Conceitos Básicos de Função

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Função 
 
Conceitos Básicos 
Relação binária – É uma relação entre elementos de dois 
conjuntos. Pode ser representada por um diagrama de 
flechas. 
 
Domínio – é o conjunto dos elementos que originam a 
relação binária. São os valores possíveis ou permitidos de 
“x” da função. 
Contra-domínio – é o conjunto dos elementos que 
podem receber as relações binárias. São os valores 
possíveis ou permitidos de “y” da função. 
Imagem – é o conjunto dos elementos que efetivamente 
recebem as relações binárias. São os valores que 
“recebem flechas” no diagrama de flechas. 
A imagem será necessariamente um destes dois casos: 
▪ igual ao contra-domínio: quando todos os 
elementos do contra-domínio receberem 
valores da relação binária 
▪ um subconjunto do contra-domínio: quando há 
elementos do contra-domínio que não recebem 
valores da relação binária. 
 
Condições para que uma relação seja função: 
▪ Não há elementos sobrando no Domínio 
▪ Cada elemento do Domínio liga-se a apenas UM 
elemento do Contra-Domínio. Em outras 
palavras: sai apenas uma flecha de cada 
elemento do Domínio. 
Tipos de função 
Função injetora – cada elemento do domínio (x) tem 
associação a um único elemento da imagem f(x). 
Contudo, pode haver elementos do contradomínio que 
não são imagem. Quando isso ocorre, dizemos que o 
contradomínio e a imagem são diferentes. 
 
Função sobrejetora – todos os elementos do domínio 
têm um elemento na imagem. Pode acontecer de dois 
elementos do domínio possuírem a mesma imagem. 
Quando isso acontece, imagem e contradomínio têm a 
mesma quantidade de elementos. 
 
Função bijetora - esta função é ao mesmo tempo 
injetora e sobrejetora, porque cada elemento de x 
relaciona-se com um único elemento de f(x). Neste tipo, 
não acontece de dois números distintos terem a mesma 
imagem, e o contradomínio e a imagem têm mesma 
quantidade de elementos. 
 
Função Par 
Todos os pontos x do seu domínio, for satisfeita a 
igualdade: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) 
Ex. 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4 
𝑓(−𝑥) = 3(−𝑥)2 + 4 = 3𝑥2 + 4 
O gráfico de uma função par é sempre simétrico (como 
se fosse um espelho) em relação ao eixo y 
 
Função Ímpar 
São todos os pontos do seu domínio, que a igualdade 
abaixo for satisfeita: 
𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) 
Ex. 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3 = −𝑥3 
A curva que representa o gráfico de uma função ímpar 
é simétrica em relação à origem do plano cartesiano. 
 
Função Inversa 
Podemos determinar o gráfico de sua inversa espelhando 
o gráfico sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares. Em 
outras palavras: basta inverter os eixos x e y. 
 
 
 
Função do 1º grau 
 
Características 
f : ℝ → ℝ - o domínio, e que o contradomínio da 
função, é conjunto dos números reais. 
O coeficiente a é quem acompanha a variável x, é fato 
que ele jamais pode ser zero. 
O valor de uma função é o valor que a função assume 
para um determinado x = o valor de uma função é 
igual ao valor de y. 
 
 
Ex. 1 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 
𝑓(1) = 3 ∙ 1 + 1 
𝑓(1) = 3 + 1 
𝑓(1) = 4 
Ex. 2 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 
𝑓(– 2) = 3 ∙ (– 2) + 1 
𝑓(– 2) = – 6 + 1 
𝑓(– 2) = – 5 
Ex. 3 - Determine a função do 1º grau, sabendo que f(–
1) = 3, e f(2) = 2. 
 
 
 
 
 
Ex. 4 - Determine a função do 1º grau que passa pelos 
pontos A (1,5) e B (–3, –7). 
 
 
 
 
O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta. 
Qualquer ponto que se localize sobre o eixo x sempre 
terá a configuração (x, 0) 
Quando um ponto qualquer se localiza sobre o eixo y, 
acontece justamente o contrário: esse ponto terá a 
configuração (0, y). 
Por isso, quando desejarmos obter o ponto em que a 
reta corta o eixo x, nós substituiremos o valor de y na 
função por zero, obtendo a raiz da função: 
 
Para obter o ponto em que a reta corta o eixo y, então 
deveremos substituir o valor de x na função por zero: 
 
 
Coeficiente angular 
O coeficiente angular da reta, a, vai determinar se a reta 
é crescente ou decrescente. 
 
Coeficiente linear 
O coeficiente linear da reta, b, vai determinar onde a reta 
corta o eixo y. 
 
Função linear (b = 0) 
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 
Função constante (a = 0) 
Exemplo: 𝑓(𝑥) = 3 
 
Função identidade (a = 1 e b = 0) 
𝑓(𝑥) = 𝑥 
 
Oposta da função identidade (a = -1 e b = 0) 
𝑓(𝑥) = −𝑥 
 
Função do 2º Grau 
 
Características 
▪ a, b e c ∈ ℝ 
▪ a é diferente de 0 
Fórmula de Bhaskara 
É calculado para achar as raízes da equação. 
𝑥 = 
(−𝑏 ± √𝛥)
2. 𝑎
 
Raízes da função 
Para encontrar as raízes de uma função do 2º grau, é 
necessário igualar f(x) a 0 e resolver a equação. 
Elas se encontram sempre no ponto de interceptação 
da parábola com a reta X. 
▪ ∆ > 0 – Duas raízes reais → gráfico corta o 
eixo x em 2 pontos 
 
▪ ∆ = 0 – Uma raiz real → gráfico corta o eixo 
x em 1 ponto 
 
▪ ∆ < 0 – Nenhuma raiz real→ gráfico NÃO 
corta o eixo x 
 
Coeficiente c 
O coeficiente c representa a interseção da parábola 
com o eixo y. 
 
Coeficiente a 
O coeficiente a irá determinar se a parábola terá 
concavidade para cima ou para baixo. 
 
Vértice da Parábola 
 
Se a função tem concavidade para cima, dizemos que 
o vértice é o “ponto de mínimo” da função, ou seja, é 
o ponto onde ela assume seu menor valor. 
Se a função tem concavidade para baixo, dizemos que 
o vértice é o “ponto de máximo” da função, ou seja, é 
o ponto onde ela assume seu maior valor 
Domínio 
O domínio das funções do 2º grau é o conjunto R. 
Imagem 
O conjunto imagem das funções do 2º grau depende 
de a: 
a > 0 
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ 𝑅 | 𝑦 ≥ 𝑦𝑣 
a < 0 
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ 𝑅 | 𝑦 ≤ 𝑦𝑣 
 
Funções Polinomiais 
Características 
▪ Lei de formação é um polinômio. 
▪ Função polinomial de grau n é: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 . 𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛– 1 . 𝑥
𝑛– 1 + . . . +𝑎2 . 𝑥
2 + 𝑎1 . 𝑥 + 𝑎0 
▪ Coeficientes do polinômio - 
𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛– 1 , 𝑎𝑛 
▪ Termos do polinômio - 
𝑎𝑛 . 𝑥
𝑛, 𝑎𝑛– 1 . 𝑥
𝑛– 1, 𝑎2 . 𝑥
2 … 
▪ O gráfico de uma função polinomial do 2º grau 
é sempre uma parábola. 
▪ O gráfico de uma função polinomial do 3º grau 
é sempre uma cúbica. 
Grau de um polinômio 
É o maior expoente que existir na incógnita. 
Ex. 
𝑓(𝑥) = 𝑥² – 𝑥 + 1 
𝑓(𝑥) = 4𝑥³ – 9𝑥² + 𝑥 
𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 2𝑥³ – 𝑥² + 𝑥 + 1 
Valor numérico de um polinômio 
Significa calcular o valor do polinômio quando 
substituímos x por k. Isto é indicado por P(k). 
Raiz de um polinômio 
Dizemos que um valor k é raiz do polinômio quando P(k) 
= 0, ou seja, é o valor que quando substituído no lugar 
do x torna o polinômio igual a 0 
Identidade de Polinômios 
Dois polinômios são idênticos se, e somente se, os 
coeficientes dos termos correspondentes forem iguais. 
 
Polinômio Identicamente Nulo 
Um polinômio é identicamente nulo se, se somente se, 
todos os seus coeficientes forem nulos. Para polinômio 
nulo não se define grau. 
Soma de polinômios 
A soma de polinômios é realizada somando-se os 
coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau. 
Ex. Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: 
(4𝑥2 – 10𝑥 – 5) + (6𝑥 + 12) 
4𝑥2 – 10𝑥 – 5 + 6𝑥 + 12 
4𝑥2 – 10𝑥 + 6𝑥 – 5 + 12 
4𝑥2 – 4𝑥 + 7 
Subtração de polinômios 
A subtração de polinômios é realizada subtraindo-se os 
coeficientes dos termos que apresentam o mesmo grau. 
Ex. Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x 
+ 5, teremos: 
(2𝑥³ – 5𝑥² – 𝑥 + 21) – (2𝑥³ + 𝑥² – 2𝑥 + 5). 
2𝑥³ – 5𝑥² – 𝑥 + 21 – 2𝑥³ – 𝑥² + 2𝑥 – 5 
2𝑥³ – 2𝑥³ – 5𝑥² – 𝑥² – 𝑥 + 2𝑥 + 21 – 5 
0𝑥³ – 6𝑥² + 𝑥 + 16 
– 6𝑥² + 𝑥 + 16 
Multiplicação de Polinômios 
É feita termo a termo, com a utilização da propriedade 
distributiva. Após a realização de todas as multiplicações, 
agrupam-se os termos de mesmo grau. 
Ex. Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2) 
(3𝑥 – 1) . (5𝑥2 + 2) → aplicar a propriedade 
distributiva. 
3𝑥 . 5𝑥2 + 3𝑥 . 2 – 1 . 5𝑥2 – 1 . 2 
15𝑥3+ 6𝑥 – 5𝑥2 – 2 
Ex. Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos: 
(2𝑥2 + 𝑥 + 1) (5𝑥 – 2) 
2𝑥2 . (5𝑥) + 2𝑥2 . (−2) + 𝑥 . 5𝑥 + 𝑥 . (−2) 
+ 1 . 5𝑥 + 1 . (−2) 
10𝑥3 – 4𝑥2 + 5𝑥2 – 2𝑥 + 5𝑥 – 2 
10𝑥3 + 𝑥2 + 3𝑥 – 2 
Divisão de Polinômios 
→ Método da Chave 
 
A(x) é o dividendo 
B(x) divisor 
Q(x) quociente 
R(x) resto. 
𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) . 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑅(𝑥) < 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝐵(𝑥) 
 
1. Escrever os polinômios na ordem decrescente de 
seus expoentes de x 
2. Caso falte algum termo, completar com zero 
 
3. Dividir o primeiro termo do dividendo pelo 
primeiro termo do divisor e colocar o resultado 
no quociente 
 
4. Multiplicar este resultado por cada termo do 
divisor, inverter o sinal e colocar abaixo do termo 
correspondente no dividendo 
5. Realizar a soma do dividendo com este polinômio 
resultante e escrever o resultado abaixo. Este 
polinômio (1° resto parcial) será um novo 
dividendo 
 
6. Se o grau deste polinômio for maior ou igual ao 
grau do divisor, prosseguir com a divisão, 
repetindo o procedimento a partir do passo 3. Se 
o grau deste polinômio for menor do que o grau 
do divisor, parar o procedimento. 
 
Ex. 
 
 
→ Teorema do Resto 
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um 
binômio (x – a) é igual a P(a). 
Ex. Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio P(x) 
= x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x - 3 
𝑃(3) = 34 – 4 . 33 + 4 . 32 – 4 . 3 + 3 
𝑃(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3 
𝑃(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3 
𝑃(3) = −27 + 36 – 12 + 3 
𝑃(3) = 9 – 12 + 3 
𝑃(3) = −3 + 3 
𝑃(3) = 0 
→ Teorema de D'Alembert 
A divisão de um polinômio por um binômio x – a será 
exata, isto é, R = 0, se P(a) for igual a zero. 
Ex. Determine o valor de c para que P(x) = x5 – cx4 + 
2x3 + x2 – x + 6 seja divisível por x – 2. 
𝑅 = 𝑃(2) = 0 
25 – 𝑐 ∙ 24 + 2 ∙ 23 + 22 – 2 + 6 = 0 
32 – 16𝑐 + 16 + 4 – 2 + 6 = 0 
– 16𝑐 = – 56 
𝑐 = 
56
16
 
𝑐 = 
7
2
 
→ Dispositivo Prático de Briot-Ruffini 
▪ Só é possível se for binômio de 1° grau. 
Ex. Seja a divisão de P(x) = x4 – 5x3 + x2 – 3x + 6 
por uma binômio x – 2 
1. Dispor a raiz do binômio (que é 2) e os 
coeficientes do polinômio no dispositivo: 
 
2. Reescrever o primeiro coeficiente de P(x) logo 
abaixo, que será o primeiro coeficiente de Q(x): 
 
3. Multiplicar 1 pela raiz do binômio e somar ao 
segundo coeficiente de P(x). 
 
4. Repetimos este processo até o último 
coeficiente: 
 
5. O quociente e o resto que procuramos são: 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 5𝑥 − 13 
𝑅(𝑥) = −20 
Equações Polinomiais 
São equações que possui um polinômio P(x) igualado a 
zero, ou seja, P(x) = 0. 
É possível fatorar um polinômio se conhecermos as suas 
raízes (x1, x2, x3, … xn-1, xn). 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 (𝑥 – 𝑥1) (𝑥 – 𝑥2) (𝑥 – 𝑥3) … (𝑥 – 𝑥𝑛 − 1) (𝑥 – 𝑥𝑛) 
an – é o coeficiente do termo de maior grau. 
Ex. Dado o polinômio P(x) 2x4 – 10x³ – 26x² + 106x + 
120, e considerando que um polinômio do 4º grau possui 
as raízes iguais a -3, -1, 4 e 5, escreva-o na forma 
fatorada: 
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 – 𝑥1) (𝑥 – 𝑥2) (𝑥 – 𝑥3) (𝑥 – 𝑥4) 
𝑃(𝑥) = 2(𝑥 – (−3) ) (𝑥 – (−1)) (𝑥 – 4) (𝑥 – 5) 
𝑃(𝑥) = 2(𝑥 + 3) (𝑥 + 1) (𝑥 – 4) (𝑥 – 5) 
Obs: Quando uma mesma raiz aparece duas vezes na 
fatoração, dizemos que ela tem multiplicidade 2, ou seja, 
que na fatoração ela aparecerá duas vezes. 
▪ O grau de um polinômio indica a quantidade de 
soluções (raízes) que ele possui. 
▪ Se conhecermos uma de suas raízes, podemos 
utilizar o dispositivo de Briot-Ruffini para “reduzir 
o grau” da equação. Para isso tem que dispor a 
raiz e os coeficientes no dispositivo e ir 
resolvendo. 
Relações de Girard 
r – é a raiz 
 
 
Gráficos 
A ordem do polinômio representa a quantidade de raízes 
que esta função possui. 
 
Ordem par 
Caso a constante que acompanha o termo de maior 
ordem for positiva, as extremidades do gráfico 
vão para +∞ em y 
Caso for negativa, o gráfico tende para - ∞ 
 
Ordem Ímpar 
Caso a constante que acompanha o termo de maior 
ordem for positiva, na extremidade -∞ de x os valores 
de y tendem a -∞ Na outra extremidade de x, ou seja, 
+∞ os valores de y tendem para +∞. 
 
O termo independente de qualquer polinômio representa 
o ponto onde o gráfico corta o eixo y 
 
Função Exponencial 
y = ax 
f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1 
Dizemos que uma função é exponencial quando a 
variável (x) encontra-se no expoente de uma base (a). 
Essa base deve ser um número real, maior que zero e 
diferente de um. 
 
Equações exponenciais 
São equações que apresentam a incógnita como 
expoente. 
Para solucionar uma equação exponencial busca-se 
chegar a uma igualdade de potências de mesma base 
para então igualar os expoentes. 
Ex. 2x = 32 
2𝑥 = 25 
𝑥 = 5 
Ex. 5x + 3 = 625 
5𝑥 + 3 = 54 
𝑥 + 3 = 4 
𝑥 = 4 – 3 
𝑥 = 1 
Ex. 3x² – 4 = 27 - x 
3𝑥² – 4 = (33)−𝑥 
3𝑥² – 4 = 3−3𝑥 
𝑥² – 4 + 3𝑥 = 0 
𝛥 = 𝑏² – 4𝑎𝑐 
𝛥 = 3² – 4 · 1 · (−4) 
𝛥 = 9 + 16 
𝛥 = 25 
 
Ex. 2x + 2 – 2x = 96 
2𝑥 + 2 – 2𝑥 = 96 
2𝑥 · 22 – 2𝑥 = 96 
2𝑥 (2² – 1) = 96 
2𝑥 (4 – 1) = 96 
2𝑥 · 3 = 96 
2𝑥 = 
96
3
 
2𝑥 = 32 
2𝑥 = 25 
𝑥 = 5 
Gráfico 
Uma função exponencial pode ser crescente ou 
decrescente. 
Se a > 1 → f(x) é crescente. 
Ex. F(x) = 2x 
 
Se 0 < a < 1 → f(x) é decrescente. 
Ex. 
 
 
Possui como imagem somente valores positivos, ficando 
sempre acima do eixo x. 
Inequações exponenciais 
Devem ser resolvidas buscando-se uma igualdade de 
bases dos dois lados da inequação e em seguida 
analisando-se simplesmente a base (a) das funções, 
conforme a regra abaixo: 
Se a > 1 – Se a base for maior que 1 o sinal se mantém. 
Se 0 < a < 1 – Se a base está entre 0 e 1, o sinal se 
inverte. 
 
Função Modular 
Uma função é considerada modular quando em sua lei 
de formação existir pelo menos uma variável dentro do 
módulo. 
 
O módulo de um número sempre gera resultados 
positivos, por exemplo: 
|2| → como 2 > 0 → |2| = 2 
|-2| → como -2 < 0 → |-2| = – (-2) = 2 
Na reta real, podemos pensar no módulo como a 
distância do valor x até a origem, como no exemplo: 
 
 
Equações Modulares 
|x| = x, se x ≥ 0 
-x, se x < 0 
Importante: o que está sendo igualado ao módulo deve 
ser maior ou igual a zero. Se for menor que zero, não 
há solução! 
Ex. |x| = 6 
Um número real terá sempre um valor positivo como 
resultado do seu módulo, e 6 é positivo, mas o valor de 
x poderá ser +6 ou –6, pois |+6| = 6 e |–6| = 6, portanto, 
x = 6 ou x = –6 
Ex. |x + 3| = 5 
𝑥 + 3 = 5 → 𝑥 = 5 – 3 → 𝑥 = 2 
𝑥 + 3 = – 5 → 𝑥 = – 5 – 3 → 𝑥 = – 8 
Inequações Modulares 
 
1º caso: x > 0 
Se x é positivo, então |x| = x, sendo assim, queremos 
que x seja maior que 3. 
x > 3 
Note que qualquer valor maior que 3 satisfaz a equação, 
por exemplo: x = 4 |4| > 3. Assim, temos um conjunto 
de soluções, com a restrição de que x > 3 
2º caso: x < 0 
Se x é negativo, nesse caso, note que -x > 3. Por outro 
lado, multiplicando por -1, temos que: 
-x > 3 (-1) 
x < -3 
Então, o conjunto de solução nesse caso são valores 
menores que -3, por exemplo, note que -4 é solução, 
pois |-4| = 4, assim, |-4| > 3. 
Então a solução da equação é: 
S = {x Є R | x < -3 ou x > 3} 
Ex. 3 ≤ |x+1| < 7 
Nesse caso, precisamos dividir as inequações em duas: 
3 ≤ |𝑥 + 1| → 𝐼 
|𝑥 + 1| < 7 → 𝐼𝐼 
Resolveremos cada uma delas separadamente, e depois 
faremos a análise da intersecção das suas soluções. 
Resolvendo I: 3 ≤ |x + 1| 
→ 1º caso: |𝑥 + 1| > 0 
|𝑥 + 1| = 𝑥 + 1 
3 ≤ 𝑥 + 1 
3 – 1 ≤ 𝑥 
2 ≤ 𝑥 
𝑥 ≥ 2 
→ 2º caso: |𝑥 + 1| < 0 
|𝑥 + 1| = − (𝑥 + 1) 
3 ≤ − (𝑥 + 1) · (−1) 
−3 ≥ 𝑥 + 1 
−3 − 1 ≥ 𝑥 
− 4 ≥ 𝑥 
𝑥 ≤ −4 
 
SI = {x Є R| x > 2 ou x ≤ -4} 
Resolvendo II: |x + 1| < 7 
→ 1ºcaso: |𝑥 + 1| > 0 
|𝑥 + 1| = 𝑥 + 1 
𝑥 + 1 < 7 
 
𝑥 < 7 – 1 
𝑥 < 6 
2º caso: |𝑥 + 1| < 0 
|𝑥 + 1| = − (𝑥 + 1) 
− (𝑥 + 1) < 7 · (−1) 
𝑥 + 1 > −7 
𝑥 > −7 − 1 
𝑥 > −8 
SII = {x Є R| -8 < x < 6} 
Então a solução da inequação S pode ser representada 
por: 
S = {x Є R| -8 < x ≤ -4 ou 2 ≤ x < 6} 
Gráficos 
 
“espelhando-se” tudo que estiver abaixo do eixo x para 
cima, pois o módulo torna positivos todos os valores 
negativos da função. 
Ex. f(x) = |x² – 8x + 12| 
1º passo: encontrar os 0 da função f(x) = x² – 8x + 12. 
𝛥 = 𝑏² – 4𝑎𝑐 
𝛥 = ( – 8) ² – 4 · 1 · 12 
𝛥 = 64 – 48 
𝛥 = 16 
 
Agora vamos calcular o vértice da função quadrática e 
calcular seu módulo, caso seja necessário: 
𝑥𝑣 = 
(6 + 2)
2
 = 4 
𝑦𝑣 = |𝑥² – 8𝑥 + 12| = |4² – 8 · 4 + 12 | 
= |16 – 32 + 12| = | – 4| = 4 
 
Ex. 
 
 
 
 
Estudo de Sinas 
Função do 1° grau 
→ Função crescente: a > 0 
 
→ Função decrescente: a < 0 
 
Função do 2° grau