Sistemas de numeração e conversão de bases - Decimal e binário

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Sistemas de numeração e conversão
de bases - Decimal e binário
CÁLCULO DE CONVERSÃO DE BASES PARA RESPONDER ÀS QUESTÕES PERTINENTES À EXECUÇÃO DAS
ESPECIFICAÇÕES NAS CONFIGURAÇÕES DE SISTEMAS, COMUNICAÇÃO REMOTA E LINGUAGEM DE
MÁQUINA.
Introdução
Quando mencionamos sistemas de numeração, estamos nos referindo à utilização de um sistema para
representar uma numeração, ou seja, uma quantidade. Sistematizar algo seria organizar, colocar em ordem,
submeter a determinadas regras. Um sistema de numeração seria uma forma de organizar a representação
de um número. Exemplo: quando contamos algo ou expressamos algum valor, utilizamos no dia a dia um
sistema de numeração, que é o sistema decimal. Para isso, seguimos a organização dos números, pois eles
obedecem a certa ordem, e uma das regras é utilizar somente os caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
combinados, obedecendo à ordenação, para formar os números.
Existem, por outro lado, inúmeros sistemas de numeração, pois há diversas formas de se representar um
número. Um chinês que tem dois carros, para transmitir a informação de que o número de carros que ele
possui é dois, se expressa de um modo diferente do que um americano que tenha os mesmos dois carros,
mas as formas que ambos utilizam para representar a quantidade de carros têm pontos em comum: são dois
sistemas de numeração. O exemplo de um sistema de numeração diferente seria utilizar os seguintes
caracteres: 0, 1, 2, 3, C, %,} para representar os números. Ordenando esses caracteres do mesmo modo que o
sistema decimal, a contagem nesse sistema seria feita na seguinte ordem: 1, 2, 3, C, %,}, 10, 11, 12, 13, 1C,
1%... O equivalente ao número 10 no sistema decimal seria representado pelo número 13 nesse sistema, o
número 11 seria 1C, e assim por diante.
A representação de um número em um sistema de numeração diferente muda para um mesmo valor, assim
como as operações com números nesses novos sistemas podem ser readequadas. Essas diferenças entre os
sistemas de numeração são utilizadas como ferramenta de cálculo e projeto em diversas áreas, como a
computação.
Quando desejamos registrar um valor de tensão igual a trinta e quatro vírgula cinquenta e dois volts,
usamos os caracteres 3, 4, 5, e 2 dispostos numa certa ordem: 34,52 volts. Essa representação é conhecida
como notação posicional do valor observado, em que a importância de cada caractere depende da sua
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posição em relação aos demais caracteres. Os caracteres têm maior significação no sentido da direita para a
esquerda. No caso, os caracteres 3 e 2 são, respectivamente, o de maior e menor significação.
Base
Os sistemas de numeração foram criados pelo homem com o objetivo de quantificar as grandezas
relacionadas às suas observações. Tais sistemas foram desenvolvidos por meio de símbolos, caracteres e do
estabelecimento de regras para a sua representação gráfica. O conjunto desses símbolos ou caracteres
chamamos de base ou raiz do sistema, "r".
A base de um sistema de numeração é o número decimal que um sistema de numeração utiliza para indicar
uma quantidade e, geralmente, é o número de caracteres diferentes utilizados para compor o sistema. O
sistema decimal é dito de base 10 por utilizar somente 10 caracteres diferentes para representar os
números (os dígitos de 0 a 9), e a quantidade real representada pelos números tem como base o valor 10.
Por exemplo, na contagem do sistema decimal, após o número 9 já utilizamos todos os caracteres diferentes
disponíveis, que são 10 (observe que o caractere "0" também está incluído), e um número maior que 9 é
representado utilizando uma convenção que atribui um significado numérico quantitativo à posição ou
lugar ocupado por um dígito. Cada posição ocupada por um caractere no número possui um "peso"
diferente, como no exemplo abaixo:
3004 = 3 x 10 + 0 x 10 + 0 x 10 + 4 x 10
3004 = 3 x 10 + 0 x 10 + 0 x 10 + 4 x 10
O mesmo artifício é utilizado em outros sistemas de numeração, ou seja, cada caractere que compõe um
número possui um "peso" de potências do valor da base que variam de acordo com a posição ocupada pelo
caractere no número – no caso do sistema decimal, potências de 10.No exemplo exposto anteriormente
(com o sistema 0, 1, 2, 3, C, %, }), o valor da base é 7, porque 0, 1, 2, 3, C, %,} são um conjunto de sete
caracteres diferentes que posso utilizar para compor um número nesse sistema, e a quantidade que os
números representam são expressas com base no valor 7.
O número 31} C representa uma quantidade igual a que número no sistema decimal?
31}C = 3 x 7 + 1 x 7 + } x 7 + C x 7
Como 3 = 3 no sistema decimal, 1 = 1 , } = 6 , C = 4
Concluímos:
31}C = 3 x 7 + 1 x 7 + 6 x 7 + 4 x 7
31}C = 3 x 343 + 1 x 49 + 6 x 7 + 4 x 1
31}C = 1029 + 49 + 42 + 4
31}C = 1.124
De acordo com o interesse do estudo em controle de máquinas e pela utilidade em diversas áreas, daremos
ênfase ao sistema de numeração binário (base 2).
3 2 1 0
3 2 1 0
3 2 1 0
10 10 10 10
3 2 1 0
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Obs.: Quando utilizamos sistemas de numeração diferentes, procura-se adotar uma convenção para a
identificação de números com bases de numeração diferentes. Exemplo: 11100 = 28 . O número 11100 no
sistema de base 2 é igual ao número 28 no sistema decimal.
O sistema decimal de numeração
Os números decimais são os mais utilizados atualmente de nosso conhecimento. Uma representação
posicional no sistema decimal pode ser desenvolvida numa forma polinomial que envolve um somatório de
potências de 10.
Como exemplo, o número três mil e quatro:
3004 = 3 x 10 + 0 x 10 + 0 x 10 + 4 x 10
3004 = 3 x 1000 + 0 x 100 + 0 x 10 + 4 x 1
3004 = 3000 + 0 + 0 + 4
3004 = 3004
É comum utilizarmos um índice (base 2, 10 ou 16) à direita do dígito menos significativo na representação
posicional, para identificar a base de representação. 
No caso da base decimal, esse índice pode ser omitido. Os circuitos ditos analógicos processam informações
usando o sistema decimal.
O sistema binário de numeração
O sistema de numeração de base 2 é chamado de sistema binário (dois), pois utiliza somente dois dígitos: 0
e 1. Todos os números são representados conforme o posicionamento e a quantidade desses dois dígitos. A
contagem segue o mesmo raciocínio utilizado no sistema decimal: após o último dígito, incrementa-se uma
posição à esquerda, e a posição à direita é zerada, repetindo-se toda a sequência de números anterior:
1, 10, 11, 100, 101, 110...
Os números citados geralmente são chamados de números binários. Para evitar confusão com o sistema de
numeração decimal, lemos dígito por dígito no sistema binário:
10 = hum, zero
1101 = hum, hum, zero, hum
Podemos expressar um número fracionário no sistema binário utilizando 
a vírgula binária:
1,1001; 0,0001; 1101,0101...
Esse sistema pode ser utilizado para representar dois estados de um elemento: uma lâmpada (acesa ou
apagada), uma chave (aberta ou fechada), uma fita magnética (variação ou não na magnetização), na
genética (presença ou ausência de genes), pois, nos cálculos teóricos, o sistema binário é o mais utilizado
para facilitar a manipulação dos dados.
2 10
3 2 1 0
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Qualquer algarismo ou dígito de número binário é denominado de bit (binary digit). Exemplo: 111011 ? 6
bits
Conversão do sistema binário para o sistema decimal
Uma representação posicional no sistema binário pode ser desenvolvida numa forma polinomial, que
envolve um somatório de potências de dois. Assim, o equivalente decimal do número binário é obtido da
representação polinomial do número na base dois, por meio do processamento da soma decimal.
Exemplo 1: Conversão do número binário 110010 paradecimal:
1- O primeiro dígito da direita para a esquerda do número binário multiplica a potência de 2 , o segundo
dígito da direita para a esquerda multiplica 2 , o terceiro dígito à direita multiplica 2 , e assim por diante:
0 x 2 = 0 x 1 = 0
1 x 2 = 1 x 2 = 2
0 x 2 = 0 x 4 = 0
0 x 2 = 0 x 8 = 0
1 x 2 = 1 x 16 = 16
1 x 2 = 1 x 32 = 32
2- A soma dessas multiplicações resulta no número decimal:
0 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 = 50
Assim:
110010 = 50
Exemplo 2: 10101110101001 = 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 +
0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2
10101110101001 = 8192 + 0+2048 + 0 + 512 + 256 + 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 +1
10101110101001 = 11177
Para conhecer um pouco mais sobre esse sistema, veja o infográfico abaixo. Este infográfico faz parte da
sequência desta aula e, portanto, é essencial para a aprendizagem.
INFOGRÁFICO (http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/web/_g/arco80_100/a02if02_arco80_100.htm)
Podemos representar um número decimal fracionário por um número binário, como no exemplo a seguir:
111,0101 = 1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2
111,0101 = 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625
111,0101 = 7,3125
Para a representação de números negativos, pode-se utilizar o sinal "-". Outro método utilizado na prática é
o acréscimo de um dígito binário à esquerda do número para indicar esse sinal, ou seja, para indicar se o
número é negativo ou não. Os números binários compostos dessa maneira são chamados de números
0
1 2
0
1
2
3
4
5
2 10
2
13 12 11 10 9 8 7 6 5
4 3 2 1 0
2
2 10
2
2 1 0 -1 -2 -3 -4
2
2 10
http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/web/_g/arco80_100/a02if02_arco80_100.htm
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binários com sinal ou números de magnitude com sinal pois o primeiro dígito representa o sinal e os dígitos
restantes significam a magnitude do número. Geralmente, o dígito 0 indica um número positivo e o 1 indica
um número negativo.
– 324 = 1101000100
↓
dígito que indica um número negativo
Conversão do sistema decimal para o sistema binário
Efetua-se uma operação aproximadamente inversa à conversão de binário para decimal utilizando o método
das divisões sucessivas: divide-se sucessivamente o número decimal por dois até resultar em um número
menor que dois, e os restos dessas divisões com o último resultado formarão o número binário. Esse mesmo
método pode ser usado para outros sistemas de numeração de base diferente de 2, como o sistema
hexadecimal, cuja base é 16.
Para conhecer um pouco mais sobre esse sistema, veja o infográfico abaixo. Este infográfico faz parte da
sequência desta aula e, portanto, é essencial para a aprendizagem.
Exemplo 1: Conversão do número decimal 1029 para o sistema binário.
1. Divide-se o número por dois, que é a base do sistema binário. O resto dessa divisão será o último dígito do
número binário:
2. O resultado dessa divisão é dividido novamente por 2, e o resto será o penúltimo dígito do número binário.
O resultado é dividido sucessivas vezes por 2, até a última divisão, em que o resultado for 0 ou 1. O
resultado da última divisão será o primeiro dígito do número binário.
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restos das divisões sucessivas:10000000101
1029 = 10000000101
Exemplo 2: Conversão do número 28374 decimal para binário.
Agora que você já estudou esta aula, resolva os exercícios e verifique seu conhecimento. 
Caso fique alguma dúvida, leve a questão ao Fórum e divida com seus colegas e professor.
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EXERCÍCIOS (http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/impressos/_g/arco80_100/a02ex01_arco80_100.pdf)
REFERÊNCIA
STALLINGS, Willian. Arquitetura e organização de computadores. 5. ed. Prentice Hall. São Paulo, 2006.
TANENBAUM. Andrew S. Organização estruturada de computadores. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
MACHADO, Francis B.; MAIA, Luiz P. Arquitetura de sistemas operacionais. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
WEBER, Raul Fernando. Arquitetura de computadores pessoais. 2. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2003.
_______. Fundamentos de arquitetura de computadores. 3. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2004.
http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/impressos/_g/arco80_100/a02ex01_arco80_100.pdf
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