Lista-Aneis-2020_2

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Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB
Departamento de Ciências e Tecnologias -DCT
Curso: Licenciatura em Matemática com Enfoque em Informática
Disciplina: Álgebra II Prof.: Márcia Graci de O. Matos
Aluno:
Lista Nº 01 Unidade III-2020.2
Homomorfismo e Isomorfismo de Anéis
1. Verifique se a função f : A→ B é ou não é um homomorfismo do anel A no anel B
nos seguintes casos:
a) A = Z, B = Z, f(x) = x+ 1
b) A = Z, B = Z, f(x) = 2x
c) A = Z, B = Z× Z, f(x) = (0, x)
d) A = Z× Z, B = Z, f(x, y) = x
2. Determine os núcleos dos homomorfismos do exercício anterior.
3. Considere os anéis Z e Z × Z(poroduto direto). Verifique se são homomorfismos e
determine o núcleo.
a) f : Z× Z→ Z× Z dado por f(x, y) = (0, y)
b) f : Z× Z→ Z dado por f(x, y) = y
c) f : Z→ Z× Z dado por f(x) = (2x, 0)
d) f : Z× Z→ Z× Z dado por f(x, y) = (−y,−x)
4. sabendo-se que (Z×Z,+, ·) é um anel quando a adição e a multiplicação são assim
definidas:
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)
(a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
Mostre que a aplicação f : Z→ Z×Z tal que f(a) = (a, 0) é um homomorfismo de
Z em Z× Z.
5. Dê um exemplo de anéis A e B e um homomorfismo f : A→ B tal que f(1A) 6= 1B.
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6. Sejam os anéis A = {a+ b
√
−2 | a, b ∈ Q} e B = M2(Q)
a) Mostre que f : A → B dada por f(a + b
√
−2) =
(
a −2b
b a
)
é um homo-
morfismo.
b) f é um isomorfismo?
7. Considere os seguintes anéis (R,+, ·) e (R,⊕,�), sendo
a⊕ b = a+ b+ 1 e a� b = a+ b+ ab.
a) Mostre que f : R→ R dada por f(x) = x− 1, ∀x ∈ R é um isomorfismo de
(R,+, ·) em (R,⊕,�).
b) Defina o isomorfismo inverso.
8. Mostre que se f é um isomorfismo do anel A = {a + b
√
2 | a, b ∈ Q} nele próprio,
então f(
√
2) = +
√
2 ou f(
√
2) = −
√
2.
9. Ache todos os homomorfismos de Z em Z4.
Sugestão: Considere as possiveis imagens de 1 ∈ Z por um homomorfismo
f : Z→ Z4.