.8.1 ADIÇÃO DE MATRIZES ....................................................................................................................................... 31
1.8.2 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................................................... 31
1.8.3 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES .......................................................................................................................32
1.8.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES POR UM NÚMERO REAL ............................................................................32
1.9 PROPRIEDADE DAS OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES........................................................................................32
1.9.1 ADIÇÃO COMUNICATIVA ...................................................................................................................................32
1.9.2 ADIÇÃO ASSOCIATIVA .......................................................................................................................................32
1.9.3 ADIÇÃO DE ELEMENTO OPOSTO .....................................................................................................................32
1.9.4 ADIÇÃO DE ELEMENTO NEUTRO .....................................................................................................................32
1.9.5 MULTIPLICAÇÃO ASSOCIATIVA ........................................................................................................................32
1.9.6 MULTIPLICAÇÃO DISTRIBUÍDA À DIREITA ....................................................................................................32
1.9.7 MULTIPLICAÇÃO DISTRIBUÍDA À ESQUERDA ................................................................................................33
1.9.8 MULTIPLICAÇÃO COMUTATIVO .......................................................................................................................33
1.9.9 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZ POR NÚMERO REAL .......................................................................................33
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................34
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INTRODUÇÃO 
Que bom encontrá-lo por aqui novamente! A matemática nos proporciona muito 
conhecimento útil para a nossa vida acadêmica, então esteja sempre preparado para encontrá-la 
em sua jornada profissional. Sendo assim, é melhor aprendermos a dominar esse bicho que não 
tem sete cabeças, não é mesmo? É possível dominarmos essas teorias que, às vezes, aparentam ser 
tão complexas. Vamos dar mais um passo nessa jornada. 
Na unidade anterior, nós nos familiarizamos com as jovens equações. Nesta unidade, 
iremos solucionar um sistema linear, que é um conjunto de equações lineares. Depois, com as 
matrizes, iremos relacionar dados numéricos que estarão dispostos em uma tabela, organizados 
em linhas M (horizontal) e colunas N (vertical). 
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1. SISTEMAS DE EQUAÇÃO LINEAR 
 
Elon Lima afirma que “não se aprende matemática por contemplação”, por isso, faremos 
um esforço para compreender que sistemas de equações lineares são um conjunto de equações 
lineares, associadas, com m equações e n  incógnitas, ressaltando que a solução de um sistema 
linear é a solução de todas as equações lineares. Uma equação linear é a do tipo: 
 
Um sistema linear é formado por um conjunto de equações lineares conforme o exemplo 
a seguir:
 Aqui estão alguns exemplos de equações lineares e não lineares: 
EQUAÇÕES LINEARES EQUAÇÕES NÃO LINEARES
3x1 + 4x2 – 5x3 + 7x4= 10 2x² + 4y= 8
2a – b – c= 0 2xy – z = 10
x1 + x2 + x3=9 x + √y – z= 0
x + 2y – z= 3 x² + xy – y= 2
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1.1 Soluções de uma Equação Linear 
Podemos dizer que a sequência ordenada de números reais (α1, α2, α3,..., αn) é uma solução 
da equação linear:
formam uma sentença VERDADEIRA. 
 Vamos fazer alguns testes juntos, para assim amarrarmos essas informações teóricas com 
as práticas de modo a entender todo esse contexto. 
I. Dada certa equação linear: 3x+ 2y= 18. Podemos dizer que o par ordenado (4,3) é uma 
solução da equação? Agora, vamos resolvê-la, ou seja, tirar a ‘prova’? 
II. Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, ou variáveis, é 
classificado como: 
 
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1.2 Classificação de um Sistema Linear
 
Tudo bem até aqui? Espero que sim! Agora, vamos aprender a classificar um sistema 
linear de acordo com o seu número de soluções. Já ouviram falar em SPD, SPI e/ou SI? Se não, 
chegou a sua hora de aprender. 
Mas, afinal, o que são essas siglas citadas anteriormente? São as siglas referentes às 
classificações de um sistema linear, as quais são usadas de acordo com o número de soluções 
apresentadas polo sistema. Quais sejam:
SPD – Sistema Possível e Determinado - Possui uma ÚNICA solução;
SPI – Sistema Possível e Indeterminado - Possui INFINITAS soluções;
SI – Sistema Impossível - NÃO possui solução.
 Vamos conhecer um a um. 
 
1.2.1 SPD – sistema possível e determinado – possui uma única solução
 
Resolvendo o sistema a seguir, temos: 
Assim, podemos concluir que o sistema é POSSÍVEL (ou seja, tem solução) e 
DETERMINADO (solução única), isto é, não tem outras possibilidades.
1.2.2 SPI – sistema possível e indeterminado - possui infinitas soluções
Resolvendo o sistema a seguir, temos: 
 Assim, podemos concluir que o sistema é POSSÍVEL (ou seja, tem solução) e 
INDETERMINADO (infinitas soluções), isto é, tem várias possibilidades!
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1.2.3 SI – sistema impossível - não possui solução
Resolvendo o sistema a seguir, temos: 
Assim, podemos concluir que o sistema é IMPOSSÍVEL (ou seja, NÃO tem solução). 
Porém, se o termo independente de todas as equações for igual a zero, o Sistema Linear é 
classificado como HOMOGÊNEO, veja:
1.3 Adição e Substituição de Sistemas Lineares
1.3.1 Método de adição 
 Considere o sistema a seguir: 
Passo 1. Precisamos eliminar uma variável, certo? Para isso, multiplicaremos a segunda 
equação (II) por 3, que ficará:
Passo 2. Vamos somar, membro a membro, as duas equações:
Passo 3. Encontramos o valor de x. Sendo então, 5x= 5 à x= 5/5 à x= 1
Passo 4. Substituímos o valor de x em qualquer uma das equações e encontramos o valor 
de y:
Concluímos que o conjunto solução é: S={(1,2)} 
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1.3.2 Método de substituição
Considere o sistema a seguir:
 
Você sabia que existe outro método para resolver sistemas de equações? Sim, esse método 
se chama MATRIZES! 
As matrizes são interessantes e muito utilizadas não apenas a cunho matemático, mas 
também em outras áreas, já que essas têm diversas aplicações. Aqui, vou aplicar as matrizes 
dentro de sistemas lineares e, no próximo assunto, eu as abordarei mais detalhadamente. O que 
precisamos saber em primeira mão é que existem diferentes formas para resolver equações de 
sistemas lineares, mas, trataremos apenas de duas: a Regra de Cramer e Escalonamento.
1.4 Resolução de Sistemas Lineares 
1.4.1 Regra de Cramer 
É utilizada na resolução de sistemas classificados como SPD – Sistemas Possíveis e 
Determinados. Vamos considerar a seguinte equação de sistemas lineares: 
Mas, antes, precisaremos: 
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1.º) Calcular o determinante principal: neste caso, formamos uma matriz com os 
coeficientes das variáveis;
Então, o determinante principal é: 
2.º) Calcular os determinantes secundários: substituindo as colunas das variáveis pela 
coluna do termo independente.
 
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Agora, para calcularmos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus quando temos 
matrizes quadradas de ordem 3:
Então, obtemos a solução do sistema S={(-1,1, -1)}
1.4.2 Escalonamento de sistemas lineares
Escalonar um sistema é uma forma de transformar o sistema em outro equivalente, mas 
que possua uma resolução mais fácil. Porém, para escalonar um sistema, precisamos seguir estes 
passos: 
1. Somar ou subtrair uma equação pela outra;
2. Multiplicar uma das equações inteira por um número real diferente de zero;
3. Trocar duas equações de posições entre si;
4. Multiplicar uma das equações por um número real e somá-la à ou subtraí-la da outra;
5. Dividir uma equação inteira por um número real diferente de zero.
 Esses passos parecem um enigma, não é mesmo? A boa notícia é que você não precisa, 
necessariamente, seguir todos eles nem os executar nessa ordem. Anteriormente, estão descritos 
os passos para norteá-lo a resolver a equação. Seguindo-os, você pode escalonar um sistema 
e encontrar os valores para as variáveis que resolvem o sistema. Esse tipo de escalonamento é 
chamado de forma escalonada ou redução à forma escalonada. Vamos praticar o que aprendemos, 
pois a matemática é isto: na teoria, um desespero; na prática, um parque de diversões. 
Considere o sistema a seguir:
Vamos passo a passo: 
1.º) Transformamos o sistema anterior por uma Matriz: pegamos os valores dos 
coeficientes e do termo independente após a igualdade.
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2.º) Vamos agora fazer uma operação matemática, seja ela adição, subtração, multiplicação 
ou divisão, desde que consigamos anular pelo menos um elemento da matriz. Quais desses 
elementos nós iremos eliminar? Observando a matriz, podemos pegar a Linha 2 (L2) e subtrairpela Linha 1 (L1). O resultado dessa subtração é colocado na Linha 2. 
3.º) Anulamos mais um elemento subtraindo, desta vez, a Linha 3 (L3) pelo dobro da 
Linha 1 (L1). Colocamos o resultado na Linha 3. 
4.º) Agora, se somarmos a Linha 2 (L2) com a Linha 3 (L3), conseguiremos anular mais 
um elemento. 
5.º) Não podemos anular a diagonal principal, certo? Então vamos transformar o número 
2 em 1. Como assim? Basta dividirmos a Linha 3 por 2. Vamos ver como fica?
 
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6.º) Neste passo, já temos a forma escalonada e já é possível encontrarmos os valores das 
variáveis: x, y e z. 
7.º) Vamos prosseguir, escalonando, até o final do processo. Afinal, o intuito agora é 
anularmos os elementos anteriores da diagonal principal. Se subtrairmos a Linha 2 com a Linha 
3, anulamos mais um elemento.
8.º) Vamos seguindo adiante, anulando mais um elemento que não está na diagonal 
principal. Agora vamos subtrair a Linha 1 com a Linha 3.
9.º) Por fim, vamos anular o último elemento: subtraímos a Linha 1 com a Linha 2. 
10.º) Chegamos à Matriz Escalonada. Além disso, os valores encontrados no termo 
independente são os que, atribuídos às variáveis x, y e z, formam o conjunto do sistema. A Matriz 
a seguir é a reduzida à forma de escada. 
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Conseguimos! Temos, visivelmente, a resposta para x, y e z. Montando o sistema 
novamente, temos o seguinte:
Agora, vamos mudar um pouco o foco. Uma matriz é uma forma de organizarmos, em 
linhas e colunas, dados numéricos, relacionando-os. Essa organização se dá no formato m x n, no 
qual: m representa o número de linhas (horizontal) e n representa o número de colunas (vertical). 
A função da matriz é justamente relacionar esses dados numéricos. De forma breve, mas bem 
clara, vamos tratar aqui de informações importantíssimas sobre matrizes. 
1.5 Representação de uma Matriz 
 
Podemos utilizar colchetes, parênteses e até barras para representarmos uma matriz. 
Vejamos este exemplo:
 Venda de animais no primeiro bimestre do ano de 2021:
 
ANIMAL JANEIRO FEVEREIRO
Fêmeas de leite 500 450
Fêmeas de corte 450 490
 
A tabela apresenta dados em duas linhas (dois tipos de fêmeas) e duas colunas (meses do 
ano). Temos, nesse caso, uma matriz do tipo 2x2. Podemos representar essa tabela da seguinte 
forma: 
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1.6 Elementos de uma Matriz 
 
Uma matriz, representada por m x n, é composta por elementos aij em que: i representa 
o número de linhas, e j o número da coluna que localiza o valor. 
Exemplo: Utilizando os dados da tabela anterior, temos:
aij ELEMENTO Entendendo a questão...
a11 500 Elemento da linha 1 e coluna 1
a12 450 Elemento da linha 1 e coluna 2
a21 450 Elemento da linha 2 e coluna 1
a22 490 Elemento da linha 2 e coluna 2
1.7 Tipos de Matrizes 
 
Há vários tipos de matrizes. Vamos destacá-los aqui de forma bem simplificada:
1.7.1 Matriz linha 
Matriz de uma linha. Exemplo: Matriz linha 1 x 2.
1.7.2 Matriz coluna
 
Matriz de uma coluna. Exemplo: Matriz coluna 2 x 1.
1.7.3 Matriz nula 
 
Matriz de elementos iguais à zero. Exemplo: Matriz nula 2 x 3.
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1.7.4 Matriz quadrada 
 
Matriz com igual número de linhas e colunas. Exemplo: Matriz quadrada 2 x 2.
1.7.5 Matriz identidade 
Os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero. 
Exemplo: Matriz identidade 3x3 
1.7.6 Matriz inversa 
 
Uma matriz quadrada B é inversa da matriz quadrada A quando a multiplicação das duas 
matrizes resulta em uma matriz identidade In, ou seja, A . B= B. A= ln. Exemplo: Matriz inversa 
de B é B-1
1.7.7 Matriz transposta 
 
É obtida com a troca ordenada das linhas e colunas de uma matriz conhecida. Exemplo: 
Bt é a matriz transposta de B.
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1.7.8 Matriz oposta 
 
Obtida com a troca de sinal dos elementos de uma matriz conhecida. Exemplo: – A é a 
matriz oposta de A.
1.7.9 Igualdade de matrizes 
 
Matrizes que são do mesmo tipo e possuem elementos iguais. Exemplo: Se a matriz A é 
igual à matriz B, então o elemento ‘d’ corresponde ao elemento 4.
 
1.8 Operação entre Matrizes
 
Que tal utilizarmos as operações matemáticas para somarmos ou subtrairmos ou 
simplesmente multiplicarmos uma matriz? Esse assunto já está acabando e esta abordagem é de 
suma importância para o nosso entendimento. 
1.8.1 Adição de matrizes 
Podemos obter uma matriz somando os elementos de matrizes do mesmo tipo. Exemplo: 
Soma dos elementos da matriz A e da matriz B para obter a matriz C. 
1.8.2 Subtração de matrizes
 
Assim ocorre também nas matrizes que subtraímos. Subtraímos os elementos de matrizes 
do mesmo tipo. Exemplo: Subtração dos elementos da matriz A e da matriz B para obter a matriz 
C. 
 
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1.8.3 Multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes só é possível se o número de colunas de A for igual ao número 
de linhas de B. Exemplo: Multiplicação entre a matriz 3 x 2 (A) e a matriz 2 x 3 (B). 
1.8.4 Multiplicação de matrizes por um número real
Obtém-se uma em que onde cada elemento da matriz conhecida foi multiplicado pelo 
número real. Exemplo: multiplicar a matriz a seguir por 2. 
1.9 Propriedade das Operações entre Matrizes
1.9.1 Adição comunicativa 
 
A + B = B + A
1.9.2 Adição associativa 
 
(A + B) + C = A + (B + C)
1.9.3 Adição de elemento oposto 
 
 A + (-A) = (-A) + A = 0
1.9.4 Adição de elemento neutro 
 
A + 0 = 0 + A = A (se 0 for uma matriz nula de mesma ordem que A.
1.9.5 Multiplicação associativa
 
A . (B . C) = (A . B) . C 
1.9.6 Multiplicação distribuída à direita 
 
A . (B + C) = A .B + A. C
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1.9.7 Multiplicação distribuída à esquerda 
 
(B + C) . A = B . A + C . A
1.9.8 Multiplicação comutativo 
 
A . ln = ln . A, onde ln é a matriz identidade. 
1.9.9 Multiplicação de matriz por número real 
 
Utilizando números reais, m e n, multiplicam-se matrizes do mesmo tipo: A e B, obtendo 
as seguintes propriedades:
m . (n . A) = (m . n) . A
m . (A + B) = m. A + m . B
(m + n) . A = m. A + n. A
1 . A = A
Para entender melhor o conteúdo anterior, indico assistir a alguns vídeos desses 
entendedores de matrizes clicando em https://youtu.be/YcACVa0roQo. Se 
quiser complementar o aprendizado sobre as operações matemáticas utilizando 
matrizes, assista ao link https://youtu.be/IKZXWnto4aM. Para aprofundar em 
soma e subtração, veja https://youtu.be/0ziYp9N-zGE. Já para multiplicação de 
matrizes, assista a https://youtu.be/zhbuYu8w1z0. 
Este site aborda diversos assuntos dentro das mais variadas 
disciplinas. É um complemento interessante para acrescentar mais 
conhecimentos ao seu aprendizado. Acesse: 
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home. 
https://youtu.be/YcACVa0roQo
https://youtu.be/IKZXWnto4aM
https://youtu.be/0ziYp9N-zGE
https://youtu.be/zhbuYu8w1z0
https://pt.khanacademy.org/math/algebra-home
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
 
Esperamos ter transformado sua jornada acadêmica com esses conhecimentos, que estão 
distribuídos da melhor maneira nesta apostila, visando dar assistência na sua jornada como um 
futuro profissional de sucesso.Juntamente com esta apostila, apresentamos exercícios selecionados 
e/ou elaborados com extremo zelo pensando em sua fixação dos conteúdos estudados até aqui. 
Pratique, explore, conheça e desfrute dos seus novos conhecimentos. Bons estudos!
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U N I D A D E
03
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ...............................................................................................................................................................36
1. SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS ............................................................................................................37
2. REPRESENTAÇÃO DE VALORES NUMÉRICOS ....................................................................................................38
3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ............................................................................................................................40
4. REGRAS DE ARREDONDAMENTO ........................................................................................................................ 41
5. CARACTERÍSTICAS DE UM VETOR .......................................................................................................................42
6. COMPONENTES VETORIAIS ..................................................................................................................................42
7. SISTEMA DE COORDENADAS ................................................................................................................................43
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................45
GRANDEZAS FÍSICAS E VETORES
 PROF. DR. JULIO CESAR AGREIRA PASTORIL
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA E FÍSICA APLICADAS 
À ZOOTECNIA 
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INTRODUÇÃO
 A definição etimológica da palavra Física vem do grego phusikḗ,ês, que significa ciência, 
estudo da natureza. Dessa forma, a Física nada mais é do que uma parte da ciência que estuda a 
natureza como um todo, postulando leis e definindo equações, até que se possa chegar ao mais 
próximo possível de fenômenos naturais. 
 A Física utiliza-se da matemática, mais precisamente do Cálculo Diferencial e Integral, 
para poder fazer aproximações da realidade. Então, com o Cálculo, temos a manipulação numérica 
e, quando o utilizamos como ferramenta, a Física fornece a interpretação dos resultados por meio 
de um sistema de unidades. Nesta unidade, vamos adentrar neste assunto. 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1. SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS 
 
O sistema de unidades de medidas propicia o padrão aceito em cada país para a medição 
de qualquer grandeza física, como exemplo, as grandezas métricas: centímetro, metro, quilômetro 
etc. Aqui no Brasil, por exemplo, é adotado o Sistema Internacional (SI), que prevê: segundo 
(unidade de tempo), metro (unidade de comprimento) e o quilograma (unidade de massa). 
Essas três unidades (tempo, métrica e massa) são algumas das unidades primárias que, quando 
agrupadas, formam as demais unidades. Como cada país, ou grupo de países, tem autonomia 
na escolha do sistema de medidas, é imprescindível ter fatores de conversão para que toda e 
qualquer medição de uma grandeza possa ser universal. 
Cada sistema de medidas utiliza múltiplos de cada grandeza, por isso, deve-se entender e 
utilizar os principais prefixos do SI, conforme segue na Tabela 1.
Nome Símbolo Fator de multiplicação
Tera T 1012 ou 1.000.000.000.000
Giga G 109 ou 1.000.000.000
Mega M 106 ou 1.000.000
Kilo k 103 ou 1.000
Hecto h 102 ou 100
Deca da 101 ou 10
Unidade Padrão 100 ou 1
Deci d 10-1 ou 0,1
Centi c 10-2 ou 0,01
Mili m 10-3 ou 0,001
Micro µ 10-6 ou 0,000001
Nano n 10-9 ou 0,000000001
Pico p 10-12 ou 0,000000000001
Tabela 1 – Prefixos para conversão de unidades no SI. Fonte: O autor.
Anteriormente, ilustram-se os principais prefixos para a conversão de unidades dentro 
do SI e em outros sistemas. Observe que a primeira coluna se refere ao nome dado ao prefixo, a 
segunda coluna mostra o símbolo, e a terceira o fator multiplicativo em potência de base dez, 
ou notação científica, juntamente com seu valor numérico. 
A linha central da tabela mostra as unidades padrão em qualquer sistema de medição. 
Essas unidades padrão são baseadas em metro e massa padrão, ou em medições laboratoriais, 
que é o caso da determinação da unidade “tempo” em que a grandeza é estabelecida por meio 
de decaimento radioativo. O BIPM (Bureau International de Poids et Mesure), que é o escritório 
Internacional de pesos e medidas, o qual regula internacionalmente a calibração e o valor das 
unidades base. 
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Para que se possam manipular os prefixos para a conversão de unidades, deve-se saber 
utilizar a notação científica que simplifica valores muito grandes ou muito pequenos.
Exemplo: Convertendo unidades de velocidade 
Um carro de corrida chega facilmente à velocidade de 360 km/h e a velocidade da luz é de 
aproximadamente 300.000.000 m/s. Quantas vezes a velocidade da luz é maior do que a do carro 
de corrida?
Primeiramente, devem-se transformar as unidades. Como estamos no SI, devemos 
utilizar o metro (m) e o segundo(s). 
• Transformando a unidade de tempo: de hora para segundos: 1hora (h) é igual a 60 minutos 
(m), 1 minuto é igual a 60 segundos (s).
• Unidade de comprimento: de quilômetro para metros: 1 quilômetro (km) é igual a 1000 
metros (m).
Depois disso, converta a velocidade do carro de km/h para m/s. Para isso, vamos trabalhar 
com a regra de três. Temos: 
 
360 km/h é igual a 100 m/s, como acabamos de descobrir anteriormente. Fazendo agora 
a proporção de quantas vezes a velocidade da luz é maior do que a do carro, temos:
 
Dessa forma, concluímos que a velocidade da luz é 3 milhões de vezes maior que a 
velocidade do carro de corrida.
2. REPRESENTAÇÃO DE VALORES NUMÉRICOS 
 
Na física, uma representação muito importante vem de expressar mais facilmente, dentro 
de um padrão, os valores numéricos de uma grandeza. A primeira forma de representação é 
em notação científica. Transformar um número muito pequeno e/ou um número muito grande 
em uma porção que possamos ter a noção de ordem de grandeza do valor em questão facilita 
interpretação e a representação física. 
 Para entendermos melhor, vamos usar dados astronômicos os quais informam que a 
distância entre a terra e a lua é de, aproximadamente, 384.400.000 metros ou 384.400 km. Dessa 
forma, representando em notação científica, temos: 
 Distância Terra – Luz é de 3,84.108 metros.
 
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Agora, vamos ver como essa transformação em notação científica pode ser feita. Para 
simplificarmos um número grande em notação científica, contamos quantas casas queremos 
“andar” com a vírgula, veja como segue:
 384.400.000,0 x 100
384.400.00,0 x 101
384.400.0,0 x 102
384.400,0 x 103
384.40,0 x 104
384.4,0 x 105
384,4 x 106
38,4 x 107
3,8 x 108
 
Se “andamos” com a vírgula da direita para a esquerda, quer dizer que estamos simplificando 
um número muito grande, por isso o sinal que vai ao expoente da base dez é positivo, como no 
exemplo anterior. Agora, imagine como seria se o nosso número fosse muito pequeno?
Exemplo: Uma molécula de água é formada por um átomo de oxigênio e dois átomos de 
hidrogênio (H2O). A distância média entre o átomo de oxigênio e um átomo de hidrogênio é de 
0,0000000000096 m ou 9,6.10-12 m. 
 Nesse caso, podemos fazer a mesma coisa que anteriormente, mas, desta vez,estamos 
transformando um número muito pequeno em um número grande. Por isso, a vírgula vai “andar” 
para a direita, como segue:
0,0000000000096 x 100
0,000000000096 x 10-1
0,00000000096 x 10-2
0,0000000096 x 10-3
0,000000096 x 10-4
0,00000096 x 10-5
0,0000096 x 10-6
0,000096 x 10-7
0,00096 x 10-8
0,0096 x 10-9
0,096 x 10-10
0,96 x 10-11
9,6 x 10-12
 
Perceba que, como nosso valor é muito pequeno, “andamos” da esquerda para a direita 
com a vírgula. Nesse exemplo, mais especificamente, andamos doze casas com a vírgula, em 
virtude disso que o sinal no expoente da base dez é negativo. 
 Ao escrever números em notação científica, o número de casas em que a vírgula vai andar 
e quantas casas decimais devem estar depois da vírgula são estabelecidos experimentalmente 
em relação à precisão e à incerteza atribuída ao valor da medição. A seguir, discutiremos um 
pouco mais sobre algarismos significativos, regras de arredondamento e expressão de resultados 
de medições.
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3. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
Existem diversos aparelhos para a realização de medições de grandezas físicas. Os 
aparelhos digitais, por exemplo, em geral, são mais fáceis de manipular, pois, ao mudar a escala 
ou a resolução, obtemos uma medida direta. Já os analógicos requerem um pouco mais de 
atenção, principalmente quando precisamos indicar em qual casa decimal está a incerteza de 
nossa medida. 
 Ao medir e expressar uma grandeza física, deve-se exprimir o erro experimental associado 
a ela. O erro experimental nada mais é do que a diferença em porcentagem do valor real com 
relação ao valor medido. Dessa maneira, os algarismos significativos de uma medição são todos 
aqueles conhecidos com certeza, acompanhados do valor duvidoso (estimado). 
 Imagine que, em uma sala de aula, foi escolhido um aluno aleatoriamente e foi medida a 
sua altura, aferindo 1,67m. Quando falamos de algarismos significativos, dizemos que essa medida 
de altura tem três (3) algarismos significativos, pois os três valores participam da medição. Nesse 
exemplo, podemos dizer que temos um algarismo duvidoso, isto é, o número 7. Isso significa 
que a incerteza na medida está sobre o número 7 e, dependendo do erro experimental, pode ter 
variação para mais ou para menos.
Exemplo: Determine quantos algarismos significativos possuem os valores a seguir: 
a. 5,3458 
b. 0,0000026 
c. 78 
d. 5,3 x 10-3 
e. 0,001 
Resolução: Perceba que todos os valores numéricos não possuem unidades, portanto, são 
chamados de adimensionais, isto é, não têm significado físico! 
a. Possui 5 algarismos significativos; 
b. Possui 2 algarismos significativos, pois não contamos os zeros à esquerda; 
c. Possui dois algarismos significativos; 
d. Possui dois algarismos significativos, pois a base dez e seu expoente não são considerados 
significativos; 
e. Possui um algarismo significativo, recaindo no mesmo caso da letra “b”, em que não 
contamos zeros à esquerda. 
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4. REGRAS DE ARREDONDAMENTO 
Para que possamos expressar uma medição com os algarismos significativos, temos 
que aprender algumas regras de truncagem e arredondamento. Truncar, segundo o dicionário, 
significa separar do tronco; cortar. Retirar uma parte de algo ou mutilar. A truncagem ocorre 
quando “truncamos” um valor, isto é, diminuímos ou aumentamos os dígitos de um valor 
numérico sem nos preocuparmos com regras de arredondamento. 
Exemplo: Faça a truncagem do número 46,975321, com quatro algarismos significativos. 
Resolução: O número 46,975321 possui oito algarismos significativos. Para truncá-lo, 
como pede o exercício, devemos “cortar” o valor em quatro algarismos significativos, isto é 46,97. 
Perceba que nossa truncagem parou no número sete e ignorou os demais algarismos. Já no 
arredondamento, não se podem ignorar as casas decimais posteriores ao número arredondado, 
como na truncagem. 
Ao realizar diversas medições, dependendo da precisão do aparelho, teremos uma 
grande variedade de números com vários algarismos significativos. Existem algumas regras de 
arredondamento que devem ser seguidas:
Caso I: Se o algarismo à direita do último número onde se pretende truncar for inferior 
a 5, 50, 500 ..., desprezam-se os outros dígitos à direita. No caso do valor 3,4112, por exemplo, 
podemos arredondá-lo com três algarismos significativos, 3,41.
Caso II: Se o algarismo à direita do último dígito que se pretende truncar for maior que 
5, 50, 500 ..., adiciona-se uma unidade do número que foi truncado. No caso do valor 13,268, por 
exemplo, vamos arredondá-lo com quatro algarismos significativos, assim temos 13,27 (à direita 
do número 6, temos o número 8, que é um número maior que 5. Dessa forma, somamos uma 
unidade no número 6 que é o número truncado).
Caso III: Se o algarismo à direita do último dígito que se truncar for 5, 50, 500..., temos 
duas opções:
Opção 1: Soma-se uma unidade ao último dígito representado, desprezando os outros 
números à direita, se esse dígito for ímpar. 
Opção 2: Apenas são desprezados os demais dígitos à direita se este número for 
originalmente zero ou par. 
No caso do valor 48,45, com três algarismos significativos e o último algarismo antes do 
número cinco é par, neste caso, despreza-se o número 5 e ficamos com 48,4.
Agora, no caso do valor 23,75, com três algarismos significativos, e o algarismo truncado 
for ímpar, soma-se uma unidade onde o número foi truncado. Desta forma, o número fica 23,8.
Até aqui, discutimos as representações numéricas para realizar medições e/ou realização 
de cálculos teóricos. Os algarismos significativos e o arredondamento expressam a exatidão e a 
precisão nas medidas. Dessa forma, é importante que se caracterizem esses conceitos:
Após aprender a manipular e expressar valores numéricos, vamos conceituar a cinemática, 
que nada mais é do que o estudo do movimento. No decorrer de nosso estudo, você perceberá 
o quanto a cinemática faz parte de nossa vida, pois tudo, para nós, possui um “endereço”, uma 
“localização” que são os princípios básicos da cinemática, conteúdo a ser abordado no próximo 
capítulo. 
Agora, iremos discutir sobre as características de um vetor. Gosto sempre de brincar 
dizendo: “como reconhecer um vetor andando na rua? Ao pedir o seu documento de identificação, 
quais características eu preciso encontrar ali para afirmar que é um vetor?”. Vou ajudá-lo com 
isso!
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Antes de começar a discussão sobre o formalismo vetorial, é importante que se diferenciem 
conceitualmente vetores de escalares. Os escalares são aqueles que não possuem orientação 
espacial, isto é, no plano cartesiano. Eles se tornam pura e simplesmente um valor numérico, que 
pode adquirir valores positivos ou negativos, dependendo da unidade de medida da grandeza. 
5. CARACTERÍSTICAS DE UM VETOR
 
Já os vetores possuem orientação espacial no plano cartesiano, afirmamos então que 
eles possuem “módulo”, “direção” e “sentido’’. Módulo é o valor numérico correspondente ao 
vetor algebricamente, o qual é sempre positivo. A direção diz respeito a qual eixo coordenado 
os componentes vetoriais fazem parte, eixo x ou eixo y. O sentido orienta o vetor positiva 
ou negativamente, tanto no eixo x quanto no eixo y. A Figura 1 ilustra um vetor com suas 
características:
 
Figura 1– Características de um vetor. Fonte: O autor.
6. COMPONENTES VETORIAIS
 Para descrever o “caminho” de um vetor, deve-se se orientar pelo sistema de coordenadas. 
Aqui em nosso estudo, trabalharemos somente com duas dimensões: o plano (x,y). Imagine que 
temos um vetor 𝑎⃗ descrito no plano cartesiano de acordo com a Figura 2.
Figura 2– Componentes de um vetor no plano(x,y). Fonte: O autor.
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 Observe que o vetor é descrito na diagonal, fazendo um ângulo com a horizontal, 
possuindo assim duas componentes x e y. Essas duas componentes são projeções (ou sobras) 
do vetor no eixo x e no eixo y, respectivamente. Com as relações trigonométricas de seno e 
cosseno, podemos escrever o módulo das componentes x e y:
𝑎𝑥 = 𝑎cos𝜃 
𝑎𝑦 = 𝑎sen𝜃 
que correspondem às componentes do vetor . 
Para calcularmos o módulo, quando possuímos duas dimensões, escrevemos:
 Temos também a relação com a tangente do ângulo: 
7. SISTEMA DE COORDENADAS 
 
Ao trabalhar com duas dimensões, há a necessidade de indicar no vetor qual é o seu eixo 
coordenado, para isso usamos os vetores unitários. Vetores unitários são vetores de módulo igual 
a um e que apontam para uma certa direção. Cada eixo possui seu vetor unitário, sendo que: 𝑥 →
, 𝑦 → e 𝑧→ . Então, para (x, y, z), temos os vetores unitários (i, j, k). Vamos agora escrever o vetor 
𝑎⃗ em termos de vetores unitários:
 (𝑥 ,𝑦 )=𝑎𝑥 +𝑎𝑦 
 
Quando falamos em componentes vetoriais, não devemos somá-los numericamente, 
devemos indicar a soma em termos de vetores unitários.
Exemplo: De acordo com a figura a seguir, uma partícula está sujeita a duas forças F1 e F2 
com valores de 50 e 80 N, respectivamente. Cada força possui um ângulo com o eixo horizontal 
indicado na figura. Calcule as componentes das forças F1 e F2:
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Resolução: fazendo a decomposição dos vetores F1 e F2, temos:
Para F1: 
F1x = F1cos(37) = 50.0,8 = 40 N
F1y = F1sen(37) = 50.0,6 = 30 N
Para F2: 
F2x = F1cos(53) = 80.0,6 = - 48 N
F2y = F1sen(53) = 80.0,8 = 64 N
 
Note que F2x é negativo, pois o sentido do vetor aponta no sentido negativo do eixo x
Para melhor compreender a origem de algumas unidades de 
medidas, é indicado que leiam esse texto publicado no site 
da Superinteressante, disponível em: https://super.abril.com.
br/blog/superlistas/conheca-a-origem-de-11-unidades-de-
medida/. Ele retrata a origem de 11 importantes unidades de 
medidas, sendo: metro, polegada, grama e quilograma, arroba, 
nó, segundo, libra, pé, jarda, milha e quartilho. 
Como indicação de vídeo, temos o desse professor do canal “Física 
Total” que, de forma bem alegre e clara, explica sobre Grandezas 
Físicas, Notação Padrão e Ordem de Grandeza. Para acessar, é só 
clicar no link: 
https://www.youtube.com/watch?v=MLEZI03kUkE&t=124s. 
https://super.abril.com.br/blog/superlistas/conheca-a-origem-de-11-unidades-de-medida/
https://super.abril.com.br/blog/superlistas/conheca-a-origem-de-11-unidades-de-medida/
https://super.abril.com.br/blog/superlistas/conheca-a-origem-de-11-unidades-de-medida/
https://www.youtube.com/watch?v=MLEZI03kUkE&t=124s
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
 
Até aqui, aprendemos o quanto é importante indicar as unidades nas grandezas físicas, 
pois são elas que dão sentido físico aos valores matemáticos. Saber manipular valores numéricos 
em notação científica e algarismos significativos é uma ótima ferramenta para estudos futuros na 
física, por conta de que, na teoria, existe uma gama grande de ordens de grandeza. Lembrando que 
essas manipulações que aprendemos servem tanto para medições quanto para cálculos teóricos. 
Além do mais, percebemos a necessidade de diferenciar e caracterizar grandezas escalares e 
vetoriais. Por conta disso, o cuidado com o formalismo vetorial sempre deve ser tomado.
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04
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ..............................................................................................................................................................48
1. MOVIMENTO RETILÍNEO .......................................................................................................................................49
2. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES .................................................................................................................. 51
2.1 NA HORIZONTAL (MRU) ........................................................................................................................................ 51
2.2 NA VERTICAL (MRUV) ..........................................................................................................................................52
3. INTRODUÇÃO À DINÂMICA ....................................................................................................................................54
3.1 AS LEIS DE NEWTON ............................................................................................................................................54
4. FORÇAS ESPECIAIS ................................................................................................................................................56
4.1 FORÇA NORMAL ....................................................................................................................................................56
4.2 FORÇA PESO..........................................................................................................................................................56
MECÂNICA
 PROF. DR. JULIO CESAR AGREIRA PASTORIL
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
MATEMÁTICA E FÍSICA APLICADAS 
À ZOOTECNIA 
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4.3 FORÇA DE TRAÇÃO OU TENSÃO..........................................................................................................................57
4.4 FORÇA DE ATRITO (FAT) ........................................................................................................................................58
4.4.1 APLICAÇÃO DAS FORÇAS DE ATRITO ...............................................................................................................59
5. ENERGIA CINÉTICA E TRABALHO ........................................................................................................................60
5.1 ENERGIA CINÉTICA ..............................................................................................................................................60
5.2 TRABALHO ............................................................................................................................................................. 61
5.3 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA CONSTANTE .................................................................................. 61
5.3.1 POTÊNCIA ............................................................................................................................................................62
6. ENERGIA POTENCIAL E TRABALHO .....................................................................................................................64
7. POTÊNCIA .................................................................................................................................................................65
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...........................................................................................................................................66
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INTRODUÇÃO 
Alguma vez já se perguntou se é possível calcular a velocidade de um carro em uma pista 
de corrida? Saber quanto tempo falta para a chegada de um avião ao seu destino? Identificar a 
aceleração média de um grande corredor durante uma maratona? E quando passamos pelas ruas 
ou estradas e nos deparamos com aquelas placas identificadas com uma determinada velocidade, 
já teve a curiosidade de saber como essa indicação é calculada? 
Por meio da cinemática,que é o estudo do movimento, sem se preocupar com a causa 
desse movimento, envolve o deslocamento, a velocidade e a aceleração em cada instante; e da 
dinâmica, estudamos as causas do movimento através das Leis de Newton.
 
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1. MOVIMENTO RETILÍNEO 
 
Para o estudo do movimento, temos que tratar de quatro grandezas: o tempo, o 
deslocamento, a velocidade e a aceleração. Com exceção do tempo, todas as outras grandezas 
são vetoriais, possuindo módulo, direção e sentido no plano cartesiano. Outro fator importante 
é a escolha de um referencial (ou observador), como estamos sob as leis newtonianas, adotamos 
o “referencial inercial”. Escolhendo o referencial, devemos marcar nosso “ponto zero” para que 
possamos analisar as grandezas e saber se elas são positivas ou negativas. 
O primeiro conceito a ser estudado é o da Velocidade Média. Imagine que você foi dar 
uma volta de carro em sua cidade, com certeza, do caminho da sua casa até o supermercado, por 
exemplo, você para diversas vezes e tem várias medições de velocidade. A Velocidade Média nada 
mais é do que uma média das velocidades dentro de um deslocamento, no nosso exemplo, seria 
o caminho de casa até o supermercado. Assim, podemos escrever:
Essa notação significa que a velocidade média é a variação do espaço em um intervalo de 
tempo. A seguir, temos a forma diferencial, indicando a taxa de variação do deslocamento. 
Se a partícula possui velocidade, sabemos que hora ela acelera, hora ela desacelera 
(freia), assim, podemos definir a aceleração média como a variação da velocidade. Escrevendo 
algebricamente:
Aqui, temos a forma diferencial da equação, em que a aceleração é a taxa de variação da 
velocidade em função do tempo. 
Nesta parte da unidade, iremos considerar que a aceleração varia de maneira constante, 
pois estamos tratando do movimento uniforme. Manipulando as equações do movimento, 
podemos escrever as equações (do movimento) com aceleração constante:
• A primeira é conhecida como função horária da velocidade, a qual descreve o 
comportamento da velocidade v em função do tempo t
• A segunda é a função horária da posição em que a posição s é uma função do tempo t
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• A terceira é conhecida como a equação de Torricelli. Esta é a única equação do movimento 
que não há dependência do tempo.
 
 Em que: 
 é a posição inicial; 
é a velocidade inicial e 
 é a aceleração do móvel.
Exemplo: Dada a função deslocamento 𝑥 (𝑡)= 4−27.t + t², com x em metro e t em 
segundos. Determine:
a. a posição inicial ;
b. a velocidade inicial ;
c. a aceleração ;
d. a função horária da velocidade;
Resolução: A função horária do deslocamento dado no exercício,
descreve o deslocamento de um móvel ao longo do eixo x e comparando com a função 
horária do movimento genérica, temos:
Podemos, facilmente, responder às questões do item a, b e c.
 Para o item a, temos que a posição inicial do móvel é = 4m. No item b, da mesma forma, 
temos que a velocidade inicial do móvel é = 27m/s e, para o item c, temos que a aceleração 
= 2 m/s².
 Agora, com os dados obtidos, conseguimos montar a função horária da velocidade para 
móvel descrito no problema. A função horária genérica da velocidade é,
 
,
substituindo os valores de e de encontrados anteriormente, temos:
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2. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES 
 
Anteriormente, estudamos o movimento retilíneo uniforme. Retilíneo significa em linha, 
e uniforme, que a aceleração não varia. Quando falamos em movimento em duas dimensões, 
trataremos de deslocamentos no eixo x e no eixo y simultaneamente. 
 Um movimento que exprime a relação do deslocamento em duas dimensões é o 
movimento balístico ou o lançamento de projéteis. Imagine uma bola que é chutada para o alto e 
cai a uma distância x do ponto zero, como na Figura 1.
Figura 1 – Vetores associados ao lançamento de projéteis. Fonte: COC Educação (2021).
 Observe que a bola foi lançada na diagonal, portanto a velocidade possui duas componentes 
𝑣𝑥 e 𝑣𝑦 . Ao chegar no ponto mais alto da trajetória, antes de iniciar a descida, a velocidade da bola 
é zero. O lançamento de projéteis está sob a ação gravitacional (g), portanto não podemos mais 
afirmar que temos um movimento uniforme, e sim um uniformemente variado. No esquema da 
Figura 1, podemos observar a divisão do movimento por eixo coordenado. Na horizontal, não 
temos ação variável de aceleração, portanto temos o movimento uniforme. Já na vertical, temos 
a ação da gravidade, por isso, temos a ação do movimento uniformemente variado, como dito 
anteriormente. Dividindo o movimento por eixo, teremos as equações que regem o movimento 
na horizontal e na vertical, analisando temos:
2.1 Na Horizontal (MRU)
 
A função horária do movimento ao longo do eixo x pode ser escrita:
 
 
Caso o ângulo seja o ângulo entre o vetor e a horizontal, temos que:
, onde .
 é a posição inicial no eixo x e t é o tempo que o objeto permanece no ar. 
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2.2 Na Vertical (MRUV)
 
A função horária do movimento ao longo do eixo y pode ser escrita:
 
Se usarmos o ângulo como descrito anteriormente, temos:
,onde 
 
A função horária da velocidade do objeto ao longo do eixo y pode ser verificada a seguir. 
Vale ressaltar que a velocidade em y não é constante como a velocidade em x por causa da ação 
da gravidade. 
,substituindo , 
Obtemos: 
 Da mesma forma, podemos escrever a equação de Torricelli para o movimento ao longo 
do eixo y.
O sinal de menos nas equações quer dizer que o movimento do objeto (inicialmente) 
é oposto ao sentido da aceleração da gravidade. Dessa forma, quando o objeto 
estiver subindo, o sinal será negativo e, quando o objeto estiver descendo, o sinal 
será positivo.
Perceba que as equações do movimento para a vertical são as mesmas do 
movimento com aceleração constante, substituindo o valor da aceleração pela 
aceleração da gravidade com seu sinal indicativo apontando para baixo, por isso, 
o sinal negativo.
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Exemplo: Um helicóptero voa com velocidade horizontal de 198 km/h (55m/s), a uma 
altura de 500m, em direção a um soldado isolado na mata, para lançar uma caixa de suprimentos. 
Qual deve ser a distância horizontal entre o avião e o soldado para que a caixa de suprimentos 
caia próxima a ele? 
Resolução: Como a velocidade de lançamento é horizontal, o ângulo θ=0, assim podemos 
escrever a equação do movimento vertical:
Substituindo os dados fornecidos pelo problema na função horária da posição para o 
movimento em y, temos:
sendo , obtemos:
 
Resolvendo a equação anterior, temos que o tempo de queda da caixa de suprimentos é t 
= 10,1 s.
 Agora, devemos escrever a equação na horizontal substituindo o valor do tempo 
encontrado:
 Escrevendo em função do ângulo, temos que:
 
 é o alcance máximo atingido pela caixa de mantimento e o alcance máximo 
.
 
Fazendo os cálculos anteriores, obtemos que o alcance máximo é de 555,5 m. Todos 
os exercícios de lançamento de projétil devem seguir os passos de construção das equações na 
horizontal e na vertical separadamente. A variável que une as duas componentes é atemporal, 
pois é uma grandeza invariável.
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3. INTRODUÇÃO À DINÂMICA
Estudaremos conceitos de dinâmica, fundamentando-os com base nas três Leis de 
Newton