Aula 06-Matemática Financeira (Fluxo de caixa Taxa interna de retorno)

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Aula 06
Matemática Financeira e Estatística p/ ICMS/SP - 2017 (Com videoaulas)
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA Pっ ICMSどSP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ 
 
AULA 06 – FLUXO DE CAIXA E TIR 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de exercícios 26 
3. Questões apresentadas na aula 91 
4. Gabarito 121 
 
Olá! 
 Nesta sexta aula do nosso curso trabalharemos os tópicos restantes de 
Matemática (ou melhor, de matemática financeira) do seu edital: 
 
Fluxo de caixa. Taxa interna de retorno. 
 
 Tenha uma ótima aula! 
 
1. TEORIA 
1.1 FLUXO DE CAIXA 
 Uma aplicação útil dos cálculos de valor atual e de anuidades que vimos na 
aula passada é a análise de fluxos de caixa. Um fluxo de caixa é formado por todas 
as saídas (pagamentos, desembolsos) e todas as entradas de capital 
(recebimentos) ao longo de um período, associados a certo projeto ou negócio. 
Imagine que você é um empreendedor, e planejou abrir um negócio. Fazendo 
seus cálculos, percebeu que precisaria gastar, na data de hoje, R$7000,00 para 
abrir o negócio e colocá-lo para funcionar. A partir daí, sua estimativa é de que nos 
próximos 4 anos você lucre R$2.000,00 ao final de cada ano com o seu negócio. O 
gráfico abaixo representa o desembolso de 7000 reais e os ganhos de 2000 reais 
distribuídos ao longo do tempo: 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Esse esquema onde temos desembolsos e ganhos distribuídos ao longo do 
tempo é o chamado de Fluxo de Caixa de um projeto. Ele nos permite, entre outras 
coisas, fazer uma análise importante: vale a pena investir nesse negócio? 
 A uma primeira vista, talvez você respondesse: “sim, afinal serão investidos 
7000 reais e, ao longo dos 4 anos, ganharei 8000 reais, resultando num saldo 
positivo de 1000 reais”. Muito cuidado nessa hora. Você deve se lembrar que o 
valor do dinheiro se altera no tempo. Isto é, 2000 reais de hoje não valem a mesma 
coisa de 2000 reais no final do 4º ano. Exemplificando, considere a taxa de juros de 
10% ao ano. Se temos o valor futuro VF = 2000 reais daqui a 4 anos, o valor 
presente correspondente é: 
4
(1 )
2000 1366,02
(1 0,1)
t
VFVP
j
VP


 

 
 
 Isto é, os 2000 reais ganhos ao final do 4º ano correspondem ao valor atual 
de apenas 1366,02. De fato, se você aplicar hoje 1366,02 num investimento que 
pague juros compostos de 10% ao ano, verá que, ao final de 4 anos, terá o 
montante de 2000 reais. Vejamos quanto valem, na data de hoje, os 2000 reais 
ganhos ao final do 3º ano: 
3
(1 )
2000 1502,62
(1 0,1)
t
VFVP
j
VP


 

 
 
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 Podemos fazer essa mesma conta para os 2000 ganhos ao final do 2º e do 1º 
anos: 
2
1
2000 1652,89
(1 0,1)
2000 1818,18
(1 0,1)
VP
VP
 

 

 
 
 Somando o valor presente de cada recebimento futuro, temos que o Valor 
Atual dos recebimentos futuros é VP = 6339,71. Apesar de, a uma primeira vista, o 
nosso negócio ter um ganho de 8000 reais, devemos considerar que, para uma taxa 
de juros de 10% ao ano, o valor atual dos recebimentos é de apenas 6339,71. 
 Comparando este valor com o total investido (7000 reais), vemos que o 
negócio não compensa. Vale mais a pena você pegar os 7000 reais que dispõe, 
aplicar num investimento bancário que renda 10% ao ano, e ficar em casa 
descansando! 
Isto se a taxa de juros for mesmo 10% ao ano. Se ela fosse de apenas 1% ao 
ano, o valor presente dos recebimentos futuros seria de: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,01) (1 0,01) (1 0,01) (1 0,01)
1980,19 1960,59 1941,18 1921,96
7803,92
VP
VP
VP
   
   
   

 
 
 Assim, valeria a pena investir no negócio, afinal o valor presente dos 
recebimentos futuros (7803,92) é superior ao valor investido (7000). 
 Antes de trabalharmos uma questão sobre fluxo de caixa, é importante 
conhecermos o conceito de valor presente líquido, taxa interna de retorno e taxa 
mínima de atratividade. 
 
1.2 TAXA INTERNA DE RETORNO 
 Quando analisamos um determinado projeto, a diferença entre o valor dos 
recebimentos (entradas) e o valor investido (desembolsos), todos trazidos a valor 
presente pela taxa “j”, é chamada de Valor Presente Líquido (VPL) do negócio, 
também conhecido pela sigla em inglês NPV (Net Present Value): 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos 
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 Em nosso exemplo anterior, vimos que o valor atual dos desembolsos era de 
R$7.000,00, enquanto o valor atual dos recebimentos era de R$7.803,92, 
considerando para isso a taxa j = 1% ao ano. Portanto, o VPL deste projeto é: 
VPL = 7803,92 – 7000 = 803,92 reais 
 
 O VPL pode ser interpretado como o acréscimo de riqueza obtido ao 
desenvolver um determinado projeto. Se o VPL for maior que zero, o valor atual das 
entradas é maior que o dos desembolsos, portanto podemos dizer que vale a pena 
investir no negócio. Caso contrário, não vale a pena. Lembrando da primeira 
simulação, onde encontramos VP = 6339,71, teríamos VPL = 6339,71 – 7000 = -
660,29. Portanto, considerando a taxa de 10% ao ano, não vale a pena investir no 
negócio, apesar de valer a pena para a taxa de 1%. 
 
Veja que, dependendo da taxa de juros, a decisão quanto a investir ou não 
no negócio pode variar. Na vida real, o investidor normalmente utiliza como taxa de 
juros aquele percentual que ele ganharia se investisse seu dinheiro em uma 
aplicação financeira considerada segura. Essa taxa é normalmente chamada de 
taxa mínima de atratividade (sigla TMA), pois é aquela taxa mínima para que o 
investidor prefira investir no negócio (“se sinta atraído”) ao invés da aplicação 
financeira. Mas você não precisa se preocupar com isso, pois nos exercícios de 
fluxo de caixa a taxa de juros será dada pelo enunciado. 
 
Mais um detalhe: imagine ainda que, além da opção de investir no negócio 
acima, com VPL = 803,92 (taxa de 1% ao ano), você também vislumbre a 
oportunidade de investir em outro negócio. Entretanto, você só tem recursos para 
investir em um dos dois negócios. Analisando o fluxo de caixa previsto para o 
segundo investimento, você verifica que VPL = 950 reais (também com a taxa de 
1%). Em qual negócio vale mais a pena investir? Obviamente, no segundo. Isto é, 
comparando duas possibilidades de investimento, aquela com maior VPL é a mais 
interessante. 
 
 Como vimos no exemplo anterior, dependendo da taxa de juros considerada 
o VPL tem valor positivo ou negativo. Existe, portanto, uma taxa de juros que torna o 
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VPL igual a zero. Esta taxa é chamada de taxa interna de retorno (TIR). Ela é a taxa 
de juros real do investimento, também conhecida pela sigla em inglês IRR (Internal 
Return Rate). A título de exemplo, veja o que aconteceria no exemplo acima se 
tivéssemos considerado a taxa de juros de 5,564% ao ano: 
1 2 3 4
2000 2000 2000 2000
(1 0,0564) (1 0,0564) (1 0,0564) (1 0,0564)
1894,58 1794,72 1700,13 1610,52
7000
VP
VPVP
   
   
   

 
 
 Ou seja, o valor presente dos recebimentos futuros seria 7000 reais. 
Portanto, o valor presente líquido do investimento seria: 
 
VPL = 7000 – 7000 = 0 
 
 Isso nos mostra que a taxa interna de retorno do investimento é de 5,564% 
ao ano. O que a TIR nos diz? Simples: se temos a possibilidade de colocar o 
dinheiro em uma aplicação financeira que pague mais do que a TIR, isto é, que 
tenha um rendimento superior a 5,564% ao ano, é melhor deixar o dinheiro na 
aplicação financeira. Caso contrário, vale a pena investir no negócio. Isto é, às 
vezes, mesmo quando o VPL é positivo (valor atual das entradas é maior que o das 
saídas), pode ser que a rentabilidade do negócio seja inferior à que seria obtida na 
aplicação financeira, sendo mais interessante deixar o dinheiro investido no banco. 
 Verifique se você entendeu os assuntos acima resolvendo essas questões: 
 
1. FCC – Banco do Brasil – 2006) Uma empresa deverá escolher um entre dois 
projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de 
caixa: 
 
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A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verifica-se que 
os valores atuais líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o 
desembolso D referente ao projeto X é igual a 
(A)) R$ 30 000,00 
(B) R$ 40 000,00 
(C) R$ 45 000,00 
(D) R$ 50 000,00 
(E) R$ 60 000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Para o projeto Y, temos o fluxo de caixa abaixo: 
 
 Calculando o valor presente líquido deste investimento, utilizando a taxa de 
atratividade j = 8%, temos: 
 
1 2
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
16200 17496VPL = 40000
(1 8%) (1 8%)
15000 15000 40000
10000
VPL
VPL
VPL

 
 
  
 
 
 
 O segundo projeto tem o mesmo valor atual líquido, isto é, tem VPL = -10000. 
Além disso, o seu fluxo de caixa pode ser visto no esquema abaixo: 
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Portanto, para o segundo investimento: 
1 2
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
10800 11664-10000= 
(1 8%) (1 8%)
10000 10000 10000
30000
VPL
D
D
D

 
 
   

 
Resposta: A 
 
2. DOM CINTRA – ISS/BH – 2012) Uma empresa realizou a projeção dos fluxos de 
caixa de um determinado projeto, conforme a tabela abaixo: 
 
Sabendo-se que a Taxa Interna de Retorno para esse projeto é de 3%, o valor do 2º 
fluxo será referente a: 
A) R$ 21.218,00 
B) R$ 22.732,00 
C) R$ 23.426,00 
D) R$ 24.980,00 
E) R$ 25.619,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se a TIR é j = 3% ao período, sabemos que o VPL será igual a zero se 
utilizarmos essa taxa. 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
 
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 Chamando de X o valor do 2º fluxo na tabela dada, temos: 
Valor atual das saídas = 60000 
Valor atual das entradas = (10300 / 1,031 + X / 1,032 + 32781 / 1,033) 
 
 Considerando VPL = 0, temos: 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
0 = (10300 / 1,031 + X / 1,032 + 32781 / 1,033) – 60000 
X = 21218 reais 
Resposta: A 
 
1.3 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS C/ TAXA INTERNA DE RETORNO 
 Quando um empreendedor / investidor se depara com a oportunidade de 
ingressar em um novo projeto, ele faz uma avaliação sobre a viabilidade / 
rentabilidade desta decisão. Ao longo da aula de hoje já vimos alguns conceitos 
utilizados pelos investidores, como o fluxo de caixa, o VPL, a TIR, a taxa mínima de 
atratividade etc. Nesta seção vamos conhecer algumas formas de análise de 
investimentos e sintetizar o que vimos nas seções passadas. Você deve ter em 
mente que normalmente o investidor: 
- possui mais de uma alternativa de projeto no qual ele pode ingressar; 
- sempre tem a possibilidade de deixar o dinheiro investido em alguma aplicação 
financeira “segura”, como a poupança ou títulos públicos. 
 
1.3.1 MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO 
 Como já vimos ao tratar sobre o VPL, se estivermos comparando dois 
negócios diferentes, vale a pena escolher aquele que apresente o maior VPL. Da 
mesma forma, se estamos olhando um projeto isoladamente, caso o VPL deste 
projeto seja negativo, não vale a pena investir nele. Isto porque o VPL mede a 
diferença, em valor presente, entre todos os recebimentos e pagamentos 
associados ao projeto. Assim, se o VPL é negativo, então o valor presente dos 
pagamentos é superior ao dos recebimentos, de modo que o projeto trará uma 
redução de riqueza / valor de mercado para a empresa. Por outro lado, um VPL 
positivo indica que o projeto trará um aumento da riqueza / valor de mercado da 
empresa. 
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 Assim, o VPL pode ser utilizado na decisão do investidor das seguintes 
formas: 
- entre dois projetos distintos, aquele com maior VPL é o mais interessante; 
- olhando um projeto isoladamente, se o seu VPL for positivo o negócio é viável, isto 
é, gera um acréscimo de riqueza. 
 
 É preciso tomar cuidado ao utilizar o método do VPL para comparar projetos 
com durações diferentes. Imagine que temos que escolher entre os dois projetos a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 O primeiro projeto tem duração de 2 anos, e o segundo tem duração de 3 
anos. Fazendo um cálculo simples do VPL de cada projeto, à taxa de 5% ao ano, 
temos: 
VPL1 = 550 / 1,051 + 550 / 1,052 – 1000 = 22,67 reais 
VPL2 = 560 / 1,051 + 560 / 1,052 + 560 / 1,053 – 1500 = 25,01 reais 
 
 Assim, a uma primeira vista o projeto 2 é mais atrativo, pois tem VPL maior. 
Mas veja que, em um período de 6 anos, podemos executar 3 vezes o projeto 1 
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(pois ele dura apenas 2 anos), e podemos executar apenas 2 vezes o projeto 2 (que 
dura 3 anos). 
 Por isso, é mais adequado compararmos a realização sucessiva dos projetos 
por um mesmo período. Trata-se do MÉTODO DO MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM. 
Como o mínimo múltiplo comum entre 2 e 3 anos é igual a 6 anos, devemos 
comparar os dois projetos num horizonte de 6 anos. 
 Veja na tabela abaixo a realização sucessiva do primeiro projeto, ao longo de 
6 anos. São 3 ciclos de projeto: 
 ヱ┨ IｷIﾉﾗ ヲ┨ IｷIﾉﾗ ン┨ IｷIﾉﾗ TOTAL 
ヰ どヱヰヰヰ どヱヰヰヰ 
ヱ ヵヵヰ ヵヵヰ 
ヲ ヵヵヰ どヱヰヰヰ どヴヵヰ 
ン ヵヵヰ ヵヵヰ 
ヴ ヵヵヰ どヱヰヰヰ どヴヵヰ 
ヵ ヵヵヰ ヵヵヰ 
ヶ ヵヵヰ ヵヵヰ 
 
 O VPL será dado por: 
6 5 4 3 2 1
550 550 450 550 450 550 1000
(1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%)
VPL       
     
 
61,89VPL reais 
 
 Veja na tabela abaixo a realização sucessiva do segundo projeto, ao longo de 
6 anos. São 2 ciclos de projeto: 
 ヱ┨ IｷIﾉﾗ ヲ┨ IｷIﾉﾗ TOTAL 
ヰ どヱヵヰヰ どヱヵヰヰ 
ヱ ヵヶヰ ヵヶヰ 
ヲ ヵヶヰ ヵヶヰ 
ン ヵヶヰ どヱヵヰヰ どΓヴヰ 
ヴ ヵヶヰ ヵヶヰ 
ヵ ヵヶヰ ヵヶヰ 
ヶ ヵヶヰ ヵヶヰ 
 
 O VPL será dado por: 
6 5 4 3 2 1
560 560 560 940 560 560 1500
(1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%) (1 5%)
VPL       
     
 
46,63VPL reais 
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 Portanto, ao longo do mesmo período (6 anos), o primeiro projeto gera um 
acréscimo de riqueza (VPL) de 61,89 reais, e o segundo projeto gera um acréscimo 
de riqueza (VPL) de 46,63 reais. 
 Podemos dizer que o primeiro projeto é o mais atrativo, pelo método do 
mínimo múltiplo comum. 
 
1.3.2 MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO 
 A TIR nos diz qual é a taxa de rentabilidade do projeto. Assim, é interessante 
saber como comparar a TIR com o custo de oportunidade, o custo de capital e a 
taxa mínima de atratividade. Vejamos como: 
 
 TIR x custo de oportunidade: 
 Imagine que alguém te peça um dinheiro emprestado. Qual taxa você vai 
cobrar? Bom, o seu dinheiro está aplicado na poupança, rendendo juros de 6% ao 
ano. Se você tirar o dinheiro da poupança para emprestá-lo, o seu objetivo é ganhar 
mais do que isto, concorda? Se for para ganhar menos, é melhor deixar o dinheiro 
onde está. E se for para ganhar o mesmo, talvez ainda assim seja melhor deixar o 
dinheiro na poupança, uma vez que este investimento é mais seguro (afinal, 
emprestando o dinheiro a alguém você sempre corre o risco de não ser pago). 
Assim, para você a taxa de 6% é chamada de “custo de oportunidade”. Isto porque, 
ao retirar o dinheiro da poupança e colocar em outro negócio, você está “deixando 
de ganhar” 6% ao ano. Desta forma, é preciso que este outro negócio tenha um 
rendimento, que é medido pela taxa interna de retorno (TIR), superior ao custo de 
oportunidade. 
 Como você observa, chamamos de “custo de oportunidade” a taxa de 
rendimento de um investimento seguro que você poderia efetuar. Um critério para a 
decisão de fazer ou não um investimento é comparar TIR e Custo de Oportunidade. 
Neste caso, se: 
- TIR > Custo de Oportunidade  vale a pena investir no negócio 
- TIR < Custo de Oportunidade  não vale a pena investir no negócio (é melhor 
deixar o dinheiro onde ele está) 
 
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 Observe que o cálculo do custo de oportunidade para uma empresa, ou 
mesmo para um investidor, pode ser bem mais complexo. Isto porque podem existir 
várias opções de negócio, cada uma com níveis de rentabilidade diferentes e níveis 
de risco diferentes. Em regra, utiliza-se como base para o custo de oportunidade o 
rendimento de um investimento seguro – no caso, o investimento em títulos do 
governo (taxa SELIC). 
 
 TIR x custo de capital: 
 No tópico anterior estávamos preocupados em retirar um dinheiro da nossa 
poupança e emprestá-lo a alguém. E se não tivermos este dinheiro na poupança e, 
mesmo assim, alguém estiver nos solicitando um empréstimo? Pode ser que 
façamos o seguinte: contratamos um empréstimo junto ao banco, obtendo o dinheiro 
necessário, e o emprestamos ao nosso “cliente”. Quando o cliente nos pagar, 
pagaremos o banco. Repare que isto só vale a pena se a taxa de juros da nossa 
captação de recursos (empréstimo junto ao banco) for MENOR do que a taxa de 
juros do nosso negócio (empréstimo para o nosso “cliente”). 
 Casos como este, onde estamos trabalhando com recursos de terceiros (do 
banco), chamamos de custo de capital o valor da taxa de juros que pagamos para 
ter acesso aos recursos necessários para efetivar nosso negócio. Isso é bem 
comum na vida real, pois em muitos casos as empresas precisam pegar 
empréstimos para financiar seus novos negócios. 
 Este custo de capital deve ser inferior ao rendimento proporcionado pelo 
negócio, que é dado pela TIR. Desta forma, temos um outro critério de decisão: 
- se TIR > Custo de capital  compensa investir no negócio 
- se TIR < Custo de capital  não compensa investir no negócio 
 
 O cálculo do custo de capital também é bem complexo em se tratando de 
uma grande empresa. Normalmente ele é obtido através da média ponderada dos 
inúmeros empréstimos de curto, médio e longo prazo que a empresa contrata, além 
de levar em conta valores que normalmente ela paga, como dividendos e 
debêntures ao emitir ações e outros títulos. Mas fique tranquilo: as suas questões 
serão bem mais simples e diretas, como veremos. 
 
 
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 TIR x taxa mínima de atratividade: 
 Pode ser que, em determinado projeto, a TIR seja superior ao custo de 
capital (ou custo de oportunidade) de determinado projeto e, ainda assim, o 
investidor não se interesse pela empreitada. Isto porque pode ser que a TIR seja 
inferior à taxa mínima de atratividade, que é aquela taxa abaixo da qual o investidor 
não se interessa pelo negócio, por razões de riscos, condições de mercado etc. 
 Assim, sabendo-se qual é a taxa mínima de atratividade para um 
determinado investidor ou empresa, temos que: 
- se TIR > Taxa mínima de atratividade  vale a pena investir no negócio. 
- se TIR < Taxa mínima de atratividade  não vale a pena. 
 
1.3.3 FLUXO DE CAIXA DO ACIONISTA E FLUXO DE CAIXA DO 
PROJETO. TIR DO ACIONISTA E TIR DO PROJETO. 
 Agora que já conhecemos bem os conceitos básicos de fluxo de caixa e taxa 
interna de retorno, vamos trabalhar um exemplo que nos permite entender a 
diferença entre a ótica do PROJETO e a ótica do ACIONISTA (investidor). 
 Suponha que você é convidado a participar de um projeto no qual é preciso 
ser feito um investimento inicial de 2000 reais. No final do primeiro ano espera-se 
um retorno líquido de 1050 reais, e no final do segundo ano 1102,50 reais. Estamos 
diante do seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 
 Este é o fluxo de caixa do PROJETO (e, a princípio, também é o fluxo de 
caixa do acionista). Sendo j a taxa de juros considerada, o VPL é dado por: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA Pっ ICMSどSP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヴ 
1 2
1050 1102,50 2000
(1 ) (1 )
VPL
j j
  
 
 
 
 A taxa interna de retorno deste PROJETO é igual a 5%, pois: 
1 2
1050 1102,50 2000 0
(1 5%) (1 5%)
  
 
 
 
 A princípio esta também é a taxa interna de retorno para o 
acionista/investidor. 
 Agora suponha que o investidor preferiu não desembolsar os 2000 reais no 
início, pois isso o obrigaria a entregar todo o dinheiro que ele possuía. Ao invés 
disso, o investidor desembolsou apenas 1000 reais de seus recursos próprios, e os 
1000 reais restantes ele obteve contratando um empréstimo bancário a ser 
amortizado em 2 parcelas iguais de 515 reais (taxa implícita de 2%am). Assim, na 
prática o ACIONISTA: 
- investiu 1000 reais próprios no momento inicial; 
- recebeu 1050 no final do primeiro mês, pagando 515 para o banco, ou seja, 
ficando com 535 reais; 
- recebeu 1102,50 no final do segundo mês, pagando 515 para o banco, e ficando 
com 587,50 reais. 
 
 Na ótica do ACIONISTA, temos o seguinte fluxo de caixa: 
 
 
 O VPL, na ótica do acionista, é: 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヵ 
1 2
535 587,50 1000
(1 ) (1 )
VPL
j j
  
 
 
 
 A TIR na ótica do acionista é aproximadamente 7,9%am, pois: 
1 2
535 587,50 1000
(1 7,9%) (1 7,9%)
VPL   
 
 
 
 Repare que a TIR do acionista foi MAIOR do que a TIR do projeto. Isto 
porque, além de se beneficiar com os resultados do projeto, o acionista também se 
beneficiou do fato de ter aplicado uma porção menor de seu capital (apenas 1000, 
ao invés de 2000). Assim, mesmo tendo que pagar juros aobanco que emprestou a 
outra metade do investimento, o retorno sobre o capital empregado foi maior. Isto 
faz sentido porque a taxa de juros cobrada pelo banco (2%am) era menor do que a 
TIR do projeto (5%). O procedimento efetuado pelo acionista é conhecido como 
alavancagem. Isto é, ele pegou dinheiro emprestado no banco por uma taxa (2%) 
para aplicá-lo num projeto que renderia uma taxa maior (5%). 
 
1.3.4 PROJETOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS. PROJETOS 
INDEPENDENTES 
 Frequentemente o investidor depara-se com mais de uma alternativa de 
investimento, ambas atrativas e rentáveis. Em alguns casos essas alternativas 
podem ser implementadas simultaneamente, porém limitações técnicas ou 
financeiras podem tornar impossível essa execução concomitante, “obrigando” o 
investidor a escolher apenas uma das alternativas: trata-se de investimentos 
mutuamente excludentes. Assim, em resumo temos: 
 - investimentos independentes: aqueles cujos fluxos de caixa não se relacionam, 
sendo independentes entre si, de modo que a aceitação ou rejeição de um projeto 
não influencia na aceitação ou rejeição do outro. Ex.: adquirir títulos da dívida 
pública e abrir uma loja de sapatos – desde que eu possua capital suficiente para 
ambos. 
- investimentos mutuamente excludentes: aqueles projetos que competem entre si, 
por restrições de ordem técnica ou financeira, de modo que a aceitação de um 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヶ 
inviabiliza a aceitação do outro. Ex.: adquirir títulos da dívida pública ou abrir uma 
loja de sapatos, quando não possuo capital suficiente para investir em ambos. 
 
 Existe ainda uma terceira classificação, os chamados investimentos 
dependentes entre si. Em alguns casos, é possível efetuar dois investimentos ao 
mesmo tempo, mas eles não são totalmente independentes entre si: o fluxo de caixa 
de um deles influencia positiva ou negativamente o fluxo de caixa do outro, porém 
não chegando a inviabilizá-lo. Ex.: posso ser capaz de adquirir títulos da dívida 
pública e também abrir a loja de sapatos, porém abrindo uma loja menor e 
adquirindo uma menor quantidade de títulos. Neste caso, o fluxo de caixa de um 
investimento influenciou negativamente o outro, mas não chegou a inviabilizá-lo (o 
que os tornaria mutuamente excludentes). 
 Na existência de investimentos mutuamente excludentes ou com algum grau 
de influência entre si, a decisão do investidor deve ser tomada utilizando algum ou 
alguns dos critérios que estudamos acima. Em outras palavras, ele deve buscar o 
investimento que: 
- tenha maior VPL; 
- apresente maior TIR; 
 
 É muito frequente que um dos projetos seja escolhido por alguns dos 
critérios, e o outro projeto seja escolhido pelos demais critérios. Nesta situação o 
investidor pode lançar mão de outros critérios, como, por exemplo, a análise de 
risco dos projetos, que foge do escopo deste curso. 
 
1.4 CUSTO REAL E EFETIVO DE OPERAÇÕES DE EMPRÉSTIMO, 
FINANCIAMENTO E INVESTIMENTO 
Imagine que você vá ao banco e solicite um empréstimo de R$1000. O 
gerente do banco informa que é possível efetuar a operação, mas com as seguintes 
condições: 
- pagamento em duas parcelas iguais, semestrais, vencendo a primeira ao final do 
1º semestre; 
- taxa de juros nominal de 10% ao ano; 
- tarifa fixa de 25 reais em cada parcela; 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΑ 
 
A pergunta é: qual é a taxa que exprime o verdadeiro custo desta transação? 
É realmente 10% ao ano? 
Para responder a esta pergunta, o primeiro passo é montar o fluxo de 
pagamentos correspondente a este empréstimo. Veja que, como as parcelas tem 
base semestral, então a taxa de juros nominal de 10% ao ano deve corresponder à 
taxa de juros efetiva j = 5% ao semestre. 
Chamando de P o valor de cada prestação, sabemos que o valor presente da 
soma das prestações, na data de contratação do empréstimo, deve ser igual a 
R$1000. Ou seja, 
 
 
 Obs.: você poderia ter utilizado a fórmula da tabela price para calcular o valor 
da prestação. 
 
Além dos R$537,80 de cada parcela, você precisa somar mais R$25 em cada 
uma, correspondentes às tarifas. Assim, cada prestação terá o valor de R$562,80. 
Em resumo, você pegou R$1000 reais hoje e pagará 2 parcelas semestrais 
de R$562,80. Vejamos qual é a taxa “j” que faz com que estas 2 prestações tenham 
o valor presente do empréstimo, isto é, 1000 reais: 
 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ 
Um artifício para facilitar a resolução é multiplicar todos os termos desta 
equação por (1 + j)2. Com isso retiramos a variável j do denominador: 
 
 
 Veja que temos uma equação de segundo grau, onde “j” é a variável que 
queremos descobrir. Em uma equação do segundo grau, chamamos de “a” o 
número que multiplica j2, de “b” o número que multiplica “j”, e de “c” o número 
isolado. Neste caso, a = 1000, b = 1437,2, e c = -125,6. A fórmula de Báskara nos 
permite obter o valor de j: 
 
 
 O sinal ± significa que existem dois valores possíveis para j: um deles 
utilizando o sinal +, e o outro obtido utilizando-se o sinal -. Substituindo os valores 
de a, b e c, temos: 
 
 
 Não se preocupe com os cálculos. Obviamente, estou utilizando uma 
calculadora. Em sua prova os números serão menores e mais fáceis de se trabalhar 
manualmente. Veremos questões sobre isto ainda hoje. Continuando: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ 
 
 Utilizando o sinal positivo, temos: 
 
 
 Utilizando o sinal negativo, temos: 
 
 
 
 Nem precisamos finalizar esta última conta. Isto porque já dá para perceber 
que o resultado será um número negativo, e a taxa de juros precisa ser um número 
positivo. Portanto, a taxa que buscamos é j = 8,26% ao semestre. A taxa de juros 
anual equivalente a 8,26% ao semestre é: 
 
 
 Assim, apesar de o gerente do banco ter oferecido uma taxa de “apenas” 
10% ao ano, em realidade você está pagando uma taxa de 17,2% ao ano! 
Infelizmente esta é a prática do mercado. Mas há algum tempo os bancos passaram 
a ser obrigados a informar o “Custo Efetivo Total”, conhecido pela sigla CET. Assim, 
em letras miúdas você certamente encontrará a informação no contrato: “CET = 
17,2% ao ano”. 
Recapitulando, o custo efetivo total é a taxa de juros que exprime o 
verdadeiro custo de um financiamento. E o seu cálculo é feito desta forma: você 
deve escrever todo o fluxo de pagamentos das prestações (já incluindo as taxas 
avulsas, tarifas e qualquer outro valor envolvido), e a seguir encontrar a taxa de 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ 
juros que leva a soma de valores pagos ao valor inicial do financiamento contratado. 
Prosseguindo, imagine que, neste período de 2 anos do financiamento, a inflação foi 
de 4% ao ano. Assim, o custo efetivo real (isto é, descontando o efeito da inflação) é 
dado por: 
 
 
 Nesta fórmula, ctotal é o custo efetivo total do financiamento (no caso, ctotal = 
17,2%), i é a taxa de inflação do período, e creal é o custo efetivo real. Portanto:Repare que o custo efetivo real do financiamento é MENOR do que o custo 
efetivo total. Isto porque a inflação joga a favor de quem está tomando o 
empréstimo. Como você está pegando o dinheiro hoje e só vai começar a devolver 
daqui a 1 ano, quando você devolver o dinheiro ele já estará valendo menos, devido 
à inflação do período. Veja que esta fórmula é análoga à relação entre as taxas de 
juros reais, nominais e inflação que vimos ao falar de investimentos. 
 Veja essa questão: 
 
3. CESPE – BRB – 2010) Julgue os itens a seguir, acerca de custo efetivo, taxas 
de retorno e rendas. 
( ) Se o custo real efetivo de uma operação financeira for de 15% e se a taxa de 
inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o custo total efetivo 
dessa operação financeira será inferior a 24%. 
( ) Considere que uma empresa tenha feito um investimento de R$ 20.000,00, para 
obter fluxos futuros de R$ 12.000,00 e R$ 11.000,00, respectivamente, ao final de 
cada um dos dois próximos anos. Nesse caso, se a taxa de juros de mercado for 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヱ 
inferior a 9% ao ano, o investimento será rentável. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se o custo real efetivo de uma operação financeira for de 15% e se a taxa de 
inflação acumulada no período for de 8%, então, nesse caso, o custo total efetivo 
dessa operação financeira será inferior a 24%. 
Aqui basta lembrar que: 
 
 
 Sendo o custo real igual a creal = 15% e a inflação i = 8%, então o custo total 
da operação é: 
 
 
 Item ERRADO. 
 
( ) Considere que uma empresa tenha feito um investimento de R$ 20.000,00, para 
obter fluxos futuros de R$ 12.000,00 e R$ 11.000,00, respectivamente, ao final de 
cada um dos dois próximos anos. Nesse caso, se a taxa de juros de mercado for 
inferior a 9% ao ano, o investimento será rentável. 
 Vejamos qual é o VPL deste investimento, considerando a taxa de mercado 
j = 9% ao ano: 
VPL = valor presente das entradas – valor presente das saídas 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
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 Observe que o VPL foi positivo. Isto significa que, mesmo considerando a 
taxa de juros do mercado, o valor presente das entradas foi maior do que o valor 
presente das saídas, gerando um acréscimo de riqueza à empresa. Logo, o 
investimento é considerado rentável. Item CORRETO. 
Resposta: E C 
 
1.5 FLUXO DE CAIXA INCREMENTAL 
 Imagine que você tenha R$50.000 para investir. Atualmente este dinheiro 
está em uma aplicação financeira segura, que rende 10% ao ano (portanto essa é a 
sua taxa mínima de atratividade – TMA). Você tem acesso aos dois projetos abaixo: 
 
Projeto A B 
Investimento inicial R$30.000 R$50.000 
TIR 17% 15% 
 
 Veja que pelo método da TIR nós escolheríamos o projeto A. Mas repare 
que, escolhendo o projeto A, investiremos apenas R$30.000 reais nele. Embora 
esta parte dos nossos recursos passe a render 17% ao ano (que é a TIR do projeto 
A), o que acontecerá com os R$20.000 restantes que nós temos? É bem provável 
que eles precisem continuar investidos na aplicação financeira, que rende “apenas” 
10% ao ano. Será que esta realmente é a opção mais interessante para nós? 
 Veja que, ao decidirmos pelo projeto B, teremos uma TIR menor (de 15% ao 
ano), essa rentabilidade atingirá todos os nossos R$50.000, não sobrando nada 
para render “apenas” 10% ao ano na aplicação financeira. Portanto, embora a uma 
primeira vista a opção A seja a mais interessante, quando fazemos uma análise 
mais abrangente vemos que a opção B é melhor – não por ter uma TIR maior, mas 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
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por empregar uma parcela maior dos nossos recursos e ainda assim gerar uma 
rentabilidade satisfatória (superior à nossa TMA). 
 Esta é a lógica básica da análise incremental. Para realizar essa análise, 
precisamos garantir que: 
- o projeto escolhido (no caso, o projeto B) tenha rentabilidade maior que o mínimo 
exigido (isto é, TIRB > TMA); 
- o fluxo de caixa incremental entre as duas opções disponíveis tenha rentabilidade 
(TIR) maior que o mínimo exigido. 
 
 Sobre este último aspecto, estou chamando de “fluxo de caixa incremental” 
aquele fluxo formado pelas DIFERENÇAS de valores entre os dois projetos. Veja 
que fizemos um cálculo como este no tópico anterior, ao estudar a interseção de 
Fischer. Como o projeto A tem investimento inicial de 30.000 e o projeto B tem 
investimento inicial de 50.000, ao montar o fluxo de caixa incremental B – A você 
deve fazer a subtração entre esses dois investimentos, e considerar que o 
investimento inicial é 50.000 – 30.000 = 20.000 reais. Da mesma forma, você deve 
realizar essa mesma subtração para cada uma das entradas de recursos futuras. 
Feito isto, você tem em mãos um fluxo de caixa incremental, que nada mais é que 
um outro fluxo de caixa a ser considerado. Como disse acima, a taxa interna de 
retorno deste fluxo incremental também precisa ser maior que a TMA. 
 Para ilustrar melhor este assunto, veja a questão abaixo: 
 
4. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2012) Uma empresa tem três opções de 
investimento, chamados de projeto A, B e C, que são mutuamente exclusivos 
(excludentes), com custos iniciais de 100, 200 e 300 mil reais, respectivamente, e 
vida útil de 5 anos. O fluxo de caixa, alguns dados complementares e a taxa interna 
de retorno, TIR, estão representados na tabela. 
 
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Considerando-se que a taxa mínima de atratividade da empresa é de 12% ao ano, 
conclui-se que 
a) A é melhor que B, que é melhor que C. 
b) A é melhor que C, que é melhor que B. 
c) B é melhor que A, que é melhor que C. 
d) C é melhor que B, que é melhor que A. 
e) C é melhor que A, que é melhor que B. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que a TIR dos 3 projetos é superior à taxa mínima de atratividade 
(12%): 
 
 
 Note que a TIR do projeto A é a maior, em seguida vem C e posteriormente 
B. Se a TIR fosse o único critério de avaliação, esta seria a ordem correta. Ocorre 
que foram fornecidas as colunas “projeto diferencial”. Elas calculam a TIR dos fluxos 
de caixa incrementais (diferenças de valores) entre os projetos. Observe que a TIR 
da diferença entre os projetos C e A é igual a 15,9%: 
 
 
 Isto significa que o projeto C, que é aquele que emprega o maior volume de 
recursos (300 mil reais), além de gerar um retorno atrativo (TIR = 17,1%, maior que 
a TMA de 12%), também possui fluxos de caixa incrementais (em relação à B e a A) 
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cujas rentabilidades são superiores ao mínimo exigido. Assim, C é o melhor projeto. 
Em seguida vem B, que emprega o segundo maior volume de recursos, possui TIR 
maior que o mínimo exigido e apresenta um ganho diferencial em relação ao projeto 
A de 13,8% (que também é maior que a TMA). Por último temos o projeto A. 
RESPOSTA: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 Vejamos agora uma bateria de exercícios sobre todos os tópicos que 
trabalhamos na aula de hoje. 
 
5. PUC/PR – URBS – 2009) A senhora Estela tem R$ 300.000,00 para aplicar. 
Pretende comprar um carro no valor de R$ 60.000,00, mas na concessionária 
escolhida o carro só poderá ser entregue daqui a dois meses. Como alternativa 
poderá comprar um carro igual em outra concessionária por R$ 55.500,00, e deixar 
o restante do dinheiro aplicado, ou aplicar todo o dinheiro. O pagamento do veículo 
será na entrega do mesmo. Considere juros compostos. 
A) Caso a taxa de mercado seja de 3% ao mês, a melhor opção seria a primeira em 
termos Valor Presente Líquido. 
B) Caso a taxa de mercado seja de 5% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
C) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, a melhor opção seria a primeira em 
termos de Valor Presente Líquido. 
D) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
E) Mesmo fornecendo a taxa de mercado, faltamdados para efetuar qualquer tipo de 
cálculo comparativo e determinar qual a melhor opção. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos avaliar cada alternativa: 
A) Caso a taxa de mercado seja de 3% ao mês, a melhor opção seria a primeira em 
termos Valor Presente Líquido. 
 Na primeira opção será pago 60.000 reais daqui a 2 meses. O valor atual 
deste pagamento, considerando a taxa de 3%am, é: 
VP = 60000 / 1,032 = 56555 reais 
 
 Ou seja, a segunda opção (55.500 reais à vista) tem valor atual inferior, 
sendo a mais atrativa. Alternativa FALSA. 
 
B) Caso a taxa de mercado seja de 5% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΑ 
 Neste caso, o valor atual da primeira opção é: 
VP = 60000 / 1,052 = 54421 
 Assim, esta opção é mais atrativa do que pagar 55.500 à vista. Alternativa 
FALSA. 
 
C) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, a melhor opção seria a primeira em 
termos de Valor Presente Líquido. 
 Neste caso, o valor atual da primeira opção é: 
VP = 60000 / 1,062 = 53399 reais 
 Assim, esta opção é mais atrativa do que pagar 55.500 à vista. Alternativa 
VERDADEIRA. 
 
D) Caso a taxa de mercado seja de 6% ao mês, as duas opções seriam 
equivalentes em termos Valor Presente Líquido. 
 FALSO, conforme demonstrado no item anterior. 
 
E) Mesmo fornecendo a taxa de mercado, faltam dados para efetuar qualquer tipo 
de cálculo comparativo e determinar qual a melhor opção. 
 FALSO. Como vimos, é possível comparar as duas alternativas tendo em 
mãos a taxa de mercado. 
Resposta: C 
 
6. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2011) Considere as três afirmativas a seguir: 
I - Um fluxo de caixa representa o movimento de entradas e desembolsos de 
capitais ao longo de um universo temporal. 
II - Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa é aquela para a qual a soma 
das entradas de capital é igual à soma dos desembolsos quando a comparação é 
efetuada em uma mesma data. 
III - Dois fluxos de caixa são equivalentes se têm as mesmas entradas de capital. 
Está correto o que se afirma em: 
(A) II, apenas. 
(B) I e II, apenas. 
(C) I e III, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΒ 
(E) I, II e III. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos cada item proposto. 
 
I - Um fluxo de caixa representa o movimento de entradas e desembolsos de 
capitais ao longo de um universo temporal. 
 Verdadeiro. Lembre-se do exemplo onde analisamos qual seria o 
investimento (isto é, desembolso) necessário em um determinado negócio e quais 
seriam os recebimentos (entradas) ao longo de um determinado período de tempo 
(universo temporal). 
 
II - Taxa Interna de Retorno (TIR) de um fluxo de caixa é aquela para a qual a soma 
das entradas de capital é igual à soma dos desembolsos quando a comparação é 
efetuada em uma mesma data. 
 Verdadeiro. A taxa interna de retorno é aquela que torna o VPL igual a zero. 
Como o VPL é a subtração entre os desembolsos e as entradas em uma mesma 
data, temos: 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos 
0 = Valor atual das entradas – Valor atual dos desembolsos 
Valor atual dos desembolsos = Valor atual das entradas 
 Ou seja, a TIR torna o VPL igual a zero e, consequentemente, a soma das 
entradas é igual à soma dos desembolsos, se comparados na mesma data (valor 
atual). 
 
III - Dois fluxos de caixa são equivalentes se têm as mesmas entradas de capital. 
 Falso. Dois fluxos de caixa com as mesmas entradas de capital, porém em 
datas diferentes, não são equivalentes. E dois fluxos de caixa com as mesmas 
entradas, porém com desembolsos diferentes, também não são equivalentes. O que 
torna dois fluxos equivalentes é possuírem o mesmo valor atual, a uma dada taxa 
de juros. 
Resposta: B 
 
7. FCC – Banco do Brasil – 2006) Considere o seguinte fluxo de caixa cuja taxa 
interna de retorno é igual a 10% ao ano: 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΓ 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 11 000,00 
(B) R$ 11 550,00 
(C) R$ 13 310,00 
(D) R$ 13 915,00 
(E)) R$ 14 520,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se a TIR = 10%, então o VPL será igual a zero quando aplicarmos essa taxa 
ao fluxo de caixa esquematizado abaixo: 
 
 
 Portanto, 
1 2 3
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
0 173030= 25000
(1 10%) (1 10%) (1 10%)
0 0 13000 25000
1,21
(25000 13000) 1,21 14520
VPL
X
X
X

  
  
   
   
 
Resposta: E 
 
8. FCC – SEFAZ/SP – 2010) O fluxo de caixa abaixo corresponde a um projeto de 
investimento (com os valores em reais), em que se apurou uma taxa interna de 
retorno igual a 20% ao ano. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヰ 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 10.368,00 
(B) R$ 11.232,00 
(C) R$ 12.096,00 
(D) R$ 12.960,00 
(E) R$ 13.824,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se neste fluxo de caixa a TIR = 20%, então o VPL é zero quando essa taxa 
de juros é utilizada: 
1 2 3
Valor atual das entradas - Valor atual dos desembolsos
2 30 = (5 13500)
(1 20%) (1 20%) (1 20%)
VPL
X X X X

   
  
 
 
 Para facilitar as contas, podemos multiplicar todos os termos da equação 
acima por (1 + 20%)3: 
2 1 30 = X (1,2) 2 (1,2) 3 (5 13500) (1,2)
0 1,44 2,4 3 (8,64 23328)
1,8 23328
12960
X X X
X X X X
X
X
      
    


 
Resposta: D. 
 
9. FCC – SEFIN/RO – 2010) Considere o fluxo de caixa abaixo referente a um 
projeto em que o desembolso inicial foi de R$ 25.000,00. A uma taxa de atratividade 
de 20% ao ano, o índice de lucratividade do projeto apresenta um valor de 1,176. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヱ 
 
O valor de X é igual a 
(A) R$ 12.000,00 
(B) R$ 13.200,00 
(C) R$ 14.400,00 
(D) R$ 15.000,00 
(E) R$ 17.280,00 
RESOLUÇÃO: 
 Dizer que o índice de lucratividade é 1,176 equivale a dizer que o valoratual 
das entradas é igual a 1,176 vezes o custo do projeto, isto é, 1,176 x 25000 = 
29400. Portanto, 
1 2
2160029400
1,2 1,2
29400 15000
1,2
17280
X
X
X
 
 

 
Resposta: E 
 
10. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) O instrumento que permite equalizar o 
valor presente de um ou mais pagamentos (saídas de caixa) com o valor presente 
de um ou mais recebimentos (entradas de caixa) é a(o) 
(A) taxa de retorno sobre o investimento 
(B) taxa interna de retorno 
(C) lucratividade embutida 
(D) valor médio presente 
(E) valor futuro esperado 
RESOLUÇÃO: 
 A taxa interna de retorno é aquela que torna o VPL = 0 , isto é, torna o valor 
atual das entradas igual ao valor atual dos desembolsos (saídas). Letra B. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヲ 
Resposta: B 
 
11. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A Cia. Renovar S/A encontra-se em 
fase de avaliação de propostas de investimentos de capital, como segue. 
 
Admitindo-se que o orçamento de capital esteja limitado a R$ 11.500.000,00, as 
alternativas que, somadas, apresentam maior Valor Presente Líquido são: 
(A) P + Q + T 
(B) P + R + S 
(C) P + Q + S 
(D) P + Q + R 
(E) Q + R + S + T 
RESOLUÇÃO: 
 O valor presente líquido de cada alternativa de investimento é dada pela 
diferença entre o valor atual das entradas (coluna “valor presente dos benefícios 
líquidos de caixa”) e o valor atual dos desembolsos (coluna “investimento 
necessário”). Calculando o VPL de cada investimento, temos: 
 
P  VPL = 7475000 – 5750000 = 1.725.000 
Q  VPL = 2530000– 2300000 = 230.000 
R VPL = 1207000 – 1150000 = 57.000 
S VPL = 5635000 – 4600000 = 1.035.000 
T VPL = 4140000 – 3450000 = 690.000 
 
 Nosso orçamento está limitado em 11.500.000 reais, isto é, a soma dos 
investimentos necessários não pode ser superior a este valor. Para cada alternativa 
de resposta, vamos calcular a soma dos VPLs e a soma dos investimentos: 
Alternativa Soma dos VPLs Soma dos investimentos 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン 
(A) P + Q + T 2645000 11500000 
(B) P + R + S 2817000 11500000 
(C) P + Q + S 2990000 12650000 
(D) P + Q + R 2012000 9200000 
(E) Q + R + S + T 2012000 11500000 
 
 Veja que a letra C apresenta o maior VPL, porém ela “estoura” o orçamento, 
pois o investimento necessário é superior a 11500000. Assim, devemos escolher a 
alternativa B, que proporciona o segundo maior VPL e não estoura o orçamento. 
 Resposta: B. 
 
12. FCC – ISS/SP – 2012) Para a aquisição de um equipamento, uma empresa tem 
duas opções, apresentadas na tabela abaixo. 
 
 
Utilizando-se a taxa de 20% ao ano, verifica-se que o módulo da diferença entre os 
valores atuais das opções X e Y, na data de hoje, é: 
a) zero 
b) R$ 1.041,00 
c) R$ 2.056,00 
d) R$ 2.085,00 
e) R$ 2.154,00 
RESOLUÇÃO: 
 Para avaliar as alternativas, devemos trazer todos os valores para o 
presente, isto é, calcular todos os valores atuais. Em cada caso, temos 2 fontes de 
desembolsos (o custo inicial e a manutenção anual) e uma entrada de recursos (o 
valor residual, que é aquele obtido com a venda do equipamento após os 12 anos 
de uso). Foi dito que a taxa a ser utilizada é de 20% ao ano, e, para facilitar os 
cálculos, foram fornecidos os valores de (1+20%)12 e o fator de valor atual 
12 20% 4,44a   . Assim, vejamos cada opção: 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヴ 
OPÇÃO X: 
- Soma dos desembolsos (valores atuais): 
12 20%15000 1000 15000 1000 4,44 19440Desembolsos a reais       
- Soma das entradas (valores atuais): 
12
1495, 20 1495,20 168
(1, 20) 8,9
Entradas    
 Deste modo, Entradas – Desembolsos = 168 – 19440 = -19272 reais 
 
OPÇÃO Y: 
- Soma dos desembolsos (valores atuais): 
12 20%12000 1200 12000 1200 4,44 17328Desembolsos a reais       
- Soma das entradas (valores atuais): 
12
996,80 996,80 112
(1, 20) 8,9
Entradas    
 Deste modo, Entradas – Desembolsos = 112 – 17328 = -17216 reais 
 
 Portanto, a diferença, em módulo, entre as duas opções é de: 
19272 17216 2056  
Resposta: C 
 
13. FCC – SEFAZ/SP – 2006) A representação gráfica abaixo corresponde ao fluxo 
de caixa de um projeto de investimento com a escala horizontal em anos. 
 
Se a taxa interna de retorno referente a este projeto é igual a 10% ao ano e (X+Y) = 
R$10.285,00, tem-se que X é igual a: 
a) R$3.025,00 
b) R$3.267,00 
c) R$3.388,00 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヵ 
d) R$3.509,00 
e) R$3.630,00 
RESOLUÇÃO: 
 Se X + Y = 10285, então podemos dizer que Y = 10285 – X. 
Como a TIR é 10% ao ano, sabemos que o VPL será igual a zero quando 
trouxermos todos os valores deste fluxo de caixa para a data inicial, descontando à 
taxa de 10% ao ano. Isto é, 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
1 2 3
2200 102850 10000
(1 10%) (1 10%) (1 10%)
X X
   
  
 
 
 Multiplicando todos os membros desta equação por (1 + 10%)3, temos: 
2 1 30 2200 (1 10%) (1 10%) (10285 ) 10000 (1 10%)X X           
0 2662 1,1 10285 13310X X     
13310 10285 2662 0,1X   
3630X reais 
Resposta: E 
 
14. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere o fluxo de caixa a seguir, com os valores 
em reais. 
 
Se a taxa interna de retorno deste fluxo é igual a 8%, o valor de X é igual a 
(A) R$ 5.230,00 
(B) R$ 5.590,00 
(C) R$ 5.940,00 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヶ 
(D) R$ 6.080,00 
(E) R$ 6.160,00 
RESOLUÇÃO: 
 Como a TIR é igual a 8%, podemos trazer todos os valores do fluxo acima 
para a data inicial, sabendo que o valor do VPL será igual a zero: 
VPL = Valor atual das entradas – Valor atual das saídas 
1 2
1080 (2 1380)
(1 8%) (1 8%)
X X X   
 
 
 
 Multiplicando todos os membros por (1 + 8%)2, temos: 
 1 20 (1 8%) 108 (2 1380) (1 8%)X X X         
0 1,08 108 2,3328 1609,63X X X     
0,2528X = 1501,63 
X = 5939,99 reais  aproximadamente 5940 reais 
Resposta: C 
 
15. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a tabela abaixo, que apresenta valores de: 
 
Uma determinada peça pode ser produzida indistintamente pela máquina A ou pela 
máquina B. Uma empresa deseja produzir essa peça e tem hoje duas opções: 
 
Opção I) Adquirir a máquina A pelo preço à vista de R$ 10.000,00, com custo de 
manutenção anual de R$ 1.800,00, vida útil de 8 anos e valor residual de R$ 
2.691,91, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais): 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA Pっ ICMSどSP 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΑ 
 
Opção II) Adquirir a máquina B pelo preço à vista de R$ 8.500,00, com custo de 
manutenção anual de R$ 2.000,00, vida útil de 8 anos e valor residual de R$ 
1.631,46, representada pelo fluxo de caixa abaixo (valores em reais): 
 
Se AI e AII são respectivamente os módulos dos valores atuais dos fluxos das 
opções I e II, na data de hoje, com uma taxa mínima de atratividade de 30% ao ano,então 
 
RESOLUÇÃO: 
 Os valores atuais destes fluxos são os valores presentes líquidos (VPLs) de 
cada um deles, afinal devemos obter o valor atual de todas as entradas e saídas de 
capital em cada caso e, então, subtraí-las. Vejamos: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΒ 
 Cálculo do valor atual da opção I: 
 
A saída de 10000 reais já se encontra na data inicial, portanto este é o seu 
valor atual. Para trazer as 8 saídas de 1800 reais para a data inicial, podemos 
utilizar o “fator de valor atual para uma série de pagamentos iguais” an¬j , para n = 8 
pagamentos e j = 30% ao ano. Como a8¬30% = 2,9247, temos: 
VP = a8¬30% x P = 2,9247 x 1800 = 5264,46 reais 
 
 Já o recebimento de R$2691,91, relativos ao valor residual da máquina, pode 
ser trazido para a data inicial com auxílio do fator de acumulação de capital (1+i)n 
fornecido pelo enunciado: 
8
2691,91 2691,91 330,00
(1 30%) 8,1573
VP   

 
 Assim, o valor presente líquido desta opção é: 
VPLI = 330 – (10000 + 5264,46) = -14934,45 reais 
 
 
 Cálculo do valor atual da opção II: 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΓ 
A saída de 8500 reais já se encontra na data inicial, portanto este é o seu 
valor atual. Para trazer as 8 saídas de 2000 reais para a data inicial, podemos 
utilizar o “fator de valor atual para uma série de pagamentos iguais” an¬j , para n = 8 
pagamentos e j = 30% ao ano. Como a8¬30% = 2,9247, temos: 
VP = a8¬30% x P = 2,9247 x 2000 = 5849,40 reais 
 
 Já o recebimento de R$1631,46, relativos ao valor residual da máquina, pode 
ser trazido para a data inicial com auxílio do fator de acumulação de capital (1+i)n 
fornecido pelo enunciado: 
8
1631,46 1631, 46 200
(1 30%) 8,1573
VP   

 
 Assim, o valor presente líquido desta opção é: 
VPLII = 200 – (8500 + 5849,40) = -14149,40 reais 
 
 Como AI e AII são os módulos dos VPLs, temos que AI = 14934,45 reais e AII 
= 14149,40 reais. Veja que AI – AII = 785,05. 
Resposta: D 
 
16. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um empréstimo foi liquidado através de 
pagamentos de prestações, a uma taxa de juros positiva, corrigidas pela taxa de 
inflação desde a data da realização do referido empréstimo. Verificou-se que o custo 
efetivo da operação foi de 44% e a taxa de inflação acumulada no período foi de 
25%. O custo real efetivo referente a este empréstimo foi de 
(A) 14,4% 
(B) 15,2% 
(C) 18,4% 
(D) 19% 
(E) 20% 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um custo efetivo total ctotal = 44%, e uma inflação de i = 25%. Logo, o 
custo efetivo real creal é obtido assim: 
11
1
total
real
cc
i

 

 
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1 44%1
1 25%real
c  

 
0,152 15, 2%realc   
Resposta: B 
 
17. FCC – Banco do Brasil – 2006) Um financiamento foi contratado, em uma 
determinada data, consistindo de pagamentos a uma taxa de juros positiva e ainda 
corrigidos pela taxa de inflação desde a data da realização do compromisso. O 
custo efetivo desta operação foi de 44% e o custo real efetivo de 12,5%. Tem-se, 
então, que a taxa de inflação acumulada no período foi de 
(A) 16% 
(B) 20% 
(C) 24% 
(D) 28% 
(E) 30% 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um custo efetivo total ctotal = 44%, e um custo efetivo real creal = 
12,5%. Logo, 
11
1
total
real
cc
i

 

 
1 44%1 12,5%
1 i

 

 
1, 441
1,125
i  
0, 28 28%i   
Resposta: D 
 
18. CESPE – CORREIOS – 2011) O departamento de manutenção de 
determinada indústria está preparando uma proposta de projeto de modernização, 
por meio da reforma de suas instalações, da aquisição de novos equipamentos e 
dispositivos e de um software de auxílio ao planejamento e controle da 
manutenção, em um investimento total estimado em R$250.000,00. O engenheiro 
responsável pela proposta de projeto, na análise de sua viabilidade, verificou que, 
para uma taxa de atratividade de 2% ao mês, relativos a juros compostos, espera-
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se, como retorno, um valor R$25.000,00 ao mês durante 12 meses consecutivos, 
sem valor residual. Diante dessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes. 
( ) Se a taxa interna de retorno calculada para o investimento for igual a 2,92%, é 
correto afirmar que o projeto é viável, considerando-se a análise desse índice. 
RESOLUÇÃO: 
A taxa de atratividade é a taxa mínima de retorno pela qual o investidor se 
interessaria pelo investimento. Como a taxa interna de retorno (2,92%) foi 
superior à taxa mínima de atratividade (2%), o projeto é considerado viável. 
Resposta: C 
 
19. CESPE – TRE/BA – 2010) As técnicas de orçamento de capital, quando 
aplicadas aos fluxos de caixa dos projetos de uma empresa, fornecem 
importantes informações para a avaliação de aceitabilidade ou classificação esses 
projetos. 
Lawrence Gitman. Princípios de administração financeira. 12.ª 
ed. São Paulo: Pearson, 2010, p. 380. 
 
Com relação a esse assunto, julgue os itens a seguir. 
( ) A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno mínimo 
necessário para que um projeto deixe inalterado o valor de mercado da empresa. 
 
( ) Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar os que 
representam TIRs superiores ao custo do capital. 
RESOLUÇÃO: 
( ) A taxa utilizada para descontar os fluxos de caixa representa o retorno mínimo 
necessário para que um projeto deixe inalterado o valor de mercado da empresa. 
CORRETO. A taxa de retorno normalmente utilizada em uma análise de 
investimento é a TIR, que iguala os valores presentes das entradas com os valores 
presentes das saídas, tornando o valor presente líquido nulo (VPL = 0). Fazendo 
assim, estamos dizendo que não há alteração no valor presente da empresa, ou 
seja, não há acréscimo nem decréscimo de riqueza – ou seja, o valor de mercado 
da empresa fica inalterado. 
 
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( ) Para aceitar projetos de investimento, a empresa deve julgar os que 
representam TIRs superiores ao custo do capital. 
A taxa interna de retorno, como sabemos, é aquela taxa que torna o valor 
presente dos recebimentos igual ao valor presente dos investimentos. O capital 
utilizado para realizar os investimentos é normalmente oriundo de empréstimos, que 
possuem um custo (juros). Portanto, é preciso que os recebimentos sejam 
suficientes para bancar este custo. Para isto, é preciso que a taxa interna de 
retorno seja superior ao custo de capital (taxa de juros cobrada na captação de 
recursos pela empresa). Item CORRETO. 
Resposta: C C 
 
20. CESPE – ANTAQ – 2009) Acerca de aspectos financeiros dos investimentos, 
julgue os itens que se seguem. 
( ) Se um projeto de investimento for realizado em condições tais que a taxa de 
custo de capital corresponda a valores menores do que a taxa interna de retorno, o 
projeto apresentará uma renda positiva para os investidores. 
( ) Se dois projetos são mutuamente excludentes e o projeto A apresenta fluxo de 
investimentoigual a R$ 1.500.000,00, custo de capital de 10% e fluxo de caixa 
esperado de R$ 2.500.000,00, ele será preferível ao projeto B, se este apresentar 
fluxo de investimento de R$ 2.000.000,00, custo de capital de 15% e fluxo de caixa 
esperado igual a R$ 3.200.000,00. 
( ) Considere um título de renda fixa que ofereça pagamentos de cupons 
semestrais a uma taxa de 16% ao ano, com capitalização semestral, durante 10 
anos, findos os quais deva ser restituído ao titular o valor nominal de R$ 1.000,00. 
Se, depois de dois anos do lançamento do título, a taxa de juros de mercado passar 
a ser de 12% ao ano, com capitalização semestral, o valor de 
comercialização do título passará a ser inferior a R$ 1.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Se um projeto de investimento for realizado em condições tais que a taxa de 
custo de capital corresponda a valores menores do que a taxa interna de retorno, o 
projeto apresentará uma renda positiva para os investidores. 
CORRETO. Se a taxa interna de retorno é superior à taxa de juros que a 
empresa deve pagar ao efetuar um empréstimo (custo de capital), o projeto é viável, 
ou seja, apresentará uma renda positiva para os investidores. 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴン 
 
( ) Se dois projetos são mutuamente excludentes e o projeto A apresenta fluxo de 
investimento igual a R$ 1.500.000,00, custo de capital de 10% e fluxo de caixa 
esperado de R$ 2.500.000,00, ele será preferível ao projeto B, se este apresentar 
fluxo de investimento de R$ 2.000.000,00, custo de capital de 15% e fluxo de 
caixa esperado igual a R$ 3.200.000,00. 
Nesta questão foram fornecidos os valores presentes dos fluxos de caixas de 
entradas (“fluxo de caixa”) e de saídas (“fluxo de investimento”) de cada projeto. 
Assim, podemos calcular facilmente o Valor Presente Líquido de cada um deles: 
 
VPLA = 2500000 – 1500000 = 1000000 reais 
 
VPLB = 3200000 – 2000000 = 1200000 reais 
 
Observe que o projeto B apresenta VPL maior, de modo que este é o mais 
interessante. Assim, este é preferível ao projeto A, ao contrário do que diz o 
enunciado. Lembre-se que o VPL deve ser interpretado como o aumento de riqueza 
(valor de mercado) de uma empresa, portanto quanto maior ele for, melhor. 
Mesmo tendo um custo de capital superior, o projeto B deve ter sido capaz de 
gerar mais entradas / recebimentos, o que resultou em um VPL maior. 
 
Item ERRADO. 
 
( ) Considere um título de renda fixa que ofereça pagamentos de cupons 
semestrais a uma taxa de 16% ao ano, com capitalização semestral, durante 10 
anos, findos os quais deva ser restituído ao titular o valor nominal de R$ 1.000,00. 
Se, depois de dois anos do lançamento do título, a taxa de juros de mercado passar 
a ser de 12% ao ano, com capitalização semestral, o valor de 
comercialização do título passará a ser inferior a R$ 1.000,00. 
Imagine que adquirimos este título que paga cupons à taxa de 16% ao ano. 
Se a taxa de juros do mercado reduzir para 12%, isto faz com que o nosso título 
fique ainda mais atrativo, pois ele oferece retornos melhores do que os do 
mercado. Logo, isto valoriza o nosso título, aumentando o valor de 
comercialização do mesmo. 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヴ 
Item ERRADO. 
Resposta: C E E 
 
21. CESPE – BRB – 2011) Julgue os itens seguintes, referentes a taxa de retorno e 
avaliação de alternativas de investimento. 
( ) Considerando uma renda de 3 pagamentos mensais, iguais e consecutivos, de 
R$ 100,00, à taxa de juros compostos de 5% ao mês, e adotando 0,86 como valor 
aproximado para 1,05-3, é correto afirmar que, nesse caso, o valor presente será 
inferior a R$ 202,32. 
( ) Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros compostos de 
2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a implantação 
de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos dois meses, e adotando 
0,98 e 0,96 como valores aproximados de 1,02-1 e 1,02-2, respectivamente, é 
correto afirmar que o valor presente líquido do referido projeto será superior a 
R$2.750,00. 
( ) A escolha de um projeto envolve a comparação das alternativas de investimento 
e dos parâmetros de rentabilidade. Nesse sentido, um projeto será financeiramente 
recomendável em relação a outros investimentos se a taxa mínima de atratividade 
for superior à taxa interna de retorno. 
( ) Considerando que o investimento de R$ 4.000,00 tenha rendido o pagamento de 
R$ 3.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do segundo mês, e que 
7,55 seja o valor aproximado para 57 então a taxa interna de retorno desse 
investimento foi superior a 35% ao mês. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Considerando uma renda de 3 pagamentos mensais, iguais e consecutivos, de 
R$ 100,00, à taxa de juros compostos de 5% ao mês, e adotando 0,86 como valor 
aproximado para 1,05-3, é correto afirmar que, nesse caso, o valor presente será 
inferior a R$ 202,32. 
 Trazendo estes pagamentos à data presente, temos: 
1 2 3
100 100 100
(1 5%) (1 5%) (1 5%)
VP   
  
 
1 2 3
100 100 100
(1,05) (1,05) (1,05)
VP    
VP = 95,23 + 90,70 + 100x0,86 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヵ 
VP = 271,93 reais 
 
 Item ERRADO. 
 
( ) Considerando que o financiamento de R$ 5.000,00, à taxa de juros compostos de 
2% ao mês e pagamento em duas parcelas mensais, tenha permitido a implantação 
de um projeto com retorno de R$ 4.000,00 em cada um dos dois meses, e adotando 
0,98 e 0,96 como valores aproximados de 1,02-1 e 1,02-2, respectivamente, é 
correto afirmar que o valor presente líquido do referido projeto será superior a 
R$2.750,00. 
 Inicialmente vamos calcular o valor das duas prestações do financiamento. 
Sendo VP = 5000 o valor presente da dívida contraída na data inicial, taxa de juros 
compostos j = 2% ao mês, e chamando de P o valor de cada prestação, temos: 
1 2
1 2
1 2
(1 ) (1 )
5000
(1,02) (1,02)
5000 (1,02) (1,02)
5000 0,98 0,96
5000 1,94
2577,32
P PVP
j j
P P
P P
P P
P
P reais
 
 
 
 
   
   
 

 
 
 Portanto, neste projeto houveram dois pagamentos de P = 2577,32 reais, e 
dois recebimentos de R = 4000 reais, sendo um a cada mês. Assim, em cada mês 
houve um fluxo positivo de: 
Fluxo mensal = 4000 – 2577,32 = 1422,68 reais 
 
Com isto, o VPL deste investimento é dado por: 
1 2
1 2
1422,68 1422,68
(1,02) (1,02)
1422,68 (1,02) 1422,68 (1,02)
1422,68 0,98 1422,68 0,96
2760
VPL
VPL
VPL
VPL reais
 
 
   
   

 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヶ 
 Item CORRETO. 
 
( ) A escolha de um projeto envolve a comparação das alternativas de investimento 
e dos parâmetros de rentabilidade. Nesse sentido, um projeto será financeiramente 
recomendável em relação a outros investimentos se a taxa mínima de atratividade 
for superior à taxa interna de retorno. 
 ERRADO. É preciso que o retorno fornecido pelo investimento seja superior à 
taxa mínima que o investidor exige para se arriscar em um projeto. Portanto, é 
preciso que TIR > Taxa Mínima de Atratividade. 
 
( ) Considerando que o investimento de R$ 4.000,00 tenharendido o pagamento de 
R$ 3.000,00 ao final do primeiro mês e R$ 3.000,00 ao final do segundo mês, e que 
7,55 seja o valor aproximado para 57 então a taxa interna de retorno desse 
investimento foi superior a 35% ao mês. 
Observe que temos um investimento de 4000 reais na data inicial (t = 0), e 
dois recebimentos de 3000 reais nas datas t = 1 e t = 2. Assim, o VPL é dado por: 
VPL = valor presente das entradas – valor presente das saídas 
1 2 0
3000 3000 4000
(1 ) (1 ) (1 )
VPL
j j j
  
  
 
1 2
3000 3000 4000
(1 ) (1 )
VPL
j j
  
 
 
Para obter a taxa interna de retorno (TIR), devemos considerar que o VPL é 
igual a zero. Assim, 
1 2
3000 30000 4000
(1 ) (1 )j j
  
 
 
 
Multiplicando todos os membros dessa equação por (1+j)2 e dividindo-os por 
1000, temos: 
2
2
2
0 3000 (1 ) 3000 4000 (1 )
0 3 (1 ) 3 4 (1 )
0 4 5 2
j j
j j
j j
      
      
   
 
 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΑ 
Temos uma equação de segundo grau com a variável “j”, ou seja, uma 
equação do tipo: 
0 = a.j2 + b.j + c 
 
 Onde a = -4, b = -5 e c = 2. Pela fórmula de Báskara, temos que: 
2
2
4
2
( 5) ( 5) 4 ( 4) 2
2 ( 4)
5 57
8
5 7,55
8
5 7,55 5 7,55 
8 8
1,568 0,318
b b a cj
a
j
j
j
j ou j
j ou j
    


       

 






 
 
 
  
 
 
Como j é uma taxa de juros, ela deve ser um valor positivo. Logo, devemos 
considerar o valor j = 0,318 = 31,8%. E este item encontra-se ERRADO, pois a TIR 
encontrada é inferior a 35%. 
Resposta: E C E E 
 
22. CESPE – TCU – 2009) Considere que uma instituição financeira ofereça as 
seguintes opções de empréstimo: 
I. R$ 40.000,00 – a serem pagos após um mês da contratação do empréstimo em 
uma parcela de R$ 40.600,00; 
II. R$ 20.000,00 – a serem pagos em duas parcelas mensais e iguais, a primeira 
vencendo 1 mês após a contratação do empréstimo, a uma taxa interna de retorno 
de 2%. 
Com base nessas informações e tomando 0,98 e 0,96 como valores aproximados 
de 1,02-1 e 1,02-2, respectivamente, julgue os itens que se seguem. 
( ) Na opção I, a taxa interna de retorno é superior a 1,6%. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA Pっ ICMSどSP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΒ 
Olhando sob a ótica da instituição financeira, na data inicial ela faz um 
desembolso de 40000 reais e, após 1 mês, ela tem um recebimento de 40600 reais. 
Assim, o VPL é dado por: 
1
40600 40000
(1 )
VPL
j
 

 
 
 Para obter a TIR, devemos considerar VPL = 0. Assim, 
1
1
406000 40000
(1 )
4060040000
(1 )
40600(1 )
40000
1 1,015
0,015 1,5%
j
j
j
j
j
 



 
 
 
 
 
Assim, a TIR é igual a 1,5%, sendo este item ERRADO. 
Resposta: E 
 
23. CESPE – CEF – 2010) Uma instituição financeira capta investimentos 
oferecendo a taxa interna de retorno de 5% ao mês. Se, ao investir determinada 
quantia, um investidor fez duas retiradas, uma no valor de R$10.500,00 um mês 
após a data do depósito, e outra, no valor restante de R$11.025,00, dois meses 
após o depósito, então o valor investido foi igual a 
a) R$ 18.000,00. 
b) R$ 18.500,00. 
c) R$ 19.000,00. 
d) R$ 19.500,00. 
e) R$ 20.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
Observe que o investidor efetua um desembolso (investimento), na data 
inicial t = 0, de valor desconhecido, e depois tem dois recebimentos nas datas t = 1 
mês e t = 2 meses. A taxa interna de retorno é j = 5%. Chamando de X o valor do 
investimento inicial, o VPL deste fluxo de caixa é: 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA Pっ ICMSどSP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΓ 
1 2
10500 11025
(1 5%) (1 5%)
VPL X  
 
 
 
 Como estamos usando a taxa interna de retorno, já sabemos quanto deve 
dar o VPL: ZERO! Assim, 
1 2
10500 110250
(1 5%) (1 5%)
10500 11025
1,05 1,1025
10000 10000
20000
X
X
X
X reais
  
 
 
 

 
Resposta: E 
 
24. CESPE – TCE/ES – 2012) Uma empresa lançará um novo produto no mercado 
mediante investimento inicial de R$ 27.000,00. Estima-se que, durante seis meses, 
a partir do primeiro mês de lançamento, esse produto renderá, a cada mês, receitas 
no valor de R$ 5.000,00. 
Com relação a essa situação, julgue os itens subsequentes. 
 
( ) Em face da situação apresentada, é correto afirmar que o valor para 
61 (1 )i
i
  
relativo à taxa interna de retorno (TIR) do investimento é superior a 5,3. 
( ) Considere que o montante do investimento tenha sido financiado por uma 
instituição financeira, a determinada taxa de juros i, de modo que 5,70 seja valor 
aproximado para 
61 (1 )i
i
  . Com base nessas informações, é correto afirmar que o 
empréstimo é viável para a empresa. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Em face da situação apresentada, é correto afirmar que o valor para 
61 (1 )i
i
  
relativo à taxa interna de retorno (TIR) do investimento é superior a 5,3. 
 Calculando o VPL temos: 
VPL = 5000 x a6¬i – 27000 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA Pっ ICMSどSP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヰ 
 Para que “i” seja a TIR, temos VPL = 0: 
0 = 5000 x a6¬i – 27000 
27000 = 5000 x a6¬i 
5,4 = a6¬i 
 


6
6
(1 ) 15,4
.(1 )
i
i i
 
 
 Dividindo o numerador e o denominador do lado direito por (1 + i)6 temos: 
 

61 (1 )5,4 i
i
 
 
 Item CORRETO, pois 5,4 > 5,3. 
 
( ) Considere que o montante do investimento tenha sido financiado por uma 
instituição financeira, a determinada taxa de juros i, de modo que 5,70 seja valor 
aproximado para 
61 (1 )i
i
  . Com base nessas informações, é correto afirmar que o 
empréstimo é viável para a empresa. 
 Note que foi dado o valor do fator de valor atual a6¬i. Assim, o VPL é: 
VPL = 5000 x a6¬i – 27000 
VPL = 5000 x 5,7 – 27000 
VPL = 1500 reais 
 
 Como o VPL é positivo, podemos dizer que há um acréscimo de riqueza para 
a empresa, ou seja, o empréstimo é viável. 
Resposta: C C 
 
25. CESPE – TRE/RJ – 2012) Um construtor comprou um terreno por R$ 10.000,00 
e, três meses depois, construiu, nesse terreno, uma casa popular, gastando 
R$30.000,00. Três meses após a construção ter sido finalizada, a casa foi vendida 
por R$ 60.000,00. Considerando que 1,33 e 1,77 são valores aproximados para 1,13 
e 1,16, respectivamente, julgue os itens seguintes, relativos a situação hipotética 
acima. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA E ESTATÍSTICA Pっ ICMSどSP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヱ 
( ) Caso o construtor, no período em que adquiriu o terreno e construiu a casa, 
tivesse investido os valores gastos no empreendimento em uma aplicação cujo 
rendimento fosse de 10% ao mês, sob o regime de juros compostos, o montante 
dessa aplicação teria sido superior ao obtido por meio da venda da casa na data 
correspondente. 
( ) A taxa interna de retorno do empreendimento foi superior a 30% ao trimestre. 
RESOLUÇÃO: 
( ) Caso o construtor, no período em que adquiriu o terreno e construiu a casa, 
tivesse investido os valores gastos no empreendimento em uma aplicação cujo 
rendimento fosse de 10% ao mês, sob o regime de juros compostos, o montante 
dessa aplicação teria sido superior ao obtido por meio da venda da casa na data 
correspondente.