cap 2 Análise dos Tempos de Falha

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2- Análise dos Tempos de Falha
Conceitos
Análise do tempo de falhas é o conjunto de técnicas estatísticas para análise de dados de durabilidade provenientes tanto de campo quanto de teste de vida.
Nesses testes, os itens da amostra são submetidos às mesmas condições dos de campo e registramos o tempo até a falha
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Falha
Uma falha acontece quando
 a capacidade reduz-se abaixo do desempenho desejado;
 o desempenho desejado fica acima da capacidade inicial;
 o item físico não é capaz de realizar o que é desejado
Fogliatto (2009)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Falha
NBR 5462 :
“Falha é o término da capacidade de um item desempenhar a função requerida. É a diminuição total ou parcial da capacidade de uma peça, componente ou maquina de desempenhar a sua função durante um período de tempo, quando o item deverá ser reparado ou substituído. A falha leva o item a um estado de indisponibilidade”. 
Xenos (2014)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Causas da falha
A causa da falha pode estar associada a:
 falha de projeto;
 defeitos do material;
 deficiências durante o processamento ou fabricação 
 defeitos de instalação e montagem;
 condições de serviço não previstas ou fora de projeto;
 deficiências da manutenção; ou
 operação indevida.
Fogliatto (2009)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Comportamento das falhas
A frequência de ocorrência de falhas para equipamento pode variar de três maneiras : constante, crescente ou decrescente.
Podem ocorrer combinações entre os três tipos.
Xenos (2014)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Xenos (2014)
 Na ordem, temos falha descrente, crescente e constante e uma combinação conhecida como “curva da banheira”
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Xenos (2014)
 
Constante
Causada por eventos aleatórios, resultando na aplicação de esforços que excedem a resistência intrínseca do equipamento.
Componentes eletrônicos possuem este comportamento. A corretiva é mais indicada para este tipo de falha.
 Comportamento da falha
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Xenos (2014)
 
Crescente
Típica de situações de fadiga de materiais, corrosão ou desgaste. 
A probabilidade de falha aumenta à medida que o equipamento envelhece.
 Comportamento da falha
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Xenos (2014)
 Decrescente
A confiabilidade intrínseca aumenta com o tempo. 
Introdução de melhorias nos equipamentos como substituição de componentes mais confiáveis.
Softwares possuem este comportamento. 
 Comportamento da falha
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Xenos (2014)
 
Curva da banheira com falhas decrescentes no início, constante e crescente no final do ciclo de vida
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Xenos (2014)
 
“Nova” curva da banheira
Empresas melhoraram os projetos, treinamentos dos operadores e reduziram a frequência de falhas (principalmente no início do ciclo de vida)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Conceitos
A Análise do Tempo de falha se propõe estimar, com base nestas duas fontes de informações :
 Tempo médio a falha (TMEF)
 Tempo médio de Reparo (TMPR)
 Fração esperada de falhas na garantia
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Testes realizados para obter medidas de durabilidade de produtos são demorados e caros.
Por serem demorados, usualmente os testes são terminados antes que todos os itens falhem.
As medidas destes itens são ditas censuradas
Freitas e Colosimo (1997)
Tipos de Censura
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Tipos de Censura
Tipo I
O teste é terminado após um período preestabelecido de tempo.
Tipo II
O teste é terminado após ter ocorrido a falha em um número preestabelecido de itens.
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Tipos de Censura
Tipo III
Tipo aleatório. O item é retirado do teste por uma falha diferente da estudada.
Na prática, o tratamento estatístico de dados oriundos dos três mecanismos de censura é geralmente o mesmo.
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Conceitos
Tempo Médio Entre Falhas ( TMEF ou MTBF)
 MTBF (mean time between failures) 
 Utilizado para produtos ou componentes reparáveis
MTTF (mean time to failure) ou tempo médio até a falha
Utilizado para componentes não reparáveis.
MTTR (mean time to repair) ou TMPR – Tempo médio de reparo
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Conceitos
 
R(t) ou função confiabilidade. É a probabilidade de um produto funcionar por um período superior a um tempo t.
R(T) = p(T ≥ t)
h(t) ou função taxa de falha. É a taxa instantânea de falha no tempo t, dado que o componente estava em operação até o tempo t.
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Conceitos
A probabilidade de um produto falhar em um intervalo de tempo [t , t + ∆t) é dada por 
Pode ser expressa em termos da função de confiabilidade como R(t) - R(t + ∆t) , pois
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Conceitos
Porém, R(t) ≥ R(t + ∆t). Desta maneira,
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Conceitos
 Condicionando que o produto não falhou antes do tempo t
Dividindo a expressão acima pelo comprimento do intervalo (∆t) temos a função taxa de falha – h(t)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Função taxa de falha – h(t)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Freitas e Colosimo (1997)
 Função taxa de falha – h(t)
A taxa de falha no intervalo [t , t + ∆t) é definida como a probabilidade de que a falha ocorra neste intervalo, dado que esta não ocorreu antes de t, dividida pelo comprimento do intervalo.
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Freitas e Colosimo (1997)
 Função taxa de falha – h(t)
Caso o intervalo seja bem pequeno como ∆t→0, temos taxa de falha instantânea no tempo t.
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Função taxa de falha – h(t) – Dados Empíricos
Uma outra maneira de estimar taxa de falha é
nf = número de falhas 
 ns = número de produtos que sobreviveram 
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Função de Confiabilidade - R(t)
É a probabilidade de um produto funcionar por um período superior a um tempo t.
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Função de Confiabilidade - R(t) – Dados empíricos
Uma outra maneira de calcular a função confiabilidade é dada por 
 
ns = número de produtos em operação até t
 n = total de produtos
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Tempo Médio até a Falha – TMEF (MTTF)
É o valor esperado da variável aleatória T.
Podemos escrever também
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Exemplo : Cálculo de h(t) e R(t) com dados empíricos
 Uma amostra de 54 unidades de um produto foi colocada em teste (todos falharam).
Freitas e Colosimo (1997)
Verificamos que 10 itens falharam entre 200 e 300 horas
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Uma estimativa para taxa de falha no período entre 400 e 500 horas é dada por
= 9/ 21 = 0,429 
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 A taxa de falha num período de 100 horas compreendido entre 400 e 500 e de 42,9%.
Se um item não falhou após 400 horas de uso, a probabilidade de vir a falhar no intervalo de 400 a 500 horas é de 42,9%
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 
O mais usual é expressar a h(t) como taxas / intervalo de tempo
A taxa de falhas é de 0,429 falhas neste intervalo de 100 horas (42,9 / 100)
Da mesma maneira como 0,00429 falhas por hora (0,429/100) 
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 A função confiabilidade no tempo t = 400 horas é estimada por= (9+7+4+1) / 54 
 = 21/54 = 0,389
Significa que 38,9% destes produtos duram mais que 400 horas
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 A função confiabilidade no tempo t = 0 horas é estimada por
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Estimativas para todos os intervalos de tempo
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Função Confiabilidade
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 
O tempo mediano (50%) é de aproximadamente 360 horas 
O percentil 10 é de 170 horas, ou seja, 10% dos produtos irão falhar após 170 horas (aproximadamente)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
 Função de taxa de falha
Podemos verificar que a taxa de falha é do tipo crescente
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
A taxa de falha também pode ser calculada assim
Ou 0,429 falhas em 100 horas
Freitas e Colosimo (1997)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Podemos calcular utilizando o número de falhas e a amplitude do intervalo
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
É usual calcular a taxa de falha por hora ou múltiplos de 1.000. Na tabela abaixo temos a taxa por hora e para 10.000 horas
	h(t) -falhas por hora	h(t) -falhas por 10.000 horas
	0,00037	3,7
	0,00096	9,6
	0,00213	21,3
	0,00432	43,2
	0,00429	42,9
	0,00583	58,3
	0,00800	80,0
	0,01000	100,0
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Cálculo taxa de falhas em função do tempo de operação
Taxa de falhas em função do tempo de operação 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Exemplo (Cesgranrio)
Um lote de 20 peças é testado durante 5.000 horas. Quatro componentes falham durante o teste da seguinte forma : falha 1 ocorreu após 1.000 horas; Falha 2 ocorreu após 1.500 horas; Falha 3 ocorreu após 2.000 horas; e Falha 4 ocorreu após 3.000 horas. Determine a taxa de falhas
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Exemplo (Cesgranrio)
Tempo total = número de componentes x número horas total
Tempo total = 20 x 5.000 = 100.000 horas
Tempo de operação = tempo total – tempo total de não operação (tno)
Tno total = tno1 + tno2 + ... + tnon
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Tno1 = 5000 – 1000 = 4000 horas
Tno2 = 5000 – 1500 = 3500
Tno3 = 5000 – 2000 = 3000
Tno4 = 5000 – 3000 = 2000
Tno total =4000 + 3500 + 3000 + 2000 = 12500
Tempo de operação = 100000 – 12500 = 87.500
Portanto a taxa de falhas = 4/ 87.500 = 0,000046 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Podemos calcular também assim
Dos 20 testados, 4 falharam. Portanto, 16 funcionaram (cada um5.000 horas) num total de 16 x 5.000 = 80.000
O tempo de operação = 80.000 + 1.000 + 1.500 + 2.000 +3.000 = 87.500
Tempo de operação = número de componentes x tempo de operação
Taxa de falhas = 4/ 87.500 = 0,000046
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Modelos Probabilísticos 
Distribuição Exponencial
A distribuição de Poisson corresponde ao número de ocorrências por intervalo com média  
A distribuição exponencial corresponde ao tempo entre duas ocorrências com média 1/ e função densidade
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Distribuição Exponencial - função densidade
Montgomery (2004)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Distribuição Exponencial - função taxa de falhas
A taxa de falhas é constante
Lafraia (2001)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Função de Confiabilidade – R(t)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Função de acumulada de Falhas – F(t)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Função da taxa de falhas – h(t)
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Tempo Médio entre Falhas - MTBF
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Tempo Médio entre Falhas - MTBF
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Tempo Médio entre Falhas - MTBF
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
O número de falhas de um produto é uma Poisson com média 25 a cada intervalo de 1.000 horas. 
Portanto, o tempo entre falhas é uma exponencial com  = 25 falhas /1.000 horas . 
Pode ser também  = 0,025 falhas por hora
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Qual é a probabilidade de não haver nenhuma falha em um intervalo de 100 horas ?
A probabilidade do tempo de vida ser no mínimo de 100 horas é 8,1%.
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Qual é a probabilidade do produto falhar em até 50 horas?
Qual é o tempo médio entre falhas (MTBF)?
O tempo médio entre falhas é de 40 horas.
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Qual é o tempo em que 10% dos produtos falham ?
				 É o tempo para o percentil p. 
 
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Qual é o tempo em que 10% dos produtos falham ?
t = 4,21 horas
				 
 
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
O MTBF é percentil 63 na dist. Exponencial.
 MTBF = 39,77 => 40 horas aproximadamente
				 
 
 
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
O tempo de vida de um componente é dado por T, onde T segue a exponencial com média 5 horas. Qual a prob. de um desses componentes ser colocado em funcionamento e vir a falhar após 8 horas ?
								
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Propriedade de Falta de Memória da Dist. Exponencial
Considere t1 = 30.000 horas e t2 = 1.000 horas.
A prob. de um equipamento falhar nas primeiras 1000 horas de funcionamento é mesma prob. de falhar nas próximas 1000 depois dele estar funcionando, por exemplo, 30000 horas. 
Neste caso, estamos considerando que o equipamento não está sofrendo desgaste.
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
Considere que um equipamento falhe com taxa  = 0,0005. Portanto, o tempo médio entre falhas de 2.0000 horas = 1/0,0005.
Determine a probabilidade deste equipamento falhar em até 1.000 horas sabendo que o mesmo funcionou as 30.0000 primeiras horas.
‹nº›.
2- Análise dos Tempos de Falha
P(X < 31000 / X> 30000) = P(X< 1000) = 1- e- 0,0005(1000) = 0,3935
 
p(X < 31000 / X > 30000) = P(30000< X < 31000) / P(X > 30000)
= [ P(X<31000) – P(X< 30000)] / P(X>30000)
‹nº›.
(
)
t
t
T
t
p
D
+
£
£
(
)
(
)
(
)
(
)
t
F
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T
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-
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³
D
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£
£
=
³
D
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£
£
/
(
)
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)
(
)
(
)
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t
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t
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t
R
t
R
t
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D
´
D
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-
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D
D
+
-
=
1
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(
(
)
(
)
(
)
t
R
t
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t
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R
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h
D
D
+
-
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)
(
(
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(
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(
)
t
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t
t
t
R
t
R
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h
D
D
+
-
=
)
(
[
)
(
)
[
)
t
até
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em
produtos
de
número
,
intervalo
no
falhas
número
,
t
t
t
t
t
t
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+
=
D
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(
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n
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t
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(
)
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produtos
de
número
t
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até
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produtos
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número
=
t
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n
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n
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t
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t
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t
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ò
¥
=
=
0
(
)
dt
t
R
MTTF
ò
¥
=
0
[
)
(
)
[
)
400
t
até
operação
em
produtos
de
número
400,500
intervalo
no
falhas
número
500
,
400
ˆ
=
=
h
(
)
teste
sob
produtos
de
número
400
t
tempo
o
até
operação
em
produtos
de
número
400
ˆ
=
=
R
(
)
1
54
1
4
7
9
16
10
5
2
0
ˆ
=
+
+
+
+
+
+
+
=
R
Intervalo 
 (x100)Taxa de falha 
por 100 horas 
 
Confiabilidade 
 (%) 
0-1 0,037 100,0 
1-2 0,096 96,3 
2-3 0,213 87,0 
3-4 0,432 68,5 
4-5 0,429 38,9 
5-6 0,583 22,2 
6-7 0,800 9,3 
7-8 1,000 1,9 
 
	Intervalo
 (x100)
	Taxa de falha por 100 horas
 
	Confiabilidade
 (%)
	0-1
	0,037
	100,0
	1-2
	0,096
	96,3
	2-3
	0,213
	87,0
	3-4
	0,432
	68,5
	4-5
	0,429
	38,9
	5-6
	0,583
	22,2
	6-7
	0,800
	9,3
	7-8
	 1,000
	1,9
Intervalo
 
 
(x100)
 
Taxa de falha 
por 100 horas
 
 
 
Confiabilidade
 
 
(%)
 
0
-
1
 
0,037
 
100,0
 
1
-
2
 
0,096
 
96,3
 
2
-
3
 
0,213
 
87,0
 
3
-
4
 
0,432
 
68,5
 
4
-
5
 
0,429
 
38,9
 
5
-
6
 
0,583
 
22,2
 
6
-
7
 
0,800
 
9,3
 
7
-
8
 
 
 
1,000
 
1,9
 
 
[
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
hora
por
falhas
R
R
R
h
00429
,
0
389
,
0
100
222
,
0
389
,
0
400
ˆ
400
500
500
ˆ
400
ˆ
500
,
400
ˆ
=
-
=
-
-
=
[
)
(
)
(
)
t
n
n
t
t
t
h
s
f
D
=
D
+
,
[
)
(
)
(
)
00429
,
0
100
21
9
500
,
400
ˆ
=
=
h
(
)
(
)
t
n
n
t
h
s
f
D
=
(
)
(
)
100
21
9
400
=
h
(
)
operação
tempo
t
h
de
falhas
número
=
(
)
t
e
t
f
l
l
-
=
(
)
(
)
ò
ò
¥
¥
-
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t
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u
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e
du
u
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t
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ú
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-
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-
t
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e
t
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l
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(
)
t
t
u
e
e
e
t
R
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¥
¥
-
+
-
=
-
=
1
(
)
t
e
t
R
l
-
=
(
)
ò
-
=
t
u
du
e
t
F
0
l
l
(
)
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
-
t
u
e
t
F
0
l
l
l
(
)
0
0
-
-
-
+
-
=
-
=
e
e
e
t
F
t
t
u
l
l
(
)
t
e
t
F
l
-
-
=
1
(
)
(
)
(
)
t
t
e
e
t
R
t
f
t
h
l
l
l
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t
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2019
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1
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0005
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0
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30000
(
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0
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31000
(
0005
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0
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