Apostila de Probabilidade

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PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
 
PEQUENA APOSTILA DE PROBABILIDADE 
CONTEÚDOS: Probabilidade condicional; Independência de eventos; Teorema 
da probabilidade total; Teorema de Bayes; 
 
 
PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
 
 
 
 
III. 
n 
 
k = 1 
= 
 
k = 1 
n 
 
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PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
 
 
PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
 
 
Vamos agora realizar uma análise: 
BB → 
2
5
 x 
1
4
 = 
2
20
 
BV → 
2
5
 x 
3
4
 = 
6
20
 
VB → 
3
5
 x 
2
4
 = 
6
20
 
VV → 
3
5
 x 
2
4
 = 
6
20
 
 
Temos que: P(A) = 
2
20
 + 
6
20
 = 
2
5
 e P(A|C) = 
1
4
 
 
Considere agora que as extrações são feitas com reposição, ou seja, a 1ª 
bola sorteada é reposta na urna antes da 2ª extração. Nessa situação, 
temos: 
B 
V 
B 
B 
V 
V 
𝟐
𝟓
 
𝟑
𝟓
 
𝟏
𝟒
 
𝟐
𝟒
 
𝟑
𝟒
 
𝟐
𝟒
 
Temos agora que a soma de todos os 
resultados é igual a 1. 
 
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Fazendo uma nova análise temos: 
BB → 
2
5
 x 
2
5
 = 
4
25
 
BV → 
2
5
 x 
3
5
 = 
6
25
 
VB → 
3
5
 x 
2
5
 = 
6
25
 
VV → 
3
5
 x 
3
5
 = 
9
25
 
 
Neste caso, 
P(A) = P(Branca na 2ª) = 
4
25
 + 
6
25
 = 
2
5
 
P(A|C) = P(Branca na 2ª|Branca na 1ª) = 
2
5
 = P(A) 
P(A|Cc) = P(Branca na 2ª | Vermelha na 1ª) = 
2
5
 = P(A) 
Ou seja, o resultado na 2ª extração independe do que ocorre na 1ª 
extração. 
B 
V 
B 
B 
V 
V 
𝟐
𝟓
 
𝟑
𝟓
 
𝟐
𝟓
 
𝟐
𝟓
 
𝟑
𝟓
 
𝟑
𝟓
 
Temos agora que a soma de todos os 
resultados é igual a 1. 
 
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PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
 
 
 
 
 
PROFESSOR LUÍS HENRIQUE 
 
 
 
 
Como a união de todos os (A) é o espaço amostral, segue que 
 
B = (A1  B)  (A2  B)  ...  (An  B) 
 
O fato de alguns desses termos serem o conjunto vazio, não invalida 
o resultado, uma vez que A   = A. Por definição de partição, os Ai são 
mutuamente exclusivos dois a dois, logo, os eventos Ai  B também o são. 
Então, pela lei da probabilidade de eventos disjuntos, podemos escrever: 
 
P(B) = P[(A1  B)  (A2  B)  ...  (An  B)] 
 
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P(B) = P(A1  B) + P(A2  B) + ... + P(An  B) 
 
 E a regra da multiplicação nos dá que: 
 
P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An) 
 
Seja A1, A2, ..., An uma partição do espaço amostral  e seja B um evento 
qualquer em . Então: 
 
 
 
 
Vamos ver a seguinte demonstração: 
 
 
 
 
 
P(B  Ai) 
 
 
Sendo que última igualdade segue o fato de que os Ai são disjuntos, vemos 
que: 
 
P(B  Ai) = P(B|Ai)P(Ai) 
 
Portanto, 
P(B) = P(Ai)P(B|Ai)  
n 
i = 1 
P(B) = P(B  ) = P B  Ai U
 
n 
i = 1 
(
 
[
n
 
]
 
)
 
 
n 
i = 1 
= 
 
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EXEMPLO: temos três urnas com a seguinte composição: 
URNA 1 – 3 bolas brancas e 5 bolas vermelhas; 
Urna 2 – 4 bolas brancas e 2 bolas vermelhas; 
Urna 3 – 1 bola branca e 3 bolas vermelhas; 
 
Escolhe-se umas das três urnas de acordo com a seguinte probabilidade: 
urna 1 com probabilidade 
𝟐
𝟔
, urna 2 com probabilidade 
𝟑
𝟔
 e urna 3 com 
probabilidade 
𝟏
𝟔
. Uma bola é retirada da urna selecionada. Qual a 
probabilidade de se obter uma bola branca? 
Vamos definir os eventos: 
 
B – Uma bola branca foi selecionada 
 
E, para i  {1, 2, 3} 
 
Ui: A urna i foi selecionada 
 
Usando a fórmula das probabilidades totais temos: 
 
P(B) = P(B|U1)P(U1) + P(B|U2)P(U2) + P(B|U3)P(U3) 
P(B) = 
3
8
 x 
2
6
 + 
4
6
 x 
3
6
 + 
1
4
 x 
1
6
 = 
3
24
 + 
2
6
 + 
1
24
 = 
1
2
 
P(B) = P(Ai)P(B|Ai)  
n 
i = 1 
 
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 Sobre as mesmas hipóteses do teorema da probabilidade total, 
podemos calcular a probabilidade de Ai dada a ocorrência de B. em 
teoria das probabilidades, o teorema de Bayes apresenta um resultado 
que é de importância na manipulação matemática de probabilidades 
condicionais. O teorema de Bayes pode ser derivado de maneira simples 
a partir de axiomas de probabilidade, especificamente, probabilidade 
condicional. 
Seja A1, A2, ..., An uma partição do espaço amostral  e seja B um 
evento qualquer em . Então: 
 
P(Ai|B) = 
𝑷൫𝑨𝒊൯𝑷(𝑩|𝑨𝒊)
 
𝒋=𝟏 
𝒏 𝑷ቀ𝑨𝒋ቁ𝑷(𝑩|𝑨𝒋)
 = 
𝑷൫𝑨𝒊൯𝑷(𝑩|𝑨𝒊)
𝑷(𝑩)
 
 
Esse resultado é o que chamamos de Teorema de Bayes. Esse 
teorema é útil quando conhecemos as probabilidades dos Ai e a 
probabilidade condicional de B dado Ai, mas não conhecemos 
diretamente a probabilidade de B. 
O teorema de Bayes conecta probabilidades condicionais com 
suas inversas, por exemplo, o evento B é fixado na discussão, e queremos 
considerar o impacto de ter sido observado vários eventos possíveis A. Em 
tal situação, o denominador da última expressão, a probabilidade de 
dado as provas B, é fixo; o que querermos variar é A. 
É importante que, na resolução de exercícios e também na 
aplicação prática desses teoremas, você identifique os eventos de 
interesse, os eventos que definem a partição do espaço amostral e quais 
 
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são as probabilidades a priori. Em geral, são essas probabilidades que 
identificam a partição de . Vamos considerar mais um exemplo para 
ilustrar esses pontos. 
 
EXEMPLO: em uma turma de administração, 65 % dos alunos são do sexo 
masculino. Sabe-se que 30 % dos alunos tem carro, enquanto que essa 
proporção entre as alunas se reduz para 18 %. Sorteia-se ao acaso um 
estudante dessa turma usando o seu número de matrícula e constata-se 
que possui um carro. Qual a probabilidade de que a pessoa sorteada seja 
do seja do sexo feminino? 
 
H = homem 
C = possui carro 
M = mulher 
C.. = não possui carro 
 
P(H) = 0,65 → P(M) = 0,35 
P(C|H) = 0,30 → P(C..|H) = 0,70 
P(C|M) = 0,18 → P(C..|M) = 0,82 
 
O problema pede P(M|C) e para calcular essa probabilidade, temos que 
calcular P(C). Pelo teorema da probabilidade total, sabemos que: 
 
P(C) = P(C  M) + P(C  H) 
P(C) = P(M)P(C|M) + P(H)P(C|H) 
P(C) = 0,35 x 0,18 + 0,65 x 0,70 
P(C) = 0,518 
 
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Logo, 
 
P(M|C) =