Mecânica Geral - Forças e Momentos

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MECÂNICA GERAL 
Unidade III 
 Prof. Dr. Cochiran Pereira dos Santos 
 
 Aracaju, 17 de Outubro de 2017 
Resultantes de sistemas de forças 
 
 - Forças internas e externas: 
 
 As forças podem ser classificadas de acordo com a sua origem, 
modo de se comportar, etc. como, por exemplo, as forças de 
contato (locomotivas, musculares, etc...) e as de ação à distância 
(elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc.). 
 
 Em análise estrutural, as forças são divididas em internas e 
externas. 
- Forças externas: atuam na parte externa da estrutura, e são o 
motivo de sua existência. Podem ser de ação e reação: 
 
 Ação: são forças independentes que atuam em qualquer ponto 
de uma estrutura, correspondendo às cargas as quais a estrutura 
está submetida, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso 
do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc... 
 
 Reação: surgem em determinados pontos de uma estrutura 
(vínculos ou apoios), sendo conseqüência das ações, portanto, 
não são independentes, devendo ser calculadas para se 
equivalerem as ações e assim preservarem o equilíbrio do 
sistema. 
 - Forças internas: são aquelas que mantêm unidos os pontos 
materiais que formam o corpo sólido de uma estrutura 
(solicitações internas). 
 
 Se o corpo é estruturalmente composto de diversas partes, as 
forças que mantêm estas partes unidas também são chamadas 
de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas). 
 - Princípio da transmissibilidade de uma força: 
 
 “Quando se aplica uma força em um corpo sólido, a mesma se 
transmite com seu módulo, direção e sentido em toda a sua reta 
suporte ao longo deste corpo.” 
Momento de uma Força 
 
 - Definição: 
 
 “O momento de uma força em relação a um ponto ou a um eixo, 
fornece uma medida da tendência dessa força provocar a 
rotação de um corpo em torno do ponto ou do eixo.” 
 
 Para problemas em duas dimensões é mais conveniente se 
utilizar uma formulação escalar e para problemas em três 
dimensões a formulação vetorial é a mais conveniente. 
 Quanto maior a força ou a distância (braço de momento), maior 
é o efeito da rotação. 
 A tendência de rotação também é chamada de torque, momento 
de uma força ou simplesmente momento. 
 
 - Exemplos de Momento: 
Momento – Eixo z Momento – Eixo x Não há momento no tubo 
 - Formulação Escalar para Momento: 
 
 Momento é uma grandeza vetorial, possui 
intensidade, direção e sentido: 
 
 
 Unidade: N.m 
 
 Convenção de sinais: 
 
 Segue a regra da mão direita; 
 Rotação no sentido horário: Momento negativo; 
 Rotação no sentido anti-horário: Momento 
positivo. 
dFMO .
Momento Resultante de um Sistema de Forças Coplanares: 
 
 
 
 dFMRO . 111 .dFM  222 .dFM  333 .dFM 
Exercício: 
 1) Determine o momento da força em relação ao ponto O em 
cada uma das barras mostradas. 
 Solução: 
 
Barra (a) Barra (b) 
mNM
mNM
dFM
O
O
O
.200
2.100
.



mNM
mNM
dFM
O
O
O
.5,37
75,0.50
.



Exercício: 
 2) Determine os momentos da força de 800 N em relação aos 
pontos A, B, C e D. 
 Solução: 
 
MA = F . d 
MA = 800 N . 2,5 m 
MA = 2000 Nm 
 
MB = F . d 
MB = 800 N . 1,5 m 
MB = 1200 Nm 
 
MC = F . d 
MC = 800 N . 0 
MC = 0 
 
MD = F . d 
MD = 800 N . 0,5 m 
MD = 400 Nm 
 Exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
mNkjiM
mNkjiM
dFM
O
O
O
.)720360720(
2,1.)600300600(
.





Exercício: 
 4) Determine o momento das quatro forças que atuam na 
estrutura mostrada em relação ao ponto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Solução: 
Supomos momentos positivos atuando na direção +k, isto é, no 
sentido anti-horário 
) ( 334
:
334
)30cos34(40
)303.(20)0.(60)2.(50
.
0
horáriosentidonoNmM
ou
NmM
mmNM
msenNNmNM
dFM
RO
RO
o
ROy
ROx
RO





Exercício: 
 5) Determine o momento da força de 200 N em relação ao ponto A. 
- Soluções: 
a) O braço de momento d pode ser determinado pela trigonometria, de 
acordo com a figura (b). Analisando o triângulo retângulo BCD, temos: 
NmM
mNM
dFM
então
mmmdCB
A
A
A
o
1,14
)07071,0(200
.
:
07071,071,7045cos.100




b) Decompondo a força nas componentes x e y, como na figura (c). 
De acordo com o princípio dos momentos, o momento de F em relação 
ao ponto A é equivalente à soma dos momentos produzidos pelos dois 
componentes da força. 
 Supondo a rotação no sentido anti-horário, temos: 
NmM
mNmsenNM
A
oo
A
1,14
)1,0).(45cos.200()2,0).(45.200(


Exercício: 
 6) Determine o momento da força de 400 N em relação ao ponto O. 
 
 
 - Solução: 
A força é desmembrada nas componentes x e 
y, como em (b), e os momentos são calculados 
em relação ao ponto O. 
Considerando positivos os momentos no 
sentido anti-horário, isto é, na direção de +k, 
temos: 
mNM
ou
mNM
mNmsenNM
O
O
oo
O
.6,98
:
.6,98
)4,0).(30cos.400()2,0).(30.400(



 
 
- Momento de uma Força: Análise Vetorial 
 
 O momento de uma força em relação a um ponto pode ser 
determinado através da aplicação das regras de produto vetorial. 
 A regra do produto vetorial para o cálculo de momentos 
geralmente é aplicada para sistemas em três dimensões. 
 
 
- Princípio dos Momentos: 
 
 Conhecido como teorema de Varignon, o teorema estabelece 
que o momento de uma força em relação a um ponto, é igual a 
soma dos momentos dos componentes das forças em relação ao 
mesmo ponto. 
 
 
- Regras do Produto Vetorial: 
 
 O produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C e 
matematicamente a operação é escrita do seguinte modo: 
 
 Formulação Vetorial Cartesiana: 
 
 
Exercício: 
 1) Determine o momento da força F em relação ao ponto O. 
Expresse o resultado como um vetor cartesiano. 
 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
Vetor Posição: Cálculo do Momento no Ponto A: 
mkjirOA )473(


mNkjiM
ijikjkM
NkjimkjiM
FrM
OA
OA
OA
OAOA
.)510180260(
1202401404206090
)203060( x )473(
 x 








 
 
Exercício: 
 2) O poste mostrado está sujeito a uma força de 60 N na direção 
de C para B. Determine a intensidade do momento criado por 
essa força em relação ao suporte no ponto A. 
 
 Solução: 
 
 Vetores posição: 
 
 
 
 
 
 
 Módulo do vetor posição: 
 
 
 
 Vetor Unitário: 
mkjir
mkjir
mjir
mkjir
CB
CB
AC
AB
)212(
))02()43()31((
)43(
)231(







 mr
mr
CB
CB
3
)212(( 2222


)666,0333,0666,0(
3
)212(
kjiu
m
mkji
u
CB
CB






 
 
Solução: 
 
 Vetor força: 
 
 
 
 
 Cálculo do momento no ponto A: 
 
 
 
 
 
 
 Intensidade do momento no ponto A: 
NkjiF
kjiNF
uFF CB
)402040(
)666,0333,0666,0.(60
.






mNkjiM
ijikjkM
NkjimkjiM
FrM
A
A
A
ABA
.)100120160(
40801201204020
)402040( x )231(
 x 








mNM
mNM
A
A
.224
.)120100160( 222

