Comportamento Dinâmico de Malha

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Comportamento dinâmico 
de malha de controle de 
realimentação
LUZ AMPARO PALACIO SANTOS
DOPI/UERJ
1
Conteúdo
 Modelo de malha fechada de 
controle 
 Resposta ao sistema de controle em 
malha fechada
 Estabilidade da malha de controle
2
Mapa conceitual
3
1. Modelo de malha 
fechada de controle
Modelo: Representação gráfica, equações diferenciais, funções de 
transferência e diagrama de blocos
4
Malha de controle de 
realimentação (“feedback”)
Sensor
Válvula de controle
Controlador
Processo
Dinâmica
Função de 
Transferência
Parâmetros
Projetar sistemas de controle de malha única
5
Malha de controle de 
realimentação (“feedback”)
Trocador 
de calor
6
Sensor-transmissor
Válvula de 
controle
Controlador
Processo
Procedimento
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
2. Sensor-transmissor
3. Controlador
4. Válvula de controle
Para todos esses elementos, determinar:
a) Balanços dinâmicos
b) Transformada de Laplace
c) Diagrama de blocos
d) Função de transferência
II. Construir a malha fechada unindo os diagramas de blocos de todos 
os elementos.
III. Determinar a função de transferência da malha fechada.
IV. Calcular os parâmetros (constantes)
7
Exemplo 1: Tanque de nível
8
 A massa específica e a área
da seção reta do tanque são
constantes.
 q3 = h/R
 O sensor-transmissor de nível,
o transdutor I/P e a válvula de
controle pneumática têm
uma dinâmica desprezível.
Considere o sistema de controle de nível de líquido. A vazão 
volumétrica, q1, é uma variável distúrbio. Suponha que:
Considere também que:
 O tanque tem um diâmetro de 1 m,
 A resistência linear é R = 6,37 min/m2
 O transmissor de nível tem um range de 2 m.
 A característica da válvula de controle é de igual porcentagem,
com a = 30. A válvula de controle (AA) recebe um sinal de 3 a 15
psi. Quando a válvula está completamente aberta a vazão é 0,2
m3/min. Na condição de operação nominal, a válvula está
aberta até a metade (l=0,5).
9
Exemplo 1: continuação
Obter o diagrama de blocos completo e a função de transferência 
de malha fechada em relação ao distúrbio e ao set-point.
Resolução: Tanque de nível
Ksp
G1(s)
GT(s)
-
+
+
Q1(s)
Hset(s)
C(s)
Gc(s) Gv(s) G2(s)GIP(s)
+
R(s) E(s) M(s) P(s) H(s)
Diagrama de blocos
10
Q2(s)
 RA RKK 
s
K
)s(G 
s
K
)s(G 



 

21
2
2
1
1
11
 
 
 
         
 s'G
sGsGsGsGsG
sG
sQ
sH
TvIPc
1
2
1
1 1



)(
)()()()()(1
)()()()(
)(
)(
2
2
sG
sGsGsGsGsG
sGsGsGsGK
sH
sH
sp
TvIPc
vIPcsp
set



Funções de Transferência
 K)s(G K)s(G K)s(G TTvvIPIP 
Ksp 50 % ST/m
KV 0,01035 m
3/minpsi
KT 50 % ST/m
KIP 0,12 psi/% SC
K1 6,37 min/m
2
K2 6,37 min/m
2
 5 min
11
Parâmetros (constantes)
Resolução: Tanque de nível
Exemplo 2: Processo térmico
O reservatório com agitação
esboçado na figura é
utilizado para aquecer um
fluido de processo.
O tanque é aquecido
através de condensação de
vapor no interior de uma
serpentina.
Um controlador
proporcional-integral-
derivativo (PID) é utilizado
para controlar a temperatura
no reservatório através da
manipulação da posição da
válvula de vapor.
Obter o diagrama de blocos completo e a função de transferência de 
malha fechada a partir dos seguintes dados do projeto.
12
Exemplo 2: continuação
 O fluido de processo ( = 68,0 lb/ft3, cp= 0,80 btu/(lb.
oF)) é mantido
no vaso em um volume constante de 120 ft3 e é aquecido através
de uma serpentina de 205 ft de comprimento constituída de tubo
de aço carbono de 4” schedule 40 (diâmetro externo de 4,5”) cuja
massa linear é 10,8 lb/ft de serpentina e a capacidade térmica
específica é 0,12 btu/(lboF). O aquecimento é feito por vapor
d’água saturado a pressão de 30 psia, cuja entalpia de
vaporização é 966 btu/lb. O coeficiente global de transferência de
calor é 2,1btu/(min.ft2.oF), baseado na área externa da serpentina.
As condições de projeto são:
 Vazão de líquido de processo = 15 ft3/min, temperatura de entrada
= 100 oF, temperatura de saída = 150 oF (valor a ser mantido
constante).
 As perturbações são a vazão volumétrica e a temperatura de
entrada.
 O sensor de temperatura tem um range calibrado de 100 oF a 200 oF
e a constante de tempo é 0,75 min. O transmissor é eletrônico e é
expresso em porcentual do span. A válvula de controle é de igual
percentagem com parâmetro de rangeabilidade (a) igual a 50. O
atuador da válvula tem uma constante de tempo de 0,20 min.
13
 Balanço de energia do líquido no reservatório
 Perdas de calor desprezíveis
 Mistura perfeita
 V,  e cp constantes
 Balanço de energia na serpentina
 A dinâmica do vapor é muito rápida
 A capacitância do metal é mais alta que a do vapor e 
é a que pode causar algum atraso
 A temperatura do metal é aproximadamente igual à 
temperatura do vapor.
14Resolução: Processo térmico
Suposições
 Balanço de energia do líquido no reservatório
 Balanço de energia na serpentina
15
   TTUATTfc
dt
dT
cV sipp  
 s
s
M TTUAw
dt
dT
C  
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
a) Balanços dinâmicos
Resolução: Processo térmico
 Reservatório  Equação não-linear:
16
   TTUATTfc
dt
dT
cV sipp  
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
b) Transformada de Laplace
Linearizar
         tUAtUAfctfctFTTc
dt
td
cV spipipp 

  )(
)(
Resolução: Processo térmico
17
Forma padrão
 
 
   t
UAfc
UA
t
UAfc
fc
tF
UAfc
TTc
t
dt
td
UAfc
cV
s
p
i
p
p
p
ip
p
p



















)(
)(
TL
     s
s
K
s
s
K
sF
s
K
s s
s
i
iF 




11
)(
1 





 
UAfc
UA
K
UAfc
fc
K
UAfc
TTc
K
UAfc
cV
p
s
p
p
i
p
ip
F
p
p















 
sendo:
Resolução: Processo térmico
 KF Ki Ks
GF Gi Gs
 Serpentina  Equação linear:
18
Forma padrão
 s
s
M TTUAw
dt
dT
C  
 
     ttW
UA
t
dt
td
UA
C
s
sM 




TL
   s
s
)s(W
s
K
s
cc
W
s 


1
1
1 



sendo:
UA
K
UA
C
W
M
c

  
Resolução: Processo térmico
c KW
Gw G1
19
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
c) DB
Gi
GF
Gs
+
+
+
F(s)
s(s)
(s)
 Reservatório:
i(s)
1
G
 
1
G
 
1
G






s
K
s
K
s
K
s
s
i
i
F
F



Resolução: Processo térmico
20
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
c) DB
GW
G1
+
+(s)
s(s)
 Serpentina:
W(s)
 
1
1
G
 
1
G
1




s
s
K
c
c
W
W


Resolução: Processo térmico
21
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
c) DB completo Gi
GF
Gs
+
+
+
F(s)
i(s)
W(s)
(s)
GW
G1
s(s)
+
+
Resolução: Processo térmico
22
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
c) DB completo (re-organizado)
Resolução: Processo térmico
Gi GF
Gs
+
+
+
F(s)i(s)
W(s) (s)GW
G1
s(s)
+ +
Gw’
GF’
Gi’
+
+
+
F(s)
i(s)
W(s)
(s)
23
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
c) DB reduzido
 
1
'G
 
1
'G
 
1
'G
1
1
1
GG
G
GG
G
GG
GG
s
i
i
s
F
F
s
SW
W






Resolução: Processo térmico
 
  
 sG
Kss
sK
s
s
i
sc
ci
i
'
)(
)(




11
1




  
 sG
Kss
KK
sW
s
w
sc
sW '
)(
)(



11 

 
  
 sG
Kss
sK
sF
s
F
sc
cF '
)(
)(




11
1


24
I. Dividir o sistema de controle em:
1. Processo
d) Funções de transferência
Resolução: Processo térmico
 
1)(
)(


s
K
s
sC
sH
T
T

25
I. Dividir o sistema de controle em:
2. Sensor-Transmissor
c) Diagrama de blocos
d) Função de transferência
H(s)
C(s)(s)
Resolução: Processo térmico
 
1)(
)(


s
K
sM
sW
sG
v
v
v

26
I. Dividir o sistema de controle em:
3. Válvula de controle
c) Diagrama de blocos
d) Funçãode transferência
Gv(s)
W(s)M(s)
Resolução: Processo térmico
  







 s
s
K
sCsR
sM
sE
sM
sG D
I
Cc 

1
1
)()(
)(
)(
)(
27
I. Dividir o sistema de controle em:
4. Controlador PID
c) Diagrama de blocos
d) Função de transferência
GC(s)
E(s) M(s)R(s)
C(s)
+
-
Resolução: Processo térmico
Tsp KK 
28
I. Dividir o sistema de controle em:
5. Fator de escala
c) Diagrama de blocos
d) Função de transferência
Ksp
R(s)set(s)
Resolução: Processo térmico
Ksp: Fator de escala que converte o setpoint em sinal do 
transmissor
II. Construir a malha fechada unindo os diagramas 
de blocos de todos os elementos
29
Ksp
GF’(s)
H(s)
-
+
+
F(s) i(s)
set(s)
C(s)
Gc(s) Gv(s) Gw’(s)
Gi’(s)
++R(s) E(s)
M(s) W(s) (s)
Resolução: Processo térmico
30
Gsp
GF”
Gi”
+
+
+
F(s)
i(s)
(s)
set(s)
DB reduzido
Resolução: Processo térmico
)("
)()(')()(1
)('
)(
)(
sG
sHsGsGsG
sG
s
s
i
wvc
i
i





)("
)()(')()(1
)('
)(
)(
sG
sHsGsGsG
sG
sF
s
F
wvc
F 



)(
)()(')()(1
)(')()(
)(
)(
sG
sHsGsGsG
sGsGsGK
s
s
sp
wvc
wvcsp
set





31Resolução: Processo térmico
III. Determinar as funções de transferência da malha
IV. Calcular os parâmetros (constantes)
a) Processo: , KF, Ki, Ks, c, Kw
b) Transmissor: T, KT
c) Válvula de controle: v, Kv
d) Controlador: Kc, I, D
e) Fator de escala: Ksp
32Resolução: Processo térmico
IV. Calcular os parâmetros (constantes)
a) Processo: , KF, Ki, Ks, c, Kw
33
 
UAfc
UA
K
UAfc
fc
K
UAfc
TTc
K
UAfc
cV
p
s
p
p
i
p
ip
F
p
p
















 
UA
K
UA
C
W
M
c

  
MpMM mCCDLA  
Resolução: Processo térmico
IV. Calcular os parâmetros (constantes)
b) Transmissor: T, KT
c) Válvula de controle: v, Kv
d) Controlador: Kc, I, D (a serem sintonizados)
e) Fator de escala: Ksp = KT
34
 
T
C
KT



 ln 2121 awK
M
L
KKKK vvvvv 



Resolução: Processo térmico
  ip T-T
fC
w



?
Ksp 1 % ST/ºF
KV 1,65 lb/min/%SC
v 0,2 min
KT 1 %ST/ºF
T 0,75 min
KW 1,905 minºF/lb
c 0,524 min
Ki 0,616
KF -2,06 minºF/ft
3
Ks 0,383
 4,93 min
35
IV. Calcular os parâmetros (constantes)
Resolução: Processo térmico
Funções de transferência com os parâmetros:
 
     














s
s
Kssss
ss
s
K
sG
D
I
c
D
I
c
sp




1
195,1175,0133,81502,012,0
175,0
1
195,1
)(
36
    
     








s
s
Kssss
sss
sG
D
I
c
F


1
195,1175,0133,81502,012,0
175,012,0154,039,3
)("
    
     








s
s
Kssss
sss
sG
D
I
c
i


1
195,1175,0133,81502,012,0
175,012,01524,0
)("
Resolução: Processo térmico
2. Resposta ao sistema 
de controle em malha 
fechada
37
2. Resposta ao sistema de 
controle em malha fechada
38
Resposta dinâmica
 Vamos considerar o comportamento dinâmico de sistemas 
com controle básico, quando há mudanças no set-point e 
nas variáveis distúrbios.
 O comportamento em malha fechada para mudanças no 
set-point é chamado de problema servo
 O comportamento em malha fechada para mudanças nas 
variáveis distúrbio é chamado de problema regulatório.
 A resposta transiente pode ser determinada de uma forma 
direta se as funções de transferência da malha fechada 
estiverem disponíveis.
 Erro residual é calculado como:
)()(  YYoffset set
39
Lembrando do cap. 4:
Resposta dinâmica
Controle proporcional
 Mudanças no set-point (problema servo)
Exemplo 3
a) Determine a resposta em malha fechada do 
problema de tanque de nível (exemplo 1) com 
controlador proporcional se uma mudança tipo 
degrau ocorrer no set-point. 
b) Calcule o erro residual.
c) Faça o gráfico da resposta para uma mudança no 
set-point de 0,3 m. Use três valores de ganho do 
controlador, Kc = 4, 8 e 20.
40
Resposta dinâmica
Controle proporcional
Resolução:
Resposta do nível de líquido à variação no set-point.
41
Resposta dinâmica
Controle proporcional
 Mudanças na variável distúrbio (problema regulatório)
Exemplo 4:
a) Determine a resposta do problema de tanque de nível 
(exemplo 1) com controlador proporcional se uma 
mudança tipo degrau acontecer na variável distúrbio.
b) Calcule o erro residual.
c) Faça o gráfico da resposta em malha fechada para uma 
mudança de 0,5 m3/min na variável distúrbio para Kc = 1, 2 e 
5. Calcule o erro residual para cada caso.
d) Compare com o sistema sem controle.
42
43
 RA RKK 
s
K
)s(G 
s
K
)s(G 



 

21
2
2
1
1
11
 
 
 
         
 s'G
sGsGsGsGsG
sG
sQ
sH
TvIPc
1
2
1
1 1



 K)s(G K)s(G K)s(G TTvvIPIP 
Resolução:
Resposta dinâmica
Controle proporcional
a) Do modelo (exemplo 1):
 )(
 )(
cc KsG
s
M
sQ

1  
  TvIPc KKKKKs
K
sQ
sH
2
1
1 1


Forma padrão?
44
Resolução:
Resposta dinâmica
Controle proporcional
 
  1
1
1
2
2
1
1 



s
KKKKK
KKKKK
K
sQ
sH
TvIPc
TvIPc

KOL  
  1
1
1
1
1 



s
K
K
K
sQ
sH
OL
OL

K’2
2
 )(
s
M
sQ 1
 
  12
2
1 

s
K
sQ
sH

'
   212 teMKtH  '
45
Resolução:
Resposta dinâmica
Controle proporcional
)()(  HHe set
    MKeMKH 22 21 ''      0setH setH ?
OLK
MK
MKe


1
1
2'
b) Definição de offset ou erro residual:
)()(  YYoffset set
≠ 0
46
Resolução:
Resposta dinâmica
Controle proporcional
Ksp 50 % ST/m
KV 0,01035 m
3/minpsi
KT 50 % ST/m
KIP 0,12 psi/% SC
K1 6,37 min/m
2
K2 6,37 min/m
2
 5 min
c) Gráfico de H(t) vs t
TvIPcOL KKKKKK 2
OLK
K
K


1
1
2'
OLK

1
2


M = 0,5 m3/min
Kc = 1, 2 e 5 %SC/%ST
Do exemplo 1:
   631282 ,, tetH     821781 ,, tetH     711061 ,, tetH 
Kc = 1 Kc = 2 Kc = 5
Resposta dinâmica
Controle proporcional
Resposta de nível de líquido à variação na vazão.
Resolução:
47
d) No sistema sem controle:
Pode resolver fazendo o modelo sem controle 
ou pode simplesmente fazer Kc = 0.
48
TvIPcOL KKKKKK 2
OLK
K
K


1
1
2'
OLK

1
2


12 KK '
 2
   51183 tetH  ,
‘
Resposta dinâmica
Controle proporcional
Resposta de nível de líquido à variação na vazão
(com controle e sem controle)
Resolução:
49
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
 Mudanças na variável distúrbio (problema regulatório)
Exemplo 5:
a) No exemplo do tanque de nível, considere que o controlador é
proporcional-integral (PI). Calcule a resposta quando a variável
distúrbio tem uma mudança do tipo degrau (0,5 m3/min). Use
diferentes parâmetros de Kc (2, 5 e 12) e I (0,2, 0,5 e 2).
b) Calcule o erro residual.
c) Compare o resultado com o do controlador proporcional.
50
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
Resposta de nível de líquido à variação na vazão com o 
controlador proporcional-integral
51
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
Resposta de nível de líquido à variação na vazão com o 
controlador proporcional e proporcional-integral
Resolução:
52
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
 Processo de integração
Exemplo 6:
Determine a resposta a uma perturbação degrau na variável distúrbio,
q1, do tanque de nível. Considere que o sensor-transmissor e a válvula
têm dinâmica desprezível e que o controlador é proporcional-integral.
53
54
321 qqq
dt
dh
A  
I. Modelo
a) Processo:
Resolução:
321 qqq
dt
dh
A 
321 QQQ
dt
dH
A 
Variável distúrbio
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
55
       sQsQsQsAsH 321 
Transformada de Laplace
       sQ
As
sQ
As
sQ
As
sH 321
111

G1(s) G3(s)G2(s)
G1
G2
G3
+
+
+
H(s)
Q1(s)
Q2(s)
Q3(s)
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
 
1)(
)(


sK
sH
sC
sG
T
T
T

56
b) Sensor-Transmissor
GT(s)
C(s)H(s)
 
1)(
)(3


s
K
sM
sQ
sG
v
v
v

Gv(s)
Q3(s)M(s)
c) Válvula de controle
  








s
K
sCsR
sM
sE
sM
sG
I
Cc

1
1
)()(
)(
)(
)(
d) Controlador proporcional-integral
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
57
e) Fator de escala
GC(s)
E(s) M(s)R(s)
C(s)
+
-
Tsp KK  Ksp
R(s)
d) Controlador proporcional-integral
unindo
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
Ksp
G1(s)
GT(s)
-
+
+
Q1(s)
Hset(s)
C(s)
Gc(s) Gv(s) G3(s)
+R(s) E(s) M(s) H(s)
58
Q3(s)
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
G2(s)
Q2(s)
+
 
1
 )(
 )(
 )(
321
3
3
2
2
1
1
A
KKK
s
K
sG
s
K
sG
s
K
sG




 
 
 
       
 sG
sGsGsGsG
sG
sQ
sH
Tvc
'
1
1
3
1
1



)(
)()()()(1
)()()(
)(
)(
3
3
sG
sGsGsGsG
sGsGsGK
sH
sH
sp
Tvc
vcsp
set



 )(
 )(
TT
vv
KsG
KsG


 
 
 
       
 sG
sGsGsGsG
sG
sQ
sH
Tvc
'
1
2
3
3
2



59
TvcOL KKKKK 3
II. Resposta à perturbação degrau em Q1:
Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
 
 
s
K
s
s
K
K
s
K
K
s
K
s
K
sQ
sH
OL
I
Tv
I
c 
















1
11
1
11
1
3
1
1
 
   
1
1 2
1
2
1
2
22
2
2
1
1 











ss
K
s
K
K
Kss
sK
K
s
s
s
s
s
s
sK
sQ
sH
I
OL
I
OL
I
OLII
I
OL
I
II
I
I









K4
2z444
2
60Resposta dinâmica
Controle proporcional-integral
 
  12 44
22
4
4
1 

ss
sK
sQ
sH
z
 
s
M
sQ 1
 


















4
2
4
2
44
4 1
1
1
44

z
z
z t
seneMKtH
t
Resposta no estado estacionário
Para sistemas estáveis a relação de estado estacionário entre a 
variação na variável de saída e a variação na variável de entrada 
pode ser obtida aplicando a extensão do teorema do valor final para 
funções de transferência:
O erro residual pode ser determinado sem conhecer a dinâmica do 
sistema.
)0()(lim
0
GsG
X
Y
s




61
Resposta no estado estacionário
62
- Funções de transferência:
 
1

s
K
sG
v
v
v

 
1

s
K
sG ss

 
1

s
K
sG WW

 
1

s
K
sH
T
T

Exemplo 7: 
Determinar o erro residual no 
trocador de calor, considerando:
a) um controlador proporcional e 
um proporcional-integral
b) uma perturbação degrau unitário 
no set point (T0) e na vazão de 
entrada (W)
o(s)

)()()()(1
)(
)(
)(0
sGsGsGsH
sG
sW
s
Cvs
W



)()()()(1
)()()(
)(
)(
0
0
sGsGsGsH
KsGsGsG
s
s
Cvs
spCvs
set




63
Resolução: 
3. Estabilidade da malha 
de controle
64
Equação característica da malha
 O denominador da função de transferência da malha 
fechada de um controle feedback é o mesmo, 
independentemente da variável de entrada da malha
Característica da malha
A resposta (estável ou instável, monótona ou oscilatória) depende 
das raízes da equação que é obtida quando o denominador é zero
Equação característica da malha
Exemplo do 
Trocador de 
calor:
0)()()()(1  sGsGsGsH cvs
65
Encontrar as raízes e fatorar
Exemplo: Trocador de calor, 
considerando W(s)=1
Equação característica da malha
Coeficientes 
polinomiais
0
1
1)()()()(1 asasasGsGsGsH
n
n
n
ncvs 

 
)())(()()()()(1 21 nncvs rsrsrsasGsGsGsH  
Raízes da equação 
característica
)())((
numerador) do termos(
 
)(
)()()()(1
)(
)(
21
0
nn
cvs
w
rsrsrsa
sW
sGsGsGsH
sG
s






66
Podemos determinar a 
resposta qualitativa de malha
Equação característica da malha
n
n
rs
b
rs
b
rs
b
s





 
2
2
1
1
0 )(
)())((
numerador) do termos(
)(
21
0
nn rsrsrsa
s




Frações parciais
Transformada de Laplace Inversa
tr
n
trtr nebebebt  21 210 )(
67
Constantes 
determinadas pelo 
método de frações 
parciais
Estabilidade da malha de 
controle
Um sistema linear é dito estável quando uma perturbação limitada
é aplicada na entrada e a resposta do sistema permanece limitada
A maior parte dos processos é estável a malha aberta
O comportamento de uma malha de 
controle feedback é essencialmente 
oscilatório (tentativa e erro)
A estabilidade do processo pode mudar quando ele 
faz parte de uma malha de controle feedback
As oscilações podem aumentar muito, 
resultando em um processo instável.
68
Estabilidade da malha de 
controle
69
Um sistema de controle feedback é estável se e somente se todas as raízes 
da equação característica forem negativas ou tiverem parte real negativa.
Para uma malha de controle feedback ser 
estável, todas as raízes de sua equação 
característica devem cair na metade 
esquerda do plano s, também conhecida 
como plano à esquerda 
Estamos considerando que a perturbação é limitada
Critério de estabilidade:
70
Estabilidade da malha de 
controle
No limite entre a estabilidade e a instabilidade as raízes são números 
puros imaginários
Método da substituição direta:
Nesse ponto a malha é chamada de marginalmente estável
No ponto de estabilidade marginal a equação característica deve ter 
um par de raízes imaginárias:
r1,2 = ±iwU
wu: frequência final  frequência com a qual a malha oscila. 
O ganho do controlador no qual este ponto de estabilidade marginal 
é alcançado é chamado de ganho final (ou ganho último).
Kcu
71
Estabilidade da malha de 
controle
Abaixo desse valor a malha oscila 
com amplitude decrescente
No valor as oscilações são 
constantes
Acima desse valor as oscilações 
aumentam
Ganho final: Kcu
Tu: Período final
U
U
w
T
2

72
Método da substituição direta
Método da substituição direta
Parte real = 0 Parte imaginária = 0
O método da substituição direta consiste na substituição 
de s = iwU na equação característica
Resulta em uma equação complexa que pode ser 
convertida em duas equações simultâneas
73
Método da substituição direta
O diagrama de blocos para o trocador de 
calor é: 
74
Exemplo 8: 
Qual é o ganho 
final do 
controlador e o 
período final, 
considerando as 
seguintes funções 
de transferência:
 
skg
C
s
sGs
/130
50 

  
C
ST
s
sH


%
110
0,1
 
SC
skg
s
sGv
%
/
13
016,0

  
ST
SC
KsG cc
%
%

Tempo morto na função de 
transferência
Quando temos tempo morto na função de transferência 
da malha é introduzida uma função exponencial
A equação característica não é um polinômio
Aproximação de Padé de primeira ordem:
s
t
s
t
e
st
2
1
2
1
0
0
0




75
Considere que a função de transferência do processo de malha para o 
trocador de calor seja:  
1
0
1



s
Ke
sG
st

Determine o ganho e a frequência finais de malha como uma função 
dos parâmetros do processo se o controlador for um controlador 
proporcional com:  
ST
SC
KsG cc
%
%

76
Exemplo 9: 
Tempo morto na função de 
transferência