Relatório experimento 1 - Helmholtz d

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Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Física
Física Experimental D – Turma B
RELATÓRIO PRÁTICA 01
Maycon Rocha R.A:769246
Rodrigo G. Casacurta R.A: 729152
Yan S. Salles RA:500739
São Carlos, SP
16 de Março de 2021
Resumo:
Tendo em vista o comportamento do campo magnético em solenóides,
realizou-se um experimento que possibilitou a varredura da medição da intensidade do
campo magnético aproximadamente no centro destas. Onde consiste em aplicar uma
corrente contínua nas solenóides, e esta gera o campo estudado, para assim realizar a
medição em determinados pontos.
Temos, também, como exemplo a bobina de Helmholtz com característica da
distância entre elas, sendo igual ao raio das bobinas que compõem. Desse modo, temos
uma uniformidade maior do campo, que caracteriza como boas produtoras de campos
magnéticos homogêneos, assim, culminando em diversas aplicações tecnológicas e
científicas
Além, do estudo do campo magnético, ao aplicar corrente alternada em um
solenóide primário e verificar o comportamento de um solenóide secundário a partir da
alteração do elemento de núcleo e acoplamento.
Objetivos:
O estudo do campo magnético gerado ao aplicar corrente elétrica em solenóides.
Dividiu-se na análise do campo magnético de um solenóide único, da superposição de
campos magnéticos (Bobina de Helmholtz) e do efeito de indução ao aplicar corrente
alternada na conjuntura de dois transformadores e seu acoplamento.
Fundamentos teórico:
Já era de conhecimento antepassado, onde fios quando percorridos por corrente
elétrica geram um campo magnético. Quando fios são enrolados circularmente formam
desde espira, e dependendo da disposição, formam bobinas.
Considerando-se a bobina com raio R e comprimento l, podemos utilizar a lei de
Biot-Savart, pode-se determinar o campo magnético no centro de uma bobina.
Onde
Para bobinas de comprimento finito, a equação se torna:
Onde
Para solenóides de comprimento infinito temos a equação:
Os solenóides reais são finitos, ou seja, pode haver perda de informações devido
ao efeito de borda. Ainda assim podemos aproximar o campo magnético no centro do
solenóide usando a equação:
Para as bobinas de Helmholtz que são pares de bobinas, quando separadas por
uma distância igual ao seu raio, produzem campos homogêneos no seu centro.
No eixo de simetria o campo magnético é dado pela expressão:
Com a corrente elétrica no mesmo sentido das bobinhas, o campo magnético é
dado por:
Quando temos a corrente elétrica no sentido oposto ao das bobinas, o campo
magnético é dado por:
Transformadores são dispositivos formados por um solenóide primário e outro
secundário que utiliza do princípio de indução mútua.
Uma corrente circula no primeiro solenóide, gerando um fluxo de campo
magnético no segundo solenóide. Como a corrente é variável o fluxo também é variável
e pela lei de Ampére aparecerá uma diferença de potencial(ddp) que será proporcional a
variação de corrente. Dada pela equação:
Em solenóides iguais a indutância é dada por :
A relação entre as voltagens entre os solenóides em um caso ideal é dada pela
seguinte equação:
Onde se K é maior que 1 então o transformador é dito abaixador de tensão, caso
contrário é chamado de elevador de tensão.
Material utilizado:
Fonte de tensão ; Teslameter; Multímetro; Trilho milimetrado; Bobinas de Helmholtz;
Paquímetro ; Solenóides com diferentes enrolamentos e diâmetros; Transformador com
fonte primária fixa e secundária variável; Acoplamento/núcleo móvel dos
transformadores; Suporte para o sensor do Teslameter.
Procedimento experimental:
Campo magnético em solenóides
● Foi dado solenóides entre os disponíveis no laboratório. Escolheu-se três com
diferentes parâmetros para que o sensor de campo magnético atravesse todo o
solenóide;
● Acoplou-se um dos solenóides escolhidos em uma das garras que ficam sobre o
trilho milimetrado e sobre a outra garra acoplou-se o sensor de campo
magnético;
● Utilizou-se do sensor de campo magnético para realizar as medidas de campo
magnético ao longo de todo o solenóide em passos pré-definidos;
● Repetiu-se esses passos para os outros 2 solenóides;
● Fez-se gráficos de campo magnético em relação a posição para cada um dos
solenóides;
Campo magnético em bobinas de Helmholtz
● Determinou-se o diâmetro interno da bobina;
● Mediu-se a distância entre os centros das bobinas com uma régua milimetrada;
● Acoplou-se a uma das garras ao trilho milimetrado e o sensor de campo
magnético;
● Para correntes elétricas fluindo no mesmo sentido das bobinas, foram feitas
medidas de campo magnético com uma varredura da distância na direção radial;
● Repetimos o passo anterior para corrente fluindo no sentido oposto ao das
bobinas;
● Montou-se 2 gráficos de campo magnético em relação a posição, um gráfico
para a corrente elétrica no mesmo sentido das bobinas e outro gráfico para a
corrente elétrica fluindo no sentido oposto;
Indutância em solenóides
● Conectou-se uma fonte de tensão alternada de 4V em uma das fontes do
transformador;
● Conectou-se um voltímetro a ambos as fontes do transformador;
● Variou-se posições entre as fontes, com ou sem o núcleo;
● Analisou-se as voltagens medidas pelo voltímetro para cada uma das posições;
● Com o acoplamento, variou-se o enrolamento do transformador secundário, a
fim de estudar o efeito de indução/fluxo magnético.
Resultados e discussão:
-Solenóides:
Dado o experimento, foram escolhidos 3 solenóides diferentes, com as seguintes
dimensões mostradas na Tabela 1:
Solenóide Diâmetro
(cm)
u(D)
(cm)
Comprimento
(cm)
u(C)
(cm)
Nº de
espiras
1 2,710 0,005 19,60 0,01 201
2 2,710 0,005 11,60 0,01 123
3 4,720 0,005 12,00 0,01 130
Tabela 1: Dimensões dos solenóides utilizados para o experimento
Ao medir o campo em diferentes pontos para cada solenóide e realizar o ajuste
de curva, obtemos os Gráficos 1,2 e 3 respectivos aos solenóides 1,2 e 3:
Gráfico 1: Dados experimentais do campo magnético gerado pelo solenóide 1 em seu interior. O ponto 0
demarca o centro do solenóide
Gráfico 2: Dados experimentais do campo magnético gerado pelo solenóide 2 em seu interior, o ponto 0
demarca o centro do solenóide.
Gráfico 3: Dados experimentais do campo magnético gerado pelo solenóide 2 em seu interior, o ponto 0
demarca o centro do solenóide.
A curva teórica é dada pela equação (5), assim como o ajuste também é feito com ela.
No ajuste o parâmetro livre foi a corrente, já que as dimensões e o número de espiras
dos solenóides são bem definidas e não variam durante o experimento, dessa forma o
ajuste nos retorna os seguintes valores de correntes de acordo com a Tabela 2:
Ajuste do solenóide Corrente (A) Concordância da curva
(R^2)
1 1,77 +/- 0,03 0,97
2 1,98 +/- 0,02 0,99
3 1,98 +/- 0,02 0,99
Tabela 2: Dados da curva de ajuste dos solenóides.
A principal coisa a se notar é que, como o esperado, em todos os casos, no
centro dos solenóides o campo atinge seu valor máximo e fora dele o campo tende a
zero. Os solenóides 2 e 3 nos entregam resultados muito satisfatórios, suas curvas de
ajustes apresentam uma concordância de quase 1,00 com os dados experimentais e
ficam extremamente próximas à curva prevista teoricamente. Já com o primeiro
solenóide o resultado é bom, porém não como os outros dois, é notável a diferença entre
a curva de ajuste e a teórica, além de que grande parte dos pontos (principalmente
próximo ao centro) ficam longes das duas curvas mesmo considerando suas barras de
erros.
A principal causa disso é que a densidade de espiras (número de espiras dividido
pelo comprimento do solenóide) do primeiro caso é menor que a dos demais,
consequentemente no solenóide 1 mais linhas de campo “vazam” e o campo medido no
seu interior é menor do que o esperado, como o campo magnético é proporcional à
corrente e à densidade de espiras, o ajuste nos retorna uma corrente menor do que a real,
já que a densidade de espiras é fixa.
Outro fenômeno importante a se notar é que, quanto maior o comprimento do
solenóidecom relação ao seu raio, mais ele se aproxima do caso ideal de um solenóide
infinito (desconsiderando as perdas de campo) onde ele mantém um campo constante
em seu interior e zero fora dele, isso fica bem visível no gráfico do primeiro solenóide e
vemos que isso vai desaparecendo gradualmente no solenóide 2 e 1, que é quando o
tamanho do solenóide não é tão grande quando se comparado com seu raio.
-Bobinas de Helmholtz:
O raio da bobina foi determinado tirando a média entre o raio interno com o
externo, assim como a distancia entre as bobinas foi determinado pela média entre a
distância externa com a distância interna, os resultados são próximos mas não iguais
(como é de se esperar das bobinas de Helmholtz), então o raio considerado nas equações
é a média entre essas duas médias, essas informações se encontram na Tabela 3:
Bobinas (145
espiras)
Interno Externo Média
Raio (mm) 190 +/- 1 208 +/- 1 199 +/- 1
Distância (mm) 177 +/- 1 211 +/- 1 194 +/- 1
Raio considerado: 196 +/- 1
Tabela 3: dimensão das bobinas de Helmholtz. Os erros nas médias foram calculados por propagação[1]
Nesta etapa do experimento foram realizadas duas disposições do campo,
utilizando uma corrente de 2A, de modo que acontecesse o efeito de superposição de
modo aditivo e de modo subtrativo, ou seja, de modo que a corrente nos dois solenóides
circulassem na mesma direção ou em direções opostas.
Obtemos para o modo aditivo e subtrativo os Gráficos 4 e 5, respectivamente:
Gráfico 4: Dados experimentais do campo magnético gerado pelas bobinas de Helmholtz em seu eixo
central com correntes no mesmo sentido. Os erros em B são calculados como mostrado no Apêndice A.
Gráfico 5: Dados experimentais do campo magnético gerado pelas bobinas de Helmholtz em seu eixo
central com correntes opostas. Os erros em B são calculados como mostrado no Apêndice A
O ajuste para correntes em mesmo sentido e sentido opostos foi feito utilizando
respectivamente as equações (7) e (8), porém para o caso de correntes em mesmo
sentido se utilizou duas constantes a mais para transladar a curva (a e b, onde agora
x=x’-a, B=B’-b) de ajuste, pois sem essas constantes a curva fica claramente deslocada
(Apêndice B).
Assim como no caso dos solenóides deixamos apenas a corrente como
parâmetro para o ajuste, além é claro das variáveis de translação, obtendo os valores da
tabela 3:
Ajuste das
bobinas:
Corrente(A) a (translação
em x em
metros)
b (translação
em B em
Tesla)
Concordância
da curva (R^2)
Corrente em
mesmo sentido
0,75 +/- 0,01 -0,058
+/-0,001
(-3,61+/-0,31)e
-05
0,99
Corrente em
sentidos opostos
0,93 +/- 0,02 -- -- 0,99
Tabela 3: Dados da curva de ajuste das bobinas de Helmholtz.
Nos dois casos a curva de ajuste casa perfeitamente com os dados experimentais,
com apenas um ou outro ponto fora da curva, sendo esses pontos próximos às
extremidades externas, o que acaba sendo quase irrelevante, já que o principal objetivo
das bobinas de Helmholtz é manter um campo bem uniforme entre as bobinas para
correntes com mesmo sentido, ou então anular um campo em seu interior usando
correntes em sentidos opostos, e analisando os gráficos fica claro que esses objetivos
foram alcançados.
Para o caso de correntes em mesmo sentido, a constante de translação “a”
significa que a posição de medição estava na verdade transladada 0,058m para a direita
no momento da medição; já a constante “b” nos informa que as medições do teslameter
não foram feitas com o equipamento calibrado a 0T na ausência de campo, mas sim
com um valor, em módulo, de 0,03mT.
Porém quando se compara os pontos experimentais com a curva teórica existe
uma grande divergência, e essa divergência não aparenta ser devido a erros de medição,
já que os ajustes têm alta concordância, logo essa discordância se deve provavelmente a
defeitos dos materiais utilizados para o experimento. Analisando os dados obtidos no
ajuste vemos que a corrente que passa nas bobinas chega a ser menor que a metade do
valor real (2A).
Se admitirmos que a tensão (V) na fonte não varia, então pela lei de Ohm [2]:
𝑉 = 𝐼 * 𝑅
se a corrente obtida no ajuste é menor que a real então significa que a resistência das
bobinas aumentou, esse aumento de temperatura é ocasionado pelo pelo efeito Joule que
consiste na dissipação de energia na forma de calor em um fio com resistência R onde
se passa uma corrente I [2], portanto uma das possibilidades dessa discrepância pode ter
sido ocasionado por um experimento longo onde só se mediu a corrente no início.
Outras possibilidades que podem ter ocasionado isso ou contribuído para a possibilidade
anterior são defeitos no multímetro que poderia estar mal calibrado ou com pouca
bateria.
-Transformador:
Para determinar o número de espiras na segunda bobina consideramos o fator de
acoplamento igual a 1, essa é uma boa aproximação pois o núcleo de ferro realmente
possui um alto fator de acoplamento, extremamente próximo a 1. Portanto para
determinar o número de espiras utilizamos a equação (11) que representa o caso ideal:
Medição Tensão na bobina
secundária
Número aproximado de
espiras na bobina
secundária
1 0,071 +/- 0,006 5
2 0,219 +/- 0,007 16
3 0,442 +/- 0,008 31
4 0,591 +/- 0,010 42
5 0,739 +/- 0,011 52
Tabela 4: Tensão medida na bobina secundária e número de voltas obtidas. Os erros nas tensões foram
calculados utilizando os dados da tabela de erros do multímetro [3] .
Com o valor do número de espiras da bobina 2, utilizando o valor máximo de
espiras, variou-se a forma do acoplamento para observar o efeito do núcleo para a auto
indutância e indutância mútua.
Acoplamento Tensão na bobina
primária
Tensão na bobina
secundária
1-Parte superior do núcleo retirada. 3,6 +/- 0,5 0,263 +/- 0,007
2-Bobinas separadas (sem o núcleo) por
uma distância equivalente a como se
tivesse o núcleo.
3,2 +/- 0,5 0,011 +/- 0,005
3-Bobinas encostadas (sem o núcleo). 3,2 +/- 0,5 0,020 +/- 0,005
4-Empilhadas sem o núcleo. 3,2 +/- 0,5 0,059 +/- 0,005
5-Empilhadas com o núcleo. 3,6 +/- 0,5 0,370 +/- 0,008
Tabela 5:Valores medidos das tensões nas bobinas 1 e 2 para diferentes acoplamentos. Os erros nas
tensões foram calculados utilizando a tabela de erros do multímetro B[3]
A principal coisa a se notar é a tensão no primário que quando está com o núcleo
mede 3.6 e quando está sem mede 3.2, isso acontece pelo efeito da auto indutância, a
auto indutância ocorre independente da presença do núcleo, porém quando o núcleo está
presente seu efeito é maior e mais notável, já que a função do núcleo é confinar o fluxo
magnético gerado pelas bobinas, logo se passa mais fluxo maior é o efeito de auto
indutância.
No primeiro caso acontece o que foi discutido antes, para a bobina primária e
secundária que estão no núcleo observa-se ser menor do que o caso com o acoplamento
completo (já que parte do núcleo que levava o fluxo confinado da bobina 1 já não está
presente), porém esse caso ainda é melhor que o caso 2 (que é o equivalente ao caso 1,
porém sem o núcleo), pois no caso 2 não há confinamento do fluxo, logo grande parte
dele é “desperdiçado” e não gera tensão auto induzida significativa nas bobinas. No
caso 3, como a intensidade do fluxo é maior quanto mais próximo das bobinas, é mais
notável o efeito da indutância mútua (efeito do fluxo de uma bobina sobre a outra e
vice-versa), no caso da bobina 1 sobre a bobina 2.
Quando elas estão empilhadas o resultado sem o núcleo é melhor que o caso 2 e
3, e quando o núcleo está presente o resultado é melhor que o caso 1, porém não é
melhor do que o acoplamento completo. Isso é devido a o fato que nessa posição o fluxo
da bobina 1 é melhor aproveitado pela bobina 2, pois além das bobinas estarem
próximas o fluxo passa por dentro das bobinas (similar ao que foi visto com os
solenóides), assim a indutância mútua é melhor aproveitado. Porém esse acoplamento
não é melhor que o completo, pois ele não se fecha, devido a isso o fluxo externo às
bobinas não é aproveitado, consequentemente a indutância mútua não é tão forte quanto
a doacoplamento completo.
Conclusão:
Os resultados obtidos para o ajuste dos dados dos solenóides foram de alta
concordância nos 3 casos e bem próximos do esperado teoricamente. Além disso, com a
variedade das dimensões dos solenóides, foi possível verificar como a relação entre o
raio e o comprimento influenciam no comportamento do campo, em especial quando L
é significativamente maior que R, que reproduziu com certa semelhança o
comportamento de um solenóide infinito no seu interior .
Nas bobinas de Helmholtz houve problemas nas medições dos dados,mas com
argumentos válidos e que fazem sentido físico, foi possível identificar que esses
problemas estavam concentrados na corrente que passava pelas bobinas. Mesmo com
esses erros na medida da corrente ainda foi possível estimar a corrente real das bobinas
e verificar o campo magnético gerado por elas, devido a relação entre seus raios e
distância de separação serem iguais é possível criar, entre as bobinas, campos uniformes
(correntes em mesmo sentido) ou então cancelar campos (com correntes em sentidos
opostos).
Por fim, na experiência com os transformadores foi possível verificar o número
de espiras na segunda bobina considerando que o núcleo de ferro possui um fator de
acoplamento bem próximo a 1. Ainda nesse experimento foi possível ver, variando os
acoplamentos, os efeitos de indutância mútua que fica claro variando a distância entre as
bobinas e vendo que a tensão na saída aumenta quanto mais próximo da bobina de
entrada ; e auto-indutância que é visível quando se coloca ou retira o núcleo de ferro de
dentro das bobinas e se verifica que há um aumento de tensão na bobina com o núcleo
se comparada a ela sem o núcleo.
Referências
[1] Departamento de Física. Física Experimental A (Apostila), São Carlos: DF, 2015.
[2] Nussenzveig, H.Moysés, Curso de Física Básica 3 Eletromagnetismo, Ed. Edgard
Blücher LTDA São Paulo, 1997
[3] Departamento de Física. Física Experimental B (Apostila), São Carlos: DF, 2014.
Anexos:
Questões:
1- R: Ao gerar uma corrente alternada no solenóide primário, obtemos uma corrente
induzida no núcleo, esta por sua vez, varia o campo magnético no interior do
solenóide secundário, gerando uma segunda corrente induzida. Deste modo, a
melhor opção de núcleo para que haja a menor perda de energia seja um núcleo que
funcione como um circuito fechado (um loop), já que o núcleo de ferro tem papel
fundamental na melhora do acoplamento magnético entre duas bobinas do
transformador (aumentando a impedância mútua), determinando um substancial
aumento na reatância indutivas, consequentemente, aumentando a impedância do
sistema. E cabe seu arranjo, neste caso, não ser axial, pelo motivo que a importância
a ser dada é irrelevante para os dados coletados. Porém, na indústria ou estudo
científico, é conveniente analisar qual arranjo de núcleo e acoplamento é mais
conveniente.
2- R: O fato das bobinas de Helmholtz terem um raio igual à distância entre elas
impactam o tipo de campo gerado entre elas. No caso onde temos corrente em
mesmo sentido o campo das duas bobinas se somam, e entre elas é gerado um
campo muito uniforme como visto no Gráfico 4; já quando temos correntes em
sentidos opostos o campo gerado pelas bobinas se anulam no centro entre elas. Caso
a distância entre elas fosse diferente do raio isso não seria possível.
-Apêndice A
Erro na medida do campo:
A medição do campo conta com dois erros, um vindo do Teslameter e outro do
sensor. O sensor possui um erro de 2% da medição lida e o Teslameter varia de acordo
com a escala utilizada, mas nesse caso todas foram abaixo de 20 mT, portanto o erro
associado ao Teslameter é de 0,01 mT. Para calcular o erro total é feita a propagação
desses dois erros, obtendo:
𝐸𝑟𝑟𝑜𝐵 = (𝐸𝑟𝑟𝑜𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟2 + 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟2)1/2
𝐸𝑟𝑟𝑜𝐵 = ((0, 01)2 + (𝐵 * 2%)2)1/2
-Apêndice B
Quando não é feito a adição dos parâmetros de translação do Gráfico 4, se obtém
a seguinte curva:
Que é idêntica a anterior, porém não transladada.