TEORIA DAS ESTRUTURAS II - LIVRO

Prévia do material em texto

ACESSE AQUI O SEU 
LIVRO NA VERSÃO 
DIGITAL!
PROFESSOR 
Me. Gabriel Trindade Caviglione
Teoria das 
Estruturas II
FICHA CATALOGRÁFICA
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. 
Núcleo de Educação a Distância. CAVIGLIONE, Gabriel Trindade; 
Teoria das Estruturas II. Gabriel Trindade Caviglione. Maringá 
- PR.: Unicesumar, 2021. 
300 p.
ISBN: 978-65-5615-642-2
“Graduação - EaD”. 
1. Estruturas 2. Deslocamentos 3. Engenharia. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 624.1707
Impresso por: 
Bibliotecário: João Vivaldo de Souza CRB- 9-1679 Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar
Diretoria de Design Educacional
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jd. Aclimação - Cep 87050-900 | Maringá - Paraná
www.unicesumar.edu.br | 0800 600 6360
 
 
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
DIREÇÃO UNICESUMAR
NEAD - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Reitor Wilson de Matos Silva Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva Pró-Reitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin 
Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi
Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff, James Prestes, Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pós-graduação Kátia Coelho Diretoria 
de Cursos Híbridos Fabricio Ricardo Lazilha Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de Design Educacional Paula 
Renata dos Santos Ferreira Head de Graduação Marcia de Souza Head de Metodologias Ativas Thuinie Medeiros Vilela Daros Head 
de Tecnologia e Planejamento Educacional Tania C. Yoshie Fukushima Gerência de Planejamento e Design Educacional Jislaine 
Cristina da Silva Gerência de Tecnologia Educacional Marcio Alexandre Wecker Gerência de Produção Digital Diogo Ribeiro Garcia 
Gerência de Projetos Especiais Edison Rodrigo Valim Supervisora de Produção Digital Daniele Correia
Coordenador de Conteúdo Flávio Augusto Carraro Designer Educacional Jociane Karise Benedett Curadoria Rafaela 
Benan Zara Revisão Textual Sarah Longo Carrenho Cocato Editoração Piera Consalter Paoliello Ilustração André 
Azevedo Realidade Aumentada Maicon Douglas Curriel Fotos Shutterstock. 
Tudo isso para honrarmos a 
nossa missão, que é promover 
a educação de qualidade nas 
diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais 
cidadãos que contribuam para o 
desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária.
Reitor 
Wilson de Matos Silva
A UniCesumar celebra os seus 30 anos de 
história avançando a cada dia. Agora, enquanto 
Universidade, ampliamos a nossa autonomia 
e trabalhamos diariamente para que nossa 
educação à distância continue como uma das 
melhores do Brasil. Atuamos sobre quatro 
pilares que consolidam a visão abrangente do 
que é o conhecimento para nós: o intelectual, o 
profissional, o emocional e o espiritual.
A nossa missão é a de “Promover a educação de 
qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, 
formando profissionais cidadãos que contribuam 
para o desenvolvimento de uma sociedade 
justa e solidária”. Neste sentido, a UniCesumar 
tem um gênio importante para o cumprimento 
integral desta missão: o coletivo. São os nossos 
professores e equipe que produzem a cada dia 
uma inovação, uma transformação na forma 
de pensar e de aprender. É assim que fazemos 
juntos um novo conhecimento diariamente.
São mais de 800 títulos de livros didáticos 
como este produzidos anualmente, com a 
distribuição de mais de 2 milhões de exemplares 
gratuitamente para nossos acadêmicos. Estamos 
presentes em mais de 700 polos EAD e cinco 
campi: Maringá, Curitiba, Londrina, Ponta Grossa 
e Corumbá), o que nos posiciona entre os 10 
maiores grupos educacionais do país.
Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima 
história da jornada do conhecimento. Mário 
Quintana diz que “Livros não mudam o mundo, 
quem muda o mundo são as pessoas. Os 
livros só mudam as pessoas”. Seja bem-vindo à 
oportunidade de fazer a sua mudança! 
Aqui você pode 
conhecer um 
pouco mais sobre 
mim, além das 
informações do 
meu currículo.
Olá, eu sou o Gabriel! Sou engenheiro civil e mestre em 
Engenharia de Estruturas. Assim como muitos, procu-
rei fazer Engenharia pois tinha afeição por Matemática 
e Física. Além disso, gostava muito de Engenharia de 
Tráfego, ficava maravilhado com a cidade de São Paulo 
e com as avenidas de mão única de Curitiba e Maringá, 
passava horas rabiscando e pensando soluções para 
minha cidade, Londrina. Durante a graduação, descobri 
a paixão por ensinar e pelas grandes obras e estruturas, 
suas técnicas executivas e as soluções estruturais por 
trás dos grandes nomes da arquitetura. Tive a opor-
tunidade de fazer estágio em um escritório de cálculo 
estrutural, o que direcionou minha carreira.
Formado, trabalhei com execução de pré-fabrica-
dos, porém, com a crise econômica, procurei me espe-
cializar e encarei o desafio do mestrado em Engenha-
ria de Estruturas na UEM. Hoje, atuo como professor 
universitário e continuo prestando serviços na área 
de estruturas e fundações.
Uma curiosidade sobre mim é que já fui atleta de 
natação na juventude, competia defendendo Londrina! 
Conquistei várias medalhas nos nados livre e peito. Tam-
bém participei ativamente do grupo de jovens da minha 
igreja. Aprendi muito com o esporte de desempenho e 
com a liderança na igreja. Atualmente, descobri na cor-
rida de rua um hobby saudável e relaxante. O benefício 
principal é manter a cabeça no lugar depois de um dia 
inteiro de engenharia.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/10588
Quando identificar o ícone de QR-CODE, utilize o aplicativo Unicesumar 
Experience para ter acesso aos conteúdos on-line. O download do aplicativo 
está disponível nas plataformas: Google Play App Store
Ao longo do livro, você será convidado(a) a refletir, questionar e transformar. Aproveite 
este momento.
PENSANDO JUNTOS
EU INDICO
Enquanto estuda, você pode acessar conteúdos online que ampliaram a discussão sobre 
os assuntos de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor.
Sempre que encontrar esse ícone, esteja conectado à internet e inicie o aplicativo 
Unicesumar Experience. Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os 
recursos em Realidade Aumentada. Explore as ferramentas do App para saber das 
possibilidades de interação de cada objeto.
REALIDADE AUMENTADA
Uma dose extra de conhecimento é sempre bem-vinda. Posicionando seu leitor de QRCode 
sobre o código, você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido
PÍLULA DE APRENDIZAGEM
Professores especialistas e convidados, ampliando as discussões sobre os temas.
RODA DE CONVERSA
EXPLORANDO IDEIAS
Com este elemento, você terá a oportunidade de explorar termos e palavras-chave do 
assunto discutido, de forma mais objetiva.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/3881
TEORIA DAS ESTRUTURAS II
A sociedade se utiliza diariamente de diversas obras de Engenharia. Muitas vezes, 
nem percebemos o impacto dessas obras no nosso dia a dia. Você conseguiria 
imaginar como era a vida antes de construírem as estradas? Como as pessoas 
cruzavam os rios sem as pontes? Como os médicos tratavam dos pacientes sem as 
construções especializadas, os hospitais? Como as indústrias produziam sem edifi-
cações que atendessem às suas especificações? Como as pessoas assistiam a shows 
e espetáculos antes dos teatros? Como era a vida antes das grandes hidrelétricas? 
Certamente, essas obras não existiriam sem a construção civil. É nossa função, como 
engenheiros(as), construí-las, garantindo segurança e estabilidade à sociedade. Como 
um(a) engenheiro(a) civil sabe quantos metros uma ponte pode suportar, quantos 
e quais veículos podem transitar sobre ela com segurança? 
Para responder essas questões, faz-se necessário entender como se comportam tanto 
estrutura como material. O(A) engenheiro(a) precisa entender como se desenvolvem 
os esforços dentro de uma estrutura e como o formato e geometria dela influenciam 
em sua resistência e suas deformações.Uma vez entendido o comportamento da estrutura, passamos a entender como o 
material empregado se comporta, quais níveis de tensões ele suporta de maneira se-
gura, como ocorre sua ruptura, quais fatores influenciam em sua resistência.
O trabalho do(a) engenheiro(a) é conciliar o comportamento do material e da es-
trutura, a fim de dimensionar um sistema estrutural seguro e resistente feito com um 
material que suporte, com segurança, tais esforços.
Convido você a observar as estruturas à sua volta. Será que todas possuem a mes-
ma solução estrutural? A estrutura de uma casa é igual à de um prédio? A estrutura 
de uma ponte rural é igual à estrutura de um viaduto movimentado na cidade? Evi-
dentemente, a solução estrutural deverá se adequar a cada caso. Existem diferentes 
soluções para diferentes níveis de cargas e vãos. 
Você conseguiria calcular os esforços nessas estruturas que observou? O equilíbrio 
de qualquer estrutura pode ser verificado pelas equações fundamentais de estática, 
isto é, o somatório de todas as forças agindo sobre o corpo é nulo. Em estruturas 
isostáticas, o número de restrições (reações) e o número de equações de equilíbrio 
são iguais, dessa forma, é possível descobrir as incógnitas, as reações de apoio. Já 
em estruturas hiperestáticas, temos mais reações do que equações de equilíbrio, de 
tal forma que não é possível calculá-las apenas pelas equações da estática. Por isso, 
essas estruturas também são chamadas de estaticamente indeterminadas. Como 
podemos calcular as reações de apoio nessas estruturas?
Nesta disciplina, entenderemos mais sobre o comportamento e os métodos de cálculo 
de estruturas complexas, que chamamos de hiperestáticas, que correspondem à maior 
parte das soluções estruturais usadas em projetos. Conversaremos sobre soluções 
estruturais que, geralmente, são empregadas para vãos e esforços considerados 
grandes. Você também aprenderá sobre algumas abordagens computacionais envol-
vidas nos softwares atuais de análise estrutural e os possíveis problemas oriundos 
da confiança excessiva neles. Conheceremos, também, as análises feitas com cargas 
móveis, usadas em pontes e passarelas.
Como futuro(a) engenheiro(a) civil, você será responsável pela estabilidade dessas 
estruturas, logo você precisará entender seu comportamento para fazer o correto 
dimensionamento, projeto e execução delas, para que sejam seguras e atendam às 
referências normativas utilizadas no Brasil. Daí a necessidade de uma análise estrutural 
correta, que represente bem a estrutura a ser executada. Lembre-se de que qualquer erro 
relacionado à estrutura de uma edificação pode ocasionar em sinistros e danos graves.
É evidente que analisar estruturas não é uma tarefa tão simples e que teremos mui-
to a aprender para poder projetar uma estrutura real. Mas tenho certeza de que, ao 
final desta disciplina, você entenderá muito melhor como as estruturas funcionam e se 
comportam. Acompanhará situações práticas que lhe permitirão aplicar esses conceitos 
durante seu exercício profissional.
Vamos juntos descobrir como manter estruturas de pé?
APRENDIZAGEM
CAMINHOS DE
1 2
43
5
11
71
43
101
GRAU DE 
HIPERESTATICIDADE
6 155
ANÁLISE MATRICIAL 
DE ESTRUTURAS
MÉTODO DAS 
FORÇAS
TEOREMAS E 
PRINCÍPIOS
MÉTODO DOS 
DESLOCAMENTOS
PROCESSO DE 
CROSS
129
7 181 8 207
FUNDAMENTOS DO 
PROJETO ESTRUTU-
RAL
MODELAGEM 
COMPUTACIONAL 
DE ESTRUTURAS
9 237
CARGAS MÓVEIS EM 
ESTRUTURAS
1
Nesta unidade, você conhecerá os conceitos iniciais das estruturas 
hiperestáticas. Imagino que você já conheça o comportamento de 
estruturas isostáticas, sabendo determinar as suas reações de apoio, 
os esforços cortantes e os momentos fletores atuando na estrutura. 
Mas e quando a estrutura tem uma reação de apoio extra? Como 
calcular? Você aprenderá a calcular e resolver estruturas exatamente 
nessa situação, quando as equações da estática não são suficien-
tes para achar o valor das reações. Aprenderá a avaliar o grau de 
estaticidade de uma estrutura, interna e externamente, avaliando 
seu comportamento em hipostática, hiperestática e isostática. A 
identificação desses comportamentos e o entendimento correto 
desses conceitos é muito importante para o(a) engenheiro(a), uma 
vez que a grande maioria das estruturas de concreto armado mol-
dado in loco é hiperestática.
Grau de 
Hiperestaticidade
Me. Gabriel Trindade Caviglione
12
UNICESUMAR
Você já tentou esboçar o sistema estrutural de um estádio 
de futebol? Já imaginou como se comporta o sistema 
estrutural de um edifício alto durante uma tempesta-
de, com bastante vento? Como se comporta uma ponte 
estaiada quando um caminhão trafega sobre ela? Claro 
que, para responder a essas perguntas, precisamos de um 
engenheiro de estruturas, que poderá mostrar como essas 
estruturas complexas se comportam, qual é o caminho 
das forças e como as edificações param em pé.
Durante o seu futuro exercício profissional, é provável 
que você se depare com estruturas complexas, pórticos tri-
dimensionais, treliças, grelhas, arcos, entre tantos tipos de 
estruturas, geralmente, estaticamente indeterminadas, isto 
é, estruturas hiperestáticas. E, nesses casos, a pergunta que 
você, como engenheiro(a), precisará responder é: como 
projetar essas estruturas de maneira segura e econômica? 
Como avaliar o comportamento de estruturas complexas?
Bom, para responder a isso, nós precisamos entender 
como o material se comporta, isto é, o quanto de esfor-
ço ele é capaz de suportar e quanto desse determinado 
esforço está agindo na estrutura. Esta disciplina focará 
no entendimento do comportamento de estruturas com-
plexas, que não pode ser estimado apenas pelas equações 
do equilíbrio estático. O desafio, então, é a determinação 
dos esforços de flexão, cortante, tração, torção e das de-
formações e rotações que aparecerão na estrutura para, 
então, o(a) engenheiro(a) proceder com o projeto.
13
UNIDADE 1
Tomemos por exemplo uma pequena residência em 
concreto armado. Nada muito complicado, certo? 
Algo bem comum, tradicional. Quantos pilares te-
ríamos nessa residência? Considere que, abaixo de 
cada pilar, teremos uma fundação — estacas ou uma 
sapata —, um ponto de apoio. Assim, teríamos quan-
tos pontos de apoio para a estrutura dessa residência? 
Se tomarmos uma residência com seis pilares — 
uma casa bem pequena —, teríamos, pelo menos, 
seis reações de apoio à estrutura. Considerando seus 
conhecimentos prévios em estruturas, você saberia 
calcular os valores dessas reações de apoio?
Para garantir o equilíbrio das cargas na vertical, 
o somatório das forças verticais, dos momentos ao 
redor do eixo x e dos momentos ao redor do eixo y 
precisa ser zero (LEET et al., 2009).
(1.1)
(1.2)
REALIDADE
AUMENTADA
Reações de Apoio em 
Estrutura Tridimensional
Σ
Σ
Σ
Fv
Mx
My
=
=
=
0
0
0
Aplicando as equações anteriores, considerando as seis reações de apoio em posições genéricas 
e o carregamento qualquer qi , teremos:
Σ Σ
Σ
Fv R R R R R R q
Mx R y R y R y R y R
i
= ∴→ + + + + + − =
= ∴→ + + + +
0 0
0
1 2 3 4 5 6
1 1 2 2 3 3 4 4 55 5 6 6
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
0
0
y R y q y
My R x R x R x R x R x R x q x
i i
i
+ − =
= ∴→ + + + + + −
Σ
Σ Σ
ii
= 0
Em que: 
• Rj corresponde à reação vertical do ponto de apoio “j”. 
• xj corresponde à coordenada x do ponto “j”. 
• yj corresponde à coordenada y do ponto “j”. 
• qi corresponde a um carregamento qualquer no ponto qualquer “i”.
14
UNICESUMAR
Nessa situação hipotética, teríamos um sistema linear de três equações com seis incógnitas (R1 , R2 , R3 , R4 , 
R
5 e R6 ), ou seja, trata-se de um sistema impossível de se resolver. A partir dessas condições, não é possível 
calcular as reações de apoio, pois temos mais reações disponíveis do que equações de equilíbrio. Assim 
como na Figura 2, que mostra uma viga hiperestática, na qual temos uma reação de apoio extra “sobrando”.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma viga hiperestática, com um carregamento distribuído ao longodo comprimento 
e uma carga concentrada no ponto C. A viga tem três apoios: nos pontos B, C e D. A figura também mostra a substituição 
dos apoios por reações VB, VD, HD e VE. Ilustra que a viga tem mais reações — incógnitas — do que equações de equilíbrio.
Figura 1 - Viga hiperestática: temos quatro reações de apoio frente a apenas três equações de equilíbrio / Fonte: o autor.
Mesmo uma pequena residência, construída em tecnologia convencional, concreto armado moldado in 
loco, pode ter uma estrutura hiperestática e de solução indeterminada pelas equações da estática. Assim, 
o desafio é procurar outras condições para se calcular os esforços dos pilares, vigas e lajes dessa residência.
Você pode usar o Diário de Bordo para registrar e relembrar os conceitos já vistos que podem lhe 
ajudar a resolver estruturas estaticamente indeterminadas. Procure soluções para analisar estruturas 
hiperestáticas, comece pensando em estruturas mais simples como a da Figura 2.
15
UNIDADE 1
A primeira coisa a ser avaliada em qualquer estrutura é a sua esta-
bilidade e condição de vinculação. Para isso, precisamos avaliar se a 
quantidade de vínculos e se seus tipos são suficientes para evitar uma 
movimentação da estrutura. Quando existe um número menor de 
vínculos do que o necessário, consideramos a estrutura hipostática e, 
portanto, instável. Estruturas com essas condições de estaticidade estão 
sujeitas ao movimento, e não devem ser usadas, a não ser em situações 
específicas, em que seja prevista uma movimentação na estrutura — 
pontes rolantes, tombadores de moega, pontes basculantes, entre outros.
Descrição da Imagem: a figura mostra uma ponte basculante chamada de Lindanuis. 
A ponte é de baixa altura, e não permite a passagem de embarcações. A vista está 
em um plano horizontal. Em um primeiro momento, a ponte apresenta-se abaixada, 
com um trem trafegando sobre ela e um barco próximo. Em um segundo momento, 
já livre do trem, a ponte é elevada, e o barco pode passar por ela.
Figura 2 - Estrutura hipostática: ponte basculante Lindaunis. Não há restrição aos movimen-
tos no sentido anti-horário, permitindo que a ponte rotacione para a passagem dos barcos
16
UNICESUMAR
Já em estruturas isostáticas, temos exatamente o número de rea-
ções necessárias ao equilíbrio. Isso significa que são estruturas 
estáveis, que não se movimentarão quando aplicada uma força. 
No entanto, se, por algum motivo, algum dos vínculos vier a fa-
lhar, a estrutura logo entrará em movimento, pois não dispõe de 
apoios extras. Esse tipo de estrutura é muito comum em estruturas 
pré-fabricadas ou metálicas, pois, como elas serão montadas no 
local, é mais fácil que as vigas trabalhem biapoiadas.
Quando uma estrutura dispõe de reações extras ao equilíbrio, 
ela é chamada de hiperestática, também é considerada estável. 
Por ter uma reação extra, poderíamos até considerá-la, um pouco 
inapropriadamente, como mais estável. Nessas estruturas, temos 
mais restrições do que o necessário para estabilizar a estrutura, tipi-
camente, uma condição de estruturas de concreto moldada in loco.
Estruturas hipostáticas podem permanecer estáticas, mas 
estarão sempre sob uma condição de equilíbrio instável. 
Pode ocorrer uma situação de carregamento, tal qual o 
próprio carregamento conseguir impedir deslocamentos 
na direção da liberdade da estrutura. Trata-se de uma 
forma crítica, uma condição de equilíbrio instável (SUS-
SEKIND, 1980).
A
17
UNIDADE 1
Uma simples maneira para classificar uma estrutura e relembrar es-
ses conceitos é entender a etimologia da palavra usada. Por exemplo, 
no termo “isostática”, o prefixo “iso” faz alusão à ideia de igual, e o 
sufixo “estática” remonta à estabilidade da estrutura. Então, temos 
um número de reações igual ao número necessário para garantir o 
equilíbrio, a estabilidade. Analogamente, no termo “hiperestática”, 
“hiper” refere-se a mais, superior, além do necessário. Mais reações 
do que o necessário ao equilíbrio. Em “hipostática”, “hipo” refere-se 
a menos, inferior, pouco. Menos reações do que o necessário ao 
equilíbrio. A Figura 5 resume o conceito.
Figura 3 (a) - Estrutura isostática (à esquerda): pré-moldados de concreto. Repare 
que as vigas estão apoiadas nos pilares com um dente Gerber, ou seja, tem a rotação 
livre; 4 (b) - Estrutura hiperestática (à direita): concreto moldado in loco. Repare que 
todas as rotações do pórtico ficam restringidas devido à monoliticidade da estrutura
Descrição da Imagem: a figura mostra duas estruturas em processo constru-
tivo. À esquerda, um barracão de concreto pré-moldado isostático e, à direita, 
um edifício vertical de concreto moldado in loco. A estrutura pré-moldada é 
composta por pilares dispostos na vertical sobre os quais se apoia uma linha de 
vigas, que ficam simplesmente apoiadas sobre os pilares, como peças, sobre o 
encaixe Gerber. Ao fundo, é possível ver outras vigas e terças da cobertura, além 
de um guindaste trabalhando. A estrutura monolítica tem quatro pavimentos, 
e demonstram-se as formas e escoramento de um pavimento em construção, 
são diversos pilares na vertical, com suas esperas de armadura. As vigas e lajes 
da estrutura, dispostas na horizontal, mostram-se solidarizadas aos pilares. Ao 
fundo, é possível visualizar outro prédio em construção. 
B
18
UNICESUMAR
Percebe-se, então, que, para avaliar a estabilidade de uma estrutura, é fundamental entender suas con-
dições de vinculação. Os vínculos são apoios capazes de fornecer um sistema de forças que estabilize 
os carregamentos, agindo sobre essa estrutura, impedindo-a de se deformar. Em uma estrutura real, 
é impossível ter uma deformação nula, geralmente, temos reações de apoio após pequenas deforma-
ções, dentro de um limite aceitável. Nessas condições, uma maneira mais precisa para simular esse 
comportamento é usando vínculos elásticos, conforme a Figura 6.
Figura 4 - Resumo de estabilidade e estaticidade: estruturas hipostática, isostática e hiperestática / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura apresenta três vigas de carregamentos idênticos, uma carga distribuída e uma carga con-
centrada no ponto C. Entre as vigas, temos: uma hipostática à esquerda, com apenas um vínculo do segundo gênero, duas 
reações de apoio; uma isostática ao centro, com dois vínculos, três reações de apoio; uma hiperestática à direita, com três 
vínculos, dois do 1º gênero e um do 2º gênero, totalizando quatro reações de apoio. 
Figura 5 - Vínculos rígidos e elásticos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem indica um retângulo com o texto “vínculos ideais”, que se divide em duas opções: rígidos 
e elásticos. Em seguida, estes dividem-se em três tipologias: 1º gênero, 2º gênero e 3º gênero. Abaixo, temos a inscrição 
de reações e restrições correspondentes a cada um dos gêneros: verticais (1º gênero); verticais e horizontais (2º gênero); e 
verticais, horizontais e rotações (3º gênero). 
19
UNIDADE 1
Esses vínculos também podem ser usados para simular o comportamento 
de trechos de estrutura. Por exemplo, suponhamos que se queira analisar 
os efeitos da fluência — deformação lenta do concreto relacionada à 
compressão — de um pilar com relação à viga localizada na cobertura de 
um edifício de 25 andares. Nessa situação, pode-se calcular a deformação 
e carga do pilar separadamente e, então, escolher um valor de mola de 
comportamento elástico que represente esse pilar para analisar a viga.
Em uma situação prática, você sabe como funcionam os víncu-
los e as reações de apoio? Como são os apoios de uma estrutura de 
um edifício? Pensando em fundações, temos dois tipos básicos: as 
sapatas — fundações diretas — e as estacas — fundações profundas. 
Existem vários arranjos que podem se comportar como vínculos do 
1º, 2º ou 3º gênero, elástico ou rígido. 
Descrição da Imagem: a figura mostra duas regiões diferentes. À esquerda, temos 
os apoios do primeiro e segundo gênero — rígidos e elásticos — associados à sapa-
ta pequena e uma estaca de pequenasdimensões; à direita, temos apoios do três 
gênero — rígidos e elásticos — sendo associados a sapatas de grandes dimensões, 
blocos sob duas estacas de pequeno diâmetro e uma estaca da grande diâmetro.
Figura 6 - Vínculos e comportamento das fundações / Fonte: o autor.
Sapatas pequenas e estacas de pequeno diâmetro não são capazes 
de restringir rotação, devem se comportar como apoios de 1º ou 2º 
gênero. Para restringir translação no plano horizontal, essas sapatas 
20
UNICESUMAR
e estacas precisam desenvolver certo atrito, por isso, é necessária 
certa carga gravitacional. Blocos sobre estacas, estacas rígidas 
e sapatas grandes são capazes de evitar a rotação dos pilares, 
podendo ser consideradas como engastes. Assim, é necessário 
o bom senso do(a) engenheiro(a) ao projetar uma estrutura e 
escolher corretamente sua vinculação.
Conhecidas as condições de apoio e vinculação de uma estrutu-
ra, poderemos avaliar sua estaticidade ou grau de hiperestaticidade. 
Para Sussekind (1980), o grau de hiperestaticidade é exatamente 
a quantidade de incógnitas que não podem ser calculadas pelas 
equações da estática. Podemos escrevê-lo conforme a equação :
g R E
ext
= −
Em que:
• gext é o grau de hiperestaticidade externa da estrutura. 
• R é o número de reações disponíveis ao equilíbrio.
• E é o número de equações para o equilíbrio estático no plano 
(Σ Σ ΣFh M Fv= = =0 0 0; ; ).
No entanto, internamente, uma estrutura pode ter um comporta-
mento diferente de sua avaliação externa. Olhando para a Ponte 
de Waterhoek — Figura 8, formada por uma viga Vierendeel 
idealizada em aço —, podemos observar que, embora a estrutura 
seja isostática, não é possível determinar os esforços ao longo da 
estrutura, ou seja, internamente, a estrutura é hiperestática.
(1.3)
A
21
UNIDADE 1
Segundo Sussekind (1980), podemos escrever o grau de hi-
perestaticidade total de uma estrutura como a soma das hi-
perestaticidades internas e externas.
 
 
Em que:
• gint é o grau de hiperestaticidade interna da estrutura.
• gext é o grau de hiperestaticidade externa da estrutura.
A hiperestaticidade interna é comum quando temos quadros 
fechados e tirantes presentes na estrutura. Ao fazermos um corte 
nas estruturas, podemos reduzi-las a isostáticas e substituir seus 
esforços internos por forças que atuam nesse corte (Figura 8). 
Na presença de tirantes, temos uma nova incógnita, o esforço de 
Figura 7 (a) - Ponte de Waterhoek; 8 (b) 
- esforços em estruturas internamente 
hiperestáticas / Fonte: Wikimedia Com-
mons ([2021], on-line) e adaptada de Sus-
sekind (1980). 
Descrição da Imagem: a figura 
mostra a Ponte Waterhoek, com-
posta por vigas Vierendeel bia-
poiadas às margens. Ao fundo, é 
possível observar algumas casas 
e vegetação rasteira. Vigas Vieren-
deel são compostas por quadros 
associados horizontalmente, isto 
é, uma associação de duas vigas 
horizontais com vários pilares ao 
logo do comprimento dela. À direi-
ta, vemos o esquema estático de 
uma estrutura com dois quadros, 
mostrando que não é possível de-
terminar os esforços internos do 
quadro — pelas equações da está-
tica —, agindo estes como incógni-
tas. Cada quadro tem três incógni-
tas — momento fletor, cortante e 
esforço normal. Temos, ainda, um 
arco atirantando, em que não é 
possível determinar o esforço de 
tração do tirante — pelas equações 
da estática —, em que ele age como 
uma incógnita para o problema.
B
(1.4)
22
UNICESUMAR
tração no tirante, ou seja, uma incógnita extra. No caso de quadros, temos como incógnitas os esforços 
de momento fletor, esforço normal e esforço cortante. Ou seja, três incógnitas extras por quadro. Outro 
efeito importante a ser considerado ao avaliar a hiperestaticidade de uma estrutura são os conectores de 
suas barras. O tipo de conexão entre as barras determinará quais esforços serão transmitidos nas ligações.
Figura 8 - Rótula e suas propriedades na transmissão de esforços / Fonte: o autor e Shutterstock.
Descrição da Imagem: a figura exemplifica o comportamento da rótula, um elemento de ligação que permite a rotação, 
transmitindo apenas esforços normais e de corte. A figura é composta por quatro ilustrações. Na primeira, temos o esquema 
estático de uma viga rotulada, a viga tem dois apoios, um engaste e uma rótula; a figura mostra a transmissão dos esforços 
verticais e horizontais entre o trecho biapoiado e engastado. A segunda ilustração é uma ligação de dente Gerber: temos 
um pilar disposto na vertical, com consolos em ambos os lados — volumes laterais, para fora da seção do pilar —, o lado 
esquerdo está livre; já no lado direito, temos uma viga apoiada no consolo, a viga tem um corte — dente Gerber — em 
sua seção para encaixar no consolo, tal ligação não permite a passagem de momentos fletores; ao fundo, temos outras 
estruturas — metálicas e de concreto. Na terceira ilustração, temos a anatomia de um joelho humano, os tendões mantêm 
conectados os ossos, que podem deslizar um sobre o outro, permitindo a rotação. A quarta ilustração mostra uma mulher 
correndo, em que é possível observar o joelho, transmitindo a ideia de movimento e rotação do joelho ao correr.
A presença da rótula evita a transmissão de momentos fletores. Assim como o joelho, a rótula per-
mite a rotação, assim, no ponto onde a rótula está localizada, o momento fletor precisa ser nulo. Essa 
condição nos permite dispor de duas novas equações:
• Momento fletor à direita da rótula nulo: Mdir r, = 0 .
• Momento fletor à esquerda da rótula nulo: Mesq r, = 0 .
Entretanto, em uma estrutura em equilíbrio, as forças agindo à direita de um ponto precisam ser 
iguais e opostas às forças agindo à esquerda. Isso equivale a dizer que M Mdir r esq r, ,= , assim, embora 
a rótula adicione duas equações (Mdir r, = 0 e Mesq r, = 0 ), uma delas é dependente da outra. Ou seja, 
na prática, temos apenas uma equação nova (Mr = 0 ) (KASSIMALI, 2015).
Esse mesmo raciocínio se aplica a pórticos: se tivermos três barras se encontrando em uma rótula 
(Figura 10), teríamos três equações de Mr = 0 . No entanto, teremos novamente uma das equa-
ções linearmente dependente das demais, pois o somatório dos momentos no nó precisa ser nulo 
 (M M M Mdir r esq r abx r acim r, , , ,+ + + = 0 ). O número de novas equações será sempre o número de 
barras subtraído de 1, referente ao equilíbrio do nó.
23
UNIDADE 1
r n
r
= −1
Em que:
• r é o número de equações adicionadas pela rótula.
• nr é o número de barras efetivamente ligadas à rótula.
Caso nem todas as barras participem da ligação rotulada, a regra explicada 
anteriormente se aplica apenas às barras que estiverem conectadas à rótula, 
pois, na região em que estiver conectada — não rotulada —, não teremos 
momento fletor nulo, conforme mostra a Figura 10.
(1.5)
Figura 9 - Rótula em Pórticos, barras conectas à rótula / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra dois pórticos com rótulas ligeiramente diferentes. 
Eles têm um engaste à esquerda, um apoio do primeiro gênero ao centro e um engaste à 
direta. Na situação 1, à esquerda, temos uma rótula que fica posicionada à direita do nó, 
enquanto no pórtico da direita, na situação 2, a rótula está sobre o nó. Neste nó, chegam 
três barras, de tal forma que, na situação 1, apenas duas delas estão em contato com a 
rótula, enquanto, na situação 2, as três estão em contato com a rótula. Essa situação é 
exemplificada por um detalhe na rótula: na situação 1, é possível observar que duas barras 
se deformam conjuntamente, enquanto, na situação 2, as três barras podem rotacionar 
livremente, independentemente das outras.
Considerando os efeitos de hiperestaticidade externa, expressos na equa-
ção , efeitos de hiperestaticidade interna, expressos na equação , e equa-
ções extras adicionadas pelas rótulas, expressas na equação , temos a 
equação geral , que exprime o grau de hiperestaticidade total da estrutura:
24
UNICESUMAR
g R g E r
int
= + − +( )
Em que: 
• R é o número de reações. 
• gint é o grau de hiperestaticidadeinterna da estrutura. 
• E é o número de equações da estática.
• r é o número de equações de equilíbrio adicionadas pelas rótulas.
Já em treliças planas, a análise de estaticidade envolve outras condições de contorno, pois não temos 
momentos fletores agindo sobre a estrutura, apenas esforços normais. Nesse cenário, cada barra da 
treliça terá uma incógnita, seu esforço normal. Além dos esforços nas barras, também precisamos 
determinar as reações de apoio.
Kassimali (2015) sugere que, para avaliar o equilíbrio das barras e dos vínculos, devemos avaliar as 
forças agindo sobre cada nó, de tal forma que, se ΣFh = 0 e ΣFv = 0 , o nó deve estar em equilíbrio. 
Assim, teremos duas equações de equilíbrio por nó. A Figura 11 exemplifica o conceito.
(1.6)
Figura 10 - Equilíbrio dos nós em uma treliça plana / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem representa uma treliça do tipo Bowstring — banzo inferior horizontal e banzo superior em 
arco — sob dois apoios. A treliça tem, ao todo, 12 nós. Como cada nó tem uma rótula, o equilíbrio da treliça se dá pelo equi-
líbrio de cada nó. Na imagem, temos, então, as equações de equilíbrio para cada nó, bem como as forças agindo sobre eles.
25
UNIDADE 1
Comparando as incógnitas — reações de apoio e esforço normal em cada barra — com as equações de equi-
líbrio (ΣFh = 0 e ΣFv = 0 em cada nó), temos a equação do grau de hiperestaticidade de uma treliça.
g R b n= + − ( )2
Em que: 
• R é o número de reações.
• b é o número de barras. 
• n é o número de nós.
Se a equação resultar em um valor negativo, temos mais equações do que reações, portanto, um sistema 
hipostático. Se a equação resultar em um valor nulo, temos exatamente o mesmo número de reações 
e equações, portanto, um sistema isostático. Se a equação resultar em um valor positivo, temos mais 
reações do que equações de equilíbrio, portanto, um sistema hiperestático.
(1.7)
Figura 11 - Resumo das condições de estaticidade / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem apresenta dois quadros resumindo as condições de estaticidade. À esquerda, temos a 
regra geral, comparando o número de equações de equilíbrio — representado por E — e o número de reações — repre-
sentado por R. Caso R>E, temos uma estrutura hiperestática; caso R=E, temos uma estrutura isostática; e caso R<E, temos 
uma estrutura hipostática. No quadro à esquerda, temos um resumo das equações já apresentadas: para vigas e pórticos, 
usamos a equação (1.6) e, para treliças planas, a equação (1.7).
Será que essas equações conseguem descrever o comportamento de todas as estruturas? 
Muitas vezes, temos situações que precisam ser analisadas com mais cautela. Por isso, para 
sua formação, é muito mais importante entender os conceitos e desenvolver um olhar crítico 
para o comportamento estrutural do que aplicar fórmulas cegamente.
Agora, aplicaremos esses conceitos a alguns exemplos e tentaremos avaliar o comportamento e grau de 
estaticidade das estruturas. Observe a Figura 13. Temos, nela, três pórticos de comportamentos estruturais 
distintos. O pórtico 1 tem uma reação vertical em A e uma reação vertical em B, assim duas incógnitas frente 
26
UNICESUMAR
a três equações de equilíbrio, portanto, consideramos como hipostático. Ainda com relação ao pórtico 1, é 
possível observar que, caso ele receba um carregamento horizontal, a estrutura deve se movimentar.
O pórtico 2, por sua vez, tem duas reações em A e uma reação em B, totalizando três reações de 
apoio frente a três equações de equilíbrio, temos uma estrutura isostática. O pórtico 3 tem duas rea-
ções de apoio em A e três reações de apoio em B, totalizando cinco reações frente a 3 equações de 
equilíbrio. Assim, o pórtico 3 é uma estrutura considerada ( )g = − =5 3 2 duas vezes hiperestática, 
isto é, existem duas reações “a mais” do que o necessário para equilibrar o pórtico. 
Figura 12 - Três pórticos de diferentes graus de estaticidade / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: temos três pórticos apresentados: à esquerda, o pórtico 1; ao centro, o pórtico 2; e à direita, o pór-
tico 3. O pórtico 1 tem apenas reações verticais em seus dois apoios, A e B. O pórtico 2 tem duas reações em A — vertical 
e horizontal — e uma reação em B — vertical. O pórtico 3 tem duas reações em A — vertical e horizontal — e três reações 
em B — vertical, horizontal e rotação. Abaixo de cada pórtico, temos a classificação de cada um quanto à sua estaticidade: 
pórtico 1 é hipostático; pórtico 2 é isostático; pórtico 3 é hiperestático..
Na Figura 14, temos outros exemplos do grau de estaticidade de estruturas. Na viga 1, temos cinco 
reações de apoio frente a três equações de equilíbrio e uma equação referente à rótula, portanto, é uma 
estrutura uma vez hiperestática. No arco 1, temos três apoios, cada um com duas reações, totalizando 
seis incógnitas. Quanto às equações, temos duas rótulas e as três da estática, portanto, cinco equações 
ao todo, assim, caracterizamos a estrutura como hiperestática. No pórtico 1, temos seis reações de 
apoio frente a três equações de equilíbrio. Como a rótula é compartilhada pelas três barras, temos 
duas equações que também podem ser consideradas no cálculo, ficam, então, seis reações frente a 
cinco equações, portanto, é uma estrutura uma vez hiperestática. Na treliça 1, temos 31 barras, e cada 
barra tem uma incógnita que é seu esforço normal, além das quatro reações de apoio. Temos, ainda, 16 
nós, considerando duas equações por nó, teremos uma estrutura com três graus de hiperestaticidade. 
É possível observar a hiperestaticidade nos quadros que têm duas diagonais (dois graus) e no apoio 
extra (um grau). No pórtico 2, temos oito reações de apoio frente a três equações de equilíbrio e duas 
equações das rótulas, totalizando três graus de hiperestaticidade para a estrutura.
27
UNIDADE 1
Figura 13 - Outros exemplos de grau de hiperestaticidade das estruturas / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: na figura, temos cinco esquemas estático de estruturas. A viga 1 tem três apoios do primeiro 
gênero e um apoio do segundo gênero; entre o primeiro e segundo apoio, temos uma rótula, logo abaixo, temos a conta 
para obtenção do grau de hiperestaticidade: g = 5-(3+1) = 1 vez hiperestática. À direita da viga, temos os arcos 1, são dois 
arcos triarticulados justapostos; suas rótulas estão posicionadas nos pontos centrais do arco. Os apoios são do segundo 
gênero; abaixo, temos o cálculo do grau de estaticidade: g = 6-(3+2) = 1 vez hiperestática. Abaixo, temos dois pórticos, o 
pórtico 1 apresenta duas barras verticais — como pilares —, uma barra horizontal e duas barras inclinadas — como uma 
cobertura. Esse pórtico tem um apoio do terceiro gênero — primeiro pilar —, um apoio do primeiro gênero — segundo 
pilar — e um apoio do segundo gênero conectado por uma barra horizontal e uma rótula que engloba três barras. Temos, 
ainda, o cálculo do grau de hiperestaticidade: g = 6-(3+2) = 1 vez hiperestática. À direita, temos o pórtico 2, composto por 
três barras verticais e duas barras horizontais. Esse pórtico tem dois engastes nas barras verticais externas e um apoio do 
segundo gênero na barra central; as barras verticais conectam os topos das horizontais, e, no final da barra central, temos 
uma rótula que engloba três barras. Abaixo, temos o cálculo do grau de hiperestaticidade da estrutura: g = 3+2+3-(3+2) = 3 
vezes hiperestática. A treliça 1, abaixo dos demais esquemas, tem dois apoios do primeiro gênero e um apoio do segundo 
gênero. Trata-se de uma treliça de banzos paralelos, cujas extremidades terminam em barras diagonais, no sentido de baixo 
para cima, todos módulos têm um montante e uma diagonal, com exceção de dois módulos próximos ao apoio do segundo 
gênero, nos quais temos duas diagonais. Abaixo, temos o cálculo do grau de hiperestaticidade: g = 31 barras + 4 reações 
de apoio - 2 vezes 16 nós = 3 vezes hiperestática.
A aplicação das equações para a obtenção do grau de hiperestaticidade pode mascarar o comportamento 
real da estrutura.Por isso, é muito importante avaliar o comportamento da estrutura, além do resul-
tado das contas. Por exemplo, no pórtico 1 da Figura 15, temos uma estrutura oito vezes hiperestática 
na vertical e sem restrição alguma na horizontal, isto é, hipostática. Ao avaliar as vigas 1 e 2 da Figura 
28
UNICESUMAR
15, ambas são duas vezes hiperestáticas, no entanto, o trecho AB da viga 2 está livre para rotacionar, 
assim, é localmente hipostático. Outra situação interessante é a viga 3, em que temos quatro reações 
de apoio (três horizontais e uma vertical), mas a configuração desses apoios permite que a estrutura 
rotacione ao redor do ponto B, portanto, estamos diante de uma estrutura hipostática.
Figura 14 - Exemplo de estruturas hipostáticas que demandam atenção; as linhas em azul claro mostram possíveis movimen-
tações que não estão restringidas pela estrutura / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra cinco estruturas distintas, três vigas, um pórtico e uma treliça. A viga 1 e a viga 2 
estão no canto esquerdo superior da figura; ambas têm um apoio do segundo gênero — ponto A na viga 1 e ponto E na viga 
2 —, um apoio do primeiro gênero — ponto C —, um engaste — ponto D, extremidade direita — e uma rótula — ponto B 
—, ao todo, 2+1+3 = 6 reações. A única diferença entre as vigas é a posição do apoio do segundo gênero: na viga 1, o apoio 
está no ponto A, assim, a rótula fica entre os apoios A e C, dando suporte ao trecho AB. Já na viga 2, o apoio está no ponto 
E, assim, a rótula fica em balanço, e o trecho AB fica sem apoio, permitindo que haja rotação representada por uma linha 
azul pontilhada. Embaixo de cada viga, temos o cálculo da estaticidade: g = 6-(3+1) = 2, embora a viga 1 seja hiperestática, 
a viga 2 é hipostática. Na viga 3, na extremidade inferior esquerda da figura, temos uma viga ABC, sendo que temos um 
apoio do segundo gênero no ponto B e dois apoios do primeiro gênero em A e C. Os apoios do primeiro gênero estão 
rotacionados a -90° e 90°, de tal forma que restringem apenas deslocamentos horizontais. Nessa configuração, os apoios 
não conseguem restringir a rotação da barra, representada por uma linha azul pontilhada. A figura ainda mostra o cálculo 
do grau de hiperestaticidade, embora g = 4-3 = 1, é uma estrutura hipostática. À direita, temos o pórtico 1, que tem cinco 
pilares — barras verticais — e duas vigas; a viga superior liga a cabeça de todos os pilares, enquanto a viga inferior conecta 
pontos intermediários dos três pilares centrais, assim, temos a formação de dois quadros. Todos os pilares se apoiam em 
apoios do primeiro gênero. Temos o cálculo da estaticidade: g = 5+6-3 = 8, mas como não há nenhuma restrição horizontal na 
estrutura, é considerada como hipostática. A figura mostra, ainda, a treliça 1, apoiada em dois vínculos do segundo gênero, 
situados nas extremidades. A treliça é composta por um banzo inferior horizontal — seis módulos —, banzo superior central 
horizontal — dois módulos —, e o banzo superior nas extremidades é inclinado — dois módulos de cada lado. Os módulos 
centrais (CDEJI e DEKJ) não têm diagonais, enquanto os módulos da extremidade têm duas diagonais (BCIH e EFLK), assim, 
os módulos centrais são quadros instáveis e podem se deslocar, conforme a linha pontilhada ilustrada em azul. O cálculo 
da estaticidade é de g = 21 barras - 2 vezes 12 nós + 4 reações de apoio = 1 vez, mas é uma treliça hipostática.
29
UNIDADE 1
Por fim, temos a treliça 1 da Figura 15. Ao analisá-la, teremos 21 barras, 12 nós e quatro reações de apoio, 
assim, é uma estrutura que poderia ser considerada uma vez hiperestática. No entanto, ao imaginarmos 
o comportamento dela, podemos observar que não temos travamentos nos quadros CDJI e EDJK: eles 
podem se movimentar livremente. Observe que os quadros BCHI e EFLK são hiperestáticos e compensam 
a falta de travamento dos quadros CDJI e EDJK, “escondendo” a hiposestaticidade da estrutura.
É importante que você, como futuro(a) engenheiro(a), busque en-
tender o comportamento da estrutura. Mais do que calcular os nú-
meros em uma fórmula, você é responsável por interpretá-los, dar 
significado a eles. Nesta pílula de aprendizagem, aplicaremos alguns 
conceitos já aprendidos sobre grau de hiperestaticidade, trazendo 
a importância de o(a) engenheiro(a) desenvolver um olhar atento à 
estrutura, capaz de identificar seu comportamento.
Segundo Kassimali (2015), ao avaliarmos um problema estrutural no espaço, temos seis graus de 
liberdade, isto é, três deslocamentos e três rotações (Figura 16). Assim, para garantir a estabilidade de 
uma estrutura no espaço, precisamos considerar:
Σ Σ
Σ Σ
Σ Σ
Fx Mx
Fy My
Fz Mz
= =
= =
= =
0 0
0 0
0 0
;
;
;
Nessas condições, temos seis equações de equilíbrio para avaliar a estaticidade da estrutura no espaço. No 
caso específico de grelhas, não temos cargas atuantes no plano XY, portanto, o problema fica reduzido a:
Σ
Σ
Σ
Fv
Mx
My
=
=
=
0
0
0
De tal maneira que a estaticidade de uma grelha pode ser calculada pelas equações que já foram citadas, 
considerando, também, três equações de equilibro, embora sejam equações diferentes.
Por exemplo, ao analisar a grelha 1 (Figura 16), temos três reações (Mx , My e Fv ) em D e duas 
reações em E e A (Fve e Fva ), assim, quanto ao grau de hiperestaticidade, teremos g = − =5 3 2
vezes hiperestática. Quanto à grelha 2, teremos três reações em A (Mx , My e Fv ) e uma única reação 
no apoio de primeiro gênero (Fvd ), portanto, teremos g = − =4 3 1vez hiperestática.
(1.8)
(1.9)
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6604
30
UNICESUMAR
Em treliças espaciais (Figura 16), o processo de cálculo é semelhante ao de treliças planas (Figu-
ra 11), ou seja, será verificado o equilíbrio do nó, só que a verificação ocorrerá nas três direções 
 (ΣFx = 0 ; ΣFy = 0 e ΣFz = 0 ), de tal forma que teremos três equações por nó.
g R b n= + − 3
Em que: 
• R é o número de reações.
• b é o número de barras. 
• n é o número de nós.
Por exemplo, ao se observar a treliça espacial da Figura 16, notam-se oito reações de apoio, dois 
apoios do tipo móvel — com reações verticais, em z — e dois apoios do tipo fixo — com restrições 
a translações na vertical e horizontal, reações em x, y e z. A treliça tem 24 barras, cada uma com um 
esforço normal, a ser calculado, e tem 10 nós, cada nó com três condições de equilíbrio. Então, o grau 
de hiperestaticidade da treliça é g = + − = − =8 24 3 10 32 30 2. vezes hiperestática.
Figura 15 - Exemplo de estruturas espaciais para análise de hiperestaticidade / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a imagem ilustra três estruturas: a grelha 1 está à esquerda; a grelha 2, ao centro; e uma treliça es-
pacial, à direita. As grelhas são estruturas formadas pela associação de vigas no plano horizontal. Na figura, consideramos o 
plano horizontal como sendo o plano xy. A grelha 1 é formada por duas vigas cruzadas entre si (ACE e BCD), ortogonalmente, 
temos dois apoios do primeiro gênero e um apoio do terceiro gênero, temos ainda uma carga distribuída na vertical para 
baixo. Na grelha 2, temos uma viga balcão, em formato de “L”. Esta viga tem um engaste e um apoio do primeiro gênero, 
ambos suportando uma carga pontual, vertical para baixo, na extremidade da viga. À direita, temos uma treliça espacial, 
com dois apoios do primeiro gênero e dois apoios do segundo gênero — translações em z, em x e em y —, dispostos em 
um formato retangular no plano horizontal. Em cada face desse retângulo, temos um módulo de treliça plana, disposta na 
vertical; no ponto mais alto, os quatro lados são unidos por uma pirâmide. No topo dessa pirâmide, temos uma barra hori-
zontal sustentada por outras duas inclinadas, estas barras sustentam uma caga P concentrada vertical para baixo, projetada 
horizontalmente para fora do corpo da treliça. Temos, então, a treliça espacial representada com 10 nós e com 24 barras. 
As barras ao fundo estão representadas por linhas pontilhadas, e as próximas estão em linhas cheias.(1.10)
31
UNIDADE 1
Justamente por nossas estruturas estarem dispostas em três dimensões no espaço, é necessário avaliar 
sua estabilidade nessas condições. Mesmo que um pórtico ou viga seja hiperestática, ao fazer a análise 
bidimensional, ela pode ser instável lateralmente, isto é, hipostática na direção transversal. 
Esse efeito também é muito comum em treliças, as quais precisam estar travadas e contraventadas 
lateralmente para que possam suportar os esforços para os quais foram projetadas, sem que sofram com 
instabilidades laterais. A Figura 18 mostra uma ponte composta por duas treliças isostáticas planas que 
Descrição da Imagem: a figura mostra o porto de Hamburgo. É possível observar quatro guindastes marítimos brancos em 
um plano mais próximo; ao fundo, é possível observar outros dois conjuntos de guindastes, cada um com seis guindastes 
de coloração vermelha e azul. Ao fundo, é possível observar uma ponte e uma linha de transmissão de eletricidade. Esses 
guindastes são formados por treliças espaciais de aço, eles podem rotacionar seu braço para fazer o içamento das cargas. No 
oceano, mas próximo ao cais, temos dois navios, um carregado e outro praticamente vazio, com apenas três containers visíveis.
Figura 16 – Porto de Hamburgo, exemplo de treliças espaciais / Fonte: Pixabay (2018, on-line).
https://pixabay.com/pt/?utm_source=link-attribution&utm_medium=referral&utm_campaign=image&utm_content=3082070
32
UNICESUMAR
estão contraventadas. O contraventamento é feito nos banzos superiores e inferiores da treliça, para 
que, quando carregada, ela não se mova lateralmente, perdendo sua resistência concebida no projeto.
Figura 17 – Treliças planas isostáticas contraventadas para evitar instabilidade lateral / Fonte: adaptada de Leet et al. (2015).
Descrição da Imagem: a figura mostra, esquematicamente, a estrutura de uma ponte metálica. É possível observar duas 
treliças biapoiadas dispostas na vertical. O tabuleiro está no banzo inferior das treliças e é formado por quatro longarinas, que 
são vigas dispostas paralelas ao eixo longitudinal da ponte travadas por cinco transversinas — dispostas transversalmente, 
alinhadas aos nós das treliças. No banzo inferior e superior, temos estruturas de contraventamento destacadas em cor — o 
restante da figura é preto e branca —, essas estruturas estão em um formato de “X”, conectando os nós da treliça diagonal-
mente no plano horizontal, tanto no banzo superior quanto no banzo inferior..
Longarina
Contraventamento cruzado da
corda inferior, todos os painéis.
Treliça
Chapa de piso assentada em
longarinas não mostradas.Transversinas
Balancim
Diagonal
da treliça
Treliça
Contraventamento cruzado da
corda inferior, todos os painéis.
Contraventamento
do portal
33
UNIDADE 1
O conceito de contraventamento e estabilidade lateral é válido para 
todas as estruturas. A análise, o projeto e o dimensionamento podem 
ser feitos no plano bidimensional, mas é necessário entender o processo 
construtivo e considerar como a estrutura estará disposta no espaço.
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura depende da 
concepção estrutural que o(a) engenheiro(a) teve sobre ela. 
Como já visto, uma estrutura hipostática é instável e não deve 
ser projetada, mas as estruturas isostáticas e hiperestáticas são es-
táveis. Então, como escolher entre hiperestática e isostática? Para 
você poder escolher a melhor concepção para a sua estrutura, 
é fundamental entender as vantagens e desvantagens do uso de 
cada uma. Em estruturas isostáticas, o processo de cálculo é bem 
mais simples do que em estruturas hiperestáticas. Antigamente, 
as contas eram todas realizadas pelo(a) engenheiro(a) calculista, 
e o processo de cálculo de uma estrutura isostática seria mais rá-
pido do que de uma hiperestática. No entanto, hoje em dia, com 
o uso de computadores, a preocupação com o tempo de cálculo 
deixou de existir, mas, ainda assim, uma estrutura hiperestática 
pode ser de interpretação mais complexa, principalmente, para 
um(a) engenheiro(a) inexperiente.
Uma vantagem significativa do uso das estruturas hiperestáticas 
é a possiblidade de homogeneizar os esforços. Em um projeto es-
trutural, grandes esforços significam grande consumo de materiais, 
então, quando o projetista consegue deixar os valores mais próximos 
uns dos outros — ao logo da estrutura —, ele tende a economizar 
material. A Figura 19 mostra o diagrama de momento fletor de 
uma viga isostática e uma viga hiperestática. 
Na viga isostática, o valor do momento fletor positivo é muito su-
perior ao da viga hiperestática, pois a continuidade da viga permite a 
homogeneização dos momentos. Outro efeito significativo da continui-
dade em estruturas é a redução de suas deformações e deslocamentos.
34
UNICESUMAR
Esse efeito ocorre, também, em pórticos, grelhas e treliças, 
geralmente, estruturas hiperestáticas terão os esforços mais 
distribuídos entre suas barras e vínculos, de tal forma que 
sua magnitude tende a ser menor. Contudo, cada caso deve 
ser analisado separadamente pelo projetista, juntamente 
com seu carregamento, específico das condições de con-
torno do projeto. Assim, em um aspecto geral, quando um 
projetista estiver com problemas de deformações excessi-
vas, ou valores muito grandes de momentos, ele pode optar 
por aumentar o grau de hiperestaticidade da estrutura. 
Outra vantagem do uso de estruturas hiperestáticas é a 
possiblidade de redistribuição dos esforços no caso de falha 
de algum elemento. Na execução de uma estrutura, nem 
sempre as cosias ocorrem como planejado, por isso, esse 
é um ponto muito importante a se considerar.
Suponhamos que uma obra foi construída próxima a uma 
adutora de água. No caso dessa adutora apresentar algum 
vazamento e comprometer a fundação da residência, os vín-
culos da estrutura falhariam. Nesse cenário, uma estrutura 
isostática entraria em colapso, ao passo que uma estrutura 
hiperestática pode tentar — em função da sua rigidez e resis-
Figura 18 - Otimização dos momentos com a continuidade da viga, a hiperestaticidade da estrutura permite que ela apresente 
menores deformações e menores momentos máximos quando comparada à viga isostática / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra o diagrama de momento fletor de duas vigas horizontas, as vigas têm quatro vãos e 
cinco apoios. A viga mostrada acima é isostática e descontínua, portanto, o diagrama de momento fletor é apenas positivo, 
representado para baixo, de formato parabólico, de diferentes intensidades. A viga abaixo é hiperestática, com continuidade, 
assim, apresenta picos de momentos negativos sobre os apoios centrais, representados para cima, com isso, os valores de 
momento negativo, representados para baixo, são menores em comparação à viga anterior.
35
UNIDADE 1
tência disponível — redistribuir os esforços para outros apoios que não foram comprometidos. Existem 
outros diversos cenários que podem ocorrer, por exemplo, a excentricidade na execução dos pilares e das 
fundações, colisões, falhas de concretagem, recalques do solo, excesso de sobrecarga, enfim são diversas 
situações que podem provocar o colapso da estrutura. No caso de uma estrutura hiperestática, ainda 
que a estrutura venha a romper, espera-se que seja com deformações mais lentas — capazes de serem 
visualizadas antes do colapso — e de menor magnitude.
Por fim, a principal vantagem de estruturas isostáticas é a possibilidade de pré-fabricação. Esse tipo de 
concepção estrutural é adequado para pré-fabricados e estruturas metálicas, isto é, estruturas montadas no 
local. São estruturas de execução muito rápida, e a conexão entre os elementos é feita de maneira a simplificar 
a montagem, por isso, costumam ser isostáticas. Geralmente, as estruturas hiperestáticas são usadas para 
estruturas moldadas in loco, processo executivo mais lento, mas que garante a solidarização da estrutura.
Existem ligações de pré-moldados e pré-fabricados que garantem a continuidade das estruturas, 
massão ligações que costumam demorar mais tempo para ser executadas e, dessa maneira, acabam 
perdendo a vantagem competitiva desses sistemas construtivos. Entretanto, é evidente que cada obra 
precisa de uma avaliação minuciosa para avaliar qual sistema construtivo e concepção estrutural é mais 
adequada. A Tabela 1 traz um quadro comparativo do uso de estruturas isostáticas e hiperestáticas.
ISOSTÁTICAS HIPERESTÁTICAS
Processo de cálculo Simples Complexo
Deformações Maiores Menores
Redistribuição dos esforços em caso de falhas Não permite Permite
Continuidade e homogeneização dos esforços (pro-
vável economia)
Pode permitir 
(geralmente, não)
Permite
Pré-fabricação Permite
Pode permitir 
(geralmente, não)
Tabela 1 - Comparativo do uso de estruturas isostáticas e hiperestáticas / Fonte: o autor.
Como a estaticidade da estrutura influencia na concepção e decisões 
do projeto estrutural? Em um escritório de projetos, como o(a) enge-
nheiro(a) utiliza esses conceitos a fim de conceber a melhor estrutu-
ra? Quais são as considerações mais importantes ao se utilizar um 
software de projeto estrutural? Confira o podcast intitulado Estrutu-
ras hiperestáticas e isostáticas no dia a dia do projeto estrutural para 
entender um pouco mais desse assunto.
https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/6605
36
UNICESUMAR
Os conceitos de grau de hiperesta-
ticidade e estabilidade são funda-
mentais na formação de qualquer 
engenheiro(a). Mesmo aqueles que 
optam por se especializar na execu-
ção de obra precisam ter a capaci-
dade de olhar para uma estrutura e 
visualizar seu comportamento. Esse 
conceito não se aplica apenas às es-
truturas de concreto, definitivas, 
mas também é aplicado à montagem 
de andaimes, ao transporte vertical 
de cargas, às treliças da grua, ou seja, 
às estruturas provisórias.
Aqueles que optam por trabalhar 
com projetos, muitas vezes, traba-
lham muito com softwares moder-
nos e tendem a confiar neles. Se 
o(a) engenheiro(a) negligenciar os 
conceitos básicos de estabilidade na 
modelagem de uma estrutura, pode 
incorrer em erros, que, muitas vezes, 
não são apontados pelos softwares.
Para tanto, você, como engenhei-
ro(a), precisa olhar para a estrutura 
perguntando como ela se comportará. 
O cálculo do grau de hiperestaticida-
de é um grande aliado, pois permite, 
com uma conta simples, categorizar o 
tipo de comportamento da estrutura. 
Procure sempre avaliar as condições 
de vinculação da estrutura, seja du-
rante a modelagem dos apoios de um 
projeto ou durante a fixação de um 
parabolt. O(A) engenheiro(a) precisa 
visualizar como será a transmissão 
dos esforços entre os elementos.
37
Nesta unidade, conversamos sobre diversos aspectos de estruturas hiperestáticas. Você viu como 
analisar e avaliar a estabilidade de uma estrutura. Aprendeu as diferenças nos comportamentos 
de estruturas hiperestáticas e isostáticas e em quais situações cada uma se adequa melhor. 
Conheceu o conceito de grau de hiperestaticidade e como aplicá-lo em vigas, pórticos e treliças, 
considerando rótulas e estaticidades internas.
Esses conteúdos expandiram seu conhecimento sobre estruturas, e, a fim de fixá-los à sua baga-
gem conceitual, fomentando sua formação profissional, sugiro que você faça um mapa mental 
resumindo os assuntos aqui estudados, relembrando e descrevendo cada detalhe já apresentado.
38
1. Complete as lacunas da conceituação a seguir. 
Estruturas ______________ são aquelas que apresentam a mesma quantida-
de de __________ necessárias ao equilíbrio, isto é, o número de incógnitas é 
__________________ ao número de equações de equilíbrio.
a) Hiperestática, forças, maior.
b) Hipostática, forças, maior.
c) Isostáticas, reações, igual.
d) Isostática, reações, menor.
e) Pseudostática, reações, aparentemente igual.
2. Determine o grau de hiperestaticidade do pórtico a seguir.
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra um pórtico composto por dois pilares que nascem em apoios do segundo 
gênero, pontos A e B. O pilar que nasce no ponto A tem 4 m de comprimento, enquanto o pilar que nasce no ponto 
B é mais curto, com 2 metros. O ponto B está 2 metros acima do ponto A, assim, a barra que conecta esses pilares 
está disposta horizontalmente. A barra horizontal tem um pequeno balanço para o lado esquerdo, e, para o lado 
direito, é continua ao pilar. Logo à direita da conexão viga ao pilar, temos uma rótula, conectando uma barra hori-
zontal a outro apoio do segundo gênero. Temos, ainda, um carregamento distribuído vertical para baixo, aplicado 
na viga até a rótula, e um carregamento vertical para cima de carga concentrada entre a rótula e o outro apoio.
39
a) -1.
b) 0.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
3. Treliças se constituem por barras vinculadas umas às outras por rótulas, resultando 
em uma estrutura de grande eficiência estrutural por trabalhar apenas a compressão. 
Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da estaticidade da treliça da figura. 
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: na figura, temos uma treliça com um apoio do segundo gênero — lado esquerdo — e 
outro do primeiro gênero — lado direito. A treliça tem o banzo inferior disposto horizontalmente, enquanto os 
banzos superiores têm trechos horizontais — centro — inclinados — 1/3 do vão — e quase horizontais próximos 
aos apoios. Ao todo, são cinco módulos, apenas o módulo central é composto por uma diagonal dupla, totalizando 
22 barras e 12 nós.
a) g = -1 hipostática.
b) g = 0 isostática.
c) g = 2 hiperestática.
d) g = 0 hipostática.
e) g = 1 hiperestática.
40
4. Os pórticos são sistemas estruturais obtidos pela conexão rígida entre vigas e pilares. 
São estruturas utilizadas para combater esforços horizontais e verticais. A respeito dos 
pórticos hiperestáticos, avalie o comportamento dos pórticos 1 e 2 ilustrados a seguir.
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra dois pórticos: 1 — à esquerda — e 2 — à direita. Os pórticos são pratica-
mente idênticos, a única distinção entre eles é a posição da rótula. A nomenclatura dos nós segue da esquerda 
para direita, de cima para baixo. O pórtico é composto por duas vigas — barras horizontais —, sendo que a viga 
superior (ABC) está deslocada à esquerda da viga inferior (DEF), e por dois pilares — barras verticais —, sendo 
que um deles (EC) nasce na viga inferior, e outro (GDB) nasce em um apoio de segundo gênero (G). A viga inferior 
se apoia em um dos pilares (D) e em um engaste (F), deslocado à direita do pilar que nasce na viga. Forma-se, 
também, um quadro BCDE. No pórtico 1, a rótula está na junção do pilar da esquerda com a viga superior (B), 
ligando três barras — uma delas em balanço. No pórtico 2, a rótula está na junção da viga inferior com um pilar 
que nasce na viga (E), ligando três barras — uma delas apoiada no engaste. 
Ambos os pórticos são hiperestáticos e apresentam mesmo grau de hiperestaticidade 
pelas formulações, no entanto, um deles apresenta um trecho que, localmente, é hipos-
tático. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o grau de hiperestaticidade 
dos pórticos e a explicação sobre qual trecho é considerado hipostático.
a) 2. O pórtico 2 é hipostático, pois o quadro BCDE pode se abrir em função das solici-
tações.
b) 2. O trecho AB do pórtico 1 é hipostático, pois pode rotacionar livremente em reação 
ao ponto B.
c) 3. A afirmação é equivocada, ambos pórticos são hiperestáticos em todas as regiões.
d) 3. O trecho EF do pórtico 2 é hipostático, pois o engaste em F impede a rotação do 
quadro BCDE.
e) 3. O trecho AB do pórtico 1 é hipostático, pois pode rotacionar livremente em reação 
ao ponto B.
41
5. Trabalhando no controle de qualidade de projeto, você foi convidado(a) a avaliar um proje-
to estrutural de uma residência unifamiliar. Retirou-se um trecho desse projeto, que está 
representado na figura a seguir. A viga V4 tem seção de 12x30 e atravessa a residência de 
fora a fora. Entre os eixos E e F, o projetista previu um rebaixo de 30 cm na viga (12x30 r30),justamente para passagem do esgoto sanitário e do pluvial. Esse desnível quebra a conti-
nuidade da viga e não permite a passagem de momentos fletores dos trechos DE para EF. 
Os demais trechos (BC, CD, DE) são contínuos entre si — permite a passagem de momentos. 
 
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra a planta de formas de baldrames e blocos de uma residência. Temos 
seis eixos verticais (A, B, C, D, E, F) e apenas um eixo horizontal (não nomeado), o qual coincide com a viga V4. 
A viga V4 — seção 12x30, linhas pretas cheias —, disposta horizontalmente, vai do eixo B ao eixo F, apoiada no 
pilar P8, P9, P10, P11 e P12 — retângulos em linhas vermelhas, coincidentes com os eixos. A figura mostra um 
rebaixamento para a viga V4 — seção 12x30 r30, linhas pontilhadas — entre os eixos E (pilar P11) e F (pilar P12), 
onde é possível notar a passagem do esgoto pluvial e sanitário, representados por verticais linhas pontilhadas 
em azul e verde. É possível observar blocos de fundação em cada pilar, representados por linhas pretas de menor 
espessura. A figura registra, ainda, cotas das formas em diversos pontos de interesse.
Considerando que apenas o pilar P8 consegue restringir movimentos verticais e horizon-
tais, enquanto os demais restringem apenas movimentos verticais, e desconsiderando 
eventuais transmissões de momento entre vigas e pilares, pede que se faça o esquema 
estático da viga para avaliar as afirmações a seguir.
I) A viga é hipostática, pois não é capaz de suportar esforços horizontais, uma vez que 
não tem restrições.
II) A viga é hiperestática duas vezes, sendo que essa solução ajuda a homogeneizar os 
momentos e economizar no detalhamento dela.
III) A viga é hiperestática três vezes, sendo que essa solução ajuda a homogeneizar os 
momentos e economizar no detalhamento dela.
IV) Embora seja hiperestática, localmente, o trecho EF é isostático.
42
 Está(ão) correta(s) apenas a(s) afirmativa(s):
a) Está correta a afirmativa I.
b) Está correta a afirmativa II.
c) Estão corretas as afirmativas II e IV.
d) Estão corretas as afirmativas III e IV.
e) Estão corretas as afirmativas I, II e IV.
6. Imagine que, em uma conversa informal, seu amigo Eng. João, que estava executando 
uma obra, pediu-lhe um conselho. João explicou para você que, embora ele já houvesse 
contratado projeto estrutural e geotécnico, ele encontrou muitos problemas de recal-
que nas edificações vizinhas. Com medo do comportamento do solo da região, ele está 
procurando soluções que possam minimizar eventuais danos no caso de as fundações 
falharem. Aponte para seu colega quais soluções estruturais podem ser adotadas nessa 
situação, indique quais termos e soluções ele deve solicitar ao projetista.
2
Nesta segunda unidade, você aprenderá sobre os princípios e teo-
remas básicos que utilizamos para resolver estruturas hiperestá-
ticas. Conheceremos o Princípio dos Trabalhos Virtuais que, pela 
conservação de energia, permite que calculemos a deformação de 
uma estrutura. Conheceremos, também, o Teorema de Castigliano 
e o Princípio da Superposição dos Efeitos. Você entenderá a apli-
cabilidade e limitação desses métodos para solução de estruturas. 
Aplicaremos a superposição dos efeitos e as condições de compati-
bilidade para a resolução de estruturas hiperestáticas. Por fim, esse 
conteúdo é a base conceitual para os Métodos dos Deslocamentos e 
o Método das Forças, que usamos na solução de estruturas, assim, 
é importante que você acompanhe os conceitos ministrados nesta 
unidade. Espero que aproveite. Bons estudos!
Teoremas e Princípios
Me. Gabriel Trindade Caviglione
44
UNICESUMAR
Você já se perguntou como uma estrutura hiperestá-
tica se comporta? Quais são suas deformações? Qual 
é a distribuição dos esforços e das reações dentro 
de um edifício? Como podemos calcular as reações 
de apoio se a estrutura é hiperestática? Quais são os 
princípios gerais que regem as estruturas?
Para garantir a segurança de uma estrutura, é 
necessário entender seu comportamento e calcu-
lar seus esforços corretamente. Para um(a) enge-
nheiro(a) projetar uma estrutura corretamente, 
ele(a) precisa ser capaz de determinar os esforços 
críticos em cada elemento estrutural.
Para entender esses conceitos, quero convidá-
-lo(a) a acompanhar uma situação hipotética. Ima-
gine que você e Aline ajudarão João a transportar 
sua mudança. Eles precisam carregar uma mesa 
muito comprida e pesada. Você, que não queria 
nem ajudar, começa a refletir: em que ponto eu 
devo me posicionar para carregar menos peso?
Tentemos responder essa pergunta com outras 
novas perguntas e algumas reflexões. A distribui-
ção do carregamento depende exatamente do quê? 
• Da força de cada pessoa? 
• Da posição em que cada pessoa se encontra?
• Da rigidez e deformações da mesa?
Como podemos resolver esse problema? Quais 
conceitos de teoria das estruturas podem ser apli-
cados nessa história? 
De início, faremos o diagrama de corpo livre 
da mesa, investigando seu comportamento estru-
tural. Ao observar a Figura 1, podemos perceber 
que não é possível determinar a força que cada 
pessoa exerce, pois temos uma reação sobrando. 
No caso em que a mesa é carregada por apenas 
duas pessoas, é fácil observar que cada uma car-
regaria metade do peso. No caso de duas pessoas 
carregarem a mesa, e uma delas não ter força su-
45
UNIDADE 2
ficiente para suportá-la, a mesa viria ao chão. Já quando temos três pessoas carregando a mesa, caso 
um dos amigos não consiga suportar o carregamento, ele pode simplesmente aliviar a força exercida, e, 
automaticamente, outra pessoa acabará sobrecarregada. Se a mesa for constituída de um tampo muito 
fino, flexível, ele pode se deformar e não ser capaz de redistribuir o esforço ou, até mesmo, romper.
Com isso, conseguimos observar que, no caso de uma mesa sendo carregada, a carga de cada pessoa 
depende da força de cada pessoa e da rigidez da mesa. Analogamente, em uma estrutura hiperestática, 
a reação de apoio depende da rigidez do apoio-viga.
Figura 1 – Transporte de uma mesa com três pessoas, situação análoga a uma viga hiperestática com carregamento distri-
buído / Fonte: o autor
Descrição da Imagem: a figura mostra duas situações em que se carrega uma mesa. À esquerda, com apenas duas pessoas 
posicionadas nos pontos A e C, a mesa se comporta como uma viga biapoiada, que está representada exatamente abaixo. 
Como a mesa está biapoiada, o peso dela deve se dividir igualmente entre as duas reações de apoio. Já na situação à esquerda, 
temos três pessoas carregando a mesa nas posições A, B (ao centro) e C. Analogamente, embaixo, temos a representação de 
uma viga contínua com três apoios. Nessa situação, qual seria a distribuição de cargas para cada reação?
Outra consideração importante é a posição em que cada pessoa está, isto é, a distância entre elas. 
Caso a pessoa do centro, na posição B, esteja mais deslocada à esquerda, ela aliviará a pessoa em 
A e carregará a pessoa em C e vice-versa. Dessa forma, é possível perceber que, naturalmente, o 
apoio central ficará mais carregado.
Agora que sabemos que as reações dependem da distância, da força de cada um e da rigidez da mesa, 
podemos apresentar uma solução conceitualmente. Para avaliarmos o valor de carga de cada pessoa, 
poderíamos remover a pessoa em B, deixando a viga biapoiada, o que causaria uma deformação na 
mesa no ponto B para baixo. Então, avaliemos o quanto de força a pessoa precisa fazer em B para ter 
uma deformação para cima, de tal forma que a soma das deformações seja nula. Ao combinarmos 
essas duas situações, teríamos uma situação análoga à inicial com três amigos carregando uma mesa, 
porém conhecendo a força em B, dessa maneira, é possível calcular a força feita pelos demais amigos.
Usando o seu Diário de Bordo, procure descrever, matematicamente, os conceitos que foram 
citados anteriormente. Como podemos calcular a deformação no centro da viga? Você se lembra da 
46
UNICESUMAR
equação diferencialda elástica? Qual é o valor da deformação no centro? Qual força pontual causaria 
a mesma deformação, mas com sentido oposto? Sugiro que faça desenhos e esquemas mostrando 
os conceitos e ideias envolvidas no cálculo.
Figura 2 - Resumo do conteúdo revisto / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem:a figura mostra um resumo do conteudo. Inicia-se com um questionamento: “Como calcular reações 
em hiperestáticas?” (grifado em azul, com texto em negrito), que é encaminhado por uma seta à classificação de estaticidade: 
hipostática, isostática e hiperestática (grifado em azul). Com uma outra seta, indica-se que faltam equações em estruturas hipe-
restáticas. O que remete à nova pergunta: “Como conseguir mais?” (sublinhado e grifado em amarelo). Abaixo, temos uma viga 
com 4 apoios e uma articulação Gerber. Encaminha-se para “Garantindo que as deformações nos apoios sejam nulas”, o que 
pode ser resolvido pelo principio dos trabalhos virutais, pela equação diferencial da elástica ou por resistência dos materiais.
47
UNIDADE 2
Um dos princípios mais úteis para a solução de estruturas é o Princípio da Superposição dos Efeitos 
(BEER; JONHSTON, 2011). Esse princípio é válido para as condições da viga de Euller-Bernoulli, isto 
é, no campo das pequenas deformações, nas quais as seções permanecem planas após as deformações 
(Figura 3). Nessa situação, que é comum na grande maioria das estruturas que analisamos na Enge-
nharia Civil, os efeitos das ações sobre as estruturas podem ser somados separadamente.
Figura 3 – Seções permanecem planas após as deformações: (a) Antes das deformações; (b) Depois das deformações / Fonte: 
Beer e Jonhston (2011, p. 158, p. 234).
Descrição da Imagem: a figura mostra duas vigas, antes (situação a) e depois da aplicação das forças (situação b). A primeira 
viga é ilustrada por uma vista lateral e uma rede quadriculada, representando a situação antes das forças aplicadas. Ao serem 
aplicados momentos M e M’ nas extremidades direita e esqueda do elemento, ocorre rotação das seções ao redor de um ponto 
C, situado acima da viga. A rede quadriculada passa a representar setores de arco, com encurtamento nas fibras superiores 
e alongamento nas inferiores, mas, ainda assim, as seções permanecem planas — apenas rotacionadas ao redor do ponto 
C. A segunda viga tem um formato cilíndrico, e sua ilustração é tridimensional. Temos uma rede quadriculada ao longo da 
superficie desse cilindro. Na situação (b), temos a aplicação de momentos torsores T e T’ nas extremidades direita e equerda 
do elemento, então, acontece a rotação das seções, ocorrendo distorção nos elmentos quadriculados, mas, ainda assim, as 
seções permanecem planas — apenas rotacionadas ao redor do centro da peça.
Leet et al. (2009, p. 198) apontam que o Princípio da Superposição dos Efeitos determina:
 “
Se uma estrutura se comporta de maneira linearmente elástica, a força ou o desloca-
mento em um ponto específico produzido por um conjunto de cargas atuando simul-
taneamente pode ser avaliado pela soma (superposição) das forças ou deslocamentos 
no ponto específico, produzidos por cada carga do conjunto atuando individualmente.
48
UNICESUMAR
De uma maneira simplista, talvez até imprecisa, podemos dizer que a soma dos efeitos é igual 
às ações dos efeitos somadas independentes, como a propriedade comutativa e associativa na 
Matemática. Isso se torna especialmente interessante quando analisamos estruturas complexas, 
pois podemos dividi-las em estruturas mais simples. Ou seja, podemos sobrepor uma série de 
análises simples para resolver uma situação mais complexa.
Figura 4 – Princípio da Superposição dos Efeitos / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: na figura, temos uma adição, de tal forma que a viga 1 somada à viga 2 é igual à viga 3. A viga 1 tem 
um apoio do tipo engaste à sua esquerda e uma carga P concentrada aplicada à direta, próxima à extremidade livre. A viga 2 
tem um apoio do tipo engaste à sua esquerda e uma carga q distribuída ao longo do comprimento da viga até a extremidade 
livre. A viga 3 é composta pela soma de ambas as vigas anteriores, isto é, ela é engastada e livre com uma carga distribuída q 
ao longo de seu comprimento e uma carga P concentrada, próxima à extremidade livre. Evidencia-se a aplicação do Princípio 
da Superposição dos Efeitos.
Já que os efeitos podem ser somados, é pos-
sível calcular estruturas somando os efeitos 
de cada carregamento separadamente, bas-
ta compor a estrutura em função da super-
posição de estruturas mais simples. Isso se 
torna especialmente interessante quando 
temos estruturas simples e comuns já re-
solvidas, como as vigas notáveis.
As vigas notáveis são vigas com condi-
ções de carregamento e geometria que cos-
tumam se repetir frequentemente. Por serem 
vigas frequentes, muitos(as) engenheiros(as) 
costumam memorizar fórmulas para resol-
ver estruturas desse tipo. Existem tabelas 
mais completas que trazem diversos tipos de 
carregamento, mas, na grande maioria dos 
casos, temos vigas biapoiadas e engastadas e 
livres, com cargas distribuídas e concentra-
das, conforme a Figura 5. A fórmula permite 
que a resolução da viga seja mais ágil, sob 
condições de contorno bem definidas.
49
UNIDADE 2
Consideremos a viga biapoiada com balanço da Figura 6. Sabendo que essa viga é isostática, como você 
faria para descobrir o momento fletor positivo no centro do vão? A solução inicial seria calcular suas 
reações de apoio e, então, descobrir os esforços na estrutura pelo método dos pontos ou das seções. 
Porém, usando o Princípio da Superposição dos Efeitos, é possível resolvê-la de uma maneira mais 
prática. Nós podemos observar que essa viga é uma composição de um trecho biapoiado (AB) e outro 
engastado e livre (BC), ambos com carga distribuída.
Figura 5 – Vigas notáveis que são muito comuns e se repetem com frequência / Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra quatro quadros, cada um com uma viga notável. Da esquerda para a direita, descreve-se: 
o primeiro quadro se refere a uma viga engastada e livre, com uma carga pontual P na extremidade, nessa situação, a reação de 
apoio Ra será igual a P, e o momento será dado por P vezes o comprimento L. No segundo quadro, tem-se uma viga engastada e 
livre, com uma carga distribuída q ao longo do seu comprimento, nessa situação, a reação de apoio Ra será igual a q multiplicado 
pelo comprimento L, e o momento será dado por q vezes o quadrado do comprimento L dividido por 2. No terceiro quadro, 
temos uma viga biapoiada com uma carga concentrada P, distante a do apoio “A” e b do apoio “B”. Nessa situação, a reação em 
a RA será dada por P multiplicado pela distância b dividido pelo comprimento L; e a reação em b Rb será dada por P multiplicado 
pela distância a dividido pelo comprimento L. Ainda referente ao terceiro quadro, o momento máximo será dado por P vezes a 
vezes b dividido pelo comprimento L. No quarto e último quadro, temos uma viga biapoiada com carga distribuída q ao longo 
do comprimento L, nessa situação, as reações de apoio em A e B são iguais e têm valor de q multiplicado pelo comprimento da 
viga dividido por 2. O momento máximo é dado por q vezes o quadrado do comprimento L dividido por 8.
50
UNICESUMAR
Figura 6 – Exemplo de aplicação do Princípio de Superposição dos Efeitos. Obtenção do momento em determinado ponto 
da estrutura sem a necessidade do cálculo das reações de apoio por meio da superposição dos efeitos de vigas notáveis / 
Fonte: o autor.
Descrição da Imagem: a figura mostra três vigas, sendo que a viga 1 é mostrada como a soma das vigas notáveis: viga 2 e viga 
3. A viga 1 é uma viga biapoiada de 6 m, com um balanço único ao lado direito de 2 m. No trecho biapoiado AB, tem-se um carre-
gamento distribuído de q = 8 kN/m e, no trecho BC em balanço, tem-se um carregamento distribuído de q = 12 kN/m. Na viga 2, 
temos o trecho biapoiado isolado, com carregamento de 8 kN/m ao longo de 6 m de comprimento, sendo que o momento máximo 
é dado por ql²/8, que