Guia - Teoria das Estruturas

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Teoria das Estruturas
Prof.ª Esp. Geisla Aparecida Maia Gomes
1ª Edição
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Autoria
Currículo Lattes:
Prof.ª Esp. 
Geisla Aparecida Maia Gomes 
Graduada em Engenharia Civil pelo UNIS. Graduada em Licenciatura Plena em Matemática pela Uni-
versidade Vale do Rio Verde. Pós-graduada em Matemática e Estatística pela Universidade Federal 
de Lavras. Pós-graduada em Física pela Universidade Federal de Lavras. Pós-graduada em Gestão 
Educacional pela FACECA. Pós-graduada em Design Instrucional pela Universidade Federal de Ita-
jubá. Pós-graduanda em Engenharia das Estruturas pelo UNIS. Mestranda em Estatística Aplicada 
e Biometria pela Universidade de Alfenas – UNIFAL. Atualmente atua como professora da Escola 
Estadual Coração de Jesus, como Engenheira Civil na empresa G&G Engenharia e como professora 
na Unidade de Gestão da Educação a Distância do Unis-MG.
http://lattes.cnpq.br/7396303156419720
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GOMES, Geisla Aparecida Maia. Teoris das Estruturas I. Varginha: GEa-
D-UNIS/MG, 2018.
191 p.
1. Teoria das Estruturas. 2. Análise de Estruturas. 3. Estruturas Isostáticas. 
 O Engenheiro Civil é grande protagonista na história de desenvolvimento de um país, pois é 
ele quem cria a infraestrutura necessária para a implantação de empreendimentos dos mais diversos 
vultos e finalidades.
 Em seu trabalho, o Engenheiro Civil projeta e executa todas as etapas de obras civis e, para 
tanto, estuda um grande conjunto de áreas que são apresentadas em forma de disciplinas que com-
põem a grade curricular do curso de Engenharia Civil.
 Sabemos que o Engenheiro projetista precisará estimar todo o carregamento ao qual o edifí-
cio estará submetido e, assim, determinar os esforços solicitantes nas peças estruturais, dimensionar 
tais elementos de maneira que o edifício tenha estabilidade, ou seja, respeitar as leis de equilíbrio 
da Estática e detalhar os elementos estruturais. É importante observar que a incorreta análise de 
esforços de um edifício pode ocasionar o seu subdimensionamento, levando-o ao colapso ou ao seu 
superdimensionamento, gerando custos elevados ao empreendimento.
 Chegamos então na questão que nos transporta à Teoria das Estruturas. A partir de agora 
começaremos a compreender melhor os procedimentos da análise estrutural de estruturas.
Bons estudos!
Forte abraço, 
Profª Geisla Ap. Maia Gomes
Ementa
Orientações
Palavras-chave
Conceitos gerais, carregamentos e idealizações. Estruturas isostáticas simples e asso-
ciadas (vigas, pórticos e arcos triarticulados, treliças, grelhas). Princípio dos trabalhos 
virtuais. Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas: método da carga unitária.
Ver Plano de Estudos da disciplina, disponível no ambiente virtual.
Teoria das Estruturas. Análise de Estruturas. Estruturas Isostáticas. 
Unidade I - Conceitos Básicos de Teoria das Estruturas e Conceitos Básicos de Está-
tica de Estruturas 13
1. Introdução 13
1.1. Conceito prático de estruturas 13
1.2. Tipos de elementos estruturais 14
1.3. Esforços ou ações 16
1.4. Objetivos da análise estrutural 17
1.5. Conceitos básicos da estática 18
1.6. Grandezas fundamentais 18
1.6.1. Força 18
1.6.2. Momento 19
1.7. Equilíbrio de corpos rígidos 21
1.8. Modelos e simplificações de cálculo 22
1.8.1. Simplificações geométricas 22
1.8.2. Representação dos carregamentos 22
1.8.3. Representação dos apoios 24
Unidade II - Esforços Solicitantes Internos 29
2. Introdução 29
2.1. Relações fundamentais da Estática 31
2.1.1. Relações entre os esforços normais e cargas axiais distribuídas 32
2.1.2. Relações entre os esforços cortantes e momentos fletores e carregamento 
transversal 33
Unidade III – Estudo das vigas isostáticas 39
3. Introdução 39
3.1. Vigas simples 39
3.1.1. Vigas biapoiadas 39
3.1.1.1. Viga biapoiada com carga concentrada 40
3.1.1.2. Viga biapoiada com momento concentrado 43
3.1.1.3. Viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído 47
3.1.1.4. Viga biapoiada com carregamento triangular 52
3.2. Princípio da superposição de efeitos 68
3.2.1. Vigas engastadas e livres 73
3. 2. 2. Vigas biapoiadas com balanços 76
Unidade IV - Vigas Gerber e Vigas Inclinadas 82
4.1. Vigas Gerber 82
4.2. Vigas Inclinadas 88
Unidade V - Pórticos ou Quadros Isostáticos Planos e Treliças Isostáticas 99
5. Introdução 99
5.1. Pórticos Planos ou Quadros Isostáticos Planos 99
5.1.1. Pórtico Plano Biapoiado 100
5.2. Pórtico Plano Triarticulado 102
5.3. Pórtico Plano, com Articulação e com Tirante (ou Escora) 105
5.4. Treliças Isostáticas 108
5.4.1. Método dos Nós 108
5.4.2. Método de Ritter (ou das seções) 113
5.4.3. Método de Cremona (Maxwell – Cremona) 114
Unidade VI - Pórticos ou Quadros Isostáticos Planos e Treliças Isostáticas 121
6. Introdução 121
6.1. Classificação das Ações Atuantes nas Estruturas 121
6.2. Cargas Móveis 122
6.3. Linhas de Influência 123
6.4. Linhas de Influência de Vigas Biapoiadas 129
Unidade VII - Deformações em Estruturas Isostáticas – Princípio dos Trabalhos Virtu-
ais e Tabelas para o Cálculo de 133
7. Introdução 133
7.1. Deformações em Estruturas Isostáticas Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais 133
7.1.1. Roteiro Para o Desenvolvimento do Princípio dos Trabalhos Virtuais 134
7.2. Uso de Tabelas Para o Cálculo de 138
Unidade VIII - Hiperestaticidade e Método das Forças (ou Método dos Esforços) 152
8. Introdução 152
8.1. Determinação do Grau de Hiperestaticidade da Estrutura 152
8.1.1. Hiperestaticidade Externa 152
8.1.2. Hiperestaticidade Interna 154
8.1.3. Hiperestaticidade Total (Grau de Hiperestaticidade) da Estrutura 156
8.2. O Método das Forças ou Método dos Esforços 158
Unidade IX - Exercícios Resolvidos 164
9. Introdução 164
9.1. Viga Contínua Com Grau Hiperestático 1 e Inércia Variável 164
9.2. Viga contínua com grau hiperestático 2 169
9.3. Pórtico hiperestático g = 2 176
Unidade X - Método dos Deslocamentos 185
10. Introdução 185
10.1. Exemplo - Pórtico Plano 186
10.2. Exemplo - Viga Engastada-apoiada 187
Referências Bibliográficas 190
Objetivos da Unidade
I Unidade I - Conceitos Básicos de Teoria das Estruturas e Conceitos Básicos de 
Estática de Estruturas
- Conhecer o conceito de estruturas no âmbito da Engenharia 
Civil, bem como os modelos estruturais. 
- Compreender os conceitos de esforços ou ações nas estrutu-
ras. 
- Conhecer os principais objetivos da análise estrutural e sua apli-
cação no contexto da Engenharia Civil. 
- Revisar conceitos básicos da Estática.
- Compreender os modelos e simplificações de cálculo.
- Representar os tipos de apoios.
13
Unidade I - Conceitos Básicos de Teoria das Estruturas e Conceitos Básicos de Está-
tica de Estruturas
1. Introdução
 Uma estrutura é o conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade, 
por exemplo, de uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do comportamento 
estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a modelos estruturais (Valle 
et al, 2009). 
 Conforme Almeida (2009), uma estrutura é, portanto, um conjunto capaz de receber soli-
citações externas, denominadas ativas, absorvê-las internamente e transmiti-lasaté seus apoios ou 
vínculos, onde elas encontram um sistema de forças externas equilibrantes, denominadas forças 
reativas. 
Figura 1 – Esquema – infraestrutura e superestrutura
1.1. Conceito prático de estruturas
 Para a grande área da Engenharia Civil, 
as estruturas representam os elementos resis-
tentes de uma edificação, que podem ser facil-
mente percebidos quando analisamos um edi-
fício. Uma estrutura pode ser dividida em dois 
subsistemas: infraestrutura e superestrutura (ou 
supra estrutura). Observe a Figura I.
Fonte: http://engcarlos.com.br/infraestrutura-de-uma-obra/
14 
 Podemos dizer que a infraestrutura é representada pela fundação do edifício, bem como 
seus elementos acessórios, ou seja, sapatas, estacas, blocos de coroamento, vigas de equilíbrio, tubu-
lões, etc. 
 A superestrutura, por sua vez, é representada pelas vigas, pilares, lajes, escadas, etc. Tais ele-
mentos estruturais podem ser feitos dos mais diversos materiais, sendo mais comumente: concreto 
armado, concreto protendido, aço e madeira. 
 Os elementos estruturais, assim como toda e qualquer estrutura, devem apresentar as pro-
priedades de resistência e de rigidez, isto é, serem capazes de resistir cargas, dentro de certos limi-
tes, sem romperem e sem sofrer grandes deformações ou variações de suas deformações originais 
(Almeida, 2009). 
 Procure algumas edificações e identifique a infraestrutura e a superestrutura. 
 A atuação das forças externas aos elementos estruturais provoca o sur-
gimento de forças reativas internas, que são traduzidas em esforços solicitantes 
que caracterizam tensões transmitidas a cada seção das peças estruturais. As 
solicitações são: força normal, força cortante, o momento fletor e o momento 
torçor.
1.2. Tipos de elementos estruturais
 Segundo Valle et al (2009), os sistemas estruturais são modelos de comportamento ideali-
zados para representação e análise de uma estrutura tridimensional. Em relação às suas dimensões, 
15
direção das ações e elementos estruturais, uma estrutura pode ser classificada em uni, bi e tridimen-
sional.
- Unidimensionais (ou reticulares): estruturas compostas por elementos de barras (elementos 
unidimensionais), ou seja, em que uma das direções (comprimento) prevalece sobre as outras 
duas dimensões. Como exemplo temos as vigas e pilares. (Figura 2)
Figura 2 – Estruturas reticulares formadas por elementos de barra
 Fonte: Almeida, 2009.
- Bidimensionais: são estruturas que apresentam duas dimensões muito mais significativas que a 
terceira. Como exemplo, temos as lajes (Figura 3)
Figura 3 – Estruturas bidimensionais
 Fonte: Almeida, 2009.
16 
- Tridimensionais: são estruturas volumétricas (maciças) em que as três dimensões são significa-
tivas. Como exemplos de estruturas tridimensionais, temos os blocos de coroamento, blocos de 
fundação, etc. (Figura 4)
Figura 4 – Estruturas tridimensionais
 Fonte: Almeida, 2009.
1.3. Esforços ou ações
 Os conjuntos de forças ativas externas, que atuam em uma estrutura, são chamados de 
ações e são divididos em: ações permanentes, variáveis e excepcionais. Segundo a NBR 8681/2003 
– “Ações e segurança nas estruturas – procedimento”, temos: 
- Ações: causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas. As forças e as deforma-
ções impostas pelas ações são consideradas como se fossem as próprias ações. 
- Ações permanentes: ocorrem com valores constantes ou de pequena variação, durante pra-
ticamente toda a vida da construção. Exemplos: peso próprio dos elementos estruturais e de 
vedação. 
- Ações variáveis: ações que ocorrem com valores que apresentam variações significativas em 
torno de sua média, durante a vida da construção. Exemplos: efeitos do vento, variação de tem-
peratura, etc. 
17
- Ações excepcionais: são as ações que têm duração extremamente curta e muito baixa probabi-
lidade de ocorrência durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas nos projetos 
de determinadas estruturas. Exemplos: sismos, enchentes, etc. 
 As ações e sua quantificação, por sua vez, são preconizadas em norma 
(NBR 6120) e obtidas pelo engenheiro calculista (engenheiro de estruturas, 
projetista da superestrutura do edifício – vigas, pilares, etc.) que as repassa em 
forma de planta de cargas da fundação para o engenheiro de fundações (pro-
jetista de fundações).
1.4. Objetivos da análise estrutural
 Em posse da concepção da estrutura desenvolvida e das ações que sobre ela atuam, pode-
mos dizer que os objetivos da análise estrutural são: 
1 – Determinação das reações de apoio: necessárias na própria análise estrutural, para a consi-
deração da ação mútua entre os diversos elementos estruturais. As recíprocas das forças reativas 
de uma dada estrutura (ou elemento estrutural) são utilizadas como forças ativas nas estruturas 
sobre as quais aquela se apoia (Almeida, 2009).
2 – Determinação dos esforços solicitantes internos (ESI): necessários para o posterior dimensio-
namento dos elementos estruturais, os quais, dependendo dos materiais utilizados, irão requerer 
conhecimentos das disciplinas: concreto armado, concreto protendido, aço, madeira, etc. (Almei-
da, 2009). 
3 – Determinação dos deslocamentos em alguns pontos: as vezes é necessária para a própria 
resolução da estrutura (método dos deslocamentos para a análise das estruturas hiperestáticas). 
A limitação da flecha máxima nas vigas é uma verificação exigida pelas normas para evitar a 
deformação excessiva. Em algumas situações, tal limitação é necessária por questões funcionais, 
18 
como por exemplo: acima de janelas com esquadrias, cujo empenamento comprometeria a uti-
lização, podendo levar as vidraças à ruptura (Almeida, 2009). 
1.5. Conceitos básicos da estática
 É necessário revisar alguns conceitos básicos de análise estrutural que foram aprendidos em 
disciplinas como a Física I, Mecânica e Resistência dos Materiais I, para um melhor entendimento do 
conteúdo a ser abordado.
 Para conseguirmos desenvolver os diagramas de esforços solicitantes internos (ESI) e calcu-
larmos o deslocamento em um ponto qualquer de um elemento estrutural (uma viga, por exemplo); 
precisamos desenvolver a concepção dessa estrutura graficamente, bem como avaliar suas condi-
ções de apoio e carregamento e, então, calcular as suas reações de apoio. 
1.6. Grandezas fundamentais
1.6.1. Força
 Podemos caracterizar força como sendo uma grandeza vetorial definida por: direção, senti-
do, intensidade e ponto de aplicação. A Figura 5, traz representações de forças no plano cartesiano 
e no espaço.
Figura 5 – A) Forças no plano cartesiano; B) Representação da força F no espaço.
 Fonte: Almeida, 2009.
19
 Lembrando que no espaço:
1.6.2. Momento
 Momento é uma grandeza vetorial caracterizada por: direção, sentido, intensidade e ponto 
de aplicação. Na prática, o momento representa a tendência de giro, de rotação, em torno de um 
ponto de referência, provocada pela ação de uma força. 
 O momento M de uma força F em relação a um ponto O é função da força F e da distância 
entre a aplicação da força (ponto P) e o ponto O, dado pelo seguinte produto vetorial:
 Pela Figura 6 sabemos que α é o ângulo formado entre OP e F, portanto, o módulo de M 
será dado por:
 Sabemos que a distância entre P e O pode ser calculada como sendo:
 Portanto, temos que:
20 
Figura 6 – Momento M de uma força em relação ao ponto O
 Fonte: Almeida, 2009.
 A regra da mão direita também é um artifício muito utilizado para a compreensão do senti-
do e do eixo de rotação. A direção e o sentido do momento M são dados pelo polegar, quando a 
palma da mão direita é direcionada para o ponto O, o polegar deverá estar perpendicular aosoutros 
quatro dedos, que, por sua vez, deverão apontar no sentido de F. Para entender o princípio da regra 
da mão direita, basta visualizar a Figura 7 a seguir.
Figura 7 – Regra da mão direita
 Fonte: Adaptado de Istock.com por Design Unis EaD
o
P
F • •F
P
o
Mₒ=OP x F
21
1.7. Equilíbrio de corpos rígidos
 Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças e momentos externos que atuam 
sobre ele formam um sistema de forças e momentos equivalentes a zero, isto é, quando o somató-
rio de todas as forças e momentos atuantes na estrutura se igualarem a zero. 
 Essas expressões são chamadas de equações fundamentais da estática. Para análises estrutu-
rais em duas dimensões, temos o apresentado na Figura 8 para garantir a estabilidade da estrutura. 
Figura 8 – Condições de equilíbrio para estruturas em duas dimensões
 Fonte: Almeida, 2009, adaptado. 
 Observando a Figura 8 e suas respectivas equações de equilíbrio, fica 
clara a razão pela qual procura-se idealizar modelos bidimensionais nos proble-
mas da análise de estruturas, uma vez que teríamos o dobro de equações para 
solucionar, caso adotássemos modelos tridimensionais.
22 
1.8. Modelos e simplificações de cálculo
 Para podermos “modelar” numericamente e graficamente os problemas que envolvem a 
análise estrutural, podemos fazer algumas simplificações:
1.8.1. Simplificações geométricas
 Em termos geométricos, os elementos de barra passam a ser representados como unidi-
mensionais e passam a ser representados por uma linha (eixo) que passa pelo centro de gravidade 
das infinitas seções transversais que compõem esses elementos, conforme apresentado na Figura 9.
Figura 9 – Representação geométrica de uma barra
Fonte: Almeida, 2009. 
1.8.2. Representação dos carregamentos
 O carregamento atuante em uma estrutura pode ser classificado quanto ao tipo: forças e 
momentos. Quanto às forças, estas podem ser concentradas ou distribuídas (uniformemente, trian-
gulares, etc.), já com relação aos momentos, estes são considerados concentrados ou distribuídos. 
- Cargas concentradas: neste quesito podemos enquadrar tanto forças quanto momentos que 
são distribuídos em áreas de pequenas dimensões, em comparação com as dimensões da estru-
23
tura em análise. 
- Cargas distribuídas: forças e momentos podem ser, de maneira simplificada, considerados dis-
tribuídos ao longo de um comprimento. Neste caso, uma das dimensões da área sobre a qual a 
força se transfere é pequena quando comparada com a outra dimensão. Em projetos estruturais, 
as ações das lajes sobre as vigas são exemplos de carregamentos distribuídos linearmente (Almei-
da, 2009). A unidade de força distribuída mais usual é kN/m.
 É importante ressaltar que podemos ter carregamentos distribuídos de diferentes formatos, 
porém, é sabido que a resultante destes carregamentos é numericamente igual à área delimitada 
pela função que o descreve. Desta forma, temos que a resultante (R) de uma carga distribuída ao 
longo de um elemento de barra de comprimento L e expressa pela função q (x), será:
 Sendo que a resultante (R) será coincidente com o centro de gravidade do diagrama de q 
(x). 
 A seguir (Figura 10) é apresentado um resumo dos carregamentos distribuídos mais utiliza-
dos na prática, com as suas resultantes e respectivos pontos de aplicação. 
24 
Figura 10 – Resumo dos carregamentos distribuídos
Fonte: Almeida, 2009. 
1.8.3. Representação dos apoios
 Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos, não basta apenas conhecer as forças externas 
que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo rígido está apoiado.
 Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem 
a seguinte classificação:
- Apoio do 1° gênero (apoio simples): impede a movimentação da estrutura na direção perpen-
dicular (translação) ao plano de apoio; permite a movimentação paralela (translação) ao plano de 
25
apoio e permite a rotação. 
- Apoio do 2° gênero (rótula, apoio fixo ou articulação): impede a movimentação (translação) na 
direção normal e paralela ao plano de apoio; permite a rotação. 
- Apoio do 3° gênero (engaste): impede a movimentação (translação) na direção normal e para-
lela ao plano de apoio e impede a rotação. Veja a Figura 11.
Figura 11 – Representação dos apoios em estruturas planas.
Fonte: Almeida, 2009. 
26 
- Estrutura: conjunto capaz de receber solicitações externas, denominadas 
ativas, absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios ou vínculos. 
- Edifício: sistema estrutural dividido em dois subsistemas principais: 
- Infraestrutura: representada pela fundação do edifício, bem como seus 
elementos acessórios (sapatas, estacas, blocos de coroamento, etc.). 
- Superestrutura (ou supra estrutura): representada pelas vigas, pilares, lajes, escadas, etc. 
- Sistemas estruturais: são modelos de comportamento idealizados para representação e aná-
lise de uma estrutura tridimensional. 
- Quanto às dimensões e às direções das ações, os elementos estruturais podem ser classifi-
cados em: unidimensionais (vigas e pilares); bidimensionais (lajes) e tridimensionais (blocos de 
fundação). 
- Ações: causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas. Revisar os conceitos 
fundamentais apresentados na NBR 8681/2003 – “Ações e segurança nas estruturas – proce-
dimento” e na NBR 6120 – “Cargas para o cálculo de estruturas de edificações”. 
- Objetivos da análise estrutural: determinação das reações de apoio; determinação dos esfor-
ços solicitantes internos e determinação dos deslocamentos dos elementos estruturais. 
- Condições de equilíbrio de corpos rígidos no espaço:
- Condições de equilíbrio de corpos em duas dimensões:
- A resultante (R) de uma carga distribuída ao longo de um elemento de barra de comprimen-
to L e expressa pela função q(x), é:
27
- Apoio do 1° gênero: impede a movimentação da estrutura na direção perpendicular (trans-
lação) ao plano de apoio; permite a movimentação paralela (translação) ao plano de apoio e 
permite a rotação. 
- Apoio do 2° gênero: impede a movimentação (translação) na direção normal e paralela ao 
plano de apoio; permite a rotação. 
- Apoio do 3° gênero: impede a movimentação (translação) na direção normal e paralela ao 
plano de apoio e impede a rotação. 
Objetivos da Unidade
II Unidade II - Esforços Solicitantes Internos
- Apresentar e analisar os esforços internos que uma estrutura 
está submetida.
- Analisar o comportamento interno de uma estrutura.
29
Unidade II - Esforços Solicitantes Internos
3. Introdução
 Há a interação entre o corpo rígido de estudo e as forças externas (ativas e reativas) que 
atuam sobre ele. Tal interação se dá através de forças internas que são mobilizadas em todas as 
seções contíguas de um corpo submetido à ação de um conjunto de forças externas. 
 Imaginemos um corpo rígido, conforme a Figura 2.1, submetido a um sistema de forças ex-
ternas em equilíbrio. Criando uma seção S seccionando o corpo, dividindo-o em duas partes, fica 
evidente a necessidade de introduzirmos um sistema de forças capaz de manter em equilíbrio as 
duas partes citadas. Observar que estas forças internas variam dependendo da posição da seção S. 
As forças internas correspondem à interação entre as partículas do sólido, que se encontram nos 
dois lados da seção imaginária S. Segundo o princípio da ação e reação, estas forças são sempre 
recíprocas (iguais direções, intensidades e ponto de aplicação, mas com sentidos opostos). A parte 
direita do corpo age sobre a parte esquerda e vice-versa, de tal forma que as forças que aparecem 
em ambos os lados formam também um sistema de forças, desta vez internas, em equilíbrio (Almei-
da, 2009). 
Figura 2.1 – A) Corpo submetido a umsistema de forças externas em equilíbrio; B) Tensões internas em uma seção 
genérica S.
Fonte: Almeida, 2009. 
30 
 Conforme Almeida (2009), a distribuição das forças internas no plano da seção S se dá atra-
vés das tensões. A resultante destas tensões encontra-se reduzida ao centro de gravidade da seção, 
onde obteremos a resultante das forças e momentos. 
 Considerando um sistema de eixos ortogonais, podemos obter as três componentes das 
forças R: Rx, Ry e Rz; e as três componentes do momento resultante M: Mx, My e Mz. Estas compo-
nentes citadas são denominadas esforços solicitantes internos (ESI) da seção S.
 Em estruturas tridimensionais, os seis esforços solicitantes internos podem ser observados, 
conforme a Figura 3.2. A componente Rx designará o esforço normal, representado por N. As com-
ponentes Ry e Rz são esforços cortantes Qy e Qz. A componente do momento em torno do eixo 
x, ou seja, Mx denomina-se momento torsor, representado por T. As componentes do momento M, 
segundo os eixos y e z, são os momentos fletores, respectivamente My e Mz. 
Figura 2.2 – A) Resultante do sistema de forças e momentos atuando no centro de gravidade da seção S; B) Esforços 
solicitantes internos na seção S de uma estrutura espacial.
Fonte: Almeida, 2009. 
31
 De maneira a padronizar o desenvolvimento dos diagramas de esforços solicitantes, temos 
a Tabela 2.1 a seguir.
Tabela 2.1 – Convenções para esforços solicitantes internos
Fonte: Almeida, 2009. 
 Em termos de estruturas planas, conhecendo-se as forças externas que atuam nesta, pode-
mos determinar os esforços solicitantes internos (N, Q e M) em qualquer seção transversal e, desta 
forma, desenvolver os diagramas de esforços solicitantes: DEN (diagrama de esforços normais), 
DEC (diagrama de esforços cortantes) e DEM (diagrama de momentos fletores). 
2.1. Relações fundamentais da Estática
32 
 Conforme observado anteriormente, os ESI variam em função da posição da seção de estu-
do, portanto, podemos dizer que tais esforços são funções do eixo x da barra. Sabemos que os ESI 
dependem também do carregamento a que a barra está submetida. A relação entre o carregamento 
e os esforços solicitantes internos é o que chamamos de relações fundamentais da estática. 
2.1.1. Relações entre os esforços normais e cargas axiais distribuídas
 Dada a viga da Figura 2.3 para garantir o equilíbrio estático nestas condições, temos que:
 Portanto, a derivada da função N em relação à x é igual à função do carregamento axial p 
(x), porém com o sinal trocado.
 Integrando entre os pontos genéricos 1 e 2, temos o esforço normal compreendido neste 
trecho:
33
Figura 2.3 – A) Viga submetida a carregamento axial distribuído; B) Equilíbrio de um elemento infinitesimal; C) Trecho 1-2
Fonte: Almeida, 2009. 
2.1.2. Relações entre os esforços cortantes e momentos fletores e carregamento 
transversal
 Dada a viga da Figura 2.3, a relação entre os citados esforços é obtida considerando o equi-
líbrio do elemento infinitesimal de comprimento dx, portanto, fazendo-se o equilíbrio de forças na 
vertical, temos que:
 Fazendo-se o somatório de momentos em relação ao ponto 2 e igualando a zero, temos:
34 
 Sabemos que dx é um elemento infinitesimal e, elevado ao quadrado se tornaria menor 
ainda, portanto, a parcela (dx)² da equação acima pode ser considerada nula, então, reescrevendo a 
equação:
 Integrando a função q (x) que expressa o carregamento transversal distribuído ao longo da 
viga, teremos a variação do cortante entre os pontos 1 e 2:
 De maneira análoga, temos que:
Figura 2.4 – A) Viga submetida a carregamento transversal distribuído q(x); B) Equilíbrio de um elemento infinitesimal dx.
Fonte: Almeida, 2009. 
1. (Sussekind, 1981) Obter os esforços simples atuantes nas seções S1 e S2 
da estrutura da Figura 2.5, submetida ao carregamento indicado (em tone-
ladas força, t).
35
Figura 2.5 – Estrutura para análise, exercício 03.
 Fonte: Sussekind, 1981
 Para obtermos os esforços simples, necessitamos inicialmente calcular as reações de 
apoio. A partir das equações de equilíbrio, temos:
 Os sinais positivos encontrados no cálculo das reações de apoio indicam que os sen-
tidos arbitrados estão corretos. 
a) Análise da seção S1:
 Calculando pelas forças à esquerda, temos o esquema indicado na Figura 2.6 a seguir, 
36 
a partir do qual, obtemos:
Ns1 = -1 t (compressão)
Qs1 = 0
Ms1 = +18 t.m (o sinal positivo indica que as fibras tracionadas são as do lado pontilhado).
Figura 2.6 – Análise da seção S1 pela esquerda
 Fonte: Sussekind, 1981.
 Os esforços poderiam também ser calculados pelas forças da direita, obtendo-se os 
mesmos valores, evidentemente, conforme indica a Figura 2.6.
Figura 2.7 – Análise da seção S1 pela direita
Fonte: Sussekind, 1981
37
b) Análise da seção S2:
 Calculando pelas torças à esquerda temos, conforme o esquema da figura ao lado:
Ns2 = 0
Qs2 = 1 t
Ms2 = 21 t.m
Figura 2.8 – Análise da seção S2 pela esquerda
 Fonte: Sussekind, 1981
- Esforços solicitantes: esforço normal, esforço cortante, momento fletor e 
momento torçor. 
- Relações entre os esforços normais e cargas axiais distribuídas:
- Relações entre os esforços cortantes e momentos fletores e carregamento transversal:
Objetivos da Unidade
III Unidade III - Estudo das vigas isostáticas
- Conhecer e elaborar a concepção estrutural dos principais ti-
pos de vigas.
- Elaborar os diagramas de esforços solicitantes internos de vigas 
isostáticas.
39
Unidade III – Estudo das vigas isostáticas
3. Introdução
 Uma viga pode ser considerada um elemento estrutural representado por uma barra, ou 
seja, um elemento em que uma das suas dimensões é muito maior em relação às demais, permitindo 
que a tratemos como unidimensional. Desta forma, a viga é um modelo plano, sendo considerado 
que a estrutura e o carregamento a ela submetidos são aplicados a um único plano. 
 As vigas podem ser consideradas simples (biapoiada, engastada e livre e biapoiada com ba-
lanços) ou compostas (vigas Gerber). As vigas simples são compostas basicamente por um único 
elemento de barra, enquanto as vigas compostas são formadas por associações de vários elementos 
de barra, ou seja, por várias vigas simples.
 Podemos generalizar e dizer que o estudo das vigas isostáticas constitui a base de todo o 
aprendizado do comportamento das estruturas. Os conceitos teóricos que serão apresentados se 
aplicam, em geral, aos demais tipos de estruturas. 
 É através da análise do carregamento e do desenvolvimento de dia-
gramas de esforços solicitantes de uma viga que podemos dimensioná-la e 
detalhá-la, permitindo que, dessa maneira, seja possível executá-la em obra.
3.1. Vigas simples
3.1.1. Vigas biapoiadas
 Vigas biapoiadas são estruturas planas definidas por um único elemento de barra, com dois 
apoios em suas extremidades. Como tratamos de estruturas isostáticas, um destes apoios será do 
primeiro gênero e o outro será do segundo gênero. 
40 
 Para se verificar como variam os esforços solicitantes internos de uma estrutura devemos 
estudar esses esforços ao longo de toda ela. Para isso utilizamos os diagramas de esforço cortante e 
momento fletor. 
 Vamos construir os diagramas de esforço cortante e momento fletor para as vigas a seguir:
3.1.1.1. Viga biapoiada com carga concentrada
 Genericamente, para uma viga biapoiada com carga concentrada temos, pela Figura 3.1:
Figura 3.1 – Viga biapoiada submetida a uma carga concentrada P
Fonte: Almeida, 2009
a) Cálculo das reações de apoio:
 Para avaliarmos o comportamento estrutural dessa viga, precisamos primeiramente calcular 
as reações em seus apoios:
- Desenvolvendo-seo somatório de forças na direção x (horizontal), temos:
41
- Desenvolvendo-se o somatório de momentos no apoio A, temos:
- Desenvolvendo-se o somatório de forças na direção y (vertical), temos:
b) Diagrama de momentos fletores:
 Em posse das reações de apoio, podemos começar a desenvolver o diagrama de momentos 
fletores:
- Estudando o trecho I da viga, que varia de A a C, temos: 
Trecho I: 0 ≤ x ≤ a
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = 0, M = 0 e 
quando x = a, M = Pba/L. 
- Estudando o trecho II da viga, que varia de C a B, temos: 
Trecho II: a ≤ x ≤ L
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = a, M = M = 
Pba/L e quando x = L, M = 0. 
- Com estes resultados é possível traçar o diagrama de momentos fletores apresentados na 
42 
Figura 3.2, a seguir. Observe que quando o momento fletor for positivo, indicaremos que a viga 
estará sendo tracionada em suas fibras inferiores. Desenharemos o diagrama de momentos fleto-
res sempre para o lado da região tracionada. Nos trechos onde não há carregamento na viga, o 
diagrama de momentos fletores se comportará como uma reta e apresentará um ponto anguloso 
no ponto de aplicação da carga concentrada (ponto C).
Figura 3.2 – Diagrama de momentos fletores de uma viga biapoiada submetida à carga concentrada
Fonte: Almeida, 2009
c) Diagrama de esforços cortantes:
 Em posse das reações de apoio, podemos desenvolver também o diagrama de esforços 
cortantes:
- Estudando o trecho I da viga, que varia de A a C, temos: 
Trecho I: 0 ≤ x ≤ a
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = 0, Q = Pb/L e 
quando x = a, Q = Pb/L. 
- Estudando o trecho II da viga, que varia de C a B, temos: 
Trecho II: a ≤ x ≤ L
43
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = a, Qd = -Pa/L 
e quando x = L, Q = -Pa/L
- Com estes resultados é possível traçar o diagrama de esforços cortantes apresentado na Fi-
gura 3.3, a seguir. Observe que consideraremos o esforço cortante positivo quando o sentido 
de giro deste for horário e o desenharemos na parte superior da viga. Em trechos onde não há 
carregamento na viga, o diagrama de esforços cortantes será uma reta horizontal. No ponto de 
aplicação do carregamento (ponto C) concentrado haverá uma descontinuidade no diagrama 
com magnitude igual à força aplicada (no caso, força P). 
Figura 3.3 – Diagrama de esforços cortantes de uma viga biapoiada submetida à carga concentrada
Fonte: Almeida, 2009
3.1.1.2. Viga biapoiada com momento concentrado
 Viga biapoiada submetida a uma carga momento concentrada, conforme apresentado na 
Figura 3.4 a seguir, vamos desenvolver os seus respectivos diagramas de esforços cortantes e mo-
mentos fletores.
44 
Figura 3.4 – Viga biapoiada submetida a um momento concentrado M
Fonte: Almeida, 2009
a) Cálculo das reações de apoio
- Desenvolvendo-se o somatório de forças na direção x (horizontal), temos:
- Desenvolvendo-se o somatório de momentos no apoio A, temos:
- Desenvolvendo-se o somatório de forças na direção y (vertical), temos:
45
b) Diagrama de momentos fletores:
 Em posse das reações de apoio, podemos começar a desenvolver o diagrama de momentos 
fletores:
- Estudando o trecho I da viga, que varia de A a C, temos: 
Trecho I: 0 ≤ x ≤ a
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = 0, M = 0 e 
quando x = a, M = -Ma/L (momento fletor à esquerda de C). 
- Estudando o trecho II da viga, que varia de C a B, temos: 
Trecho II: a ≤ x ≤ L
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = a, M = Mb/L 
(momento fletor à direita de C) e quando x = L, M = 0. 
 Para o traçado do diagrama de momentos fletores, devemos levar em consideração alguns 
aspectos muito importantes: o momento fletor em cada um dos apoios é nulo; a equação M(x) em 
cada um dos trechos (I e II) é tipicamente do 1° grau, denotando que teremos duas retas; quando 
avaliamos o momento fletor no ponto C pela esquerda e pela direita obtivemos resultados diferen-
tes, porém, a soma destes em módulo é numericamente equivalente à carga momento concentrada 
aplicada no ponto de análise, denotando claramente que este é um ponto de descontinuidade no 
diagrama; unindo os pontos dos apoios aos seus respectivos valores de momentos fletores no ponto 
C, teremos o diagrama completo, conforme a Figura 3.5.
46 
Figura 3.5 – Diagrama de momentos fletores de uma viga biapoiada submetida a um momento concentrado.
Fonte: Almeida, 2009
c) Diagrama de esforços cortantes:
 Em posse das reações de apoio, podemos começar a desenvolver o diagrama de esforços 
cortantes e podemos estudar a viga toda como se fosse em trecho único, visto que não há aplicação 
de forças entre os apoios, portanto:
- Estudando o trecho que varia de A a B, temos: 
Trecho AB: 0 ≤ x ≤ L
 Equacionando o esforço cortante para um ponto intermediário qualquer, temos:
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = 0, M = -M/L e 
quando x = L, M = -M/L. 
 Para o traçado do diagrama de esforços cortantes, observamos que teremos uma reta hori-
zontal, representada abaixo do eixo da viga, visto que em todos os pontos da viga o esforço cortante 
é constante, portanto, o diagrama fica conforme representado na Figura 3.6.
47
Figura 3.6 – Diagrama de esforços cortantes de uma viga biapoiada submetida a um momento concentrado
Fonte: Almeida, 2009
3.1.1.3. Viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído
 Dada uma viga biapoiada submetida a um carregamento uniformemente distribuído, confor-
me apresentado na Figura 3.7 a seguir, vamos desenvolver os seus respectivos diagramas de esforços 
cortantes e momentos fletores.
Figura 3.7 – Viga biapoiada submetida a um carregamento uniformemente distribuído
Fonte: Almeida, 2009
48 
a) Cálculo das reações de apoio:
- Desenvolvendo-se o somatório de forças na direção x (horizontal), temos:
- Desenvolvendo-se o somatório de momentos no apoio A, temos:
- Desenvolvendo-se o somatório de forças na direção y (vertical), temos:
b) Diagrama de momentos fletores:
 Em posse das reações de apoio, podemos começar a desenvolver o diagrama de momentos 
fletores. Observe que como temos um único carregamento, constante e uniforme, ao longo da viga, 
adotaremos um único trecho de estudo. 
- Estudando o único trecho da viga, que varia de A a B, temos: 
Trecho AB: 0 ≤ x ≤ L
 Equacionando o momento fletor para uma seção genérica S, temos: 
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = 0, M = 0 e 
quando x = L, M = 0. Observamos, portanto, que uma viga biapoiada submetida a um carregamento 
49
uniformemente distribuído apresenta momentos fletores nulos em seus apoios, porém, é sabido que 
esse momento não é nulo em toda a viga. Para tanto, estudaremos de maneira mais detalhada como 
o momento fletor se comporta ao longo do comprimento da mesma. 
 Como podemos descobrir o momento máximo a que a viga estará 
submetida?
 Derivando-se a equação genérica para M(x) e igualando-a a zero, obteremos o ponto de 
máximo da função:
 Ou seja, conclui-se que o momento será máximo no meio da viga, portanto, em L/2. Apli-
cando tal valor para x na equação M(x), descobriremos a magnitude de tal momento fletor:
 Portanto, o momento fletor máximo será da magnitude de qL²/8. 
 Em trechos onde há carregamento uniformemente distribuído em vigas, o momento fletor é 
dado conforme uma parábola que fica evidenciada pela equação do 2° grau apresentada para M(x), 
anteriormente. 
 Para a representação gráfica do diagrama (Figura 3.8), faremos o traçado de uma parábola 
que será desenhadano lado em que a viga está tracionada. Conforme apresenta Almeida (2009), 
seguiremos o seguinte roteiro: a partir da linha construtiva tracejada definida pelos valores de mo-
50 
mentos fletores nos apoios e no centro da viga, marca-se duas vezes o valor de qL²/8. O primeiro 
ponto será o máximo da parábola e o segundo, quando ligado aos valores de momentos fletores 
aos apoios, permite a obtenção das tangentes à parábola. 
Figura 3.8 - Diagrama de momentos fletores de uma viga biapoiada submetida a carregamento uniformemente distri-
buído
Fonte: Almeida, 2009
c) Diagrama de esforços cortantes:
 Da mesma forma como desenvolvemos o diagrama de momentos fletores, desenvolvere-
mos o diagrama de esforços cortantes. 
- Estudando o trecho I da viga, que varia de A a B, temos: 
Trecho I: 0 ≤ x ≤ L
 Equacionando o esforço cortante para uma seção genérica S, temos:
51
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = 0 e x = L, Q 
= qL/2, em ambos os casos. Observamos, portanto, que uma viga biapoiada submetida a um carre-
gamento uniformemente distribuído apresenta esforços cortantes iguais às suas respectivas reações 
de apoio nas extremidades, e no intermédio da viga ela se comportará como uma reta, evidenciada 
pela equação apresentada acima.
 Será que, em algum ponto ao longo do comprimento da viga, o esforço 
cortante se anulará?
 Para respondermos à questão proposta, basta igualarmos a equação genérica para o esforço 
cortante a zero, ou seja:
 Portanto, observamos que exatamente no centro da viga, ou seja, em L/2 teremos um 
esforço cortante nulo, o que faz todo sentido dada a relação entre o momento fletor e o esforço 
cortante apresentada em outro momento dos nossos estudos. Ou seja, onde o momento fletor é 
máximo, o esforço cortante apresentou-se nulo.
 Para o traçado do diagrama de esforços cortantes (Figura 3.9), basta indicarmos as magnitu-
des das reações de apoio nas extremidades e uni-las por uma reta. Observe que, exatamente em 
L/2, a reta cruza-se com o eixo da viga, evidenciando que o esforço cortante naquele ponto é nulo. 
52 
Figura 3.9 - Diagrama de esforços cortantes de uma viga biapoiada submetida a carregamento uniformemente distribuído
Fonte: Almeida, 2009
3.1.1.4. Viga biapoiada com carregamento triangular
 Dada uma viga biapoiada submetida a um carregamento triangular, conforme apresentado 
na Figura 3.10 a seguir, vamos desenvolver os seus respectivos diagramas de esforços cortantes e 
momentos fletores. 
Figura 3.10 - Viga biapoiada submetida a carregamento triangular q(x)
Fonte: Almeida, 2009
53
a) Cálculo das reações de apoio:
- Desenvolvendo-se o somatório de forças na direção x (horizontal), temos:
- A força resultante de um carregamento triangular é numericamente igual à área do seu diagrama 
e seu ponto de aplicação é no centro de gravidade do elemento geométrico que descreve esse 
carregamento, no caso, um triângulo, localizando-se a 1/3 (um terço) da base. Desenvolvendo-se 
o somatório de momentos no apoio A, temos:
- Desenvolvendo-se o somatório de forças na direção y (vertical), temos:
b) Diagrama de momentos fletores:
 Em posse das reações de apoio, podemos começar a desenvolver o diagrama de momentos 
fletores. Observe que como temos um único carregamento - constante - ao longo da viga, adotare-
mos um único trecho de estudo. 
- Estudando o único trecho da viga, que varia de A a B, temos: 
Trecho AB: 0 ≤ x ≤ L
 Para equacionarmos o momento fletor para uma seção genérica S, temos primeiramente 
que conhecer o valor da resultante R e para tanto, podemos descobrir o valor de y através da se-
melhança entre triângulos:
54 
Figura 3.11 - Viga biapoiada submetida a carregamento triangular q(x), análise genérica.
Fonte: Almeida, 2009, adaptado
 Dessa forma:
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = 0, M = 0 e 
quando x = L, M = 0. Observamos, portanto, que uma viga biapoiada submetida a um carregamento 
triangular apresenta momentos fletores nulos em seus apoios, porém, é sabido que esse momento 
não é nulo em toda a viga. Para tanto, estudaremos de maneira mais detalhada como o momento 
fletor se comporta ao longo do comprimento da mesma. 
 Como podemos descobrir o momento máximo a que a viga condicio-
nada a um carregamento triangular estará submetida?
55
 Derivando-se a equação genérica para M(x) e igualando-a a zero, obteremos o ponto de 
máximo da função:
 É importante observar que obtemos na realidade duas raízes para a equação desenvolvida 
acima, porém, somente a raiz positiva é coerente com o exemplo apresentado, pois é a única que 
estará no intervalo de validade da função, ou seja, 0 ≤ x ≤ L. 
 Portanto, conclui-se que o momento será máximo na posição 0,577L. Aplicando tal valor 
para x na equação M(x), descobriremos a magnitude de tal momento fletor:
 Portanto, o momento fletor máximo será da magnitude de 0,0642qL². 
 Em trechos onde há carregamento triangular em vigas, o momento fletor é dado conforme 
uma curva do 3° grau apresentada para M(x), anteriormente. 
 Para a representação gráfica do diagrama (Figura 3.12), seguiremos o seguinte roteiro, apre-
sentado por Almeida (2009): a partir da linha construtiva tracejada que será definida pelos momen-
tos fletores nos pontos estudados (apoios) e a 1/3 da base do triângulo de carregamento, marca-se 
em escala o valor auxiliar de qL²/9. O ponto obtido, quando ligado aos apoios, permite a obtenção 
das tangentes à curva nestes trechos. O ponto de máximo (x = 0,577L) fornece as informações 
adicionais necessárias ao traçado da parábola do 3° graus representada pela equação de M(x). 
56 
Figura 3.12 - Diagrama de momentos fletores de uma viga biapoiada submetida a carregamento triangular
Fonte: Almeida, 2009
c) Diagrama de esforços cortantes:
 Da mesma forma como desenvolvemos o diagrama de momentos fletores, desenvolvere-
mos o diagrama de esforços cortantes. 
- Estudando o trecho I da viga, que varia de A a B, temos: 
Trecho I: 0 ≤ x ≤ L
 Baseando-se na Figura 30 e equacionando o esforço cortante para uma seção genérica S, 
temos:
 Partindo da equação anterior, podemos fazer a seguinte análise: quando x = 0, Q = qL/6 e 
57
quando x = L, Q = qL/3. Observamos, portanto, que uma viga biapoiada submetida a um carrega-
mento uniformemente distribuído apresenta esforços cortantes iguais às suas respectivas reações de 
apoio nas extremidades, e no intermédio da viga ela se comportará como uma parábola, evidenciada 
pela equação do 2° grau apresentada acima. 
 Será que, em algum ponto ao longo do comprimento da viga, o esforço 
cortante se anulará?
 Para respondermos à questão proposta, basta igualarmos a equação genérica para o esforço 
cortante a zero, ou seja:
 Portanto, observamos que exatamente em x = 0,577L teremos um esforço cortante nulo, o 
que faz todo sentido dada a relação entre o momento fletor e o esforço cortante apresentada em 
outro momento nos nossos estudos. Ou seja, onde o momento fletor é máximo, o esforço cortante 
apresentou-se nulo.
 Para o traçado do diagrama de esforços cortantes (Figura 3.13), indicaremos as magnitudes 
das reações de apoio nas extremidades. Observe que, exatamente em 0,577L, a curva cruza-se com 
o eixo da viga, evidenciando que o esforço cortante naquele ponto é nulo. A tangente horizontal 
acontecerá em A, pois dQ(x)/dx = - q = 0, portanto, desta maneira, conhecendo-se também a 
concavidade da parábola, é possível desenvolver o traçado final do diagrama de momentos fletores.
58 
Figura 3.13 - Diagrama de esforços cortantes de uma viga biapoiada submetida a carregamento triangular
Fonte:Almeida, 2009
1. Dada a viga biapoiada a seguir, submetida a três cargas concentradas dis-
tintas, desenvolva os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores 
da mesma.
Resolução
O primeiro passo para resolvermos o problema proposto é organizá-lo e discriminá-lo em 
trechos, conforme apresentado a seguir:
59
O próximo passo é calcular as reações de apoio, conforme será feito a seguir:
 Em posse de tais resultados, temos condições de traçar os diagramas de esforços 
cortantes e momentos fletores.
 Estudando a viga por trechos, iremos equacionar o esforço cortante para cada uma 
das seções indicadas (S1, S2, S3 e S4). Observe que é importante estudar separadamente 
cada trecho em que há variação do carregamento, conforme desenvolvemos abaixo.
Trecho I (A a Cesq): 0 ≤ x1 < 3,0 m
60 
Trecho II (Cdir a Desq): 3,0 < x2 < 7,0 m
Trecho III (Ddir a Eesq): 7,0 < x3 < 10,0 m
Trecho IV (Edir a B): 10,0 < x4 ≤ 14,0 m
 Da mesma forma, iremos equacionar o momento fletor para cada uma das seções 
indicadas (S1, S2, S3 e S4): 
Trecho I (A a C): 0 ≤ x1 ≤ 3,0 m
Trecho II (C a D): 3,0 ≤ x2 ≤ 7,0 m
Trecho III (D a E): 7,0 ≤ x3 ≤ 10,0 m
61
 
Trecho IV (E a B): 10,0 ≤ x4 ≤ 14,0 m
 Avaliaremos agora o comportamento de alguns pontos importantes para o traçado 
dos diagramas:
Ponto de 
análise
Esforço 
cortante (kN)
Momento fletor
(kN.m)
A 44,3 0,0
Cesq 44,3
132,9
Cdir 24,3
Desq 24,3
230,0
Ddir -15,7
Eesq -15,7
182,9
Edir -45,7
B -45,7 0,0
 Desta maneira, podemos traçar os diagramas de esforços cortantes (DEC) e momen-
tos fletores (DMF):
DEC:
62 
 
DMF:
2. Dada a viga biapoiada a seguir (Figura 3.12), submetida a um carregamento uniformemente 
distribuído de 10,0 kN/m, desenvolva os diagramas de esforços cortantes e momentos fleto-
res da mesma.
Resolução
Como o carregamento ao longo da viga não varia, podemos trabalhar com um único trecho 
de estudo, conforme será apresentado a seguir (Figura 3.22).
Cálculo das reações de apoio:
63
 
 Em posse de tais resultados, temos condições de traçar os diagramas de esforços 
cortantes e momentos fletores.
 Como trata-se de carregamento constante ao longo da viga, trabalharemos com um 
único trecho de estudo para equacionarmos o esforço cortante e o momento fletor em uma 
seção genérica S1:
Trecho I (A a B): 0 ≤ x ≤ 7,0 m
 Portanto, teremos um esforço cortante nulo quando x = 3,5 m, pois:
 Tal situação implica em dizer que teremos o momento máximo atuante nesta viga 
também em x = 3,5 m. Equacionando o momento fletor, temos que:
 É sabido que o momento máximo (qL²/8) ocorrerá na seção x = 3,5 m (0,5 L), por-
tanto:
64 
 
 Organizaremos agora o comportamento de alguns pontos importantes para o traçado 
dos diagramas:
Ponto de 
análise
Esforço 
cortante (kN)
Momento fletor
(kN.m)
A 35,0 0,0
x = 3,5 m 0,0 61,3
B -35,0 0,0
 Valendo-se dos pontos obtidos na Tabela acima (Tabela 3.2) e sabendo-se que, para 
a situação apresentada no exercício 02, o esforço cortante é representado por uma equação 
do 1° grau e o momento fletor é representado por uma equação do 2° grau, temos condi-
ções de traçar os seguintes diagramas:
DEC:
DMF:
65
 
3. Dada a viga biapoiada a seguir, submetida a um carregamento triangular de 15,0 kN/m, 
desenvolva os diagramas de esforços cortantes e momentos fletores da mesma. 
Resolução
Como o carregamento ao longo da viga não varia, podemos trabalhar com um único trecho 
de estudo, conforme será apresentado a seguir.
Cálculo das reações de apoio:
66 
 
 Em posse de tais resultados, temos condições de traçar os diagramas de esforços 
cortantes e momentos fletores.
 Como trata-se de carregamento constante ao longo da viga, trabalharemos com um 
único trecho de estudo para equacionarmos o esforço cortante e o momento fletor em uma 
seção genérica S1. Para tanto, precisamos estudar o comportamento do carregamento trian-
gular nesta seção:
 Através de uma semelhança de triângulos, temos que:
Trecho I (A a B): 0 ≤ x ≤ 5,0 m
 Portanto, teremos um esforço cortante nulo quando x = 2,89 m (0,577 L), pois:
67
 
 Tal situação implica em dizer que teremos o momento máximo atuante nesta viga 
também em x = 2,89 m. Equacionando o momento fletor, temos que:
 É sabido que o momento máximo (0,0642qL²) ocorrerá na seção x = 2,89 m, portan-
to:
 Organizaremos agora o comportamento de alguns pontos importantes para o traça-
do dos diagramas:
Ponto de 
análise
Esforço 
cortante (kN)
Momento fletor
(kN.m)
A 12,5 0,0
x = 2,89 m 0,0 24,1
B -25,0 0,0
 Em posse de tais dados, podemos desenvolver, de maneira análoga aos exemplos 
anteriores, os diagramas de esforços cortantes e diagrama de momentos fletores.
DEC:
68 
 
DMF
3.2. Princípio da superposição de efeitos
 De acordo com Almeida (2009), quando uma estrutura está submetida a mais de uma carga 
ou carregamento, numa análise linear elástica, então os esforços internos em qualquer seção, as re-
ações de apoio, os deslocamentos, enfim, todos os efeitos que surgem devidos aos carregamentos, 
podem ser calculados como a soma dos resultados encontrados para cada caso de carregamento. 
Este princípio é o que chamamos de Princípio da Superposição dos Efeitos e tem fundamental im-
portância em análises estruturais, facilitando modelagens computacionais de estruturas submetidas a 
complexos carregamentos.
 Para maiores detalhes sobre a aplicação do Princípio da Superposi-
ção dos Efeitos na análise estrutural, o autor sugere que seja acompanhado 
o exercício 4.10, apresentado no livro “Estruturas Isostáticas”, da autora 
Maria Cascão Ferreira de Almeida.
1. Dada a viga biapoiada a seguir, submetida a um carregamento que inclui 
cargas concentradas horizontal e vertical, carga momento e carregamento 
uniformemente distribuído, desenvolva os diagramas de esforços normais, 
cortantes e momentos fletores da mesma.
69
 
Resolução
Como o carregamento ao longo da viga varia em diversos momentos, adotaremos vários 
trechos de estudo, conforme será apresentado a seguir.
 O próximo passo é calcular as reações de apoio conforme será feito a seguir:
 Em posse de tais resultados, temos condições de traçar os diagramas de esforços 
normais e cortantes e momentos fletores.
70 
 
 Observe que, a partir do ponto A, temos a reação de apoio horizontal equivalente a 
20,0 kN e que a mesma não sofre variações até o ponto Cesq. Portanto, neste trecho I (AC), 
a viga estará submetida a um esforço normal de tração de 20,0 kN que irá se anular a partir 
da análise do ponto Cdir , visto que neste momento temos a soma vetorial de +20,0 kN e – 
20,0 kN. Desta maneira, chegamos ao diagrama de esforços normais
 Estudando a viga por trechos, iremos equacionar o esforço cortante para cada uma 
das seções indicadas (S1, S2, S3 e S4). Observe que é importante estudar separadamente 
cada trecho em que há variação do carregamento, conforme desenvolvemos abaixo.
Trecho I (A a Cesq): 0 ≤ x1 < 1,0 m
Trecho II (Cdir a Desq): 1,0 < x2 < 3,0 m
Trecho III (Ddir a Eesq): 3,0 < x3 < 4,0 m
Trecho IV (Edir a B): 4,0 < x4 ≤ 8,0 m
71
 Avaliando o ponto em que o esforço cortante se anula, temos que x = 4,75 m, pois:
 Da mesma forma, iremos equacionar o momento fletor para cada uma das seções 
indicadas (S1, S2, S3 e S4): 
Trecho I (A a C): 0 ≤ x1 ≤ 1,0 m
Trecho II (C a Desq): 1,0 ≤ x2 < 3,0 m
Trecho III (Ddir a E): 3,0 < x3 ≤ 4,0 m
Trecho IV (E a B): 4,0 ≤ x4 ≤ 8,0 m
( )[ ] ( ) 










 −−−+−−=
2
0,40,4.0,150,100,10,20.3,31)( 4444
xxxxxM 
0,903,715,7)( 4
2
4 −+−= xxxM 
 Avaliaremos agora o comportamentode alguns pontos importantes para o traçado 
dos diagramas:
 
72 
Ponto de 
Análise 
Esforço cortante 
(kN)
Momento fletor 
(kN.m)
A 31,3 0,0
Cesq 11,3
Cdir 11,3
Desq 11,3 53,7
Ddir 11,3 63,7
Eesq 11,3
Edir 11,3
x = 4,75 m 0,0 79,2
B -48,7 0,0
31,3
75,0
 Desta maneira, podemos traçar os diagramas de esforços cortantes (DEC) e momen-
tos fletores (DMF):
DEC:
DMF:
 
73
3.2.1. Vigas engastadas e livres
 As vigas engastadas e livres são também comumente conhecidas como vigas em balanço e 
são caracterizadas por um único apoio que tem por função assegurar a estabilidade estática da estru-
tura. Para tanto, o engaste ou apoio do terceiro gênero apresenta três reações (horizontal, vertical 
e momento). 
 O procedimento de análise estrutural é similar ao apresentado anteriormente para vigas 
biapoiadas. Para tanto, acompanhe o exercício resolvido 2.
2. Dada a viga engastada e livre a seguir, submetida a um carregamento que 
inclui cargas concentradas horizontal e vertical e carregamento uniforme-
mente distribuído, desenvolva os diagramas de esforços normais, cortantes 
e momentos fletores da mesma.
Resolução
Como o carregamento ao longo da viga varia em diversos momentos, adotaremos vários 
trechos de estudo, conforme será apresentado a seguir.
74 
 O próximo passo é calcular as reações de apoio, conforme será feito a seguir:
 Em posse de tais resultados, temos condições de traçar os diagramas de esforços 
normais, cortantes e momentos fletores.
 Em termos de esforços normais, podemos observar que entre os pontos A e D não 
há variação de esforços normais, portanto, fazendo uma análise a partir do ponto A, observa-
-se que a reação HA tende a comprimir a viga e esta fica submetida internamente a esforço 
normal de compressão ao longo de todo o seu comprimento. Desta forma, traçamos o dia-
grama de esforços normais.
 Estudando a viga por trechos, iremos equacionar o esforço cortante para cada uma 
das seções indicadas (S1, S2 e S3). 
Trecho I (A a Besq): 0 ≤ x1 < 1,0 m
 
75
 
Trecho II (Bdir a Cesq): 1,0 ≤ x2 < 2,0 m
Trecho III (Cdir a Desq): 2,0 ≤ x2 < 5,0 m
 Reproduzindo a análise, porém, para momentos fletores, temos:
Trecho I (A a Besq): 0 ≤ x1 ≤ 1,0 m
Trecho II (Bdir a Cesq): 1,0 ≤ x2 ≤ 2,0 m
Trecho III (Cdir a Desq): 2,0 ≤ x2 ≤ 5,0 m
 Avaliaremos agora o comportamento de alguns pontos importantes para o traçado 
dos diagramas:
Ponto de 
Análise 
Esforço cortante 
(kN)
Momento fletor 
(kN.m)
A 85,0 -277,7
Besq 85,0
Bdir 65,0
Cesq 65,0
Cdir 65,0
D 20,0 0,0
-192,5
-127,5
76 
 Desta maneira, podemos traçar os diagramas de esforços cortantes (DEC) e momen-
tos fletores:
DEC:
DMF:
3. 2. 2. Vigas biapoiadas com balanços
 As vigas biapoiadas podem apresentar trecho(s) em balanço, ou seja, podem ser estendidas 
após o(s) seu(s) apoio(s), conforme é apresentado na Figura 3.13.
Figura 3.13 – Exemplos de vigas biapoiadas, com um balanço e com dois balanços, respectivamente.
Fonte: Silveira, 2008
 Como o nosso objetivo em Teoria das Estruturas I é estudar estruturas isostáticas, as vigas 
biapoiadas terão um apoio simples e um apoio do segundo gênero, portanto, sujeitas a três reações 
 
77
de apoio (duas reações verticais e uma horizontal). 
 O procedimento de análise estrutural é similar ao apresentado anteriormente para vigas 
biapoiadas. Para tanto, acompanhe o exercício resolvido 03.
3. Dada a viga biapoiada com balanços a seguir submetida a um carre-
gamento que inclui cargas concentradas e carregamentos uniformemente 
distribuídos, desenvolva os diagramas de esforços cortantes e momentos 
fletores da mesma.
Resolução
Como o carregamento ao longo da viga varia, adotaremos trechos de estudo, conforme será 
apresentado a seguir. Observe que a viga é simétrica tanto em termos de geometria quanto 
em termos de carregamento. 
 O próximo passo é calcular as reações de apoio, conforme será feito a seguir:
78 
 É importante observar que, devido à simetria descrita anteriormente, as reações de 
apoio verticais foram de igual valor. 
 Estudando a viga por trechos, iremos equacionar o esforço cortante para cada um 
destes. 
Trecho I (C a Desq): 0 ≤ x1 < 1,0 m
Trecho II (Ddir a Aesq): 1,0 ≤ x2 < 2,0 m
Trecho III (Cdir a Desq): 2,0 ≤ x3 < 4,0 m
 Reproduzindo a análise, porém, para momentos fletores, temos:
Trecho I (C a Desq): 0 ≤ x1 ≤ 1,0 m
79
Trecho II (Ddir a Aesq): 1,0 ≤ x2 ≤ 2,0 m
Trecho III (Cdir a Desq): 2,0 ≤ x3 ≤ 4,0 m
 Avaliaremos agora o comportamento de alguns pontos importantes para o traçado 
dos diagramas:
Ponto de 
Análise 
Esforço cortante 
(kN)
Momento fletor 
(kN.m)
C 0,0 0,0
Desq -10,0
Ddir -30,0
Aesq -40,0
Adir +40,0
Eesq 0,0 0,0
-5,0
-40,0
 Levando em consideração a questão da simetria da estrutura, podemos afirmar que 
a segunda metade da viga terá os esforços equivalentes nas seções correspondentes. Desta 
maneira, podemos traçar os diagramas de esforços cortantes (DEC) e momentos fletores 
(DMF):
80 
DEC:
DMF:
Objetivos da Unidade
IV Unidade IV - Vigas Gerber e Vi-gas Inclinadas
- Compreender o arranjo estrutural de vigas Gerber 
- Desenvolver os seus respectivos diagramas de esforços solici-
tantes internos.
- Compreender o arranjo estrutural de uma viga inclinada.
- Desenvolver os seus respectivos diagramas de esforços solici-
tantes internos.
82 
UNIDADE IV - Vigas Gerber e Vigas Inclinadas
4.1. Vigas Gerber
 Conforme Sussekind (1973), uma viga Gerber (Figura 4.1) é uma associação de vigas com 
estabilidade própria com outras apoiadas sobre as primeiras, que dão a estabilidade ao conjunto. 
Para resolvê-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente 
aquelas sem estabilidade própria e, após, as dotadas de estabilidade própria, para as cargas que lhe 
estão diretamente aplicadas, acrescidas, para estas últimas, das forças transmitidas pelas rótulas.
Figura 4.1 – Viga Gerber de uma ponte, sua concepção estrutural e decomposição.
 Fonte: Silveira, 2008
 Tais vigas foram estudadas inicialmente pelo Engenheiro Civil Heinrich Gerber (1832-1912) 
83
e surgiram por duas razões principais:
• Pelo aspecto estrutural, permitindo deformações e evitando o surgimento de esforços inter-
nos devido a recalques dos apoios.
• Por questões construtivas, permitindo o lançamento de vigamentos pré-moldados em locais 
de difícil acesso, por exemplo, sobre cursos de rios.
 O processo de resolução de uma viga Gerber inicia-se com a decomposição da mesma. Para 
tal, devemos destacar as vigas que já possuem estabilidade própria, apoiando sobre elas as demais 
através das rótulas, que indicam a transmissão de carga das vigas que não possuem estabilidade 
própria para as que possuem (Sussekind, 1973). A seguir, são apresentados alguns exemplos de 
decomposição de vigas Gerber (Figura 4.2).
Figura 4.2 – Exemplos de decomposição de vigas Gerber.
 Fonte: Sussekind, 1973
84 
 Queremos chamar a atenção para o fato de que um dos apoios da viga Gerber deve ser 
capaz de absorver forças horizontais, que irão diretamente para ele através das rótulas, provocando 
esforços normais na viga, ao longo de sua trajetória. As cargas verticais somente serão as responsá-
veis pelos momentos fletores e esforços cortantes atuantes na viga Gerber, e para obtê-los necessi-
tamos fazer a sua decomposição. É por esta razão que, nesta decomposição, não nos preocupamos 
se o apoio é do 1° ou 2° gênero, pois, para as cargas verticais, todos funcionarão como se fossem 
do l° gênero (Sussekind, 1973).A seguir será desenvolvido um exemplo apresentado na referência de Sussekind (1973).
1. Obter os diagramas solicitantes para a viga Gerber, apresentada a seguir.
Resolução
Conforme descrito anteriormente, o primeiro passo para a resolução do problema proposto 
é organizar os trechos de estudo, realizar a divisão da viga Gerber e indicar a hierarquia de 
resolução, conforme é feito a seguir (Figura 4.3).
85
Figura 4.3 – Organização dos pontos de estudo e divisão da viga Gerber.
Fonte: Sussekind, 1973
 O próximo passo é resolver os diagramas para cada uma das vigas separadamente, 
conforme será apresentado a seguir. 
Viga I
86 
Viga II
Viga III
87
Viga IV
 Unindo todos os diagramas apresentamos anteriormente, teremos os diagramas de 
esforços cortantes e de momentos fletores da viga Gerber proposta.
DEC:
DMF:
88 
4.2. Vigas Inclinadas
 O estudo das vigas inclinadas irá compor a última parte do nosso estudo referente às vigas. 
É importante destacar que, para desenvolvermos tal estudo, trabalharemos com dois eixos referen-
ciais: um global (o qual será utilizado para a determinação das reações de apoio) e um local (o qual 
será utilizado para a determinação de esforços solicitantes internos). 
 Conforme Almeida (2009), o sistema local pode ser utilizado para a determinação das re-
ações de apoio, mas os esforços solicitantes internos são, obrigatoriamente, referidos aos sistemas 
locais. 
 Que tal pesquisar um pouco e descobrir quais as principais aplica-
ções das vigas inclinadas?
 A seguir analisaremos algumas situações de carregamentos ligados a vigas inclinadas. 
1. Viga inclinada com carregamento uniformemente distribuído verticalmente.
 Dada uma viga inclinada submetida a um carregamento uniformemente distribuído vertical-
mente (Figura 4.4), temos as seguintes análises:
89
Figura 4.4 – Viga inclinada submetida a carregamento uniformemente distribuído e seção S de estudo.
 Fonte: Valle et al., 2009
 É importante observar que as reações de apoio nesta situação não dependerão do valor de 
b e possuem o seguinte valor:
 Equacionando os esforços internos em função da seção S, temos que o esforço normal (N), o esforço cortante 
(Q) e o momento fletor (M) serão dados pelas seguintes expressões:
90 
 Desta maneira, podemos então traçar os diagramas de esforços solicitantes (Figura 4.5 e 
Figura 4.6):
Figura 4.5 – Diagramas de esforços normais e cortantes da viga inclinada submetida a carregamento uniformemente 
distribuído.
Fonte: Valle et al., 2009
91
Figura 4.6 – Diagramas de momentos fletores da viga inclinada submetida a carregamento uniformemente distribuído.
Fonte: Valle et al., 2009
2. Viga inclinada com carregamento uniformemente distribuído horizontalmente.
 Dada uma viga inclinada submetida a um carregamento uniformemente distribuído horizon-
talmente (Figura 4.7), temos as seguintes análises:
Figura 4.7 – Viga inclinada submetida a carregamento uniformemente distribuído horizontalmente e seção S de estudo.
 Fonte: Valle et al., 2009
 Calculando-se as reações de apoio, temos:
92 
 Equacionando os esforços internos em função da seção S, temos que o esforço normal (N), 
o esforço cortante (Q) e o momento fletor (M) serão dados pelas seguintes expressões:
 Desta maneira, podemos então traçar os diagramas de esforços solicitantes Figuras 4.8, 4.9 
e 4.10):
Figura 4.8 – Diagrama de esforços normais da viga inclinada submetida a carregamento uniformemente distribuído ho-
rizontalmente.
Fonte: Valle et al., 2009
93
Figura 4.9 – Diagrama de esforços cortantes da viga inclinada submetida a carregamento uniformemente distribuído 
horizontalmente.
Fonte: Valle et al., 2009
Figura 4.10 – Diagrama de momentos fletores da viga inclinada submetida a carregamento uniformemente distribuído 
horizontalmente.
Fonte: Valle et al., 2009
3. Viga inclinada com carregamento uniformemente distribuído ao longo do eixo da viga.
 Tal situação pode ser resolvida facilmente, dividindo o carregamento em duas componentes: 
uma parcela distribuída verticalmente e a outra parcela distribuída horizontalmente, o que recai nos 
dois casos apresentados anteriormente. A Figura 4.11 ilustra bem essa situação. 
94 
Figura 4.11 – Viga inclinada com carregamento uniformemente distribuído ao longo do eixo da viga.
Fonte: Valle et al., 2009
1. Obter os diagramas de esforços solicitantes para a viga inclinada apresen-
tada a seguir.
Resolução
A seguir são apresentadas as reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes.
95
DEN:
DEC:
DMF:
96 
A Figura 4.12 apresenta um resumo dos aspectos essenciais para o traçado 
dos diagramas de esforços internos. 
Figura 4.12 - Aspectos essenciais para o traçado dos diagramas de esforços solicitantes.
Fonte: Almeida, 2009
97
 A partir da Figura 4.12, podemos concluir que:
• Quando um determinado trecho da viga não possui carregamento distribuído, os dia-
gramas de esforços cortantes e de momentos fletores variam linearmente neste tre-
cho.
• Quando determinado trecho da viga é submetido a carregamento distribuído unifor-
me, o diagrama de esforços cortantes varia linearmente e o de momentos fletores 
varia conforme uma parábola do 2° grau.
• O diagrama de momentos fletores deve ser, obrigatoriamente, sempre desenhado 
para o lado em que a viga está sendo tracionada. 
• O formato do diagrama de esforços cortantes estará sempre condicionado ao carre-
gamento que a viga estará submetida.
• O diagrama de momentos fletores possui trechos crescentes na região em que o cor-
tante é positivo e trechos decrescentes quando o cortante é negativo.
• Nas seções onde o momento fletor é máximo ou mínimo, o cortante se anula, pois 
basta recordar que a derivada do momento fletor é o esforço cortante.
• Uma força concentrada gera uma descontinuidade no diagrama de esforços cortantes 
e uma mudança na tangente do diagrama de momentos fletores.
• Uma carga momento (momento concentrado) gera uma descontinuidade no diagra-
ma de momentos fletores.
Objetivos da Unidade
V
Unidade V - 
Pórticos ou Quadros Isos-
táticos Planos e Treliças 
Isostáticas
- Determinar os valores das reações de apoio e dos esforços 
simples para pórticos isostáticos;
- Construir os diagramas de esforços simples para um pórtico 
simples em função dos tipos de carregamento e de seus respec-
tivos apoios (ou vínculos externos) desse elemento estrutural;
- Determinar os valores das reações de apoio e dos esforços 
simples para treliças isostáticas;
- Determinar os valores dos esforços normais nas treliças isostá-
ticas, identificando as barras que sofrem esforços de tração e as 
barras que sofrem esforços de compressão em função dos tipos 
de carregamento e de seus respectivos apoios (ou vínculos ex-
ternos) desse elemento estrutural.
99
Unidade V - Pórticos ou Quadros Isostáticos Planos e Treliças Isostáticas
5. Introdução
 Nesta unidade vamos nortear a realização dos estudos a serem desenvolvidos sobre Pórti-
cos Planos e Treliças Isostáticas. Ela contém os caminhos e processos que deverão ser percorridos 
e superados, para construir os conhecimentos desejados ao final deste estudo.
 Obteremos os diagramas de esforços simples, cálculo das deformações (deslocamentos e 
giros) que podem ocorrer em uma seção transversal de um pórtico de seção reta prismática e isos-
tática, em função das ações atuantes e das condições de contorno (tipos de apoios ou vinculações).
Na maioria das vezes, uma estrutura se deforma ao ser carregada. 
 Entretanto, é fundamental perceber como e em que local ocorrerão estes deslocamentos. O 
conhecimento dosesforços simples atuantes, bem como os deslocamentos da estrutura fornecerão 
informações para o dimensionamento da estrutura e dados para a sua execução com segurança e 
economia.
 É de fundamental importância, para o engenheiro calculista, o conhecimento dos valores 
máximos e mínimos dos esforços internos solicitantes, bem como os deslocamentos e inclinações 
que ocorrem em uma determinada estrutura.
 No projeto estrutural, consideram-se os limites máximos para as deformações prescritos nas 
Normas Técnicas, em função do material. 
5.1. Pórticos Planos ou Quadros Isostáticos Planos
 Temos, basicamente, quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos (quadro sim-
ples) quando estão isolados. 
 Conhecidas as reações de apoio, passaremos à obtenção dos esforços solicitantes, como nas 
vigas biapoiadas. Traçar os diagramas de um pórtico simples é análogo ao que fazemos com as vigas 
biapoiadas para a obtenção dos seus respectivos diagramas. A diferença básica, é que as barras po-
dem estar em posições quaisquer. Ou seja, podem estar na horizontal, na vertical ou ainda inclinadas.
100 
5.1.1. Pórtico Plano Biapoiado
 Dado o Pórtico Plano, a seguir, traçar os diagramas de esforços solicitantes (Figura 5.1).
Figura 5.1- Pórtico Plano Biapoiado
Fonte: BEER. 1995. 
Resolução:
101
 Cálculo das reações de apoio:
 160 x 4 = HD x 4 → HD = 160 kN 
 Traçando os diagramas de esforços:
 Iniciando pelo Momento fletor e separando a barra DC, vem:
 Separando a barra AB, vem:
102 
 Conhecidos os valores dos momentos em B e em C, podemos traçar o diagrama dos mo-
mentos fletores.
DEC:DMF:
DEN:
5.2. Pórtico Plano Triarticulado
 Dado o Pórtico Plano, a seguir, traçar os diagramas de esforços solicitantes traçando os dia-
gramas de esforços:
103
 Cálculo das reações de apoio:
 Isolando a barra DE
104 
 Isolando a estrutura ABCD, teremos:
 Traçando os diagramas de esforços:
DMF (KN)
105
5.3. Pórtico Plano, com Articulação e com Tirante (ou Escora)
 Dado o Pórtico Plano, a seguir, traçar os diagramas de esforços solicitantes.
106 
 Cálculo das reações de apoio.
 Note que sobre a barra CD não tem carregamento e é rotulada nas extremidades, o que 
implica que ela estará sujeita somente a esforço normal (se de tração = tirante; se de compressão 
= escora).
 Isolando a barra FDB, teremos:
107
 Com estes valores conhecidos, podemos traçar os diagramas de esforços solicitantes:
DFC (KN)
DFN(KN)
DMF (KN.m)
108 
 Antes de prosseguir, é necessário que você recorde o conceito Pór-
ticos Planos. Lembre-se de que as barras dos pórticos, em princípio, apre-
sentam no plano 3 (três) esforços simples (ou internos), a saber: momento 
fletor, esforço cortante (ou cisalhante) e esforço normal.
5.4. Treliças Isostáticas
 Este capítulo tem como objetivo nortear a realização dos seus estudos a serem desenvolvi-
dos Treliças Isostáticas. 
 Chamaremos de Treliça ideal ao sistema reticulado cujas barras têm todas as extremidades 
rotuladas e os carregamentos estão aplicados em seus nós. As treliças ideais, portanto, só transmi-
tem esforços normais em suas barras. Os esforços normais de tração serão indicados por positivo 
(+) e os esforços normais de compressão serão indicados por negativo ( - ).
 Os métodos de resolução das treliças podem ser classificados em:
• Método dos Nós;
• Método de Ritter (ou das seções) e
• Método gráfico de Cremona.
 A seguir, apresentaremos os Métodos por meio de aplicações práticas. 
5.4.1. Método dos Nós
 Trata-se, na realidade, da resolução dos nós da treliça, ou seja, do equilíbrio dos nós em 
função das barras e dos carregamentos atuantes nos respectivos nós. Basta aplicarmos as equações 
básicas da estática plana em cada nó.
 Sempre devemos começar por nós com menor grau de complexidade ou de incógnitas. Em 
109
princípio, indicamos todas as barras com o sentido de tração nos nós.
 Após as resoluções, podemos identificar os sinais positivos como tração e os negativos como 
compressão.
 Determinar os esforços normais nas barras da treliça a seguir:
Resolução:
 Cálculo das reações de apoio:
110 
 Isolando os nós, teremos:
111
(Note que a força de 5,0 kN da barra 
AB é de compressão; por isso, marca-
mos compressão no nó A)
112 
113
5.4.2. Método de Ritter (ou das seções)
 É uma extensão do método dos nós. Basta utilizarmos as equações básicas da estática na 
estrutura que foi isolada da treliça por meio de seccionamento. Devemos escolher seções que in-
terceptem três barras não paralelas, nem concorrentes, no mesmo ponto. Este método é muito útil 
no cálculo de treliças de altura constante.
 Note que é a mesma treliça anterior.
 Note que VA é conhecida e vale 10 kN. Aplicando o somatório dos momentos em C, tere-
mos:
 (Basta, agora, fazer o somatório das forças verticais ou das forças horizontais para conhecer-
mos o valor de NAC).
114 
 Lembre-se de que a estrutura é simétrica tanto com relação a sua geometria quanto ao seu 
carregamento. Isto nos leva a concluir que os esforços NEF, NDC e NEC têm os esforços normais 
conhecidos.
 
NEF = 5,0 kN (tração); NDC = 0; NEC = -7,07 kN (compressão) 
• O equilíbrio do nó F leva ao valor NFC = 0.
• O equilíbrio do nó B leva ao valor NBA = - 5,0 kN.
• O equilíbrio do nó D leva ao valor NDE = - 5,0 kN.
5.4.3. Método de Cremona (Maxwell – Cremona)
 Apesar de Maxwell ter sido o primeiro a apresentar o método, o nome método de Cremo-
na é o mais difundido. É um método gráfico que parte do princípio de que se uma treliça está em 
equilíbrio, os seus nós também estarão.
 Sabemos também que se o somatório das forças (resultante) atuantes em um nó em equi-
líbrio é nula, a poligonal das forças atuantes deverá ser fechada.
 O sucesso do método depende de uma certa habilidade de desenho para determinarmos a 
figura do “Cremona” e também de uma escala de unidades coerentes com as cargas atuantes.
 Está em desuso a utilização do método tradicional (esquadros, réguas e etc.). Mas, com a 
utilização de algum software de desenho, esta tarefa se tornou mais fácil. Basta a interpretação do 
desenho final e os sinais dos esforços nas barras.
 A apresentação do método, bem como o seu roteiro, será mostrado no exemplo numérico, 
a seguir (Figura 8.1) 
115
Figura 8.1: Treliça para exemplo de aplicação do Método de Cremona
Fonte: O autor
 A ideia do método é a seguinte: 
 Chamaremos de campos de força a região compreendida entre forças. Podem ser externas 
(carregamentos) ou internas (esforços normais nas barras).O sentido para percorrer todos os cam-
pos será sempre o horário (indicado como positivo).
116 
 Adotaremos a seguinte escala: cada 1,0 cm corresponderá a 5,0 kN.
 Cálculo das reações de apoio:
 Construção geométrica do CREMONA.
 Inicialmente, adote um ponto na folha de desenho. Começamos pelo ponto a.
 Percorrendo no sentido horário a treliça, percebemos que, para chegarmos ao campo b, 
passamos por uma força de 30 kN para cima (na escala, significa 6 cm = 30 kN).
 Pelo ponto b, devemos passar por uma força de 10 kN na horizontal para a direita, para 
chegarmos ao campo c.
 Pelo ponto c, devemos percorrer 10 kN na horizontal para a esquerda, para determinarmos 
o campo d. O ponto coincide com o ponto b.
 Faremos todo o caminho até determinarmos todos os campos. Devemos percorrer a figura 
sempre no sentido horário.
 Feito isso, obteremos a figura mostrada, a seguir.