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CADERNO
DE TESTES
MATEMÁTICA 12
MATEMÁTICA A | 12.º ANO
Luzia Gomes
Daniela Raposo
Testes com estrutura idêntica à do exame
7 testes cumulativos
2 testes globais
Consultor Científico
Filipe Carvalho 
Consultor Pedagógico 
José Maria Antunes
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Apresentação
A m atemática nunca deixa completamente de ser um jogo, embora possa ser muitas outras 
coisas
Miguel de Guzmán
Este Caderno de Testes pretende ser um instrumento de trabalho para os alunos do 12.º ano 
de escolaridade, num ano determinante das suas vidas. Além de nalizar todo um ciclo de 
estudos, é um ano que culmina num exame nacional, e essa, sendo uma preocupação dos 
alunos, dos professores e até dos encarregados de educação, também foi uma atenção 
constante ao longo de todo este caderno.
Mais do que um livro de exercícios, este caderno, simulando momentos de avaliação, con-
tém 9 testes, onde os conteúdos a avaliar vão sempre surgindo de forma cumulativa, sendo 
os dois últimos testes globais. Todos os testes incluem itens de seleção (escolha múltipla) e 
itens de construção que envolvem resolução de problemas, desenvolvimento de raciocínios 
demonstrativos, uso obrigatório de calculadora grá ca e composição, itens de presença 
comum em todos os Exames Nacionais dos últimos anos.
Cada teste contém:
– matriz de conteúdos;
– enunciado com cotações;
– proposta de resolução; 
– critérios especí cos de classi cação;
– exemplos de resposta e proposta de cotação.
É nossa convicção de que os alunos devem ter um papel ativo no seu processo de apren-
dizagem. Assim, cada teste apresenta critérios especí cos de classi cação e exemplos 
de possíveis respostas e proposta de cotação, que pensamos ser uma mais-valia para a 
autoavaliação do aluno, já que permitem um feedback da sua evolução e que motivam os 
alunos para querer ir sempre mais além.
Bom trabalho!
As autoras 
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3
Teste n.º 1 
Matriz ....................................................................................5
Enunciado .............................................................................6
Proposta de resolução ........................................................10
Critérios especí cos de classi cação ................................13
Exemplos de resposta e proposta de cotação ....................17
Teste n.º 2
Matriz ..................................................................................19
Enunciado ...........................................................................20
Proposta de resolução ........................................................24
Critérios especí cos de classi cação ................................27
Exemplos de resposta e proposta de cotação ....................31
Teste n.º 3
Matriz ..................................................................................33
Enunciado ...........................................................................34
Proposta de resolução ........................................................39
Critérios especí cos de classi cação ................................42
Exemplos de resposta e proposta de cotação ....................48
Teste n.º 4
Matriz ..................................................................................49
Enunciado ...........................................................................50
Proposta de resolução ........................................................54
Critérios especí cos de classi cação ................................58
Exemplos de resposta e proposta de cotação ....................65
Teste n.º 5
Matriz ..................................................................................67
Enunciado ...........................................................................68
Proposta de resolução ........................................................73
Critérios especí cos de classi cação ................................77
Exemplos de resposta e proposta de cotação ....................84
Teste n.º 6
Matriz ..................................................................................85
Enunciado ...........................................................................86
Proposta de resolução ........................................................91
Critérios especí cos de classi cação ................................94
Exemplos de resposta e proposta de cotação ....................98
Teste n.º 7
Matriz ..................................................................................99
Enunciado .........................................................................100
Proposta de resolução ......................................................105
Critérios especí cos de classi cação ..............................109
Exemplos de resposta e proposta de cotação ..................112
Teste Global n.º 1
Matriz ................................................................................113
Enunciado .........................................................................114
Proposta de resolução ......................................................119
Critérios especí cos de classi cação ..............................122
Exemplos de resposta e proposta de cotação ..................126
Teste Global n.º 2
Matriz ................................................................................127
Enunciado .........................................................................128
Proposta de resolução ......................................................132
Critérios especí cos de classi cação ..............................136
Exemplos de resposta e proposta de cotação ..................140
Critérios Gerais de Classi cação ......................................141
Formulário .........................................................................144
ÍNDICE
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Matemática 12 | Caderno de Testes
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5
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 1TESTE N.º 1
Matriz
 Duração: 90 minutos
 Tipologia, número de itens e cotação:
 Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição frequencista de probabilidade
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Distribuição de probabilidades
 > Distribuição normal e curva de Gauss
 > Análise combinatória
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 8 15 a 20
Raciocínio 
demonstrativo 1 20
Resposta extensa
(composição) 1 20
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6
Matemática 12 | Caderno de TestesMatemática 12 | Caderno de Testes
Teste n.º 1
Matemática A
 Duração do teste: 90 minutos
 12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
1. Um código é constituído por seis algarismos. Quantos códigos diferentes existem em que o algarismo 
5 aparece exatamente três vezes e os restantes algarismos são diferentes?
 (A) 504 (B) 14 580 (C) 10 080 (D) 14 400
2. Num saco existem vinte bombons, indistinguíveis ao tato: oito de chocolate negro (sendo cinco com recheio 
de licor e três com recheio de morango) e doze de chocolate branco. O Pedro tirou, ao acaso, um bombom 
com recheio de licor e comeu-o. A seguir, a Maria pegou num bombom de chocolate negro.
Qual é a probabilidade de o bombom ser o seu favorito, que é com recheio de morango? 
 (A) 3
7
 (B) 5
8
 * 3
7
 (C) 2
19
 (D) 520 * 
3
19
A
B
C
3. No prisma hexagonal regular da gura estão representados três vértices A, B e C. 
Considere todas as retas distintas que contêm as arestas do prisma.
Qual é a probabilidade de escolhendo ao acaso uma dessas retas esta ser estrita-
mente paralela ao plano ABC?
 (A) 0 (B) 4
9
 (C) 2
9
 (D) 5
9
• Os cincoitens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justi cações.
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7TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de TestesMatemática 12 | Caderno de Testes
4. O Rui pratica salto em comprimento. O seu treinador fez um estudo sobre os resultados obtidos por ele 
no último trimestre e veri cou que o comprimento, medido em metros, é uma variável aleatória bem 
modelada por uma distribuição normal de valor médio 8.
Sabe-se que P(8 < X < 8,2) = 0,4. Para um certo valor de a, tem-se P(X < a) = 0,1. Qual é o valor de a? 
 (A) 8,1 (B) 7,9 (C) 7,6 (D) 7,8
5. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam A, B e C três acon-
tecimentos possíveis de tais que:
• A e B C são acontecimentos equiprováveis e incompatíveis;
• P(B) = 0,45;
• P(C) = 0,35;
• P(B C) = 0,6.
Qual é o valor de P [A (B C)]?
 (A) 0,2 (B) 0,4 (C) 0,65 (D) 0,8
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e todas as justi cações necessárias.
• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. Seja o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois aconte-
cimentos possíveis e não certos. Prove que P(A | B) * P(B) - P(A B) + P(B) = P(A).
2. Numa turma cada aluno tem apenas uma calculadora grá ca. Sabe-se que:
• apenas metade dos alunos trouxe a calculadora para a aula;
• sete em cada dez alunos que trouxeram a calculadora para a aula têm a marca Texas;
• um em cada dez alunos que se esqueceram da calculadora têm a marca Texas.
Escolhe-se, aleatoriamente, um aluno que se sabe ter uma calculadora da marca Texas. 
Qual é a probabilidade de ele não ter trazido a calculadora para a aula?
Apresente o resultado sob a forma de percentagem.
3. São retiradas simultaneamente duas cartas de um baralho de 40 cartas. Por cada Ás que ocorra há um 
prémio de 2 euros. Considere a variável aleatória X, que representa o ganho, em euros, numa jogada.
3.1. Construa uma tabela representativa da distribuição de probabilidades da variável aleatória X. 
Apresente os resultados na forma de fração irredutível.
Nota: Apresente todas as justi cações e todos os cálculos que efetuar na determinação dos valores das proba-
bilidades.
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8
Matemática 12 | Caderno de Testes
3.2. Sendo o valor médio e o desvio-padrão da distribuição, determine P(X > + ).
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
(Se proceder a arredondamentos nos cálculos intermédios, utilize no mínimo duas casas decimais.) 
NOTA: Caso não tenha conseguido resolver a alínea anterior, considere a seguinte distribuição de probabilida-
des para X:
xi 0 1 2
P(X = xi)
101
130
28
130
1
130
4. Considere o seguinte problema:
Um baralho de cartas completo é constituído por cinquenta e duas cartas, repartidas por quatro naipes 
de treze cartas cada: espadas, copas, ouros e paus. De um baralho completo extraem-se, sucessiva-
mente e sem reposição, cinco cartas.
Qual é a probabilidade de haver apenas quatro cartas do naipe de espadas?
Apresentam-se, de seguida, duas respostas a este problema.
Resposta I: 30 * 
13C4 * 5!
52A5
 Resposta II: 
39A1 * 13A4
52A5
Apenas uma das respostas está correta.
Elabore uma composição na qual:
• identi que a resposta correta;
• explique um raciocínio que conduza à resposta correta;
• proponha uma alteração na expressão correspondente à resposta incorreta, de modo a torná-la correta;
• explique, no contexto do problema, a razão da alteração proposta.
5. Sete automóveis diferentes estão estacionados num parque de estacionamento de dez lugares que tem 
o seguinte aspeto: 
5.1. Quantas são as maneiras possíveis de estacionar? 
5.2. O Nuno, um oitavo automobilista, pretende estacionar de modo a que o seu automóvel não tenha 
automóveis ao lado. 
Quantas são as diferentes con gurações que permitem satisfazer a vontade do Nuno?
6. Numa turma com vinte alunos, com mais raparigas do que rapazes, o número de comissões diferentes, 
para organizar um jantar de Natal, que é possível formar com dois alunos do mesmo sexo é 91.
Determina o número de rapazes da turma.
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 Matemática 12 | Caderno de Tarefas
9
Cotações 
Grupo I ..................................................................................................................................................... 50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 20
2. .......................................................................................................................................... 20
3. .......................................................................................................................................... 40
3.1. .................................................................................................................... 25
3.2. .................................................................................................................... 15
4. .......................................................................................................................................... 20
5. .......................................................................................................................................... 30
5.1. .................................................................................................................... 15
5.2. .................................................................................................................... 15
6. .......................................................................................................................................... 20
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
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Matemática 12 | Caderno de Testes
10
Proposta de resolução
GRUPO I
1. 5
1
 
*
 5
1
 
*
 5
1
 
*
 
9
 
*
 
8
 
*
 
7
 
*
 6C3 = 10 080 
 códigos diferentes
Resposta (C)
2. Sabendo que o Pedro já comeu um bombom 
com recheio de licor, sabe-se que apenas res-
tam sete bombons de chocolate negro, dos 
quais quatro são de licor e três são de recheio 
de morango. Como, após isso, a Maria reti-
rou um bombom que era de chocolate negro, 
então a probabilidade de esse bombom ter 
recheio de morango é de 3
7
.
Resposta (A)
3. As retas distintas que contêm as arestas do 
prisma são dezoito; dentro destas existem oito 
que são estritamente paralelas ao plano ABC.
A
B
C
Assim, o valor da probabilidade pedida é 8
18
 = 
4
9
.
Resposta (B)
4. Esquematicamente, tem-se:
Resposta (D)
5. Sabe-se que:
P(B C) = P(B)+ P(C)- P(B C)
Logo: 
0,6 = 0,45+ 0,35- P(B C)
§ P(B C) = 0,2
Como A e B C são acontecimentosequipro-
váveis e incompatíveis vem que:
P A (B C)[ ] = P(A)+ P(B C) = 0,2+ 0,2 = 0,4
Resposta (B)
GRUPO II
1. P A | B( )* P(B)- P(A B)+ P(B)
=
P A B( )
P(B) * P(B)- P(A B)+ P(B)
= P A B( )- P(A B)+ P(B)
=1- P(A B)- P(A B)+ P(B)
=1- P(A)- P(B)+ P(A B)- P(A B)+ P(B)
=1- P(A)
= P A( ) c.q.d.
2. Considere os acontecimentos:
A: “o aluno tem a calculadora na aula”
T: “o aluno tem uma calculadora da marca 
Texas”
Sabe-se que:
• P(A) = 1
2
• P T | A( ) = 7
10
• P T | A( ) = 110
0,1 0,1
0,4 0,4
7,8 8 8,2
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11TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
Pretende-se determinar P(A | T).
Com os dados do enunciado, tem-se que:
• P(T |A) = 7
10
§
P(T A)
P(A) = 0,7
§
P(T A)
0,5
= 0,7
§ P(T A) = 0,7* 0,5
§ P(T A) = 0,35
• P T |A( ) = 110 §
P T A( )
P A( )
= 0,1
§
P T A( )
0,5
= 0,1
§ P T A( ) = 0,1* 0,5
§ P T A( ) = 0,05
Organizando os dados numa tabela, obtém-se:
T T Total
A 0,35 0,5
A 0,05 0,5
Total 0,4 1
Cálculo auxiliar:
P(T) = P(T A) + P(T A) 
 = 0,35 + 0,05 = 0,4
Da tabela, vem que:
P A |T( ) =
P T A( )
P(T )
=
0,05
0,4
= 0,125
Assim, P A |T( ) =12,5%.
3. 
3.1. São retiradas simultaneamente duas cartas 
de um baralho de 40 cartas. Por cada Ás que 
ocorra há um prémio de 2 euros. Sendo que 
a variável aleatória X representa o ganho, 
em euros, numa jogada, então X pode assu-
mir os valores 0, 2 e 4, que correspondem à 
saída de 0, 1 ou 2 ases respetivamente.
Logo:
P(X = 0) =
36C2
40C2
=
630
780
=
21
26
P(X = 2) = 4 *
36C1
40C2
=
144
780
=
12
65
P(X = 4) =
4C2
40C2
=
6
780
=
1
130
Assim, a tabela de distribuição de probabili-
dades da variável aleatória X é:
xi 0 2 4
P(X = xi)
21
26
12
65
1
130
3.2. = 0* 21
26
+ 2* 12
65
+ 4* 1
130
= 0,4
= 0* 21
26
- 0,4
2
+ 2* 12
65
- 0,4
2
+
+ 4* 1
130
- 0,4
2
0,84
Assim, como se pretende o cálculo de 
P(X > + ), tem-se que:
P X > 0,4+ 0,84( ) = P X >1,24( )
= P X = 2( )+ P X = 4( )
=
12
65
+
1
130
=
25
130
=
5
26
4. A resposta correta é a I.
Segundo a regra de Laplace, a probabilidade 
de um acontecimento é igual ao quociente 
entre o número de casos favoráveis a esse 
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12
Matemática 12 | Caderno de Testes
acontecimento e o número de casos possí-
veis, quando os acontecimentos elementares 
são equiprováveis.
Assim, a resposta I apresenta como casos 
possíveis 52A5, já que existem 
52A5 maneiras 
diferentes de se extrair, sucessivamente e sem 
reposição, cinco cartas de um baralho de cin-
quenta e duas cartas.
Os casos favoráveis são 39 * 13C4 * 5!, pois 
existem 39 maneiras diferentes de escolher 
uma carta que não seja do naipe de espadas, 
e por cada uma destas maneiras existem 13C4 
maneiras de formar conjuntos de quatro cartas 
do naipe de espadas; por cada um destes con-
juntos (cinco cartas sendo apenas quatro do 
naipe de espadas) existem 5! maneiras dife-
rentes de as cartas se encontrarem ordenadas.
A resposta II caria correta se o número de 
casos favoráveis alterasse para 39A1 * 
13A4 * 5, 
pois existem 39A1 maneiras diferentes de esco-
lher uma carta que não seja do naipe de espa-
das; por cada uma destas maneiras existem 
13A4 maneiras diferentes de se extrair, suces-
sivamente e sem reposição, quatro cartas, de 
entre as treze existentes do naipe de espadas, 
e por cada um destes casos existem cinco for-
mas de posicionar a carta que não é do naipe 
de espadas.
5. 
5.1. 10A7 = 604 800 maneiras
5.2. Existem dois tipos de casos diferentes:
• ou o Nuno estaciona no primeiro ou no último 
lugar e, assim, existem 2 * 8A7 maneiras de 
o fazer;
T X
• ou o Nuno estaciona em qualquer um dos 
oito lugares que não os dos extremos e, 
assim, existem 8 * 7! maneiras de o fazer. 
T TX
Assim, existem 2 * 8A7 + 8 * 7! = 120 960 
con gurações que permitem satisfazer a von-
tade do Nuno.
6. Seja n o número de rapazes da turma. Pre-
tende-se determinar n tal que:
nC2 +
20-nC2 = 91
§
n!
n- 2( )!2!
+
20- n( )!
18- n( )!2!
= 91
§
n n -1( ) n - 2( )!
n - 2( )! 2
+
20 - n( ) 19 - n( ) 18 - n( )!
18 - n( )! 2
= 91
§
n n-1( )
2
+
20- n( ) 19- n( )
2
= 91
§
n2 - n+ 380- 20n-19n+ n2
2
= 91
§
2n2 - 40n+ 380
2
= 91
§ n2 - 20n+190 = 91
§ n2 - 20n+ 99 = 0
§ n = 20 ¿ (-20)
2
- 4* 99
2
§ n = 20 ¿ 2
2
§ n =11 › n = 9
A turma tem nove rapazes, pois sabe-se 
que a turma tem mais raparigas do que 
rapazes.
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13TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
Critérios especí cos de classi cação 
 GRUPO I
Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas C A B D B
GRUPO II
1. .................................................................................................................................................. 20 pontos
A resolução desta questão envolve a utilização de:
• de nição de probabilidade condicionada;
• leis de De Morgan;
• relação da probabilidade de um acontecimento com a do seu contrário;
• probabilidade da reunião de acontecimentos.
A classi cação a atribuir deve estar de acordo com o seguinte critério:
O aluno prova corretamente o pretendido ............................................................................20 pontos
O aluno utiliza corretamente os quatro itens mas não prova o pretendido ..........................14 pontos
O aluno utiliza corretamente apenas três itens ....................................................................10 pontos
O aluno utiliza corretamente apenas dois itens......................................................................6 pontos
O aluno utiliza corretamente apenas um item ........................................................................2 pontos
2. .................................................................................................................................................. 20 pontos
No que se segue, vamos designar por A o acontecimento “o aluno ter a calculadora na aula” e por T o 
acontecimento “o aluno ter uma calculadora da marca Texas”.
 Escrever P(A) = 1
2
 ......................................................................................................................... 2 pontos
Interpretar P(T | A) = 7
10
 ................................................................................................................. 2 pontos
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14
Matemática 12 | Caderno de Testes
Interpretar P(T | A) = 1
10
 .................................................................................................................. 2 pontos
Calcular P(T A) .............................................................................................................................4 pontos
Calcular P(T A) ..............................................................................................................................4 pontos
Calcular P(T ) ................................................................................................................................... 2 pontos
Reconhecer o pedido: P(A | T) .......................................................................................................... 2 pontos
Calcular P(A | T ) apresentando o resultado na forma pedida ........................................................... 2 pontos
Nota: 
Se os valores obtidos forem apresentados numa tabela ou diagrama em árvore, as etapas deverão ser 
pontuadas segundo procedimentos análogos aos apresentados.
3. 
3.1. ............................................................................................................................................... 25 pontos
Indicar os valores que a variável aleatória X pode tomar ............................................................... 6 pontos
Calcular a probabilidade de cada um dos valores davariável ........ (6 + 6 + 6) (ver nota) ............ 18 pontos
Apresentar a tabela de distribuição de probabilidades ......................................................................1 ponto
Nota: 
A classi cação a atribuir a cada valor correto da probabilidade não apresentado na forma de fração irredu-
tível deve ser desvalorizada em 1 ponto.
3.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Determinar o valor correto de ....................................................................................................... 4 pontos
Determinar o valor correto de ....................................................................................................... 4 pontos
Substituir os valores obtidos de e em P (X > + ) .................................................................. 2 pontos
Determinar o valor de P (X > + ) na forma pedida ..................................................................... 5 pontos
4. .................................................................................................................................................. 20 pontos
A composição deve contemplar os pontos seguintes:
A) Identi cação da resposta correta.
B) Explicação do raciocínio que conduz à resposta correta.
C) Proposta de alteração na expressão da resposta incorreta, de modo a torná-la correta.
D) Explicação, no contexto do problema, da razão da alteração proposta.
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15TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
A composição contempla corretamente os quatro pontos (ver nota) ................................ 20 pontos
A composição contempla corretamente apenas três pontos .............................................. 15 pontos
A composição contempla corretamente apenas dois pontos ..............................................10 pontos
A composição contempla corretamente apenas um ponto ....................................................5 pontos
Nota:
Se o aluno apresentar corretamente os pontos B, C e D, considera-se que identi cou a resposta correta e 
portanto o ponto A está contemplado.
5.
5.1. ................................................................................................................................................15 pontos
Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................. 13 pontos
Calcular o valor pedido (ver nota 2) ................................................................................................ 2 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, e a pontuação 
a atribuir em cada caso:
10A7 (ou equivalente) ..................................................................................................................... 13 pontos
7! (ou equivalente) ............................................................................................................................ 7 pontos
10C7 (ou equivalente)........................................................................................................................ 5 pontos
Outras situações............................................................................................................................... 0 pontos
Nota 2
A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o resultado estiver de acordo com a expressão 
escrita pelo aluno, e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos.
5.2. ................................................................................................................................................15 pontos
Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................. 13 pontos
Calcular o valor pedido (ver nota 2) ................................................................................................ 2 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, e a pontuação 
a atribuir em cada caso:
2 * 8A7 + 8 * 7! (ou equivalente) .................................................................................................... 13 pontos
2 * 8A7 (ou equivalente) ................................................................................................................... 7 pontos
8 * 7! (ou equivalente) ..................................................................................................................... 7 pontos
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16
Matemática 12 | Caderno de Testes
8A7 (ou equivalente) ........................................................................................................................ 3 pontos
7! (ou equivalente) ........................................................................................................................... 3 pontos
Outras situações .............................................................................................................................. 0 pontos
Nota 2
A pontuação relativa a esta etapa só pode ser atribuída se o resultado estiver de acordo com a expressão 
escrita pelo aluno, e se essa expressão não tiver sido pontuada com zero pontos.
6. .................................................................................................................................................. 20 pontos
Equacionar o problema .................................................................................................................... 6 pontos
Resolver a equação........................................................................................................................ 10 pontos
Desenvolver nC2 .....................................................................................................................2 pontos
Desenvolver 20 – nC2 ..............................................................................................................2 pontos
Obter n2 - 20n + 99 = 0 ..........................................................................................................4 pontos
Obter n = 9 › n = 11 ...............................................................................................................2 pontos
Concluir no contexto do problema .................................................................................................... 4 pontos
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17TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
1. P A | B( )* P B( )- P A B( )+ P B( )
=
P A B( )
P B( )
* P B( )- P A B( )+ P B( )
= P A B( )- P A B( )+ P B( )
=1- P A B( )- P A B( )+ P B( )
=1- P A( )- P B( )+ P A B( )- P A B( )+ P B( )
= P A( )+ P A B( )- P A B( )
Observa-se que o aluno utiliza erradamente a 
de nição de probabilidade condicionada mas, de 
acordo com o erro, utiliza corretamente uma das 
leis de De Morgan, a relação da probabilidade 
de um acontecimento com a do seu contrário e 
a probabilidade da reunião de acontecimentos.
O aluno utiliza corretamente apenas três itens.
Cotação a atribuir ..........................10 pontos
3.
3.1. Só podem sair 0, 1 ou 2 ases numa extração 
de duas cartas de um baralho de 40 cartas.
Assim:
P(X = 0) =
36C2
40C2
=
630
780
P(X =1) = 4*
36 C1
40C2
=
144
780
P(X = 2) =
4C2
40C2
=
6
780
Assim:
xi 0 1 2
P(X = xi)
630
780
144
780
6
780
O aluno não indica corretamente os valores 
que a variável aleatória X pode tomar mas cal-
cula corretamente os valores das probabilida-
des pretendidos, apesar de não os apresentar 
na forma de fração irredutível.
Cotação a atribuir ...... 16 (0 + 15 + 1) pontos
4. A resposta correta é aquela onde aparece 
como número de casos possíveis 52A5, já que 
existem 52A5 maneiras diferentes de se extrair, 
sucessivamente e sem reposição,cinco cartas 
de um baralho de cinquenta e duas cartas. 
Os casos favoráveis são 39 * 13C4 * 5!, pois 
existem 39 maneiras diferentes de escolher 
uma carta que não seja do naipe de espadas, 
e por cada uma destas maneiras existem 13C4 
maneiras de formar conjuntos de quatro car-
tas do naipe de espadas; por cada um destes 
conjuntos (cinco cartas sendo apenas quatro 
do naipe de espadas) existem 5! maneiras 
diferentes de as cartas se encontrarem orde-
nadas.
A outra resposta caria correta se o número de 
casos favoráveis alterasse para 39A1 * 
13A4 * 5!, 
pois existem 39A1 maneiras diferentes de esco-
lher uma carta que não seja do naipe de espa-
das; por cada uma destas maneiras existem 
13A4 maneiras diferentes de se extrair, suces-
sivamente e sem reposição, quatro cartas de 
entre as treze existentes do naipe de espadas 
e por cada um destes casos existem 5! manei-
ras de as cinco cartas permutarem entre si.
Nesta composição, o aluno explica correta-
mente o raciocínio que conduz à resposta 
correta, apesar de não a identi car explicita-
mente, percebe-se pelo texto que considera 
como correta a resposta I.
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18
Matemática 12 | Caderno de Testes
Propõe uma alteração na expressão da res-
posta incorreta, mas que não a torna correta, 
e portanto a razão da alteração proposta não 
é válida. 
A composição contempla corretamente ape-
nas dois pontos.
Cotação a atribuir ..........................10 pontos
6. Seja r o número de rapazes da turma e m o 
número de raparigas, onde r + m = 20.
r C2 +
mC2 = 91
§
r(r 1)
2
+
m (m 1)
2
= 91
§
r2 - r + m2 - m
2
= 91
§ r2 - r + m2 - m-182 = 0
O aluno equaciona corretamente o problema e 
desenvolve as duas expressões que envolvem 
combinações corretamente, embora o desen-
volvimento de mC2 em vez de 
20 - nC2 tenha 
diminuído o grau de di culdade. Obtém, ainda, 
uma expressão do 2.º grau mas com duas 
incógnitas e, portanto, também se veri ca uma 
diminuição do grau de di culdade nesta etapa.
Cotação a atribuir ..... 11 (6 + 2 + 1 + 2) pontos
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19
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 2
 Duração: 90 minutos
 Tipologia, número de itens e cotação:
 Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição frequencista de probabilidade
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Distribuição de probabilidades
 > Distribuição normal e curva de Gauss
 > Análise combinatória
 > Triângulo de Pascal
 > Binómio de Newton
 > Modelo binomial
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 5 15 a 20
Raciocínio 
demonstrativo 2 20
Resposta extensa
(composição) 1 20
Matriz
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20
Matemática 12 | Caderno de Testes
1. Uma determinada operadora de telemóveis realizou uma sondagem sobre o consumo mensal de minu-
tos dos seus clientes. Admita que o número de minutos gastos é uma variável aleatória que é bem 
modelada por uma distribuição normal de valor médio igual a 150. 
Em relação aos inquiridos, pode a rmar-se que são equiprováveis os acontecimentos:
(A) “gastam mais de 120 minutos” e “gastam menos de 150 minutos”.
(B) “gastam mais de 120 minutos” e “gastam menos de 180 minutos”.
(C) “gastam mais de 150 minutos” e “gastam menos de 180 minutos”.
(D) “gastam mais de 150 minutos” e “gastam menos de 190 minutos”.
2. Escolhido aleatoriamente um elemento da linha n do triângulo de Pascal, a probabilidade de esse ele-
mento ser igual a 1 é 1
10
.
O valor de n é:
 (A) 10 (B) 19 (C) 20 (D) 9
Teste n.º 2
Matemática A
 Duração do teste: 90 minutos
 12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justi cações.
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21
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 2
3. Numa noite sete amigos decidiram ir ao cinema juntos. Cada um escolheu, ao acaso, um de entre os 
sete lmes em exibição. A probabilidade de quatro quaisquer amigos escolherem o mesmo lme e os 
restantes escolherem três lmes diferentes é:
 (A) 600
75
 (B) 120
76
 (C) 150
74
 (D) 600
76
4. Na gura estão representadas oito chas de um jogo, numeradas de 1 a 8.
1 2 3 4 5 6 7 8
Escolhe-se, ao acaso, uma dessas chas e o número nela inscrito. 
Considera os seguintes acontecimentos associados a esta experiência aleatória:
A: “o número da cha escolhida é um número primo” B: “a cha escolhida é um triângulo”
Qual é o valor da probabilidade condicionada P(A | B)?
 (A) 1
8
 (B) 3
4
 (C) 2
3
 (D) 1
2
5. A estatística revela que o futebolista Tó Pé Rápido falha 20% dos lances de grande penalidade que 
executa. Num treino, ele vai executar uma série de seis grandes penalidades. 
Qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a 1 - 0,86 - 6C5 * 0,8
5 * 0,2?
(A) O Tó Pé Rápido concretiza pelo menos quatro grandes penalidades.
(B) O Tó Pé Rápido concretiza pelo menos cinco grandes penalidades.
(C) O Tó Pé Rápido concretiza no máximo quatro grandes penalidades.
(D) O Tó Pé Rápido concretiza no máximo cinco grandes penalidades.
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e todas as justi cações necessárias.
• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. A Clara apenas confeciona bolos com dois recheios: chocolate ou morango. A quantidade de bolos com 
recheio de chocolate que confeciona é o quádruplo da quantidade de bolos com recheio de morango. Da 
sua experiência, sabe-se que 10% dos bolos com recheio de chocolate e 15% dos bolos com recheio de 
morango apresentam peso signi cativamente inferior ao estabelecido.
Suponha que encomendou à Clara um bolo e veri cou em casa que pesava bastante menos do que o 
indicado. Qual é a probabilidade de ele ter recheio de morango?
Apresente a resposta sob a forma de percentagem arredondada às unidades.
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22
Matemática 12 | Caderno de Testes
2. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois aconte-
cimentos (A ƒ e B ƒ ), ambos com probabilidade diferente de zero.
Prove que:
P(A B)< P(A | B)* P(B)§ P(A)< P(A | B)
3. Num saco estão dezasseis bolas numeradas, de duas cores diferentes, de igual tamanho e textura, 
indistinguíveis ao tato. Das dezasseis bolas do saco, dez bolas são azuis e seis bolas são vermelhas.
3.1. Suponha que se retiraram, sucessivamente, todas as bolas do saco, e se colocaram numa la.
Determine a probabilidade de as bolas azuis carem juntas.
Apresente o resultado na forma de dízima, com 5 casas decimais.
3.2. Suponha agora que se retiram do saco, simultaneamente, apenas seis bolas. Sabendo que se retiram 
bolas das duas cores, determine a probabilidade de se retirar mais bolas azuis do que bolas vermelhas. 
Apresente o resultado na forma de dízima, aproximada às décimas.
4. Considere o seguinte problema:
Quantos números naturais ímpares inferiores a 1000 não têm dois algarismos iguais?
Uma resposta correta a este problema é 5 + 8 * 5 + 82 * 5.
Numa composição, explica porquê.
5. Na gura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um prisma hexagonal 
regular [ABCDEFOPQRST]. 
Sabe-se que:
• a base inferior do prisma está contida no planoxOy;
• o eixo Oy contém a aresta [OP];
• o eixo Oz contém a aresta [OA].
5.1. Escolhe-se, ao acaso, uma aresta do prisma perpendicular ao eixo Oz.
Qual é a probabilidade de essa aresta ser estritamente paralela ao eixo Oy? 
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
5.2. Os pontos assinalados são os vértices do polígono. Considere agora que se 
assinalam outros n (n å ) pontos na face [ABPO] de maneira a que nunca 
haja três pontos colineares. Escolhem-se, ao acaso, três dos pontos dessa 
face.
Mostre que a probabilidade de ser construído um triângulo em que o ponto A não seja um dos vértices 
é igual a n + 1
n + 4
.
6. No desenvolvimento de 2x - 1
x2
10
, uma das parcelas é 2kx -5, sendo k uma constante. 
Determine o valor de k.
z
x
y
A B
C
DE
F
O P
Q
RS
T
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 Matemática 12 | Caderno de Tarefas
23
Cotações
Grupo I ..................................................................................................................................................... 50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 20
2. .......................................................................................................................................... 20
3. .......................................................................................................................................... 35
3.1. .................................................................................................................... 15
3.2. .................................................................................................................... 20
4. .......................................................................................................................................... 20
5. .......................................................................................................................................... 35
5.1. .................................................................................................................... 15
5.2. .................................................................................................................... 20
6. .......................................................................................................................................... 20
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
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Matemática 12 | Caderno de Testes
24
Proposta de resolução
GRUPO I
1. X: “número de minutos gastos pelos clientes de 
determinada operadora”
X}N (150, )
120 150
120 150 180
180150
190150
P(X >120)> P(X <150)
P(X >120) = P(X <180)
P X >150( ) < P X <180( )
 P X >150( ) < P X <190( )
Resposta (B)
2. Considere a linha n do triângulo de Pascal. Sabe-
-se que tem (n + 1) elementos, dos quais dois 
elementos são iguais a um. Assim, P("escolher 
o número um") = 2
n + 1
 , ou seja:
 2
n+1
=
1
10
§ 20 = n +1§ n =19
Resposta (B)
3. O número de casos possíveis é 77, pois cada 
um dos sete amigos tem sete possibilidades 
diferentes de escolha. 
O número de casos favoráveis é 7C4 * 7 * 6 * 5 
* 4, pois 7C4 é o número de maneiras distintas 
de escolher quem são os quatro amigos que 
escolhem o mesmo lme; por cada uma destas 
maneiras existem sete possibilidades distintas 
para o lme escolhido pelos quatro amigos; 
e por cada uma dessas maneiras existem, 
ainda, 6 * 5 * 4 maneiras distintas de os três 
restantes amigos escolherem ordenadamente 
três lmes distintos.
Assim, a probabilidade pedida é:
7C4 * 7* 6* 5* 4
77
=
35* 7* 6* 5* 4
77
=
35* 6* 5* 4
76
=
7* 5* 6* 5* 4
76
=
5* 6* 5* 4
75
=
600
75
Resposta (A)
4. P(A | B) representa a probabilidade de o número 
da cha escolhida ser um número primo saben-
do que a cha escolhida não é um triângulo. 
Ora, admitindo que a cha escolhida não é um 
triângulo existem 6 casos possíveis, e desses 
apenas 3 são números primos (2, 3 e 7).
Assim, P(A | B) = 3
6
 = 1
2
.
Resposta (D)
5. O Tó Pé Rápido falha 20% das grandes penali-
dades que executa. Portanto, ao executar uma 
grande penalidade, a probabilidade de a con-
cretizar é igual a 0,8.
Mat 12-caderno testes_1.indd 24 12/03/16 15:57
25
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 2
Numa série de seis grandes penalidades, tem-se:
• 0,86 é a probabilidade de o Tó Pé Rápido 
concretizar as seis grandes penalidades.
• 6C5 * 0,8
5 * 0,2 é a probabilidade de o Tó Pé 
Rápido concretizar cinco grandes penalidades.
Assim, 0,86 + 6C5 * 0,8
5 * 0,2 é a probabilidade 
de o Tó Pé Rápido concretizar pelo menos cinco 
grandes penalidades e 1 (0,86 + 6C5 * 0,8
5 * 0,2) 
é a probabilidade do acontecimento contrário 
deste. Isto é, 1 - 0,86 - 6C5 * 0,8
5 * 0,2 é a pro-
babilidade de o Tó Pé Rápido concretizar no 
máximo quatro grandes penalidades.
Resposta (C)
GRUPO II
1. Considere os acontecimentos:
C: “o bolo ter recheio de chocolate”
M: “o bolo ter recheio de morango”
I: “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”
Sabe-se que:
• P(C) = 4P(M ) e P(C)+ P(M ) =1, ou seja:
4P(M )+ P(M ) =1§ 5P(M ) =1
§ P(M ) = 0,2
P(C) = 4* 0,2 = 0,8
•P(I | C) = 0,1§ P(I C)
P(C) = 0,1
§
P(I C)
0,8
= 0,1§ P(I C) = 0,1* 0,8
§ P(I C) = 0,08
•P(I | M ) = 0,15 § P(I M )
P(M ) = 0,15
§
P(I M )
0,2
= 0,15 § P(I M ) = 0,15* 0,2
§ P(I M ) = 0,03
Organizando os dados numa tabela, obtém-se:
C M Total
I 0,08 0,03 0,11
I 
Total 0,8 0,2 1
Cálculo auxiliar: P(I) = P(I C) + P(I M) 
= 0,08 + 0,03 = 0,11
Pretende-se determinar:
P(M | I ) = P(M I )
P(I ) =
0,03
0,11
) 0,27
Assim, P(M | I ) ) 27% .
2. A , B , P(B) 0 0
P A B( ) < P A | B( )* P B( )
§ P(A)- P(A B)< P(A | B)* 1 P(B)[ ]
§ P(A)- P(A B)< P(A | B)- P(A | B)* P(B)
§ P(A)- P(A B)< P(A | B)- P(A B)
P(B) * P(B)
§ P(A)- P(A B)< P(A | B)- P(A B)
§ P(A)< P(A | B)- P(A B)+ P(A B)
§ P(A)< P(A | B) c.q.d.
3. 
3.1. O número de casos possíveis é 16!.
O número de casos favoráveis é 10! * 6! * 7, 
pois 10! é o número de maneiras de permu-
tar as bolas azuis, 6! é o número de manei-
ras de permutar as bolas vermelhas e 7 é o 
número de maneiras que o bloco das bolas 
azuis pode “percorrer” a la. Assim, a proba-
bilidade pedida é, 10!* 6!* 7
16!
) 0,00087 .
3.2. Admitindo que se retiraram, simultaneamente, 
seis bolas do saco, das duas cores, o número 
de casos possíveis é 16C6 - 
10C6 - 
6C6.
O número de casos favoráveis é:
10C5 *
6C1 + 
10C4 *
6C2
5 vermelhas e 1 azul ou 4 vermelhas e 2 azuis
Assim, a probabilidade pedida é:
10C5 *
6C1 +
10C4 *
6C2
16C6 -
10C6 -
6C6
=
4662
7797
) 0,6
4. Os números ímpares menores do que 1000, com 
os algarismos todos diferentes, podem ter um 
só algarismo, dois algarismos ou três algaris-
mos, possibilidades estas que se excluem mu-
tuamente. Assim, existem 5 números ímpares 
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26
Matemática 12 | Caderno de Testes
menores do que 1000 só com um algarismo 
(1, 3, 5, 7 ou 9); 8 * 5 é o número de números 
ímpares menores do que 1000 só com dois 
algarismos, pois para ser ímpar tem que termi-
nar em número ímpar (1, 3, 5, 7 ou 9) – cinco 
hipóteses, e por cada uma dessas possibili-
dades existem oito números para o algarismo 
das dezenas (não pode ser o algarismoesco-
lhido para as unidades nem o zero); 82 * 5 é o 
número de números ímpares menores do que 
1000 com três algarismos, pois para ser ímpar 
tem que terminar em número ímpar (1, 3, 5, 7 
ou 9) – cinco hipóteses, e por cada uma des-
sas possibilidades existem oito hipóteses para o 
algarismo das centenas (não podem ser o alga-
rismo escolhido para as unidades nem o zero) 
e por cada uma dessas possibilidades existem 
também oito hipóteses para o algarismo das 
dezenas (não podem ser os algarismos escolhi-
dos para as unidades nem para as centenas). 
Logo, 5 + 8 * 5 + 82 * 5 é o número de números 
naturais ímpares inferiores a 1000 que não têm 
dois algarismos iguais.
5. 
5.1. O número de casos possíveis é 12. 
O número de casos favoráveis é 3. Assim, a 
probabilidade pedida é 3
12
 = 1
4
.
5.2. Existem (n + 4) pontos assinalados na face 
[ABPO] sem que haja três pontos colineares.
O número de casos possíveis é:
n + 4C3 =
(n + 4)!
3! (n + 4 - 3)!
=
(n + 4)!
6(n +1)!
=
(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n +1)!
6(n +1)!
=
(n + 4)(n + 3)(n + 2)
6
O número de casos favoráveis é:
n + 3C3 =
(n+ 3)!
3! (n+ 3- 3)! =
(n+ 3)!
6(n)!
=
(n+ 3)(n+ 2)(n+1)(n)!
6(n)! =
(n+ 3)(n+ 2)(n+1)
6
Assim, a probabilidade pedida é:
( n+ 3 )( n+ 2 )( n+1)
6
( n+ 4 )( n+ 3 )( n+ 2 )
6
=
( n+ 3 )( n+ 2 )( n+1)
( n+ 4 )( n+ 3 )( n+ 2 )
=
n+1
n+ 4
c.q.d.
Outra maneira de resolver este exercício seria 
calculando a probabilidade p do ponto A ser um 
dos vértices do triângulo, calculando depois a 
probabilidade do acontecimento contrário 1 – p. 
Neste caso:
Número de casos possíveis: é o mesmo calcu-
lado anteriormente. 
Número de casos favoráveis: n+3C2
P "A a ser um vértice"( ) = 3
n+ 4
1- p =1- 3
n+ 4
=
n+1
n+ 4
c.q.d.
6. Qualquer termo do desenvolvimento de 2x 1
x2
10
 
é do tipo:
10Cp(2x)10 - p * -
1
x2
p
,com p 0,1 ,10{ }
Simpli cando a expressão acima obtém-se:
10Cp(2x)10 - p * -
1
x2
p
10Cp2
10 - p
* x10 p * (-1)p * x-2( )p
= (-1)p * 10Cp *210 - p * x10 p * x 2 p
= (-1)p * 10Cp *210 - p * x10 p 2 p
= (-1)p * 10Cp *210 - p * x10 3 p
Procura-se o termo em x- 5, ou seja, tem de se 
descobrir o valor da constante p para o qual se 
obtém o termo em x– 5:
10- 3 p = -5 §10+ 5 = 3 p §15 = 3 p § p = 5
O termo em x-5 é (-1)5 * 10C5 * 2
5
* x-5
= -252* 32* x-5 = -8064x-5
Logo, 2k = - 8064 § k = - 4032 .
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27
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 2
Critérios especí cos de classi cação 
 GRUPO I
Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas B B A D C
GRUPO II
1. .................................................................................................................................................. 20 pontos
No que se segue, vamos designar por C o acontecimento “o bolo ter recheio de chocolate”, por M o aconte-
cimento “o bolo ter recheio de morango” e por I o acontecimento “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”.
Escrever P(C) = 4P(M) (ou equivalente) .......................................................................................... 2 pontos
Calcular P(M) ................................................................................................................................... 2 pontos
Obter P(C) ..........................................................................................................................................1 ponto
Escrever P(I | C) = 0,1 ...................................................................................................................... 2 pontos
Calcular P(I C) ..............................................................................................................................3 pontos
Escrever P(I | M) = 0,15 ................................................................................................................... 2 pontos
Calcular P(I M) ............................................................................................................................. 3 pontos
Calcular P(I) .................................................................................................................................... 2 pontos
Calcular P(M | I) ...............................................................................................................................3 pontos
2. .................................................................................................................................................. 20 pontos
A resolução deste item envolve a utilização das seguintes propriedades:
• P(A B) = P(A) - (A B);
• P(B) = 1- P(B); 
• Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição;
• P(A | B) = P(A B)P(B) ou P(A B) = P(A | B) * P(B).
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28
Matemática 12 | Caderno de Testes
Descritores do nível de desempenho no domínio especí co da disciplina Pontuação
Níveis
5 O aluno aplica corretamente as quatro propriedades e conclui o pretendido. 20
4
O aluno aplica corretamente as quatro propriedades mas não conclui o 
pretendido.
16
3 O aluno aplica corretamente apenas três propriedades. 12
2 O aluno aplica corretamente apenas duas propriedades. 8
1 O aluno aplica corretamente apenas uma propriedade. 4
3.
3.1. ................................................................................................................................................15 pontos
Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1)............................................................................... 12 pontos
Resultado na forma pedida (P ) 0,00087) (ver nota 2) .................................................................... 3 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva 
classi cação a atribuir.
10! * 6! * 7
16!
 (ou equivalente) .............................................................................................................12 pontos
10! * 6!
16!
 (ou equivalente) ............................................................................................................... 8 pontos
Outras frações próprias com denominador 16! ............................................................................... 5 pontos
Outras situações .............................................................................................................................. 0 pontos
Nota 2
A classi cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi cada com zero 
pontos.
3.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) .............................................................................. 17 pontos
Resultado na forma pedida (P ) 0,6) (ver nota 2) .......................................................................... 3 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva 
classi cação a atribuir.
10C5 *
6C1 +
10C4 *
6C2
16C6-
10C6 -
6C6
 (ou equivalente) .................................................................................. 17 pontos
10C5 *
6C1 +
10C4 *
6C2 +
10C6
16C6-
10C6 -
6C6
(ou equivalente) ........................................................................ 12 pontos
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29
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 2
10C5 *
6C1+
10C4 *
6C2
16C6
 (ou equivalente) ..................................................................................... 7 pontos
Outras situações .............................................................................................................................. 0 pontos
Nota 2
A classi cação relativa aesta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi cada com zero 
pontos.
4. .................................................................................................................................................. 20 pontos
A composição deverá contemplar os seguintes pontos:
• Explicação de 5: o aluno deverá referir que 5 é o número de números ímpares menores do que 1000 só 
com um algarismo.
• Explicação de 8 * 5: o aluno deverá referir que é o número de números ímpares menores do que 1000 
só com dois algarismos.
• Explicação de 82 * 5: o aluno deverá referir que 82 * 5 é o número de números ímpares menores do que 
1000 com três algarismos.
• Explicação de 5 + 8 * 5 + 82 * 5: o aluno deverá referir que a soma representa o número de números 
ímpares menores do que 1000 com os algarismos todos diferentes.
Na tabela seguinte indica-se como deverá ser classi cada a redação. Os níveis 1, 2 e 3 dizem respeito ao 
desempenho na comunicação em língua portuguesa, de acordo com o disposto nos critérios gerais.
Nível 1 Nível 2 Nível 3
A composição contempla corretamente os quatros pontos. 18 19 20
A composição contempla corretamente apenas três pontos. 12 13 14
A composição contempla corretamente apenas dois pontos. 8 9 10
A composição contempla corretamente apenas um ponto. 4 5 6
5.
5.1. ................................................................................................................................................15 pontos
Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) .............................................................................. 12 pontos
Resultado na forma pedida P = 1
4
 (ver nota 2) ........................................................................... 3 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva 
classi cação a atribuir.
3
12
 (ou equivalente) ......................................................................................................................... 12 pontos
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Matemática 12 | Caderno de Testes
4
12
 (ou equivalente) ...................................................................................................................... 8 pontos
Outras frações próprias com denominador 12 ............................................................................ 5 pontos
Outras situações .......................................................................................................................... 0 pontos
Nota 2
A classi cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi cada com zero 
pontos.
5.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos
A resolução deste item deve contemplar os seguintes pontos:
• Expressão que dá o valor do número de casos favoráveis.
• Expressão que dá o valor do número de casos possíveis.
• Expressão que dá o valor da probabilidade pedida.
Na tabela seguinte, indica-se como a resposta a este item deve ser classi cada, de acordo com o respetivo 
nível de desempenho no domínio especí co da disciplina:
Descritores do nível de desempenho no domínio especí co da disciplina Pontuação
Níveis
4 O aluno executa corretamente os três pontos e conclui o pretendido. 20
3 O aluno executa corretamente os três pontos mas não conclui o pretendido. 18
2 O aluno executa corretamente apenas dois pontos. 12
1 O aluno executa corretamente apenas um ponto. 6
6. .................................................................................................................................................. 20 pontos
Escrever a expressão 10Cp(2x)10- p* -
1
x2
p
 ............................................................................... 6 pontos
Obter a expressão (-1)p *10Cp * 210- p * x10 3 p ............................................................................. 6 pontos
Equacionar o problema: 10- 3 p = -5 .............................................................................................. 4 pontos
Determinar o termo em x-5 ............................................................................................................. 2 pontos
Obter o valor de k (-4032) ............................................................................................................... 2 pontos
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31
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 2
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
1. Considere os acontecimentos:
C: “o bolo ter recheio de chocolate”
M: “o bolo ter recheio de morango”
I: “o bolo ter peso inferior ao estabelecido”
Sabe-se que:
• P(C) = 4P(M ) e P(C)+ P(M ) =1, ou seja:
4P(M )+ P(M ) =1§ 5P(M ) =1
§ P(M ) = 0,2
P(C) = 4* 0,2 = 0,8
• P(I C) = 0,1 Errado!
• P(I M) = 0,15 Errado!
Organizando os dados numa tabela, obtém-se:
C M Total
I 0,1 0,15 0,25
I 
Total 0,8 0,2 1
Cálculo auxiliar:
P(I) = P(I C) + P(I M) 
 = 0,1 + 0,15 = 0,25
Pretende-se determinar.
P(M | I ) = P(M I )
P(I ) =
0,15
0,25
= 0,60
Assim, P(M | I ) = 60%
Cotação a atribuir ..........................10 pontos
Nesta resposta o aluno:
• escreve P(C) = 4P(M) (ou equivalente) 2 pontos
• calcula P(M) .....................................2 pontos
• obtém P(C) ........................................1 ponto
• não escreve P(I | C) = 0,1 ................0 pontos
• não calcula P(I C) .........................0 pontos
• não escreve P(I | M) = 0,15 ..............0 pontos
• não calcula P(I M) ........................0 pontos
• calcula P(I) de acordo com os cálculos ante-
riores ..................................................2 pontos
• calcula P(M | I) de acordo com os cálculos 
anteriores ...........................................3 pontos
2. P(A B) < P(A | B) * P(B) 
§ P(A) - P(A B) < P(A | B) * 1 - P(B)
§ P(A) - P(A B) < P(A | B) - P(B)
Cotação a atribuir ............................8 pontos
Esta resolução contempla apenas duas pro-
priedades:
• P(A B) = P(A) - P(A B)
• P(B) = 1 - P(B)
 Repara que um simples erro de esquecimento 
de colocação de parênteses comprometeu 
mais de metade da cotação desta questão.
4. Os números ímpares menores do que 1000, 
com os algarismos todos diferentes, podem ter 
só um algarismo, dois algarismos ou três alga-
rismos. 
Assim, existem cinco números ímpares meno-
res do que 1000 só com um algarismo (1, 3, 5, 
7 ou 9);
8 * 5 é o número de números ímpares menores 
do que 1000 só com dois algarismos;
82 * 5 é o número de números ímpares meno-
res do que 1000 com três algarismos.
Logo, 5 + 8 * 5 + 82 * 5 é o número de números 
naturais ímpares inferiores a 1000 que não 
têm dois algarismos iguais.
Cotação a atribuir .........................10 pontos
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Matemática 12 | Caderno de Testes
Esta resposta contempla corretamente apenas 
dois pontos numa composição bem estrutu-
rada.
• Explicação de 5: o aluno deverá referir que 5 
é o número de números ímpares menores do 
que 1000 só com um algarismo;
• Explicação de 5 + 8 * 5 + 82 * 5: o aluno deverá 
referir que a soma representa o número de 
números ímpares menores do que 1000 com 
os algarismos todos diferentes. 
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Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 3
 Duração: 90 minutos
 Tipologia, número de itens e cotação:
Matriz
 Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Distribuição de probabilidades
 > Distribuição normal e curva de Gauss
 > Análise combinatória
 > Triângulo de Pascal
 > Binómio de Newton
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II
 > Função exponencial de base superiora 1
 > Função logarítmica de base superior a 1
 > Limites 
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 8 15 a 20
Uso obrigatório de 
calculadora grá ca 1 15
Raciocínio 
demonstrativo 1 15
Resposta extensa
(composição) 1 15
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34
Matemática 12 | Caderno de Testes
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justi cações.
Teste n.º 3
Matemática A
 Duração do teste: 90 minutos
 12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
1. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um octaedro.
Qual é a probabilidade de esses dois vértices serem extremos de uma aresta?
 (A) 126C2
 (B) 12
62
 (C) 86C2
 (D) 86A2
2. Sejam a e b dois números naturais tais que a = 2012C20 e b =
2012C21 .
Qual é o valor de a + 2b?
 (A) 2013C20 +
2013C21 (B) 2013C20 +
2012C21
 (C) 2013C21+
2012C21 (D) 
2013C21+
2012C20
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35
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 3
3. Na gura está desenhada parte da representação grá ca de uma função h, 
cujo domínio é \ -1{ } . As retas de equações x = -1 e y = - x são assíntotas
do grá co de f. Seja (xn) a sucessão tal que xn = -1+ ln 1
1
n
, com n .
(ln designa o logaritmo de base e)
Qual é o valor de lim h(xn)?
 (A) 0 (B) - (C) + (D) -1
4. A expressão simpli cada de loga ln ea( ), com a \ 1{ } é:
 (A) 1
2
 (B) - 1
2
 (C) loga e (D) nenhuma das anteriores
5. Observe o grá co. Sabe-se que:
• f (x) = -1 + 2ln x;
• g(x) = e0,5x;
• O é a origem do referencial;
• o ponto A pertence ao grá co de g;
• os pontos B e C pertencem ao grá co de f;
• o ponto C tem a mesma ordenada que o ponto A.
A área do trapézio [OACB] é igual a:
 (A) e (B) e
2
2
 (C) e + e
2
* e (D) e + e
2
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e todas as justi cações necessárias.
• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. Considere as funções f e g de nidas por:
f (x) = log2(x2 - x)- log2(x) e g(x) = -e2x - ex + 7
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolva as seguintes alíneas.
1.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação f (x) ≥ 1. 
Apresente o conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais.
1.2. Determine os valores de x tais que g(x) = f (3).
O-1
y
x
h
O
y
x
g
fA
B
C
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36
Matemática 12 | Caderno de Testes
2. Uma pequena barragem rural está contaminada por uma colónia de bactérias que cresce segundo a lei: 
N (t) =10 000* 2
t
4 , t ≥ 0 , com t em dias
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as alíneas 
seguintes.
2.1. Quantos dias demora a colónia de bactérias a triplicar o seu número inicial? 
Apresente o resultado arredondado às unidades.
2.2. Veri que que para qualquer valor de t, N(t + 1)
N(t) é constante.
Determine um valor aproximado dessa constante, arredondado às centésimas e interprete esse valor 
no contexto da situação descrita.
3. Considere as funções f e g, representadas no referencial da gura, e a função h de nida por:
O
y
x
g
f
3
2
 
h(x) =
2 x 2
x 1
se x >1
4 se x =1
x3 1
x 1
 se x <1
Determine, caso existam:
3.1. lim
x 3
f (x)
g(x) ;
3.2. lim
x 1
h(x) (utilizando métodos exclusivamente analíticos);
3.3. lim
x -
h(x) (utilizando métodos exclusivamente analíticos).
4. No início de 1978 havia 800 corças num determinado parque natural. As medidas de proteção a corças zeram 
com que o referido número aumentasse continuamente. Os recursos do parque permitem que esse número 
cresça até um valor muito próximo de dois milhares, mas não permitem que esse valor seja ultrapassado.
Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode de nir a função P, que dá o número 
aproximado de corças existentes no parque natural, t anos após o início de 1978.
 (I) 2000
1+ e 0,25t
 (II) 2000
1+1,5e-t
 (III) 1600
1+ e-t
 (IV) 2000-
1200 t3 +1( )
et
Qual é a expressão correta?
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Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 3
Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explique as razões que o levam a rejeitar as 
outras três expressões (apresente três razões diferentes, uma por cada expressão rejeitada).
Nota: poder-lhe-á ser útil recorrer às capacidades grá cas da sua calculadora. Se o zer apresente todos os 
elementos recolhidos na sua utilização, nomeadamente o(s) grá co(s) obtido(s), bem como as coordenada(s) 
relevante(s) de algum (ou de alguns) ponto(s).
5. Num laboratório de pesquisa genética estuda-se a capacidade pulmonar de uma determinada cobaia 
(um macaco).
5.1. De um grupo constituído por três macacos pretos e por dois macacos brancos, dois vão ser selecio-
nados, aleatoriamente, para uma determinada experiência.
Qual é a probabilidade de serem selecionados dois macacos de cores diferentes?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
5.2. Sabe-se que é utilizada apenas uma cobaia em determinada experiência e que por cada cinco cobaias 
sujeitas a essa experiência apenas duas sobrevivem.
Determine a probabilidade de, no nal de um dia em que são feitas 35 experiências, apenas 12 cobaias 
sobreviverem.
Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.
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Matemática 12 | Caderno de Testes
38
Cotações
Grupo I ..................................................................................................................................................... 50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 35
1.1. .................................................................................................................... 20
1.2. .................................................................................................................... 15
2. .......................................................................................................................................... 30
2.1. ..................................................................................................................... 15
2.2. ..................................................................................................................... 15
3. .......................................................................................................................................... 40
3.1. .................................................................................................................... 15
3.2. .................................................................................................................... 15
3.2. ....................................................................................................................10
4. .......................................................................................................................................... 15
5. .......................................................................................................................................... 30
5.1. .................................................................................................................... 15
5.2. .................................................................................................................... 15
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
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39
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 3
GRUPO I
1. O número de casos possíveis é: 6C2
O número de casos favoráveis é o número de 
arestas do octaedro, isto é, 12.
Assim, a probabilidade pedida é 12
6C2
.
Resposta (A)
2. a + 2b = 2012C20 +
2012C
21
(1)
+
2012C21
=
2013C21+
2012C21
(1) 2012C20 +
2012C
21
=
2013C21 é uma das pro-
priedades do triângulo de Pascal:
nCp +
nCp +1 =
n +1Cp +1
ou seja, adicionando dois números consecutivos 
de uma linha do triângulo de Pascal obtém-se o 
número colocado abaixo, na linha seguinte.
Resposta (C)
3. - 1
n
0-
1- 1
n
1-
ln 1- 1
n
0-
-1+ ln 1- 1
n
-1-
A sucessão de termo geral -1+ ln 1- 1
n
tende 
para -1, por valores inferiores a -1, pelo que
lim(xn ) = lim
x -1-
h(x) = + .
Resposta (C)
4. loga ln ea( ) = 12 loga ln ea( )
=
1
2
loga ln e
1
a
=
1
2
loga
1
a
=
1
2
* ( 1)
= -
1
2
Resposta (B)
5. • A 0, g(0)( )
g(0) = e0,5 * 0 = e0 =1, logo A(0,1)
• C(xc,1)
f (x) =1§-1+ 2lnx =1 ‹ x > 0
§ 2lnx = 2 ‹ x > 0
§ lnx =1 ‹ x > 0
§ x = e ‹ x > 0
ou seja, C(e,1).
• B(xB,0)
f (x) = 0 §-1+ 2lnx = 0 ‹ x > 0
§ 2lnx =1 ‹ x > 0
§ lnx = 1
2
‹ x > 0
§ x = e ‹ x > 0
Assim, B e,0( ).
Portanto, A OACB[ ] =
OB + AC
2
*OA
=
e + e
2
*1
=
e + e
2
Resposta (D)
Proposta de resolução
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40
Matemática 12 | Caderno de Testes
GRUPO II
1.
1.1. D f = x : x
2
- x > 0 ‹ x > 0{ }
= x : x < 0 › x >1( ) ‹ x > 0{ }
= 1,+] [
Cálculo auxiliar :
x2 - x = 0
§ x(x -1) = 0
§ x = 0 › x =1
f (x)≥1
§ log2 x2 - x( )- log2 x ≥1 ‹ x >1
§ log2 x2 - x( ) ≥ log2 2+ log2 x ‹ x >1
§ log2 x2 - x( ) ≥ log2(2x) ‹ x >1
§ x2 - x ≥ 2x ‹ x >1
§ x2 - 3x ≥ 0 ‹ x >1
§ x ≤ 0 › x ≥ 3( ) ‹ x >1
Cálculo auxiliar :
x2 - 3x = 0
§ x(x - 3) = 0
§ x = 0 › x = 3
C.S. = 3,+
1.2. f (3) = log2(9- 3)- log2 3
= log2 6- log2 3
= log2
6
3
= log2 2
=1
g(x) = f (3)
§- e2x - ex + 7 =1
§- ex( )2 - ex + 6 = 0
Considerando a mudança de variável ex = y, vem 
que: -y2 - y + 6 = 0
§ y =
1 ¿ 1- 4* (-1* 6)
-2
§ y = 1¿ 5
-2
§ y = -3 › y = 2
Substituindo y por ex, tem-se que:
ex = -3
Equação
impossível
› ex = 2
§ x = ln2
C.S.= ln2{ }
2. N (t) =10 000* 2
t
4
2.1. N (0) =10 000 * 2
0
4 =10 000 *1=10 000
N (t) = 3N (0)§10 000 * 2
t
4 = 30 000
§ 2
t
4 = 3
§
t
4
= log2 3
§ t = 4* log2 3
t ) 6 dias
A colónia de bactérias triplica ao m de aproxi-
madamente 6 dias.
2.2. N (t +1)
N (t) =
10 000 * 2
t +1
4
10 000 * 2
t
4
= 2
t +1
4
-
t
4
= 2
1
4 ,At 0
+
N (t +1)
N (t) )1,19
N (t +1) )1,19* N (t)
N (t +1) ) N (t)+ 0,19 * N (t)
Por cada dia que passa, o número de bactérias 
aumenta a uma taxa de aproximadamente 19%.
+ +
-0 1
+ +
-0 3
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41
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 3
A opção (I) está incorreta porque não está de 
acordo com o facto de existirem 800 corças 
no parque natural, no instante t = 0, corres-
pondente ao início de 1978. Na realidade, 
nesta função, a imagem de 0 é 1000.
O facto de os recursos do parque permitirem 
que o número de corças cresça continuamente 
até um valor muito próximo dos dois milhares 
implica que se tenha lim
t +
P(t) = 2000 .
Assim, a opção (III) também não está ade-
quada à situação descrita, pois: 
lim
t +
1600
1+ e-t
=
1600
1+ 0
=1600
A opção (IV) também é incorreta, como se 
pode con rmar através do grá co reprodu-
zido abaixo. A função de nida por 
2000
1200 t3 +1( )
et
não é monótona, o que
contraria a a rmação de que o número de cor-
ças cresce continuamente.
P
2000
800
tO
Logo, a opção correta é a opção (II).
5.
5.1. O número de casos possíveis é 5C2 .
O número de casos favoráveis é 3C1*
2C1 .
Assim, a probabilidade pedida é:
3C1*
2C1
5C2
=
6
10
=
3
5
5.2. X: “número de cobaias que sobreviveram nas 
35 experiências”.
X } 35, 2
5
P X =12( ) = 35C12 *
2
5
12
*
3
5
23
) 0,111
3.
3.1. lim
x 3
f (x)
g(x) =
lim
x 3 f (x)
lim
x 3
g x( )
=
2
0
Calculando os limites laterais, e por observa-
ção dos grá cos:
lim
x 3+
f (x)
g(x) =
2
0+
= +
lim
x 3-
f (x)
g(x) =
2
0-
= -
± lim
x 3+
f (x)
g(x) 0 limx 3-
f (x)
g(x)
Logo, E lim
x 3
f (x)
g(x) .
3.2. lim
x 1
h(x) = ?
Uma vez que para x > 1 a expressão analítica 
de h é distinta da expressão analítica para 
x < 1, tem que se calcular os limites laterais:
lim
x 1+
h(x) = lim
x 1+
2 x - 2
x -1
= lim
x 1+
2 x -1( )
x -1
=
0
0
= lim
x 1+
2 x -1( ) x +1( )
x -1( ) x +1( )
= lim
x 1+
2 x -1( )
x -1( ) x +1( )
= lim
x 1+
2
x +1
=
2
2
=1
lim
x 1-
h(x) = lim
x 1-
x3 -1
x -1
=
0
0
lim
x 1-
x -1( ) x2 + x +1( )
x -1( )
= lim
x 1-
x2 + x +1( ) =1+1+1= 3
Cálculo auxiliar:
1 0 0 -1
1 1 1 1
1 1 1 0 = r
x3 - 1 = (x - 1) (x2 + x + 1)
lim
x 1+
h(x) 0 lim
x 1
h(x), logo E lim
x 1
h(x).
3.3. lim
x -
h(x) = lim
x -
x3 -1
x -1
=
¿
¿
lim
x -
x3
x
= lim
x -
x2 = +
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42
Matemática 12 | Caderno de Testes
Critérios especí cos de classi cação 
 GRUPO I
Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas A C C B D
GRUPO II
1.
1.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:
1.º Processo:
Determinar o domínio de f ............................................................................................................... 5 pontos
Escrever log2(x2 - x) - log2 x ≥ 1 ..................................................................................................... 1 ponto
Resolver a inequação ................................................................................................................... 11 pontos
Escrever log2(x2 - x) ≥ 1+ log2 x ............................................................................................. 1 ponto
Escrever 1 = log2 2 ............................................................................................................... 2 pontos
Utilizar a propriedade da soma dos logaritmos .....................................................................4 pontos
Resolver a inequação x2 - x ≥ 2x ...........................................................................................4 pontos
Indicar a solução da inequação f (x) ≥ 1 (C.S. = [3, + [) ............................................................... 3 pontos
2.º Processo:
Determinar o domínio de f ............................................................................................................... 5 pontos
Escrever log2(x2 - x) - log2 x ≥ 1 ..................................................................................................... 1 ponto
Resolver a inequação ................................................................................................................... 11 pontos
Escrever 1 = log2 2 ............................................................................................................... 2 pontos
Utilizar a propriedade da diferença de logaritmos................................................................ 4 pontos
Obter a inequação x
2 - x
x
 ≥ 2 ................................................................................................ 1 ponto
Resolver a inequação x
2 - x
x
 ≥ 2 ......................................................................................... 4 pontos
Indicar a solução da inequação f (x) ≥ 1 (C.S. = [3, + [) .............................................................. 3 pontos
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43
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 3
1.2. ................................................................................................................................................15 pontos
Calcular f (3) (f (3) = 1) ................................................................................................................... 2 pontos
Escrever -e2x -ex + 7 = 1 .................................................................................................................. 1 ponto
Resolver a equação ...................................................................................................................... 11 pontos
Obter - (ex)2 - ex + 6 = 0 ........................................................................................................ 2 pontos
Obter ex = - 3 › ex = 2 ........................................................................................................ 5 pontos
Reconhecer que ex = - 3 é uma equação impossível ........................................................... 2 pontos
Concluir que ex = 2 § x = ln2 ................................................................................................. 2 pontos
Concluir que ln2 é solução da equação ........................................................................................... 1 ponto
2.
2.1. ................................................................................................................................................15 pontos
Calcular N(0) (N(0) = 10 000) ......................................................................................................... 2 pontos
Equacionar o problema (N(t) = 3N(0)) ............................................................................................ 3 pontos
Resolver a equação ........................................................................................................................ 9 pontos
Obter a equação 2
t
4 = 3 ....................................................................................................... 2 pontos
Obter a equação t
4
= log2 3 ................................................................................................ 4 pontos
Obter a equação t = 4* log2 3 ............................................................................................. 1 ponto
Concluir que t ) 6 .................................................................................................................. 2 pontos
Responder ao problema ................................................................................................................... 1 ponto
2.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Determinar N (t +1)
N (t)
 ...................................................................................................................... 11 pontos
Obter a expressão 10 000 * 2
t +1
4
10 000 * 2
t
4
 ........................................................................................ 4 pontos
Obter a expressão 2
t +1
4
-
t
4 ................................................................................................. 4 pontos
Obter o valor do quociente 2
1
4 ............................................................................................. 2 pontos
Concluir que N (t +1)
N (t) )1,19, At 0
+ ...................................................................................... 1 ponto
Interpretar o valor de N (t +1)
N (t) no contexto da situação apresentada ............................................ 4 pontos
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44
Matemática 12 | Caderno de Testes
3.
3.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Calcular lim
x 3+
f (x)
g(x) ......................................................................................................................... 5 pontos
Escrever lim
x 3+
f (x)
g(x) =
2
0+
 ...................................................................................................... 3 pontos
Concluir que lim
x 3+
f (x)
g(x) = + ............................................................................................... 2 pontos
Calcular lim
x 3-
f (x)
g(x) ......................................................................................................................... 5 pontos
Escrever lim
x 3-
f (x)
g(x) =
2
0-
 ...................................................................................................... 3 pontos
Concluir que lim
x 3-
f (x)
g(x) = - ................................................................................................ 2 pontos
Referir que lim
x 3+
f (x)
g(x) 0 limx 3-
f (x)
g(x) ................................................................................................ 2 pontos
Concluir que não existe lim
x 3
f (x)
g(x) .................................................................................................. 3 pontos
3.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Calcular lim
x 1+
h(x) .......................................................................................................................... 7 pontos
Escrever lim
x 1+
2 x - 2
x -1
 ........................................................................................................... 1 ponto
Escrever lim
x 1+
2 x -1( )
x -1
 ......................................................................................................... 1 ponto
Multiplicar o numerador e o denominador da fração por x +1( ) ........................................ 2 pontos
Obter lim
x 1+
2 x -1( )
(x -1)( x +1)
 ....................................................................................................... 1 ponto
Escrever lim
x 1+
2
x +1
 ............................................................................................................. 1 ponto
Concluir que lim
x 1+
2
x +1
=1 ................................................................................................... 1 ponto
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45
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 3
Calcular lim
x 1-
h(x) .......................................................................................................................... 6 pontos
Escrever lim
x 1-
x3 -1
x -1
 .............................................................................................................. 1 ponto
Decompor x3 – 1 num produto de fatores x -1( ) x2 + x +1( )( ) ............................................... 3 pontos
Obter lim
x 1-
x2 + x +1( ) ............................................................................................................ 1 ponto
Concluir que lim
x 1-
x2 + x +1( ) = 3 ............................................................................................ 1 ponto
Referir que lim
x 1-
h(x) 0 lim
x 1+
h(x) ..................................................................................................... 1 ponto
Concluir que não existe lim
x 1
h(x) .....................................................................................................1 ponto
3.3. ............................................................................................................................................... 10 pontos
Escrever lim
x -
x3 -1
x -1
 ........................................................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x -
x3 -1
x -1
= lim
x -
x3
x
 .......................................................................................... 4 pontos
Obter lim
x -
x2 ...................................................................................................................... 2 pontos
Concluir que lim
x -
h(x) = + ................................................................................................ 2 pontos
4. .................................................................................................................................................. 15 pontos
A composição deve apresentar os pontos seguintes:
A) Identi car a opção que representa P.
B) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (I).
C) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (III).
D) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (IV).
Na tabela seguinte indica-se como deve ser classi cada a resposta a este item, de acordo com os níveis 
de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa e os níveis de desempenho no 
domínio especí co da disciplina.
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46
Matemática 12 | Caderno de Testes
Descritores do nível de desempenho no domínio 
da comunicação escrita em língua portuguesa.
Descritores do nível de desempenho 
no domínio especí co da disciplina.
Níveis*
1 2 3
N
ív
ei
s
6 Apresenta corretamente os quatro pontos, OU apenas os pontos B, C e D. 13 14 15
5
Apresenta corretamente apenas os pontos A, B e C, OU apenas os pontos A, 
B e D, OU apenas os pontos A, C e D.
10 11 12
4
Apresenta corretamente apenas os pontos B e C, OU apenas os pontos B e D, 
OU apenas os pontos C e D.
7 8 9
3
Apresenta corretamente apenas os pontos A e B, OU apenas os pontos A e C, 
OU apenas os pontos A e D.
4 5 6
2
Apresenta corretamente apenas o ponto B, OU apenas o ponto C, OU apenas 
o ponto D.
1 2 3
1 Apresenta apenas o ponto A. 1 1 1
* Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classi cação.
5. 
5.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Expressão que dá o valor pedido (ver nota1) .............................................................................. 12 pontos
Resultado na forma pedida P = 3
5
 (ver nota 2) .......................................................................... 3 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão , com a respetiva 
classi cação a atribuir.
3C1*
2C1
5C2
 (ou equivalente) .......................................................................................................... 12 pontos
Outras frações próprias com denominador 5C2 ou 
5A2 ................................................................ 5 pontos
Outras situações ............................................................................................................................. 0 pontos
Nota 2
A classi cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi cada com zero 
pontos.
5.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................................. 12 pontos
Resultado na forma pedida (P ) 0,111) (ver nota 2) ...................................................................... 3 pontos
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Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 3
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva 
classi cação a atribuir.
35C12 *
2
5
12
*
3
5
23
(ou equivalente) ............................................................................................ 12 pontos
35C12 *
3
5
12
*
2
5
23
(ou equivalente) .............................................................................................. 8 pontos
2
5
12
*
5
5
23
(ou equivalente) .......................................................................................................... 6 pontos
3
5
12
*
2
5
23
(ou equivalente) .......................................................................................................... 4 pontos
Outras situações............................................................................................................................... 0 pontos
Nota 2
A classi cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi cada com zero 
pontos.
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Matemática 12 | Caderno de Testes
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
1.
1.1. f (x)≥1§ log2 x2 - x( )- log2 x ≥1
§ log2 x2 - x( ) ≥ log2 2+ log2 x
§ log2 x2 - x( ) ≥ log2 2x( )
§ x2 - x ≥ 2x § x2 - 3x ≥ 0
§ x ≤ 0 › x ≥ 3
Cálculo auxiliar :
x2 - 3x = 0
§ x(x - 3) = 0
§ x = 0 › x = 3
C.S. = ]- , 0 ] [3, + [ Errado!
Cotação a atribuir ..........................15 pontos
O aluno utiliza o 1.º Processo de resolução e:
• não determina o domínio de f ..........0 pontos
• escreve log2 x2 - x( )- log2 x ≥1 .........1 ponto
• resolve a inequação ...................... 11 pontos
Escreve log2 x2 - x( ) ≥ log2 2 + log2 x ...1 ponto
Escreve 1= log22 ...............................2 pontos
Utiliza corretamente a propriedade da soma dos 
logaritmos ..........................................4 pontos
Resolve corretamente a inequação x2 - x ≥ 2x 
 ...........................................................4 pontos
• indica a solução de f (x)≥1 de acordo com os 
cálculos efetuados .......................... 3 pontos
 Repara como o esquecimento da determinação 
do domínio de f implicou a classi cação de 0 
pontos em duas etapas! Deves, na resolução de 
equações e inequações logarítmicas começar 
sempre por determinar o domínio da expressão.
2.
2.2. N (0) =10 000 N (1) =10 000 * 2
1
4
N (1)
N (0) =
10 000 * 2
1
4
10 000
= 2
1
4 )1,19
Cotação a atribuir ............................0 pontos
Nesta resposta o aluno:
• não determina N (t +1)
N (t)
 ....................0 pontos
• não interpreta o valor de N (t +1)
N (t)
 no contexto
 da situação apresentada ...................0 pontos
 Neste exercício pretendia-se que o aluno pro-
vasse que N (t +1)
N (t)
 é uma constante, qualquer
que seja o valor de t pertencente a 0
+.
O aluno concretizou o valor de t substituindo o 
valor de t por zero. Logo, não provou o que se 
pretendia.
4. A opção (I) está incorreta porque 
P 0( ) = 2000
1+ e0
=1000 , o que não está de acordo
com o facto de existirem 800 corças no parque 
natural, no instante t = 0, correspondente ao íni-
cio de 1978. O facto de os recursos do parque 
permitirem que o número de corças cresça conti-
nuamente até um valor próximo dos dois milhares 
implica que se tenha lim
t +
P t( ) = 2000. Assim, a
opção (III) também não está adequada à situa-
ção descrita, pois lim
t +
1600
1+ e- t
=
1600
1+ 0
=1600 .
A opção (IV) também é incorreta, pois a função
de nida por 2000-
1200 t3 +1( )
et
 não é monótona,
o que contraria a a rmação de que o número 
de corças cresce continuamente. Logo, a opção 
correta é a opção (II).
Cotação a atribuir ..........................12 pontos
Nesta resposta considera-se que o aluno apre-
senta corretamente apenas os pontos A, B e 
C, pois não apresenta uma justi cação (grá-
 co) para o facto de a função da opção (IV) 
não ser monótona.
+ +
0 3
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49
Matemática12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 4
 Duração: 90 minutos
 Tipologia, número de itens e cotação:
Matriz
 Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Análise combinatória
 > Triângulo de Pascal
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II
 > Função exponencial de base superior a 1
 > Função logarítmica de base superior a 1
 > Limites 
 > Continuidade 
 > Assíntotas do grá co de uma função
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 5 15 a 20
Uso obrigatório de 
calculadora grá ca 1 12
Raciocínio 
demonstrativo 1 20
Resposta extensa
(composição) 1 15
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50
Matemática 12 | Caderno de Testes
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justi cações.
Teste n.º 4
Matemática A
 Duração do teste: 90 minutos
 12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
1. Uma determinada linha do triângulo de Pascal tem 17 elementos. Escolhendo, ao acaso, um elemento 
dessa linha, qual é a probabilidade de ele ser maior do que 16?
 (A) 13
16
 (B) 13
17
 (C) 8
17
 (D) 3
4
2. Sejam a, b, c, e d quatro números reais, tais que a å + \{1} e b, c å +. Sabe-se que loga (b2) = c e 
c = ad. Indique qual das expressões seguintes é igual a loga bc ?
 (A) c
2
4
+
d
2
 (B) c + d (C) c
4
+ d (D) c
4
+
d
2
3. Para certos valores de a e b, é contínua em a função f de nida por: 
Quais os valores de a e b?
 (A) a = -6 e b = -4 (B) a = -4 e b = - 1
6
 (C) a = -4 e b = -6 (D) a = 6 e b = 4
f x( ) =
a + e
-x
-1
x
se x < 0
-5 se x = 0
bx
ln x +1( )
+1 se x > 0
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51
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 4
4. Na gura está representado o grá co de uma função g, de domínio . 
Tal como a gura sugere, as retas de equação y = -x e x = 0 são assíntotas 
do grá co de g. Qual é o valor de lim
x -
ex - g(x)
x
?
 (A) 1 (B) -1 (C) - (D) +
5. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação:
log2 x - 4( ) ≤1- log2 7- x( )
 (A) - ,5] [ 6,+] [ (B) - ,5] ] 6,+[ [ (C) 4,5] [ 6,7] [ (D) 4,5] ] 6,7[ [
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e todas as justi cações necessárias.
• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. Uma caixa contém cartões, indistinguíveis ao tato, numerados de 1 a 20. Os cartões numerados com 
número par têm cor branca e os cartões numerados com número ímpar têm cor amarela.
Considere a experiência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente, dois cartões da caixa, não 
repondo o primeiro cartão retirado, e em registar a cor dos cartões retirados.
1.1. Determine a probabilidade de os dois cartões retirados da caixa terem cores diferentes.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
1.2. Na mesma experiência aleatória, considere os acontecimentos:
A: “O primeiro cartão retirado é amarelo.”
B: “O segundo cartão retirado é branco.”
C: “O número do segundo cartão retirado é primo.”
Qual é o valor da probabilidade condicionada P (B C) | A( ) ?
A resposta correta a esta questão é P (B C) | A( ) = 919 . 
Numa pequena composição, sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada, explique o valor 
dado, começando por interpretar o signi cado de P (B C) | A( ) no contexto da situação descrita e 
fazendo referência:
• à regra de Laplace;
• ao número de casos possíveis;
• ao número de casos favoráveis.
O
gy = – x
x
y
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52
Matemática 12 | Caderno de Testes
2. Seja g a função de domínio de nida por:
g(x) =
5x2 - 5
x2 - 2x +1
 se x ≤ 0
2x + ln x - e1- x se x > 0
2.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a função g quanto à continuidade.
2.2. Sem recorrer à calculadora, estude a função g quanto à existência de assíntotas do seu grá co. Indi-
que uma equação para cada uma das assíntotas encontradas.
2.3. Na gura está representada, em referencial o.n. xOy, parte do grá co da função g. 
O retângulo [ABCD] tem dois vértices no eixo Ox, estando os outros dois 
no grá co de g.
O ponto A tem abcissa -3. Determine a área do retângulo [ABCD].
Nota: Na resolução deste problema vai necessitar de determinar a abcissa do 
ponto C. Para tal, utilize as capacidades grá cas da sua calculadora. Reproduza 
a parte do grá co de g que visualizou, bem como a reta BC. Assinale também o 
ponto C e apresente a sua abcissa arredondada às centésimas.
Apresente a área pedida igualmente arredondada às centésimas.
3. Em dois lagos A e B onde não havia peixes, introduziram-se, a 1 de janeiro de 1994, alguns peixes. 
Admita que t anos depois, o número, em milhares, de peixes existentes em qualquer um dos lagos é 
dado aproximadamente por:
P(t) = 4e
kt
2+ pekt
 , em que k e p são parâmetros reais
Resolve os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos.
3.1. Admita que, no lago A, k = 1
2
 e p = 2. 
Determina o ano e o mês em que o número de peixes nesse lago atingiu os 1500.
Sempre que nos cálculos intermédios proceder a arredondamentos, conserve no mínimo três casas 
decimais.
3.2. No lago B, constatou-se que havia 500 peixes no início de 1995. 
Qual é para esse caso a relação entre k e p, sendo p um valor positivo.
Apresente a sua resposta na forma k = - ln(A + Bp), em que A e B são números reais.
4. De uma função g de domínio [a,b] sabe-se que:
• g é contínua em todo o seu domínio;
• g(x) > 0, Ax å [a, b];
• g(a) = g(b)
4
.
Seja h a função de domínio [a,b] de nida por h(x) = 2g(x) - g(b).
Prove que a função h tem pelo menos um zero.
O
y
xA
B C
g
D
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 Matemática 12 | Caderno de Tarefas
53
Cotações
Grupo I ..................................................................................................................................................... 50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 30
1.1. .................................................................................................................... 15
1.2. .................................................................................................................... 15
2. .......................................................................................................................................... 60
2.1. .................................................................................................................... 20
2.2. ....................................................................................................................28
2.3. .................................................................................................................... 12
3. .......................................................................................................................................... 40
3.1. .................................................................................................................... 20
3.2. .................................................................................................................... 20
4. .......................................................................................................................................... 20
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
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54
Matemática 12 | Caderno de Testes
Proposta de resolução
GRUPO I
1. A linha do triângulo de Pascal com 17 elemen-
tos é a linha cujos elementos são do tipo 
16Cp, com p 0,1, ,16{ }.
Apenas os elementos 16C0,
16C1,
16C15 e 
16C16 
não são maiores do que 16, ou seja, todos os 
outros (17- 4 =13) são maiores do que 16. 
Assim, a probabilidade pedida é 13
17
.
Resposta (B)
2. Sabe-se que: loga b2( ) = c § 2 loga b( ) = c
§ loga b( ) =
c
2
 e c = ad § d = loga c( )
Então, loga bc =
1
2
loga bc( )
=
1
2
loga(b)+ loga(c)[ ]
=
1
2
c
2
+ d
=
c
4
+
d
2
Resposta (D)
3. Nos intervalos ]- , 0[ e ] 0, + [ a função é 
contínua por se tratar da composta de funções 
contínuas. Para que f seja contínua em , tem 
que ser contínua em x = 0, isto é:
lim
x 0+
f (x) = lim
x 0-
f (x) = f (0)
lim
x 0+
f (x) = lim
x 0+
bx
ln(x +1) +1
= b* lim
x 0+
x
ln(x +1) +1
= b* 1
lim
x 0+
ln(x +1)
x
= b* 1
1
+1
= b+1
lim
x 0-
f (x) = lim
x 0-
a + e
-x
-1
x
= a + lim
x 0-
e-x -1
x
= a - lim
x 0-
e-x -1
-x
Consideremos a mudança de variável -x = y; 
como x 0-, y 0+.
= a - lim
y 0+
ey -1
y
= a -1
 Note que: lim
y 0
ey -1
y
(limite notável)
=1
Para que f seja contínua em x = 0, então
lim
x 0+
f (x) = lim
x 0-
f (x) = f 0( ), isto é:
b+1= -5
a -1= -5
§
b = -6
a = -4
Resposta (C)
4. lim
x -
ex - f (x)
x
= lim
x -
ex
x
-
g(x)
x
= lim
x -
ex
x
- lim
x -
g(x)
x
Declive da assíntota
oblíqua do gráfico 
de g quando
x -
=
e-
-
- -1( )
=
0
-
+1
= 0+1
=1
Resposta (A)
Note que: lim
x 0
ln(x +1)
x
(limite notável)
=1
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55
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 4
5. D = x : x - 4 > 0 ‹ 7- x > 0{ }
= x : x > 4 ‹ 7 > x{ }
= 4,7] [
Resolução analítica:
log2 x - 4( ) ≤1- log2 7- x( )
§ log2 x - 4( )+ log2 7- x( ) ≤ log2 2 ‹ x D
§ log2 x - 4( ) 7- x( ) ≤ log2 2 ‹ x D
§ x - 4( ) 7- x( ) ≤ 2 ‹ x D
§- x2 + 4x + 7x - 28- 2≤ 0 ‹ x D
§ x2 +11x - 30 ≤ 0 ‹ x D
§ x ≤ 5 › x ≥ 6( ) ‹ x D
C.S.= 4,5] ] 6,7[ [
Cálculo auxiliar :
-x2 +11x - 30 = 0
§ x = -11¿ 121- 4* 30
-2
§ x = 6 › x = 5
Resolução gráfica:
y1 = log2 x - 4( ) P1(5, b1)
y2 =1- log2 7- x( ) P2(6, b2)
 
y
x
y2
y1
0 4 5 6
1P 2
P
7
Veri ca-se que y1 ≤ y2 para x ]4, 5] [6, 7[.
Resposta (D)
GRUPO II
1.
1.1. O número de casos possíveis é: 20A2 = 20 * 19
O número de casos favoráveis é:
10 * 10 + 10 * 10 = 2 * 10 * 10
Assim, a probabilidade pedida é:
2*10*10
20A2
=
2 * 10 *10
20 *19
=
10
19
.
1.2. P B C( ) | A( ) representa a probabilidade de o 
segundo cartão retirado ser branco e não estar 
numerado com um número primo, sabendo que 
o primeiro cartão retirado é amarelo.
Ora, admitindo que o primeiro cartão retirado 
é amarelo, e não há reposição, restam 19 
cartões possíveis para a 2.ª extração, dos 
quais 10 são cartões brancos e pares (pois 
sabe-se que os cartões numerados com 
número par tem cor branca). Desses 10 car-
tões brancos, 9 são cartões que não estão 
numerados com número primo (4, 6, 8, 10, 
12, 14, 16, 18 e 20). Assim, 19 é o número de 
casos possíveis e 9 é o número de casos 
favoráveis. Pela regra de Laplace, a probabi-
lidade de um acontecimento é o quociente 
entre o número de casos favoráveis a esse 
acontecimento e o número de casos possí-
veis quando os resultados elementares são 
equiprováveis e em número nito. Assim, 
conclui-se que P B C( ) | A( ) = 919 .
2.
2.1. • Em - ,0] [, g é contínua por, neste intervalo, 
se tratar de uma função racional cujo denomi-
nador não se anula no intervalo considerado.
• Em 0,+] [, g é contínua por, neste inter-
valo, se tratar da soma entre três funções 
contínuas, uma polinomial, uma logarítmica 
e a composta de uma função exponencial 
com uma função a m.
• Em x = 0:
lim
x 0+
g x( ) = lim
x 0+
2x + ln x - e1-x( )
= 0+ -( )- e = -
+
––
65
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56
Matemática 12 | Caderno de Testes
lim
x 0
g x( ) = lim
x 0
5x2 - 5
x2 - 2x +1
= -
5
1
= -5
lim
x 0
g x( )0 lim
x 0+
g x( )
g 0( ) = -5
Não existe lim
x 0
g x( ), logo g não é contínua em
x = 0, apesar de g ser contínua à esquerda em
x = 0, uma vez que lim
x 0-
g x( ) = g 0( ) .
Conclui-se que g é contínua em \{0}.
2.2. Dg = 
Assíntotas verticais
lim
x 0+
g x( ) = lim
x 0+
2x + ln x - e1 x( )
= 0+ -( )- e
= -
A reta de equação x = 0 é uma assíntota vertical 
do grá co de g. Como g é contínua em \{0}, o 
seu grá co não admite mais assíntotas verticais.
Assíntotas não verticais
y = mx + b, m, b( )
Note que: lim
x +
ln x
x
= 0
(limite notável)
• x +
m = lim
x +
g x( )
x
= lim
x +
2x + ln x - e1- x
x
= lim
x +
2+ ln x
x
-
e1- x
x
= 2+ 0- 0
+
= 2+ 0- 0
= 2
b = lim
x +
g x( )- 2x
= lim
x +
2x + ln x - e1- x - 2x( )
= lim
x +
ln x - e1- x( )
= + e
= + + 0
= +
Como o valor obtido não é um número real, 
conclui-se que o grá co de g não admite 
assíntota não vertical quando x + .
• x -
m = lim
x -
g x( )
x
= lim
x -
5x2 - 5
x3 - 2x2 + x
= lim
x -
5x2
x3
= lim
x -
5
x
=
5
-
= 0
b = lim
x -
g x( )- 0x
= lim
x -
5x2 - 5
x2 - 2x +1
= lim
x -
5x2
x2
= lim
x -
5
= 5
A reta de equação y = 5 é uma assíntota hori-
zontal do grá co de g quando x - .
2.3. O ponto A tem como coordenadas (-3, 0) e
B -3, g 3( )( ).
g -3( ) =
5 -3( )2 - 5
-3( )2 - 2 -3( )+1
=
40
16
=
5
2
Como a ordenada do ponto C é igual à orde-
nada de B:
C xC ,
5
2
, ou seja, pretende-se determinar a 
solução da equação 2x + ln x - e1- x = 5
2
.
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57
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 4
Na calculadora:
y
1
= 2x + ln x - e1- x
y
2
=
5
2
 
O
y
y1
y2
x
C
1,41
C tem como coordenadas 1,41; 5
2
D tem como coordenadas (1,41; 0)
A ABCD[ ] = AB * AD )
5
2
* 3+1,41( ) )11,03
3.
3.1. k = 1
2
 p = 2
PA t( ) =
4e0,5t
2+ 2e0,5t
4e0,5t
2+ 2e0,5t
=1,5
§ 4e0,5t =1,5 2+ 2e0,5t( ) ‹
‹ 2+ 2e0,5t0 0
Condição universal
§ 4e0,5t = 3+ 3e0,5t
§ 4e0,5t - 3e0,5t = 3
§ e0,5t = 3
§ 0,5t = ln3
§ t = ln3
0,5
§ t = 2 ln3
t ) 2,197
2,197 anos = 2 anos+ 0,197 anos
0,197*12 = 2,364
O número de peixes atingiu 1500 em março 
de 1996.
3.2. O início de 1995 corresponde a t = 1.
 Assim:
PB 1( ) = 0,5
§
4ek
2+ pek
= 0,5
§ 4ek = 0,5 2+ pek( ) ‹ 2+ pek0 0
Condição universal
visto p > 0
§ 4ek =1+ 0,5 pek
§ 4ek - 0,5 pek =1
§ 4- 0,5 p( )ek =1
§ ek = 1
4 0,5 p
§ k = ln 1
4 0,5 p
§ k = - ln 4- 0,5 p( )
4. h é contínua em [a, b] por se tratar da diferença 
entre duas funções contínuas (uma que é o 
produto de uma constante por g e a outra que 
é uma constante).
h a( ) = 2g a( )- g b( )
=
2g b( )
4
- g b( )
=
g b( )
2
- g b( )
= -
g b( )
2
Como g x( ) > 0,Ax a, b[ ] então, em particular, 
g b( ) > 0.
Logo: 
-
g b( )
2
< 0, isto é, h a( ) < 0.
h b( ) = 2g b( )- g b( ) = g b( ) > 0, pois 
g x( ) > 0,Ax a, b[ ]
Assim, h a( )* h b( ) < 0.
Pelo corolário do Teorema de Bolzano, conclui-
-se que E c a, b] [: h c( ) = 0 , isto é, a função h 
tem pelo menos um zero.
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58
Matemática 12 | Caderno de Testes
Crit rios es ec cos de cassi ca o 
GRUPO I
Cada resposta certa ..................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas B D C A D
GRUPO II
1.
1.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:
1.º Processo:
Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1)............................................................................... 12 pontos
Resultado na forma pedida P = 10
19
 (ver nota 2) .......................................................................... 3 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva 
classi ca ão a atri uir.
10*10* 2
20*19
 (ou equivalente) ......................................................................................................... 12 pontos
10*10
20*19
 (ou equivalente) ................................................................................................................ 8 pontos
10*10* 2
20* 20
 (ou equivalente) ........................................................................................................... 6 pontos
Outras situações ............................................................................................................................. 0 pontos
Nota 2
A classi cação atri uída a esta etapa s atri uída se a etapa anterior não tiver sido classi cada com ero 
pontos.
2.º Processo:
usti cação para o valor pedido (ver nota 1)................................................................................ 12 pontos
Resultado na forma pedida P = 10
19
 (ver nota 2) ........................................................................ 3 pontos
59
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 4
Nota 1
m exemplo de uma usti cação possível poderá ser:
Retirado o primeiro cartão, se a qual for o resultado, camos com 19 possi ilidades equiprováveis de tirar 
o segundo cartão, das quais 10 são de cor diferente do primeiro.
Assim, a probabilidade pedida é igual a 10
19
.
Nota 2
A classi cação relativa a esta etapa s é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi cada com ero 
pontos.
1.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
A composição deve abordar os seguintes pontos:
 Interpretação de P B C( ) | A( ) : signi ca a probabilidade de o segundo cartão retirado ser de cor branca 
e não ter número ímpar, sabendo que o primeiro cartão retirado é amarelo.
 Explicação do número de casos possíveis: como foi retirado um cartão e não á reposição, existem 19 
cartões possíveis para a 2.ª extração.
 Explicação do número de casos favoráveis: uma ve que o primeiro cartão retirado é amarelo, continuam 
na caixa os 10 cartões brancos, numerados com 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, dos quais existem 9 
com número não primo;
 Concluir que a probabilidade é 919. De acordo com a regra de Laplace, a probabilidade de um aconteci-
mento é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, quando estes 
são todos equiprováveis.
a tabela seguinte, indica-se como deve ser classi cada a resposta a este item, de acordo com os níveis 
de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, descritos nos critérios gerais, 
e os níveis de desempenho no domínio especí co da disciplina.
Descritores do nível de desempenho no domínio 
da comunicação escrita em língua portuguesa.
Descritores do nível de desempenho 
no domínio especí co da disciplina.
Níveis*
1 2 3
N
ív
ei
s*
* 4 A composição aborda corretamente os quatro pontos. 13 14 15
3 A composição aborda corretamente apenas três pontos. 9 10 11
2 A composição aborda corretamente apenas dois pontos. 5 6 7
1 A composição aborda corretamente apenas um ponto. 1 2 3
 *Descritores apresentados nos critérios gerais.
**Apenas podem ser atribuídas classi cações correspondentes a um dos valores constantes do quadro. ão há lugar a classi cações 
intermédias.
60
Matemática 12 | Caderno de Testes
2.
2.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos
g em - (ver nota 1) .......................................................................... 5 pontos
g em + (ver nota 2) .......................................................................... 5 pontos
Estudar a continuidade de g em x = 0 ............................................................................................ 8 pontos
Calcular lim
x 0-
g x ................................................................................................................ 3 pontos
Calcular lim
x 0+
g x ............................................................................................................... 3 pontos
g não é contínua em x = 0 .............................................................................. 2 pontos
Concluir que a função é contínua em \ 0 ................................................................................... 2 pontos
Nota 1
Se o aluno apenas referir que a função é contínua por ser o quociente de duas funções contínuas, a clas-
Nota 2
-
cação a atribuir a esta etapa é de 3 pontos.
2.2. ............................................................................................................................................... 28 pontos
g .......................................................... 5 pontos
Calcular lim
x 0+
g x ............................................................................................................... 2 pontos
Concluir que a reta de equação x = g .............................. 1 ponto
 ....................................................... 2 pontos
Estudar a existência de assíntota não vertical quando x + ..................................................... 13 pontos
Escrever m = lim
x +
g x
x
 ........................................................................................................ 1 ponto
Escrever lim
x +
g x
x
= lim
x +
2x + ln x - e1- x
x
 ............................................................................ 1 ponto
Escrever lim
x +
2x + ln x - e1- x
x
lim
x +
 ............................................................... 1 ponto
Indicar que lim
x +
ln x
x
= 0 ....................................................................................................... 1 ponto
Indicar que lim
x +
e1- x
x
= 0 ..................................................................................................... 1 ponto
Concluir que lim
x +
g x
x
= 2 ................................................................................................... 1 ponto
2+ ln x
x
-
e1- x
x
61
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 4
Escrever b = lim
x +
g x( )- 2x ................................................................................................ 1 ponto
Escrever lim
x +
g x( )- 2x = lim
x +
2x + ln x - e1- x - 2x( ) ......................................................... 1 ponto
Escrever lim
x +
2x + ln x - e1- x - 2x( ) = lim
x +
ln x e1 x( ) ........................................................ 1 ponto
Indicar que lim
x +
ln x = + ..................................................................................................... 1 ponto
Indicar que lim
x +
e1- x( ) = 0 ....................................................................................................1 ponto
Concluir que lim
x +
g x( )- 2x = + ....................................................................................... 1 ponto
usti car a não existência de assíntota não vertical quandox + ..................................... 1 ponto
Estudar a existência de assíntota não vertical quando x - .................................................... 10 pontos
Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos:
1.º Processo:
Escrever m = lim
x -
g x( )
x
 ........................................................................................................ 1 ponto
Escrever lim
x -
g x( )
x
= lim
x -
5x2 - 5
x3 - 2x2 + x
 ............................................................................... 1 ponto
Escrever lim
x -
5x2 - 5
x3 - 2x2 + x
= lim
x -
5x2
x3
 ................................................................................ 1 ponto
Escrever lim
x -
5x2
x3
= lim
x -
5
x
 ................................................................................................ 1 ponto
Concluir que lim
x -
g x( )
x
= 0 ................................................................................................... 1 ponto
Escrever b = lim
x -
g x( )- 0x ................................................................................................ 1 ponto
Escrever lim
x -
g x( )- 0x = lim
x -
5x2 - 5
x2 - 2x +1
 ......................................................................... 1 ponto
Escrever lim
x -
5x2 - 5
x2 - 2x +1
= lim
x -
5x2
x2
 ................................................................................... 1 ponto
Concluir que lim
x -
g x( )- 0x = 5 .......................................................................................... 1 ponto
Concluir que a reta de equação y = 5 é assíntota hori ontal do grá co de h quando x - .... 1 ponto
62
Matemática 12 | Caderno de Testes
2.º Processo:
Escrever lim
x -
g x ............................................................................................................. 2 pontos
Escrever lim
x -
g x = lim
x -
5x2 - 5
x2 - 2x +1
 ................................................................................. 2 pontos
Escrever lim
x -
5x2 - 5
x2 - 2x +1
= lim
x -
5x2
x2
 ................................................................................. 2 pontos
Concluir que lim
x -
g x = 5 .................................................................................................. 2 pontos
Concluir que a reta da equação y = g quando x - ... 2 pontos
2.3. ................................................................................................................................................12 pontos
Determinar a ordenada de B g -3 = 5
2
 ........................................................................................ 1 ponto
Determinar a abcissa de C ............................................................................................................. 8 pontos
Equacionar o problema g x = 5
2
‹ x + ................................................................. 2 pontos
 .............................................. 3 pontos
g .................................................................................................................. 1 ponto
Reta de equação y =
5
2
 .............................................................................................. 1 ponto
Respeito pelo domínio ................................................................................................. 1 ponto
Assinalar devidamente o ponto C ........................................................................................... 1 ponto
Apresentar a abcissa aproximada do ponto C (1,41) (ver nota 1) .........................................2 pontos
Escrever a expressão que dá a área do retângulo ........................................................................... 1 ponto
Apresentar o valor pedido (ver nota 2) .......................................................................................... 2 pontos
Nota 1
1.º caso: valor com duas casas decimais
1,41 ................................................................................................................................................. 2 pontos
1,40 ou 1,42 ...................................................................................................................................... 1 ponto
Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos
2.º caso: valor com mais de duas casas decimais
Valor pertencente ao intervalo [1,410; 1,411] ................................................................................... 1 ponto
Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos
63
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 4
3.º caso: valor com menos de duas casas decimais
Valor igual a 1,4 ................................................................................................................................ 1 ponto
Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos
Nota 2
A apresentação do valor pedido deve ser classi cada de acordo com o seguinte critério:
Valor igual a 11,03 .......................................................................................................................... 2 pontos
Valor igual a 11,025 .......................................................................................................................... 1 ponto
Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos
3. 
3.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Equacionar o problema (ver nota 1) .............................................................................................. 4 pontos
Substituir k por 1
2
 e p por 2 .............................................................................................................. 1 ponto
Resolver a equação (ver nota 2) ................................................................................................. 13 pontos
Obter a equação 4e0,5t =1,5 2+ 2e0,5t( ) (ou equivalente) ..................................................... 2 pontos
Obter a equação 4e0,5t = 3+ 3e0,5t (ou equivalente) ............................................................ 2 pontos
Obter a equação e0,5t = 3 .................................................................................................... 2 pontos
Obter equação 0,5t = ln3 .................................................................................................. 4 pontos
Obter a equação t =
ln3
0,5 (ou equivalente) ............................................................................1 ponto
Concluir que t ) 2,197 ........................................................................................................... 2 pontos
Responder ao problema (ver nota 3) ............................................................................................. 2 pontos
Nota 1
Caso o aluno, ao equacionar o problema, escreva P(t) = 1500, a pontuação a atribuir a esta etapa é de 2 
pontos.
Nota 2
Caso a equação seja P(t) = 1500, a pontuação máxima a atribuir a esta etapa é de 8 pontos, tal como se 
discrimina a seguir.
Obter a equação 4e0,5t =1500 2+ 2e0,5t( ) .....................................................................................1 ponto
Obter a equação 4e0,5t = 3000+ 3000e0,5t ................................................................................. 2 pontos
Obter a equação -2996e0,5t = 3000 ........................................................................................... 2 pontos
Obter a equação e0,5t = - 3000
2996
 ...................................................................................................1 ponto
64
Matemática 12 | Caderno de Testes
Nota 3
Caso o aluno tenha obtido, na etapa anterior, uma equação impossível, a pontuação a atribuir a esta etapa 
é de 0 pontos.
3.2. ................................................................................................................................................20 pontos
Escrever P(1) = 0,5 (ver nota) ....................................................................................................... 4 pontos
Obter a equação 4ek = 0,5 2+ pek( ) ............................................................................................... 2 pontos
Obter a equação 4ek =1+ 0,5 pek .................................................................................................. 2 pontos
Obter a equação 4- 0,5 p( )ek =1 .................................................................................................... 1 ponto
Obter a equação ek = 1
4- 0,5 p
 ........................................................................................................ 1 ponto
Obter a equação k = ln 1
4- 0,5 p
 .................................................................................................. 4 pontos
Obter a equação k = ln 4- 0,5 p( )-1 ou a equação k = ln1- ln 4- 0,5 p( ) ..................................... 4 pontos
Concluir que k = - ln 4- 0,5 p( ) ....................................................................................................... 2 pontos
Nota: caso o aluno escreva P(1) = 500, a pontuação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos.
4. ...................................................................................................................................................20 pontos
usti car a continuidade da função h no intervalo [a, b] (ver nota 1) ............................................... 4 pontos
Obter h a( ) = -
g b( )
2
 ou h a( ) = -2g a( ) ............................................................................................. 3 pontos
Obter h b( ) = g b( ) ou h b( ) = 4g a( ) ................................................................................................... 3 pontos
Concluir que h a( ) < 0 ..................................................................................................................... 2 pontos
Concluir que h b( ) > 0 ..................................................................................................................... 2 pontos
Escrever h a( )* h b( ) < 0 ou h a( ) < 0 < h b( ) .................................................................................... 2 pontos
Concluir o pretendido (ver nota 2) ................................................................................................. 4 pontos
Nota 1
Se o aluno não referir a continuidade no intervalo [a,b], mas a rmar que a função é contínua, a classi ca-
ção a atribuir a esta etapa é de 2 pontos.
Nota 2
Se o aluno concluir o pretendido, mas não referir que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano ou do 
seu corolário, a classi cação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos.
65
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 4
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
1.
1.2. P B C | A =
P B C A
P A
=
9
38
1
2
=
18
38
=
9
19
P B C A = P A B C
=
10* 9
20*19
=
9
38
P A = 10* 19
20* 19
=
1
2
Cotação a atribuir ............................0 pontos
Nesta resposta, o aluno utiliza um processo de 
resolução que não respeita a instrução dada: 
“sem utilizar a fórmula da probabilidade con-
dicionada”.
 Repara que o aluno não respeitou a instrução 
dada no enunciado, logo a etapa onde ocorreu 
o desrespeito e todas as subsequentes que dela 
dependem foram cotadas com zero pontos.
2.
2.1. g é contínua em - , 0 por, neste intervalo, 
se tratar do quociente entre duas funções 
contínuas; Justificação incompleta
g é contínua em 0, + por, neste intervalo, 
se tratar da soma de funções contínuas;
 Continuidade em x = 0:
lim
x 0+
g x = lim
x 0+
2x + ln x - e1- x
= 0+ - - e
= -
lim
x 0-
g x = lim
x 0-
5x2 - 5
x2 - 2x +1
=
0- 5
0- 0+1
= -5
lim
x 0+
g x 0 lim
x 0-
g x
* *
não é contínua em = 0.
é contínua em \ 0 .
Cotação a atribuir ..........................15 pontos
Nesta resposta o aluno:
 -
dade de em - (ver nota 1) ..........3 pontos
 -
dade de em + (ver nota 2) ..........3 pontos
 estuda a continuidade de em = 0 com a 
presença de um erro formal (falta de parênte-
sis) ...................................................8 pontos
 conclui que a função é contínua em \ 0 ....
 .........................................................2 pontos
4. h é contínua em 
* *
 h a = 2g a - g
= 2*
g
4
- g
=
=
g
2
- g
-
g
2
< 0Justificação incompleta
66
Matemática 12 | Caderno de Testes
Sabe-se que:
g x( ) > 0,Ax a, b[ ], logo g b( ) > 0 e - g b( )
2
< 0 
 h b( ) = 2g b( )- g b( ) = g b( ) > 0
 h a( )* h b( ) < 0
Logo, h tem pelo menos um zero.
Resposta incompleta 
Cotação a atribuir .........................14 pontos
Nesta resposta o aluno:
 não justi ca a continuidade de h no intervalo 
a, b .................................................0 pontos
 obtém h a( ) = -
g b( )
2
 .........................3 pontos
 obtém h b( ) = g b( ) ............................3 pontos
 conclui que h a( ) < 0 ........................2 pontos
 conclui que h b( ) > 0 ........................2 pontos
 escreve h a( )* h b( ) < 0 ....................2 pontos
 conclui o pretendido sem evocar o corolário 
do Teorema de Bolzano ...................2 pontos 
67
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
Matriz
Duração: 90 minutos
Tipologia, número de itens e cotação:
Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Análise combinatória
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II
 > Função exponencial de base superior a 1
 > Função logarítmica de base superior a 1
 > Limites
 > Continuidade
 > Assíntotas do grá co de uma função
 > Derivadas
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 4 15 a 20
Uso obrigatório de 
calculadora grá ca 1 15
Raciocínio 
demonstrativo 3 20 e 15
Resposta extensa
(composição) 1 15
68
Matemática 12 | Caderno de Testes
Teste n.º 5
Matemática A
Duração do teste: 90 minutos
12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
1. Num determinado dia, de uma turma com 28 alunos só 1
4
 fez o trabalho de casa da disciplina de Matemá-
tica. A professora vai ver ao acaso o caderno de seis destes alunos.
Qual é a probabilidade de apenas um deles ter feito o trabalho de casa?
 (A) 
21C5
28C6
 (B) 7*
21C5
28C6
 (C) 1
7
 (D) 7
28C6
2. De duas funções f e g sabe-se que f x * y( ) = f x( )+ f y( ) e g x + y( ) = g x( )* g y( ) , para quaisquer dois 
números reais positivos x e y. 
Quais das seguintes expressões podem representar as expressões analíticas de f e g?
 (A) f x( ) = ex e g x( ) = ln x (B) f x( ) = ln x e g x( ) = ex
 (C) f x( ) = x2 e g x( ) = x (D) f x( ) = x e g x( ) = x2
 Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
 Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
 Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
 Não apresente cálculos, nem usti caç es.
69
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
3. f de domínio \ 0 .
As retas de equação x = 0, x =1 e y = x f.
Seja an = ln 1+
1
n
n
. O valor de lim f an é:
 (A) 0 (B) -
 (C) 1 (D) +
4. Seja f uma função de domínio +. Sabe-se que a reta de equação y =-
de f. Então, pode concluir-se que lim
x +
ln 1
x
f x
 é igual a:
 (A) + (B) - (C) 0 (D) -3
5. f e a reta r
no ponto de abcissa 1.
Sabendo que g x = - 2- x 2 , qual é o valor de g
f
' 1 ?
 (A) 2 
 
(C) 5
4
 (B) -2 (D) 3
4
GRUPO II
 Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e necessárias.
 Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. Na inauguração de uma perfumaria ofereciam-se amostras de um determinado perfume. Pretendia-se 
 40% das pessoas não sabiam desta iniciativa;
 55% das pessoas compraram o perfume;
 duas pessoas em cada três das que sabiam da iniciativa compraram o perfume.
1.1. Qual é a probabilidade de uma pessoa, que não saiba desta iniciativa, comprar o perfume?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
1.2. Numa prateleira dessa mesma perfumaria encontravam-se 2 frascos de perfume da marca A, 3 fras-
cos da marca B e 4 frascos da marca C, todos distintos entre si.
O
y
x1
f
O
y
x1
2
3
f
r
todos agrupados por marca? Apresente o resultado sob a forma de fração irredutível.
70
Matemática 12 | Caderno de Testes
2. Considere a função f, de domínio - ,e \ 0
f x =
e
e
-
1
x + x se x < 0
1
1- ln x se 0 < x <
Resolva as duas primeiras alíneas seguintes utilizando métodos exclusivamente analíticos.
2.1. Estude a função f
2.2. Mostre que a função f tem pelo menos um zero no intervalo -2, -1 .
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a arredondamen-
tos, conserve três casas decimais.
2.3. Utilize as da calculadora para determinar o zero referido na alínea anterior, 
para dar a sua resposta.
3. Seja g uma função, de domínio IR+, tal que g(x) 0 0, para qualquer x å IR+. Sabe-se que a reta de equa-
ção y = 0,5x
Seja h a função, de domínio IR+
 
h x = x
2
g x
Prove que a reta de equação y = 2x h.
4. Uma rampa de skate foi construída entre duas colunas A e B, distanciadas 5 metros, como se mostra 
A B5 metros
Considere a função h
h x = 6- 2 ln -x2 + 5x + 6 ,0 ≤ x ≤ 5 (ln designa o logaritmo de base e)
Admita que h(x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado x metros à direita da coluna A.
71
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
4.2. Mostre, analiticamente, que h 5
2
- x = h 5
2
+ x . Interprete esta igualdade no contexto da situação 
descrita.
5. xOy g. 
O
y
x
g
Sabe-se que:
 g é uma função contínua em ;
 g não tem zeros;
 a primeira derivada, f ', de uma certa função f tem domínio 
f ' x = g x * -x2 + 5x - 4
 f 1 * f 4 < 0.
Apenas uma das opções seguintes pode representar a função f.
 (I) 
y
x1 4 5O
 (II) 
O
y
x1 4
 
 (III) 
O
y
1 4
 (IV) 
O
y
x1 4
Elabore uma composição na qual:
 indique a opção que pode representar f;
 apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções.
4.1. Sem recorrer à calculadora, estude a função h quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a 
Matemática 12 | Caderno de Testes
72
Cotações
Grupo I ..................................................................................................................................................... 50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 35
1.1. .................................................................................................................... 20
1.2. .................................................................................................................... 15
2. .......................................................................................................................................... 50
2.1. .................................................................................................................... 20
2.2. .................................................................................................................... 15
2.3. .................................................................................................................... 15
3. .......................................................................................................................................... 20
4. .......................................................................................................................................... 30
4.1. .................................................................................................................... 15
4.2. .................................................................................................................... 15
5. .......................................................................................................................................... 15
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
Mat 12-caderno testes_1.indd 72 12/03/16 15:58
73
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
Proposta de resolução
GRUPO I
1. O número de casos possíveis é 28C6 .
O número de casos favoráveis é 7* 21C5 , 
pois 7 é o número de maneiras diferentes de 
escolher um de entre os sete alunos que fez 
o trabalho de casa; e por cada uma dessas 
maneiras existem 21C5 maneiras distintas de 
escolher 5 alunos de entre os 21 que não fez 
os trabalhos de casa.
Assim, a probabilidade pedida é 
7* 21C5
28C6
.
Resposta (B)
2. Seja f (x) = lnx. Então:
 f x * y( ) = ln x * y( )
= ln x + ln y
= f x( )+ f y( ),Ax, y +
Seja g (x) = ex. Então:
g x + y( ) = ex+ y
= ex * ey
= g x( )* g y( ),Ax, y +
Resposta (B)
3. 1+ 1
n
n
e-
ln 1+ 1
n
n
1-
A sucessão de termo geral 1+ 1
n
n
 tende para 1,
por valores inferiores a 1, pelo que 
lim f an( ) = lim
x 1-
f x( ) =1.
Resposta (C)
4. Dado que a reta de equação y = -2 é assíntota 
do grá co de f e Df = 
+, conclui-se que 
lim
x +
f x( ) = -2 .
Assim:
lim
x +
ln 1
x
f x( )
=
lim
x +
ln 1
x
lim
x +
f x( )
=
ln 1
+
-2
=
ln 0+( )
-2
=
-
-2
= +
Resposta (A)
5. g
f
'
1( ) =
g ' 1( )* f 1( )- g 1( )* f ' 1( )
f 1( )
2
=
2* 2- -1( )* -1( )
4
=
4-1
4
=
3
4
Cálculo auxiliar :
g ' x( ) = -2 2- x( ) -1( )
= 2 2- x( )
= 4- 2x
g ' 1( ) = 4- 2 = 2
g 1( ) = - 2-1( )2 = -1
f ' 1( ) = mt =
0- 2
3-1
= -1
Resposta (D)
GRUPO II
1.
1.1. Considere os acontecimentos:
S: “saber da iniciativa”
C: “comprar o perfume”
Da informação retirada do enunciado, sabe-se 
que:
• P S( ) = 0,4, logo P S( ) = 0,6.
Mat 12-caderno testes_1.indd 73 12/03/16 15:58
74
Matemática 12 | Caderno de Testes
• P C( ) = 0,55, logo P C( ) = 0,45.
• P C | S( ) = 2
3
P C | S( ) = 2
3
§
P C S( )
P S( )
=
2
3
§ P C S( ) = 2
3
*
6
10
§ P C S( ) = 2
5
§ P C S( ) = 0,4
Organizando os dados numa tabela, obtém-se:
C C Total
S 0,4 0,6
S 0,15 0,4
Total 0,55 0,45 1
Cálculo auxiliar :
P C S( ) = P C( )- P C S( )
= 0,55- 0,4
= 0,15
Pretende-se determinar:
P C | S( ) =
P C S( )
P S( )
=
0,15
0,4
=
3
8
1.2. O número de casos possíveis é 9!.
O número de casos favoráveis é 2! * 3! * 4! * 3!, 
pois:
N.º de maneiras 
distintas dos fras-
cos da marca A 
trocarem entre si
N.º de maneiras 
distintas dos 3 
blocos das marcas 
A, B e C trocarem 
entre si
N.º de maneiras 
distintas dos fras-
cos de perfume da 
marca B trocarementre si
N.º de maneiras 
distintas dos fras-
cos de perfume da 
marca C trocarem 
entre si
A1 A2
2!
B1 B2 B3
3!
C1 C2 C3 C4
4!* * * 3!
Assim, a probabilidade pedida é:
2!3! 4!3!
9!
=
1
210
2.
2.1. D f = - , e] [ \ 0{ }
• Assíntotas verticais
lim
x 0+
f x( ) = lim
x 0+
1
1- ln x =
1
1- ln 0+( )
=
1
1- -( )
=
1
+
= 0
lim
x 0-
f x( ) = lim
x 0-
e
-
1
x + x = e
-
1
0- + 0
= e- -( ) = e+ = +
A reta da equação x = 0 é uma assíntota verti-
cal do grá co de f.
lim
x e-
f x( ) = lim
x e-
1
1- ln x =
1
0+
= +
O
y y = 1 - ln x
xe
A reta de equação x = e é uma assíntota verti-
cal do grá co de f.
Dado que f é contínua no seu domínio, o seu 
grá co não admite mais assíntotas verticais.
• Assíntotas não verticais
y = mx + b, m,b( )
Dado que o domínio de f é limitado superior-
mente só faz sentido procurar assíntota não 
vertical quando x - .
m = lim
x -
f x( )
x
= lim
x -
e
-
1
x + x
x
= lim
x -
e
-
1
x
x
+1 = 1
-
+1= 0+1=1
Mat 12-caderno testes_1.indd 74 12/03/16 15:58
75
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
b = lim
x -
f x( )- x = lim
x -
e
-
1
x + x - x
= lim
x -
e
-
1
x =1
A reta da equação y = x + 1 é uma assíntota 
oblíqua do grá co de f quando x - .
2.2. f é contínua em ]- , 0[ por, neste intervalo, 
se tratar da soma de duas funções contínuas, 
uma que é a composta de uma função expo-
nencial com uma função racional e a outra 
que é uma função polinomial. 
Em particular, f é contínua em [-2, -1].
f -2( ) = e
-1
-2 + -2( ) = e
1
2 - 2 = e - 2< 0
f -1( ) = e
-1
-1 + -1( ) = e-1> 0
f -2( )* f -1( ) < 0
Pelo corolário do Teorema de Bolzano, con-
clui-se que E c å ]-2, -1[: f (c) = 0, ou seja, 
f tem pelo menos um zero no intervalo ]-2, -1[.
2.3. y
1
= e
-
1
x + x
O
y
y1
x-1,8
A
A(-1,8; 0) 
 O zero de f é, com aproximação às décimas, 
-1,8.
3. Sabe-se que a reta de equação y = 0,5x é 
uma assíntota do grá co de g, logo: 
lim
x +
g x( )
x
= 0,5 e lim
x +
g x( )- 0,5x = 0
Procura-se a assíntota não vertical do grá co 
de h, isto é, y = mx + b, m ,b
m = lim
x +
h x( )
x
= lim
x +
x2
g x( )* x
= lim
x +
x
g x( )
= lim
x +
1
g x( )
x
=
1
0,5
= 2
b = lim
x +
h x( )- 2x = lim
x +
x2
g x( )
- 2x
= lim
x +
x2 - 2xg x( )
g x( )
= - lim
x +
2x g x( )- 1
2
x
g x( )
= -2 lim
x +
x
g x( )
* lim
x +
g x( )- 0,5x
= -2 lim
x +
1
g x( )
x
* lim
x +
g x( )- 0,5x
= -2* 1
0,5
* 0 = 0
y = 2x é uma assíntota não vertical do grá co 
de h.
4. h x( ) = 6- 2 ln -x2 + 5x + 6( ) Dh = 0,5[ ]
4.1. h ' x( ) =
-2 -x2 + 5x + 6( ) '
-x2 + 5x + 6
=
-2 -2x + 5( )
-x2 + 5x + 6
=
4x -10
-x2 + 5x + 6
 Dh ' = 0,5[ ]
h ' x( ) = 0
4x -10 = 0 ‹ - x2 + 5x + 6 0 0
§ x = 10
4
‹ x 0 -1 ‹ x 0 6( )
§ x = 5
2
Cálculo auxiliar :
-x2 + 5x + 6 = 0
§ x =
-5 ¿ 25- 4* -6( )
-2
§ x = -5 ¿ 7
-2
§ x = 6 › x = -1
 
+
–– 6–1
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76
Matemática 12 | Caderno de Testes
0
5
2 5
4x -10 - - 0 + +
-x + 5x + 6 + + + + +
Sinal de h' - - 0 + +
Sentido de 
variação de h
M ¢ m £ M
A função atinge o mínimo em x = 5
2
.
Con rma-se assim que é num ponto equidis-
tante das duas colunas que a altura da rampa 
é mínima.
h é estritamente decrescente em 0, 5
2
.
h é estritamente crescente em 5
2
,5 .
4.2. Para qualquer x 0, 5
2
, tem-se que:
h 5
2
- x = h 5
2
+ x
§ 6 - 2 ln - 5
2
- x
2
+ 5 5
2
- x + 6 =
= 6 - 2 ln - 5
2
+ x
2
+ 5 5
2
+ x + 6
§- 2 ln - 25
4
- 5x + x2 + 25
2
- 5x + 6 =
= -2 ln - 25
4
+ 5x + x2 + 25
2
+ 5x + 6
§ ln - 25
4
+ 5x - x2 + 25
2
- 5x + 6 =
= ln - 25
4
- 5x - x2 + 25
2
+ 5x + 6
§ ln -x2 + 25
4
+ 6 = ln -x2 + 25
4
+ 6
§- x2 + 49
4
= -x2 + 49
4
Esta igualdade é sempre verdadeira, tal como 
se queria mostrar.
A igualdade h 5
2
- x = h 5
2
+ x traduz o
seguinte facto:
Pontos equidistantes (para a esquerda e para 
a direita) do meio da rampa estão à mesma 
altura.
5. A opção que pode representar a função f é a (B).
Pode-se excluir a opção (A), pois, pelo facto de 
f ' estar de nida em , em particular, f é derivá-
vel, logo contínua.
A opção (C) também é excluída porque não 
respeita o sentido de variação da função f. O 
sentido de variação da função f é obtido pelo 
estudo do sinal da primeira derivada de f. 
Pelo facto da parte do grá co de g visualizada 
estar acima do eixo das abcissas, tem-se que 
g x( ) > 0, Ax . 
Assim, o sinal de f ' é dado pelo sinal do fator 
-x2 + 5x - 4( ) obtido no seguinte esboço:
+
–– 41
Assim, rejeita-se a opção (C), pois, por exem-
plo, no intervalo [1, 4], e função é estritamente 
decrescente e o esboço apresentado indica 
que deveria ser estritamente crescente. 
Exclui-se a opção (D), visto que, por visuali-
zação grá ca, as imagens de 1 e 4 têm sinais 
iguais, logo f 1( )* f 4( ) > 0 , o que contraria a 
condição dada, f 1( )* f 4( ) < 0 .
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77
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
Critérios especí cos de classi cação 
 GRUPO I
Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas B B C A D
GRUPO II
1.
1.1................................................................................................................................................. 20 pontos
No que se segue, vamos designar por S o acontecimento “saber da iniciativa”, por C o acontecimento 
“comprar o perfume”.
Escrever P S( ) = 0,4 (ou equivalente) ............................................................................................. 2 pontos
Obter P(S) ........................................................................................................................................ 2 pontos
Escrever P(C) .................................................................................................................................. 2 pontos
Escrever P C | S( ) = 2
3
 (ou equivalente) ........................................................................................... 4 pontos
Obter P C S( ) ............................................................................................................................... 4 pontos
Calcular P C S( ) ........................................................................................................................... 2 pontos
Escrever P C | S( ) =
P C S( )
P S( )
 .......................................................................................................... 2 pontos
Calcular P C | S( ) .............................................................................................................................2 pontos
1.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1)............................................................................... 12 pontos
Resultado nal (ver nota 2) ............................................................................................................. 3 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva 
pontuação a atribuir.
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78
Matemática 12 | Caderno de Testes
2!* 3!* 4!* 3!
9!
 (ou equivalente) ...................................................................................................... 12 pontos
2!* 3!* 4!
9!
 (ou equivalente) .............................................................................................................. 8 pontos
9C2 *
7C3 *
4C4
9!
 (ou equivalente) ................................................................................................. 4 pontos
Outras situações ..............................................................................................................................0 pontos
Nota 2
A classi cação relativa a esta etapa só é atribuída se a etapa anterior não tiver sido classi cada com zero 
pontos.
2.
2.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Estudar a existência de assíntotas verticais do grá co de f (ver nota 1) ...................................... 10 pontos
Calcular lim
x 0+
f x( ) ...............................................................................................................2 pontos
Calcular lim
x 0-
f x( ) ...............................................................................................................2 pontos
Concluir que a reta de equação x = 0 é uma assíntota vertical do grá co de f ........................1 ponto
Calcular lim
x e-
f x( ) ................................................................................................................2 pontos
Concluir que a reta de equação x = e é uma assíntota vertical do grá co de f ........................1 ponto
Justi car a não existência de mais assíntotas verticais .........................................................2 pontos
Estudar a existência de assíntota não vertical quando x - (ver nota 2) ................................... 10 pontos
Determinar m
Escrever m = lim
x –
f x( )
x
 ..........................................................................................................1 ponto
Escrever lim
x –
f x( )
x
= lim
x –
e
-
1
x + x
x
 ........................................................................................1 ponto
Escrever lim
x –
e
-
1
x + x
x
= lim
x –
e
-
1
x
x
+1 .................................................................................1 ponto
Obter m = 1 .............................................................................................................................2 pontos
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79
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
Determinar b
Escrever b = lim
x -
f x( )- x ....................................................................................................1 ponto
Escrever b = lim
x -
f x( )- x = lim
x -
e
-
1
x ...............................................................................1 ponto
Obter b = 1 ..............................................................................................................................2 pontos
Concluir que a reta de equação y = x + 1 é uma assíntota oblíqua do grá co de f 
quando x - ..........................................................................................................................1 ponto
Nota 1
Se o aluno calcular outro(s) limite(s) para além dos indicados, a classi cação a atribuir a esta etapa deve 
ser desvalorizada em 2 pontos. Se, da aplicação desta nota resultar uma classi cação negativa, esta etapa 
deve ser classi cada com zero pontos.
Nota 2
Se o aluno tentar calcular lim
x +
f x( ) ou lim
x +
f x( )
x
 a classi cação a atribuir a esta etapa deve ser des-
valorizada em 2 pontos.
2.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Justi car a continuidade da função f no intervalo [-2,-1] (ver nota 1) ............................................ 3 pontos
Calcular f (-2) ................................................................................................................................... 2 pontos
Calcular f (-1) ................................................................................................................................... 2 pontos
Concluir que f (-2) < 0 .......................................................................................................................1 ponto
Concluir que f (-1) > 0 .......................................................................................................................1 ponto
Escrever f (-2) * f (-1) < 0 ou f (-2) < 0 < f (-1) ............................................................................. 2 pontos
Concluir o pretendido (ver nota 2) ................................................................................................... 4 pontos
Nota 1
Se o aluno não justi car a continuidade no intervalo [-2,-1], mas justi car a continuidade em -, a classi-
 cação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos.
Nota 2
Se o aluno concluir o pretendido mas não referir que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano ou do seu 
corolário, a classi cação a atribuir a esta etapa é de 2 pontos.
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80
Matemática 12 | Caderno de Testes
2.3. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Equacionar o problema e
-
1
x + x = 0 ............................................................................................... 4 pontos
Representar gra camente a função f em ]- , 0[ ou em ]-2, -1[ ..................................................... 4 pontos
Assinalar devidamente o zero ............................................................................................................1 ponto
Apresentar o valor pedido (ver nota) ............................................................................................... 6 pontos
Nota
A apresentação do valor pedido deve ser classi cada de acordo com o seguinte critério:
1.º caso: valor com uma casa decimal
-1,8 ................................................................................................................................................. 6 pontos
-1,7 ou -1,9 .................................................................................................................................... 4 pontos
Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos
2.º caso: valor com mais de uma casa decimal
valor pertencente ao intervalo [-1,75; 1,77] ..................................................................................... 3 pontos
Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos
3.º caso: valor com menos de uma casa decimal
Valor igual a -2 ................................................................................................................................. 1 ponto
Outros valores ................................................................................................................................ 0 pontos
3. .................................................................................................................................................. 20 pontos
Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.
1.º Processo:
Indicar lim
x +
g x( )
x
= 0,5 .................................................................................................................. 2 pontos
Indicar lim
x +
g x( )- 0,5x = 0 ......................................................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x +
h x( )
x
= lim
x +
x2
g x( )* x
 .................................................................................................1 ponto
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81
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
Escrever lim
x +
x2
g x( )* x
= lim
x +
x
g x( )
 .................................................................................................1 ponto
Escrever limx +
x
g x( )
= lim
x +
1
g x( )
x
 ......................................................................................................1 ponto
Obter lim
x +
h x( )
x
= 2 ..........................................................................................................................1ponto
Escrever lim
x +
h x( )- 2x = lim
x +
x2
g x( )
- 2x .....................................................................................1 ponto
Escrever lim
x +
x2
g x( )
- 2x = lim
x +
x2 - 2xg x( )
g x( )
 ............................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x +
x2 - 2xg x( )
g x( )
= - lim
x +
2x g x( )- 0,5x
g x( )
 ....................................................................... 2 pontos
Escrever - lim
x +
2x g x( )- 0,5x
g x( )
= -2 lim
x +
x
g x( )
* lim
x +
g x( )- 0,5x .............................................. 2 pontos
Escrever -2 lim
x +
x
g x( )
* lim
x +
g x( )- 0,5x = -2 lim
x +
1
g x( )
x
* lim
x +
g x( )- 0,5x = ............................1 ponto
Escrever -2 lim
x +
1
g x( )
x
* lim
x +
g x( )- 0,5x = -2* 1
0,5
* 0 .................................................................1 ponto
Obter lim
x +
h x( )- 2x = 0 ................................................................................................................ 1 ponto
Concluir que a reta de equação y = 2x é uma assíntota oblíqua do grá co de h quando x + ..... 2 pontos
2.º Processo:
Indicar lim
x +
g x( )
x
= 0,5 .................................................................................................................... 2 pontos
Indicar lim
x +
g x( )- 0,5x = 0 ........................................................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x +
h x( )- 2x = lim
x +
x2
g x( )
- 2x ................................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x +
x2
g x( )
- 2x = lim
x +
x2 - 2xg x( )
g x( )
 ............................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x +
x2 - 2xg x( )
g x( )
= lim
x +
-2x g x( )- 0,5x
g x( )
 ....................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x +
-2x g x( )- 0,5x
g x( )
= -2 lim
x +
x
g x( )
* lim
x +
g x( )- 0,5x .................................................1 ponto
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82
Matemática 12 | Caderno de Testes
Escrever -2 lim
x +
x
g x( )
* lim
x +
g x( )- 0,5x = -2 lim
x +
1
g x( )
x
* lim
x +
g x( )- 0,5x ............................ 4 pontos
Escrever -2 lim
x +
1
g x( )
x
* lim
x +
g x( )- 0,5x = -2* 1
0,5
* 0 ................................................................1 ponto
Obter lim
x +
h x( )- 2x = 0 .............................................................................................................. 2 pontos
Concluir que a reta de equação y = 2x é uma assíntota oblíqua do grá co de h quando x + ..... 2 pontos
4.
4.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Determinar h ' x( ) h ' x( ) = 4x -10
-x2 + 5x + 6
 .......................................................................................... 3 pontos
Determinar o zero de h' .................................................................................................................. 4 pontos
Escrever h'(x) = 0 ..................................................................................................................... 1 ponto
Resolver a equação x = 5
2
 ................................................................................................ 3 pontos
Estudar o sinal de h' e consequente conclusão, relativamente ao extremo relativo de h, com recurso a um 
quadro ............................................................................................................................................. 5 pontos
Primeira linha do quadro ........................................................................................................ 1 ponto
Sinal de h' .............................................................................................................................. 2 pontos
Relação entre o sinal de h' e a monotonia de h ...................................................................... 1 ponto
Indicar, no quadro que a função h tem o seu valor mínimo para x =
5
2
 ..................................1 ponto
Escrever “h é estritamente decrescente em 0, 5
2
” ......................................................................... 1 ponto
Escrever “h é estritamente crescente em 5
2
,5 ” ............................................................................. 1 ponto
Concluir o pretendido ....................................................................................................................... 1 ponto
4.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Escrever 6- 2 ln - 5
2
- x
2
+ 5 5
2
- x + 6 = 6- 2 ln - 5
2
+ x
2
+ 5 5
2
+ x + 6 ................................. 3 pontos
Escrever -2 ln - 25
4
- 5x + x2 + 25
2
- 5x + 6 = -2 ln - 25
4
+ 5x + x2 + 25
2
+ 5x + 6 ......................... 3 pontos
Escrever ln - 25
4
+ 5x - x2 + 25
2
- 5x + 6 = ln - 25
4
- 5x - x2 + 25
2
+ 5x + 6 ..................................... 2 pontos
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83
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 5
Escrever ln -x2 + 25
4
+ 6 = ln -x2 + 25
4
+ 6 .................................................................................. 2 pontos
Escrever -x2 + 49
4
= -x2 + 49
4
 ......................................................................................................... 3 pontos
Concluir que esta igualdade é sempre verdadeira ......................................................................... 2 pontos
5. .................................................................................................................................................. 15 pontos
A) Identi car a opção que representa f.
B) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (I).
C) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (III).
D) Indicar uma razão que permita rejeitar a opção (IV).
Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classi cada a resposta a este item, de acordo com os níveis 
de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, e os níveis de desempenho no 
domínio especí co da disciplina.
Descritores do nível de desempenho no domínio 
da comunicação escrita em língua portuguesa.
Descritores do nível de desempenho 
no domínio especí co da disciplina.
Níveis*
1 2 3
N
ív
ei
s
6 Apresenta corretamente os quatro pontos, OU apenas os pontos B, C e D. 13 14 15
5
Apresenta corretamente apenas os pontos A, B e C, Ou apenas os pontos A, 
B e D, OU apenas os pontos A, C e D.
10 11 12
4
Apresenta corretamente apenas os pontos B e C, OU apenas os pontos B e D, 
OU apenas os pontos C e D.
7 8 9
3
Apresenta corretamente apenas os pontos A e B, OU apenas os pontos A e C, 
OU apenas os pontos A e D.
4 5 6
2
Apresenta corretamente apenas o ponto B, OU apenas o ponto C, OU apenas 
o ponto D.
1 2 3
1 Apresenta apenas o ponto A. 1 1 1
*Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classi cação.
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84
Matemática 12 | Caderno de Testes
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
3.
lim
x +
h x( )
x
= lim
x +
x2
g x( )
x
= lim
x +
x
g x( )
= lim
x +
x
=
1
0,5
= 2
lim
x +
h x( )- 2x = lim
x +
x2
g x( )
- 2x
= lim
x +
x2
- 2x
= lim
x +
x
0,5
- 2x
= lim
x +
2x - 2x( ) = 0
y = 2x é uma assíntota oblíqua do grá co de h.
Cotação a atribuir ..........................3 pontos
O aluno segue o 1.º Processo e:
• não indica lim
x +
g x( )
x
= 0,5 ..............0 pontos
• não indica lim
x +
g x( )- 0,5x = 0 .....0 pontos
• escreve lim
x +
h x( )
x
= lim
x +
x2
g x( )
x
....1 ponto
• escreve lim
x +
x2
g x( )
x
= lim
x +
x
g x( )
 ...1 ponto• não escreve lim
x +
x
g x( )
= lim
x +
1
g x( )
x
 ........
 ...........................................................0 pontos
• não obtém corretamente o valor de 
lim
x +
h x( )
x
 ..........................................0 pontos
• escreve lim
x +
h x( )- 2x = lim
x +
x2
g x( )
- 2x
 .............................................................1 ponto
• não obtém corretamente o valor de 
lim
x +
h x( )- 2x .............................. 0 pontos
• conclui ..............................................0 pontos
 O aluno não pode substituir g(x) por 0,5x no 
cálculo do limite. Caso o faça, a etapa em que 
efetua esta substituição e todas as subsequen-
tes devem ser classi cadas com zero pontos.
4.
4.1. h ' x( ) =
-2 -x2 + 5x + 6( ) '
-x2 + 5x + 6
=
-2 -2x + 5( )
-x2 + 5x + 6
=
4x -10
-x2 + 5x + 6
, x 0,5[ ]
h ' x( ) = 0 § 4x -10 = 0 ‹ - x2 + 5x + 6 0 0
§ x = 5
2
‹ x 0 -1 ‹ x 0 6( )
Cálculo auxiliar :
-x2 + 5x + 6 = 0 § x =
-5 ¿ 25- 4* -6( )
-2
x = -1 › x = 6
h admite um mínimo em x = 5
2
, logo, num ponto 
equidistante das duas colunas.
Cotação a atribuir ..........................7 pontos
Nesta resposta o aluno:
• determina h' .....................................3 pontos
• determina o zero de h' ......................4 pontos
• não estuda o sinal de h' e a conclusão que tira 
não se baseia em qualquer estudo ...............
 .........................................................0 pontos
0,5x
0,5x
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85
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 6
 Duração: 90 minutos
Matriz
 Tipologia, número de itens e cotação:
 Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Análise combinatória
 > Distribuição de probabilidades
 > Distribuição normal e curva de Gauss
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II
 > Função exponencial de base superior a 1
 > Função logarítmica de base superior a 1
 > Limites
 > Continuidade
 > Assíntotas do grá co de uma função
 > Derivadas
Tema III – Trigonometria e números complexos
 > Funções trigonométricas
 > Fórmulas trigonométricas
 > Limites trigonométricos
 > Derivadas de funções trigonométricas 
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 5 15 a 20
Uso obrigatório de 
calculadora grá ca 1 20
Raciocínio 
demonstrativo 1 20
Resposta extensa
(composição) 1 15
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86
Matemática 12 | Caderno de Testes
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justi cações.
1. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte.
xi 0 1 2 3 4
P(X = xi) a b 2a b 0,1
Sabe-se que:
• a e b são números reais; • P X ≤1( ) = 4P X = 4( ) .
Qual é o valor de b?
 (A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4
2. Admita que a idade, X, em anos, do momento do parto, das mulheres, que foram mães, pela primeira 
vez, no ano de 2010 numa dada região, segue aproximadamente, uma distribuição normal, de valor 
médio 27 anos. Sabe-se que aproximadamente 95,45% dessas mulheres tinha entre 19 e 35 anos.
Qual é o desvio-padrão da variável aleatória X?
 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
Teste n.º 6
Matemática A
 Duração do teste: 90 minutos
 12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
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87
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 6
3. Considera o grá co da função f representado na gura, e cujo domínio é o intervalo ]a,b[.
O
y
xa b
A função f tem primeira e segunda derivadas nitas em todos os pontos do seu domínio.
Seja x a,b] [ .
Qual das seguintes a rmações é verdadeira?
 (A) f ' x( ) > 0 e f '' x( ) > 0 (B) f ' x( ) < 0 e f '' x( ) > 0
 (C) f ' x( ) > 0 e f '' x( ) < 0 (D) f ' x( ) < 0 e f '' x( ) < 0
4. Seja g uma função de domínio +. Sabe-se que:
• lim
x +
g x( )+ x
x
=1;
• o grá co de g tem uma assíntota não vertical.
Qual das seguintes equações pode de nir essa assíntota?
 (A) y = x (B) y = 2x +1 (C) y = -x (D) y = 2
5. Na gura está representado em referencial o. n. xOy o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
• C é o ponto de coordenadas (1,0);
• os pontos D e E pertencem ao eixo Oy;
• [AB] é um diâmetro do círculo trigonométrico;
• as retas EA e BD são paralelas ao eixo Ox;
• é a amplitude do ângulo COA;
• 0,
2
.
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada?
 (A) cos * sen (B) cos * sen2
 (C) cos + sen (D) sen 2( )
O
y
x
E A
B D
Cθ
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88
Matemática 12 | Caderno de Testes
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e todas as justi cações necessárias.
• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. Num determinado dia, três casais: os Gomes, os Gonçalves e os Raposo decidem jantar juntos.
1.1. De quantas maneiras se podem sentar os seis amigos, numa mesa como a da gura, cando os ele-
mentos de cada casal frente a frente e sabendo que nenhum dos elementos se senta na cabeceira 
da mesa?
1.2. Depois de ouvirem algumas músicas, os seis amigos resolveram dançar aos pares.
Admita que, numa dança:
• cada rapaz dança com uma rapariga;
• todos os amigos dançam;
• todos os pares são escolhidos ao acaso.
A probabilidade de, nessa dança, os elementos do casal Gomes dançarem um com o outro é igual a 2
3!
.
Explique, numa pequena composição, o raciocínio que conduziu a esta expressão.
Nota: Deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos:
• Referência à regra de Laplace.
• Explicação do número de casos possíveis.
• Explicação do número de casos favoráveis.
2. Seja a função f, de domínio +, de nida por f x( ) =
sen x -1( )
ex - e
+ 4 se 0 < x <1
xe-x + 4x se x ≥1
Resolva as seguintes alíneas utilizando métodos exclusivamente analíticos.
2.1. Averigue se a função é contínua em x =1.
2.2. O grá co da função f tem uma assíntota oblíqua. Determine a equação reduzida dessa assíntota.
2.3. Resolva, no intervalo 1,+[ [, a equação 
f x( )
x
= ex - 2 .
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89
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 6
3. Na gura está a representação grá ca da função g, de nida em 0,2[ ] , por g x( ) = sen 2x( )+ x +1.
y
x
A
B
CO D 2π
Resolva as duas primeiras alíneas utilizando métodos exclusivamente analíticos.
3.1. Determine a área do trapézio [ABDC], sabendo que os pontos A e B correspondem a máximos da 
função e que os pontos C e D pertencem ao eixo das abcissas. 
3.2. Mostre que Ex 0,
3
: g x( ) = g ' x( ) .
3.3. Existe um ponto no grá co de g cuja ordenada é o dobro da abcissa. Determine as coordenadas 
desse ponto recorrendo à calculadora grá ca.
Na sua resposta, deve:
• equacionar o problema;
• reproduzir o grá co da função ou os grá cos das funções que tiver necessidade de visualizar na 
calculadora, devidamente identi cado(s), incluindo o referencial;
• assinalar esse ponto;
• indicar as coordenadas desse ponto com arredondamento às centésimas.
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Matemática 12 | Caderno de Testes
90
Cotações
Grupo I .....................................................................................................................................................50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 30
1.1. .................................................................................................................... 15
1.2. .................................................................................................................... 15
2. .......................................................................................................................................... 60
2.1. .................................................................................................................... 20
2.2. .................................................................................................................... 20
2.3. .................................................................................................................... 20
3. .......................................................................................................................................... 60
3.1. .................................................................................................................... 20
3.2. .................................................................................................................... 20
3.3. .................................................................................................................... 20
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
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91
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 6
Proposta de resolução
GRUPO I
1. Dado que P x ≤1( ) = 4P x = 4( ) , vem que:
a + b = 4* 0,1§ a + b = 0,4
Além disso:
P x = 0( )+ P x =1( )+ P x = 2( )+ P x = 3( )+
+P x = 4( ) =1
Isto é: 
a + b+ 2a + b+ 0,1=1§ 3a + 2b = 0,9
Assim:
a + b = 0,4
3a + 2b = 0,9
§
a = 0,4- b
3 0,4- b( )+ 2b = 0,9
§
a = 0,4- b
1,2- 3b+ 2b = 0,9
§
a = 0,1
b = 0,3
Logo, b = 0,3.
Resposta (C)
2. X segue aproximadamente uma distribuição 
normal N 27,( ). Assim:
P 27- 2 < x < 27+ 2( ) ) 95,45%
Ou seja, 27- 2 =19 e 27+ 2 = 35.
Logo, = 4.
Resposta (B)
3. f é estritamente decrescente em a,b] [ , logo não 
se pode ter f ' x( ) > 0,Ax a,b] [ .
O grá co de f tem a concavidade voltada para 
cima em a,b] [, logo não se pode ter 
f '' x( ) < 0,Ax a,b] [.
Logo, a a rmação verdadeira é: 
f '' x( ) < 0 e f '' x( ) > 0
Resposta (B)
4. lim
x +
g x( )+ x
x
=1§ lim
x +
g x( )
x
+
x
x
=1
§ lim
x +
g x( )
x
+1 =1§ lim
x +
g x( )
x
+1=1
§ lim
x +
g x( )
x
= 0
O declive da assíntota é igual a zero. Logo, 
o grá co de g tem uma assíntota horizontal 
quando x + . A única equação que pode 
de nir essa assíntota é y = 2 .
Resposta (D)
5. A cos ,sen( ) OE = sen EA = cos
Asombreada= 2 *
OE * EA
2
= sen * cos
Resposta (A)
GRUPO II
1.
1.1. O número de maneiras possíveis é:
2! * 2! * 2! * 3! = 48
1.2. Uma vez que cada rapaz dança com uma rapa-
riga, todos os amigos dançam e os pares são 
escolhidos ao acaso, temos 3! maneiras distin-
tas de organizar os três pares de dança: o rapaz 
Gomes pode dançar com uma das três rapari-
gas possíveis. Por cada uma destas maneiras, 
o rapaz Gonçalves pode dançar com uma das 
duas raparigas que restam e nalmente o rapaz 
Raposo dança com a rapariga disponível.
O número de casos favoráveis ao aconteci-
mento “os elementos do casal Gomes dança-
ram um com o outro” é igual a 2, pois o rapaz 
Gomes tem apenas uma rapariga possível (a 
rapariga Gomes), o rapaz Gonçalves tem duas 
possibilidades diferentes (rapariga Gonçalves 
ou rapariga Raposo) e por cada uma des-
tas maneiras o rapaz Raposo ca com apenas 
uma possibilidade (a única rapariga disponível).
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92
Matemática 12 | Caderno de Testes
Assim, de acordo com a regra de Laplace, a 
probabilidade de um acontecimento é dada 
pelo quociente entre o número de casos 
favoráveis e o número de casos possíveis, 
quando estes são todos equiprováveis e o 
conjunto de resultados nito, ou seja, a pro-
babilidade pedida é igual a 2
3!
.
2.
2.1. A função f é contínua em x =1 se:
lim
x 1-
f x( ) = lim
x 1+
f x( ) = f 1( )
lim
x 1-
f x( ) = lim
x 1-
sen x -1( )
ex - e
+ 4
= lim
x 1-
sen x -1( )
e x -1( )
+ 4
=
1
e
lim
x 1-
sen x -1( )
x -1
+ 4
Consideremos a mudança de variável
x -1= y. Como x 1-, y 0-.
=
1
e
lim
y 0-
sen y
y
+ 4
=
1
e
*1+ 4
Note que: lim
y 0
sen y
y
= 0
(limite notável)=
1
e
+ 4
lim
x 1+
f x( ) = lim
x 1+
xe-x + 4x( ) =1e-1+ 4 = 1e + 4
f 1( ) =1e-1+ 4 = 1
e
+ 4
Como lim
x 1-
f x( ) = lim
x 1+
f x( ) = f 1( ),concluí-
mos que f é contínua em x =1.
2.2. Assíntota oblíqua 
y = mx + b, m \ 0{ }, b( )
m = lim
x +
f x( )
x
= lim
x +
xe-x + 4x
x
= lim
x +
xe-x
x
+
4x
x
= lim
x +
e-x + 4( ) = e- + 4 = 0+ 4 = 4
b = lim
x +
f x( )- 4x = lim
x +
xe-x + 4x - 4x( )
= lim
x +
xe-x( ) = lim
x +
x
ex
= lim
x +
1
ex
x
=
1
+
= 0
Note que: lim
x +
ex
x
= + (limite notável)
A reta de equação y = 4x é assíntota oblí-
qua do grá co de f.
2.3. Em 1,+[ [:
f x( )
x
= ex - 2 § xe
-x
+ 4x
x
= ex - 2
§ e-x + 4 = ex - 2 § 1
ex
+ 4- ex + 2 = 0
§
1
ex
- ex + 6 = 0 §1- ex( )2 + 6ex = 0
§- ex( )2 + 6ex +1= 0
Considerando a mudança de variável ex = y, 
vem que:
- y2 + 6y +1= 0 § y =
-6 ¿ 36- 4* -1( )
-2
§ y = -6 ¿ 40
-2
§ y = -6 ¿ 2 10
-2
§ y = 3 ¿ 10
Substituindo y por ex:
ex = 3+ 10 › ex = 3- 10
Equação
impossívelx = ln 3+ 10( )
C.S.= ln 3+ 10( ){ }
3.
3.1. g x( ) = sen 2x( )+ x +1, x 0,2[ ]
g ' x( ) = 2cos 2x( )+1, x 0,2[ ]
g ' x( ) = 0
2cos 2x( )+1= 0
§ cos 2x( ) = - 1
2
4π
O
y
x1
2
3
2π
3
-
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93
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 6
§ 2x = 2
3
+ 2k › 2x = 4
3
+ 2k , k
§ x =
3
+ k › x = 2
3
+ k , k
Em 0,2[ ]:
k = 0 x =
3
› x = 2
3
k =1 x = 4
3
› x = 5
3
0 3
2
3
4
3
5
3 2
S
in
al
 
de
 g
+ + 0 - 0 + 0 - 0 + +
S
en
tid
o 
de
 
va
ria
çã
o
mín. £ Máx. ¢ mín. £ Máx. ¢ mín. £ Máx.
Cálculo auxiliar :
g ' 0( ) = g ' 2( ) = 3 > 0 g '( ) = 3 > 0
g '
2
= -1< 0 g ' 3
2
= -1< 0
• Coordenadas de A
g
3
= sen 2
3
+
3
+1= 3
2
+
3
+1
A
3
, 3
2
+
3
+1
• Coordenadas de B
g 4
3
= sen 8
3
+
4
3
+1= 3
2
+
4
3
+1
B 4
3
, 3
2
+
4
3
+1
A ABDC[ ] =
DB + AC
2
*CD
=
3
2
+
4
3
+1+ 3
2
+
3
+1
2
*
4
3
-
3
=
2 3
2
+
5
3
+ 2
2
*
=
3
2
+
5
6
+1
3.2. Consideremos a função h x( ) = g x( )- g ' x( ) .
h é contínua em 0,2[ ] por se tratar de dife-
rença entre duas funções contínuas (g é con-
tínua por ser a soma de uma função trigono-
métrica com uma função a m e g' é contínua 
por ser a soma de duas funções contínuas: 
uma que é o produto de uma constante por 
uma função trigonométrica e a outra que é 
uma função constante. Em particular, g é 
contínua em 0,
3
.
h 0( ) = g 0( )- g ' 0( ) =1- 3 = -2< 0
h
3
= g
3
- g '
3
=
3
2
+
3
+1+ 0
=
3
2
+
3
+1> 0
h 0( )* h
3
< 0
Pelo corolário do Teorema de Bolzano, con-
cluímos que:
Ex 0,
3
: h x( ) = 0
§Ex 0,
3
: g x( )- g ' x( ) = 0
§Ex 0,
3
: g x( ) = g ' x( )
3.3. g x( ) = 2x ‹ x 0,2[ ]
y1 = sen 2x( )+ x +1
y2 = 2x
y
x
y2
y1
I
1,38
2,75
O 2π
As coordenadas desse ponto são:
I (1,38; 2,75)
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94
Matemática 12 | Cadernode Testes
Critérios especí cos de classi cação 
 GRUPO I
Cada resposta certa ..................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas C B B D A
GRUPO II
1.
1.1. ................................................................................................................................................15 pontos
Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................................. 12 pontos
Calcular o valor pedido (ver nota 2) .............................................................................................. 3 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão, com a respetiva 
classi cação a atribuir.
2!* 2!* 2!* 3! (ou equivalente) ..................................................................................................... 12 pontos
2!* 2!* 2! (ou equivalente) ............................................................................................................. 6 pontos
3! (ou equivalente) .......................................................................................................................... 3 pontos
Outras situações............................................................................................................................... 0 pontos
Nota 2
A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídos zero 
pontos.
1.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
A composição deve abordar os pontos seguintes:
• Explicar o número de casos possíveis.
• Explicar o número de casos favoráveis.
• Enunciar a regra de Laplace.
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95
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 6
Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classi cada a resposta a este item, de acordo com os níveis 
de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, descritos nos critérios gerais 
e os níveis de desempenho no domínio especí co da disciplina.
Descritores do nível de desempenho no domínio 
da comunicação escrita em língua portuguesa.
Descritores do nível de desempenho 
no domínio especí co da disciplina.
Níveis*
1 2 3
N
ív
ei
s 3 A composição aborda, corretamente, os três pontos. 13 14 15
2 A composição aborda, corretamente, apenas dois pontos. 8 9 10
1 A composição aborda, corretamente, apenas um ponto. 3 4 5
*Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classi cação.
2.
2.1. ................................................................................................................................................20 pontos
Referir que f é contínua em x =1 se lim
x 1+
f x( ) = lim
x 1-
f x( ) = f 1( ) ................................................. 2 pontos
Calcular lim
x 1+
f x( ) ......................................................................................................................... 4 pontos
Calcular lim
x 1-
f x( ) ....................................................................................................................... 10 pontos
Levantar a indeterminação (ver nota) .................................................................................. 6 pontos
Obter o valor de lim
x 1-
f x( ) .................................................................................................. 4 pontos
Calcular f 1( ) ................................................................................................................................. 2 pontos
Concluir f é contínua em x =1 ........................................................................................................ 2 pontos
Nota: o aluno deve explicitar o limite notável, caso não o faça a classi cação a atribuir a esta etapa é de 4 pontos.
2.2..................................................................................................................................................20 pontos
Escrever m = lim
x +
f x( )
x
 .................................................................................................................. 1 ponto
Escrever lim
x +
f x( )
x
= lim
x +
xe-x + 4x
x
 ........................................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x +
xe-x + 4x
x
lim
x +
e-x + 4( ) ......................................................................................... 2 pontos
Concluir que lim
x +
f x( )
x
= 4 ........................................................................................................... 2 pontos
Escrever b = lim
x +
f x( )- 4x .......................................................................................................... 1 ponto
Escrever lim
x +
f x( )- 4x = lim
x +
xe-x + 4x - 4x( ) ......................................................................... 2 pontos
Escrever lim
x +
xe-x + 4x - 4x( ) = lim
x +
xe-x( ) ................................................................................ 2 pontos
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96
Matemática 12 | Caderno de Testes
Escrever lim
x +
xe-x = lim
x +
x
ex
 ....................................................................................................... 4 pontos
Concluir que lim
x +
f x( )- 4x = 0 .................................................................................................. 2 pontos
Concluir que a reta da equação y = 4x é assíntota oblíqua do grá co de f ................................... 2 pontos
2.3. ................................................................................................................................................20 pontos
Escrever a equação 
xe-x + 4x
x
= ex - 2 ............................................................................................. 1ponto
Escrever e-x + 4 = ex - 2 ................................................................................................................ 2 pontos
Escrever e-x - ex + 6 = 0 ................................................................................................................ 2 pontos
Escrever 1
ex
- ex + 6 = 0 ................................................................................................................. 2 pontos
Obter a equação - ex( )2 + 6ex +1= 0 ............................................................................................. 4 pontos
Resolver a equação - ex( )2 + 6ex +1= 0 ........................................................................................ 8 pontos
Concluir que ex = 3+ 10 › ex = 3- 10 ......................................................................... 4 pontos
Reconhecer que ex = 3- 10 é uma equação impossível .................................................. 2 pontos
Concluir que ex = 3+ 10 § x = ln 3+ 10( ) ........................................................................ 2 pontos
Concluir que ln 3+ 10( ) é solução da equação ............................................................................. 1 ponto
3.
3.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Determinar g' (x) .............................................................................................................................. 4 pontos
Determinar sen 2x( )( ) ' .......................................................................................................... 2 pontos
Determinar x +1( ) ' .................................................................................................................. 1 ponto
Obter g ' x( ) = 2cos 2x( )+1 .......................................................................................................1 ponto
Determinar os zeros de g' ................................................................................................................ 4 pontos
Estudar o sinal de g', com recurso a um quadro ............................................................................ 6 pontos
Primeira linha do quadro (relativa á variável x, de acordo com o domínio da função) ........... 1 ponto
Sinal de g' (x) ........................................................................................................................ 2 pontos
Relação entre o sinal de g' e a monotonia de g .................................................................... 2 pontos
Assinalar os extremos de g ..................................................................................................... 1 ponto
Obter as coordenadas de A .............................................................................................................. 1 ponto
Obter as coordenadas de B .............................................................................................................. 1 ponto
Determinar DB ................................................................................................................................... 1 ponto
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97
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 6
Determinar AC .................................................................................................................................. 1 ponto
Determinar CD .................................................................................................................................. 1 ponto
Obter o valor exato da área do trapézio [ABDC] ............................................................................... 1 ponto
3.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Escrever h x( ) = g x( )- g ' x( ) (ou equivalente) ................................................................................ 4 pontos
Justi car a continuidade de h em 0,
3
 (ver nota 1) .................................................................... 4 pontos
Determinar h 0( ) ............................................................................................................................. 2 pontos
Determinar h
3
 ........................................................................................................................... 2 pontos
Concluir que h 0( ) < 0 .......................................................................................................................1 ponto
Concluir que h
3
> 0 ......................................................................................................................1 ponto
Escrever h 0( )* h
3
< 0 ou h 0( ) < 0 < h
3
 ............................................................................... 2 pontos
Concluir que Ex 0,
3
: h x( ) = 0 (ver nota 2) .............................................................................. 2 pontos
Concluir que Ex 0,
3
: g x( ) = g ' x( ) ............................................................................................. 2 pontos
Nota 1
Se o aluno não referir a continuidade no intervalo 0,
3
, mas a rmar que a função é contínua, a classi -
cação a atribuir a esta etapa é 2 pontos.
Nota 2
Se o aluno concluir o pretendido, mas não referir que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano ou do 
seu corolário, a classi cação a atribuir a esta etapa é 1 ponto.
3.3. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Equacionar o problema g x( ) = 2x( ) ............................................................................................... 6 pontos
Apresentar corretamente os grá cos obtidos na calculadora ........................................................ 8 pontos
Grá co de g ........................................................................................................................... 3 pontos
Reta de equação y = 2x ...................................................................................................... 3 pontos
Respeito pelo domínio .......................................................................................................... 2 pontos
Assinalar devidamente o ponto ....................................................................................................... 2 pontos
Apresentar as coordenadas do ponto ...................................................................................(2+2) 4 pontos
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98
Matemática 12 | Caderno de Testes
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
1.
1.1. 2!* 2!* 2!* 3!
6!
=
1
15
Cotação a atribuir ...........................6 pontos
Nesta questão o aluno respondeu erradamente 
apresentado o valor de probabilidade e não o 
número de maneiras.
Apesar de ter realizado um raciocínio mais 
complexo e de no número de casos favoráveis 
apresentar a expressão pretendida, a cotação 
a atribuir a esta questão é inferior a metade da 
classi cação prevista.
2.
2.1. lim
x 1+
f x( ) = lim
x 1+
xe-x + 4x( )
=1e-1+ 4
=
1
e
+ 4
lim
x 1-
f x( ) = lim
x 1-
sen x -1( )
ex - e
+ 4
= lim
x 1-
sen x -1( )
e x -1( )
+ 4 + 4
= lim
x 1-
sen x -1( )
x -1
*
1
e
+ 4
=
1
e
* lim
x 1-
sen x -1( )
x -1
+ 4
=
1
e
*1+ 4
=
1
e
+ 4
f 1( ) = 1
e
+ 4
Como lim
x 1+
f x( ) = lim
x 1-
f x( ) = f 1( ), conclui-se
que f é contínua em x =1.
 
Cotação a atribuir .........................18 pontos
Nesta resposta o aluno:
• refere que f é contínua em x =1 se
lim
x 1-
f x( ) = lim
x 1+
f x( ) = f 1( ) ............. 2 pontos
• calcula corretamente lim
x 1+
f x( ) ...... 4 pontos
• ao calcular lim
x 1-
f x( ) não explicita ...............
convenientemente o limite notável ...8 pontos
• calcula f 1( ) ................................... 2 pontos
• conclui que f é contínua em x =1 ... 2 pontos
 Repara que quando o aluno escreve
lim
x 1-
sen x -1( )
x -1
 deveria no passo seguinte
escrever
lim
x -1( ) 0-
sen x -1( )
x -1
 ou lim
y 0-
sen y
y
, considerando
y = x -1
x 1- ± y 0-
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99
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 7
 Duração: 90 minutos
Matriz
 Tipologia, número de itens e cotação:
 Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Análise combinatória
 > Distribuição de probabilidades
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II
 > Função exponencial de base superior a 1
 > Função logarítmica de base superior a 1
 > Limites
 > Continuidade
 > Assíntotas do grá co de uma função
 > Derivadas
Tema III – Trigonometria e números complexos
 > Funções trigonométricas
 > Fórmulas trigonométricas
 > Limites trigonométricos
 > Derivadas de funções trigonométricas 
 > Representação trigonométrica de um número complexo
 > Operações com números complexos na forma algébrica 
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 6 15 a 20
Uso obrigatório de 
calculadora grá ca 1 15
Raciocínio 
demonstrativo 1 15
Resposta extensa
(composição) 1 15
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100
Matemática 12 | Caderno de Testes
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
• Se apresentar mais do queuma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justi cações.
1. Seja o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois aconte-
cimentos A , B( ) .
Sabe-se que P B( ) = 0,7, P A B( ) = 0,2 e P A B( ) = 0,5.
Qual é o valor de P(A)?
 (A) 0,5 (B) 0,4 (C) 0,3 (D) 0,2
2. Seja f uma função de domínio +. Sabe-se que a reta de equação y = - 4x +1 é uma assíntota do grá-
 co de f.
Qual é o valor de lim
x +
f x( )
x
+ f x( )+ 4x ?
 (A) - (B) 4 (C) -3 (D) 0
3. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da equação ln x2( ) = 2 ln3 .
 (A) {3} (B) {-9,9} (C) {9} (D) {-3,3}
Teste n.º 7
Matemática A
 Duração do teste: 90 minutos
 12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
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101
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 7
4. Na gura está parte da representação grá ca de uma função f de domínio . 
y
y = 1
xO
Tal como a gura sugere, a reta de equação y = 1 é uma assíntota do grá co de f. Seja g a função, de 
domínio \ 0{ } , de nida por: 
g x( ) = log f x( )
Numa das opções seguintes está parte da representação grá ca da função g.
Em qual delas?
 (A) y
xO
 (B) y
xO
 (C) y
xO
 (D) y
xO
5. Para um certo número real positivo e para um certo número real com-
preendido entre 0 e 
2
, o número complexo cis tem por imagem geo-
métrica o ponto A, representado na gura.
Qual é a imagem geométrica do número complexo 2 cis +( ) ?
 (A) O ponto B (B) O ponto C
 (C) O ponto D (D) O ponto E
Eixo
imaginário
Eixo
real
E
A
D
B
C
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102
Matemática 12 | Caderno de Testes
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e todas as justi cações necessárias.
• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. Uma caixa A contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis e uma caixa B contém 1 bola vermelha e 1 bola 
azul. Tira-se, ao acaso, uma bola da caixa A. Se a bola for vermelha, repõe-se na caixa A; se a bola for 
azul, coloca-se na caixa B.
Em seguida, tira-se, também ao acaso, uma segunda bola da caixa A, e procede-se do mesmo modo: 
se a bola for vermelha, repõe-se na caixa A; se a bola for azul, coloca-se na caixa B.
Seja X o número de bolas azuis que, no nal da experiência, estão na caixa B. Construa a tabela de 
distribuição de probabilidades da variável aleatória X.
Apresente as probabilidades na forma de fração irredutível.
2. Uma turma de 12.º ano de uma escola tem alunos do sexo masculino e do sexo feminino. Redija, no 
contexto desta situação, o enunciado de um problema de cálculo de probabilidade, inventado por si,
que admita como resposta correta 
14C6 +
10 C6
24C6
.
No enunciado que apresentar, deve explicitar claramente:
• o número total de alunos da turma;
• o número de alunos de cada sexo;
• a experiência aleatória;
• o acontecimento cuja probabilidade pretende que seja calculada (e cujo valor terá que ser dado pela 
expressão apresentada).
3. Seja o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. Sem recorrer à calculadora,
determine 1+ 3i( ) 2+ i( )- i
49
+ i100
1+ 4i
.
Apresente o resultado na forma algébrica.
4. Seja o conjunto dos números complexos. Considere a equação z3 - z2 + 9z - 9 = 0 . Esta equação 
tem três soluções em , sendo uma delas o número real 1. As imagens geométricas, no plano com-
plexo, dessas três soluções são vértices de um triângulo.
Determine a área desse triângulo. Resolva este item sem recorrer à calculadora.
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103
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 7
5. Na gura está representado o círculo trigonométrico.
Sabe-se que:
• o ponto B tem coordenadas (0,1);
• o ponto D tem coordenadas (1,0);
• um ponto A se desloca ao longo do arco DB, de tal forma que o segmento de 
reta [AC] é sempre paralelo ao eixo das abcissas;
• para cada posição do ponto A, designa a amplitude, em radianos, do ângulo
DOA 0,
2
.
Seja f a função que a cada valor de faz corresponder o perímetro do triângulo [ABC].
Resolva os itens 2.1. e 2.2., usando exclusivamente métodos analíticos.
5.1. Mostre que f ( ) = 2cos + 2 2- 2sen .
5.2. Seja r a reta tangente ao grá co da função f no ponto de abcissa 6 . Determine o declive da reta r.
5.3. Existe um valor de para o qual o perímetro do triângulo [ABC] é igual a 3. Determine esse valor, 
arredondado às centésimas, recorrendo às capacidades grá cas da calculadora.
Apresente o(s) grá co(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante para a resolução 
do problema.
6. De uma função g, de domínio - ,[ ] , sabe-se que a sua derivada está de nida igualmente no intervalo 
- ,[ ] e é dada por:
g ' x( ) = x + 2sen x
Utilizando métodos exclusivamente analíticos:
6.1. determine o valor de lim
x 0
g x( )- g 0( )
x
;
6.2. estude a função g quanto às concavidades do seu grá co e determine as abcissas dos pontos de 
in exão.
y
xO
A
B
C
D
α
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Matemática 12 | Caderno de Testes
104
Cotações
Grupo I ..................................................................................................................................................... 50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 20
2. .......................................................................................................................................... 15
3. .......................................................................................................................................... 15
4. .......................................................................................................................................... 20
5. .......................................................................................................................................... 45
5.1. .................................................................................................................... 15
5.2. .................................................................................................................... 15
5.3. .................................................................................................................... 15
6. .......................................................................................................................................... 35
6.1. .................................................................................................................... 15
6.2. .................................................................................................................... 20
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
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105
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 7
GRUPO I
1. • P B( ) = 0,7 1( )
• P A B( ) = 0,5 § P B( )- P A B( ) = 0,5
§
1( )
0,7- P A B( ) = 0,5
§ P A B( ) = 0,2 2( )
• P A B( ) = 0,2 § P A( )- P A B( ) = 0,2
§
2( )
P A( )- 0,2 = 0,2
§ P A( )= 0,4
O valor de P(A) é igual a 0,4.
Resposta (B)
2. Dado que a reta de equação y = -4x +1 é 
uma assíntota oblíqua do grá co de f quando 
x + , conclui-se que:
lim
x +
f x( )
x
= -4 e lim
x +
f x( )+ 4x =1
Logo:
 lim
x +
f x( )
x
+ f x( )+ 4x( )
= lim
x +
f x( )
x
+ lim
x +
f x( )+ 4x( )
= -4+1
= -3
Resposta (C)
3. ln x2( ) = 2 ln3 ‹ x \ 0{ }
§ ln x2( ) = ln 32( ) ‹ x \ 0{ }
§ x2 = 32 ‹ x \ 0{ }
§ x = 3 › x = -3( ) ‹ x \ 0{ }
C.S.= -3,3{ }
Resposta (D)
4. Por observação da representação grá ca da 
função f, sabemos que:
lim
x +
f x( ) =1-
lim
x -
f x( ) =1-
lim
x 0
f x( ) = 0+
 
O x
y
y = log x
1
Assim, concluímos que:
lim
x +
log f x( ) = log 1-( ) = 0-
lim
x -
log f x( ) = log 1-( ) = 0-
lim
x 0
log f x( ) = log 0+( ) = -
A única opção que respeita simultaneamente 
estas três condições é a opção (A).
Resposta (A)
5. 2 cis +( ) é um número complexo cujo 
módulo é o dobro do módulo do número com-
plexo cis .
A imagem geométrica de 2 cis +( ) dista da 
origem do referencial o dobro de OA. Por outro 
lado, se pertence ao 1.º quadrante, então 
 + pertence ao 3.º quadrante.
Assim, B é o único ponto situado no 3.º qua-
drante cuja distância a O é o dobro da de A.
Resposta (A)
GRUPO II
1. Caixa A: 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis
Caixa B: 1 bola vermelha e 1 bola azul
X: “número de bolas azuis que, no nal da 
experiência, estão na caixa B”.
Proposta de resolução
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106
Matemática 12 | Caderno de Testes
A variável X pode tomar os valores 1, 2 e 3.
A variável toma o valor 1 se e só se as bolas 
retiradas forem ambas vermelhas.
A variável toma o valor 2 se e só se a primeira 
bola retirada for vermelha e a segunda for azul, 
ou a primeira bola retirada for azul e a segunda 
for vermelha.
A variável toma o valor 3 se e só se as bolas 
retiradas forem ambas azuis.
P X =1( ) = 3
5
*
3
5
=
9
25
, pois as bolas vermelhas
são repostas na caixa A depois de retiradas.
P X = 2( ) = 3
5
*
2
5
+
2
5
*
3
4
=
6
25
+
6
20
=
6
25
+
3
10
=
12
50
+
15
50
=
27
50
Probabilidade 
de a primeira ser 
vermelha e de a 
segunda ser azul
Probabilidade 
de a primeira ser 
azul e a segunda 
ser vermelha
P X = 3( ) = 2
5
*
1
4
=
2
20
=
1
10
, pois as bolas azuis
não são repostas na caixa A depois de retiradas.
A tabela de distribuição de probabilidades da 
variável X é:
xi 1 2 3
P(X = xi)
9
25
27
50
1
10
2. Um enunciado possível é o seguinte:
Uma turma de 12.º ano de uma escola tem 24 
alunos: 14 raparigas e 10 rapazes. Pretende-
-se escolher, ao acaso, 6 desses alunos para 
formarem uma comissão de organização do 
baile de nalistas.
Qual é a probabilidade de a comissão ser 
constituída por alunos do mesmo sexo?
3. 1+ 3i( ) 2+ i( )- i
49
+ i100
1+ 4i
Cálculo auxiliar :
49 = 4*12+1
i49 = i1 = i
100 = 4* 25+ 0
i100 = i0 =1
=
2+ i + 6i + 3i2 - i +1
1+ 4i
=
3- 3+ 6i
1+ 4i( )
=
6i 1- 4i( )
1+ 4i( ) 1- 4i( )
=
6i - 24i2
1+16
=
24+ 6i
17
=
24
17
+
6
17
i
4. z3 - z2 + 9z - 9 = 0
Cálculo auxiliar:
1 -1 9 -9
1 1 0 9
1 0 9 0 = r
z3 - z2 + 9z - 9 = z -1( ) z2 + 9( )
z3 - z2 + 9z - 9 = 0
§ z -1( ) z2 + 9( ) = 0
§ z -1= 0 › z2 + 9 = 0
§ z =1 › z2 = -9
§ z =1 › z = 3i › z = -3i
C.S.= 1,3i,- 3i{ }
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107
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 7
 
Apretendida =
6*1
2
= 3 u.a.
Eixo
imaginário
Eixo
real
O
3
-3
1
5.1. P ABC[ ] = AC + AB + BC
Uma vez que A é a interseção do lado extremi-
dade do ângulo DOA com a circunferência de 
raio 1, conclui-se que A cos ,sen( ).
Assim, AC = 2cos .
X A
B
cos α
1 - sen α
Seja X a projeção do ponto A no eixo Oy. 
Então:
AB
2
= 1- sen( )2 + cos2
§ AB
2
=1- 2sen + sen2 + cos2
=1
§ AB
2
=1- 2sen +1
§ AB
2
= 2- 2sen
§ AB = 2- 2sen , pois AB > 0.
Como AB = BC, então BC = 2- 2sen .
Logo: 
f ( ) = 2cos + 2- 2sen + 2- 2sen
= 2cos + 2 2- 2sen c.q.d.
5.2. Seja m o declive da reta r. Então, m = f '
6
.
f ( ) = 2cos + 2 2- 2sen
f '( ) = 2cos( ) ' + 2 2- 2sen( ) '
= 2cos( ) ' + 2 2- 2sen( )
1
2
'
= -2sen + 2* 1
2
2- 2sen( )-
1
2 * 2- 2sen( ) '
= -2sen + 1
2- 2sen * -2cos( )
= -2sen - 2cos
2- 2sen
f '
6
= -2sen
6
-
2cos
6
2- 2sen
6
= - 2 * 1
2
-
2* 3
2
2- 2 * 1
2
= -1- 3
1
= -1- 3
O declive da reta r é igual a -1- 3 .
5.3. f ( ) = 3
y1 = 2cos + 2 2- 2sen
y2 = 3
I 0,77;3( )
y1
y2
αO 0,77
2
3 I
π
O perímetro do triângulo [ABC] é igual a 3 para 
x ) 0,77 rad.
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108
Matemática 12 | Caderno de Testes
6.
6.1. lim
x 0
g x( )- g 0( )
x
= lim
x 0
g x( )- g 0( )
x - 0
= g ' 0( )
= 0+ 2sen 0
= 0+ 2* 0
= 0
6.2. g ' x( ) = x + 2sen x, x - ,[ ]
g '' x( ) = x '+ 2sen x( ) '
=1+ 2cos x
g '' x( ) = 0
1+ 2cos x = 0
§ cos x = - 1
2
§ x = 2
3
+ 2k › x = - 2
3
+ 2k , k
Em - ,[ ] :
k = -1 x = 2
3
- 2 › x = - 2
3
- 2
§ x = - 4
3
- ,[ ]
› x = - 8
3
- ,[ ]
k = 0 x = 2
3
› x = - 2
3
k =1 x = 2
3
+ 2 › x = - 2
3
+ 2
§ x = 8
3
- ,[ ]
› x = 4
3
- ,[ ]
O
y
x1
2
3
2π
3
2π
-
-
Os zeros de g'' são - 2
3
 e 2
3
.
-
-
 
2
3
2
3
Sinal de g'' - - 0 + 0 - -
Sentido das 
concavidades
do grá co de g
P.I. P.I.
Cálculo auxilar:
g '' -( ) =1+ 2 -1( ) = -1< 0
g '' 0( ) =1+ 2 = 3 > 0
g ''( ) =1+ 2 -1( ) = -1< 0
O grá co de g tem concavidade voltada para
baixo em - ,- 2
3
 e em 2
3
, e tem a con-
cavidade voltada para cima em - 2
3
, 2
3
; 
-
2
3
 e 2
3
 são as abcissas dos pontos de
in exão.
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109
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 7
Critérios especí cos de classi cação 
 GRUPO I
Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas B C D A A
GRUPO II
1. ………………………………………………………………………………………………......…....… 20 pontos
Indicar os valores que a variável X pode tomar 1,2,3{ }( ) .............................................................. 3 pontos
Calcular a probabilidade de cada um dos valores da variável X ................................. (4 + 4 + 4) 12 pontos
Apresentar a tabela de distribuição de probabilidades (ver nota) ................................................. 5 pontos
Nota:
A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se, na etapa anterior, não tiverem sido atribuídos zero pontos.
2. ...................................................................................................................................................15 pontos
A composição deve abordar os seguintes pontos:
• O número total de alunos da turma.
• O número de alunos de cada sexo.
• A experiência aleatória.
• O acontecimento cuja probabilidade pretende que seja calculada.
Na tabela seguinte indica-se como deverá ser classi cada a redação. Os níveis 1, 2 e 3 dizem respeito ao 
desempenho na comunicação em língua portuguesa, de acordo com o disposto nos critérios gerais.
Nível 1 Nível 2 Nível 3
A composição contempla corretamente os quatro pontos. 13 14 15
A composição contempla corretamente apenas três pontos. 9 10 11
A composição contempla corretamente apenas dois pontos. 5 6 7
A composição contempla corretamente apenas um ponto. 1 2 3
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110
Matemática 12 | Caderno de Testes
3. ...................................................................................................................................................15 pontos
Obter 1+ 3i( ) 2+ i( ) = 2+ i + 6i + 3i2 ................................................................................................. 2 pontos
Escrever i49 = i .............................................................................................................................. 2 pontos
Escrever i100 =1 ............................................................................................................................2 pontos
Simpli car o numerador 6i( ) .......................................................................................................... 2 pontos
Multiplicar ambos os termos da fração por 1- 4i( ) ......................................................................... 2 pontos
Obter no numerador 24+ 6i ........................................................................................................... 2 pontos
Obter no denominador 17................................................................................................................ 2 pontos
Escrever o resultado na forma pedida 24
17
+
6
17
i ............................................................................ 1 ponto
4. ...................................................................................................................................................20 pontos
Dividir por z3 - z2 + 9z - 9 por z -1 ............................................................................................... 5 pontos
Resolver z2 + 9 = 0 ......................................................................................................................... 8 pontos
Representar no plano complexo as imagens geométricas das três soluções ............................... 3 pontos
Calcular a área do triângulo ........................................................................................................... 4 pontos
5.
5.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Referir que o perímetro do triângulo [ABC] é igual a AC + AB + BC ................................................. 1 ponto
Justi car que AC = 2cos .............................................................................................................. 2 pontos
Justi car que AB = 2- 2sen ou CB( ) ........................................................................................ 8 pontos
Referir que AB = CB ....................................................................................................................... 2 pontos
Concluir que f ( ) = 2cos + 2 2- 2sen ...................................................................................... 2 pontos
5.2. ................................................................................................................................................15 pontos
Identi car m = f '
6
 ....................................................................................................................... 2 pontos
Determinar f '( ) ............................................................................................................................ 8 pontos
Determinar 2cos( ) ' ............................................................................................................. 2 pontos
Determinar 2 2- 2sen( ) ' ................................................................................................... 6 pontos
Calcular f '
6
................................................................................................................................ 4 pontos
Obter o valor de m ............................................................................................................................. 1 ponto
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111
Matemática 12 | Caderno de Testes
TESTE N.º 7
5.3. ................................................................................................................................................15 pontos
Equacionar o problema f ( ) = 3( ) ................................................................................................. 4 pontos
Apresentar corretamente os grá cos obtidos na calculadora ........................................................ 6 pontos
Grá co de f ............................................................................................................................ 2 pontos
Reta de equação y = 3 ......................................................................................................... 2 pontos
Respeito pelo domínio .......................................................................................................... 2 pontos
Assinalar devidamente o ponto ...................................................................................................... 2 pontos
Apresentar a abcissa aproximada do ponto ................................................................................... 3 pontos
6.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Escrever lim
x 0
g x( )- g 0( )
x
= g ' 0( ) ................................................................................................... 5 pontos
Calcular g ' 0( ) ................................................................................................................................ 8 pontos
Apresentar o valor pedido .............................................................................................................. 2 pontos
6.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Determinar g '' x( ) ............................................................................................................................ 3 pontos
Determinar os zeros de g'' .............................................................................................................. 5 pontos
Escrever g '' x( ) = 0 .................................................................................................................. 1 ponto
Resolver a equação x = - 2
3
› x = 2
3
 ......................................................................... 4 pontos
Estudar o sinal de g'' e consequente conclusão, relativamente às abcissas dos pontos de in exão e sentido 
das concavidades do grá co de g ................................................................................................... 7 pontos
Primeira linha do quadro ........................................................................................................ 1 ponto
Sinal de h'' ............................................................................................................................. 2 pontos
Relação entre o sinal de h'' e o sentido da concavidade do grá co de g .............................. 2 pontos
Indicar as abcissas dos pontos de in exão .......................................................................... 2 pontos
Referir os intervalos onde o grá co tem a concavidade voltada para cima e os intervalos onde tem a con-
cavidade voltada para baixo ............................................................................................................ 3 pontos
Indicar as abcissas dos pontos de in exão .................................................................................... 2 pontos
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112
Matemática 12 | Caderno de Testes
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
3. 
 Cotação a atribuir..........................14 pontos
Nesta resposta o aluno:
• obtém 1+ 3i( ) 2+ i( ) = 2+ i + 6i + 3i2 .. 2 pontos
• determina o valor de i49 .................. 2 pontos
• determina o valor de i100 ................. 2 pontos
• simpli ca o numerador 6i( ) ............ 2 pontos
• multiplica ambos os termos da fração por (1- 4i) ..... 
 2 pontos
• obtém no numerador 24 + 6i ........... 2 pontos
• obtém no denominador 17 .............. 2 pontos
• não escreve o resultado na forma pedida
 .......................................................... 0 pontos
 Repara que o aluno não apresenta o resultado 
 nal na forma algébrica a + bi, a,b e, por isso, 
foi penalizado numponto.
4. z3 - z2 + 9z - 9 = 0
§ z =1 › z = 3i › z = -3i
Eixo
imaginário 
 
Eixo realO
3
-3
1
Apedida =
6*1
2
= 3
Cotação a atribuir .......................... 0 pontos
Nesta resposta o aluno:
• não divide z3 - z2 + 9z - 9 por z -1 .. 0 pontos
• não resolve z2 + 9 = 0 ..................... 0 pontos
• representa no plano complexo as imagens geo-
métricas das três soluções, mas sem apresen-
tar os cálculos que levaram às três soluções ....
 0 pontos
• calcula a área do triângulo, mas sem apresentar 
os cálculos que levaram a essa etapa ...............
 0 pontos
 Pretendia-se que este exercício fosse resolvido 
sem recurso à calculadora. Dado que não há cál-
culos nem justi cações necessárias à resolução 
da equação, esta etapa foi cotada com zero pon-
tos, bem como todas as etapas subsequentes que 
dela dependiam.
1+ 3i( ) 2+ i( )- i49 + i100
1+ 4i
=
2+ i + 6i + 3i2 - i4 *12 +1+ i4 * 25
1+ 4i
=
2- 3+ 7i - i +1
1+ 4i
=
-1+ 6i +1
1+ 4i
=
6i
1+ 4i
=
6i 1- 4i( )
1+ 4i( ) 1- 4i( )
=
6i - 24i2
1-16i2
=
24+ 6i
17
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TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
113
 Tipologia, número de itens e cotação:
Matriz
 Duração: 90 minutos
 Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Análise combinatória
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II
 > Função exponencial de base superior a 1
 > Função logarítmica de base superior a 1
 > Limites
 > Continuidade
 > Assíntotas do grá co de uma função
 > Derivadas
Tema III – Trigonometria e números complexos
 > Funções trigonométricas
 > Fórmulas trigonométricas
 > Limites trigonométricos
 > Derivadas de funções trigonométricas 
 > Representação trigonométrica de um número complexo
 > Operações com números complexos na forma algébrica e trigonométrica
 > Domínios planos 
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 5 15 a 20
Uso obrigatório de 
calculadora grá ca 1 20
Raciocínio 
demonstrativo 2 20
Resposta extensa
(composição) 1 20
TESTE GLOBAL N.º 1
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Matemática 12 | Caderno de Testes
114
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justi cações.
Teste Global n.º 1
Matemática A
 Duração do teste: 90 minutos
 12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
1. Lança-se um dado equilibrado. Se sair face par tira-se uma bola da caixa A, caso saia face ímpar, tira-
-se uma bola da caixa B. A caixa A tem 4 bolas verdes e 3 amarelas e a caixa B tem 2 bolas verdes e 
4 amarelas.
Qual é a probabilidade de se tirar uma bola amarela, sabendo que no dado saiu o número 1?
 (A) 3
4
 (B) 2
3
 (C) 3
7
 (D) 7
13
2. Seja x um número real positivo. Qual das expressões seguintes é igual a 3
2log3 x2( )-5 log3 x ?
 (A) x4 - x5 (B) 2x2 - 5x (C) 1
x
 (D) log3 x
4
log3 x5
3. Qual é o valor de lim
x 0
1
x2
sen2 2x( ) ?
 (A) 4 (B) 2 (C) 1
2
 (D) 1
4
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Matemática 12 | Caderno de Testes
115TESTE GLOBAL N.º 1
4. Seja g uma função cujo grá co tem um ponto de in exão de abcissa 2.
Qual dos seguintes grá cos poderá ser o da segunda derivada de g?
 (A)
y
xO 2
 (B)
y
xO 2
 (C)
y
xO 2
 (D)
y
xO 2
5. Considere, no plano complexo, o conjunto representado na gura.
O
Eixo 
imaginário
 
Eixo
real
1
-1
-1
Qual das condições seguintes, de nidas em , de ne a região sombreada, incluindo a fronteira?
 (A) z +1 ≤1 ‹ z - i ≤1 ‹ z + i ≤1
 (B) z +1 ≤1 › z - i ≤1 › z + i ≤1
 (C) z +1 ≤1 › z - i ≤1 ‹ z + i ≤1( )
 (D) z +1 ≤1 ‹ z - i ≤1 › z + i ≤1( )
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Matemática 12 | Caderno de Testes
116
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e todas as justi cações necessárias.
• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. Em , conjunto dos números complexos, considere z1 =1 e z2 = cis 5 .
1.1. O complexo z1 é raiz do polinómio z
3
- z2 + 25z - 25 . Determine, em , as restantes raízes do polinó-
mio. Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica.
1.2. Mostre que:
z1+ z2
2
= 2+ 2cos
5
2. A Piconsulting é uma empresa de consultoria informática. Dos funcionários da Piconsulting, sabe-se que:
• 60% são programadores e os restantes consultores;
• 70% são juniores e os restantes são seniores;
• 75% dos consultores são juniores.
2.1. Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, ser programador, sabendo
que é sénior. 
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
2.2. Admita que a Piconsulting tem 50 funcionários. Pretende-se formar uma comissão de quatro elemen-
tos para organizar a festa de Natal da empresa.
Determine de quantas maneiras diferentes se pode formar uma comissão com, pelo menos, dois 
programadores.
3. Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico, o StopDor. Admita que a concen-
tração deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas após ser administrado a uma 
pessoa, é dado por: 
A t( ) = 3te-0,6t
De acordo com uma associação de defesa ao consumidor, um bom analgésico deve começar a pro-
duzir efeito, no máximo, meia hora após ter sido tomado, e a sua ação deve permanecer durante, pelo 
menos, cinco horas (após ter começado a produzir efeito).
Suponha que foi incumbido de analisar um novo medicamento analgésico, o TiraDor, lançado por outro 
laboratório concorrente. Da análise que efetuou concluiu que a concentração desse medicamento, em 
decigramas por litro de sangue, t horas após ser administrado a uma pessoa, é dado por:
B t( ) = 2te-0,4t
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Matemática 12 | Caderno de Testes
117TESTE GLOBAL N.º 1
Recorrendo à sua calculadora compare as duas funções e elabore um relatório, que possa ser apre-
sentado à gerência da sua empresa, em que re ra os instantes (em minutos arredondados às unida-
des) em que cada um dos medicamentos começa a produzir efeito e durante quanto tempo (em horas 
e minutos, com os minutos arredondados às unidades). Re ra, ainda, se cada um dos analgésicos 
satisfaz os critérios de nidos pela associação de defesa do consumidor para ser considerado um bom 
analgésico. Tenha em consideração que quer um medicamento quer outro, só produz efeito se a sua 
concentração for superior a 1 decigrama por litro de sangue.
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o(s) grá co(s) 
obtido(s), bem como coordenadas relevantes de algum(ns) ponto(s). Apresente as coordenadas arre-
dondadas às centésimas.
4. Considere a função f, de domínio +0, de nida por:
 
f x( ) =
x - 2
1- ex-2
 se 0 ≤ x < 2
ln x + 3( )
x + 3
 se x ≥ 2
Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
4.1. Estude f quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados do seu grá co.
4.2. Mostre, sem resolver a equação, que f x( ) = -2 tem, pelo menos, uma solução em 0,1] [ .
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, 
conserve três casas decimais.
4.3. Estude f quanto à monotonia em 2,+] [ .
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Matemática 12 | Caderno de Testes118118
Cotações
Grupo I ..................................................................................................................................................... 50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 40
1.1. .................................................................................................................... 20
1.2. .................................................................................................................... 20
2. .......................................................................................................................................... 30
2.1. .................................................................................................................... 15
2.2. .................................................................................................................... 15
3. .......................................................................................................................................... 20
4. .......................................................................................................................................... 60
4.1. .................................................................................................................... 20
4.2. .................................................................................................................... 20
4.3. .................................................................................................................... 20
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
Mat 12-caderno testes_1.indd 118 12/03/16 15:58
Matemática 12 | Caderno de Testes
119TESTE GLOBAL N.º 1
Proposta de resolução
GRUPO I
1. Caixa A: 4 bolas verdes e 3 amarelas
Caixa B: 2 bolas verdes e 4 amarelas
Admitindo que no dado saiu número um, isto é, 
número ímpar, então vai-se extrair uma bola 
da caixa B. Nesta caixa, há 4 bolas amarelas 
num total de 6 bolas, logo a probabilidade 
pedida é 4
6
=
2
3
.
Resposta (B)
2. 3
2log3 x2( ) - 5 log3 x
=
3
2log3 x2( )
35 log3 x
=
3
log3 x4( )
3
log3 x5( )
=
x4
x5
=
1
x
Resposta (C)
3. lim
x 0
1
x2
sen2 2x( ) = lim
x 0
sen2 2x( )
x2
= lim
x 0
sen 2x( )
x
2
= lim
x 0
sen 2x( )
2x
* 2
2
Consideremos 2x = y. Como x 0, então y 0.
= 4* lim
y 0
sen y
y
2
= 4* lim
y 0
sen y
y
2
= 4*12 = 4
Resposta (A)
4. Os grá cos das opções (A) e (D) não podem 
ser dado que, de acordo com eles, g '' 2( ) existe 
e g '' 2( ) > 0 .
O grá co da opção (C) também não representa 
o da segunda derivada porque, de acordo com 
ele, não há mudança de sinal da segunda deri-
vada em x = 2 apesar de g '' 2( ) = 0 .
Resposta (B)
5. z +1 ≤1 de ne o círculo de centro (-1, 0) e raio 1.
z -1 ≤1 › z + i ≤1 de ne a união do cír-
culo de centro (0,1) e raio 1 com o círculo de 
centro (0, -1) e raio 1.
z +1 ≤1 ‹ z - i ≤1 › z + i ≤1( ) de ne a 
interseção do círculo de centro (-1,0) e raio 1 
com a união dos círculos unitários de centros 
(0,1) e (0,-1).
Resposta (D)
GRUPO II
1. z1 =1 z2 = cis 5
1.1. Como 1 é um zero do polinómio 
z3 - z2 + 25z - 25 , este polinómio é divisível 
por z -1. Efetuando a divisão do polinómio 
z3 - z2 + 25z - 25 por z -1, utilizando a regra 
de Ruf ni, tem-se:
1 -1 25 -25
1 1 0 25
1 0 25 0 = r
Assim, z3 - z2 + 25z - 25 = z -1( ) z2 + 25( ) .
Logo: 
z3 - z2 + 25z - 25 = 0
§ z -1( ) z2 + 25( ) = 0
§ z -1= 0 › z2 + 25 = 0
§ z =1 › z2 = -25
§ z =1 › z = 5i › z = -5i
1= cis 0( )
5i = 5cos
2
-5i = 5cis 3
2
As raízes do polinómio na forma trigonométrica
são: cis 0( ), 5cis
2
 e 5cis 3
2
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Matemática 12 | Caderno de Testes
120
1.2. z1+ z2
2
= 2+ 2cos
5
z1+ z2 =1+ cis 5 = 1+ cos 5 + i sen 5
z1+ z2
2
= 1+ cos
5
2
+ sen2
5
2
= 1+ cos
5
2
+ sen2
5
=1+ 2cos
5
+ cos2
5
+ sen2
5
=1
=1+ 2cos
5
+1
= 2+ 2cos
5
 c.q.d.
2. 
2.1. Consideremos os seguintes acontecimentos: 
A: “ser programador” B: “ser consultor” 
J: “ser júnior” S: “ser sénior”
Sabe-se que:
• P A( ) = 0,6 e P B( ) = 0,4
• P J( ) = 0,7 e P S( ) = 0,3
 
• P J | B( ) = 0,75 § P J B( )
P B( )
= 0,75
§ P J B( ) = 0,75* 0,4
§ P J B( ) = 0,3
Organizando os dados numa tabela:
J S Total
A 0,6
B 0,3 0,4
Total 0,7 0,3 1
Pretendemos determinar:
P A | S( ) = P A S( )
P S( )
J S Total
A 0,4 0,2 0,6
B 0,3 0,4
Total 0,7 0,3 1
Cálculos auxilares:
P J A( ) = P J( )- P J B( ) = 0,7- 0,3 = 0,4
P S A( ) = P A( )- P J A( ) = 0,6- 0,4 = 0,2
Assim, P A | S( ) = P A S( )
P S( )
=
0,2
0,3
=
2
3
2.2. 0,6* 50 = 30 programadores
30C2 *
20C2
Número de 
comissões 
com dois 
programadores
+
30C3 *
20C1
Número de
comissões 
com três
 programadores
+
30C4
Número de
comissões 
com quatro
 programadores
=191255
3. A t( ) = 3te-0,6t
B t( ) = 2te-0,4t
 y1 = 3te
-0,6t
y2 = 2te
-0,4t
y3 =1
0,43 0,65 4,24 6,36 12
2
1 I1 I2 I3
y
1
y
2
y
3
I4
t
0,43* 60 ) 26 minutos
4,24- 0,43 = 3,81h
3,81h = 3 h+ 0,81h
0,81* 60 ) 49 minutos
 
0,65* 60 = 39 minutos
6,36- 0,65 = 5,71h
5,71h = 5 h+ 0,71h
0,71* 60 ) 43 minutos
Os efeitos do StopDor começam-se a sentir 
ao m de aproximadamente 26 minutos após 
a sua toma e duram aproximadamente 3 horas 
e 49 minutos.
Os efeitos do TiraDor começam a fazer-se sentir 
ao m de aproximadamente 39 minutos após a 
sua toma e duram 5 horas e 43 minutos aproxi-
madamente.
Assim, nenhum dos dois medicamentos cum-
pre os requisitos recomendados pela associa-
ção de defesa do consumidor.
I1 0,43;1( )
I2 0,65;1( )
I3 4,24;1( )
I4 6,36;1( )
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Matemática 12 | Caderno de Testes
121TESTE GLOBAL N.º 1
O StopDor apesar de começar a produzir efeito 
antes da meia hora após ter sido tomado, a sua 
ação permanece menos do que cinco horas.
O TiraDor tem um efeito superior a cinco horas, 
no entanto, só começa a produzir efeito aos 39 
minutos, ou seja, mais de meia hora após a 
sua toma.
4.
4.1. • Assíntotas verticais:
 
lim
x 2-
f x( ) = lim
x 2-
x - 2
1- ex - 2
= lim
x 2-
1
1- ex - 2
x - 2
= lim
x 2-
-1
ex - 2 -1
x - 2
= - lim
x 2-
1
ex - 2 -1
x - 2
Consideremos x - 2 = y. Como x 2-, y 0-.
- lim
y 0-
1
ey -1
y
= -
1
lim
y 0-
ey -1
y
= -
1
1
= -1
Como o valor obtido é um número real, 
concluímos que a reta de equação x = 2 não 
é assíntota vertical do grá co de f.
Como f é contínua em 0
+ \ 2{ } o seu grá co 
não admite assíntotas verticais.
• Assíntotas horizontais:
lim
x +
f x( ) = lim
x +
ln x + 3( )
x + 3( )
Consideremos x + 3 = y. Como x + , y + .
lim
y +
ln y
y
= 0 (limite notável)
A reta de equação y = 0 é uma assíntota hori-
zontal do grá co de f quando x + . 
Como o domínio de f é limitado inferiormente 
o seu grá co não admite outra assíntota não 
vertical.
4.2. f é contínua em [0, 2[, uma vez que se trata 
do quociente entre duas funções contínuas 
(uma que é uma função a m e outra que é a 
diferença entre uma função constante e a com-
posta de uma função exponencial com uma 
função a m); em particular, é contínua em [0, 1].
f 0( ) = 0- 2
1- e0 - 2
=
-2
1- 1
e2
=
-2
e2 -1
e2
) - 2,313
f 1( ) = 1- 2
1- e1- 2
=
-1
1- e-1
=
-1
1- 1
e
=
-1
e-1
e
) -1,582
f 0( ) <-2< f 1( )
Logo, pelo Teorema de Bolzano, concluímos 
que Ec 0,1] [: f c( ) = -2 , isto é, a equação 
f x( )=-2 tem, pelo menos, uma solução em
0,1] [ .
4.3. Em 2,+] [ : f x( ) = ln x + 3( )
x + 3
f ' x( ) =
ln x + 3( ) ' x + 3( )- ln x + 3( ) x + 3( ) '
x + 3( )2
=
x + 3
x + 3
- ln x + 3( )
x + 3( )2
=
1- ln x + 3( )
x + 3( )2
Como x + 3( )2 > 0,Ax 2,+] [ , o sinal de f ' 
depende apenas do sinal de 1- ln x + 3( ) .
f ' x( ) = 0 §1- ln x + 3( ) = 0 ‹ x > 2
§ ln x + 3( ) =1 ‹ x > 2
§ x + 3 = e ‹ x > 2
§ x = e- 3 ‹ x > 2
C.S.= O
f ' não tem zeros em 2,+] [ .
f ' x( ) < 0,Ax 2,+] [, logo, f é estritamente 
decrescente em 2,+] [ .
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Matemática 12 | Caderno de Testes
122
Critérios especí cos de classi cação 
 GRUPO I
Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas B C A B D
GRUPO II
1.
1.1. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Dividir z3 - z2 + 25z - 25 por z -1 ................................................................................................... 6 pontos
Resolver a equação z2 + 25 = 0 ..................................................................................................... 8 pontos
Representar na forma trigonométrica as três raízes ...................................................................... 6 pontos
Escrever 1= cis 0( ) ................................................................................................................ 2 pontos
Escrever 5i = 5cis
2
 ........................................................................................................... 2 pontos
Escrever -5i = 5cis 3
2
 ....................................................................................................... 2 pontos
1.2. ................................................................................................................................................20 pontos
Escrever z1+ z2 =1+ cis 5 ............................................................................................................ 2 pontos
Escrever cis
5
= cos
5
+ i sen
5
 ................................................................................................ 3 pontos
Determinar z1+ z2
2 ...................................................................................................................... 13 pontos
Escrever z1+ z2 = 1+ cos 5 + i sen 5 ............................................................................... 2 pontos
Obter z1+ z2
2
= 1+ cos
5
2
+ sen2
5
 ............................................................................... 3 pontos
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Matemática 12 | Caderno de Testes
123TESTE GLOBAL N.º 1
Obter 1+ 2cos
5
+ cos2
5
 ................................................................................................. 4 pontos
Utilizar a fórmula fundamental da trigonometria ................................................................... 4 pontos
Concluir que z1+ z2
2
= 2+ 2cos
5
 ................................................................................................ 2 pontos
2.
2.1................................................................................................................................................. 15 pontos
No que se segue, vamos designar por A o acontecimento “o funcionário é programador”, por B o aconteci-
mento “o funcionário é consultor”, por J o acontecimento “ o funcionário é júnior” e por S o acontecimento 
“o funcionário é sénior”. Podem ser admitidas outras designações para os acontecimentos.
Escrever P A( ) = 0,6 .......................................................................................................................... 1 ponto
Escrever P J( ) = 0,7 ........................................................................................................................ 1 ponto
Escrever P J | B( ) = 0,75 …………………… ......................…………………………………………….. 2 pontos
Calcular P J B( ) ........................................................................................................................... 4 pontos
Identi car P A | S( ) com o pedido .................................................................................................... 2 pontos
Escrever P A | S( ) = P A S( )
P S( )
(ou equivalente) (ver nota) ................................................................ 1 ponto
Calcular P A S( ) ........................................................................................................................... 2 pontos
Obter P S( ) ........................................................................................................................................ 1 ponto
Obter P A | S( ) ................................................................................................................................... 1 ponto
Nota: se o aluno não escrever P A | S( ) = P A S( )
P S( )
 e obtiver o valor de P A | S( ) , esta etapa deve ser con-
siderada como cumprida.
2.2. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Calcular corretamente o número de programadores ...................................................................... 2 pontos
Escrever a expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ........................................................... 11 pontos
Calcular o valor pedido (ver nota 2) .............................................................................................. 2 pontos
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita á escrita da expressão com a respetiva 
pontuação a atribuir.
30C2 *
20C2 +
30C3 *
20C1+
30C4 (ou equivalente) ........................................................................ 11 pontos
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Matemática 12 | Caderno de Testes
124
30C2 +
30C3 +
30C4 ......................................................................................................................... 5 pontos
30 A2 *
20 A2 +
30 A3 *
20 A1+
30 A4 (ou equivalente) .......................................................................... 3 pontos
Outras situações ............................................................................................................................. 0 pontos
Nota 2
A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídos zero 
pontos.
3. .................................................................................................................................................. 20 pontos
Representar gra camente a função A ............................................................................................ 2 pontos
Representar gra camente a função B ............................................................................................ 2 pontos
Assinalar devidamente os pontos relevantes (1 + 1 + 1 + 1) ............................................................. 4 pontos
Coordenadas aproximadas desses pontos (1 + 1 + 1 + 1) ................................................................ 4 pontos
Referir o instante em que o StopDor começa a fazer efeito ........................................................... 2 pontos
Referir o instante em que o TiraDor começa a fazer efeito ............................................................ 2 pontos
Referir a duração do efeito do StopDor .......................................................................................... 2 pontos
Referir a duração do efeito do TiraDor ...........................................................................................2 pontos
4.
4.1. ................................................................................................................................................20 pontos
Estudar a existência de assíntotas verticais do grá co de f .......................................................... 12 pontos
Calcular lim
x 2-
f x( ) (ver nota 1) .......................................................................................... 8 pontos
Concluir que a reta de equação x = 2 não é assíntota vertical do grá co de f ..................... 2 pontos
Justi car a não existência de assíntotas verticais ................................................................ 2 pontos
Estudar a existência de assíntota horizontal (ver nota 2) .............................................................. 8 pontos
Calcular limx + f x( ) (ver nota 1) ......................................................................................... 6 pontos
Concluir que a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal do grá co de f quando x + ... 2 pontos
Nota 1
O aluno deve explicitar o limite notável, caso não o faça a classi cação a atribuir a esta etapa é de 4 pontos.
Nota 2
Se o aluno tentar calcular lim
x -
f x( ) a classi cação a atribuir a esta etapa deve ser desvalorizada em 2 
pontos.
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Matemática 12 | Caderno de Testes
125TESTE GLOBAL N.º 1
4.2. ................................................................................................................................................20 pontos
Justi car a continuidade da função f no intervalo [0, 1] (ver notas 1 e 2) ...................................... 5 pontos
Calcular f 0( ) ................................................................................................................................. 3 pontos
Calcular f 1( ) ................................................................................................................................. 3 pontos
Escrever f 0( ) < -2< f 1( ) ............................................................................................................. 3 pontos
Concluir o pretendido (ver nota 3) ................................................................................................. 6 pontos
Nota 1
Se o aluno não justi car a continuidade no intervalo [0,1], mas justi car a continuidade em [0,2[ a classi -
cação a atribuir a esta etapa é de 3 pontos.
Nota 2
Se o aluno referir apenas, sem justi car, que f é contínua em [0, 1], a classi cação a atribuir a esta etapa 
é de 4 pontos.
Nota 3
Se o aluno concluir o pretendido, mas não evocar o Teorema de Bolzano, a classi cação a atribuir a esta 
etapa é de 4 pontos.
4.3. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Determinar f ' x( ) ............................................................................................................................ 6 pontos
Escrever f ' x( ) = 0 .......................................................................................................................... 2 pontos
Resolver a equação f ' x( ) = 0 S = O( ) ............................................................................................. 4 pontos
Referir que f ' x( ) < 0,Ax 2,+] [ .................................................................................................. 4 pontos
Referir que f que é estritamente decrescente em 2,+] [ .............................................................. 4 pontos
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Matemática 12 | Caderno de Testes
126
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
1.2. z1+ z2
2
= z1 + z2( )
2
= z1
2
+ 2 z1 * z2 + z2
2
=12 + 2*1*1+12
=1+ 2+1
= 4
Cotação a atribuir .......................... 0 pontos
 Repara que o aluno comete um erro grave 
quando considera que z1+ z2 = z1 + z2 .
Na verdade z1+ z2 ≤ z1 + z2 .
2.
2.2. 50C4 -
30C4 -
30C3 *
20C1
Cotação a atribuir ........................ 13 pontos
Nesta resposta o aluno:
• calcula corretamente o número de programa-
dores .............................................. 2 pontos
• escreve uma expressão correta que dá o valor 
pedido .......................................... 11 pontos
• não calcula o valor pedido ............. 0 pontos
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Matemática 12 | Caderno de Testes
Matriz
 Duração: 90 minutos
 Tipologia, número de itens e cotação:
 Conteúdos
Tema I – Probabilidades e combinatória
 > Conceitos probabilísticos
 > Operações com acontecimentos
 > De nição clássica de probabilidade 
 > De nição axiomática de probabilidade
 > Probabilidade condicionada e independência
 > Análise combinatória
Tema II – Introdução ao cálculo diferencial II
 > Função exponencial de base superior a 1
 > Função logarítmica de base superior a 1
 > Limites
 > Continuidade
 > Assíntotas do grá co de uma função
 > Derivadas
Tema III – Trigonometria e números complexos
 > Funções trigonométricas
 > Fórmulas trigonométricas
 > Limites trigonométricos
 > Derivadas de funções trigonométricas 
 > Representação trigonométrica de um número complexo
 > Operações com números complexos na forma algébrica e trigonométrica
 > Domínios planos 
Tipologia de itens Número de itens Cotação por item (em pontos) 
Itens de seleção Escolha múltipla 5 10
Itens de construção
Resolução de problemas 6 15 a 20
Uso obrigatório de 
calculadora grá ca 1 15
Raciocínio 
demonstrativo 1 15
Resposta extensa
(composição) 1 15
127
TESTE GLOBAL N.º 2
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Matemática 12 | Caderno de Testes
128
Teste Global n.º 2
Matemática A
 Duração do teste: 90 minutos
 12.º Ano de Escolaridade
GRUPO I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só 
uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecio-
nar para responder a esse item.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classi cada com zero pontos, o mesmo acontecendo 
se a letra transcrita for ilegível.
• Não apresente cálculos, nem justi cações.
1. Considere um cubo com as faces numeradas de 1 a 6. Pretende-se colorir as suas faces dispondo-se 
para o efeito de seis cores distintas. De quantas maneiras diferentes o podemos colorir, supondo que 
duas das faces têm de ter a mesma cor e as restantes cores diferentes?
 (A) 6* 6C2 *
5A4 (B) 
6C2 * 5! (C) 6* 6 A2 *
5C4 (D) 6!* 5!
2. Em , o conjunto-solução da condição ln x +1( ) > ln 2x - 3( ) é:
 (A) - , 4] [ (B) 3
2
,+ (C) -1,4] [ (D) 
3
2
,4
3. Na gura está representada a função f, de domínio , cujo grá co 
admite como assíntotas as retas de equação y = 0 e y = 3. As assín-
totas do grá co da função 1
f
 paralelas aos eixos coordenados são:
 (A) x = 2 e y = 1
3
 (B) Não existem
 (C) x = 2 e y = 3 (D) y = 3 e y = 0
y
xO 2
f
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TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
129TESTE GLOBAL N.º 2
4. Na gura encontra-se representada parte do grá co da função h', 
primeira derivada de h, de domínio .
Sabe-se que:
• os zeros de h' são a e c;
• c é minimizante e b é maximizante de h'.
Relativamente ao grá co da função h, quais são as abcissas dos 
seus pontos de in exão?
 (A) a, b e c (B) a e b (C) a (D) b e c
5. Considere, no plano complexo, o conjunto representado na gura. 
Qual das condições seguintes, de nidas em , de ne a região 
sombreada, incluindo a fronteira?
 (A) -
2
≤ arg z -1+ i( ) ≤ -
4
› Im z( ) ≥ -3
 (B) -
2
≤ arg z +1- i( ) ≤ -
4
‹ Im z( ) ≥ -3
 (C) -
2
≤ arg z -1+ i( ) ≤ -
4
‹ Re z( ) ≥ -3
 (D) -
2
≤ arg z -1+ i( ) ≤ -
4
‹ Im z( ) ≥ -3
GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo apresente o seu raciocínio deforma clara, indicando todos os cálculos que 
tiver de efetuar e todas as justi cações necessárias.
• Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exato.
1. Em , conjunto dos números complexos, considere z1 = 2+ i e z2 = cis
n
10
, n .
1.1. O complexo z1 é uma raiz quarta de um certo número complexo z. Determine as restantes raízes 
quartas de z.
1.2. Determine o menor valor de n natural para o qual i * z2 é um número real.
y
xO a b
h´
c
Eixo 
imaginário
 
Eixo
real-1
1
-3
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Matemática 12 | Caderno de Testes
130
2. Na gura está representado um prisma hexagonal regular com as faces coloridas 
de cores distintas.
2.1. Pretende-se designar os restantes nove vértices do prisma, utilizando, para 
cada um deles, letras distintas do alfabeto português (23 letras). Ao escolher, 
aleatoriamente, as letras, determine a probabilidade de os vértices de uma das 
bases serem todos designados por consoantes. 
Apresente o resultado arredondado às centésimas.
2.2. Escolhem-se aleatoriamente três vértices do prisma de maneira a de nir um triângulo. 
Qual é a probabilidade de o triângulo pertencer a uma das faces do prisma?
Uma resposta correta a este problema é 6*
4C3 + 2*
6C3
120C3
.
Explique, numa pequena composição, o raciocínio que conduziu a esta expressão.
Nota: deve organizar a sua composição de acordo com os seguintes tópicos:
• Referência à regra de Laplace.
• Explicação do número de casos possíveis.
• Explicação do número de casos favoráveis.
3. Considere as funções f e g, de domínio , de nidas por f x( ) = 1
4
+ 3e1-x e g x( ) = cos 2x( )- sen x .
Utilize métodos exclusivamente analíticos para resolver as duas alíneas seguintes.
3.1. Estude a função f quanto à existência de assíntotas paralelas aos eixos coordenados.
3.2. Resolva a equação f x( ) = g ( ), apresentando a solução na forma ln ke( ), onde k representa um 
número real positivo.
3.3. Recorrendo à calculadora, determine as soluções inteiras da inequação f x( ) > g x( ), no intervalo 
0,2[ ].
Na sua resposta, deve:
• reproduzir o(s) grá co(s) da(s) função(ões) que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devi-
damente identi cado(s), incluindo o referencial;
• assinalar os pontos relevantes;
• indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas.
4. Na gura está representado um quadrado [ABCD], de lado 1.O ponto P desloca-
-se sobre o lado [CD]. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude do
ângulo BAP, x
4
,
2
.
Resolva os itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
4.1. Mostre que a área do quadrilátero [ABCP] é dada, em função de x, por A x( ) = 2sen x - cos x
2sen x
.
4.2. Estude a função A quanto à monotonia.
x
A B
CD P
A
B
C
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TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
131TESTE GLOBAL N.º 2
Cotações
Grupo I ..................................................................................................................................................... 50
Cada resposta certa ............................................................................................................. 10
Cada resposta errada ............................................................................................................. 0
Cada questão não respondida ou anulada ............................................................................ 0
Grupo II .................................................................................................................................................. 150
1. .......................................................................................................................................... 35
1.1. .................................................................................................................... 15
1.2. .................................................................................................................... 20
2. .......................................................................................................................................... 30
2.1. .................................................................................................................... 15
2.2. .................................................................................................................... 15
3. .......................................................................................................................................... 50
3.1. .................................................................................................................... 20
3.2. .................................................................................................................... 15
3.3. .................................................................................................................... 15
4. .......................................................................................................................................... 35
4.1. .................................................................................................................... 15
4.2. .................................................................................................................... 20
TOTAL .................................................................................................................................................... 200
Mat 12-caderno testes_1.indd 131 12/03/16 15:58
Matemática 12 | Caderno de Testes
132
Proposta de resolução
GRUPO I
1. 6C2 é o número de maneiras distintas de se 
escolher as duas faces do cubo que vão ser 
pintadas da mesma cor. Por cada uma dessas 
maneiras, existem 6 possibilidades diferentes 
para escolher a cor dessas duas faces. E por 
cada uma destas maneiras existem 5A4 manei-
ras diferentes de escolher quatro cores orde-
nadamente (as faces são distintas) de entre 5 
disponíveis para colorir as restantes faces do 
cubo.
Logo, a resposta correta é 6* 6C2 *
5A4 .
Resposta (A)
2. D = x : x +1> 0 ‹ 2x - 3 > 0{ }
= x : x > -1 ‹ x > 3
2
=
3
2
,+
ln x +1( ) > ln 2x - 3( )
§ x +1> 2x - 3 ‹ x D
§1+ 3 > 2x - x ‹ x D
§ 4 > x ‹ x D
C.S.= 3
2
,4
Resposta (D)
3. D1
f
= \ 2{ }
• Assíntotas verticais do grá co de 1
f
:
lim
x 2+
1
f
x( ) = lim
x 2+
1
f x( )
=
1
0+
= +
lim
x 2-
1
f
x( ) = lim
x 2-
1
f x( )
=
1
0-
= -
A reta de equação x = 2 é uma assíntota ver-
tical do grá co de 1
f
.
• Assíntotas horizontais do grá co de 1
f
:
lim
x +
1
f
x( ) = lim
x +
1
f x( )
=
1
3
A reta de equação y = 1
3
 é uma assíntota
horizontal do grá co de 1
f
 quando x + .
lim
x -
1
f
x( ) = lim
x -
1
f x( )
=
1
0-
= -
Como o valor obtido não é um número real, o 
grá co de 1
f
 não admite assíntota horizontal
quando x - .
Logo, as assíntotas do grá co da função 1
f
 
paralelas aos eixos coordenados são x = 2 e 
y = 1
3 .
Resposta (A)
4. Por observação do grá co de h' podemos a 
partir da monotonia de h' estudar o sinal de h'':
x - b c +
Sinal de h'' + 0 - 0 +
Sentido de 
variação de h' £ Máx. ¢ mín. £
A partir do sinal de h'' podemos estudar o sen-
tido das concavidades do grá co de h.
x - b c +
Sinal de h'' + 0 - 0 +
Sentido de 
concavidades 
do grá co de h
P.I. P.I.
Logo, as abcissas dos pontos de in exão são 
b e c.
Resposta (D)
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TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
133TESTE GLOBAL N.º 2
5. -
2
≤ arg z - 1- i( )( ) ≤ - 4
§-
2
≤ arg z -1+ i( ) ≤ -
4
define:
O
Eixo
imaginário
Eixo
real–1
1
Im z( ) ≥ -3 define:
Eixo
imaginário
Eixo
real
O
-3
Logo, a resposta correta é:
-
2
≤ arg z -1+ i( ) ≤ -
4
‹ Im z( ) ≥ -3
Resposta (D)
GRUPO II
1.
1.1. No plano complexo, as imagens geométricas 
das raízes quartas de um número complexo 
z, não nulo, são os vértices de um quadradocom centro na origem do referencial.
Assim, a partir da imagem geométrica de 
uma das raízes quartas de z, podemos obter 
as imagens geométricas das restantes raízes 
quartas de z, através de sucessivas rotações 
de centro na origem do referencial e ampli-
tude 
2
 radianos.
Dado que, aplicar à imagem geométrica de 
um número complexo uma rotação de centro 
na origem e amplitude 
2
 rad corresponde a 
multiplicar esse número por i, então, as res-
tantes raízes quartas de z são:
i 2+ i( ) = 2i + i2 = -1+ 2i
i -1+ 2i( ) = -i + 2i2 = -2- i
i -2- i( ) = -2i - i2 =1- 2i
Logo, -1+ 2i, - 2- i e 1- 2i são as res-
tantes raízes quartas de z.
1.2. i * z2 = i * cis
n
10
, n
= cis
2
* cis n
10
, n
= cis
2
+
n
10
, n
i * z2 é um número real se:
arg i * z2( ) = k , k 
isto é:
2
+
n
10
= k , k
§
n
10
= k -
2
, k
§ n =10k - 5 , k
§ n =10k - 5, k
Fazendo k = 1, temos o menor natural que 
satisfaz o pretendido, isto é, n = 5.
2.
2.1. O número de casos possíveis é: 20A9
O número de casos favoráveis é: 16A4 *
16A5
Assim, a probabilidade pedida é:
16A4 *
16A5
20A9
) 0,38
Mat 12-caderno testes_1.indd 133 12/03/16 15:58
Matemática 12 | Caderno de Testes
134
2.2. 12C3 é o número de maneiras distintas de 
de nir um triângulo a partir dos 12 vértices 
do prisma, isto é, o número de casos pos-
síveis.
Para que o triângulo pertença a uma das 
faces do prisma existem 2 hipóteses em 
alternativa, que se excluem mutuamente: ou 
pertence a uma face lateral (retângulo) ou 
pertence a uma base (hexágono).
No primeiro caso existem 6 faces laterais dis-
tintas e para cada uma delas temos que esco-
lher 3 vértices de entre quatro, pelo que exis-
tem 6* 4C3 maneiras diferentes de o fazer.
No segundo caso temos que escolher uma 
base, de entre duas, e, para cada uma delas, 
temos de escolher três vértices de entre seis, 
pelo que existem 2* 6C3 maneiras diferen-
tes de o fazer.
Assim, o número de casos favoráveis é:
6* 4 C3 + 2*
6C3
De acordo com a regra de Laplace, a pro-
babilidade de um acontecimento é igual ao 
quociente entre o número de casos favorá-
veis a esse acontecimento e o número de 
casos possíveis, quando estes são todos 
equiprováveis e em número nito.
Logo, a probabilidade pedida é:
6* 4 C3 + 2*
6C3
12C3
3.
3.1. • Assíntotas verticais:
f é contínua em , logo, o seu grá co não 
admite assíntotas verticais.
• Assíntotas horizontais:
lim
x +
f x( ) = lim
x +
1
4
+ 3e1- x = 1
4
+ 3e-
=
1
4
+ 0 = 1
4
A reta de equação y = 1
4
 é assíntota horizon-
tal do grá co de f quando x + .
lim
x -
f x( ) = lim
x -
1
1
+ 3e1-x
=
1
4
+ 3e+
=
1
4
+ 3 +( ) = +
Como o valor obtido não é um número real, 
concluímos que o grá co de f não admite 
assíntota horizontal quando x - .
3.2. g ( ) = cos 2( )- sen ( ) =1- 0 =1
f x( ) = g ( )
§ f x( ) =1
§
1
4
+ 3e1- x =1
§ 3e1- x =1- 1
4
§ 3e1- x = 3
4
§ e1- x = 1
4
§1- x = ln 1
4
§- x = -1+ ln 1
4
§ x =1- ln 1
4
§ x = lne+ ln4
§ x = ln 4e( )
C.S.= ln 4e( ){ }
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TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
135TESTE GLOBAL N.º 2
3.3. y
x
I1 I2 I3 y2y1
O 2,92 4,18 5,18
Em 0,2[ ] as soluções inteiras de f x( ) > g x( ) 
são: 0, 1, 2 e 5
4.
4.1. A ABPC[ ] =
AB + PC
2
* BC
Sabemos que AB =1 e BC =1 .
Determinemos, então, PC :
x
A BE
CD P
1
 
PC = EB
EB =1- AE
=1- cos x
sen x
tgx = 1
AE
§ AE = 1tgx
§ AE = cos x
sen x
y1 =
1
4
+ 3e1- x
y2 = cos 2x( )- sen x
I1 2,92;0,69( )
I2 4,18;0,37( )
I3 5,18;0,30( )
 Logo:
A x( ) =
1+1- cos x
sen x
2
=
2- cos x
sen x
2
=1- cos x
2sen x
=
2sen x - cos x
2sen x
 c
4.2. A' x( ) = 2sen x - cos x( ) ' 2sen x( )-
4sen2 x
- 2sen x - cos x( ) 2sen x( ) '
4sen2 x
=
2cos x + sen x( ) 2sen x( )-
4sen2 x
- 2sen x - cos x( ) 2cos x( )
4sen2 x
=
4sen x cos x + 2sen2 x -
4sen2 x
- 4sen x cos x + 2cos2 x
4sen2 x
=
2 sen2 x + cos2 x( )
4sen2 x
=
2
4sen2 x
=
1
2sen2 x
sen2 x > 0,Ax
4
,
2
, logo 
A' x( ) > 0,Ax
4
,
2
, ou seja, A 
é estritamente crescente em 
4
,
2
. 
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Matemática 12 | Caderno de Testes
136
Critérios especí cos de classi cação 
 GRUPO I
Cada resposta certa .................................................................................................................... 10 pontos
As respostas corretas são as seguintes:
Itens 1 2 3 4 5
Respostas A D A D D
GRUPO II
1.
1.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Multiplicar z1 por i ............................................................................................................................ 2 pontos
Obter -1 + 2i .................................................................................................................................... 3 pontos
Multiplicar -1+ 2i( ) por i ................................................................................................................ 2 pontos
Obter -2 - i ...................................................................................................................................... 3 pontos
Multiplicar -2- i( ) por i .................................................................................................................. 2 pontos
Obter 1 - 2i ..................................................................................................................................... 3 pontos
1.2. ................................................................................................................................................20 pontos
Escrever i na forma trigonométrica ................................................................................................ 3 pontos
Indicar um argumento de i * z2 ........................................................................................................ 5 pontos
Escrever uma condição para que i * z2 seja um número real ........................................................ 5 pontos
Obter n =10k - 5, k (ou equivalente) ........................................................................................ 4 pontos
Concluir que n = 5 ............................................................................................................................ 3 pontos
2.
2.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Expressão que dá o valor pedido (ver nota 1) ............................................................................. 12 pontos
Resultado nal (ver nota 2) ........................................................................................................... 3 pontos
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TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
137TESTE GLOBAL N.º 2
Nota 1
Indicam-se a seguir possíveis respostas do aluno, no que respeita à escrita da expressão com a respetiva 
pontuação a atribuir.
16 A4 *
16 A5
20 A9
 ................................................................................................................................. 12 pontos
18 A4 *
19 A5
23 A9
 ................................................................................................................................... 6 pontos
16C4 *
16C5
20C9
 ................................................................................................................................... 4 pontos
Outras situações ............................................................................................................................. 0 pontos
Nota 2
A pontuação relativa a esta etapa só é atribuída se na etapa anterior não tiverem sido atribuídos zero 
pontos.
2.2. ...............................................................................................................................................15 pontos
A composição deve abordar os pontos seguintes:
• Enunciar a regra de Laplace.
• Explicar o número de casos possíveis.
• Explicar o número de casos favoráveis.
Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classi cada a resposta a este item, de acordo com os níveis 
de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa, descritos nos critérios gerais, 
e os níveis de desempenho no domínio especí co da disciplina.
Descritores do nível de desempenho no domínio 
da comunicação escrita em língua portuguesa.
Descritores do nível de desempenho 
no domínio especí co da disciplina.
Níveis*
1 2 3
N
ív
ei
s 3 A composição aborda, corretamente, os três pontos. 13 14 15
2 A composição aborda, corretamente, apenas dois pontos. 8 9 10
1 A composição aborda, corretamente, apenas um ponto. 3 4 5
*Descritores apresentados nos Critérios Gerais de Classi cação.
Mat 12-caderno testes_1.indd 137 12/03/16 15:58
Matemática 12 | Caderno de Testes
138
3.
3.1. ................................................................................................................................................20 pontos
Estudar a existência de assíntotas verticais ................................................................................... 4 pontos
Justi car a não existência de assíntotas verticais ................................................................ 4 pontos
Estudar a existência de assíntotas horizontais ............................................................................ 16 pontos
Calcular lim
x +
f x( ) .............................................................................................................. 6 pontos
Concluir que a reta de equação y = 1
4
 é uma assíntota horizontal do grá co da função .... 2 pontos
Calcular lim
x -
f x( ) .............................................................................................................. 6 pontos
Concluir que o grá co de f não admite assíntota horizontal quando x - ....................... 2 pontos
3.2. ................................................................................................................................................15 pontos
Determinar g ( ) 1( ) ....................................................................................................................... 2 pontos
Escrever 1
4
+ 3e1- x =1 ...................................................................................................................... 1 ponto
Escrever 3e1- x = 3
4
 .......................................................................................................................... 1 ponto
Obter e1- x = 1
4
 ................................................................................................................................. 1 ponto
Obter 1- x = ln 1
4
 .......................................................................................................................... 3 pontos
Obter x =1- ln 1
4
 ............................................................................................................................ 1 ponto
Escrever 1= lne ............................................................................................................................... 2 pontos
Obter x = ln 4e( ) .............................................................................................................................. 3 pontos
Apresentar a solução ........................................................................................................................ 1 ponto
3.3. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Apresentar corretamente os grá cos obtidos na calculadora ........................................................ 6 pontos
Grá co de f ........................................................................................................................... 2 pontos
Grá co de g ........................................................................................................................... 2 pontos
Respeito pelo domínio .......................................................................................................... 2 pontos
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TESTE N.º 1
Matemática 12 | Caderno de Testes
139TESTE GLOBAL N.º 2
Assinalar devidamente os pontos de interseção .............................................................. (1+1+1) 3 pontos
Apresentar as coordenadas dos pontos ........................................................................... (1+1+1) 3 pontos
Apresentar o conjunto-solução da condição f x( ) > g x( ) .............................................................. 3 pontos
4.
4.1. ............................................................................................................................................... 15 pontos
Determinar AB ................................................................................................................................. 2 pontos
Determinar BC ................................................................................................................................. 2 pontos
Determinar PC ................................................................................................................................. 6 pontos
Escrever a expressão que dá a área do trapézio ............................................................................. 1 ponto
Obter A x( ) = 2sen x - cos x
2sen x
 .............................................................................................................. 4 pontos
4.2. ............................................................................................................................................... 20 pontos
Determinar A' x( ) .......................................................................................................................... 12 pontos
Determinar 2sen x - cos x( ) ' ................................................................................................... 2 pontos
Determinar 2sen x( ) ' .............................................................................................................. 2 pontos
Obter 
2 sen2 x + cos2 x( )
4sen2 x
 ........................................................................................................ 5 pontos
Utilizar a fórmula fundamental da trigonometria ................................................................... 2 pontos
Obter 1
2sen2 x
 ......................................................................................................................... 1 ponto
Justi car que A' x( ) > 0,Ax
4
,
2
 ................................................................................................ 4 pontos
Concluir que A é estritamente crescente em 
4
,
2
 ........................................................................ 4 pontos
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Matemática 12 | Caderno de Testes
140
Exemplos de resposta e proposta de cotação
GRUPO II
1.
1.2. i * cis n
10
= cis
2
* cis n
10
= cis
2
+
n
10
i * cis n
10 é um número real se:
2
+
n
10
= 2k , k
§
n
10
= -
2
+ 2k , k
§ n = -5 + 20k , k
§ n = -5+ 20k, k
k =1 n =15
O menor valor é 15.
Cotação a atribuir ........................ 17 pontos
Nesta resposta o aluno:
• escreve i na forma trigonométrica .. 3 pontos
• indica um argumento de i * z2 ......... 5 pontos
• escreve uma condição para que i * z2 seja um 
número real positivo ....................... 2 pontos
• obtém n = -5+ 20k, k ............... 4 pontos 
• conclui, de acordo com o erro cometido, que 
n = 15 .............................................. 3 pontos
2.
2.2. • 6*4 C3 é o número de triângulos que per-
tencem às faces laterais;
• 2*6 C3 é o número de triângulosque per-
tencem às bases;
• 12C3 é o número de casos possíveis.
Pela regra de Laplace, a probabilidade de 
um acontecimento é dada pelo quociente 
entre o número de casos favoráveis a esse 
acontecimento e o número de casos possí-
veis, quando estes são equiprováveis.
Logo, uma resposta correta é:
6*4 C3 + 2*
6 C3
12C3
 Cotação a atribuir ....................... 5 pontos
 Nesta resposta, o aluno aborda corretamente 
um ponto – a regra de Laplace.
Repara que não explica o número de casos 
favoráveis nem o número de casos possíveis. 
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Matemática 12 | Caderno de Testes
Critérios Gerais de Classi cação
A classi cação a atribuir a cada resposta resulta da aplicação dos critérios gerais e dos critérios especí -
cos de classi cação apresentados para cada item e é expressa por um número inteiro, previsto na grelha 
de classi cação.
As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identi cadas são classi cadas com zero pontos.
No entanto, em caso de omissão ou de engano na identi cação de uma resposta, esta pode ser classi -
cada se for possível identi car inequivocamente o item a que diz respeito.
Se o aluno responder a um mesmo item mais do que uma vez, não eliminando inequivocamente a(s) 
resposta(s) que não deseja que seja(m) classi cada(s), deve ser considerada apenas a resposta que sur-
gir em primeiro lugar.
Nos itens de seleção (escolha múltipla), a cotação total do item é atribuída às respostas que apresentem 
de forma inequívoca a única opção correta.
São classi cadas com zero pontos as respostas em que seja assinalada:
– uma opção incorreta;
– mais do que uma opção.
Não há lugar a classi cações intermédias.
Os critérios de classi cação dos itens de construção apresentam-se organizados por etapas e/ou por 
níveis de desempenho. A cada nível de desempenho e a cada etapa corresponde uma dada pontuação. 
No caso de, ponderados todos os dados contidos nos descritores, permanecerem dúvidas quanto ao nível 
a atribuir, deve optar-se pelo nível mais elevado de entre os dois tidos em consideração.
Nos itens de construção com cotação igual ou superior a quinze pontos e que impliquem a produção de um 
texto, a classi cação a atribuir traduz a avaliação simultânea das competências especí cas da disciplina e 
das competências de comunicação escrita em língua portuguesa. A avaliação das competências de comu-
nicação escrita em língua portuguesa contribui para valorizar a classi cação atribuída ao desempenho no 
domínio das competências especí cas da disciplina. Esta valorização é cerca de 10% da cotação do item 
e faz-se de acordo com os níveis de desempenho descritos no quadro seguinte.
Níveis Descritores
3
Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortogra a, ou com erros esporádicos, cuja 
gravidade não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.
2
Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de sintaxe, de pontuação e/ou de ortogra a, cuja gravidade 
não implique perda de inteligibilidade e/ou de sentido.
1
Composição sem estruturação aparente, com erros graves de sintaxe, de pontuação e/ou de ortogra a, cuja gravidade 
implique perda frequente de inteligibilidade e/ou de sentido.
No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio especí co da disciplina, a classi -
cação a atribuir é zero pontos. Neste caso, não é classi cado o desempenho no domínio da comunicação 
escrita em língua portuguesa.
CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO 141
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Matemática 12 | Caderno de Testes
No quadro seguinte apresentam-se os critérios de classi cação a aplicar em situações não descritas ante-
riormente.
Situação Classi cação
1. Classi cação da resposta a um item cujo critério se apresenta 
organizado por etapas.
A pontuação indicada para cada etapa é a pontuação máxima 
que lhe é atribuível.
A classi cação da resposta resulta da soma das pontuações 
das diferentes etapas, à qual se subtrai ou subtraem, eventual-
mente, um ou dois pontos, de acordo com o previsto nas situa-
ções 14 e/ou 19.
2. Pontuação de uma etapa dividida em passos. A pontuação indicada para cada passo é a pontuação máxima 
que lhe é atribuível.
A pontuação da etapa resulta da soma das pontuações dos dife-
rentes passos.
3. Classi cação da resposta a um item ou pontuação de uma 
etapa cujo critério se apresenta organizado por níveis de 
desempenho.
A resposta é enquadrada numa das descrições apresentadas.
À classi cação/pontuação correspondente subtraem-se, even-
tualmente, um, dois ou três pontos, de acordo com o previsto 
nas situações 9, 10 e/ou 19.
4. Utilização de processos de resolução que não estão previstos 
no critério especí co de classi cação.
É aceite e classi cado qualquer processo de resolução cienti -
camente correto.
O critério especí co deve ser adaptado ao processo de reso-
lução apresentado, mediante distribuição da cotação do item 
pelas etapas* percorridas pelo examinando. Esta adaptação do 
critério deve ser utilizada em todos os processos de resolução 
análogos.
5. Apresentação apenas do resultado nal, embora a resolução 
do item exija cálculos e/ou justi cações.
A resposta é classi cada com zero pontos.
6. Utilização de processos de resolução que não respeitam as 
instruções dadas [exemplo: “usando métodos analíticos”].
A etapa em que a instrução não é respeitada é pontuada com 
zero pontos, bem como todas as etapas subsequentes que dela 
dependam, salvo se houver indicação em contrário no critério 
especí co de classi cação.
7. Ausência de apresentação dos cálculos e/ou das justi cações 
necessárias à resolução de uma etapa*.
A etapa é pontuada com zero pontos, bem como todas as eta-
pas subsequentes que dela dependam, salvo se houver indica-
ção em contrário no critério especí co de classi cação.
8. Ausência de apresentação explícita de uma dada etapa. Se a resolução apresentada permitir perceber inequivocamente 
que a etapa foi percorrida, a mesma é pontuada com a cotação 
total para ela prevista.
9. Transposição incorreta de dados do enunciado. Se o grau de di culdade da resolução da etapa não diminuir, é 
subtraído um ponto à pontuação da etapa.
Se o grau de di culdade da resolução da etapa diminuir, a pon-
tuação máxima a atribuir a essa etapa deve ser a parte inteira 
de metade da cotação prevista.
10. Ocorrência de um erro ocasional num cálculo. É subtraído um ponto à pontuação da etapa em que o erro 
ocorre.
11. Ocorrência de um erro que revela desconhecimento de con-
ceitos, de regras ou de propriedades.
A pontuação máxima a atribuir nessa etapa deve ser a parte 
inteira de metade da cotação prevista.
142
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Matemática 12 | Caderno de Testes
CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO 143
Situação Classi cação
12. Ocorrência de um erro na resolução de uma etapa. A etapa é pontuada de acordo com o erro cometido.
As etapas subsequentes são pontuadas de acordo com os efei-
tos do erro cometido:
– se o grau de di culdade das etapas subsequentes não dimi-
nuir, estas são pontuadas de acordo com os critérios especí cos 
de classi cação;
– se o grau de di culdade das etapas subsequentes diminuir, a 
pontuação máxima a atribuir a cada uma delas deve ser a parte 
inteira de metade da cotação prevista.
13. Resolução incompleta de uma etapa. Se à resolução da etapa faltar apenas o passo nal, é subtraído 
um ponto à pontuação da etapa; caso contrário, a pontuação 
máxima a atribuir deve ser a parte inteira de metade da cotação 
prevista.
14. Apresentação de cálculos intermédios com um número de 
casas decimais diferente do solicitado e/ou apresentação de um 
arredondamento incorreto.
É subtraído um ponto à classi cação da resposta, salvo se hou-
ver indicação em contrário no critério especí co de classi cação.
15. Apresentação do resultado nal que não respeita a forma 
solicitada [exemplos: é pedidoo resultado na forma de fração, e 
a resposta apresenta-se na forma de dízima; é pedido o resul-
tado em centímetros, e a resposta apresenta-se em metros].
É subtraído um ponto à pontuação da etapa correspondente à 
apresentação do resultado nal.
16. Omissão da unidade de medida na apresentação do resul-
tado nal [exemplo: “15” em vez de “15 metros”].
A etapa relativa à apresentação do resultado nal é pontuada 
com a cotação para ela prevista.
17. Apresentação do resultado nal com aproximação quando 
deveria ter sido apresentado o valor exato.
É subtraído um ponto à pontuação da etapa correspondente à 
apresentação do resultado nal.
18. Apresentação do resultado nal com um número de casas 
decimais diferente do solicitado e/ou apresentação do resultado 
 nal incorretamente arredondado.
É subtraído um ponto à pontuação da etapa correspondente à 
apresentação do resultado nal.
19. Utilização de simbologias ou de expressões inequivoca-
mente incorretas do ponto de vista formal.
É subtraído um ponto à classi cação da resposta, exceto:
– se as incorreções ocorrerem apenas em etapas já pontuadas 
com zero pontos;
– nos casos de uso do símbolo de igualdade onde, em rigor, 
deveria ter sido usado o símbolo de igualdade aproximada.
* Em situações em que o critério é aplicável tanto a etapas como a passos, utiliza-se apenas o termo “eta-
pas” por razões de simpli cação da apresentação.
Transcrito de: Critérios Gerais de Classi cação, Teste intermédio de Matemática A, maio 2011, GAVE
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Matemática 12 | Caderno de Testes
144
Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
 r ( - amplitude, em radianos, do ângulo ao cen-
tro; r - raio)
Áreas de guras planas
Losango: Diagonal maior * Diagonal menor
2
Trapézio: Base maior * Base menor
2
 * Altura
Polígono regular: Semiperímetro * Apótema
Setor circular: r
2
2
 ( - amplitude, em radianos, do 
ângulo ao centro; r - raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: rg (r – raio da base; g – 
geratriz)
Área de uma superfície esférica: 4 r2 (r – raio)
Volumes
Pirâmide: 1
3
 * Área da base * Altura
Cone: 1
3
 * Área da base * Altura
Esfera: 4
3
 r3 (r – raio)
Trigonometria
sen (a + b) = sen a * cos b + sen b * cos a
cos (a + b) = cos a * cos b - sen a * sen b
tg (a + b) = tg a + tg b1- tg a * tg b
Complexos
cis( )n = n cis n( )
cisn = n cis + 2k
n
, k 0,…, n-1{ }
Probabilidades
= p1x1+…+ pnxn
= p1 x1-( )
2
+…+ pn xn -( )
2
Se X é N ( , ), então:
P( - < X < + ) ) 0,6827
P( - 2 < X < + 2 ) ) 0,9545
P( - 3 < X < + 3 ) ) 0,9973
Regras de derivação
(u + v)' = u' + v'
(u * v)' = u' * v + u * v'
u
v
' = u' * v - u * v'
v2
un( )' = n* un -1* u' n( )
(sen u)' = u' * cos u
(cos u)' = - u' * sen u
(tg u)' = u'
cos2u
(eu)' = u' * eu
(au)' = u' * au * ln a (a + \ {1})
(ln u)' = u'
u
(loga u)' = 
u'
u * ln a (a 
+ \ {1})
Limites notáveis
lim 1+ 1
n
n
= e n( )
lim
x 0
sen x
x
=1
lim
x 0
ex -1
x
=1
lim
x 0
ln x +1( )
x
=1
lim
x +
ln x
x
= 0
lim
x +
ex
x p
= + p( )
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