Serie De Exercícios (Álgebra linear)

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Série de Exerćıcios de Economia Quantitativa I
Prof. Daniel Oliveira Cajueiro
Departamento de Economia (UnB)
March 17, 2019
Contents
I Álgebra Linear 3
1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Espaços vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II Noções de Otimização 30
8 Topologia dos reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9 Cálculo e funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10 Noções de análise convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
12 Otimização sem restrições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
13 Otimização com restrições de igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14 Otimização com restrições de desigualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
Essa série de exerćıcios não deve ser a única fonte de exerćıcios do estudante. Se o estu-
dante precisa de muitas repetições para fixar um conceito como, por exemplo, derivadas
parciais (que nem é tratada diretamente aqui, mas aparece muito, por exemplo, em ex-
erćıcios de otimização) ou sistemas lineares (que envolvem escalonamento de matrizes)
ele deve buscar exerćıcios com respostas desse estilo. Fontes comuns desses exerćıcios
repetitivos são os livros da coleção Schaum.
Exerćıcios de otimização serão os únicos exerćıcios repetitivos que aparecerão aqui. Isso
ocorre por dois motivos: (1) É um dos tópicos mais importantes do curso e fundamental
para o entendimento de teoria econômica; (2) É um assunto fim que se não for testado
diretamente, não aparecerá em outro lugar nesse curso (diferente por exemplo de derivadas
parciais que é ferramenta fundamental para outro tópicos como, por exemplo, otimização).
Por outro lado, o livro do Simon-Blume apresenta vários exerćıcios e exemplos com sabor
econômico, que o estudante deve conhecer para fazer um link com as idéias de teoria
econômica discutidas em sala de aula.
Essa série de exerćıcios foi constrúıda a partir de exerćıcios que apareceram em provas
anteriores do curso e deve ser vista como um guia de conceitos que o aluno deve dominar
quando concluir o curso.
2
Part I
Álgebra Linear
3
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
1 Vetores
1 - Seja S o subespaço de R3 caracterizado pela equação 2x+ 3y+ 6z = 0. Construa dois
vetores não nulos de S que sejam mutuamente ortogonais.
Solução:
http://prorum.com/index.php/78
2 - Sejam u, v, w ∈ Rn. Se o vetor u é ortogonal ao vetor v e o vetor v é ortogonal ao
vetor w então isso implica que u é ortogonal a w?
Solução:
http://prorum.com/index.php/85
3 - Seja v um vetor ortogonal a cada um dos vetores v1 e v2. Use as propriedades de
produto interno para mostrar que v é ortogonal a c1v1 + c2v2.
Solução:
http://prorum.com/index.php/87
4 - Prove que a norma no Rn satisfaz a seguinte propriedade, conhecida como desigualdade
triangular: ‖ u+ v ‖≤‖ u ‖ + ‖ v ‖.
Solução:
http://prorum.com/index.php/50
5 - Sejam u e v vetores ortogonais do <n. Então o teorema de Pitágoras é válido, isto é,
||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2?
Solução:
http://prorum.com/index.php/1738
6 - Sejam u e v dois vetores. Como provar que ||u+ v||2 + ||u− v||2 = 2(||u||2 + ||v||2)?
Solução:
http://prorum.com/index.php/834
4
http://prorum.com/index.php/78
http://prorum.com/index.php/85
http://prorum.com/index.php/87
http://prorum.com/index.php/50
http://prorum.com/index.php/1738
http://prorum.com/index.php/834
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2 Matrizes
1 - Sejam A e B matrizes quaisquer de ordem n, então (A+B)2 = A2 + 2AB +B2?
Solução:
http://prorum.com/index.php/90
2 - Sejam duas matrizes A e B. Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0?
Solução:
http://prorum.com/index.php/49
3 - O traço tr de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Mostre que
dadas duas matrizes A e B de ordem n, tr(AB) = tr(BA).
Solução:
http://prorum.com/index.php/48
4 - Determine todas as matrizes que comutam com
A =
 a b
c d
 ,
a, b, c, d ∈ <.
Solução:
http://prorum.com/index.php/47
5 - Uma matriz C de ordem n é dita idempotente quando C2 = C. Se duas matrizes
A e B de ordem n satisfazem AB = A e BA = B então isso implica que A e B são
idempotentes?
Solução:
http://prorum.com/index.php/95
6 - Toda matriz quadrada pode ser escrita como uma soma de uma matriz simétrica e
anti-simétrica?
Solução:
5
http://prorum.com/index.php/90
http://prorum.com/index.php/49
http://prorum.com/index.php/48
http://prorum.com/index.php/47
http://prorum.com/index.php/95
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
http://prorum.com/index.php/97
7 - Mostre que AA′ é uma matriz simétrica.
Solução:
http://prorum.com/index.php/99
8 - Calcule a n-ésima potência de A, sabendo que A é idempotente.
Solução:
http://prorum.com/index.php/101
9 - O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal? Uma matriz quadrada
se diz ortogonal se é inverśıvel e A−1 = A′.
Solução:
http://prorum.com/index.php/105
10 - Se A é uma matriz normal (real) de ordem n e v ∈ <n, então ||Av|| = ||A′v||? [Uma
matriz quadrada (real) é dita ser normal se A′A = AA′.]
Solução:
http://prorum.com/index.php/1740
11 - Duas matrizes A e B são ditas simultaneamente diagonalizáveis se existe uma matriz
M tal que MAM−1 e MBM−1 são ambas matrizes diagonais. Logo, se duas matrizes A
e B são simultaneamente diagonalizáveis, então AB = BA?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2430
12 - Sejam A e B duas matrizes quadradas tais que A+B = AB. Então, podemos afirmar
que A e B comutam?
Solução:
http://prorum.com/index.php/819
13 - Suponha que a serie de matrizes S = I + A + A2 + A3 + · · · convirja. Mostre que
6
http://prorum.com/index.php/97
http://prorum.com/index.php/99
http://prorum.com/index.php/101
http://prorum.com/index.php/105
http://prorum.com/index.php/1740
http://prorum.com/index.php/2430
http://prorum.com/index.php/819
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
S = (I − A)−1, quando a inversa de (I − A) existir.
Solução:
http://prorum.com/index.php/103
14 - Seja A uma matriz de ordem n idempotente (isto é, A2 = A). Logo, pode-se dizer
que se A é inverśıvel, então A = I?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2436
15 - Existe alguma matriz inverśıvel A tal que A = 0 (matriz nula)? Justifique.
Solução:
http://prorum.com/?qa=4017/existe-alguma-matriz-inversivel-tal-matriz-nula-justifique
7
http://prorum.com/index.php/103
http://prorum.com/index.php/2436
http://prorum.com/?qa=4017/existe-alguma-matriz-inversivel-tal-matriz-nula-justifique
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
3 Sistemas lineares
1 - Seja A uma matriz de ordem n×n, 0n um vetor coluna de ordem n cujos elementos são
nulos e b um vetor coluna de ordem n. Considere o sistema homogêneo Ax = 0. Se esse
sistema só possui solução trivial, então isso implica que o sistema Ax = b possui solução
única?
Solução:
http://prorum.com/index.php/107
2 - Para toda matriz A de ordem 3×2 existe um vetor b de ordem 3 × 1 tal que Ax = b
não tem soluçãox?
Solução:
http://prorum.com/index.php/109
3 - Se Ax = 0 tem uma solução xh e Ax = b tem um solução xnh, então xh+xnh é solução
de Ax = b.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2730
4 - Considere o sistema linear Ax = b, onde
A =

1 1 1
1 2 3
2 5 8
 .
e b = (1, 2, b3). Quais os valores de b3 que fazem com que o sistema linear tenha solução?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2973
5 - [Abadir-Magnus] Quais os valores de α e β que garantem que o sistema abaixo tenha
(a) Solução; (b) Solução Única.
αx1 + βx2 + 2x3 = 1
αx1 + (2β − 1)x2 + 3x3 = 1
8
http://prorum.com/index.php/107
http://prorum.com/index.php/109
http://prorum.com/index.php/2730
http://prorum.com/index.php/2973
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
αx1 + βx2 + (β + 3)x3 = 2β − 1
Solução:
http://prorum.com/index.php/3133
6 - Considere o sistema linear Ax = b, onde A é uma matriz de ordem 3 dada por
A =

0 1 1
2 3 5
2 4 6
 .
Marque a alternativa FALSA:
(a) Se b é o vetor nulo, então o sistema tem infinita soluções.
(b) Existe b tal que o sistema não tem nenhuma solução.
(c) Existe b tal que o sistema tem solução única.
(d) Existe b não-nulo tal que o sistema possui solução.
(e) A matriz A NÃO é linha equivalente a matriz identidade.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3135
7. Considere o sistema linear Ax = b e a matriz A de ordem 3× 3 dada por
A =

1 2 3
4 5 6
5 7 9
 .
Marque a alternativa FALSA:
(a) Se b é o vetor nulo, então o sistema possui infinitas soluções.
(b) Seja b = (b1, b2, b3)
′. Apenas os sistemas lineares que possuem vetores b cujas coorde-
nadas satisfazem b3 = b1 + b2 possuem solução.
(c) As linhas de A formam um conjunto de vetores linearmente dependentes.
(d) A matriz A é o produto de matrizes elementares.
(e) A forma reduzida escalonada de A possui uma linha nula.
(f) O posto de A é 2.
Solução:
9
http://prorum.com/index.php/3133
http://prorum.com/index.php/3135
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http://prorum.com/index.php/3346
10
http://prorum.com/index.php/3346
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4 Determinantes
1 - É nulo o determinante de uma matriz cujas colunas são linearmente dependentes?
Solução:
http://prorum.com/index.php/111
2 - Seja H uma matriz 4 × 4 idempotente, simétrica e não singular. Seja L uma matriz
4× 4 ortogonal. Calcule o determinante de (H ′HL′L).
Solução:
http://prorum.com/index.php/113
3 - Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A2 = A. Se A é uma matriz idempo-
tente, então ela é singular?
Solução:
http://prorum.com/index.php/115
4 - Uma matriz quadrada A é dita nilpotente, se existe um escalar k tal que Ak = 0. Se
A é uma matriz nilpotente, então ela é singular?
Solução:
http://prorum.com/index.php/117
5 - Uma matriz A é anti-simétrica se A = −A′. Se A é uma matriz anti-simétrica então
o seu determinante é nulo.
Solução:
http://prorum.com/index.php/119
6 - Sejam A e C matrizes de ordem n tais que det(I + C−1A) = 1
3
e det(A)=5. Sabendo
que B = 3(A−1 + C−1)t então calcule det(B).
Solução:
http://prorum.com/index.php/121
7 - Se M é uma matriz quadrada inverśıvel de ordem n tal que det(M2 −M) = 0, então
existe um vetor não-nulo X, de ordem n× 1, tal que MX = X.
11
http://prorum.com/index.php/111
http://prorum.com/index.php/113
http://prorum.com/index.php/115
http://prorum.com/index.php/117
http://prorum.com/index.php/119
http://prorum.com/index.php/121
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
Solução:
http://prorum.com/index.php/123
8 - Seja A = [aij] uma matriz de ordem 5× 5 tal que todos os elementos da terceira linha
dessa matriz valem 3. Seja B = [aij + 2], isto é, B foi criado a partir de A somando duas
unidades a cada elemento de A. Quanto vale α tal que det(B) = α ∗ det(A)?
Solução:
http://prorum.com/index.php/125
9 - Quanto vale o determinante de uma matriz ortogonal?
Solução:
http://prorum.com/index.php/127
10 - Uma matriz de permutação é uma matriz obtida a partir da permutação de linhas
ou colunas da matriz identidade.
Considere que a matriz A seja uma matriz de permutação de ordem n. Então,
a) O produto de matrizes de permutação é uma matriz de permutação.
b) O determinante de A pode ser positivo ou negativo.
c) Para todo v ∈ <n, então ||v|| = ||Av||.
d) Sejam S = {v ∈ <n|
∑n
i=1 vi = 1} e T : <n → <n dada por T (v) = Av deixa o conjunto
S invariante, isto é, T (S) ⊆ S.
e) A matriz de permutação A é uma matriz ortogonal, isto é, AA′ = I
Solução:
http://prorum.com/index.php/2763
11 - Sejam A =

a 1 d
b 1 e
c 1 f
, B =

a 1 d
b 2 e
c 3 f
 e C =

a 1 d
b −1 e
c −3 f
. Sabendo que
det(A) = −5 e det(B) = −3, quanto vale det(C)?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2738
12 - Seja A = [aij] uma matriz de ordem n constrúıda da seguinte forma:
12
http://prorum.com/index.php/123
http://prorum.com/index.php/125
http://prorum.com/index.php/127
http://prorum.com/index.php/2763
http://prorum.com/index.php/2738
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
aij =
2
n
− δij,
onde δij = 1 quando i = j e δij = 0 em caso contrário.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2440
13 - Calcule o determinante An dessa sequencia:
A1 = [1]
A2 =
 1 −1
1 1
 .
A3 =

1 −1 0
1 1 −1
0 1 1
 .
A4 =

1 −1 0 0
1 1 −1 0
0 1 1 −1
0 0 1 1
 .
Solução:
http://prorum.com/index.php/1748
14 - Seja
A =

a b c 16
1 0 0 5
1 1 0 e
0 1 1 f
 .
Sabendo que determinante de A vale 84. Quanto vale se substituirmos o 16 acima por
100?
Solução:
13
http://prorum.com/index.php/2440
http://prorum.com/index.php/1748
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
http://prorum.com/index.php/1744
15 - O cálculo do determinante deve ser para uma ordem qualquer.
A2 =
 1 2
2 1

A4 =

1 0 0 2
0 1 2 0
0 2 1 0
2 0 0 1

A6 =

1 0 0 0 0 2
0 1 0 0 2 0
0 0 1 2 0 0
0 0 2 1 0 0
0 2 0 0 1 0
2 0 0 0 0 1

Solução:
http://prorum.com/index.php/956
16 - Calcule o determinante da seguinte matriz de ordem n

a b b · · · b
b a b · · · b
b b a · · · b
...
...
...
...
...
b b b · · · a

em função dos valores de a, b e n.
Solução:
http://prorum.com/index.php/836
17 - Seja A uma matriz quadradas que satisfaz A2 − A− I = 0. Então o sistema Ax = b
tem solução única?
14
http://prorum.com/index.php/1744
http://prorum.com/index.php/956
http://prorum.com/index.php/836
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
Solução:
http://prorum.com/index.php/823
18 - Suponha que B é inverśıvel. Então det(I − AB) = det(I −BA).
Solução:
http://prorum.com/index.php/815
19 - Quanto vale o determinante de (B−BAB) sabendo que A =

1 2 3
4 5 6
7 8 9
 e B é uma
matriz idempotente não-singular.
OBS: Uma matriz é idempotente se A2 = A.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3145
20 - Sejam D =

d 0 0
0 2 0
0 0 3
 e P =

7 0 2
0 1 0
2 0 5
. Sabe-se que A = P−1DP e que
det(A2 + A) = 1440. Quando vale d?
Solução:
http://prorum.com/index.php/3356
15
http://prorum.com/index.php/823
http://prorum.com/index.php/815
http://prorum.com/index.php/3145
http://prorum.com/index.php/3356
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
5 Espaços vetoriais
1 - Em um espaço euclidiano, isto é, em um espaço vetorial real dotado de produto interno,
dois vetores não nulos e ortogonais são linearmente independentes? O contrário também
é válido?
Solução:
http://prorum.com//index.php/139
2 - Considere o de todas as matrizes de ordem 2 que satisfazem o sistema AX = 0 para
X =
 1
2
. Verifique se esseconjunto é um subespaço vetorial. Em caso positivo,
calcule uma base para esse subespaço.
Solução:
http://prorum.com//index.php/141
3 - O subespaço vetorial de polinômios P (x) com grau menor ou igual a 3 que zera em
x = 1 possui dimensão 3?
Solução:
http://prorum.com//index.php/143
4 - Considere o conjunto das matrizes Mmn com elementos em <.
a) Mostre que esse conjunto é um espaço vetorial em relação as operações de adição de
matrizes e multiplicação por escalar.
b) Mostre que as matrizes
E1 =
 1 0
0 0
 , E2 =
 0 1
0 0
 , E3 =
 0 0
1 0
 , E4 =
 0 0
0 1

são uma base para o espaço M22. Qual é a dimensão desse espaço vetorial? Escreva a
matriz  1 2
3 4

como uma combinação linear dos vetores geradores da base acima.
16
http://prorum.com//index.php/139
http://prorum.com//index.php/141
http://prorum.com//index.php/143
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
d) Defina o produto interno entre duas matrizes no espaço Mmn como
〈A,B〉 =
∑
i
∑
j
aijbij = trA
′B
onde tr refere-se ao traço de uma matriz quadrada que é a soma dos elementos da diagonal
principal. Mostre que essa definição satisfaz as propriedades de produto interno definidas
em sala.
e) Use a definição de produto interno acima para definir uma norma entre duas matrizes
como foi feito em sala para os espaço vetorial <n. Verifique se sua definição satisfaz as
propriedades usuais de norma:
e1) ||x|| ≥ 0;
e2) ||x|| = 0⇔ x = 0;
e3) ||αx|| = α||x||;
e4) |〈x, y〉| ≤ ||x||||y||
e5) Desigualdade triangular: ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||
Solução:
http://prorum.com//index.php/145
5 - Seja V um espaço vetorial e sejam W e U subespaços de V . Então W ∩ U também é
um subespaço vetorial de V ?
Solução:
http://prorum.com//index.php/147
6 - Seja V um espaço vetorial e sejam W e U subespaços de V . Então W ∪ U também é
um subespaço vetorial de V ?
Solução:
http://prorum.com//index.php/149
7 - Sejam S o subespaço gerado pelos vetores do conjunto {(2, 5, 3), (1, 0, 2)} e T o sube-
spaço gerado pelos vetores do conjunto {(2, 0, 5), (3, 5, 5)}
a) A intersecção de S e T é um subespaço vetorial? Justifique sua resposta com todos os
detalhes?
Se (a) é verdadeiro:
17
http://prorum.com//index.php/145
http://prorum.com//index.php/147
http://prorum.com//index.php/149
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
b) Calcule uma base para S ∩ T?
c) Calcule a dimensão de S ∩ T .
Solução:
http://prorum.com//index.php/2736
8 - Suponha que {v1, · · · , vn} é uma base para o espaço vetorial V que possui dimensão
finita maior ou igual a 3. Então, {v1 + v2, v2 + v3, · · · , vn−1 + vn, vn + v1} é também uma
base para V ?
Solução:
http://prorum.com//index.php/2734
9 - Existem vetores v e w linearmente independentes tais que v e (v+w) são linearmente
dependentes?
Solução:
http://prorum.com//index.php/2724
10 - Seja A = BC onde B é uma matriz de ordem m × r e C é uma matriz de ordem
r×n. Então a i-ésima linha A é uma combinação linear das r linhas de C com coeficientes
dados pela i-ésima linha de B. Esse resultado implica que as r linhas de C formam uma
base para o espaço gerado pelas m linhas de A.
Solução:
http://prorum.com//index.php/2718
11 - Seja V o conjunto de matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz
A =
 0 1
2 0
 .
Pergunta-se:
a) V é um subespaço de M22?
Se (a) for verdadeiro:
b) Apresente uma base para esse subespaço.
c) Qual a dimensão desse subespaço?
18
http://prorum.com//index.php/2736
http://prorum.com//index.php/2734
http://prorum.com//index.php/2724
http://prorum.com//index.php/2718
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
Solução:
http://prorum.com//index.php/2442
12 - Os vetores (v1, v2 − v1, · · · , vn − v1) serem LI, implica que (v1, v2, · · · , vn) são LI?
Solução:
http://prorum.com//index.php/825
13 - Eu sei que todo conjunto-solução de sistema homogêneo é subespaço vetorial. A
rećıproca é válida?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2790
14 - Considere os conjuntos V = {(x, x, y)|x, y ∈ R} e U = {(x, x, x)|x ∈ R} . (a) Mostre
que V é subespaço do R3. (b) Mostre que U é subespaço do V . (c) A união destes
subespaços U ∪V é um subespaço do R3 ? (d) Determine um subespaço W do R3 tal que
sua união com V não seja um subespaço do R3.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3129
15. Seja V o espaço vetorial de matrizes de ordem n e W o subespaço vetorial de V
formado apenas por matrizes simétricas.
Marque a alternativa FALSA:
(a) A dimensão de W é n(n+ 1)/2.
(b) Se A,B ∈ W e AB = BA então AB ∈ W .
(c) Se A,B,AB ∈ W então AB = BA.
(d) Seja A ∈ V então AA′ ∈ W .
(e) Se n = 2 então uma base para W é

 0 1
1 0
 ,
 1 0
0 0
 ,
 0 0
0 1

(f) Suponha que A ∈ W e det(AA′) = 1, então det(A) = 1.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3348
16. ( ) Considere as afirmativas abaixo e diga se elas são verdadeiras ou falsas. Todos os
19
http://prorum.com//index.php/2442
http://prorum.com//index.php/825
http://prorum.com/index.php/2790
http://prorum.com/index.php/3129
http://prorum.com/index.php/3348
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
vetores ou conjuntos dessa questão estão definidos no Rn:
(i) Se {v1, · · · , vn} é uma base para o Rn, então {v1−v2, v2−v3, · · · , vn−1−vn, vn} também
é.
(ii) Sejam U e V subconjuntos do Rn linearmente independentes. Se nenhum elemento
de U pode ser escrito como combinação linear de V e vice-versa, então o conjunto U ∪ V
é linearmente independente.
(iii) Se u é tal que u · v = 0 para todo v ∈ Rn então u = 0.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3350
17. ( ) Sejam u e v vetores Linearmente Independentes (LI) do Rn e f : [0, 1]→ Rn dada
por f(λ) = (1− λ)u+ λv. Encontre as verdadeiras.
(i) Para todo λ ∈ [0, 1], f(λ) 6= 0.
(ii) Para todo λ, µ ∈ [0, 1], λ 6= µ, f(λ) e f(µ) são vetores LI.
(iii) A função g : [0, 1]→ Rn, definida por g(λ) = f(λ)/||f(λ)|| é injetora.
Solução:
http://prorum.com/?qa=3829/
18. Considere o conjunto de todos os vetores que são ortogonais as colunas da matriz
B =

11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44

a) Esse conjunto é um subespaço vetorial? Justifique.
b) Se (a) for verdadeira, encontre uma base para esse subespaço.
Solução:
http://prorum.com/?qa=3837/
20
http://prorum.com/index.php/3350
http://prorum.com/?qa=3829/
http://prorum.com/?qa=3837/
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
6 Transformações lineares
1- O funcional definido no <n dado por Tv(x) = v · x, para um v ∈ <n fixo, é linear?
Solução:
http://prorum.com//index.php/151
2 - O determinante de uma matriz quadrada A de ordem n é nulo. Logo, o núcleo do
operador linear T : <n → <n dada por T (x) = Ax possui apenas o vetor nulo?
Solução:
http://prorum.com//index.php/153
3 - Uma matriz quadrada A é dita ortogonal se A′A = AA′ = I. Transformações lineares
dadas por matrizes ortogonais sempre preservam as normas dos vetores, isto é, ||Ax|| =
||x||?
Solução:
http://prorum.com//index.php/155
4 - Uma matriz quadrada A é dita nilpotente, se existe um escalar k tal que Ak = 0. Seja
T : <n → <n um operador linear tal que T (x) = Ax, onde A é uma matriz nilpotente.
Então o núcleo de T possui apenas o vetor nulo?
Solução:
http://prorum.com//index.php/157
5 - Uma matriz quadrada A de ordem n é dita nilpotente, se existe um escalar k tal que
Ak = 0. Seja T : <n → <n uma transformação linear definida por T (x) = Ax. Então a
imagem de T é o <n?
Solução:
http://prorum.com//index.php/159
6 - Seja T : Pn → Pn−1. O núcleo da transformação linear dada por T (p(x)) = dP (x)dx tem
dimensão nula?
Solução:
21
http://prorum.com//index.php/151
http://prorum.com//index.php/153
http://prorum.com//index.php/155
http://prorum.com//index.php/157http://prorum.com//index.php/159
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
http://prorum.com//index.php/163
7 - Dada a matriz
M =
 m11 m12
m21 m22

e
tr(M) = m11 +m22
O śımbolo tr(M) : M(2, 2) → < é lido traço de M. É a imagem de M por uma trans-
formação linear em <. Seja N o núcleo dessa transformação linear. Construa uma base
de N .
Solução:
http://prorum.com//index.php/165
8 - Seja T um operador linear definido no espaço de matrizes de ordem n dado por
T (A) = 1
2
(A+ A′).
a) Qual a dimensão do núcleo de T?
b) Qual a dimensão da imagem de T?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2765
9 - Seja T : Rn → Rn uma transformação linear. Se o núcleo de T é igual a imagem de T
então n precisa ser par?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2728
10 - Seja T : V → W uma transformação linear. Se u, v, w ∈ V são linearmente depen-
dentes, então T (u), T (v) e T (w) ∈ W também são?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2726
11 - Se uma transformação linear T(x)=Ax é injetora, então A possui m linhas indepen-
dentes?
22
http://prorum.com//index.php/163
http://prorum.com//index.php/165
http://prorum.com/index.php/2765
http://prorum.com/index.php/2728
http://prorum.com/index.php/2726
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
Solução:
http://prorum.com/index.php/2722
12 - Seja S(x) = Ax e T (x) = ABx transformações lineares, onde A e B são matrizes
cujas ordens permitem o produto AB. Logo, Logo, I(T ) ⊆ I(S).
Solução:
http://prorum.com/index.php/2434
13 - Seja A uma matriz de ordem n e A′ sua transposta:
a) Sejam S(x) = Ax e T (x) = A′x operadores lineares. Logo, pode-se dizer que se
u ∈ I(S) e v ∈ N (T ) então u e v são ortogonais?
b) Seja S(x) = A′x e T (x) = AA′x operadores lineares. Logo, pode-se dizer que N (T ) =
N (S)?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2432
14 - Calcule o operador T : <2 → <2, dado por T (x) = Ax, que tenha como imagem e
como núcleo o eixo x.
Solução:
http://prorum.com/index.php/1746
15 - Dado um operador linear T : <n → <n, dada por T (x) = Ax. Se A2 = 0, então
Im(T ) ⊂ N (T )?
Solução:
http://prorum.com/index.php/1736
16 - Dado um operador linear T : <n → <n, dada por T (x) = Ax, e N o núcleo de T . Se
y = T (x) ∈ N , então Ay = A2x = 0?
Solução:
http://prorum.com/index.php/1734
17 - Seja v = (1, 2) um vetor do <2. Seja M2 o espaço vetorial de matrizes de ordem 2×2.
a) Encontre o subespaço vetorial de matrizes de ordem 2×2 que para todo A pertencente
23
http://prorum.com/index.php/2722
http://prorum.com/index.php/2434
http://prorum.com/index.php/2432
http://prorum.com/index.php/1746
http://prorum.com/index.php/1736
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Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
a esse subespaço, v pertença ao núcleo da transformação linear T : <2 → <2 definida por
T (x) = Ax.
b) Encontre uma base para esse subespaço.
c) Qual a dimensão desse subespaço?
Solução:
http://prorum.com/index.php/838
18 - Seja T : <3 → <2 uma transformação linear dada por T (x) = Ax, onde
A =
 1 2 3
4 5 6
 .
Qual a dimensão do núcleo?
Solução:
http://prorum.com/index.php/830
19 - Sejam f, g : V → < funcionais lineares em um espaço de dimensão finita. Se f é
múltiplo de g (isto é, f(x) = αg(x) para α ∈ < e α 6= 0), então eles possuem o mesmo
núcleo?
Solução:
http://prorum.com/index.php/828
20 - Seja T : P4 → P4 dada por T (p(x)) = d
2p(x)
dx2
. Encontre o núcleo e a imagem dessa
transformação.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2971
21 - Considere a matriz A definida abaixo:
A =

1 2 3
4 5 6
7 8 9
 .
Marque a alternativa VERDADEIRA:
24
http://prorum.com/index.php/838
http://prorum.com/index.php/830
http://prorum.com/index.php/828
http://prorum.com/index.php/2971
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
(a) O sistema linear Ax = 0 possui solução única.
(b) O determinante de A é diferente de zero.
(c) A matriz A é linha equivalente a matriz identidade.
(d) Todas as linhas de A são linearmente independentes.
(e) A imagem da transformação linear T : R3 → R3, dada por T (x) = Ax, é um subespaço
do R3.
(f) O núcleo da transformação linear T : R3 → R3, dada por T (x) = Ax, é o vetor nulo.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3137
22 - Seja T : R3 → R uma transformação linear dada por Tv(x) = v · x, onde v = (1, 2, 3).
Pode-se afirmar que:
(i) O núcleo de T é formado pelo vetor nulo e o conjunto de todos os vetores ortogonais
a v.
(ii) A dimensão da imagem de T é 1.
(iii) A dimensão do núcleo de T é 3.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3139
23 - Seja T : P2 → R uma transformação linear dada por T (ax2 + bx + c) = a. Calcule
uma base para o núcleo de T e explicite o valor da dimensão do núcleo.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3147
24 - Marque as alternativas verdadeiras: Seja T : Rn → Rn dada por T (x) = Ax, onde
A é uma matriz de permutação, isto é, uma matriz formada a partir de permutações das
linhas da matriz identidade.
(i) A dimensão da imagem de T é n− 1.
(ii) T (T (x)) = x
(iii) ||T (x)|| = ||x||.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3352
25
http://prorum.com/index.php/3137
http://prorum.com/index.php/3139
http://prorum.com/index.php/3147
http://prorum.com/index.php/3352
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
25 - Seja A uma matriz quadrada de ordem 2.
Marque a alternativa VERDADEIRA:
(a) Se A2 = 0 então A = 0.
(b) Se A2 = A então A = I ou A = −I.
(c) Se T (x) = Ax é uma transformação linear, onde A2 = 0, então a imagem de T pertence
ao núcleo de T .
(d) Se T (x) = Ax, onde A2 = A, então o núcleo de T (x) = Ax tem apenas um elemento.
(e) Se T (x) = Ax, onde A2 = I, então a imagem de T (x) = Ax não é o R2.
Solução:
http://prorum.com/?qa=3827/
26 - Seja S(x) = Ax um operador auto-adjunto definido no Rn, isto é, 〈Ax, y〉 = 〈x,Ay〉
para todo x, y ∈ Rn. Encontre as verdadeiras.
(i) Se A é uma matriz formada apenas por números reais, então A é simétrica.
(ii) Se u e v são autovetores de A associados respectivamente aos autovalores λ e δ, onde
λ 6= δ, então u é ortogonal a v.
(iii) Sejam S(x) = Ax e T (x) = Bx operadores auto-adjuntos, onde A e B são matrizes
reais. Se AB = BA, então o operador U(x) = ABx é auto-adjunto.
Solução:
http://prorum.com/?qa=3831/
26
http://prorum.com/?qa=3827/
http://prorum.com/?qa=3831/
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
7 Autovalores e autovetores
1) Quais são os autovalores de uma matriz diagonal?
Solução:
http://prorum.com//index.php/167
2) Quais são os autovalores de uma matriz triangular?
Solução:
http://prorum.com//index.php/169
3) Uma matriz A é dita ser positiva definida se x′Ax > 0 para todo vetor x 6= 0. Mostre
que se λ é o autovalor de uma matriz positiva definida então λ > 0.
Solução:
http://prorum.com//index.php/171
4) Seja λ o autovalor de uma matriz B associado a um autovetor x. Mostre que x é o
autovetor de Bk, k = 2, 3, · · · associado a λk.
Solução:
http://prorum.com//index.php/173
5) Sejam A uma matriz quadrada, s um autovalor de A e c um escalar. Disso decorre que
cs é um autovalor de cA?
Solução:
http://prorum.com//index.php/175
6 - Se λ2 é um autovalor de A2, então λ ou −λ é um autovalor de A?
Solução:
http://prorum.com//index.php/2720
7 - Seja VA o subespaço gerado pelos autovetores de uma matriz A e VB o subespaço
gerado pelos autovetores de uma matriz B [ambas de mesma ordem n].
a) Então, pode-se dizer que VA ∩ VB ⊆ VαA+βB, onde VαA+βB é o subespaço gerado pelos
autovetores de αA+ βB?
27
http://prorum.com//index.php/167
http://prorum.com//index.php/169
http://prorum.com//index.php/171
http://prorum.com//index.php/173
http://prorum.com//index.php/175
http://prorum.com//index.php/2720
EconomiaQuantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
b) Então, pode-se dizer que VA∩VB ⊆ VAB, onde VAB é o subespaço gerado pelos autove-
tores de AB?
Solução:
http://prorum.com//index.php/2428
8 - Se A é uma matriz normal (real) de ordem n, então todo autovetor de A é também
autovetor A′. [Uma matriz quadrada (real) é dita ser normal se A′A = AA′.]
Solução:
http://prorum.com//index.php/1742
9 - Qual é a relação entre os autovalores de uma matriz e os autovalores de sua inversa?
Solução:
http://prorum.com//index.php/1732
10 - Seja A uma matriz tal que Ak = 0, para algum número k. Logo, para todo α, o
operador A− αI também é singular?
Solução:
http://prorum.com/index.php/832
11 - Seja A uma matriz quadrada que A2 = I. Então quais são os posśıveis valores para
os autovalores de A?
Solução:
http://prorum.com/index.php/817
12 - Se λ é um autovalor de A associado ao autovetor v, então λ+ c é autovalor de A+ cI
associado ao autovetor v.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3141
13 - Se A é uma matriz cujas somas dos elementos de cada linha é 1, então ela possui um
autovalor 1 associado a um autovetor que é um vetor de ordem n formado apenas por 1s.
Solução:
28
http://prorum.com//index.php/2428
http://prorum.com//index.php/1742
http://prorum.com//index.php/1732
http://prorum.com/index.php/832
http://prorum.com/index.php/817
http://prorum.com/index.php/3141
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
http://prorum.com/index.php/3143
14 - Ache todos os autovalores e autovetores da matriz
A =

10001 3 5 7 9 11
1 10003 5 7 9 11
1 3 10005 7 9 11
1 3 5 10007 9 11
1 3 5 7 10009 11
1 3 5 7 9 10011

Solução:
http://prorum.com/?qa=3835
29
http://prorum.com/index.php/3143
http://prorum.com/?qa=3835
Part II
Noções de Otimização
30
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
8 Topologia dos reais
1 - Cheque os seguintes resultados para sequências em R:
a) Se limxn = a então toda subseqüência de xn converge para o elemento a.
b) Toda seqüência convergente é limitada.
c) Se limxn = limyn = a e xn ≤ zn ≤ yn para todo n suficientemente grande então
limzn = a.
d) limxn = 0 se e somente se lim|xn| = 0.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2769/sequencias-reais
2 - Verifique se as seqüencias abaixo convergem:
a) xn =
(
1 + 1
n
, n2,
√
n
)
b) xn =
(
3+n2
4+5n2
, 2 + 3
5n4
, 6, 5n+2
8n−3
)
Solução:
http://prorum.com/index.php/2771/as-sequencias-abaixo-convergem
3 - Quais desses conjuntos são compactos?
a) [0, 1]n
b) [0, 1] ∪ [2, 3]
c) [0, 1)n
d) (0, 1]n
e) (0, 1)n
f) (0, 1) ∪ (2, 3)
g) (x1, · · · , xn) ∈ Rn tal que x21 + · · ·x2n ≤ 1.
h) (x1, · · · , xn) ∈ Rn tal que x21 + · · ·x2n < 1.
i) (x1, · · · , xn) ∈ Rn tal que xi ≥ 0, a1x1 + · · · + anxn ≤ c, onde ai são constantes reais
(escalares).
j) Rn
k) Rn+
Solução:
http://prorum.com/index.php/2107/quais-desses-conjuntos-sao-compactos
31
http://prorum.com/index.php/2769/sequencias-reais
http://prorum.com/index.php/2771/as-sequencias-abaixo-convergem
http://prorum.com/index.php/2107/quais-desses-conjuntos-sao-compactos
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
4 - Sejam A = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 4} e B = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 2}. O conjunto
A−B é compacto?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2744/esse-conjunto-e-compacto
5 - A intersecção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto?
Solução:
http://prorum.com/index.php/949
6 - A união de conjuntos fechados é sempre um conjunto fechado?
Solução:
http://prorum.com/index.php/759
32
http://prorum.com/index.php/2744/esse-conjunto-e-compacto
http://prorum.com/index.php/949
http://prorum.com/index.php/759
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
9 Cálculo e funções de várias variáveis
1. Use a série de Taylor para aproximar as seguintes funções por polinômios quadráticos
ao redor dos pontos indicados:
a) f(x, y) =
ln(1 + x2 + y2) ao redor de (0, 0);
b) f(x, y) = ex
√
1 + y2 ao redor de (0, 0);
Solução:
http://prorum.com/index.php/2773
2. Para cada uma das funções abaixo, verifique se é posśıvel aplicar o teorema da função
impĺıcita no ponto dado.
a) Encontre dy/dx se x3y3 − x− y = −1 no ponto (x, y) = (1, 1);
b)Encontre dz/dx e dz/dy se 2sinz − xz + y3 = 1 no ponto (x, y, z) = (1, 1, 0);
Solução:
http://prorum.com/index.php/2776
3 - Toda forma quadrática é uma função homogênea de grau 2?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2752
4 - Seja D = f(R,P ) a função de demanda por um determinado bem agŕıcola quando
o preço é P e R é o gasto em publicidade. Seja S = g(w,P ) a função de oferta, onde
w é um ı́ndice que mede a condição de tempo (quanto melhor a condição de tempo para
a agricultura, mas alto o ı́ndice). Suponha que g′w(w,P ) > 0. O equiĺıbrio de mercado
ocorre quando D = S. Suponha que essa equação defina P implicitamente como função
diferenciável de R e w. Encontre P ′w e determine o seu sinal.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2778
5 - Seja u : Rn → R uma função de utilidade com derivadas parciais cont́ınuas. Suponha
que, para uma dada constante a, essa função satisfaça a propriedade
33
http://prorum.com/index.php/2773
http://prorum.com/index.php/2776
http://prorum.com/index.php/2752
http://prorum.com/index.php/2778
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
n∑
i=1
xi
∂u
∂xi
= a, ∀xi > 0
Mostre que a função ν(x1, · · · , xn) = u(x1, · · · , xn)− a ln(x1 + · · ·+ xn) é homogênea de
grau 0.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2780
6 - Mostre que se f : D ⊂ Rn → R é homogênea de grau k, então suas derivadas parciais
são homogêneas de grau k − 1.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2782/
34
http://prorum.com/index.php/2780
http://prorum.com/index.php/2782/
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
10 Noções de análise convexa
1. Quais desses conjuntos são convexos?
a) Seja C1, · · · , Cn conjuntos convexos. Seja C =
∑n
i=1 ciCi.
b) Uma reta.
c) O disco no R2 dado por D = {x, y ∈ R : x2 + y2 ≤ 1}.
d) A circunferência no R2 dado por C = {x, y ∈ R : x2 + y2 = 1}.
e) O cone no Rn. Um conjunto C é um cone se ∀x ∈ C ⊂ Rn, λx ∈ C, ∀λ ∈ R+.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2113/quais-desses-conjuntos-sao-convexos
2. Se f : R→ R é uma função convexa, então (−f) é concava?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2748
3. A intersecção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2742
4. A função f : R2 → R+ f(x, y) = |x|+ |y| é convexa?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2746/
5. A função de Cobb-Douglas é côncava?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2123/a-funcao-de-cobb-douglas-e-concava
6. Pode-se afirmar que para todo x, y ∈ R, temos exp (1
2
(x+ y)) ≤ 1
2
exp (x) + 1
2
exp (y)?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2754
7. A função f(x, y) = (x+ 1)4 + xy + (y + 1)4 é convexa para todos x > 0 e y > 0?
35
http://prorum.com/index.php/2113/quais-desses-conjuntos-sao-convexos
http://prorum.com/index.php/2748
 http://prorum.com/index.php/2742
http://prorum.com/index.php/2746/
http://prorum.com/index.php/2123/a-funcao-de-cobb-douglas-e-concava
http://prorum.com/index.php/2754
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
Solução:
http://prorum.com/index.php/2750
8 - Sejam {f1, f2, · · · , fn} um conjunto de funções convexas do Rn em R. Mostre que a
combinação linear não negativa
f(x) = α1f1 + · · ·+ αnfn, α1, · · · , αn ≥ 0
é convexa. Isso é verdade para qualquer combinação convexa?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2784
9 - Toda função linear é homogênea, côncava e convexa?
Solução:
http://prorum.com/index.php/946
10 - Se g : R → R e h : R → R são funçõesconvexas, então f(x,y) = g(x) + h(y) é
convexa?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2888
11 - Se g : R2 → R e h : R2 → R são funções convexas, então f(x, y) = g(x, y) + h(x, y) é
convexa?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2889
12 - As funções f : <n → < e g : <n → < são respectivamente concava e convexa. O que
pode se dizer sobre h(x) = af(x) + bg(x)?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2961
13 - Estude a concavidade/convexidade de f(x, y) = x+ y − ex − ex+y.
Solução:
36
http://prorum.com/index.php/2750
http://prorum.com/index.php/2784
http://prorum.com/index.php/946
http://prorum.com/index.php/2888
http://prorum.com/index.php/2889
http://prorum.com/index.php/2961
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
http://prorum.com/index.php/2969
37
http://prorum.com/index.php/2969
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
11 Otimização
1 - Essa função f(x, y) = x2 + 2xy + y5 + exp(xy) possui máximo global e mı́nimo global
em um conjunto compacto S do R2?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2109
38
http://prorum.com/index.php/2109
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
12 Otimização sem restrições
1 - Ache os pontos cŕıticos de f(x, y) = x2 + y2 − 2 log(x) − 18 log(y) e teste se cada
um desses pontos é máximo ou mı́nimo ou sela, usando as condições de segunda ordem e
propriedades das formas quadráticas.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2099
2 - Ache os pontos cŕıticos de f(x1, x2) = x
3 + y3− 3xy. Teste se esses pontos são pontos
de máximo ou mı́nimo ou sela.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2095
3 - Ache o ponto extremo de f(x, y) = 8x3 + 2xy − 3x2 + y2 + 1. Teste se esse ponto é
máximo ou mı́nimo ou sela, usando as condições de segunda ordem e propriedades das
formas quadráticas.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2085
4 - Como achar os pontos extremos de f(x1, x2) = 2x
2
1 − x22 − 4x1 + 8x2. Teste se esse
ponto é máximo ou mı́nimo ou sela, usando as condições de segunda ordem e propriedades
das formas quadráticas.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2071
5 - Ache os pontos cŕıticos de f(x, y, z) = x2 + xy + 5y2 + 9(z − 2)2 . Eles são pontos de
máximo ou mı́nimo ou sela?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2756
6 - Ache os pontos cŕıticos de f(x, y) = e(x+y) + e(x−y) − (3/2)x − (1/2)y. Eles são de
máximo, mı́nimo ou de sela?
39
http://prorum.com/index.php/2099
http://prorum.com/index.php/2095
http://prorum.com/index.php/2085
http://prorum.com/index.php/2071
http://prorum.com/index.php/2756
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
Solução:
http://prorum.com/index.php/2572
7 - Encontre os pontos cŕıticos de f(x, y) = log(1 + x2y) e caracterize esses pontos.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2959
8 - Ache o ponto extremo de f(x, y) = e2x − 2x+ 2y2 + 3. Teste se esse ponto é máximo
ou mı́nimo ou sela, usando as condições de segunda ordem e propriedades das formas
quadráticas.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2965
9 - Considere o problema de regressão linear. Encontre os parâmetros α e β que minimizam
a soma dos quadrados dos erros de uma seqüência de dados (xi, yi), for i = 1, · · · , n e uma
reta formada por esses parâmetros α e β onde α é o coeficiente linear e β é o coeficiente
angular.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2786
40
http://prorum.com/index.php/2572
http://prorum.com/index.php/2959
http://prorum.com/index.php/2965
http://prorum.com/index.php/2786
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
13 Otimização com restrições de igualdade
1 - Ache todos os pontos extremos de f(x, y) = x4 + y4 sujeito a x + y = 1. Utilize o
método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mı́nimo
utilizando o Hessiano orlado.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2767
2 - Ache todos os pontos extremos de f(x, y, z) = log x+2 log y+3 log z sujeito a x+y+z =
60. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo
ou mı́nimo utilizando o Hessiano orlado.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2761
3 - Ache os pontos cŕıticos de f(x, y, z) = x2 + xy + 5y2 + 9(z − 2)2 . Eles são pontos de
máximo ou mı́nimo ou sela?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2756
4 - Encontre os pontos que otimizam f(x, y, z) = 2xyz sujeito a 3− x2 − y2 − z2 = 0
Solução:
http://prorum.com/index.php/2128
5 - Ache o ponto que maximiza f(x, y, z) = 4 lnx+ 2y + 8z sujeita a 8− x− y − 2z = 0
e 1− 0.5x− z = 0.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2125
6 - Seja f(x, y) = a log x+ (1− a) log y, onde a 6= 0 e a 6= 1. Considere o problema de de
otimizar f sujeita a x+ y = 1. Quais os valores de “a” que fazem com que f tenha ponto
de máximo?
Solução:
41
http://prorum.com/index.php/2767
http://prorum.com/index.php/2761
http://prorum.com/index.php/2756
http://prorum.com/index.php/2128
http://prorum.com/index.php/2125
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
http://prorum.com/index.php/2103
7 - Ache todos os pontos extremos de f(x, y) = x + y sujeito a x2 + y2 = 2. Utilize o
método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mı́nimo
utilizando o Hessiano orlado.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2101
8 - Ache os pontos cŕıticos de f(x, y) = x2 + y2 − 2 log(x) − 18 log(y) e teste se cada
um desses pontos é máximo ou mı́nimo ou sela, usando as condições de segunda ordem e
propriedades das formas quadráticas.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2099
9 - Ache todos os pontos cŕıticos de f(x, y) = 1
x
+ 1
y
sujeito a x+ y = 2. Teste se os ponto
cŕıticos são máximo ou mı́nimo utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange e o
Hessiano orlado.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2097
10 - Considere o problema de otimizar f(x, y) = x1/3y2/3 sujeito a 27x+2y = 81. Encontre
os pontos cŕıticos e caracterize esses pontos. Utilize o método dos multiplicadores de
Lagrange e o método do hessiano orlado.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2091
11 - Considere o problema de otimizar f(x, y) = 5 − (x − 2)2 − 2(y − 1)2 sujeito a
x + 4y = 3. Encontre os pontos cŕıticos e caracterize esses pontos. Utilize o método dos
multiplicadores de Lagrange e o método do hessiano orlado.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2089
12 - Ache todos os pontos extremos de f(x, y) = xy sujeito a x+ y = 6. Utilize o método
42
http://prorum.com/index.php/2103
http://prorum.com/index.php/2101
http://prorum.com/index.php/2099
http://prorum.com/index.php/2097
http://prorum.com/index.php/2091
http://prorum.com/index.php/2089
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mı́nimo utilizando
o Hessiano orlado.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2087
13 - Verifique se o ponto cŕıtico de f(x, y) = x
2
2
+ y sujeito a x + y = 9 é máximo ou
mı́nimo, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange e o Hessiano orlado
Solução:
http://prorum.com/index.php/2083
14 - Considere função f(x, y) = 4x+ 2y − 8 restrita à (x− 2)2 + (y − 1)2 = 80. Encontre
os pontos cŕıticos e caracterize esses pontos.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2079
15 - Verifique se o ponto cŕıtico de f(x, y) = 4x2−2xy+6y2 sujeito a x+y = 72 é máximo
ou mı́nimo, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange e o Hessiano orlado?
Solução:
http://prorum.com/index.php/2077
16 - Considere o problema de otimizar f(x, y) = 2 lnx + 2 ln y sujeito a x2 + y2 = 2.
Encontre os pontos cŕıticos e caracterize esses pontos.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2075
17 - Ache os pontos extremos de f(x, y) = 2xy sujeito a 2− x2 − y2 = 0. Teste apenas se
o ponto extremo positivo (x > 0, y > 0) é ponto de máximo ou mı́nimo.Solução:
http://prorum.com/index.php/2073
18 - Como achar os extremos de f(x, y) = x+ y sujeita a restrição xy = 1?
Solução:
43
http://prorum.com/index.php/2087
http://prorum.com/index.php/2083
http://prorum.com/index.php/2079
http://prorum.com/index.php/2077
http://prorum.com/index.php/2075
http://prorum.com/index.php/2073
Economia Quantitativa I - Prof. Daniel Cajueiro - Depto. de Economia (UnB)
http://prorum.com/index.php/732
19 - Encontre os pontos cŕıticos de f(x, y) = 100 − e−x − e−y sujeito a px + qy = m e
caracterize esses pontos.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2963
20 - Ache todos os pontos extremos de f(x, y) = x1/2 + y sujeito a 4x + y = 1. Utilize o
método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mı́nimo
utilizando o Hessiano orlado.
Solução:
http://prorum.com/index.php/2967
14 Otimização com restrições de desigualdade
1 - Resolva o problema de maximizar x− y2 sujeito ao conjunto x2 + y2 − 4 = 0 e x ≥ 0
e y ≥ 0.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3192
2 - Maximize a função f(x, y) = x2 + y2 sujeita a 2x+ y ≤ 2, x ≥ 0 e y ≥ 0.
Solução:
http://prorum.com/index.php/3233
44
 http://prorum.com/index.php/732
 http://prorum.com/index.php/2963
 http://prorum.com/index.php/2967
http://prorum.com/index.php/3192
http://prorum.com/index.php/3233
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	Cálculo e funções de várias variáveis
	Noções de análise convexa
	Otimização
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	Otimização com restrições de igualdade
	Otimização com restrições de desigualdade