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FACULDADE IBS
FGV
NOTAS DE AULA - MATEMÁTICA
PROFESSOR: TIAGO A. SCHIEBER
1
Sumário
1 Função 6
1.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Tipos de funções de nosso interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Raiz de uma função real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Raiz de uma função polinomial de grau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Raiz de uma função polinomial de grau maior que 1 . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 A função Logaŕıtmo - a inversa da Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 O Plano Cartesiano 20
2.1 Gráfico de uma função polinomial de grau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 A equação da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Gráfico de uma função polinomial de grau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
2.3 Gráfico de outros tipos de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Estudo do sinal de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Estudo do sinal de uma função polinomial de grau 1 . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Estudo de sinal de uma função polinomial de grau 2 . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.3 Estudo de sinal de outros tipos de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 A função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7.1 Inequações envolvendo funções modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9 Distância entre dois pontos e ponto médio de um segmento . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.1 Ponto médio de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Funções Trigonométricas 48
3.1 O surgimento de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Gráfico das funções Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Outras funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 A equação da reta - versão melhorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Interseção entre curvas 62
3
4.1 Equação de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Equação de Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Problemas: Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 O Equiĺıbrio de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Matrizes e Sistemas Lineares 71
5.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1 Operação com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Uma breve discussão sobre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.4 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.5 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.6 Problemas - Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 Método das substituições sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 O método da matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6 Limites 92
6.1 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4
6.2 Limites Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Funções Cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 A derivada de uma função 102
7.1 Alguns casos especiais - Função exponencial e logaŕıtma . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Aplicações de Derivadas 113
8.1 Funções Crescentes e Decrescentes. Máximos e Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Problemas de Máximos e Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9 Funções de Várias Variáveis 124
9.1 Domı́nio de uma função real de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.3 Derivadas direcionais e o vetor gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.4 Problemas de máximos e mı́nimos envolvendo funções de várias variáveis . . . . . 130
9.5 Máximos e mı́nimos - versão mais aprofundada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10 Integrais 135
5
Caṕıtulo 1
Função
O objetivo desse caṕıtulo é introduzir o conceito de função, bem como tratar de suas aplicações
no cotidiano de um administrador de empresas.
Definição 1 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, uma função f de A em B (f : A −→ B) é
uma aplicação que pega elementos x ∈ A e leva em elementos y ∈ B. Entretanto, se x ∈ A então
existe um único y ∈ B tal que f(x) = b.
Na verdade, apesar da definição acima parecer um pouco complicada, ela pode ser entendida como
uma operação que pega um elemento de um conjunto A e o transforma em um elemento de um
conjunto B. É importante observar que uma transformação desse tipo só é uma função de A em
B se ela leva um elemento de A em apenas um único elemento de B.
Exemplo 1 Sejam A = {a, b, c, d} e B = {e, f, g}. Considere a seguinte aplicação:
f(a) = e f(b) = g f(c) = f f(d) = g
é uma função de A em B (notação: f : A −→ B). Entretanto, uma aplicação
g(a) = e g(a) = g g(c) = f g(d) = g
não é uma função de A em B (g : A −→ B pois, para o elemento {a} ∈ A existem dois posśıveis
valores de g(a), o que contraria a unicidade enunciada na Definição 1.
6
As Figuras 1.1 e 1.2 ilustram este exemplo.
a
b
c
d
e
f
g
A B
Figura 1.1: Função f : A −→ B do Exemplo 1. Observe que apenas uma seta parte de cada
elemento de A.
a
b
c
d
e
f
g
A B
Figura 1.2: Aplicação g : A −→ B do Exemplo 1 que não é uma função. Observe que duas setas
partem do elemento {a} de A.
Na prática, podemos definir vários tipos de funções, por exemplo, o custo de produção de um
determinado produto é uma função da quantidade do mesmo; o capital investido por um tempo
determinado em um certo investimento é uma função da taxa de juros, etc.
Para continuar nossa discussão, devemos introduzir agora o conceito de domı́nio e imagem de uma
função.
Definição 2 Seja f : A −→ B uma função qualquer, definimos o seu domı́nio como o conjunto:
Dom(f) = {x ∈ A | f(x) ∈ B}
7
e sua imagem como o conjunto:
Im(f) = {y ∈ B | para algum x ∈ A f(x) = y}
Exemplo 2 Considere a função f : N −→ N dada por:
f(x) = x + 1
essa função pega um número natural qualquer e leva no seu sucessor (veja tabela abaixo).
Conjunto A = N Conjunto B = N
0 f(0) = 0 + 1 = 1
1 f(1) = 1 + 1 = 2
2 f(2)= 2 + 1 = 3
3 f(3) = 3 + 1 = 4
4 f(4) = 4 + 1 = 5
Vamos ver qual é o conjunto domı́nio e imagem dessa função.
Dom(f) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....} = N
pois a função assim definida existe para qualquer número natural. Já a imagem da função f é o
conjunto
Im(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ....} = N∗
e, dessa forma, podemos observar que a imagem é um subconjunto dos números naturais, ou seja,
Im(f) ⊂ B = N.
Como vimos no exemplo acima, a imagem de uma função f : A −→ B pode ser um subconjunto
de B, isto é, Im(f) ⊆ B. O domı́nio também pode ser um subconjunto de A. Por exemplo, se
definimos uma função f : R −→ R como sendo
f(x) =
1
x
a função existe (fornece um valor real) para todo valor de x 6= 0. Observe que, se x = 0 a função
não existe pois
f(0) =
1
0
=⇒ ABSURDO
8
e, dessa maneira, seu domı́nio será um subconjunto dos números reais, ou seja:
Dom(f) = {x ∈ R | x 6= 0}.
Questão 1 Encontre o domı́nio e a imagem das funções reais (f : R −→ R) abaixo:
(a) f(x) =
1
x + 1
.
(b) f(x) =
x
x − 3
(c) f(x) = 2x
(d) f(x) =
x2 + 2x + 1
x + 1
(e) f(x) = x
(f) f(x) = x2 + (47)x
Definição 3 Uma função f : A −→ B é dita sobrejetiva se Im(f) = B, injetiva se Dom(f) = A
e para todo x1, x2 ∈ A tal que f(x1) = f(x2) então x1 = x2. Finalmente, f é uma bijeção se ela é
injetiva e sobrejetiva.
Questão 2 De acordo com a definição acima, exiba exemplos de funções reais (f : R −→ R) que
são sobrejetivas, injetivas, bijeção e nenhuma dessas.
1.1 Problemas
Problema 1 O custo de produção de x unidades de um produto é uma função C que depende
das unidades produzidas. Dessa maneira, se C(x) = x2 e, cada produto é vendido por R$ 100, 00.
Encontre a função lucro (L(x)) e escreva seu domı́nio e sua imagem. Além disso, verifique se a
afirmação “quanto mais se vende mais se ganha”é verdadeira nesse caso.
9
Problema 2 Em um investimento cuja taxa de juros é i, investe-se um capital C mensalmente,
i.e, todo mês coloca-se C no investimento. O montante investido M , se o capital e a taxa de juros
são fornecidos, será uma função do tempo de investimento, ou seja M = M(t). Encontre a função
M , seu domı́nio e sua imagem.
Problema 3 José faz um empréstimo bancário de x reais e decide quita-lo em parcelas fixas de C
reais sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros mensal desse investimento é i, o saldo devedor
D é uma função do tempo desse parcelamento, i.e, D = D(t). Encontre a função D e exiba seu
domı́nio e sua imagem. Como seria essa função se ele decide quitar essa d́ıvida com entrada?
Todos esses problemas são de fundamental importância em matemática financeira, ferramenta
muito útil na vida diária de um administrador de empresas. Portanto, pesquise sobre situações
reais dos Problemas 2 e 3.
1.2 Tipos de funções de nosso interesse
O objetivo dessa seção é definir as principais funções que serão estudadas no curso. Algumas,
entretanto, só serão mencionadas devido a sua complexidade inicial mas, posteriormente, serão
estudadas de maneira apropriada.
Definição 4 Uma função real f : R −→ R é dita polinomial de grau n, onde n ∈ N se ela for do
tipo
f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + .... + anx
n,
com ai ∈ R para todo i = 0, 1, 2, 3, ..., n e an 6= 0.
Como um primeiro exemplo de uma função polinomial temos que as funções f(x) = x2 + 2x − 1,
g(x) = 3x8 − 1 e h(x) = 4x6 − x4 + x são funções polinomiais de grau 2, 8 e 6, respectivamente.
Estaremos, em um primeiro instante, mais interessados nas funções polinomiais de primeiro e
segundo graus.
10
Definição 5 Uma função real f : R −→ R é dita exponencial de base b se ela for do tipo
f(x) = a bx,
com a 6= 0 e b ∈ {R+ − {1}}, ou seja, b > 0 e b 6= 1.
Como um primeiro exemplo de função exponencial, as funções f(x) = 2x, g(x) = 4
(
1
3
)x
são
funções exponenciais de base 2 e 1
3
, respectivamente.
As funções log e as trigonométricas também serão alvo de nosso estudo mas serão definidas em
um momento mais oportuno.
1.3 Raiz de uma função real
O objetivo dessa seção é definir o que é a raiz de uma função real e suas aplicações.
Definição 6 Seja f : R −→ R uma função real, um número real xr é uma raiz de f se
f(xr) = 0.
Exemplo 3 Encontre uma raiz da função f(x) = x2 − 3x + 2.
Solução: Sem saber, a priori, como encontrar uma raiz dessa equação podemos observar que os
pontos 1 e 2 são ráızes dessa função, pois
f(1) = 12 − 3 · 1 + 2 = 0.
f(2) = 22 − 3 · 2 + 2 = 0.
ou seja, para encontrar as ráızes de uma função basta iguala-la a 0.
11
1.3.1 Raiz de uma função polinomial de grau 1
De acordo com a Definição 4 uma função polinomial de grau 1 pode ser escrito como
f(x) = ax + b, a 6= 0.
Dessa maneira. para encontrar uma raiz dessa função basta iguala-la a 0 ou seja, devemos encon-
trar o valor de x para o qual f(x) = 0. Logo:
f(x) = 0
ax + b = 0
ax = −b
x = − b
a
Exemplo 4 Encontre a raiz da função real f(x) = 3x − 1.
Solução: como vimos, para encontrar a raiz de uma função basta iguala-la a zero, dessa maneira:
3x − 1 = 0
3x = 1
x =
1
3
.
Se o leitor não acredita que a raiz é realmente igual a 1/3 basta verificar:
f
(
1
3
)
= 3
1
3
− 1 = 0.
1.3.2 Raiz de uma função polinomial de grau maior que 1
Começaremos com a raiz de uma função polinomial de grau 2
De acordo com a Definição 4 uma função polinomial de grau 2 pode ser escrita como
f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0. (1.1)
12
Uma observação importante é que uma função polinomial de grau 1 possui apenas 1 raiz. Entre-
tanto, uma função polinomial de grau 2 possui 2 ráızes1.
De acordo com a Equação (1.1), temos que:
ax2 + bx + c = 0
e, dessa maneira, as ráızes são dadas por:
x1 =
−b +
√
∆
2a
e x2 =
−b −
√
∆
2a
(1.2)
onde,
∆ = b2 − 4ac. (1.3)
É importante ressaltar que a demonstração da validade da Equação (1.2) não é o objetivo desse
texto mas, para o leitor curioso seria importante verificar esse fato substituindo as expressões de
(1.2) na Equação (1.1).
Exemplo 5 Encontre as ráızes da função polinomial de grau 2 abaixo:
f(x) = x2 − 1
Solução: Raiz de f :
Nesse caso, podemos observar que a = 1, b = 0 e c = −1. Logo, de acordo com (1.3) temos que:
∆ = 02 − 4 · 1 · (−1) = 4
e, pela Equação (1.2) obtemos as ráızes:
x1 =
−0 +
√
4
2 · 1 = 1 e x2 =
−0 −
√
2
2 · 1 = −1
1Veremos que essas ráızes podem ser iguais ou até mesmo não serem números reais mas, matematicamente
falando, a função continua possuindo duas ráızes.
13
Questão 3 Encontre as ráızes reais (se existirem) das funções polinomiais de grau 2 abaixo:
g(x) = 3x2 − 2x + 1 h(x) = x2 + 2x + 1
Questão 4 Mostre que se f é uma função polinomial de grau dois e x1 e x2 são duas ráızes de f
então f(x) pode ser escrita como:
f(x) = a(x − x1)(x − x2).
1.4 Problemas
Problema 4 No problema 1 encontramos a função lucro, L(x), de x unidades vendidas. Nesse
caso, encontre o número de unidades vendidas tal que o lucro é 0.
Problema 5 José compra uma geladeira que custa à vista R$ 900, 00 mas decide parcelar em 2
vezes de R$460, 00 sem entrada. Qual a taxa de juros mensal cobrada pela loja?
Problema 6 Mostre que uma função exponencial de base qualquer não possui raiz.
Problema 7 Em um investimento, cuja taxa de juros é i que se aplica um capital C, é uma
função M que depende do tempo dada por:
M(t) = C(1 + i)t
observe que essa é uma função exponencial de base 1 + i. Dessa maneira, se i = 1% a.m e o
capital é igual a R$100, 00 qual será o montante após 15 meses e 6 dias de investimento?
1.5 Composição de Funções
Definição 7 Dadas duas funções reais f : R −→ R e g : R −→ R definimos a composição de f
com g por:
f ◦ g(x) = f(g(x)).
14
Como um primeiro exemplo, considere as funções f(x) = x2 e g(x) =
1
x
. Dessa maneira, obtemos:
f ◦ g(x) = f(g(x))
= (g(x))2
=
(
1
x
)2
=
1
x2
Questão 5 Encontre f ◦ g(x) e g ◦ f(x) seu domı́nioe sua imagem para as funções f e g abaixo:
(a) f(x) = x + 1 e g(x) = 2x;
(b) f(x) = x2 + 2x + 1 e g(x) = 1;
(c) f(x) = x2 + 3x + 1 e g(x) =
1
x
+ 1;
(d) f(x) = x3 e g(x) = x7.
O estudo de funções compostas, apesar da aparente facilidade com que encontramos as composta
de duas funções tem um papel importante no próximo tópico que abordaremos.
1.6 Função Inversa
Definição 8 Dadas duas funções reais f e g, dizemos que g é a inversa de f (notação: g = f−1)
se para todo x ∈ Dom(f) temos que g ◦ f(x) = x.
Exemplo 6 Seja f : R −→ R uma função dada por:
f(x) = x + 1
Se definimos uma função g(x) = x − 1 podemos observar que:
g ◦ f(x) = g(f(x))
= f(x) − 1
= (x + 1) − 1
= x
15
Logo, g(x) = f−1(x).
Verifique que f = g−1, ou seja, f ◦ g(x) = x.
Conforme mostramos acima, para encontrar a função inversa de f , basta fazer f(g(x)) = x. Se
for posśıvel encontrar a função g, então, g é a inversa da f (g = f−1).
Questão 6 Encontre, se posśıvel, f−1 para as funções reais abaixo:
(a) f(x) =
1
x + 1
;
(b) f(x) =
x2
x − 1 (sugestão: use divisão de polinômios);
(c) f(x) =
√
x;
(d) f(x) = x2 + x + 1;
(e) f(x) = x.
1.6.1 A função Logaŕıtmo - a inversa da Exponencial
De acordo com a Definição 5, uma função exponencial de base b > 0 e 6= 1 é uma função do tipo2:
f(x) = bx. (1.4)
Logo, se existir uma função inversa para exponencial, ela deve satisfazer a
f(g(x)) = x (1.5)
e, pelas Equações (1.4) e (1.5) obtemos:
bg(x) = x.
A pergunta agora é: como definir essa função inversa da exponencial? A resposta para essa
pergunta se encontra não demorará a aparecer.
2Faremos a = 1 por questões de simplicidade.
16
Definição 9 Seja b > 0 e 6= 1. Definimos a função logaŕıtmo de base b como sendo uma função
cujo domı́nio é R+ dada por:
g(x) = logbx.
A função assim definida possui a seguinte propriedade:
• se logbx = y, então x = by.
De acordo com a definição acima, é importante verificar algumas consequências dessa função.
logb1 = 0
pois, se logb1 = y pela propriedade definida acima 1 = b
y e, dessa maneira, y = 0. Além disso,
obtemos
logbb = 1
pois, se logbb = y pela propriedade definida acima b = b
y e, dessa maneira, y = 1.
Problema 8 Verifique as seguintes afirmações abaixo:
(a) logba
x = x logba
(b) logb(c · d) = logbc + logbd
Proposição 1.1 A função logaŕıtma na base b (g(x) = logbx) é a inversa da função exponencial
de base b (f(x) = bx). Além disso, o contrário também é verdadeiro, ou seja, g(x) = f−1(x) e
f(x) = g−1(x).
Prova: Primeiramente, vamos mostrar que g = f−1. Como foi visto, basta mostrar que f(g(x)) =
x. Logo, pelas definições de f e g obtemos:
f(g(x)) = blogbx
17
e, se tomarmos o logaŕıtmo na base b de ambos os lados da igualdade acima obtemos:
logbf(g(x)) = logbb
logbx
= (logbx) · logbb
= (logbx) · 1
= (logbx)
onde, a segunda igualdade segue do ı́tem (a) do Problema 8 e a terceira igualdade segue do fato
que logbb = 1.
Ora, se
logbf(g(x)) = logbx
temos que f(g(x)) = x e, dessa maneira, g = f−1.
Agora, vamos mostrar que f = g−1. Como foi visto, basta mostrar que g(f(x)) = x. Logo, pelas
definições de f e g obtemos:
g(f(x)) = logbb
x = x logbb = x
onde, a segunda igualdade segue do ı́tem (a) do Problema 8 e a terceira igualdade segue do fato
que logbb = 1.
Existem algumas funções logaŕıtmas e exponenciais especiais. A primeira delas envolve um número
bastante importante em matemática que é o número de Euler e. Esse número e é um número
irracional e é, aproximadamente, e ≈ 2, 7182... e, por questões de simplicidade denotaremos as
funções exponenciais e logaŕıtmas de base e simplesmente por:
f(x) = ex g(x) = ln(x) ≡ logex.
Convenciona-se também que para se escrever uma função logaŕıtma na base 10 a base não precisa
ser escrita explicitamente, ou seja:
log x = log10x.
Problema 9 Suponha que a população de um determinado munićıpio cresça de acordo com a
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função:
P (t) = 2k t
onde, P (t) é a quantidade de pessoas em t anos e k é um número positivo qualquer. Sabe-se que,
em 12 anos, a população será de 10.000 habitantes. Em quanto tempo a população será de 20.000
habitantes?
Problema 10 Sabe-se que log2(ab
2) = 3 e que log3(a
2b) = 7. Encontre os valores de a e b.
Problema 11 Uma ferramenta importante quando trabalhamos com funções logaŕıtmas é a mu-
dança de base. Sejam a, b e c números reais positivos tais que b 6= 1 e c 6= 1. Então,
logba =
logca
logcb
.
Use esse fato para encontrar log 7 sabendo que ln(7) = 1, 94 e ln(10) = 2, 30.
Problema 12 Em um investimento cuja taxa de juros é i = 1% a.m um capital C é investido. Em
quanto tempo o dinheiro investido dobra? Generalize esse fato mostrando que em um investimento
qualquer o dinheiro dobra no tempo:
t =
log(2)
log(1 + i)
.
Podemos ir além. Mostre que, se o capital aumenta em um tempo t uma proporção α isto é,
passados t o montante é αC, então o tempo necessário para isso acontecer é:
t =
log(α)
log(1 + i)
Problema 13 Encontre o domı́nio e a raiz da função
f(x) = ln(x2 + x + 1).
19
Caṕıtulo 2
O Plano Cartesiano
Para identificar um ponto no plano (duas dimensões) precisamos de uma origem e duas coorde-
nadas (por exemplo, ande para a direita e para frente). Dessa maneira, podemos chamar essas
duas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada). O conjunto de dois números reais em uma determi-
nada ordem, forma um par ordenado1 (x, y). Assim, por exemplo, o ponto (2, 3) representa x = 2
e y = 3 (veja Figura 2.1.)
-1 -0.5 0.5 1
Eixo x
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
Eixo y
Figura 2.1: O plano coordenado xy mostrando 3 pontos: (1, 0), (0.5, 1) e (−1,−2).
Maiores propriedades envolvendo esse plano serão vistas posteriormente pois agora, veremos
provavelmente a parte mais importante dessa disciplina: gráfico de funções reais.
Definição 10 Seja f : R −→ R uma função real. Defini-se o gráfico de f como sendo o conjunto
1Essa plano é muitas vezes chamado de R2 por ser o produto cartesiano R × R
20
de pontos do plano xy tais que y = f(x). Mais especificamente:
Grafico de f = {(x, y) | y = f(x)}.
2.1 Gráfico de uma função polinomial de grau 1
Como vimos na Definição 4, uma função polinomial de grau 1 é uma função do tipo f(x) = ax+b.
Logo, seu gráfico é o conjunto dado por
Grafico de f = {(x, y) | y = f(x)}.
ou seja, para cada x associamos y = f(x) = ax + b e, dessa maneira, o gráfico de f é o conjunto
de pontos (x, ax + b) representados no plano xy.
Observação: Em muitos livros e nos slides da FGV a função é muitas vezes escrita como y =
mx + b (troca-se o a por m) e, dessa maneira, adotaremos essa notação.
Exemplo 7 Faça o gráfico da função f(x) = 3x + 1.
Solução: Observe que, nesse caso, m = 3 e b = 1. Tabelaremos o valor de y = f(x) para alguns
valores de x
x y=ax+b
-1 3(-1)+1=-2
0 3(0)+1=1
1 3(1)+1=4
Os pontos encontrados acima, são pontos do gráfico de f e podem ser representados no plano
cartesiano (veja Figura 2.2)
Usando de muita boa vontade e paciência, podemos representar uma quantidade grande de pontos
do gráfico dessa função como, por exemplo, representa a Figura 2.3. Essa figura indica que o gráfico
dessa função é uma reta, o que de fato é verdade para qualquer função polinomial de primeiro
grau. Dessa maneira, o gráfico dessa função é representado na Figura 2.4.
21
-1 -0.5 0.5 1
Eixo x
-2
-1
1
2
3
4
Eixo y
Figura 2.2: Mostra os pontos (−1,−2), (0, 1) e (1, 4) do gráfico de y = 3x + 1.
-1 -0.5 0.5 1
Eixo x
-2
-1
1
2
3
4
Eixo y
Figura 2.3: Mostra vários pontos do gráfico de y = 3x + 1.
Como vimos no exemplo anterior, o gráfico de uma função polinomial de primeiro grau é uma
reta. Dessa maneira, como por dois pontos passa uma única reta, para representar o gráfico dessa
função precisaremos apenas de encontrar 2 pontos desse gráfico.
Exemplo 8 Faça o gráfico de y = −x + 2.
Solução: Como precisamosencontrar apenas dois pontos, existem dois, em particular, que são
de suma importância: a raiz da equação (que, graficamente, é o ponto em que o gráfico corta o
eixo x) e o valor de y para o qual x = 0 (que, graficamente, é o ponto em que o gráfico corta o
eixo y).
22
-3 -2 -1 1 2 3
Eixo x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Eixo y
Figura 2.4: Gráfico de y = 3x + 1.
Encontramos a raiz fazendo y = 0. Logo:
−x + 2 = 0 =⇒ −x = −2 =⇒ x = 2.
e, dessa maneira, o ponto (−2, 0) é um ponto do gráfico.
Agora, fazendo x = 0 obtemos
−0 + 2 = y =⇒ y = 2
e, dessa maneira, o ponto (0, 2) é um ponto do gráfico.
Portanto, obtemos o gráfico, ligando esses dois pontos (veja Figura 2.5).
-3 -2 -1 1 2 3
Eixo x
-1
1
2
3
4
5
Eixo y
Figura 2.5: Gráfico de y = −x + 2.
Problema 14 Faça o gráfico das funções abaixo:
23
(a) y = 5x −
√
3;
(b) y = x −
√
3;
(c) y = x;
(d) y = 10x − 1;
(e) y = x − 4.
2.1.1 A equação da reta
Como vimos, toda função do tipo y = mx + b tem o gráfico representado por uma reta e, fizemos
isso, encontrando dois pontos que pertenciam ao gráfico da função e traçamos uma reta passando
por eles. Agora faremos o contrário, ou seja, dados dois pontos e uma reta que passa por eles,
encontraremos qual a função cujo o gráfico é essa reta. Essa função será denominada equação da
reta que passa por esses pontos. Começaremos com um exemplo simples.
Exemplo 9 Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (0,−1).
Solução: Devemos encontrar uma equação do tipo y = mx + b, cujo o gráfico é uma reta, que
passa por esses pontos. Dessa maneira, se o ponto A pertence à essa reta, ele deve satisfazer a
equação da mesma, ou seja:
3 = m · 1 + b =⇒ m + b = 3 (2.1)
onde, substituimos na equação y = mx + b os valores de x e y referentes ao ponto A, ou seja,
x = 1 e y = 3.
Agora, como B = (0,−1) também é um ponto da reta temos
−1 = m · 0 + b =⇒ b = −1 (2.2)
logo, pelas Equações (2.1) e (2.2) obtemos:
m − 1 = 3 =⇒ m = 4
24
e, dessa maneira, a equação da reta que passa pelos pontos A e B é dada por:
y = 4x − 1.
A Figura 2.6 ilustra esse fato.
-3 -2 -1 1 2 3
Eixo x
-10
-5
5
10
Eixo y
Figura 2.6: Gráfico de y = 4x − 1.
Problema 15 Encontre a equação da reta que passa pelos pontos:
(a) A = (0, 1) e B = (6, 6);
(b) A = (3, 1) e B = (
√
2,−3);
(c) A = (0, 0) e B = (1, 1);
(d) A = (0, 1) e B = (−1, 1);
(e) A = (1, 0) e B = (1, 4).
e faça seu gráfico.
Observação: Na equação y = mx + b, os valores de m e b são chamados, respectivamente,
de coeficiente angular e coeficiente linear. Esse fato será compreendido posteriormente quando
tratarmos de funções trigonométricas.
25
2.2 Gráfico de uma função polinomial de grau 2
Pela Definição 4, uma função polinomial de grau 2 é uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c. O
objetivo dessa seção é construir o gráfico de funções desse tipo. Começaremos com um exemplo.
Exemplo 10 Faça o gráfico da função f(x) = x2 − 1.
Solução: Tabelaremos o valor de y = f(x) para alguns valores de x
x y = ax2 + bx + c
−1 (−1)2 − 1 = 0
0 02 − 1 = −1
1 12 − 1 = 0
Os pontos encontrados acima, são pontos do gráfico de f e podem ser representados no plano
cartesiano (veja Figura 2.7).
-1 -0.5 0.5 1
Eixo x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
Eixo y
Figura 2.7: Pontos da tabela acima.
Com boa vontade e um belo programa de computador, podemos representar vários pontos do
gráfico dessa função (veja Figura 2.8) e, dessa maneira, podemos visualizar esse gráfico como
sendo uma parábola.
26
-3 -2 -1 1 2 3
Eixo x
2
4
6
8
Eixo y
-3 -2 -1 1 2 3
Eixo x
2
4
6
8
Eixo y
Figura 2.8: Pontos do gráfico da função y = f(x) = x2 − 1 e gráfico da função y = x2 − 1.
Na verdade, toda função polinomial de grau 2 tem um gráfico que é uma parábola. Forneceremos,
agora, um método simples para plotar esse gráfico.
Como o gráfico é uma parábola precisaremos dos seguintes pontos: as ráızes da equação, o ponto
em que o gráfico toca o eixo y (faz-se x = 0 e acha o valor de y) e o ponto de mı́nimo ou máximo
da função que, entenderemos o motivo em Matemática II, que é dado por:
(
− b
2a
,−∆
4a
)
.
Exemplo 11 Faça o gráfico de y = f(x) = −x2 + 1.
Solução: Primeiramente encontraremos as ráızes (veja Seção 1.3). Dessa maneira, fazendo y = 0:
−x2 + 1 = 0.
Observe que, nesse caso: a = −1, b = 0 e c = 1. Logo:
∆ = b2 − 4ac = 4
27
e as ráızes são:
x1 =
−b +
√
∆
2a
= −1 x2 =
−b −
√
∆
2a
= 1
e, dessa maneira, os pontos serão (−1, 0) e (1, 0) (observe que, por definição, a raiz de uma equação
é o valor de x para o qual y = 0).
O outro ponto que precisaremos, como foi mencionado, é o valor de y para o qual x = 0. Logo:
y = −02 + 1 = 1
e, dessa maneira, o terceiro ponto que precisaremos é (0, 1)
Finalmente, o último ponto necessário para fazer o gráfico dessa função é:
(
− b
2a
,−∆
4a
)
=
(
− 0
2(−1) ,−
4
4(−1)
)
= (0, 1).
Representando esses pontos no plano cartesiano, obtemos a Figura 2.9. Ligando esses pontos de
-1 -0.5 0.5 1
Eixo x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eixo y
Figura 2.9: Pontos do gráfico da função y = f(x) = −x2 + 1.
tal maneira que forme uma parábola, obtemos uma parábola cuja concavidade é voltada para
baixo (veja Figura 2.10).
Para fazer o gráfico de uma função polinomial de grau 2, y = ax2 + bx + c basta seguir o que foi
feito no exemplo anterior observando que, se a > 0 a concavidade é voltada para cima e, se a < 0
a concavidade é voltada para baixo.
28
-3 -2 -1 1 2 3
Eixo x
-8
-6
-4
-2
Eixo y
Figura 2.10: Gráfico da função y = f(x) = −x2 + 1.
Problema 16 Faça o gráfico das funções polinomiais do segundo grau abaixo:
(a) y = x2 + x − 1;
(b) y = −3x2 + x − 1;
(c) y = −x2 + 4x − 1;
(d) y = x2 + x + 1;
(e) y = −x2 − x − 1.
2.3 Gráfico de outros tipos de função
O gráfico da função logbx tem sempre o mesmo formato independente da base b. Primeiramente,
observe que se x = 1 temos que logb1 = 0 pois, pela definição de logaŕıtmo, b
0 = 1. Isso implica
que 1 é raiz da função logbx (geometricamente, a raiz é o ponto em que o gráfico da função corta
o eixo x).
Agora, vamos ver como essa função se comporta se x < 1. Dessa maneira, pela definição de
logaŕıtmo:
logbx = y =⇒ x = by
29
e, dessa forma, se x < 1 necessariamente, y < 0 o que implica que logbx < 0. Da mesma forma,
se x > 1 observamos que logbx > 0. A figura 2.11 mostra o cálculo de log(x) para vários valores
de x.
2 4 6 8 10
-2
-1
1
2
Figura 2.11: Figura mostrando alguns pontos do gráfico da função f(x) = ln(x).
Logo, o gráfico de uma função logaŕıtma de base b é sempre dado por:
2 4 6 8 10
-2
-1
1
2
Figura 2.12: Figura mostrando o gráfico da função f(x) = ln(x).
Problema 17 Verifique que os gráficos das funções f(x) = 3x, g(x) = 2−x, h(x) = x3, k(x) = x4
sao dados, respectivamente, por
30
-2 -1 1 2
2
4
6
8
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-2 -1 1 2
-0.15
-0.1
-0.05
0.05
0.1
0.15
-2 -1 1 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2.4 Problemas
Problema 18 Sabe-se que uma indústria produz, no máximo, 100 unidades de um certo produto.
Seja x a quantidade de produto produzida e C(x) o custo de produção de x produtos, sabe-se que o
custo de 10 unidades de produto é 700 reais e que o custo de 90 é 850 reais. Sabendo que o custo
depende linearmente da quantidade de produto produzida (o gráfico de C(x) é uma reta), encontre
a função C(x) e faça seu gráfico.
Problema 19 Um certo investimento, cuja taxa de juros é i, tem o montante dado por:
M(t) = C log2(1 + i)
t
Se i = 1% e o capital investido é C = 100, faça o gráfico da função montante.
Problema 20 Um investimento submetido a uma taxa de juros simples tem um montante, M(t)
dado por:
M(t) = C + Cit.
31
e, submetido a uma taxa de juros compostos é dado por:
M(t) = C(1 + i)t.
Se C e i são constante (o que acontece na prática,pois em todo investimento o capital e a taxa
de juros são pré determinadas), esboce em um mesmo plano cartesiano a funções montante para
o juros simples e compostos.
Sugestão: observe que o montante é uma função do tempo (M=M(t)).
Problema 21 Uma função polinomial do segundo grau, possui um valor máximo de 10 e duas
ráızes iguais a −1 e 2, respectivamente. Qual é essa função?
Problema 22 Uma fábrica de tênis produz uma quantidade x de produto a um custo C(x) = 30x.
Uma loja de calçados compra x unidades de produtos a R$40, 00 cada e revende a R$80, 00 cada.
Encontre a função lucro da loja e faça seu gráfico.
Problema 23 O lucro de uma determinada empresa depende de sua quantidade de funcionários,
x. Sabendo-se que o lucro é dado por:
L(x) = −x2 + 150x.
Se a empresa possui 100 funcionários, quantos funcionários deverão ser demitidos para que seu
lucro seja máximo? Qual o lucro nessa situação?
2.5 Estudo do sinal de uma função
Seja f : R −→ R uma função real, estudar o sinal dessa função é encontrar para quais valores de
x, f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0.
2.5.1 Estudo do sinal de uma função polinomial de grau 1
Como vimos, uma função polinomial de grau 1 é uma função do tipo y = f(x) = mx + b. Dessa
maneira, para fazermos o estudo do sinal dessa função devemos, simplesmente, encontrar os valores
32
de x para os quais y = f(x) > 0, y = f(x) < 0 e y = f(x) = 0. Logo, os valores de x para os
quais y é maior que 0 é dado por:
mx + b > 0 ⇒ mx > −b ⇒ x > − b
m
.
Usando o mesmo racioćınio podemos encontrar os valores de x para os quais y < 0 e y = 0 e são
dados, respectivamente por:
x < − b
m
e x = − b
m
.
Exemplo 12 Estude o sinal das funções f(x) = 3x + 1 e g(x) = −x + 1.
Solução: Graficamente, podemos estudar o sinal das funções f e g. A Figura 2.13 mostra que
f(x) > 0 se x > −1
3
e é menor ou igual a 0 se x ≤ −1
3
.
-3 -2 -1 1 2 3
Eixo x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Eixo y
Figura 2.13: Gráfico da função f(x) = 3x + 1. Observe que, em vermelho, mostra os valores de x
para os quais f é negativa e, em preto, os valores de x para os quais a função é positiva.
Já a Figura 2.14 mostra que g(x) > 0 se x < 1 e é menor ou igual a 0 se x ≥ 1.
Observe que, na prática, para estudar o sinal de uma função polinomial de primeiro grau, basta
encontrar a raiz e saber o sinal do coeficiente angular m. Se o sinal de m for positivo, a função será
positiva para todos os valores maiores que a raiz e, negativa, caso contrário. Se m for negativo, a
função será positiva para todos os valores menores que a raiz e, negativa, caso contrário.
33
-3 -2 -1 1 2 3
Eixo x
-2
-1
1
2
3
4
Eixo y
Figura 2.14: Gráfico da função f(x) = −x + 1. Observe que, em vermelho, mostra os valores de
x para os quais f é negativa e, em preto, os valores de x para os quais a função é positiva.
m<0
-
+ m>0 +
-
(a) (b)
Figura 2.15: Esboço do estudo de sinal da função y = mx + b.
2.5.2 Estudo de sinal de uma função polinomial de grau 2
Para estudar o sinal de uma função polinomial de grau 2 utilizaremos quatro exemplos. Posteri-
ormente, mostraremos um jeito fácil de resolver esse problema.
Primeiramente, considere a função f(x) = x2 − 1. É um exerćıcio usual verifcar que 1 e −1 são
ráızes dessa equação e que seu gráfico é representado na Figura 2.16.
Dessa maneira, podemos observar que a função f assim definida é menor do que zero2 (f(x) < 0)
se −1 < x < 1 (ou se preferir x ∈ (−1, 1) e ainda podemos identificar por x ∈] − 1, 1[). Além
2Parte vermelha do gráfico.
34
-4 -2 2 4
Eixo x
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Eixo y
Figura 2.16: Gráfico de y = x2 − 1. Observe que a parte em vermelho mostra os pontos do gráfico
em que y ≤ 0.
disso, a função f é maior do que zero3 (f(x) > 0) se x < −1 ou x > 1, em notação de intervalos
abertos, esse resultado se escreve como x ∈ (−∞,−1) ∪ (1, +∞).
Agora, vamos considerar a função f(x) = −x2 + 1 cujas ráızes são 1 e −1 mas cujo gráfico é
representado na Figura 2.17.
-4 -2 2 4
Eixo x
-15
-12.5
-10
-7.5
-5
-2.5
Eixo y
Figura 2.17: Gráfico de y = −x2 + 1. Observe que a parte em vermelho mostra os pontos do
gráfico em que y ≥ 0.
Dessa maneira, podemos observar que a função f assim definida é menor do que zero4 (f(x) < 0)
se x < −1 ou x > 1, em notação de intervalos abertos, esse resultado se escreve como x ∈
(−∞,−1) ∪ (1, +∞). Além disso, a função f é maior do que zero5 (f(x) > 0) se −1 < x < 1 (ou
3Parte preta do gráfico
4Parte vermelha do gráfico.
5Parte preta do gráfico
35
se preferir x ∈ (−1, 1) e ainda podemos identificar por x ∈] − 1, 1[).
O leitor atento deve ter percebido que, para estudar uma função polinomial de grau 2 só precisamos
saber suas ráızes e sua concavidade. Se a concavidade é voltada para cima, como é o caso da
primeira função, esta será negativa no intervalo entre suas ráızes e positiva caso contrário.
Agora, se a concavidade é voltada para baixo, como é o caso da segunda função, esta será positiva
no intervalo entre suas ráızes e negativa caso contrário (veja Figura 2.18).
-
+ +
a>0
+
- -
a<0
(a) (b)
Figura 2.18: Estudo de sinal de uma função polinomial de grau 2 (y = ax2 + bx + c) que possui 2
ráızes reais. Na letra (a) temos a > 0 que resulta em concavidade voltada para cima; na letra (b)
temos a < 0 que resulta em concavidade voltada para baixo.
Se uma função polinomial não possui raiz real então o gráfico de f não toca o eixo x. Dessa
maneira, ou ela é toda positiva (a > 0) ou ela é toda negativa (a < 0) conforme ilustra a Figura
2.19.
2.5.3 Estudo de sinal de outros tipos de função
Para o caso de outros tipos de função, cada caso é um caso. Por exemplo, para a função f(x) =
x3 − 1, os valores de x para o qual ela é igual a 0 é claramente, x = 3
√
1 = 1 e ela é maior que zero
se x > 1 e menor que zero se x < 1, conforme ilustra a Figura 2.20.
Dessa maneira, não tem como generalizar as idéias de estudo de sinal de outros tipos de funções,
como foi feito para as polinomiais de primeiro e segundo graus.
36
++ +
a>0
-- -
a<0
(a) (b)
Figura 2.19: Estudo de sinal de uma função polinomial de grau 2 (y = ax2 + bx + c) que não
possui ráızes reais. Na letra (a) temos a > 0 que resulta em concavidade voltada para cima; na
letra (b) temos a < 0 que resulta em concavidade voltada para baixo.
-4 -2 2 4 6
Eixo x
-4
-2
2
4
Eixo y
Figura 2.20: Gráfico da função f(x) = x3 − 1.
2.6 Problemas
Problema 24 Estude o sinal das seguintes funções:
(a) f(x) = x2 + x + 1;
(b) f(x) = −x2 + x − 1;
(c) f(x) = x2 + 10x;
(d) f(x) = −x2 + 7x;
37
(e) f(x) = x + 1;
(f) f(x) = −x + 2.
Problema 25 O custo de produção de x unidades de um determinado produto é dado por C(x) =
x e o lucro é dado por L(x) = x2 +1. Encontre o preço de venda de x unidades de produto (V (x)).
Para quantas unidades vendidas o lucro é maior ou igual a R$100, 00?
Problema 26 José possui p reais. Sabe-se que Maria possui o dobro de José mais 1 real e Manoel
possui o quadrado do que Maria tem menos 1 real. Os três juntos decidem comprar uma bicicleta
no valor de R$570, 00. Qual o valor que José deve ter para que eles possam comprar a bicicleta?
Problema 27 O montante de um certo investimento é uma função que cresce exponencialmente
com o tempo e é dada por:
M(t) = Cet
3+1
onde, C é o capital investido anteriormente e t é o tempo em meses. Em quanto tempo o capital
quadruplica? Se C = 1000, para quais valores de t o montante é menor ou igual a R$1.000.000, 00?
Problema 28 Resolva as inequações abaixo:
(a)
x2 − 1
x − 2 ≥ 0;
(b)
x2 + x + 1
x2 − 1 ≥ 2;
(c)
x2 − 1
x − 2 ≤ 0;
(d)
ln(x)
x2 − 4 < 0;
(e)
ln(x)
x2 − 4 > 0;
(f) e−x
2+x+5 > 10.
38
2.7 A função modular
Definição 11 Uma função modular (ou simplesmente módulo) é uma função real f : R −→ R
definida por:
f(x) = |x| ≡
{
x se x ≥ 0
−x se x< 0
Observe que a função definida acima possui apenas imagem positiva. Por exemplo, f(1) = |1| = 1
pois, como x = 1 é positivo, a função retorna o próprio valor de x. Entretanto, observe que
f(−1) = | − 1| = −(−1) = 1 pois, como x = −1 é um número negativo, a função retorna o valor
de −x, ou seja ela transforma o número negativo em positivo6.
Agora, podemos nos perguntar como faremos o gráfico de uma função desse tipo. A resposta é
muito simples: consideraremos a função definida acima f(x) = |x|. Como o módulo | · | transforma
o que está em seu interior no número positivo correspondente, basta fazer o gráfico de y = x e
refletir a imagem negativa para a parte positiva (conforme ilustra a Figura 2.21). De acordo com
o que foi feito, podemos fazer o gráfico de várias funções modulares.
Exemplo 13 Faça o gráfico da função f(x) = |x2 − 1|.
Solução: Como foi feito anteriormente, basta fazer o gráfico de y = x2 − 1 e refletir a imagem
negativa para a parte positiva (veja Figura 2.22).
2.7.1 Inequações envolvendo funções modulares
Quando tratamos de inequações envolvendo funções modulares, devemos tomar o cuidado de
aplicar a definição de módulo (Definição 11). Vamos tratar desse assunto com um exemplo simples.
Exemplo 14 Encontre os valores de x para os quais |x2 − 1| > 1
2
.
6A função modular, ou simplesmente módulo, também é chamada de valor absoluto.
39
-2 -1 1 2
Eixo x
-2
-1
1
2
Eixo y
-2 -1 1 2
Eixo x
0.5
1
1.5
2
Eixo y
(a) (b)
-2 -1 1 2
Eixo x
-2
-1
1
2
Eixo y
(c)
Figura 2.21: (a) Gráfico da função y = x; (b) Gráfico da função |x|; (c) Os gráficos de (a) e (b)
juntos: observe que o gráfico de (b) é igual ao gráfico de (a) para y positivo e é o simétrico com
relação ao eixo x para imagem negativa (y < 0).
Solução: Como disse, devemos ter cuidado com a Definição 11 pois
|x2 − 1| =
{
x2 − 1 se x2 − 1 ≥ 0
−(x2 − 1) se x2 − 1 < 0 (2.3)
e, dessa maneira, existem duas possibilidades para |x2 − 1|. Vamos tratar cada possibilidade
separadamente.
1o caso: x2 − 1 ≥ 0
Nesse caso, de acordo com a Equação (2.3) temos:
|x2 − 1| = x2 − 1
e, dessa maneira, temos que resolver a inequação:
x2 − 1 > 1
2
⇒ x2 − 3
2
> 0
40
-2 -1 1 2
Eixo x
-1
1
2
3
Eixo y
-2 -1 1 2
Eixo x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Eixo y
(a) (b)
-2 -1 1 2
Eixo x
-1
1
2
3
Eixo y
(c)
Figura 2.22: (a) Gráfico da função y = x2−1; (b) Gráfico da função |x2−1|; (c) Os gráficos de (a)
e (b) juntos: observe que o gráfico de (b) é igual ao gráfico de (a) para y positivo e é o simétrico
com relação ao eixo x para imagem negativa (y negativo).
que possui ráızes
√
3
2
e −
√
3
2
(verifique) e, como a concavidade é voltada para cima, obtemos o
seu estudo de sinal como sendo o representado na Figura 2.23.
Logo, os valores de x que nos interessa são S1 = {x | x < −
√
3
2
ou x >
√
3
2
}.
Agora, não podemos nos esquecer da primeira hipótese, ou seja, x2 − 1 ≥ 0. Como as ráızes
dessa equação são +1 e −1 obtemos seu estudo de sinal dado pela Figura 2.24. Observe que os
valores de x que estamos interessados são os valores de x para o qual x2 − 1 ≥ 0 e, dessa maneira,
S2 = {x | x < −1 ou x > 1}.
Portanto, a solução desse primeiro caso é dada por S1 ∩ S2 ou seja
{x | x < −
√
3
2
ou x >
√
3
2
}.
41
++
-$ %%%%%%
3
����
2
$ %%%%%%
3
����
2
-
Figura 2.23: Estudo de sinal de x2 − 3
2
.
++
-1 1
-
Figura 2.24: Estudo de sinal de x2 − 1.
2o caso: x2 − 1 < 0
Nesse caso, de acordo com a Equação (2.3) temos:
|x2 − 1| = −(x2 − 1) = −x2 + 1
e, dessa maneira, temos que resolver a inequação:
−x2 + 1 > 1
2
⇒ −x2 + 1
2
> 0
que possui ráızes 1√
2
e 1√
2
(verifique) e, como a concavidade é voltada para baixo, temos que os
valores que nos interessam são os valores de x no conjunto S3 = {x | − 1√
2
< x < 1√
2
}.
Agora, não podemos nos esquecer da segunda hipótese, ou seja, x2 − 1 < 0. Como as ráızes
dessa equação são +1 e −1 obtemos seu estudo de sinal dado pela Figura 2.24. Observe que os
42
valores de x que estamos interessados são os valores de x para o qual x2 − 1 < 0 e, dessa maneira,
S4 = {x | − 1 < x < 1}.
Portanto, a solução do segundo caso é dada por S3 ∩ S4 ou seja
{x | − 1√
2
< x <
1√
2
}.
Agora, fazendo a união do primeiro e do segundo casos, obtemos que os posśıveis valores de x
para os quais |x2 − 1| > 1
2
são dados por:
{x | − 1√
2
< x <
1√
2
ou x < −
√
3
2
ou x >
√
3
2
}
Observação: É importante observar que resolvi o exemplo acima sem fazer uma análise gráfica
que faço em sala de aula. A abordagem em sala torna a solução dessa inequação bem mais fácil.
Faça tudo que foi feito anteriormente de uma maneira mais gráfica e menos teórica.
2.8 Problemas
Problema 29 Faça o gráfico das funções abaixo:
(a) f(x) = |4x2 + 4x + 1|
(b) f(x) = |ln(x)|
(c) f(x) = |x3|
(d) f(x) = e|x|
(e) f(x) = | − x2 + 4x + 1|
Problema 30 O custo de produção de um certo produto é dado por C(x) = |2x + 400|. Para
quantas unidades vendidas teremos C(x) ≥ 500?
43
2.9 Distância entre dois pontos e ponto médio de um seg-
mento
O objetivo dessa seção, apesar de não estar relacionada com funções, é abordar algumas carac-
teŕısticas do plano cartesiano. Falaremos de assuntos relativamente simples como distância entre
dois pontos e ponto médio de um segmento.
Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) vamos encontrar a distância entre A e B. Para tanto, considere
a Figura 2.25. Observe que o triângulo ABC é retângulo, cujos catetos medem x2 − x1 e y2 − y1.
Dessa maneira, pelo Teorema de Pitágoras obtemos:
[dist(A, B)]2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
logo:
dist(A, B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (2.4)
Figura 2.25: Figura ilustrando a distância entre os pontos A e B no plano cartesiano.
Exemplo 15 Encontre a distância entre os pontos A = (1,−3) e B = (−4, 5).
Solução: Pela Equação (2.4):
dist(A, B) =
√
(−4 − 1)2 + (5 − (−3))2 =
√
(−5)2 + (8)2 =
√
89.
44
Problema 31 Qual dos pontos abaixo é mais próximo do ponto (1,−5)? (Use distância entre
pontos para resolver esse exerćıcio).
A = (1, 78), B = (−3,−45), C = (1, 45).
2.9.1 Ponto médio de um segmento
Definição 12 Dados dois pontos A e B, o ponto médio do segmento AB é definido como sendo
um ponto M tal que
dist(A, M) = dist(M, B)
e, além disso, M é um ponto do segmento AB.
Agora, vamos ver como encontramos o ponto médio de um segmento AB qualquer. Dessa maneira,
sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2). Pela definição acima, o ponto médio do segmento AB é o ponto
que divide este segmento em dois pedaços iguais (veja Figura 2.26).
Figura 2.26: Ponto médio do segmento AB.
Mostraremos que as coordenadas do ponto médio do segmento AB possui coordenadas xm =
x1+x2
2
e ym =
y1+y2
2
ou seja, a abscissa do ponto médio é a média aritmética entre as abscissas de A e B
e a ordenada do ponto médio é a média aritmética das ordenadas de A e B.
45
Proposição 2.1 Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) dois pontos quaisquer do plano xy. Então, o
ponto médio do segmento AB possui coordenadas:
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
Prova: Denotaremos por (xm, ym) as coordenadas do ponto médio do segmento AB. Como, por
definição temos que dist(A, M) = dist(M, B), pela Equação (2.4):
√
(xm − x1)2 + (ym − y1)2 =
√
(x2 − xm)2 + (y2 − ym)2
e, elevando ambos os lados da igualdade acima ao quadrado obtemos:
(xm − x1)2 + (ym − y1)2 = (x2 − xm)2 + (y2 − ym)2
logo, desenvolvendo:
x2m − 2x1xm + x21 + y2m − 2y1ym + y21 = x2m − 2x2xm + x22 + y2m − 2y2ym + y22
−2x1xm + x21 − 2y1ym + y21 = −2x2xm + x22 − 2y2ym + y22 (2.5)
ora, como (xm, ym) é um ponto que pertence à reta que passa pelos pontos A e B temos que:
ym − y1
xm − x1
=
y2 − y1
x2 − x1
. (2.6)
Com um pouco de trabalho, isolando ym na Equação (2.6) e substituindo na Equação (2.5) en-
contramos
xm =
x1 + x2
2
e, dessa maneira, substituindo esse resultado na Equação (2.6) encontramosym =
y1 + y2
2
.
Problema 32 Encontre as coordenadas do ponto médio do segmento AB onde A = (3, 5) e
B = (1, 7).
46
Solução: Pela Proposição 2.1 obtemos que
M =
(
3 + 1
2
,
5 + 7
2
)
= (2, 6).
Problema 33 Encontre a distância do ponto médio do segmento que liga os pontos A = (5, 7) e
B = (3,−1) à origem (0, 0).
Problema 34 (Desafio) O baricentro de um triângulo ABC é, por definição, o ponto de encon-
tro de suas medianas. Se A = (xa, ya), B = (xb, yb) e C = (xc, yc) mostre que a coordenada do
baricentro do triângulo ABC é dada por:
(
xa + xb + xc
3
,
ya + yb + yc
3
)
Problema 35 Use o problema anterior para encontrar a coordenada do baricentro do triângulo
ABC, onde A = (1, 1), B = (1, 4) e C = (5, 4). Esse triângulo é retângulo?
47
Caṕıtulo 3
Funções Trigonométricas
O objetivo desse caṕıtulo é fazer uma breve revisão em funções trigonométricas.
Considere a circunferência de raio 1 centrada na origem (0, 0) mostrada na Figura 3.1.
Figura 3.1: Circunferência de raio 1 centrada na origem. Um ângulo x é mostrado. Ele é o
resultado da rotação no sentido anti-horário do raio da circunferência à partir do sentido positivo
de x. Essa figura é usualmente chamada de ćırculo trigonométrico.
De acordo com a Figura 3.1, o cosseno de x (notação: cos(x)) é definido como sendo a projeção
48
ortogonal do raio da circunferência girado de um ângulo x na direção do eixo x e, de maneira
análoga, o seno de x (notação: sen(x)) é definido como sendo a projeção ortogonal do raio da
circunferência girado de um ângulo x na direção do eixo y. Logo, redesenhando o triângulo
mostrado na Figura 3.1 encontraremos a primeira relação cos(x) e sen(x) (veja Figura 3.2):
cos2(x) + sen2(x) = 1. (3.1)
Figura 3.2: Triângulo retângulo que tem como hipotenusa o raio da circunferência (1) e catetos
como cos(x) e sen(x). Dessa maneira, pelo teorema de Pitágoras, obtemos o resultado da Equação
(3.1).
Outra observação importante é que tanto o cosseno como o seno nunca ultrapassam 1, isto é,
cos(x) ≤ 1 e sen(x) ≤ 1.
Vamos analisar o ćırculo trigonométrico de uma maneira mais numérica. Refazendo o gráfico
mostrado na Figura 3.1 (colocando ângulos) obtemos a Figura 3.3 e os seguintes resultados de
fácil observação:
Ângulo x cos(x) sen(x)
0o 1 0
90o 0 1
180o -1 0
270o 0 -1
360o 1 0
49
Figura 3.3: Ângulos no ćırculo trigonométrico.
Existem outros ângulos cujos valores de seno e cosseno são importantes, são eles:
Ângulo x cos(x) sen(x)
30o
1
2
√
3
2
45o
√
2
2
√
2
2
60o
√
3
2
1
2
É fácil observar no ćırculo trigonométrico que cos(x + 90o) = −cos(x) e sen(x + 90o) = sen(x)
(VERIFIQUE). Dessa maneira, por exemplo, cos(120o) = cos(30o + 90o) = −cos(30o) = −
√
3
2
,
e sen(120o) = sen(30o + 90o) = sen(30o) =
1
2
. Na verdade existe uma relação entre o seno e o
cosseno da soma de dois ângulos quaisquer:
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) (3.2)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b) (3.3)
50
Exemplo 16 Encontre o cos(75o) e sen(75o).
Solução: Observe que 75o = 45o + 30o. Logo:
sen(75o) = sen(45o + 30o)
= sen(45o)cos(30o) + sen(30o)cos(45o)
=
√
2
2
·
√
3
2
+
1
2
·
√
2
2
=
√
6 +
√
2
4
onde, a segunda igualdade segue da Equação (3.2).
Agora, vamos ao cálculo de cos(75o). Pela Equação (3.3):
cos(75o) = cos(45o + 30o)
= cos(45o)cos(30o) − sen(45o)sen(45o)
=
√
2
2
·
√
3
2
−
√
2
2
· 1
2
=
√
6 −
√
2
4
.
3.1 O surgimento de π
Se pegamos uma circunferência de qualquer diâmetro, D, e calculamos seu comprimento C o
quociente entre C e D será sempre constante. Esse resultado intrigou filósofos e cientistas durante
centenas de anos e, até hoje intriga boa parte das pessoas interessadas no assunto. A primeira
aproximação dessa constante foi feita pelos gregos e eles acharam, através de experimentos, que
a razão entre C e D seria de aproximadamente 3. Atualmente, sabe-se que essa constante na
verdade é um número conhecido por praticamente todas as pessoas alfabetizadas e é o número π.
Não tem muito tempo que foi provado que π é um número irracional e seu valor aproximado1 é
1Algumas pessoas que não tem mais o que fazer já calcularam o valor de π com até 4 bilhões de casas decimais.
O leitor tem que concordar que isso é completamente inútil.
51
de 3, 141592. Logo, resumindo tudo que foi dito:
C
D
= π.
Logo, como o diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio r temos que o comprimento de
uma circunferência de raio r é dado por:
C = 2πr.
O objetivo agora é encontrar uma relação entre ângulos e o número π. Para tanto, considere a
Figura 3.4. Essa figura, mostra que o comprimento de um arco de ângulo θ na circunferência é
dado por θr. Isso nos leva a concluir que se giramos esse ângulo de 360o o comprimento dessa
circunferência será de 2πr o que nos leva a inferir que 360o será equivalente2 à 2π radianos. Logo,
conclúımos que:
180o = π radianos.
Figura 3.4: O comprimento do arco ÂB é dado por θr.
2Quando um ângulo não é expresso em graus, chamamos esse ângulo de radiano.
52
Problema 36 Transforme para radianos o que estiver em graus e vice e versa os seguintes ângulos
abaixo:
(a) 175o;
(b) 369o;
(c) 49o;
(d)
π
5
;
(e)
3π
2
;
(f)
7π
5
.
A Figura 3.5 mostra a relação entre graus e radianos dos principais ângulos no ćırculo trigonométrico.
Figura 3.5: Equivalência entre graus e radianos no ćırculo trigonométrico.
53
Até o momento, só demos a definição do que vem a ser um ângulo positivo. Entretanto, por
convenção, existe a noção do que vem a ser um ângulo negativo. Observe que a definição de um
ângulo no ćırculo trigonométrico é girar o raio da circunferência no sentido anti-horário. Dessa
maneira, se girarmos esse raio no sentido horário, teremos por convenção, um ângulo negativo
(veja Figura 3.6).
Figura 3.6: Ângulo negativo no ćırculo trigonométrico.
Assim, por exemplo, o ângulo −π/2 é equivalente ao ângulo 3π/2 (verifique !!!).
3.2 Gráfico das funções Seno e Cosseno
O objetivo dessa seção é fazer, de uma maneira não rigorosa3, os gráficos das funções seno e
cosseno. Começaremos com o gráfico da função seno.
Observe que sen(0) = 0 e, a medida que o ângulo x cresce e se aproxima de π/2 a função sen(x)
também cresce e se aproxima do valor 1 = sen(π/2). Dessa maneira, o gráfico da função sen(x)
no intervalo [0, π/2] pode ser desenhado como mostra a Figura 3.7.
3A maneira correta de ser fazer o gráfico de funções desse tipo será estudado em Matemática II.
54
Figura 3.7: Gráfico da função sen(x) para x ∈ [0, π/2].
Agora, observe que sen(π/2) = 1 e, a medida que o ângulo x cresce e se aproxima de π a função
sen(x) decresce e se aproxima do valor 0 = sen(π). Dessa maneira, o gráfico da função sen(x) no
intervalo [0, π] pode ser desenhado como mostra a Figura 3.8.
Figura 3.8: Gráfico da função sen(x) para x ∈ [0, π].
Agora, observe que sen(π) = 0 e, a medida que o ângulo x cresce e se aproxima de 3π/2 a função
sen(x) decresce e se aproxima do valor −1 = sen(3π/2). Dessa maneira, o gráfico da função
sen(x) no intervalo [0, 3π/2] pode ser desenhado como mostra a Figura 3.9.
Finalmente, observe que sen(3π/2) = −1 e, a medida que o ângulo x cresce e se aproxima de 2π
a função sen(x) cresce e se aproxima do valor 0 = sen(2π). Dessa maneira, o gráfico da função
sen(x) no intervalo [0, 2π] pode ser desenhado como mostra a Figura 3.10. Ora, como a função
seno é uma função periódica, temos que o formato do gráfico se repete tanto para valores maiores
55
Figura 3.9: Gráfico da função sen(x) para x ∈ [0, 3π/2].
que 2π quanto para valores menores que zero. Dessa maneira, podemos representar o gráfico dessa
função como mostra a Figura 3.11
Figura 3.10: Gráfico da função sen(x) para x ∈ [0, 2π].
O gráfico da função cosseno é feito de maneiraanáloga (verifique) e pode ser representado como
mostra a Figura 3.12.
56
Figura 3.11: Gráfico da função sen(x) para x ∈ [−4π, 4π].
Figura 3.12: Gráfico da função cos(x) para x ∈ [−4π, 4π].
3.3 Outras funções trigonométricas
O objetivo dessa seção é definir outros tipos de funções trigonométricas: tangente, cotangente,
secante e cossecante4
Definição 13 Definimos as funções tangente (tg(x)), cotangente (cotg(x)), secante (sec(x)) e
cossecante (cosec(x)) como se segue:
tg(x) =
sen(x)
cos(x)
(3.4)
cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
=
1
tg(x)
(3.5)
4As funções secante e cossecante não são objetos de estudo do credenciamento FGV e estão aqui apenas como
conhecimento geral.
57
sec(x) =
1
cos(x)
(3.6)
cosec(x) =
1
sen(x)
(3.7)
Exemplo 17 Encontre sen(π/6), cos(π/6), tg(π/6), cotg(π/6), sec(π/6) e cosec(π/6).
Solução: Primeiramente, observe que
π
6
=
180o
6
= 30o
e, dessa maneira:
sen(π/6) =
1
2
e cos(π/6) =
√
3
2
logo:
tg(π/6) =
sen(π/6)
cos(π/6)
=
1
2√
3
2
=
1√
3
cotg(π/6) =
1
tg(π/6)
=
1
1√
3
=
√
3
sec(π/6) =
1
cos(π/6)
=
1
√
3
2
=
2√
3
cosec(π/6) =
1
sen(π/6)
=
1
1
2
= 2
3.4 Problemas
Problema 37 Para quais valores de x temos que sen(x) = cos(x) se x pertence ao intervalo
[−π, π]?
Problema 38 Para quais valores de x temos que sen(x) = cos(x) se x pertence ao intervalo
[−3π, 9π]?
Problema 39 Faça um esboço do gráfico das funções f(x) = 3sen(x) e g(x) =
1
2
cos(x).
58
Problema 40 Faça um estudo de sinal das funções seno e cosseno no intervalo [0, 2π].
Problema 41 Encontre todas as ráızes das funções abaixo:
f(x) = sen(7x) g(x) = cos
(x
3
)
Problema 42 Encontre o domı́nio das funções abaixo:
f(x) = tg(x) g(x) = cotg
(x
2
)
Problema 43 Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = |x| faça o gráfico das funções f ◦ g(x) e g ◦ f(x).
Problema 44 Dados cos(π/7) = 0, 9009, sen(π/7) = 0, 4339, cos(23π/7) = −0, 6235 e sen(23π/7) =
−0, 7818. Encontre:
tg
(
24π
7
)
.
Sugestão: use as Equações (3.2) e (3.3)
3.5 A equação da reta - versão melhorada
O objetivo dessa seção é deixar um pouco mais fácil o conceito introduzido na Seção 2.1.1. Para
tanto, considere o triângulo retângulo mostrado na Figura 3.13.
Nesse triângulo, temos que:
sen(θ) =
cateto oposto
hipotenusa
e cos(θ) =
cateto adjacente
hipotenusa
Dessa maneira, pela Definição 13
tg(θ) =
cateto oposto
cateto adjacente
(3.8)
Agora, voltamos ao problema de se encontrar a equação da reta que passa pelos pontos (x0, y0)
e (x1, y1). Observe, que encontrar a equação da reta nada mais é do que encontrar sob quais
condições um ponto (x, y) pertence à reta.
59
Figura 3.13: Triângulo retângulo cujo um dos ângulos internos é θ.
Ao olhar uma reta representada no plano xy podemos observar que existe uma constante em toda
reta: o ângulo que esta faz com o eixo x. Dado qualquer ponto que pertence à reta, podemos
traçar uma paralela ao eixo x e, o ângulo que a reta faz com essa paralela continua sendo θ.
Ora, como θ é uma constante em toda reta, a tangente desse ângulo também será dessa maneira,
observando a Figura 3.14 obtemos:
m ≡ tg(θ) = y1 − y0
x1 − x0
.
Logo, se um ponto (x, y) pertence à reta, a constante m tem que ser a mesma, ou seja,
m = tg(θ) =
y − y0
x − x0
Logo, igualando os dois valores de m encontrados anteriormente:
y − y0
x − x0
=
y1 − y0
x1 − x0
portanto:
y − y0 =
(
y1 − y0
x1 − x0
)
(x − x0) ou y − y0 = m(x − x0) (3.9)
Observação: O valor de m, por estar relacionado com o ângulo em que a reta faz com o eixo x
é chamado de coeficiente angular da reta.
60
Figura 3.14: Reta passando pelos pontos (x0, y0) e (x1, y1).
Exemplo 18 Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (1, 1) e (3, 4)
Solução: Pela Equação (3.9) basta encontrar o valor do coeficiente angular. Dessa maneira:
m =
4 − 1
3 − 1 =
3
2
.
Logo, a equação da reta é dada por:
y − 1 = 3
2
(x − 1) =⇒ y = 3
2
· x − 1
2
.
61
Caṕıtulo 4
Interseção entre curvas
Sejam f e g duas funções reais quaisquer. Dadas essas funções, podemos nos perguntar quando
elas são iguais, ou seja, para quais valores de x temos que f(x) = g(x). Começaremos com um
exemplo simples.
Exemplo 19 Sejam f(x) = x e g(x) = x2 para qual(is) valores de x temos que f(x) = g(x)?
Solução: Para encontrarmos os valores em que f(x) = g(x) devemos resolver a igualdade:
x = x2
logo, temos que x2 − x = 0 e resolvendo essa igualdade obtemos x = 0 e x = 1. Dessa maneira, as
funções f e g são iguais para x = 0 e x = 1. Observe que f(0) = g(0) = 0 e f(1) = g(1) = 1.
O leitor deve estar se perguntando qual o fato geométrico associado ao exemplo acima. Para tanto,
sejam f e g duas funções reais quaisquer. Como vimos no Caṕıtulo 2, os gráficos das funções f e
g são, respectivamente, dados pelos conjuntos:
{(x, y) | y = f(x)} e {(x, y) | y = g(x)}
Evidentemente, os pontos de interseção entre os gráficos de f e g são os pontos no conjunto
{(x, y) | y = f(x)} ∩ {(x, y) | y = g(x)}.
62
Dessa maneira, se o ponto (x, y) é um ponto de interseção entre os gráficos ele tem que ser da
forma (x, f(x)) e (x, g(x)). Logo, podemos observar que a condição para que um ponto pertença
à interseção desses gráficos é que:
f(x) = g(x).
No caso do exemplo anterior, podemos observar graficamente, que os pontos de interseção das
curvas f(x) = x e g(x) = x2 são os pontos (0, 0) e (1, 1) conforme ilustra a Figura 4.1.
Figura 4.1: Gráfico das funções f(x) = x e g(x) = x2 em um mesmo plano.
Problema 45 Uma quantidade x de um produto A custa CA(x) = log(x) e de um produto B é
dado por CB(x) = 2log(
x
100
+ 1). Para quais valores de x, o custo de A é igual ao de B?
Problema 46 Faça o gráfico das funções abaixo e encontre (se houver) o ponto de interseção dos
mesmos:
(a) f(x) = x3 − 1 e g(x) = 3;
(b) f(x) = ex−1 e g(x) = e3x−5;
(c) f(x) = ln(x) e g(x) = ln(x2 + x − 1);
(d) f(x) = x2 − 1 e g(x) = 4x − 3;
(e) f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x).
63
4.1 Equação de Demanda
Consideraremos as circunstâncias relativas a um fabricante, nas quais as únicas variáveis são o
preço e a quantidade de mercadoria demandada. Seja p o preço de uma unidade de mercadoria,
e seja q o número de unidades demandadas.
Refletindo sobre o assunto, parece razoável que a quantidade de mercadoria demandada no mer-
cado pelos consumidores irá depender do preço da mesma. Quando o preço baixa, os consumidores
em geral procuram mais a mercadoria. Caso o preço suba, o oposto irá ocorrer: os consumidores
procurarão menos.
Uma equação dando a relação entre a quantidade, dada por q, e o preço, dado por p, é chamada
equação de demanda1.
A equação de demanda mais simples que iremos estudar é a linear:
p = aq + p0 (4.1)
onde, p0 é um número real positivo qualquer e a < 0, significando que a função preço (p) é
decrescente confirmando a afirmação que se p cresce então q diminui.
O gráfico da Equação (4.1) é chamado curva de demanda.
Exemplo 20 Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preço de uma
visita a pontos tuŕısticos é R$6, a média do número de passagens vendidas por viagem é 30, e
quando o preço passa a R$10, a média do número de passagens vendidas por viagem é cai para
18. Supondo linear a equação de demanda, encontre-a e trace um esboço da curva de demanda.
Solução: Seja q o número de passagens demandadas e p a quantia de dinheiro correspondente a
cada passagem. Queremos encontrar uma equação da forma:
1Chega-se a essa equação através da aplicação de métodos estat́ısticos e econômicos.
64
p = aq + p0, a < 0. (4.2)
Determinação de a:
Como q = 30 quando p = 6 e, q = 18 quando p = 10, os pontos (30, 6) e (18, 10) pertencem
ao segmento de reta que é o gráfico da equação de demanda. Dessa maneira, pela Equação ver
inclinação da reta:
a =
10 − 6
18 − 30 =
4
−12 = −
4
12
= −1
3
Agora, substituindo o valor dea na Equação 4.2 obtemos:
p = −q
3
+ p0
O que falta é encontrar o valor de p0.
Determinação de p0:
Como o ponto (30, 6) pertence à equação de demanda, substituindo q = 30 e p = 6 na equação
acima, obtemos:
6 = −30
3
+ p0 ⇐⇒ p0 = 6 + 10 = 16
Finalmente, determinamos a equação da demanda:
p = −q
3
+ 16
A curva de demanda está representada na Figura 4.2.
65
x
p
16
48
Figura 4.2: Curva de demanda para a equação de demanda dada por p = −q
3
+ 16.
4.2 Equação de Oferta
Suponha agora que q seja o número de unidades de uma certa mercadoria a ser ofertada por um
produtor e, como acima, p é o preço de uma unidade da mercadoria. Vamos supor que estas sejam
as duas únicas variáveis. Numa situação econômica normal, q e p são não negativos é de se esperar
que se o preço da mercadoria aumenta, o produtor aumentará a oferta de sua mercadoria, i.e, se
p aumenta então q aumenta e, se q aumenta então p aumenta. Uma equação envolvendo a oferta
q e o preço p é chamada de equação de oferta.
A equação de oferta que iremos trabalhar, inicialmente, é uma equação do tipo
p = aq + p0, a > 0.
Observação: Observe que a > 0 significa que a função p é crescente, i.e, se q aumenta p também
aumenta, como foi observado anteriormente.
O gráfico dessa equação é chamado de curva de oferta.
Exemplo 21 A não ser que o preço de uma determinada estante supere R$250, nenhuma estante
66
estará dispońıvel no mercado. Contudo, quando o preço é R$350, 200 estantes estarão dispońıveis
no mercado. Ache a equação de oferta, supondo-a linear, e trace um esboço da curva de oferta.
Solução: Seja q o número de estantes fornecidas e p o preço por estante. Como quando p = 250
temos que q = 0, e quando p = 350 temos que q = 200, os pontos (0, 250) e (200, 350) estão na
curva de oferta. Usando o mesmo método usado no Exemplo 20 encontramos:
p =
q
2
+ 250.
A curva de oferta está ilustrada na Figura 4.3.
Figura 4.3: Curva de oferta do Exemplo 21. A equação de oferta é dada por p = x
2
+ 250
OBSERVAÇÃO: OBSERVE QUE O COEFICIENTE ANGULAR DA EQUAÇÃO
DE OFERTA É SEMPRE POSITIVO, INDICANDO QUE A FUNÇÃO PREÇO É
CRESCENTE, ENQUANTO QUE O COEFICIENTE ANGULAR DA EQUAÇÃO
DE DEMANDA É NEGATIVO, INDICANDO QUE A FUNÇÃO PREÇO É DE-
CRESCENTE.
67
4.3 Problemas: Oferta e Demanda
Problema 47 Faça o gráfico, no primeiro quadrante, de cada uma das equações abaixo e diga se
este segmento é uma curva de demanda, oferta, ou nenhuma das duas.
(a)2q − 3p + 6 = 0 (b)5p + 4q − 10 = 0 (c)4p + q = 7
(d)3q − 4p + 24 = 0 (e)5p + 3q + 12 = 0 (f)3p = 2
(g)4p − 5 = 0 (h) − 3p + 4q = 0 (i)6p + 2q + 3 = 0
Problema 48 Uma companhia vende 20000 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário
é R$14, e a companhia determinou que pode vender 2000 a mais com uma redução no preço de
R$2 no preço unitário. Ache a equação de demanda, supondo-a linear, e trace um esboço da curva
de demanda.
Problema 49 Uma companhia que vende equipamentos de escritório consegue vender 1000 ar-
quivos quando o preço é R$600. Além disso, sabe-se que a cada redução de R$30 no preço a
companhia pode vender mais 150 arquivos. Supondo linear a equação de demanda, encontre-a e
faça um esboço da curva de demanda.
Problema 50 Quando o preço é R$80, há 10000 lâmpadas de um certo tipo dispońıveis no mer-
cado. Para cada R$10 de aumento no preço, 8000 lâmpadas a mais estão dispońıveis no mercado.
Supondo linear a equação de oferta, encontre-a e faça um esboço da curva de oferta.
Problema 51 Um produtor oferta 500 unidades de uma mercadoria quando o preço unitário é
R$20. Para cada aumento de R$1 no preço, 60 unidades a mais são ofertadas. Supondo linear a
equação de oferta, encontre-a e faça um esboço da curva de oferta.
4.4 O Equiĺıbrio de mercado
Chamaremos a totalidade das empresas que produzem a mesma mercadoria de uma indústria. O
mercado para uma certa mercadoria consta da indústria e dos consumidores da mercadoria (que
68
podem incluir empresas, governo e consumidores individuais). A equação de oferta do mercado é
determinada a partir das equações de oferta das companhias integrantes da indústria, e a equação
de demanda do mercado é determinada através das equações de demanda de todos os consumidores.
Mostraremos agora como determinar o preço de equiĺıbrio e a quantidade de equiĺıbrio de um
mercado.
O equiĺıbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada, a um dado
preço, é igual à quantidade de mercadoria oferecida àquele preço. Isto é, o equiĺıbrio de mercado
ocorre quando tudo que é oferecido para a venda de um determinado preço é comprado. Matem-
aticamente falando, o ponto de equiĺıbrio é o ponto onde a curva de demanda intercepta a curva
de oferta. Logo, o ponto de equiĺıbrio é o par (qe, pe), onde qe é chamado quantidade de equiĺıbrio
e pe de preço de equiĺıbrio.
Exemplo 22 Suponha que a equação de oferta e demanda são, respectivamente,
p =
1
2
q + 250
p = −1
2
q + 300.
Esboce, no mesmo gráfico, a curva de oferta e demanda e encontre o ponto de equiĺıbrio.
Solução: Seja (qe, pe) o ponto de equiĺıbrio. Como esse ponto pertence à curva de oferta, temos
que
pe =
1
2
qe + 250. (4.3)
Ora, ele também pertence à curva de demanda, dessa maneira,
pe = −
1
2
qe + 300. (4.4)
Pelas Equações (4.3) e (4.3) temos que:
1
2
qe + 250 = −
1
2
qe + 300 ⇔
1
2
qe +
1
2
qe = 300 − 250 ⇔ qe = 50.
69
Portanto, encontramos a quantidade de equiĺıbrio qe = 50. Para encontrarmos o preço de
equiĺıbrio, basta substituir o valor dessa quantidade na Equação (4.3) ou (4.4) (Verifiquem que dá
o mesmo resultado!!!). Dessa maneira, substituindo qe = 50 na Equação (4.3):
pe =
1
2
· 50 + 250 = 275
Deixo como exerćıcio para vocês esboçarem a curva de oferta e demanda.
4.5 Problemas
Problema 52 Em cada uma das equações de oferta abaixo, trace a curva de oferta e determine
o preço mais baixo pelo qual a mercadoria seria ofertada.
(a)q2 − 4p + 12 = 0 (b)p2 + 8p − 6q − 20 = 0 (c)2q2 + 12q − 3p + 24 = 0
Problema 53 Em cada uma das letras abaixo, estão representadas equações de demanda e oferta.
Ache a demanda se o produto fosse grátis, determine o ponto de equiĺıbrio e trace esboços das
curvas de demanda e oferta no mesmo conjunto de eixos mostrando o ponto de equiĺıbrio.
(a)q + 2p − 15 = 0 ; q − 3p + 3 = 0 (b)q2 + p − 9 = 0 ; q − p + 3 = 0
(c)3q2 + p − 10 = 0 ; q2 + 2q − p + 4 = 0 (d)3q2 − 6q + p − 8 = 0 ; q2 − p + 4 = 0
70
Caṕıtulo 5
Matrizes e Sistemas Lineares
O objetivo deste caṕıtulo é introduzir o conceito de matrizes e sistemas lineares. Particularmente,
“o problema mais importante em Matemática é resolver um sistema de equações lineares. Mais
de 75% de todos os problemas matemáticos encontrados em aplicações cient́ıficas e industriais
envolvem a resolução de um sistema linear em alguma etapa. Usando métodos da Matemática
moderna, muitas vezes é posśıvel reduzir um problema sofisticado em um único sistema de equações
lineares1”.
Começaremos esse caṕıtulo com matrizes, uma ferramenta matemática muito importante na
solução de um sistema linear.
5.1 Matrizes
Uma matriz A, m × n, é definida como sendo uma tabela de números reais contendo m-linhas
e n-colunas. A representação de cada elemento dessa matriz é feita como se segue: o elemento
da linha i e coluna j é denotado por aij (pode-se encontrar essa notação muitas vezes por [A]ij).
Assim, por exemplo, a matriz
A =


2 3
5 −1
0 1


1Steve J. Leon - Álgebra Linear com Aplicações. Editora LTC. Rio de Janeiro. 1999. Página 1.
71
é uma matriz 3 × 2 (3 linhas e 2 colunas) e temos:
a11 = 2 a12 = 3 a21 = 5 a22 = −1 a31 = 0 a32 = 1
Exemplo 23 Seja A uma matriz 3 × 3 dada por aij = i − 2j. Escreva a matriz A.
Solução: Primeiramente, observe que a matriz A possui 3 linhas e 3 colunas.Dessa maneira, ela
pode ser representada por:
A =


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33


Nosso objetivo, é encontrar todos os elementos dessa matriz. Ora, como aij = i− 2j temos que o
elemento da primeira linha e primeira coluna é dado por:
a11 = 1 − 2 × 1 = −1
Repetindo esse processo para os demais elementos dessa matriz obtemos:
a12 = 1 − 2 × 2 = −3 a13 = 1 − 2 × 3 = −5
a21 = 2 − 2 × 1 = 0 a22 = 2 − 2 × 2 = −2 a23 = 2 − 2 × 3 = −4
a31 = 3 − 2 × 1 = 1 a32 = 3 − 2 × 2 = −1 a33 = 3 − 2 × 3 = −3
Utilizando esses resultados obtemos que a matriz A é dada por:
A =


−1 −3 −5
0 −2 −4
1 −1 −3


Definição 14 Uma matriz A é dita quadrada se o número de linhas é igual ao número de colunas.
De acordo com a definição acima uma matriz A é quadrada se ela é do tipo n×n. Assim, a matriz
do exemplo acima é uma matriz quadrada de ordem 3 (matriz 3 × 3). O estudo de uma matriz
quadrada é de fundamental importância em sistemas lineares e será posteriormente, o principal
foco de nosso estudo.
72
Problema 54 Seja A uma matriz 4 × 4 dada por aij = ij. Escreva essa matriz e encontre seu
traço. Observação: o traço de uma matriz é definido como sendo a soma dos elementos
de sua diagonal principal e, para quem não se lembra do segundo grau, a diagonal
principal de uma matriz quadrada são os elementos cuja linha é igual à sua coluna.
No exemplo acima, os elementos da diagonal principal são os elementos em vermelho
abaixo: 

− 1 −3 −5
0 −2 −4
1 −1 −3


5.1.1 Operação com Matrizes
O objetivo dessa seção é mostrar alguns resultados bastante óbvios com respeito a algumas
operações com matrizes. Dessa maneira, sejam A e B matrizes m × n quaisquer e α ∈ R.
Definimos:
[αA]ij = α · aij .
[A + B]ij = aij + bij .
Apesar das definições anteriores parecerem muito abstratas elas são relativamente simples. Por
exemplo, se
A =
[
1 3
−2 4
]
então:
2A = 2 ·
[
1 3
−2 4
]
=
[
2 × 1 2 × 3
2 × (−2) 2 × 4
]
=
[
2 6
−4 8
]
Além disso, se
B =
[
0 2
1 9
]
temos que
A + B =
[
1 3
−2 4
]
+
[
0 2
1 9
]
=
[
1 + 0 3 + 2
−2 + 1 4 + 9
]
=
[
1 5
−1 13
]
73
5.1.2 Uma breve discussão sobre vetores
O objetivo dessa seção é definir uma ferramenta matemática importante no estudo de matrizes,
em particular, no produto de duas matrizes. Dessa maneira, definimos de maneira abstrata um
vetor n-dimensional como se segue:
Definição 15 Um vetor n-dimensional, ~V , é definido como uma ordenação de n números reais
x1, x2, ..., xn:
~V = (x1, x2, ...., xn).
Assim, por exemplo, ~V = (1, 3) é um vetor bi-dimensional e ~W = (1, 4, 5,−1) é um vetor quadri(4)-
dimensional.
Definiremos agora uma operação entre vetores que será muito útil posteriormente.
Definição 16 Sejam ~V = (x1, x2, ..., xn) e ~W = (x̃1, x̃2, ..., x̃n) vetores n-dimensionais, definimos
seu produto escalar,~V · ~W , por:
~V · ~W = (x1, x2, ..., xn) · (x̃1, x̃2, ..., x̃n) = x1x̃1 + x2x̃2 + ... + xnx̃n.
Assim por exemplo, dados os vetores ~V = (1, 3, 4, 2) e ~W = (−1, 0, 2, 7) o produto escalar de ~V e
~W é dado por:
~V · ~W = (1, 3, 4, 2) · (−1, 0, 2, 7) = 1 × (−1) + 3 × 0 + 4 × 2 + 2 × 7 = −1 + 0 + 8 + 14 = 21.
Assim, o leitor pode perceber que dados dois vetores quaisquer, fazer seu produto escalar é uma
tarefa relativamente fácil. Agora, vamos ver o que isso tem a ver com matrizes.
5.1.3 Produto de Matrizes
Ao observar uma matriz m × n podemos fazer uma analogia com cada linha dessa matriz com
um vetor n-dimensional e, cada coluna, com um vetor m-dimensional. Por exemplo, considere a
74
matriz
A =


1 3 0 1
−3 2 6 8
0 1 0 1


Observe que ao olhar para a primeira linha da matriz A, podemos considerar essa linha como
sendo um vetor 4-dimensional dado por:
~Al1 = (1, 3, 0, 1)
Analogamente, podemos associar os vetores linha dessa matriz. Assim, os vetores linha 2 e linha
3 podem ser dados, respectivamente, por:
~Al2 = (−3, 2, 6, 8) e ~Al3 = (0, 1, 0, 1).
Da mesma maneira que temos vetores linha em uma matriz, podemos ter vetores coluna. Por
exemplo, o vetor que representa a coluna 1 da matriz A é dado por:
~Ac1 = (1,−3, 0)
e, os vetores coluna 2, 3 e 4 podem ser dados, respectivamente, por:
~Ac2 = (3, 2, 1) e ~Ac3 = (0, 6, 0) e ~Ac4 = (1, 8, 1)
Compreendendo bem o conceito apresentado acima, estamos preparados para definir o produto
entre duas matrizes.
Definição 17 Sejam A uma matriz m×n e B uma matriz n×p definimos o produto das matrizes
A e B pela matriz m × p:
[A · B]ij = ~Ali · ~Bcj.
A definição acima significa que o elemento da linha i e coluna j da matriz produto A · B é
simplesmente vetor linha i da matriz A produto escalar com o vetor coluna j da matriz B.
Observação: Na definição acima, uma condição é extremamente importante para se ter o produto
de duas matrizes: O NÚMERO DE COLUNAS DA PRIMEIRA TEM QUE SER IGUAL AO
75
NÚMERO DE LINHAS DA SEGUNDA. Para o leitor mais atencioso isso fica claro pela própria
definição do produto escalar. Além disso, observe que se A é m×n e B é n×p então o resultado
do produto é uma matriz m× p.
Exemplo 24 Sejam
A =


2 1
−4 0
3 5

 e B =
[
0 1 1 3
−1 2 3 4
]
Encontre a matriz que representa o produto A · B.
Solução: Observe que A é uma matriz 3 × 2 e B é uma matriz 2 × 4. Logo, podemos fazer o
produto de A com B pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Dessa
maneira, a matriz produto será uma matriz 3 × 4 representada como se segue:
A · B =


c11 c12 c13 c14
c21 c22 c23 c24
c31 c32 c33 c34


Pela Definição 17 o elemento da linha 1 e coluna 1 da matriz A · B é dado por:
c11 = ~Al1 · ~Bc1 = (2, 1) · (0,−1) = 2 × 0 + 1 × (−1) = −1.
Da mesma maneira, podemos encontrar os outros elementos da matriz A · B:
c12 = ~Al1 · ~Bc2 = (2, 1) · (1, 2) = 2 × 1 + 1 × 2 = 4.
c13 = ~Al1 · ~Bc3 = (2, 1) · (1, 3) = 2 × 1 + 1 × 3 = 5.
c14 = ~Al1 · ~Bc4 = (2, 1) · (3, 4) = 2 × 3 + 1 × 4 = 10.
Dessa maneira, encontramos a primeira linha da matriz A · B:
A · B =


−1 4 5 10
c21 c22 c23 c24
c31 c32 c33 c34


Vamos encontrar a segunda linha da matriz A · B:
c21 = ~Al2 · ~Bc1 = (−4, 0) · (0,−1) = −4 × 0 + 0 × (−1) = 0.
76
c22 = ~Al2 · ~Bc2 = (−4, 0) · (1, 2) = −4 × 1 + 0 × 2 = −4.
c23 = ~Al2 · ~Bc3 = (−4, 0) · (1, 3) = −4 × 1 + 0 × 3 = −4.
c24 = ~Al2 · ~Bc4 = (−4, 0) · (3, 4) = −4 × 3 + 0 × 4 = −12.
Logo, obtemos:
A · B =


−1 4 5 10
0 −4 −4 −12
c31 c32 c33 c34


Vamos encontrar a terceira linha da matriz A · B:
c31 = ~Al3 · ~Bc1 = (3, 5) · (0,−1) = 3 × 0 + 5 × (−1) = −5.
c32 = ~Al3 · ~Bc1 = (3, 5) · (1, 2) = 3 × 1 + 5 × 2 = 13.
c33 = ~Al3 · ~Bc1 = (3, 5) · (1, 3) = 3 × 1 + 5 × 3 = 18.
c34 = ~Al3 · ~Bc1 = (3, 5) · (3, 4) = 3 × 3 + 5 × 4 = 29.
Finalmente, encontramos a matriz produto A · B:
A · B =


−1 4 5 10
0 −4 −4 −12
−5 13 18 29

 (5.1)
Existe uma maneira, muitas vezes mais rápida, de encontrar um elemento da matriz produto por
exemplo se quisermos encontrar o elemento da linha 2 e coluna 3 basta fazer o produto da linha
2 da matriz A com a coluna 3 da matriz B:
A · B =


2 1
−4 0
3 5

 ·
[
0 1 1 3
−1 2 3 4
]
que gera o elemento −4 × 1 + 0 × 3 = −4 (confirme esse resultado na Equação (5.1)).
O leitor deve ficar atento ao fato de que o produto de duas matrizes não é comutativo, ou seja:
A · B 6= B · A.
No caso do exemplo acima, observe que o produto B · A não é nem definido.
77
5.1.4 Matriz Inversa
À partir dessa seção estaremos interessados apenas em matrizes quadradas, ou seja, matrizes que
possuem o mesmo número de linhas e colunas (n × n).
Primeiramente, temos que definir uma matriz de extrema importância: a famosa matriz identi-
dade.
Definição 18 Seja I uma matriz n×n. I será chamada de matriz identidade se ela for da forma:
aij =
{
1 se i = j
0 caso contrário
Na verdade, a matriz identidade é uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal
são iguais a 1 e todos os outros são 0. A notação usual para a matriz identidade