14 - Analista Financeiro

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PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA 
Portal Educação 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: 
 
EaD - Educação a Distância Portal Educação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
MÓDULO III 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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dados aos seus respectivos autores descritos nas Referências Bibliográficas. 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
 
 
 
 
MÓDULO III 
 
 
3 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS NO REGIME SIMPLES 
 
 
Todas as decisões envolvendo valores financeiros (dinheiro) devem ser 
consideradas de acordo com o princípio básico de que o dinheiro tem “valor no 
tempo”. Nas transações financeiras, cada um dos pagamentos deve ter uma data a 
ele ligada, que é a data do vencimento. 
Um dos aspectos mais importantes da Matemática Financeira é o que trata 
da substituição de um ou mais pagamentos, por um conjunto de pagamentos 
equivalentes. 
Em juros simples, isto se processa basicamente como nos mostra o 
diagrama do texto a seguir: 
 
 
 
 
 X 
 
 -n 0 n 
 
Na representação acima, podemos dizer que o valor X do momento zero é 
corrigido em função da taxa unitária i e do tempo n, quando é deslocado da 
esquerda para a direita. 
Na mesma representação, podemos dizer que o valor de X do momento zero 
é descontado em função da taxa unitária i e do tempo n quando é deslocado da 
direita para a esquerda. 
Utilizando o desconto comercial ou bancário, isto se processa como nos 
mostra o diagrama do texto a seguir: 
 
 
 
46 
48 
 
 
 
 
 X 
 
 
 
 
 -n 0 n 
 
Dizemos que dois conjuntos de pagamentos são equivalentes a uma dada 
taxa, se os valores datados dos conjuntos, em qualquer data comum, forem iguais. 
O procedimento matemático para igualar os dois de pagamentos é chamado 
de equação de equivalência de valores datados. 
A data utilizada para a comparação é chamada de data focal, data de 
avaliação ou data de referência. 
Na resolução, o problema envolvendo conjuntos de captais, aconselha-se 
seguir o seguinte procedimento: 
a) esboce um diagrama do tempo (diagrama de fluxo), mostrando os 
valores envolvidos no problema; 
b) escolha uma data focal, se o problema já não determinar uma e 
represente a transferência de cada valor datado para essa data focal, de 
acordo com a taxa; 
c) escreva a equação de equivalência de acordo com a data focal 
estabelecida; 
d) resolva a equação de equivalência utilizando os métodos adequados 
da matemática. 
Vejamos exemplos do procedimento que aconselhamos. 
1. Joãozinho tem hoje R$ 200,00 em moeda corrente e uma nota 
promissória de R$ 150,00 que irá receber dentro de cinco meses. Sabendo que 
Joãozinho pode aplicar o seu dinheiro a uma taxa de juros simples de 3,7% a.m., 
desejamos saber quanto ele tem: 
a) no dia de hoje; 
b) ao final de cinco meses; 
c) ao final de três meses. 
49 
 
 
1.a Vamos inicialmente representar os valores R$ 200,00 e também R$ 
150,00 no diagrama de fluxo a incógnita X para representar a quantia total que 
Joãozinho tem hoje. 
 
 X r = 3,7%a.m. 
 200 150 
 
 Hoje 5 m 
 Data Focal 
Pela indicação do diagrama do fluxo, vemos que o valor R$ 150,00 deve ser 
descontado considerando a taxa de juros de 3,7% a.m. da posição hoje e depois 
somado com o valor dos R$ 200,00 para chegarmos ao total do valor representado 
pela letra X. 
A equação de equivalência pode ser escrita como: 
 
 
 
 
1.b Vamos representar os valores R$ 200,00 e R$ 150,00 no diagrama de 
fluxo e utilizar a incógnita X para representar a quantia total que Joãozinho tem ao 
final de cinco meses. 
 
 
 X r = 3,7% a.m. 
 200 150 
 
 Hoje 5 m 
 Data Focal 
 
Pela indicação do diagrama de fluxo, vemos que o valor R$ 200,00 deve ser 
corrigido considerando a taxa de 3,7% a.m. (juros simples) da posição hoje para a 
posição mês 5 e depois então somado com o valor R$ 150,00 para chegarmos ao 
total do valor representado pela incógnita X. 
50 
 
 
A equação de equivalência pode ser escrita como: 
 
 
 
 
1.c Vamos representar os valores R$ 200,00 e R$ 150,00 no diagrama de 
fluxo e utilizar a incógnita X para representar a quantia total que Joãozinho tem ao 
final de três meses. 
 
 X r = 3,7% a.m. X r = 3,7% a.m. 
 200 150 
 
 Hoje 3 m 5 m 
 Data Focal 
 
O valor R$ 200,00 deve ser corrigido considerando a tava de juros simples 
3,7% a.m. da posição hoje para a posição mês 3 e o valor R$ 150,00 deve ser 
descontado considerando a taxa de 3,7% a.m. da posição mês 5 para a posição 
mês 3 e depois somados os dois resultados para chegarmos ao total do valor 
representado pela incógnita X. 
A equação de equivalência pode ser escrita como: 
 X = 200,00 x ( 1 + 0,037 x 3 ) + 150,00 ( 1 + 0,037 x 2 ) ? 
 X = 200,00 x 1,111000000 + 150,00 x 0,931098697 
 X = 222,2000000 + 139,6648045 = 361,86 
 
 
2. Uma promissória no valor de R$ 2.300,00 com vencimento marcado para 
quatro meses é trocada por outra no valor de R$ 2.160,00, com vencimento para 
dois meses. Sabendo que a taxa da instituição financeira está valendo 3,1 % a.m., 
juros simples, deseja-se saber se a troca foi vantajosa para o emitente da nota 
promissória, considerando data focal no mês 2. 
 
 
51 
 
 
Vejamos o diagrama de fluxo do problema: 
 
 r = 3,1% a.m. 
 2.160,00 2.300,00 
 
 Hoje 2 m 4 m 
 Data focal 
 
O valor R$ 2.160,00 já se encontra no momento dois meses e devemos, 
portanto realizar apenas um cálculo para fazer com que o valor situado em quatro 
meses (R$ 2. 300,00) seja transferido para o momento dois meses, a fim de permitir 
a comparação. 
 
A equação de equivalência pode ser escrita como: 
 
 
Isto pode ser realizado com a HP12C da seguinte forma: 
 
 CLEAR 2 
2300 1 0,031 2 
 Resultado: 2.165,73 
 
A partir deste resultado, pode-se concluir que o emitente da nota promissória 
tem vantagem, pois deixará de pagar R$ 5,73. 
 
 
3 Verifique se os capitais R$ 6.400,00, com vencimento para três meses, e 
R$ 10.000,0, com vencimento parasete meses, são ou não equivalentes pelo 
critério do desconto comercial considerando taxa de 10% a.m. e utilizando a data 
focal de cinco meses. 
 
 
 
f REG f 
ENTER ENTER ENTER × ÷ 
÷ 
52 
 
 
 
 
 
 6.400,00 X Y 10.000,00 
 
 Hoje 3 m 5 m 7 m 
 Data 
 focal 
 
Trata-se de desconto comercial, com taxa 
r = 10% a.m. 
i = 0,10 
Onde o valor de X é dado por: 
 
 
 
 
 
E o valor de y é dado por: 
X =_______________ e Y=___________________ 
 
Pode concluir-se que 
 
 
4 Uma pessoa trocou um título de R$ 159,50, com vencimento para 45 dias, 
por outro a ele equivalente, a uma determinada taxa de desconto racional, com 
vencimento para 10 dias e de valor nominal R$ 121,00. Determine o valor dessa 
taxa racional, considerando a data de avaliação no momento zero. 
 
 
5 Uma pessoa deve a um banco os seguintes valores: R$ 200,00, com 
vencimento para um mês; R$ 250,00, com vencimento para dois meses; e também 
R$ 250,00, com vencimento para três meses. Determine um valor único para 
substituir estas três dívidas, na data focal dois meses, considerando a taxa de 
desconto racional de 6,5 % a.m. 
 
53 
 
 
6 Pedro deve a um banco dois títulos: o primeiro de R$ 300,00, com 
vencimento previsto para sete dias; e o segundo de R$ 380,00, com vencimento 
para 127 dias. Por lhe ser conveniente, solicita ao banco a troca dos dois títulos por 
um único com previsão de vencimento para 67 dias. Qual deverá ser o valor desse 
título, considerando a data de avaliação em 67 dias e a taxa de desconto racional 
igual a 5% a.m. 
7. Um título no valor de R$ 1.800,00 e vencimento em 31 de março de 1998 
vai ser substituído por outro, com vencimento em 31 de julho de 1998. Qual o valor 
nominal do novo título, se o banco envolvido na operação exige para a substituição 
uma taxa de desconto comercial de 8%a.m. e a data do novo título como da focal? 
 
 
3.1 JUROS COMPOSTOS 
 
 
Quando os juros simples calculados em um período são acrescentados ao 
valor presente, para no período seguinte calcularmos novamente juros simples, 
dizemos que estamos calculando juros sobre juros, ou estamos calculando juros 
compostos, ou estamos capitalizando os juros simples (isto é, estamos 
transformando o juro em capital). 
Na operação de juros compostos podemos definir os seguintes itens: 
 FV Representa o valor futuro ou montante 
 PV Representa o valor presente ou capital inicial 
 n Representa o numero de períodos de aplicação do capital 
 r Representa a taxa percentual ou taxa nominal 
 i Representa a taxa unitária ou centesimal (i = r / 100) 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
3.2 FORMAS DE CAPITALIZAÇÃO 
 
 
A capitalização é relacionada com a quantidade de vezes em que o juro é 
transformado em capital durante o espaço de um ano. E este fato é chamado de 
frequência de conversão. 
As frequências mais utilizadas são: 
 
Denominação 
Número de vezes em que o juro é 
transformado em Capital 
Anual 1 
Semestral 2 
Trimestral 4 
Mensal 12 
Quinzenal 24 
Semanal 52 
Diária 360 
Contínua Cálculo Especial 
 
Em geral, a taxa de juros é expressa na forma anual, e dita taxa nominal. 
Quando não se declarar a forma de capitalização, esta será entendida como sendo 
anual. Para utilização de outra forma de capitalização, esta forma deve ser 
declarada explicitamente. 
 
 
 
3.3 FUNÇÕES FINANCEIRAS 
 
 
Conforme já mencionado anteriormente, a HP12C tem cinco memórias 
especiais chamadas registradores financeiros. Quando informamos, de acordo com 
cada problema, três destes, é possível com um simples toque de a quarta tecla obter 
o resultado procurado. 
 
 
A calculadora HP12C exige que, para o cálculo de juros, sejam eles simples 
ou compostos, o valor presente seja informado com um sinal negativo, de acordo 
com o fluxo de caixa, caso contrário, o resultado será negativo. 
 
 
3.4 FÓRMULAS DE JUROS COMPOSTOS 
 
 
A fórmula que permite calcular juros compostos é apresentada a seguir. 
Considerando um capital inicial PV, uma taxa unitária i, calculemos o 
montante, período a período. 
Temos a partir do conhecimento de juros simples, que: 
 
Reaplicando este valor PV’ durante um período, temos: 
 
Substituindo na relação acima o valor PV’ pelo seu valor correspondente PV 
(1 + i), temos: 
 
Reaplicando este valor PV’’ durante mais um período, temos: 
 
Substituindo na relação acima o valor PV’’ pelo seu valor correspondente PV 
(1 + i)2, temos: 
 
 
A partir deste ponto, pode- se concluir que após a aplicação em n períodos o 
montante será dado pela fórmula: 
 
 
O fator (1 + i)n é chamado de fator de acumulação de capital, para um 
único pagamento e pode ser obtido por meio de calculadoras ou pode ser localizado 
em tabelas financeiras. 
Na calculadora HP12C, o cálculo é muito simples, embora ela exija algum 
trabalho de interpretação para a entrada dos dados. Lembramos que a taxa deve ser 
56 
 
 
informada na forma percentual, pois a divisão desta por 100 é realizada interna e 
automaticamente. 
 
 
3.5 CÁLCULO DO MONTANTE E DO JURO COMPOSTO 
 
 
Vejamos um exemplo de cálculo do montante e do juro composto, utilizando 
dois procedimentos de cálculo: 
a) cálculo com as funções da matemática básica; 
b) cálculo com as funções financeiras. 
A quantia de R$ 800,00 é aplicada a 30% a.a. durante três anos. Qual é o 
montante produzido e o juro composto, considerando a capitalização anual? 
Neste problema, podemos ver que: 
O valor presente (PV) é R$ 800,00; 
 A taxa (r) é igual a 30% a.a.; 
 O tempo (n) é igual a 3 anos. 
Devemos, de acordo com o problema, calcular o valor futuro (FV). 
 
 
 
 
 
 CLEAR 2 
800 1 30 100 
3 Resultado: 1.757,60 
 
 
 
PV = ou pelas teclas das funções financeiras, 
n = CLEAR 2 
 
r = 800 
 
FV = 30 
f REG f 
ENTER ENTER ENTER ÷ + 
y
x 
× 
f REG f 
CHS PV 
i 
57 
 
 
 
CAP ANUAL 3 
n = Resultado: 1.757,60 
r = 
 
O juro composto é a diferença entre o valor futuro e o valor presente, neste 
caso, é a diferença entre R$ 1.757,60 e R$ 800,00, ou seja, R$ 957,60. 
Você pode ver que se utilizar a percentagem da HP12C, o resultado também 
pode ser obtido, mas este procedimento não tem muita vantagem com períodos 
mais longos. 
 
 CLEAR 2 
800 30 Resultado: 240,00 
 Resultado: 1.040,00 
30 Resultado: 312,00 
 Resultado: 1.352,00 
30 Resultado: 405,60 
 Resultado: 1.757,60 
 
 
Este último cálculo nos mostra o que foi afirmado no início da definiçãode 
juros compostos, como sendo os juros sobre os juros. 
Vejamos outro exemplo com formas de capitalização diferente. 
Obter o montante produzido por R$ 300,00 à taxa de 36% a.a. durante três 
anos, compostos: 
a) anualmente; b) semestralmente; c) trimestralmente; 
d) mensalmente; e) semanalmente 
Vejamos a solução para o item a). 
PV = 
n = 
r = 
 
 CLEAR 2 
300 
FV = 36 
CAP ANUAL 3 
n 
FV 
f REG f 
ENTER % 
+ 
% 
+ 
% 
+ 
f REG f 
CHS PV 
i 
n 
FV 
58 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 50 
n = 
r = Resultado: 754,64 
 
Vejamos a solução para o item b), lembrando que 36% a.a. é proporcional a 
18% a.s. e que três anos corresponde a 3 x 2 (semestres por ano) = 6 semestres. 
 
PV = 
n = 
r = 
 
 CLEAR 2 
300 
FV = 18 
CAP ANUAL 6 
n = 
r = Resultado: 809,87 
 
 
Vejamos a solução para o item c), lembrando que 36% a.a. é proporcional a 
9% a.t. e que três anos correspondem a 3 x 4 (trimestral por ano) = 12 trimestres. 
 
PV = 
n = 
r = 
 
 CLEAR 2 
300 
FV = 9 
CAP ANUAL 12 
n = 
r = Resultado: 843,80 
 
Vejamos a solução para o item d), lembrando que 36 % a.a. é proporcional a 
3% a.m. e que três anos correspondem a 3 x 12 (meses por ano) = 36 meses. 
 
PV = 
n = 
r = 
 
 CLEAR 2 
300 
FV = 3 
f REG f 
CHS PV 
i 
n 
FV 
f REG f 
CHS PV 
i 
n 
FV 
f REG f 
CHS PV 
i 
n 
59 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 60 
CAP ANUAL 36 
n = 
r = Resultado: 869,48 
 
Vejamos a solução para o item e), lembrando que 36% .a é proporcional a 
(36 52) % por semana e que três anos correspondem a 3 x 52 (semanas por ano) = 
156 semanas. 
 
PV = 
n = 
r = 
 
 CLEAR 2 
300 
FV = 36 52 
CAP ANUAL 3 52 
n = 
r = Resultado: 880,12 
 
 
3.6 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA 
 
Como se pode verificar pelos exercícios apresentados anteriormente, quanto 
mais se aumenta o número de conversões (do juro em capital) durante o espaço de 
um ano, maior fica o valor do montante. Mas, esta situação tem um limite. O valor 
máximo é obtido por meio da capitalização contínua. A capitalização contínua é 
realizada utilizando-se a função e? E podemos fazer o uso dela, por exemplo, 
admitindo que o valor R$ 300,00 do exercício anterior é aplicado agora durante três 
anos, com capitalização contínua. 
 
 
A fórmula para a solução é: 
 
 
Este cálculo só pode ser feito com auxílio das funções matemáticas básicas 
e fica assim: 
FV 
f REG f 
CHS PV 
ENTER 
ENTER 
FV 
÷ i 
× n 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
 
 CLEAR 2 
300 0,36 3 
 Resultado: 883,40 
 
 
3.7 TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 
 
 
Duas taxas se dizem proporcionais quando conservam a proporcionalidade 
existente entre elas e os períodos a que elas se referem. 
Considerando a taxa de 24% a.a. podemos dizer que ela é proporcional à 
taxa 12% a.s., pois podemos estabelecer inicialmente a seguinte relação: 
 
 
 
 
Da relação exposta podemos tirar a proporção: 
 
 
 
 
 
 
 
E podemos escrever que uma taxa i2 é dada por: 
 
 
 
onde i1 é a taxa conhecida, n1 é o período a que se refere a taxa i1 e n2 é o período a 
que se refere a taxa i2. Assim, podemos ampliar a afirmação e dizer que 24% a.a. é 
proporcional às seguintes taxas: 
 
Ao Semestre Ao trimestre Ao mês Quinzenal Diário 
12% 6% 2% 1% 24/360% 
 
 
Duas taxas se dizem equivalentes quando, se referindo a períodos de 
capitalização diferentes, produzem a partir de um mesmo capital o mesmo montante, 
no mesmo intervalo de tempo. 
 
Aplicar R$ 200,00 durante dois anos, a taxa de 18%a.a., compostos: 
f REG f 
ENTER ENTER × 
g e
X 
× 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
a) anualmente 
 CLEAR 2 
200 
18 
2 
 Resultado: 278,48 
 
b) mensalmente 
 CLEAR 2 
200 
18 12 
2 12 Resultado: 285,90 
 
 
Como podemos ver pelas respostas anteriores, os resultados não são iguais, 
pois as aplicações foram feitas com taxas proporcionais e não com taxas 
equivalentes. Mas se calcularmos uma taxa que faça com que os resultados sejam 
iguais, então teremos encontrado a taxa equivalente. Esta taxa equivalente pode ser 
calculada como visto a seguir. 
À esquerda uma aplicação em que o tempo de um ano é informado 
conforme indica a frequência de conversão da capitalização, com a taxa 
desconhecida i? e, à direita, temos uma aplicação com uma taxa i e um número n de 
períodos. 
 
 
 
 
Como o valor do montante que queremos deve por definição ser igual, em 
ambas as equações, podemos igualar as duas fórmulas, pois temos que os dois 
valores FV são iguais. 
 
 
 
 
Mas os dois capitais PV são iguais, logo podemos escrever: 
f REG f 
CHS PV 
i 
n 
FV 
f REG f 
CHS PV 
ENTER ÷ i 
ENTER × n 
FV 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
 
 
 
 
Observamos acima que devemos igualar duas relações, contendo à 
esquerda a taxa desconhecida ieq no expoente k igual à frequência de conversão 
dessa taxa em um ano e no lado direito temos a taxa desconhecida i no expoente n 
igual à frequência de conversão dessa taxa em um ano. 
Após igualar, como acima, devemos resolver, isolando ieq. 
Vejamos um exemplo: 
 quero tenho 
 Calcular a equivalente a 
 
 n = r = 
 r = n = 
 PV = 
 FV = 
Precisamos analisar o que é solicitado e o que nos é fornecido como dado, a 
fim de que possamos realizar o cálculo pretendido. 
Temos como item dado a taxa r igual 18% a.a. e que n é igual a 1, pois 
dentro de um ano ocorre uma conversão de juro em capital. 
Por outro lado analisando o que queremos, vemos que ieq é o elemento 
desconhecido e que k é igual a 12, pois temos uma indicação de taxa mensal que 
representa 12 conversões por ano. 
Vamos utilizar as funções básicas da calculadora e a fórmula definida 
anteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CLEAR 9 
1,18 12 
1 100 Resultado: 1,388843035 
taxa 
mensal 
taxa 18% 
a.a. 
f REG f 
ENTER 1/X y
x 
- × 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
 
O que significa que 1,388843% a.m. é equivalente a 18% a.a. 
Utilizando as funções financeiras da HP12C, devemos admitir o valor inicial 
100 para PV, a taxa i definida é 18%, o tempo n é igual a 1 ano e devemos calcular 
primeiro o valor futuro, isto é, FV. Após a realizaçãodeste cálculo conservando os 
valores PV, FV e a taxa i, trocamos o valor de n para doze e vamos localizar a taxa i 
equivalente: 
 
 CLEAR 2 
100 
18 
1 
 
12 
 Resultado: 1,388843035 
 
 
 
 
 
O que significa que 1,388843035% a.m. é equivalente a 18% a.a. 
 
 quero tenho 
 Calcular a equivalente a 
 
 r = r = 
 n = n = 
 PV = 
 FV = 
Precisamos analisar o que é solicitado e o que nos é fornecido como dado a 
fim de que possamos realizar o cálculo pretendido. Temos como item dado a taxa r 
igual a 2 % a.m. e que n é igual a 12, pois dentro de 1 ano ocorrem 12 conversões 
de juro em capital. 
CHS PV 
i 
n 
FV 
f REG F 
n 
i 
taxa 
mensal 
taxa 2% a.a. 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
Por outro lado, analisando o que queremos, vemos que ieq é o elemento 
desconhecido em que k é igual a 2, pois temos uma indicação de taxa semestral que 
apresenta duas conversões por ano. 
Vamos utilizar as funções básicas da calculadora e a fórmula definida 
anteriormente. Analisando o que temos, vemos que o valor de r é igual a 2 % a.m. o 
valor n é igual a 12, pois um ano tem 12 meses. 
Analisando o que estamos a procurar, vemos que k é igual a 2 e que 
queremos ieq. 
 
 
 
Dividindo ambos os expoentes por 2, vem: 
 
 
 
 
 
 CLEAR 9 
1,02 6 1 100 
 Resultado: 12,61624190 
 
O que significa que 12,61624190 % a.s. é equivalente a 2% a.m. 
 
Utilizando as funções financeiras da HP12C, devemos admitir o valor inicial 
100 para PV, a taxa i definida é 2%, o tempo n é igual a 12 meses e devemos 
calcular primeiro o valor futuro, isto é FV. 
Após a realização deste cálculo conservando os valores PV, FV e a taxa i, 
trocamos o valor de n para 2 e vamos localizar a taxa i equivalente: 
 
 CLEAR 9 
100 
2 
12 
 
2 
 
f REG f 
ENTER y
X 
- × 
f REG f 
CHS PV 
i 
n 
FV 
n 
i 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
 
O que significa que 12,61624190%a.s. é equivalente a 2% a.m. 
 
 
3.8 JUROS COMPOSTOS PARA PERÍODOS FRACIONÁRIOS 
 
 
As fórmulas de juros compostos utilizadas até aqui foram baseadas no 
cálculo de juros com valores de n inteiros. Os juros somente são formados ao final 
do período de capitalização. Como fazer se um período não for completo? Dois 
métodos surgem: o método exponencial e o método linear. 
No método exponencial, também chamado método exato, a parcela dos 
juros referentes ao período não inteiro é calculada como se durante esse tempo o 
capital estivesse sujeito a capitalização composta. 
No método linear, também chamado método aproximado, esta parcela de 
juros referentes ao período não inteiro é calculada como se durante esse tempo o 
capital estivesse sujeito a capitalização e juros simples. 
Os valores resultantes, é lógico, serão diferentes. O maior deles é obtido por 
meio da convenção linear. 
No Brasil, utiliza-se a convenção exponencial, isto é, calculamos os juros 
considerando todo o tempo como sendo períodos completos. 
Nos Estados Unidos, a convenção utilizada é a linear. 
 
A HP12C possibilita as duas formas de cálculos. Basta pressionar as teclas 
 e para passar de uma convenção para outra. 
Quando a HP12C estiver utilizando a convenção exponencial, aparecerá no canto 
inferior direito do visor uma letra “c”, é lógico quando estiver utilizando a convenção 
linear a letra ‘’c’’ estará ausente do visor da máquina. 
Exemplo: Determinar o montante na aplicação de R$ 500,00 durante 4 
meses e 15 dias à taxa de 5,75% a.m. utilizando duas convenções, considerando 
capitalização mensal. 
Vamos primeiro calcular utilizando a convenção linear. Examine a sua 
calculadora para verificar se o visor apresenta no canto inferior direito a letra “c”. 
STO EEX 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
 
Caso apresente pressione as teclas e . 
STO EEX 
f REG f 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
PV = CLEAR 2 
n = 500 
r = 5,75 
 
FV = 4 15 
 
CAP MENSAL 30 
n = Resultado: 643,28 
r = 
 
Vamos agora calcular utilizando a convenção exponencial. 
Examine sua calculadora para verificar se o visor apresenta no canto inferior 
direito a letra ‘’c’’. 
Recomendamos que mantenha sua calculadora com o visor 
apresentando o indicador “c” da convenção exponencial, que é a utilizada no 
Brasil. 
 
 
3.9 VALOR PRESENTE 
 
 
Também chamado de valor atual, valor de resgate, valor líquido ou valor 
descontado de um título, que é resgatado ou descontado em uma data anterior à 
data de seu vencimento. 
A partir da fórmula básica de juros compostos ela pode ser determinada para 
calcular o valor PV. 
Da seguinte forma: 
 
 
 
Podemos escrever o denominador ao lado de FV multiplicando, mas como o 
expoente negativo; 
 
 Com o uso da fórmula 
apresentada, o valor presente pode ser determinado em calculadoras científicas 
comuns, ou na HP12C, utilizando as teclas das operações básicas da matemática. 
CHS PV 
i 
ENTER ENTER 
÷ + n 
FV 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
Exemplo: Determinar o valor atual de um título de R$ 2.850,00 vencível em 
três meses a contar de hoje, a uma taxa de 60% a.a., com capitalização mensal. 
Como a capitalização é mensal, devemos fazer com que esta taxa seja 
expressa no período mensal, o que nos leva a uma divisão de 60 por 12 meses, 
resultando em uma taxa de 5% a.m. 
 
PV = 
n = 
r = 
FV = 
CAP MENSAL 
 
 CLEAR 2 
2850 
60 12 
3 
 = 
r = 
 Resultado: 2.461,94 
 
 
3.10 CÁLCULO DA TAXA 
 
 
Quando são conhecidos o valor presente, o valor futuro e o tempo n, 
podemos então determinar a taxa i e a taxa r, consequentemente. 
A fórmula para o cálculo de i pode ser obtida a partir da fórmula inicial do 
montante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f REG f 
CHS PV 
ENTER ÷ i 
n 
PV 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
 
E finalmente podemos encontrar o valor de i; 
 
 
 
 
 
 
 
O valor da taxa r obtém-se multiplicando o resultado por 100. 
Com a HP12C, o valor da taxa é determinado por meio das funções 
financeiras, embora a calculadora nos mostre na tecla o símbolo i, devemos nos 
lembrar de que ele representa a taxa percentual. 
Exemplo: Determinar a taxa necessária para que R$ 280,00 produza um 
montante de R$ 340,66 num prazo de 5 meses com capitalização mensal. 
 
PV = 
n = CLEAR 
r = 280 
FV = 340,66 
CAP MENSAL 5 Resultado: 
3,999828265 
n = 
r = 
 
 
3.11 CÁLCULO DO TEMPO 
 
 
Podemos calcular o tempo de uma aplicação utilizando a fórmula derivada 
da fórmula inicial, por meio do uso de logaritmos. 
 
 
 
 
 
 
Como para a expressão acima, a solução só é possível, se aplicarmos o 
conceito de logaritmos, podemos aplicar em qualquer base b. No caso daHP12C, a 
f REG f 
CHS PV 
FV 
n 
i 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
única base disponível é a base e, conforme apresentado no apêndice A.1.9.8. Ao 
aplicar logaritmo neperiano em ambos os lados da igualdade acima, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando as propriedades conhecidas de logaritmos, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A calculadora HP12C possibilita o cálculo do número n, apresentando este 
sempre como resultado inteiro, para o que devemos estar atentos. 
Vejamos um exemplo para a utilização da calculadora no cálculo do tempo n. 
Qual o tempo necessário para que o capital de R$ 1.500,00 se transforme 
em R$ 3.255,92 com taxa de 8,5% a.m., capitalizado mensalmente? 
 
PV = 
n = CLEAR 2 
r = 1500 
FV = 3255,92 
CAP MENSAL 8,5 
n = Resultado: 10,00 
r = 
 
Será este resultado correto? 
Podemos fazer o cálculo de verificação. Lançar o tempo 10 em n e solicitar o 
cálculo do montante. 
 
 
f REG f 
CHS PV 
FV 
i 
n 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 
 
10 
 Resultado: 3.391,48 
 
 
O valor do número n de períodos foi arredondado para o maior inteiro. 
Vemos pelo cálculo com o tempo 10, correspondente a dez meses que o montante 
produzido é superior ao valor solicitado no problema. O cálculo com logaritmo é mais 
preciso e nos dá o tempo com até 9 casas decimais e pode ser feito da forma 
apresentada a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CLEAR 9 
3255,92 1500 
1,085 
 Resultado: 9,499998696 
9 
30 Resultado: 14,99996088 
 
 
Isto representa 9 meses e 14 dias, mas a aplicação de R$ 1.500,00 à taxa 
de 8,5% a.m. por este tempo é inferior ao R$ 3.255,92, logo concluímos que 
devemos aplicar durante 9 meses e 15 dias. Ao refazer os cálculos vamos verificar 
que o montante produzido é de R$ 3.255,92. 
 
 
FIM DO MÓDULO III 
n 
FV 
f REG f 
ENTER ÷ g Ln 
g Ln 
÷ 
- 
×