Seja Rn o número máximo de regiões determinadas no plano por n círculos. (a) Quais são os valores de R1 e R2? (b) Explique por que Rn+1 = Rn + 2n, ...

(a) Para n = 1, temos apenas um círculo, que divide o plano em duas regiões. Portanto, R1 = 2. Para n = 2, temos dois círculos que se intersectam, dividindo o plano em quatro regiões. Portanto, R2 = 4. (b) Para n = 1, temos R2 = R1 + 2(1) = 2 + 2 = 4, o que confirma o resultado anterior. Agora, suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo valor de n, ou seja, Rn+1 = Rn + 2n. Vamos mostrar que ela também é verdadeira para n + 1. Adicionando um novo círculo ao conjunto de n círculos já existentes, podemos criar no máximo 2n novas regiões. Isso ocorre quando o novo círculo intersecta todos os outros círculos. Além disso, o novo círculo pode ser colocado em qualquer uma das regiões já existentes, criando assim uma nova região. Portanto, o número máximo de novas regiões que podemos criar é 2n + 1. Assim, temos: Rn+2 = Rn+1 + 2(n+1) = Rn + 2n + 2(n+1) = Rn + 2n + 2n + 2 = Rn + 4n + 2 = (n+1)² - (n+1) + 2 (c) Vamos mostrar por indução que Rn = n² - n + 2 para todo n ≥ 1. Base: Para n = 1, temos R1 = 2, que é igual a 1² - 1 + 2. Hipótese: Suponha que a fórmula seja verdadeira para um certo valor de n, ou seja, Rn = n² - n + 2. Passo de indução: Vamos mostrar que a fórmula também é verdadeira para n + 1. Usando a fórmula do item (b), temos: Rn+1 = Rn + 2n = n² - n + 2 + 2n = n² + n + 2 = (n+1)² - (n+1) + 2 Portanto, a fórmula é verdadeira para todo n ≥ 1.