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DESCRIÇÃO A caracterização e a modelagem dos circuitos elétricos desde suas configurações, bem como os componentes e as técnicas necessárias para sua análise. PROPÓSITO Compreender as funcionalidades de um circuito elétrico, bem como os conhecimentos técnicos e teóricos sobre a sua operação para a aplicação em diversas áreas, como máquinas e eletrônica, e não somente no modelo de sistemas de Engenharia. Conhecer, ainda, técnicas e ferramentas que facilitem a análise matemática de problemas de grande porte, como problemas reais. PREPARAÇÃO Antes de iniciar, tenha em mãos caneta, papel e calculadora para executar os cálculos e tomar notas dos exercícios propostos. OBJETIVOS MÓDULO 1 Descrever os princípios básicos para análise dos circuitos MÓDULO 2 Aplicar o método nodal e da análise de malhas MÓDULO 3 Aplicar o teorema da superposição MÓDULO 4 Empregar os equivalentes de Thévenin e Norton CIRCUITOS ELÉTRICOS I, CONCEITOS E TÉCNICAS DE ANÁLISE MÓDULO 1 Descrever os princípios básicos para análise dos circuitos PRINCÍPIOS BÁSICOS PARA ANÁLISE DOS CIRCUITOS TERMINOLOGIA E SISTEMAS DE UNIDADES Em toda aplicação ou todo experimento científico é de extrema importância o conhecimento das terminologias das unidades de medição utilizadas no processo. Estas têm o intuito de padronizar o texto a ser lido conforme as normas existentes, para que os profissionais tenham acesso e entendam o material apresentado. Por terminologia dos circuitos elétricos englobam-se as nomenclaturas e simbologias utilizadas para representar os equipamentos. Na Tabela 1, são expostos os principais componentes necessários para o estudo desse tema. Componente Nome Unidade Simbologia Resistência (R) Ohms Ω Tensão (V) Volts V Corrente (I) Ampère A Tabela 1 – Componentes do circuito elétrico e suas unidades. Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal O Sistema de Unidades (SI) tem o objetivo de padronizar as unidades de medida. Em circuitos elétricos, serão avaliados valores como resistência, tensão, corrente etc. No SI existem seis unidades principais e, partindo destas, derivam-se as demais, como mostrado na Tabela 2. Unidades do SI Quantidade Unidade básica Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente elétrica ampère A Temperatura kelvin K Intensidade luminosa candela Cd Carga coulomb C Tabela 2 – Unidades básicas do SI. Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal CORRENTE ELÉTRICA Para entender os fenômenos elétricos, é necessário se inteirar do conceito de carga elétrica. VOCÊ SABIA Considere um átomo cujo núcleo seja composto de cargas positivas e neutras, e nas órbitas encontram-se os elétrons. A carga total, medida em coulombs (C), é usualmente nula em um átomo. Isso porque o número de elétrons é equivalente ao total de prótons e estes, por sua vez, possuem cargas opostas. É importante destacar que 1 coulomb é composto de 6,24x1018 elétrons. Como dito, os elétrons são atraídos pelos prótons devido a uma força de atração. Contudo, nas camadas mais externas essa força de ligação é menor, facilitando a movimentação das cargas, sendo necessária menor energia para remoção dos elétrons. Tomemos como exemplo um fio feito de material condutor, que é caracterizado pela alta mobilidade das cargas elétricas, conectado a uma bateria. A bateria fornecerá a energia necessária para que os elétrons transitem. Essas cargas migram, obedecendo a um sentido, buscando restabelecer o equilíbrio entre elas. Por convenção, adota-se que o sentido convencional da corrente segue o fluxo de cargas positivas, ou seja, o contrário da movimentação dos elétrons livres, chamado de corrente real. Pode-se descrever a corrente elétrica como a variação de cargas em determinado espaço de tempo, dada pela Equação 1: I≜ DQ DT (1) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Sendo a variável ‘q’ representante da carga e ‘t’, o tempo. Por observação da Equação 1 é possível concluir que a corrente pode ser um valor variável, uma vez que a carga pode variar com o tempo. Sendo assim, podem ser definidos dois tipos de corrente, como apresentado a seguir: CORRENTE CONTÍNUA (I) CORRENTE ALTERNADA (I) CORRENTE CONTÍNUA (I) Fluxo ordenado de cargas no mesmo sentido. Figura 1: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 1: Corrente contínua. CORRENTE ALTERNADA (I) Sentido do fluxo de cargas varia com o tempo. Figura 2: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 2: Corrente alternada. TENSÃO Para que haja a movimentação de cargas, descrita anteriormente, aplica-se uma energia, exemplificada pela bateria. A tensão é a grandeza elétrica que mede a diferença de potencial elétrico entre dois pontos distintos do circuito, também chamada de diferença de potencial (ddp). No exemplo da bateria, A e B são os terminais dela. Assim como a corrente elétrica, a tensão pode ser descrita matematicamente como mostra a Equação 2: VAB (2) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Onde ‘w’ é a energia aplicada em Joules (J) e ‘q’, a carga (C). A unidade de medida é o Volt (V). POTÊNCIA E ENERGIA A potência de um aparelho ou sistema pode ser associada com a velocidade com que ele absorve ou fornece energia. Matematicamente, essa grandeza pode ser representada pela Equação 3, onde “w” é a energia e “t”, o tempo. 𝑝 ≜ 𝑑𝑤 𝑑𝑡 (3) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vimos que 𝑣𝑎𝑏 ≜ 𝑑𝑤 𝑑𝑞 e 𝐼 ≜ 𝑑𝑞 𝑑𝑡, substituindo na Equação 3, temos a Equação 4: 𝑝 ≜ 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = 𝑑𝑤 𝑑𝑞 𝑑𝑞𝑑𝑡 = 𝑣*𝑖 (4) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal SAIBA MAIS Convenção de sinal: a potência pode ser encontrada com sinais positivos ou negativos. Isso indica que ela pode estar sendo absorvida ou fornecida pelo elemento. Quando a potência for positiva, significa que ela está sendo fornecida por uma fonte de energia e sendo colocada à disposição de uma carga ou um conjunto de cargas. Quando a potência for negativa, significa que ela é absorvida por uma carga que estará gerando algum tipo de trabalho. A chamada convenção de sinal passivo, adotada neste tema, indica que a corrente elétrica irá sair pelo terminal positivo da fonte e entrar pelo sinal positivo da carga. DESCRIÇÃO DO CIRCUITO Um circuito elétrico pode ser caracterizado pela ligação de elementos, tais como resistores, capacitores e outros, cuja análise consiste em determinar a corrente ou a tensão dos mesmos. Os elementos do sistema podem ser subdivididos em ativos (podem gerar energia) e passivos (não podem gerar energia). Elementos ativos englobam as fontes de tensão e de corrente que fornecem potência ao circuito, podendo elas serem independentes ou dependentes (dependem de outra fonte). Elementos passivos: resistores, indutores, capacitores. ANÁLISE SISTEMÁTICA O ponto de partida para a análise de circuitos elétricos é a Lei de ohm e, para entendê-la, é necessária a apresentação de alguns conceitos. EXEMPLO Um material, ao ser percorrido por uma corrente elétrica, tende a resistir à sua passagem, conceituando o que chamamos de resistência elétrica. Esta, por sua vez, pode variar com a área da seção atravessada (𝐴), o comprimento do material (𝑙) e tipo de material, ou resistividade do mesmo (𝜌), como descrito pela Equação 5: 𝑅 = 𝜌𝑙 𝐴 (5) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A primeira Lei de ohm permite dizer que, em um circuito resistivo, a tensão e a corrente são valores diretamente proporcionais, como na Equação 6: 𝑣 = 𝑅𝑖 (6) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Em um curto-circuito, a resistência tende a zero, fazendo com que a corrente tenda a valores infinitos. Já um circuito aberto implica que a resistência tende a valoreselevados, fazendo com que a corrente se aproxime de zero. NÓS, RAMOS E LAÇOS UM RAMO CONSTITUI UM ELEMENTO QUE ESTÁ CONTIDO ENTRE DOIS TERMINAIS DO CIRCUITO. O NÓ, POR SUA VEZ, É UM PONTO DE CONEXÃO DO CIRCUITO, E O LAÇO É UM CAMINHO FECHADO. Na Figura 3, é possível identificar a representação dos três conceitos citados. Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 3: Nós, Ramos e Laços Considerando uma rede qualquer contendo ‘b’ ramos, ‘n’ nós e ‘l’ laços, temos que: 𝑏 = 𝑙 + 𝑛 - 1 (7) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para analisar um circuito é importante se atentar aos seguintes pontos: Elementos estão em série quando compartilham um único nó e, por consequência, irão transportar a mesma corrente que atravessa o circuito. Elementos estão conectados em paralelo se compartilham dois nós e, nesse caso, terão o mesmo nível de tensão. LEIS DE KIRCHHOFF Além da Lei de ohm, existem duas leis que colaboram na análise dos circuitos elétricos: a Lei de Kirchhoff para Correntes (LKC) e a Lei de Kirchhoff para Tensões (LKT). Por meio da Lei de Kirchhoff para Correntes (LKC), é possível concluir que a soma das correntes que entram em um nó é igual a zero, ou seja, a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma daquelas que saem dele. Já a Lei de Kirchhoff para Tensões (LTK) diz que a soma das tensões em uma malha ou em um caminho fechado deve ser igual a zero. Isso porque, conforme a corrente passa no elemento, ocorre o que chamamos de queda de tensão. Elementos do circuito elétrico que estão em série são atravessados pela mesma corrente. Elementos do circuito que estão em paralelo são submetidos à mesma queda de tensão. TEORIA NA PRÁTICA Considere que um televisor de LCD, cuja potência seja em média 280W, tenha sido esquecido ligado por 6 horas, e o custo do kWh seja de 0,62 centavos. Pede-se o cálculo do custo desperdiçado e o custo mensal, considerando que o televisor fique ligado por 5 horas diárias. RESOLUÇÃO CUSTO COM A ENERGIA DESPENDIDA EM UM TELEVISOR DE LCD MÃO NA MASSA 1. UMA TORRADEIRA ELÉTRICA É COMPOSTA DE UM RESISTOR, CUJA FUNÇÃO É A DE TRANSFORMAR A ENERGIA ELÉTRICA EM ENERGIA TÉRMICA. CONSIDERANDO QUE A TORRADEIRA POSSUI UMA RESISTÊNCIA DE 16Ω E É LIGADA À TENSÃO DE 127V, QUAL É A CORRENTE DRENADA POR ESSE ELETRODOMÉSTICO E QUAL É A POTÊNCIA DISSIPADA POR ELE? A) 5,95A e 900W. B) 8A e 1kW. C) 7A e 900W. D) 7,94A e 1KW. E) 6,94A e 1kW. 2. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 4, DETERMINE AS TENSÕES 𝑣1 E 𝑣2 E A CORRENTE TOTAL DO CIRCUITO. IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES. FIGURA 4. A) 𝑣1 = 18𝑉, 𝑣2 = 14𝑉, 𝑖1 = 4𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑣1 = 18𝑉, 𝑣2 = 18𝑉, 𝑖1 = 3, 5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑣1 = 14𝑉, 𝑣2 = 14𝑉, 𝑖1 = 3, 5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑣1 = 14𝑉, 𝑣2 = 14𝑉, 𝑖1 = 3𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑣1 = 14𝑉, 𝑣2 = 15𝑉, 𝑖1 = 3, 5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. PARA O CIRCUITO APRESENTADO A SEGUIR, DETERMINE AS TENSÕES EM CADA RESISTOR, A CORRENTE TOTAL DO CIRCUITO, A RESISTÊNCIA TOTAL, A POTÊNCIA TOTAL DISSIPADA E A POTÊNCIA DISSIPADA NO RESISTOR DE 8KΩ: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES. FIGURA 5. A) 𝑣1 = 30𝑉, 𝑣2 = 42𝑉, 𝑣3 = 48𝑉, 𝑣4 = 18𝑉, 𝑣5 = 12𝑉, 𝑖 = 6𝐴, 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 900𝑘𝑊, 𝑃8 = 288𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑣1 = 30𝑉, 𝑣2 = 42𝑉, 𝑣3 = 48𝑉, 𝑣4 = 18𝑉, 𝑣5 = 12𝑉, 𝑖 = 6𝑚𝐴, 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 900𝑘𝑊, 𝑃8 = 288𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑣1 = 30𝑉, 𝑣2 = 42𝑉, 𝑣3 = 48𝑉, 𝑣4 = 14𝑉, 𝑣5 = 12𝑉, 𝑖 = 6𝐴, 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 900𝑘𝑊, 𝑃8 = 288𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑣1 = 30𝑉, 𝑣2 = 42𝑉, 𝑣3 = 40𝑉, 𝑣4 = 18𝑉, 𝑣5 = 10𝑉, 𝑖 = 4𝐴, 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 900𝑚𝑊, 𝑃8 = 32𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑣1 = 30𝑉, 𝑣2 = 42𝑉, 𝑣3 = 48𝑉, 𝑣4 = 18𝑉, 𝑣5 = 12𝑉, 𝑖 = 6𝐴, 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 150𝑘𝑊, 𝑃8 = 48𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4. UTILIZANDO A LEI DE KIRCHHOFF, DETERMINE E ASSINALE AS CORRENTES QUE CIRCULAM NO CIRCUITO A SEGUIR: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES. FIGURA 6. A) 𝑖1 = 20𝐴, 𝑖2 = 15,𝐴, 𝑖3 = 5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑖1 = 19,56𝐴, 𝑖2 = 15,22𝐴, 𝑖3 = 4,34𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑖1 = 5𝐴, 𝑖2 = 5𝐴, 𝑖3 = 5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑖1 = 15,22, 𝑖2 = 4,34, 𝑖3 = 19,56𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑖1 = 15,22, 𝑖2 = 19 ,56 , 𝑖3 = 4,34𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. APLICANDO A LKT, ENCONTRE O VALOR DE I_O, A TENSÃO DA FONTE DEPENDENTE E A POTÊNCIA TOTAL DO CIRCUITO: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES. FIGURA 7. A) 𝑖0 = 8𝐴, 𝑣 = 64𝑉, 𝑃 = 640𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑖0 = 5𝐴, 𝑣 = 40𝑉, 𝑃 = 640𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑖0 = 8𝐴, 𝑣 = 64𝑉, 𝑃 = 400𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑖0 = 5𝐴, 𝑣 = 40𝑉, 𝑃 = 400𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑖0 = 10𝐴, 𝑣 = 80𝑉, 𝑃 = 800𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. PARA O CIRCUITO A SEGUIR, CALCULE O VALOR DA TENSÃO V E A POTÊNCIA DA FONTE CONTROLADA POR TENSÃO: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES. FIGURA 8. A) 𝑖 = - 96𝐴, 𝑣 = 24𝑉, 𝑃 = 2 ,3 𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑖 = 96𝐴, 𝑣 = 24𝑉, 𝑃 = - 2,3𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑖 = - 96𝐴, 𝑣 = - 24𝑉, 𝑃 = - 2,3𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑖 = 96𝐴, 𝑣 = 24𝑉, 𝑃 = 2,3𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑖 = - 96𝐴, 𝑣 = - 24𝑉, 𝑃 = 2,3𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO 1. Uma torradeira elétrica é composta de um resistor, cuja função é a de transformar a energia elétrica em energia térmica. Considerando que a torradeira possui uma resistência de 16Ω e é ligada à tensão de 127V, qual é a corrente drenada por esse eletrodoméstico e qual é a potência dissipada por ele? A alternativa "D " está correta. CÁLCULO DA CORRENTE ELÉTRICA UTILIZANDO A LEI DE KIRCHHOFF 2. Para o circuito da Figura 4, determine as tensões 𝑣1 e 𝑣2 e a corrente total do circuito. Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 4. A alternativa "C " está correta. Pela Lei das malhas: -40 + 𝑣1 + 1𝑖1 + 5 + 𝑣2 + 1𝑖1 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal -35 + 10𝑖1 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖1 = 35 10 = 3,5 A Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal v1 = 4*3,5 = 14 V Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal v2 = v1 = 14 V Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. Para o circuito apresentado a seguir, determine as tensões em cada resistor, a corrente total do circuito,a resistência total, a potência total dissipada e a potência dissipada no resistor de 8kΩ: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 5. A alternativa "B " está correta. Solução: -150 + 5𝑘𝑖 + 7𝑘𝑖 + 8𝑘𝑖 + 3𝑘𝑖 + 2𝑘𝑖 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 25𝑘𝑖 = 150 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 25𝑘𝑖 = 150 25𝑘 = 6𝑚𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Resistência total: 𝑅 = 25𝑘Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Corrente do circuito: i = 6mA Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Potência total dissipada: 𝑃 = 𝑣𝑖 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑃 = 150*6𝑚 = 0,9𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Potência dissipada em 8Ω: 𝑃 = 8*6𝑚2 = 0,288𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Tensões nos resistores: 𝑣1 = 5*6 = 30𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣2 = 7*6 = 42𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣3 = 8*6 = 48𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣4 = 3*6 = 18𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣5 = 2*6 = 12𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4. Utilizando a Lei de Kirchhoff, determine e assinale as correntes que circulam no circuito a seguir: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 6. A alternativa "B " está correta. Aplicando a LKC: 𝑣2𝛺 = 2𝑖1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣4𝛺 = 4𝑖2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣6𝛺 = 6𝑖3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣8𝛺 = 8𝑖3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Aplicando a LKT: -100 + 𝑣2𝛺 + 𝑣4𝛺 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal -100 + 2𝑖1 + 4𝑖2 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖1 = 100 - 4𝑖2 2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal -𝑣4𝛺 + 𝑣6𝛺 + 𝑣8𝛺 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal -4𝑖2 + 6𝑖3 + 8𝑖3 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 14𝑖3 = 4𝑖2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖3 = 4 14𝑖2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 100 - 4𝑖2 2 = 𝑖2 + 4 14𝑖2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 100 2 = 𝑖2 + 4 14𝑖2 + 4𝑖2 2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖2 = 15, 217𝐴: = 15, 22𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖1 = 19, 565𝐴: = 19, 56𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖3 = 4, 34𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Aplicando a LKT, encontre o valor de i_o, a tensão da fonte dependente e a potência total do circuito: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 7. A alternativa "D " está correta. Solução: Aplicando a LKT: 𝑖 - 80 + 4𝑖0 + 𝑖0 + 8𝑖0 + 3𝑖0 + 2𝑖0 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 16𝑖0 = 80 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖0 = 5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fonte independente: 𝑉𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = 8*5 = 40𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Potência total dissipada: 𝑃 = 80*5 = 400𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. Para o circuito a seguir, calcule o valor da tensão v e a potência da fonte controlada por tensão: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 8. A alternativa "E " está correta. Solução: Pela Lei de ohm: 𝑣 = 𝑅𝑖 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Aplicando a LKC: 𝑣 4 + 4𝑣 + 30 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5𝑣 4 = - 30 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣 = - 24𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fonte controlada: 𝑖𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒 = 4*-24 = - 96𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Potência da fonte: 𝑃 = - 24*-96 = 2,3𝑘𝑊 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. (FCC − 2013) CONSIDERANDO A REPRESENTAÇÃO DE CORRENTES ADOTADA NO CIRCUITO E APLICANDO A LEI DE KIRCHHOFF PARA CORRENTES (LKC) PARA O NÓ A, TEM-SE QUE: IMAGEM: FCC , 2013. FIGURA 9. A) 𝐼3 = 𝐼1 − 𝐼2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝐼3 = 𝐼2 – 𝐼1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. (PC - PI - 2018) CONSIDERE UM CIRCUITO FORMADO POR DUAS BATERIAS (E1 E E2) DE 3V CADA, E DOIS RESISTORES (R1 E R2) DE 6Ω CADA, LIGADOS CONFORME A FIGURA A SEGUIR. AS CORRENTES QUE PASSAM PELOS RESISTORES R1 E R2 SÃO, RESPECTIVAMENTE: IMAGEM: PC-PI, 2018. FIGURA 10. A) 0,5A e 1,5A. B) 1,5A e 0,5A. C) 1,0A e 0,5A. D) 1,5A e 1,5A. E) 0,5A e 1,0A. GABARITO 1. (FCC − 2013) Considerando a representação de correntes adotada no circuito e aplicando a Lei de Kirchhoff para correntes (LKC) para o nó A, tem-se que: Imagem: FCC , 2013. Figura 9. A alternativa "E " está correta. Pela LKC, as correntes que entram em um nó são iguais àquelas que saem dele, dessa forma: I1 + I2 = I3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. (PC - PI - 2018) Considere um circuito formado por duas baterias (E1 e E2) de 3V cada, e dois resistores (R1 e R2) de 6Ω cada, ligados conforme a figura a seguir. As correntes que passam pelos resistores R1 e R2 são, respectivamente: Imagem: PC-PI, 2018. Figura 10. A alternativa "C " está correta. Primeiro laço, corrente em R1, pela LKT: -3 + 6𝑖 - 3 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖 = 6 6 = 1𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Segundo laço, corrente em R2, pela LKT: -3 + 6𝑖 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖 = 3 6 = 0,5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 2 Aplicar o método nodal e da análise de malhas MÉTODO DAS TENSÕES NODAIS E DA ANÁLISE DE MALHA MÉTODO 1: ANÁLISE NODAL No método da análise nodal busca-se avaliar o circuito elétrico, assumindo como variável as tensões nos nós. Para a aplicação de tal método, é possível seguir os seguintes passos: I. Selecionar um nó que será a referência. Aos demais n-1 nós atribuem-se variáveis como: v1, v2 ..., vn-1. II. Aplicar a Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC). III. Solucionaras equações para obter as tensões. Para exemplificar os passos citados, toma-se como exemplo o circuito da Figura 11: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 11: Circuito exemplo. javascript:void(0) javascript:void(0) javascript:void(0) A primeira etapa é definir a referência, ou terra (GND). Representada pela Figura 4, assume-se que esta tenha potencial nulo: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 4: Simbologia do aterramento o Em seguida, determinam-se as correntes aplicando a LKC, como na Figura 12: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 12: Aplicação da LKC para análise nodal. 𝑖1 = 𝑣𝑎 𝑅1 𝑖2 = 𝑣𝑎 - 𝑣𝑏 𝑅3 𝑖3 = 𝑣𝑏 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pela LKC: 𝐼1 = 𝐼2 + 𝑖1 + 𝑖2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Por fim, para solucionar as equações, aplica-se a Lei de ohm, que define 𝑣 = 𝑅𝑖. Os valores de resistência do circuito são conhecidos, tornando fácil a solução do sistema de equações. FONTES DEPENDENTES E INDEPENDENTES DE TENSÃO FONTES INDEPENDENTES Por definição, uma fonte independente é aquela capaz de fornecer corrente ou tensão ao circuito sem que esta dependa de valores mensurados em outros pontos. Ou seja, o valor fornecido por essa fonte depende apenas dela. A análise nodal sob a presença de fontes de tensão pode sofrer alterações nas seguintes condições: Condição 1: quando a fonte de tensão for encontrada conectada entre o nó de referência e outro nó qualquer, a tensão do nó será igual à da fonte. Condição 2: quando a fonte de tensão for encontrada conectada entre dois nós, não sendo eles o de referência, estes formarão um supernó, Figura 13. Para solucioná-lo, devem ser aplicadas as Leis de Kirchhoff (LKT e LKC). Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 13: Supernó. FONTES DEPENDENTES As fontes dependentes de tensão, também conhecidas por fontes de tensão controladas, são aquelas cujo valor de tensão fornecido ao circuito depende de outra variável dele. Ao aplicar o método da análise nodal diante da presença de fontes dependentes, atenta-se ao fato de haver restrições por elas impostas. Para entender melhor, considere o circuito da Figura 14: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 14: Exemplo de análise nodal com fonte dependente. Passo 1: identificar o número de nós e definir o nó de referência. Para esse exemplo, identificam-se dois nós e o nó de referência, ou seja, três nós. Passo 2: aplicar a LKC e definir as equações a serem solucionadas. Nó 1, aplicando a LKC: 50 - 𝑣1 5 = 𝑣1 15 + 𝑣1 - 𝑣2 3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Nó 2, aplicando a LKC: 𝑣1 - 𝑣2 3 = 𝑣2 20 + 𝑣2 - 8𝑖𝑎 4 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pela Lei de ohm: 𝑖𝑎 = 𝑣1 - 𝑣2 3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assume-se aqui que todas as correntes estão saindo do nó, para fins de estudo. Passo 3: solucionar as equações. 𝑣1 = 27,6𝑉, 𝑣2 = 19,7𝑉, 𝑖𝑎 = 2,6𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal FONTES DEPENDENTES E INDEPENDENTES DE CORRENTE Tal como as fontes dependentes e independentes de tensão, apresentadas no tópico anterior, podem ser encontradas fontes que entregam ao circuito determinados valores de corrente. Ao fazerem isso, garantem que a tensão seja mantida no valor desejado. Para exemplificar o uso da fonte dependente de corrente, tomemos o circuito a seguir: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 15: Exemplo de análise nodal com fonte de corrente. Assim: 4 = 𝑖1 + 𝑖2 + 2 𝑖1 + 𝑖2 = 2 𝑣1 2 + 𝑣1 - 𝑣2 2 = 2 2𝑣1 - 𝑣2 = 4 𝑖2 + 𝑖3 = 2 𝑣1 - 𝑣2 2 + 𝑣2 2 = 2 𝑣1 - 2𝑣2 = 4 𝑖2 = 𝑣1 - 𝑣2 2 𝑖1 = 𝑣1 2 𝑖3 = 𝑣2 2 𝑣1 = - 𝑣2 = 4 3𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO As fontes dependentes de corrente, assim como ocorre nas fontes de tensão, dependem de outra variável do circuito: nesse caso, a corrente. Dessa forma, para solucionar o problema, basta aplicar os passos já apresentados, substituindo a corrente pela tensão nodal. Caso o valor da corrente seja desejado, após encontrar as tensões nodais, estas devem ser substituídas na equação que modela a corrente do ramo desejado. MÉTODO 2: ANÁLISE DE MALHAS FONTES INDEPENDENTES A análise de malhas é uma forma alternativa de extrair as informações desejadas do circuito, como tensão nos nós ou corrente. Diferentemente da análise nodal, na qual se aplica a LKC, na análise de malhas utiliza-se a Lei de Kirchhoff para Tensões (LKT) e, partindo desta, encontram-se os valores das correntes em cada malha. Para entender melhor, observe o circuito da Figura 16 como exemplo, onde “V” representa a tensão e “R”, as resistências dele: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 16: Exemplo de análise de malhas. Identifica-se, inicialmente, que esse circuito contém: Duas malhas ou laços. Duas fontes independentes de tensão. Para solucionar o problema, devemos seguir os seguintes passos: PASSO 1 PASSO 2 PASSO 3 PASSO 1 Atribuir uma variável para as correntes de malha. Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 17: Exemplo de análise de malhas. PASSO 2 Aplicar a LKT em cada uma das malhas, definindo as equações a serem solucionadas. Malha 1: -𝑉1 + 𝑅1 𝑖1 + 𝑅1 𝐼3 = 0 𝐼3 = 𝑖1 - 𝑖2 -𝑉1 + 𝑅1 𝑖1 + 𝑅3 (𝑖1 - 𝑖2 ) = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Malha 2: 𝑅3 𝑖3 + 𝑅2 𝑖2 + 𝑉2 = 0 𝐼3 = 𝑖2 - 𝑖1 𝑅3 (𝑖2 - 𝑖1 ) + 𝑅2 𝑖2 + 𝑉2 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal PASSO 3 Resolver as equações encontradas no passo anterior para a obtenção das correntes de malha, que podem ser representadas matricialmente, para facilitar a solução, por meio de softwares ou calculadoras: 𝑅1 + 𝑅3 -𝑅3 -𝑅3 𝑅2 + 𝑅3 𝑖1 𝑖2 = 𝑉1 -𝑉2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A fim de entender como o método é aplicado em um circuito com fontes independentes de corrente, vamos considerar o circuito da Figura 11, apresentado a seguir. Partindo dele, é possível identificar a presença de duas fontes independentes, uma de tensão e uma de corrente. Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 18: Exemplo de análise de malhas. Analisando o circuito, temos as seguintes equações de malha: Malha 1: -2 + 1𝑖1 + 1(𝑖1 - 𝑖2 ) = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Malha 2: 𝑖2 = - 1𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Substituindo: -2 + 1𝑖1 + 1𝑖1 + 1 = 0 -2 + 2𝑖1 + 1 = 0 2𝑖1 = 1 𝑖1 = 1 2 = 0.5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO Quando uma fonte de corrente, dependente ou independente, for encontrada entre duas malhas, estas podem ser tratadas como uma malha única, recebendo o nome de supermalha. FONTES DEPENDENTES Para demonstrar a solução de um problema com fontes dependentes, seja esse problema de tensão ou de corrente, consideraremos o exemplo de circuito da Figura 19. Então, seguiremos os passos já apresentados: 1. Identificação das malhas 2. Aplicação da LKT 3. Resolução do sistema de equações Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 19: Exemplo de análise de malhas com fontes dependentes. Malha 1: -𝑉1 + 𝑅1 𝑖1 + 𝑅3 𝑖1 - 𝑖2 - 𝑏𝑖𝑥 = 0 𝑖𝑥 = 𝑖3 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Malha 2: 𝑎𝑉𝑎 + 𝑅5 𝑖2 + 𝑅4 𝑖2 - 𝑖4 + 𝑅3 𝑖2 - 𝑖1 = 0 𝑖𝑥 = 𝑖3 𝑎𝑉𝑎 = 𝑅7 𝑖4 = 𝑅7 𝑐𝑖𝑧 𝑅7 𝑐𝑖𝑧 + 𝑅5 𝑖2 + 𝑅4 𝑖2 - 𝑐𝑖𝑧 + 𝑅3 𝑖2 - 𝑖1 = 0 𝑖𝑧 = 𝑖1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Malha 3: 𝑅2 𝑖3+ 𝑅6 𝑖3 - 𝑐𝑖1 + 𝑏𝑖𝑥 + 𝑉2 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal TEORIA NA PRÁTICA Um transistor é um dispositivo amplamente usado em circuitos eletrônicos, cuja função é atenuar a corrente. A representação desse dispositivo é dada pela Figura 20.1. Em circuito com transistor, Figura 20.2, pede-se o cálculo das correntes 𝐼𝐵 e 𝐼𝐶 . Considere que 𝐼𝐶 = 𝛽𝐼𝐵 , onde 𝛽 = 10 e 𝑉𝐵𝐸 = 0, 7𝑉: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figuras 20.1 e 20.2. RESOLUÇÃO CÁLCULO DA CORRENTE ELÉTRICA UTILIZANDO A LEI DE KIRCHHOFF MÃO NA MASSA 1. PARA O CIRCUITO DA FIGURA 21, APLIQUE A LKT E DETERMINE A EQUAÇÃO QUE DESCREVE A CORRENTE NO NÓ 1: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES. FIGURA 21: APLICAÇÃO DA LTK. A) 𝑉1 - 𝑉2 𝑅1 = 𝑉2 𝑅2 + 𝑉2 - 𝑉3 𝑅3 + 𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑉1 - 𝑉2 𝑅1 + 𝑉2 𝑅2 + 𝑉2 - 𝑉3 𝑅3 + 𝐼 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑉2 - 𝑉1 𝑅1 = 𝑉2 𝑅2 + 𝑉2 - 𝑉3 𝑅3 + 𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑉1 - 𝑉2 𝑅1 = -𝑉2 𝑅2 + -𝑉2 + 𝑉3 𝑅3 + 𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑉1 - 𝑉2 𝑅1 = 𝑉2 𝑅2 + 𝑉2 - 𝑉3 𝑅3 - 𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. PARA O CIRCUITO A SEGUIR, ASSINALE A EQUAÇÃO QUE MELHOR DESCREVE A CORRENTE I: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES. FIGURA 22: APLICAÇÃO DA LEI DAS MALHAS. A) 𝐼 = - 𝑉2 𝑅3 + 𝑅4 - 𝑉1 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝐼 = 𝑉2 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑉1 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝐼 = 𝑉2 𝑅3 + 𝑅4 - 𝑉1 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝐼 = - 𝑉2 𝑅3 + 𝑅4 + 𝑉1 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝐼 = 𝑉1 𝑅3 + 𝑅4 - 𝑉2 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. CONSIDERANDO O CIRCUITO A SEGUIR, FIGURA 23, QUAL O VALOR ATRIBUÍDO A V? IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES. APLICAÇÃO DA LEI DOS NÓS. A) 𝑣 = 12,6𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑣 = 15,6𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑣 = - 13,6𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑣 = 13,6𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑣 = 15,6𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4. APLICANDO A ANÁLISE NODAL, DETERMINE AS TENSÕES 𝑣1 E 𝑣2 DO CIRCUITO INDICADO PELA FIGURA 24: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 24: APLICAÇÃO DA LEI DOS NÓS. A) 𝑣1 = 19𝑉, 𝑣2 = 9𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑣1 = - 19𝑉, 𝑣2 = - 9𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑣1 = 19,11𝑉, 𝑣2 = 8,67𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑣1 = - 19,11𝑉, 𝑣2 = 8,67𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑣1 = 19,11𝑉, 𝑣2 = - 8,67𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. PELO MÉTODO DA ANÁLISE DE MALHAS, DETERMINE AS CORRENTES A SEGUIR INDICADAS: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 25: ANÁLISE DE MALHAS. A) 𝐼1 = 0,6𝐴, 𝐼2 = 1𝐴, 𝐼3 = 0,6𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝐼1 = 0,67𝐴, 𝐼2 = 11,33𝐴, 𝐼3 = - 0,67𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝐼1 = - 0,67𝐴, 𝐼2 = - 1,33𝐴, 𝐼3 = 0,67𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝐼1 = - 0,67𝐴, 𝐼2 = 1,33𝐴, 𝐼3 = 0,67𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝐼1 = - 0,67𝐴, 𝐼2 = - 1,33𝐴, 𝐼3 = - 0,67𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. PARA O CIRCUITO A SEGUIR, DETERMINE A CORRENTE DE CADA UMA DAS TRÊS MALHAS: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 26: ANÁLISE DE MALHAS. A) 𝑖1 = 15𝐴, 𝑖2 = 45𝐴, 𝑖3 = 12,5 . Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑖1 = - 15𝐴, 𝑖2 = 45𝐴, 𝑖3 = 12,5 . Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑖1 = 15𝐴, 𝑖2 = - 45𝐴, 𝑖3 = 12,5 . Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑖1 = 15𝐴, 𝑖2 = 45𝐴, 𝑖3 = - 12,5 . Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑖1 = 15𝐴, 𝑖2 = - 45𝐴, 𝑖3 = - 12,5 . Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO 1. Para o circuito da Figura 21, aplique a LKT e determine a equação que descreve a corrente no nó 1: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 21: Aplicação da LTK. A alternativa "A " está correta. CÁLCULO DA CORRENTE ELÉTRICA UTILIZANDO A ANÁLISE NODAL 2. Para o circuito a seguir, assinale a equação que melhor descreve a corrente I: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 22: Aplicação da Lei das malhas. A alternativa "C " está correta. Solução: -𝑉1 + 𝑅1 𝑖1 + 𝑅2 𝑖1 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖1 = 𝑉1 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal -𝑉2 + 𝑅3 𝑖2 + 𝑅4 𝑖2 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖2 = 𝑉2 𝑅3 + 𝑅4 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼 + 𝑖1 = 𝑖2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼 = 𝑉2 𝑅3 + 𝑅4 - 𝑉1 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. Considerando o circuito a seguir, Figura 23, qual o valor atribuído a v? Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Aplicação da Lei dos nós. A alternativa "D " está correta. Solução: Considerando que só exista um nó e arbitrando as correntes dos dois primeiros ramos entrando nele e a do último ramo saindo, tem-se: 20 - 𝑣 1𝑘 + 10 - 𝑣 2𝑘 = 𝑣 3𝑘 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣 = 13,63𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Aproximadamente: 𝑣 = 13,6𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4. Aplicando a análise nodal, determine as tensões 𝑣1 e 𝑣2 do circuito indicado pela Figura 24: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 24: Aplicação da Lei dos nós. A alternativa "C " está correta. Solução: Aplicando a Lei dos nós, temos, no segundo nó: 𝑣2 + 20 5 + 10 + 𝑣2 10 = 10 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣2 15 + 𝑣2 10 = 10 - 20 15 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣2 = 8,67𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼 = 𝑣2 + 20 5 + 10 = 1,91 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑣1 = 10*𝐼 = 19,11𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Pelo método da análise de malhas, determine as correntes a seguir indicadas: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 25: Análise de malhas. A alternativa "D " está correta. Solução: Malha 1: -10 + 5𝑖1 + 5𝑖1 - 𝑖2 = 0 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal Malha 2: 5𝑖2 - 𝑖1 + 10 + 5𝑖2 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Solucionando o sistema: 𝑖1 = - 𝑖2 = 0,67𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼1 = - 𝑖1 = - 0,67𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖1 = 𝐼2 + 𝑖2 = - 1,33𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼2 = 𝑖1 - 𝑖2 = 1,33𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼3 = 𝑖2 = - 0,67𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. Para o circuito a seguir, determine a corrente de cada uma das três malhas: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 26: Análise de malhas. A alternativa "A " está correta. Solução: 2𝑖1 + 𝑖2 - 2𝑖3 + 10 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖2 = 𝑖1 + 4𝑖0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖0 = - 𝑖1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖2 = - 3𝑖1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3𝑖3 + 𝑖3 - 𝑖1 + 2𝑖3 - 2𝑖2 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6𝑖3 - 𝑖1 - 2𝑖2 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖1 = 15𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖2 = 45𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑖3 = 12,5 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. (CESPE − 2016) USANDO O MÉTODO NODAL E O DE MALHAS, ASSINALE A OPÇÃO CORRETA NO QUE SE REFERE À ANÁLISE DO CIRCUITO APRESENTADO: IMAGEM: CESPE, 2016. FIGURA 27: COMPLEMENTAR AO EXERCÍCIO. A) Se o nó identificado por X for definido como o nó de referência, então a tensão do nó identificado por Z será positiva. B) O circuito possui um supernó e uma supermalha. C) As tensões dos nós identificados por X e Y são iguais. D) Para a realização do cálculo das tensões nodais com relação a um nó de referência, é necessário resolver um conjunto de três equações linearmente independentes. E) Para o cálculo das correntes de malha do circuito, deve-se resolver um conjunto de três equações linearmente independentes. 2. SOBRE O MÉTODO DA ANÁLISE NODAL EM CIRCUITOS ELÉTRICOS, ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA: A) Cada elemento deve estar compreendido entre um nó qualquer e o nó de referência. B) É necessário escolher um nó de referência para cada elemento do circuito. C) A tensão nodal é definida como a tensão entre um nó que não seja de referência e o nó de referência. D) Cada nó possui um ou mais valores de tensão nodal. E) A corrente resultante entre quaisquer dos nós deve ser nula. GABARITO 1. (CESPE − 2016) Usando o método nodal e o de malhas, assinale a opção correta no que se refere à análise do circuito apresentado: Imagem: CESPE, 2016. Figura 27: Complementar ao exercício. A alternativa "C " está correta. O circuito possui um supernó entre a fonte de 12V, mas não há uma supermalha. A necessidade de haver 3 equações linearmente independentes para o cálculo é incorreta, tanto para o método nodal quanto para o de malha. 2. Sobre o método da análise nodal em circuitos elétricos, assinale a alternativa correta: A alternativa "C " está correta. Para o método da análise de nós, deseja-se definir as tensões em nós arbitrários do circuito, exceto o referencial, cuja tensão é tomada por zero. MÓDULO 3 Aplicar o teorema da superposição TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO A aplicação do teorema da superposição requer inicialmente que o circuito em estudo seja linear. Assim, é necessário entender o conceito disso: CIRCUITOS LINEARES Um circuito elétrico é composto de um conjunto de elementos, conforme mencionado em tópicos anteriores. O elemento dito linear é aquele cuja característica descritiva obedece aos princípios de causa e efeito. EXEMPLO Considerando um sistema de entrada e saída − como um resistor, por exemplo −, ao multiplicar a entrada por um valor constante, a saída será também multiplicada por esse mesmo valor. Dessa forma, caso haja um aumento da corrente em “x” vezes, a tensão aumentará na mesma proporção. Um circuito linear pode ser definido como aquele no qual há relação proporcional entre a entrada e a saída dos valores avaliados, o que é mostrado na relação seguinte: 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 ∝ 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑣 = 𝑅𝑖 A RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E POTÊNCIA NÃO É LINEAR. Por conhecimento do teorema da superposição, sabe-se que em dado circuito linear, no qual identificam-se múltiplas fontes — de tensão ou de corrente —, é possível calcular a variável desejada por meio da soma das contribuições de cada fonte operando isoladamente. Para aplicar o teorema são destacadas as seguintes considerações: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Em circuitos com fontes de tensão, aquelas não analisadas devem ser representadas por um curto-circuito, sendo assim elementos não contribuintes para a avaliação. Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Em circuitos com fontes de corrente, aquelas não analisadas devem ser representadas por um circuito aberto, sendo assim elementos não contribuintes para a avaliação. Figuras 28a e 28b. Um curto-circuito representa a baixa resistência à passagem de corrente. Assim, o circuito possui resistência próxima de zero e elevadas correntes de malha Passos para a solução do teorema da superposição: 1. Desativar todas as fontes que não serão utilizadas e encontrar a saída desejada. Essa ação deve ser feita para todas as fontes existentes. 2. Encontrar a contribuição total dada pela soma das contribuições individuais (calculadas na etapa anterior). Tomando como exemplo o circuito da Figura 29a, observa-se a existência de duas fontes. Considerando a ação de v1, a fonte de corrente é representada por um circuito aberto e v1 (contribuição da fonte de tensão) é calculado. Em seguida, v1 é levado a zero (curto-circuito) e v2 é calculado pela ação da fonte I. O resultado é dado pelas somas das contribuições v1 e v2. Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figuras 29a, 29b e 29c. Etapa 1: -𝑉1 + 𝑅1 𝑖1 + 𝑅2 𝑖1 = 0 javascript:void(0) javascript:void(0) 𝑅2 𝑖1 = 𝑉1 - 𝑅1 𝑖1 𝑅2 𝑖1 = 𝑣1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para associar elementos resistores em paralelo aplica-se a equação: 1 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1 𝑅1 + 1 𝑅2 + … + 1 𝑅𝑛 𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑅1𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A tensão no circuito é a mesma para os componentes paralelos, logo: 𝑣2 = 𝐼 𝑅1𝑅2 𝑅1 + 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A contribuição total é dada finalmente em: 𝑣 = 𝑣1 + 𝑣2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal TRANSFORMAÇÃO DE FONTES A transformação de fontes é uma metodologia utilizada para fazer com que o circuito se torne mais simples. Essa ação pode ser executada substituindo uma fonte de tensão em série com um resistor por uma fonte de corrente em paralelo com um resistor, como na Figura 30b. A recíproca também se aplica. Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figuras 30a e 30b. Os circuitos a e b são equivalentes. Assim, para transformar as fontes, deve ser aplicada a seguinte relação: 𝑣𝑓 = 𝑅𝑖𝑓 𝑖𝑓 = 𝑣𝑓 𝑅 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal O MÉTODO PODE SER APLICADO PARA FONTES DEPENDENTES. TEORIA NA PRÁTICA A corrente que passa por um ramo, em um circuito linear, é de 2A quando a tensão da fonte de entrada é de 10V. Se a tensão for reduzidapara 1V e a polaridade invertida, a corrente que passa por esse ramo será de: RESOLUÇÃO A resposta correta é: 0,25A. 𝑣 = 𝑅𝑖 20 = 𝑅(5) 𝑅 = 4Ω 1 4 = 𝑖 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÃO NA MASSA 1. DETERMINE, APLICANDO SUPERPOSIÇÃO, A EQUAÇÃO QUE DESCREVE A TENSÃO V: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 31. A) 𝑣 = 2𝑉 2 + 𝑅 2𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑣 = - 𝑉2 - 𝑅2𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑣 = 𝑉 2 - 𝑅2𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑣 = 𝑉 2 + 𝑅 2𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑣 = - 𝑉2 + 𝑅 2𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. DETERMINE, APLICANDO SUPERPOSIÇÃO, A TENSÃO V: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 32. A) 𝑣 = - 13𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑣 = 13𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑣 = 12𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑣 = - 12𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑣 = 13,5𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. DEFINA A EQUAÇÃO DE TENSÃO SOBRE O RESISTOR R2 DO CIRCUITO A SEGUIR: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 33. A) 𝑉𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 + 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑉𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 - 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑉𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = - 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 - 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑉𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = - 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 + 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑉𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = - 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 - 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 - 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4. TENDO EM MENTE O CIRCUITO DA QUESTÃO ANTERIOR, CONSIDERE R1=R2=R3=1Ω, V1=V2=V=2V E DEFINA O RESISTOR R2 DO CIRCUITO ABAIXO: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 34. A) 1.2V B) -1.2V C) 1.33V D) -1.33V E) 2V 5. AVALIE AS AFIRMATIVAS A SEGUIR: I. O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO É UMA FORMA DE ANALISAR CIRCUITOS NÃO LINEARES COM MÚLTIPLAS FONTES INDEPENDENTES. II. O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO É UMA FORMA DE ANALISAR CIRCUITOS LINEARES COM MÚLTIPLAS FONTES INDEPENDENTES. III. A SUPERPOSIÇÃO SE LIMITA APENAS À ANÁLISE DE CIRCUITOS. SÃO CORRETAS: A) I e II. B) I e III. C) II e III. D) Somente III. E) Somente II. 6. SOBRE SISTEMAS LINEARES, É CORRETO AFIRMAR: A) Potência elétrica é considerada grandeza linear. B) Não há proporcionalidade entre as grandezas. C) O resistor é um elemento linear do circuito. D) Se a entrada do sistema for multiplicada por uma constante, a saída não necessariamente precisa ser. E) Todas as alternativas estão corretas segundo as propriedades lineares do sistema. GABARITO 1. Determine, aplicando superposição, a equação que descreve a tensão v: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 31. A alternativa "D " está correta. CÁLCULO DA TENSÃO USANDO SUPERPOSIÇÃO 2. Determine, aplicando superposição, a tensão v: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 32. A alternativa "B " está correta. CÁLCULO DA TENSÃO UTILIZANDO SUPERPOSIÇÃO 3. Defina a equação de tensão sobre o resistor R2 do circuito a seguir: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 33. A alternativa "C " está correta. Solução: Analisando V1: 𝑅3 / / 𝑅4 = 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼 = 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑉𝑅2 = 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 (𝑅2 ) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Analisando V2: 𝑅3 / / 𝑅1 = 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼 = 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑉𝑅2 = 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 (𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜) Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Analisando V3: 𝑅2 / / 𝑅1 = 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼 = 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑉𝑅2 = 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑉𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = - 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 - 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4. Tendo em mente o circuito da questão anterior, considere R1=R2=R3=1Ω, V1=V2=V=2V e defina o resistor R2 do circuito abaixo: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 34. A alternativa "D " está correta. Solução: Substituindo na equação: 𝑉𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = - 𝑉1 𝑅1 + 𝑅3𝑅4 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 + 𝑉2 𝑅2 + 𝑅3𝑅1 𝑅3 + 𝑅1 𝑅2 - 𝑉3 𝑅3 + 𝑅2𝑅1 𝑅2 + 𝑅1 𝑅2 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑉𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = - 1,33𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Avalie as afirmativas a seguir: I. O teorema da superposição é uma forma de analisar circuitos não lineares com múltiplas fontes independentes. II. O teorema da superposição é uma forma de analisar circuitos lineares com múltiplas fontes independentes. III. A superposição se limita apenas à análise de circuitos. São corretas: A alternativa "E " está correta. Solução: A superposição é uma forma de avaliar circuitos de múltiplas fontes, técnica aplicada em sistemas lineares de diversas áreas. 6. Sobre sistemas lineares, é correto afirmar: A alternativa "C " está correta. Solução: O resistor é um elemento linear do sistema. Uma vez que a corrente aumenta, a tensão também irá aumentar de forma proporcional. GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. (EEAR − 2020) ASSINALE A ALTERNATIVA QUE COMPLETA CORRETA E RESPECTIVAMENTE AS LACUNAS DO TEXTO. UM CURTO EM QUALQUER PARTE DO CIRCUITO É, NA VERDADE, UMA _________ EXTREMAMENTE _________. COMO CONSEQUÊNCIA, FLUI UMA _________ MUITO ALTA PELO CURTO-CIRCUITO. A) potência – elevada – tensão B) tensão – elevada − potência C) corrente – baixa − resistência D) resistência – baixa – corrente E) resistência – alta – potência 2. (EBSERH − 2016) O TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO PODE SER APLICADO PARA ANALISAR CIRCUITOS EM ENGENHARIA ELÉTRICA CONTENDO UMA OU MAIS FONTES QUE NÃO ESTEJAM EM SÉRIE NEM EM PARALELO. DE ACORDO COM AS DEFINIÇÕES DO TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO, ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA: A) A corrente através de um elemento, ou a tensão entre seus terminais, em um circuito linear bilateral, é igual à soma algébrica das resistências ou das tensões produzidas, linearmente dependentes de cada uma das fontes ou resistências. B) A potência total fornecida a um elemento resistivo deve ser determinada usando a correnteindividual que o atravessa ou a tensão total entre seus terminais elevada ao cubo. C) A corrente através de um elemento, ou a tensão entre seus terminais, em um circuito linear bilateral, é igual à soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas independentemente por cada uma das fontes. D) Para analisar um circuito pelo teorema da superposição, é necessário isolar cada fonte independentemente, removendo as demais, fazendo com que fontes de corrente fiquem em curto-circuito e fontes de tensão estejam abertas. E) O princípio da superposição pode ser utilizado para calcular a potência de um circuito, pois a dissipação de potência em um resistor varia com o dobro da corrente ou da tensão, portanto, de efeito não linear. GABARITO 1. (EEAR − 2020) Assinale a alternativa que completa correta e respectivamente as lacunas do texto. Um curto em qualquer parte do circuito é, na verdade, uma _________ extremamente _________. Como consequência, flui uma _________ muito alta pelo curto-circuito. A alternativa "D " está correta. A representação de um curto-circuito é feita uma vez que a resistência é tomada por valores próximos de zero, facilitando a passagem de corrente no local. Assim, ao identificar um curto em uma instalação ou um circuito, sabe-se que elevados valores de corrente passam por aquele local, dada a baixa resistência à circulação dela. 2. (EBSERH − 2016) O teorema da superposição pode ser aplicado para analisar circuitos em Engenharia Elétrica contendo uma ou mais fontes que não estejam em série nem em paralelo. De acordo com as definições do teorema da superposição, assinale a alternativa correta: A alternativa "A " está correta. Por definição, o teorema da superposição afirma que a tensão (ou a corrente) em um elemento em um circuito linear é a soma algébrica da soma das tensões (ou das correntes) naquele elemento, considerando a atuação isolada de cada uma das fontes independentes. MÓDULO 4 Empregar os equivalentes de Thévenin e Norton TEOREMA DE THÉVENIN E DE NORTON Os circuitos elétricos são muitas vezes constituídos de partes que podem ser variáveis. TEOREMA DE THÉVENIN A aplicação do teorema de Thévenin torna possível a redução da parte fixa de um circuito linear a ser avaliado. Esta, por sua vez, passa a ser representada por um circuito equivalente, representado por uma fonte de tensão em série com um resistor (𝑉𝑡ℎ e 𝑅𝑡ℎ )). A tensão equivalente é obtida por meio da avaliação do circuito aberto nos terminais de 𝑅𝑡ℎ , que é calculada ao desativar todas as fontes independentes. FONTES DEPENDENTES É importante ressaltar que, diante da presença de fontes dependentes, o cálculo de 𝑅𝑡ℎ requer não somente desativar as fontes independentes, como também aplicação de uma tensão 𝑣𝑜 , resultando em uma corrente 𝑖𝑜 , assim: 𝑅𝑡ℎ = 𝑣𝑜 𝑖𝑜 Caso você opte por aplicar uma fonte de corrente, a escolha é válida. O valor da fonte escolhida deve ser estipulado. Em geral, utilizamos nos estudos 1V ou 1A. Para ilustrar o teorema, considere a Figura 35, que representa um circuito linear conectado a uma carga variável (RL). Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 35. TEOREMA DE NORTON O teorema de Norton veio após o teorema de Thévenin, e existem grandes semelhanças entre eles. No de Norton, porém, o circuito linear pode ser substituído por um equivalente composto de uma fonte de corrente em paralelo com um resistor equivalente ((𝐼𝑁 e 𝑅𝑁 ). A corrente de Norton é obtida ao aplicar um curto-circuito nos terminais que se deseja avaliar. 𝑅𝑁 é calculado ao desativar todas as fontes independentes. O cálculo de 𝑅𝑡ℎ e 𝑅𝑁 é o mesmo. Considerando o teorema da transformação de fontes, pode- se concluir que esses valores são iguais. Para ilustrar o teorema, considere a Figura 36, que representa um circuito linear conectado a uma carga variável (RL). Imagem: Isabela Oliveira Guimarães. Figura 36. RELAÇÃO ENTRE OS TEOREMAS Os teoremas de Norton e Thévenin podem se relacionar pela aplicação da transformação de fontes. Sendo assim, tem-se a seguinte relação: 𝐼𝑁 = 𝑉𝑇ℎ 𝑅𝑇ℎ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vale destacar que para encontrar o equivalente de Thévenin e Norton é necessário: Encontrar a tensão de circuito aberto nos terminais em análise (𝑉𝑇ℎ ) . Encontrar a corrente de curto-circuito nos terminais em análise (𝐼𝑁 ). Encontrar a resistência vista dos terminais em análise ao desativar as fontes independentes (𝑅𝑡ℎ = 𝑅𝑁 ). Pelo cálculo de dois dos três tópicos citados, sendo escolhidos os que se encontrarem mais acessíveis, é possível encontrar o terceiro pela relação de transformação. TEORIA NA PRÁTICA Uma fonte, em geral, é modelada por um equivalente de Norton ou Thévenin. Considere uma fonte, cuja tensão seja 10V, a ser conectada a uma carga de 1W. Ao retirar a carga, a tensão sobe para 10,5V. Calcule a resistência interna da fonte. Dica: Substituir a fonte pelo equivalente de Thévenin. RESOLUÇÃO A resposta correta é: 5Ω. MODELAGEM DE FONTE POR EQUIVALENTE DE THÉVENIN MÃO NA MASSA 1. CALCULAR O EQUIVALENTE DE THÉVENIN: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 37. A) 𝑣𝑡ℎ = - 53.33𝑉, 𝑅𝑡ℎ = 3.33Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) vth = 52.33V, Rth = 3.33Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) vth = - 52.33V, Rth = 3.33Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) vth = 53.33V, Rth = 3.33Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) vth = 53.33V, Rth = - 3.33Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2. (PC - PR - 2017) PARA O CIRCUITO A SEGUIR, QUAL O VALOR DA RESISTÊNCIA DE THÉVENIN? IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 38. A) 23,75Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 20,75Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 33,75Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 25,75Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 43,75Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. (MPE - MS - 2013) A FIGURA A SEGUIR APRESENTA UM CIRCUITO DE CORRENTE CONTÍNUA, COMPOSTO DE UMA FONTE E TRÊS RESISTORES. O CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN, VISTO PELO RESISTOR R (ENTRE OS PONTOS A E B), É COMPOSTO POR: IMAGEM: MPE-MS − 2013.’ CLASS= FIGURA 39. A) Uma fonte de 36V e um resistor de 50Ω. B) Uma fonte de 36V e um resistor de 12Ω. C) Uma fonte de 60V e um resistor de 12Ω. D) Uma fonte de 60V e um resistor de 30Ω. E) Uma fonte de 40V e um resistor de 30Ω. 4. (PETROBRAS − 2011) UM CIRCUITO EQUIVALENTE DE NORTON É COMPOSTO POR UMA FONTE DE CORRENTE DE 20A, EM PARALELO COM UM RESISTOR DE 2Ω. O SEU EQUIVALENTE DE THÉVENIN É UM CIRCUITO COMPOSTO POR UMA FONTE DE: A) Corrente de 10A, em série com um resistor de 1Ω. B) Corrente de 10A, em paralelo com um resistor de 1Ω. C) Tensão de 40V, em paralelo com um resistor de 2Ω. D) Tensão de 40V, em série com um resistor de 10Ω. E) Tensão de 40V, em série com um resistor de 2Ω. 5. UM EQUIVALENTE DE THÉVENIN, COMPOSTO POR UMA FONTE DE 50V EM SÉRIE COM UM RESISTOR DE 10Ω, PODE SER SUBSTITUÍDO POR UMA FONTE DE CORRENTE DE: A) 5A em série com uma resistência de 10Ω. B) 5A em paralelo com uma resistência de 10Ω. C) 10A em série com uma resistência de 5Ω. D) 10A em paralelo com uma resistência de 5Ω. E) 10A em série com uma resistência de 10Ω. 6. DETERMINE O EQUIVALENTE DE THÉVENIN VISTO DO RESISTOR DE 5 OHMS: IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.’ CLASS= FIGURA 9. A) 𝑅𝑒𝑞 = 20Ω, 𝑉 = 50𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal B) 𝑅𝑒𝑞 = 30Ω, 𝑉 = 50𝑉 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal C) 𝑅𝑒𝑞 = 20Ω, 𝑉 = 40𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal D) 𝑅𝑒𝑞 = 40Ω, 𝑉 = 50𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal E) 𝑅𝑒𝑞 = 20Ω, 𝑉 = 60𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO 1. Calcular o equivalente de Thévenin: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 37. A alternativa "D " está correta. CÁLCULO DA RESISTÊNCIA EQUIVALENTE PELO TEOREMA DE THÉVENIN 2. (PC - PR - 2017) Para o circuito a seguir, qual o valor da resistência de Thévenin? Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 38. A alternativa "A " está correta. A resistência de Thevenin é dada pelo paralelo entre 15 e 5: 𝑅𝑡ℎ = 15𝑥5 20 = 23, 75 Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3. (MPE - MS - 2013) A figura a seguir apresenta um circuito de corrente contínua, composto de uma fonte e três resistores. O circuito equivalente de Thévenin, visto pelo resistor R (entre os pontos A e B), é composto por: Imagem: MPE-MS − 2013.’ class= Figura 39. A alternativa "B " está correta. Solução: Simulando a fonte de tensão como um curto-circuito temos que a resistência de Thevenin é dada pelo paralelo entre 20 e 30: 𝑅𝑡ℎ = 20 𝑥 30 600 = 12 Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Eliminando a simulação de curto-circuito da fonte temos que a tensão de Thevenin é: 𝑉𝑡ℎ = 60 𝑥 30 20 + 30 = 36 𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4. (Petrobras − 2011) Um circuito equivalente de Norton é composto por uma fonte de corrente de 20A, em paralelo com um resistor de 2Ω. O seu equivalente de Thévenin é um circuito composto por uma fonte de: A alternativa "E " está correta. Solução: v = Ri Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal v = 20*2 = 40V Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5. Um equivalente de Thévenin, composto por uma fonte de 50V em série com um resistor de 10Ω, pode ser substituído por uma fonte de corrente de: A alternativa "B " está correta. Solução: v = Ri Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 50 10 = 5A Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6. Determine o equivalente de Thévenin visto do resistor de 5 ohms: Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.’ class= Figura 9. A alternativa "A " está correta. Solução: -5 + 𝑉 10 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Curto-circuito em 5 ohms: 𝑉2 10 = 𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal LKC: -5 + 𝑉2 10 + 𝑉2 10 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal De: -5 + 𝑉 10 = 0 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑉 = 50𝑉 = 𝑉𝑡ℎ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 0.2𝑉2 = 5𝑉 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑉2 10 = 𝐼 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐼 = 2.5𝐴 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝑅𝑒𝑞 = 50 2.5 = 20Ω Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1. ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA: A) Os teoremas de Thévenin e de Norton afirmam que um circuito com múltiplos resistores e fontes de corrente e/ou de tensão pode ser substituído por um equivalente com uma única malha, com uma fonte de tensão e um resistor em série, ou uma fonte de corrente e um resistor em paralelo. B) Os teoremas de Thévenin e de Norton afirmam que uma fonte de corrente tem capacidade de fornecimento de V/R. C) Os teoremas de Thévenin e de Norton afirmam que uma fonte de tensão tem capacidade de fornecimento de RI. D) Os teoremas de Thévenin e de Norton afirmam que o fator de potência de um circuito RL pode ser compensado por aplicar-se um capacitor em paralelo. E) Os teoremas de Thévenin e de Norton afirmam que, em regime permanente senoidal, um indutor se comporta como sL e um capacitor, como 1/sC (sendo s=e^(jw)). 2. DE ACORDO COM O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E EQUIVALENTES DE THÉVENIN E DE NORTON, ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA: A) A resistência de Norton (𝑅𝑁 ) é igual à resistência de Thévenin elevada ao quadrado. B) A corrente de Norton (𝐼𝑁 ) é igual à corrente de Thévenin dividida pela resistência de Thévenin ao quadrado. C) A corrente de Norton (𝐼𝑁 ) é igual à tensão de Thévenin dividida pela resistência de Thévenin. D) A resistência de Norton (𝑅𝑁 ) é diferente da resistência de Thévenin (𝑅𝑇𝐻 ) no que se refere à transformação de fonte. E) O teorema de Norton define que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente formado por uma fonte de corrente e um resistor em série, denominado 𝑅𝑁 . GABARITO 1. Assinale a alternativa correta: A alternativa "A " está correta. Por definição dos teoremas de Thévenin e de Norton, é possível simplificar um circuito composto de múltiplos resistores e fontes de corrente, sejam elas de tensão ou de corrente, substituindo-o por um equivalente com uma única malha, com uma fonte de tensão e um resistor em série, ou uma fonte de corrente e um resistor em paralelo. 2. De acordo com o princípio da superposição e equivalentes de Thévenin e de Norton, assinale a alternativa correta: A alternativa "C " está correta. A corrente de Norton (𝐼𝑁 ) é igual à tensão de Thévenin dividida pela resistência de Thévenin. 𝐼𝑁 = 𝑉𝑇ℎ 𝑅𝑇ℎ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Apresentamos os princípios básicos dos circuitos elétricos, bem como as implementações e as técnicas de solução e de simplificação deles. No módulo 1, pontuamos os aspectos básicos, os componentes e as unidades utilizadas para representação. No módulo 2, apresentamos as técnicas nodais e a análise de malha como formas de solucionar os circuitos. Por fim, nos módulos 3 e 4, vimos os métodos de Norton, Thévenin e da superposição. AVALIAÇÃO DO TEMA: REFERÊNCIAS ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos elétricos. 10. ed. Londres: Pearson, 2004. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1993. MARKUS, O. Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada − Teoria e exercícios. São José dos Campos: Editora Érica, 2009. CONTEUDISTA Isabela Oliveira Guimarães CURRÍCULO LATTES javascript:void(0); javascript:void(0);
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