Licao 04 - TC - Fluxo de Calor

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Aula 4 - TC
Fluxo de
Calor
Objetivos
Condução:
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O cubo
Fluxo de
Calor
Atividades
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Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Qúımica
ENG07020 - Transferência de Calor e Massa I
Aula 4 - Transferência de Calor
Fluxo de Calor
Professor Marcio Schwaab
Prof. Schwaab (DEQUI/UFRGS) ENG07020 - TCM I 17 de agosto de 2020 1 / 12
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Objetivos da Aula
Após esta aula o aluno deve ser capaz de compreender:
1 O fluxo de calor multidimensional
2 Decomposição do vetor de fluxo de calor
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O que já sabemos sobre condução?
A condução é um dos modos de transferência de calor e está ligada à
transferência de energia em ńıvel microscópico; a energia transferida através
das colisões/vibrações dos átomos e moléculas que compõem a matéria.
É a única forma de transferência de calor que ocorre no interior dos sólidos.
Nos fluidos também ocorre, mas geralmente sempre ocorre simultaneamente
com a convecção e radiação.
A equação que descreve este mecanismo de transferência de calor é a Lei de
Fourier:
q
′′
x = −k
dT
dx
Na Lei de Fourier que obtemos, consideramos que a transferência de calor
ocorre somente em uma única direção, x.
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E agora?
Mas como fica a Lei de Fourier se a transferência de calor ocorre em mais de
uma direção?
Bem, vamos considerar um cubo frio colocado em cima de uma placa
aquecida.
Como o calor será transferido da
base ao longo de todo o volume
do cubo?
E como ficam as temperaturas
ao longo do volume?
A transferência de calor ainda
será unidimensional?
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Analisando o cubo
Vamos imaginar o que acontece neste cubo.
Em primeiro lugar, vamos
considerar que todas as faces
que não tocam a placa com
temperatura iguais, T2.
Em segundo lugar, vamos
considerar que a face do cubo
que toca o aquecedor tem
temperatura igual a T1.
É fácil concluir que ao longo do
volume do cubo as temperaturas
estão entre T2 e T1.
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Analisando o cubo
Para facilitar um pouco, vamos usar uma nova variável:
θ∗ =
T − T2
T1 − T2
Agora, na base temos θ∗ = 1 e
nas outras faces θ∗ = 0.
No interior do sólido, o valor de
θ∗ sempre ficará entre 0 e 1.
θ∗ é uma variável chamada de
temperatura adimensional.
Ainda vamos usar bastante esta
variável.
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Simplificando um pouco
Mas e como ficam as temperaturas no volume no estado estacionário?
Para enxergar melhor o que acontece, vamos considerar um plano que cruza o
centro do cubo, conforme indicado na figura.
Neste plano as temperaturas nas
arestas são:
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Perfil de temperatura
Analisado um pouco este problema
e as temperaturas conhecidas,
podemos esboçar as linhas de
temperatura constante, isto é, as
isotermas.
As isotermas intermediárias
seguem, obrigatoriamente a
seguinte ordem:
0 < θ∗3 < θ
∗
2 < θ
∗
1 < 1
Legal...
Mas e como fica o fluxo de
transferência de calor?
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Fluxo de Calor
Sabemos que o fluxo de calor ocorre no sentido decrescente da temperatura.
Assim, ao longo de uma isoterma o fluxo é nulo.
O fluxo ocorre em maior magnitude na direção normal à isoterma.
O fluxo é uma grandeza vetorial e pode
ser decomposto nas direções do espaço.
A forma multidimensional da Lei de
Fourier é:
q
′′
= q
′′
nn = −k
∂T
∂n
Onde n é o vetor unitário na direção do
fluxo, que é normal em relação à
isoterma. Fonte: Figura 2.3, Incropera; 2014
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Fazendo a decomposição do fluxo nas três direções do espaço:
q
′′
= q
′′
x i + q
′′
y j + q
′′
z k
Onde i, j e k são, respectivamente, os vetores unitários nas direções x, y e z.
Os termos de fluxo em cada direção são
definidos como:
q
′′
x = −k
∂T
∂x
q
′′
y = −k
∂T
∂y
q
′′
z = −k
∂T
∂z
Observe que foi considerado que o
material é isotrópico, isto é, o valor da
condutividade térmica, k, é igual em
qualquer direção do fluxo de calor.
Fonte: Figura 2.3, Incropera; 2014
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Fazendo a decomposição do fluxo nas três direções do espaço:
q
′′
= q
′′
x i + q
′′
y j + q
′′
z k = −k
(
∂T
∂x
i +
∂T
∂y
j +
∂T
∂z
k
)
= −k∇T
Esta é a Equação da Taxa (Fluxo) de Condução (ou a Lei de Fourier) em
coordenadas cartesianas.
Nesta Equação, ∇ é o operador gradiente.
Assim, para aplicação em qualquer sistema de coordenadas, podemos
considerar a Lei de Fourier simplesmente como:
q
′′
= −k∇T
A informação necessária para o sistema de coordenadas em uso está contida
no gradiente da temperatura, ∇T , sendo a temperatura T uma função das 3
direções espaciais.
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Atividades Recomendadas
Para complementar esta lição, sugere-se a leitura de:
Incropera - Caṕıtulo 2, Seção 2.1
Çengel - Caṕıtulo 2, Seção 2.1
Aqui a divisão dos dois livros-texto é um pouco diferente. O livro do Çengel
apresenta um texto interessante balanço de energia e geração de calor, além da
definição do fluxo multidimensional. Apesar de não ser o foco desta aula, é uma
leitura interessante e será útil para as próximas aulas.
No livro do Incropera, a definição do fluxo multidimensional para coordenadas
ciĺındricas e esféricas é feita durante a construção dos balanços de energia, ou seja,
nas seções seguintes à seção 2.1.
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