Análise Matemática I (3 edição)

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Matemática I
Para Ciências Exactas e Económicas
Teória e Prática
Autores:
Adelino Bucuane;
Betuel Canhanga;
Teresa Mondlane;
Clarinda Nhamgumbe;
Maputo, Janeiro de 2015
versao 1.01
2
Prefácio
Agradecemos a todos que de forma directa ou indirecta fizeram parte desta obra. Ao escrevê-la
inspiramo-nos nos prinćıpios de um grande Professor que postula a ideia de que ”...ensinar é lem-
brar aos outros que eles sabem tanto quanto você!...”e procuramos de modo detalhado mostrar
momentos importantes para a construção de valores e saberes Matemáticos.
Se dedicarmo-nos a lembrar ao estudante ou leitor que ele sabe, então estaremos a incitar a orga-
nização e construção de seu proprio conhecimento buscando dessa forma a base do estudante na
centralização do processo de ensino. Esta abordagem tem sido previlegiada nos ultimos tempos, razão
pela qual preparamos esta obra dando prioridade a actividade individual e colectiva dos estudantes
destacando o Professor como alguem que disperta nos estudantes a direcção e os caminhos a seguir
para a sua aprendisagem.
Dividida em quatro caṕıtulos, o primeiro faz uma revisão de componentes necessárias para o acom-
panhamento do manual. O segundo caṕıtulo fala sobre sucessões numéricas, limites de sucessões
numéricas, funções reais de uma variável real, limites e continuidade. O segundo caṕıtulo estuda
o conceito de derivada de funções e suas aplicações em estudos Matemáticos e áreas afins; o ter-
ceiro aborda a integração segundo Rieman, suas propriedades e aplicações. Ao longo do manual
desenvolvem-se temas e da-se primor a construção dos saberes orientados a aplicações imediatas em
ciências e economia, garantindo também a criação de bases para o prosseguimento de estudos em Ma-
temática II e em outras disciplinas que buscam na Matemática a fonte para a persepção e resolução
de seus problemas.
Apresentamos exemplos com diferentes aplicações aos temas aqui abordados, dando-se primasia a
capacidade do estudante encontrar problemas práticos que apliquem os conceitos estudados. No fim
de cada caṕıtulo, poderá encontrar uma colecção de exerćıcios que obrigatoriamente deverá resolver
antes de prosseguir com a sua leitura.
Consideramos esta obra ainda não acabada, a sua terceira versão será publicada em inicios de 2016,
por isso, esperamos receber de Si observações, comentários e cŕıticas que naturalmente servirão para
enriquecer este produto. Dispomos do email canhanga@uem.mz para cŕıticas, cŕıticas e cŕıticas. Cri-
tique por favor, sabemos que só assim iremos um dia atingir melhores patamares. Sua cŕıtica vai
ajudar-nos a melhorar.
Com desejos de que a leitura desta brochura seja fascinante, a nossa espectativa é de despertar em Si,
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mais do que o saber, a preciosa vontade de aprender hoje, aprender para sempre, e aprender sempre.
Bem Haja.
Betuel de Jesus Varela Canhanga
(Licenciado em Informática e Mestre em Matemática Aplicada)
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Conteúdo
1 Preliminares 9
1.1 Aula 1 - Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Notações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Formas de definição de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Relacções de Pertença . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.5 Cardinal de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.6 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.7 Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.8 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.9 Conjunto Universo ou Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.10 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.11 Conjunto de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.12 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.13 Operações Sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.14 Razões e Proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.15 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Aula 2 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Aula 3 - Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.1 Algebra e expressões algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.2 Expressões numéricas e valor numérico de uma expressão . . . . . . . . . . . . 34
1.3.3 Domı́nio de Expressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.4 Valores Numéricos de uma Expressão Literal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.5 Polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.6 Monómios Semelhantes e Monómios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.7 Operações sobre Monómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.8 Polinómios Semelhantes e Polinómios Iguais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4
5
1.3.9 Factorização de Polinómios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3.10 Polinómios Quadráticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.11 Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.12 Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.13 Potênciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.14 Operações com Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3.15 Multiplicação de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . 48
1.3.16 Divisão de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . . . . . . . 48
1.3.17 Multiplicação de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . 48
1.3.18 Divisão de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . . . . . . . 48
1.3.19 Potência de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3.20 Radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.21 Raiz de Índice n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.22 Multiplicação e Divisão de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.23 Simplificação de Radicais (Redução ao mesmo ı́ndice) . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.24 Comparação de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.25 Adição e Subtração de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.26 Potência de uma raiz e Raiz de uma Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.4 Aula 4 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.5 Aula 5 - teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.5.1 Funções lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.5.2 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.5.3 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5.4 Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.5.5 Sistemas de Equações e Inequações Lineares . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 62
1.5.6 Funções quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.5.7 Estudo Completo de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.5.8 Equações Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.5.9 Exerćıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.5.10 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.11 Funções e Equações Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.12 Composição de funções por funções radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.5.13 Equações e Inequaões Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.6 Aula 6 - prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.7 Aula 7 - teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6
1.7.1 Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.7.2 Resolução de Equações Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.7.3 Inequação Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.7.4 Função exponêncial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.7.5 Representação Gráfica de uma Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.7.6 Cálculo Logaŕıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.7.7 Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.7.8 Equação Logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.7.9 Inequação Logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.7.10 Função Logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.7.11 Representação Gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.7.12 Função e Equação Homográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.7.13 Equações e Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.7.14 Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.7.15 Gráfico da Função Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.7.16 Equações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.7.17 Inequações Modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.8 Aula 8 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2 Limites de Sucessões e funções 119
2.1 Aula 9 - Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.1.1 Monotonia de uma Sucessão Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.1.2 Limite de SucessõesNuméricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.1.3 Regras de Cálculo de Limites de Sucessões Numéricas . . . . . . . . . . . . . . 122
2.1.4 Alguns tipos de Indeterminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.5 O Número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.1.6 Alguns Exerćıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.2 Aula 10 - prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3 Aula 11 - teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.1 Progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.2 Alguns Exerćıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.4 Aula 12 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5 Aula 13 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.1 Limite de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.2 Cálculo de Limite de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7
2.5.3 Indeterminação do Tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.5.4 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5.5 Limites Notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.5.6 Alguns Exerćıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.6 Aula 14 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.7 Aula 15 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.7.1 Continuidade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.7.2 Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7.3 Classificação dos Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.8 Aula 16 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3 Derivadas e aplicações 141
3.1 Aula 17 - Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.1 Conceito de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.1.2 Derivação por Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.3 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.1.4 Tabelas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2 Aula 18 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.3 Aula 19 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3.1 Derivada logaŕıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.3.2 Regra de Cadeia ou Regra de Derivada de Função Composta . . . . . . . . . . 153
3.3.3 Derivada de função dada na forma impĺıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.3.4 Derivada da função paramétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.4 Aula 20 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.5 Aula 21 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5.1 Interpretação geométrica e mecânica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5.2 Diferencial da função de uma variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5.3 Derivadas e diferenciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.5.4 Polinómio de Taylor e de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.6 Aula 22 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.7 Aula 23 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.7.1 Estudo da Primeira Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.7.2 Estudo da Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3.7.3 Máximos e mı́nimos de funções. Estudo completo de função . . . . . . . . . . . 162
3.8 Aula 24 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8
4 Cálculo Integral 173
4.1 Aula 25 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.1.1 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.1.2 Cálculo de áreas usando limites de soma de áreas particionadas . . . . . . . . . 174
4.2 Aula 26 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.3 Aula 27 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3.1 Integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.3.2 Somas inferiores e superiores de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.3.3 Propriedades do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.4 Aula 28 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5 Aula 29 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.5.1 Integral indefinido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.5.2 Propriedades de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.5.3 Tabela de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.5.4 Método de substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.5.5 Resolução : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.5.6 Algumas identidades trigonométricas fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.5.7 Integrais de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.5.8 Substituições trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.5.9 Integração de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.5.10 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.6 Aula 30 - Prática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.7 Aula 31 - teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.1 Integral impróprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.7.2 Integral impróprio do primeiro tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.7.3 Critério de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.7.4 Integral impróprio do segundo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.7.5 Critério de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7.6 Cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7.7 Comprimento do arco duma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.7.8 Área de superf́ıcie de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.7.9 Volume do sólido de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.8 Aula 32 - Pratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Caṕıtulo 1
Preliminares
1.1 Aula 1 - Teórica
1.1.1 Conjuntos
A teoria de conjuntos é uma parte da Matemática que é aplicada em muitos campos da ciência tais
como: estat́ıstica, engenharia, economia. Debrussar-nos-emos sobre linhagens básicas da teoria de
conjuntos. Os estudantes, deverão com muito cuidado ler a componente teórica e resolver paulatina e
atenciosamente os exerćıcios aqui sugeridos.
Definção 1.1. Conjuntos- Conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da matemática.
Um conjunto é uma lista, uma colecção, um agrupamento ou uma classe de objectos com caracteŕısticas
idênticas. Os objectos em um conjunto, como mostram os exemplos que se seguem, podem ser qualquer
coisa como: pessoas, rios, lagos, nome de prov́ıncias, etc. Estes objectos que fazem parte do conjunto
são chamados elementos do conjunto.
Exemplo 1.1. Consideremos seguintes exemplos de conjuntos e seus elementos:
1) Os números 1, 3, 7, 10 podem ser vistos como elementos de um conjunto;
2) As soluções da equação x3 + 3x− 1 = 0 são elementos de um conjunto;
3) As vogais do alfabeto português são elementos de um conjunto;
4) Os estudantes que faltam às aulas, são elementos de um conjunto;
5) Maputo, Gaza, Inhambane, Zambézia e Cabo Delgado são elementos de um conjunto.
1.1.2 Notações
Os Conjuntos são geralmente representados por letras maiúsculas.
9
10 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 1.2.
A = {2, 4, 6, 8, ...} B = {1, 3, 5, 7, 9, ...} C = {maputo, pemba, xai− xai, lichinga}
Os Elementos de um conjunto são geralmente representados por letras minúsculas.
Exemplo 1.3.
A = {a,e,i,o,u}
Observação 1.1. Veja que no exemplo anterior os elementos do conjunto aparecem separados pelo
sinal da v́ırgula.
Os elementos de um conjunto aparecem entre chavetas ”{}”. Designa-se a esta forma de representar
conjuntos Forma tabular ou Representação por extensão.
Se se definir um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem
seus elementos, como por exemplo: considerando-se o conjunto B como sendo o conjunto de numéros
ı́mpares, usa-se uma letra qualquer. Por questão de uniformidade usa-se a letra x para representar
um elemento qualquer e o śımbolo (:) que significa - tal que, e escreve-se:
B = {x : x = 2k − 1, k ∈ N}
Lê-se:
B é um conjunto de números x tal que esses números são ı́mpares. Designa-se a esta meneira
de construir ou representar um conjunto Representação por compreensão.
1.1.3 Formas de definição de um conjunto
Diz-se que um conjunto está bem definido, quando claramente se identificam os seus elementos. Exis-
tem 3 formas de definição de um conjunto:
• Extensão;
• Compreensão;
• Diagrama de Venn.
Definção 1.2. Um conjunto diz-se definido ou representado por extensão quando é ”extendido”,
lista-se todos os seus elementos.
Exemplo 1.4. O conjunto A está representado por extensão:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 11
Definção 1.3. Um conjunto diz-se definido ou representado por compreensão quando se ”compre-
ende”,com base em uma regra, quais são os constituentes do mesmo.
Exemplo 1.5. O conjunto A está representado por extensão:
A = {x : x = 2k − 1; k ∈ N e x < 10}
Definção 1.4. Um conjunto diz-se definido ou representado por diagrama de Venn
1.1.4 Relacções de Pertença
• Quando um elemento ”a”não faz parte de um determinado conjunto A , diz-se que a não
pertence a A ( escreve se a 6∈ A);
• Quando um elemento a faz parte de um determinado conjunto A , diz-se que a pertence a A
( escreve-se a ∈ A).
Exemplo 1.6. Seja A = {a, b, c, d, e, f} , Diz-se que A é um conjunto e ”a, b, c, d, e, f ”são elementos
do conjunto A , assim:
1) a ∈ A
2) e ∈ A
3) m 6∈ A
4) p 6∈ A
1.1.5 Cardinal de um conjunto
É o número de elementos que o conjunto tem (]).
Exemplo 1.7. Seja V = {a, e, i, o, u}então ]V = 5.
1.1.6 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos
Definção 1.5. Um conjunto diz-se Finito quando se poder identificar o número de elementos que
dele fazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal.
Exemplo 1.8. Considere os seguintes exemplos:
1) O conjunto formado por capitais provinciais de Moçambique;
2) O conjunto formado pelos estudantes de uma turma;
3) O conjunto de números naturais menores que 1000000.
12 Matemática I - Da teoria à Prática
Definção 1.6. Um conjunto diz-se Infinito quando não se pode identificar o número de elementos
que dele fazem parte. Em outras palavras, se não tiver Cardinal.
Exemplo 1.9. Considere os seguintes exemplos:
1) O conjunto formado por números entre 1 e 3;
2) O conjunto de números naturais maiores que 1000000.
1.1.7 Igualdade de Conjuntos
Definção 1.7. O conjunto A diz-se igual ao conjunto B se eles tiverem mesmos elementos, isto é, se
todos elementos de B pertencerem a A e se todos elementos de A pertencerem a B.
Exemplo 1.10. Considere seguintes exemplos:
1) A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 1, 4} são conjuntos iguais;
2) O conjunto formado por pessoas de sexo feminino é igual ao conjunto formado por mulheres;
3) A = {x : x2 + 4x+ 4 = 0}, B = {x : x+ 2 = 0}, e C= {−2} são conjuntos iguais.
1.1.8 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio
Definção 1.8. Diz-se que um conjunto é nulo ou vazio (denota-se {} ou ∅) quando não contém
elementos. Isto é, o seu cardinal é igual a zero.
Exemplo 1.11. Considere os seguintes exemplos:
1) O conjunto formado por todas pessoas com mais de 700 anos de vida na terra;
2) O conjunto formado pelas soluções da equação x2 + 1 = 0.
1.1.9 Conjunto Universo ou Universal
Definção 1.9. Em qualquer aplicação da teoria de conjuntos, todos os conjuntos aprendidos estarão
no momento de estudo particularizado de um outro conjunto mais amplo e expresso, por exemplo,
quando se fala de números naturais, vê-se que eles fazem parte de um outro conjunto, que é o conjunto
de números. Quando se fala de estudantes de uma sala, vê-se que eles fazem parte do conjunto de
estudantes dessa escola, portanto há sempre uma tendência de particularizar um pequeno conjunto
de um outro conjunto mais amplo com o intuito de concentrar atenções sobre a matéria em estudo.
Diz-se que um conjunto é Universo ou Universal ( denota-se U ) se ele contém todos subconjuntos
de um determinado caso em estudo.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 13
Exemplo 1.12. Considere os seguintes exemplos:
1) Em geometria plana o conjunto Universal é o conjunto de todos os pontos do espaço;
2) O conjunto Universal do conjunto de estudantes de uma turma é o conjunto de todos estudantes
dessa escola.
1.1.10 Subconjuntos
Definção 1.10. O nome vai mais longe, sub-conjunto, um conjunto pequeno. O termo pequeno
na ĺıngua portuguesa é relativo, ”pequeno em relacção a alguma coisa”. Diz-se que o conjunto A é
subconjunto do conjunto B , se todos elementos de A pertencerem a B , isto é, também são elementos
de B.
Exemplo 1.13. Considere os seguintes exemplos:
1) Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} , o conjunto A é subconjunto do conjunto B ,isto
é, A ⊂ B ;
2) O conjunto de capitais provinciais do Sul de Moçambique é um subconjunto de capitais provin-
ciais de Moçambique;
3) São conhecidos os conjuntos:
(a) N-Conjunto de números naturais;
(b) Z-Conjunto de números inteiros;
(c) Q-Conjunto de números racionais;
(d) R-Conjunto de números reais.
Então pode-se ver que o conjunto de números naturais é subconjunto de Z e dáı segue-se a
seguinte cadeia:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Costuma-se dizer que o conjunto A é superconjunto de B . Esta afirmação equivale a dizer que o
conjunto B é subconjunto de A e isto é lógico, se B é subconjunto de A , então A é superconjunto
de B . A ser assim temos para a firmação A ⊂ B os seguintes comentários:
1) O conjunto A é subconjunto de B ;
2) O conjunto A está contido em B ;
3) O conjunto B é superconjunto de A ;
14 Matemática I - Da teoria à Prática
4) O conjunto B é contém A .
Para a afirmação A 6⊂ B , pode-se fazer os seguintes comentários:
1) O conjunto A não é subconjunto de B ;
2) O conjunto A não está contido em B ;
3) Existe em A pelo menos um elemento que não faz parte de B ;
4) O conjunto B não contém A .
Observação 1.2. Atenção:
• Sem limitação da sua essência e para todos efeitos, o conjunto vazio ”{}” é subconjunto de
qualquer conjunto;
• Se o conjunto A = B então A ⊂ B e B ⊂ A .
1.1.11 Conjunto de conjunto
Algumas vezes os elementos de um determinado conjunto, são também conjuntos. O conjunto formado
por todos subconjuntos de um determinado conjunto é um conjunto de conjuntos ou ainda famı́lia
de conjuntos.
Exemplo 1.14. Considere os seguintes exemplos:
1) O conjunto A = {{a, b}, {c}, {a, e}} é um conjunto de conjuntos.
1.1.12 Simbologia
Os śımbolos mais usados na teoria de conjuntos estão representados a seguir:
• ∈ (pertence), ex: a ∈ B
• 6∈ (não pertence), ex: m 6∈ B
• = (igual), ex: A = B
• 6= (diferente), ex: A 6= B
• ⊂ (contido), ex: A ⊂ B
• 6⊂ (não contido), ex: A 6⊂ B
• ⊃ (contém), ex: A ⊃ B
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 15
• 6⊃ (não contém), ex: A 6⊃ B
• {} (vazio)
• ] (cardinal), ex: ]1, 4 = 2
1.1.13 Operações Sobre Conjuntos
1) Reunião - Chama-se reunião de dois ou mais conjuntos, a operação que une elementos de dois
ou de mais conjuntos. E denota-se por ∪ .
Exemplo 1.15. Sejam dados os seguintes conjuntos: A = {1, 2, 4, 5} e B = {1, 2, 7, 8}; repre-
sentados por diagrama de Venn nas figuras (1.1) e (1.2) respectivamente, a reunião de A e B
é um outro conjunto que se pode designar por C e denota-se:
C = A ∪B = {1, 2, 4, 5, 7, 8};
o conjunto C está representado por diagrama de Venn na figura (1.3)
A
1
2
4
5
Figura 1.1:
2) Intersecção - Chama-se intersecção de dois ou mais conjuntos, a operação que intersecta ele-
mentos de dois ou de mais conjuntos. E denota-se ∩ .
Exemplo 1.16. Sejam dados os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 4, 5}; B = {1, 2, 7, 8};
16 Matemática I - Da teoria à Prática
B
1
2
7
8
Figura 1.2:
A ∪B
1
2
4
5
1
2
7
8
Figura 1.3:
A intersecção de A e B é um outro conjunto que se pode designar por C e teremos:
C = A ∩B = {1, 2}.
Veja que participam na intersecção os elementos que em simultâneo pertencem a A e B . Veja
na figura (1.6), os elementos que fazem parte do conjunto intersecção, são 1 e 2.
3) Diferença - Chama-se Diferença de dois ou mais conjuntos, a operação que diferencia dois ou
mais conjuntos, e denota-se ”\”.
Exemplo 1.17. Sejam dados os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 4, 5}; B = {1, 2, 7, 8};
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 17
A
1
2
4
5
Figura 1.4:
B
1
2
7
8
Figura 1.5:
A Diferença de A e B é um outro conjunto que se pode designar por C e teremos: C = A\B =
{4, 5}; vide figura (1.7) Veja que participam na diferença de A e B os elementos que fazem
parte de A e que não fazem parte de B, como mostramos na figura (1.8).
4) Diferença Simétrica
Exemplo 1.18. Sejam dados os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 4, 5}; B = {1, 2, 7, 8}.
A diferença simétrica de A e B é o conjunto:
E = C ∪D = {4, 5, 7, 8}
18 Matemática I - Da teoria à Prática
A ∩B
1
2
Figura 1.6:
B \A
7
8
Figura 1.7:
Onde C é o conjunto dado no Exemplo 1.16. e denota-se: E = A M B, veja a figura (1.9)
1.1.14 Razões e Proporções
De certeza que o estudante já em algum momento ouviu falar de Razão, uma expressão que como
tantas pertencentes a ĺıngua portuguesa podem ter diferentes sentidos. Falar, em Matemática, de
razão entre dois números a e b é falar do quociente
a
b
, b 6= 0
ou ainda, é o mesmo que falar da divisão de a por b , isto é:
a÷ b, b 6= 0.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 19
A \B
5
4
Figura 1.8:
B M A
7
8
5
4
Figura 1.9:
Exemplo 1.19. Numa sala de aulas estão presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a razão
entre o número de rapazes e raparigas.
R: A razão entre o número de rapazes e o número de raparigas é:
no rapazes
no raparigas
=
20
25
=
4
5
ou
4÷ 5
Isto é, 4 rapazes para 5 raparigas!!!
Definção 1.11. Quando se fala de razão entre dois números a e b , isto é
a
b
, o dividendo (a) designa-se
antecedente e o divisor (b) designa-se consequente.
20 Matemática I - Da teoria à Prática
Definção 1.12. Os desenhistas, cartografistas, marinheiros e outros, utilizam o conceito razão para
relaccionar distâncias reais e distâncias mapeadas que para distinguir introduzem no lugar de razão o
conceito de escala e denota-se:
Escala =
medida do desenho
medida real
Exemplo 1.20. No Mapa de Moçambique a distância entre Lichinga e Quelimane é de 50cm , sabendo
que o mapa foi desenhado com uma escala de
1
5000
. Determine a distância real em km de Quelimane
à Lichinga.
Exemplo 1.21. Qual é a razão entre as áreas de duas circunferências se a razão entre seus raios for
igual a
1
2
?
Resolução.
cos
sen
−1 1
1
−1
Figura 1.10:
As duas circunferências acima são somente um exemplo de váriascircunferências que tem a relacção
de seus raios 1:2.
Designar-se-á r1, S1 raio e superf́ıcie respectivamente da primeira ćırcunferência e r2, S2 raio e
superf́ıcie respectivamente da segunda ćırcunferência, pelo problema colocado temos:
r1
r2
=
1
2
.
Como neste exerćıcio deve-se determinar a razão de proporção entre as áreas das duas ćırcunferência,
teremos:
S1
S2
=
π × r21
π × r22
=
(
r1
r2
)2
=
(
1
2
)2
=
1
4
1.1.15 Percentagens
Definção 1.13. Chama-se Percentagem a razão com consequente 100.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 21
cos
sen
−2 2
2
−2
Figura 1.11:
Exemplo 1.22. Considere os exemplos seguintes:
X
30
100
= 30%
X
4
3
= 1, 333 =
133, 3
100
= 133, 3%
1.2 Aula 2 - Prática
Os exerćıcios 1, 3, 7, 9, 11, 42, 43, 45 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 2, 15, 20, 21, 47, 48, 55, 56 deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Seja dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} , quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
(a) 1 ∈ A .
(b) 1,2,3 pertencem a A .
(c) {1, 2, 3} ∈ A .
(d) 1 ⊂ A .
(e) 1 ∈ A .
2) Sejam dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 7, 8} ; quais das seguintes afirmações são
verdadeiras?
(a) 1 ⊂ A .
(b) 1, 2, 3 pertencem a A e a B .
22 Matemática I - Da teoria à Prática
(c) A ∈ B .
(d) {A} ⊂ B .
(e) A ⊂ B .
(f) B ⊃ A .
3) Considere os conjuntos A e B do exerćıcio anterior e determine:
(a) A ∪B .
(b) A ∩B .
(c) Seja C={1,2,3,4,5,6,7,8}, determine A \B .
(d) Determine C \A \B .
(e) Determine C \ (B \ C).
(f) Determine (B \A) \ C .
4) Determine A ∩B ∪ C .
5) Determine (A ∩B) ∪ C .
6) Determine A ∪ (B ∩ C).
7) Em uma turma, 20 estudantes estudam matemática, 30 estudantes estudanm f́ısica. 10 estudam
matemática e f́ısica. Responda as seguintes questões:
(a) Quantos são os estudantes que frequentam somente matemática?
(b) Quantos são os estudantes que frequentam somente f́ısica?
(c) Quantos são os estudantes que frequentam matemática ou? f́ısica?
(d) Quantos estudantes tem a turma?
8) Em um grupo musical há pessoas de raça negra e individuos de raça branca. Depois de feitas
as contas verifica-se que há 15 brancos puros e 5 mistiços (brancos negros), o grupo é composto
por 40 músicos. Responda as questões que se seguem:
(a) Faça o diagrama de Venn que ilustre esta descrição.
(b) Quantos são os negros puros?
(c) Quantos são os negros ou brancos?
9) Em uma avaliação que se considera positiva as notas maiores que 10 e menores ou igual a 20,
considera-se negativa as notas menores que 10, não se considera negativa nem posetiva a nota
10. Em estatisticas, um docente apresentou a seguinte descrição: 30 estudantes tem posetivas e
40 tem negativas, a turma é composta por 80 estudantes.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 23
(a) Faça o diagrama de venn que ilustra a descrição.
(b) Quantos estudantes tiveram nota igual a 10?
10) Numa loja de vestuarios 400 peças tem a cor amarela, 200 tem a cor azul e 100 tem a cor branca.
Na loja há 1000 peças, 20 peças tem cor branca e azul, 30 amarela e branca.
(a) Faça o diagrama de Venn que ilustre a descrição acima.
(b) Quantas peças tem cores amarela, azul e branca?
(c) Quantas peças tem a cor azul e amarela?
(d) Quantas peças não tem cores amarela, azul e branca?
(e) Quantas peças não tem cores amarela, azul ou branca?
11) Durante o capeonato escolar passado o centro internato de Mocuba acolheu várias equipas de
diferentes modalidades desportivas (Voleibol, Andebol e Futebol). Da recepção sabe-se que:
No total participaram 175 estudantes, 80 desportistas jogaram Andebol, 70 futebol, 5 jogaram
voleibol, andebol e futebol, 10 jogaram voleibol e andebol. Sabe-se também que 50 jogaram
somente andebol e 40 jogaram somente futebol. Responda as questões que se seguem.
(a) Quantos são os desportistas que jogaram futebol e andebol?
(b) Quantos são os desportistas que jogaram futebol e voleibol?
(c) Quantos são os desportistas que jogaram somente voleibol?
(d) Quantos são os desportistas que jogaram somente uma modalidade?
(e) Quantos são os desportistas que jogaram duas modalidades?
12) Sendo A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {2; 4; 6; 8} e C = {4; 5}, assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
(a) 1 ∈ A ( )
(b) 1 ∈ B ( )
(c) 1 ∈ C ( )
(d) 4 ∈ A ( )
(e) 4 ∈ B ( )
(f) 4 ∈ C ( )
(g) 7 ∈ A ( )
(h) 7 ∈ B ( )
(i) 7 ∈ C ( )
24 Matemática I - Da teoria à Prática
(j) 1 ∈ A ou 1 ∈ B ( )
(k) 1 ∈ A e 1 ∈ B ( )
(l) 4 ∈ A ou 4 ∈ B ( )
(m) 4 ∈ A e 4 ∈ B ( )
(n) 7 ∈ A ou 7 ∈ B ( )
(o) 7 ∈ A e 7 ∈ B ( )
(p) Todo elemento de A pertence a C. ( )
(q) Todo elemento de C pertence a A. ( )
13) Represente, por enumeração, os seguintes conjuntos:
(a) A = {x : x é mês do nosso calendário}
(b) B = {x : x é mês do nosso calendário que não possui a letra r}
(c) C = {x : x é a letra da palavra amor}
(d) D = {x : x é par compreendido entre 1 e 11}
(e) E = {x : x2 = 100}
14) Sendo A = 2; 4; 6; 8, B = 1; 3; 5; 7 e C = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, assinale V ou F:
(a) 1 ∈ A ( )
(b) 1 ∈ B ( )
(c) 1 ∈ C ( )
(d) 2 ∈ A ( )
(e) 2 ∈ B ( )
(f) 2 ∈ C ( )
(g) 3 /∈ A ( )
(h) 3 /∈ B ( )
(i) 3 /∈ C ( )
(j) 9 ∈ A ( )
(k) 9 ∈ B ( )
(l) 9 /∈ C ( )
(m) 1 ∈ A ou 1 ∈ B ( )
(n) 1 ∈ A e 1 ∈ B ( )
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 25
(o) 9 ∈ A ou 9 ∈ B ( )
(p) 9 ∈ A e 9 ∈ B ( )
(q) 9 /∈ A e 9 /∈ B ( )
(r) 1 ∈ A e 1 /∈ B ( )
(s) 1 /∈ A e 1 ∈ B ( )
(t) Todo elemento de A pertence a B. ( )
(u) Todo elemento de B pertence a A. ( )
(v) Todo elemento de A pertence a C. ( )
(w) Todo elemento de C pertence a B. ( )
15) Represente, por enumeração, os seguintes conjuntos:
(a) A = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra a}
(b) B = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra b}
(c) C = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra C }
(d) D = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra x}
(e) E = {x : x é letra da palavra partido}
(f) F = {x : x é ı́mpar compreendido entre 10 e 20}
(g) G = {x : x é inteiro compreendido entre 2,3 e 11,8}
(h) H = {x : x2 = 25}
(i) I = {x : x2 = 0}
(j) J = {x : x3 = 8}
(k) L = {x : x30 = −8}
(l) M = {x : x2 = −25}
16) Represente, por uma de suas propriedades caracteŕısticas, os conjuntos:
(a) A = {Janeiro; Junho; Julho}
(b) B = {Março; Maio}
(c) C = {P; e; r; n; a; m; b; u; c; o}
(d) D = {P; p; e; r; n; n; n; a; m; b; b; u; u; c; c; o; o; o; o}
(e) E = {P; e; r; n; a; m; b; u; o; c}
(f) F = {8; 10; 12}
26 Matemática I - Da teoria à Prática
(g) G = {101; 103; 105, ...}
(h) H = {7;−7}
17) Determine o número de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que são unitários e os
que são vazios:
(a) A = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra o}
(b) B = {x : x é mês do nosso calendário que comeca com a letrao}
(c) C = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra i}
(d) D = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letrad}
(e) E = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra p}
(f) F = {x : x é mês do nosso calendário que termina com a letra a}
(g) G = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra g}
(h) H = {x : x é mês do nosso calendário que possui a letra h}
18) Determine o número de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que são unitários e os
que são vazios:
(a) A = {x : x é par compreendido entre 7 e 19}
(b) B = {x : x é ı́mpar compreendido entre 80 e 82}
(c) C = {x : x é inteiro compreendido entre 11, 7 e 18, 4}
(d) D = {x : x e inteiro compreendido entre 3, 4 e 3, 7}
19) Determine o número de elementos dos seguintes conjuntos e indique os que são unitários e os
que são vazios:
(a) A = {x : x2 = 121}
(b) B = {x : x2 = 0}
(c)C = {x : x3 = 1}
(d) D = {x : x3 = −1}
(e) E = {x : x2 = −1}
20) Determine o número de elementos do conjunto C = {3; 6; 9; 12; ..., 99}
21) Determine o número de elementos do conjunto C de frações:
C =
{
1
2
;
1
3
;
1
4
;
2
4
;
2
3
;
3
4
;
3
5
;
3
6
}
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 27
22) Determine o número de elementos do conjunto C seguinte:
C =
{
2;
4
2
;
√
4;
8
4
;
3
√
8;
1000
500
}
23) Dados os conjuntos A e B , determine x para que A = B , nos seguintes casos:
(a) {1; 2; 3; 4} = {1; 2;x; 4}
(b) {1; 2; 3; 4} = {1; 2; 3;x}
(c) {x; 2; 3; 4} = {x; 1; 2; 3}
24) Complete com = ou 6=:
(a) {3; 7; 8; 9} {3; 7; 8; 9}
(b) {3; 7; 8; 9} {7; 3; 9; 8}
(c) {3; 7; 8; 9} {3; 3; 3; 7; 8; 8; 9}
(d) {3; 7; 8; 9} {3; 8; 9}
(e) {3; 7; 8} {3; 7; 9}
(f) {x : x2 = 1} {1}
(g) {x : x2 = 1} {−1}
(h) {x : x2 = 1} {−1; 1}
(i) {x : x3 = 1} {1}
(j) {x : x3 = 1} {−1}
(k) {x : x3 = 1} {1;−1}
(l) {x : x é inteiro, positivo e diviśıvel por 2} {x : x é par e positivo}
(m) {x : x é inteiro, positivo e diviśıvel por 3} {x : x é ı́mpar e positivo}
(n) { } ø
(o) {x : x2 = −1} {x : xé mulher e tem pomo-de-adao}
25) Dados os conjuntos A e B , determine x para que A = B , no seguintes casos:
(a) {1; 3; 5; 7; 9} {1; 3;x; 7; 9}
(b) {1; 3; 5; 7; 9} {x; 5; 1; 7; 3}
(c) {1; 3; 5; 7; 9} {3; 5; 3; 7; 9; 9; 5;x; 3; 7; 7;x; 7}
(d) {1; 3;x; 7; 9} {1; 5;x; 9; 3}
(e) {1; 3; 5; 7; 9} {1; 3; 5;x}
28 Matemática I - Da teoria à Prática
(f) {1; 3; 5; 7; 9} {1; 3; 7;x;x}
(g) {1; 3; 5; 7; 9} {1; 3; 5; 7; 9;x}
26) Complete com ⊂ ou 6⊂ :
(a) {a; b; c} {a; b; c; d; e}
(b) {a; b; c} {a; b; d}
(c) {a; b; c; d} {a; b; c}
(d) {a; b; c} {a; b; c}
(e) ø {a; b; c}
(f) {a; b} ø
27) Complete com ⊂ ou ⊃ :
(a) {2; 4; 6} {2; 4; 6; 8}
(b) {1; 3; 5; 7; 9} {1}
(c) {1; 2; 3; 4} {1; 2; 3; 4}
(d) ø {1; 2; 3}
(e) {3; 5} ø
28) Observe as seguintes definições:
• Triângulo é todo poĺıgono de três lados; vamos chamar de T o conjunto dos triângulos.
• Triângulo isósceles que possui pelo menos dois lados congruentes, ou seja, de mesma
medida; vamos chamar de I o conjunto dos triângulos isósceles.
• Triângulo equilátero é todo triângulo que possui os três ldos congruentes; vamos chamar
de E o conjunto dos triângulos equiláteros.
• Triângulo rectângulo é todo triângulo recto, ou seja. de medida igual a 90; vamos chamar
de R o conjunto dos triângulos rectângulos.
Complete então com ⊂ ou 6⊂ :
(a) T R
(b) E I
(c) R I
(d) I E
(e) E T
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 29
29) Escreva todos os subconjuntos do conjunto C = {1; 2} .
30) Complete com ⊂ ou 6⊂ :
(a) {1; 3; 4} {1; 2; 3; 4}
(b) {1; 2; 3; 4} {1; 2}
(c) {1; 2; 3} {1; 2; 4}
(d) {1; 2; 3} {1; 2; 3}
(e) ø {1}
(f) {2} ø
(g) ø ø
31) Complete com ⊂ ou ⊃ :
(a) {7; 8} {7}
(b) {7; 8} {7; 8; 9}
(c) {7; 8; 9} {8; 7; 7; 9; 8}
(d) ø {7}
(e) {8} ø
(f) ø ø
32) Observe as seguintes definições:
• Quadrilátero é todo poĺıgono de quatro lados; vamos chamar de U o conjuntos dos qua-
driláteros.
• Quadrado é todo poĺıgono que possui os quatro lados congruentes e também os quatro
ângulos congruentes; vamos chamar de Q o conjunto de quadrados.
• Rectângulo é todo poĺıgono que possui os quatro ângulos rectos; vamos chamar de B o
conjunto dos rectângulos.
• Losango é todo poĺıgono que possui quatro lados congruentes; vamos chamar de L o
conjunto dos losangos.
• Trapézio é todo quadrilátero que possui pelo menos um par de lados paralelos; vamos
chamar de M o conjunto dos trapézios.
• Paralelogramo é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos; vamos chamar
de P o conjunto dos paralelogramos.
30 Matemática I - Da teoria à Prática
Complete então com ⊂ ou 6⊂ :
(a) B L
(b) P B
(c) L U
(d) U M
(e) M Q
(f) Q P
33) Sendo A = {x; y; z} ; B = {x;w; v} e C = {y;u; t} , determine os seguintes conjuntos:
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) A ∪ C
(d) A ∩ C
(e) B ∪ C
(f) B ∩ C
(g) A ∪B ∪ C
(h) A ∩B ∩ C
(i) (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
34) Sendo A = {a; b; c; d} , B = {b; d; e; f} e C = {a; g;h} , determine os seguintes conjuntos:
(a) A ∪B
(b) A ∩B
(c) A ∪ C
(d) A ∩ C
(e) B ∪ C
(f) B ∩ C
(g) A ∪B ∪ C
(h) A ∩B ∩ C
(i) A ∪ (B ∩ C)
(j) (A ∪B) ∩ C
(k) (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 31
(l) (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
35) Seja os seguintes conjuntos: U dos quadriláteros; Q dos quadrados; B dos rectângulos; L dos
losangos; M dos trapézios; P dos paralelogramos. Determine então os seguintes conjuntos:
(a) Q ∪M
(b) L ∪Q
(c) P ∪ U
(d) B ∩ L
36) Dados dois conjuntos A e B , sabendo que n(A) = 23, n(B) = 37 e n(A ∩ B) = 8, determine
n(A ∪B).
37) Dois clubes A e B tem juntos 141 socios. O clube B possui 72 socios e os clubes possuem em
comum 39 socios. Determine o numero de socios do A .
38) Sendo A = {x; y; z} , B = {x;w; v} e C = {y;u; v} , determine os seguintes conjunto:
(a) A−B
(b) B −A
(c) A− C
(d) C −A
(e) B − C
(f) C −B
39) Sendo A = {a; b; c; d} , B = {b; d; e; f} e C = {e; f} , determine os seguintes conjuntos:
(a) A−B
(b) B −A
(c) A− C
(d) C −A
(e) B − C
(f) C −B
40) Dados dois conjuntos A e B , e sabendo que n(A) = 35, n(B) = 23 e B ⊂ A , determine
n(A−B) e n(B −A).
41) Sejam os seguintes conjuntos:
32 Matemática I - Da teoria à Prática
(a) A = {x : x é inteiro positivo}
(b) B = {x : x é par positivo}
(c) C = {x : x é ı́mpar}
Determinarnos conjuntos:
(a) B ∪ C
(b) B ∩ C
(c) B − C
(d) C −B
(e) {AB
(f) {Ac
42) Numa sala estão presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine:
(a) A percentagem de rapazes.
(b) A percentagem de raparigas.
43) Um comerciante compra um par de sapatos por 100 dólares e os vende por 3 milhões de meticais,
a taxa de câmbio de 1usd : 25000MTn determine:
(a) O valor de venda em usd.
(b) O valor de compra em MTn.
(c) O lucro em usd.
(d) A percentagem do lucro.
44) Um funcionário recebia 1500usd, em Janeiro o seu salário sofreu um aumento em 10% e em
Junho um outro aumento de 20% Determine
(a) O salário recebido pelo funcionário em Fevereiro.
(b) O salário recebido pelo funcionário em Julho.
(c) A subida percentual total. De Janeiro à Julho.
45) O preço de um producto aumenta 10% mensalmente. Ao fim de 12 aumentos qual será o preço
sabendo que inicialmente era 5usd?
46) Se em Janeiro de 2007 for a emprestar um montante p de um banco, quanto devolverá em Janeiro
de 2008 se a taxa de inflacção anual for de 30%
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 33
47) Nas festas de um determinado fim de ano o preço do açucar branco subiu em 20% e depois subiu
novamente em 30%, mais tarde, em Janeiro sofreu uma redução em 15%, em quanto porcento
variou o preço?
48) Se um producto custa x MTn e sofre um aumento de 10% e mais tarde um outro aumento de
10%. Em quanto porcento variou o preço do producto?
(a) 20%
(b) 15%
(c) 21%
(d) Nenhuma delas
49) 3 litros de leite são divididos em latas de 15 do litro. Quantas latas são necessárias?
50) Quantas latas de 13 do litro são necessárias para dividir 15 litros de sumo?
51) Qual é a razão entre as áreas de dois ćırculos, se a razão entre os seus raios for de 14?
52) Determine a razão entre os volumes de dois cubos, sabendo que a razão das arestas é de 12 .
53) Num mapa de Moçambique, a distância de Maputo a Beira é de 40cm. Sabendo que a escala é
de 1 : 3000000, determine a distância real.
54) A distância de Quelimane a Beira é de 960km . Sendo a escala dum mapa de 1 : 2000000, qua
será a sua distância no mapa?
55) Um aluno consegue 36 pontos dum total de 60 num teste. Que percentagem obteve o aluno?
56) O preço de venda dum produto subiu 20 por cento numa primeira subida de preços e 40 por
cento na segunda subida. Qual foi a subida total em percentagem?
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto você
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1.3 Aula 3 - Teórica
1.3.1 Algebra e expressões algebricas
ÇOEmÁlgebra da matemática estudar-se-á vários temas que se revestem de enorme importância
para o domı́nio desta disciplina. Existem escritos de matemáticos que descrevem este tema como uma
34 Matemática I - Da teoria à Prática
construção engenhérica para estudantes de matemática. Não se pode pensar em grandes matemáticos
desprovidos da álgebra matemática.
Quase sempre nos deparamos com operações e problemas de matemática que exigem o conheci-
mento profundo de expressões algébricas, expressões polinómiais, factorização e etc... estes assuntos
serão, com detalhe, tratados neste tema.
1.3.2 Expressões numéricas e valor numérico de uma expressão
Na ĺıngua portuguesa, chama-se expressão o acto ou efeito de exprimir algo. Na matemática, ex-
pressão é a conjugação de śımbolos e códigos matemáticos de modo a transmitir uma mensagem ou
um pensamento.
Exemplo 1.23. Alguns exemplos de expressões algébricas:
1) x− y
2) x+ y
3) x2 + y2
4) x3 + x2 − 3x+ 2
Pode se ver dos exemplos dados que as expressões não possuem nenhum valor afirmativo ou com-
parativo. Elas não possuem sinais comparativos e ou de igualdade, isto é, não são afirmações. Mesmo
na ĺıngua portuguesa, as expressões que não possuem verbos não podem ser consideradas verdadeiras
ou falsas.
Exemplo 1.24. Veja os seguintes:
1) Escola bonita - é uma expressão;
2) Escola é bonita - é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa.
Analogamente x − y é uma expressão e x − y = 0 é uma afirmação matemática que, em função
de valores que x e y forem a tomar, pode ser verdadeira ou falsa.
Estamos sempre a fazer comparações com expressões vindas da ĺıngua portuguesa e fazemos isto
porque temos convicção de que sobre a ĺıngua portuguesa todos temos domı́nio. Não se pode conceber
que um falante da ĺıngua portuguesa formule a seguinte expressão: Escola Bonitas!!!!! Esta expressão
não tem sentido em português; em outras palavras, pode se dizer que esta expressão está errada. Do
mesmo modo que não se pode permitir que um matematico escreva:
x = −x+−y
E porque em matemática não existe meios termos, simplesmente se diz que a expressão está ER-
RADA! As expressões da matemática que tem variáveis também são chamadas Expressões Literais.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 35
1.3.3 Domı́nio de Expressões
O domı́nio de uma expressão algébrica com uma variável (x por exemplo), é o conjunto de valores de
x pelos quais é posśıvel calcular o valor da expressão. Em outras palavras, é o conjunto de valores
que x pode tomar de modo que expressão tenha sentido.
Exemplo 1.25. Considere a expressão:
x+ 1
x− 1
Esta expressão tem domı́nio
x ∈ R\{1}
Se o x for igual a 1 teremos no denominador x − 1 = 1 − 1 = 0, e teremos uma contradição ao
postulado segundo o qual: ”Não existe divisão por zero!!!”
Em geral ao determinar dominios de existência de uma expressão segue-se as seguintes linhagens
mestras:
• Radicandos de um radical com ı́ndice par não devem ser negativos, isto é, devem
ser maiores ou iguais a zero;
Exemplo 1.26. Determine os domı́nios das seguintes expressões:
1)
√
x− 1 o domı́nio será: x− 1 > 0⇒ x > 1.
2)
√
x+ 3 o domı́nio será: x+ 3 > 0⇒ x > −3.
3) 5
√
x+ 3 o domı́nio será: x ∈ R. Veja que o ı́ndice do radical é ı́mpar.
• Denominador de uma fracção não pode ser igual a zero;
Exemplo 1.27. Determine os domı́nios das seguintes expressões:
1)
x+ 1
x− 1
o domı́nio será: x− 1 6= 0⇒ x 6= 1.
2)
x+ 3
x+ 2
o domı́nio será: x+ 2 6= 0⇒ x 6= −2.
• As funções logaŕıtmicas definem-se em R+ , isto é, os argumentos de funções lo-
gaŕıtmicas devem sempre ser maiores do que zero;
Exemplo 1.28. Determine os domı́nios das seguintes expressões:
1) log2(x− 2) o domı́nio será: x− 2 > 0⇒ x > 2.
2) log10(sinx) o domı́nio será: sinx > 0. resolve-se a inequação.
• Denominadores que contém raizes de ı́ndice par devem ser maiores do que zero.
36 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 1.29. Determine os domı́nios das seguintes expressões:
1)
x− 1√
x+ 1
o domı́nio será: x− 1 > 0⇒ x > 1.
2)
x2 + 3
3
√
x+ 1
o domı́nio será: x+ 1 6= 0⇒ x 6= −1. Veja que o ı́ndice do radical é ı́mpar.
1.3.4 Valores Numéricos de uma Expressão Literal
As expressões são geralmente compostas por sinais operacionais, por números e por śımbolos literários
(Letras) ”Dáı, Expressões Literais”. E elas podem assumir um determinado valor depois de efectu-
adas algumas operações. Este valor tem o nome de valor numérico de expressões literais. Por exemplo,
se elas possuem variáveis, ao substituirmos as variáveis por respectivos valores numéricos, obteremos
através de operações um numéro que corresponderá ao valor numérico da expressão no seu todo.
Exemplo 1.30. Determine o valor numérico das seguintes expressões:
1) x2 − y2, quando x = 1 e y = 2, se obtém:
x2 − y2 = (1)2 − (2)2 = 1− 4 = −3.
Assim −3 é o valor numérico da expressão ácima com as condições dadas.
2) x2 − y2, quando x = 2 e y = 1, se obtém:
x2 − y2 = (2)2 − (1)2 = 4− 1 = 3.
Assim 3 é o valor numérico da expressão ácima com as condições dadas.
3) x2 − y2, quando x = a e y = b , se obtém:
x2 − y2 = (a)2 − (b)2.
Assim a2 − b2 é o valor numérico da expressão ácima com as condições dadas.
4) x+ y3, quando x = −1 e y = −3, se obtém:
−1 + (−3)3 = −1 + (−27) = −1− 27 = −28.
Assim −28 é o valor numérico da expressão ácima com as condições dadas.
1.3.5 Polinómios
Definção 1.14. Chama-se monómio a expressão constituida por números relactivos ou por um
producto de números relactivos eventualmente representados por letras.
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 37
Exemplo 1.31. Veja os seguintes exemplos:
1) 3 é um monómio;
2) 2x é um monómio;
3) 3x2 é um monómio;
4) 7x2y3 é um monómio;
5)
xy2
7
é um monómio.
Definção 1.15. Num monómio a parte composta por numéros (constantes) chama-se coeficiente.
Definção 1.16. A parte composta por letras chama-se parte literal.
Definção 1.17. Chama-se grau de um monómio a soma dos expoentes associados as variáveis. Vamos
considerar sem limitação da sua essência, monómios de variável x.
Exemplo 1.32. Veja os seguintes exemplos:
1) No monómio 7x2y3 o coeficiente é o 7 e a parte literal é x2y3 , o grau deste monómio é
2 + 3 = 5;
2) No monómio ax2 o coeficiente é o a e a parte literal é x2 , o grau deste monómio é 2;
3) No monómio abx3 o coeficiente é o ab e a parte literal é x3 , o grau deste monómio é 3.
1.3.6 Monómios Semelhantes e Monómios Iguais
Definção 1.18. Diz-se que dois monómios são semelhantes ou idénticos, se eles tiverem a mesma
parte literal
Exemplo 1.33. Considere os seguintes exemplos:
1) 4x e −7x são monómios idênticos;
2) 2x2y e
yx2
4
são monómios idênticos.
Definção 1.19. Dois monómios são iguais se eles forem idênticos e possúırem mesmos coeficientes.
Exemplo 1.34. Considere os seguintes exemplos:
1) 4x e 4x são iguais;
2) 2x2y e
8yx2
4
são iguais.
38 Matemática I - Da teoria à Prática
1.3.7 Operações sobre Monómios
Com monómios pode-se efectuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Adição - Adicione os seguintes monómios
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Subtração - Subtraia os seguintes monómios
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Divisão - Divida os seguintes monómios
Na divisão de monómios segue-se regras sobre divisão de potências (com mesma base e expoente
diferentes).
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
Multiplicação - Multiplique os seguintes monómios
Na multiplicação de monómios segue-se regras sobre multiplicação de potências (com mesma base
e expoente diferentes).B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 39
1) 3x2 e 7x2
2) ax2 e bx2
3) 7x4 e 7x3
4) 3x2 e 7x5
5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3
1.3.8 Polinómios Semelhantes e Polinómios Iguais
Definção 1.20. Um Polinómio é um agrupamento de monómios (este agrupamento é feito através
de operadores de adição ou subtração).
Definção 1.21. Dois polinómios são idênticos se os seus monómios forem idênticos dois a dois.
Exemplo 1.35. x2 − 1 e 3x2 + 3
Definção 1.22. Dois polinómios são iguais se os seus monómios forem iguais dois a dois.
Exemplo 1.36. x2 − 1, e −1 + x2
Com polinómios pode-se efectuar operações de adição, subtração, divisão e multiplicação.
Adicione os seguintes polinómios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +
√
5x+ 5
2) x2 − x
7
3 + 2 e 2x
7
3 +
√
5x
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +
√
5x+ 6
Subtraia os seguintes polinómios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +
√
5x+ 5
2) x2 − x
7
3 + 2 e 2x
7
3 +
√
5x
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 +
√
5x+ 6
Multiplique os seguintes polinómios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 +
√
5x
2) x2 − x
7
3 + 2 e 2x
7
3 +
√
5x
40 Matemática I - Da teoria à Prática
3) x4 − x sin 7− 3 e 2x3 + 6
Divida os seguintes polinómios
1) x3 − 7x+ 9 e 2x3 + 3
2) x2 − 3x+ 2 e 2x− 1
3) x4 − 3x3 + 2x2 − x+ 1 e 2x3 + x2 − 3x
4) −x5 + 3x2 + 4x e 2x
5) 2x2 + x− 10 e x− 2
6) 3x3 − 2x+ 5 e x− 3
1.3.9 Factorização de Polinómios
Factorização vem de factores. Factores são os diferentes componentes de uma multiplicação. Por
exemplo 2× 4 = 8, pode-se dizer que 2 e 4 são factores.
Portanto, factorizar é o mesmo que trasnformar uma determinada expressão polinomial em uma
sucessão de factores (Transformar uma expressão em uma multiplicação).
Exemplo 1.37. Existem diferentes métodos de factorização, cada método é adequado a determinadas
situações. Veja os exemplos que se seguem:
1) x3 = x× x× x.
2) x3 + x2 = x2(x+ 1) (evidencia-se os factores comuns).
3) 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1) (evidencia-se os factores comuns).
4) ax+ a2x+ a2 + a = x(a2 + a) + a2 + a = (a2 + a)(x+ 1) (evidencia-se os factores comuns).
5) 10− 3x− x2 Ao factorizar este polinómio quadrático ter-se-á:
10− 3x− x2 = (2− x)(5 + x) e
transformá-se assim o polinómio 10− 3x− x2 em factores (2− x) e (5 + x)
Observação 1.3. Seja dado o polinomio ax2 + bx + c, a 6= 0 se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0, pode-se
factorizar o polinómio segundo a fórmula:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
Onde x1, x2 são calculados pelas fórmulas
x1 =
−b+
√
∆
2a
, x2 =
−b−
√
∆
2a
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 41
Observação 1.4. Em muitos casos usa-se algumas igualdades (Os ditos casos notáveis), veja:
• (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2,
• (x− y)2 = x2 − 2xy + y2,
• (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3,
• (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3,
• x2 − y2 = (x− y)(x+ y),
• x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2),
• x3 + y3 = (x+ y)(x2 − xy + y2),
1.3.10 Polinómios Quadráticos
Existem diferentes classes de polinómios, e estas classes são atribúıdas em função do seu maior expo-
ente. Por exemplo: um polinómio com maior expoente igual a 1 chama-se polinómio de grau 1 ou
linear, um polinómio com maior expoente igual a 2 chama-se polinómio de grau 2 ou quadrático,
um polinómio com maior expoente igual a 3 chama-se polinómio de grau 3 ou cúbico..., assim
em diante.
Definção 1.23. Chama-se polinómio quadrático de variável x ao polinómio dado na forma
P (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0 eb, c ∈ R.
a, b e c são os coeficientes do polinómio.
Ao se igualar um polinómio quadrático a uma constante, transformá-se numa equação quadrática.
Observação 1.5. Importante:
• Um polinómio de grau 1 tem uma solução (ou 1 ráız);
• Um polinómio de grau 2 tem duas soluções (ou 2 ráızes);
• Um polinómio de grau 3 tem três soluções (ou 3 ráızes).
Os polinómios quadráticos são sobejamente conhecidos, razão pela qual existem
fórmulas para momentos importantes de estudos sobre estes tipos de polinómios.
Veja atentamente:
Definção 1.24. Um polinómio quadrático na forma ax2 + bx + c = 0, chama-se Discriminante, e
denota-se ∆ ao valor numérico dado pela expressão ∆ = b2 − 4ac
42 Matemática I - Da teoria à Prática
Definção 1.25. Chama-se Zero de um polinómio aos valores de x que fazem com que o polinómio
seja igual a zero. Isto é:
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
Veja as seguintes transformaçãos:
1) Colocar em evidência o valor de a , e a seguir multiplicar e dividir a segunda parcela por 2:
ax2 + bx+ c = 0⇒ a
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0⇒ a
(
x2 +
2b
2a
x+
c
a
)
= 0
2) Passar o a , para o membro direito, somar e subtrair a equação o valor
(
b
2a
)2
:
ax2 + bx+ c = x2 +
b
a
x+
c
a
= x2 + 2
b
2a
x+
(
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
= 0
3) Identificar o caso notável:
ax2 + bx+ c =
(
x+
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
=
[
x−
(
− b
2a
)]2
−
(
b
2a
)2
+
4ac
4a2
= 0
4) Fazendo transformações na parte da constante se obtém:
ax2 + bx+ c =
[
x−
(
− b
2a
)]2
− b
2 − 4ac
4a2
= 0⇒
[
x−
(
− b
2a
)]2
=
b2 − 4ac
4a2
5) Resolvendo a equação se obtém:
ax2 + bx+ c = x−
(
− b
2a
)
= ±
√
b2 − 4ac
2a
⇒ x =
(
− b
2a
)
±
√
b2 − 4ac
2a
de onde obter-se-á:
x1,2 =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
=
−b±
√
∆
2a
Definção 1.26. Para um polinómio quadrático na forma ax2+bx+c = 0, chama-se Vértice ao ponto
onde o gráfico muda de monotonia, e determina-se as coordenadas deste ponto usando as expressões:
xv =
−b
2a
, yv =
−∆
4a
Também, pode-se achar o xv achando a média aritmética dos zeros da função.
Observação 1.6. É importante saber que um ponto no plano é composto por duas coordenadas, uma
coordenada no eixo dos x e uma outra coordenada no eixo dos y . Assim ao se determinar o vértice
de uma parábola, preocupa-se em determinar o xv e o yv , portanto o par (xv, yv).
Observação 1.7. Se se designar os dois zeros de uma equação quadrática por x1 e x2 , pode-se
escrever uma equação quadrática ou um polinómio quadrático de modo seguinte:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 43
Observação 1.8. Se se designar os dois zeros de uma equação quadrática por x1 e x2 , pode-se
escrever uma equação quadrática ou um polinómio quadrático de modo seguinte:
ax2 + bx+ c = a[x2 − (x1 + x2)x+ x1 × x2]
Veja que:
x1 + x2 = −
b
a
e x1 × x2 =
c
a
Observação 1.9. Nas equações quadráticas ou polinómios quadráticos, pode-se calcular as coorde-
nadas do vértice e a seguir escrever o polinómio de modo seguinte:
ax2 + bx+ c = a(x− xv)2 + yv.
Esta fórmula é também conhecida por Fórmula de Viet - SP (Soma-Produto)
1.3.11 Triângulo de Pascal
linha 0
1
linha 1
1 1
linha 2
1 2 1
linha 3
1 3 3 1
linha 4
1 4 6 4 1
linha 5
1 5 10 10 5 1
linha 6
1 6 15 20 15 6 1
linha 7
1 7 21 35 35 21 7 1
linha 8
1 8 28 56 70 56 28 8 1
44 Matemática I - Da teoria à Prática
Exemplo 1.38. Veja de seguida os exemplos da aplicação do triângulo de Pascal.
Observação 1.10. Um binómio com expoente n ∈ N pode ser desenvlvido em soma de monómios
com grau igual a n e coeficiente tirados da linha n do triângulo de Pascal.
1) Decomponha (3 + 2)1, sendo uma potência de expoente 1, recorrer-se-á a linha 1, teremos que
somar monómios de grau 1 e coeficientes 1 e 1 (veja a linha 1), teremos então:
(3 + 2)1 = 1× 3120 + 1× 3021 = 3 + 2 = 5
2) Decomponha (3 + 2)2, sendo uma potência de expoente 2, recorrer-se-á a linha 2, teremos que
somar monómios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos então:
(3 + 2)2 = 1× 3220 + 2× 3121 + 1× 3022 = 9 + 12 + 4 = 25
3) Decomponha (a + b)2, sendo uma potência de expoente 2, recorrer-se-á a linha 2, teremos que
somar monómios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos então:
(a+ b)2 = 1× a2b0 + 2× a1b1 + 1× a0b2 = a2 + 2ab+ b2
4) Decomponha (a + b)3, sendo uma potência de expoente 3, recorrer-se-á a linha 3, teremos que
somar monómios de grau 3 e coeficientes1, 3, 3 e 1 (veja a linha 3), teremos então:
(a+ b)3 = 1× a3b0 + 3× a2b1 + 3× a1b2 + 1× a0b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
5) Decomponha (a + b)4, sendo uma potência de expoente 4, recorrer-se-á a linha 4, teremos que
somar monómios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a linha 4), teremos então:
(a+ b)4 = 1× a4b0 + 4× a3b1 + 6× a2b2 + 4× a1b3 + 1× a0b4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4
6) Decomponha (a− b)2 = [a+ (−b)]2, sendo uma potência de expoente 2, recorrer-se-á a linha 2,
teremos que somar monómios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos então:
(a+ b)2 = [a+ (−b)]2 = 1× a2(−b)0 + 2× a1(−b)1 + 1× a0(−b)2 = a2 − 2ab+ b2
7) Decomponha (a− b)3 = [a+ (−b)]3, sendo uma potência de expoente 3, recorrer-se-á a linha 3,
teremos que somar monómios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha 3), teremos então:
(a−b)3 = [a+(−b)]3 = 1×a3(−b)0+3×a2(−b)1+3×a1(−b)2+1×a0(−b)3 = a3−3a2b+3ab2−b3
8) Decomponha (a − b)4 = [a + (−b)]2, sendo uma potência de expoente 4, recorrer-se-á a linha
4, teremos que somar monómios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a linha 4), teremos
então:
(a−b)4 = 1×a4(−b)0+4×a3(−b)1+6×a2(−b)2+4×a1(−b)3+1×a0(−b)4 = a4−4a3b+6a2b2−4ab3+b4
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 45
1.3.12 Exercicios Resolvidos
1) Determine os valores de A e B de modo que:
(a)
1
(x− 1)(x+ 1)
=
A
x− 1
+
B
x+ 1
Resolução
Somando as fracções que se encontram a direita, se obtém:
1
(x− 1)(x+ 1)
=
A(x+ 1) +B(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)
⇒
⇒ 1 = Ax+A+Bx−B ⇒ (A+B)x+A−B = 0x+ 1
de seguida resolve-se o seguinte sistema de equações: A+B = 0A−B = 1 ⇒
 A = −B−B −B = 1 ⇒
 A = −BB = −1
2
⇒

A =
1
2
B = −1
2
.
(b)
2
(x− 1)(x+ 1)2
=
A
x− 1
+
B
x+ 1
+
C
(x+ 1)2
Resolução
Somando as fracções que se encontram a direita, se obtém:
2
(x− 1)(x+ 1)2
=
A(x+ 1)2 +B(x− 1)(x+ 1) + C(x− 1)
(x− 1)(x+ 1)2
⇒
⇒ 2 = A(x2 + 2x+ 1) +B(x2− 1) +C(x− 1) = (A+B)x2 + (2A+C)x+ (A−B−C) = 2
de seguida resolve-se o seguinte sistema de equações:
A+B = 0
2A+ C = 0
A−B − C = 2
⇒

A = −B
2(−B) + C = 0
−B −B − C = 2
⇒

A = −B
−2B = −C
−2B − C = 2
⇒
⇒

A = −B
−2B = −C
−2C = 2
⇒

A = −B
−2B = 1
C = −1
⇒

A =
1
2
B = −1
2
C = −1
(c) Factorize o seguinte polinómio:
P (x) = x3 − 3x2 + 2x
Resolução
Primeiro evidenćıa-se o factor comum, o factor que aparece em todos os monómios, teremos
então:
P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x+ 2)
46 Matemática I - Da teoria à Prática
veja que estamos na presença de um polinómio quadrático. Acha-se as ráızes (x1 = 1; x2 =
2) e dáı pode-se escrever:
P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x+ 2) = x(x− 1)(x− 2)
(d) Factorize o seguinte polinómio:
x3 − y3
Resolução
Trata-se da diferença de cubos, veja que estamos na presença de um caso notável, teremos
então:
x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)
(e) Factorize o seguinte polinómio:
x2 − y4,
Resolução
trata-se da diferença de quadrados, veja que estamos na presença de um caso notável,
teremos então:
x2 − y4 = x2 − (y2)2 = (x− y2)(x+ y2)
2) Efectue as seguintes operações:
(a)
5
2x− 10
+
x
x− 5
Resolução
Transformá-se a primeira fracção e de seguida acha-se o mmc.
5
2x− 10
+
x
x− 5
=
5
2(x− 5)
+
x
x− 5
=
5
2(x− 5)
+
2x
2(x− 5)
=
5 + 2x
2x− 10
.
(b)
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
Resolução
Como temos duas fracções com mesmo denominador, iremos somente efectuar a operação
de subtracção, preste atenção porque antes da 2a fracção aparece um sinal ”−”que afecta
toda a fracção.
x2
x+ 2
− 4x− 4
x+ 2
=
x2 − 4x+ 4
x+ 2
.
3) Seja f(x) = 2x2−x Determine f(2), f(a), f(2+a), f(2−a), f(k+a), f(a)−f(2−a)
(a) f(2) = 2(2)2 − 2 = 2× 4− 2 = 8− 2 = 6
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 47
(b) f(a) = 2(a)2 − a = 2× a2 − a = a(2a− 1)
(c) f(2+a) = 2(2+a)2− (2+a) = 2× (4+4a+a2)−2−a = 8+8a+2a2−2−a = 2a2 +8a+6
(d) f(2−a) = 2(2−a)2− (2−a) = 2× (4−4a+a2)−2+a = 8−8a+2a2−2+a = 2a2−7a+6
(e) f(k + a) = 2(k + a)2 − (k + a) = 2× (k2 + 2ka+ a2)− k − a = 2k2 + 4ka+ 2a2 − k − a =
2a2 + 2k2 + 4ka− k − a
(f) f(a)− f(2− a) = 2a2 − a− (2a2 − 7a+ 6) = −a+ 7a− 6 = 6a− 6
1.3.13 Potênciação
Definção 1.27. Pode acontecer que numa multiplicação sucessiva os factores sejam iguais, isto é:
1) 2× 2
2) 3× 3× 3
3) 4× 4× 4× 4× 4
Estes casos podem ser escritos de maneira mais simplificada, ter-se-á o seguinte:
1) 2× 2 = 22 e lê-se quadrado de dois;
2) 5× 5× 5 = 53 e lê-se Cubo de cinco;
3) 4× 4× 4× 4× 4 = 45 e lê-se quinto de quatro.
Potência - é uma multiplicação de factores iguais.
NOTA:
• 4× 4× 4× 4× 4 = 45 o śımbolo 45 é uma potência;
• O 4 é o factor que se repete e chama-se Base da Potência;
• 5, que é o número de vezes em que se repete a base, chama-se de Expoente.
Observação 1.11. Repare que ao escrever 41 denota-se uma potência. No entanto, pela definição,
supõe-se existir uma multiplicação com um só factor, o que não é verdade. Sendo assim, convencionou-
se que 41 = 4 e isto generaliza-se à todos números que tenham expoente igual a 1.
a1 = a,∀a ∈ R.
Também convencionou-se que:
a0 = 1, ∀a ∈ R \ {0}.
48 Matemática I - Da teoria à Prática
1.3.14 Operações com Potências
As propriedades de multiplicação sucessiva de factores iguais, justificam as seguintes regras:
1.3.15 Multiplicação de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao multiplicar potências com bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e soma-se os
expoentes.
Exemplo 1.39.
42 × 45 = 42+5 = 47, 52 × 5
1
2 = 52+
1
2 = 5
5
2
1.3.16 Divisão de Potências com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
Ao dividir potências com bases iguais e expoentes diferentes, mantém-se a base e subtrai-se os expo-
entes.
Exemplo 1.40.
42 × 45 = 42−5 = 4−3, 52 × 5
1
2 = 52−
1
2 = 5
3
2
1.3.17 Multiplicação de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao multiplicar potências com expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e multiplica-se
as bases.
Exemplo 1.41.
24 × 34 = (2× 3)4 = 64, 53 × 23 = (5× 2)3 = 103 = 1000
1.3.18 Divisão de Potências com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
Ao dividir potências com expoentes iguais e bases diferentes, mantém-se o expoente e divide-se as
bases.
Exemplo 1.42.
24 ÷ 34 = (2÷ 3)4 =
(
2
3
)4
, 53 ÷ 23 = (5÷ 2)3 = (2, 5)3
1.3.19 Potência de Potência
Nas linhas anteriores procurou-se transmitir ao estudante a noção de potência, recursivamente desenvolver-
se-á casos de sobreposição de potências, exemplo:
(
23
)4
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 49
Ao desenvolver expressões com potência de potência faz-se o seguinte:(
23
)4
= 23 × 23 × 23 × 23 = 23+3+3+3 = 212
De outra maneira pode-se manter a base e multiplicar os expoentes, isto é:
(
23
)4
= 23×4 = 212 = 4096
Observação 1.12. Importante:
1) Uma potência só é negativa se tiver base negativa e expoente ı́mpar;
2) Uma potência de expoente par, é sempre positiva independentimente do sinal da base;
3) Sempre que o zero for base de uma potência, ela será igual azero;
4) Sempre que o zero for expoente de uma potência de base diferente de zero, ela será igual a 1.
1.3.20 Radiciação
Preste atenção a Raiz Quadrada.
Raiz de indice 2:
√
a , que é o mesmo que escrever a
1
2 . Desta propriedade advém que
√
4 = 4
1
2 =
(
22
) 1
2
usando a superpotênciação obtém-se 22×
1
2 = 2, com mesma analogia obtém-se:
√
36 = 6 porque 62 = 36,
√
100 = 10 porque 102 = 100
1.3.21 Raiz de Índice n
Considere o seguinte problema: O volume de um cubo é igual a 27cm3. Qual é a medida das
arestas do cubo?
Resolução: Para resolvar este problema, recordar-se-á primeiro a fórmula para o cálculo do
volume de um cubo. Sabe-se que:
Vcubo = (aresta)
3
então, pode-se refazer a pergunta de nodo seguinte: Qual é o número que elevado ao cubo seja igual
a 27. Isto é x3 = 27 para calcularo valor recorre-se ao seguinte:
x3 = 27 = x3 = 33 ⇒ x = 3.
E diz-se cubo de 3 é 27, então a aresta do cubo em questão mede 3cm.
Definção 1.28. Chama-se raiz de ı́ndice n de um número real b ao número real a , tal que:
an = b
onde n é o ı́ndice do radical, b é o radicando.
50 Matemática I - Da teoria à Prática
1) Caso o n seja ı́mpar o b pode ser qualquer valor real;
2) Caso o n seja par o b deve ser qualquer valor real positivo ou zero.
Ja que se pode olhar para um radical como uma potência de expoente fraccionário. Então as
propriedades e regras sobre multiplicação e divisão de potências podem aqui ser utilizadas com uma
e única prerogativa, de que para o caso de raizes os expoentes são fracções.
1.3.22 Multiplicação e Divisão de Radicais
Ao multiplicar (dividir) radicais com mesmo ı́ndice se obtem um outro radical com ı́ndice igual ao
ı́ndice dos radicandos factores (quocientes) e com radicando igual ao producto (razão) dos radicandos
factores (quocientes).
n
√
a× n
√
b =
n
√
a× b, n
√
a÷ n
√
b =
n
√
a÷ b
Exemplo 1.43. Considere os exemplos que se seguem:
1) 3
√
2× 3
√
24 = 3
√
2× 24 = 3
√
48;
2) 3
√
2× 3
√
24 = 3
√
2× 24 = 3
√
48.
1.3.23 Simplificação de Radicais (Redução ao mesmo ı́ndice)
Existem casos em que se impõe a necessidade de multiplicar e/ou dividir raizes com ı́ndices diferentes.
Situações desta natureza levam à necessidade de simplificação ou transformação de radicais.
Observação 1.13. Se multiplicar ou dividir o ı́ndice de um radical e o expoente do radicando pelo
mesmo valor natural não nulo, o valor do radical não se altera, isto é:
n
√
am = a
m
n =
n×k√
am×k = a
m×k
n×k
Exemplo 1.44. 3
√
27 =
3
√
33 =
3×2√
33×2 =
6
√
36
Esta propriedade ajuda a resolver o caso de redução de radicais ao mesmo ı́ndice. Tornando por
esta via posśıvel a multiplicação de radicais com ı́ndices diferentes.
3
√
5 e
√
7
Achando o m.m.c de (2 e 3), que são os coeficientes dos dois radicais, se obtem 6, então:
3
√
5 =
3×2√
52 =
6
√
25
√
7 =
2
√
7 =
2×3√
73 =
6
√
73 dai
3
√
5×
√
7 =
6
√
25× 6
√
73 =
6
√
25× 73
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 51
1.3.24 Comparação de Radicais
1) Com o mesmo Índice - Entre dois radicais com mesmo ı́ndice e radicandos diferentes, maior
será o que tiver maior radicando. Assim:
3
√
5 <
3
√
15 porque 5 < 15
Observe que os dois radicais tem mesmo ı́ndice, o 3, a ser assim, basta comparar os radicandos.
2) Com ı́ndices diferentes - Não é posśıvel comparar dois radicais que tenham ı́ndices diferentes;
sempre que tiver um caso de dois radicais que apresentem ı́ndices desiguais, deve-se primeiro
reduźı-los ao mesmo ı́ndice e depois procede-se como no caso anterior.
Exemplo 1.45. Compare os radicais 3
√
5 e
√
7. Primeiro reduz-se os dois radicais a outros
radicais equivalentes, com ı́ndices iguais. De seguida acha-se o m.m.c entre os ı́ndices ”2 e 3”,
que é 6. Então:
√
7 =
2
√
7 =
2×3√
73 =
6
√
343 e
3
√
5 =
3×2√
52 =
6
√
25
Depois de feita a operaçâo, Compara-se os radicandos do resultado obtido ( 6
√
343 e 6
√
25)e
chega-se a conclusão de que 25 < 343 e consequentimente 3
√
5 <
√
7.
Passagem de factores para fora ou para dentro de um radical.
Sabe-se que: n
√
an = a
n
n = a1 = a, então obtém-se:
n
√
an × b = n
√
an × n
√
b = a× n
√
b
Exemplo 1.46. Considere os seguintes exemplos:
1)
√
52 × 3 =
√
52 ×
√
3 = 5×
√
3
2) 3
√
54 = 3
√
33 × 2 = 3
√
33 × 3
√
2 = 3× 3
√
2
1.3.25 Adição e Subtração de Radicais
Definção 1.29. Chama-se Radicais Semelhantes aqueles que diferem somente no coeficiente.
Exemplo 1.47.
3
√
5, 3
3
√
5, 7
3
√
625
Veja que os seguintes radicais ,a primeira, não parecem semelhantes. Mas se se efectuar sobre eles
algumas transformações obter-se-á radicais semelhantes.
3
√
5, 3
3
√
5, 7
3
√
625 = 7
3
√
54 = 7
3
√
53 × 5 = 7× 5 3
√
5 = 35
3
√
5
52 Matemática I - Da teoria à Prática
Obtém-se:
3
√
5, 3
3
√
5, 35
3
√
5
A adição e subttração de radicais semelhantes efectua-se aplicando a propriedade distributiva da
multiplicação em relacção à adição. Assim:
7
√
5 + 5
√
5 = (7 + 5)
√
5 2
5
√
8− 11 5
√
8 = (2− 11) 5
√
8 = −9 5
√
8
Para os casos da soma e diferença, a redução não joga papel preponderante visto que para estas
operações muito mais do que reduzir ao mesmo ı́ndice, necessita-se de reduzir os radicais à semelhantes,
condição que não é satisfeita pelas regras de simplificação-redução de radicais.
1.3.26 Potência de uma raiz e Raiz de uma Potência
Veja agora o significado de:
(
n
√
a
)p
= n
√
a× n
√
a · · · n
√
a p− vezes,
(
n
√
a
)p
= n
√
a× a× a · · · a = n
√
ap
Exemplo 1.48. Observe o seguinte exemplo:(
3
√
5
)2
=
3
√
52 =
3
√
25
Considere a seguinte situação:
n
√(
p
√
a
)
=
(
p
√
a
) 1
n =
(
a
1
p
) 1
n
= a
1
n×p = n×p
√
a
1.4 Aula 4 - Prática
Os exerćıcios 1, 5, 8, 9, 13, 15, 29, 32 devem ser resolvidos na qualidade de TPC. Serão
corrigidos e discutidos na aula prática. Os exerćıcios 3, 11, 14, 16, 18, 26, 31, 33 deverão ser
resolvidos pelos estudantes para a consilidação do conhecimento e deverão ser entregues ao Docente
de aulas teóricas na aula teórica da semana seguinte.
1) Calcule o valor numérico das seguintes expressões para os valores de x indicados.
(a) (x− 1)(x2 + x+ 1) para x = 1, x =
√
2
(b)
x+ 1
x− 1
− x
3 − 5x
x2 − 1
para x = −3
2) Seja f(x) = 3(x− 2)2 + 5 calcule f(2 + α) e f(2− α)
3) Seja f(x) =
5
2− x
calcule f(2 + α) e f(2− α)
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 53
4) Seja f(x) =
x+ 3
x− 2
calcule f(2 + α) e f(2− α)
5) Seja f(x) = x2−3x+2. Calcule f(−3), f(2x−3), f(2x−3)+f(2x+3), f(x+h), f(x+ h)− f(x)
h
6) Seja f(x) = 2x− 3 e g(x) = x2 + 5 calcule
(a) f(5), g(−3), g[f(2)], f [g(3)], g[f(x)]
(b) f [g(x+ 1)] + g[g(x)]
7) Determine o domı́nio das seguintes expressões:
(a) x2 − 1 + 1
x
(b)
x2 − 5x+ 1
x2 − 2x
(c)
√
2− x
(d)
1√
x
+
2
x+ 3
(e)
√
x+ 3
x− 4
(f)
√
x2 + 3
x− 1
(g)
5
x2 − 9
+
7√
x+ 3
(h)
√
x− 2 +
√
6− 2x
8) Seja P (x) = 2x3 + ax2 + bx− 5. Determine a e b de modo que P (2) = 0 e P (−1) = 0
9) Sejam dados os polinómios:
A(x) = −x3 + 3x2 − 7x+ 5, B(x) = 2x3 − 3x2 + 2x− 1, C(x) = −3x3 + 5x− 2.
Determine:
(a) A+B + C
(b) 2A+ 2B − C
(c) 2A− 3B − 5C
10) Determine α e β de modo que os polinomios A(x) e B(x) sejam iguais.
(a) A(x) = (α+ β)x2 − 3x B(x) = 5x2 − (α− β)x
(b) A(x) = 2αx2 + 3x− 5 B(x) = 4x2 + 3βx− 3α+ β
11) Determine m de modo que o polinómio Q(x) = (m2 − 1)x2 + (m2 − 3m+ 2)x+ 1 +m3
(a) Seja constante.
54 Matemática I - Da teoria à Prática
(b) Seja do primeiro grau.
12) Factorize pondo em evidência o factor comum
(a) 8a3b2 + 16a2b3 + 20a3b3
(b) 5x3 − 15x2
(c) 16x5 − 20x4 + 8x3
(d) (x+ 1)(7x− 3)− (x+ 1)(2− x)
(e) 2x(x− 1)2 − 2x2(x− 1)
13) Factorize os seguintes trinómios
(a) x2 + 3x+ 2
(b) x2 + 7x+ 6
(c) x2 + x− 42
(d) x5 + 4x4 + 4x3
14) Factorize (Diferênça de quadrados)
(a) 25a2 − 36
(b)
4x2
9
− 16y
2
25
(c) 18− 5x2
(d) (a+ 5)2 − (4− 3a)2
15) Escreva sob forma de quadrado perfeito
(a) 81a2 − 18a+ 1
(b) 49x2 + 28xy + 4y2
(c) (a+ 3)2 − 6(a+ 3)
√
5 + 45
(d)
(6− x)2
12
+
6− x
x
+
3
x2
16) Factorize usando casos notáveis
(a) 8x3 − y
3
27
(b)
8a3
27
+
64b6
125
(c) 8x3 − (x− 3)3
(d) (2x− 5)3 + 27x3
B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 55
17) Factorize agrupando em factores
(a) ax+ 2x+ 3a+ 6
(b) ax− x− 5a+ 5
(c) x2 − 3ax− 2x+ 6a
18) Factorize caso posśıvel
(a) x4 − 16y4
(b) 5x2 + 125
(c) −9x3y + 30x2y2 − 25xy3
(d) 3x2 + 15xy + 12y2
(e) 5a2 − 10a2b2 + 5b4
(f) (a− 3)2 − (5− 2a)2
(g) (x− y)3 − (x+ y)3
19) Simplifique
(a)
4x− 8
x− 2
(b)
−6x2 − 14x
14 + 6x
(c)
x− 3
x2 − 6x+ 9
(d)
x2 − 8x+ 16
16− x2
(e)
8x− 4x2
6x− 12
(f)
4x2 − 12x+ 9
4x2 − 9
(g)
(2x− 1)(x− 1)2 − 2(x2 − x− 1)(x− 1)
(x− 1)4
20) Simplifique
(a)
2x(x− 1)− x2
(x− 1)2
(b)
(2x+ 3)x2 − 2x(x2 + 3x)
x3
(c)