[Área 3] Aula 6 - Ondas sonoras e intensidade

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Área 3: Aula 6
Ondas: Ondas sonoras e intensidade
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Ondas sonoras
I São ondas longitudinais
I Necessitam de um meio
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Ondas sonoras
Ondas esféricas
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Ondas sonoras
Ondas planas
I Esferas são moléculas do meio
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Ondas sonoras
PV = nRT → PV = m
M
RT
P =
m
VM
RT → P = ρRT
M
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Ondas sonoras
PV = nRT → PV = m
M
RT
P =
m
VM
RT → P = ρRT
M
I Deslocamento de fluido → muda a densidade.
I Mudança de densidade → altera a pressão.
I Alteração na pressão → desloca o fluido.
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Ondas sonoras
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O elemento de fluido começa a diminuir a velocidade durante ∆t =
∆x
v
Temos à esquerda, Fe = PA. À direita, Fd = −(P + ∆P)A.
A soma das duas forças é F = −∆PA.
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A soma das duas forças é F = −∆PA
m a=F → m a=−∆PA
onde m é a massa do elemento.
ρ =
m
V
→ m = ρV
onde V é o volume do elemento.
A velocidade é v =
∆x
∆t
.
V = A∆x → V = Av∆t
m = ρAv∆t
Se a =
∆v
∆t
re-escrevemos ρAv∆t
∆v
∆t
=−∆PA
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ρAv∆t
∆v
∆t
= −∆PA → ρv∆v = −∆P
ρv = −∆P
∆v
→ ρv2 = − ∆P
(
∆v
v
)
V = Av∆t
Quando o fluido tem uma diminuição da velocidade, tem uma diminuição
no volume
∆V = A∆v∆t → ∆V
V
=
A∆v∆t
Av∆t
→ ∆V
V
=
∆v
v
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Temos agora:
ρv2 = − ∆P
(
∆v
v
)
e
∆V
V
=
∆v
v
ρv2 = − ∆P
(
∆V
V
)
O termo − ∆P
(
∆V
V
)
é chamado módulo volumétrico, B.
ρv2 = B → v =
√
B
ρ
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v =
√
B
ρ
B = − ∆P
(
∆V
V
)
Ar:
B ≈ 0, 142 MPa
Água:
B ≈ 2, 2 GPa
Ar:
ρ ≈ 1, 2 kg/m3
Água:
ρ ≈ 1000 kg/m3
Ar: v ≈ 344m/s
Água: v ≈ 1450m/s
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Velocidade das ondas sonoras em um meio:
v =
√
B
ρ
Velocidade das ondas em cordas:
v =
√
τ
µ
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Ondas sonoras
Uma sequência de pulsos gera uma onda progressiva, criando zonas de
compressão e expansão na substância.
Cada parte do fluido oscila em torno de uma posição de equiĺıbrio. O
deslocamento pode ser dado por
s(x , t) = smcos(kx − ωt)
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Ondas sonoras
s(x , t) = smcos(kx − ωt)
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Ondas sonoras
B = − ∆P
(
∆V
V
)
∆P = −∆V
V
B
As oscilações em diferentes regiões geram um ∆s. Com isso, temos uma
alteração no volume do elemento de fluido, ∆V = A∆s.
O volume do elemento de fluido é V = A∆x .
∆P = −B A∆s
A∆x
∆P = −B ∆s
∆x
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Ondas sonoras
∆P = −B ∆s
∆x
s(x , t) = smcos(kx − ωt) →
∆s
∆x
= −ksmsen(kx − ωt)
∆P = Bksmsen(kx − ωt) → ∆P = ∆Pmsen(kx − ωt)
onde ∆Pm = Bksm é a variação de pressão máxima
Substituindo B = ρv2 e k = ω/v → ∆Pm = ρvωsm
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Exemplo: A amplitude de variação de pressão para o som mais fraco de
1000 Hz que o ouvido humano pode detectar é 2, 8 × 10−5 Pa. Isso equi-
vale a qual deslocamento máximo?
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Exemplo: A amplitude de variação de pressão para o som mais fraco de
1000 Hz que o ouvido humano pode detectar é 2, 8 × 10−5 Pa. Isso equi-
vale a qual deslocamento máximo?
∆Pm = ρvωsm
sm =
∆Pm
ρvω
=
∆Pm
ρv(2πf )
=
2, 8 × 10−5 Pa
(1, 21 kg/m3)(343 m/s)(2π(1000 Hz))
= 1, 1 × 10−11 m.
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Ondas sonoras
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Intensidade de uma onda sonora
Queremos obter:
∆K =
mv2s
2
s(x , t) = smcos(kx − ωt)
A velocidade com que o elemento oscila pode ser escrita como
vs(x , t) =
ds(x , t)
dt
= ωsmsin(kx − ωt)
ρ =
m
∆V
→ m = ρ∆V = ρA∆x
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Intensidade de uma onda sonora
vs(x , t) = ωsmsin(kx − ωt) m = ρA∆x
∆K =
mv2s
2
∆K =
ρA∆xω2s2m
2
sin2(kx − ωt)
∆K
∆t
=
∆x
∆t
ρAω2s2m
2
sin2(kx − ωt)
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Intensidade de uma onda sonora
∆K
∆t
=
∆x
∆t
ρAω2s2m
2
sin2(kx − ωt)
Mas v =
∆x
∆t
∆K
∆t
=
ρAvω2s2m
2
sin2(kx − ωt)
<
∆K
∆t
>=
ρAvω2s2m
2
< sin2(kx − ωt) >
< sin2(kx − ωt) >= 1
2
<
∆K
∆t
>=
ρAvω2s2m
4
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Intensidade de uma onda sonora
A onda sonora ao se propagar transmite energia cinética e energia
potencial. Vimos que, na média, a potência se divide igualmente entre a
parte cinética e a potencial.
< P >= 2 <
∆K
∆t
>=
ρAvω2s2m
2
A intensidade de uma onda sonora é obtida dividindo-se a potência média
pela área que a onda intercepta. No caso essa área é A.
I =
< P >
A
→ I = ρvω
2s2m
2
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Problema: Uma onda sonora da forma s = smcos(kx − ωt + φ) viaja
a 343 m/s pelo ar em um tubo horizontal longo. Em um instante uma
molécula A em x = 2, 00 m tem deslocamento máximo de 6 nm enquanto
que a molécula B em x = 2, 07 m tem um deslocamento positivo de 2 nm.
Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários.
Qual é a frequencia da onda?
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Problema: Uma onda sonora da forma s = smcos(kx − ωt + φ) viaja
a 343 m/s pelo ar em um tubo horizontal longo. Em um instante uma
molécula A em x = 2, 00 m tem deslocamento máximo de 6 nm enquanto
que a molécula B em x = 2, 07 m tem um deslocamento positivo de 2 nm.
Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários.
Qual é a frequencia da onda?
Resposta:
s(x , t) = smcos(kx − ωt + φ)
Para a molécula A, (6 nm) = (6 nm)cos(k(2 m)− ωt + φ)
Para a molécula B, (2 nm) = (6 nm)cos(k(2, 07 m)− ωt + φ)
1 = cos(k(2 m)− ωt + φ)
1
3
= cos(k(2, 07 m)− ωt + φ)
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Problema: Uma onda sonora da forma s = smcos(kx − ωt + φ) viaja
a 343 m/s pelo ar em um tubo horizontal longo. Em um instante uma
molécula A em x = 2, 00 m tem deslocamento máximo de 6 nm enquanto
que a molécula B em x = 2, 07 m tem um deslocamento positivo de 2 nm.
Todas as moléculas entre A e B estão com deslocamentos intermediários.
Qual é a frequencia da onda?
Resposta:
1 = cos(k(2 m)− ωt + φ) 1
3
= cos(k(2, 07 m)− ωt + φ)
acos(1) = k(2 m)− ωt + φ acos( 1
3
) = k(2, 07 m)− ωt + φ
Subtraindo → acos(1)− acos( 1
3
) = −k(0, 07 m)
k =
acos(
1
3
)− acos(1)
0, 07 m
= 17, 585 m−1
v =
ω
k
→ ω = kv → 2πf = kv → f = kv
2π
= 960 Hz
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Obrigado!
Próxima aula: Escala de decibéis, ondas isotrópicas, interferência
e ondas estacionárias
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