Análise de Eixo com Alterações em Coeficiente de Amortecimento e Constante Elástica

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3.2- Segunda Análise
Foi realizada considerando novamente apenas um eixo maciço, apoioado em dois mancais.
Porém, realizou-se alterações no coeficiente de amortecimento (c) e a constante elástica da mola
(k) elevando seus valores com o intuito de observar o comportamento dos gráficos. Mantendo
parecido com a primeira análise k=k1=k2 e c=c1=c2. Podendo ser observado também na Figura
3.
Importando as bibliotecas:
Agora, vamos definir as coordenadas generalizadas do sistema. Neste caso, usaremos três
coordenadas generalizadas.
Definindo as algumas variáveis:
Listando as coordenadas generalizadas:
Velocidades generalizadas:
Equações diferenciais cinemáticas:
Referenciando os sistemas:
Orientando o A:
from sympy import symbols
import sympy.physics.mechanics as me
q1,q2,q0=me.dynamicsymbols('q1 q2 q0')
q1d,q2d=me.dynamicsymbols('q1 q2',1)
u1,u2=me.dynamicsymbols('u1 u2')
g,r,omega,L,k,c,M,m= symbols('g r omega L k c M m')
q_lista=[q1,q2]
u_lista=[u1,u2]
kde=[q1d-u1,q2d-u2]
N=me.ReferenceFrame('N')
A=me.ReferenceFrame('A')
B=me.ReferenceFrame('B')
A.orient(N,'Axis',[q0,N.y])
A.set_ang_vel(N,omega*N.y)
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Orientando o B:
Definindo os pontos que serão usados no código.
Ponto O:
Cento de massa:
Ponto um:
Ponto dois:
Velocidade no ponto P1:
Velocidade no ponto P2:
Ponto P1 em relação ao ponto fixo O
B.orient(A,'Axis',[q2,A.x])
B.set_ang_vel(A,u2*B.x)
O=me.Point('O')
O.set_vel(N,0)
CM=me.Point('CM')
RCM=q1*N.z
CM.set_pos(O,RCM)
CM.set_vel(N,RCM.dt(N))
P1=me.Point('P1')
RP1=-L/2*B.y-r*B.z
P1.set_pos(O,RP1+RCM)
P1.set_vel(N,(RP1+RCM).dt(N))
P2=me.Point('P2')
RP2=L/2*B.y-r*B.z
P2.set_pos(O,RP2+RCM)
P2.set_vel(N,(RP2+RCM).dt(N))
P1.vel(N)
(− − ωr cos (q2 (t)))b̂x + r u2 (t)b̂y − b̂z + q1 (t)n̂z
Lω sin (q2 (t))
2
L u2 (t)
2
d
dt
P2.vel(N)
( − ωr cos (q2 (t)))b̂x + r u2 (t)b̂y + b̂z + q1 (t)n̂z
Lω sin (q2 (t))
2
L u2 (t)
2
d
dt
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Ponto P2 em relação ao ponto fixo O
Matris de B de rotação ao referencial N
Matris de A de rotação ao referencial N
Momento de inercia do cilindo:
Definindo o eixo como corpo rígido
Lista do corpo rígido
P1.pos_from(O).dot(N.z)
− − r cos (q0 (t)) cos (q2 (t)) + q1 (t)
L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
P2.pos_from(O).dot(N.z)
− r cos (q0 (t)) cos (q2 (t)) + q1 (t)
L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
B.dcm(N)
⎡⎢⎣
cos (q0 (t)) 0 − sin (q0 (t))
sin (q0 (t)) sin (q2 (t)) cos (q2 (t)) sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
sin (q0 (t)) cos (q2 (t)) − sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
⎤⎥⎦
A.dcm(N)
⎡⎢⎣
cos (q0 (t)) 0 − sin (q0 (t))
0 1 0
sin (q0 (t)) 0 cos (q0 (t))
⎤⎥⎦
Iz=M*(3*r**2+L**2)/12
Ix=Iz
Iy=M*r**2/12
I=me.inertia(B,Ix,Iy,Iz)
I
b̂x ⊗ b̂x + b̂y ⊗ b̂y + b̂z ⊗ b̂z
M (L2 + 3r2)
12
Mr2
12
M (L2 + 3r2)
12
eixo=me.RigidBody('eixo',CM,B,M,(I,CM))
C1=[eixo]
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Defindo as forças que estão agindo no corpo
Lista de forças em relação aos seus respectivos pontos
[(CM, - M*g*N.z),
 (P1, - k*(-L*sin(q2(t))*cos(q0(t))/2 - r*cos(q0(t))*cos(q2(t)) + q1(t))*N.z),
 (P2, - k*(L*sin(q2(t))*cos(q0(t))/2 - r*cos(q0(t))*cos(q2(t)) + q1(t))*N.z),
 (P1,
 - c*(-L*u2(t)*cos(q0(t))*cos(q2(t))/2 + r*u2(t)*sin(q2(t))*cos(q0(t)) - (-L*
omega*sin(q2(t))/2 - omega*r*cos(q2(t)))*sin(q0(t)) + Derivative(q1(t), t))*N.
z),
 (P2,
 - c*(L*u2(t)*cos(q0(t))*cos(q2(t))/2 + r*u2(t)*sin(q2(t))*cos(q0(t)) - (L*om
ega*sin(q2(t))/2 - omega*r*cos(q2(t)))*sin(q0(t)) + Derivative(q1(t), t))*N.
z)]
Apliando o método de Kane
Obitenção da equanção de movimento
FCM=-M*g*N.z
Fe1= -k*(P1.pos_from(O).dot(N.z))*N.z # Força Elástica no Mancal 1
Fe2= -k*(P2.pos_from(O).dot(N.z))*N.z # Força Elástica no Mancal 2
Fa1= -c*(P1.vel(N).dot(N.z))*N.z #Força de amortecimento no Mancal 1
Fa2= -c*(P2.vel(N).dot(N.z))*N.z #Força de amortecimento no Mancal 2
FR=[(CM,FCM),(P1,Fe1),(P2,Fe2),(P1,Fa1),(P2,Fa2)]
FR
KM= me.KanesMethod(N,q_ind=q_lista,u_ind=u_lista,kd_eqs=kde)
(Fr,Frstar)=KM.kanes_equations(C1,FR)
Eq_Mov = Fr + Frstar
Eq_Mov
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Definindo o número de pontos do grafico, tempo inicial e final
Definindo as condições para a geração do gráfico, onde:
M é a massa do eixo;
g é a aceleração da gravidade;
r é o raio do eixo;
k é constante elástica da mola (N/m);
c é o coeficiente de amortecimento;
Omega ( ) é a velocidade angular do eixo.
Vale ressaltar que as unidades utilizadas para a plotação dos gráficos foram no SI.
Importando a biblioteca pydy.system
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−Mg − M u1 (t) − c (− + r u2 (t) sin (q2 (t)) cos
− c ( + r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) − ( − ωr cos (q2 (t))
− k ( − r cos (q
−
− −
− cr (− + r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) − (−
− cr ( + r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) − (
− kr (− − r cos (q0 (t)) cos (q2 (t)) + q1 (t)) sin (q2 (t)) cos (q0 (t)) −
d
dt
L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
2
L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
2
Lω sin (q2 (t))
2
L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
Lc(− +r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t))−(−L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))2 Lω sin (q2
2
Lc( +r u2 (t) sin (q2 (t)) cos (q0 (t))−( −ωr cos (q2 (t))) sin (q0 (t))+u1 (t)) cosL u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))2 Lω sin (q2 (t))2
2
Lk( −r cos (q0 (t)) cos (q2 (t))+q1 (t)) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))2
2
Mω2r2 sin
L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
2
Lω sin
L u2 (t) cos (q0 (t)) cos (q2 (t))
2
Lω sin (q
2
L sin (q2 (t)) cos (q0 (t))
2
from numpy import linspace
num=200
t0=0
tf=50
tn=linspace(t0,tf,num)
ω
constantes={M:2.5,g:9.81,L:0.250,r:0.02,k:2500,c:0.85,omega:100}
import numpy as np
cond_in={q1:0,q2:np.pi/2,u1:0,u2:1}
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Atribuindo o sistema
Integrando o sistema
Importando a biblioteca matplotlib para poder fazer o gráfico
Plotando o gráfico de q1 em relação ao tempo
import pydy.system as dy
sistema= dy.System(KM,constants=constantes, initial_conditions=cond_in, times=
Q=sistema.integrate()
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.plot(tn,Q[:,0])
plt.xlabel('t[s]')
plt.ylabel('q1[m]')
plt.grid(True)
plt.title('Variação do Centro de Massa em relação ao tempo')
plt.show()
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Plotando o gráfico de q2 em relação ao tempo
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.plot(tn,Q[:,1])
plt.xlabel('t[s]')
plt.ylabel('q2[m]')
plt.grid()
plt.title('Variação do Centro de Massa em relação ao tempo')
plt.show()
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Plotando o gráfico de u1 em relação ao tempo
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.plot(tn,Q[:,2])
plt.xlabel('t[s]')
plt.ylabel('u1[m]')
plt.grid()
plt.title('Variação do Centro de Massa em relação ao tempo')
plt.show()
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Plotando o gráfico de u2 em relação ao tempo
plt.figure(figsize=(10,8))
plt.plot(tn,Q[:,3])
plt.xlabel('t[s]')
plt.ylabel('u2[m]')
plt.grid()
plt.title('Variação do Centro de Massa em relação ao tempo')
plt.show()
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