ESTABILIDADE-mesclado

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E-BOOK
ESTABILIDADE
Sistemas estruturais - Definições de 
estrutura
APRESENTAÇÃO
Ao longo da história da Engenharia de Estruturas, muitos sistemas estruturais foram 
desenvolvidos. Os sistemas estruturais são oriundos da associação de elementos estruturais, que 
podem ser linerares, de supeficie ou de volume. Cada elemento estrutural tem comportamento 
próprio e sua presença em determinado sistema estrutural confere características específicas.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai aprender as características dos elementos estruturais, 
os tipos de sistemas construtivos lineares, 
de superfície e de volume, e como são utilizados em fundações.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir sistemas estruturais e seus elementos estruturais principais.•
Caracterizar as estruturas lineares e elementos estruturais 
de superfície.
•
Reconhecer os elementos estruturais de fundações.•
DESAFIO
As estruturas são compostas por um conjunto de elementos estruturais, com características 
específicas que, quando interligados, formam um sistema. Esse sistema tem um comportamento 
bem definido, influenciado pelas características individuais de cada elemento. 
As pontes suspensas do tipo estaiada são um exemplo de integração entre elementos estruturais. 
As pontes são constituídas por um tabuleiro, composto por vigas, sustentado por meio de torres 
em forma de coluna. A ligação entre o tabuleiro e as torres é feita por 
meio de cabos de aço.
Sendo assim, como você explicaria o comportamento estrutural, no que se refere à incidência de 
carregamentos e distribuição de esforços?
INFOGRÁFICO
Os elementos estruturais lineares são aqueles em que, uma das dimensões, denominada 
comprimento, é relativamente maior que as outras duas, que formam a seção transversal. Os 
elementos lineares podem ser classificados de acordo com a forma de atuação 
dos esforços internos em três categorias: tirantes, colunas e vigas.
No Infográfico, você aprenderá como se dá a atuação dos esforços internos nos elementos 
estruturais lineares.
CONTEÚDO DO LIVRO
Arquitetos e engenheiros que planejem atuar na área de projeto e cálculo estrutural devem 
conhecer o comportamento dos principais sistemas estruturais. Os sistemas são compostos por 
um conjunto de elementos estruturais, associados entre si, cada qual com comportamentos 
próprios. Os sistemas estruturais podem ser planos ou espaciais e formados por elementos 
lineares, de superfície ou de volume. As características dos sistemas estruturais determinam sua 
aplicação, seja em edificações residenciais, pontes, fundações, entre outras.
No capítulo Sistemas estruturais - Definições de estrutura, da obra Sistemas Estruturais III – que 
é base teórica desta Unidade de Aprendizagem –, você aprenderá o que são sistemas e elementos 
estruturais, os principais tipos de sistemas e como se aplicam em fundações.
Boa leitura.
SISTEMAS 
ESTRUTURAIS III 
Diego da Luz Adorna
Sistemas estruturais — 
definições de estrutura
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir sistemas estruturais e seus elementos estruturais principais.
 � Caracterizar as estruturas lineares e os elementos estruturais de 
superfície.
 � Reconhecer os elementos estruturais de fundações.
Introdução
Os sistemas estruturais são formados por elementos estruturais devida-
mente interligados, de modo a formar arranjos estruturais. De acordo com 
Hibbeler (2013), tais arranjos têm a função de resistir aos carregamentos 
incidentes na estrutura e transmiti-los ao solo. 
De acordo com a disposição dos elementos construtivos, os sistemas 
estruturais podem ser planos ou espaciais. Cada sistema estrutural tem 
características próprias de carregamento e transmissão de esforços, e os 
arquitetos e engenheiros devem saber reconhecer os tipos de sistema, 
de modo a prever o comportamento estrutural de uma edificação.
Neste capítulo, você estudará os sistemas estruturais e verá como são 
formados. Também lerá sobre como se comportam estruturas lineares e 
elementos estruturais de superfície, além de ver quais são os elementos 
estruturais de fundações.
Sistemas estruturais
As primeiras tribos humanas sobreviviam da caça, pesca e coleta de frutos, 
e, em função da disponibilidade de recursos para a subsistência, precisavam 
mudar constantemente de região. A partir da descoberta da agricultura e da 
pecuária, o homem pode residir em um local fixo, surgindo, assim, a neces-
sidade de construção de edificações.
Ao longo da história da humanidade, muitas concepções construtivas 
foram desenvolvidas, permitindo a construção de monumentos que perduram 
até os tempos atuais, como as pirâmides de Gizé e o Coliseu de Roma. Essas 
estruturas foram construídas por meio de técnicas empíricas, decorrentes da 
observação do comportamento e do arranjo dos materiais.
Atualmente, existem inúmeros software de cálculo estrutural, que permi-
tem a análise do comportamento de uma estrutura sob diferentes condições 
ambientais e a realização de simulações, auxiliando o projetista na escolha da 
estrutura de melhor desempenho e custo-benefício. Entre os vários software de 
cálculo estrutural disponíveis, destacam-se o REVIT, o TQS e o EBERICK.
No link a seguir, você encontra um texto sobre os prin-
cipais software utilizados na construção e na elaboração 
de projetos estruturais.
https://qrgo.page.link/DF5gP
Elementos e sistemas estruturais
O objetivo do cálculo estrutural é dimensionar os elementos estruturais que 
formam uma estrutura, de modo a garantir que ela resista aos carregamentos 
decorrentes da edificação e do meio ambiente. Ao conjunto de elementos 
estruturais que formam uma estrutura é dado o nome de sistema estrutural.
Sistemas estruturais — definições de estrutura2
Santos (2017) define sistema estrutural como um conjunto de elementos interco-
nectados cuja função é suportar os carregamentos incidentes sobre a estrutura e 
transmiti-los, de forma segura, para o solo.
Os sistemas estruturais podem ser formados por elementos lineares, ele-
mentos de superfície ou elementos de volume. A NBR 6118, de 26 de abril de 
2014, da Associação Brasileira de Normas Técnicas (2014), define esses três 
tipos de elementos estruturais da seguinte maneira:
 � Elementos lineares: consistem em elementos unidimensionais, cujo 
comprimento longitudinal é, pelo menos, três vezes superior às dimen-
sões da seção transversal. Os principais tipos de elementos lineares 
são: os tirantes, que consistem em elementos submetidos à tração axial; 
as colunas, que consistem em elementos submetidos à compressão 
axial; e as vigas, que consistem em elementos submetidos à flexão 
transversal e cisalhamento.
 � Elementos de superfície: consistem em elementos bidimensionais, 
cuja espessura é relativamente pequena, quando comparada as outras 
duas dimensões. Os principais tipos de elementos de superfície são as 
placas, as chapas e as cascas. As placas são elementos submetidos a 
carregamentos perpendiculares ao plano principal, como, por exemplo, 
as lajes. As chapas são elementos submetidos a carregamentos paralelos 
ao plano principal, como, por exemplo, as vigas-parede. As cascas, por 
fim, são elementos de superfície curvos, submetidos a carregamentos 
perpendiculares e dimensionados de modo a sofrer apenas esforços de 
compressão axial. Podem ser muito flexíveis, assumindo a forma de 
tendas (HIBBELER, 2013).
 � Elementos de volume: consistem em elementos tridimensionais, que 
possuem as três dimensões equivalentes. O principal tipo de elemento 
estrutural de volume é o bloco, utilizado, normalmente, na construção 
de fundações.
3Sistemas estruturais — definições de estrutura
Sistemas estruturais planos e espaciais
O comportamento de uma estrutura está condicionado ao arranjo espacial dos 
seus componentes. A disposição dos elementos estruturais governa a forma de 
carregamentoe de transmissão dos esforços. Os sistemas estruturais podem, 
portanto, ser classificados de acordo com o seu arranjo espacial e a consequente 
forma de absorção e transmissão de esforços.
Do ponto de vista do arranjo espacial, os sistemas estruturas podem ser 
classificados em sistemas estruturais planos e sistemas estruturais espaciais. 
No sistema estrutural plano, representado na Figura 1a, os elementos estru-
turais são dispostos de maneira a formar um único plano, vertical, horizontal 
ou inclinado, de modo que os carregamentos estejam distribuídos em duas 
direções. No sistema estrutural espacial, representado na Figura 1b, os 
elementos estruturais são dispostos nos três planos do espaço, formando 
elementos tridimensionais. Neste tipo de estrutura, o carregamento pode estar 
disposto em qualquer direção.
Figura 1. (a) Pórtico plano e (b) pórtico espacial.
Fonte: Adaptada de Kimura (2007, p. 121-122).
Sistemas estruturais — definições de estrutura4
Os elementos estruturais absorvem os carregamentos incidentes na estrutura e os 
transferem até o solo por meio dos elementos de fundação. Arquitetos e engenheiros 
devem, portanto, compreender a importância do arranjo espacial dos elementos 
estruturais, de modo a idealizar estruturas que permitam a transferência de cargas de 
forma segura e eficiente. Os software de cálculo estrutural auxiliam no projeto, contudo 
não idealizam a estrutura por conta própria. Essa responsabilidade é do projetista.
Estruturas lineares e elementos de superfície
Estruturas lineares
Estruturas lineares são formadas, de acordo com Hibbeler (2013), em decorrên-
cia da associação de elementos unidimensionais, ou seja, a partir da interação 
entre tirantes, colunas e vigas. A disposição dos elementos rege a forma com 
que os carregamentos serão aplicados e como os esforços serão transmitidos, 
definindo o comportamento da estrutura.
As principais estruturas lineares são: vigas Gerber, pórticos, treliças, 
grelhas, cabos e arcos. A seguir, serão apresentadas as características com-
portamentais desses sistemas estruturais.
5Sistemas estruturais — definições de estrutura
Vigas Gerber
As vigas Gerber, assim denominadas em homenagem ao engenheiro alemão 
Heinrich Gerber (1822–1912), são sistemas estruturais formados pela associação 
sucessiva de vigas (SORIANO, 2010). Neste tipo de estrutura, vigas não estáveis 
são apoiadas em vigas estáveis, como pode ser visto na Figura 2, por meio de 
apoios denominados dentes Gerber. São muito utilizadas na construção de 
estruturas pré-fabricadas, como galpões industriais e pontes. Assim como as 
vigas comuns, as vigas Gerber estão submetidas a carregamentos transversais, 
estando, portanto, submetidas a esforços de flexão transversal e cisalhamento.
Figura 2. Viga Gerber em ponte.
Fonte: Frederico Fazzini/Shutterstock.com.
Sistemas estruturais — definições de estrutura6
Pórticos
Os pórticos são estruturas rígidas formadas pela associação de vigas e pilares. 
Os elementos construtivos podem ser retos, curvos ou inclinados, e o sistema 
estrutural pode ser plano ou espacial, conforme observado anteriormente, 
na Figura 1. As vigas, submetidas a carregamentos transversais, transmitem 
esforços de flexão e compressão para os pilares, que, por sua vez, os transmitem 
para os elementos de fundação. Os pórticos podem ser submetidos, ainda, 
a carregamentos horizontais, decorrentes de efeitos de segunda ordem e vento. 
Eles são utilizados em estruturas corriqueiras de concreto armado ou aço, 
conforme observado na Figura 3.
Figura 3. Pórtico em estrutura de concreto armado.
Fonte: Dmitrii Iarusov/Shutterstock.com.
7Sistemas estruturais — definições de estrutura
Treliças
As treliças são estruturas formadas por elementos lineares interligados entre 
si pelas extremidades, dispostos, normalmente, em padrões triangulares. 
De acordo com Leet, Uang e Gilbert (2010), os carregamentos são aplicados, 
obrigatoriamente, nos pontos de conexão entre barras retas, denominados nós. 
Desse modo, a estrutura fica submetida, unicamente, a esforços de tração e 
compressão axiais. Assim como os pórticos, as treliças podem ser planas ou 
espaciais, conforme a disposição espacial dos elementos lineares. Veja, na 
Figura 4, um exemplo de treliça espacial, utilizado na construção de uma 
estrutura de ponte.
Figura 4. Treliça utilizada em estrutura de ponte.
Fonte: Takaeshiro/Shutterstock.com.
Sistemas estruturais — definições de estrutura8
Grelhas
As grelhas são estruturas compostas por vigas, dispostas de modo a formar 
uma malha ao longo do plano horizontal. Os elementos lineares podem ser 
retos ou curvos, e a ligação entre eles pode ser rígida ou articulada, de acordo 
com Salles et al. (2015). As vigas são elementos submetidos a carregamentos 
transversais, portanto transmitem esforços internos de cisalhamento e de 
flexão transversal. Em função do arranjo espacial da estrutura, isso acarreta 
a transmissão de esforços de torção entre os elementos lineares, conforme 
indicado na Figura 5.
Figura 5. Deformações e esforços internos em uma barra de grelha.
Fonte: Kimura (2007, p. 118).
9Sistemas estruturais — definições de estrutura
Cabos
Os cabos são elementos estruturais formados por cordoalhas de fio de aço ou 
por barras rígidas de aço, associadas de modo a se comportarem como uma 
cordoalha. São elementos submetidos a carregamentos transversais distribu-
ídos ou concentrados, transmitindo, contudo, apenas esforços de tração axial. 
O formato que os cabos assumem depende do caminho que as forças percorrem 
até atingir os apoios, e esse caminho é denominado funicular (REBELLO, 
2000). Os cabos são muito utilizados na construção de pontes suspensas do 
tipo pênsil ou estaiada, como a mostrada na Figura 6.
Figura 6. Cabos de suspensão em ponte estaiada.
Fonte: Christine Bird/Shutterstock.com.
Sistemas estruturais — definições de estrutura10
Arcos
Os arcos são elementos rígidos submetidos a carregamentos transversais. 
O formato dos arcos é semelhante ao funicular dos cabos, porém seu sentido 
é inverso e está submetido apenas a esforços axiais de compressão, de acordo 
com Rebello (2000). Os arcos foram estruturas muito utilizadas pelos romanos 
na construção de aquedutos e do Coliseu de Roma, em função da estabilidade 
que conferem à estrutura. Hoje, os arcos são utilizados, principalmente, na 
construção de pontes, como a apresentada na Figura 7.
Figura 7. Ponte construída com estrutura em arco.
Fonte: Veerababu Achanta/Shutterstock.com.
11Sistemas estruturais — definições de estrutura
Elementos de superfície
Os elementos de superfície são aqueles que possuem uma dimensão, normal-
mente denominada espessura, muito inferior às outras duas dimensões, que 
formam um plano. Podem ser construídos com materiais rígidos, como concreto 
e aço, ou com materiais flexíveis, como tecidos e lonas. Os principais tipos de 
estruturas de superfície são: as placas, as chapas e as cascas.
Placas
As placas são elementos de superfície, normalmente horizontais, cujo car-
regamento se dá de maneira perpendicular ao plano, como apresentado na 
Figura 8. Portanto, as placas são estruturas submetidas a esforços de flexão 
transversal e cisalhamento, de maneira semelhante às vigas; contudo esses 
esforços se distribuem em toda a área do plano, diferentemente das vigas, cuja 
distribuição dos esforços é linear.
Figura 8. Carregamentos incidentes sobre uma placa.
Fonte: Salles et al. (2005, p. 11).
Sistemas estruturais — definições de estrutura12
Chapas
As chapas são elementos de superfície semelhantes às placas, ou seja, com 
a espessura muito inferior às outras duas dimensões, que formam um plano. 
Contudo, nas chapas, o carregamento incide paralelamente ao plano, con-
forme mostrado na Figura 9. As chapas são elementos submetidos a esforços 
transversais de flexão e cisalhamento. A principal utilização das chapas é na 
construção de reservatórios constituídos por vigas-parede.
Figura 9. Carregamentos incidentes sobreuma chapa do 
tipo viga-parede.
Fonte: Salles et al. (2005, p. 11).
13Sistemas estruturais — definições de estrutura
Cascas
As cascas são elementos superficiais carregados transversalmente. Os carre-
gamentos aplicados às cascas resultam em esforços internos de compressão, 
que atuam no plano do elemento (LEET; UANG; GILBERT, 2010). Podem ser 
construídas com materiais rígidos ou com materiais flexíveis, dando origem a 
uma categoria de estrutura denominada estrutura tipo membrana, na qual 
tecidos ou lonas tensionadas são dispostas na forma de uma casca em curva, 
como você pode ver Figura 10.
Figura 10. Elemento de superfície em casca em estrutura do tipo membrana.
Fonte: francesco cepolina/Shutterstock.com.
Elementos estruturais de fundações
As fundações são sistemas estruturais cuja função é transmitir, de forma 
segura, os esforços provenientes do carregamento incidente na estrutura para 
o solo. As fundações, de acordo com a forma de transmissão das cargas para 
o solo, podem ser classificadas em:
Sistemas estruturais — definições de estrutura14
 � Fundações superficiais: também denominadas fundações diretas ou 
rasas, transmitem os esforços provenientes da estrutura diretamente para 
o solo em contato com a fundação (REBELLO, 2008). A transmissão 
de cargas é realizada pela base do elemento de fundação.
 � Fundações profundas: também denominadas fundações indiretas, 
de acordo com Rebello (2008), transmitem os esforços provenientes 
da estrutura indiretamente para o solo, por meio de estacas de grande 
comprimento, de modo a atingir camadas mais profundas e resistentes 
do solo. A transmissão da carga é realizada por meio do atrito da lateral 
da estaca de fundação e pela ponta da estaca.
Assim como os demais sistemas estruturais, o comportamento das funda-
ções depende do tipo de elemento estrutural utilizado na sua concepção. Entre 
os diversos tipos de fundação, merecem especial destaque, do ponto de vista 
do arranjo espacial, os radiers, os blocos e sapatas e as estacas.
Radier
A fundação superficial do tipo radier consiste em uma laje apoiada sobre o 
solo, que transmite, por meio de sua base, os carregamentos provenientes da 
edificação para o solo. O radier é um elemento de superfície do tipo placa, 
como você pode ver na Figura 11. Os carregamentos são transmitidos per-
pendicularmente ao plano, gerando esforços internos de flexão e compressão, 
que são transmitidos ao solo.
Figura 11. Fundação do tipo radier.
Fonte: LALS STOCK/Shutterstock.com.
15Sistemas estruturais — definições de estrutura
Blocos e sapatas
Os blocos e as sapatas são fundações do tipo superficial, ou seja, transmitem 
as cargas para o solo através da sua base. Os blocos são utilizados também 
como ancoragem entre os pilares e as estacas de fundação. Blocos e sapatas 
consistem em elementos de volume, pois têm todas as dimensões equivalentes, 
conforme observado na Figura 12. São submetidos a carregamos concentrados 
de compressão e a momentos de flexão, provenientes dos pilares da estrutura, 
transmitindo esses esforços ao solo.
Figura 12. Bloco de fundação.
Fonte: Worakit Sirijinda/Shutterstock.com.
Sistemas estruturais — definições de estrutura16
Estacas
As estacas são fundações profundas. São classificadas como elementos line-
ares, visto que apresentam comprimento muito superior à seção transversal. 
As estacas recebem os carregamentos transmitidos pela estrutura por meio 
do bloco de coroamento e as transmitem ao solo por meio da ponta inferior 
e do atrito lateral (SANTOS, 2017). Existem diversos tipos de estacas, cada 
um com suas vantagens e desvantagens, sendo responsabilidade do projetista 
identificar qual o tipo ideal de estaca a ser utilizado no projeto. Na Figura 13, 
são apresentadas estacas de concreto cravadas no solo.
Figura 13. Estacas de concreto cravadas no solo.
Fonte: minorva52/Shutterstock.com.
Os sistemas estruturais apresentam características e comportamentos 
próprios, decorrentes do arranjo espacial e do tipo de elementos estruturais 
utilizados na sua concepção. Arquitetos e engenheiros devem reconhecer os 
aspectos referentes a cada tipo de sistema estrutural, de modo a conceber 
estruturas com as características necessárias para garantir segurança, fun-
cionalidade e economicidade para a obra.
17Sistemas estruturais — definições de estrutura
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sobre qualidade, precisão ou integralidade das informações referidas em tais links.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: projeto de estruturas de 
concreto: procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013.
KIMURA, A. Informática aplicada em estruturas de concreto armado: cálculos de edifícios 
com o uso de sistemas computacionais. São Paulo: PINI, 2007.
LEET, K. M.; UANG, C. H.; GILBERT, A. M. Fundamentos da análise estrutural. 3. ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2010.
REBELLO, Y. C. P. A concepção estrutural e a arquitetura. São Paulo: Zigurate, 2000.
REBELLO, Y. C. P. Fundações: guia prático de projeto, execução e dimensionamento. 3. 
ed. São Paulo: Zigurate, 2008.
SALLES, J. J. et al. Sistemas estruturais: teoria e exemplos.São Carlos: EESC-USP, 2005.
SANTOS, J. S. Desconstruindo o projeto estrutural de edifícios: concreto armado e proten-
dido. São Paulo: Oficina de Textos, 2017.
SORIANO, H. L. Estática das estruturas. 2. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2010.
Sistemas estruturais — definições de estrutura18
DICA DO PROFESSOR
O comportamento estrutural de uma edificação depende dos sistemas estruturais que a compõem 
e dos carregamentos que incidem sobre ela. Os carregamentos geram esforços internos e 
deformações, que influenciam na segurança e na funcionalidade da estrutura. O projetista deve 
conhecer os carregamentos atuantes em uma estrutura, de modo a escolher sistemas e elementos 
estruturais que sejam capazes de resistir, de forma segura, a eles.
Na Dica do Professor, você aprenderá quais os tipos de carregamentos incidentes sobre uma 
estrutura e quais os esforços internos e deformações decorrentes.
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EXERCÍCIOS
1) Os sistemas estruturais são compostos pela associação de elementos estruturais, 
arranjados de forma que suas características se complementem. Analise as afimativas 
a seguir, referentes aos tipos de elementos estruturais:
I. Os tirantes e as colunas são tipos de estruturas lineares, submetidos a esforços 
transversais de tração e de compressão, respectivamente.
II. Os elementos de superfície são aqueles que possuem uma dimensão, denominada 
espessura, muito inferior às outras duas, que formam um plano.
III. Os elementos de volume são aqueles que possuem dimensões equivalentes, sendo 
muito usados na execução de fundações diretas.
IV. As vigas são elementos estruturais unidirecionais, submetidas a esforços 
transversais de flexão e cisalhamento.
Assinale a alternativa que indica as afirmativas corretas.
A) Apenas as afirmativas I e II.
B) Apenas as afirmativas II e III.
C) Apenas as afirmantivas II, III e IV.
D) Apenas as afirmativas I, II e IV.
E) As afirmativas I, II, III e IV.
2) Marcelo é arquiteto e projetou um edifício de quatro pavimentos em estruturas de 
concreto armado. Para o projeto da estrutura, Marcelo fez uso de vários tipos de 
elementos estruturais. Preencha as colunas a seguir, relacionando os elementos 
estruturais utilizados por Marcelo no projeto da estrutura da edificação.
1. Estruturas lineares
2. Estruturas de superfície
3. Estruturas de volume
( ) Vigas
( ) Pilares
( ) Vigas-paredes
( ) Lajes
( ) Sapatas
( ) Cabos de contraventamento
Assinalea alternativa que apresenta a ordem correta, de cima para baixo.
A) 3 – 2 – 2 – 3 – 3 – 1
B) 1 – 1 – 2 – 2 – 3 – 1
C) 1 – 1 – 1 – 2 – 3 – 1
D) 1 – 2 – 2 – 1 – 3 – 2
E) 2 – 1 – 2 – 3 – 2 – 1
3) No projeto estrutural de um edifício comercial, uma arquiteta fez uso de um sistema 
aporticado em estruturas de concreto armado. Em determinado ponto, para manter 
um vão maior, ela decidiu fazer uso de vigas-Gerber, de modo a evitar a construção 
de pilares no meio de uma sala ampla. Analise as afirmativas a seguir.
I. Vigas-Gerber consistem em um sistema estrutural em que vigas não estáveis se 
apoiam diretamente em pilares estáveis.
II. Pórticos são sistemas estruturais formados pela associação entre vigas e pilares, 
podendo este arranjo se dar no plano ou no espaço.
III. As vigas-Gerber, assim como as vigas comuns, estão submetidas à esforços de 
flexão longitudinais.
IV. Os pilares do pórtico transmitem os esforços de flexão e de compressão 
provenientes da viga para as fundações.
Assinale a alternativa que indica as afirmativas corretas.
A) Apenas a afirmativa I.
B) Apenas a afirmativa IV.
C) Apenas as afirmativas II e III.
D) Apenas as afirmativas II e IV estão corretas.
E) As afirmativas I, II, III e IV.
4) Estruturas de superfície são aquelas que apresentam uma das dimensões, 
denominada espessura, muito inferior às outras duas dimensões, que formam um 
plano. Relacione as colunas, no que se refere aos tipos de estruturas de superfície.
1. Membrana tensionada em cobertura de estádio de futebol.
2. Laje maciça de concreto executada em uma edificação residencial.
3. Viga-parede utilizada como muro de contenção em subsolo de edifício.
( ) Placas
( ) Chapas
( ) Cascas
Assinale a alternativa que apresenta a ordem correta, de cima para baixo.
A) 1 – 2 – 3
B) 2 – 1 – 3
C) 1 – 3 – 2
D) 3 – 2 – 1
E) 2 – 3 – 1
Os elementos de volume são utilizados, principalmente, em sistemas estruturais 
aplicados em fundações diretas. Contudo, outros tipos de elementos estruturais 
podem ser aplicados em fundações. Relacione as colunas, referente aos tipos de 
elementos estruturais utilizados em fundações.
1. Os blocos de coroamento são elementos intermediários, que fazem a ligação entre o 
pilar e as estacas, distribuindo, igualmente, os esforços provenientes da estrutura.
5) 
2. O radier consiste em uma laje executada sobre o solo, transmitindo a este as cargas 
provenientes da edificação por meio de sua base.
3. As estacas são sistemas de fundações profundas, que transmitem as cargas para o 
solo, por meio do atrito lateral e pela ponta que fica enterrada.
( ) Elemento de superfície.
( ) Elemento de volume.
( ) Elemento linear.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo.
A) 1 – 2 – 3
B) 2 – 1 – 3
C) 1 – 3 – 2
D) 3 – 2 – 1
E) 2 – 3 – 1
NA PRÁTICA
As fundações são estruturas com a função de absorver e transmitir os esforços provenientes da 
edificação, de forma segura, para o solo. Elas devem ser projetadas com elementos estruturais 
apropriados, de modo que os esforços sejam bem distribuídos no solo. As fundações podem ser 
executadas com elementos lineares, de superfície ou de volume, ou, ainda, pela combinação 
deles.
Confira, Na Prática, como analisar um sistema estrutural de fundação, do ponto de vista dos 
elementos estruturais utilizados.
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Vigas-Gerber com Dentes Múltiplos: Dimensionamento e Detalhamento
As vigas-Gerber são muito utilizadas em estruturas pré-moldadas. Consistem no apoio de uma 
viga não estável em vigas estáveis, propiciando a construção com maiores vãos. No link a 
seguir, você aprenderá um pouco mais sobre este sistema construtivo.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
O que é treliça?
As treliças são sistemas estruturais utilizados para vencer grandes vãos. Conferem estabilidade 
para a estrutura e diminuição de peso, quando comparadas a vigas maciças. No link a seguir, 
você aprenderá um pouco mais sobre as características das treliças.
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Vetores de Força – análise bidimensional 
APRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo!
A análise de situações reais, mesmo considerando algumas idealizações que facilitam o estudo, 
é um processo bastante complexo. Quando você estuda um objeto em movimento, considerando 
um ponto fixo em sua superfície, a cada instante esse ponto se encontra em uma determinada 
posição. Já quando você pretende analisar um objeto que está em repouso, as forças que atuam 
sobre ele podem variar com o tempo, por exemplo, devido às deformações do material. Por isso, 
em ambos os casos, torna-se interessante você representar a atuação das forças em cada 
momento específico, explicitando sua direção, seu sentido e, também, sua intensidade. 
 
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá estudar a ferramenta matemática que lhe permite 
representar as forças graficamente e realizar operações com elas em duas dimensões: os vetores.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Identificar os princípios da álgebra vetorial.•
Aplicar a regra do paralelogramo para determinar a força resultante de um sistema.•
Utilizar as coordenadas cartesianas para expressar a intensidade, a direção e o sentido de 
grandezas vetoriais.
•
DESAFIO
A cultura do fast food que tomou conta do século XX, deixou heranças desastrosas para as 
novas gerações: aumento da obesidade, doenças como hipertensão infantil e altos índices de 
enfarto em pessoas jovens. Felizmente, frente a isso, surge, no século XXI, uma consciência em 
relação aos hábitos saudáveis de vida, que possibilitam o bem-estar, aumentando a expectativa 
de vida, não apenas em anos, mas em qualidade.
Além de procurar manter uma alimentação saudável, as pessoas se conscientizaram dos 
benefícios da prática de atividades físicas regularmente. Com isso, cresce cada vez mais o 
número de academias espalhadas pelas cidades, cuja prática é bastante comum para trabalhar 
diversos músculos superiores, como pode ser observado na imagem a seguir: 
Supondo que as hastes formam um ângulo de 90° entre si e que a força resultante é de 150 N, 
apresente um gráfico ilustrando as componentes x e y, bem como a direção dessa força 
resultante, descritas em coordenadas cartesianas. Para facilitar, posicione o sistema de eixos 
sobre as hastes, de forma que a haste da mão esquerda corresponda ao eixo y positivo.
INFOGRÁFICO
A utilização de vetores na resolução de problemas na engenharia facilita muito a análise dos 
enunciados. Vetores são operadores matemáticos que apresentam propriedades e operações 
específicas, todas elas muito úteis, na prática. 
 
Veja no Infográfico a seguir, como funcionam as operações com vetores e a decomposição de 
forças resultantes. 
CONTEÚDO DO LIVRO
A engenharia, por se tratar de uma física aplicada ao cotidiano, desenvolveu métodos próprios 
para a resolução de problemas. Por isso, é muito importante o engenheiro conhecer as 
ferramentas que vão lhe auxiliar na análise das situações reais do cotidiano. Uma das principais 
ferramentas matemáticas para a sua profissão são os vetores. Com eles você pode esboçar 
graficamente as forças que atuam em um objeto, avaliando a intensidade, a direção e o sentido 
das forças que sua estrutura deverá ser capaz de suportar. Assim, o dimensionamento e a escolha 
dos materiais a serem utilizados serão feitos com segurança.
Para saber mais, acompanhe a leitura do capítulo Vetores de força: análise bidimensional, da 
obra Estática, que serve como base teórica desta Unidade de Aprendizagem.
Boa leitura.
ESTÁTICA 
Beatriz Alice Weyne Kullmann de Souza
Vetores de força: análise 
bidimensional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste capítulo, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificaros princípios da álgebra vetorial.
 � Aplicar a regra do paralelogramo para determinar a força resultante
de um sistema.
 � Utilizar as coordenadas cartesianas para expressar a intensidade, a
direção e o sentido de grandezas vetoriais.
Introdução
A análise de situações reais, mesmo considerando algumas idealizações 
que facilitam o estudo, é um processo bastante complexo. Quando você 
estuda um objeto em movimento, considerando um ponto fixo em sua 
superfície, a cada instante esse ponto se encontra em uma determinada 
posição. Já quando você pretende analisar um objeto que está em re-
pouso, as forças que atuam sobre ele podem variar com o tempo, por 
exemplo, devido a deformações do material. Por isso, em ambos os casos, 
torna-se interessante poder representar a atuação das forças em cada 
momento específico, explicitando sua direção, seu sentido e, também, 
sua intensidade.
Neste capítulo, você vai estudar a ferramenta matemática que lhe 
permite representar as forças graficamente e realizar operações com elas 
em duas dimensões: os vetores.
Vetores: uma ferramenta valiosa
A álgebra linear está presente em todo e qualquer programa de computador 
que se destine a cálculos. Em 1843, William Rowan Hamilton apresentou 
a ferramenta básica principal para a representação gráfica de sistemas em 
duas e três dimensões: o vetor. Associado ao plano cartesiano, ferramenta 
fundamental da Geometria Analítica apresentada por René Descartes, permite 
descrever com precisão as situações de interesse da Engenharia. Em Mecânica, 
os vetores são utilizados para representar grandezas como: força, velocidade, 
aceleração, momento, entre outras. “Vetores são definidos como expressões 
matemáticas que têm intensidade, direção e sentido, que se somam segundo 
a lei do paralelogramo” (BEER et al., 2012, p. 19).
Veja, a seguir, os conceitos e operações envolvidos no cálculo vetorial:
 � Vetor: segmento de reta finito e orientado, representado graficamente
por uma flecha. Ou seja, possui origem e extremidade que definem uma
direção, um tamanho e um sentido.
 � Módulo: representa o tamanho do vetor. Quando o vetor representa
uma grandeza física, o módulo constitui seu valor numérico, ou seja,
sua intensidade.
 � Direção: reta que representa graficamente o vetor (corpo da flecha). Em 
geral designada por um ângulo, é denominada de horizontal quando
esse ângulo é de 0º ou 180º; quando esse ângulo é de 90º ou 360º, a 
denominamos de vertical.
 � Sentido: orientação do vetor (ponta da flecha). Cabe destacar que cada 
direção pode assumir
Quando utilizados para representar grandezas, eles precisam, também, 
informar a dimensão dessa grandeza, por isso, vêm associados a uma unidade. 
Veja no Quadro 1 como representar os vetores graficamente/matematicamente.
Vetores de força: análise bidimensional2
Componente Representação gráfica
Representação 
matemática
Vetor Desenho de uma flecha designada 
por sua representação matemática.
A (negrito) ou A
→
Módulo Comprimento da flecha. A ou | A |→
Direção Reta que contém a flecha. Ângulo: Â ou Ɵ 
(alfabeto grego)
Sentido Seta na extremidade da flecha. Sinal: + ou –
Dimensão Não contemplada. Unidade da 
grandeza
Quadro 1. Representação gráfica/matemática dos vetores.
Na prática, como os vetores são utilizados para representar grandezas 
físicas, na ilustração de situações reais essas formas de representação aparecem 
associadas. Observe as Figuras 1 e 2.
Figura 1. Exemplo de vetor.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 18).
3Vetores de força: análise bidimensional
Figura 2. Exemplo de vetor. F1 = – 15N; F2 = 7N; P = 25N.
P
F1 F2
Com base nas Figuras, você pode descrever as seguintes situações:
1. Em uma esfera, é aplicada uma força de 10N na direção 30° horizontal, 
para a direita.
2. Sobre o bloco atuam três forças: 
 ■ F1: horizontal, para a esquerda, com intensidade de 15N.
 ■ F2: horizontal, para a direita, com intensidade de 7N.
 ■ P: vertical, para baixo, com intensidade de 25N.
Quando trabalhamos com vetores, o sinal (+) e o sinal (–) na frente dos valores numéricos 
indicam o sentido da grandeza. Se você precisa representar, na mesma figura, duas 
grandezas contrárias, vai desenhar flechas com sentidos opostos (Figura 2). Por outro 
lado, se você precisa representar matematicamente essas duas grandezas, uma delas 
será representada com sinal positivo e, a outra, com sinal negativo. Assim, depois de 
resolvida a equação, o sinal do resultado também representará o sentido da grandeza 
resultante. Por exemplo, a força resultante na horizontal da Figura 2 seria calculada 
da seguinte maneira: 
FR = F1 + F2 
FR = – 15 + 7 = – 8N ou seja, 8N para esquerda
Vetores de força: análise bidimensional4
Na representação de grandezas, os vetores podem ser:
 � Fixos ou ligados: se alterada a posição do vetor, as condições da situação 
descrita serão alteradas. 
 � Livres: alterando a posição do vetor, as condições da situação descrita 
permanecem inalteradas.
 � Deslizantes: podem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação 
(BEER et al., 2012, p. 20).
 � Iguais: vetores que possuem mesmo módulo, mesma direção e mesmo 
sentido, independente do ponto de aplicação.
 � Opostos: vetores que possuem mesmo módulo e mesma direção, porém 
sentidos contrários.
Observe as Figuras 3 a 6 e leia com atenção suas legendas acerca dos 
vetores nelas representados.
Figura 3. Os vetores aqui representados são fixos e iguais, pois, apesar 
de terem mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido, o ponto 
no qual são aplicados altera a situação: a torneira vai abrir ou fechar.
Fonte: adaptada de VERSUSstudio/Shutterstock.com.
5Vetores de força: análise bidimensional
Figura 4. Os vetores são iguais e livres, ou seja, têm mesma 
intensidade, mesma direção, mesmo sentido e independente 
do ponto no qual são representados, a situação permanece 
inalterada: o bloco se move para a direita.
Figura 5. O vetor, que representa a tensão no cabo, é deslizante, pois pode ser representado 
ao longo da sua linha de ação.
Fonte: adaptada de superjoseph/Shutterstock.com.
Vetores de força: análise bidimensional6
Figura 6. Empilhadeira. Os vetores, peso (P) e normal (N), são 
opostos, ou seja, possuem mesmo módulo, mesma direção e 
sentidos contrários.
Fonte: adaptada de Pissanu Jirakranjanakul/Shutterstock.com.
Força resultante: adição de vetores 
Estabelecer as relações entre as forças que atuam nas situações reais de mo-
vimento ou de equilíbrio pode ser bastante complexo. Os vetores facilitam 
essa análise, pois nos permitem, com base na representação gráfica, encontrar 
soluções. Para isso, vamos conhecer algumas ferramentas utilizadas na adição 
de vetores para determiner a força resultante dos sistemas.
Vetores na mesma direção
Basta realizar a soma algébrica dos módulos dos vetores em questão. Lembre-
-se de levar em consideração o sentido de cada força a ser adcionada, que, 
no caso, é dado pelos sinais (+) e (–) que antecedem os valores numéricos. 
7Vetores de força: análise bidimensional
Graficamente, une-se o início de um vetor ao final do outro, respeitando seus 
sentidos (regra ponta-a-cauda). Confira um exemplo na Tabela 1. 
F1 (N) F2 (N)
Resultante (FR) (N) (seta larga)
Algebricamente Graficamente
10 20 10 + 20 = 30
– 10 – 20 – 10 – 20 = – 30
– 10 20 – 10 + 20 = 10
Tabela 1. Soma algébrica dos módulos dos vetores.
Ao trabalhar com vetores, é sempre interessante ter uma régua, um esquadro e um 
transferidor em mãos, pois uma vez que os desenhos sejam feitos em escala, você 
poderá medir as retas e ângulos para obter ou conferir suas respostas.
Você já refletiu sobre como isso pode ajudar a resolver exercícios? Vamos 
analisar as situações a seguir e a Figura 7.
Vetores de força: análise bidimensional8
Figura 7. Forças horizontais.
Fonte: adaptada de Darla Hallmark/Shutterstock.com.
Na Figura 7, supondo que o bloco permaneça parado e que as únicas forças 
que atuem sobre ele estejam as representadas na figura, você pode concluirque:
 � A resultante será dada pela soma algébrica das forças em vermelho.
Então, você pode escrever:
FR = ∑F
FR = F1 + F2
 � A resultante do sistema deverá ser nula, uma vez que ele permanece
parado: F1 + F2 = 0.
Se F1 é a força aplicada da esquerda para a direita, considerada (+), e F2 é 
a força aplicada da direita para a esquerda, considerada (–), teremos:
+ F1 + (– F2) = 0
que é o mesmo que escrever:
F1 – F2 = 0
9Vetores de força: análise bidimensional
Ou seja, em módulo, F1 = F2. 
Por outro lado, se o bloco se desloca, por exemplo, para a esquerda, no 
caso de F2 > F1, você pode concluir que:
 � A resultante é uma força para a esquerda que gera uma aceleração pro-
porcional à massa do bloco (Lei de Newton). Então, você pode escrever:
F1 – F2 = m · a
Digamos que F1 = 5N e F2 = 8N e que o bloco tenha massa de 50kg. Você 
pode determinar a aceleração: 
5N – 8N = 50 kg · a
– 3N = 50kg · a
a = – 3N50kg = – 0,06m/s
2
Mas o que significa esse sinal? O sinal indica que a aceleração é para a 
esquerda.
Vetores que não estão na mesma direção
Nesse caso, não podemos somar algebricamente o módulo das forças para 
obter a resultante. Existem duas maneiras de determiná-la:
 � Regra do Paralelogramo: para começar, você precisa desenhar os ve-
tores a partir de um mesmo ponto (A), de forma que suas origens fiquem 
unidas. Em seguida, projete um vetor na extremidade do outro. Para 
isso, trace linhas paralelas, como as pontilhadas ilustradas na Figura 8.
Vetores de força: análise bidimensional10
Figura 8. Paralelogramo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 20).
A força resultante P + Q será a diagonal do paralelogramo construído que 
passa pelo ponto A, ou seja, o vetor que tem origem em A e extremidade no 
ponto de junção das duas projeções. Observe a Figura 9.
Figura 9. Regra do paralelogramo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 20).
11Vetores de força: análise bidimensional
 � Regra do Triângulo: deriva da regra anterior, seguindo o padrão ponta-
-a-cauda. Consiste em considerar o triângulo formado ao unirmos a 
ponta de um vetor com a cauda do outro quando estes não têm a mesma 
direção. Como as projeções dos vetores P e Q são vetores iguais a 
eles, podemos considerar apenas metade do paralelogramo. Assim, 
do paralelogramo das Figuras 8 e 9, podemos extrair dois triângulos, 
conforme ilustra a Figura 10.
Figura 10. Regra do Triângulo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 21).
Vetores de força: análise bidimensional12
Mas quando optar por utilizar a Regra do Paralelogramo ou a Regra do 
Triângulo?
Tudo vai depender da situação que você está analisando. Em geral, quando 
temos forças em direções no mesmo plano (coplanares), a regra do triângulo 
facilita a solução. Já quando as forças estão em planos diferentes, a regra do 
paralelogramo torna-se mais interessante.
 � Regra do Polígono: consiste em uma variação da regra do triângulo, 
utilizada para adicionar três ou mais vetores de forças coplanares. Ao 
aplicar o padrão ponta-a-cauda em todos os vetores a serem adicionados, 
tem-se como resultado um polígono, e a resultante será o vetor que 
une a origem do primeiro vetor à extremidade do ultimo adicionado. 
Observe a Figura 11.
Figura 11. Regra do Polígono.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 22).
13Vetores de força: análise bidimensional
Veja que, para obter o vetor força resultante P + Q + S da Figura 11, você também 
poderia ter aplicado a regra do triângulo para adicionar os vetores P e Q, obtendo o 
vetor força resultante P + Q e, a esse vetor, adicionar o vetor S (Figura 12):
Figura 12. Soma vetorial.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 22).
Ou, de maneira análoga, adicionar o vetor Q e S, obtendo o vetor força resultante 
Q + S, e, a esse vetor, adicionar o vetor P (Figura 13):
Figura 13. Soma vetorial.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 22).
A regra do triângulo é sempre aplicada para adicionar dois vetores de maneira que 
formem um triângulo. Ela pode ser aplicada sucessivamente até termos adicionado 
todos os vetores desejados.
Vetores de força: análise bidimensional14
Assim como nas operações algébricas, as operações com vetores possuem 
propriedades. Vamos analisar as seguintes situações:
1. Os dois triângulos da Figura 10.
Quando você soma o vetor P com o vetor Q (a), ou o vetor Q com o vetor 
P (b), obtém como resultante o vetor força P + Q. Ou seja, a soma de vetores 
é comutativa, por isso podemos escrever:
P + Q = Q + P
2. Agora, quando você precisa somar três ou mais vetores no mesmo
plano, vai aplicar a regra do polígono ou sucessivas regras do triângulo. 
Cada vez que você aplica a regra do triângulo, obtém um vetor força
resultante (soma) e a ele adiciona outro vetor, ou seja, como ilustrado
na Figura 12, você está fazendo:
P + Q 
(P + Q) +S
Ou, como na Figura 13, você está fazendo:
Q + S
(Q + S) + P
Das duas maneiras, você chegará no mesmo resultado obtido através da 
regra do polígono (Figura 11): P + Q + S. Então, podemos escrever:
P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S)
15Vetores de força: análise bidimensional
Ou seja, a soma vetorial é associativa.
3. Além disso, você pode multiplicar um vetor força por um escalar (nú-
mero). Como consequência, você obterá uma vetor força de mesma
direção, com módulo proporcional ao escalar e sentido designado pelo
sinal do escalar. Observe:
Considere o vetor P da Figura 14, digamos que ele tem módulo P = 2:
■ quando multiplicado pelo escalar 1,5, obtém-se o vetor 1,5P com
módulo 1,5P = 3 (1,5 x 2), e esse vetor tem a mesma direção e o
mesmo sentido do vetor P;
■ quando multiplicado pelo escalar – 2, obtém-se o vetor – 2P com
módulo – 2P = – 4 (– 2 x 2),e esse vetor tem a mesma direção, porém 
sentido contrário, ao vetor P.
Observe a Figura 14.
Figura 14. Produto por escalar.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 22).
Vetores de força: análise bidimensional16
Na Figura 15, duas forças representadas pelos vetores P e Q atuam sobre o parafuso A. 
Determine o vetor força resultante.
Figura 15. Forças no parafuso.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 24).
a) Solução gráfica: regra do paralelogramo:
Reproduzindo o desenho em escala, pela regra do paralelogramo, você encontra
como vetor força resultante o vetor R (Figura 16):
Figura 16. Forças no parafuso. Com auxílio de uma régua 
e de um transferidor, você pode medir o comprimento do 
vetor R e do ângulo A que representa a direção do vetor 
força resultante R. Você terá que o vetor força resultante 
tem módulo R = 98N e direção α = 35°.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 24).
17Vetores de força: análise bidimensional
b) Solução trigonométrica: regra dos triângulos:
Adicionando os vetores P e Q seguindo o padrão ponta-a-cauda, você encontra o 
vetor força resultante R (Figura 17):
Figura 17. Regra do triângulo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 24).
Traçando o prolongamento da reta que contém o vetor P e uma reta perpendicular 
que, do ponto D, a une à extremidade do vetor R, você pode aplicar relações trigono-
métricas e comparar os triângulos obtidos para determinar o módulo e a direção da 
força resultante sobre o parafuso. Observe a Figura 18.
Figura 18. Relações no triângulo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 24).
No triângulo BCD:
CD = Q sen25° = 60N sen25° = 25,36N
BD = Q cos25° = 60N sen25° = 54,38N
Vetores de força: análise bidimensional18
No triângulo ADC:
tan A = CD
AD
= 25,36
94,38
= 0,268 então A = tan–1 0,268 = 15°
sin A = CD
R
= 25,36
R
25,36
sin 15
25,36
0,26
 então R = = = 97,53N
α = 20° + A, então α = 20 + 15,04 = 35°
Resposta: a força resultante sobre o parafuso tem intensidade de 97,53N e direção 35°.
Vetores e o plano cartesiano: 
decomposição de forças
Assim como você pode adicionar vetores para obter um vetor soma resultante, 
também pode fazer o contrário: partir do vetor soma, encontrar os vetores que 
lhe deram origem. Para isso, você precisa decompor o vetor soma (resultante) 
em duas componentes, veja como ésimples:
 � Na origem do vetor soma (R), trace duas retas perpendiculares entre si, 
montando um sistema de eixos; por convenção, costuma-se designá-los
por x e y. A direção do vetor R será descrita pelo ângulo α. 
 � Em seguida, partindo da extremidade do vetor soma, trace retas pon-
tilhadas perpendiculares aos eixos desenhados até encontrá-los; por
convenção, essas projeções são denominadas componentes do vetor 
e são designadas por componente x (Rx) e componente y (Ry) do vetor 
em questão. Observe a imagem a seguir:
y
Ry
Rx
R
x
α
19Vetores de força: análise bidimensional
Com base nas relações trigonométricas fundamentais, você pode determinar 
os valores das componentes x e y do vetor R: 
Rx = R cos α e Ry = R sen α
Por convenção, a medida do ângulo α sempre é feita partindo do eixo x positivo. Dessa 
forma, se uma força tem sua componente x para o lado negativo no eixo, seu ângulo 
será maior que 90°. Nesse caso, costuma-se utilizar o ângulo suplementar β e considerar 
o sinal negativo no módulo de F da componente que está no lado negativo do eixo, 
isso facilita os cálculos. Observe a imagem a seguir:
y
Fx
FyF
β α
α > 90°
β = 180 – α
β < 90°
Neste caso:
Fx = – F cos β
Fy = F sen β
Essa relação pode ser aplicada às forças que atuam em um objeto retratado 
em uma situação real. A decomposição das forças em suas components x e y 
simplifica os cálculos, pois você poderá efetuar as somas algébricas das com-
ponentes em x e em y para, depois, determinar o vetor resultante do sistema, 
utilizando o Teorema de Pitágoras.
Vetores de força: análise bidimensional20
Observe a Figura 19, que traz um esboço que representa três forças que atuam sobre 
um objeto. Vamos determinar a força resultante através de suas componentes x e y:
Figura 19. Forças coplanares. Dados: F1 = 5N direção 30°; 
F2 = 8N direção 150°; F3 = 4N direção 315°.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
Ao decompor as forças, teremos o que aponta a Figura 20 e o desenvolvimento a 
seguir.
Figura 20. Decomposição de forças.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
21Vetores de força: análise bidimensional
F1x = 5 cos 30° = 5 · 0,86 = 4,3N
F1y = 5 sen 30° = 5 · 0,5 = 2,5N
Agora em F2 e F3, usamos os ângulos suplementares:
180° – 150° = 30° e 360° – 315° = 45°
Assim, teremos:
F2x = – 8 cos 30° = – 8 · 0,86 = – 6,9N
F2y = 8 sen 30° = 8 · 0,5 = 5N
F3x = 4 cos 45° = 4 · 0,70 = 2,8N
F3y = – 4 sen 45° = – 4 · 0,70 = – 2,8N
Agora, podemos calcular as componentes da força resultante (R):
Rx = F1x + F2x + F3x = 4,3N – 6,9N + 2,8N = 0,2N
Ry = F1y + F2y + F3y = 2,5N + 5N – 2,8N = 4,7N
Aplicando o teorema de Pitágoras, teremos:
R2 = Rx
2 + Ry
2
Ou seja,
R = √Rx
2 + Ry
2
R = √0,22 + 4,72 = √0,04 + 22,09
R = 4,7N
Na direção: 
α = tan–1
Ry
Rx
α = tan–1 4,7
0,2
= tan–1 23,5
α = 87,5°
Vetores de força: análise bidimensional22
De forma análoga, pode-se utilizar os vetores unitários do plano cartesiano 
i e j para escrever os vetores de força na forma cartesiana (Figura 21).
Figura 21. Vetores cartesianos.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
O vetor resultante F pode ser expresso como um vetor cartesiano: 
F = Fxi + Fyj
Para o vetor resultante do exemplo anterior, você poderia escrever:
Rxi = (F1x + F2x + F3x)i = (4,3N – 6,9N + 2,8N)i = (0,2N)i
Ryj = (F1y + F2y + F3y)j = (2,5N + 5N – 2,8N)j = (4,7N)j
R = 0,2i + 4,7j
Tanto o módulo quanto a direção são calculados da mesma maneira que 
foi demonstrada no exemplo. Vejamos outra situação:
23Vetores de força: análise bidimensional
Na Figura 22, a pessoa está puxando a corda com uma força de 300N. Determine as 
componentes x e y da força, bem como sua direção e represente o vetor resultante 
em notação cartesiana.
Figura 22. Esboços para a realização do exercício sobre os componentes da força.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 31); Lineicons freebird/Shutterstock.com; Yaroslavna 
Zemtsova/Shutterstock.com.
Vetores de força: análise bidimensional24
Com base na Figura 22(a), pode-se representar graficamente a situação como de-
monstrado na Figura 22(b). Pelo esboço (b), teremos:
Fx = 300 cos α
Fy = – 300 sen α
Pelo esboço (a), teremos:
tan α =
6
8
3
4
=
3
4
α = tan–1 = 36,8°
Então: 
Fx = 300 cos 36,8 = 300 · 0,8 = 240N
Fy = – 300 sen 36,8 = – 300 · 0,6 = – 180N
Assim, podemos representar a resultante: 
F = 240i – 180j na direção 36,8°
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 
2012.
VETORES de força. [201-?]. Disponível em: <http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/profes-
sor/49/TE224/Aula%202%20Vetores.pdf>. Acesso em: 15 fev. 2018.
Leitura recomendada
VESTIBULAR1. Física, cinemática, vetores: exercício específico de física, cinemática, 
vetores. 2000. Disponível em: <http://www.vestibular1.com.br/simulados/simulados-
-por-exercicios/exercicio-de-fisica/fisica-cinematica-vetores/>. Acesso em: 15 fev. 2018.
25Vetores de força: análise bidimensional
DICA DO PROFESSOR
Ao trabalhar com vetores, é sempre interessante se ter uma régua, um esquadro e um 
transferidor em mãos, pois uma vez que os desenhos sejam feitos em escala, você poderá medir 
as retas e ângulos para obter ou conferir suas respostas em um exercício que exija calcular o 
módulo e a direção da resultante de maneira gráfica.
Acompanhe o vídeo a seguir e veja a resolução de dois exercícios, um com gráfico e outro com 
álgebra vetorial. 
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
EXERCÍCIOS
1) Em um suporte tipo gancho, pendurado no teto de uma casa, atuam as forças F1 = 75 N e 
F2 = 125 N. Fazendo, respectivamente, ângulos de 20° e 35° com a vertical. A força 
resultante sobre ele é de aproximadamente: 
A) 178,9 N.
B) 102 N.
C) 45 N.
D) 2123 N.
E) 15 N.
2) Determine a força resultante sobre um bloco de concreto que está sendo puxado para 
a esquerda por uma força horizontal de 7 N, e para a direita com uma força 
horizontal de 12 N.
A) 19 N para a esquerda.
B) 5 N para a esquerda.
C) 19 N para a direita.
D) 5 N para a direita.
E) Nula.
3) O vetor força resultante que se obtém ao adicionar os vetores A = 12i + 5j, B = 15i – 
12j e C = - 22i + 15j, corresponde ao vetor R representado na alternativa:
A) R = 49i + 32j.
B) R = 5i + 8j.
C) R = 5i - 2j.
D) R = - 49i - 32j.
E) R = 8i + 5j.
4) Considere o esquema de forças que atuam em um objeto conforme ilustrado na figura. 
Sabendo que F1 = 40N, F2 = 30N e F3 = 20N, a força resultante que atua no objeto tem 
módulo e direção respectivamente de:
A) 25,7 N e166,5°.
B) 55 N e 60°.
C) 46 N e 4°.
D) 25 N e 76,5°.
E) 45,5 N e 30°.
5) Um homem puxa a corda da figura com uma força de 200 N, ele está a 10 m do prédio e a 
uma distância vertical de -5 m do suporte da corda. Nessas condições, as componentes x e y 
da força aplicada pelo homem são, respectivamente:
A) (198N)i e (1,6N)j.
B) (198N)i e (0,02N)j.
C) (88N)i e (178N)j.
D) (11,2N)i e (125N)j.
E) (179N)i e (90N)j.
NA PRÁTICA
O cálculo das forças resultantes que atuam sobre um objeto, a Segunda Lei de Newton e todas as 
operações com vetores, são peças fundamentais, capazes de garantir a segurança das obras de 
engenharia que invadem nossas vidas. 
Um dos maiores cartões postais brasileiros é o bondinho do Pão de Açúcar, no Rio de Janeiro, 
inaugurado em 1912. O teleférico foi idealizado pelo engenheiro Augusto Ferreira Ramos, com 
intuito de facilitar o acesso ao cume do morro, inspirado pela evolução técnica da engenharia na 
época. No início, o bondinho só fazia o trecho da Praia Vermelha ao Morro da Urca e seus 
carrinhos tinham capacidade para transportar 22 pessoas. Devido ao sucesso do 
empreendimento, em janeiro de 1913, o passeio já se estendia até o Pão de Açúcar.
No início da década de 1950, um dos cabos de sustentação do bondinho se rompeu, pois o 
material importado da Alemanha, de fabricação inglesa, não resistiu à tensão devido ao peso de 
transportar os passageiros. Felizmente, nesse caso, não houve mortes, mas a situaçãode pânico 
tomou conta da população na época. O acidente foi retratado no jornal Imprensa Popular, do dia 
22 de fevereiro de 1951. 
 
Veja na imagem a seguir, de que modo esse acidente reforça a relevância de se levar em conta as 
forças resultantes no dimensionamento e na escolha dos materiais a serem empregados nessas 
obras. 
SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Decomposição de forças
Veja como determinar uma força resultante a partir da decomposição de outras forças, no eixo x 
e y do plano cartesiano. Assim como o ângulo em relação ao eixo x positivo da força resultante.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Regra do Paralelogramo
Acompanhe neste vídeo de que forma é possível resolver um exercício contendo conceitos 
básicos como Regra do Paralelogramo, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.
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Exercícios de fixação
Teste seus conhecimentos por meio desta lista de exercícios sobre Decomposição de Forças.
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Momento de uma força – análise 
bidimensional e tridimensional
APRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo!
Em situações reais, os corpos não são totalmente rígidos quando submetidos à ação de forças, 
entretanto, as pequenas deformações que possam sofrer, desde que não afetem as condições de 
equilíbrio ou movimento, na perspectiva da estática, podem ser consideradas desprezíveis. 
Nesses casos, você pode considerá-los como corpos rígidos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá estudar o efeito de forças sobre um corpo rígido, 
além de aprender como simplificar a análise de situações reais por meio da substituição do 
sistema real por outro equivalente mais simples.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir o conceito de momento de uma força em duas e três dimensões.•
Discutir a aplicação do conceito de momento de binário.•
Determinar as resultantes de sistemas de forças e momentos em duas e três dimensões.•
DESAFIO
Você foi visitar sua irmã no final de semana e, ao chegar na casa dela, se deparou com seu 
sobrinho de 6 anos tentando desmontar uma bicicleta. Ao lado dele havia uma maleta de 
ferramentas cheia de chaves diferentes. Curioso, ele começou a testar cada uma delas. Logo 
percebeu que nem todas encaixavam no parafuso, tratou imediatamente de separar as que 
serviam.
Alguns minutos depois, você estava conversando com a mãe dele, quando ele vem ao seu 
encontro, mostra uma chave de boca com a haste bem curta e outra com uma haste maior e lhe 
pergunta: 
- Por que esse cabo é maior se elas são iguais?, 
Você simplesmente diz: 
- Porque essa é para um parafuso grande; e a outra, para um menor.
Ele se dá por satisfeito e volta à sua atividade. Entretanto, sua irmã diz que não entendeu e lhe 
pergunta: 
- Para um parafuso maior, não bastaria aumentar o tamanho da boca? Por que aumenta também 
o comprimento da haste?
Elabore um parágrafo explicando melhor sua resposta para ela.
INFOGRÁFICO
No Infográfico a seguir, você verá que os sistemas de forças e os momentos resultantes são 
encontrados em diversas aplicações da Engenharia. Conhecer essa grandeza e suas 
particularidade é fundamental para o seu desenvolvimento profissional.
CONTEÚDO DO LIVRO
As situações reais analisadas pela Engenharia, são, muitas vezes, demasiadamente complexas. 
Entretanto, existe uma maneira de simplificar a análise: substituindo o sistema real por outro 
equivalente, basta conhecer alguns conceitos fundamentais.
No capítulo Momento de uma Força: análise bidimensional e tridimensional, da obra 
Estática, você irá aprender sobre o efeito de rotação que a ação de um sistema de forças gera 
sobre um corpo rígido.
Boa leitura. 
ESTÁTICA
Beatriz Alice 
Weyne Kullmann
de Souza
Momento de uma força: 
análise bidimensional 
e tridimensional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste capítulo, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir o conceito de momento de uma força em duas e três dimensões.
 � Discutir a aplicação do conceito de momento de binário.
 � Determinar as resultantes de sistemas de forças e momentos em duas 
e três dimensões.
Introdução
Em situações reais, os corpos não são totalmente rígidos quando subme-
tidos à ação de forças. Entretanto, as pequenas deformações que possam 
sofrer, desde que não afetem as consições de equilíbrio ou movimento, 
na perspectiva da Estática, podem ser consideradas desprezíveis. Nesses 
casos, você pode considerá-los como corpos rígidos.
Neste capítulo, você vai estudar o efeito de forças sobre um corpo 
rígido, ou seja, aquele que não sofre deformações consideráveis para o 
estudo da Estática. Você vai aprender como simplificar a análise de situ-
ações reais através da substituição do sistema real por outro equivalente 
mais simples. Para isso, você será apresentado a conceitos fundamentais, 
como: momento de uma força e binário.
Momento de uma força
Para começar, vamos fazer uma experiência: pegue seu celular e coloque sobre 
a mesa, posicione a lateral maior alinhada com você. Agora, usando apenas o 
dedo indicador, posicionado na extremidade direita da base, empurre o celular 
e observe seu movimento. Para que lado ele se moveu? Repita a experiência, 
agora posicionando seu dedo na extremidade esquerda do aparelho e observe. 
Nesse caso, para que lado ele se move? 
Essa experiência simples ajuda você a compreender o conceito de momento 
de uma força. Quando você empurrou a extremidade direita, o celular iniciou 
um movimento de rotação para esquerda, ou seja, no sentido anti-horário, 
não é mesmo? Já quando você empurrou a extremidade esquerda, ele tendeu 
a girar para no sentido horário, certo? A grandeza momento de uma força 
traduz exatamente essa tendência que um corpo tem de girar em torno de um 
ponto ou de um eixo quando submetido à ação de uma determinada força F. 
Provavelmente, duas questões lhe vêm à mente: Que ponto/eixo é esse? 
Por que, se eu empurrar no centro, e não em uma das extremidades, o celular 
não gira, apenas se desloca para frente?
Para responder a essas questões, vamos estudar mais detalhadamente essa 
grandeza.
Princípio da transmissibilidade e forças equivalentes
Com a experiência do celular que você realizou, pôde observar que, dependendo 
do ponto onde é aplicada a força, o resultado muda. Isso porque você foi levado 
a aplicar forças em linhas de ação diferentes. Agora, pensando em apenas 
uma das extremidades (direita ou esquerda), se você tivesse posicionado seu 
dedo ao longo daquela lateral (direita ou esquerda), ao invés de posicioná-lo 
na extremidade, o resultado seria o mesmo, pois você estaria aplicando a força 
na mesma linha de ação. 
O princípio da transmissibilidade se refere, exatamente, a esse fato. Observe 
seu enunciado:
[...] as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido perma-
necem inalteradas se a força F, aplicada num dado ponto do corpo rígido, for 
substituída por uma força F ćom a mesma intensidade, a mesma direção e o 
mesmo sentido, aplicada num outro ponto, desde que estas duas forças tenham 
a mesma linha de ação (BEER et al., 2012, p. 77).
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional2
Observe a Figura 1, considerando que você posicione seu dedo no lado 
esquerdo do celular:
Figura 1. Linha de ação de F.
Fonte: Sichon/Shutterstock.com.
Linha de ação F
F
Você pôde verificar o princípio da transmissibilidade quando repetiu o 
experimento posicionando seu dedo na lateral do celular, não é mesmo? Ou 
seja, se a força aplicada tiver a mesma direção, o mesmo sentido, a mesma 
intensidade e for aplicada em outro ponto sobre a mesma linha de ação da 
primeira, ela vai gerar o mesmo resultado sobre o corpo e, por isso, pode ser 
considerada uma força equivalente. O vetor que representa essa força F, por 
poder se deslocarao longo de uma linha de ação, é dito deslizante. 
3Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional
Observe a Figura 2, ela representa o princípio da transmissibilidade:
Figura 2. Princípio da Transmissibilidade.
Fonte: Beer et al. (2012, p. 78).
A
A A A
B
B B
B B
B
A A
P1
P1
P1
P1
P2
P2
P´2
P´2
(a) (b) (c)
(f )(e )(d )
Nos casos (a) e (b), o corpo está sob tração; já nos casos (d) e (e), está sob compressão.
O efeito final do sistema é o mesmo, (c) e (f), ou seja, como as forças são equivalentes, 
quando aplicadas simultaneamente sobre o corpo rígido, a resultante é nula. 
Porém, se os corpos não forem completamente rígidos, as forças internas e defor-
mações, resultam em um efeito bem diferente, observe:
 � (a) e (b) forças de tração, efeito: aumento do comprimento da barra;
 � (c) e (d) forças de compressão, efeito: diminuição do comprimento da barra.
Por isso, o princípio da transmissibilidade deve ser aplicado com cautela em casos 
nos quais os corpos não podem ser considerados completamente rígidos.
Momento de uma força em relação a um ponto
A força aplicada sobre um corpo rígido pode ser representada por um vetor 
em um ponto específico do corpo. O efeito que essa força gera no corpo rígido 
depende do ponto no qual ela é aplicada. Esse ponto, que vamos chamar de 
ponto de aplicação, também pode ser representado por um vetor, chamado 
vetor posição. Mas essa posição refere-se a um outro ponto, no caso, aquele para 
o qual se deseja determinar o momento da força aplicada. Observe a Figura 3:
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional4
Figura 3. Força no corpo rígido.
Fonte: Beer et al. (2012, p. 83).
MO
O r
d
F
A θ
A força F é aplicada no ponto A do objeto ilustrado, que está a uma distância 
r do ponto O. O vetor r é o vetor posição de A em relação ao ponto O, para o 
qual se deseja determinar o momento de F, designado por (MO).
Na Figura 3, você também tem representado:
 � A linha de ação de F;
 � A linha de ação de r;
 � O plano definido por r e F;
 � O momento de F em relação a O (MO);
 � O ângulo (θ) formado entre F e a linha de ação de r;
 � A distância (d) perpendicular de O até a linha de ação de F.
Os elementos ilustrados na Figura 3 nos permitem definir o momento de 
F em relação à O como o produto vetorial:
MO = r × F
MO é um vetor perpendicular ao plano definido entre r e F, cujo sentido 
pode ser dado pela regra da mão direita e cuja intensidade pode ser calculada 
com base na relação a seguir: 
MO = rF sinθ = Fd
5Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional
Por convenção, quando a tendência do corpo sob a ação da força é girar 
no sentido horário, atribuímos o sinal negativo ao momento. Por outro lado, 
quando a tendência do corpo sob a ação da força é girar no sentido anti-horário, 
atribuímos o sinal positivo. Ou seja: 
 � Rotação no sentido horário: momento negativo;
 � Rotação no sentido anti-horário: momento positivo.
Produto vetorial e regra da mão direita:
O produto vetorial entre os vetores P e Q resulta no vetor V, representado por V = P x Q, 
que tem linha de ação perpendicular ao plano formado por P e Q; cuja intensidade é 
dada por: V = PQ sinθ, onde θ é o ângulo formado entre P e Q, que será sempre menor 
que 180°; sua direção e sentido são determinados pela regra da mão direita, seguindo 
a orientação que leva P em direção à Q.
Observe que a regra da mão direita é aplicada conforme indica o produto vetorial, 
no caso P x Q.
Na Figura 4, você pode entender melhor essa diferença e suas consequências:
Figura 4. Regra da mão direita.
Fonte: Vetores... ([201-?]). 
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional6
Em relação às propriedades da multiplicação, o produto vetorial não é nem comuta-
tivo, nem distributivo, ou seja, P x Q ≠ Q x P, e (P x Q) x S ≠ P x (Q x S), mas é distributivo, 
ou seja, P x (Q1 + Q2) = P x Q1 + P x Q2;
Em coordenadas cartesianas, o produto vetorial V = P x Q pode ser representado por: 
V = (PyQz – PzQy)i + (PzQx – PxQz)j + (PxQy – PyQx)k
Você pode representar o produto vetorial acima sobre a forma de um determinante 
e, depois, calcular suas componentes:
V =
i j k
Px Py Pz
Qx Qy Qz
O produto vetorial entre vetores de mesma direção é nulo. Por isso, ao multiplicar os 
vetores unitários, você obterá os seguintes resultados (Figura 5):
Figura 5. Produto vetorial dos vetores unitários i, j e k.
Fonte: Beer et al. (2012, p. 82).
i × i = 0 j × i = k k × i = j
i × j = k j × j = 0 k × j = –i
i × k = –j j × k = i k × k = 0
A dimensão da grandeza momento, no sistema internacional de unidades, 
é dada em N.m, pois a força é em Newtons, e a distância, em metros. 
Observe que o momento depende da intensidade, da linha de ação e do 
sentido da força, mas não depende da posição do ponto de aplicação sobre essa 
linha de ação. Portanto, ele não caracteriza essa posição. Ou seja, conhecer o 
momento não lhe permite definir em que ponto a força foi aplicada, apenas 
estabelecer sua linha de ação: essa deve estar no plano que contém O, ser 
perpendicular à MO, a distância d é obtida pelo quociente 
MO
F
, e o sentido 
do momento define de que lado do ponto O está essa linha de ação da força.
7Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional
Conhecendo, agora, o momento de uma força, você pode complementar 
seu conceito de forças equivalentes, acrescentando que elas devem, além de 
ter mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido, ter momentos iguais 
em relação a um determinado ponto O.
Observe a Figura 6 e determine o momento da força F em relação aos pontos A, B, C e D:
Figura 6. Força F em relação aos pon-
tos A, B, C e D.
Fonte: Vetores... ([201-?]).
1,25 m
0,5 m
1,5 m
1 m
F = 800NC
D
B
A
Pela relação: 
MO = rF sinθ = Fd
Teremos:
MA = 800 N . 2,5 m = 2000 N.m, no sentido horário (ou MA = – 2000 N.m).
MB = 800 N . 1,5 m = 1200 N.m, no sentido horário (ou MB = – 1200 N.m).
MC = 0, pois o ponto está sobre a linha de ação da força F, ou seja, d = 0.
MD = 800 N . 0,5 m = 400 N.m, no sentido anti-horário (ou MD = + 400 N.m).
Fonte: Vetores... ([201-?]).
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional8
Momento de uma força em três dimensões
Para determinar o momento de uma força em três dimensões, você precisa 
representar tanto a força quanto sua posição na forma vetorial cartesiana, pois 
isso facilita a resolução do produto vetorial que lhe resultará no momento: 
MO = r × F
Para resolver o produto vetorial acima, você pode montar o determinante, 
que envolve o vetor posição do ponto em questão:
MO =
i j k
x y z
Fx Fy Fz
Calculando o determinante, você obtém o momento, que pode ser escrito 
na forma cartesiana:
MO = Mxi + Myj + Mzk
De forma análoga, você pode determinar o momento de uma força, aplicada 
no ponto A, em relação a um outro ponto qualquer B. Basta você escrever o 
vetor posição rAB , ou seja, definir um vetor que una os dois pontos em questão, 
e considerá-lo como vetor posição. O momento será dado por:
MO = (rA- rB) × F
cujo determinante a ser calculado, será:
MO =
 i j k
xA – xB yA – yB zA – zB
 Fx Fy Fz
Vamos analisar uma situação exemplo, pois, na prática, fica mais fácil de 
você entender como pensar os vetores posição:
9Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional
A Figura 7 representa um poste sobre o qual atua uma força F = 60 N, na direção de 
C para B. Determine a intensidade do momento que F gera em relação ao suporte A:
Figura 7. Poste sobre o qual atua uma força F = 60 N, na direção 
de C para B.
Fonte: Vetores... ([201-?]).
z
A
B
1 m
2 m 3 m
2 m
4 m
x
y
C
F = 60 N
Com base nos dados da figura, você começa escrevendo os vetores posição:
rAB = (xB – xA) i + (yB – yA) j + (zB – zA) k = 1i + 3j + 2k
rAC = (xC – xA) i + (yC – yA) j + (zC – zA) k = 3i + 4j + 0k
Então, o vetor posição será:
rCB = – 2i –1j + 2k, cujomódulo vale 3 m
Calculando o vetor unitário uCB, você obtém: uCB= – 0,666i – 0,333j + 0,666k
E pode determinar a força F = F . uCB = (– 40i – 20j + 40k) N
Finalmente, você pode determinar o momento, calculando o determinante:
MAB =
 i j k
 1 3 2
–40 –20 40
Você encontra: MAB = (160i – 120j + 100k) N.m, cuja intensidade é 224 N.m.
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional10
O momento de uma força também pode ser calculado em relação a um 
eixo. Para isso, você calcula o produto vetorial que lhe determina o momento 
(r x F) e multiplica pelo vetor unitário do eixo em questão (ue). Essa relação 
pode ser descrita por:
Me = ue ∙ (rOA x F)
Ou, simplesmente:
Me =
uex uey uez
 rx ry rz
 Fx Fy Fz
Vejamos um exemplo:
A força F atua no ponto A mostrado na Figura 8 a seguir. Determine o momento de 
F em relação ao eixo x. 
Figura 8. Atuação da força F sobre o ponto A.
Fonte: Vetores... ([201-?]).
z
A
O
x
y
4 m
3 m
6 m
(a)
rA
ua
F = {–40i + 20j + 10k} N
11Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional
O vetor força foi dado: F = – 40i + 20j + 10k
O vetor posição, você determina: OA = – 3i + 4j + 6k
Como se deseja determinar o momento em relação ao eixo x, você deve utilizar o 
vetor unitário que o representa, então: ux = i ou seja, 1i + 0j + 0k
Com esses valores, você monta o determinante: 
Mx =
uex uey uez
 rx ry rz
 Fx Fy Fz
 1 0 0
 –3 4 6
–40 20 10
Calculando o determinante, você encontra Mx = – 80 N.m
Lembre-se de que o sinal negativo significa que o momento, em relação ao eixo 
x, está entrando no plano da folha, e a tendência é o corpo girar no sentido horário.
Momento de binário
Sempre que temos um par de forças paralelas entre si, de mesma intensidade, 
de sentidos opostos e separadas por uma distância “d” atuando sobre um corpo 
dizemos que temos um binário de forças. Quando um binário age sobre um 
objeto, gera uma rotação, ou uma tendência de rotação, para um determinado 
sentido. A Figura 9 ilustra um binário:
Figura 9. Binário.
Fonte: Vetores... ([201-?]).
F
–F
d
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional12
Vamos ver uma situação representada graficamente para determinar o 
momento do binário (Figura 10): 
Figura 10. Momento de Binário.
Fonte: Beer et al. (2012, p. 110).
y
B
O
z
x
d
θ
A
M
–F
F
r
rB
rA
Como as forças agem simultaneamente, adicionando os momentos de cada 
uma delas, você encontra o momento de binário:
M = (rA – rB) x F
Sua intensidade pode ser determinada pela relação:
M = rF sinθ = Fd
Onde d é a distância perpendicular entre as linhas de ação das forças que 
compõem o binário, e o sentido é dado pela regra da mão direita.
Por se tratar de um vetor livre, uma vez que o vetor posição relativa não 
está vinculado a ponto nenhum, o momento de binário pode ser aplicado em 
qualquer ponto. 
13Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional
Binários equivalentes
Dois binários são considerados equivalentes se produzem o mesmo momento. 
Para que isso aconteça, as forças do segundo binário devem estar no mesmo 
plano das forças do primeiro ou em um plano paralelo a ele, de forma que 
suas direções coincidam. 
Vamos ver uma aplicação prática no exemplo a seguir:
A engrenagem da Figura 11 está sob a ação de um binário. Substitua esse binário por 
outro equivalente, posicionado nos pontos A e B:
Figura 11. Engrenagem sob a ação de um binário (a).
Fonte: Vetores... ([201-?]).
40 N
40 N
(a)
A B
0,3 m
0,3 m0,1 m
O momento do binário representado pode ser calculado pela relação:
M = F.d = 40 . 0,6 = 24 N.m no sentido anti-horário
Agora, você deve calcular a intensidade das forças que são capazes de gerar um 
momento igual a esse, ou seja, 24 N.m. Para isso, você usa a mesma relação, porém, 
agora, sua incógnita é F : 24 N.m = F . 0,2 m 
F = 24N.m
0,2m
= 120N aplicadas da seguinte maneira, para que a engrenagem mantenha 
o giro no sentido anti-horário (Figura 12):
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional14
Figura 12. Engrenagem sob a ação de um binário (c).
Fonte: Vetores... ([201-?]).
–F F
BA
(c)
0,2 m
Sistema de forças e momentos
Quando você tem várias forças agindo sobre um corpo rígido, consequen-
temente terá vários momentos, uma vez que cada força gera um momento, 
independente dele ser nulo ou não. Nesse caso, costumamos dizer que o corpo 
está sob a ação de um sistema de forças e momentos. Para trabalhar com um 
sistema de forças, você busca traduzí-las em uma única força resultante e 
representar o momento dessa força resultante, que será o momento do sistema. 
Assim como a força resultante de um sistema é dada pela soma das forças que 
atuam sobre o corpo, o momento resultante corresponde à soma dos momentos 
das forças que atuam no sistema. Ou seja:
FR = ∑1
n Fn = F1 + F2 + ... + Fn e MR = ∑1
n Mn = M1 + M2 + ... + Mn
15Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional
Vamos verificar a atuação de um sistema de forças nos exemplos a seguir:
Substitua as forças que atuam na viga ilustrada na Figura 13 por uma força e um 
momento resultante.
Figura 13. Exemplo de viga para exercício (a).
Fonte: Vetores... ([201-?]).
y
A
x100 N
600 N
400 N
45º
0,3 m
0,4 m 0,4 m
(a)
Decompondo F:
F400x = – 400 N . cos 45° = – 282,8 N
F400y = – 400 N . sen 45° = – 282,8 N
Calculando as componentes da resultante:
Rx = F400x + F100x = – 282,8 – 100 = – 382,8 N
Ry = F400y + F600y = – 282,8 – 600 = – 882,8 N
Então, R = (– 382,8 N)i + (– 882,8 N)j , cuja intensidade será de 962 N e a direção θ = 66,6°
Agora vamos calcular o momento resultante em A:
MR = 100 N . 0 m + (- 600 N . 0,4 m) + (– 282,8 N . 0,8 m) + (– 282,8 N . 0,3 m) = – 551 
N.m, ou seja, 551 N.m, no sentido horário.
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional16
Então, o sistema equivalente será (Figura 14):
Figura 14. Exemplo de viga para exercício (b).
Fonte: Vetores... ([201-?]).
MRA
 = 551 N ∙ m
A
66,6º
FR = 962 N
(b)
Na Engenharia, um caso especial de sistemas de força e momento é muito 
utilizado: o torsor. Configura-se um torsor, quando a força resultante e o 
momento resultante do sistema, em relação a um mesmo ponto, não são per-
pendiculares entre si. Esse caso pode ser reduzido a um sistema de força e 
momento resultante colineares, que geram um efeito particular sobre o objeto 
no qual atuam: rotação e translação sobre seu eixo. Observe a Figura 15, ela 
ilustra o caso que nos conduz a um torsor:
Figura 15. Torsor.
Fonte: Hibbeler (2011, p. 143).
FR FR FR
MRO
MROθ
θ
O
O O
M|| M||
Ma
a
a
a
b
b
bd
P
b
17Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional
Observe que, se você mover a resultante para um ponto P situado a uma 
distância d = M / FR , eliminará M , restando apenas M║, que pode ser movido 
para o ponto P, pois trata-se de um vetor livre. O eixo do torsor está na mesma 
linha de ação da força resultante, por isso o efeito rotação-translação é gerado.
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 
2012.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2011.
VETORES de força. [201-?]. Disponível em: <http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/profes-
sor/49/TE224/Aula%202%20Vetores.pdf>. Acesso em: 08 abr. 2018.
Momento de uma força: análise bidimensional e tridimensional18
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
DICA DO PROFESSOR
Analisar situações em que várias forças atuam sobre um corpo rígido, ou até mesmo sobre uma 
partícula, em geral, não é muito fácil.
Entretanto, a Álgebra Vetorial fornece ferramentas capazes de lhe auxiliar e que, muitas vezes, 
facilitam o processo de análise. No vídeo a seguir, você será apresentado a uma dessas 
ferramentas. 
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