Analise no RN

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ANÁLISE NO ℝn
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer
CONVERSA INICIAL
Caro aluno, seja bem-vindo. Temos, ao longo deste curso, dois objetivos principais. Inicialmente,
generalizar os principais resultados discutidos ao longo de estudos sobre Análise Real ao definirmos
um espaço euclidiano vetorial dimensional. Na sequência, formalizar os resultados conceituados
informalmente ao longo de estudos sobre Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis.
Assim, iremos tratar de vetores, limites de várias variáveis, derivadas direcionais e tantos outros
conceitos comuns às disciplinas previamente discutidas.
Iniciamos nossa aula redefinindo alguns conceitos de Análise Real, oriundos dos estudos de
Geometria Analítica e Álgebra Linear, já explorando o conceito de limite de funções de várias
variáveis.
TEMA 1 – TOPOLOGIA DO ESPAÇO EUCLIDIANO
Para iniciarmos as discussões sobre Análise no , precisamos relembrar características do
espaço vetorial -dimensional, conhecido como espaço euclidiano.
1.1 O ESPAÇO EUCLIDIANO N-DIMENSIONAL
Consideremos , definimos o espaço euclidiano -dimensional como .
Assim, podemos expandir o conceito de reta, identificando cada elemento como um vetor dado por 
 identificado por um determinado conjunto de coordenadas.
Assim, trazemos aqui os conjuntos explorados em Geometria Analítica e Álgebra Linear. Por
exemplo, para o caso particular em que , estamos tratando do conjunto dos números reais, e
recaímos nos estudos realizados nas disciplinas de Análise Real. Quando tratamos , estamos
investigando o plano cartesiano, enquanto para , investigamos o espaço euclidiano
tridimensional. Claro que, neste curso, faremos o estudo de qualquer um desses ou outros espaços
possíveis em que .
Como se trata de um espaço vetorial, definimos duas operações básicas: a adição e a
multiplicação de número real por escalar. Assim, dados dois vetores, por exemplo, 
 e , e dado um escalar, digamos, , definimos:
Note que as nomenclaturas utilizadas em Álgebra Linear se preservam, de forma que 
  representa a origem deste espaço;   é o vetor oposto
(simétrico) a .
Além dessas duas operações, vale recordar, de Geometria Analítica, a operação de produto
interno (ou produto escalar) que gera, a partir de dois vetores, um escalar. Nesse caso, a definimos
como:
Ao longo da disciplina, também discutiremos a construção do espaço vetorial a partir de uma
determinada base. Assim, os vetores  formam a
base canônica e qualquer outro vetor, digamos , pode ser escrito como combinação linear dos
vetores de qualquer base, i.e.,
A base canônica, entre outras, é um dos exemplos de base ortogonais. Isso porque, quando dois
vetores são ortogonais, verificamos que 
Além de verificar ortogonalidade, o produto escalar auxiliar na construção da projeção ortogonal
de um vetor sobre a reta que contém outro vetor e em sua norma euclidiana (ou comprimento).
Assim, definimos:
Por fim, podemos utilizar o conceito de norma euclidiana para definirmos distância entre dois
pontos:
1.2 BOLAS E CONJUNTOS LIMITADOS
Em vários cenários que analisaremos, precisaremos definir subconjuntos de   convenientes.
Assim, definimos a bola aberta, a bola fechada (disco) e a esfera, todos com centro  e raio , como
os conjuntos, respectivamente:
Note que a diferença em cada um dos termos diz respeito às características em relação às suas
fronteiras e pontos interiores.
Com base nessas topologias, definimos que  é um conjunto limitado quando .
De forma equivalente, note que  em que . Assim, podemos verificar que 
 é um conjunto limitado quando  tal que .
Para uma aplicação que leva , dizemos que é limitada quando o seu conjunto imagem 
  é um conjunto limitado. De outra forma, é limitada quando   tal que 
.
Também usaremos os conceitos de reta e segmento de reta construindo-os com base em dois
pontos, digamos,  e . Assim temos, respectivamente:
Além disso, definimos um conjunto convexo quando qualquer segmento de reta unindo
quaisquer dois pontos do conjunto também pertencem ao conjunto. Assim, dado , devemos
garantir que:
TEMA 2 – TIPOS DE CONJUNTOS
Para a análise no , devemos definir alguns conjuntos, entre eles: conjuntos abertos, conjuntos
fechados e conjuntos compactos.
2.1 CONJUNTOS ABERTOS
Dizemos que um ponto  é um ponto interior se   . Dessa forma, 
  determina um parâmetro para que qualquer ponto suficientemente próximo de   também esteja
contido dentro do conjunto . Note que um ponto que não interior é ponto exterior ou ponto de
fronteira. Em ambos os casos, qualquer escolha de  não cria uma bola aberta inteiramente contida
em   O conjunto de todos os pontos interiores de um conjunto é o conjunto interior, também
denotado por .
De acordo com essa noção, definimos o conjunto aberto como qualquer conjunto que tem todos
os seus pontos interiores, ou seja, . Note também que definimos a fronteira como:
Como consequência, todo ponto de fronteira, qualquer bola de centro nele, possui pontos de  e
de . Vale lembrar, de estudos sobre Análise Real, que dado   é um conjunto aberto, então
qualquer reunião  também é um conjunto aberto.
2.2 SEQUÊNCIAS EM ℝn
A generalização de sequência para   define-a como uma função . Como cada
resultado de uma sequência é um vetor de , pode-se verificar   sequências de números reais.
Assim,   gera a sequência , a qual é representada pelas sequências 
Para que tal sequência seja limitada, deve existir uma bola aberta que
contenha todos os termos . Ou, de forma equivalente, Além disso, é
consequência desse resultado que, sendo , temos que também são limitadas, visto
que   
Dada uma sequência, definimos uma subsequência,  como uma sequência gerada por
uma escolha de   de tal forma que . Assim, definimos o limite da
sequência como o ponto   tal que   Ou ainda, que 
. E utilizamos a mesma notação já conhecida:
Note que esse conceito, dessa forma generalizada, nos permite inferir que qualquer bola
escolhida com centro em  contém todos os pontos  para um valor de  razoavelmente grande.
Quando esse limite existe, dizemos que a sequência é convergente. E podemos notar que, por esse
critério, toda sequência convergente também é limitada.
Como cada sequência em   é um conjunto de sequências em   para cada uma de suas
coordenadas, vemos que, necessariamente,   converge se, e somente se,   também
converge.
Entre as sequências, vale ressaltar a sequência de Cauchy em que 
 Sabe-se que essa sequência é, necessariamente, limitada. E
também que toda sequência em  que converge é, necessariamente, uma sequência de Cauchy.
2.3 CONJUNTOS FECHADOS
De Análise Real, generalizaremos alguns termos: um ponto  é definido como ponto aderente ao
conjunto  se,  O conjunto de todos os pontos aderentes é chamado fecho
do conjunto , denotado por   .
Assim,  é um conjunto fechado quando . Note que o fecho de toda bola aberta é a
sua bola fechada. Além disso, podemos definir a distância de um ponto   a um conjunto 
 como:
Em que  representa o ínfimo de um determinado conjunto  Note que dado um conjunto
fechado, , então dada por   assume um valor mínimo em
algum ponto  Assim, simplificamos:
Definimos um conjunto denso , se   e   Além disso, definimos ponto de
acumulação como o ponto  em que qualquer bola de centro  contém algum ponto diferente
de   Não sendo ponto de acumulação, trata-se de um ponto isolado. Se todos os pontos são
isolados, trata-se de um conjunto discreto.
2.4 CONJUNTOS COMPACTOS
Definimos um conjunto compacto como , que é limitado e fechado. Sendo compacto,
qualquer sequência  possui uma subsequência que converge para um ponto de 
TEMA 3 – APLICAÇÕES CONTÍNUAS
Vejamos a generalização das aplicações quando tratamos de análise no 
3.1 APLICAÇÕES CONTÍNUAS
Definimos uma função (ou aplicação) , para um conjunto , como uma
associação entre os pontos  e os valores de . Note que 
, em que cada coordenada representa uma função real. De forma resumida, escrevemos: 
.
Para queum ponto   faça a função   ser contínua, devemos garantir que 
  Assim, qualquer bola aberta com centro em 
  e raio   implica a existência de outra bola aberta com centro em   e raio , tal que 
  Para a função ser contínua como um todo, é necessário que seja
contínua em todos os seus pontos.
Um resultado similar ao desenvolvido na Análise Real é verificar que se  é contínua no
ponto   se, e somente se,   para toda sequência de pontos e se, e
somente se, toda suas funções  também são continuas nesse ponto.
A generalização do Teorema de Weierstrass é definida para um conjunto  compacto. Se
definirmos uma função  real e contínua, então, 
3.2 CONTINUIDADE UNIFORME
Para determinada aplicação , dizemos que se trata de uma uniformemente contínua
se, e somente se, para qualquer par de sequências de pontos , quando 
 independentemente do valor de 
Note que esse resultado só acontece quando, para qualquer par de sequências definida acima, 
 Além disso, toda aplicação contínua para um conjunto  compacto é,
necessariamente, uniformemente contínua.
TEMA 4 – HOMEOMORFISMO E CONJUNTOS CONEXOS
Vejamos como generalizar outros dois conceitos discutidos ao longo do curso de Álgebra
Moderna e Análise Real: o homeomorfismo e os conjuntos conexos.
4.1 HOMEOMORFISMO
Definimos o homeomorfismo como o tipo de aplicação de um conjunto   para um
conjunto  em que  é uma bijeção contínua com inversa também contínua. Assim, definimos o
gráfico de uma bijeção com o conjunto de pontos  definido por 
Note que, para   compacto, temos que qualquer aplicação contínua que tenha a
propriedade injetora, levando elementos de   para elementos de , é um homeomorfismo sobre
sua imagem, quando compacta.
4.2 CONJUNTOS CONEXOS
Definimos uma cisão de determinado conjunto  como uma decomposição de  em dois
conjuntos, tais que . Dessa forma, verificamos que, em uma cisão,
nenhum ponto de  é aderente a  e vice-versa.
Note que, entre as cisões possíveis, existe a cisão trivial, definida como  Quando um
conjunto  admite apenas a cisão trivial, dizemos que há um conjunto conexo. Caso contrário,
é um conjunto desconexo. Vale lembrar, de Análise Real, que os únicos subconjuntos que são
conexos em  são os intervalos.
Esse resultado pode ser utilizado para investigar que  é conexo, visto que, se
  é conexo, então   também é conexo. Além disso, dado um conjunto
conexo , então a imagem de qualquer função real contínua  é um intervalo. Note que
esse resultado é o similar ao Teorema do Valor Intermediário, de forma que, dado   um
conjunto qualquer, se   é um conjunto conexo e contém um ponto   e um ponto ,
então, necessariamente,  contém um ponto que pertence à fronteira de X.
Não sendo necessariamente conexa, podemos definir a conexidade por caminhos, desde que
definamos um caminho como uma aplicação contínua , definida em um intervalo  Assim,
um conjunto  é conexo por caminhos quando, para qualquer ,  e  podem ser ligados
por um caminho em  Note que um conjunto aberto  é conexo, se e somente se, é conexo por
caminhos.
TEMA 5 – LIMITES
Finalmente podemos generalizar uma das principais operações do Cálculo Diferencial e Integral,
que é o limite de uma função, agora para  variáveis.
5.1 LIMITES
Para definir a operação de limite, precisamos de uma aplicação que leva elementos de um
conjunto   para elementos de , i.e., . O resultado do limite é um ponto de
acumulação . Assim, afirmamos que   é limite de   quando   tende a   quando 
 e utilizamos como notação que:
Note que o ponto   não pertence, necessariamente, ao conjunto , tanto que o teste de
continuidade explora essa condição, visto que uma função é contínua quando .
Além disso, a existência ou não de limite continua a não depender se a função existe ou não no
ponto.
Agora, em relação à generalização para   não faz sentido, com exceção de   (i.e., da
Análise Real), discutir limites laterais à esquerda ou à direita, visto que existem infinitas direções (ou
formas) de se aproximar do ponto   Entretanto, ao tratarmos de   em que 
, podemos afirmar que   se, e somente se, 
Note que, sendo , então, qualquer sequência construída,   que
tenha , também terá  Note, também, que as propriedades relativas a limites
de funções também se preservam, quais são:      
,  
Também observamos que, definidas duas aplicações, digamos   para algum
conjunto , se   e, existindo e , então, necessariamente, 
  Isso, porque, não sendo assim, chegaríamos a uma contradição de que 
5.2 EXEMPLO 1
Considere algumas funções vetoriais, por exemplo:
Podemos calcular . Para isso, é necessário verificar que    se,
e somente se,  Assim sendo, podemos encontrar:
Dessa forma:
De forma equivalente, podemos considerar a função vetorial dada por:
E encontrar, também,  Nesse caso, obtemos:
Dessa forma:
5.3 EXEMPLO 2
Considere duas funções vetoriais definidas por , em que:
Considere também uma função escalar em que:
Podemos encontrar novas funções a partir das operações conhecidas oriundas do espaço
euclidiano. Assim, definimos:
E assim:
5.4 EXEMPLO 3
Considere a função vetorial definida por:
Podemos encontrar:
Assim, verificamos que   se, e somente se, 
e calculamos:
Assim:
NA PRÁTICA
Para todo conjunto , prove que  é um conjunto aberto, isto é, .
FINALIZANDO  
Com essa introdução, já levantamos alguns termos que serão necessários para nossa
discussão de Análise no . Também tivemos a chance de definir a operação de limite de funções
que será base para a generalização das operações de derivação e integração.
REFERÊNCIAS
LIMA, E. L. Análise Real, Volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.
ANTON, H.; CHRIS, R. Álgebra Linear Com Aplicações. 10. ed. Bookman Companhia Editora,
2010.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Volume 2. 6. ed. LTC, 2018.