Topicos Integradores II

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UNIDADE I
TÓPICOS INTEGRADORES II
ENGENHARIA CIVIL
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por escrito, do Grupo Ser Educacional.
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Equipe de Desenvolvimento de Material Didático EaD 
 
___________________________________________________________________________
__
Júnior, Elias Arcanjo da Silva. 
Tópicos Integradores II – Engenharia Civil : Unidade 1 - Recife: Grupo Ser Educacional, 2019.
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Grupo Ser Educacional
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CEP: 50100-160, Recife - PE
PABX: (81) 3413-4611
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Sumário
GrANDEZA ESCALAr E GrANDEZA VEToriAL ..................................................... 4
oPErAÇÕES VEToriAiS ............................................................................................. 5
ADiÇÃo DE VETorES .................................................................................................. 5
regra da construção de polígonos .................................................................................................. 6
Subtração de vetores ........................................................................................................................ 7
Propriedades das operações Vetoriais ........................................................................................... 7
LEi DoS SENoS E LEi DoS CoSSENoS ................................................................... 8
EQuiLÍBrio DE um PoNTo mATEriAL No PLANo .............................................. 18
Diagrama de Corpo Livre (DCL) ........................................................................................................ 18
Vetores cartesianos tridimensionais ............................................................................................... 20
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TóPiCoS iNTEGrADorES ii
uNiDADE i
PArA iNÍCio DE CoNVErSA
Olá, aluno(a),
Seja bem-vindo(a) à nossa disciplina de Tópicos Integradores II.
Desejo que você tenha um excelente aproveitamento com o estudo do nosso guia. 
Conto com seu comprometimento nesta nova jornada acadêmica e acredito que ao 
final da nossa disciplina, você terá total domínio do assunto estudado.
oriENTAÇÕES DA DiSCiPLiNA
Você terá, ao longo do guia, vários recursos disponíveis para facilitar seu aprendizado. Caso queira fazer 
alguma pesquisa, utilize a nossa Biblioteca Virtual, esta é uma maneira de agregar novos conhecimentos.
Assista às videoaula, elas vão ajudar a esclarecer possíveis dúvidas.
Ao final da nossa unidade, acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e responda as atividades.
Caso tenha alguma dúvida não perca tempo e pergunte ao seu tutor.
Preparado(a)?
Em nossa I unidade vamos estudar os seguintes tópicos:
•	 Grandezas Vetores e escalares;
•	 Vetor;
•	 Operações vetoriais; 
•	 Equilíbrio de um ponto material no plano;
•	 Vetores cartesianos tridimensionais.
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GrANDEZA ESCALAr E GrANDEZA VEToriAL 
Grandeza Escalar
Grandezas escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente 
especificada por sua intensidade e sua unidade. 
São grandezas escalares: massa, tempo, comprimento, etc.
Grandeza Vetorial 
Grandeza vetorial é qualquer quantidade física que requer uma intensidade, um sentido uma direção e sua 
unidade de medida para sua completa descrição.
São grandezas vetoriais: velocidade, força, momento, etc.
Vetor
Para a representação de uma grandeza vetorial utilizamos os vetores. O vetor é um ente matemática 
caracterizado por possuir um módulo (intensidade), uma direção e um sentido. Graficamente, um vetor 
é representado por um segmento de reta orientado, indicado por uma letra em negrito ou por uma letra 
sobre o qual colocamos uma seta.
O uso dos vetores nos auxilia nas operações matemáticas com grandezas vetoriais.
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oPErAÇÕES VEToriAiS 
Multiplicação de um vetor por um escalar.
Meu(inha) caro(a), se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, sua intensidade é alterada por essa 
quantidade. Se o escalar for um número positivo maior que 1, o vetor será ampliado. Se o escalar for 
positivo entre 0 e 1 a intensidade será reduzida. Quando multiplicado por um escalar negativo, além da 
mudança da intensidade ele também mudará o sentido do vetor.
FiCA A DiCA
A multiplicação de um escalar por um vetor, não haverá alteração na direção do vetor.
ADiÇÃo DE VETorES 
Frequentemente é necessário se trabalhar com combinações de quantidades vetoriais. Note que para se 
somar escalares, primeiro devemos verificar se eles têm a mesma unidade e então simplesmente somamos 
os números. Quando somamos vetores, devemos considerar tanto a magnitude quanto a orientação de 
cada quantidade vetorial. Para a soma de vetores podemos utilizar a regra do paralelogramo ou a regra 
da construção de polígonos. 
regra do paralelogramo 
Caro(a) estudante, para ilustrar a regra do paralelogramo na adição de vetores, os vetores A e B, figura 
abaixo, são somados para formar um vetor resultante R = A + B usando o seguinte procedimento:
1º Desenho os vetores com suas origens em um mesmo ponto, mantendo suas intensidades, sentidos e 
direções originais.
2º A partir da extremidade de A desenhe uma linha paralela ao vetor B e na sequência desenhe uma 
nova linha a partir da extremidade de B paralela ao vetor A. Essas duas linhas se cruzam e formam um 
paralelogramo.
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3º A diagonal desse paralelogramo, com mesma origem dos vetores A e B e extremidade no vértice 
oposto, represente o vetor resultante R = A + B. 
regra da construção de polígonos 
A regra da construção de polígonos é muito útil quando devemos somar mais de dois vetores. Para somar 
os vetores A, B e C usando a Regra da construção de polígonos devemos usar o seguinte procedimento:
1º Desenhe o vetor A, mantendo módulo, direção e sentido originais, e na extremidade de A desenhe o 
vetor B, também mantendo suas características iniciais e na sequência desenho o vetor C, mantendo seu 
módulo, sua direção e seu sentido.
2º O vetor com a origem na origem do primeiro vetor e sua extremidade na extremidade do último vetor 
é o vetor resultante R = A + B + C.
GuArDE ESSA iDEiA!
Fique atento(a), pois a regra da construção de polígonos é chamada de construção de triângulos quando a 
soma é apenas de dois vetores. Você também pode usar a lei do paralelogramo para somar mais de dois 
vetores, para isso você soma os dois primeiros vetores e a resultante deles você soma com o terceiro, e a 
resultante deles soma com o quarto e assim por diante. 
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Subtração de vetores 
Para subtração de vetores podemos usar a lei do paralelogramo ou a regra da construção de polígonos, 
para isso você deve transforma a operação de subtração em uma operação de soma de vetores. Assim o 
vetor diferença D = A – B deve ser escrito como D = A + (-B). O vetor -B é o vetor oposto ao vetor 
B, ou seja, o vetor com mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto a B. Procedimento para calcular 
a diferença entre dois vetores utilizando a regra da construção de polígonos:
1º Desenhe o vetor A, mantendo módulo, direção e sentido originais, e na extremidade de A desenhe o 
vetor -B, que tem o mesmo módulo e mesma direção do vetor B, mas o sentido é o oposto ao de B. 
2º O vetor com a origem no início do primeiro vetor e sua extremidade no fim do segundo vetor é o vetor 
resultante D = A + (-B), ou seja, o vetor D = A – B. 
Propriedades das operações Vetoriais 
Comutativa: A ordem em que os vetores são somados não altera a soma, ou seja,
+ .
Associativa: A soma dos vetores não é alterada pela associação dos vetores de diferentes formas, ou 
seja,
GuArDE ESSA iDEiA!
Agora que já sabemos representar graficamenteo vetor soma e o vetor diferença, estamos prontos para 
determinar o módulo, a direção e o sentido desses vetores resultantes. Para isso usamos a lei dos senos, 
a lei dos cossenos, a lei do paralelogramo e o fato que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 
igual a 180º.
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LEi DoS SENoS E LEi DoS CoSSENoS 
A lei dos senos e dos cossenos são duas relações matemáticas que nos permite relacionar os ângulos 
internos dos triângulos com as medidas dos seus lados.
Lei dos senos: Em um triângulo qualquer, a razão entre a medida de um lado do triângulo e o seno do 
ângulo interno oposto a esse lado é constante, ou seja,
Lei dos cossenos: O quadrado da medida e um dos lados, de triângulo qualquer, é igual à soma dos 
quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo 
entre eles, nominalmente, 
Lei do paralelogramo: Determinando o módulo do vetor resultante 
O quadrado da medida da diagonal, de um paralelogramo qualquer, é igual à soma dos quadrados dos 
dois lados adjacentes, mais o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles, 
nominalmente, 
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Notação vetorial cartesiana
Ângulo diretor
 
É possível representar um vetor em termos de vetores cartesianos unitários e . Eles são chamados de 
vetores unitários porque possuem módulo 1 e são usados para determinar as direções cartesianas x e y, 
respectivamente.
Assim, podemos notar o vetor A como um vetor cartesiano da forma
onde Ax e Ay são as componentes ortogonais do vetor , ou seja, são as projeções do vetor nos eixos x e 
y, respectivamente. Como essas componentes formam um triângulo retângulo, podemos determinar suas 
intensidades a partir das razões trigonométricas do triângulo retângulo da seguinte forma:
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PALAVrAS Do ProFESSor
Meu(inha) caro(a) aluno, no intuito de “simplificar” seu estudo, alguns alunos decoram algumas fórmulas 
sem entender o seu real significado, que resulta em erros na resolução de problemas. Um bom exemplo 
é decorar que a Ax = Acosθ e Ay = Asenθ, onde na realidade ele precisa entender que a componente 
do vetor A na direção do cateto adjacente do ângulo diretor é igual ao módulo de A vezes o cosseno do 
ângulo diretor e a componente do vetor A que está da direção do cateto oposto ao vetor diretor é igual ao 
módulo de A vezes o seno do ângulo diretor. 
Triângulo diretor 
A direção de um vetor pode ser dada através de seu triângulo diretor. 
 Nesse caso, o vetor A pode ser escrito na 
 forma cartesiana do seguinte modo:
 
Onde as componentes ortogonais do vetor A são obtidas das razões de proporcionalidade entre os lados 
correspondentes dos triângulos semelhantes abc e AxAyA.
Se você ficou com alguma dúvida na representação dos vetores cartesianos a partir do seu triângulo 
diretor assista a webconferência da UNIDADE I. 
VoCê SABiA?
Você sabia que a notação cartesiana dos vetores é muito útil no estudo da estática de corpos rígidos? 
Pois é, a representação das forças e dos momentos que atuam no corpo por meio de vetores cartesianos 
facilita a análise analítica dos problemas, ou seja, a determinação da intensidade, direção e sentido da 
força resultante, em especial quando temos um número muito grande de forças.
???
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Resultante de Forças Coplanares 
 Para determinar a resultante de forças coplanares é preciso 
 decompor cada força em suas componentes x e y; depois, 
 as respectivas componentes são somadas usando-se 
 álgebra escalar,ou seja,
Módulo e Direção do Vetor resultante
Para determinar o módulo, a direção e o sentido do vetor resultante usamos as seguintes equações:
Módulo do vetor resultante: FR = 
A direção e o sentido do vetor resultante: 
PrATiCANDo
Agora que você aprendeu com a aplicação dos conceitos estudados até aqui, recomendo que acompanhe 
a resolução dos exemplos a seguir, para que você aprenda realmente não terá outra opção a não ser 
praticar. 
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Exercícios resolvidos 
1º) Determine a intensidade da força F e a intensidade da força resultante de Fr se estiver direcionada ao 
longo do eixo y positivo. 
Solução 
Utilizando a regra dos paralelogramos traçamos uma reta com início na extremidade do vetor F e paralela 
ao vetor força de intensidade 200 N e na sequência desenhamos uma nova reta com origem na extremidade 
do vetor com intensidade de 200 N e paralela ao vetor F. A interseção das retas estará sobre o eixo y, 
pois o problema afirma que a resultante das forças está sobre esse eixo. Com o paralelogramo formado, 
encontramos os ângulos internos e utilizamos a lei dos senos para determinar a intensidade do vetor 
resultante e do vetor F.
Se você observar apenas o lado direito do paralelogramo verá um triângulo com os ângulos de 45° e 30°. 
Como a soma dos internos é igual a 180°, o terceiro ângulo será de θ = 75°.
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Aplicando a lei dos senos para determinar o módulo de F, temos:
Aplicando novamente a lei dos senos para determinar a intensidade de da força resultante, temos:
2º) O anel mostrado na figura está submetido a duas forças F1 e F2. Se for necessário que a força resultante 
tenha intensidade de 1 kN e seja orientada verticalmente para baixo, determine (a) a intensidade de F1 e 
F2, desde que θ = 30°, e (b) as intensidades de F1 e F2, se F2 for mínima. 
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Solução 
Letra a: Utilizando a regra da construção de triangulo, você deve desenhar o vetor F1 com sua origem na 
extremidade do vetor F2, mantendo módulo direção e sentido. O vetor resultante tem origem no início 
do vetor F2 e sua extremidade a fim do vetor F1. Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, 
o ângulo entre F2 e F1 é 130°. Já que a intensidade do vetor resultante é 1 kN podemos determinar as 
intensidades de F1 e F2 usando a lei dos senos.
e
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Letra b: Observando a figura ao lado você pode concluir que a força F2 será mínima se o ângulo entre F1 
e F2 for igual a 90°. E usando as razões trigonométricas do triângulo retângulo, temos:
3º) Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança mostrada na figura. Expresse cada 
força como um vetor cartesiano.
 
Solução. Na figura b temos o desenho das componentes do vetor F1 nas direções x e y. A componente F1x 
pode ser deslocada verticalmente para cima para formar um triângulo retângulo, regra da construção de 
triângulos, no intuito de ser usada a definição de seno e de cosseno na determinação das intensidades 
das componentes de F1. 
Como F1y é cateto adjacente ao ângulo de 30°, você pode escrever que:
F1y = F1 x cos 30° = 200 N x cos 30° = 173,2 N.
Já F1x é o cateto oposto ao ângulo de 30°, assim o podemos escrever que:
F1x = - F1 x sen 30° = - 200 N x sen 30° = - 100 N.
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Nota1: O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente horizontal de 
F1 aponta no sentido negativo do eixo x.
E o vetor F1 em coordenadas cartesianas é:
F1 = (-100i + 173,2j) N
Para determinar as componentes de F2 iremos usar a semelhança de triângulos. Agora F2x pode ser 
deslocado de maneira a forma um triangulo retângulo semelhante ao triangulo diretor 5, 12, 15.
.
 
.
Nota1: O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente vertical de F2 
aponta no sentido negativo do eixo y.
Já o vetor F2 em coordenadas cartesianas é:
F2 = (240i - 100j) N
4º) A ponta de uma lança O na figura (a) está submetida a três forças coplanares e correntes. Determine 
a intensidade e a direção da força resultante.
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Solução
Cada força deve ser decomposta em suas componentes x e y (figura b). 
F1x = - 400 NF1Y = 0
F2x = 250 N x sen 45° = 176,8 NF2x = 250 N x cos 45° = 176,8 N 
F3x = -(4/5) x 200 N = - 160 NF3x = (3/5) x 200 N = 120 N 
 
Somando as componentes x, temos:
FRx = - 400 N + 176,8 N– 160 N = -383,2 N
O sinal negativo indica que a resultante na direção x atua para a esquerda. E somando as componentes 
y, temos:
FRy = 0 + 178,8 N + 120 N = 296,8 N
A força resultante, figura (c), tem intensidade:
 FR = 
FR = 485 N
A direção do vetor resultante é dada por:
Esse ângulo é medido com relação ao eixo negativo de x no sentido horário. É comum a direção do ângulo 
ser determinado com relação ao semieixo x positivo no sentido anti-horário. Nesse caso θ = 180° - 37,8° 
= 142,2°. 
Espero que estes exercícios ajudem você a entender melhor esse conteúdo. 
Vamos para mais informações? 
Então, lembre-se que o seu tutor aguarda sua sinalização para ajudar no que for preciso.
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EQuiLÍBrio DE um PoNTo mATEriAL No PLANo 
VoCê SABiA?
Meu(inha) querido(a) estudante, você sabia que a primeira lei de Newton afirma que um corpo está em 
repouso ou em movimento retilíneo e uniforme se as resultantes que atuam sobre ela são nulas?
Ufa, quanta informação devemos ter, não é? 
Um ponto material encontra-se em equilíbrio desde que esteja em repouso ou tenha velocidade 
constante.
Assim, para que que um ponto material esteja em equilíbrio a força resultante sobre ele deve ser igual a 
zero, ou seja,
 .
GuArDE ESSA iDEiA!
É imprescindível que você tenha perfeita clareza sobre a construção do diagrama de corpo livre de um 
ponto material. Então observe as dicas que seguem.
Diagrama de Corpo Livre (DCL) 
Para aplicar a equação de equilíbrio devem-se considerar todas as forças conhecidas e desconhecidas 
que atuam sobre o ponto material. Para tanto, você deve desenhar o diagrama de corpo livre (esboço que 
mostra o ponto material “livre” de seu entorno e com todas as forças que atuam sobre ele).
Procedimento para desenhar o diagrama de corpo livre:
1) Desenhe o contorno do ponto material;
2) Represente com o auxílio de um vetor todas as forças;
3) Identifique todas as forças.
Para sua melhor compreensão, fique atento(a) aos exemplos!
???
20
ExEmPLo
1°) Determine as trações nos cabos BA e BC necessárias para sustentar o cilindro de 60 kg na Figura.
Solução:
Como o sistema está em equilíbrio a tração na corda BD é igual ao peso do cilindro, ou seja,
TBD = mg = 60 x 9,81 = 588,6 N.
Já as forças nos cabos BA e BC podem ser determinadas aplicando-se a condição de equilíbrio no anel 
B. O diagrama de corpo livre do anel B nos permite determinar as direções das forças TA e TC através do 
triângulo diretor e do ângulo diretor, respectivamente.
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Aplicando a equação de equilíbrio ao longo do eixo x, temos:
Tc(cos 45°) – (4/5)TA= 0
0,7071Tc –0,8TA= 0
TA= 0,8838TC
E aplicando a equação de equilíbrio ao longo do eixo y, temos:
 
Tc(sen 45°) + (3/5)TA – 588,6 = 0
0,7071Tc + 0,6TA = 588,6
Resolvendo o sistema de equações acima:
0,7071TC + 0,6(0,8838TC) = 588,6
1,24TC = 588, 6
TC = 475,66 N = 476 N
e
TA = 420 N
Observação: A precisão desses resultados depende da precisão dos dados, isto é, medições de geometria 
e de cargas. Por isso é indicado na engenharia que os dados medidos tenham pelo menos três algarismos 
significativos.
 
Vetores cartesianos tridimensionais 
As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas na solução de problemas tridimensionais, são 
simplificadas se os vetores são representados primeiro na forma vetorial cartesiana. Desta forma, um 
vetor cartesiano é escrito sob a forma de suas componentes retangulares.
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Representação cartesiana de um vetor tridimensional
Na maioria dos problemas de estática as direções das forças que atuam nas estruturas não são conhecidas. 
Para determinar a direção de uma força é preciso conhecer a posição de dois pontos pelos quais passa a 
linha de ação dessa força. 
 
Na figura ao lado temos uma força F sendo aplicada ao longo de uma corda localizada entre os pontos 
A e B. Se as coordenadas cartesianas desses pontos são conhecidas a representação cartesiana de F é 
dada por
onde é um vetor unitário na direção do vetor posição que tem origem no ponto A e extremidade 
no ponto B. 
Se as coordenadas cartesianas dos pontos A e B são (xA, yA, zA) e (xB, yB, zB), respectivamente; o vetor 
F na forma cartesiana pode ser determinado por
 .
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GuArDE ESSA iDEiA!
A maneira mais fácil de definir as componentes de um vetor posição é determinar a distância de a direção 
que devem ser percorridas ao longo das direções x, y, z, indo da origem para a extremidade do vetor.
A direção de um vetor no R3
A direção de um vetor A, é definida pelos ângulos diretos alfa (a), beta (b) e gama (g), ver figura. Alfa é o 
ângulo que o vetor A faz com a direção x, beta o ângulo do vetor A com a direção y e gama a o ângulo do 
vetor A com a direção z. 
Para determinar o valor dos ângulos diretores primeiro temos que determinar os cossenos diretores de A 
a partir das componentes ortogonais do vetor A e do seu módulo, da seguinte forma:
 
Assim, podemos encontrar os ângulos diretos pelo inverso do cosseno. Sendo
24
ExEmPLoS
1°) O homem mostrado na Figura puxa a corda com uma força de 350 N. Represente essa força, que atua 
sobre o suporte A, como um vetor cartesiano e determine sua direção. 
Solução:
A representação da força F aplicada pelo homem sobre a corda pode ser obtida a partir da equação , onde 
= 350 N, o módulo da força, e é o vetor unitário ao longo corda e sua direção é determinada pelo vetor , 
que se estende de A a B.
Para determinar você deve subtrair as coordenadas do ponto B pelas coordenas do ponto A, ou seja,
 = ( xB, yB, zB ) - ( xA, yA, zA) = ( 6, -4, 3) – (0, 0, 15) = ( 6, -4, -12).
Em coordenadas cartesianas = 6 - 4 -12
Agora com o vetor você pode determinar o vetor unitário que determina a direção e o sentido de F: 
 
25
Como F tem a intensidade de 350 N e direção determinada por 
 
 
A direção da força é determinada pelos ângulos diretores que são medidos entre o vetor força F (ou 
o vetor ) e os eixos coordenados de um sistema de coordenadas com origem em A. A partir das 
componentes do vetor :
Nota: Nesse caso, foi usado o vetor rAB para determinar os ângulos diretores, e não o vetor F, porque 
conhecíamos as suas componentes e o seu módulo.
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FiQuE ATENTo!
Observação1: Os ângulos fazem sentido quando comparamos os resultados com os ângulos desenhados 
na figura acima.
Observação2: Se você observou com atenção o problema anterior, percebeu que a componente x do vetor 
unitário é igual ao cos a, a componente y ao cos b e a componente z ao cos g. Assim, dessa forma 
podemos calcular os ângulos diretores da seguinte forma:
 
Observação3: Como o vetor û é unitário podemos escrever a seguinte relação para os cossenos 
diretores:
cos² a + cos² b + cos² g = 1
2°) Determine a força desenvolvida em cada cabo usado para suportar a caixa de 400 N mostrada na 
Figura.
Solução: 
Como você pode observar esse é um problema de equilíbrio estático, onde a força resultante que atua no 
nó A é igual a zero. Mas antes de você resolver essa equação é necessário escrever cada uma das forças 
que atuam no nó A na forma cartesiana. Com o auxílio das coordenadas dos pontos A (0, 0, 0), B (-1,5 m, 
-2 m, 4 m) e C (-1,5 m, 2 m, 4 m) podemos escrever:
27
E para que o sistema esteja em equilíbrio:
 
Igualando a zeros as respectivas componentes i, j e k:
 −0,318FB−0,318FC+FB=0 (I) 
 −0,424FB+0,424FC=0 (II) 
 0,848FB+0,848FC−400=0 (III) 
Resolvendo a equação II encontramos que: 
FB = FC
Substituindo esse resultado na equação II, encontramos:
FB = FC = 236 N
E substituindo os valores de FB e FC na equação I, obtemos:
FD = 150 
28
PALAVrAS Do ProFESSor
Então, prezado(a) aluno (a), chegamos ao final da nossa I unidade! 
Espero ter colaborado para seu aprendizado! Caso tenha alguma dúvida, sugiro querefaça a leitura do 
guia de estudos.
Faça também pesquisas e exercícios para fixar o que estudamos nesta I unidade. 
Não deixe de acessar o AVA e responder as atividades e os fóruns avaliativos.
Caso tenha dúvidas pergunte ao seu tutor. Ele está à sua disposição.
Bom estudo e até o nosso próximo encontro! 
UNIDADE II
TÓPICOS INTEGRADORES II
ENGENHARIA CIVIL
2
Sumário
Para início de converSa ...................................................................................... 3
momenTo de uma ForÇa ...................................................................................... 4
PrincíPio da TranSmiSSiBiLidade ................................................................... 5
Formulação vetorial cartesiana ....................................................................................................... 5
momento resultante de um Sistema de Forças ............................................................................ 6
equilíbrio de um corpo rígido ............................................................................................................ 8
corpo rígido ......................................................................................................................................... 8
equações de equilíbrio ....................................................................................................................... 9
TreLiÇaS ....................................................................................................................... 12
eLemenToS de ForÇa nuLa .................................................................................. 18
méTodo daS SeÇõeS ............................................................................................... 21
3
TóPicoS inTegradoreS ii
unidade ii
Para início de converSa
Olá, estudante!
Espero que esteja preparado(a) para darmos continuidade ao nosso estudo. Conto 
com a sua dedicação em nossa jornada de estudos. Seu comprometimento é 
essencial para que você ao final das nossas unidades tenha total domínio da nossa 
disciplina.
orienTaÇõeS da diSciPLina
Nesta unidade convido você, caro(a) aluno(a), ao estudo de uma das grandezas mais importante desta 
disciplina: o momento de uma força. No decorrer desta unidade estenderemos o conceito de Momento de 
uma força em relação a um ponto, que mede a tendência de rotação desta força, em relação a este ponto. 
Para uma boa compreensão dos conceitos desta unidade será imprescindível a compreensão dos vetores 
cartesianos no plano e no espaço. 
Lembre-se, você tem à sua disposição a nossa Biblioteca Virtual para fazer pesquisas e buscar novas 
informações. Ao final da nossa unidade II acesse o ambiente e responda as atividades. Em caso de dúvida 
pergunte ao seu tutor.
Nesta segunda unidade vamos estudar os seguintes tópicos:
•	 Momento de uma Força;
•	 Princípio da Transmissibilidade;
•	 Membros de Duas Forças;
•	 Equilíbrio de um corpo rígido;
•	 Treliças;
•	 Método dos nós;
•	 Elementos de força nula; 
•	 Método das seções.
Vamos lá!
4
momenTo de uma ForÇa 
Meu(inha) aluno(a), a grandeza física momento de uma força mede a tendência de rotação de um corpo 
extenso em relação a um ponto ou a um eixo. Sempre que aplicamos uma força em um determinado ponto 
de uma estrutura, esta força pode causar dois efeitos distintos sobre ela, um de translação e outro de 
rotação, esta tendência de rotação será aferida pela grandeza momento.
Momento de uma Força (FORMULAÇÃO VETORIAL)
 O momento de uma força com relação a um ponto O 
 pode ser expresso pelo produto vetorial, nominalmente,
 
Caro(a) aluno(a), verifique que o momento, é um vetor que possui o seu sentido dado pela regra da 
mão direita e sua direção dada por uma reta suporte perpendicular ao plano definido pelos vetores r e F.
Na definição acima r é um raio vetor que parte necessariamente do ponto no qual queremos calcular o 
momento até a linha de ação do vetor força, uma vez que r é um vetor, este sentido não pode ser invertido.
Da definição do produto vetorial, observamos que o vetor momento ( ) é ortogonal ao plano formado 
pelo vetor posição (r) e vetor força (F).
5
PrincíPio da TranSmiSSiBiLidade 
Considere a força F aplicada no ponto A da figura ao lado. O momento criado por F em relação à O é:
 . Entretanto, “r” pode se deslocar sobre a linha de ação de F. Logo, r pode ser aplicada 
no ponto B ou no C. Em outras palavras você pode calcular o momento da força em relação a qualquer 
ponto sobre a linha de ação da força. Assim, podemos escrever que:
MO = rA x F = rB x F = rC x F
Formulação vetorial cartesiana 
Para a solução vetorial cartesiana precisaremos expressar tanto o vetor r quanto o vetor F na forma 
cartesiana, o vetor r é obtido através das coordenadas do ponto inicial e ponto final obtidos assim no 
problema.
A dificuldade maior seria expressar o vetor força na forma cartesiana, logo, recorremos ao conceito de 
versor, uma vez que um vetor é dado por sua intensidade multiplicado pelo seu respectivo versor. Se você 
tiver alguma dúvida na representação de vetores força na forma cartesiana sugiro que revisse o guia de 
estudo da UNIDADE I, e ainda o seu tutor para te auxiliar também.
Na notação vetorial cartesiana o momento da força é dado por:
Mo = (ryFz – rzFy)i – (rxFz – rzFx)j + (rxFy – ryFx)k
Essa equação também pode ser escrita na forma mais compacta de determinante de uma matriz, como:
Onde:
•	 rx, ry, rz: Representam os componentes x, y, z do vetor posição traçado do ponto O até qualquer 
ponto sobre a linha de ação da força.
•	 Fx, Fy, Fz: Representam os componentes x, y, z do vetor força.
1200 n
6
 Em problemas em que o vetor força e o vetor 
 posição estão no plano xy, o momento da força 
 pode ser determinado em relação ao ponto O 
 (na verdade, o eixo z), usando-se uma 
 formulação escalar. A intensidade de Mo é:
 (Mo)z = Fd
Aqui d é o braço do momento da força, ou a distância perpendicular de O até a linha de ação de F. O 
momento da força está na direção z, pois o momento é sempre perpendicular ao plano que contém a força 
e o vetor posição. Já o sentido, para cima ou para baixo, você pode determinar primeiro desenhando os 
vetores r e F na origem no sistema de eixo, mantendo suas direções e sentidos, e na sequência girando 
sua mão direita com o dedão estico no sentido de r para F. A direção do dedão irá indicar o sentido do 
momento da força. 
momento resultante de um Sistema de Forças 
Se um corpo está sujeito à ação de um sistema de forças, o momento resultante das forças em relação ao 
ponto O pode ser determinado pela soma vetorial do momento gerado por cada força, matematicamente 
temos:
Também conhecido como teorema de Varignon: “O momento de uma força em relação a um ponto é igual 
à soma dos momentos dos componentes das forças em relação ao mesmo ponto”.
7
exemPLo
1º) A força F age na extremidade da cantoneira mostrada na figura. Determine o momento da força em 
relação ao ponto O. Calcule utilizando a formulação escalar e a formulação vetorial.
Solução I: Formulação escalar 
Vamos utilizar o teorema de Varignon para determinar o momento da força F em torno de O. Para isso 
vamos decompor a força F em suas componentes ortogonais. Supondo que a rotação no sentido anti- 
horário seja positiva, podemos aplicar a equação , que neste caso fica:
 
(MRo)z = Fxdy - Fydx
(MRo)z = (400sen 30º) (0,2) – (400cos30º)(0,4)
(MRo)z = - 98,6 Nm
Nota: O sinal negativo indica que a tendência de rotação da força F é de girar a estrutura em torno do 
ponto O no sentido horário. 
O dy representa a distância perpendicular de O à linha de açãoda componente Fx e dx a distância 
perpendicular de O à linha de ação da componente Fy. 
8
Solução II: Formulação vetorial
Na formulação vetorial você precisa escrever o vetor posição e o vetor força na notação vetorial cartesiana 
e aplicar a equação . Vamos considerar a orientação positiva do eixo x na direção horizontal para direta, a 
orientação positiva do eixo y na direção vertical para cima e a orientação de positiva do eixo z na direção 
saindo do plano da folha. Desta forma, podemos escrever:
r = rxi + ryj = (0,4i – 0,2j) m 
e 
F = Fxi + Fyj = (400sen 30º) i - (400cos30°)j = [ 200i - 346,4j ] N
E o momento da força é calculado pelo determinado da matriz:
 = (0,4)(-346,4)k – (-0,2)(200)k = (-98,6 k) Nm
equilíbrio de um corpo rígido 
No equilíbrio de um ponto material as equações de forças são suficientes para estabelecer o equilíbrio, 
mas quando tratamos de um corpo rígido estas equações passam a serem insuficientes, necessitando 
assim mais uma equação para a condição de equilíbrio que é a equação do momento da força. Dessa 
forma tanto o equilíbrio de translação quanto o equilíbrio de rotação são estabelecidos.
corpo rígido 
Aqui na Mecânica dos Sólidos consideraremos um corpo rígido aquele que quando solicitado por um 
determinado esforço não se deforma. Daí deve ficar claro para você que esta hipótese na prática não 
ocorre, pois, um corpo sempre se deformará quando solicitado a um determinado esforço. Mas, não muito 
obstante esta hipótese a idealização de um corpo rígido é razoável para os objetivos do nosso curso.
9
equações de equilíbrio 
A primeira equação estabelece o equilíbrio de translação e a segunda equação o equilíbrio de rotação.
As duas equações vetoriais acima podem ser representadas por seis equações escalares: 
ΣFx = 0ΣMx = 0
ΣFy = 0ΣMy = 0
ΣFz = 0 ΣMz = 0
Mas no sistema coplanar apenas três dessas equações são necessárias e suficientes para que um sistema 
esteja em equilíbrio estático. Se as forças estão no plano xy as equações de equilíbrio são: 
ΣFx = 0;
ΣFy = 0;
ΣMz = 0.
PaLavraS do ProFeSSor
Caro(a) aluno(a), é necessário você compreender e diferenciar as condições de equilíbrio de um ponto 
material, estudado no capítulo anterior, e as condições de equilíbrio de um corpo rígido, pois as equações 
de força são suficientes para estabelecer o equilíbrio de um ponto material enquanto que para um 
corpo rígido, além das equações de forças incluem-se as equações de momento de uma força, a fim de 
estabelecer as condições de equilíbrio.
Sempre que um sólido sofre efeito de um carregamento este se deforma e dependendo da carga e da 
rigidez do material que constitui o sólido, esta deformação pode ser visível ou não, pois a casos que estas 
deformações são microscópicas. Aqui na mecânica dos sólidos um corpo rígido é aquele que sofre efeito 
de uma carga sem que haja deformação, isto é tudo hipótese, pois na prática estas deformações sempre 
ocorrem, mas por serem pequenas, podem ser desprezadas.
10
exemPLo
2º) Determine os componentes, horizontal e vertical, das reações para a viga carregada. Despreze o peso 
da viga.
Solução:
Em A temos um apoio simples ou rolete, solicitando apenas reação vertical e em B temos um pino ou 
dobradiça solicitando reação vertical e reação horizontal.
Na construção do diagrama de corpo livre você precisa indicar todas as cargas atuantes na viga AB e as 
reações nos apoios.
Quando você representar uma força no diagrama de corpo livre é fundamental que ela seja acompanhada 
de sua intensidade, caso conheça, sua direção e sua posição com relação a um dado referencial.
Fica a dica
Quando você usa a equação do momento de uma força você precisa escolher um ponto de referência. 
Você pode escolher qualquer ponto ao longo da estrutura e até mesmo fora dela, mas a melhor escolha é 
ponto que possui a maior concentração de forças, pois essas forças não produzem momentos, resultante 
numa equação com um número menor de variáveis.
11
Aplicando a condição de equilíbrio na direção horizontal, temos:
ΣFx = 0
600cos 45º - Bx = 0
Bx = 424,2 N
Para garantir o equilíbrio de rotação, temos:
ΣMB = 0 
(considerando o sentido anti-horário positivo)
100(2) + 600sen(45º)(5) -600con (45º)(0,2) – Ay(7) = 0
Ay = 319,5 N
Para determinar By, aplicamos a condição de equilíbrio na vertical:
ΣFy = 0
319,5 – 600cos(45º) – 100 – 200 + By = 0
By = 404,8 N 
3º) Determine as reações nos apoios. A viga tem uma massa de 100 kg.
Solução:
Nessa viga possui apenas um apoio de terceiro gênero, solicitando três reações, duas reações de força 
e uma reação de momento. Nesse caso, o peso da viga deve ser considerado, e ele deve ser indicado, no 
diagrama de corpo livre, no centro de massa da viga. Considerando uma viga homogenia e com densidade 
de massa constante, seu centro de massa fica no meio dela, ou seja, a 3 metros da parede.
 
Diagrama de corpo livre:
 
981 n
2 m
3 m
12
O peso da viga é:
W = mg = 100 x 9,81 = 981 N
Aplicando a condição de equilíbrio na direção horizontal, temos:
ΣFx = 0
HA = 0
Aplicando a condição de equilíbrio na direção vertical, temos:
ΣFy = 0
VA – 1200 – 981 = 0
VA = 2181 N 
Aplicando a condição de equilíbrio de rotação, temos:
ΣMA = 0
M – 1200 x 2 – 981 x 3 = 
M = 5343 Nm 
TreLiÇaS 
Prezado(a) estudante, imagina-se que o arquiteto italiano Andrea Palladio (1508 – 1580) tenha sido o 
primeiro a usar treliças modernas, embora a base de seus projetos seja desconhecida. 
Ele pode ter recuperado alguns projetos romanos e provavelmente dimensionou os elementos das treliças 
utilizando algumas regras práticas (talvez antigas regras romanas). Os muitos escritos de Palladio sobre 
arquitetura incluíam descrições detalhadas e desenhos de treliças de madeira muito semelhantes às 
usadas nos dias de hoje. Depois dessa época, as treliças foram esquecidas por cerca de 200 anos, até 
serem reintroduzidas pelo projetista suíço Ulric Grubermann.
Mas afinal, o que é uma treliça? 
Uma treliça é uma estrutura formada por um grupo de elementos dispostos na forma de um ou mais 
triângulos. Por ser admitido que os elementos estejam ligados entre si por pinos lisos (sem atrito), o 
triângulo é a única forma estável.
Frequentemente, meu(inha) caro(a), os engenheiros projetistas ficam preocupados com a seleção de uma 
treliça ou de uma viga para vencer um determinado vão. Não havendo outro aspecto a ser considerado, 
provavelmente a decisão irá se fundamentar no aspecto econômico.
13
Se for escolhida uma treliça para vencer um determinado vão, quase sempre será usada a menor 
quantidade de material, entretanto, o custo de fabricação e montagem de uma treliça será provavelmente 
maior do que o necessário para uma viga.
Para pequenos vãos, o custo total de vigas (custo de material mais o custo de fabricação e montagem) 
seguramente será menor, mas à medida que os vãos se tornarem maiores, os custos mais altos de 
fabricação e montagem das treliças serão muito compensados pela redução do peso total do material 
usado.
Uma vantagem adicional de uma treliça é que, para a mesma quantidade de material, ela pode apresentar 
maior rigidez do que uma viga com o mesmo vão.
você SaBia?
Caro(a) aluno(a), você sabia que quando calcularmos os esforços nas barras de uma treliça, admitimos 
algumas hipóteses, vamos agora dar uma olhada e estudar cada uma:
Hipótese para análise de treliças:
1. Os elementos das treliças são ligados entre si por meio de pinos lisos (sem atrito). Na realidade, 
poucas treliças usam conexões com pinos, e não existem pinos lisos sem atrito. Uma conexão com grande 
número de parafusos ou solda é muito diferente de um pino liso.
2. Os elementos das treliças são retilíneos. Se não fossem retilíneos, as forças axiais fariam com 
que surgissem momentos fletores atuantes nas barras.
3. O deslocamento da treliça é pequeno. As cargas atuantes fazem com que os elementos da treliça 
sofram alteração de comprimento, o que por sua vez faz com que a treliça se deforme. As deformaçõesem uma treliça não são de valor suficiente para causar mudanças significativas na forma e nas dimensões 
globais da treliça.
 
4. As cargas são aplicadas exclusivamente nos nós. Os elementos são montados de forma que as 
cargas e as reações são aplicadas exclusivamente nos nós (juntas ou conexões) da treliça. O exame de 
treliça de telhado e de pontes mostrará que essa última hipótese é geralmente verdadeira. Vigas pilares 
e elementos de alavancas ligam-se diretamente aos nós das treliças de edifício com treliças de telhados.
???
14
Dica 
Cada elemento da treliça na condição de um elemento de duas forças só pode apresentar força de Tração 
(T) ou força de Compressão (C) como reação ao carregamento.
Cálculo dos esforços nas barras de uma treliça
Caro(a) aluno(a), aqui passaremos a estudar os métodos para calcular os esforços nas barras de uma 
treliça e utilizaremos dois métodos que são bastante eficazes.
Método dos nós
Pode-se passar uma seção imaginária em torno de um nó de uma treliça, independentemente de sua 
posição, isolando-o completamente do restante da estrutura. O nó torna-se um corpo livre em equilíbrio 
sob as forças a ele aplicadas.
As equações de equilíbrio, ΣFx = 0 e ΣFy = 0, podem ser aplicadas ao nó, para determinar as forças 
desconhecidas aplicadas às barras.
exemPLo
4. Determine as forças que atuam em todos os elementos da treliça mostrada na figura e indique se os 
elementos estão sob tração ou compressão.
SOLUÇÃO
 
Na maioria dos problemas de análise de estruturas o primeiro passo é a determinação das forças de 
reações nos apoios. Nesse exemplo em particular, é imprescindível a determinação das forças de reação 
em primeiro lugar, já que cada nó sofre ação de mais de três forças desconhecidas atuando nele.
15
Calculando as reações
Na treliça acima o apoio A é de 1º gênero, logo possui apenas uma força, na direção vertical para cima, 
ver o diagrama de corpo livre. O apoio em C é de 2º gênero, com duas forças de reação, uma na direção 
vertical para baixo e outra na direção horizontal para esquerda.
Para determinar das forças de reação usaremos as equações de equilíbrio 
A força resultante na direção x é igual a zero. 
∑Fx=0
600 N – Cx = 0 
Cx = 600 N 
O momento resultante com relação ao ponto C é igual a zero. Iremos adotar o sentido anti-horário como 
o sentido positivo para o momento.
Você pode escolher qualquer ponto pertencente ou não a treliça como referência para o cálculo do momento, 
mas escolher o ponto onde há uma maior concentração de forças ajuda na resolução do problema, a forças 
que estão atuando no ponto ou que sua linha de ação passa pelo ponto possui momento igual a zero.
Como as forças VA e HA não causam momento no ponto A, temos:
600 N x 4 m + 400 N x 3 – Ay x 6 = 0 
6Ay = 2400 Nm + 1200 Nm
Ay = 3600 Nm/6 m = 600 N
Ay = 600 N
16
A força resultante na direção y é igual a zero. 
Ay – Cy – 400 N = 0 
600 N – Cy = 400 N 
Cy = 600 N – 400 N = 200 N
Cy = 200 N
A gora que conhecemos as forças de reação podemos calcular as forças que atuam nos elementos da 
treliça utilizando o método do nó. A escolha do nó é arbitrária, pois existe uma força de membro conhecida 
e duas incógnitas atuando no pino em cada um desses nós.
Nó A
A força resultante na direção x é igual a zero. 
FAD – FAB x 3/5 = 0
FAD = 0,6FAB
A força resultante na direção y é igual a zero. 
600 N - FAB x 4/5 = 0
0,8FAB = 600 N
FAB = 600/0,8
FAB = 750 N 
Assim o FAD = 0,6FAB = 0,6 x 750 N = 450 N 
Nó D
17
A força resultante na direção x é igual a zero. 
600 N – 450 N + FDB x 3/5 = 0
0,6FDB = - 150 N
FDB = - 150 N/0,6
FDB = - 250 N
A força resultante na direção y é igual a zero. 
- FDC – FDB x 4/5 = 0
FDC = – 0,8FDB
FDC = – 0,8 x (-250 N)
FDC = 200 N
Nó C
A força resultante na direção x é igual a zero. 
FCB – 600 N = 0
FCB = 600 N
Você pode usar o nó B para conferir se seus cálculos estão corretos. Aplique as condições de equilíbrio 
para determinação das foças nos elementos AB, AC e AD e no final confira com as forças já determinada 
como auxílios dos outros nós.
 
18
eLemenToS de ForÇa nuLa 
Estudante, antes de iniciarmos a análise de uma treliça pelo método dos nós é aconselhável fazer uma 
inspeção para identificação dos elementos que não estão sujeitos a nenhum carregamento. 
Esses elementos de forção nula são usados para oferecer maior estabilidade as estruturas durante sua 
construção e também para oferecer apoio adicional caso o carregamento seja alterado.
Se analisarmos o nó A podemos observar que os elementos de AB 
e AF são elementos de força nula. Isso porque se aplicarmos as 
condições de equilíbrio nesse ponto temos:
A força resultante na direção x é igual a zero. 
ΣFx =0
FAF = 0
A força resultante na direção y é igual a zero. 
ΣFY =0
FAB = 0
 De modo semelhante podemos chegar à conclusão de que 
 os elementos DE e DC são elementos de força nula. 
Você pode confirmar aplicando as 
 equações de equilíbrio no ponto D.
19
Para simplificar escolheremos a direção x ao longo do elemento DE e a direção y perpendicular ao 
elemento DE. 
A força resultante na direção y é igual a zero. 
ΣFy =0
FDC x sen θ = 0
Se o produto de dois números é zero, então um dos dois, ou os dois, tem que ser zero. Como o sen θ não 
é zero, temos que FDC é zero.
 
A força resultante na direção x é igual a zero. 
ΣFx =0
FDE + FDC x sen θ = 0
Como FDC = 0, FDE também é zero.
Assim, como regra geral, se somente dois elementos formam um nó de treliça e nenhuma foça externa ou 
reação de apoio é aplicada ao nó, então eles devem ser elementos de força nula.
Vamos analisar mais uma treliça.
 Numa inspeção rápida podemos concluir que os elementos AE 
 e DE não são elementos de força nula, pois possui uma carga 
 externa no nó E. Como no ponto D existe uma força de reação 
 os elementos AD e DC também não podem ser elementos 
 de força nula. Para analisar o nó D vamos considerar o sistema 
 de coordenadas cartesiana com origem no ponto D, o eixo x 
 está na direção ao longo do elemento DE e o eixo y ao 
longo do elemento DA. 
 
 
20
A força resultante na direção y é igual a zero. 
ΣFy =0
FDA = 0 
A força resultante na direção x é igual a zero. 
ΣFx =0
FDE - FDC = 0
FDE = FDC 
Logo em D temos apenas um elemento de força nula, o elemento DA.
Analisando o elemento nó C.
Considere o eixo x ao longo do elemento CD e a eixo y na direção perpendicular ao elemento CD.
 
A força resultante na direção y é igual a zero. 
ΣFy =0
FCA x sen θ = 0, 
Assim FCA = 0, pois o sen θ é diferente de zero. 
A força resultante na direção x é igual a zero. 
ΣFx =0
- FCB + FDC + FCA x cos θ = 0
Como FCA = 0, temos
FCB = FDC 
21
Em geral, se três elementos formam um nó de treliça para o qual dois deles são colineares, o terceiro 
elemento é um elemento de força nula, uma vez que nenhuma força externa ou reação de apoio é aplicado 
ao nó.
exemPLo
Determine todos os elementos de força nula da treliça Fink para telhados mostrado na figura. Considere 
que todos os nós estejamos conectados por pinos.
Solução:
Os elementos DF, FC e CG são elementos de força nula, pois os nós D, F e G, respectivamente, possuem 
três elementos dos quais dois deles são colineares. Porém a análise deve começar pelo nó D, do contrário 
você não poderia concluir que F é um elemento de força nula.
méTodo daS SeÇõeS 
Prezado(a) aluno(a), quando você está interessado em determinar as forças internas em apenas alguns 
dos elementos de uma treliça que pertençam a nós diferentes é conveniente o usodo método das seções. 
O método das seções baseia-se no princípio segundo o qual, se um corpo está em equilíbrio, então 
qualquer parte dele também está em equilíbrio. 
Para aplicar do método da seção você precisar cortar os elementos de uma treliça completa. Se cortarmos 
a treliça em duas e desenhamos o diagrama de corpo livre de uma de sus partes, podemos então aplicar 
as equações do equilíbrio estático para determinar os esforços internos em cada elemento cortado da 
treliça.
Como são apenas três as equações do equilíbrio estático independente (ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣMo = 0) que 
podem ser aplicadas a parte isolada da treliça, o corte na treliça só deve passar por três elementos da 
treliça nos quais a forças internas não são conhecidas. 
22
exemPLo
5. Através do método das seções, determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da 
ponte e indique se eles estão sob tração ou compressão. 
Solução:
No método das seções faremos um corte imaginário na treliça interceptando os elementos os quais 
desejamos analisar (nesse caso, os elementos BC, HC e HG).
E para facilitar os cálculos, consideraremos a seção à esquerda da treliça, pois possui um número menor 
de cargas externas.
Como dividimos a treliça em duas partes, você só precisa conhecer as forças de reação em um dos lados 
da treliça seccionada. Como o lado a esquerda foi o escolhido, precisamos determinar o valor de VA 
aplicado uma das equações de equilíbrio na treliça completa. Dessa forma, temos:
23
ΣMB = 0
- VA x 12 m + 12 n x 9 m – 14 N x 6 m – 18 N x 3 m = 0
 
VA = 20,5 N
Agora podemos aplicar as equações de equilíbrio para determinar as forças nos elementos cortados.
O momento resultante em H é igual a zero. 
- VA x 3 m – FBC x 3 m = 0
- 20,5 kN x 3 m - FBC x 3 m = 0
FBC = - 20,5 kN (o sinal de menos indicar que o sentido da FBC é oposto ao sentido escolhido no diagrama 
de corpo livre. Isso significa que FBC é uma força de TRAÇÃO e não de compressão como sugerido no 
diagrama de corpo livre).
O momento resultante em C é igual a zero. 
-20,5 kN x 6 m – FHG x 3 m + 12 kN x 3 m = 0
FHG = - 29 kN (Compressão)
A força resultante na direção y é igual a zero. 
20,5 kN – 12 kN + FHC x cos 45 = 0 
FHC = -8,5 kN / cos 45 
FHC = - 12 kN (Tração)
 
PaLavraS do ProFeSSor
Prezado(a) aluno(a), encerramos a nossa unidade II acredito que depois do estudo do conteúdo e os 
exemplos práticos dos exercícios você já assimilou os conteúdos estudados até o momento. 
Caso tenha alguma dúvida o que é normal, faça uma nova leitura dos livros disponíveis na biblioteca 
virtual. Agora acesse o AVA e responda as atividades avaliativas. Surgindo alguma dificuldade, não perca 
tempo e pergunte ao seu tutor! 
Bom estudo e até a próxima unidade!
UNIDADE III
TÓPICOS INTEGRADORES II
ENGENHARIA CIVIL
2
Sumário
Para início de converSa ...................................................................................... 3
eSTaTicidade e eSTaBiLidade .............................................................................. 7
ForÇaS inTernaS ..................................................................................................... 8
carreGamenTo diSTriBuído ............................................................................... 13
viGaS BiaPoiadaS SimPLeS .................................................................................. 15
viGa enGaSTada ....................................................................................................... 19
3
TóPicoS inTeGradoreS ii
unidade iii
Para início de converSa
Olá, prezado(a) aluno(a), chegamos ao nosso terceiro encontro da disciplina de 
Tópicos Integradores II, espero que esteja gostando desta troca de informações 
tão valiosa para seus estudos. 
Preparado(a) para mais uma etapa?
Então vamos juntos, caso precise de ajuda, o seu tutor aguarda sua sinalização 
para orientar você no que for preciso.
Fique aTenTo!
A translação produzida por uma força F pode possuir três componentes dispostas nos eixos x, y e z. Da 
mesma forma, ocorre com um momento M. Essas seis possibilidades de deslocamento produzem seis 
condições de equilíbrio para uma estrutura espacial.
Assim, dizemos que uma estrutura no espaço possui 6 graus de liberdade, composta por três translações 
e três rotações. Um grau de liberdade representa uma possibilidade de deslocamento.
Porém, é necessário restringir cada um desses seis gruas de liberdade, para que se possa garantir que 
uma estrutura esteja realmente em equilíbrio, evitando-se qualquer tendência de movimento.
Os elementos que poderão oferecer essa restrição ao deslocamento são chamados de apoios. O 
aparecimento de reações nesses apoios oferecerá a resistência necessária aos movimentos que Força e 
Momento poderão provocar na estrutura.
Assim, o conjunto das forças e cargas aplicadas à estrutura e as reações nos apoios formam um sistema 
de equações, cuja resolução será o objetivo das nossas próximas atividades. 
4
orienTaÇõeS da diSciPLina
Pois bem, agora você já é capaz de reconhecer que uma estrutura no espaço está submetida a esforços 
provocados por forças e momentos, que tendem a imprimir à estrutura uma iminência de movimento. Na 
Resistência dos Materiais, nosso objetivo será estringir qualquer movimento na estrutura. 
Para isso, utilizaremos as condições de equilíbrios representadas pelas equações fundamentais da 
Estática. Tais restrições são oferecidas pelos apoios que utilizamos na estrutura.
Mas que tipo de apoio podemos utilizar? 
É o que vamos ver a seguir.
5
Meu(inha) querido(a) estudante, como já dissemos, os apoios têm a função de restringir os graus de 
liberdade das estruturas, oferecendo para isso reações nas direções dos movimentos que serão impedidos.
 Sua classificação é função da quantidade de graus de liberdade que ele consegue restringir, que podem 
ser de 6 tipos diferentes, pois podem impedir de 1 a 6 movimentos.
6
No caso de estruturas planas carregadas no plano xy, muito frequente na análise de estruturas, só haverá 3 
graus de liberdade a combater. Neste caso específico, as equações fundamentais no plano são resumidas 
a três:
ΣFX = 0
ΣFY = 0
ΣMo = 0
Em estruturas planas com cargas aplicadas no plano xy, as componentes FZ serão nulas. Com isso, os 
momentos MX e MY também serão nulos, pois eles dependem da existência de uma força aplicada no 
eixo z. Por esta razão, as equações de equilíbrio utilizadas serão apenas as três indicadas acima.
Então, na análise Estrutural, poderão ser utilizadas três tipos de apoio:
a) Apoio de 1º gênero
O apoio do 1º gênero tem a capacidade de oferecer restrição apenas ao deslocamento na direção do eixo 
y, permitindo livre rotação em torno dele e deslocamento livre na direção do eixo x.
Pense como se fosse um apoio em rodízio. Haveria restrição ao deslocamento vertical, mas qualquer 
esforço lateral produziria um movimento na direção do eixo x, já que o rodízio não oferece tal restrição.
Na direção do movimento impedido, no eixo y, aparecerá uma reação V no apoio.
Os apoios de primeiro gênero são representados conforme o símbolo abaixo:
b) Apoio de 2º gênero
O apoio de 2º gênero é capaz de restringir as duas translações possíveis que podem ocorrer no plano xy. 
Na direção das translações impedidas, aparecerão então as reações H e V.
7
A representação do apoio do 2º gênero está apresentada na figura abaixo:
c) Apoio de 3º gênero
 
No apoio de 3º gênero todos os movimentos possíveis serão impedidos: as duas translações e a rotação. 
Dizemos, neste caso, que o apoio engasta a estrutura e, por esta razão, o apoio pode ser chamado de 
engaste.
Estruturas engastadas são aquelas que geralmente possuem apenas um apoio e ele será responsável por 
impedir os três movimentos em uma estrutura plana. O apoio de 3º gênero possui então três reações de 
apoio H, V e M, indicadas na figura abaixo:
 
eSTaTicidade e eSTaBiLidade 
Como vimos anteriormente, os apoios são responsáveis por restringir os grausde liberdade de uma 
estrutura. Sendo assim, você pode se deparar com três casos distintos:
a) Os apoios de uma estrutura oferecem três reações de apoio necessárias para impedir todos os 
movimentos possíveis. Neste caso, o número de incógnitas, ou seja, o de reações de apoio é igual ao 
número de equações, as chamadas condições de equilíbrio. Dizemos então que a estrutura é isostática, 
com equilíbrio estável. Essa é a condição ideal com que trabalharemos nossos exercícios mais adiante.
8
b) Os apoios de uma estrutura oferecem duas reações de apoio, que, sabemos, não são suficientes 
para impedir os três movimentos possíveis. Assim, teremos as três equações para resolver apenas duas 
incógnitas. Como o número de reações é inferior ao de equações de equilíbrio, dizemos que a estrutura 
é hipostática. Significa afirmar que a ocorrência do terceiro movimento não será impedida por nenhum 
dos apoios, o que levaria a estrutura ao movimento. As estruturas hipostáticas não são aceitáveis nas 
construções por sua instabilidade.
c) Quando os apoios oferecem quatro reações, isto é, em número superior à quantidade necessária 
para impedir todos os movimentos possíveis, estaremos com um caso de viga hiperestática. As equações 
da estática não serão suficientes para resolver o sistema e encontrar as quatro reações, sendo necessá-
rias outras equações relacionadas com as deformações dos materiais que compõem a estrutura. Neste 
caso, ocorre uma situação de equilíbrio estável além do necessário.
ForÇaS inTernaS 
Quando um sistema de forças atua sobre um corpo, você já sabe que esse corpo sofrerá uma tendência de 
movimento. Para reprimir esse movimento, são utilizados os apoios da estrutura que oferecerão, através 
de suas reações, uma resistência ao movimento, garantindo assim a condição de estabilidade do corpo.
No entanto, meu(inha) caro(a), tais forças provocam diversos efeitos internos e estáticos nos corpos, 
que agora chamaremos de esforços solicitantes. Note que o mesmo conjunto de forças podem provocar 
efeitos diferentes, que poderão provocar nos corpos deformações diferentes.
O seu objetivo como responsável por garantir a estabilidade das coisas, corpos e estruturas, é projetar 
peças que resistam a essas deformações diversas. 
Imagine então um corpo qualquer em equilíbrio submetido a um sistema de forças:
9
Ao seccionarmos o corpo com um plano P que o intercepta na seção S, verificaremos que o sistema de 
forças poderá produzir duas resultantes: uma para força com a resultante R e outra para momento com a 
resultante M, conforme a figura abaixo:
Considere então as duas partes E e D. A resultante R é a força que equilibra todas as cargas atuantes no 
lado direito (D) e vice-versa. Ou seja, são as resultantes que se anulam quando somadas, pois, têm mesma 
intensidade e direção, porém com sentidos diferentes. A mesma observação deve ser feita em relação às 
resultantes M dos lados esquerdo e direito do corpo.
Lembre-se que as resultantes R e M que aparecem em ambas as partes do corpo são resultantes dos 
esforços internos provocados pelo sistema de forças atuantes no corpo, representadas nas duas figuras 
anteriores.
Meu(inha) caro(a), se fizermos uma análise mais detalhada dos efeitos que R e M provocam na seção S do 
corpo em estudo, você identificará quatro efeitos diferentes. Vejamos a figura abaixo, com a decomposição 
dos vetores R e M no eixo perpendicular à seção e no próprio plano da seção:
10
Note que a decomposição desses vetores nos eixos produz componentes de força e de momento. 
Assim, a decomposição do vetor R, que, lembre-se, é a resultante das forças, produz as novas forças N 
(perpendicular à seção S) e Q (tangencial à seção S). Na representação à direita, na figura acima, observe 
que a resultante dos momentos se decompõe nos momentos T (perpendicular à seção S) e M (tangencial 
à seção S).
Essas novas quatro componentes, duas de força e duas de momento, provocam efeitos diferentes no 
corpo. São efeitos internos, que tendem a deformar a peça e podem ser assim resumidos:
a) A componente N representa o chamado esforço normal. Ele atua perpendicularmente ao plano 
da seção transversal e seu efeito é o de tracionar as seções transversais uma em relação à outra ou de 
comprimi-las. O esforço normal em uma seção transversal é a soma algébrica de todas as forças que 
atuam na direção normal à seção transversal, ou seja, perpendicular. Será positivo quando provocar um 
afastamento entre duas seções infinitamente próximas, ou seja, quando estiver “saindo” da seção trans-
versal. Neste caso, chamamos esse efeito de tração. Do contrário, se a força estiver “entrando” na seção 
transversal, o efeito será de compressão. 
b) A componente Q representa o esforço cortante. A atuação desse esforço ocorre no próprio plano 
da seção transversal e seu efeito é de deslizar uma seção transversal em relação à outra infinitamente 
próxima, com a tendência de provocar um cisalhamento ou corte. Daí o nome de esforço cortante. A 
orientação do sentido do esforço cortante está relacionada com o lado da seção transversal que se está 
analisando: pelo lado esquerdo da seção, o esforço cortante será positivo quando tiver o sentido positivo 
do eixo y, ou seja, para cima. Do contrário, o esforço cortante será negativo. O estudo de esforços cortan-
tes é muito importante para se estimar a tendência de corte em uma estrutura. O seu valor varia ao longo 
do comprimento da estrutura e é função do somatório de todas as cargas que estão à esquerda da seção 
considerada. 
Com o desenho do diagrama de esforço cortante, que será assunto da nossa próxima unidade, você 
será capaz de identificar o valor do esforço cortante em cada ponto da estrutura, apenas observando um 
diagrama.
c) A tendência do momento provocado pela componente T é de promover uma rotação relativa entre 
duas seções infinitamente próximas em torno de um eixo perpendicular. O momento é denominado de 
momento torsor, pois seu efeito provoca uma torção na peça. Dizemos que o momento torsor é positivo 
quando ele traciona a peça no sentido anti-horário, sendo negativo em caso contrário. A torção é bastante 
estudada em problemas em que peças estruturais são submetidas a esforços mecânicos, produzidos por 
fontes externas e que exigem das estruturas uma resistência à deformação.
d) Por fim, a última componente M é chamada de momento fletor. A tendência desse momento é 
de provocar uma rotação em torno do eixo situado no próprio plano da seção transversal. O momento M 
provoca uma tendência de alongamento em uma parte a seção transversal e um encurtamento na outra 
parte, quando a peça então estará sofrendo um efeito de flexão. Por essa razão, M é chamado de momen-
to fletor. 
11
Com o desenho do diagrama do momento fletor, que será assunto da nossa próxima unidade, você será 
capaz de identificar o valor do momento fletor em cada ponto da estrutura, apenas observando o diagrama. 
Também será possível a determinação do momento fletor máximo.
Fique aTenTo!
É necessário conhecer que região da estrutura está sendo tracionada e qual está sendo comprimida. 
Quando o momento fletor traciona as fibras inferiores da seção, ou seja, a parte inferior, dizemos que o 
momento fletor é positivo. Do contrário, o momento fletor será negativo, comprimindo as fibras inferiores 
e tracionando as superiores.
Essa observação é muito importante quando estão sendo projetadas as vigas de concreto armado, pois 
é com a identificação do sentido do momento, positivo ou negativo, que são calculadas as barras de aço 
que precisarão ser inseridas, na parte inferior ou superior da viga.
Guarde os esforços internos causados por força N e Q:
N – Esforço Normal, atua perpendicular à seção transversal e é positivo quando traciona a seção 
transversal (como se fosse uma força saindo da seção). Em caso contrário, é negativo.
Q – Esforço Cortante, atua no plano da seção transversal e é positivo quando aponta para o eixo positivo 
de y, quando se analisa olado esquerdo da seção. Em caso contrário, é negativo.
Guarde os esforços internos causados por momento T e M:
T – Momento torsor, atua em torno de um eixo perpendicular à seção, sendo positivo quando tende a 
torcer as fibras no sentido horário. Em caso contrário, é negativo.
M – Momento fletor, atua no plano da seção transversal, sendo positivo quando traciona as fibras 
inferiores da seção. Em caso contrário, é negativo.
12
exemPLo
Exemplo 1: A lança DF do guindaste giratório tem peso desprezível. Se o guincho e a carga pesam 3000 N, 
determine as cargas internas resultantes nas seções transversais que passam nos pontos A e B.
Solução 
Como estamos analisando um sistema de força coplanares, os esforços solicitantes se estriguem a força 
normal, a força de cisalhamento e o momento fletor. 
Para você calcular os esforços é preciso utilizar o método das seções, ou seja, passa uma linha imaginário 
dividindo a estrutura em duas partes. Você pode escolher o lado direito ou o lado esquerdo para determinar 
os esforços solicitantes. 
Nesse exemplo iremos escolher o lado direito, pois se escolhêssemos o esquerdo teríamos que calcularmos 
as forças de reação antes de determinarmos das forças internas. 
13
Aplicando as equações de equilíbrio na estrutura seccinada, obtemos:
ΣFx = 0
N = 0
ΣFy = 0
V – 3000 = 0
V = 3000 N
ΣM = 0
(Quando calculamos o momento fletor devemos usar sempre como referência para o cálculo do momento 
a seção)
M -3000*0,9 = 0
M = 2700 Nm
Como não existe nenhuma outra força sobre a barra DF, os esforços solicitantes no ponto B tem o mesmo 
lavor dos esforços no ponto A. 
Convido você a determinar os esforços solicitantes alisando a seção do lado direito. Lembre que o valor 
encontrado deve ser igual ao calculado acima.
Se precisar, fale com o seu tutor, ele vai te ajudar no que for preciso.
carreGamenTo diSTriBuído 
Meu(inha) caro(a) aluno(a), antes de iniciar o estudo sobre vigas, é importante que você revise o conceito 
de força e as formas como ela se apresenta: concentrada ou distribuída. 
Dizemos que uma força é concentrada quando sua área de atuação pode ser resumida em um ponto. Assim, 
imagine uma pessoa de 80 kg que transfere para a superfície onde ela está apoiada um determinado peso 
igual a 784 N (lembre-se de que peso é igual ao produto da massa em kg pela aceleração da gravidade 
em m/s2). 
Assim, é possível imaginar que essa pessoa transfere para a superfície um peso P = 784 N através do 
contato dos seus pés com a superfície, uma área relativamente pequena que pode ser entendida como 
um ponto.
Já se sobre essa superfície estiver apoiado um container com 4m de comprimento e peso total igual a 10 
kN, não é razoável dizer que o peso está sendo aplicado em um ponto específico resumidamente. Nesse 
caso, diz-se que a carga é distribuída ao longo do comprimento: o peso será então 10 kN dividido por 4m 
de comprimento, ou simplesmente, 2,5 kN/m. A carga distribuída é uma taxa de carga aplicada ao longo 
de um comprimento.
14
No cálculo das reações de apoio, um procedimento específico deverá ser adotado quando houver cargas 
distribuídas ao longo de um comprimento: elas deverão ser substituídas por uma carga concentrada 
equivalente aplicada em um ponto específico que deve coincidir com o centro geométrico da área da 
figura que representa a carga distribuída. Vejamos, então, alguns exemplos de carregamento distribuído.
1º Uma carga uniformemente distribuída de valor igual a q = 2 N/m. Suponha que o comprimento da viga 
sobre a qual atua essa carga distribuída é igual a 6 m.
No exemplo acima, observe que a carga de 2 N/m distribuída ao longo de 6m foi substituída por uma 
carga concentrada de 12 N (obtida pelo produto do valor da carga distribuída pelo comprimento onde ela 
se aplica) e colocada exatamente no centro geométrico da área que representa a carga distribuída, ou 
seja, na metade do retângulo.
No caso de uma carga não uniformemente distribuída, ela varia ao longo do comprimento onde se aplica. 
A figura geométrica que representa essa carga não será mais um retângulo e pode assumir, por exemplo, 
uma forma triangular. Veja abaixo:
 
Observe, nesse segundo exemplo, que a carga distribuída não é uniforme ao longo da viga. Ela começa 
com 2 N/m e varia até 0 (zero) no fim do comprimento da viga. Essa carga distribuída é convertida então 
em uma carga concentrada de valor igual à área da carga distribuída, que será a área do triângulo de 
altura igual a 2 N/m, que corresponde à carga distribuída variável, e base igual a 6 m, que corresponde 
ao comprimento da viga em que ela se aplica. Assim, é encontrado o valor de P = 6 N (correspondente 
ao cálculo, que é a área do triângulo). Note que o ponto de aplicação dessa carga deve ser o centro 
geométrico da figura, ou seja, a um terço do comprimento da viga tomando como referência ângulo reto 
do triângulo, que representa 2m do total de 6m do comprimento da viga.
15
Você também deve considerar que as cargas podem se apresentar de forma concentrada, porém aplicadas 
em ângulo sobre a superfície. É o caso de cargas inclinadas, como no caso abaixo:
Observe que agora que a carga P é aplicada sobre a viga formando um ângulo ϴ. Isso significa que 
sua ação sobre a viga pode produzir um deslocamento segundo a orientação do eixo x e também do 
eixo y. Assim, você precisará conhecer o valor dessas duas componentes, que nada mais são do que as 
decomposições da força P nos eixos x e y. Perceba que a componente Py, oposta ao ângulo ϴ, é igual 
ao produto de P pelo seno de ϴ, já que o seno de um ângulo é igual ao cateto oposto ao ângulo sobre a 
hipotenusa do triângulo formado. E a componente x da força será igual ao produto de P pelo cosseno do 
ângulo ϴ. Teremos, por fim, as componentes P·senϴ e P·cosϴ.
Meu(inha) caro(a), agora que você já sabe o que fazer quando se deparar com cargas inclinadas e 
distribuídas, fazemos as devidas conversões em cargas concentradas equivalentes, agora comecemos a 
estudas as vigas biapoiadas.
Vamos lá?
viGaS BiaPoiadaS SimPLeS 
Prezado(a) estudante, uma viga biapoiada simples é uma estrutura submetida a um sistema de forças, 
sustentada por dois apoios: a viga começa no primeiro apoio e termina no segundo. A figura abaixo ilustra 
um exemplo de viga biapoiada simples:
Observe que a viga se projeta sobre dois apoios, um do primeiro gênero (B) e um do segundo gênero (A). 
16
Esses apoios oferecerão ao todo, três reações de apoio: uma horizontal e uma vertical no A e uma vertical 
no B. Como temos três equações para calcular essas três incógnitas, que são as desconhecidas reações 
de apoio (HA, RA e RB), dizemos que essa estrutura é uma viga isostática.
A condição de estar sustentada por dois apoios lhe confere a classificação biapoiada e ela é simples 
porque começa num apoio e termina no outro.
Fica a dica
Aluno(a), em qualquer viga submetida a forças, será sempre necessário conhecer as reações nos apoios 
e, com todas as forças nela atuantes sendo conhecidas, é possível identificar os efeitos que os esforços 
solicitantes provocam nas suas superfícies internas.
Como você já sabe, esses esforços variam conforme a localização no comprimento da viga. Se diversas 
forças estão atuando, será necessário verificar em que ponto ocorre o maior esforço cortante e também o 
maior momento fletor, pois esses valores interferem diretamente no dimensionamento da peça. Ou seja, 
para se projetar as dimensões de uma viga, é necessário conhecer o valor dos esforços que ela deverá 
suportar e comparar com a resistência do material com que a viga será feita.
PraTicando
Por enquanto, nosso objetivo será calcular as reações de apoio em uma viga biapoiada simples, submetida 
a um carregamento específico. Prezado(a) estudante, vamos praticar agora e conto com sua atenção nos 
exercícios a seguir:
Exercício 1. Determine as reações de apoio na viga biapoiada solicitada pela ação da carga distribuída 
de intensidade igual a q = 2 kN/m, conforme ilustrado na figuraabaixo. Considere que a viga tem 8 m de 
comprimento.
17
Resolução:
Essa é uma questão de uma viga de 8 m de comprimento submetida a uma carga distribuída ao longo do 
seu comprimento no valor de 2 kN/m. Isto quer dizer que a carga tem um valor igual a 2 kN em cada metro 
de comprimento da viga e que os dois apoios precisam reagir a essa ação da força em igual valor, mesma 
direção e sentido contrário.
A primeira coisa que você deve identificar é o tipo de carga que aparece. Uma carga distribuída, como é 
o caso, precisa ser convertida numa carga equivalente concentrada.
Ela será equivalente apenas quando transferir para os apoios a mesma intensidade de força que a 
carga distribuída oferece: Assim, a carga distribuída de 2 kN/m ao longo de 8 m equivale a uma carga P 
concentrada com valor igual a:
 
Guarde eSSa ideia!
É extremamente importante, meu(inha) caro(a), que você preste atenção nas unidades das grandezas 
que aparecem nos exercícios. Observe que a unidade de distância da carga distribuída (metro) é a 
mesma unidade de distância do comprimento da viga (metro), o que lhe permite efetuar a multiplicação 
diretamente. Caso isso fosse diferente, você deveria fazer inicialmente a conversão de unidades.
Utilizando então as condições de equilíbrio para calcular as reações de apoio:
ΣFx = 0 à HA = 0, pois não há força externa atuante no eixo x da viga.
ΣFx = 0 à VA + VB – 16 = 0 à VA + VB = 16 (1)
Por fim, a terceira condição de equilíbrio fornecerá o valor de uma das reações:
ΣMA = 0 à 16 x 4 – VB x 8 = 0 à VB = 8 kN. (2)
Usando (2) em (1), temos que VA = 8kN.
Façamos agora mais uma aplicação de vigas biapoiadas simples, dessa vez, submetidas a cargas 
inclinadas e distribuídas:
18
Exercícios 2. Determine as reações de apoio na viga biapoiada solicitada pela ação da carga distribuída 
de intensidade igual a q = 8 N/m ao longo de 2 m de comprimento e uma carga concentrada e inclinada 
de 40N, conforme ilustrado na figura abaixo. Considere que a viga tem 8m de comprimento.
Resolução:
A viga biapoiada de 8 m de comprimento está submetida a duas cargas: uma distribuída de valor igual 
a 8 N/m ao longo de 2m e outra concentrada inclinada no valor de 40N aplicada a 5 m do apoio mais à 
esquerda.
Há pouco, você foi apresentado aos procedimentos para converter cargas inclinadas e distribuídas em 
suas equivalentes concentradas ortogonais:
1. A carga distribuída deve ser substituída por uma carga concentrada de valor igual a 16N, aplicada a 1m 
do apoio mais à esquerda. O valor da força é encontrado pelo produto da carga distribuída (8 N/m) pelo 
comprimento (2 m) e o ponto de aplicação é exatamente a metade do comprimento.
2. Já a carga inclinada deve ser substituída por suas componentes vertical e horizontal. A componente 
vertical, oposta ao ângulo de 60º, é igual ao módulo do vetor multiplicado pelo seno de 60°, o que resulta 
no valor igual a 60 N. A componente horizontal será igual a 34,64 N.
A viga então terá a seguinte configuração, após as substituições:
19
Utilizando então as condições de equilíbrio para calcular as reações de apoio:
ΣFx = 0 à HA – 34,46 = 0, logo HA = 36,64 N
ΣFy = 0 à VA + VB – 16 – 60 = 0 à VA + VB = 76 (1)
Por fim, a terceira condição de equilíbrio fornecerá o valor de uma das reações:
ΣMA = 0 à 16 x 1 + 60 x 5 – VB x 8 = 0 à VB = 39,5 N (2)
O ponto A foi escolhido, pois é ponto que possui o maior número de força atuando nele ou que a linha de 
ação da força passa por ele. Assim as forças VA, HA e a componente da força inclinada de intensidade de 
36,64 N não produzem momento com relação ao ponto A.
Usando (2) em (1), temos que VA = 36,5 N
viGa enGaSTada 
As vigas engastadas e livres refletem o tipo de apoio de que se utilizam. Diz-se que uma viga está engastada 
quando o seu apoio é do terceiro gênero, isto é, oferece três restrições de movimento através de três 
reações de apoio. Uma extremidade da viga estará engastada e a outra, livre, sem apoio. Considere, 
assim, o exemplo da viga engastada e livre abaixo:
Exercício 3. Calcule as reações no apoio da viga engastada ilustrada na figura 2.5.
Resolução:
A viga só está apoiada no engaste, localizado na sua extremidade esquerda, enquanto a extremidade 
direita não possui qualquer apoio, ou seja, está livre. Como existe uma carga distribuída, ela deverá ser 
substituída por sua equivalente concentrada e projetada no centro geométrico da figura que representa a 
carga distribuída. 
20
Essa força concentrada será então igual a 12 t, resultado do produto da carga distribuída igual a 3t/m pelo 
comprimento da viga igual a 4 m. O ponto de aplicação dessa força deverá ser o centro da viga (centro 
geométrico do retângulo que representa a carga distribuída), ponto que coincide com o ponto de aplicação 
da carga concentrada existente de 4 t.
Utilizando então as condições de equilíbrio para calcular as reações de apoio: 
ΣFx = 0 à HA = 0
ΣFy = 0 à V – 12 – 4 = 0 à V = 16 t (1)
Por fim, a terceira condição de equilíbrio fornecerá o valor do momento de reação oferecido pelo 
engaste:
ΣM = 0 à M – 4 x 2 – 12 x 2 = 0 à M = 32 Nm
PaLavraS do ProFeSSor
Prezado(a) aluno(a), encerramos a nossa unidade III. Acredito que depois do estudo do conteúdo e os 
exemplos práticos dos exercícios você já assimilou os conteúdos estudados até o momento. 
Caso tenha alguma dúvida o que é normal, faça uma nova leitura dos livros disponíveis na biblioteca 
virtual. Agora acesse o AVA e responda as atividades avaliativas, e surgindo alguma dificuldade, não 
perca tempo e pergunte ao seu tutor! 
Bom estudo e até o nosso quarto encontro!
UNIDADE IV
TÓPICOS INTEGRADORES II
ENGENHARIA CIVIL
2
Sumário
Para início de converSa ...................................................................................... 3
viGa ............................................................................................................................... 3
converSÃo de SinaL Para viGaS ............................................................................................. 5
como conSTruir oS diaGramadaS de eSForÇo corTanTe e momenTo 
FLeTor ........................................................................................................................... 5
cáLcuLo de reaÇÕeS ..................................................................................................................... 5
deFiniÇÃo da QuanTidade de reGiÕeS anaLiSadaS ......................................................... 6
deTerminaÇÃo daS FunÇÕeS do eSForÇo corTanTe ( v(X) ) e do momenTo FLeTor 
6
( m(X) ) .................................................................................................................................................. 6
FLeXÃo de eLemenToS reToS – viGaS SimPLeS ............................................. 17
momenTo de inÉrcia ............................................................................................. 20
3
unidade iv
TóPicoS inTeGradoreS ii
Para início de converSa
Olá, meu(inha) querido(a) estudante!
Está sendo uma experiência gratificante contar com sua interação nesta jornada 
de estudo em busca de novos conhecimentos. Preparado(a) para iniciar a nossa IV 
unidade? Acredito que sim!
orienTaÇÕeS da diSciPLina
Então, meu(inha) caro(a), a finalidade deste guia de estudos é facilitar sua compreensão dos assuntos 
que compõem esta importante disciplina do seu curso de graduação, que consiste numa recapitulação da 
fascinante área de Estruturas da Engenharia Civil. Nele, você encontrará as orientações necessárias para 
aperfeiçoar seus estudos, tomando como referência os livros da biblioteca virtual e os diversos materiais 
adicionais. 
Preparado(a)?
Então vamos lá. 
viGa 
As vigas são estruturas delgadas que resistem a carregamento aplicados perpendicularmente a seu eixo 
longitudinal. Em geral, as vigas são barras longas de seção transversal constante, mas formas diversas 
chamadas de perfil. Os perfis mais utilizados são o perfil em “I” e o perfilem “T”, mais também existe os 
perfis em “W”, “U” e “L”. 
A viga é um dos elementos estruturais mais importante da engenharia. Ela transmite os esforços verticais 
recebidos para as colunas. Como consequência das cargas verticais, as vigas desenvolvem o esforço de 
cisalhamento (força constante tangencial a área da seção transversal) e esforço de momento fletor e, em 
geral, esses esforços variam ao longo do eixo longitudinal das vigas. 
4
O engenheiro projetista é responsável pelo dimensionamento das vigas, para isso ele precisa determinar 
os valores máximos da força cortante e do momento fletor que agem na viga. Para isso é preciso definir 
uma equação para o esforço cortante ( V ) e uma equação para o momento fletor ( M ) em função de uma 
posição x ao longo do eixo da viga. A partir dessas equações são plotados os gráficos da força cortante e 
do momento fletor. Os valores máximos tanto de V quanto de M podem ser obtidos desses gráficos. Além 
disso, uma vez que fornecem informações detalhadas sobre a variação do cisalhamento e do momento 
ao longo do eixo da viga, os diagramas de força cortante e momento fletor são frequentemente usados 
pelos engenheiros para decidir onde colocar materiais de reforço no interior da viga ou como calcular as 
dimensões da viga em vários pontos ao longo do seu comprimento. 
Você lembra que na unidade III, utilizamos o método das seções para determinar os esforços solicitantes 
de um elemento em ponto específico? Agora que precisamos determinar V e M em função de x ao longo do 
eixo longitudinal da viga, devemos localizar uma seção ou um corte imaginário a uma distância arbitrária x 
de uma das extremidades da viga e formular V e M em termos de x. A escolha da origem e da orientação 
positiva para a determinação da distância x é arbitrária. Entretanto, nesse guia de estudo, localizaremos 
a origem na extremidade esquerda da viga e a direção positiva é da esquerda para a direita.
Em geral, as funções de esforço cortante e momento fletor obtidas em termo de x são funções 
descontinuas, ou seja, os diagramas são definidos com o auxílio de mais de uma função. Isso acontece 
porque os esforços solicitantes são funções do carregamento externo sobre a viga e esses carregamentos, 
em geram, variam ao longo da viga. Por isso toda vez que um carregamento distribuído mudar ou um 
carreamento concentrado for aplicado uma nova função deverá ser determinada. Logo as funções 
cisalhamento e momento fletor são determinadas para cada região da viga localizada entre quaisquer 
duas descontinuidades de carregamento.
A figura acima mostra dois pontos de descontinuidade, o primeiro ponto de descontinuidade está no 
ponto B, onde o carregamento concentrado acaba e o segundo ponto de descontinuidade está no ponto 
C onde temos uma força concentrada atuando na viga. Apesar de não está sendo indicada na figura 
nenhuma força em C, o fato de termos um apoio neste ponto indica que temos uma força de reação. Esses 
dois pontos de descontinuidades criam três regiões a serem analisados. Por isso precisamos definir as 
variáveis x1, x2 e x3 para descrever as variações da força de cisalhamento e momento fletor ao longo da 
viga, ver figura. A variável x1 está limitada a região compreendida entre os pontos A e B, a variável x2 
entre os pontos B e C e a variável x3 entre os pontos C e D.
5
converSÃo de SinaL Para viGaS 
As direções positivas são as seguintes: a carga distribuída age para baixo; a força cortante interna 
provoca uma rotação em sentido horário no segmento sobre o qual age; e o momento interno causa 
compressão nas fibras superiores do segmento de forma que a flexão deste faz com que ele retenha água. 
Carregamentos opostos a esses são considerados negativos. 
Guarde eSSa ideia!
•	 Vigas são elementos longos e retos que resistem a cargas verticais ao longo de seu eixo. Elas são 
classificadas pelo seu perfil e pelos seus apoios.
•	 Para projetar uma viga adequadamente, precisamos determinar a força de cisalhamento e o mo-
mento fletor máximo. Isso pode ser obtido através dos diagramas de esforço cortante e momento fletor.
como conSTruir oS diaGramadaS de eSForÇo corTanTe e momenTo 
FLeTor 
cáLcuLo de reaÇÕeS 
Meu(inha) caro(a), primeiro você deve transformar os carregamentos distribui em forças concentradas e 
decompor as forças inclinas nas suas componentes perpendiculares e paralelas as vigas. Na sequência 
determine todas as forças e momentos de reação que atuam ao longo da viga. 
6
deFiniÇÃo da QuanTidade de reGiÕeS anaLiSadaS 
Faça uma análise dos carregamentos da viga e identifique os pontos de descontinuidades. A cada região 
associar uma coordenada x com origem na extremidade esquerda da viga e que se estendem atém as 
regiões da viga entre forças concentradas e/ou momentos, ou até não existir nenhuma descontinuidade 
do carregamento distribuído.
deTerminaÇÃo daS FunÇÕeS do eSForÇo corTanTe ( v(X) ) e do momenTo FLeTor 
( m(X) ) 
Faça um corte imaginário na viga na primeira região contínua a uma distância x da extremidade esquerda 
da viga. Faça o diagrama de corpo livre da viga cortada. Na seção cortada indique os esforços V(x) e M(x) 
que devem ser mostradas no sentido positivo, leve em consideração a convenção se sinal.
A função cisalhamento V(x) é obtida a partir da condição de estabilidade ΣFY = 0.
A função momento fletor M(x) é obtida a partir da condição de estabilidade ΣM = 0. Use sempre a seção 
cortada como referência para o cálculo do momento fletor. 
eXemPLo
Exemplo 1: Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mos-
trada na figura.
SOLUÇÃO 
Reações nos apoios: A viga representada acima possui dois apoios. O apoio A é um apoio de segundo 
gênero (possui reações na horizontal e na vertical). O apoio B é um apoio de primeiro gênero (possui ape-
nas uma veação na vertical). Para determinar essas reações devemos aplicar as condições de equilíbrio 
a seguir:
7
A soma das forças na direção horizontal é igual a zero:
Frx = 0
HA = 0
A soma das forças na direção vertical é igual a zero: 
Fry = 0
VA + VB – 120 kN = 0
VA + VB = 120 kN (I)
A soma dos momentos com relação ao ponto de contato com o apoio A é igual a zero:
- 120 kN*6 m + VB*10 m = 0
VB = 720 kNm / 10 m = 72 kN
Substituindo o valor de VB na equação I temos:
VA + 72 kN = 120 kN
VA = 48 kN
Funções de cisalhamento e momento fletor: Analisando o carregamento e as forças de reação podemos 
observar a presença de apenas um ponto de descontinuidade ao longo do eixo longitudinal da viga. Esse 
pondo está localizada a 6 m (ponto C) da extremidade esquerda da vida e é uma consequência da força 
concentrada de 120 kN. Assim teremos duas regiões para ser analisada, a primeiro se estende de A até 
C e a segunda região de C até B.
Agora que definimos as regiões a serem estudadas iremos cortas a vida em um ponto x que está limitado 
entre os pontos A e C, ver figura, para determinar a funções V(x) e M(x) na primeira região.
Aplicando as condições de equilíbrio:
8
A soma das forças na direção vertical é igual a zero: 
Fry = 0
V(x) - 48 kN = 0
V(x) = 48 kN
A soma dos momentos com relação a seção de corte é igual a zero:
M(x) - 48 kN*x m = 0
M(x) = 48x kNm 
Como podemos observar a função V(x) não tem dependência com a variável x, logo é uma função cons-
tante de intensidade 48 kN na região entre os pontos A e B. Já a função M(x) é uma função que depende 
do valor de x, mais precisamente uma função crescente do primeiro grau, cujo gráfico é uma reta. Assim 
nos limites da região AC, temos:
V(0) = V(6) = 48 kN
E
M(0) = 48*0 = 0 e M(6) = 288 kNm
 
Agora devemos repetir o processo para a região BC fazendo um corte a um ponto que está a uma distância 
x da extremidade esquerda da viga e que está limitado pelos pontos C e B, ver figura.
 
Aplicando as condições de equilíbrio:
A soma das forças na direção vertical é igual a zero: 
Fry = 0
V(x) - 48 kN + 120 kN = 0
V(x) = - 72 kN
9
A soma dos momentos com relação aseção de corte é igual a zero:
M(x) – 48 kN*x m + 120 kN*(x-6) m = 0
M(x) = 48x kNm – 120x kNm + 720
M(x) = ( – 72x + 720 ) kNm
Na região CB a função esforço cortante continua constante, mas agora com um valor de - 72 kN. E a fun-
ção momento fletor agora é representa por uma função do primeiro grau decrescente.
Determinando os valores de V e M nos extremos da região CB;
V(6) = V(10) = -72 kNm
E
M(6) = -72*6 + 720 = 288 kNm e M(10) = -72*10 + 720 = 0.
Finalmente podemos desenhar os diagramas de esforço cortante e momento fletor da viga acima. Na 
sequência temos o desenho da vida, o diagrama de corpo livre e os diagramas de esforço cortante o 
momento fletor.
10
Assim o valor máximo do o esforço cortante é 72 kN e do momento fletor máximo é 288 kNm.
Fica a dica
Como os apoios na viga não possuem reações de momento, você pode usar esse fato para confirmar se a 
função que você encontrou para ao momento fletor está correta. Assim quando você substituir na equação 
do momento os valores de x correspondentes as posições onde estão os apoios o resultado precisa ser 
zero. Vamos ver mais um exemplo.
eXemPLo
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura.
SOLUÇÃO 
11
Reações nos apoios: A viga representada acima possui um carregamento uniformemente distribuído com 
intensidade de 12 kN/m e dois apoios. O apoio A é um apoio de segundo gênero (possui reações na ho-
rizontal e na vertical). O apoio B é um apoio de primeiro gênero (possui apenas uma veação na vertical). 
Para calcularmos as reações de apoio precisamos substituir a carga distribui por uma carga concentrada. 
A carga concentrada tem sua intensidade dada pela área da figura geométrica formada pelo carregamen-
to e sua posição no centroide da figura geométrica definida pelo carregamento. Assim podemos substituir 
esse carregamento por uma força de 120 kN localizada no meio da viga. E para determinar as forças de 
reação devemos aplicar as condições de equilíbrio a seguir:
A soma das forças na direção horizontal é igual a zero:
Frx = 0
HA = 0
A soma das forças na direção vertical é igual a zero: 
Fry = 0
VA + VB – 120 kN = 0
VA + VB = 120 kN (1)
A soma dos momentos com relação ao ponto de contato com o apoio A é igual a zero:
- 120 kN*5 m + VB*10 m = 0
VB = 600 kNm / 10 m = 60 kN
Substituindo o valor de VB na equação I temos:
VA + 60 kN = 120 kN
VA = 60 kN
Funções de cisalhamento e momento fletor: Como o carregamento não possui nenhum ponto de descon-
tinuidade só teremos uma única região para análise, que está compreendida entre os pontos A e B. O 
diagrama de corpo livre no segmento esquerdo da viga é mostrado. O carregamento distribuído neste 
segmento é representado por uma força concentrada somente depois que o segmento é isolado como um 
diagrama de corpo livre. Visto que o diagrama tem comprimento x, o valor da força concentrada é 120x 
kN. E essa força age no centroide da área que compreende o carregamento distribuído, à distância x/2 da 
extremidade esquerda, ver figuras. 
12
Aplicando as duas equações de equilíbrio temos:
A soma das forças na direção vertical é igual a zero: 
Fry = 0
V(x) + 12x kN - 60 kN = 0
V(x) = (- 12x +60) kN
A soma dos momentos com relação a seção de corte é igual a zero:
M(x) + 12x kN*(x/2) m + 60 kN*x m = 0
M(x) = 6x² kNm – 60x kNm 
M(x) = ( – 6x² + 60x ) kNm
A função V(x) é uma função decrescente do primeiro grau e o Momento fletor é uma função quadrática. 
Determinando os valores de V e M nos extremos da região AB;
V(0) = 60 kN e V(10) = - 60 kN
E
M(0) = -6*0² + 60*0 = 0 e M(10) = -6*10² + 60*10 = 0. 
De posse das funções acima podemos desenhar os diagramas de esforço cortante e momento fletor da 
viga biapoiada com carregamento uniforme distribuído. Na sequência temos o desenho da vida, o diagra-
ma de corpo livre e os diagramas de esforço cortante o momento fletor.
13
E o esforço cortante máximo é de 60 kN e o momento fletor máximo é 150 kN. Observe que o momento 
fletor é máximo no ponto em que o esforço cortante é zero.
eXemPLo
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga mostrada na figura.
SOLUÇÃO
Reações nos apoios: A viga representada acima possui um carregamento distribuído com intensidade 0 
no apoio a esquerda e intensidade de 24 kN/m no apoio da direita, área no formato triangular. O apoio A é 
um apoio de segundo gênero (possui reações na horizontal e na vertical). O apoio B é um apoio de primeiro 
gênero (possui apenas uma veação na vertical). 
Para calcularmos as reações de apoio precisamos substituir a carga distribui por uma carga concentrada. 
14
A carga concentrada tem sua intensidade dada pela área da figura geométrica formada pelo carregamen-
to e sua posição no centroide da figura geométrica definida pelo carregamento. Assim podemos substituir 
esse carregamento por uma força de 120 kN [F = [24*10]/2 = 120 kN) localizada a um terço do comprimen-
to da barra, medido com relação ao lado com maior intensidade. E para determinar as forças de reação 
devemos aplicar as condições de equilíbrio a seguir:
A soma das forças na direção horizontal é igual a zero:
Frx = 0
HA = 0
A soma das forças na direção vertical é igual a zero: 
Fry = 0
VA + VB – 120 kN = 0
VA + VB = 120 kN (I)
A soma dos momentos com relação ao ponto de contato com o apoio A é igual a zero:
- 120 kN*(20/3) m + VB*10 m = 0
VB = 80 kN
Substituindo o valor de VB na equação I temos:
VA + 80 kN = 120 kN
VA = 40 kN
Funções de cisalhamento e momento fletor: Como o carregamento não possui nenhum ponto de descon-
tinuidade só teremos uma única região para análise, que está compreendida entre os pontos A e B. O 
diagrama de corpo livre no segmento esquerdo da viga é mostrado. O carregamento distribuído neste 
segmento é representado por uma força concentrada somente depois que o segmento é isolado como um 
diagrama de corpo livre. Para determinar a força resultante você precisa primeiro determinar a intensida-
de do carregamento junto a seção cortada. Para isso você deve usar o fato que os triângulos que formam 
os carregamentos da viga e da viga cortada são semelhantes, ou seja, a razão entre as medidas das altu-
ras dos triângulos é igual a razão entre as medidas das bases desses triangulo. Matematicamente temos:
 
(Intensidade do carregamento distribuído em ponto x da viga)
 
15
Visto que o diagrama tem comprimento x, o valor da força concentrada é 1,2x² kN, que corresponde a área 
do triângulo de base x altura 24x. E essa força age no centroide da área que compreende o carregamento 
distribuído, à distância x/3 da extremidade esquerda, ver figuras.
Aplicando as duas equações de equilíbrio para determinar V(x) e M(x), temos:
A soma das forças na direção vertical é igual a zero: 
Fry = 0
V(x) + 1,2x² kN - 40 kN = 0
V(x) = (- 1,2x² + 40) kN
A soma dos momentos com relação a seção de corte é igual a zero:
M(x) + 1,2x² kN*(x/3) m - 40 kN*x m = 0
M(x) = -0,4x³ kNm + 40x kNm 
M(x) = ( – 0,4x³ + 40x ) kNm
A função V(x) é uma função quadrática e o Momento fletor é uma função cúbica. 
Determinando os valores de V e M nos extremos da região AB;
V(0) = 40 kN e V(10) = - 80 kN
E
M(0) = -0,4*0³ + 40*0 = 0 e M(10) = -0,4*10³ + 40*10 = 0. 
 
16
Meu(inha) caro(a), de posse das funções acima podemos desenhar os diagramas de esforço cortante e 
momento fletor da viga biapoiada com carregamento distribuído. Na sequência temos o desenho da vida, 
o diagrama de corpo livre e os diagramas de esforço cortante o momento fletor.
O esforço cortante máximo é 80 kN e o momento fletor máximo é 153,6 kN.
17
Guarde eSSa ideia!
•	 Você pode terminar a posição na viga onde o esforço cortante é máximo e onde o momento fletor 
é máximo, basta derivar as funções e igualar a deriva a zero.
•	 E o valor máximo do esforço cortante ou do momento fletor é determinado pela substituição das 
posições encontrada no item anterior em suas respectivas funções.
No exemplo 3 M(x)= (-0,4x³ + 40x) kNm e derivando a função e igualando o resultado a zero temos:
dM(x)/dx =-1,2x² + 40 =0
x = 5,77 m
(Posição na qual a função M(x) é máximo)
E o momento fletor máximo é M(5,77) = 153,6 kNm
•	 O momento fletor é máximo na posição em que o esforço cortante é zero.
•	 Se você derivar a função momento fletor o resultado é igual a função esforço cortante. 
FLeXÃo de eLemenToS reToS – viGaS SimPLeS 
Prezado(a) estudante, a equação da flexão relaciona a distribuição de tensão em uma viga e o momento 
fletor resultante que age na seção transversal da viga. A equação está limitada a premissa que o material 
se comporta de maneira linear elástica, onde podemos aplicar a lei de Hooke, isto é, σ = Eε. 
O momento de que estamos falando é o momento fletor máximo que ocorre na viga, que só pode ser 
calculado, quando já forem conhecidas as reações de apoio.
Considere as imagens abaixo que ilustram os efeitos da flexão causados pelo momento fletor máximo 
que atua numa seção transversal da viga:
18
Para reFLeTir
Caro(a) aluno(a), devemos entender que a flexão se caracteriza por tracionar uma parte da seção transversal 
e comprimir a outra. Na convenção que já utilizamos, a flexão será positiva quanto tracionar as fibras 
inferiores e comprimir as superiores. Assim, verifica-se uma variação de deformação ao longo da seção 
transversal, com uma tração máxima na borda inferior e uma compressão máxima na borda superior, ver 
figura a.
Associada a cada deformação, deve existir uma tensão variável sobre a seção transversal, ver figura 
b. Nesse caso, é razoável perceber que em alguma altura da viga, haverá um eixo longitudinal onde 
as tensões serão nulas e, em consequência, as fibras situadas sobre esse eixo não se deformam, pela 
neutralidade dos efeitos sobre ele, denominamos esse eixo de “eixo neutro”.
A partir do eixo neutro, em direção à borda superior, as tensões aumentam até o limite máximo σmáx, 
que pode ser de tração ou de compressão, conforme a borda que se analisa. A uma altura qualquer y do 
eixo neutro, a tensão terá um valor qualquer, que se associa com o valor da σmáx da seguinte maneira:
Os valores positivos de y dão valores negativos para σ, ou seja, uma tensão de compressão. A localização 
do eixo neutro na seção transversal é calculada por meio da condição de que a força resultante derivada 
da distribuição de tensão na área da seção transversal deve ser nula. A força resultante assume uma 
expressão diferencial dF na seção transversal, associada com a variação de tensão σ aplicada em um 
elemento diferencial de área dA.
Fica a dica!
Isto quer dizer que o momento de primeira ordem da área da seção transversal do elemento 
em torno do eixo neutro é igual a zero, isso só acontece quando o eixo neutro coincide com o eixo que 
passa pelo centroide do elemento.
19
De acordo com a figura c, o momento dM deve ser igual ao momento produzido pela distribuição de 
tensão em torno do eixo neutro, onde:
dM = ydF
Como dF= σdA, temos que:
ou
 A integral é chamada de momento de inercia I da seção transversal da vida. Assim podemos 
escrever 
 
ou ainda 
onde: 
 é a tensão normal máxima no elemento, que ocorre em um ponto na área da seção 
transversal mais afastado do eixo neutro.
M é momento fletor, determinado pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio. Depende do 
carregamento externo que atua na viga.
I = é o momento de inércia da seção transversal calculada em torno do eixo neutro.
c é a distância perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado do eixo neutro onde age.
Antes de iniciamos os exercícios de flexão é importante revisarmos o cálculo do momento de inércia.
20
momenTo de inÉrcia 
você Sabia?
Você sabia que o momento de inércia é uma característica muito importante para o dimensionamento dos 
elementos estruturais da construção? Pois é, ela fornece uma noção de resistência dessas peças através 
de um valor numérico, associado com a forma geométrica de sua seção transversal. Assim, quanto maior 
for o momento de inércia de uma seção transversal da peça, maior será a sua resistência. 
Quando analisamos a distribuição de forças e tensões sobre elementos estruturais, é comum nos 
depararmos com o cálculo do momento de inércia. Por definição, momento de inércia de uma área plana 
é a integral de área dos produtos infinitesimais dos elementos diferenciais que compõem essa área e 
suas respectivas distâncias ao eixo de referência elevadas ao quadrado. Então, para entender melhor, 
considere a figura ilustrada abaixo:
Por definição o momento de inércia deve considerar um sistema de eixos de referência e, quando esse 
sistema passa exatamente pelo centroide da área, as expressões para o cálculo do momento de inércia 
assumem as seguintes fórmulas: 
e
As integrais também são chamadas de momento de segunda ordem e fornecem os momentos de inércia 
em relação ao eixo x (Ix) e y (Iy).
???
21
Para as áreas com formas geométricas conhecidas, o cálculo do momento de inércia assume fórmulas 
específicas, dispostas no quadro abaixo, já prontas para uso:
Consideramos apenas o eixo x de referência, pois, nos cálculos de momento de inércia de áreas de 
seção transversal de vigas submetidas a um sistema de forças, o momento de inércia em relação ao 
eixo y não terá influência sobre os cálculos de estabilidade e resistência.
É possível que seja necessário calcular o momento de inércia não mais em relação aos eixos que passam 
pelo centroide da área, mas sim em qualquer outro eixo paralelo. Nesse caso, você não poderá adotar a 
expressão , pois ela precisa ser ajustada para o novo eixo que você está considerando. 
Assim você deve fazer uso do teorema dos eixos paralelos.
Analiticamente, podemos dizer que o momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo paralelo 
ao que passa pelo centroide será igual à soma do momento de inércia em relação ao centroide com o 
produto da área pela distância perpendicular entre os dois eixos elevada ao quadrado, ou seja,
I = Icentroide + Ad² .
eXemPLo
Calcule a tensão de flexão máxima atuante na viga ilustrada abaixo, submetida a um momento fletor 
interno igual a 2 kNm:
22
Resolução:
A tensão máxima deve ser calculada pela fórmula 
 
O momento fletor máximo foi dado no problema e possui valor de M = 2000 Nm e a altura c, que corresponde 
à distância entre o eixo neutro e o eixo onde a tensão é máxima, ou seja, na borda da seção transversal. 
Assim, c assume o valor de 60mm, metade da altura da viga, já que, por simetria, o eixo neutro passa na 
meia altura da viga.
O momento de inércia é dado pela integral I = . Mas como a seção transversal é retangular 
podemos usar a equação:
 , sendo b = 60mm e h = 120mm.
Com esses valores, o momento de inércia será:
 8,64x10-6 m4
E a tensão máxima será:
23
eXemPLo
Calcule a tensão de flexão máxima atuante na viga do exemplo 2 cuja seção transversal está representada 
pela figura abaixo.
SOLUÇÃO
Momento de Fletor máximo: O momento fletor máximo foi determinado no exemplo 2, M = 150 kNm.
Momento de Inércia: Pela simetria, o eixo neutro está no meio da altura da viga. Como a área pode ser 
dividida em três partes, o momento de inércia da seção transversal será dado pela soma do momento de 
inercia dos três retângulos que formam a área da seção transversal. 
 Tensão de flexão Máxima: Aplicando a fórmula da flexão, para c = 170 mm, a tensão de flexão máxima 
absoluta é
24
PaLavraS do ProFeSSor
Então, meu(inha) estimado(a) aluno(a)?
Gostou de nossos encontros? Foi proveitoso para você?
Espero que tenha ajudado e acrescentado em sua caminhada acadêmica, quem sabe nos encontraremos 
em outras oportunidades.
Agora é hora de acessar o AVA e responder as atividades e, em caso de dúvidas pergunte ao seu tutor!
Aqui termina a quarta e última unidade.
Sucesso Sempre!
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