Transformacoes Lineares_Algebra_Linear

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CONTEÚDOS 
• Transformações lineares e matrizes. Exemplos de transformações não lineares. 
• Núcleo de uma transformação linear e sua relação com funções injetoras. 
• Matriz de uma transformação linear usando somente as bases canônicas. 
• Exemplos de transformações lineares no plano e no espaço (projeções, reflexões, 
dilatações, etc.) 
• Algumas aplicações. 
 
1. INTRODUÇÃO 
Até agora você teve a oportunidade de estudar vetores no plano e no espaço, 
estudar o espaço vetorial euclidiano e conhecer os espaços vetoriais arbitrários e 
subespaços vetoriais, bem como entender o que é um conjunto de geradores de um 
espaço vetorial, vetores linearmente independentes e dependentes e o que é uma 
base e dimensão. 
Agora, você terá a oportunidade de estudar e refletir sobre um dos conceitos 
mais importantes da Álgebra Linear, as transformações lineares e a ligação que existe 
entre elas e uma matriz. 
Vamos estudar um tipo especial de função (ou aplicação), no qual o domínio e 
o contradomínio são espaços vetoriais reais. Sendo assim, a variável independente x é 
um vetor em nR , e a variável dependente w, um vetor em mR . Com certeza, você já 
teve a oportunidade de estudar o conceito de função ou aplicação de um conjunto 
sobre outro. Desse modo, as transformações lineares também são aplicações, mas 
entre dois espaços vetoriais. Podemos dizer que, de certa forma, as transformações 
lineares preservam as operações de adição e multiplicação por escalar definidas nesses 
espaços. 
Tais aplicações aparecem com muita frequência em Álgebra Linear e em várias 
áreas da Matemática, como na Física, nas Engenharias, nas Ciências Sociais e na 
Computação. Portanto, é fundamental que você entenda esse conceito. 
Assim, vamos iniciar este estudo com a definição de transformação linear e, em 
seguida, apresentaremos os conceitos de núcleo, imagem, matriz associada a uma 
transformação linear e algumas aplicações. 
 
 
Transformações Lineares 
UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP 
Disciplina: Álgebra Linear 
Curso: Ciência da Computação 
Profª. Juliana Brassolatti Gonçalves 
 
2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 
Definição
Vamos recordar o que é uma função. Segundo Anton e Rorres (2012, p.247), “é 
uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um, e exatamente um, 
elemento de um conjunto B”. 
: notações e exemplos 
Em todas as áreas do conhecimento humano, muitas vezes se deseja estabelecer 
uma relação entre dois ou mais elementos. Na Matemática, não é diferente. Neste 
caso, a relação que se procura estabelecer é entre elementos de dois ou mais 
conjuntos de números. 
Mais formalmente: dados dois conjuntos A e B, uma função f de A em B é uma lei 
ou regra de correspondência que a cada elemento x de A, denominado domínio, 
associa um único elemento y = f(x) de B, denominado contradomínio. O conjunto das 
imagens dos elementos do domínio A pela função f chama-se a imagem de f. Note que 
a Im(f) é um subconjunto do contradomínio B. Notação: :f A B→ 
Em muitas funções, o domínio e o contradomínio são conjuntos de números 
reais, mas, agora, estamos interessados em funções cujo domínio e contradomínio são 
espaços vetoriais. 
Já conhecemos alguns aspectos importantes dos espaços vetoriais, 
principalmente base e dimensão. Agora vamos examinar as correspondências entre 
esses espaços vetoriais, as chamadas transformações lineares. Para isso, vamos 
começar com a definição dessas transformações. 
Definição
T:V W→
: Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre R. Uma transformação linear é 
uma função de V em W, , que satisfaz as seguintes condições: 
a) Quaisquer que sejam u e v em V, ( ) ( ) ( )T u v T u T v+ = + . 
b) Quaisquer que sejam nR e v V∈ , ( . ) . ( )T k v k T v= . 
 
 
 
Em outras palavras, T preserva as operações de soma e multiplicação por escalar. 
Vamos tratar nesta unidade somente as transformações de nR em mR . 
Se V = W, então uma transformação linear :T W W→ recebe o nome especial 
de operador linear. 
Desse modo, vamos entender a definição anterior por meio de alguns exemplos. 
Exemplo 1 (adaptado de STEINBRUCH; WINTERLE, 2005, p.153): verifique se a 
transformação T:R R→ definida por T(x) = 3x é uma transformação linear. 
a) Considere os vetores 1u x= e 2v x= em R . Observe que, nesse caso, os vetores 
são números reais! 
Temos que: 
1 2 1 2 1 2T(u v) T(x x ) 3.(x x ) 3x 3x T(u) T(v)+ = + = + = + = + 
b) Quaisquer que sejam k R∈ e 1u x= em R, temos que 
1 1 1T( u) ( ) 3.( ) (3 ) ( )k T k x k x k x k T u⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ 
Portanto, T é uma transformação linear. 
Exemplo 2 verifique se a transformação T:R R→ definida por T(x) 2x+3= é uma 
transformação linear. 
a) Considere os vetores 1u x= e 2v x= em R . Observe que, nesse caso, os vetores 
são números reais! 
Temos que: 
1 2 1 2 1 2T(u v) T(x x ) 2.(x x )+3 2x 2x 3 T(u) T(v)+ = + = + = + + ≠ + 
Portanto, T é não é uma transformação linear. 
Exemplo 3 (adaptado de STEINBRUCH; WINTERLE, 2005, p. 154): verifique se a 
transformação 2 3T:R R→ definida por T(x,y) (3 , 2 , )x y x y= − − é uma 
transformação linear. 
a) Considere os vetores ( )1 1,u x y= e ( )2 2,v x y= em 2R . 
Temos que: 
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
T(u v) T((x ,y ) (x ,y )) T(x x ,y y )
(3 (x x ),-2.(y y ),x x y y )
(3 x 3 x ,-2y 2y ,x x y y )
(3 x ,-2y ,x y ) (3 x ,-2y , x y )
T(x ,y ) T(x ,y )=T(u)+T(v)
+ = + = + + =
⋅ + + + − − =
⋅ + ⋅ − + − − =
⋅ − + ⋅ + − =
+
 
b) Quaisquer que sejam k R∈ e ( )2 2,v x y= em 2R , temos que: 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
T( v) ( ( , )) ( , ) (3 , 2 , )
.(3 , 2 , ) ( , ) . ( )
k T k x y T kx ky kx ky kx ky
k x y x y k T x y k T v
⋅ = ⋅ = = − − =
− − = ⋅ =
 
Portanto, T é uma transformação linear. 
Exemplo 4: verifique se a transformação 2 2:T R R→ definida por ( , ) (2 , )T x y x y= 
é uma transformação linear. 
a) Considere os vetores ( )1 1,u x y= e ( )2 2,v x y= em 2R . 
Temos que: 
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2
T(u v) T((x ,y ) (x ,y )) T(x x ,y y )
(2 (x x ),y y ) (2 x 2 x ,y y )
(2 x ,y ) (2 x ,y ) T(u) T(v)
+ = + = + + =
⋅ + + = ⋅ + ⋅ + =
⋅ + ⋅ = +
 
b) Quaisquer que sejam k R∈ e ( )2 2,v x y= em 2R , temos que: 
2 2 2 2 2 2
2 2
T( v) ( ( , )) ( , ) (2 , )
(2 , ) ( )
k T k x y T k x k y k x k y
k x y k T v
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ = ⋅
 
Portanto, T é uma transformação linear. 
Exemplo 5: verifique se a transformação 3 3:T R R→ definida por 
( , , ) (0, , )T x y z y z= é uma transformação linear. 
a) Considere os vetores ( )1 1 1, ,u x y z= e ( )2 2 2, ,v x y z= em 3R . 
Temos que: 
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
T(u v) T((x ,y ,z ) (x ,y ,z )) T(x x ,y y ,z z )
(0,y y ,z z ) (0,y ,z ) (0,y ,z ) T(u) T(v)
+ = + = + + + =
+ + = + = +
 
b) Quaisquer que sejam k R∈ e ( )2 2 2, ,v x y z= em 3R , temos que: 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
T( v) ( ( , , )) ( , , ) (0, , )
(0, , ) ( )
k T k x y z T k x k y k z k y k z
k y z k T v
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅
 
Portanto, T é uma transformação linear. 
Exemplo 6: verifique se a transformação 3 3:T R R→ definida por 
( , , ) (0, , )T x y z y z= é uma transformação linear. 
a) Considere os vetores ( )1 1 1, ,u x y z= e ( )2 2 2, ,v x y z= em 3R . 
Temos que: 
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
T(u v) T((x ,y ,z ) (x ,y ,z )) T(x x ,y y ,z z )
(0,y y ,z z ) (0,y ,z ) (0,y ,z ) T(u) T(v)
+ = + = + + + =
+ + = + = +
 
b) Quaisquer que sejam k R∈ e ( )2 2 2, ,v x y z= em 3R , temos que: 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
T( v) ( ( , , )) ( , , ) (0, , )
(0, , ) ( )
k T k x y z T k x k y k z k y k z
k y z k T v
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅
 
Portanto, T é uma transformação linear. 
Exemplo 7: verifique se a transformação 2 2:T R R→ definida por 2( , ) ( , )T x y x y= é 
uma transformação linear. 
Considere os vetores ( )1 1,u x y= e ( )2 2,v x y= em 2R . 
Temos que: 
1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
T(u v) T((x ,y ) (x ,y )) T(x x ,y y )
(x x ,(y y ) ) (x x ,y 2 y y y ) T(u) T(v)+ = + = + + =
+ + = + + ⋅ ⋅ + ≠ +
 
Portanto, T não é uma transformação linear. 
É importante mencionar que 2 2x y+ é diferente de ( )2x y+ .Lembre-se de que o 
termo ( )2x y+ é o produto notável 
( ) ( ) ( )2 2 22x y x y x y x xy y+ = + ⋅ + = + + . 
 
3. OPERADORES LINEARES IMPORTANTES 
Já foi comentado que se V = W, então uma transformação linear 
T:W W→ recebe o nome especial de operador linear. 
Entre os operadores lineares mais importantes de 2R e 3R , estão os que aplicam 
cada ponto na sua imagem simétrica em relação a alguma reta ou plano fixados que são 
denominados operadores de reflexão, ou reflexões, simplesmente. Os operadores 
lineares de 2R e 3R que aplicam cada ponto em sua projeção ortogonal numa reta ou 
plano fixados são denominados operadores de projeção (ou, mais precisamente, de 
operadores de projeção ortogonal) (ANTON; RORRES, 2012, p. 252). 
Veja no Quadro 1 exemplos desses operadores de reflexão no 2R : 
 
 
 
 
Quadro 1 Operadores de Reflexão. 
Reflexão no eixo y 
( , ) ( , )T x y x y= − 
 
(1,0) ( 1,0)T = − 
(0,1) (0,1)T = 
Reflexão no eixo x 
( , ) ( , )T x y x y= − 
 
(1,0) (1,0)T = 
(0,1) (0, 1)T = − 
Reflexão na reta 
y x= 
( , ) ( , )T x y y x= 
 
(1,0) (0,1)T = 
(0,1) (1,0)T = 
Fonte: Wiki (2014). 
No Quadro 2, veja os exemplos desses operadores de projeção ortogonal no 2R : 
Quadro 2 Operadores de projeção ortogonal no 2R . 
Projeção 
Ortogonal sobre o 
eixo x 
( , ) ( ,0 )T x y x= 
 
(1,0) (1,0)T = 
(0,1) (0,0)T = 
Projeção 
Ortogonal sobre o 
eixo y 
( , ) (0, )T x y y= 
 
(1,0) (0,0)T = 
(0,1) (0,1)T = 
Fonte: Os Fundamentos da Física (2014). 
Outros exemplos: 
a) Expansão/Dilatação (ou Contração): 
Considere a transformação linear 2 2T:R R→ definida por T(x,y) 3 (x,y)= ⋅ . Podemos 
perceber que esta transformação leva cada vetor do plano num vetor de mesma 
direção e sentido, mas com o triplo do comprimento. 
De um modo geral, temos a transformação linear 2 2T:R R→ definida por 
T(x,y) (x,y)k= ⋅ , na qual k R∈ . Se 1k > , temos uma dilatação ou expansão. Se 1k > , 
temos uma contração. Se 1k = , temos um operador identidade. 
b) Reflexão em torno do eixo x: 
Considere a transformação linear 2 2:T R R→ definida por ( , ) ( , - )T x y x y= . Podemos 
perceber que esta transformação é uma reflexão em torno do eixo x. 
( , ) ( , - ) (1,0) (0, 1)T x y x y x y= = + − 
Forma matricial: 
1 0
( , )
0 1
x
T x y
y
   
= ⋅   −   
 
c) Reflexão em torno do eixo y: 
Considere a transformação linear 2 2T:R R→ definida por T(x,y) (-x,y)= . Podemos 
perceber que esta transformação é uma reflexão em torno do eixo y. 
( , ) ( , ) ( 1,0 ) (0,1)T x y x y x y= − = − + 
Forma matricial: 
1 0
( , )
0 1
x
T x y
y
−   
= ⋅   
   
 
d) Reflexão em torno da origem: 
Considere a transformação linear 2 2T:R R→ definida por T(x,y) (-x,-y)= . Podemos 
perceber que esta transformação é uma reflexão em torno da origem. 
( , ) ( , - ) ( 1,0) (0, 1)T x y x y x y= − = − + − 
Forma matricial: 
1 0
( , )
0 1
x
T x y
y
−   
= ⋅   −   
 
 
 
e) Operadores de Rotação: 
Os operadores lineares de 2R e 3R que movem pontos ao longo de arcos circulares 
são denominados operadores de rotação ou, simplesmente, rotações. 
Rotação anti - horária: Considere a transformação linear 2 2T:R R→ definida por 
( , ) ( cos , cos )T x y x ysen y xsenθ θ θ θ= − + . Essa é uma rotação de um ângulo θ no 
sentido anti – horário. 
( , ) ( cos , cos ) (cos , ) ( ,cos )T x y x ysen y xsen x sen y senθ θ θ θ θ θ θ θ= − + = + − 
Forma matricial: 
cos
( , )
cos
sen x
T x y
sen y
θ θ
θ θ
−   
= ⋅   
   
 
 
f) Cisalhamento: 
Considere a transformação linear 2 2T:R R→ definida por ( , ) ( , )T x y x y yα= + onde 
α ∈ℜ . Esse é um cisalhamento horizontal. 
( , ) ( , ) (1,0 ) ( ,1)T x y x y y x yα α= + = + 
Forma matricial: 
1
( , )
0 1
x
T x y
y
α   
= ⋅   
   
 
 
Depois de entender o conceito de transformação linear, no tópico a seguir 
vamos estudar algumas propriedades importantes dessas transformações. 
Vamos lá? 
4. PROPRIEDADES, IMAGEM E NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Propriedades das transformações lineares 
Antes de definirmos o que é imagem e núcleo de uma transformação linear, 
vamos refletir sobre algumas propriedades importantes relacionadas a elas. 
 
Propriedade 1: considere uma transformação T:V W→ . Se (0) 0T = , ou seja, se uma 
transformação T leva o elemento nulo de V no elemento nulo de W, isso não implica 
que T é uma transformação linear. 
Exemplo: a transformação 2 2:T R R→ definida por 2( , ) ( , )T x y x y= não é uma 
transformação linear, embora (0,0) (0,0)T = . Mas se T:V W→ é uma transformação 
linear, então (0) 0T = . 
 
Propriedade 2: considere uma transformação T:V W→ . Se T(0) 0≠ , então T não é 
uma transformação linear. 
 
Propriedade 3: sabendo-se as imagens dos vetores de uma base do espaço vetorial V, 
é possível determinar a transformação linear T:V W→ . 
 
Propriedade 4: se T:V W→ for uma transformação linear, então 
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )n n n nT a v a v a v a T v a T v a T v+ + + = + + +  para qualquer 
1 2, , , nv v v V∈ e para qualquer 1 2, , , na a a R∈ . 
Segue alguns exemplos resolvidos: 
Exemplo 1. Considere a transformação linear 3 2T:R R→ e { }1 2 3, ,B v v v= uma base 
do 3R , sendo 1 (0,1,0)v = , 2 (1,0,1)v = e 3 (1,1,0)v = . Determinar (5,3, 2)T − , 
sabendo que 1( ) (1, 2)T v = − , 2( ) (3,1)T v = e 2( ) (0, 2)T v = . 
Solução { }1 2 3, ,B v v v=: como é uma base do 3R , então qualquer vetor ( , , ) ³x y z R∈ 
se escreve como combinação linear dos vetores da base, ou seja: 
1 2 3( , , ) . . .
.(0,1,0) .(1,0,1) .(1,1,0)
( , , ) (0, ,0) ( ,0, ) ( , ,0 )
x y z a v b v c v
a b c
x y z a b b c c
x b c x z c c x z
y a c y a c y a c
z b b z b z
c x z c x z
y a x z a y x z
b z b z
= + + =
+ +
= + +
= + = + = −  
  = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒  
  = = =  
= − = − 
 = + − ⇒ = − + 
 = = 
 
Portanto: 
( , , ) ( ).(0,1,0) .(1,0,1) ( ).(1,1,0)x y z y x z z x z= − + + + − 
Como 3 2T:R R→ é uma transformação linear, então, usando a propriedade 4, 
temos: 
[ ]
[ ]
( , , ) ( ). (0,1,0) . (1,0,1) ( ). (1,1,0)
( , , ) ( ).(1, 2) .(3,1) ( ).(0, 2)
( , , ) ( , 2 2 2 ) (3 , ) (0,2 2 )
( , , ) ( 3 , 2 2 2 2 2 )
( , , ) ( 4 , 2 4 3
T x y z y x z T z T x z T
T x y z y x z z x z
T x y z y x z y x z z z x z
T x y z y x z z y x z z x z
T x y z y x z y x z
= − + + + −
= − + − + + −
= − + − + − + + −
= − + + − + − + + −
= − + − + − )
 
Portanto: 
(5,3, 2) (3 5 4.( 2), 2.3 4.5 3.( 2))
(5,3, 2) (3 5 8, 6 20 6)
(5,3, 2) ( 10,20)
T
T
T
− = − + − − + − −
− = − − − + +
− = −
 
 
Exemplo 2: Qual é a transformação linear 2 2T:R R→ , tal que T(1,0)=(1,2) e 
T(0,1)=(1,1) ? 
Solução { }(1,0), (0,1): Como os vetores formam uma base do 2R , então qualquer 
vetor ( , )x y se escreve como uma combinação linear desses vetores, ou 
seja, ( , ) .(1,0) .(0,1)x y x y= + . Como T é uma transformação linear, então temos: 
T(x,y) x T(1,0) y T(0,1) x (1,2) y (1,1)
(x,2x) (y,y) (x y,2x y)
= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
+ = + +
 
Portanto, a transformação linear é ( , ) ( , 2 )T x y x y x y= + + . 
Exemplo 3: Sabendo que 2 2T:R R→ é um operador linear e que (1, 2) (3, 1)T = − e 
(0,1) (1,2)T = , determine a transformação linear ( , )T x y , na qual ( , )x y é um vetor 
genérico do 2R . 
Solução { }(1, 2), (0,1)B =: como é uma base do 2R , então qualquer vetor 
2( , )x y R∈ se escreve como combinação linear dos vetores da base, ou seja: 
1 2( , ) . . .(1, 2) .(0,1)
( , ) ( , 2 ) (0, )
2 2 2
x y a v b v a b
x y a a b
x a a x a x
y a b y x b b y x
= + = +
= +
= = =  
⇒ ⇒  = + = + = −  
 
Portanto: 
( , ) .(1, 2) ( 2 ).(0,1)x y x y x= + − 
Como 2 2T:R R→ é uma transformação linear, então, usando a propriedade 
4, temos: 
( , ) . (1, 2 ) ( 2 ). (0,1)
( , ) .(3, 1) ( 2 ).(1, 2)
( , ) (3 , ) (2 , 2 4 )
( , ) (3 2 , 2 4 )
( , ) ( , 5 2 )
T x y x T y x T
T x y x y x
T x y x x y x y x
T x y x y x x y x
T x y x y x y
= + −
= − + −
= − + − −
= + − − + −
= + − +
 
Exemplo 4 (adaptado de ANTON; RORRES, 2012, p.260): consideremos o operador 
linear 3 3:T R R→ definido por ( , , ) ( 2 2 , 2 , 4 )T x y z x y z x y z x y z= + + + − − + + . 
Determinar o vetor 3u R∈ , tal que ( ) ( 1,8, 11)T u = − − . 
Solução: 
Sendo ( ) ( 1,8, 11) ( 2 2 , 2 , 4 ) ( 1,8, 11)T u x y z x y z x y z= − − ⇒ + + + − − + + = − − 
Resolvendo a equação vetorial, obtemos o seguinte sistema: 
 
2 2 1
2 8
4 11
x y z
x y z
x y z
+ + = −
 + − =
− + + = −
 
A matriz completa desse sistema é: 
1 2 2 1
1 2 1 8
1 1 4 11
A
− 
 = − 
 − − 
 
Escalonando a matriz, obtemos: 
Multiplicando a primeira linha por -1 e somando a segunda: 
1 2 2 1
0 0 3 9
1 1 4 11
A
− 
 = − 
 − − 
 
Somando a primeira linha com a terceira linha: 
1 2 2 1
0 0 3 9
0 3 6 12
A
− 
 = − 
 − 
 
Trocando a segunda linha com a terceira linha, temos um sistema escalonado: 
1 2 2 1
0 3 6 12
0 0 3 9
A
− 
 = − 
 − 
 
O sistema associado a matriz escalonada é 
2 2 1 2 2 1 2 2 1
3 6 12 3 6.( 3) 12 3 18 12
3 9 3 3
2 2 1 2.2 2.( 3) 1 1
3 6 2 2
3 3 3
x y z x y z x y z
y z y y
z z z
x y z x x
y y y
z z z
+ + = − + + = − + + = −  
  + = − ⇒ + − = − ⇒ = −  
  − = = − = −  
+ + = − + + − = − =  
  = ⇒ = ⇒ =  
  = − = − = −  
 
Portanto, ( )1,2, 3u = − 
5. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
Muitos problemas envolvendo transformações lineares são resolvidos 
facilmente, ou de uma maneira mais simples, por meio do uso da matriz associada à 
transformação. Toda transformação linear pode ser considerada como uma 
transformação matricial. Essa ideia é utilizada em cálculos computacionais, pois os 
computadores são muito bons em cálculos matriciais. Nosso objetivo, então, é refletir 
e conhecer alguns métodos para determinar essa matriz associada a uma 
transformação linear. 
Se a base for a canônica, então obtemos a matriz canônica, que poderá ser 
escrita diretamente. Veja alguns exemplos: 
Exemplo 1: 2 3:T R R→ , dada por ( , ) ( 4 , 2 ,3 )T x y x y x y x= − − 
[ ]
1 4
2 1
3 0
T
− 
 = − 
  
 
Exemplo 2: RRT →3: , dada por ( , , ) 6T x y z y x= − 
[ ] [ ]zT 16−= 
Exemplo 3: 22: RRT → , dada por ( , ) ( 5 ,3 )T x y y x= − 
[ ] 0 5
3 0
T
− 
=  
 
 
6. ALGUMAS APLICAÇÕES 
Existem muitas aplicações interessantes que envolvem vários conceitos 
estudados neste estudo. As aplicações, muitas vezes, não são triviais, pois envolvem 
resultados de outras áreas. Mas vale a pena conhecer algumas dessas aplicações como 
motivação no estudo da Álgebra Linear. A seguir,são citadas duas aplicações 
interessantes e, também, uma dica importante de onde encontrar aplicações curiosas. 
Mudança de coordenadas em sistemas de cores 
Uma aplicação de Álgebra Linear à Computação Gráfica: o espaço espectral de 
cores é um espaço vetorial de dimensão 3 (correspondente às três cores primárias). 
Diferentes sistemas de coordenadas (conhecidos como sistemas de cores) são 
considerados neste espaço de acordo com a aplicação ou o dispositivo de saída gráfica 
(monitor, impressora etc.). É muitas vezes necessário passar de um sistema de 
coordenadas para outro, e isso é feito por meio de uma matriz de mudança de 
coordenadas. Por exemplo, a matriz de mudança de coordenadas do sistema RGB para 
o sistema XYZ é uma matriz 3x3 obtida quando se considera a cor branca como um 
ponto fixo da transformação. Veja mais detalhes acessando o texto “Mudanças de 
Coordenadas em Sistemas de Cores”, de Bruno Teixeira Moreira e Emídio Augusto 
Arantes Macedo, no site Matemática UFMG (2014). 
Ajuste de curvas pelo método dos quadrados mínimos 
Dado uma coleção de dados (pares de números) obtidos experimentalmente, 
busca-se uma curva que possa ser ajustada a eles, de modo que a diferença entre a 
curva simuladora e os dados seja a menor possível. Dessa forma, predições futuras 
com um grau razoável de precisão podem ser feitas com base na curva obtida. Um dos 
métodos mais utilizados para se fazer isso é o dos quadrados mínimos. Ele se reduz à 
resolução de um sistema linear cujo número de variáveis é igual ao número dos dados. 
Veja mais detalhes no texto “Ajuste de curvas por quadrados mínimos lineares”, de 
Felipe Leonardo de Aguiar e Wanderley Innocêncio Moreira Júnior, acessando o site 
Matemática UFMG (2014). 
Além das duas motivações mencionadas, é importante que leia com muita 
atenção o Capítulo 10 do livro Álgebra Linear com aplicações dos autores Howard 
Anton e Chris Rorres, que traz várias aplicações interessantes em diversas áreas do 
conhecimento: Programação Linear Geométrica, As mais antigas aplicações da Álgebra 
Linear, Interpolação Spline Cúbica, Cadeias de Markov, Teoria de Grafos, Jogos de 
http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/sistemas_de_coordenadas_de_cores.pdf�
http://www.mat.ufmg.br/gaal/aplicacoes/quadrados_minimos.pdf�
Estratégia, Modelos Econômicos de Leontief, Administração Florestal, Computação 
Gráfica, Distribuição de Temperatura de Equilíbrio, Tomografia Computadorizada, 
Fractais, Caos, Criptografia, Genética, Crescimento Populacional por Faixa Etária e 
outros. 
Boa pesquisa! 
1. Verifique se a transformação 
EXERCÍCIOS 
2 2:T R R→ definida por ( , ) ( , )T x y x y x y= + − é uma 
transformação linear. 
 
2. Verifique se a transformação 2:T R R→ definida por ( , )T x y x y= ⋅ é uma 
transformação linear. 
 
3. Dada a transformação linear :T V W→ , tal que ( ) 3T u u= e ( )T v u v= − , calcular 
em função de u e v: 
a) ( )T u v+ b) (3 )T v c) (4 5 )T u v− 
 
4. Seja 3 3:T ℜ →ℜ o operador linear assim definido na base canônica: 
(1,0,0) (2,3,1)T = , (0,1,0) (5,2,7)T = e (0,0,1) ( 2,0,7)T = − . Determinar ( , , )T x y z e 
mostrar que T é um operador linear. 
 
5. a) Ache a transformação linear 3 2:T ℜ →ℜ tal que (1,0,0) (2,0)T = , 
(0,1,0) (1,1)T = e (0,0,1) (0, 1)T = − . 
b) Encontre 3v∈ℜ tal que ( ) (3, 2)T v = 
 
Gabarito 
3. a) 4u v− b) 3 3u v− c) 7 5u v+ 
4. ( , , ) (2 5 2 ,3 2 , 7 7 )T x y z x y z x y x y z= + − + + + 
5. a) ( )( , , ) 2 ,= + −T x y z x y y z 
b) ( ),3 2 ,1 2= − −v x x x