Análise de circuito com chaveamento

Prévia do material em texto

Questão 11 – Circuito 1: 
Passo 1: Analisando inicialmente com a chave aberta: 
 
 
IA: Malha passando por C4, R5, V7 e R6, sentido horário. 
IB: Malha passando por V7 e L8, sentido horário. 
Inicialmente, capacitor C4 está descarregado e não há corrente passando pelo indutor L8. 
Equações de malha e relação entre IA e IB: 
{
 
 
 
 𝐼𝐴 (
1
7𝑠
+ 3 + 6) + 𝑉𝐹𝐶 = 0
𝐼𝐵(5𝑠) − 𝑉𝐹𝐶 = 0
𝐼𝐵 − 𝐼𝐴 =
4
𝑠
 
[
 
 
 
 
 9 +
1
7𝑠
0 1
0 5𝑠 −1
−1 1 0 ]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
𝐼𝐴
𝐼𝐵
𝑉𝐹𝐶]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
0
0
4
𝑠]
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, obtêm-se: 
𝐼𝐴(𝑠) =
0,036
𝑠 + 0,016
+
−4,036
𝑠 + 1,784
 
𝐼𝐵(𝑠) =
4
𝑠
+
0,036
𝑠 + 0,016
+
−4,036
𝑠 + 1,784
 
𝑉𝐹𝐶(𝑠) =
−0,003
𝑠 + 0,016
+
36,003
𝑠 + 1,784
 
Encontrando a tensão no capacitor C4: 
𝑉𝐶4(𝑠) =
1
7𝑠
𝐼𝐴 +
𝑣𝐶4(0)
𝑠
 
𝑉𝐶4(𝑠) =
−0,323
𝑠 + 0,016
+
0,323
𝑠 + 1,784
 
Fazendo a transformada inversa de Laplace: 
𝑖𝐴(𝑡) = (0,036 ∙ 𝑒
−0,016𝑡 − 4,036 ∙ 𝑒−1,784𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑖𝐵(𝑡) = (4 + 0,036 ∙ 𝑒
−0,016𝑡 − 4,036 ∙ 𝑒−1,784𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑣𝐶4(𝑡) = (−0,323 ∙ 𝑒
−0,016𝑡 + 0,323 ∙ 𝑒−1,784𝑡)𝑢(𝑡) 
A corrente a ser analisada é 𝑖𝑥 = 𝑖𝐴. 
Para 𝑡 = 0−: 𝑖𝑥(0
−) = 𝑖𝐴(0
−) = 0 
Para 𝑡 = 0+: 𝑖𝑥(0
+) = 𝑖𝐴(0
+) = −4 A 
Para 𝑡 = ∞: 𝑖𝑥(∞) = 𝑖𝐴(∞) = 0 
Obtendo os estados iniciais do capacitor e indutor para o próximo passo: 
𝑖𝑖𝑛𝑑(∞) = 𝑖𝐵(∞) = 4 A 
𝑣𝑐𝑎𝑝(∞) = 𝑣𝐶4(∞) = 0 
 
 
 
Passo 2: Analisando o circuito com a chave ligada em “a”: 
 
 
IA: Malha passando por V1, R2 e C4, sentido horário. 
IB: Malha passando por C4, R5, V7 e R6, sentido horário. 
IC: Malha passando por V7 e L8, sentido horário. 
Inicialmente, capacitor C4 está descarregado e há uma corrente de 4 A passando pelo indutor 
L8. 
Equações de malha e relação entre IB e Ic: 
{
 
 
 
 
 
 𝐼𝐴 (2 +
1
7𝑠
) − 𝐼𝐵 (
1
7𝑠
) −
28
𝑠
= 0
𝐼𝐵 (6 +
1
7𝑠
+ 3) − 𝐼𝐴 (
1
7𝑠
) + 𝑉𝐹𝐶 = 0
𝐼𝐶(5𝑠) − 5(4) − 𝑉𝐹𝐶 = 0
𝐼𝐶 − 𝐼𝐵 =
4
𝑠
 
[
 
 
 
 
 
 
 2 +
1
7𝑠
−
1
7𝑠
0 0
−
1
7𝑠
9 +
1
7𝑠
0 1
0 0 5𝑠 −1
0 −1 1 0 ]
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
𝐼𝐴
𝐼𝐵
𝐼𝐶
𝑉𝐹𝐶]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
 
28
𝑠
0
20
4
𝑠 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, obtêm-se: 
𝐼𝐴(𝑠) =
2,545
𝑠
+
11,460
𝑠 + 0,088
+
−0,006
𝑠 + 1,783
 
𝐼𝐵(𝑠) =
2,545
𝑠
+
−2,678
𝑠 + 0,088
+
0,132
𝑠 + 1,783
 
𝐼𝐶(𝑠) =
6,545
𝑠
+
−2,678
𝑠 + 0,088
+
0,132
𝑠 + 1,783
 
𝑉𝐹𝐶(𝑠) =
1,180
𝑠 + 0,088
+
−1,180
𝑠 + 1,783
 
Encontrando a tensão no capacitor C4: 
𝑉𝐶4(𝑠) =
1
7𝑠
(𝐼𝐴 − 𝐼𝐵) +
𝑣𝐶4(0)
𝑠
 
𝑉𝐶4(𝑠) =
22,909
𝑠
+
−22,920
𝑠 + 0,088
+
0,011
𝑠 + 1,783
 
Fazendo a transformada inversa de Laplace: 
𝑖𝐴(𝑡) = (2,545 + 11,460 ∙ 𝑒
−0,088𝑡 − 0,006 ∙ 𝑒−1,784𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑖𝐵(𝑡) = (2,545 − 2,678 ∙ 𝑒
−0,088𝑡 + 0,132 ∙ 𝑒−1,784𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑖𝐶(𝑡) = (6,545 − 2,678 ∙ 𝑒
−0,088𝑡 + 0,132 ∙ 𝑒−1,784𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑣𝐶4(𝑡) = (22,909 − 22,920 ∙ 𝑒
−0,088𝑡 + 0,011 ∙ 𝑒−1,784𝑡)𝑢(𝑡) 
A corrente a ser analisada é 𝑖𝑥 = 𝑖𝐵. 
Para 𝑡 = 0−: 𝑖𝑥(0
−) = 𝑖𝐵(0
−) = 0 
Para 𝑡 = 0+: 𝑖𝑥(0
+) = 𝑖𝐵(0
+) = 0 
Para 𝑡 = ∞: 𝑖𝑥(∞) = 𝑖𝐵(∞) = 2,545 A 
Obtendo os estados iniciais do capacitor e indutor para o próximo passo: 
𝑖𝑖𝑛𝑑(∞) = 𝑖𝐶(∞) = 6,545 A 
𝑣𝑐𝑎𝑝(∞) = 𝑣𝐶4(∞) = 22,909 V 
 
 
 
Passo 3: Analisando o circuito com a chave ligada em “b”: 
 
 
IA: Malha passando por V3, R9 e C4, sentido horário. 
IB: Malha passando por C4, R5, V7 e R6, sentido horário. 
IC: Malha passando por V7 e L8, sentido horário. 
Inicialmente, há uma voltagem de 22,909 V nos terminais do capacitor C4 e há uma corrente 
de 6,545 A passando pelo indutor L8. 
Equações de malha e relação entre IB e IC: 
{
 
 
 
 
 
 𝐼𝐴 (1 +
1
7𝑠
) +
22,909
𝑠
− 𝐼𝐵 (
1
7𝑠
) −
14
𝑠
= 0
𝐼𝐵 (6 +
1
7𝑠
+ 3) −
22,909
𝑠
− 𝐼𝐴 (
1
7𝑠
) + 𝑉𝐹𝐶 = 0
𝐼𝐶(5𝑠) − 5(6,545) − 𝑉𝐹𝐶 = 0
𝐼𝐶 − 𝐼𝐵 =
4
𝑠
 
[
 
 
 
 
 
 
 1 +
1
7𝑠
−
1
7𝑠
0 0
−
1
7𝑠
9 +
1
7𝑠
0 1
0 0 5𝑠 −1
0 −1 1 0 ]
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
𝐼𝐴
𝐼𝐵
𝐼𝐶
𝑉𝐹𝐶]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
 
−8,909
𝑠
22,909
𝑠
32,727
4
𝑠 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, obtêm-se: 
𝐼𝐴(𝑠) =
1,4
𝑠
+
−10,319
𝑠 + 0,160
+
0,010
𝑠 + 1,783
 
𝐼𝐵(𝑠) =
1,4
𝑠
+
1,259
𝑠 + 0,160
+
−0,113
𝑠 + 1,783
 
𝐼𝐶(𝑠) =
5,4
𝑠
+
1,259
𝑠 + 0,160
+
−0,113
𝑠 + 1,783
 
𝑉𝐹𝐶(𝑠) =
−1,009
𝑠 + 0,160
+
1,009
𝑠 + 1,783
 
Encontrando a tensão no capacitor C4: 
𝑉𝐶4(𝑠) =
1
7𝑠
(𝐼𝐴 − 𝐼𝐵) +
𝑣𝐶4(0)
𝑠
 
𝑉𝐶4(𝑠) =
12,6
𝑠
+
10,319
𝑠 + 0,160
+
−0,010
𝑠 + 1,783
 
Fazendo a transformada inversa de Laplace: 
𝑖𝐴(𝑡) = (1,4 − 10,319 ∙ 𝑒
−0,160𝑡 + 0,010 ∙ 𝑒−1,783𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑖𝐵(𝑡) = (1,4 + 1,259 ∙ 𝑒
−0,160𝑡 − 0,113 ∙ 𝑒−1,783𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑖𝐶(𝑡) = (5,4 + 1,259 ∙ 𝑒
−0,160𝑡 − 0,113 ∙ 𝑒−1,783𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑣𝐶4(𝑡) = (12,6 + 10,319 ∙ 𝑒
−0,160𝑡 − 0,010 ∙ 𝑒−1,783𝑡)𝑢(𝑡) 
A corrente a ser analisada é 𝑖𝑥 = 𝑖𝐵. 
Para 𝑡 = 0−: 𝑖𝑥(0
−) = 𝑖𝐵(0
−) = 2,545 A 
Para 𝑡 = 0+: 𝑖𝑥(0
+) = 𝑖𝐵(0
+) = 2,545 A 
Para 𝑡 = ∞: 𝑖𝑥(∞) = 𝑖𝐵(∞) = 1,4 A 
Obtendo os estados iniciais do capacitor e indutor para o próximo passo: 
𝑖𝑖𝑛𝑑(∞) = 𝑖𝐶(∞) = 5,4 A 
𝑣𝑐𝑎𝑝(∞) = 𝑣𝐶4(∞) = 12,6 V 
 
 
 
Passo 4: Analisando o circuito com a chave ligada em “a” novamente: 
 
 
IA: Malha passando por V1, R2 e C4, sentido horário. 
IB: Malha passando por C4, R5, V7 e R6, sentido horário. 
IC: Malha passando por V7 e L8, sentido horário. 
Inicialmente, há uma voltagem de 12,6 V nos terminais do capacitor C4 e há uma corrente de 
5,4 A passando pelo indutor L8. 
Equações de malha e relação entre IB e Ic: 
{
 
 
 
 
 
 𝐼𝐴 (2 +
1
7𝑠
) +
12,6
𝑠
− 𝐼𝐵 (
1
7𝑠
) −
28
𝑠
= 0
𝐼𝐵 (6 +
1
7𝑠
+ 3) −
12,6
𝑠
− 𝐼𝐴 (
1
7𝑠
) + 𝑉𝐹𝐶 = 0
𝐼𝐶(5𝑠) − 5(5,4) − 𝑉𝐹𝐶 = 0
𝐼𝐶 − 𝐼𝐵 =
4
𝑠
 
[
 
 
 
 
 
 
 2 +
1
7𝑠
−
1
7𝑠
0 0
−
1
7𝑠
9 +
1
7𝑠
0 1
0 0 5𝑠 −1
0 −1 1 0 ]
 
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
 
 
𝐼𝐴
𝐼𝐵
𝐼𝐶
𝑉𝐹𝐶]
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
 
15,4
𝑠
12,6
𝑠
27
4
𝑠 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo o sistema, obtêm-se: 
𝐼𝐴(𝑠) =
2,545
𝑠
+
5,157
𝑠 + 0,088
+
−0,002
𝑠 + 1,783
 
𝐼𝐵(𝑠) =
2,545
𝑠
+
−1,205
𝑠 + 0,088
+
0,060
𝑠 + 1,783
 
𝐼𝐶(𝑠) =
6,545
𝑠
+
−1,205
𝑠 + 0,088
+
0,060
𝑠 + 1,783
 
𝑉𝐹𝐶(𝑠) =
0,531
𝑠 + 0,088
+
−0,531
𝑠 + 1,783
 
Encontrando a tensão no capacitor C4: 
𝑉𝐶4(𝑠) =
1
7𝑠
(𝐼𝐴 − 𝐼𝐵) +
𝑣𝐶4(0)
𝑠
 
𝑉𝐶4(𝑠) =
22,909
𝑠
+
−10,314
𝑠 + 0,088
+
0,005
𝑠 + 1,783
 
Fazendo a transformada inversa de Laplace: 
𝑖𝐴(𝑡) = (2,545 + 5,157 ∙ 𝑒
−0,088𝑡 − 0,002 ∙ 𝑒−1,783𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑖𝐵(𝑡) = (2,545 − 1,205 ∙ 𝑒
−0,088𝑡 + 0,060 ∙ 𝑒−1,783𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑖𝐶(𝑡) = (6,545 − 1,205 ∙ 𝑒
−0,088𝑡 + 0,060 ∙ 𝑒−1,783𝑡)𝑢(𝑡) 
𝑉𝐶4(𝑡) = (22,909 − 10,314 ∙ 𝑒
−0,088𝑡 + 0,005 ∙ 𝑒−1,783𝑡)𝑢(𝑡) 
A corrente a ser analisada é 𝑖𝑥 = 𝑖𝐵. 
Para 𝑡 = 0−: 𝑖𝑥(0
−) = 𝑖𝐵(0
−) = 1,4 A 
Para 𝑡 = 0+: 𝑖𝑥(0
+) = 𝑖𝐵(0
+) = 1,4 A 
Para 𝑡 = ∞: 𝑖𝑥(∞) = 𝑖𝐵(∞) = 2,545 A 
Obtendo as correntes finais do capacitor e indutor: 
𝑖𝑖𝑛𝑑(∞) = 𝑖𝐶(∞) = 6,545 A 
𝑣𝑐𝑎𝑝(∞) = 𝑣𝐶4(∞) = 22,909 V