Mapas Mentais (Matemática)

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Matemática Básica 
em Mapas Mentais
Vol. 1
Jorge Oliveira
Licensed to SIRLENE - sirsouza2@hotmail.com - 288.786.308-88 - HP159016418994217
Agradecimento
Agradeço a você que adquiriu este livro com objetivo de auxiliá-lo
no aprendizado dos principais conceitos fundamentais da matemática
básica.
Nossa metodologia baseia-se no binômio apreender-praticando
como ferramenta fundamental da fixação da teoria apresentada nesse
livro.
Buscamos condensar os principais temas do conhecimento
matemático fundamental em mapas mentais, cuidadosamente
elaborados, abordando os pontos chaves de cada tema a ser estudado.
Além dos mapas mentais segue em outro arquivo a resolução de
centenas de exercícios estratégicos que o ajudará a desenvolver
habilidades matemáticas necessárias para compreensão temas mais
complexos.
“O homem que move montanhas começa carregando pequenas 
pedras”. (Provérbio chinês)
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Copyright © 2021 de Jorge Oliveira
Todos os direitos reservados.
Este e-book ou qualquer parte dele não pode ser reproduzido ou
usado sem autorização expressa, por escrito, do autor ou editor, exceto
pelo uso de citações em uma resenha ou trabalho acadêmico.
Sobre o Autor.
Professor atuando em diversos níveis educacionais, além de cursos
preparatórios diversos. Pesquisador em modelagem do ensino da
matemática.
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Importante.
Um conjunto sem elementos, é chamado de vazio, simbolizado por ∅ ou
{ }. Ele pode ser pensado como o resultado de uma especificação de
elementos contraditória, por exemplo o conjunto A abaixo:
A = {Naturais que são negativos}, A é vazio ou seja, A = ∅ ou A = { }.
Extensão do conjunto
Dizemos que um conjunto A é finito se é vazio ou se é possível se contar
os elementos de A. Conjuntos que não são finitos são ditos infinitos.
Conjunto – Intuitivamente, podemos entender um conjunto como uma
coleção de objetos, sendo esses objetos reais ou abstratos. Os objetos
de um conjunto são seus elementos.
Representação – São representados por letras maiúsculas (A, B, C,...).
Podemos descrever um conjunto de duas formas, ou especificando seus
elementos, ou listando-os seus elementos.
Diagramas de Venn – Outra forma de representar um conjunto é
através de um desenho conhecido como diagrama de Venn.
Conjuntos
Exemplos:
A = {estados do Brasil};
B = {0, 2, 4, 6, ... };
C = {x| x > 0 e x < 0} = ∅;
D = {x| x é inteiro e par}.
Exemplos:
E = {x ∈ z|x2 = 4};
F = {0, 2, 4, 6, 4} = {0, 2, 4, 6 }
G = {x ∈ N| x < 0} = ∅
H = {x| x é número real} = R
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Reunião ( )
Dados dois conjuntos A e
B, a reunião entre A e B
é o conjunto formado
pelos elementos que
pertencem a A ou a B.
Intersecção ( )
Dados dois conjuntos A e
B, a interseção entre A e
B é o conjunto formado
pelos elementos que
pertencem a A e a B,
simultaneamente.
Diferença ( )
Dados dois conjuntos A
e B, a diferença entre
A e B é o conjunto
formado pelos
elementos de A que não
pertencem a B.
AUB = 𝑋 | 𝑋 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 A ∩ B = 𝑋 | 𝑋 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵 A − B = 𝑋 | 𝑋 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵
Exemplos:
{𝑎, 𝑏} ∪ {𝑐, 𝑑} = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
𝑎, 𝑏 ∪ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∪ {𝑐, 𝑑, 𝑒} = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∪ ∅ = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
Exemplos:
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∩ 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 = {𝑏, 𝑐}
𝑎, 𝑏, 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
𝑎, 𝑏 ∩ 𝑐, 𝑑 = ∅
𝑎, 𝑏 ∩ ∅ = ∅. 
Exemplos:
𝑎, 𝑏, 𝑐 − 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 = {𝑎}
𝑎, 𝑏, 𝑐 − 𝑏, 𝑐 = {𝑎}
𝑎, 𝑏 − 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 = {𝑎, 𝑏}
𝑎, 𝑏 − 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 = ∅
Interseção entre A e B Diferença entre A e BUnião entre A e B
IMPORTANTE: No contexto de conjuntos, o número de elementos (n) da união
resultante entre dois conjuntos A e B é dado por:
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
O símbolo | deve ser lido como “tal que” ou “tais que”. A notação entre conjunto e
elemento, x ∈ A (lê-se x pertence a A). Por outro lado se o elemento não
pertencer ao conjunto A, escrevemos x ∉ A (lê-se x não pertence a A).
Quando a interseção resultar em ∅ os conjuntos envolvidos são disjuntos.
Conjuntos-Operações
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Conjuntos iguais - Dois conjuntos A e B são iguais quando todo
elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B
pertence a A, ou seja:
A = B ( x)(x A x B) 
Exemplos:
1º) {a, b, c, d} = {d, c, b, a};
2º) {1, 3, 5, 7, 9, ...} = { x | x é inteiro, positivo e ímpar};
3º) { x | 2x + 1 = 5} = {2}.
Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B. É evidente que A é diferente
de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um
elemento não pertencente a A. Exemplo: {a, b, d} ≠ {a, b, c, d}
Subconjuntos - Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e
somente se, todo elemento de A pertence também a B. Com a notação
A ⊂ B indicamos que “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou
“A é parte de B”. O símbolo ⊂ (está contido) é o sinal de inclusão.
Exemplos:
1º) {a, b} ⊂ {a, b, c, d}
2º) {a} ⊂ {a, b}
3º) {a, b} ⊂ {a, b}
Quando A ⊂ B, também podemos escrever B ⊃ A, que se lê “B contém
A”. Com a notação A⊄ B indicamos que “A não está contido em B”, isto é,
a negação de A ⊂ B.
Conjuntos-Subconjuntos
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Conjuntos-Inclusão
“A é subconjunto de B” ou “A
está contido em B” ou “A é parte
de B”
“A não é subconjunto de B” ou
“A não está contido em B” ou
“A é não é parte de B”
“A não é subconjunto de B”
ou “A não está contido em
B” ou “A é não é parte de B”
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Z
Q
RN
N
Q’
R
Q
N
Z
Q
Q´
R
Q Q’+
R
R
C
Não podem ser
representados sob a
forma de uma divisão
entre dois números
racionais!
+
N - Naturais
Z – Inteiros 
Q - Racionais
Q’- Irracionais
R – Reais
C - complexos
C=a + b.i,
a e b são reais, b ≠ 0
(imaginários)
R =Q′ Q
Conjuntos Numéricos
Conjuntos 
Numéricos
Q
Z
N
Relação de Inclusão
Q’
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ConjuntosNuméricos
Ao analisarmos os conjuntos numéricos, observamos
que alguns elementos são pertencentes a
outro conjunto, por exemplo: o conjunto dos
números naturais está contido no conjunto dos
inteiros e o conjunto dos números inteiros está
contido nos números racionais...
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*Um algoritmo é uma sequência de procedimentos que devem ser realizados
em uma ordem específica para alcançar determinado objetivo.
O resultado adição é chamado de soma. Assim, não confunda a adição, que é
uma operação, com a soma, que é o resultado de uma adição
Para adicionar dois números, siga o algoritmo* abaixo:
(1) Inicie na casa das unidades.
(2) Some os algarismos da casa em que está. Se a soma desses algarismos
for maior que 9, acrescente o dígito das dezenas dessa soma à próxima casa.
(3) Se ainda existirem novas casas decimais à esquerda, avance para a
próxima casa e repita o passo (2).
(4) Se não existirem novas casas, pare.
Exemplo: Calcule o resultado da adição 374 + 285.
Na casa das unidades,
somamos os dígitos dos
dois números e obtemos
4 + 5 = 9. Como essa
soma tem apenas um
único dígito, o 9, esse é
o algarismo das
unidades do resultado.
Na casa das centenas, a
soma dos dígitos é 3 + 2
= 5, deve-se acrescentar
o 1 que foi obtido no
passo anterior, Assim
chegamos a 5 + 1 = 6.
Assim adição 374 + 285
resulta = 659.
Passamos, para a casa
decimal. A soma dos
dígitos é 7 + 8 = 15.
Como essa soma tem
dois algarismos, o dígito
das dezenas obtido (1)
é adicionado à próxima
casa, (“vai um”).
Algoritmo da Adição 
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Algoritmo da Subtração 
A subtração é a operação inversa da adição, noseguinte sentido:
Ao adicionarmos um numero b a um numero a, obtemos x = a + b.
Subtraindo b desse resultado x, voltamos ao numero original a.
Da mesma forma que x é a soma de a e b, dizemos que a é a diferença
entre x e b. Para calcular a diferença entre dois naturais (o maior
subtraído do menor), proceda como segue:
(1) Inicie na casa das unidades.
(2) Subtraia os algarismos da casa em que está.
(2.a) Se a subtração desses algarismos for menor do que 0, adicione 10
ao valor encontrado tornando-o positivo. Quando isso ocorrer, deve-se
retirar 1 do valor obtido pela subtração dos dígitos na próxima casa.
(2.b) Se a subtração desses algarismos for maior ou igual a 0, este novo
valor será o algarismo do resultado.
(3) Se ainda existirem novas casas decimais à esquerda, avance para a
próxima casa e repita o passo (2).
(4) Se não existirem novas casas à esquerda, pare.
Uma maneira de representar visualmente a operação de subtração é
através de “bolas positivas” e “bolas negativas”. Por exemplo, a operação
5 − 3 = 2, pode ser visualizada como:
5 (minuendo) 
- 3 (subtraendo)
2 (resto ou diferença)
Em símbolos, a + b = x a = x − b.
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Considere a subtração 548 − 273.
Iniciando na casa das unidades, subtraímos os
dígitos dessa casa, obtendo 8 − 3 = 5. Como
essa subtração não é negativa, o valor obtido
é o algarismo das unidades do resultado.
Na próxima casa decimal, a subtração dos
dígitos é 4 −7 < 0. Como esse valor é
negativo, tomaremos emprestado 1 centena da
próxima casa decimal e, acrescentamos 10
nessa casa e subtraímos 1 da próxima casa.
Agora, veja que 10 + 4 − 7 = 7, que é não
negativo. Este valor corresponde ao dígito das
dezenas do resultado.
Como ainda ha casas decimais à esquerda,
passamos para a próxima casa e repetimos o
processo. A subtração dos dígitos é 5 − 2 =
3, mas ainda devemos subtrair 1, pois foi
necessário um ajuste no passo anterior.
Assim, chegamos a 3 − 1 = 2, e, como esse
valor é não-negativo, ele corresponde ao
dígito das centenas do resultado.
548 − 273 = 275.
Algoritmo da Subtração 
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Algoritmo da Multiplicação 
A multiplicação é uma operação que pode ser definida a partir da noção de
adição. Dados a e b números naturais, definimos a multiplicação de a por b,
lida a vezes b e denotada a × b, por:
a × b = b + b + · · · + b 
(a vezes)
Os números a e b são denominados fatores da multiplicação, enquanto o
resultado a × b é o produto. Por exemplo, 4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
Algoritmo da Multiplicação
Existem diversos algoritmos para se realizar uma multiplicação, tratar aqui
de alguns que julgamos ser mais interessantes e simples:
1) O método caixa
Ambos fatores são quebrados (particionados)
em suas centenas, dezenas e unidades. Os
produtos são calculados em partes, através de
multiplicações simples, e somados no final,
gerando o resultado. Como exemplo, o produto
35 × 13 pode ser calculado utilizando-se a
grade, onde a soma de todas caixas resulta
455, que é o valor do produto 35 × 13.
x 30 5
10 300 50
3 90 15
35 × 13 = 300 + 50 + 90 + 15
35 × 13 = 455
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Observações
•A ordem dos fatores não altera o produto;
•O algoritmo pode ser utilizado para multiplicar apenas dois
fatores;
•Colocar o fator menor na parte de baixo facilita a conta.
2) Na prática, utilizamos uma estrutura tabelar para realizar
multiplicações.
9 5 6 9 4
FATOR
FATOR
X
2 3 3 4
1 5 5 6
7 7 8
3 8 9
2 4 6X
udcmDm
3 8 9 X 6 (unidades) = 2334
3 8 9 X 4 (dezenas) = 1556
3 8 9 X 2 (centenas) = 778
2334 x 1 + 1556 x 10 + 778 x 100 = 95694 
389
246X
Produto
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Algoritmo da Divisão 
Vamos começar observando algumas divisões:
Valem as seguintes relações para esses números: 
14 = 5·2 + 4, 12 = 3·4 + 0, 15 = 4·3 + 3 e 18 = 6·3 + 0. 
Algoritmo da Divisão
Em geral, em uma divisão, onde b ≠ 0, temos:
- Quando uma divisão é exata, o resto r é igual a zero e a igualdade
podemos escrever que: a = b·q. Neste caso, dizemos que a é
múltiplo de b, ou que a é divisível por b, ou ainda que b divide a (b|a).
- Quando um número natural tem exatamente dois divisores, ele é
chamado número primo, além disso, se um número natural diferente de
0 e de 1 não é primo, dizemos que ele é composto.
a, b, q e r são chamados dividendo, divisor, quociente
e resto, respectivamente, e vale a seguinte relação
a = b·q + r, onde 0 ≤ r < b.
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ba
r q
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Divisibilidade por 4
Um critério de divisibilidade é uma regra que permite avaliarmos se um dado número
natural N é ou não divisível por outro número natural.
Divisibilidade por 2
Um número N é divisível
por 2 quando seu
algarismo das unidades for
divisível por 2, ou seja se
ele for par.
Um número N é divisível
por 4 quando seus dois
últimos algarismos formam
um número divisível por 4
Divisibilidade por 8
Um número N é divisível
por 8 quando seus três
últimos algarismos formam
um número divisível por 8.
𝐆𝐞𝐧𝐞𝐫𝐚𝐥𝐢𝐳𝐚çã𝐨𝟏: Um número natural N é
divisível por 2 se o número formado pelos
últimos p algarismos de N for divisível por
2 . Tente verificar!!
Divisibilidade por 3 
Um número N é divisível
por 3 se a soma dos seus
algarismos for um número
divisível por 3.
Divisibilidade por por 9
Um número N é divisível
por 9 se a soma dos seus
algarismos for um número
divisível por 9.
Divisibilidade por 5
O critério de divisibilidade
por 5 é muito simples. Um
número N é divisível por 5
se seu algarismo das
unidades for 0 ou 5.
Generalização2: Um número natural N é
divisível por 5 se o número formado pelos
últimos p algarismos de N for divisível por
5 . Tente verificar!!
Um número natural N é
divisível por 11 quando a
diferença não negativa entre a
soma dos algarismos de ordem
ímpar (S ) e a soma dos
algarismos de ordem par
(S ) for divisível por 11.
Divisibilidade por 11
Um número natural N é
divisível por 7 quando a
diferença não negativa entre a
soma dos números das classes
ímpares (S ) e a soma dos
números das classes pares
(S ) é um número divisível
por 7.
Divisibilidade por 7
Divisibilidade
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Número decimal que
apresenta períodos que se
repetem infinitamente:
4
9
= 𝟎, 444 …
(dízima simples)
13
36
= 0, 𝟑𝟔111 …
(dízima composta)
Fração geratriz
Fração geratriz
Denominadores: iguais:
3
6
+
5
6
=
5 + 3
6
=
𝟖
𝟔
“Soma-se os numeradores e 
conserve o denominador.”
Denominadores diferentes:
2
3
+
1
6
=
4 + 1
6
=
𝟓
𝟔
“Reduza as frações ao mesmo 
denominador”(m.m.c. entre eles)
Multiplique numerador por
numerador e denominador
por denominador:
3
8
×
4
15
=
12
120
=
𝟏
𝟏𝟎
1
8
×
16
3
=
16
24
=
𝟐
𝟑
1
2
× 6 =
6
2
= 𝟑
2
3
×
3
2
=
6
6
= 𝟏
Multiplique a primeira
fração pelo inverso da
segunda fração:
3
8
:
4
15
=
3
8
×
15
4
=
𝟒𝟓
𝟑𝟐
3
8
: 2 =
3
8
×
1
2
=
𝟑
𝟏𝟔
3
4
:
3
4
=
3
4
×
4
3
= 𝟏
Soma DivisãoMultiplicação
Calcule x = 0,444… 
10𝑥 = 4,444 …
 𝑥 = 0,444 …
9𝑥 = 4 → 𝑥 = 4/9
Calcule y = 0,36111...
1000𝑦 = 361,111 …
100𝑦 = 36,111 …
900𝑦 = 325
 y =
325
900
=
13
36
DízimasDefinição
Toda fração indica uma
divisão:
7
2
= 3,5 
1
3
= 0,333 …
(decimal exato) (decimal periódico)
numerador
denominador
-
Fração Geratriz
-
@𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑢𝑙𝑎𝑠𝐵𝑟
Frações
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Soma e subtração - Escreva vírgula sob vírgula completando com zeros
as ordens inexistentes e utilize o algoritmo conhecido da soma/subtração.
Multiplicação - Verificar a quantidade de casas decimais das parcelas e
utilize algoritmo conhecidoda multiplicação. Dê ao resultado o número de
casas decimas de acordo com o as parcelas.
Divisão - Transformar dividendo e divisor em números inteiros,
multiplicando-os pelo mesmo número e utilizar o algoritmo conhecido da
divisão.
Super Dicas Para resoluções rápidas:
I) Dividir por 0,5 é o mesmo que multiplicar por 2.Ex. 7 ÷ 0,5 = 14 (7x2).
I) Multiplicar por 10, 100, 1000... Verifique a quantidade de zeros à direita do
1 e desloque a virgula do número que está sendo multiplicado para direita, de
modo que; se x10 uma casa, se x100 duas casas, se x1000 três casas...
Exemplo: 2,31x10 = 23,1.
III) Dividir por 0,1, 0,01, 0,001... Verifique a quantidade de zeros a esquerda e
multiplique o por 10 se 0,1, 100 se 0,01, 1000 se 0,001... Ex. 37 ÷ 0,01 = 37x100 =
3700.
 5,55 
1,53
5,55 
1,53
7,08 ? 
Soma
+
 5,2 
 1,15
5,20 
1,15
4,05 ? 
Subtração
−
Multiplicação
 2,5 
6,5
 2,5 
 6,5
125 
150 
16,25 
× ×
Divisão
155 50
15 3,1
 50 0
 50
 0
× 100 × 100
1,55 0,5 
? 
Números Decimais 
→
? 
→→
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MMC
Propriedade
MDC
 Entre dois números primos entre si, 
o MMC será o produto deles.
• Ex. 7 e 8 são primos entre si, então:
MMC(7 ; 8)= 7.8 = 56
 O produto de dois números inteiros
pode ser determinado pelo produto
entre MMC e o MDC desses
números.
 Entre dois números em que o maior é
divisível pelo menor, o MMC será o
maior deles.
Máximo Divisor Comum
56 14 0 𝒓
126 70 56 14 𝒅
1 1 4 𝒒 
𝐸𝑥: 𝑚𝑑𝑐 126 ; 70 = 14
Método Divisões Sucessivas
6 , 16 2
23 , 8
3 , 4
3 , 2
2
2
3 , 1
1 , 1
3
𝑚𝑚𝑐 6, 16 = 2 . 3
= 16.3 = 48
𝐸𝑥. 𝑚𝑚𝑐 6, 16 = ?
MMC e MDC
Mínimo Múltiplo Comum
𝐸𝑥. 𝑚𝑚𝑐 6 ; 16 = 48
 Dois números são considerados primos
entre si, se o MDC deles for 1.
• Ex. MDC(6,7) = 1, então eles são primos 
entre si. 
 Dois números Naturais consecutivos
sempre são primos entre si.
 Se a e b são inteiros e a = q.b + r,
onde q e r são também inteiros, então
MDC (a ; b) = MDC (b ; r)
Propriedades
MMC e MDC
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A potência de um número
não nulo só será negativa, se
a base for negativa e o
expoente ímpar.
Radiciação
(+)
𝒑𝒂𝒓
= +
𝑬𝒙. 𝟗 = 𝟑
(−)
𝒑𝒂𝒓
= ∄ 𝒆𝒎 𝑹
𝑬𝒙. −𝟏 = 𝒊 (imaginário)
(−)
í𝒎𝒑𝒂𝒓
= −
𝑬𝒙. −𝟖
𝟑
= −2
(+)
í𝒎𝒑𝒂𝒓
= +
𝑬𝒙. 𝟐𝟕
𝟑
= 𝟑
−2 = −2 −2 = 𝟒
−2 = −2 (−2) −2 = −𝟖
+2 = +2 +2 = 𝟒
+2 = +2 +2 +2 = 𝟖
Potência
Divisão
Multiplicação
Sinais IGUAIS resultado (+)
Sinais DIFERENTES resultado (−)
+3 × +5 = 𝟏𝟓 
−3 × −5 = 𝟏𝟓
−30 : +5 = −𝟔 
Adição Subtração
Atenção:
- (-a) = -1 × (-a) = + a
Regras de Sinais
( 𝟎 )𝒏ã𝒐 𝒎𝒖𝒍𝒐 = 𝟎
(−𝟐)𝟐 ≠ −𝟐𝟐(−)𝒑𝒂𝒓= +
(−)í𝒎𝒑𝒂𝒓= −
Atenção:
Operações
Com mesmos sinais:
Soma-se os módulos e conserva-se 
o sinal: 
(-3) + (-5) =-8 
Com sinais diferentes:
Subtraia o maior módulo (| |) pelo
menor módulo e dê ao resultado o
sinal do número de maior módulo.
 
(-3) + (+5) = +2 
 
|-3| = 3 e |+5| = 5 
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xn = x.x.x...x
(n vezes)
expoente
base
𝑦 ≠ 0
𝑥 ≠ 0
𝑦 ≠ 0
.
𝑥 ≠ 0
−2 ≠ (−2)
10 = 1 00 … 0 (𝑛 𝑧𝑒𝑟𝑜𝑠)
0 = ∄𝑥 = 𝑥𝑥 = 1
Atenção
Importante
Potenciação
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𝑦 ≠0
𝑥
..
 ∗
índice
radicandoradical
n ∈ N
n ≥ 2
Radiciação
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S
A
D
Divisão
Adição
Subtração
Qual o resultado da expressão
abaixo (1 ou 81?)
P E M D A S
Em matemática, ordem de
operações refere-se à
convenção que indica a ordem
pela qual devem ser realizadas
as operações numa expressão
numérica. Essa ordem de
Resolução sempre da esquerda
para direita obedecendo a
hierarquia do P.E.M.D.A.S.
(resolva da esquerda para direita)
Expressões Numéricas 
E
M
Parênteses
Expoentes
Multiplicação
P
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Ex.: proposição: 𝒏 ,
Lê-se : "três divide 4 , para todo número natural.”
( | )divide; ( ) qualquer que seja; ( ) pertence.
Uma sentença pode ser vista como a expressão de uma proposição,
algo que possa ser classificada como falsa ou verdadeira. São
construídas a partir de outras sentenças, denominadas atômicas
(partes) unidas por meio de conectivos e quantificadores, tais como
±, =, ≠, <, >, , , , , , , ≡ ….
Sentença aberta (equação aberta ou inequação aberta) é descrita
assim porque seu valor não pode ser determinado até que suas
variáveis sejam substituídas por números. As sentenças abertas
sempre contêm variáveis e são chamadas também de funções
proposicionais e podem assumir os valores lógicos verdadeiro ou
falso (V ou F), discutível, pois depende do valor dado às variáveis.
Sentença fechada Sentença Aberta Sentença Aberta Sentença fechada 
 N
Exemplos:
Sentenças Matemáticas
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Fatoração
Fatoração – Fatorar uma expressão algébrica inteira significa
escrevê-la como produto de outras expressões algébricas caso isso
seja possível. Técnicas d fatoração são fundamentais para resolução
de muitos problemas mais elaborados em matemática. Sem esses
artificio algébrico tais problemas se tornariam excessivamente
complexos em sua resolução.
Forma Fatorada – Dizemos que a forma fatorada de uma
expressão algébrica é uma que represente a expressão original
mantendo sua identidade algébrica.
Ex: (x + y).(x - y) é uma forma fatorada da expressão x² - y².
Fator comum
Ex1: 6a3 + 2a2 - 10ª
6a3 + 2a2- 10a = 
3.2aa2 + 2aa- 5.2a =
2a(3a2 + a - 5) 
(forma Fatorada)
Agrupamento
Ex2: ac + bc + ad + bd
ac + bc + ad + bd =
c(a + b) + d(a + b) =
(a + b)(c + d)
(forma fatorada)
Trinômio 2º Grau
Se x2 – Sx + P é um
trinômio de raízes a e b, e
sendo S = a + b e P = a - b,
podemos escrever:
x2 – Sx + P = (x –a)(x –b)
(forma fatorada) 
Alguns casos de Fatoração
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Inequações
Inequação – É toda representação de duas ou mais sentenças
abertas que são comparadas por meio de uma ou mais desigualdades.
Conectivos de Desigualdade
( )
a b significa “a é maior que b”
a b significa “a é maior ou igual a b”
a b significa “a é menor que b”
a b significa “a é menor ou igual a b”
Propriedades importantes
Dados x e y números reais quaisquer, então x > y será verdade se e 
somente se:
x + z y + z, para todo z real positivo.
x.z y.z, para todo z real positivo.
x.z y.z, para todo z real negativo.
Exemplo: Um Feirante, após ter vendido x melancias a R$ 3,00 cada,
vendeu as ultimas por um total de 70,00. Qual é a quantidade mínima de
melancias que ele deve vender a r$ 3,00, sabendo que ele obteve mais de
100,00 nessa venda?
3x + 70 > 100 → 3x > 100 – 70
3x > 30 → x > 30/10 → x > 10
Ou seja deverá vender pelo menos 11 melancias.
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Sistema Linear – Nesse primeiro momento vamos definir
sistema linear de equações do 1⁰ grau com duas equações e duas
incógnitas, como sendo um conjunto finito, formado por duas
equações de 1º grau), em que cada uma dessas equações possui
duas incógnitas.
Uma solução do sistema é um par ordenado (x1 ; y1) de números
reais, tais que:
ax1 + by1 = e cx1 + dy1 = f
ax by e
cx d f
Métodos de Resolução
Adição:
Consiste em adicionar membro a membro as equações do sistema,
previamente multiplicadas por números reais adequadas, com o objetivo
de diminuir a quantidade de incógnitas.
Substituição:
O método da substituição consiste em isolar o valor de uma das incógnitas
em uma das equações e substituir este valor nas outras equações.
 
Sistemas Lineares
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É toda equação definida por:
ax2 bx c 0
Onde a ∗e b c
Raízes da Função – São determinadas pela "Fórmula Resolutiva“.
x
b
a b ac
O discriminante determina a existência de raízes reais para a equação, de
modo a considerar:
Equação do 2°grau
ax𝟐 bx c ∆ = 𝟎 → 𝒙 = −𝒃
𝟐𝒂
∆ > 𝟎 → 𝒙 =
−𝒃 ± ∆
𝟐𝒂
∆ < 𝟎 
, existem raízes reais distintas;
, existem raízes reais iguais;
, não existem raízes reais.
Relação entre coeficientes e as raízes da equação:
soma das raízes. produto das raízes.
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Expressões algébricas – são expressões matemáticas que possuem
números (Coeficientes) e letras (Parte Literal), também chamadas
de variáveis.
Polinômio - expressão algébrica formada pela adição de vários
monômios. Ex: 4xy3 + 2x2y – xy.
Termo algébrico ou Monômio - expressão algébrica que possui um
único termo algébrico: Ex.: 5ab2.
Grau do monômio - é a soma dos expoentes da sua parte literal;
a) -3x4 possui apenas uma incógnita de expoente 4, então o monômio
é do 4º grau.
b) 8x2y5 possui duas incógnitas e dois expoentes, então devemos
somá-los 2 + 5 = 7, portanto esse monômio é de 7º grau. O monômio
de maior grau define o grau de um polinômio do qual faz parte.
Variáveis (x e y)
Coeficientes (3; 2) 3x2 – 2xy + 8
Monômio
Operadores ConstanteExpoente
Monômio
Exemplo: Polinômio
Expressões Algébricas
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Identidade Algébrica – é uma equação em que os dois membros são
expressões algébricas e que é verdadeira para quaisquer valores que
se atribua às variáveis envolvidas.
Atenção – Matematicamente são diferentes:
“quadrado da soma ” e “soma de quadrados”, 
“cubo da soma ”e “soma de cubos”
Produtos Notáveis - são identidades algébricas que merecem ser
destacadas por conta da grande frequência com que aparecem
quando operamos com expressões algébricas.
Cubo da Soma de três termos.
Cubo da Soma.
Cubo da diferença. 
Soma de Dois Cubos.
Diferença de dois Cubos.
Quadrado da Soma.
Produto da Soma pela diferença.
 
Quadrado da Diferença.
Principais Produtos Notáveis
Produtos Notáveis
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Fatoração
Fatoração – Fatorar uma expressão algébrica inteira significa
escrevê-la como produto de outras expressões algébricas caso isso
seja possível. Técnicas d fatoração são fundamentais para resolução
de muitos problemas mais elaborados em matemática. Sem esses
artificio algébrico tais problemas se tornariam excessivamente
complexos em sua resolução.
Forma Fatorada – Dizemos que a forma fatorada de uma
expressão algébrica é uma que represente a expressão original
mantendo sua identidade algébrica.
Ex: (x + y).(x - y) é uma forma fatorada da expressão x² - y².
Fator comum
Ex1: 6a3 + 2a2 - 10ª
6a3 + 2a2- 10a = 
3.2aa2 + 2aa- 5.2a =
2a(3a2 + a - 5) 
(forma Fatorada)
Agrupamento
Ex2: ac + bc + ad + bd
ac + bc + ad + bd =
c(a + b) + d(a + b) =
(a + b)(c + d)
(forma fatorada)
Trinômio 2º Grau
Se x2 – Sx + P é um
trinômio de raízes a e b, e
sendo S = a + b e P = a - b,
podemos escrever:
x2 – Sx + P = (x –a)(x –b)
(forma fatorada) 
Alguns casos de Fatoração
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𝒙% 𝒅𝒆 𝒚
𝒚% 𝒅𝒆 𝒙
São iguais
Aumento (A)
𝑨 = 𝒙% 𝒅𝒆 𝒑
ex.: sendo p = $150 um 
AUEMENTO de 20%:
𝐴 =
20
100
. 150 = $30
Valor Final (Vf)
𝑽𝑨 = 𝒑 + 𝑨
𝑽𝑫 = 𝒑 − 𝑫
VA = 150 + 30 = $180
VD = 150 – 45 = $105
A
u
m
e
n
t
o
D
e
s
c
o
n
t
o
𝟑𝟎% =
𝟑𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟑
Exemplo 1
ex.: sendo p = $150 um 
DESCONTO de 30%:
𝐷 =
30
100
. 150 = $45
Desconto (D)
𝑫 = 𝒙% 𝒅𝒆 𝒑
𝟏𝟎% 𝒅𝒆 𝟔𝟎 = 𝟔
𝟔𝟎% 𝒅𝒆 𝟏𝟎 = 𝟔
Exemplo 2
lê-se:
"por cento"%
 
As razões de denominador 100 são chamadas de razões
centesimais, taxas percentuais ou simplesmente de
porcentagens.
Porcentagem
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Aumentos/Descontos sucessivos podem ser calculado por:
Onde i1,i2,i3…in são os aumentos (+) ou descontos (-) aplicados
sucessivamente. ex: Dois aumentos sucessivos de 10% equivalerá:
Vf = p.(1 + 0,1)(1 + 0,1) = 1,21p, 
ou seja, equivalerá ao final a 21% de aumento.
Fator de correção (1+i)
Multiplica-se por 
(1 + i)
(1 - i)
Aumento de i
Desconto de i
i = percentual de aumento 
ou desconto em decimal.
Vf = p.(1 + 20%) = p.(1 + 0,2) 
Vf = 1,2.p
Valor final = p.(1 - i)
Valor final = p.(1 + i)
O fator de correção é usado com frequência em cálculos de
varrições sucessivas percentuais (correções percentuais).
Vf = p.(1 - 20%) = p.(1 - 0,2) 
Vf = 0,8.p
Ex1:Um AUMENTO de 20%
num preço p é o mesmo que:
Ex2:Um DESCONTO de 20% num
preço p é o mesmo que:
Super 
Dica
Vf = p.(1 + i1 )(1 + i2)(1 - i3 )… 
Para atualizar 
valores basta .
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Juros
Juros (J) – Valores obtidos pela remuneração de um capital
aplicado ou emprestado.
Juros Simples (Js) – São os juros remuneratórios aplicados
sobre o CAPITAL de forma linear em todos os períodos, ou seja,
o valor sobre o qual incidem juros não muda ao longo do tempo.
Juros Compostos (Jc) – São os juros em que a cada período, são
somados ao capital, para o cálculo de novos juros nos períodos
seguintes. São conhecidos como “juros sobre juros”.
Montante (M) – O montante equivale ao valor futuro (total) de
uma operação financeira, adicionando ao valor do capital inicial
Importante
No cálculo de Juros Simples ou Compostos a taxa (i) e o tempo (t),
devem concordar, ou seja, se a taxa for aplicada ao mês, o tempo deve
estar em meses.
Juros Compostos
M = C(1 + i)t
Jc = M - C
ondeonde
Juros Simples
Js = C.i.t
M = C + Js
C = capital t = tempo i = taxa
Em palavras
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Proporcionalidade
Proporcionalidade – Qualidade de proporcional, do que possui uma
relação idêntica com outra coisa, especialmente intensidade,
volume, massa etc.
Proporção direta - Sejam (a, b, c) e (A, B, C) duas sequências de
números não nulos, dizemos que essas sequências serão:
Onde k é chamado de constante de proporcionalidade.
i) Diretamente proporcionais
se existe um número k tal que:
ii) Inversamente proporcionais
se existe um número k tal que
Ex1: Um concreto é obtido misturando –
se uma parte de cimento, duas de areia e
quatro de pedra. Qual será a quantidade
de areia a ser utilizada, se o volume em
m³ a ser concretado é de 378 m³?
Solução: sendo as grandezas envolvidas
são diretamente proporcionais teremos:
𝑪
𝟏
=
𝑨
𝟐
=
𝑷
𝟒
= 𝒌 
C = k ; A = 2k ; P = 4k
C + A + P = 378 → 7k = 378 → k = 5
quantidade de areia será:
A = 2k = 2.54 = 108m3
Ex2: Uma escola resolveu dividir 33 livros
entre Ana (1 falta), Beatriz (2 faltas) e
Carla (3 faltas), em partes inversamente
proporcionais às suas a faltas em um mês.
Quantos livros Beatriz recebeu? Solução:
sendo as grandezas são inversamente
proporcionais teremos:
𝑨 × 𝟏 = 𝑩 × 𝟐 = 𝑪 × 𝟑 = 𝒌 
𝐴 = 𝑘 ; 𝐵 =
𝑘
2
 ; 𝐶 =
𝑘
3
A + B + C = 33 → 𝑘 + + = 33 → k = 18
B = k/2 = 18/2 → B = 9 livros
 
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Proporção – É a igualdade entre duas razões 
Propriedades 
Razão – é a relação existente entre dois valores representada 
aritmeticamente como um quociente entre eles. 
Lê - se “ a está para b”, b ≠ 0.
Antecedente
Consequente
Escala
A escala é a razão
entre o tamanho no
mapa e o tamanho real.
Velocidade Média 
É a razão entre o
deslocamento e o
intervalo de tempo.
Densidade Demográfica 
É a razão entre a
população e a superfície
do território ocupado.
“ O produto dos
meios é igual ao
produto dos
extremos.”
Algumas razões importantes
Razão e Proporção
extremosmeiosextremosmeios 
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i) Identificar a proporcionalidade entre as grandezas envolvidas
ii) Escreva cada grandeza de modo que a incógnita fique isolada em um
dos lados da igualdade na equação.
iii) Inverter a (as) grandeza (as) com sentido (os) oposto (os) ao da
incógnita, de modo que todas fiquem no mesmo sentido ao escrever a
equação, após equação.
𝑮𝟏 𝑮𝟐 𝑮𝟑
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
e
𝒙
 Regras de três
Regra de três - é um mecanismo da matemática utilizado para
resolver problemas que envolvem duas ou mais grandezas que se
relacionam de modo diretamente ou inversamente proporcionais.
A regra de três simples
A regra de três simples, na
matemática, é uma forma de
descobrir um valor a partir de
outros três, divididos em pares
relacionados cujos valores têm
mesma grandeza e unidade.
A regra de três Composta
Utilizamos para descobrir um
único valor a partir de cinco ou
mais valores já conhecidos, e
tendo em conta que os valores
referentes a uma mesma classe
de objeto têm de estar na mesma
unidade de medida.
G3 é inversamente
proporcional às
demais grandezas:. 
𝑮𝟏 𝑮𝟐 𝑮𝟑
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
e
𝒙
G3 diretamente
proporcional às
demais grandezas: 
Equacionamento
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Estatística - Metodologia científica utilizada para obtenção, organização e
análise de dados.
Tipos de Variáveis 
Qualitativa Nominal
Ordinal 
Quantitativa Contínua
Discreta
Variáveis - Em estatística, uma variável é a característica dos elementos da
amostra que nos interessa averiguar estatisticamente.
Importante: Uma variável originalmente quantitativa pode ser coletada de forma
qualitativa. Por exemplo, a variável idade, medida em anos completos, é quantitativa
(contínua); mas, se for informada apenas a faixa etária (0 a 5 anos, 6 a 10 anos,
etc...), é qualitativa (ordinal).
Variáveis Quantitativas
São variáveis que podem ser medidas em
uma escala quantitativa.
Podem ser:
Contínuas: São mensuráveis, assumem
valores em uma escala contínua.
𝐄𝐱: peso (balança), altura (régua), tempo
(relógio), pressão arterial.
Discretas: são o resultado de contagens
simples.
𝐄𝐱: número de filhos.
Variáveis Qualitativas
São variáveis que representam uma
classificação dos indivíduos.
Podem ser:
Nominais: não existe ordenação dentre as 
categorias. 
𝐄𝐱: sexo, cor dos olhos, fumante / não 
fumante, doente / sadio.
Ordinais: existe uma ordenação entre as
categorias. 
𝐄𝐱: escolaridade (1°, 2°, 3° graus)
 Estatística Básica
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Frequência - frequência de um evento é o número de vezes que o evento ocorreu
num experimento ou amostra.
Medidas de tendencia central
Mediana - é definida como o termo que ocupa a posição central numa sequência
ordenada de n dados. Caso n seja par, a mediana é definida como a média aritmética
dos dois termos centrais da sequência.
Moda - é a classe de maior frequência em determinado conjunto de dados.
𝐄𝐱𝟏: A idade dos estudantes de uma classe foi descrita da seguinte forma:
18, 13, 12, 14, 11, 08, 12, 15, 05, 20, 18, 14, 15, 11, 10, 10, 11, 13.
Solução: A frequência absoluta de 11 é 3, pois 11 aparece 3 vezes na amostra,. Já
frequência relativa de 11 é 0.17, corresponde a divisão 3/18, já que 3 é a frequência
absoluta e 18 é o número total de observações.
𝑻𝒊𝒑𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑭𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂𝒔 
Absoluta
 
𝑹𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂
, representa a quantidade de vezes que um valor
aparece na amostra total.
,, representa a razão entre a frequência absoluta
e o tamanho da amostra.
𝐄𝐱𝟐: Em uma turma de sétimo ano, as notas obtidas pelos alunos na prova de matematica
foram: 13, 34, 45, 26, 19, 27, 48, 63, 81, 76, 52, 86, 92, 98. Determine, a moda, a média
e a mediana: Solução: Como nenhum valor se repete a amostra é amodal.
A mediana será dada organizando a
sequência de maneira que os valores fiquem
em ordem crescente, os termos centrais, 7° e
8°, serão 48 e 52, respectivamente:
A média aritmética:
 M =
760
14
≅ 𝟓𝟒, 𝟐𝟖.
A Mediana
48 + 52
2
= 𝟓𝟎.
Estatística Básica
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8.2 = 4
𝑀 = 
𝑥 + 𝑦 + ⋯ 𝑧
𝑛
𝑀 = 
𝑥. 𝑃 + 𝑦. 𝑃 … 𝑧. 𝑃
𝑃 + 𝑃 + ⋯ 𝑃
𝑀 = (𝑥) 𝑦 … (𝑧) 
𝑛 = 𝑛°𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠
𝑛 = 𝑛°𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 (𝑥, 𝑦 … 𝑧 > 0)
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑃 , 𝑃 … 𝑃 𝑠ã𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠.
𝑛 = 𝑛°𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠
𝑀 = 
𝑛
1
𝑥
+
1
𝑦
+ ⋯ +
1
𝑧
 
(𝑀 ≥ 𝑀 ≥ 𝑀 )
8.2 + 2.3
5
= 4,4
𝑀 = 4,4
10
2
= 5
𝑀 = 5
𝑀 = 3,2
2
1
8
+
1
2
= 3,2
𝑀 = 4
𝑃 = 2 
𝑃 = 3 
Médias
Média, moda e mediana são medidas obtidas de conjuntos de dados que
podem ser usadas para representar todo o conjunto. A tendência dessas
medidas é resultar em um valor central. Por essa razão, elas são chamadas
de medidas de centralidade.
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Princípios de Contagem
A Análise Combinatória tem como objetivo o estudo de métodos
que permitam contar o número de elementos de um conjunto, sendo
estes elementos agrupados sob certas condições.
Principio fundamental da contagem (PFC).
Consideremos os conjuntos A(m elementos) e B(n elementos),
podemos formar m n pares ordenados (ai, bj) em que ai A e bj B.
a1
a2
b1
b2
b3
b1
b2
b3
(a1 ;b1)
(a1 ;b2)
(a1 ;b3)
(a2 ;b1)
(a2 ;b2)
(a3 ;b3)
Exemplo1: Dado A = (a1, a2) e B = (b1, b2, b3), quantos pares ordenados
podem ser formados na combinação entre os elementos de A e B?
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n(A) = 2
n(B) = 3
2.3 = 6 pares
Temos que:
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md
decímetro
mc 
centímetro
mm
milímetro
mk
quilômetro
mda
decâmetro
mh
hectômetro
K (quilo) = 1000
h (hecto) = 100
d (deca) = 10
d (deci) = 0,1
c (centi) = 0,01
m (mili) = 0,001
X 1000 X 100 X 10
unidade padrão metro
X 0,1 X 0,01 X 0,001
múltiplos submúltiplos
Medidas de comprimento
Medidas de comprimento
O comprimento é uma magnitude criada para medir a
distância entre dois pontos. As unidades para medir
o comprimento são diversas, a depender do sistema
adotado como referência. As unidades de
comprimento normalmente conhecidas são:
quilômetro, hectômetro, decâmetro, metro,
decímetro, centímetro e milímetro, sendo metro a
unidade padrão.
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m²d
Decímetro
quadrado
cm²
Centímetro
quadrado
mm²
Milímetro
quadrado
m²k
Quilômetro
quadrado
m²da
Decâmetro
quadrado
hm²
Hectômetro
quadrado
K (quilo) = 1000
h (hecto) = 100
d (deca) = 10
d (deci) = 0,1
c (centi) = 0,01
m (mili) = 0,001
X 𝟏𝟎𝟔 X 𝟏𝟎𝟒 X 𝟏𝟎𝟐
unidade padrão metro²
Medidas de ÁREA
X 𝟏𝟎 𝟐 X 𝟏𝟎 𝟒 X 𝟏𝟎 𝟔
múltiplos submúltiplos
Medidas deÁrea
Área é um conceito matemático que pode ser
definida como quantidade de espaço
bidimensional, ou seja, de superfície. Existem
várias unidades de medida de área, sendo a mais
utilizada o metro quadrado (m²) e os
seus múltiplos e submúltiplos.
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m³k
Quilômetro
cúbico
m³da
Decâmetro
cúbico
m³h
Hectômetro
cúbico
K (quilo) = 1000
h (hecto) = 100
d (deca) = 10
d (deci) = 0,1
c (centi) = 0,01
m (mili) = 0,001
X 𝟏𝟎𝟗 X 𝟏𝟎𝟔 X 𝟏𝟎𝟑
unidade padrão metro³
UNIDADES de VOLUME
X 𝟏𝟎 𝟑 X 𝟏𝟎 𝟔 X 𝟏𝟎 𝟗
múltiplos submúltiplos
m³d
Decímetro
cúbico
Cm³
Centímetro
cúbico
mm³
Milímetro
cúbico
Medidas deVolume
As unidades de volume mais utilizadas são o metro cúbico,
o decímetro cúbico. As medidas de capacidade mais
utilizadas são o litro e o mililitro. Estas duas unidades de
medida são relacionadas da seguinte forma:
•1 m³ de volume corresponde à capacidade de 1000 litros.
•1 dm3 de volume corresponde à capacidade de 1 litro.
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“Uma variável y se diz função de uma
variável x se, para todo valor atribuído a
x, corresponde, por alguma lei ou regra,
um único valor de y. Nesse caso, x
denomina-se variável independente e y,
variável dependente.”
Dados dois conjuntos não vazios, A e B,
uma função de A em B é uma regra que
indica como associar cada elemento x A
a um único elemento y B.
Usamos a seguinte notação:
f: A → B
(lê-se: f é uma função de A em B)
A função f transforma x de A em y de B.
Escrevemos isso assim:
y = f(x) 
(lê-se: y é igual a f de x)
Funções 
f: A → B
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“Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar
a função f: A → B tal que f(x) = 2x ou
y = 2x.
Nesse exemplo ao lado temos:
O domínio é A = {0, 1, 2, 3}
O contradomínio é B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A regra é dada por y = 2x
O conjunto imagem é Im(f) = {0, 2, 4, 6}.
Domínio, contradomínio e 
conjunto imagem 
Fique atento!
Em toda função f de A em B, 
Im(f) ⊂ B.
Estudo do domínio de uma função real:
Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o
domínio (A) e o contradomínio (B). Às vezes, é apresentada apenas a
lei da função f, sem que A e B sejam citados. Nesses casos,
consideramos o contradomínio B = R e o domínio A como o “maior”
subconjunto de R.
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Estudo dodomíniode uma função real
Vamos verificar o domínio das seguintes funções reais:
.
só é possível em R se x ≠ 0 (não existe divisão por 0).
Logo, D(f) = R – {0} = R*.
só é possível em R se 3 - x ≥ 0 (em R não há raiz quadrada de
número negativo).
Se 3 - x ≥ 0 x ≤ 3. Para cada x ≤ 3, f(x) existe e é único, pois é a
raiz quadrada de um número real maior ou igual a zero.
Portanto, D(f) = {x R | x ≤ 3}.
Nesse caso, devemos ter:
7 - x ≥ 0 x ≤ 7 e x - 2 > 0 x > 2, ou seja, x ]2; 7].
Para cada x ]2; 7], f(x) existe e é único, pois é a divisão de um
número real positivo ou nulo por outro positivo.
Logo, D(f) = ]2; 7].
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Distância entre Dois Pontos
O triângulo P1P2Q é retângulo em
Q, e o segmento de reta P1P2 é a sua
hipotenusa. Seus catetos medem (x2 -
x1) e (y2 - y1), tomados em valores
absolutos. Usando a relação de
Pitágoras, temos:
d(P1; P2 )
2 = (x2 − x1)
2 + (y2 − y1)
2, 
ou seja:
Dados dois pontos, P1(x1, y1) e P2(x2, y2), queremos obter a
expressão da distância d(P1, P2).
d(P1, P2) = (x2 −x1)2 + (y2 −y1)2
A distância entre os pontos P1P2 é dada por: 
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é toda função f definida por:
a b
onde a ∗e b
Raiz da Função.
é o número x1, pertencente ao
domínio de f, tal que que f(x1) = 0.
A raiz da função indica onde o 
gráfico de f intercepta o eixo ox.
O gráfico de f é uma reta que
pode ser determinada
conhecendo – se dois pontos da
função, são eles.
Função do 1°grau
raiz
b
x
Y
Sua inclinação em relação a ox
indica sua taxa de crescimento.
a > 0, f é crescente.
a < 0, f é decrescente.
I. f(x) = 0 x = -b/a
II. f(0) = b (toca em )
(-b/a ; 0) e (0 ; b).
x1 = - b/a
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é toda função f definida por:
f: 
𝟐
Onde a ∗
Raízes da Função – São
determinadas pela "Fórmula de
Bhaskara“.
𝟐
(discriminante 
O gráfico é a Parábola e sua abertura e intersecções com os eixos,
dependerão dos valores a, b e c da função f.
Se a > 0, concavidade da parábola é voltada para cima e a função
apresenta valor mínimo.
Se a < 0, concavidade voltada para baixo e a função apresenta
valor máximo.
Vértice (V) = 𝒗 ; 𝒗
Função do 2°grau
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Concavidade da parábola em
função de e .
As Raízes da função
dependerão do .
As Raízes indicam onde o
gráfico intercepta o eixo ox.
O coeficiente b, indica onde o
gráfico intercepta o eixo oy.
x’ = x”
x’ = x“
Não possui raiz real
xx’ x’’∆ > 𝟎
f tem o sinal 
contra 𝑎
f tem o 
sinal de 𝑎
f tem o 
sinal de 𝑎
x’ = x’’ x∆ = 𝟎
f tem o 
sinal de 𝑎
f tem o 
sinal de 𝑎
x∆ < 𝟎
f tem o 
sinal de 𝑎Quanto maior a abertura da parábola
menor é o valor do coeficiente .
Abertura da parábola Sinal da Função do 2º grau 
𝑎𝑎 𝑎
Sendo f(x) = ax2 + bx + c
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Antenas parabólicas e
radares: as antenas, apesar
de não refletiram luz, são
espelhos. Elas são construídas
para refletirem ondas de
radiofrequências.
Faróis de veículos: os
refletores parabólicos de
faróis e lanternas permite que
a luz da lâmpada localizada no
foco se propague em raios
paralelos ao eixo da parábola
formando o facho.
Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos casos.
Dentre eles, podemos destacar:
Pontes Pênseis: Utilizadas na engenharia na construção de pontes
estáveis e econômicas, sendo que todas elas são de formato parabólico.
Fornos Solares: Este exemplo não é comumente encontrado em nosso
cotidiano, mas é importante para mostrar como o conceito de parábola
pode ser utilizado em benefício da humanidade.
Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço visando
alcançar a maior distância possível, a curva descrita pelo objeto é
aproximadamente uma parábola.
A Parábola 
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Geometria Básica 
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Proposições primitivas
As noções primitivas são adotadas sem definição ou seja são conceitos
intuitivos. Adotaremos sem definir as noções de:
ponto, reta e plano
Graficamente:
Ponto A Reta r Plano
r 
A
Postulados:
a) Numa reta e em um plano, bem como fora deles, há infinitos pontos.
b) Pontos colineares são pontos que pertencem a uma mesma reta.
c) Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
d) Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
e) Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a reta está contida 
nesse mesmo plano.
Adotamos a notação de ponto, reta e plano com letras:
Ponto — letras latinas maiúsculas: A, B, C, ...(adimensional)
Reta — letras latinas minúsculas: a, b, c, ...
Plano — letras gregas minúsculas: α, β, γ, ...
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Região convexa
Uma região é convexa se dois
pontos distintos quaisquer, A e B,
são extremidades de um
segmento AB contido neta
região. A seguir três figuras que
são convexas:
Região convexa
Se uma região não é convexa,
ela é uma região côncava.
Em nosso estudo, como
unidades do ângulo utilizaremos
radianos (rad.) ou graus (°).
Chama-se ângulo à reunião de duas semirretas de mesma origem,
não contidas numa mesma reta. A reunião de um ângulo com seu
interior é um setor angular ou ângulo completo e também é
conhecido por “ângulo convexo”.
O ponto O é o vértice do ângulo.
Ângulos 
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AÔB e CÔD são opostos pelo vértice.
Ângulos adjacentes
Dois ângulos consecutivos são
adjacentes se não têm pontos
internos comuns.
AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo
vértice se os lados de um deles são
as respectivas semirretas opostas
aos lados do outro.
Bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo é uma
semirreta interna ao ângulo, com
origem no vértice do ângulo e que
o divide em dois ângulos
congruentes.
é bissetriz do ângulo aÔb
Importante:
Se dois ângulos são opostos pelo
vértice, então eles são
congruentes, ou seja, têm a
mesma medida.
AÔB CÔD
med. AÔB med. CÔD
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Divisão Multiplicação
10° 35’ 18’’
x 2
20° 70’ 36’’ 
10° 30’ 45’’
15° 27’ 20’’
Soma
25° 57’ 65’’ 
25°57’(60 + 5)’’
25°(57+1)’( 5)’’
25° 58 ’ 5’’
+ 10° 30’ 45’’5° 29’ 20’’
Subtração 
5° 1’ 25’’ 
- 46° 48’ 54’’ 2
23° 24’ 27’’
20° (60+10)’ 36’’ 
21° 10 ’ 36’’ 
Regra Básica
As operações são realizadas de modo semelhante às já conhecidas. Porém os
agrupamentos são realizados à cada 60. Daí devemos adicionar uma unidade à
classe superior.
Ângulos -Operações 
Unidades
grau; minuto; segundo
1 grau = 60 min
1min = 60 s
Transformações
grau (°) → min (′)
min (′) → s (′’)
1 rad ≅ 57,3°
× 60
× 60
O radiano
O radiano é a razão
entre o comprimento
de um arco e o seu raio.
Se o arco tem medida
igual ao raio, dizemos
que o ângulo mede 1 rad
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Ângulos - Medida
É todo ângulo
congruente a seu
suplementar adjacente.
Ângulo obtuso é um
ângulo maior que um
ângulo reto.
Ângulo agudo é um
ângulo menor que um
ângulo reto.
Ângulo reto Ângulo Agudo Ângulo Obtuso
𝑜 𝑜 𝑜c
𝑎𝑜𝑏 = 90° 𝑑𝑜𝑐 < 90° 𝑓𝑜𝑒 > 90°
Dois ângulos são
complementares se a
soma de suas medidas
é 90°.
Dois ângulos são
suplementares se a
soma de suas medidas
é 180°.
Ângulo Nulo
mede 0°
Ângulo Raso 
mede 180°
COB + AOB = 180° CDE + PQR = 90°
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Paralelismo //
Retas paralelas
Duas retas são paralelas (símbolo:
//) se, e somente se, são
coincidentes (iguais) ou são
coplanares e não têm nenhum ponto
comum:
Se a = β → a//b 
Uma condição suficiente para que duas
retas distintas sejam paralelas, é
formarem com uma transversal
ângulos correspondentes , alternos ou
colaterais congruentes.
Os oito ângulos determinados por a e
b, a//b, com uma reta t concorrente,
como indicados na figura acima,
chamam-se:
a // b
alternos: (São congruentes)
e e
correspondentes:(São congruentes)
colaterais: (São congruentes)
Retas paralelas
ângulos determinados por retas //
contadas por uma reta concorrente
t.
Ex.:
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𝐃𝐀𝐂 = 𝐃𝐀𝐄 + 𝐄𝐀𝐂 = 𝐀𝐁𝐂 + 𝐀𝐂𝐁 = 𝐁 + 𝐂
Uma consequência imediata:
“Em todo triângulo, a soma das
medidas dos ângulos internos é
sempre igual a 180°.”
Paralelismo aplicações //
Teorema dos Bicos
Se entre duas retas paralelas
traçarmos segmentos formando
“bicos”, a soma das medidas dos
ângulos com vértices, na direção
dessas retas, à direita é igual à soma
das medidas dos ângulos com
vértices, na direção oposta,
independentemente da quantidade
de tais ângulos.
𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝟑
𝑠
𝑟
𝑠
Ângulo Externo do Triângulo
Em todo triângulo, a medida de um
ângulo externo qualquer é igual à
soma das medidas dos dois ângulos
internos não adjacentes a ele:
r//s 
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A
Ângulos internos:
𝜶, 𝜷, 𝜽
p
Perímetro:
2𝑝 = a + b + c
S
Soma dos ângulos 
𝜶 + 𝜷 + 𝜽 = 180°
Área
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
A
v
Vértices:
A, B e C
D
Desigualdades:
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Lados:
a, b, c
L
 Definição
Dados três pontos, A, B e C, não
colineares, à reunião dos segmentos
AB, AC e BC chama-se triângulo
ABC.
ℎ
a c
b
Indicação
Triângulo ABC = ABC
ABC = U U 
Possui três 
ângulos externos
E
Triângulos
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Baricentro do Triângulo
Propriedades:
 As medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto,
chamado baricentro. O mesmo também é conhecido como centro de
gravidade.
O baricentro divide cada mediana na proporção de 2 para 1.
As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto
(G - BARICENTRO.) que divide cada mediana em duas partes tais que
a parte que contém o vértice é o dobro da outra.
1 2 3
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Propriedades:
As bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num ponto
comum, chamado incentro.
 O incentro é equidistante dos lados e coincide com o centro da
circunferência inscrita no triângulo.
Incentro do Triângulo
As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num
mesmo ponto (S - Incentro) que está equidistante dos lados do
triângulo.
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Propriedades:
As mediatrizes de um triângulo interceptam-se num ponto,
chamado circuncentro
O circuncentro é equidistante dos vértices e coincide com centro
da circunferência circunscrita ao triângulo.
Circuncentro do Triângulo
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo
ponto (O – Circuncentro) que é equidistante dos vértices do triângulo.
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Propriedades:
O Simétrico do Ortocentro em relação a cada lado do triangulo,
pertence à circunferência circunscrita ao triangulo.
 O ortocentro, pode estar localizado internamente,
externamente ou no vértice do triângulo
Ortocentro doTriângulo
O Ponto de interseção (ou ponto de encontro ou ponto de concurso)
das retas suportes das alturas de um triângulo é o ortocentro deste
triângulo..
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ClassificaçãoTriângulos
Três lados 
diferentes.
Escaleno Isósceles Equilátero
Três lados 
congruentes.
Dois lados 
congruentes. 
Três ângulos 
internos agudos.
Acutângulo
Ângulo interno
Reto (90°).
Retângulo Obtusângulo
Ângulo 
interno obtuso.
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x
y
b
c
aA C
B
Simplificando
Ao tratarmos de um triângulo ABC, retângulo, daqui por diante
estaremos pensando que o ângulo interno  mede 90°. O lado BC, oposto
ao ângulo reto ( ), é chamado hipotenusa e os lados AB e AC,
adjacentes ao ângulo reto, são chamados catetos do triângulo ABC.
Como é habitual, vamos utilizar a notação seguinte para os
elementos de um triângulo ABC:
lados: AB, BC, AC
Medidas dos ângulos:
medida de A C = x
medida de B C = 90°
medida de A B = y
Medidas dos lados:
medida de BC = c
medida de AC = a
medida de AB = b
ângulos internos:
A C, A B e B C 
.
.
O Triângulo Retângulo
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Teorema de Pitágoras
c²
a² b²
* Euclides em sua obra “Elementos”
traz essa generalização.
c
ba
"Num triângulo retângulo,
a área do quadrado
construído sobre a
hipotenusa é igual à soma
das áreas dos quadrados
construídos sobre os
catetos ".
Euclides* generalizou o
teorema de Pitágoras. Se
construirmos figuras
semelhantes sobre os
catetos e sobre a
hipotenusa de um
triângulo retângulo, a
soma das áreas das
figuras construídas sobre
os catetos é igual à área
da figura construída
sobre a hipotenusa, daí:
C = A + B
Elementos
a - Hipotenusa 
b – Cateto
c - Catetos
c
b
a
c² = a² + b²
O teorema de Pitágoras é
muito utilizado na
matemática e nas ciências
exatas.
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Aplicações noTriângulo Retângulo
𝒍 𝟐 = 𝒉𝟐 +
𝒍
𝟐
𝟐
𝒉𝟐 =
𝟑𝒍𝟐
𝟒
 
Altura Triângulo 
Equilátero 
Diagonal do 
Quadrado
𝒅𝟐 = 𝒍𝟐 + 𝒍𝟐
𝒅𝟐 = 𝟐𝒍𝟐
𝒅 = 𝟐𝒍𝟐
Teorema de 
Pitágoras
Em todo triângulo
retângulo, a medida do
quadrado da hipotenusa
(maior lado) é igual às
somas das medidas dos
quadrados dos seus
catetos
O estudo desse tipo de triângulo é muito importante, pois, com ele,
resolve-se uma série de problemas práticos por meio de
ferramentas importantes, como o teorema de Pitágoras e
a trigonometria.
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Trigonometria no triângulo
a – hipotenusado triangulo
b – cateto oposto a 
c – cateto adjacente a 
Fixando um ângulo agudo , temos as relações a seguir:
a
b
c
Considerando:
2ª) Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre
o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
3ª) Tangente de um ângulo agudo é a razão
entre os catetos oposto e adjacente a este
ângulo.
1ª) Seno de um ângulo agudo é a razão entre o
cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. sen = 
b
a
cos = ca
tg = bc
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Razões Fundamentais 
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importante:
Utilizando o teorema de Pitágoras e as razões trigonométricas
conhecidas no triangulo retângulo, tente demonstrar as igualdades
acima.
Razões Trigonométricas
A
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TriânguloEquilátero
𝟐
Área
Altura
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Raios
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Um triângulo é congruente (símbolo ≡) a outro se, e somente se, é
possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de
modo que:
Congruência de triângulos
A
B’
A’
C’C
A
B
ABC ≡ A'B'C'
A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.
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Casos de congruência (1)
Existem “condições mínimas” para que dois triângulos sejam
congruentes. São os chamados casos ou critérios de congruência.
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o
ângulo compreendido, então eles são congruentes.
ABC ≡ A'B'C'
Teorema do triângulo isósceles
“Se um triângulo tem dois lados congruentes, então os ângulos 
opostos a esses lados são congruentes.”
1º caso — LAL — (Lado Ângulo Lado)
Se AB ≡ AC ≡ 
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Casos de congruência (2)
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois
ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.”
Teorema do triângulo isósceles²
“Com base no 2º caso (ALA), pode-se provar a recíproca do teorema 
do triângulo isósceles:
“Se um triângulo possui dois ângulos congruentes, então esse
triângulo é isósceles.”
2º caso — ALA — (Ângulo, Lado, Ângulo)
ABC ≡ A'B'C'
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Casos de congruência (3)
“Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados,
então esses triângulos são congruentes..”
Relação matemática entre os lados homólogos
“Se dois triângulos são congruentes ( ABC ≡ A’B’C’), então os lados
HOMOLOGOS desses triângulos são proporcionais, ou seja:
3º caso — LLL — (Lado, Lado, Lado)
ABC ≡ A'B'C'
ABC ≡ A'B'C'
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Relaçõesmétricas -Triângulo
Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD
perpendicular a BC, com D em BC, temos:
BC = a: hipotenusa,
AC = b: cateto,
AB = c: cateto,
BD = m: projeção do cateto c
sobre a hipotenusa,
CD = n: projeção do cateto b
sobre a hipotenusa,
AD = h: altura relativa à
hipotenusa a.
Resumindo as relações, temos:
1º) cada cateto é média geométrica
entre sua projeção sobre a
hipotenusa e a hipotenusa.
b2 = a.n c2 = a.m
3º) o produto dos catetos é igual
ao produto da hipotenusa pela
altura relativa a ela.
b.c = a.h
2º) a altura relativa à hipotenusa é
média proporcional (ou média
geométrica) entre os segmentos que
determina sobre a hipotenusa.
h2 = m.n
4º) o produto de um cateto pela
altura relativa à hipotenusa é igual
ao produto do outro cateto pela
projeção do primeiro sobre a
hipotenusa.
b.h = c.n c.h = b.m
b
a
h
c
m n
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Losango
Um quadrilátero plano convexo é
um losango se, e somente se,
possui os quatro lados
congruentes.
Trapézio
Um quadrilátero plano convexo é
um trapézio se, e somente se,
possui dois lados paralelos.
Retângulo
Um quadrilátero plano convexo é um
retângulo se, e somente se, possui
os quatro ângulos iguais a 90°.
Um quadrilátero tem 2 diagonais, soma dos ângulos internos igual a 360° e
soma dos ângulos externos também igual a 360°. Os notáveis são os
trapézios, os losangos paralelogramos, os retângulos.
Paralelogramo
Um quadrilátero plano convexo é
um paralelogramo se, e somente
se, possui os lados opostos
paralelos.
Características
𝐴𝐵// 𝐶𝐷𝑒𝐴𝐷// 𝐵𝐶
Quadriláteros
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Losango
Trapézio
Quadriláteros - Propriedades Fundamentais
P1) Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos quaisquer são
congruentes.
P2) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos
pontos médios.
P3) Todo retângulo além das propriedades do paralelogramo, apresenta as
diagonais são congruentes.
P4) Todo quadrado é um retângulo e também é losango.
Quadriláteros - áreas
Paralelogramo
Retângulo
𝐀 =
(𝐛𝟏+𝐛𝟐). 𝐡
𝟐
𝐀 = 𝐛. 𝐡
𝐀 = 𝐛. 𝐡
𝐀 =
𝐝𝟏. 𝐝𝟐
𝟐
d
d
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3°modo1°modo
4° modo2°modo
Importante:
Área doTriângulo 
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TeoremadosCossenos
Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos
quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto
desses dois lados pelo cosseno do ângulo por eles formado.
a
b
c
a2 = b2 + c2 - 2bc.cos
Tomando-se o ângulo , podemos escrever:
Tomando-se o ângulo , podemos escrever:
b2 = a2 + c2 - 2ac.cos
Tomando-se o ângulo , podemos escrever:
c2 = a2 + b2 – 2ab.cos
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Os lados de um triângulo são proporcionais aos senos dos
ângulos opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro
da circunferência (2.R) circunscrita ao triângulo.
Teorema dos senos
A
B
C
F
b
a
c
BF = 2.R
Diâmetro 
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Teorema dos senos
Demonstração:
Dado um ABC, consideremos a circunferência circunscrita. Seja O o
centro dela e R o seu raio:
Traçando o diâmetro BD, temos:
e daí,
No DCB retângulo em C, vem:
Procedendo de modo análogo, temos:
e
Nota
Caso A seja obtuso, em lugar de D ≡ A, teremos D ≡ 180° − A, o que não 
altera o resultado, pois 𝑠𝑒𝑛 180° − A = 𝑠𝑒𝑛 A. Caso A seja reto, também 
vale a relação, visto que 𝑠𝑒𝑛 90° = 1.
a
c b
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Naturezadeumtriângulo
Conhecendo-se as medidas dos lados de um ABC e
chamando a maior delas de a e as outras duas de b e c.
Reconhecemos a natureza de um triângulo, com base nas
equivalências abaixo, sabendo que |b – c| < a < b + c:
a2 < b2 + c2 triângulo acutângulo
a2 = b2 + c2 triângulo retângulo
a2 > b2 + c2 triângulo obtusângulo
b
a
c
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Relação de Stewart
Dado um triângulo ABC e sendo D um ponto do lado AB, vale
a relação:
a2y + b2x = c(xy + z2) 
c
a b
Uma das aplicações desse teorema é o cálculo das medianas de um
triângulo.
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r r
É a área de uma superfície
limitada por uma
circunferência.
Círculo Circunferência
É o conjunto dos pontos de um
plano equidistantes de um
ponto dado desse plano.
C = 2πr
Área do Círculo Comprimento
A = πr²
Círculo e Circunferência
o o 
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Arcos
C = 2πr
Circunferência
é um segmento cujas
extremidades pertencem à
circunferência.
AB é uma corda.
Corda 
Diâmetro
é uma corda que passa pelo
centro (o).
CD é um diâmetro.Raio
é um segmento com uma
extremidade no centro e a outra
num ponto da circunferência.
OP é um raio, e r = CD/2.
r
o 
A
B
C
D
P
a) arco menor AB é a reunião dos 
conjuntos dos pontos A, B e de 
todos os pontos de que estão 
no interior do ângulo AÔB;
b) arco maior AB é a reunião dos
conjuntos dos pontos A, B e de 
todos os pontos de que estão 
no exterior do ângulo AÔB.
É dado pela razão entre o 
diâmetro e o raio C/2r = π.
Comprimento (C )
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O círculo ( ) é a reunião da circunferência com seu interior. Centro,
raio, corda, diâmetro e arco de , são o centro, o raio, a corda, o diâmetro
e o arco da respectiva circunferência, tem área dada por A = πr².
Segmento circular
Segmento circular EB é a interseção do círculo com o semiplano 𝜷 de
origem na reta 𝐄𝐁 e que não contém o centro de . Quando nos
referimos ao segmento circular, salvo aviso em contrário, consideramos
o menor possível.
C
A B
semicírculo
Semicírculo
Se A e B são extremidades de
um diâmetro de , semicírculo
AB é a interseção do círculo
com um dos semiplanos de
origem na reta AB.
O
Setor circular
Setor circular menor, EOB, é a
reunião dos conjuntos dos
pontos dos raios BO e OE e de
todos os pontos do círculo
que estão no interior do ângulo
EÔB. Tem área proporcional ao
ângulo que o determina.E
Círculo e Suas Partes 
r
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Quadrilátero Circunscrito 
Um quadrilátero convexo é
circunscrito a uma
circunferência se, e
somente se, seus quatro
lados são tangentes à
circunferência.
ABCD é circunscrito a ou
é inscrita em ABCD. Os
pontos x, y, t e z são
tangentes a .
AB + CD = AD + BC
Se um quadrilátero convexo
é circunscrito a uma
circunferência, a soma de
dois lados opostos é igual à
soma dos outros dois.
Uma condição necessária e
suficiente para que um
quadrilátero convexo seja
circunscritível a uma
circunferência é a soma de
dois lados opostos ser igual
à soma dos outros dois
lados deste quadrilátero.
x
y
z
t
A
B
C
D
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V = a
Volume Área (At)
At = a
Diagonais
D =a
d
Geometria do Cubo
Cubo é um paralelepípedo retângulo cujas arestas são congruentes.
Dado um cubo de aresta a, seu volume V, sua diagonal d e sua área
total At, são dados por:
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a
a
a
D
d =a
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Volume Área total(At)Area Lateral 
V =Abh At = 2Ab+ ALAL=2πrh
É todo cilindro em que as geratrizes (g) são perpendiculares aos
plano das bases (círculos paralelos de raio r). O cilindro circular
reto é também chamado cilindro de revolução. Neste cilindro a
altura h tem a mesma medida da geratriz g, ou seja h = g.
r
r
hhg
Ab = πr²
2πr
Cilindro Circular Reto
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O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pois é
gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo.
Seus elementos são a base circular de raio r, geratrizes g e o
vértice V. A altura h de um cone é a distância entre o vértice e o
plano da base.
r
Volume Área totalÁrea Lateral
V = (1/3)Abh At = Ab+ ALAL= πrg
r
h
g
vv
Cone Reto
g
g2 = h2 + r2
r
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A Superfície esférica é o lugar geométrico dos pontos
cujas distâncias a um ponto fixo (centro da esfera O) é
igual a uma constante r (raio da esfera).
S = 4πr²
Volume da Esfera Área de Superfície
V = (4/3)πr³
Elementos
Considerando a superfície de
uma esfera de eixo e, temos:
polos: são as interseções da
superfície com o eixo.
equador: é a seção
(circunferência) perpendicular ao
eixo, pelo centro da superfície.
meridiano: é uma seção
(circunferência) cujo plano
passa pelo eixo.
e
meridiano
Equador
polo
polo
O
r
Esfera
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Matemática
Vol 1 – Matemática Fundamental 
Vol 2 – Matemática para o Ensino Médio
Vol 3 - Geometrias 
Vol 4 – Matemática Financeira 
Física:
Física do Ensino Médio
* Estaremos atualizando periodicamente nosso e-book
com mais questões e novos mapas, então não deixe de
fazer o download outras vezes no futuro.
Acompanhe no Instagram: @superaulasbr
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1 Matemática Básica 
 
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2 Matemática Básica 
Índice 
 
Introdução; 5 
Questões; 10 
 
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3 Matemática Básica 
Copyright © 2021 de Jorge Oliveira 
Todos os direitos reservados. Este e-book ou qualquer parte dele 
não pode ser reproduzido ou usado sem autorização expressa, por 
escrito, do autor ou editor, exceto pelo uso de citações em uma 
resenha ou trabalho acadêmico. 
 
Sobre o Autor. 
Professor atuando em diversos níveis educacionais, além 
de cursos preparatórios diversos. Pesquisador em modelagem do 
ensino da matemática e Educação matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
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4 Matemática Básica 
Agradecimento 
Agradeço a você que adquiriu este livro com objetivo de 
auxiliá-lo no aprendizado dos principais conceitos fundamentais 
da matemática básica. 
Nossa metodologia baseia-se no binômio apreender-
praticando como ferramenta fundamental da fixação da teoria 
apresentada nesse livro. 
Buscamos condensar os principais temas do conhecimento 
matemático fundamental em mapas mentais, cuidadosamente 
elaborados, abordando os pontos chaves de cada tema a ser 
estudado. Além dos mapas mentais segue em outro arquivo a 
resolução de centenas de exercícios estratégicos que o ajudará a 
desenvolver habilidades matemáticas necessárias para 
compreensão temas mais complexos. 
 
“O homem que move montanhas começa carregando pequenas 
pedras”. (Provérbio chinês) 
 
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5 Matemática Básica 
Introdução 
 
O que é um número? 
Logo nos primeiros anos de escola, aprendemos diversas 
habilidades essenciais à vida de qualquer pessoa. Uma das mais 
fundamentais é a capacidade de leitura. Sem ela, você não seria 
capaz de entender o que está escrito neste texto e, 
consequentemente, não teria a oportunidade de aprender sobre os 
novos conteúdos que serão apresentados a seguir. Na escola, 
também aprendemos outro conceito importantíssimo: a noção de 
número. Porém, diferentemente do que ocorre com o estudo da 
língua oficial, cujos alfabeto, gramática e vocabulário variam 
muitíssimo de um país para outro, os símbolos utilizados para 
representar os números são praticamente universais. 
Por exemplo, o número 125 (que é escrito por extenso 
como cento e vinte e cinco) possui o mesmo significado no Brasil, 
na Franca e no Japão. É apenas “falado” de maneira distinta em 
cada língua.. O sistema de numeração que é utilizado amplamente 
na matemática é o sistema de numeração decimal. Neste sistema, 
os agrupamentos são feitos de 10 em 10 (daí o nome decimal) e 
os algarismos (que, em verdade, são símbolos) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8 e 9 representam as quantidades de grupos presentes em cada 
posição. 
Os algarismos que utilizamos tem sua origem no sistema 
indo-arábico, que era apenas um dentre diversos sistemas 
numéricos do mundo antigo. Esse sistema se sobressaiu em 
relação aos demais por apresentar uma maneira mais pratica de 
resolver operações básicas, como adição e multiplicação,além de 
conter uma quantidade relativamente pequena de símbolos. 
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6 Matemática Básica 
Outros sistemas, mais elaborados, foram desenvolvidos 
por sociedades avançadas do mundo antigo. Nesse sentido, os 
exemplos mais notáveis são o sistema egípcio e o sistema romano. 
 
O que são Mapas Mentais? 
Os mapas mentais são uma ferramenta utilizada em todo o 
mundo. Propostos por Tony Buzan, um psicólogo e escritor 
inglês, apresentam-se como uma excelente técnica de estudos para 
concursos públicos e aprendizagem em geral. 
Como o próprio nome diz, mapas mentais são “mapas da 
mente”. Assim, têm como pretensão representar as informações 
da maneira como elas estão organizadas em nossas cabeças. 
Poderíamos dizer, portanto, que a ciência a qual se dedica ao 
aprimoramento da técnica de elaboração e utilização de mapas 
mentais é chamada de “cartografia do pensamento”. 
Quando falamos em mapas, muitos se assustam, pois 
acreditam não possuir conhecimentos e habilidades suficientes 
para trabalhar com esse tipo de material ou técnica. No entanto, é 
importante ressaltar que tanto a elaboração como a utilização de 
mapas mentais é algo que pode ser aprendido e que será 
desenvolvido, como habilidade, quanto mais o estudante fizer uso 
dessa prática. 
O cérebro é o órgão mais complexo do corpo humano. 
Segundo a ciência, ele começou a evoluir há mais de 500 milhões 
de anos. Apesar disso, há apenas 500 anos sabemos que ele está 
localizado na cabeça, e não no coração – por um grande período 
da História, este foi considerado o órgão centralizador da 
cognição e até das emoções. 
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7 Matemática Básica 
São cinco as principais funções cerebrais e elas são, por 
elas mesmas, suficientemente explicativas: 
– Recepção; 
– Armazenamento; 
– Análise; 
– Controle; 
– Expressão. 
Os mapas mentais se relacionam com as funções cerebrais 
quando sintetizam as informações (processo de construção do 
mapa mental) e quando servem de fonte para a expansão das 
informações (consulta ao mapa mental). 
Em seu livro Mapas Mentais, Anthony Peter Buzan 
apresenta o conceito de pensamento radiante, fundamental para 
a compreensão das estruturas de um mapa mental. De acordo com 
a metodologia proposta por Buzan, os mapas mentais foram 
criados para melhorar e intensificar o processo do pensamento 
radiante. 
No processo de estudo para concursos públicos, vestibulares, 
etc., os mapas mentais apresentam diversas vantagens, que podem 
ser agrupadas em três grandes grupos: 
 Vantagens que dizem respeito à organização do estudo; 
 Vantagens relacionadas ao pensamento/raciocínio; 
 Vantagens associadas às emoções. 
 
No que diz respeito à organização do estudo, os mapas 
mentais: 
 Otimizam a utilização do tempo; 
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8 Matemática Básica 
 Reduzem o volume de papel/anotações; 
 Favorecem a produtividade do indivíduo; 
 São excelentes instrumentos de revisão do conteúdo. 
 
No que diz respeito ao pensamento/raciocínio: 
 Organizam a assimilação de informações; 
 Sistematizam e estruturam as ideias; 
 Proporcionam visão sistêmica do conteúdo/criam 
conexões; 
 Oferecem objetividade, descartando o que não é essencial; 
 Desenvolvem as habilidades de síntese e de análise do 
estudante; 
 Favorecem a criatividade/o brainstorming. 
 
E, finalmente, mas não menos importante, no que diz respeito 
às emoções: 
 Eliminam o estresse pelo excesso de informações; 
 São visuais, atraentes e, consequentemente, interessantes 
(diminuem a monotonia do estudo); 
 Mantêm a pessoa no controle do processo criativo, 
relacionando-se de forma ativa com o objeto de 
conhecimento; 
 Proporcionam segurança, tranquilidade, autoestima, 
autoconfiança e senso de capacidade. 
 
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9 Matemática Básica 
Produtividade em seus processos de conhecimento e organização 
na produção de conteúdo, esses são alguns dos benefícios dos 
mapas mentais, que surgem como uma opção na organização do 
fluxo de ideias natural do cérebro. 
Além de atuar no raciocínio, o mapa mental também ajuda no 
processo de memorização em longo prazo. Isso acontece a partir 
do momento da estruturação do mapa. Elementos como cores, 
desenhos, símbolos e informações segmentadas, fazem com que 
o cérebro raciocine e grave os dados com mais facilidade. 
 
Aprendizagem 
Saber diferenciar conteúdo e método é essencial no processo de 
aprendizagem. Para desenvolver a concentração, melhorar a 
absorção e lidar com o excesso de informações, os mapas mentais 
podem ajudá-lo a aprender mais profundamente e de maneira mais 
ágil. 
Com a ferramenta, a absorção e criação de conhecimentos tornam-
se mais interessantes e criativas. Nesse caso, é recomendado que 
o mapa seja desenhado a mão, assim, é possível que o cérebro 
tenha um tempo para receptar as informações. 
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10 Matemática Básica 
Questões Resolvidas. 
 
Os Números e suas Principais Operações. 
 
1. Calcule o valor das expressões: 
 
𝑎) 3 
𝑏) 2 + 3 
𝑐) 5 
𝑑) 2 + 3 
𝑒) 
1
2
2 . 3 
 
Solução: 
𝑎) 3 = 3.3.3.3.3 = 243 
𝑏) 2 + 3 = 4 + 9 = 13 
𝑐) 5 = 5.5.5.5 = 625 
𝑑) 2 + 3 = 8 + 27 = 35 
𝑒) 
1
2
. 2 . 3 = 2 . 2 . 3 = 2 . 3 = 24 
 
2. Calcule o valor das expressões: 
 
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11 Matemática Básica 
 
 
 
Solução: 
 
 
3. Se 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 3, calcule o valor das expressões: 
 
 
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12 Matemática Básica 
Solução: 
 
 
 
4. Escreva como uma única potência: 
 
 
Solução: 
 
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13 Matemática Básica 
 
 
5. Determine quais das seguintes sentenças são verdadeiras e quais são 
falsas. Em cada item falso, indique um contraexemplo para a afirmação. 
 
 
 
 
Solução: 
a) Verdadeiro 
b) Falso. Por exemplo, 2 = 1/2 ≠ −2 
c) Falso. Por exemplo, ( 1/2) = 4 ≠ (2 − 1) = 1 
d) Verdadeiro 
e)Falso. Por exemplo, (2 ) = 64 → 2( ) = 256 
 
6. Determine quais das seguintes sentenças são verdadeiras e quais são 
falsas. Em cada item falso, indique um contraexemplo para a afirmação 
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14 Matemática Básica 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15 Matemática Básica 
7. Calcule as potências: 
 
 
 
Solução: 
 
 
8. Escreva cada um dos seguintes números como uma potência de 2: 
 
 
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16 Matemática Básica 
Solução: 
 
 
 
9. Dividindo-se o número 4 por 4 obtemos o número: 
a) 2 
b) 4 
c) 4 
d) 4 
e) 4 
 
Solução: 
4 : 4 = 4 : 4 = 4 
Resposta E. 
 
10. Um cachorro avista um gato que está a 30 metros de distância e 
inicia-se uma perseguição. Ambos começam a correr em linha reta, no 
mesmo sentido e com passadas sincronizadas. O cachorro se desloca 
50cm a cada passada enquanto o gato se desloca apenas 30cm. Depois 
de quantas passadas o cachorro alcançará o gato? 
 
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17 Matemática Básica 
Solução: A cada passada o cachorro se aproxima 50 − 30 = 20𝑐𝑚. 
Então o total de passadas para que o