Relatório experimento 2 - Massa-Mola d

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Universidade Federal de São Carlos
Departamento de Física
Física Experimental D – Turma B
RELATÓRIO PRÁTICA 02
Maycon Rocha R.A:769246
Rodrigo G. Casacurta R.A: 729152
Yan S. Salles RA:500739
São Carlos, SP
10 de Abril de 2021
Resumo:
O experimento inicia-se estudando um sistema massa-mola que oscila em um trilho de ar que
faz o papel de diminuir o atrito do sistema. Nesse sistema foi possível determinar a frequência natural de
oscilação do conjunto massa-mola e seu coeficiente de amortecimento, com essas duas informações foi
possível determinar que o sistema apresenta uma oscilação no regime subcrítico. Em seguida refez-se
essas análises com uma vela acoplada no carrinho, onde foi possível concluir que a vela aumenta o
coeficiente de amortecimento do sistema, porém ainda o mantendo no regime subcrítico.
Em seguida iniciou-se o estudo de ressonância de um sistema oscilante, para isso utilizou-se um
eletroímã que interage com um pequeno bastão de ferro acoplado ao carrinho fazendo o papel da força
externa variável, que caracteriza um oscilador harmônico amortecido-forçado. Nesse sistema foi
possível determinar a curva de amortecimento e verificar que a frequência de ressonância acontece
quando a força externa possui uma frequência igual a frequência natural de oscilação do sistema,
consequentemente pode-se comparar a frequência natural obtida na primeira parte do experimento com a
obtida através da curva de ressonância que entregou satisfatórias. Ainda pela curva de ressonância
também foi possível estimar a massa e a constante elástica da mola do sistema, além também de obter
novamente o coeficiente de amortecimento, mas dessa vez com uma maior precisão. Com a frequência
natural e o coeficiente de amortecimento foi possível calcular o fator de mérito e verificar que ele é
maior no sistema sem a vela, caracterizando um sistema com menor perda de energia.
Na segunda parte do experimento tem-se como objetivo estudar os modos normais de uma corda
tensionada que vibra, para isso utilizou-se uma um sistema composto por uma corda onde uma de suas
extremidades é tensionada por um peso e a outra é fixada em um transdutor que faz com que a corda
vibre. Dessa forma foi possível verificar que as frequências que geram os modos normais são dadas por
múltiplos inteiros da frequência do primeiro modo normal de vibração ou também chamada de
frequência fundamental. Além disso, foi possível estimar a velocidade da onda e verificar que ela é
proporcional à tensão aplicada na corda e não depende do comprimento da corda que vibra.
Objetivos:
Estudar a frequência natural do sistema e o fenômeno de ressonância em osciladores
harmônicos amortecidos e forçados. A fim de determinar se trata de um oscilador crítico, subcrítico e
supercrítico. Além das constantes de amortecimentos para cada caso, comparando-as.
Determinar modos normais de vibrações de uma corda (harmônicos), onde devemos nos
atentar a propagação de energia e de momento de um ponto ao outro. E determinar sua velocidade de
propagação da onda, à medida que alteramos o comprimento, a espessura, a tensão na corda, e
consequentemente, a densidade linear
Fundamentos teórico:
- Oscilador harmônico
Em física, especialmente em mecânica clássica, o oscilador harmônico é um sistema que
quando é deslocado de sua posição de equilíbrio sofre a ação de uma força restauradora F
proporcional ao deslocamento como mostra equação (1) [2]. Aqui tomamos o caso unidimensional
portanto desconsideraremos a notação vetorial, mas pode ser generalizado para 3 dimensões.
Onde k é a constante da mola. Se (1) for a única força atuando no sistema ele é denominado de
oscilador harmônico simples, porém em uma situação real existem forças que tendem a dificultar esse
movimento, chamadas forças resistivas, geralmente essas forças são proporcionais à velocidade do
objeto. Considerando essa força resistiva atuando em um corpo, a resultante das forças sobre esse corpo
é dada por:
Onde o ponto em cima de representa a derivada temporal, m é a massa do objeto e é uma𝑥 ρ
constante de proporcionalidade que geralmente do formato do material e do meio em que ele se
locomove. Dividindo toda expressão pela massa e a igualando a zero (e omitindo a dependência com o
tempo) obtemos a equação diferencial ordinária (EDO) que modela o problema:
A equação (2) é uma EDO de segunda ordem que caracteriza um oscilador amortecido, onde
e . Resolvendo-a obtém-se a seguinte solução [2]:γ = ρ𝑚 ω0
2 = 𝑘𝑚
Onde:
As novas constantes recebem um nome especial, A é a amplitude do sistema, é chamado deω
0
frequência natural do sistema, é a constante de fase e é o coeficiente de amortecimento. Essaϕ γ
solução pode ser particionada em 3 casos que dependem do argumento de , se 0 temos oω ω
0
2 − γ
2
4 >
caso subcrítico, caso contrário temos o supercrítico, e se temos o caso crítico. A Figura 1ω
0
2 = γ
2
4
mostra o comportamento da solução em cada caso.
Figura 1: Comportamento das soluções do oscilador amortecido [2]
Além do oscilador amortecido, pode também ocorrer o caso em que uma força externa
restauradora interaja com o oscilador para que seu movimento nunca pare devido às forças
dissipativas, nesse caso temos o oscilador amortecido-forçado. A EDO que o descreve esse caso é
dada pela equação (6):
Onde as constantes e continuam sendo as mesmas do caso amortecido, mas agora é aγ ω
0
ω
frequência da força aplicada e essa força tem valor máximo igual a . Sua solução é semelhante ao𝐹
0
caso amortecido, compartilhando a mesma solução homogênea, porém ainda existe a solução não
homogênea dada pela equação (7):
Onde a amplitude e o fator de fase são:
Para determinar a “qualidade” desse oscilador existe o chamado fator de mérito (Q) dado pela
equação (10). Quando maior esse fator, menos energia o sistema perde por ciclo:
- Modos normais de vibração
Quando se tem uma corda de comprimento ‘L’ com suas duas extremidades fixadas e
tensionadas por uma tensão ‘T’, e aplica-se uma vibração de frequência ‘f’ nela partindo de uma das
extremidades, essa onda gerada caminha pela corda até chegar a outra extremidade onde é refletida de
volta. Se a vibração continua sendo aplicada, quando essa reflexão volta ela interage com a vibração que
a gerou, tendo assim o fenômeno de superposição de ondas criando interferências construtivas ou
destrutivas dependendo da frequência da vibração aplicada. Para determinadas frequências acontece o
fenômeno de ondas estacionárias mostrado na Figura 2.
Figura 2: Ondas estacionária em uma corda de comprimento L
O primeiro caso é chamado de modo normal de oscilação ou primeiro harmônico, os casos
subsequentes são o segundo harmônico, terceiro e assim por diante onde são sempre números inteiros.
Devido a geometria desse fenômeno é fácil definir o comprimento de onda em função do harmônico
observado, essa relação é dada pela equação (11) [1] onde ‘n’ é um natural que representa o número do
harmônico :
Podemos também estar interessados nas frequências que geram esses harmônicos, sabendo que a
velocidade de uma onda em uma corda é dada pelo produto do seu comprimento de onda pela
frequência, chegamos na seguinte relação:
Combinando as equações (11) e (12) temos:
Se chamarmos f(1) de frequência fundamental, então todos os outros harmônicos são múltiplos
inteiros da frequência fundamental. A velocidade da corda também pode ser determinada, ela é
calculada a partir da equação (14):
Onde ‘ ’é a densidade linear da corda e ‘T’ a tensão aplicada.µ
Material utilizado:
Oscilador
-Um trilho milimetrado que “sopra” ar para diminuir o atrito de sua superfície;
-Uma “carrinho” de massa desconhecida; conjunto de duas molas de constante elásticas
desconhecidas; uma vela de papel que se acopla no carrinho; um eletroímã; um pedaço de ferro que
se acopla no carrinho para interagir com o eletroímã;
-Gerador de frequências marca: RIGOL, modelo: DG1022; um osciloscópio digital modelo TDS
1001B marca Tektronix; um amplificador de voltagem PHYWE
-Umlaser; um fotossensor marca PHYWE; uma lente que se acopla no carrinho.
Modos normais de vibração
-Uma balança eletrônica; uma trena milimetrada;
-Corda 1: 1,5 metros de comprimento e 0,29 gramas;
-Corda 2: 2.2 metros de comprimento e 0,31 gramas;
-3 diferentes massas, nomeadas de: Peso 1 =15.6 gramas; Peso 2= 23.8 gramas; Peso 3= 50 gramas ;
-Um trilho milimetrado; um vibrador mecânico marca: PASCO, modelo:SF-9324; Gerador de sinais
marca PHYWE.
Procedimento experimental:
- Oscilador harmônico
Devemos ficar atentos primeiramente, ao ligarmos o sistema de trilho de ar, pois ele que vai
possibilitar identificar a frequência natural do sistema, devido a eliminação do atrito da massa sobre o
trilho. De modo simples, deve-se aplicar uma força inicial a fim de tirar o sistema da inércia, e assim,
comprovar a existência do movimento harmônico e frequência natural do sistema.
Para maior entendimento e coleta de dados, utilizaremos um fotossensor, que juntamente com o
amplificador, mandará sinais legíveis para o osciloscópio. Contamos também, com um conjunto de
imã-bobina, que terá como objetivo a emissão de uma tensão AC com frequência controlada que
excitará o sistema massa-molas e transformando em oscilações, podendo ser capaz encontrar a
frequência (por varredura) em que o sistema entra em ressonância. E, por fim, para encontrar a
influência do fator de amortecimento, teremos o acoplamento de uma vela ao sistema para aumentar a
resistência do ar. Caracterizando assim, de forma crítico, subcrítico e supercrítico o oscilador.
Procedimento:
1) Com todo aparato experimental montado e com o foto sensor conectado ao gerador de sinais
que por sua vez está conectado ao osciloscópio, é dado ao carrinho sem vela uma posição
inicial diferente da de equilíbrio para o carrinho começar a oscilar.
2) Mede-se o período de oscilação natural do sistema pela curva mostrada no osciloscópio. Isso é
feito verificando visualmente no osciloscópio o tempo que se passa para a onda completar um
ciclo, esse ciclo é caracterizado pela distância de uma crista a outra da onda. É feito o cálculo
considerando várias cristas para que o erro de medição se propague mais e seja menor;
3) Retorna-se o carrinho a posição definida no item 1), aumenta-se a escala de tempo no
osciloscópio e deixa-se o carrinho oscilar até parar devido às forças resistivas. Então tira-se uma
foto da curva obtida no osciloscópio;
4) Com a imagem obtida no passo 3) utiliza-se o software WebPlotDigitalizer para retirar os
dados da imagem que representa a curva envoltória (pontos extremos da curva);
5) Com os dados do passo anterior realiza-se um ajuste exponencial com a equação para obter a
constante de amortecimento do sistema;
6) Liga-se o gerador de sinais para iniciar o estudo do oscilador amortecido-forçado. Varia-se a
frequência do gerador de sinais em torno da frequência natural obtida no item 1). Anota-se as
amplitudes obtidas no osciloscópio para cada frequência variada no gerador;
7) Com os dados do item 5) plota-se esses pontos e realiza-se um ajuste.
8) Repete-se todos os passos anteriores para o sistema com a vela acoplada
Com os dados obtidos no item 3) espera-se caracterizar o tipo de oscilação do sistema; já com os
dados do item 4) será possível determinar a constante de amortecimento; com os dados do item 6) será
possível plotar o gráfico da amplitude como função da frequência do gerador de sinais, obtendo assim a
curva de ressonância, ainda com esses dados verifica-se a concordância da frequência natural e da
constante de amortecimento do sistema, já que o ajuste do item 6) também nos dá essa informação. Por
fim, com a frequência normal e constante de amortecimento é possível verificar o fator de qualidade do
sistema.
Com toda essa análise para o carrinho sem vela, verifica-se o impacto que a vela causa nos
resultados, onde é de se esperar que a constante de amortecimento aumenta e a frequência natural
diminua.
- Corda oscilante
Na segunda parte do experimento a intenção é estudar as condições de ondas estacionárias. Para
isso tem-se um aparato composto por uma corda que tem uma de suas extremidades presa em um
transdutor e a outra fixa com um peso gerando tensão sobre ela. O transdutor é ligado a um gerador de
sinais que é responsável por fazê-lo vibrar, consequentemente a corda presa a ele também vibra.
Dessa forma é possível variar a frequência no gerador de sinais para obter o modo fundamental
de oscilação da corda e seus harmônicos. A frequência aplicada no gerador é determinada visualmente
conforme se enxerga que a corda está vibrando em seu estado fundamental ou em algum de seus
harmônicos, é possível identificar quando a corda está vibrando em algum harmônico quando se observa
nós estáticos e com posições fixas enquanto a corda vibra, além também dos ventres que assim como os
nós aparentarão estar fixos e estáticos .
Tendo a frequência fundamental é possível determinar a frequência dos demais harmônicos( pois
os harmônicos são múltiplos inteiros desta frequência) e medir a velocidade de propagação da onda que
varia conforme a tensão ou a densidade linear da corda muda, por isso também é feito o estudo para
diferentes casos de tensão, cordas e comprimentos dessas cordas.
Procedimento:
1. Medem-se os pesos utilizados para variar a tensão na corda, a massa da corda e seu
comprimento para determinar sua densidade linear;
2. Monta-se o sistema Transdutor-Corda-Peso e mede-se com o trilho graduado a parte do
comprimento da corda que vai vibrar;
3. Conecta-se o gerador de sinais no transdutor e varia-se a frequência até obter visualmente a
corda oscilando em seu estado fundamental, caracterizado por nós fixos e ventres aparentando
estarem estáticos;
4. Estima-se o valor da frequência dos demais harmônicos multiplicando a frequência
fundamental por constantes inteiras positivas (Harmônico n= n*frequência fundamental);
5. Ajusta-se o gerador de sinal para obter os demais harmônicos e verifica-se se essas frequências
estimadas no item 4 realmente geram os demais harmônicos;
6. Com a frequência fundamental, densidade da corda e tensão utilizada estima-se a velocidade da
onda;
7. Repete-se todos os passos anteriores para diferentes configurações de tensão, cordas e
comprimento dessas cordas.
Com esses dados será construído gráficos da frequência como função do número de harmônicos
onde espera-se observar uma reta, e com o ajuste dessa reta estimar a velocidade de propagação da onda
na corda que estará embutida no coeficiente angular dessa reta e então comparar com a previsão teórica.
Também espera-se verificar a influência da tensão utilizada, além de também verificar que a
velocidade de propagação da onda independe do comprimento que vibra.
Resultados e discussão
-Experimento 1: Sistema massa mola:
Como não existe sistema perfeito na natureza, mesmo com o trilho de ar diminuindo o atrito
entre o corpo e o trilho, ainda acontece dissipação de energia, logo já espera-se um sistema amortecido,
porém ainda é necessário identificar o tipo de amortecimento. Abaixo, na Figura 3, temos os dados
retirados do osciloscópio, onde a parte a) representa o sistema massa-mola livre e a parte b) o sistema
massa-mola com vela, onde no eixo x temos o tempo em uma escala de 10 segundos e no eixo y temos a
amplitude do sistema, medido em mA pelo fotossensor, em uma escala de 20mA e 10mA para o sistema
sem vela e com vela respectivamente.
Figura 3: Dados do osciloscópio para o caso do sistema massa-mola sem vela (a) e o sistema massa
mola com vela (b).
(a) (b)
É notável ver que a todo momento a massa passa pela sua posição de equilíbrio (y=0) e está
constantemente perdendo amplitude, o fato dela perder amplitude já é esperado de um sistema
amortecido, já o fato dela cruzar sua posição de equilíbrio indica o tipo de amortecimento, que no caso é
o chamado subcrítico para os dois casos, como mostrado na Figura (1).
A partir dos gráficos da Figura 3, utilizando o software WebPlotDigitizer que permite obter
dados em escalade imagens, realizou-se um mapeamento dos máximos e mínimos dessas curvas, com
esses dados realizou-se um ajuste exponencial, dada pela da equação (4) sem o termo cossenoidal, para
obter a curva envoltória, mais precisamente a constante de amortecimento gama que aparece no termo
exponencial da equação (4). Os dados desses ajustes e suas imagens estão na Tabela 1 e Figura 4,
respectivamente:
Tabela 1: Dados dos ajustes feitos para a curva envoltória dos gráficos da Figura 3
Parâmetros da curva de
ajuste da envoltória
superior
Parâmetros da curva de
ajuste da envoltória
inferior
Concordância dos
parâmetros da curva inferior
com relação à curva superior
Sistema
sem vela
|A| (mA) 49,3 +/- 1,5 44,0 +/- 1,2 89,2%
gama 0,118 +/- 0,006 0,108 +/- 0,005 91,5%
Fator de qualidade 0,978 0,985 --
Sistema
com vela
|A| (mA) 15,8 +/- 0,3 14,7 +/- 0,2 93,2%
gama 0,143+/-0,004 0,126 +/- 0,003 88,1%
Fator de qualidade 0,991 0,994 --
Figura 4: Representação visual dos dados retirados do WebPlotDigitilizer (WPD) e as curvas
envoltórias obtidas do ajuste mostrado na Tabela 1. Os índices (a) e (b) referem-se ao sistema com vela e
sem vela respectivamente
(a) (b)
A princípio bastaria realizar o ajuste apenas para as envoltórias superiores ou inferiores já que
uma deve ser igual à outra a menos de um sinal, porém foi realizado o ajuste em cada envoltória para
uma melhor confiabilidade dos resultados.
Analisando os dados da Tabela 1 é notável que, embora não sejam perfeitamente iguais, os
dados das duas curvas em cada caso são bem próximos, porém será considerado para análises
posteriores os dados daqueles que possuem um melhor fator de qualidade, que em ambos os casos são as
envoltórias inferiores. Logo a constante de amortecimento é 0,108 e 0,126 para o sistema sem vela e
com vela, respectivamente. E como já se esperava o sistema sem vela tem um coeficiente de
amortecimento menor do que o sistema com vela. Gama ser menor que a frequência natural do sistema,
mostrados na Tabela 2, nos reafirma que o regime de oscilação é o subcrítico.
As frequências naturais foram calculadas como dito no roteiro e mostrados na Tabela 2:
Tabela 2: Frequência natural do sistema massa-mola em três amplitudes iniciais.
Frequência (Hz)
Amplitude (cm) Sem vela Com vela
0,50 +/- 0,05 2,932 +/- 0,234 2,811 +/- 0,225
01,0 +/- 0,05 2,863 +/- 0,229 2,790 +/- 0,223
02,0 +/- 0,05 2,821 +/- 0,227 2,822 +/- 0,226
Agora para determinar a curva de ressonância ligou-se o gerador de sinais e variou-se as
frequências em valores próximos à frequência de ressonância do sistema, onde a frequência de
ressonância é igual à frequência natural do sistema. Com esses dados foi feito um ajuste com a equação
(8), na Tabela 3 temos os dados desses ajustes e na Figura 5 os gráficos desses dados .
Tabela 3: Dados dos parâmetros utilizados no ajuste da curva de ressonância feito com a
equação (8).
Parâmetros de ajuste
F (N) m (kg) w0 (Hz) gama Fator de
qualidade.
Sistema sem
vela
2.708 +/-
0.008
0.742 +/-
0.012
2.953 +/-
0,003
0,020 +/-
0,003
0,969
Sistema com
vela
4.152 +/-
0.010
0.759 +/-
0.014
2.878 +/-
0.003
0.045 +/-
0,004
0,916
Figura 5: Gráficos da curva de ressonância para os sistemas massa-mola sem vela (a) e com vela (b). As
curvas de ajuste foram obtidas pela fórmula (8). Os erros da amplitude estão omitidos pois poluiria
muito o gráfico próximo à frequência de ressonância e fora dessa área eles não tem significância (com
relação à escala do gráfico) para serem considerados. Porém eles são da ordem de 3% da medida lida
[4]. (a) (b)
Aqui temos uma grande divergência dos resultados obtidos para a constante gama quando
comparados com o primeiro método como mostra a Tabela 4:
Tabela 4: Comparação das constantes gama pelos diferentes métodos de obtenção utilizados.
Gama obtido pela curva
envoltória
Gama obtido pela curva
de ressonância
Concordância do gamma
obtido pela curva de
ressonância com relação ao
obtido pela curva envoltória
Sem vela 0,108 0,020 18,52%
Com vela 0,126 0,045 35,71%
Essa divergência pode ser explicado por diversos motivos, primeiro é necessário ter em mente
que o primeiro método da obtenção do fator gama é uma aproximação extremamente imprecisa, pois os
dados são retirados de uma imagem onde é necessário definir as escalas, se a foto da tela do osciloscópio
não está com uma perspectiva exatamente plana o impacto nos dados é extremamente grande,
principalmente se tratando de uma exponencial que tem uma taxa de variação bem delicada. Já no
segundo caso temos uma medida mais confiável pois os dados foram tirados diretamente no
experimento.
Embora tenha essas divergências é interessante notar que em ambos os casos os resultados são
coerentes com o esperado, onde a constante de amortecimento é maior no caso com vela, embora não se
conheça as massas do carrinho e da vela pelos dados do caso forçado é possível ver que a massa do
sistema com vela é maior que no sistema sem vela (devido a vela), consequentemente as frequências
naturais são maiores no sistema sem vela, como é de se esperar pela relação .ω
0
2 = 𝑘𝑚
Então considerando que os dados obtidos pela curva de ressonância são mais confiáveis
podemos usá-los para obter a constante elástica do conjunto de molas dada pela relação , e oω
0
2 = 𝑘𝑚
fator de mérito dado pela equação (10). Os dados estão na Tabela 5:
Tabela 5: Comparação do valor da constante elástica do conjunto de molas calculadas com os
dados dos sistemas sem e com vela.
Sem vela Com vela Concordância do caso com vela com relação ao caso
sem vela
k (N/m) 6,470 +/- 0,036 6,287+/-0,040 97,16%
Q 147,65 +/- 22,15 63,95 +/- 5,69 --
Como a constante da mola é uma característica própria da mola, ela deve ser igual tanto para o
sistema com vela e sem vela, e olhando para os dados da Tabela 5 temos uma concordância de 97% entre
esses resultados, um valor bem aceitável. Por fim o fator de mérito é maior no caso sem vela (mais que o
dobro), portanto o sistema sem vela dissipa menos energia que o sistema com vela, o que já era esperado
pela teoria.
Quando a força restauradora mantém uma frequência próxima a frequência natural do sistema, é
observado o fenômeno mostrado na Figura 6.
Figura 6: Fenômeno observado no osciloscópio quando a frequência da força restauradora é mantida
próxima à frequência natural do sistema.
Esse fenômeno é chamado de batimentos e ocorre quando duas ondas possuem frequências muito
próximas, no caso do oscilador a frequência natural é fixa e quando a frequência da força restauradora se
aproxima dessa frequência e se mantém é observado esse efeito. Como os pontos mínimos dessa curva
não cruzam o zero então podemos concluir que a amplitude da força restauradora é diferente da do
sistema, além disso a amplitude máxima dessa curva representa a soma da amplitude da força e do
sistema.
Experimento 2: Modos de vibração de uma corda
Na segunda parte o objetivo é estudar os modos de vibração de diferentes cordas com diferentes
configurações, para isso utilizou-se duas cordas de diferentes tamanhos e massas como indicado na parte
de materiais utilizados. Para as duas cordas definiu-se o comprimento que iria vibrar de 0,805m e
0,660m, e variou-se a tensão aplicada nelas com 3 pesos diferentes, então variou-se a frequência do
gerador de sinais até obter diferentes modos normais de vibração, caracterizado por ondas estacionárias.
esse procedimento foi feito para os dois comprimentos nas duas cordas, obtendo no total 12 conjuntos de
dados. Nas Figuras 7 e 8 temos respectivamente os dados para a cordas 1 e 2 e nas Tabela 6 e 7 os dados
dos ajustes para as cordas 1 e 2 respectivamente junto com as velocidades das ondas previstas pela
equação (12) e as concordâncias:
Figura 7: Frequências naturais obtidas para a corda 1 no caso (a) onde o comprimento da corda é
0.805m e no caso (b) onde o comprimento da corda é 0.660m
 (a) (b)
Figura 8: Frequências naturais obtidas para a corda 1 no caso (a) onde o comprimento da corda é0.805m e no caso (b) onde o comprimento da corda é 0.660m
(a) (b)
Tabela 6: Dados obtidos no ajuste para a corda 1 junto com a velocidade prevista pela teoria e as
concordâncias. Os erros das velocidades teóricas foram calculadas através da propagação de erro [3] da
equação (12)
Comprimento 1 - 0,805m Comprimento 2 - 0,660m
Peso 1 Peso 2 Peso 3 Peso 1 Peso 2 Peso 3
v (m/s) 10.55 +/-
0,53
12.65 +/-
0,53
19.6
+/-0,58
11.98 +/-
0,52
13.69 +/- 0,49 19.67+/-0,55
l (m) 0.796
+/-0,017
0.786
+/-0,021
0.800 +/-
0,012
0.664+/-0,0
15
0.665+/-0,015 0.675+/- 0,016
b 0.62+/-0,11 0.72+/-0,13 -0.38+/-0,1
3
-1.54+/-0,19 -0.20+/-0,04 1.14 +/- 0,12
Fator de qualidade 0.992 0.999 0.995 0.995 0.995 0.992
Velocidade em teoria
(m/s)
10.98 +/-
0,06
13.29+/-0,0
7
19.51+/-0,1
0
11.35+/-0,0
6
13,55+/-0,07 19.61 +/- 0,10
Concordância entre as
velocidades
96.08% 95,20% 99,53% 94,48% 98,97% 99,67%
Concordância entre
os comprimentos da
corda
98,94% 97,58% 99,38% 99,47% 99,29% 97,78%
Tabela 7: Dados obtidos no ajuste para a corda 2 junto com a velocidade prevista pela teoria e as
concordâncias. Os erros das velocidades teóricas foram calculadas através da propagação de erro [3] da
equação (12)
Comprimento 1 - 0,805m Comprimento 2 - 0,660m
Peso 1 Peso 2 Peso 3 Peso 1 Peso 2 Peso 3
v (m/s) 18.34+/-0,6
1
15.3+/-0,35 32.91+/-0,4
1
18.24+/-0,5
8
25.47+/-1,35 31.18+/-0,45
l (m) 0.802+/-0,0
11
0.802+/-0,0
21
0.804+/-0,0
09
0.660+/-0,0
09
0.627+/-0,013 0.6034+/-0,032
b 1.12+/-0,13 4.92+/-0,32 -0.25+/-0,0
8
0.49+/-0,09 -6.60+/-0,73 -2.1+/-0,48
Fator de qualidade 0.999 0.974 0.999 0.993 0.988 0.998
Velocidade em
teoria (m/s)
19.2156+/-
0,10
18.0045+/-
0,10
32.7184+/-
0,17
18.4833+/-0
,10
24.0983+/-0,13 32.6178+/-0,17
Concordância entre
as velocidades
95,44% 84,98% 99,41% 98,68% 94,31% 95,59%
Concordância entre
os comprimentos da
corda
99,61% 99,60% 99,81% 99,92% 95,06% 91,42%
Há diversas discussões a serem feitas sobre experimento, vamos começar notando que conforme
o peso aplicado na extremidade da corda aumenta a velocidade da onda na corda também aumenta, isso
acontece pois como mostrado na equação (14) a velocidade de propagação da corda é proporcional à raiz
da tensão, como a tensão aplicada na corda é diretamente proporcional ao peso aplicado, logo é de se
esperar que a velocidade também aumenta, e é exatamente o que é visto para a corda 1 porém na corda 2
há algumas divergências que serão discutidas mais à frente .
Ainda pela equação (14) vemos que a velocidade da onda não depende do comprimento da
corda que está vibrando, apenas da tensão aplicada e a densidade da corda então é de se esperar que a
velocidade seja igual tanto para a corda vibrando com comprimento 1 quanto para comprimento 2, mas
vemos que no comprimento 2 as velocidades da onda é um pouco maior que no caso do comprimento 1
isso ocorre pois também deve ser considerado a massa da corda que não está vibrando no cálculo da
tensão já que o peso fica pendurado na extremidade livre da corda.
Entretanto a discussão dos parágrafos anteriores não parecem se aplicar para a corda 2 além
também da corda 2 apresentar algumas concordâncias bem baixas para as velocidades se comparados
com a corda 1. Isso nos leva a discutir o coeficiente b do ajuste, esse coeficiente no caso ideal deveria
ser igual a 0 de acordo com a equação (13), porém na realidade isso não acontece devido à erros
experimentais e sistemáticos, mas quando esse termo é suficientemente maior que zero indica que houve
erros significativos durante o experimento, nesse caso talvez a explicação mais plausível seja devido a
erros durante a medida das frequências já que elas foram determinadas através da visualização de ondas
estacionárias se formando, é possível que no momento da medição tenha-se associado um valor
equivocado para a frequência do harmônico e essa dificuldade na visualização pode ter ocorrido pelo
fato que a corda 2 tem uma densidade linear menor que a corda 1 o que indica provavelmente uma corda
mais fina e de difícil visualização quando vibrando.
Conclusões:
Para a primeira parte do experimento foi possível verificar que o oscilador estudado, tanto no
caso sem vela quanto no caso com, apresenta um comportamento de oscilador amortecido subcrítico,
além disso a vela no sistema aumenta a constante de amortecimento e consequentemente diminui o fator
de qualidade.
Entretanto obter a frequência natural do sistema nesse regime não se mostrou muito eficaz,
provavelmente devido a como os dados foram retirados do osciloscópio, que foi baseado no
mapeamento da imagem através de uma foto da tela do osciloscópio, devido a isso as escalas podem não
ter sido fielmente preservadas e isso impactou nos dados do ajuste. Porém, mesmo com essas
inconsistências, foi possível verificar o comportamento discutido no parágrafo anterior.
Quando estudado o oscilador amortecido-forçado foi possível obter com uma maior precisão a
frequência natural do sistema e a constante gamma, além de também conseguir estimar com o ajuste a
massa do carrinho e a força máxima da força restauradora. Com esses dados foi possível estimar a
constante elástica do conjunto de molas e os fatores de qualidade com uma alta concordância. Além
disso, também foi possível verificar o fenômeno de batimentos que acontece quando a parte forçada
possui frequência próximas à frequência natural do sistema.
Na segunda parte do experimento foi possível verificar graficamente a dependência linear da
frequência dos harmônicos com o número do harmônico e a tensão aplicada na corda aumenta o
coeficiente angular dessa reta também aumenta.
Com os dados obtidos nos ajustes foi possível verificar que a velocidade da corda não depende
do comprimento da parte da corda que vibra, mas somente da densidade linear da corda e da tensão
aplicada nela. Com relação às concordância, a corda 1 apresentou melhores resultados se mantendo entre
94% e 99% tanto para as velocidades quanto para o comprimento da corda que vibra; já a corda 2
apresenta algumas concordâncias um pouco baixas estando entre 84% e 99%, onde as mais baixas estão
ligadas ao coeficiente constante do ajuste que estão mais distantes de 0 que indica que houve erros
consideráveis nos dados obtidos. Provavelmente esses erros se devem à dificuldade de observar quando
os harmônicos se formam, já que devido a sua densidade linear ser menor seus ventres são bem
pequenos e ela provavelmente é mais fina dificultando ainda mais a visualização.
Bibliografia:
[1]. Resnick R. e D. Halliday. “Fundamentos de Física”, Vol. 2, Livros Técnicos e Científicos. Editora
Ltda. (1991)
[2]. Nussensveig, H. Moysés “Curso de Física Básica: Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor”,Vol. 2,
Edgard Blucher (2002)
[3]. Departamento de Física. Física Experimental A (Apostila), São Carlos: DF, 2015.
[4]. Manual amplificador DC PHYWE, Modelo: 13620.93
Anexos
Pergunta 1: Qual o significado físico da amplitude de oscilação com valor imaginário?
R: Professor essa pergunta foi feita com base na equação (2) do guia do experimento
onde no denominador dela para determinados valores pode assumir valores negativos,
porém analisando essa mesma equação no livro do Moyses (eq 4.4.6) percebe-se que na
verdade há um erro de sinal na equação (2) do guia, considerando esse caso a amplitude
não assume valores imaginários.
Mesmo imaginando que a amplitude pudesse assumir valores complexos,
fisicamente não conseguimos encontrar algum sentido para isso já que no fundo as
amplitudes são apenas constantes arbitrárias que surgem na solução de uma EDO
homogênea e mesmo no caso de uma EDO não homogênea o chute da solução particular
geralmente é sempre pensado para ser real.
Pergunta 2: Os corpos possuem frequência naturais de vibração e, quando são
submetidos a pulsos energéticos, cuja frequência coincide com essa frequência natural,
acabam entrando em ressonância. Porém, são necessários estarem em fase?
R: Não é necessário que estejam em fase, basta analisar as relações (12) e (13) dos
fundamentos teóricos,elas não dependem da fase do sistema. Fisicamente o que
acontece é que o termo homogêneo da EDO (6) vai a zero para tempos muito
grandes, logo independente da fase inicial desse sistema ela se torna desprezível
com o passar do tempo, por outro lado a solução da particular domina a solução
geral para tempos grandes. Logo se para um intervalo de tempo suficientemente
grande o que vale é apenas a solução particular, caso a frequência da força aplicada
seja a de ressonância o sistema entra em ressonância independente da condição
inicial, talvez demore, mas em algum momento o sistema entrará em ressonância.
Questões do guia do experimento:
1)
A própria segunda parte do experimento envolve um efeito de ressonância,
diferente do primeiro caso a amplitude não explode drasticamente, porém a corda
atinge um máximo de amplitude para uma frequência específica que é seu modo
normal de vibração. Esse conceito é bastante utilizado por músicos, pois as notas
musicais são harmônicas.
Já respondendo a questão 3, existe também o análogo da ressonância
mecânica para o eletromagnetismo, que no caso ocorre em um circuito RLC em
série que é composto por um resistor de resistência R, um indutor de indutância L e
um capacitor de capacitância C. Quando se monta a EDO que modela esse circuito
obtém-se
Se comparamos essa EDO com a da equação (3) percebemos que é idêntica,
porém agora a carga faz o papel da posição, L faz o papel da massa, R o papel da
parte resistiva e 1/C faz o papel da constante da mola, caracterizando assim um
oscilador amortecido. Se o capacitor está carregado e o circuito se fecha em um
determinado instante o sistema começa a oscilar, após um tempo a resistência
dissipa essa energia e a oscilação para exatamente como no caso mecanico.
O caso do oscilador harmônico forçado pode ser comparado com o caso onde
uma fem externa alimenta o circuito periodicamente, assim como o caso mecânico.
2)
A solução da parte homogênea de um oscilador amortecido-forçado é idêntica
ao do oscilador amortecido, a solução particular é dada chutando uma solução na
forma x=a*cos(wt)+b*sen(wt), substituindo EDO (6) e determinando as constantes a
e b se obtém a equação (7). Portanto a solução geral é dada pela soma das
equações (4) e (7).
A curva de ressonância apresenta seu máximo quando sua frequência é igual
à frequência natural do sistema como observado nos resultados obtidos do
experimento. Além disso, o quadrado da curva de ressonância apresenta uma
largura igual ao valor do coeficiente de amortecimento quando essa curva está na
metade de sua amplitude máxima.
O tipo de amortecimento acaba não influenciando tanto o caso forçado, pois
em todos os amortecimentos o termo da solução homogênea tende à zero, dessa
forma chega a um ponto em que apenas o termo forçado importa. Claro que para
um amortecimento subcrítico como observado aqui espera-se um coeficiente de
amortecimento menor que os outros dois modos de oscilação, já que o subcrítico
permanece oscilando por mais tempo, mas isso independe se o oscilador é forçado
ou não.
3)
Respondido no item 1
4)
Discutido durante o relatório
Erros:
Velocidade da onda:
Frequências naturais: 8% do valor medido
Constante da mola:
Fator de qualidade:
Concordâncias :