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UNIDADE I TÓPICOS INTEGRADORES II ENGENHARIA CIVIL 2 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, do Grupo Ser Educacional. Edição, revisão e diagramação: Equipe de Desenvolvimento de Material Didático EaD ___________________________________________________________________________ __ Júnior, Elias Arcanjo da Silva. Tópicos Integradores II – Engenharia Civil : Unidade 1 - Recife: Grupo Ser Educacional, 2019. ___________________________________________________________________________ Grupo Ser Educacional Rua Treze de Maio, 254 - Santo Amaro CEP: 50100-160, Recife - PE PABX: (81) 3413-4611 3 Sumário GrANDEZA ESCALAr E GrANDEZA VEToriAL ..................................................... 4 oPErAÇÕES VEToriAiS ............................................................................................. 5 ADiÇÃo DE VETorES .................................................................................................. 5 regra da construção de polígonos .................................................................................................. 6 Subtração de vetores ........................................................................................................................ 7 Propriedades das operações Vetoriais ........................................................................................... 7 LEi DoS SENoS E LEi DoS CoSSENoS ................................................................... 8 EQuiLÍBrio DE um PoNTo mATEriAL No PLANo .............................................. 18 Diagrama de Corpo Livre (DCL) ........................................................................................................ 18 Vetores cartesianos tridimensionais ............................................................................................... 20 4 TóPiCoS iNTEGrADorES ii uNiDADE i PArA iNÍCio DE CoNVErSA Olá, aluno(a), Seja bem-vindo(a) à nossa disciplina de Tópicos Integradores II. Desejo que você tenha um excelente aproveitamento com o estudo do nosso guia. Conto com seu comprometimento nesta nova jornada acadêmica e acredito que ao final da nossa disciplina, você terá total domínio do assunto estudado. oriENTAÇÕES DA DiSCiPLiNA Você terá, ao longo do guia, vários recursos disponíveis para facilitar seu aprendizado. Caso queira fazer alguma pesquisa, utilize a nossa Biblioteca Virtual, esta é uma maneira de agregar novos conhecimentos. Assista às videoaula, elas vão ajudar a esclarecer possíveis dúvidas. Ao final da nossa unidade, acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e responda as atividades. Caso tenha alguma dúvida não perca tempo e pergunte ao seu tutor. Preparado(a)? Em nossa I unidade vamos estudar os seguintes tópicos: • Grandezas Vetores e escalares; • Vetor; • Operações vetoriais; • Equilíbrio de um ponto material no plano; • Vetores cartesianos tridimensionais. 5 GrANDEZA ESCALAr E GrANDEZA VEToriAL Grandeza Escalar Grandezas escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente especificada por sua intensidade e sua unidade. São grandezas escalares: massa, tempo, comprimento, etc. Grandeza Vetorial Grandeza vetorial é qualquer quantidade física que requer uma intensidade, um sentido uma direção e sua unidade de medida para sua completa descrição. São grandezas vetoriais: velocidade, força, momento, etc. Vetor Para a representação de uma grandeza vetorial utilizamos os vetores. O vetor é um ente matemática caracterizado por possuir um módulo (intensidade), uma direção e um sentido. Graficamente, um vetor é representado por um segmento de reta orientado, indicado por uma letra em negrito ou por uma letra sobre o qual colocamos uma seta. O uso dos vetores nos auxilia nas operações matemáticas com grandezas vetoriais. 6 oPErAÇÕES VEToriAiS Multiplicação de um vetor por um escalar. Meu(inha) caro(a), se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, sua intensidade é alterada por essa quantidade. Se o escalar for um número positivo maior que 1, o vetor será ampliado. Se o escalar for positivo entre 0 e 1 a intensidade será reduzida. Quando multiplicado por um escalar negativo, além da mudança da intensidade ele também mudará o sentido do vetor. FiCA A DiCA A multiplicação de um escalar por um vetor, não haverá alteração na direção do vetor. ADiÇÃo DE VETorES Frequentemente é necessário se trabalhar com combinações de quantidades vetoriais. Note que para se somar escalares, primeiro devemos verificar se eles têm a mesma unidade e então simplesmente somamos os números. Quando somamos vetores, devemos considerar tanto a magnitude quanto a orientação de cada quantidade vetorial. Para a soma de vetores podemos utilizar a regra do paralelogramo ou a regra da construção de polígonos. regra do paralelogramo Caro(a) estudante, para ilustrar a regra do paralelogramo na adição de vetores, os vetores A e B, figura abaixo, são somados para formar um vetor resultante R = A + B usando o seguinte procedimento: 1º Desenho os vetores com suas origens em um mesmo ponto, mantendo suas intensidades, sentidos e direções originais. 2º A partir da extremidade de A desenhe uma linha paralela ao vetor B e na sequência desenhe uma nova linha a partir da extremidade de B paralela ao vetor A. Essas duas linhas se cruzam e formam um paralelogramo. 7 3º A diagonal desse paralelogramo, com mesma origem dos vetores A e B e extremidade no vértice oposto, represente o vetor resultante R = A + B. regra da construção de polígonos A regra da construção de polígonos é muito útil quando devemos somar mais de dois vetores. Para somar os vetores A, B e C usando a Regra da construção de polígonos devemos usar o seguinte procedimento: 1º Desenhe o vetor A, mantendo módulo, direção e sentido originais, e na extremidade de A desenhe o vetor B, também mantendo suas características iniciais e na sequência desenho o vetor C, mantendo seu módulo, sua direção e seu sentido. 2º O vetor com a origem na origem do primeiro vetor e sua extremidade na extremidade do último vetor é o vetor resultante R = A + B + C. GuArDE ESSA iDEiA! Fique atento(a), pois a regra da construção de polígonos é chamada de construção de triângulos quando a soma é apenas de dois vetores. Você também pode usar a lei do paralelogramo para somar mais de dois vetores, para isso você soma os dois primeiros vetores e a resultante deles você soma com o terceiro, e a resultante deles soma com o quarto e assim por diante. 8 Subtração de vetores Para subtração de vetores podemos usar a lei do paralelogramo ou a regra da construção de polígonos, para isso você deve transforma a operação de subtração em uma operação de soma de vetores. Assim o vetor diferença D = A – B deve ser escrito como D = A + (-B). O vetor -B é o vetor oposto ao vetor B, ou seja, o vetor com mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto a B. Procedimento para calcular a diferença entre dois vetores utilizando a regra da construção de polígonos: 1º Desenhe o vetor A, mantendo módulo, direção e sentido originais, e na extremidade de A desenhe o vetor -B, que tem o mesmo módulo e mesma direção do vetor B, mas o sentido é o oposto ao de B. 2º O vetor com a origem no início do primeiro vetor e sua extremidade no fim do segundo vetor é o vetor resultante D = A + (-B), ou seja, o vetor D = A – B. Propriedades das operações Vetoriais Comutativa: A ordem em que os vetores são somados não altera a soma, ou seja, + . Associativa: A soma dos vetores não é alterada pela associação dos vetores de diferentes formas, ou seja, GuArDE ESSA iDEiA! Agora que já sabemos representar graficamenteo vetor soma e o vetor diferença, estamos prontos para determinar o módulo, a direção e o sentido desses vetores resultantes. Para isso usamos a lei dos senos, a lei dos cossenos, a lei do paralelogramo e o fato que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. 9 LEi DoS SENoS E LEi DoS CoSSENoS A lei dos senos e dos cossenos são duas relações matemáticas que nos permite relacionar os ângulos internos dos triângulos com as medidas dos seus lados. Lei dos senos: Em um triângulo qualquer, a razão entre a medida de um lado do triângulo e o seno do ângulo interno oposto a esse lado é constante, ou seja, Lei dos cossenos: O quadrado da medida e um dos lados, de triângulo qualquer, é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles, nominalmente, Lei do paralelogramo: Determinando o módulo do vetor resultante O quadrado da medida da diagonal, de um paralelogramo qualquer, é igual à soma dos quadrados dos dois lados adjacentes, mais o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles, nominalmente, 10 Notação vetorial cartesiana Ângulo diretor É possível representar um vetor em termos de vetores cartesianos unitários e . Eles são chamados de vetores unitários porque possuem módulo 1 e são usados para determinar as direções cartesianas x e y, respectivamente. Assim, podemos notar o vetor A como um vetor cartesiano da forma onde Ax e Ay são as componentes ortogonais do vetor , ou seja, são as projeções do vetor nos eixos x e y, respectivamente. Como essas componentes formam um triângulo retângulo, podemos determinar suas intensidades a partir das razões trigonométricas do triângulo retângulo da seguinte forma: 11 PALAVrAS Do ProFESSor Meu(inha) caro(a) aluno, no intuito de “simplificar” seu estudo, alguns alunos decoram algumas fórmulas sem entender o seu real significado, que resulta em erros na resolução de problemas. Um bom exemplo é decorar que a Ax = Acosθ e Ay = Asenθ, onde na realidade ele precisa entender que a componente do vetor A na direção do cateto adjacente do ângulo diretor é igual ao módulo de A vezes o cosseno do ângulo diretor e a componente do vetor A que está da direção do cateto oposto ao vetor diretor é igual ao módulo de A vezes o seno do ângulo diretor. Triângulo diretor A direção de um vetor pode ser dada através de seu triângulo diretor. Nesse caso, o vetor A pode ser escrito na forma cartesiana do seguinte modo: Onde as componentes ortogonais do vetor A são obtidas das razões de proporcionalidade entre os lados correspondentes dos triângulos semelhantes abc e AxAyA. Se você ficou com alguma dúvida na representação dos vetores cartesianos a partir do seu triângulo diretor assista a webconferência da UNIDADE I. VoCê SABiA? Você sabia que a notação cartesiana dos vetores é muito útil no estudo da estática de corpos rígidos? Pois é, a representação das forças e dos momentos que atuam no corpo por meio de vetores cartesianos facilita a análise analítica dos problemas, ou seja, a determinação da intensidade, direção e sentido da força resultante, em especial quando temos um número muito grande de forças. ??? 12 Resultante de Forças Coplanares Para determinar a resultante de forças coplanares é preciso decompor cada força em suas componentes x e y; depois, as respectivas componentes são somadas usando-se álgebra escalar,ou seja, Módulo e Direção do Vetor resultante Para determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante usamos as seguintes equações: Módulo do vetor resultante: FR = A direção e o sentido do vetor resultante: PrATiCANDo Agora que você aprendeu com a aplicação dos conceitos estudados até aqui, recomendo que acompanhe a resolução dos exemplos a seguir, para que você aprenda realmente não terá outra opção a não ser praticar. 13 Exercícios resolvidos 1º) Determine a intensidade da força F e a intensidade da força resultante de Fr se estiver direcionada ao longo do eixo y positivo. Solução Utilizando a regra dos paralelogramos traçamos uma reta com início na extremidade do vetor F e paralela ao vetor força de intensidade 200 N e na sequência desenhamos uma nova reta com origem na extremidade do vetor com intensidade de 200 N e paralela ao vetor F. A interseção das retas estará sobre o eixo y, pois o problema afirma que a resultante das forças está sobre esse eixo. Com o paralelogramo formado, encontramos os ângulos internos e utilizamos a lei dos senos para determinar a intensidade do vetor resultante e do vetor F. Se você observar apenas o lado direito do paralelogramo verá um triângulo com os ângulos de 45° e 30°. Como a soma dos internos é igual a 180°, o terceiro ângulo será de θ = 75°. 14 Aplicando a lei dos senos para determinar o módulo de F, temos: Aplicando novamente a lei dos senos para determinar a intensidade de da força resultante, temos: 2º) O anel mostrado na figura está submetido a duas forças F1 e F2. Se for necessário que a força resultante tenha intensidade de 1 kN e seja orientada verticalmente para baixo, determine (a) a intensidade de F1 e F2, desde que θ = 30°, e (b) as intensidades de F1 e F2, se F2 for mínima. 15 Solução Letra a: Utilizando a regra da construção de triangulo, você deve desenhar o vetor F1 com sua origem na extremidade do vetor F2, mantendo módulo direção e sentido. O vetor resultante tem origem no início do vetor F2 e sua extremidade a fim do vetor F1. Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, o ângulo entre F2 e F1 é 130°. Já que a intensidade do vetor resultante é 1 kN podemos determinar as intensidades de F1 e F2 usando a lei dos senos. e 16 Letra b: Observando a figura ao lado você pode concluir que a força F2 será mínima se o ângulo entre F1 e F2 for igual a 90°. E usando as razões trigonométricas do triângulo retângulo, temos: 3º) Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança mostrada na figura. Expresse cada força como um vetor cartesiano. Solução. Na figura b temos o desenho das componentes do vetor F1 nas direções x e y. A componente F1x pode ser deslocada verticalmente para cima para formar um triângulo retângulo, regra da construção de triângulos, no intuito de ser usada a definição de seno e de cosseno na determinação das intensidades das componentes de F1. Como F1y é cateto adjacente ao ângulo de 30°, você pode escrever que: F1y = F1 x cos 30° = 200 N x cos 30° = 173,2 N. Já F1x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, assim o podemos escrever que: F1x = - F1 x sen 30° = - 200 N x sen 30° = - 100 N. 17 Nota1: O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente horizontal de F1 aponta no sentido negativo do eixo x. E o vetor F1 em coordenadas cartesianas é: F1 = (-100i + 173,2j) N Para determinar as componentes de F2 iremos usar a semelhança de triângulos. Agora F2x pode ser deslocado de maneira a forma um triangulo retângulo semelhante ao triangulo diretor 5, 12, 15. . . Nota1: O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente vertical de F2 aponta no sentido negativo do eixo y. Já o vetor F2 em coordenadas cartesianas é: F2 = (240i - 100j) N 4º) A ponta de uma lança O na figura (a) está submetida a três forças coplanares e correntes. Determine a intensidade e a direção da força resultante. 18 Solução Cada força deve ser decomposta em suas componentes x e y (figura b). F1x = - 400 NF1Y = 0 F2x = 250 N x sen 45° = 176,8 NF2x = 250 N x cos 45° = 176,8 N F3x = -(4/5) x 200 N = - 160 NF3x = (3/5) x 200 N = 120 N Somando as componentes x, temos: FRx = - 400 N + 176,8 N– 160 N = -383,2 N O sinal negativo indica que a resultante na direção x atua para a esquerda. E somando as componentes y, temos: FRy = 0 + 178,8 N + 120 N = 296,8 N A força resultante, figura (c), tem intensidade: FR = FR = 485 N A direção do vetor resultante é dada por: Esse ângulo é medido com relação ao eixo negativo de x no sentido horário. É comum a direção do ângulo ser determinado com relação ao semieixo x positivo no sentido anti-horário. Nesse caso θ = 180° - 37,8° = 142,2°. Espero que estes exercícios ajudem você a entender melhor esse conteúdo. Vamos para mais informações? Então, lembre-se que o seu tutor aguarda sua sinalização para ajudar no que for preciso. 19 EQuiLÍBrio DE um PoNTo mATEriAL No PLANo VoCê SABiA? Meu(inha) querido(a) estudante, você sabia que a primeira lei de Newton afirma que um corpo está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme se as resultantes que atuam sobre ela são nulas? Ufa, quanta informação devemos ter, não é? Um ponto material encontra-se em equilíbrio desde que esteja em repouso ou tenha velocidade constante. Assim, para que que um ponto material esteja em equilíbrio a força resultante sobre ele deve ser igual a zero, ou seja, . GuArDE ESSA iDEiA! É imprescindível que você tenha perfeita clareza sobre a construção do diagrama de corpo livre de um ponto material. Então observe as dicas que seguem. Diagrama de Corpo Livre (DCL) Para aplicar a equação de equilíbrio devem-se considerar todas as forças conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o ponto material. Para tanto, você deve desenhar o diagrama de corpo livre (esboço que mostra o ponto material “livre” de seu entorno e com todas as forças que atuam sobre ele). Procedimento para desenhar o diagrama de corpo livre: 1) Desenhe o contorno do ponto material; 2) Represente com o auxílio de um vetor todas as forças; 3) Identifique todas as forças. Para sua melhor compreensão, fique atento(a) aos exemplos! ??? 20 ExEmPLo 1°) Determine as trações nos cabos BA e BC necessárias para sustentar o cilindro de 60 kg na Figura. Solução: Como o sistema está em equilíbrio a tração na corda BD é igual ao peso do cilindro, ou seja, TBD = mg = 60 x 9,81 = 588,6 N. Já as forças nos cabos BA e BC podem ser determinadas aplicando-se a condição de equilíbrio no anel B. O diagrama de corpo livre do anel B nos permite determinar as direções das forças TA e TC através do triângulo diretor e do ângulo diretor, respectivamente. 21 Aplicando a equação de equilíbrio ao longo do eixo x, temos: Tc(cos 45°) – (4/5)TA= 0 0,7071Tc –0,8TA= 0 TA= 0,8838TC E aplicando a equação de equilíbrio ao longo do eixo y, temos: Tc(sen 45°) + (3/5)TA – 588,6 = 0 0,7071Tc + 0,6TA = 588,6 Resolvendo o sistema de equações acima: 0,7071TC + 0,6(0,8838TC) = 588,6 1,24TC = 588, 6 TC = 475,66 N = 476 N e TA = 420 N Observação: A precisão desses resultados depende da precisão dos dados, isto é, medições de geometria e de cargas. Por isso é indicado na engenharia que os dados medidos tenham pelo menos três algarismos significativos. Vetores cartesianos tridimensionais As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas na solução de problemas tridimensionais, são simplificadas se os vetores são representados primeiro na forma vetorial cartesiana. Desta forma, um vetor cartesiano é escrito sob a forma de suas componentes retangulares. 22 Representação cartesiana de um vetor tridimensional Na maioria dos problemas de estática as direções das forças que atuam nas estruturas não são conhecidas. Para determinar a direção de uma força é preciso conhecer a posição de dois pontos pelos quais passa a linha de ação dessa força. Na figura ao lado temos uma força F sendo aplicada ao longo de uma corda localizada entre os pontos A e B. Se as coordenadas cartesianas desses pontos são conhecidas a representação cartesiana de F é dada por onde é um vetor unitário na direção do vetor posição que tem origem no ponto A e extremidade no ponto B. Se as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são (xA, yA, zA) e (xB, yB, zB), respectivamente; o vetor F na forma cartesiana pode ser determinado por . 23 GuArDE ESSA iDEiA! A maneira mais fácil de definir as componentes de um vetor posição é determinar a distância de a direção que devem ser percorridas ao longo das direções x, y, z, indo da origem para a extremidade do vetor. A direção de um vetor no R3 A direção de um vetor A, é definida pelos ângulos diretos alfa (a), beta (b) e gama (g), ver figura. Alfa é o ângulo que o vetor A faz com a direção x, beta o ângulo do vetor A com a direção y e gama a o ângulo do vetor A com a direção z. Para determinar o valor dos ângulos diretores primeiro temos que determinar os cossenos diretores de A a partir das componentes ortogonais do vetor A e do seu módulo, da seguinte forma: Assim, podemos encontrar os ângulos diretos pelo inverso do cosseno. Sendo 24 ExEmPLoS 1°) O homem mostrado na Figura puxa a corda com uma força de 350 N. Represente essa força, que atua sobre o suporte A, como um vetor cartesiano e determine sua direção. Solução: A representação da força F aplicada pelo homem sobre a corda pode ser obtida a partir da equação , onde = 350 N, o módulo da força, e é o vetor unitário ao longo corda e sua direção é determinada pelo vetor , que se estende de A a B. Para determinar você deve subtrair as coordenadas do ponto B pelas coordenas do ponto A, ou seja, = ( xB, yB, zB ) - ( xA, yA, zA) = ( 6, -4, 3) – (0, 0, 15) = ( 6, -4, -12). Em coordenadas cartesianas = 6 - 4 -12 Agora com o vetor você pode determinar o vetor unitário que determina a direção e o sentido de F: 25 Como F tem a intensidade de 350 N e direção determinada por A direção da força é determinada pelos ângulos diretores que são medidos entre o vetor força F (ou o vetor ) e os eixos coordenados de um sistema de coordenadas com origem em A. A partir das componentes do vetor : Nota: Nesse caso, foi usado o vetor rAB para determinar os ângulos diretores, e não o vetor F, porque conhecíamos as suas componentes e o seu módulo. 26 FiQuE ATENTo! Observação1: Os ângulos fazem sentido quando comparamos os resultados com os ângulos desenhados na figura acima. Observação2: Se você observou com atenção o problema anterior, percebeu que a componente x do vetor unitário é igual ao cos a, a componente y ao cos b e a componente z ao cos g. Assim, dessa forma podemos calcular os ângulos diretores da seguinte forma: Observação3: Como o vetor û é unitário podemos escrever a seguinte relação para os cossenos diretores: cos² a + cos² b + cos² g = 1 2°) Determine a força desenvolvida em cada cabo usado para suportar a caixa de 400 N mostrada na Figura. Solução: Como você pode observar esse é um problema de equilíbrio estático, onde a força resultante que atua no nó A é igual a zero. Mas antes de você resolver essa equação é necessário escrever cada uma das forças que atuam no nó A na forma cartesiana. Com o auxílio das coordenadas dos pontos A (0, 0, 0), B (-1,5 m, -2 m, 4 m) e C (-1,5 m, 2 m, 4 m) podemos escrever: 27 E para que o sistema esteja em equilíbrio: Igualando a zeros as respectivas componentes i, j e k: −0,318FB−0,318FC+FB=0 (I) −0,424FB+0,424FC=0 (II) 0,848FB+0,848FC−400=0 (III) Resolvendo a equação II encontramos que: FB = FC Substituindo esse resultado na equação II, encontramos: FB = FC = 236 N E substituindo os valores de FB e FC na equação I, obtemos: FD = 150 28 PALAVrAS Do ProFESSor Então, prezado(a) aluno (a), chegamos ao final da nossa I unidade! Espero ter colaborado para seu aprendizado! Caso tenha alguma dúvida, sugiro querefaça a leitura do guia de estudos. Faça também pesquisas e exercícios para fixar o que estudamos nesta I unidade. Não deixe de acessar o AVA e responder as atividades e os fóruns avaliativos. Caso tenha dúvidas pergunte ao seu tutor. Ele está à sua disposição. Bom estudo e até o nosso próximo encontro! UNIDADE II TÓPICOS INTEGRADORES II ENGENHARIA CIVIL 2 Sumário Para início de converSa ...................................................................................... 3 momenTo de uma ForÇa ...................................................................................... 4 PrincíPio da TranSmiSSiBiLidade ................................................................... 5 Formulação vetorial cartesiana ....................................................................................................... 5 momento resultante de um Sistema de Forças ............................................................................ 6 equilíbrio de um corpo rígido ............................................................................................................ 8 corpo rígido ......................................................................................................................................... 8 equações de equilíbrio ....................................................................................................................... 9 TreLiÇaS ....................................................................................................................... 12 eLemenToS de ForÇa nuLa .................................................................................. 18 méTodo daS SeÇõeS ............................................................................................... 21 3 TóPicoS inTegradoreS ii unidade ii Para início de converSa Olá, estudante! Espero que esteja preparado(a) para darmos continuidade ao nosso estudo. Conto com a sua dedicação em nossa jornada de estudos. Seu comprometimento é essencial para que você ao final das nossas unidades tenha total domínio da nossa disciplina. orienTaÇõeS da diSciPLina Nesta unidade convido você, caro(a) aluno(a), ao estudo de uma das grandezas mais importante desta disciplina: o momento de uma força. No decorrer desta unidade estenderemos o conceito de Momento de uma força em relação a um ponto, que mede a tendência de rotação desta força, em relação a este ponto. Para uma boa compreensão dos conceitos desta unidade será imprescindível a compreensão dos vetores cartesianos no plano e no espaço. Lembre-se, você tem à sua disposição a nossa Biblioteca Virtual para fazer pesquisas e buscar novas informações. Ao final da nossa unidade II acesse o ambiente e responda as atividades. Em caso de dúvida pergunte ao seu tutor. Nesta segunda unidade vamos estudar os seguintes tópicos: • Momento de uma Força; • Princípio da Transmissibilidade; • Membros de Duas Forças; • Equilíbrio de um corpo rígido; • Treliças; • Método dos nós; • Elementos de força nula; • Método das seções. Vamos lá! 4 momenTo de uma ForÇa Meu(inha) aluno(a), a grandeza física momento de uma força mede a tendência de rotação de um corpo extenso em relação a um ponto ou a um eixo. Sempre que aplicamos uma força em um determinado ponto de uma estrutura, esta força pode causar dois efeitos distintos sobre ela, um de translação e outro de rotação, esta tendência de rotação será aferida pela grandeza momento. Momento de uma Força (FORMULAÇÃO VETORIAL) O momento de uma força com relação a um ponto O pode ser expresso pelo produto vetorial, nominalmente, Caro(a) aluno(a), verifique que o momento, é um vetor que possui o seu sentido dado pela regra da mão direita e sua direção dada por uma reta suporte perpendicular ao plano definido pelos vetores r e F. Na definição acima r é um raio vetor que parte necessariamente do ponto no qual queremos calcular o momento até a linha de ação do vetor força, uma vez que r é um vetor, este sentido não pode ser invertido. Da definição do produto vetorial, observamos que o vetor momento ( ) é ortogonal ao plano formado pelo vetor posição (r) e vetor força (F). 5 PrincíPio da TranSmiSSiBiLidade Considere a força F aplicada no ponto A da figura ao lado. O momento criado por F em relação à O é: . Entretanto, “r” pode se deslocar sobre a linha de ação de F. Logo, r pode ser aplicada no ponto B ou no C. Em outras palavras você pode calcular o momento da força em relação a qualquer ponto sobre a linha de ação da força. Assim, podemos escrever que: MO = rA x F = rB x F = rC x F Formulação vetorial cartesiana Para a solução vetorial cartesiana precisaremos expressar tanto o vetor r quanto o vetor F na forma cartesiana, o vetor r é obtido através das coordenadas do ponto inicial e ponto final obtidos assim no problema. A dificuldade maior seria expressar o vetor força na forma cartesiana, logo, recorremos ao conceito de versor, uma vez que um vetor é dado por sua intensidade multiplicado pelo seu respectivo versor. Se você tiver alguma dúvida na representação de vetores força na forma cartesiana sugiro que revisse o guia de estudo da UNIDADE I, e ainda o seu tutor para te auxiliar também. Na notação vetorial cartesiana o momento da força é dado por: Mo = (ryFz – rzFy)i – (rxFz – rzFx)j + (rxFy – ryFx)k Essa equação também pode ser escrita na forma mais compacta de determinante de uma matriz, como: Onde: • rx, ry, rz: Representam os componentes x, y, z do vetor posição traçado do ponto O até qualquer ponto sobre a linha de ação da força. • Fx, Fy, Fz: Representam os componentes x, y, z do vetor força. 1200 n 6 Em problemas em que o vetor força e o vetor posição estão no plano xy, o momento da força pode ser determinado em relação ao ponto O (na verdade, o eixo z), usando-se uma formulação escalar. A intensidade de Mo é: (Mo)z = Fd Aqui d é o braço do momento da força, ou a distância perpendicular de O até a linha de ação de F. O momento da força está na direção z, pois o momento é sempre perpendicular ao plano que contém a força e o vetor posição. Já o sentido, para cima ou para baixo, você pode determinar primeiro desenhando os vetores r e F na origem no sistema de eixo, mantendo suas direções e sentidos, e na sequência girando sua mão direita com o dedão estico no sentido de r para F. A direção do dedão irá indicar o sentido do momento da força. momento resultante de um Sistema de Forças Se um corpo está sujeito à ação de um sistema de forças, o momento resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela soma vetorial do momento gerado por cada força, matematicamente temos: Também conhecido como teorema de Varignon: “O momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos dos componentes das forças em relação ao mesmo ponto”. 7 exemPLo 1º) A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura. Determine o momento da força em relação ao ponto O. Calcule utilizando a formulação escalar e a formulação vetorial. Solução I: Formulação escalar Vamos utilizar o teorema de Varignon para determinar o momento da força F em torno de O. Para isso vamos decompor a força F em suas componentes ortogonais. Supondo que a rotação no sentido anti- horário seja positiva, podemos aplicar a equação , que neste caso fica: (MRo)z = Fxdy - Fydx (MRo)z = (400sen 30º) (0,2) – (400cos30º)(0,4) (MRo)z = - 98,6 Nm Nota: O sinal negativo indica que a tendência de rotação da força F é de girar a estrutura em torno do ponto O no sentido horário. O dy representa a distância perpendicular de O à linha de açãoda componente Fx e dx a distância perpendicular de O à linha de ação da componente Fy. 8 Solução II: Formulação vetorial Na formulação vetorial você precisa escrever o vetor posição e o vetor força na notação vetorial cartesiana e aplicar a equação . Vamos considerar a orientação positiva do eixo x na direção horizontal para direta, a orientação positiva do eixo y na direção vertical para cima e a orientação de positiva do eixo z na direção saindo do plano da folha. Desta forma, podemos escrever: r = rxi + ryj = (0,4i – 0,2j) m e F = Fxi + Fyj = (400sen 30º) i - (400cos30°)j = [ 200i - 346,4j ] N E o momento da força é calculado pelo determinado da matriz: = (0,4)(-346,4)k – (-0,2)(200)k = (-98,6 k) Nm equilíbrio de um corpo rígido No equilíbrio de um ponto material as equações de forças são suficientes para estabelecer o equilíbrio, mas quando tratamos de um corpo rígido estas equações passam a serem insuficientes, necessitando assim mais uma equação para a condição de equilíbrio que é a equação do momento da força. Dessa forma tanto o equilíbrio de translação quanto o equilíbrio de rotação são estabelecidos. corpo rígido Aqui na Mecânica dos Sólidos consideraremos um corpo rígido aquele que quando solicitado por um determinado esforço não se deforma. Daí deve ficar claro para você que esta hipótese na prática não ocorre, pois, um corpo sempre se deformará quando solicitado a um determinado esforço. Mas, não muito obstante esta hipótese a idealização de um corpo rígido é razoável para os objetivos do nosso curso. 9 equações de equilíbrio A primeira equação estabelece o equilíbrio de translação e a segunda equação o equilíbrio de rotação. As duas equações vetoriais acima podem ser representadas por seis equações escalares: ΣFx = 0ΣMx = 0 ΣFy = 0ΣMy = 0 ΣFz = 0 ΣMz = 0 Mas no sistema coplanar apenas três dessas equações são necessárias e suficientes para que um sistema esteja em equilíbrio estático. Se as forças estão no plano xy as equações de equilíbrio são: ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣMz = 0. PaLavraS do ProFeSSor Caro(a) aluno(a), é necessário você compreender e diferenciar as condições de equilíbrio de um ponto material, estudado no capítulo anterior, e as condições de equilíbrio de um corpo rígido, pois as equações de força são suficientes para estabelecer o equilíbrio de um ponto material enquanto que para um corpo rígido, além das equações de forças incluem-se as equações de momento de uma força, a fim de estabelecer as condições de equilíbrio. Sempre que um sólido sofre efeito de um carregamento este se deforma e dependendo da carga e da rigidez do material que constitui o sólido, esta deformação pode ser visível ou não, pois a casos que estas deformações são microscópicas. Aqui na mecânica dos sólidos um corpo rígido é aquele que sofre efeito de uma carga sem que haja deformação, isto é tudo hipótese, pois na prática estas deformações sempre ocorrem, mas por serem pequenas, podem ser desprezadas. 10 exemPLo 2º) Determine os componentes, horizontal e vertical, das reações para a viga carregada. Despreze o peso da viga. Solução: Em A temos um apoio simples ou rolete, solicitando apenas reação vertical e em B temos um pino ou dobradiça solicitando reação vertical e reação horizontal. Na construção do diagrama de corpo livre você precisa indicar todas as cargas atuantes na viga AB e as reações nos apoios. Quando você representar uma força no diagrama de corpo livre é fundamental que ela seja acompanhada de sua intensidade, caso conheça, sua direção e sua posição com relação a um dado referencial. Fica a dica Quando você usa a equação do momento de uma força você precisa escolher um ponto de referência. Você pode escolher qualquer ponto ao longo da estrutura e até mesmo fora dela, mas a melhor escolha é ponto que possui a maior concentração de forças, pois essas forças não produzem momentos, resultante numa equação com um número menor de variáveis. 11 Aplicando a condição de equilíbrio na direção horizontal, temos: ΣFx = 0 600cos 45º - Bx = 0 Bx = 424,2 N Para garantir o equilíbrio de rotação, temos: ΣMB = 0 (considerando o sentido anti-horário positivo) 100(2) + 600sen(45º)(5) -600con (45º)(0,2) – Ay(7) = 0 Ay = 319,5 N Para determinar By, aplicamos a condição de equilíbrio na vertical: ΣFy = 0 319,5 – 600cos(45º) – 100 – 200 + By = 0 By = 404,8 N 3º) Determine as reações nos apoios. A viga tem uma massa de 100 kg. Solução: Nessa viga possui apenas um apoio de terceiro gênero, solicitando três reações, duas reações de força e uma reação de momento. Nesse caso, o peso da viga deve ser considerado, e ele deve ser indicado, no diagrama de corpo livre, no centro de massa da viga. Considerando uma viga homogenia e com densidade de massa constante, seu centro de massa fica no meio dela, ou seja, a 3 metros da parede. Diagrama de corpo livre: 981 n 2 m 3 m 12 O peso da viga é: W = mg = 100 x 9,81 = 981 N Aplicando a condição de equilíbrio na direção horizontal, temos: ΣFx = 0 HA = 0 Aplicando a condição de equilíbrio na direção vertical, temos: ΣFy = 0 VA – 1200 – 981 = 0 VA = 2181 N Aplicando a condição de equilíbrio de rotação, temos: ΣMA = 0 M – 1200 x 2 – 981 x 3 = M = 5343 Nm TreLiÇaS Prezado(a) estudante, imagina-se que o arquiteto italiano Andrea Palladio (1508 – 1580) tenha sido o primeiro a usar treliças modernas, embora a base de seus projetos seja desconhecida. Ele pode ter recuperado alguns projetos romanos e provavelmente dimensionou os elementos das treliças utilizando algumas regras práticas (talvez antigas regras romanas). Os muitos escritos de Palladio sobre arquitetura incluíam descrições detalhadas e desenhos de treliças de madeira muito semelhantes às usadas nos dias de hoje. Depois dessa época, as treliças foram esquecidas por cerca de 200 anos, até serem reintroduzidas pelo projetista suíço Ulric Grubermann. Mas afinal, o que é uma treliça? Uma treliça é uma estrutura formada por um grupo de elementos dispostos na forma de um ou mais triângulos. Por ser admitido que os elementos estejam ligados entre si por pinos lisos (sem atrito), o triângulo é a única forma estável. Frequentemente, meu(inha) caro(a), os engenheiros projetistas ficam preocupados com a seleção de uma treliça ou de uma viga para vencer um determinado vão. Não havendo outro aspecto a ser considerado, provavelmente a decisão irá se fundamentar no aspecto econômico. 13 Se for escolhida uma treliça para vencer um determinado vão, quase sempre será usada a menor quantidade de material, entretanto, o custo de fabricação e montagem de uma treliça será provavelmente maior do que o necessário para uma viga. Para pequenos vãos, o custo total de vigas (custo de material mais o custo de fabricação e montagem) seguramente será menor, mas à medida que os vãos se tornarem maiores, os custos mais altos de fabricação e montagem das treliças serão muito compensados pela redução do peso total do material usado. Uma vantagem adicional de uma treliça é que, para a mesma quantidade de material, ela pode apresentar maior rigidez do que uma viga com o mesmo vão. você SaBia? Caro(a) aluno(a), você sabia que quando calcularmos os esforços nas barras de uma treliça, admitimos algumas hipóteses, vamos agora dar uma olhada e estudar cada uma: Hipótese para análise de treliças: 1. Os elementos das treliças são ligados entre si por meio de pinos lisos (sem atrito). Na realidade, poucas treliças usam conexões com pinos, e não existem pinos lisos sem atrito. Uma conexão com grande número de parafusos ou solda é muito diferente de um pino liso. 2. Os elementos das treliças são retilíneos. Se não fossem retilíneos, as forças axiais fariam com que surgissem momentos fletores atuantes nas barras. 3. O deslocamento da treliça é pequeno. As cargas atuantes fazem com que os elementos da treliça sofram alteração de comprimento, o que por sua vez faz com que a treliça se deforme. As deformaçõesem uma treliça não são de valor suficiente para causar mudanças significativas na forma e nas dimensões globais da treliça. 4. As cargas são aplicadas exclusivamente nos nós. Os elementos são montados de forma que as cargas e as reações são aplicadas exclusivamente nos nós (juntas ou conexões) da treliça. O exame de treliça de telhado e de pontes mostrará que essa última hipótese é geralmente verdadeira. Vigas pilares e elementos de alavancas ligam-se diretamente aos nós das treliças de edifício com treliças de telhados. ??? 14 Dica Cada elemento da treliça na condição de um elemento de duas forças só pode apresentar força de Tração (T) ou força de Compressão (C) como reação ao carregamento. Cálculo dos esforços nas barras de uma treliça Caro(a) aluno(a), aqui passaremos a estudar os métodos para calcular os esforços nas barras de uma treliça e utilizaremos dois métodos que são bastante eficazes. Método dos nós Pode-se passar uma seção imaginária em torno de um nó de uma treliça, independentemente de sua posição, isolando-o completamente do restante da estrutura. O nó torna-se um corpo livre em equilíbrio sob as forças a ele aplicadas. As equações de equilíbrio, ΣFx = 0 e ΣFy = 0, podem ser aplicadas ao nó, para determinar as forças desconhecidas aplicadas às barras. exemPLo 4. Determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça mostrada na figura e indique se os elementos estão sob tração ou compressão. SOLUÇÃO Na maioria dos problemas de análise de estruturas o primeiro passo é a determinação das forças de reações nos apoios. Nesse exemplo em particular, é imprescindível a determinação das forças de reação em primeiro lugar, já que cada nó sofre ação de mais de três forças desconhecidas atuando nele. 15 Calculando as reações Na treliça acima o apoio A é de 1º gênero, logo possui apenas uma força, na direção vertical para cima, ver o diagrama de corpo livre. O apoio em C é de 2º gênero, com duas forças de reação, uma na direção vertical para baixo e outra na direção horizontal para esquerda. Para determinar das forças de reação usaremos as equações de equilíbrio A força resultante na direção x é igual a zero. ∑Fx=0 600 N – Cx = 0 Cx = 600 N O momento resultante com relação ao ponto C é igual a zero. Iremos adotar o sentido anti-horário como o sentido positivo para o momento. Você pode escolher qualquer ponto pertencente ou não a treliça como referência para o cálculo do momento, mas escolher o ponto onde há uma maior concentração de forças ajuda na resolução do problema, a forças que estão atuando no ponto ou que sua linha de ação passa pelo ponto possui momento igual a zero. Como as forças VA e HA não causam momento no ponto A, temos: 600 N x 4 m + 400 N x 3 – Ay x 6 = 0 6Ay = 2400 Nm + 1200 Nm Ay = 3600 Nm/6 m = 600 N Ay = 600 N 16 A força resultante na direção y é igual a zero. Ay – Cy – 400 N = 0 600 N – Cy = 400 N Cy = 600 N – 400 N = 200 N Cy = 200 N A gora que conhecemos as forças de reação podemos calcular as forças que atuam nos elementos da treliça utilizando o método do nó. A escolha do nó é arbitrária, pois existe uma força de membro conhecida e duas incógnitas atuando no pino em cada um desses nós. Nó A A força resultante na direção x é igual a zero. FAD – FAB x 3/5 = 0 FAD = 0,6FAB A força resultante na direção y é igual a zero. 600 N - FAB x 4/5 = 0 0,8FAB = 600 N FAB = 600/0,8 FAB = 750 N Assim o FAD = 0,6FAB = 0,6 x 750 N = 450 N Nó D 17 A força resultante na direção x é igual a zero. 600 N – 450 N + FDB x 3/5 = 0 0,6FDB = - 150 N FDB = - 150 N/0,6 FDB = - 250 N A força resultante na direção y é igual a zero. - FDC – FDB x 4/5 = 0 FDC = – 0,8FDB FDC = – 0,8 x (-250 N) FDC = 200 N Nó C A força resultante na direção x é igual a zero. FCB – 600 N = 0 FCB = 600 N Você pode usar o nó B para conferir se seus cálculos estão corretos. Aplique as condições de equilíbrio para determinação das foças nos elementos AB, AC e AD e no final confira com as forças já determinada como auxílios dos outros nós. 18 eLemenToS de ForÇa nuLa Estudante, antes de iniciarmos a análise de uma treliça pelo método dos nós é aconselhável fazer uma inspeção para identificação dos elementos que não estão sujeitos a nenhum carregamento. Esses elementos de forção nula são usados para oferecer maior estabilidade as estruturas durante sua construção e também para oferecer apoio adicional caso o carregamento seja alterado. Se analisarmos o nó A podemos observar que os elementos de AB e AF são elementos de força nula. Isso porque se aplicarmos as condições de equilíbrio nesse ponto temos: A força resultante na direção x é igual a zero. ΣFx =0 FAF = 0 A força resultante na direção y é igual a zero. ΣFY =0 FAB = 0 De modo semelhante podemos chegar à conclusão de que os elementos DE e DC são elementos de força nula. Você pode confirmar aplicando as equações de equilíbrio no ponto D. 19 Para simplificar escolheremos a direção x ao longo do elemento DE e a direção y perpendicular ao elemento DE. A força resultante na direção y é igual a zero. ΣFy =0 FDC x sen θ = 0 Se o produto de dois números é zero, então um dos dois, ou os dois, tem que ser zero. Como o sen θ não é zero, temos que FDC é zero. A força resultante na direção x é igual a zero. ΣFx =0 FDE + FDC x sen θ = 0 Como FDC = 0, FDE também é zero. Assim, como regra geral, se somente dois elementos formam um nó de treliça e nenhuma foça externa ou reação de apoio é aplicada ao nó, então eles devem ser elementos de força nula. Vamos analisar mais uma treliça. Numa inspeção rápida podemos concluir que os elementos AE e DE não são elementos de força nula, pois possui uma carga externa no nó E. Como no ponto D existe uma força de reação os elementos AD e DC também não podem ser elementos de força nula. Para analisar o nó D vamos considerar o sistema de coordenadas cartesiana com origem no ponto D, o eixo x está na direção ao longo do elemento DE e o eixo y ao longo do elemento DA. 20 A força resultante na direção y é igual a zero. ΣFy =0 FDA = 0 A força resultante na direção x é igual a zero. ΣFx =0 FDE - FDC = 0 FDE = FDC Logo em D temos apenas um elemento de força nula, o elemento DA. Analisando o elemento nó C. Considere o eixo x ao longo do elemento CD e a eixo y na direção perpendicular ao elemento CD. A força resultante na direção y é igual a zero. ΣFy =0 FCA x sen θ = 0, Assim FCA = 0, pois o sen θ é diferente de zero. A força resultante na direção x é igual a zero. ΣFx =0 - FCB + FDC + FCA x cos θ = 0 Como FCA = 0, temos FCB = FDC 21 Em geral, se três elementos formam um nó de treliça para o qual dois deles são colineares, o terceiro elemento é um elemento de força nula, uma vez que nenhuma força externa ou reação de apoio é aplicado ao nó. exemPLo Determine todos os elementos de força nula da treliça Fink para telhados mostrado na figura. Considere que todos os nós estejamos conectados por pinos. Solução: Os elementos DF, FC e CG são elementos de força nula, pois os nós D, F e G, respectivamente, possuem três elementos dos quais dois deles são colineares. Porém a análise deve começar pelo nó D, do contrário você não poderia concluir que F é um elemento de força nula. méTodo daS SeÇõeS Prezado(a) aluno(a), quando você está interessado em determinar as forças internas em apenas alguns dos elementos de uma treliça que pertençam a nós diferentes é conveniente o usodo método das seções. O método das seções baseia-se no princípio segundo o qual, se um corpo está em equilíbrio, então qualquer parte dele também está em equilíbrio. Para aplicar do método da seção você precisar cortar os elementos de uma treliça completa. Se cortarmos a treliça em duas e desenhamos o diagrama de corpo livre de uma de sus partes, podemos então aplicar as equações do equilíbrio estático para determinar os esforços internos em cada elemento cortado da treliça. Como são apenas três as equações do equilíbrio estático independente (ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMo = 0) que podem ser aplicadas a parte isolada da treliça, o corte na treliça só deve passar por três elementos da treliça nos quais a forças internas não são conhecidas. 22 exemPLo 5. Através do método das seções, determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se eles estão sob tração ou compressão. Solução: No método das seções faremos um corte imaginário na treliça interceptando os elementos os quais desejamos analisar (nesse caso, os elementos BC, HC e HG). E para facilitar os cálculos, consideraremos a seção à esquerda da treliça, pois possui um número menor de cargas externas. Como dividimos a treliça em duas partes, você só precisa conhecer as forças de reação em um dos lados da treliça seccionada. Como o lado a esquerda foi o escolhido, precisamos determinar o valor de VA aplicado uma das equações de equilíbrio na treliça completa. Dessa forma, temos: 23 ΣMB = 0 - VA x 12 m + 12 n x 9 m – 14 N x 6 m – 18 N x 3 m = 0 VA = 20,5 N Agora podemos aplicar as equações de equilíbrio para determinar as forças nos elementos cortados. O momento resultante em H é igual a zero. - VA x 3 m – FBC x 3 m = 0 - 20,5 kN x 3 m - FBC x 3 m = 0 FBC = - 20,5 kN (o sinal de menos indicar que o sentido da FBC é oposto ao sentido escolhido no diagrama de corpo livre. Isso significa que FBC é uma força de TRAÇÃO e não de compressão como sugerido no diagrama de corpo livre). O momento resultante em C é igual a zero. -20,5 kN x 6 m – FHG x 3 m + 12 kN x 3 m = 0 FHG = - 29 kN (Compressão) A força resultante na direção y é igual a zero. 20,5 kN – 12 kN + FHC x cos 45 = 0 FHC = -8,5 kN / cos 45 FHC = - 12 kN (Tração) PaLavraS do ProFeSSor Prezado(a) aluno(a), encerramos a nossa unidade II acredito que depois do estudo do conteúdo e os exemplos práticos dos exercícios você já assimilou os conteúdos estudados até o momento. Caso tenha alguma dúvida o que é normal, faça uma nova leitura dos livros disponíveis na biblioteca virtual. Agora acesse o AVA e responda as atividades avaliativas. Surgindo alguma dificuldade, não perca tempo e pergunte ao seu tutor! Bom estudo e até a próxima unidade! UNIDADE III TÓPICOS INTEGRADORES II ENGENHARIA CIVIL 2 Sumário Para início de converSa ...................................................................................... 3 eSTaTicidade e eSTaBiLidade .............................................................................. 7 ForÇaS inTernaS ..................................................................................................... 8 carreGamenTo diSTriBuído ............................................................................... 13 viGaS BiaPoiadaS SimPLeS .................................................................................. 15 viGa enGaSTada ....................................................................................................... 19 3 TóPicoS inTeGradoreS ii unidade iii Para início de converSa Olá, prezado(a) aluno(a), chegamos ao nosso terceiro encontro da disciplina de Tópicos Integradores II, espero que esteja gostando desta troca de informações tão valiosa para seus estudos. Preparado(a) para mais uma etapa? Então vamos juntos, caso precise de ajuda, o seu tutor aguarda sua sinalização para orientar você no que for preciso. Fique aTenTo! A translação produzida por uma força F pode possuir três componentes dispostas nos eixos x, y e z. Da mesma forma, ocorre com um momento M. Essas seis possibilidades de deslocamento produzem seis condições de equilíbrio para uma estrutura espacial. Assim, dizemos que uma estrutura no espaço possui 6 graus de liberdade, composta por três translações e três rotações. Um grau de liberdade representa uma possibilidade de deslocamento. Porém, é necessário restringir cada um desses seis gruas de liberdade, para que se possa garantir que uma estrutura esteja realmente em equilíbrio, evitando-se qualquer tendência de movimento. Os elementos que poderão oferecer essa restrição ao deslocamento são chamados de apoios. O aparecimento de reações nesses apoios oferecerá a resistência necessária aos movimentos que Força e Momento poderão provocar na estrutura. Assim, o conjunto das forças e cargas aplicadas à estrutura e as reações nos apoios formam um sistema de equações, cuja resolução será o objetivo das nossas próximas atividades. 4 orienTaÇõeS da diSciPLina Pois bem, agora você já é capaz de reconhecer que uma estrutura no espaço está submetida a esforços provocados por forças e momentos, que tendem a imprimir à estrutura uma iminência de movimento. Na Resistência dos Materiais, nosso objetivo será estringir qualquer movimento na estrutura. Para isso, utilizaremos as condições de equilíbrios representadas pelas equações fundamentais da Estática. Tais restrições são oferecidas pelos apoios que utilizamos na estrutura. Mas que tipo de apoio podemos utilizar? É o que vamos ver a seguir. 5 Meu(inha) querido(a) estudante, como já dissemos, os apoios têm a função de restringir os graus de liberdade das estruturas, oferecendo para isso reações nas direções dos movimentos que serão impedidos. Sua classificação é função da quantidade de graus de liberdade que ele consegue restringir, que podem ser de 6 tipos diferentes, pois podem impedir de 1 a 6 movimentos. 6 No caso de estruturas planas carregadas no plano xy, muito frequente na análise de estruturas, só haverá 3 graus de liberdade a combater. Neste caso específico, as equações fundamentais no plano são resumidas a três: ΣFX = 0 ΣFY = 0 ΣMo = 0 Em estruturas planas com cargas aplicadas no plano xy, as componentes FZ serão nulas. Com isso, os momentos MX e MY também serão nulos, pois eles dependem da existência de uma força aplicada no eixo z. Por esta razão, as equações de equilíbrio utilizadas serão apenas as três indicadas acima. Então, na análise Estrutural, poderão ser utilizadas três tipos de apoio: a) Apoio de 1º gênero O apoio do 1º gênero tem a capacidade de oferecer restrição apenas ao deslocamento na direção do eixo y, permitindo livre rotação em torno dele e deslocamento livre na direção do eixo x. Pense como se fosse um apoio em rodízio. Haveria restrição ao deslocamento vertical, mas qualquer esforço lateral produziria um movimento na direção do eixo x, já que o rodízio não oferece tal restrição. Na direção do movimento impedido, no eixo y, aparecerá uma reação V no apoio. Os apoios de primeiro gênero são representados conforme o símbolo abaixo: b) Apoio de 2º gênero O apoio de 2º gênero é capaz de restringir as duas translações possíveis que podem ocorrer no plano xy. Na direção das translações impedidas, aparecerão então as reações H e V. 7 A representação do apoio do 2º gênero está apresentada na figura abaixo: c) Apoio de 3º gênero No apoio de 3º gênero todos os movimentos possíveis serão impedidos: as duas translações e a rotação. Dizemos, neste caso, que o apoio engasta a estrutura e, por esta razão, o apoio pode ser chamado de engaste. Estruturas engastadas são aquelas que geralmente possuem apenas um apoio e ele será responsável por impedir os três movimentos em uma estrutura plana. O apoio de 3º gênero possui então três reações de apoio H, V e M, indicadas na figura abaixo: eSTaTicidade e eSTaBiLidade Como vimos anteriormente, os apoios são responsáveis por restringir os grausde liberdade de uma estrutura. Sendo assim, você pode se deparar com três casos distintos: a) Os apoios de uma estrutura oferecem três reações de apoio necessárias para impedir todos os movimentos possíveis. Neste caso, o número de incógnitas, ou seja, o de reações de apoio é igual ao número de equações, as chamadas condições de equilíbrio. Dizemos então que a estrutura é isostática, com equilíbrio estável. Essa é a condição ideal com que trabalharemos nossos exercícios mais adiante. 8 b) Os apoios de uma estrutura oferecem duas reações de apoio, que, sabemos, não são suficientes para impedir os três movimentos possíveis. Assim, teremos as três equações para resolver apenas duas incógnitas. Como o número de reações é inferior ao de equações de equilíbrio, dizemos que a estrutura é hipostática. Significa afirmar que a ocorrência do terceiro movimento não será impedida por nenhum dos apoios, o que levaria a estrutura ao movimento. As estruturas hipostáticas não são aceitáveis nas construções por sua instabilidade. c) Quando os apoios oferecem quatro reações, isto é, em número superior à quantidade necessária para impedir todos os movimentos possíveis, estaremos com um caso de viga hiperestática. As equações da estática não serão suficientes para resolver o sistema e encontrar as quatro reações, sendo necessá- rias outras equações relacionadas com as deformações dos materiais que compõem a estrutura. Neste caso, ocorre uma situação de equilíbrio estável além do necessário. ForÇaS inTernaS Quando um sistema de forças atua sobre um corpo, você já sabe que esse corpo sofrerá uma tendência de movimento. Para reprimir esse movimento, são utilizados os apoios da estrutura que oferecerão, através de suas reações, uma resistência ao movimento, garantindo assim a condição de estabilidade do corpo. No entanto, meu(inha) caro(a), tais forças provocam diversos efeitos internos e estáticos nos corpos, que agora chamaremos de esforços solicitantes. Note que o mesmo conjunto de forças podem provocar efeitos diferentes, que poderão provocar nos corpos deformações diferentes. O seu objetivo como responsável por garantir a estabilidade das coisas, corpos e estruturas, é projetar peças que resistam a essas deformações diversas. Imagine então um corpo qualquer em equilíbrio submetido a um sistema de forças: 9 Ao seccionarmos o corpo com um plano P que o intercepta na seção S, verificaremos que o sistema de forças poderá produzir duas resultantes: uma para força com a resultante R e outra para momento com a resultante M, conforme a figura abaixo: Considere então as duas partes E e D. A resultante R é a força que equilibra todas as cargas atuantes no lado direito (D) e vice-versa. Ou seja, são as resultantes que se anulam quando somadas, pois, têm mesma intensidade e direção, porém com sentidos diferentes. A mesma observação deve ser feita em relação às resultantes M dos lados esquerdo e direito do corpo. Lembre-se que as resultantes R e M que aparecem em ambas as partes do corpo são resultantes dos esforços internos provocados pelo sistema de forças atuantes no corpo, representadas nas duas figuras anteriores. Meu(inha) caro(a), se fizermos uma análise mais detalhada dos efeitos que R e M provocam na seção S do corpo em estudo, você identificará quatro efeitos diferentes. Vejamos a figura abaixo, com a decomposição dos vetores R e M no eixo perpendicular à seção e no próprio plano da seção: 10 Note que a decomposição desses vetores nos eixos produz componentes de força e de momento. Assim, a decomposição do vetor R, que, lembre-se, é a resultante das forças, produz as novas forças N (perpendicular à seção S) e Q (tangencial à seção S). Na representação à direita, na figura acima, observe que a resultante dos momentos se decompõe nos momentos T (perpendicular à seção S) e M (tangencial à seção S). Essas novas quatro componentes, duas de força e duas de momento, provocam efeitos diferentes no corpo. São efeitos internos, que tendem a deformar a peça e podem ser assim resumidos: a) A componente N representa o chamado esforço normal. Ele atua perpendicularmente ao plano da seção transversal e seu efeito é o de tracionar as seções transversais uma em relação à outra ou de comprimi-las. O esforço normal em uma seção transversal é a soma algébrica de todas as forças que atuam na direção normal à seção transversal, ou seja, perpendicular. Será positivo quando provocar um afastamento entre duas seções infinitamente próximas, ou seja, quando estiver “saindo” da seção trans- versal. Neste caso, chamamos esse efeito de tração. Do contrário, se a força estiver “entrando” na seção transversal, o efeito será de compressão. b) A componente Q representa o esforço cortante. A atuação desse esforço ocorre no próprio plano da seção transversal e seu efeito é de deslizar uma seção transversal em relação à outra infinitamente próxima, com a tendência de provocar um cisalhamento ou corte. Daí o nome de esforço cortante. A orientação do sentido do esforço cortante está relacionada com o lado da seção transversal que se está analisando: pelo lado esquerdo da seção, o esforço cortante será positivo quando tiver o sentido positivo do eixo y, ou seja, para cima. Do contrário, o esforço cortante será negativo. O estudo de esforços cortan- tes é muito importante para se estimar a tendência de corte em uma estrutura. O seu valor varia ao longo do comprimento da estrutura e é função do somatório de todas as cargas que estão à esquerda da seção considerada. Com o desenho do diagrama de esforço cortante, que será assunto da nossa próxima unidade, você será capaz de identificar o valor do esforço cortante em cada ponto da estrutura, apenas observando um diagrama. c) A tendência do momento provocado pela componente T é de promover uma rotação relativa entre duas seções infinitamente próximas em torno de um eixo perpendicular. O momento é denominado de momento torsor, pois seu efeito provoca uma torção na peça. Dizemos que o momento torsor é positivo quando ele traciona a peça no sentido anti-horário, sendo negativo em caso contrário. A torção é bastante estudada em problemas em que peças estruturais são submetidas a esforços mecânicos, produzidos por fontes externas e que exigem das estruturas uma resistência à deformação. d) Por fim, a última componente M é chamada de momento fletor. A tendência desse momento é de provocar uma rotação em torno do eixo situado no próprio plano da seção transversal. O momento M provoca uma tendência de alongamento em uma parte a seção transversal e um encurtamento na outra parte, quando a peça então estará sofrendo um efeito de flexão. Por essa razão, M é chamado de momen- to fletor. 11 Com o desenho do diagrama do momento fletor, que será assunto da nossa próxima unidade, você será capaz de identificar o valor do momento fletor em cada ponto da estrutura, apenas observando o diagrama. Também será possível a determinação do momento fletor máximo. Fique aTenTo! É necessário conhecer que região da estrutura está sendo tracionada e qual está sendo comprimida. Quando o momento fletor traciona as fibras inferiores da seção, ou seja, a parte inferior, dizemos que o momento fletor é positivo. Do contrário, o momento fletor será negativo, comprimindo as fibras inferiores e tracionando as superiores. Essa observação é muito importante quando estão sendo projetadas as vigas de concreto armado, pois é com a identificação do sentido do momento, positivo ou negativo, que são calculadas as barras de aço que precisarão ser inseridas, na parte inferior ou superior da viga. Guarde os esforços internos causados por força N e Q: N – Esforço Normal, atua perpendicular à seção transversal e é positivo quando traciona a seção transversal (como se fosse uma força saindo da seção). Em caso contrário, é negativo. Q – Esforço Cortante, atua no plano da seção transversal e é positivo quando aponta para o eixo positivo de y, quando se analisa olado esquerdo da seção. Em caso contrário, é negativo. Guarde os esforços internos causados por momento T e M: T – Momento torsor, atua em torno de um eixo perpendicular à seção, sendo positivo quando tende a torcer as fibras no sentido horário. Em caso contrário, é negativo. M – Momento fletor, atua no plano da seção transversal, sendo positivo quando traciona as fibras inferiores da seção. Em caso contrário, é negativo. 12 exemPLo Exemplo 1: A lança DF do guindaste giratório tem peso desprezível. Se o guincho e a carga pesam 3000 N, determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam nos pontos A e B. Solução Como estamos analisando um sistema de força coplanares, os esforços solicitantes se estriguem a força normal, a força de cisalhamento e o momento fletor. Para você calcular os esforços é preciso utilizar o método das seções, ou seja, passa uma linha imaginário dividindo a estrutura em duas partes. Você pode escolher o lado direito ou o lado esquerdo para determinar os esforços solicitantes. Nesse exemplo iremos escolher o lado direito, pois se escolhêssemos o esquerdo teríamos que calcularmos as forças de reação antes de determinarmos das forças internas. 13 Aplicando as equações de equilíbrio na estrutura seccinada, obtemos: ΣFx = 0 N = 0 ΣFy = 0 V – 3000 = 0 V = 3000 N ΣM = 0 (Quando calculamos o momento fletor devemos usar sempre como referência para o cálculo do momento a seção) M -3000*0,9 = 0 M = 2700 Nm Como não existe nenhuma outra força sobre a barra DF, os esforços solicitantes no ponto B tem o mesmo lavor dos esforços no ponto A. Convido você a determinar os esforços solicitantes alisando a seção do lado direito. Lembre que o valor encontrado deve ser igual ao calculado acima. Se precisar, fale com o seu tutor, ele vai te ajudar no que for preciso. carreGamenTo diSTriBuído Meu(inha) caro(a) aluno(a), antes de iniciar o estudo sobre vigas, é importante que você revise o conceito de força e as formas como ela se apresenta: concentrada ou distribuída. Dizemos que uma força é concentrada quando sua área de atuação pode ser resumida em um ponto. Assim, imagine uma pessoa de 80 kg que transfere para a superfície onde ela está apoiada um determinado peso igual a 784 N (lembre-se de que peso é igual ao produto da massa em kg pela aceleração da gravidade em m/s2). Assim, é possível imaginar que essa pessoa transfere para a superfície um peso P = 784 N através do contato dos seus pés com a superfície, uma área relativamente pequena que pode ser entendida como um ponto. Já se sobre essa superfície estiver apoiado um container com 4m de comprimento e peso total igual a 10 kN, não é razoável dizer que o peso está sendo aplicado em um ponto específico resumidamente. Nesse caso, diz-se que a carga é distribuída ao longo do comprimento: o peso será então 10 kN dividido por 4m de comprimento, ou simplesmente, 2,5 kN/m. A carga distribuída é uma taxa de carga aplicada ao longo de um comprimento. 14 No cálculo das reações de apoio, um procedimento específico deverá ser adotado quando houver cargas distribuídas ao longo de um comprimento: elas deverão ser substituídas por uma carga concentrada equivalente aplicada em um ponto específico que deve coincidir com o centro geométrico da área da figura que representa a carga distribuída. Vejamos, então, alguns exemplos de carregamento distribuído. 1º Uma carga uniformemente distribuída de valor igual a q = 2 N/m. Suponha que o comprimento da viga sobre a qual atua essa carga distribuída é igual a 6 m. No exemplo acima, observe que a carga de 2 N/m distribuída ao longo de 6m foi substituída por uma carga concentrada de 12 N (obtida pelo produto do valor da carga distribuída pelo comprimento onde ela se aplica) e colocada exatamente no centro geométrico da área que representa a carga distribuída, ou seja, na metade do retângulo. No caso de uma carga não uniformemente distribuída, ela varia ao longo do comprimento onde se aplica. A figura geométrica que representa essa carga não será mais um retângulo e pode assumir, por exemplo, uma forma triangular. Veja abaixo: Observe, nesse segundo exemplo, que a carga distribuída não é uniforme ao longo da viga. Ela começa com 2 N/m e varia até 0 (zero) no fim do comprimento da viga. Essa carga distribuída é convertida então em uma carga concentrada de valor igual à área da carga distribuída, que será a área do triângulo de altura igual a 2 N/m, que corresponde à carga distribuída variável, e base igual a 6 m, que corresponde ao comprimento da viga em que ela se aplica. Assim, é encontrado o valor de P = 6 N (correspondente ao cálculo, que é a área do triângulo). Note que o ponto de aplicação dessa carga deve ser o centro geométrico da figura, ou seja, a um terço do comprimento da viga tomando como referência ângulo reto do triângulo, que representa 2m do total de 6m do comprimento da viga. 15 Você também deve considerar que as cargas podem se apresentar de forma concentrada, porém aplicadas em ângulo sobre a superfície. É o caso de cargas inclinadas, como no caso abaixo: Observe que agora que a carga P é aplicada sobre a viga formando um ângulo ϴ. Isso significa que sua ação sobre a viga pode produzir um deslocamento segundo a orientação do eixo x e também do eixo y. Assim, você precisará conhecer o valor dessas duas componentes, que nada mais são do que as decomposições da força P nos eixos x e y. Perceba que a componente Py, oposta ao ângulo ϴ, é igual ao produto de P pelo seno de ϴ, já que o seno de um ângulo é igual ao cateto oposto ao ângulo sobre a hipotenusa do triângulo formado. E a componente x da força será igual ao produto de P pelo cosseno do ângulo ϴ. Teremos, por fim, as componentes P·senϴ e P·cosϴ. Meu(inha) caro(a), agora que você já sabe o que fazer quando se deparar com cargas inclinadas e distribuídas, fazemos as devidas conversões em cargas concentradas equivalentes, agora comecemos a estudas as vigas biapoiadas. Vamos lá? viGaS BiaPoiadaS SimPLeS Prezado(a) estudante, uma viga biapoiada simples é uma estrutura submetida a um sistema de forças, sustentada por dois apoios: a viga começa no primeiro apoio e termina no segundo. A figura abaixo ilustra um exemplo de viga biapoiada simples: Observe que a viga se projeta sobre dois apoios, um do primeiro gênero (B) e um do segundo gênero (A). 16 Esses apoios oferecerão ao todo, três reações de apoio: uma horizontal e uma vertical no A e uma vertical no B. Como temos três equações para calcular essas três incógnitas, que são as desconhecidas reações de apoio (HA, RA e RB), dizemos que essa estrutura é uma viga isostática. A condição de estar sustentada por dois apoios lhe confere a classificação biapoiada e ela é simples porque começa num apoio e termina no outro. Fica a dica Aluno(a), em qualquer viga submetida a forças, será sempre necessário conhecer as reações nos apoios e, com todas as forças nela atuantes sendo conhecidas, é possível identificar os efeitos que os esforços solicitantes provocam nas suas superfícies internas. Como você já sabe, esses esforços variam conforme a localização no comprimento da viga. Se diversas forças estão atuando, será necessário verificar em que ponto ocorre o maior esforço cortante e também o maior momento fletor, pois esses valores interferem diretamente no dimensionamento da peça. Ou seja, para se projetar as dimensões de uma viga, é necessário conhecer o valor dos esforços que ela deverá suportar e comparar com a resistência do material com que a viga será feita. PraTicando Por enquanto, nosso objetivo será calcular as reações de apoio em uma viga biapoiada simples, submetida a um carregamento específico. Prezado(a) estudante, vamos praticar agora e conto com sua atenção nos exercícios a seguir: Exercício 1. Determine as reações de apoio na viga biapoiada solicitada pela ação da carga distribuída de intensidade igual a q = 2 kN/m, conforme ilustrado na figuraabaixo. Considere que a viga tem 8 m de comprimento. 17 Resolução: Essa é uma questão de uma viga de 8 m de comprimento submetida a uma carga distribuída ao longo do seu comprimento no valor de 2 kN/m. Isto quer dizer que a carga tem um valor igual a 2 kN em cada metro de comprimento da viga e que os dois apoios precisam reagir a essa ação da força em igual valor, mesma direção e sentido contrário. A primeira coisa que você deve identificar é o tipo de carga que aparece. Uma carga distribuída, como é o caso, precisa ser convertida numa carga equivalente concentrada. Ela será equivalente apenas quando transferir para os apoios a mesma intensidade de força que a carga distribuída oferece: Assim, a carga distribuída de 2 kN/m ao longo de 8 m equivale a uma carga P concentrada com valor igual a: Guarde eSSa ideia! É extremamente importante, meu(inha) caro(a), que você preste atenção nas unidades das grandezas que aparecem nos exercícios. Observe que a unidade de distância da carga distribuída (metro) é a mesma unidade de distância do comprimento da viga (metro), o que lhe permite efetuar a multiplicação diretamente. Caso isso fosse diferente, você deveria fazer inicialmente a conversão de unidades. Utilizando então as condições de equilíbrio para calcular as reações de apoio: ΣFx = 0 à HA = 0, pois não há força externa atuante no eixo x da viga. ΣFx = 0 à VA + VB – 16 = 0 à VA + VB = 16 (1) Por fim, a terceira condição de equilíbrio fornecerá o valor de uma das reações: ΣMA = 0 à 16 x 4 – VB x 8 = 0 à VB = 8 kN. (2) Usando (2) em (1), temos que VA = 8kN. Façamos agora mais uma aplicação de vigas biapoiadas simples, dessa vez, submetidas a cargas inclinadas e distribuídas: 18 Exercícios 2. Determine as reações de apoio na viga biapoiada solicitada pela ação da carga distribuída de intensidade igual a q = 8 N/m ao longo de 2 m de comprimento e uma carga concentrada e inclinada de 40N, conforme ilustrado na figura abaixo. Considere que a viga tem 8m de comprimento. Resolução: A viga biapoiada de 8 m de comprimento está submetida a duas cargas: uma distribuída de valor igual a 8 N/m ao longo de 2m e outra concentrada inclinada no valor de 40N aplicada a 5 m do apoio mais à esquerda. Há pouco, você foi apresentado aos procedimentos para converter cargas inclinadas e distribuídas em suas equivalentes concentradas ortogonais: 1. A carga distribuída deve ser substituída por uma carga concentrada de valor igual a 16N, aplicada a 1m do apoio mais à esquerda. O valor da força é encontrado pelo produto da carga distribuída (8 N/m) pelo comprimento (2 m) e o ponto de aplicação é exatamente a metade do comprimento. 2. Já a carga inclinada deve ser substituída por suas componentes vertical e horizontal. A componente vertical, oposta ao ângulo de 60º, é igual ao módulo do vetor multiplicado pelo seno de 60°, o que resulta no valor igual a 60 N. A componente horizontal será igual a 34,64 N. A viga então terá a seguinte configuração, após as substituições: 19 Utilizando então as condições de equilíbrio para calcular as reações de apoio: ΣFx = 0 à HA – 34,46 = 0, logo HA = 36,64 N ΣFy = 0 à VA + VB – 16 – 60 = 0 à VA + VB = 76 (1) Por fim, a terceira condição de equilíbrio fornecerá o valor de uma das reações: ΣMA = 0 à 16 x 1 + 60 x 5 – VB x 8 = 0 à VB = 39,5 N (2) O ponto A foi escolhido, pois é ponto que possui o maior número de força atuando nele ou que a linha de ação da força passa por ele. Assim as forças VA, HA e a componente da força inclinada de intensidade de 36,64 N não produzem momento com relação ao ponto A. Usando (2) em (1), temos que VA = 36,5 N viGa enGaSTada As vigas engastadas e livres refletem o tipo de apoio de que se utilizam. Diz-se que uma viga está engastada quando o seu apoio é do terceiro gênero, isto é, oferece três restrições de movimento através de três reações de apoio. Uma extremidade da viga estará engastada e a outra, livre, sem apoio. Considere, assim, o exemplo da viga engastada e livre abaixo: Exercício 3. Calcule as reações no apoio da viga engastada ilustrada na figura 2.5. Resolução: A viga só está apoiada no engaste, localizado na sua extremidade esquerda, enquanto a extremidade direita não possui qualquer apoio, ou seja, está livre. Como existe uma carga distribuída, ela deverá ser substituída por sua equivalente concentrada e projetada no centro geométrico da figura que representa a carga distribuída. 20 Essa força concentrada será então igual a 12 t, resultado do produto da carga distribuída igual a 3t/m pelo comprimento da viga igual a 4 m. O ponto de aplicação dessa força deverá ser o centro da viga (centro geométrico do retângulo que representa a carga distribuída), ponto que coincide com o ponto de aplicação da carga concentrada existente de 4 t. Utilizando então as condições de equilíbrio para calcular as reações de apoio: ΣFx = 0 à HA = 0 ΣFy = 0 à V – 12 – 4 = 0 à V = 16 t (1) Por fim, a terceira condição de equilíbrio fornecerá o valor do momento de reação oferecido pelo engaste: ΣM = 0 à M – 4 x 2 – 12 x 2 = 0 à M = 32 Nm PaLavraS do ProFeSSor Prezado(a) aluno(a), encerramos a nossa unidade III. Acredito que depois do estudo do conteúdo e os exemplos práticos dos exercícios você já assimilou os conteúdos estudados até o momento. Caso tenha alguma dúvida o que é normal, faça uma nova leitura dos livros disponíveis na biblioteca virtual. Agora acesse o AVA e responda as atividades avaliativas, e surgindo alguma dificuldade, não perca tempo e pergunte ao seu tutor! Bom estudo e até o nosso quarto encontro! UNIDADE IV TÓPICOS INTEGRADORES II ENGENHARIA CIVIL 2 Sumário Para início de converSa ...................................................................................... 3 viGa ............................................................................................................................... 3 converSÃo de SinaL Para viGaS ............................................................................................. 5 como conSTruir oS diaGramadaS de eSForÇo corTanTe e momenTo FLeTor ........................................................................................................................... 5 cáLcuLo de reaÇÕeS ..................................................................................................................... 5 deFiniÇÃo da QuanTidade de reGiÕeS anaLiSadaS ......................................................... 6 deTerminaÇÃo daS FunÇÕeS do eSForÇo corTanTe ( v(X) ) e do momenTo FLeTor 6 ( m(X) ) .................................................................................................................................................. 6 FLeXÃo de eLemenToS reToS – viGaS SimPLeS ............................................. 17 momenTo de inÉrcia ............................................................................................. 20 3 unidade iv TóPicoS inTeGradoreS ii Para início de converSa Olá, meu(inha) querido(a) estudante! Está sendo uma experiência gratificante contar com sua interação nesta jornada de estudo em busca de novos conhecimentos. Preparado(a) para iniciar a nossa IV unidade? Acredito que sim! orienTaÇÕeS da diSciPLina Então, meu(inha) caro(a), a finalidade deste guia de estudos é facilitar sua compreensão dos assuntos que compõem esta importante disciplina do seu curso de graduação, que consiste numa recapitulação da fascinante área de Estruturas da Engenharia Civil. Nele, você encontrará as orientações necessárias para aperfeiçoar seus estudos, tomando como referência os livros da biblioteca virtual e os diversos materiais adicionais. Preparado(a)? Então vamos lá. viGa As vigas são estruturas delgadas que resistem a carregamento aplicados perpendicularmente a seu eixo longitudinal. Em geral, as vigas são barras longas de seção transversal constante, mas formas diversas chamadas de perfil. Os perfis mais utilizados são o perfil em “I” e o perfil
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