Noções de Matemática - Volume 4

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A =
VOLUME 4 Aref Antar Neto José Luiz Pereira Sampaio 
Nilton Lapa 
Sidney Luiz Cavallantte
o 
<-* mn
Combinatória, Matrizes 
e Determinantes
a32a31
a22a21
a33
NOÇÕES
DE 
MATEMÁTICA
a23
ai1 ai3ai2
am3 • ■ ■
a2n
a3n
am1 am2
ain
COMBINATÓRIA
MATRIZES
E DETERMINANTES
Noções de Matemática
VOLLÍME 4
Aref Antar Neto
José Luiz Pereira Sampaio 
Niltan Lapa
Sidney Luiz Cavallantte
índice
Parte I
11Capítulo 1 O conceito de matriz 
.21Capítulo 2 Operações com matrizes 
65
77Capítulo 4 Propriedades dos determinantes
11
11
.... 12
12
13
16
..... ia
65
69
 70
72
4.1
4.2
...77
78
80
81
82
83
89
94
96
111
115
21
24
31
47
60
Parte II
Capitulo 3 Cálculo de determinantes 
“ Determinante da matriz transposta
— Troca de filas..................................................
4.3 — Filas iguais ..................................
4.4 — Fila nula
4 5 — Multiplicação de uma fila por uma constante.
4.6 — Filas proporcionais.........................................
4.7 — Adição de determinantes
4.8 —Teorema de Cauchy......................................
4.9 —Adição de filas. ............................................
4.10 — Abaixamento da ordem de um determinante
4 11 —A matriz de Vandermonde
2.1 —Adição de matrizes.................................................
2.2 — Multiplicação de uma matriz por um número real.
2.3 — Multiplicação de matrizes
2.4 —A matriz inversa ......................................................
Exercícios Suplementares
1.1 —Matriz........................................................
1.2 — Ordem de uma matriz..............................
1.3 — Matriz Quadrada......................................
1.4 —Notação geral ...................................
1 5 —Diagonal principal - diagonal secundária 
1.0 —Algumas matrizes importantes
1.7 — Igualdade de matrizes .
3.1 —Definições .
3.2 — Menor e cofator
3.3 —Definição de determinante
3.4 —Teorema de Laplace
Capitulo 5. Outros temas importantes 121
5 1
Parte III
Capitulo 6 Generalidades 135
Capítulo 7 Resolução de sistemas lineares: o escalonamento 149
Capítulo 6 Outros temas importantes 177
193
Capitulo 10 Fatorial 222
6.1 —Equações lineares ...........................
6 2 — Sistema de equações lineares. .....
6 3 — Expressão matricial de um sistema linear
6 4 — Classificação de um sistema linear
6.5 — Sistemas de Cramer
7.1 —Sistemas equivalentes..........................................
7.2 — Sistemas escalonados ........................................
7 3 — Método de eliminação de Gauss ..............
7.4 — Sistemas homogêneos de equações lineares
 193
199 
 293
215 
217 
219
.....135
137
. 139
. ... 142
143
149
153
 155
167
177
 177
178
180
 183
189
..222
... 223
 121
 121
123
129
10.1 — Definição
10.2 — Função fatorial 
Parte IV
Capitulo 9. Processos básicos de contagem 
— Determinante do produto de matrizes
5 2 •—Comatriz ...........
5.3 —Matrizes invertíveis .....
Exercícios Suplementares
8.1 — Operações elementares sobre linhas 
8 2 — Matrizes equivalentes por linhas 
8 3 — Matriz escalonada 
8 4 — Característica de uma matriz............
8 5 — 7eorema de Rouché-Capelli 
Exercícios Suplementares
9.1 —Introdução
9 2 — Diagramas de árvore
9 3 — Princípio fundamental da contagem (regra do produto)..,.
9 4 — O problema do número de subconjuntos
9.5 — O problema do número de funções .
9 6 — O problema do número de divisores
Capitulo 11. Combinações simples e arranjos simples .,, ..... 230
237Capitulo 12 Cálculo do número de arranjos e combinações 
247Capituio 13 Problemas de arranjos e combinações 
... 264Capitulo 14 Permutações simples...
274Capitulo 15 Permutações com repetição
283
296Capítulo 17. O triângulo de Pascal 
Parte V
Capitulo 16. Números binomiais... 
17 1 — O triângulo de Pascal... 
17.2 — Uma nota histórica 
237
237
... 242
230
. 231
.... 234
264
.272
296
299
12.1 — Introdução.............................................
12 2 —Cálculo do número de arranjos
12.3 —Cálculo do número de combinações
13 1 — Os problemas gerais . ...... ............................................... 247
13.2 — O problema do número de funções injetoras------------- --------- 259
13.3 — O problema do número de submatrizes e menores 262
15.1 —O conceito . 274
15.2 —Cálculo do número de permutações oom repetição 274
Exercícios Suplementares ............................................. ,279
11.1 — Introdução e conceitos iniciais....
11.2—Definições ..........
11 3 — Arranjo ou combinação? .
14.1 — Definição
14.2 — O problema do número de funções bijetoras. 
16.1 — Introdução 233
16.2 — Definição de número binomial . 233
16.3 —Soma dos números binomiais de mesmo numerador 284
16 4 — Números binomiais complementares 286
16 5 — Números binomiais consecutivos 290
16,6 — Relação de Stifel 292
Capítulo 18 Binômio de Newton 301
. 301
321
.337
Capitulo 21. Soma de probabilidades 351
Capitulo 22. Produto de probabilidades 357
Capitulo 23. Distribuição binomial,... 369
Parte VI
Capitulo 19. Complementos da análise combinatória 
Parte VH
Capitulo 20 Noções de probabilidade
19.1 — Permutações circulares 
19 2 — Arranjos com repetição 
19 3 — Combinações com repetição 
Exercícios Suplementares..
20.1 — Experimento aleatório - resultados equiprováveis
20 2 — Espaço amostrai - evento 
20.3 — Probabilidade
22.1 — Exemplos iniciais
22.2 — Probabilidade condicional..
22.3— Probabilidade da interseção 
23.1 — Introdução
23.2 — Expressão da distribuição binomial
Exercícios Suplementares
Respostas dos exercícios propostos 
Respostas dos exercícios suplementares 
321
324
327
333
337
... .... 338
341
369
371
375
377
421
357
359
362
303
307
313
317
10 1 — Introdução; como desenvolver (x + a)n 
18 2 — Desenvolvimento de (x-a/1 
18 3-“ Fórmulas do termo geral 
18.4 — Algumas aplicações do Binômio de Newton
Exercícios Suplementares
PARTE i
Capítulo 1-0 conceito de matriz
Capítulo 2 - Operações com matrizes
I
Capitulo
1.1 - MATRIZ
Exemplas
742 «- linha
1°) 2o) 73 - -2
2 61
4°)3o)
12
1.2 - ORDEM DE UMA MATRIZ
11
O conceito 
de matriz
1
10
-3
-6
<— 1o linha
4- 2o linha
<— 3’ linha
4- 4o linha
_1
2
4
3
7
5
2 
-3
3 
0
2
2
1
6
7
0
6
T
2o
1
6
0
5
T
1 
0 3
A uma tabela de números, dispostos em linhas e colunas, colocados entre 
■'colchetes", damos o nome de matriz. Os números que a constituem são seus 
elementos
A ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas e o número de 
colunas que a constituem.
Para indicá-la, escreve-se em primeiro lugar o número de linhas e, em 
seguida, o número de colunas, colocando-se entre esses dois números o sinal x.
As linhas são numeradas de “cima para baixo" e as colunas, “da esquerda 
para a direita", assim:
-2 
13 
-2 
1 
T 
3’ 
coluna coluna coluna
2 
1
L24 
? 
coluna
1.3 - matriz quadrada
Exemplos
2°) A matriz B = é quadrada de ordem 2.
2
3°) A matriz C = é quadrada de ordem 3.
1.4-NOTAÇÃO GERAL
m*nr indicamos cada
aij
A - <- i-ésima linha
Exemplos
1o) Na matriz de ordem 2*3:
A =
12
a2i
ai3
3 23
O primeiro índice, I, indica a linha a que esse elemento pertence, e o 
segundo índice, j, a coluna a que esse elemento pertence:
r •
5
14
-7 
2 
L-1
1 ’
j-ésima coluna
Matriz quadrada ê uma matriz constituída pelo mesmo número de linhas e 
colunas
Se uma matriz quadrada é de ordem ivn, isto é, possui n linhas e n 
colunas, diz-se que ela é uma matriz quadrada de ordem n.
3 -3
0
9
®12
a22
No 1° exemplo a matriz é de ordem 2x2 (lê-se: ‘'cfó/s por dois")'., nq 2° 
exemplo, a matriz é de ordem 2x3 (lê-se: 'dois por Irès "), no 3° exemplo, a matriz 
é de ordem 3«4, e, no 4° exemplo, a matriz é 4» 2
Podemos então dizer que uma matriz de ordem mx n, ou simplesmente 
matriz m.né uma tabela de números distribuídos em m linhas e n colunas. 
Observe, então, que o número de elementos que a constituem é m ■ n.
ad J
1") A matriz A = [3]é quadrada de ordem 1.
1 
-4
Para representarmos a matriz A, m*n, indicamos cada um de seus 
elementoscom uma letra minúscula afetada de deis índices, que indicam a posição 
ocupada por este elemento na matriz.
Assim, um elemento genérico da matriz A será representado por
2°) Na matriz
B = , tem-se:
au = 8. ai2 = 1, a;i = 2, azz = 3, aai = 3 e as? = —2.
Em geral, a matriz A, de ordem m«n, é representada por:
A =
ou. com a notaçao abreviada:
1.5 - DIAGONAL PRINCIPAL - DIAGONAL SECUNDÁRIA
Em urna matriz quadrada:
A
!n
A ~
3n1 an2 an3 ■«- diagonal principalnn
ab diagonal secundária1 n
A = 3.n-l
r>1
13
a11
a21
*31
8
2
3
an (lê-se "a um um") é o elemento que ocupa a 1a linha e a 18 coluna, ?.c (lê-se' 'a 
um dots") é o elemento que ocupa a 1a linha e a 2a coluna, a?j (lê-se: “a dois três"} 
é elemento que ocupa a 2H linha e a 3fl coluna,
1
3
-2
an.n-2 an,n-l am
a3n
~ rixii
o conjunto de seus elementos a,, tais que i = j. chama-se diagonal principal, o 
conjunto de elementos tais que i + j = n + 1 chama-se diagonal secundária:
am2 am3aml amn
*12 •*> ai,n-2
a22 a2j>r
a32
ai1
a21
a31
a1z
a22
*32
*11 ...
a2lX.a22X^<a23 ■” a2l
a31 a32h’x.a33XS2- a3fi
A = L^jJ rn>n
ai3 “■ ain
a23 ”■ a2n
a33 ■" a3n
Exercícios Resolvidos
11) Seja a matriz;
A =
313 - .
ej =
1 2)
Solução
A =
13) Construa a matriz A para a qual:
a^
A =
14
321
a31
a41
1
S
Solução
a) A matriz é constituída por 4 linhas e 3 colunas, sua ordem é4> 3
b) Ela possui 4 3 = 12 elementos.
o) a«i = 7, a;; = 4, as; = 3 e 3l3 = 7
d) Na matriz, aai = 0 e dai, i = 2 e j = 1.
se i = j 
se i > j
1
0
4
7
3
4
3 
-2
ai3
®23
7 
-1 
-2 
-5
a23
a33
V-1 
22-1 
32-1
Construa a matriz A = fa(J]
a) Qual e a sua ordem?
b) Quantos elementos ela possui?
c) Complete: a4i = ... a:z = ... aaz = ...
d) Se a,j = 0, então i = .
i + j, se í < j
1,
0.
ai2 
an 
a32
aH
a2l
a31
ai2 
a Zí
a<2
12 -2 
22-2 
32-2
I2 -3 
22-3 
32-3
a*4
«34
«44
0 -1
3 2 
g 7
3^3 para a qual a4 = P-j.
Solução
Observe que na matriz quadrada de ordem 4.
Observe que a definição dada:
3ii = P-j
indica como se obtém um elemento qualquer de A: ele va-se o seu prime/ro 
indtce ao quadrado e desse quadrado subtraímos o seu segundo índice, 
então:
j eslão
a
A =
Exercícios Propostos
14)
A
706 850 . 1000
S™ = ...
1.5) Uma matriz possui 6 elementos. Qual ê a sua ordem’’
1.7)
para a qual a(J = 3i -jJ1.8) Construa a matriz A
Construa a matriz A1-9) para a qual:
'|j
110) O símbolo delta de Kroneecker é definido por
Construa a matriz A para a qual aij = 3i + p
15
0, se i * j
1. se i = j
3
1
0
0
621
440
Seja a matriz de ordem m >■ n:
600
407
1
0
0
0
4
5
1
0
i, se i < j 
0, se i = j
j, se i > j
517
330
6
7
1
= [aij] 4*4
” [a,J 1 min "
“ [ai|] 3*4
= [aij] 3*2
a) Quantos elementos ela possui?
b) Complete, asi = .. arn2 = atn = ---
1 6) Numa matriz quadrada de ordem n quantos elementos não pertecem ã 
diagonal principal?
os elementos para os quais i = j pertencem á diagonal principal, e eles todos 
são iguais a 1; aqueles para os quais i < j eslão acima da diagonal 
principal", e para calculá-los somamos os seus índices e aqueles para os 
quais i > j estão abaixo de diagonal principal', e eles todos são iguais 
zero.
Então.
Numa matriz, chama-se elementos internos aqueles que não pertecem a 
primeira ou à última linha ou coluna Quantos elementos internos possui 
uma matriz 5*6’
Denomina-se traço da
Considere a matriz A para a qual a,, = i ■ j; determine tr(A).
1.6 - ALGUMAS MATRIZES IMPORTANTES
Exemplos
a) A = b) B -
Exemplos
2
a) A = b) B -
0
0
G) c =
16
1“) Matriz linha
É a matriz constituída por uma única linha
0
3
-2
0
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
Exemplos
a) A = [-1 3]
b} B = (4 4 -5 2]
0
0
0
2
2 
0
7
0
n
tr(A) = aqi +aí2 +a33 +...+ ann = ^aü
1-.1
2°) Matriz coluna
É a matriz constituída por uma única coluna
□ 0’
0 0 0
0 0 D
3x3
111) Seja a malrtz quadrada de ordem n: A = |"aIJjnxn.
matriz A à soma a>i + azz +• asa + .+ ann dos elementos da diagonal principal 
de A, indica-se.
3a) Matriz diagonal
É a matriz quadrada na qual os elementos que não pertecem à diagonal 
principal são iguais a zero
0 0'
0-10
0 0 6
a 1
I - I =
Se quisermos colocar em evidência que a sua ordem e n, escrevemos In
Assim
l2 =
tem-se:
O-O =
Se quisermos colocar em evidência a sua ordem, escrevemos O Assim-'m*n-
Exemplo
n'
Se A = então Af =
17
h -
6°) Matriz transposta
Seja a matriz A Chama-se matriz transposta de A á matriz obtida de A, 
trocando-se, ''ordenadamente" suas linhas por colunas (ou, o que conduz ao 
mesmo resultado trocando-se suas colunas por linhas)
Indica-se a matriz transposta de A por A1.
Será representada por I.
Por exemplo
0
0
0
D
0
0
0 D
0 0 0
2
4
6
0
0
1
-1
3
0
4C) Matriz identidade
É toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais
'0 0' 
0 0
’0
0 
0
1
0
o’
0
0
1
0
0-
4 i?|
3 0|
|2 
pi
'1 0
0 1
'1 o' 
0 1
“ [aij J n*n
’1 0
0 1
0 0
= sei = j^_ 
1,0. se i x jj
Para a matriz identidade En
^2x3 -
5°) Matriz nula
É a matriz cujos elementos são todos iguais a zero Será representada por O. 
Por exemplo
0'
0
1.
ande
1.7 - IGUALDADE DE MATRIZES
Exemplo
e B =A
os elementos
Definição
A B
Então:
mxn pxq
A = B
L
18
l
m - p e n - q
[para todo í, i s]
i para todo j, I í j í n
As matrizes Ae B são iguala, se, e somente se. tem mesma ordem e os 
elementos correspondentes são iguais, indica-se:
aii e bn 
ai2 e bu 
azi e b2i 
a 22 e bjj
A = fa] B=W
'b1n
Se A=[ali]mxt, então A1 = [blj]rtKm
bij =
b,2
b22
jpara todo í, l < i s m 
3jl [para todo j, I á j <n
Nas matrizes de mesma ardem 2* 2:
= |"ai1 ai2 
[a21 a22.
são correspondentes
Observe que na notação, elementos correspondentes tem Índices iguais
jaij = bú
Elementos correspondentes
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem fflx n Um elemento a da matriz 
A e um elemento b da matriz B dizem-se correspondentes se efes ocuparem a 
mesma posição nas respectivas matrizes.
Exemplos
1
1
1o) As matrizes A - B-2 sao iguais, isto é. A = B4e
3
9
|, então: a = 0. b = 2. c = ~1 e d = ^22o) Se
Exercícios Resolvidos
1.12) Se , determine x, y, a e b.
diz-se simétrica quando aq = ar para
A =
seja simétrica.
Solução
2b
, e, se A é símétnca. tem-se A =■ A1, daí:SeA =
b
19
2
J2
-1
3
3 
2b
0
-1
2
2
4
2
9
3
X + y 
x-y
a + b = -1 
a - b = 3
Solução
Da definição de igualdade de matrizes, os elementos correspondentes 
devem ser iguais, então
fx + y = 5
[x-y = 1
Resolvendo os dois sistemas acima (somando e subtraindo as respectivas
equações) obtemos x = 3.y = 2.a = 1 e b = - 2
b2
b
3 
b2
12
22
32
a + bl p5 
I = 
a-bj |_1
então A* -
1 13) Uma matriz quadrada A = J OMfl 
todo i, l £ i £ n, e para todo j, l £ j £ n. Observe que se A é simétrica então 
A = A1, e rnversamente
Determine o número b, b c R. para que a matriz:
f 3 2b1 
A = ; , .Lb b J
No conjunto das matrizes de mesma ordem, a igualdade de matrizes 
define uma relação de equivalência, goza, então, das seguintes propriedades
1°) reflexiva para toda matriz A, tem-se A ~ A
2o) simétrica para as matrizes A e B, se A = B então B - A
3o) transitiva: para as matrizes A, B e C, se A = B e B = C, então A = C.
a b
c d
A =A = e
tem-se:
Soíuçao
Se A então A rum
onde c.j = b>.
= A.
para a qual
b1 16) Se „ determine os números reais a, be c.
c
1.17) Seja D uma matriz dtagonal de ordem 3 x 3. Dê simétrica?
1 18) Se A é simétrica, em A há, no máximo, quantos elementos distintos?
1 19) Definição a matriz J, de ordem m
para a qual n,j = f(i) + f(j), onde f(x) = x + 1.3 *2
20
3 = 3 
b2 = 2b
2b = b2 
b = b
2 
2
a
'3 4
4 2
[aij 1 mxn
|_aij J 3*3
1.20} Seja a matriz A = [aj
Construa A1
As condições acima ficam satisfeitas para as raizes da equação: b2 = 2b que 
são b = 0 e b =2
Note que há duas matrizes que satisfazem ã condição imposta: 
F3 01 
0 0
sen2ü (sen 0 +cosí)}2 
cos 4t) | sen3ti +■ cos3 o|
x n, é uma matriz cujos elementos são 
todos iguais a 1. Construa para matrizes 3x3:
a) l1 b) Jl c) O1
1.14} Demostre que para toda matriz A = ^aIJJmxn(A1)1 = A
Exercícios Propostos
1,15) Seja a matriz A =
aü = °
aij = ap
ai( = i + j, se I £ i < j á 4
Determine Ae A1, Aé simétrica?
onde bij = aji.
(A1) =^ci|Jmxn
= [aij]mm então A1 =[bj
A matriz (Al}L ê de ordem mx n, seja então
Então para todo », Isisrn e para todo j. l£j<n, tem-se
Capitula
2.1 - ADIÇÃO DE MATRIZES
C = A + B
Exemplo
Formalmente:
A = B =e
5
21
2
3
0 
-1
para todo íd I í I ím 
para todo j, I £ j £n
_ '1 81
“ 0 9j
Operações 
com matrizes
G 6
3 4
1 2
-3 5
e B = bjj J msn
Se as matrizes A e B tem mesma ordem, elas se dizem conformãveis para 
a adição
Observe que existe A + B somente seAeB tem mesma ordem, isto é, se A 
e B são conformãveis para a adição.
As matrizes
Sejam as matrizes A = a,] j 
A matriz C = A + B é tal que: 
c-KJ
Definição
Sejam as matrizes A e B. de mesma ordem m - n
Denomina-se soma de A com B à matriz C, de ordem m y n. Cujos 
elementos são obtidos somando-se os elementos correspondentes das matrizes A 
e B Indica-se: 
1 + 0 2 + 6
-3+3 5+4
m?n or,de Cjj a,j +
2
4
não tem mesma ordem: a adição de A com B não pode ser efetuada.
Diz-se que matrizes de ordens diferentes não são conformãveís para a 
adição
Propriedades da adição de matrizes
A + B = B + A
então:e B
= B + AA + B
(A + B) + C = A + (B + C)
e CB então:
3°) Existe o elemento neutro.
A + X = A
da condição A + X = A obtemos:m>n
aij + xij “ aij-
A + O = A
22
Dada uma matriz A, existe uma matriz X, conformável com A para a adição, 
tal que: _____________
Io) A adição de matrizes é comutativa para as matrizes A e B, conformáveis 
para a adição:
2o) A igualdade de matrizes é associativa, para as matrizes A, B e C, 
conformáveis para a adição:
[
Demonstração
Se A - ^a,J
Observe que a adição entre números é comutativa, o que justifica a 
igualdade © acima.
©
~ [aij + (bij +CIJ)]fT)xri =
= A + (B + C).
- [bij] mxn
* [C|j] mxn _
w [cijJ mxn'
= [aij +bijmxn
* [bij] mxn' '
©
= [bij + aíJ mxn
a J mxn
Observe que a adição entre números é associativa, o que justifica a 
igualdade ® acima
e X [Xij]mxn’
e daí, = 0
Então, X é a matriz nula de ordem mxn, Ornxn :
Demonstração
Sejam as matrizes A = mxn
Demonstração
Sejam as matrizes A = a(J mxf1, 
(A + B) + C =^aij+bjmxn
4o) £x/s!e a matriz oposta
e X da condição A + X = O obtemos
-A
e que
Note também que -(-A) - A.
Exemplo
1 1
SeA = então - A -
A - B = A + (~B) |
Exemplo
e BSe A = então:
6
23
3
-2
2 
0
3
7
3
-2
a
4
3
-2
0
1
-1
4
3
3 k3
-2 r[-2)
2+(-2)
„5 + (-4)
e daí, xl(=-a,j.
Então, X é a matriz cujos elementos são os opostos dos elementos 
correspondentes de A; a matriz X, então, denomina-se oposta da matriz A, e se 
indica com:
31 
.1 +
mxri1
Sij * Xy = 0,
então - A =[-a,jj rtvn-
Demonstração
Se A - m*n
Definição
Sejam as matrizes A e B. conformavets para a adição.
A diferença de matrizes A - B define-se por:
-2
5 -2j H
xú
A+f-AJ-O,™
Observe que se A =
A + X - Om>n
2 3
5 -2
_F2 -3]
4
Para toda matriz A. de ordem m* n, existe uma matriz X confqrmável com A 
para a adição, tal que
A R = P
L5
-3
-7
-3 -3
[2 -3'
L4 2. 
2
2 j\
Formalmente:
e rfi^ri
D
A equaçao matricial X + A = B. Teorema
X + A = B X B-A
Então, X + A = B X = B-A
Inversamente, para X = B - A. a equaçao X + A = B fica satisfeita:
X + A B
De vem a tese: X + A = B <=> X = B- Ae
Exemplo
Se A = determinemos a matriz X tal que X + A = B
X=B-A=
2.2 - MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL
Definição
X + A = (B-A) + A=B + (-A + A) = B + O = B 
©
7
3
para todo ], lí ism 
para todo j, I í j í r
Note então que, numa equaçao matricial, uma matriz “pode passar" de um 
membro para o outro da equação, “mudando" o seu sins!.
0 1
-2 '
6 ’[»<]
Sejam X, A e B matrizes conformáveis para a adiçao; então, vale a 
equivalência ___________________________
Demonstração
Na equação X * A = B, somando-se a matriz -A a ambos os membros, 
obtemos sucessivamente
Dados uma matriz A. de ardem m« n, e um número real a, o produto de a 
por A ê uma matriz B, de ordem m x n, obtida multiplicando-se cada elemento de A 
por et. Indica-se:
24
Sejam as matrizes A =
A matriz D = A - B é tal que:
Fd 1[_ fj J mxn
tX + A) + (-A) = B + (—A)
X + [A + [-Ai] = B - A
X + O = B-A
X = 8-A
onde di; = a» -b, 
J 4
Então, X = B-A
Cl) e ©
7 0 1_H 21 [6 -2
3 ^2J 3 4J "6
1 21 
e B =3 4J
Então, do teorema acima:
B = ct ■ A
Exemplo
2
Formalmente
e o número real a.
B
Propriedades
7°)
Veja os exercícios 2.4 e 2 14
Exercícios Resolvidos
e BxSe A — , determine2.1)
6
Solução
a) A + B -
2+0
b) A - B - + 0
25
2
3
1
1
-5 
6
1
1
-5
6
5
0
5
0
2
7
2
7
2
7
8
0
-2
3-5
2-0
-6
4
6
1 + 2
1 + 7
-1
6
4
0
-1
1
1
1-2
1-7
-9
12
5
0L
-4] F3 + 5
6
6
-5 +(-4) 
6 + 6 
-5-(-4)' 
6-6
2 (-3)
2 2
2 3
-5 
6
2
a) A + B
b) A—B
Sejam as matrizes A =
A matriz B = u. - A ê tal que:
= [bij] m>n
3
2
3
2
= „ rn*ji
(para todo i, I í i £rr> 
°nde b|j = U 3,1 [para todo j, I * j < n
1°) 1 A = A
2°) (-1) A = -A
3‘) * 0^
4fi) 0 A x Om,rt
5#) a • (A + B) = a ■ A + a B
6°) (a+U)-A = a- A + p A 
a - (D • A) = (aP) A
[8 3
"[2 8
-2
2
-3 2 4
2 0
2 (-1)
Sejam A e B matrizes de ordem m * n e os números reais ri e 
Valem as propriedades.
2.2) Se A = „ calcule A — B + Ce C =, B =
A - B + C = (A-B)+ C =
2.3)
Solução
[ 0 + J.I Z - 1
3,y = O,g = -3ez
3
2 4) Se A = , calcule;e B -
2
Solução
3
a) 5A~B = 5
2
r
6
26
1
2
4
-1
5
3
5
10
20
-5
25
15
5
3
4
5
1
15
-5
10
0
0
2
0
7
5
2
7
10
0
1
1
0
1
3
5
3
15
0
13
9
-5 16
14
19
1 
0
1
a) 5A - B
b) 2A + 3B
4
5
3
1
2
4
4
5
3
0
7
5
7
5
0
11
-3
0
11
-3
3 
-6
2
0
11
-3
0
1
1
Então x + 3 = 2x
8 + g = 5 
e dai: x
2
7
10_
-1‘
13
8
0 
4
0
4
0 
4
3
z-1
2x 3
5 1
3 + y- 3
Z - 1 = 1
fx + 3 3 + y"l Í2x 3 
[0 + g z-1j [5 1
0 1
1 0
1 1
Fx + 1
L 8
Determine ús números reais x, y, z e sabendo-se que 
2 y 
0.
Solução
A adição de matrizes é associativa, náo há, então, ambiguidade na notação 
A - B + C, ela pode ser escrita, por exemplo. (A - B) + C, então:
4 3
5 -6
1 2
1
0
1
b) 2A+3B = 2 + 3 '
?, demonstre2 5)
Solução
; então
2 6} Seja J - Determine a matriz X tal que: -4 (X - b] = X + J
X =--J
Então:
0 0
0 0
0 0
5 5 5
27
1 
1
1
1 
1
1
2
4
-2
10
6
-1
5
3
3 
-1
2
0
21
15
0
33
-9
2
5
2
5
1
2
5
2 
5
1
1
1
1
2 
5
2
5
1
4
5
6
-2 
4
1 
0
4
S
4
5
4
5
0
11
-3
-3 
0
12
2
5
3
5
1
’ 5
-2
43
-3
3 
-2 
16
1 
0
0
3
5
1
' 5
2
' 5
a ■ (A + B) = a ■ A + a B
Sejam as matrizes AeB, conformaveis para a adiçao. se a e 
que:
-1' 
0 =
4J
2
= 25
23
2'
5
2
5
3
5
2 
4
8
i'3
X = -l
5
0
7
5
e B = [b,]m,n
Solução
As propriedade da adição de matrizes e da multiplicação de uma matriz por 
um número real, possibilitam escrever sucess iva mente
—4(X — b) = X +J
—4X +4b = X + J
—4X - X = J-4b (veja o Teorema da página 18)
—5X - J - 4b 
„ 1
jL
5
0 0
0
Se A =[3^]^ e B=|b,]m_n tem-se A + B - [atJ 
n. (A + B) — ctj-ãjj +■ bjj In^fi — [ct (+ b,j )]m, n — [ a + n b,j ]m„ o = 
= [«aijlmin +- [ a bjj ]m:i1 ot A + ct-S
27)
X + Y =
1
e dai:
Subtraindo membro a membro as duas equações, resulta
2Y =
1 1
e dai'
1 1
2.8) Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem m
(A + B)' = A1 + B'
Solução
Seja AtB = [c„)(
28
‘3 3
3 3
1
2
2
2
2
2
3
2
3
.2
2 
2
2 
2
3
2
3
2.
= [ajj + bj,]nxrn
x n. Demonstre que:
Determine as matrizes X e Y sabendo-se que:
1
2
+ [Pijlnxm
= [Yijlnxm
X v f2
X-l
2
Y-l
2
= c>
Sejam A = [a(J]m<(1 e B = [bjI
A “ [uij]nxm
B' = [M
Solução
Somando membro a membro as duas equações, resulta.
2X '3 3'
L3 3J
ijkxn; então: 
onde ctij = ap 
Inxm Onde Pjj = bj,
. .jlmxn onde cíj=aij+bjj; então: 
(A-B)' =[Yli]nMm onde 
Temos sucessivamente:
A -r B = [^ij]nxm + [PijJnxm = (aij + Pijlnxm
” ÍCjJnxm = IVjjlnxiTi = (A + B)
Seja a matriz A, quadrada de ordem n. Demonstre que A + A1 é simétrica29)
Exemplo
b
A matriz A = ê anti-simétrica.
A =
z
seja anti-simétrica.
-3
A =
□
Exercícios Propostos
A - B =
29
1
2
4
□
-2
3
Solução
Seja B = A + A' e demonstremos queB é simétrica, isto é, que B = Bí (Veja 
o exercício 113)
De fato, B1 = (A + A1)1 = A1 + (A1)1 = A1 + A = A + Al= B
3 
-1
2
2
b
4
0
7
5
2
0
4
-3 
2y~4 
c
0
11
-3
-1 
0 
4
a
x -1
Solução
Os elementos da diagonal principal devem ser iguais a zero:
a = b = c = 0
Os elementos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são 
opostos:
x - 1 = -2
2 = -(-3)
4 = —(2y - 4)
Então: x=-1,z = 3ey = 0.
A matriz é:
c
0
Note que os elementos que pertencem à diagonal principal são todos iguais 
a zero, e que os elementos colocados simetricamente em relação a diagonal 
principal são opostos
Determine os números reais a, b.c.x.y e z para que a matriz
211) Sejam as matrizes: 
-1 
5 
3
2 10) Uma matriz quadrada A = diz-se anti-simétrica quando a,j = —aj» para 
todo i, 1 s i s n e para todo j, I s j £ n. Observe que se A é anti-simetnca 
A1 = -A e inversamente.
roX
L-yy
c =A = B = e
X+Y -
X-Y =
30
3
5
Determine'
a) A + B
b) B - A
5 
7
-x 
0
2.17) A e B sao matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que: 
tr(A + B) = tr(A) + tr{B) (veja o exercício 1.11)
2.20) Seja a matriz A, quadrada de ordem 
simétrica. (veja o exercício 2.10.)
4 4
-1 O
8 1
2.16) X e Y são matrizes de ordem 3» 3. Determine-as sabendo-se que:
X + 2Y = |3
2X - Y = O3
2 14) Seja A uma matriz e sejam a e fJ números reais Demonstre que 
(a + P) - A = a ■ A + p ■ A
a] Determine a matriz A - 6B — 2C
b) Resolva a equação matricial:
1 (X + A) = 3 (X + (2X + B)J + C
- l2
2 10) Sejam as matrizes A e a um número real. Demonstre que;
(qA)1 = a ■ A1
3 3
3 O
6 9
2 15) Determine as matrizes X e Y sabendo-se que:
1 21
.3 «J
’1 0’
0 0
2. 19) Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem m x n Demonstre que: 
(A - B)1 = A* - (use os exercícios 2.8 e 2 18)
n Demonstre que A - Á1 é an!í-
2 12) Determine cs números reais x e y sabendo-se que 
Fx*
2 13) Sejam as matrizes
2 2
2 1
1 C
2 
-3
4.
2.3 - MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Definição
matrizesas e a
P.
cik ~ 3il ’blk
Exemplos
matriz A B
1o)
2°) Sejam A = e B = ; então:
A B =
2x3 2x3
31
3 4 21
3 9 1 \
C12 C13 
c22 c23
a„ 
a21 
.a31
1
4
3
Assim, se A é uma matriz de ordem m x n e B é uma matriz de ordem p >. k, o 
produto A ■ B só existe se n = p. Se n # p, a multiplicação de A por B não pode ser 
efetuada, isto é, o produto A - B não existe.
3 4 2
3 9 1
Requisito para a existência do produto de matrizes
Para que o produto de duas matrizes exista, exige-se que os fatores que são 
multiplicados sejam conformáveis para a multiplicação; isto significa que o 
primeiro fator deve possuir tantas colunas quantas são as linhas do segundo 
fator
3x4
:í-2_4 
-4-.1 5 
'3i'0—T 
3x3
= ;;’-1
c21
n 
ai2b2k + ai3b3k +-- + ain bnk = X aijt’jk 
j=1
à - [aijlmxn
c32 a31 ’ b12 + a32 ’ b22 + a33 ' b32 + a34
Observe que, para obtermos o elemento 032 da matriz produto, 
multiplicamos os elementos da 3a linha de A pelos "correspondentes" elementos da 
2a coluna de B, somando-se, então, os produtos assim obtidos.
c32
' b42
2 4
1 5
0 1
B - [hjklnxp'Sejam 
multiplicação
O produto de A por B, notado com A ■ B, é a matriz de ordem mx 
C = [cjk]m.p, para a qual 0 elemento Ci«. que se encontra em sua i-ésima linha e em 
sua k-ésima coluna, é obtido multiplicando-se os elementos da i-ésima linha de A 
pelos "correspondentes” elementos da k-ésima coluna de B e somando-se os 
produtos parciais" assim obtido:
matriz B
ma'ni A _ * b_- b.,'1 ™a,r'
a32 a33 a34j
sâo conformáveis >3x,2
conformável para
A B =
bi2 + ai2 t>22)l
3o)
2x2
i=1
4o) Sejam A = e B = ; então: 
1
A B =
BA
1
5°) Sejam A = I. B =
A B =
0
(A-B) C -2
Agora, calculemos A • (B • C)
2 (-2)
32
Cn = 3- 1 + 4 4 + 2-3 = 25
C21 = 3 -1 +9-4 + 1-3 = 42
1
1
1 
-1
2 
0
1
3
2
0-1 + 0 0
1 1 + 1■0
25 10 34
42 15 58
1
3
2
1 0+1 1
0 0 + 11
0-1+0-0’
1 1+1•0
1
3
2
Cl3 = 3-4 +4-5 + 2-1 =34 
C23 = 3 4+9-5+1-1=58
1 
0
0 
1
0 
1
Ci2 = 3-2 + 4-1+2 0 = 10
Ci2 = 3-2 + 9-1 + 10 = 15
0 0‘
1 ‘.j
_. _Ti 0+11 
lj " L0 0 + 1-1
’ 2 1 + 1-3+(-1) 2' 
0 1 + (-3) 3 + 2 2
-6
2
1
B-C= 3 [-2 1]= 3-(—2)
2
2
= XaiAiç
!=1
2
-11
2J
1-1
3 1
2 1
■Pi
3-1
11
-6 3"
-2 1
b12
b22
1 í
0 1.
0 01 =
1 '
3 (-2)
.1(-2)
e C = [-2 1] . Calculemos (A ■ B) ■ C.
aizl fai
J ’ Si
2
0 0'
1 2
1 1 
0 1
Observe que A ■ B # B ■ A, isto é, a multiplicação de matrizes não é uma 
operação comutativa.
(a11 b11 + a12 b2i) (a11 b-i2+ai2 b22) l_ 
(a21 ’bn +a22 ^21) (a21 ^12 + a22 ^22)J
a11
a2i a22j |_t>2
2
jTi 1i
2
2. a2jl
1 1
-2
A (B C) =
2
P2 (-2}+1 (-6) + (-1) (^)
-2 1
Observe que (A B) C = A ■ (B C}
a
6’} Sejam A = e a matriz identidade l ; então:2 “C
a aA l2 - - A
c c
aIj * A _
c c
Observe que A - Iz = h - A = A
a7°) Sejam A = ; então:
c
Formalizando, entào, a definição discutida acima:
e B = [bik]n.
AB =
kflJCp
Um resumo para memorizar
1
33
b 
d
b 
d
2 
0
1 
-1
1
3 
2
0
1
b
d
a-1+b 0
cd+d 0
1 a+0 c
O-a+t-c
para todoi, 1< í<m 
para todo k, i í k £p
b 
d
a 0 + b 1
c 0 + d 1
1 b + 0 d'
0 b+1d
y
i“
A 
m*n 
\
C 
m*p 
Z”*
2-1 + 1 3 + (-1) 2 '
0 {-2) + (-1) (--6)+ 2 (-A) 0 1 + (-1)-3 + 2 2
b
d
bl Ai = A
dJ
_r° o-
"Lo 0
A ■ O; = Oa ■ A = O;
e a matriz nula O?
B 
n*p 
corínrmí véu
Sejam as matrizes A = (a
A matriz C = A - B é ta I que:
onde cjK = £alfb|k 
j’1
1 ü
0 1
aijbjk
C ~ (C|k ]rn.p
1 
0 
’1 ol a 
O 1
m
' m?n =
P
P
n X p
2
«— linha i
A
xercicios Propostos
e B =2 22) Sejam determine A - BA =
4
determine A - B.eB =2 23) Para as matrizes A =
34
7
verifique que A B - A C2.24) Se A = . B = e C =
34
1
2
-2
5
1
3
2 
1
-2
4
2
5
-3
1
B 
(C ■ B)
2
3
1
2
linha i —»|a,-ia12
[4
m X n~j mxp |
’1 2'
2 4.
2.21) As matrizes A, B, C e 0 sao de ordem 2x3, 3x4, 
respectivamente. Dê a ordem de cada matriz abaixo 
a) A B 
d) C 
c) D
coluna j
l
bi, -
-I '"j^' bn, ' J
B
1«3 e 2x1,
coluna j
- ' 7 B
2 25) a) Se A = ê B - , calcule A ■ B e B A
e B = , determine A ■ B e B Ab) Se A =
2 26) Se A = , determine a matriz X tal que: A X = h
21
Propriedades da multiplicação de matrizes
a
A = l2 -e
comutam, pois A I2 = I2 A (veja o 6o exemplo, acima).
e
Então:
(A B) C = A ■ (B - C)
Demonstração (opcional)
Da definição de multiplicação, temos
35
3 
1
m*p
Aplicando novamente a definição para as matrizes A BeC
1
4
-2 
1
2
4
1
1 
0
-1
1
2
2
1 
-1
1
0 
1
0 1
2 -1
1a) A multiplicação de matrizes não é comutativa.
Sejam as matrizes A e B Se produto A B existe, o produto B - A pode 
não existir Por exemplo, se A é de ordem 5x2 e B é de adem 2x3. existe A B, 
mas não existe B A (por quê'?)
Mas. atenção! Mesmo que existam A • B e B ■ A, pode-se ter A - B 7 8 A 
(veja o 4° exemplo, acima).
Então, para as duas matrizes Ae B quaisquer, ê falso que necessariamente:
A B = B A
Quando as matrizes A e B são tais que A ■ B = B ■ A, diz-se que A e B 
comutam
Observe que uma condição necessária para que as matrizes A e B comutem 
ê que sejam quadradas e de mesma ordem. Por exemplo, as matrizes:
b
d
C — |C|, r ]pKq
n
A B= £ aiJb]k 
.M
2a) A multiplicação de matrizes é assocvariva 
Sejam as matrizes:
A = [ajjJmxn'
-2 3
0 2
0 
-1
2
-2
3 .
1
Analogamente
A (B C) =
ÍTlrq
e dai.
e daí a tese' (A ■ B)■C
B ■ í^njnxp ~ í^kjJnxpe
Então
A-(B + C) = AB + AC
Demonstração
mxp
k=1 m*p
mxp
36
(A B)C = Z
k=1
(AB)C= £
= A BrA C 
mxp
' • rrixq
as somatórias, numa soma de umA ardem segunda â qual desenvolvemos 
número finito de parcelas, é arbitrária, então:
P 
X 
k=i
3a) A multiplicação de matrizes é tjístribuiiva em relaçáo á adição 
Sejam as matrizes:
F n
-l E aik^kj
L k-1
n
+ Z aikckj
n ( P
E i E a^|kckr .
j-1 \Ií=1 )
n ( P
A (B C)= £ I Z a^kr 
J-1 \k*1
Imxn íbkj +ckjlnxp
BC- Z bjk chr ~|
Jn*q
n f P
Z Bj| I z bjk^r 
_ j.1 \k=1
A-(B + C) = [aik],
- Z a!k (bkj + ckj) I 
Jmxp
n
= £ (aik Aj +aikckj)
t-1
E^k 
j=1
n n
= S <aikbkj) + E (a.kCfck) 
k«1 k=1
( n \
| E ® ^k*-kr ~ 
l|-1 )
A (B C)
=kr
- m
Multiplicando o fator Cur em cada parcela da soma entre parênteses 
p VEaijt'jk ckr I 
i-1 J Lq
(A + B)C = AC+ BC
A demonstração é análoga à anterior (Veja exercício 2.45 )
e B = (bjk)r,p e o número real a, então;
(u • A) • B = a • (A • B)
Demonstração
(ct A) B = [a a,tJn
m*p
A L In — !m J A - A
Demonstração
fflwp
= [(ati * 0 + a,2 ■ 0 + a<3 ■ 0 * ... + aik ’ 1 + ... + aín * 0]m*ii =
— [SlkJlTlxri ” A
A demonstração da igualdade lm A = Aé análoga.
A demonstração è imediata.
37
A propriedade anterior, desde que a conforma bi tida de esteja respeitada, 
também assume a forma _______________________
- [(anSiii + a.iSik + a,3â3k + ... + aiktíkk + .. + ainônk)]mm -
6“) Multiplicação pela matriz nula
Seja a matriz A, de ordem mx n; então;
n- s
.1-1
Opxrtl
A Oi
■[^jklnxnA ■ 1q — [aijlmm
« ía^jk)
ixfi [bjkJnxp ~
4d) Sejam as matrizes A - [a,jjmxn
= a (A B)
rriKp
n
« ■ E aijbjk 
j-1
Demonstremos que A í« “ A.
Sendo ln = [õJk]nin, onde = 0 se j í1 k e Sjx - 1 se j = k (veja pãg S), 
temos;
■ A - Opm 
Irtxp ^ Ornxp..
5J) Multiplicação pela matriz identidade 
Seja a matriz A = ; então;
2*) Sejam as matrizes A,
3 ‘ 3
B =Se A = C =e
2 1
então:
■
-ACA B =
Observe que se tem A • B = A • C e B^C
Exercícios Resolvidos
b]
a
comutam
Solução
dlA B = =
aB A =
a
Observe que A ’ B = B ■ A, isto é. A e B comutam
38
ad + bc 
-bd + ac
cb+da
-db + ca
0 
0 
4
0 
0 
0
2 
1
4
0
0
0
a 
-b
0'
0
9
c
dl
a
-b
ac-bd
-bc-ad
ca -db 
-da-cb
2 
1
0'
0
0
4
3
2
1
2 
-7
c
-d
0 
0 
1
c
-d
3
2
3
bl ’
a
dl
c
1 
1
2 2
1 2
1 1
1 1
2 27) Mostre que para quaisquer a, b. ce d, reais as matrizes
- 
A =
Por exemplo
1 2
1 1
-1 4
Note que o produto das matrizes acima é matriz nula, mas nenhum dos 
fatores o é
Por exemplo: 
' 1 
1 
-1
Observações muito importantes
1") Sejam A e B matrizes contornáveis para a multiplicação; da igualdade
A B = 0, não podemos concluir que A = 0 ou B = 0
B e C Respeitadas as condições de 
conformabilidade. da igualdade A B = A • C ou da igualdade B A = C A, não 
podemos concluir que B = C, mesmo que A # O. Para a multiplicação de matrizes 
não vale a lei do cancelamento
0 0
□ 0
0 0
e B = c d" 
-d c
2 2Ô) Se A ê uma matriz quadrada, de ordem n, Define-se
„ calcule A2, A3 e A4,a) Se A =
1
que satisfazem A3 * A = □.b) Dê todas as matrizes A =
Solução
39
A3 = (A ■ A) ■ A = A ■ (A A)
Na prática, é comum escrever-se:
A3 = A A A
notação que não gera ambiguidade, pois a associatividade da multiplicação 
permite que se determine A3 calculando (A ■ A) - A ou A ■ (A - A), alternativas 
que nos conduzem a um mesmo resultado
Analogamente, a associatividade da multiplicação permite-nos escrever.
A4 = A3 A
A4 = (A A A) - A = A (A - A - A)
e na prática, sem que se tenha qualquer ambiguidade, esc re ve-se
A4 = A A A ■ A
As considerações anteriores permitem-nos concluir que para p, inteiro e 
p?2, a notação Ap indica um produto de p fatores iguais a A:
Note que da definição tem-se, por exemplo
A2 = A A
A3 = A2 ■ A = (A - A) - A
A multiplicação de matrizes ê uma operação associativa, o que nos permite 
escrever:
A° = In, se A ?O
A1 = A
Ap + 1 = Ap ‘ A, para p « H*
Ap = A-A-A...A 
p fato rís
Para as definições acima, resolva os problemas’
. _ . R1 -f
I 2
a) A2=A A =
TO -3
“^3 3
1 -11 ri 
1 2
’i-i+(-1)1 i(-i)+(-i) 2
11 + 2 1 1 (-1) + 2 2
'0 a" 
b O
-1
1 2
A =
b) Calculemos inicialmente A2:
ro
0
a2b
O
Então
r3A't + A =
0 ab2 + b 0
Para a = 0. em
A =
a
, a e R *A =
C
40
-3
6
-3
6
Oa+aO 
b a + 0 0
ab a + D
0 a + ab 0
0 a 
b 0
0
.2
(-3) 1 + (-6) 1 
61+3 1
ab 
0
-si n -ii 
3
, tem-se b = 0, e então a solução:
’0 '
0 0
0
2 
a
ab 
0
0 
ab
3
0 -3‘
3 3
-9 -9
9 O
= O2
Agora, observe que a equação ab = —1 não é satisfeita para a = 0; então, 
supondo a f 0, tem-se b = — Substituindo em ® :
a
al fOO + ab 
b 0+0 b
1 2.
(-3) (-1) + (-6) 2
6 (-1) +3 2
1
’ a2
equação que fica satisfeita para todo a, a # 0. 
Então, a solução;
A4 =A3 A =
A3 - A2 ■ A -
a2b
1.0 
a
a2b + a
A2 = A A-
1 2
0 1 + (-3> 1 0 {-1}+<-3) 2’
3 1+31 3 (-1)+3 2
0 
ab2
0 
ab2
E, sendo A3 + A = O, tem-se:
a2b + a = 0 ©
ab2 +b -0 QD
A equação ® pode ser escrita: a(ab + 1) = 0 e dai obtemos:
a = 0 ou ab = -1
0 a
b 0J [b
O’
abj" |_b oj |_0 0 + ab b
A3 = A2
O a ! ab D+O b
Solução
Se Aê diagonal (veja a pagina 9) então A = i; e, se A é tnvolutiva tem-
se
A -
0
e
2 30) Sejam as matrizes A = [a,^ e B = (bjk]n!<p Demontne que:i»n
(A B)1 = B1 ■ A'
onde = a
para n e N *
Solução
Teorema 1
Para n = 1 a propriedade é válida.
41
Solução
Temos
1 
0
-1 
0
0’
-1
0 
1
0‘
-1 ■
1 
0
a 01
0 bj
A “ [Qi)]n*rn
” (Pjldpxn
1 1 
0 1
2 29) Uma matriz A, quadrada, diz-se involutiva quando A2 = I. Uma matriz 
diagonal, de ordem 2. é involutiva, determine-a
= l2 =
Seja A B = [cJmKf> onde cik - f (a(J bJk)
j=i
Então a matnz (A ■ B)1 ê de ordem pxm, e, nela, o elemento c(k ocupa a 
i-ésima coluna e a k-êsima linha
Por outro lado, a matnz B1 ■ A1 também e de ordem px m, e o elemento que 
nela igualmente ocupa a i-ésima coluna e a k-ésima linha é dado por:
n n n
Z(l\ ■ «ji> = ZCbjk = Z{Qjj bjk) = Cjk
J-1 j“1 J"1
Fica então demonstrada tese.
a2 0
b2
Então, az - 1 e b2 = 1, e dal as soluções;
1 0‘ 
0 1 '
2 31) Use o Método da Indução Matemática para demonstrar que:
_F1 n-] 
Lo ij-
-1 o' 
0 1
O|j = °|l 
onde pjk = brç
a 0
0 b
a 0
0 b
Teorema 2
’T
■J
pela matriz , obtemos:
que é a tese.
igualdade pela matriz o que fizemos "à direita” no primeiro membra
+ az - Ap z + .., + aP- q - A + ap -1
onde at e ü, D í i í p
Para A = , determine a matriz polinomial;
2 ■ Az + 3-A + 5 ■ I
42
2 32) Seja A uma matriz quadrada.
Uma matriz polinomlal, na matriz A, é uma expressão da forma
1
1
4
1
1
1 
0
1
3
1
1 
C
'1
0
1 
c
’1 f
0 1
1+0 1+k 
0 + 0 0+1
Hipótese suponhamos que a propriedade é válida para n = k, isto é
íl •J
Tese, demonstremos que a propriedade é valida para n = k + 1, isto é:
1 1
.0 V
Note que na passagem acima, onde multiplicamos ambos os membros da 
‘1 f 
o 4
e também "â direita", no segundo membro, Poderiamos multiplicar ambos os 
membros "ã esquerda”, Mas. não poderiamos multiplicar um dos membros 
"à esquerda" e o outro ”à direita", pois a multiplicação de matrizes nâo é 
comutativa.
ii ri kl ri 11
= i :
1 I’[a ij o ij
Utilizando a definição dada no exercício 2 28 ao primeiro membro da 
igualdade acima e efetuando a multiplicação do segundo membro, obtemos:
k+1
1 k + 1
0 1
Multiplicando-se, "ã direita", ambos os membros da igualdade da hipótese
[1 <
L° 1.
ao' Ap + ai ■ Ap~1
1Í
1
Solução
3 A =
5 1 =
Então
22AZ-3 A.Õ [ =
Solução
43
1
1
4
3
3
12
0
5
0
3 
9
3
12
22
16
1
1
4
1
3
1
15
36
19
10
8
9
6
11 
a
2.34) As matrizes A e B são quadradas e de mesma ardem n Demonstre que' 
[A1 • (0 + In}]1 = B' A + A
0 
0
2'
1
1
€
3
3
0'
0
5
'28
19
30
16’
15
28
4
6
10
(A + B2) = (A + B) (A + B)
A distributividade da multiplicação permite-nos escrever sucessivamente:
(A + B)z = A (A + B) + B (A + B)
(A + B)2 = A A + A B + B-A + BB
(A + B)2 = A2 A B + B A+B2
Como, por hipótese, A e B comutam, tem-se A B = B ■ A e daí a tese: 
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
Observe que se A não comutam. (A + B)2 ? A2 + 2AB + B2
2
1
1
Solução
[A1 (B + In)]1 = (0 4- |n)1 (A1)1 = (B1 + ln') ■ A = (Bl + L) ‘ A =
= Bl A+ |n A = B1 A + A
Note que para a matriz identidade tem-se l[= I
A2 =
s
12
20
1
3
1
20
16
18
2 A2
2 33) Respeitada a coformabilidade para as operações, se as matrizes A e B 
Comutam demonstre que.
(A + B2) = A2 + 2AB + B2
2.36) Seja a matriz J =
Solução
= 2 = 2 J
Teorema 1
O resultado vale para p = 2 (veja acima).
Teorema 2
2.35) a) Respeitada a conformabilidade para as matrizes A, B e C, demonstremos 
que
As igualdades acima "sugerem” que Jp = 2P-1J; vamos provar esse 
resultado usando o Método da Indução Matemática.
1 1
Solução
a) A propriedade associativa permite-nos escrever A B C = (A B) C.
Então, aplicando o resultado do exercício 2 30 obtemos:
(A B C)‘= [(A B) ■ C]'= Cl ■ (A ■ B)1 = Cl ■ (B'■ A1) = C' B* A1
b) Devemos demonstrar que B1 = B; de fato, oitem anterior permite-nos 
escrever.
(A B ■ C)1 = C’ B‘ A1
b) A, matriz quadrada de ordem n. é simétrica, P é uma matriz de ordem 
m x n Demonstre que a matriz B = P1 ■ A • P é simétrica
[::](: H :1
J3 = J2 ■ J = (2 J) ■ J = 2 • J2 = 2 ■ (2 ■ J) = 22 • J 
J4 = J3 • J = (22 ■ J) ■ J = 22 ■ J2 = 22 • (2 • J) = 23 • J
a) J2 = J J =
B’ = (P‘ ■ A ■ P)‘ = P( ■ A1 ■ (P1)' = Pl ■ A P = B
A é simétrica
a) Calcule J2, J3, J4 e Jp , para p í 2, p e 1
b) Toma-se 1 = {M|M = x ■ h + y ■ J; (x.y) e K2}, demonstre que 1 é estável 
para a multiplicação, isto é, que o produto de dois elementos (matrizes) 
de I também é elemento 1.
c) A multiplicação comutativa em 1 ?
Hipótese suponhamos que 0 resultado é válido para p = k, isto é:
Jk = 2k“1 • J
Tese demonstremos que 0 resultado é válido para p = k + 1, isto é:
Jk”1 = 2k ■ J
Multiplicando-se, à direita, ambos os membros da hipótese, pela matriz J:
44
J
(u • A} ‘ (0 - B) = (a • p) ■ (A B)
De fato,
= WMA B)
Exercícios Propostos
45
c) Calculamos Mz ■ Mi. obtemos analogamente:
Mí ■ Mi = x ■ h - y j
isto é. M; • Mi = Mi ■ M2, e a multiplicação ê comutativa em 1
= £ ap (a^ bjk) 
J”1 Jm«p
(xi; yi) e "42
(X2: y2) e ?:2
Jk ■ J = (2: 
jk+i 
Jh*1
sl
2 37) Sejam as matrizes A = B = (b.jJaxa tais que au = i -j + 2 e b,, = 2i + j - L 
Seja A ■ B = [Cjj]3>,3; determine 032 e C13,
(nt A) (H B) = [a aj^n ' IP bjfclnxp — Z. ' P^jk)
. mxp
Então:
Ml ’ M2 = (x» • tz + yi J) • (x; I? + y2 ■ J) = (Xi ’ I2) (X2 Í2) +J
* (xi I?) (ya J) + (yi - J) ■ (x? ■ i?) + (yi • J) (y? J) = xixj I22 +
+ xiyz I2 J + yixz ■ J ■ 12 * yiyz ■ J2 = xixz * I2 + xiy? J + yixz - J * yiyz ■ 2J
= XiX2- l2+(xly2-i-y1x2 +2y1y/)J
b) Consideremos as matrizes Mie M2 de 1, demonstremos que M1 M? 
Sejam
Mi = xi I2 + yi J.
Mj = x? ■ I? + y2 • J,
I*"1 J) • J
= 2k-’ J2
= 2k-’ (2 J)
= (2h-’ 2)■ J
= 2h J. que é a tese.
Observação: em [ nóS nos utilizamos da seguinte propriedade
Sejam as matrizes A = (ajj]mj<n. B = [bJk]nxp e os números reais a e fti então:
x l2+ y
= x • r2 + y * J, (xr y) e Rz
Dai Mi ■ W2 e 1
3 X-
-2
2.39) Determine x, x e iR. sabendo-se que:
= I
comyfam, qual a relação que "liga" a, b, c b
d’
2.41) Mostre que:
0 1
- I
0 □ 1
2.43} Use o Método da Indução Matemática para demonstrar que:
2.44} Para a matriz A =
■ A1»- A[í A[1. n Ê Z e n 2 2
46
0
0
1 
0
□
1
1
2
0 
1
-2 
0
0
0
0 
1
1
0
-14x
1
4x
COS ti 
-senti
7x 
0 
-2x
-x
0
x
2 38) Reso va a equação matricial
‘1 1‘ 
2 1
1 O 
0 1
2 0
0
1
1
2
2 2
2.46) A e B são matrizes quadradas de ordem n. Demonstre que: 
tr(A - B) = tr(B A)
2.47) Use o Método da Indução Matemática para demonstrar que, respeitada a 
conformabilidade:
_ [l 21 ’a
2.40} Se as matrizes e p °J Lc d.
cos(nti) sen{n8)
-sen(nO) cos(ntí)
2 2
1 2 verifique que: A2- 4 ■ A - 5 ■ h = O3.
1
.. 1H senti
coso
0?
(Ai ’ As ’ A3 ' . An*-1 ‘ An)L = An1 ‘ Aln - i ■
2 42) Demonstre que uma matriz A, quadrada, é invaiutiva se, e somente se 
(I - A) (I + A) = O. (Veja 0 exercício 2.29.)
2.45) Sejam as matrizes A = [a^, B = e C - [cj^p. Demonstre que: 
(A 1 B) C - A ■ C * B C
(p e FTeq e IV}
(use o método para o inteiro p.)
e B = são anttcomutatívas eMostre que as matrizes: A =
que (A + B)2 = A? + B2.
(A[ B“ + 3 C)1 = B A - 3 C
2.53) Sejam as matrizes A = e 0 -
2.4— A MATRIZ INVERSA
operações matrizes,entre
= 1 oua a
47
1
4
1
— 1
1
2
4
5
2
5
2
5
2
5
2
5
4
5.
-1
é usual indicarmos o inverso de a por a
2 49) A e B comutam Demonstre que
A2 - B2 = (A - B) (A + B)
2.52) A, B e C são matrizes quadradas de ordem n Se a matriz C é an(i-símêtrica, 
demonstre que:
2 48) Utilize a definição dada no exercício 2.28 e demonstre, usando Método da 
Indução Matemática, que, para matriz quadrada A:
Ã^^AP~A^I
Definições
No conjunto dos números reais, para todo a 0 existe o número b. 
denominado inverso de a, que satifaz a condição:
a - b = b - a = 1
2 50) As matrizes A e B sãc simétricas Mostre que,
a) A[ é simétrica.
b) A2 é simétrica
c) Se A e B comutam, então A - B é simétrica
e R2,
Completaremos, agora, o estudo das 
apresentando a inversão de uma matriz quadrada.
ou — , então, 
a
a — = 1a
1
5
2
5
Designa-se com 1 o conjunto das matrizes do tipo a A + b B, (a; b)
a) Verifique que A2 - A e B2 - B.
b) Calcule A - B e B - A
c) Mestre que seMi e 1 e M? e 1 então Mi ■ Mj.
2 51) Se A e B sao matrizes quadradas tais que A B = -B A dizemos que A e B 
são anticomutativas.
Exemplo
Sejam as matrizes A = e B = ; então.
A B =
B-A =
3 4
Teorema
Demonstração
Então:
1
1
2
1
3
1
3
1 
0
Analogamente, coloca-se o problema seguinte dada uma matriz quadrada 
A, existe uma outra matriz B. conformãvel com A para a multiplicação, que satisfaz 
a condição
-2
3
. 2
2’
4
-2
3
2
2
4
0 
1
-2
3
2
1
2
2
A B = B'A = l
onde I é a matriz identidade de ordem apropriada?
Se essa matriz existe diremos que é uma matriz inversa de A, e será 
representada com A~\
Então, a definição
Admitamos que exista uma matriz H tal que-
A H = H ■ A = I
"Se a matriz A è invertível, então é única a matriz B tal que:
A B= B - A = I,
isto é, se A possui uma inversa, essa inversa é única."
H = I ■ H = (B A) H = B (A H) = B ■ I = B, 
o que demonstra nossa tese.
48
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de oídem 
n, diz-se uma inversa da matriz Ah se e somente se:
A B « B A = In
também que, se a 
possui uma inversa, A não ê invertível.
’l 0‘ 
0 1
1
2
2
= I2
= >2
A matriz quadrada A denomina-se não singular se e somente se A possui 
uma inversa Se A não possui uma inversa, A denomina-se singular Diz-se 
matriz quadrada A possui uma inversa, A é invertível; se A não
Observe que A B = B ■ A = fa; então, B é uma inversa de A, ou A ê 
invertível, ou A não e singular.
= A • A - I
comutam e que
(A'1) = A
Exercícios Resolvidos
2.54) Seja 3 matriz A
Solução
aSuponhamos que exista A-1; sua ordem é 2
c
a
A A
d
Dai:
Devemos verificar a condição A A= l2
■A =A
2 1 1
Então, definitivamente. a inversa de A é A
2
2 55) Seja a matriz A =
Solução
Suponhamos que exista A A'1 - . Então:
49
1 
-1
1 
a
1 
1
1 
o
1 
-1
é a matriz inversa de A 
Note que A e A"1
2 b+1 d
1 b + 1 d
1 
0
0 
1
b’
d
b — 1
d = 2
2a+c = 1 
a + c= D
l-f1 ij 10
3=1.
G=-1,
■í:
2 f
1 'I
x 2. Então A-1 ~
a b‘ 
c d
1 0' 
0 1
2b + d=0] 
b-r d = 1|
= i2
ri2*(-i)d
L(-1) 2 + 2 1 (-1) 1 + 2
c
1 a + 1 c
Observações
Dada uma matriz quadrada A, invertível, de ordem n. a única matriz, A-1, 
quadrada de ordem n, tal que:
A A'
. Determine A-1, se existir
Determine A-1, se existir
01., 
+1 ’
a
A A
c
1 a+1 c
0 a + 0 c
a + c
0
; então a matriz A é singular, ou, ainda, é não invertivel.Não existe A
2 1
. Determine A”1, se existir.2 56) Seja a matriz A 0 -21
1 4
Solução
Suponhamos que exista A"1; sua ordem 3x3. Então:
ba c
A d fe
h.9
1-1 2 1 0 0’ba c
A A 0 1 d f o 1 ae
1 4 h i 0 0 1g
1
Daí:
o
b + 4e-h=Q
50
1
-2
0
0
1
0
-b + 2e-i-h=0
e —2h — 1
b’
d
't 1’ 
0 0
-c+2f-ri'
Q+Í-2Í 
c +4f-i
-a + 2d + g -1 
d-2g = 0 
a-4d-g = 0
1 0
© j" G>
t________ i
impossível
1 b+1 d
0 b + 0 d
b + d
0 o’
0
1
= l2 =
- 13 -
7 
a =------
12
d = l
6
1
9 = 12
h.-l
2
b=-l
2 
e - 0
-b + 2e + h 
0*e-2h 
b+4e-h
-a + 2d + g 
0^d-2g 
a + 4d-g
1 0
0 1.
F1 01
L° 1J
&
Então.
A 0
pois também A ■ A = I3 (o que deve ser verificada1).
Exercícios Propostos
2.57) Para cada matriz abaixo, determine A . se existir:
2
a) A - b) A - c) A = 1
2 56) Seja A = . Verifique que A
Se A determine que A.2.59)
Para cada matriz abaixo, determine A se existir:2.S0)
-2
b) A =a) A- C) A =
0
51
-c + 2f + i = O 
f-2i = 0 
c + 4f-r-1
1
4
1
0
0
0
0
1
secO 
tg«
tgf) 
secO
1
0 
□
0
1
0
2 
1
2
-1
2
2
2
2
1
0
5
7
Í22
622
12
3
4 ’
5
12
1
6
1
12
1'2
2.
1 1
2 3
- — A9
Observe que para invertemos uma matriz A, de ordem n, pelo processo 
exposto acima, devemos resolver n sistemas, cada um deles com n 
equações e n incógnitas É exaustiva!
Há outros métodos para a inversão de matrizes cada um deles com suasvantagens e desvantagens. No capítulo 5 posterior apresentaremos um dos 
métodos mais conhecidos.
1 1
2 3
5 1
5 
c = —
12
f = l
&
i=-L
12
-3*
4
O.l
2 61) Determine a matriz inversa da matriz quadrada de ordem n:
I =
0 a ü o 1
A ■ X = B o X - A' ■ B
Então, A X = B =>X = A
De (D e © vem a tese AX = BoX = A 1 B
Exercícios Resolvidos
2.62) Sejam as matrizes A = Resolva a equação matricial:
A ■ X B.
Solução
1
A matriz A é invertível e A , (veja o exercício 2,54).
2
52
0
... 0
... 0
1
0 
0
0
1
0
'1 2
3 4
0 ... 
0 
1
Demonstração
Se Aé invertível, existe A-1; então, multiplicando-se por A-1, “à esquerda’, 
ambos os membros da equação A X = B, oblemos sucessivamente:
A-1 ■ (A ■ X) = A“1 ■ B
(A-1 • A) • X = A"1 - B
I X = A-1 • B
X - A-1 ■ B
A equação matricial A X = 8, Teorema
Seja A uma matriz tnvertivei, respeitada a conformabilidade, vale a 
equivalência: ______________
Inversamente, para X = A 1 ■ 0, a equação A X = B fica satisfeita:
A X = A (A-1 B) = (A ■ A~1) B = I B = B
Então, X = A'1 • B => A ' X = B ®
Í2 11
I e B =1 ll
■ 0 ©
Então:
X = A • 8 =
X =
Exercícios Propostos
2.53) Sejam as matrizes A = eE = Resolva 3 equação matricial:
0
A X - B
ccs a
2 64) Sejam as matrizes A - 1 e B = 1
-sen a
matricial A - X = B
e
X A = B-^X~B A
Teorema
= B”1 A(A B)
— In
é B
53
-2
5
-2 
6
1 
-1
7
-1
sena"l 
I 
cosaj
1-1 + (-1)3 
(-1J-1 + 2-3
'1 2
3 4
1 2 + (~1) 4
(-1) 2 + 2 4
2 66) A, B e C são matrizes quadradas de ordem n, invertiveis Resolva as 
equações matriciais:
a) A ■ X - B = C
b) A X + S = C
c) (A ■ X)‘ = B
d) (A + X)’ = B
e) (A - X)-1 - B
T ccs 2al
Resolva a equaçao 
Lsen2aJ
2 65) Seja A urra matriz invert/ve/. suponha respeitada a conformabilidade, 
demonstre que
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, invertiveis; então A ■ B é 
invertível e:
Demonstração
Temos:
(A B) ■ (B-1 ‘ A-1) = A ‘ (B B-1) - A-1 = A ■ U A’1 = A A
(B-1 ■ A"1) • (A • B) = B-1 ■ (A-1 • A) ■ B = B-1 • In ■ B = B-1 B = J„
Das duas igualdades acima concluímos que A Bs invertível e sua inversa
■ A“\
Teorema
Seja A uma malnz quadrada de ordem n. invertivel; então
(A']-1 = (A’1)1
T eorema
-A}
Demonstração
Temos
Dai.
Exercícios Resolvidos
2 67) Definição
= A1.Uma matriz quadrada, nao singular, diz-se ortogonal quando A'
a) Verifique aue a matriz A = é ortogonaL
54
Demonstração
Temos.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, invertivel e 
nulo, então:
— A 
g
ct um número real não
A A-1 = A-1 ■ A = In
Então, tomando as transpostas das matrizes iguais acima:
(A ' A’1)1 = (A"1 A)' = l1n
(A A~1)‘ = (A“1 ■ A)‘= In
(A-1)'' A1 = A1 ■ (A-1)1 -Jn
A definição de inversa de uma matriz possibilita escrever, da equação 
acima, que (A1)^1 = (A-1)1.
b) Se as matrizes, não singulares, A e B, sao ortogonais então A ■ B é 
matriz ortogonal.
c) Se a matriz, invertivel, A ortogonal, então a matriz A-1 é ortogonaí.
cosQ -sentí
sentí cosü
A A-1 = A-1 • A = ln
(a A) - (- A-1) = (1 A-1) • (g A) = I 
ci ct
A definição de inversa de uma matriz possibilita escrever, da equação 
. 1 .
acima, que (a A) = — A \
a
Solução
a) Se A = então A e
= A1 e A é uma matriz ortogona!.„ e então A'
= Mr, de fato,c) Temos A
C Respeitadasao invertiveise a
B A’
Solução
A-1B
(B' cy B
55
COS A 
-sen 0
cosO 
senü
cos ü 
-seni)
senü
cosí)
-senO
COS0
sení)
cosí)
■ A ■ (A-1 * B-1 ■ C) ■ (C-1 ■ 8} B
■ (A ■ A-1) B-1 (C ■ C-1) B B
- I - B ■ B
■ (B-’ - B) B
■TB
Solução
a) B' • A‘ = (AtB)' - A1
hipótese
b) A1 ■ B' = (B A)' = Bl
-1 A-’) = C
2.70) A e B sãc matrizes tais que A B = A e 0 A = B Verifique que
a) B‘ A1 = A1
b) A' B1 = B‘
c) A = B = I, se A ê não stngu!ar
Solução
Temos sucessivamente:
C ■ B-1 ■ A ■ (A-1 ■ B-1 ■ C) • (C
C ■ B
C ■ B’1 ■ í - B-
C ■ B
C ■ 0
C■(B"‘■ B)
C I
C
A* =
A propriedade associativa permite-nos escrever A B - C = (A B) - C 
Então, aplicando o Teorema da página 53, obtemos: 
(A B cr1 = [(A 8) Cf1 = c-1 (A B)-1 = C"1 (B‘
2 S9] Para as matrizes A. B e C, simplifique:
C ■ B-1 - A ■ (C-1 B A)'
b) Se A e B são octogonais: A 
(A B)
= A1 e B-1 = B[ Devemos verificar que 
= (A B)‘, isto é, que A B e orfogonaí, de fato:
(A B)-1 ~ B-1 A-1 = B1 A1 “ (A B)f
= A[ seja A-1 = M, Devemos verificar que M 
M 1 = (A-1)-1 = A = (A1)1 = (A"’)1 = M‘
A e ortagonal
2 68) As matrizes quadradas A, 0 
confonriabilidade. demonstre que:
(A B ■ C)’1 = C
, "á esquerda", ambos os membros da igualdade
- A
também comutam.e B2 71} Ae B sao invertíveis e comutam. Verifique que A
'B'
A’1 B A= B
2 72) Se Aé nao singular e A B = A • C, então B = C
ambos os membros
A
2 • í - -A2 + 3 • A
IA-1 - • A
A A A
A
A
56
A-1 ■ (A B) = A' 
(A"1 A) B = I 
I B = I
B = I
Se B = l, na igualdade B A = B, obtemos A = I,
A A"1 )
= (B ; Ap1 = (A; B)‘
AeB comutam
c) Multiplicando por A 
A B = A, tem-se
J’-A 
<2
(a a"H-(
a-4a+|„
2 .73) Se A e invertivel eA2-3 A + 21 = 01 verifique que:
= — ■)-— A 
3 2
Solução
Se A e B cornuíam, tem-se A B = B ■ A
Devemos demonstrar que A-1 e B"1 comutam, isto é. que A 
De fato.
Solução
' Isolando' a matriz I no membro da equação matricial acima: 
i._1.a2-4a
2 2
Multiplicando-se. agora, ambos os membros da equação por A"1, obtemos:
1--- «3 3 A 
----- A + —-A
2 2
-1a2 l 2
_1.a(a-a
Solução
Se A é não singular, existe A-1 Multiplicando-se por A 
da equação A - B = A C, obtemos sucessivamente
A-1 ’ (A ■ B) = A-1 (A C)
(A”1 A) B = (A'1 A) C
I 0 = 1 ■ C
B = C
= B"1A-1
■ {I + A)' =
2.75) A matriz quadrada A é invertivef. Para p e N* demonstre que:
(AT1 = (Aj1)P
Teorema 1
Para p = 1 a propriedade é válida.
Teorema 2
2.76) Suponhamos que B = P~’ ■ A - P. Mostre que Bm - P' P, para m £ N'
Teorema 1
Para m =1 a propriedade é válida: B = P A P.
Teorema 2
57
Multiplicando-se, "à direita", ambos os membros da igualdade da hipótese 
pela matriz A-1:
Solução
Vamos nos utilizar do Método da Indução Matemática.
Solução
Vamos nos utilizar do Método da Indução Matemática
Hjpótese. suponhamos que a propriedade é válida para p = k. isto è: 
(A”)-1 = (A-1)*
■ A™ ■
Hipótese suponhamos que a propriedade é válida para m = k, isto é: 
Bk = p“1 * Ak - P
Tese demonstremos que a propriedade é válida para p = k + 1, isto é: 
(Ak + 1)-1 = (A-1)k* 1
2.74) As matrizes l+Ael-A são invertíveis. Verifique que se B - ([ + A) (| - A) 1, 
então B1 = (l - A1)-1 ■ (I + AÈ).
Solução
B[ = ((I + A) (I - A)"1]1 = [(I - A)"1]' ■ (I + A)1 = ((I - A)'J 
= (l“ - A1)"1 (|“ + A') = (I - A')"1 ■ Cl + A)'.
(A*)-1 • A-1 = (A-1)h A 
(A A1*)"1 = (A"1)k’1 
(Ak + 1) = (A--|)k + 1
Exercícios Propostos
2 77) Se A-
é simétrica.
2-79) Para as matrizes A, BeQ, tem-se: B = Q ■ A ■ Q"'1; verifique Se A = Q ■ B Q
2 B1) Para as matrizes P e Q verifique que se P 1 * Q = I então P + Q = P ■ Q.
aA-
d -b
A
-c a
iri) multiplica-se a matriz resultante por —, onde A - ad - bc
58
0
3
0
1
4
-2
1
2
2
A
Multiplicando-se, 'à direita”, ambos os membros da igualdade da hipótese 
pela matriz B:
I = (P‘
= (P"
= (P
= P-1
= P'1
= P-’
2.80) A e B sao matrizes invertiveis, dadas. Determine a matriz X:
X = B + (I-BA)X
Bk ■ B 
Bk*’ 
BkH 
Bk*1 
BkM 
Bk*!
Tese demonstremos que a propriedade é válida para m = k + 1, isto é: 
Bh *1 = p-’ ‘ Ak +1 ■ P
, verifique que A’1 =— (A2-2 A-4 i).
- a* • pj • b q dad0
1 Ak ■ P) {P-1 ■ A ■ Pf^
1 ‘ Ax) ■ (P ■ P“1) - A - P
Ak ■ I A P
■ Ak ■ A - P
■ Aki1 ■ P
2 78) A é uma matriz nao singular. Se A é simétnca então A 
Demonstre!
é invertivet se e somente se A = ad - bo t 0. 
Se a 0, verifique que:
Observe que □ Teorema acima dá um método simples que permite inverter, 
de forma rápida, qualquer matriz de ordem 2* 2. A, não singular.
Para se obter a sua inversa A-1, procede-se da seguinte forma:
i) trocam-se os sinais dos elementos b e c.
ii) trocam-se as postções dos elementos aed,
iii) multiplica-se a matriz resultante por —, onde A - ad - bc
A
2 92) Teorema: Mostre que uma matriz 2«2: 
b 
c d
* B-1)' = A ■ (A + B)' B(A
é ortogonal.
59
2 83) Se A, Be A + B são invertfveis, assuma que (A1 + B1)-1 é invertívelEntão, 
veníique que:
2 34) A matriz quadrada K é anti-simétrica Se as matrizes 1 * K e 1 — K sáo 
ínvertiveis, a matriz B, definida pon
B = (I + K) • (I • K)1
1 1a) Verifique que A2 = -A * 2I e deduza que A-1 = — A + — I. A"1 é 
elemento de 1 ?
b) Demonstre que o produto de dois elementos de 1 è também de 1.
2.85) No conjunto das matrizes de ordem 2x2, sejam as matrizes do tipo
Fa cl
A-: j, com a +■ d - -1 e ad - bc = —2[d bj
Considere o conjunto1
l = {M|M = a-A*P'l,(a; p)e S2}
Exercícios Suplementares
Sejam a matrizes A = e 3 =1.1)
1
Determine a matriz X, sabendo-se que:Seja a matriz A12}
e B =13)
2
, então A2 = O. Verifique!Se A =14)
-bc
Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A15)
1.6) Para cada número real a associa-se a matriz:
cosasen a
= T‘„.Verifique que Tn Tp = T(I + ^ e T.
1.7)
1.8)
b) a matriz K = — ■ (A - A'} é anti-simétrica.
60
As matrizes quadradas de ordem n, A e 0, comutam. Demonstre que:
a) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
b) (A - B) (A2 + AB + B2) = A3 - B3
-2
3
4
2
4 
-3
O 
6
5
3
0
-6
-2 
3
4 
2z
4 
z-t
x-y
1
Sejam as matrizes A =
x + y 
3 
0 
-6
Se A1 = £3", determine x, y, z e t
1
X e Y, de ordem 2x3, tais que:
2 ■ X-Y = A
X + 3 Y= 0
1 1
O O
bo -b2 
c2
2 1 o'
1
J3 -4]
[1 2j
2 ■ X1 - 3 A + 12 = Oz
A é uma matriz quadrada Verifique que:
a) a matriz S = — ■ (A + A1) é simétrica.
b) a matriz K = ^ ■ (A - A“) é anti-simétrica.
c) Deduza então que toda a matriz quadrada pode ser expressa como a 
soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica
cosa -sena
O 21
i. Determine as matrizes
4 2J
19)
$ B -A -
1
sao divisores de zero.
Se A2 = A, então dizemos que A éI 10)
1.11)
1.12)
1.13)
1.14)
1
0A =
x
seja ortogonai
Existe alguma matriz ínvertiveí A. tal que A1 = 0?I 15)
1.16)
117)
1.18)
n -1 ‘
61
-i
1 
-1
-5 
5 
-4
3 
-3
3
5
-5
5
A, BeC são matrizes de ordem nxn, invertlveis. Determine a matriz X: 
A (B-1 ’ X) = cr1 A
Seja A uma matriz quadrada.
idem potente
Mostre que as matrizes AeBdo exercício anterior são idempoteotes.
A, B e C são matrizes de ordem n x n tais que:
A=B + C, C2 = O e B C = C B.
Mostre que para p, p e N *, tem-se:
ApM = 8p‘[B + (P +1) ‘ C]
A e B são matrizes quadrada de ordem n e A é invertivei. Verifique que: 
(A + B)■ A“1 • (A - B) = (A - B) ’ A-1 ■ (A + B)
A matriz quadrada C ê idempotente e não nula. Verifique as matrizes C e 
C — I são divisores de zero
1 1
Se a matriz A é invoiutiva mostre que S =— ■ {I + A) e 7 = — ■ (I - A) sao 
matrizes idempotenles. Verifique então que S 7 = O
Determine os reais x, y, z para que a matriz 
0 0
1 1
?2 72 
y 2 .
Sejam Ai, Az, A3, .... An -1, An matrizes de ordem n x n, invertiveis. Utilize o 
Método da Indução Matemática para demonstrar que:
(Al ■ A2 ■ As ■ ... ‘ An -1 ■ Art)-1 - A“’n ■ A^n-i ■ ... ■ A^g ■ A-12 ■ A-1i
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, não nulas, tais que A B = O, 
dizemos então que Ae B são divisores de zero.
Mostre que as matrizes: 
' 2 -3 
4 
-3
+
2 1
matrizes quadradas de ordem 2 da
a
b) Verifique que Aa A^-t-A^-Au
e) Mostre que para n
f) Verifique que (A:< + Aj,,)2 = — h.
62
1' 
11
1
_£
o
X2 =
X2-
a" 0n
1.19) X, e X? são matrizes de ordem 2x2. Determine-as: 
'3 2 
7 0 
-2 
10
í-li.
' I2'
t2n
12.
c) Calcule AZn.
d) Verifique que (A., + A[i}2 =< -
«P
€ N*; (An + A^ = t-1)n
Onde a e R*.
a) Mostre que dois elementos de 1, Aa e Ap comutam se e somente se a = p.
= (2-“-P
l D a
1.20) Considere o 
forma:
Í2 -í 1° 1 
0 
3
conjunto 1 de todas as
1
2
PARTE II
Capítulo 3 — Cálculo de determinantes
Capítulo 4 — Propriedades dos determinantes
Capítulo 5 — Outros temas importantes
Capítulo
3
.1
3.1 - DEFINIÇÕES
det A = det [an[ = at;
Exemplo; det [4] = 4
2n) Se Aé urna matriz quadrada de ordem 2:
A -
o seu determinante ê an ■ a 22 ai2 • an.
Para substituir a notação det usa-se a notação , na
Então:
det A - - ai r a22 ai2 ' a2l
65
1o) Se A é uma matriz quadrada de ordem 1:
A = [ar]
Cálculo
de determinantes
a12
a22
a12
a22
a11
a21
o seu determinante é ai
O determinante de Aè notado com det A; então:
311
a2l
a21
a12
a22
Observe então que det A é o produto dos elementos da diagonal principal de 
A menos o produto dos elementos da diagonal secundária de A.
Aqui, vamos descrever como se associa a uma matriz quadrada de ordem n, 
A = [a j] um número que se denomina determinante de A.
Historicamente, os determinantes surgiram no século XVII, com os estudos 
sobre a resolução de um sistema de equações lineares.
Para uma matriz quadrada A, há um caminho preciso para se calcular o seu 
determinante:
311 a12
a21 a22
qual se utilizam barras verticais "cercando” os elementos de A.
Exemplo:
= 1 ■ 4 - 2 ■ 3 = -2
Ó
3o) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3'
A =
o seu determinante é:
311322333 + 313321332 + 312323331 - 313322331 - 311323332 - 312321333
Então:
a
a
Exemplo
02
66
an 
a21 
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
1 • 2 • 2 + 3 ■ 4 ■ 1 + (-1) • 0 3 - 3 2 • (-1) - 1 - 31-2 0 4 = 18
‘ ( 1) O 3
■“122
'341
a11 a12 dl3
a21 a22 a23 * a11 a22 a33 + a13 a21 a32 4 al2 a22 a31 ' al3 a22 a31 * a11 ’a23 a32 * a12 a21 a33 
a31 a32 a33
. -
í 2 0 4 
ob 2 <-i)
| 1 3 1
a21
'ai2
' a.,
a23
3 3333 
a31* 
a32*
a21
a3l'
?I2
a22
a32
aH
a21
a31
A igualdade acima pode ser memorizada com auxílio de uma regra bastante 
prática, denominada Regra de Sarrus; os produtos são obtidos conforme indica o 
esquema:
[a,2 a2, a
< • a2J 
a23
x d.:
Ia11
a32 a23 a31 ] 
a22 a33 
ai3 a2l’a32j
Exercícios Resolvidos
Se 8, calcule D -3-1) 6
Solução
Da igualdade = 8, obtemos 2x — 12 - 0 e dai x = 1 □.
Então. D = 66 - (-5) = 716["|5
' Determine x, x e 3, para que; det(A - x I) = 03 2) Seja a matriz A
Solução
01Temos: A — x I - — x
X
(1 - x) (1 - 4) = 0. Daí, x = 1 ou x = 4.Então, det(A-x ■ I)
1
3,3) Resolva a equação: = a
Solução
= x x*1 + (-1) 2 1 +01 -(—2)—1)-x-0—x-(—2)-1 — 1 12 = 0
0 e, então, V- {-1 +^5 ;-1 - jDaí- x2 + 2x - 4 =
Exercícios Propostos
3.4)
a)
c) d)
67
Temos;
1
-1
-5
3
2
n
L°
X
2
0
x
4
x 
4
21 
i
«J
2 
4
1
0
—sen a 
cosa
x
2
□
x 
1
-x
0
x
1
-cosal 
l 
cosp |
-1
6Í
-1
-2
1
1 
tga
X +1
5
3
2 
-1[ _ I11
2
4-X
-1
-2
1
-1 0'
0 1
2 1=
4-x|
sen a 
senp
x + 1
5
Calcule os determinantes:
4
2
b) l008 a 
[sen a 
tga
-1 1
1 
0
I o
3.5)
3x senx - 0. O < x i nb)a) cosxx
3 2 sen x 14 sen x = 0d)= c) ,2 1 COS X2 sen x ser x
3 6)
= 0
X - cosF)
admita raízes reais.
3.7) Calcule os determinantes:
-2 111 0 01 3
-12 1C)0 b) 0 2 0a) 2
2210 0 33 2
“1~2 11
3-1 e)d) 1
2 1 12
Calcule:3.3}
b) det O3x3 c) deta) det h
C
a
3 9) e det A = 3, calcule:
Lc
c) del(A-’)b) det(A‘)a) del(2A)
3.10) Verifique det(A B) = det A - det B para as matrizes:
-2 3 1 O 21
3 -2 5A = —2 3 1 B =e
30 1 2 1
3.11) Resolva as equações:
3 -431 xX
t» 2 -1 3 = 05 = 0-1a) 4
x + 10 1 12 5
68
0 
-1
2
2
2
-1
COS xl
sen x
-3
-5
1
al2 a13
a22 
0
Resolva as equações:
-1 | 3
2x-3| 2
an 
0 a23 
a3S
r 
Se A =
dj
cos2 6-1
Determine 0, 0 e X para que a equação em x:
|x -cosG
1
3.12) Resolva as inequações:
> 0b)<14a)
x
3.2 - MENOR E COFATOR
Definição
Exemplos
2
1o) Seja a matriz A =
2
2
M11 = = —7
2
1
1
M32
2o) Seja a matriz A =
M12 = |3| = 3
M21 = |2| = 2
69
0
2
3
1
3
1
1
3
2
1
5
-1
2
2
3
-1
-2
0’
2
3
0‘
2
3
'1 2
3 A
1 2‘
3 4
x + 2
1 
-3
1
3 
d
1
3
2 
-1 
2
_|1
|3
°l 9 r2
m23 = |1
Seja A uma matriz quadrada, de ordem n, n 5 2, e seja aij um elemento 
qualquer de A. O determinante da matriz de ordem n - 1, obtida de A suprimindo- 
se sua i-ésima linha e sua j-ésima coluna chama-se menor do elemento aij, e 
indica-se-o com M,j.
2l-o
2|
2 0"
3 -1 2
2 L-3.
x 3x
4 2x
Definição
chama-se cofator do elemento aij.
Exemplos
Seja a matriz A -
-1 •<-!)=-!
3
- = 7
= 1 (-3) = -3
A = e detA =
an2 ■■■ ann.
A
70
an al2 al3 an1
321 a22 a23 an2
2 
5
2 
5
2
an1 an2 an3 
n
au An + An * au Au + ... + âm Am - V Sjj Ay 
J=i
3
6
2
5
2
3
6
2
5
2
3
6
3
6
1
4
02
2
1
0
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, ní2, e seja a>j um elemento 
qualquer de A O número:
1
4 
0 
’ 1
4 
0
3
-1
-31n
= (-1)2"2
■■■ ann
= (-1)^3
3.3 - DEFINIÇÃO DE DETERMINANTE
Vimos até aqui a definição de determinantes para matrizes quadradas de 
ordem 1,2 e 3.
Agora, a partir do conceito de cofator, definiremos determinante para uma 
matriz de ordem n, qualquer.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Defini-se:
Para n = 1: A = [au] e det A-a^^a^
Para ni2:
1
4
0 2
'^33
|4 5
A
aTi~ a12 a1J — anll 
a21 a22 a23 " an2
A21 = (-1)2+1
M22 = (-1)2-2
= H)3+3
ai 1 An + A12 =
la2il =
2o) = an ' A11 + ai2 A12+ ais A13 =
= aii (-1) an(-1)
resultado acima coincide com aquele da definição dada
= 2-A3°)
=2 (-14)+ 3 (-17^2 ( 5) 5 (-18) =1
4°)
= 2 0-0
71
321
a31
2
1
3
1
2 
1
2 
-3
0
1
3
1
1
3
1
1
2
-3
2
1
-1
2
1
-1
-1
2
1
1
3
1
2
0
1
1
2 
-3
1
3
1
2
1
-1
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n. ni 2. éa soma 
dos produtos dos elementos da primeira linha da matnz pelos respectrvos 
cofatores
-3
-1
2
1
0 
1
3
1
□ 
2 
0
1
-1 
2 
1
5
2 
1
-1
-1
2
1
1 
3
1
1
2
-3
1
3
1
2
5
12
30
a12 
a 22 
a32
311
a21
a31
+ 0 A-, j 
iero
3 23
3 33
a2s| +
3331
+ 0 a14 =
Exemplos
n ja21
+ (-3) (-1)1’2
+ aiaC-1)1*2
= 2 (-1)1*1
+ 5 (-1)U4+ 2 (-1)1+3
| + ai2 (-1 )1*2
= 2 A11 = 2 ■ (-1)1+1
Note que o 
anteriormente (Regra de Sarrus),
a121 _
a22j
= an (-1J1*1 * |a22
= ana?2 - aisaji
S13
a23
a33
la22
|a32
11 + (-3)‘ A-12 + 2 ■ + 5 ■ A14
a2l a22 _ 
a3l 3 33
= 311322333“ 311332323— 3,2321333 + 312331323 + 313321332 — 313331322
— 2-A|-j + 0A|2
Exercícios Propostos
definição dada anteriormente, calcule os determinantes das
3
b)a)
c)
3 14) Calcule os determinantes:
b) det Isa)
e
dada por:
A =
3.4 — TEOREMA DE LAPLACE
A demonstração é mais complexa que instrutiva; nao a faremos,
72
a) Use a definição calcule det A.
b) Calcule: airAn + ajrAai + aarAsi + a4iLA<i
c) Calcule aivAji + au-Azz + aitrAís + ai4 A24
1
3
2
1
2
3
1
0
b
o
0
0
4
5
5
0
3
-1
4 
0
0
0
0
0
0
d
0
4
□
-2
1
1
3
1
1
0
0
0
0
-4
3
1
4
a
0
0
0
0
2
-2
2 
-2
2
7
1
3
0
4
7
0 
0 
-1 
-2
3
1
3
1
-2
-1
2
5 
-7
2
1
2
5 
-3
c 
0 
0
ü
0
5
9
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n £ 2. O seu determinante é 
a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer 
pelos respectivos cofatores.
3.15) Seja a matriz quadrada A = [3^4*4
3 13) Usando a 
matrizes:
Observações
podemos escrever:
pj
Exemplos
1°) Consideremos a matriz A -
D =
1
D =
1 2
2 0
73
2J) A escolha da linha (ou coluna) para um cálculo de um determinante deve 
ser adequada a fila escolhida deve ser aquela que possua mats zeros Para cada 
zero da fila escolhida corresponde um cofator que não precisa ser calculado.
3
2
-3
1
-2
1
0 
-1
4
3
3
2
1
4
3
-3
3
4
3
-3
3
1 
-4
3 
2
-3
1
0 
-2
-1
0
1
-1
-3
1
-2
2
2
3
2
33’a33 +a34 
zero
-a31'
2°) Vamos calcular o determinante:
2 
2 
0
0
4
3 +■ (-1 )3+4-(-3)' —4 2
3
2
- (-1)3+1 3‘ 2
0
1a) Para a matriz A = (a(J]nxI1
^"^32
zero
n n
det A= £ Spj-Apj = £ a(q Aiq 
j=t j=i
para todo p, Ispsn e para todo q. 1 í qí n
A31
Utilizando a segunda linha do Teorema de Lapiace- 
det A = 32iAíi * 322A22 + 323A23 + 3J4A24 
det A - O-Aj! + 3-Aíí + 0 A2j + 324 A24 
zeia zero
Apj
Note que a escolha feita leva-nos ao cálculo de apenas 2 cofatores; se 
utilizássemos a 1* linha, deveriamos calcular 4 cofatores.
- A32 +a
Escolhas apropriadas para □ desenvolvimento sâo a 3° hnha ou a 2a coluna 
Utilizando, então, a 3a linha 
2 -3 
2 1 
0 0 
0 -2
- r2 9 + (“1) 2-(-1) = 20(“1) - 2 2 ■
2
1 = 1-2-B + 1 (—2)10 - -42
Então D = 1'3'20 + (-1 }(-3)(-4) = 4B
Uma aplicação do Teorema de Laplace - Matriz triangular
A
°íin
A =
1 
-2
2
2
3
3
4
3
3
2
2
0
0
0
-3
1 
-2
-3
1
-2
4
3
Observe que 
são iguais a zero.
Analogamente, se a.j = 0 quando i < j, A denomina-se matriz triangular 
inferior
-3
1 * (-1)
0 s
0
-3
-2
Se A é uma matriz triangular, o seu determinante é □ produto dos elementos 
da diagonal principal; isto se verifica desenvolvendo o detenriinante de A através 
da 1a linha, se ela for triangular superior, e, através da 1* coluna, se ela for 
triangular inferior:
74
Seja a matriz quadrada de ordem n; A = [a^^n
Se ai, - D quando i > j, A denomina-se matriz triangular superior. 
Então:
os elementos de A que estão "abaixo’* da diagonal principal
4i-rbi4+-rli + l-ad + hbii ■ ■ F«.
0 0 0
+ (-1)1-2.
^x^o d ... 
■■■
a31 ■■■
a,2 aia ... airi
■^22^^23 -- a2r
0\í\. a3n
Agora, utilizamos a 1a coluna para desenvolver o determinante:
2
2
O
Analogamente, utilizando a 3a linha, calculamos:
1 2
2 
0
l3#3 (-2)
ain1 an2
A =
aa □
det In = det
0 0 1
det In = 1
Exercícios Propostos
a) b)
c) d)
0
b)
a2
75
2 
0
0
□
0
0
0
D
D
3
3
0
2
0
1
2 
0
-1
O
4
7
O
O
-1
-2
O 
2 
0 
3
O 
1 
-1 
0
O 
0
5
9
0
1
0
0
1
2
3
1
a
o
2
-1
1
0
0
2
1
1
1
O
O
0
1
□
0
O
1
1
-1
□
c
d
1 
-1 
0
1
an
□
O
0
0
1
2
-1 
0
2
5
0
2
1
31 
0 
0
1 1, 1 =1 
n fatores
a22
O a33
a2
0
Q
a2
ai
a2
0
®nn
í ~ ~ ~
i detA = a11 a22 a33 . -an(1 = ai, 
[
O 2
O 0
3
1
3 17) Calcule os determinantes 
a 
b
é triangular (veja item 1.6) 
Em particular, a matriz identidade de ordem n, ln, que é uma matriz 
diagonal, é também triangular Tem-se:
1 
0
0
Note que a matnz diagonal de ordem n" 
0
3.16) Calcule os determinantes:
3
2
3
1
0
Então, para a matriz identidade de ordem n
3 1S) Calcule os determinantes:
b)a)
3.19) Verifique que:
3
ba
+ b-x ■
c X
3.21) Seja A uma matriz triangular superior, A1 é uma matriz trianguíari?
0
3.24) Seja a matriz de ordem n;
0
A =
0
■ (tr - aia?as ... an).Verifique que d et A = (-1)'
76
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0 
1
0
0
0
3 
0
0
5 
0
0 
□
0
0
1
-4 
O 
2 
1
-1
0
0
2
0
1
4
2
0
0
O
0
0
1
0
0 
0 
1
0
0
0
0
2
9
7
4
3
9
0
1
6
9
8
7
0
0
2
6
9
4
0
0
0
2
S
3
0 
O 
0 
0 
2
0
1
0
0
0
0
2 
n
4
-5
1
y3
1
o 
o 
c
0 
0
1
a2
0
0
a3 
0
0
0
0
la11 
ia21
al
*11
a21 
0
: 0
*12
3 22 
0 
0
3.22) A e B, de mesma ordem, sao matnzes triangulares superiores. Verifique que 
A ■ B ê matriz triangular supenor.
*1 
x2 
1 
0
*4
*12
*22
xz
311
*21
*1
3 20} DÊ uma matriz quadrada de ordem 3 cujo determinante ê igual a:
x c
3.23) Calcule c determinante da matriz de ordem n: 
0 
0 
0
"I- 
a22 |
X CC X
a b
Capitulo
4.1 - DETERMINANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA
det A* = det A
Teorema 1
Para n = 1 a propriedade é imediata.
Teorema 2
ip
A'=A = e
apl ap2 ap3 ■ app
(I)
77
Demonstração
Vamos nos utilizar do Método da Indução Matemática sobre n:
Propriedade P1
Seja a matriz quadrada A, de ordem n; então:
aii
a21
a31
Propriedades 
dos determinantes
bpi
bn
b21
b31
b23
b33
a12
a22
a32
bp2 bp3 ■ bPP
(para todo i, 1á t p 
onde b,j = a,.J
1 ipara todo j, 1£ j ã p
ai3 a-ip
a23 a2p
a33 a3p
Hipótese: suponhamos que para matrizes de ordem n = p - 1 a propriedade 
é válida.
Tese demonstremos que a propriedade é válida para n = p
Sejam então as matrizes:
Desenvolvendo det A e det A’ através da 1* linha :
detA = anAii + ai2'Ai2 + aiaAi3 + ... + aip-Aip 
detAl = bnBn + bi2-Bi2 + bn B13 + ... + bip Bip
b12 b13 ■■■ b1|
b22 b23 ■■■ b2p
b32 b33 ■ ■ b3p
Exemplos
a
V) det
c
2") det = det = -11
4.2-TROCA DE FILAS
Propriedade P2
78
1
4
3
0
0
1
Demonstração
Vamos nos utilizar do Metódo da Indução Matemática sobre n, fazendo a 
'‘troca” de duas linhas:
3
1
3
1
3 
0
Da definição de matnz transposta:
bn = a-n, bi2 = a2i, bi3 = aji......bip = a?i
e, pela hipótese do Teorema 2,
Bn = An, Bij - Aji, Bia = Aai, Bip = Api (observe que sâo determinantes 
de matrizes de ordem p - 1)
dJ
C*l
Lb dj
Observações
1a) A importância da propriedade acima reside no fato de que as 
propriedades dos determinantes que sâo válidas para as linhas de uma matriz, 
também o sâo para as suas colunas. Então, se uma propriedade é demonstrada 
para as linhas, poderemos poupar a demonstração paraas colunas, & 
reciprocamente.
2B) Atenção: Por comodidade de linguagem diremos, ãs vezes, “a linha, a 
coluna. ... do determinante D”. Quando isto se der. fica estabelecido qu& se fixou 
uma matriz quadrada cujo determinante ê D; e a linha, a coluna, ... a que nos 
referimos, são da matriz fixada.
Agora, substituindo em (I);
det A1 = aii - An + 321 ■ A21 + 331 j A31 + ... + api ■ Api = det A 
(desenvolvimento através da Ia coluna)
4 3’
1 3
0 1
- >
Seja a matriz quadrada A, de ordem n, ní 2,
Se uma matriz B ê obtida de A, ''trocando-se'1 nesta as posições de duas 
quaisquer linhas (ou colunas), tem-se:
det B = - det A
Teorema 1
2
Seja A = 3i2 321,
B = . e dai det B 321 ■ 312-322 ■ 3n
Teorema 2
e S, que se obtém de A "trocando-se" nesta'ijJnxn
e
Entáo
Exemplos
b c
1“) z
r
2°)
79
□ 
z y 
q
Hipótese: suponhamos que para matrizes de ordem n = p - 1 a propriedade 
é válida, isto é, numa matnz A, de ordem p — 1, trocam-se as posições de duas 
tinhas obtendo-se a matriz B e, então, det B = - det A
Tese demonstremos que a propriedade é válida para n = p, isto é, numa 
matriz A. de ordem p, trocam-se as posições de duas linhas obtendo-se a matriz B. 
e entáu, det B = det A.
Sejam as matrizes A = [aj,
as posições de duas linhas.
Ém A e em B seja i a ordem de uma linha diferente das duas que forem 
trocadas; então
y
q r
’3
^3
a
xj
P'
a«
c<
ai
bi
di
Cl
b a
x
P
det 8-^2 aij' aij ■ Ai| - - det A
j-i í=i
A demonstração ê análoga se em A fizéssimos a troca de duas colunas.
a2 
b2 
d2 
c2
Demonstremos a propriedade para n
au ai2 "j. então det A = an - 322 
a2i a22j
“Trocando-se" as posições das duas linhas
a2l 
an
a22
a!2
n n
det A - £ 3ij - A( e det B = £ a,, Bl( 
i=i i=i
Cada cofator Bi(1 associado a uma matriz de ordem p - 1. é obtido do cofator 
Aij, '“troe ando-se" neste as posições de duas linhas por hipótese do Teorema 2;
Bi| — — Ai,
a1 a2 a3
0^ b2 r;
C1 c2
d, d2
-(a 11 322 - ai2 321) - — det A
a3 a4
b3 b4
d3 dj
c3 ct
4.3 - FILAS IGUAIS
x
A -
se os
A =
c
A =
Propriedade P3
Demonstração
suponhamos que a i-ésima e k-ésima Unhas sejam iguais,
akj, para todo j, I < j £ naij
matriz 8,
det B = — det A
80
Seja a matriz quadrada A, de ordem n, n £ 2.
Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais tem-se:
det A = 0
1
0
5
2
4
7
3 
-1 
9
Elementos correspondentes
Seja a matriz A, de ordem m;<n. 
de uma delas e um <------------------------------
mesma coluna
Por exemplo, na matriz'
a x
1 2
b o
3 4 
b
OS elementos 0, 4, -1 e 
elementos 5, 7. 9 e 0 da 3® linha.
Diremos que numa matriz A linhas, de ordens diferentes, são iguais 
elementos correspondentes nessa linhas são iguais,
Por exemplo, na matriz:
"Trocando-se", então as posições dessas duas linhas, obtém-se a 
tal que:
Em A s= 
isto é
. A, v.Jw Dadas duas de suas linhas, um elemento 
elemento de outra dizem-se correspondentes se pertencem a
asl* e 3a linhas são iguais.
Analogamente definimos elementos correspondentes em coíunas e colunas 
íguaís para uma matriz, por exemplo, na matriz:o
jãJ * I3]
os elementos 1, 5 e 3 da 1® coluna são os respectivos correspondentes dos 
elementos 3, 4 e 7 da 2® coluna; observe que as Ia e 3® colunas são iguais.
a
°.i
a da 2a linha são os respectivos correspondentes dos
a x
a a
= 0- 0.x x
za x ya
4.4 — FILA NULA
Definição
A =
x y c
a 2a linha é nula
Propriedade P4
Exemplos
2
- 0= 0
y
81
Demonstração
Desenvolvendo o determinante de A através da fila nula, tem-se a tese
Seja a matriz quadrada A. de ordem n.
Seja A possui uma fila (linha ou coluna) nula, então: 
det A - 0
1
7
4
1 
0
3 
0
1 
1
1
2
3
4
3 
3
0
0
0
0
De CD e (D) conclui-se que;
det A = - det A
x
7
12
100
101
200
Mas. como as duas linhas "trocadas" sao iguais, tem-se: 
det B = det A (Jí)
0
P 4
Seja a matriz A de ordem mxn.
Uma fria de A (linha ou coluna) diz-se nula quando os elementos que a 
constituem sâo todos iguais a zero,
Por exemplo, na matriz:
e dai det A = 0.
A demonstração é análoga se em A tivermos duas cotunas iguais
12
12
7 4
0 0
d
4.5 - MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE
Definição
A =
se multiplicarmos a 3* linha por 5. obtemos a matriz:
B =
Propriedade P5
det B = k ■ det A
an a12 al3 alr a11 ai3 a1n
a23 a2i a22
A - B =e
kaj2 ... kaina12
an2 an3 -_aM an2
a
det B
82
- k-asrAii + k'3i2 Ai? + kaisAis + ... + kainAin =
= k[aii-Aii + aiz-Ais +■ ai3'Ai3 + ... + a:n Air]= k - det A
Demonstração
Sejam, entào, as matrizes:
Seja a matriz quadrada A, de ordem n,
Seja 8 a matriz obtida de A multiplicando-se nesta uma linha (ou coluna) 
pelo número k; então:
a
1
20
0
a
1
4
0
y
7
1
2
y
7
5
2
x
3
5
7
x
3
25
7
aln
a23
Seja a matriz A de ordem m x n.
"Multiplicar uma fila (linha ou coluna} por um número k" é multiplicar todos os 
elementos que a constituem por k.
Por exemplo, na matriz:
al3
a21 a22
kal3
an3...
at2
a2n a2n
ann3r1
ai1
ann
Observe que a matriz B foi obtida da matriz A multiplicando-se nesta 
i-ésima linha (I < i < n) pelo número k.
Note também que os cofatores dos elementos da i-ésima linha e B são 
iguais aos cofatores dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A
Então, desenvolvendo o detenmmante de B através de sua i-ésima linha:
Exemplos
1n) = 2
2 'cm bv dénca'
= 2
2*) k
9 9 g
kbc
kf = k e
g kh
A = e B = k - A, com k e R .
9 i
Então,
det B = det (k A) = det
b
= k3-= k k k det A
g
4.6 - FILAS PROPORCIONAIS
os
83
1
1
4
1
3
4
d
e 
h
4 
-9
7
s
h
1
7
1
3 
2
1
3
2
1
3
4
4
-9 
7
a
d
kc 
kf 
ki
kb
ke
kh
1
1
2
4
3
7
kc 
kf 
ki
2
6 
4
a
d
a 
d
c
f
c 
f
ka 
d
ka 
kd 
kg
a
d
kb
ke
kh
e
h
c
f
a
d
7
g
ka 
kd
kg
kb
ke
kh
c 
f 
k
c 
f
= 23
Jè 4-97413 '«m cuidêncj a“
kb kc 
e f 
h i
Definição
Seja a matriz A de ardem m x n.
Diremos que duas linhas (cu colunas) de A são proporcionais quando 
elementos de uma delas são ordenadamente iguais aos produtos dos elementos 
correspondentes da outra por mesma número k.
3“) Sejam as matrizes: 
b
Para a multiplicação de uma coluna de A por um número, a demonstração ê 
análoga.
a kb
kd k2e
kh
Por exemplo, na matriz
1 2
A ~
Propriedade PB
Demonstração
e suponhamos que, nela, as i-èsima e résima
Então:
kaf1 kar2 kaf3 ...an ai2 aí3 alnlinha i —»•
ari ar2 ar3 ■ am ar2 ar3linha r -►
an3
arl ar2 ar3 ■ ■ arn
ar2 ar3
a^i sn3
A demonstração quando em A duas colunas sao proporcionais é análoga
84
Seja a matriz quadrada A, de ordem n.
Se A possui duss linhas (ou duas colunas) proporcionais, então: 
det A = 0
al2
a22
y
4
= k ■
X
2
^k 0 = 0
ann
- arn
al3
3 23
ann
a1n
a2n
a 1a linha e a 3a linha sáo proporcionais Note que os elementos da 3a linha são 
ordenadamente iguais aos elementos correspondentes da Ia linha multiplicados por 2.
an1
al3
a23
ann
3U
a2l
al2
a22
ai2
a22
ai3
3 23
an2
^am
■■
a2n
Seja a matriz A -[«.jLun
an3
31i
a2l
an2
a1n
a2n
am
an1 an3
ar1
ar1
3 4 
z l
6 S
*
a11
aZ1
linhas são proporcionais
aij = k a»j, para todo j, I £ j £ n
Exemplo
= 0, pois I1 e 2* colunas sâo proporcionais.det
c
Exercícios Resolvidos
Considere a matriz A = „ com det A = —44 1)
Determine
a) det A1 b) Di =
a)
b) Oi = = -detA =-H4) A
c) Dí = = 2 -det A — 2Í4) — £5
42)
det(k A) = K" ■ det A
b) Seja a matriz A =
Calcule det (5 - A) e 5 det A.
85
1
2
3
2
4
6.
ai
1
-1
7
2
-2 
0
a
b
4
3
1
t>l
ai
bi
a1 
t>1 
C1
a2a2
b2
a3. 
b3 
ca
@ a1
= “bi
C1 c2
a2
b2
c2
a) Seja a matriz quadrada A, de ordem n, k é um real 
Então, __________ 
ai 
bi
c2 51 
jüocamie I 
as posi-çiei
a3
b3
31
c) D2 = b1
2c,
a3
53
a2
b2
c2
= 2 •
<=3
a2
b2
c2
a3
b3
e3
a2 
b2 
2c 2
a3 
b3 
2c3
Solução
A propriedade (0) dã-nos: det A1 = det A = -4
a2 a3
b2 b3
ÍCi 2c2 2Ç;,
Solução
A =
sn3 ■■■
Então:
k A =
kan2
Aplicando a propriedade (P^ “n vezes", nas n linhas da matriz k A
= kn - det A
an2 an3
b) Temos:
1 A
det A = = 9&
4 3)
1
1
ca 1
Solução
Na matriz , mul(iplicando-se a 1* coluna per a, a 2a coluna por
ca
b e