Distribuicao de frequencia, histogramas

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
 É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as frequências (repetições de 
seus valores).
Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram 
numericamente organizados. É difícil formarmos uma ideia exata do comportamento do grupo 
como um todo, a partir de dados não ordenados.
Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51.
ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente).
Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60.
Distribuição de frequência SEM INTERVALOS DE CLASSE: É a simples condensação dos 
dados conforme as repetições de seus valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição 
de frequência é inconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo:
Dados Frequência
41 3
42 2
43 1
44 1
45 1
46 2
50 2
51 1
52 1
54 1
57 1
58 2
60 2
Total 20
Distribuição de frequência COM INTERVALOS DE CLASSE: Quando o tamanho da amostra é 
elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe.
Classes Frequência
41 |------- 45 7
45 |------- 49 3
49 |------- 53 4
53 |------- 57 1
57 |------- 61 5
Total 20
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA (com intervalos de classe)
CLASSE: são os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número total de classes 
simbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i = 3.
LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de 
classe ( li ) e o maior número, limite superior de classe ( Li ). Ex: em 49 |------- 53,... li = 49 e Li = 
53. O símbolo |------- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do 
ROL não pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por 53 |------- 57.
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o limite 
superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Li - li. Ex: na tabela anterior hi = 53 - 49 = 4. 
Obs: Na distribuição de frequência com intervalo de classe o hi será igual em todas as classes.
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a diferença entre o limite superior da última 
classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) - l(min). Ex: na tabela anterior AT = 61 - 
41= 20.
AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19. Obs: 
AT sempre será maior que AA.
PONTO MÉDIO DE CLASSE: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. 
Ex: em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53 + 49) / 2 = 51, ou seja x3 = ( l3 + L3 )/2.
Método prático para construção de uma Distribuição de Frequências com intervalo de Classe
1º - Organize os dados brutos em um ROL.
2º - Calcule a amplitude amostral AA. 
 No nosso exemplo: AA = 60 - 41 = 19
3º - Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges"(k = 1 + log2N ou k = 1 + 3,322.logN 
em que k é o nº de classes e N é o nº total de observações na amostra):
Obs: Qualquer regra para determinação do nº de classes da tabela não nos levam a uma decisão 
final; esta vai depender, na realidade de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza 
dos dados.
No nosso exemplo: n = 20 dados, então ,a princípio, a regra sugere a adoção de 5 classes.
4º - Decidido o nº de classes, calcule então a amplitude do intervalo de classe h > AA / i. No nosso 
exemplo: AA/i = 19/5 = 3,8 . Obs: Como h > AA/i um valor ligeiramente superior para haver folga 
na última classe. Utilizaremos então h = 4.
5º - Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. Podemos 
montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com frequência = 0 (zero). No nosso 
exemplo: o menor nº da amostra = 41 + h = 45, logo a primeira classe será representada por ...... 41 
|------- 45. As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. O primeiro elemento das classes 
seguintes sempre serão formadas pelo último elemento da classe anterior.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO
 Histograma, Polígono de frequência e Polígono de frequência acumulada.
 Em todos os gráficos abaixo utilizamos o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados 
cartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável e 
na linha vertical (eixo das ordenadas), as frequências.
Histograma: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre 
o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos 
intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional à soma das frequências simples ou 
absolutas.
 Para construir o histograma de densidades, basta que os retângulos tenham altura do tamanho da 
densidade de cada classe e largura do tamanho da classe. Neste caso, o histograma ficaria da seguinte 
forma:
 Acima pudemos observar exemplos de histogramas com distribuição aproximadamente normal 
cuja característica principal é um formato de sino que tende a ser simétrico. Entretanto os 
histogramas podem assumir formas variadas de acordo com a distribuição de probabilidade dos 
dados. A seguir veremos alguns exemplos de formatos variados de histogramas. 
Os dados do histograma a seguir seguem uma distribuição de probabilidade exponencial, que é usada, 
por exemplo, como um modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais.
 A distribuição exponencial caracteriza-se por seu formato assimétrico, com muitos valores 
próximos de 0 e uma tendência decrescente.
 Neste exemplo, trazemos dados da distribuição F de Snedecor, também conhecida como 
distribuição de Fisher é frequentemente utilizada na inferência estatística para análise de variância.
 Esta distribuição também é assimétrica, o formato do histograma desta distribuição quase sempre 
reflete a alta densidade dos dados em torno do 1.
 Aqui trazemos um exemplo de uma distribuição bimodal, isto é, que apresenta duas modas. 
Imagine uma avenida principal de uma cidade em que mede-se o número de automóveis que 
passam por essa avenida: é lícito imaginar um fluxo máximo de automóveis em determinado 
horário quando muitos estão indo para o trabalho e de noite ( ou ao entardecer ), um novo fluxo 
máximo quando as pessoas estão voltando do trabalho para casa. 
 Como pode-se notar, o histograma mostra dois picos de densidade, um no começo e outro quase 
ao final da distribuição.
Frequências simples ou absoluta: são os valores que realmente representam o número de dados de 
cada classe. A soma das frequências simples é igual ao número total dos dados da distribuição.
Frequências relativas: são os valores das razões entre as frequências absolutas de cada classe e a 
frequência total da distribuição. A soma das frequências relativas é igual a 1 (100 %).
Polígono de frequência: é um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para 
realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos 
da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da 
distribuição.
Polígono de frequência acumulada: é traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre 
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores 
dos intervalos de classe.
Frequência simples acumulada de uma classe: é o total das frequências de todos os valores 
inferiores ao limite superior do intervalo de uma determinada classe.
Frequência relativa acumulada de um classe: é a frequência acumulada da classe, dividida pela 
frequência total da distribuição.
fi = frequência simples; xi = ponto médio de classe; fri = frequência simples acumulada; Fi = 
frequência relativa e Fri = frequência relativa acumulada.
Obs: uma distribuição de frequênciasem intervalos de classe é representada graficamente por um 
diagrama onde cada valor da variável é representado por um segmento de reta vertical e de 
comprimento proporcional à respectiva frequência.
Podemos representar os dados da tabela a seguir na forma de um polígono de frequências, ou ainda 
como o polígono de frequência cumulativo, ambos mostrado após a tabela, respectivamente.
Idade Número de alunos ffii Número de alunos Fité 
17 1 1
18 2 3
19 3 6
20 5 11
21 4 15
22 2 17
 
https://www.youtube.com/watch?v=QZGQk56aHOw&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais
Aula em torno de 4min sobre Rol
https://www.youtube.com/watch?v=rRtPYG0sqlQ
https://www.youtube.com/watch?v=QZGQk56aHOw&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais
https://www.youtube.com/watch?v=rRtPYG0sqlQ
Aula de distribuição de frequência sem intervalo de classe em torno de 16min
https://www.youtube.com/watch?v=4LNiBhzLIWw
Aula sobre o que são classes em torno de 6min
https://www.youtube.com/watch?v=_gkUvxDXFP4
Aula sobre limites de classes e amplitude em torno de 5 min
https://www.youtube.com/watch?v=YnYgxhwNwDY
Aula sobre construção das classes em torno de 7min
https://www.youtube.com/watch?v=J8W2Kj5xnsU
Aula sobre a Regra de Sturges em torno de 7min para obtenção das classes
https://www.youtube.com/watch?v=5Ah5OVYRCGU&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=7
Aula em torno de 3min sobre o critério da raiz quadrada para obtenção das classes
https://www.youtube.com/watch?v=lLTPhXul37w&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=8
Aula em torno de 5min sobre o critério das desigualdades para obtenção das classes
https://www.youtube.com/watch?v=064ysUV0pfU&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=9
Aula em torno de 12min sobre a Regra de Sturges para a construção de intervalos de classe
https://www.youtube.com/watch?v=hW-MlFsPh8M&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-
3aC1ais&index=10
Aula em torno de 4min sobre ponto médio do intervalo de classe
https://www.youtube.com/watch?v=6c_Mx8m0Fko&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-
3aC1ais&index=11
Construção da tabela de distribuição de frequências com intervalo de classe em torno de 8min
https://www.youtube.com/watch?v=xbD7dgqHVNM&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-
3aC1ais&index=12
Comparação da Regra de Sturges com outros critérios em torno de 11min
https://www.youtube.com/watch?v=9W8kR_N_9VQ&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-
3aC1ais&index=13
Exercício de distribuição de frequência sem intervalo de classe em torno de 7min
https://www.youtube.com/watch?v=NwvNdn9uoI8&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=14
Exercício de frequência a partir de porcentagem em torno de 4min
https://www.youtube.com/watch?v=4LNiBhzLIWw
https://www.youtube.com/watch?v=_gkUvxDXFP4
https://www.youtube.com/watch?v=YnYgxhwNwDY
https://www.youtube.com/watch?v=J8W2Kj5xnsU
https://www.youtube.com/watch?v=5Ah5OVYRCGU&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=7
https://www.youtube.com/watch?v=lLTPhXul37w&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=8
https://www.youtube.com/watch?v=064ysUV0pfU&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=9
https://www.youtube.com/watch?v=hW-MlFsPh8M&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=10
https://www.youtube.com/watch?v=hW-MlFsPh8M&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=10
https://www.youtube.com/watch?v=6c_Mx8m0Fko&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=11
https://www.youtube.com/watch?v=6c_Mx8m0Fko&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=11
https://www.youtube.com/watch?v=xbD7dgqHVNM&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=12
https://www.youtube.com/watch?v=xbD7dgqHVNM&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=12
https://www.youtube.com/watch?v=9W8kR_N_9VQ&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=13
https://www.youtube.com/watch?v=9W8kR_N_9VQ&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=13
https://www.youtube.com/watch?v=NwvNdn9uoI8&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=14
https://www.youtube.com/watch?v=eigc65QwZUE&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=15
Exercício de tabela de frequência sem classe em torno de 9min
https://www.youtube.com/watch?v=uLwCkOIAHTU&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=16
Exercício de tabela de frequência com classe em torno de 8min
https://www.youtube.com/watch?v=lD3efyCSnLs&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=17
Exercício de tabela de frequência sem classe em torno de 6min
https://www.youtube.com/watch?v=ucwUjkSLZm4&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=18
Exercício de Regra de Sturges para construção da tabela em torno de 10min
https://www.youtube.com/watch?v=uXUjpzKD1PQ&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=19
Exercício de análise de tabela em torno de 3min
https://www.youtube.com/watch?v=zHpHZcOAegM&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-
3aC1ais&index=20
Aula em torno de 2min sobre exercício de porcentagem na tabela
https://www.youtube.com/watch?v=SFWw6PiMxRw
Aula em torno de 15min sobre os elementos de uma distribuição de frequência
https://www.youtube.com/watch?v=451SxriwdvM
Aula em torno de 8min sobre montagem da tabela de distribuição de frequências
https://www.youtube.com/watch?v=AZlEuUdFWNA
Construção da tabela de distribuição de frequência com intervalos de classe em torno de 9min
https://www.youtube.com/watch?v=-zkPSlpyBaM
Aula sobre histograma e polígono de frequência aula em torno de 7min
https://www.youtube.com/watch?v=P5N_fL1yD6A
Como interpretar gráficos aula em torno de 13min
https://www.youtube.com/watch?v=xB1OZXHLmBE
Aula em torno de 7min sobre gráficos
https://www.youtube.com/watch?v=eigc65QwZUE&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=15
https://www.youtube.com/watch?v=uLwCkOIAHTU&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=16
https://www.youtube.com/watch?v=lD3efyCSnLs&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=17
https://www.youtube.com/watch?v=ucwUjkSLZm4&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=18
https://www.youtube.com/watch?v=uXUjpzKD1PQ&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=19
https://www.youtube.com/watch?v=zHpHZcOAegM&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=20
https://www.youtube.com/watch?v=zHpHZcOAegM&list=PL7xT0Gz6G0-Rh3-UVhgatvP-a-3aC1ais&index=20
https://www.youtube.com/watch?v=SFWw6PiMxRw
https://www.youtube.com/watch?v=451SxriwdvM
https://www.youtube.com/watch?v=AZlEuUdFWNA
https://www.youtube.com/watch?v=-zkPSlpyBaM
https://www.youtube.com/watch?v=P5N_fL1yD6A
https://www.youtube.com/watch?v=xB1OZXHLmBE